临汾市2019届高三数学上学期期末考试仿真卷文

2018-2019学年上学期高三期末考试仿真卷文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知为虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】B注意的灵活运用.【详解】,故选B本题考查复数的计算, 注意的灵活运用.2.设集合，则集合等于( )A. B.C. D.【答案】A由题意，先求解集合，再由集合的交集运算，即可求解.【详解】由集合，，则集合，故选A.本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合，再由集合的交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.函数（）的图像不可能是A. B.C. D.【答案】A直接利用排除法，对参数分别取0，1，-1，进一步利用函数的图象求出结果．【详解】直接利用排除法：①当时，选项B成立；②当时，，函数的图象类似D；③当时，，函数的图象类似C；故选：A．本题考查函数的图象和函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能4.设向量，满足，，则（）A. 6B.C. 10D.【答案】D由题意，根据向量的模的运算，可得，求得，再根据向量模的运算，即可求解。

【详解】∵向量，满足，，∴，解得．则．故选D．本题主要考查了向量的数量积的运算，及向量的模的运算问题，其中解答中熟记向量的数量积的运算和向量的模的运算公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

5.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{0，1，2，…，9}.若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为( )A. B. C. D.【答案】A由题意得甲乙两人各猜一个数字，共有种，再由一一列举出满足的所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意，可知甲乙两人各猜一个数字，共有 (种)猜字结果，其中满足的有：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，共有种，所以他们“心有灵犀”的概率为，故选A.本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中根据题意，得出基本事件的总数和找出事件所包含的基本事件的个数（列举法）是解答的关键，同时注意认真审题，合理作答，着重考查了推理与运算能力．6.已知直线为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】D结合双曲线的方程可得双曲线的渐近线为：，则双曲线的一条渐近线为：，据此有：.本题选择D选项.：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．7.在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的周长是（）A. B. C. D.【答案】C首先用正弦定理将转化为，再利用余弦定理列方程，求出的值，由此求得三角形周长.【详解】因为，由正弦定理得，由余弦定理得，，又，解得，．则的周长是．故应选C本小题主要考查解三角形，考查正弦定理和余弦定理的应用.正弦定理主要用于边和角的互化，余弦定理主要用于列方程求未知数.属于基础题.8.有一程序框图如图所示，要求运行后输出的值为大于1000的最小数值，则在空白的判断框内可以填入的是A. i＜6B. i＜7C. i＜8D. i＜9【答案】B运行流程图，结合选项确定空白的判断框内可以填入的的内容即可.【详解】程序运行过程如下：首先初始化数据：，此时的值不大于，应执行：，；此时的值不大于，应执行：，；此时的值不大于，应执行：，；此时的值不大于，应执行：，；此时的值不大于，应执行：，；此时的值不大于，应执行：，；此时的值大于，应跳出循环，即时程序不跳出循环，时程序跳出循环，结合选项可知空白的判断框内可以填入的是.本题选择B选项.本题主要考查流程图的运行过程，补全流程图的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，为线段A1B上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B由题意，将面与面沿展开成平面图形，线段即为的最小值，在中，利用余弦定理即可求解.【详解】由题意，将面与面沿展开成平面图形，如图所示，线段即为的最小值，在中，利用余弦定理可得，故选B.本题主要考查了棱柱的结构特征，以及棱柱的侧面展开的应用，其中解答中把棱柱的侧面展开为平面图形，利用余弦定理求解是解答的关键，着重考查了问题和解答问题的能力，属于中档试题.10.将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移个单位长度，最后得到图象对应的函数为奇函数，则的最小值为A. B. C. D.【答案】D根据函数的图象变换规律，利用余弦函数图象的对称性和诱导公式，求得的最小值．【详解】由已知将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，可得的图象；再把所得的图象向右平移（＞0）个单位长度，可得的图象；根据所得函数的图象对应的函数为奇函数，则解得；令k=-1，可得的最小正值是．故选：D．本题主要考查了三角函数的图象变换规律以及余弦函数的图象与对称性问题，是中档题．11.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段中点的横坐标为，，则A. B.C. D.【答案】B设，根据过抛物线的焦点，可设直线方程为，代入抛物线方程可得，根据韦达定理和弦长公式，以及中点坐标公式即可求出. 【详解】设，过抛物线的焦点，设直线方程为，代入抛物线方程可得，，，，，，，解得，故选B.本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质,以及韦达定理、弦长公式与中点坐标公式的应用，意在考查数形结合思想、函数与方程思想的应用，属于难题.12.已知为定义在上的奇函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B由题意结合函数的性质得到关于x的不等式，求解不等式即可求得其解集.【详解】由奇函数的性质结合题意可知函数是定义在R上的单调递增函数，不等式即：，即，结合函数的单调性可得：，求解不等式可得不等式的解集为.本题选择B选项.对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.若函数为奇函数，则曲线在点处的切线方程为______________．【答案】由函数是奇函数可得，得到函数式，则可得，再求在处的导函数即可得到切线斜率，根据点斜式写出切线方程即可.【详解】为奇函数,则，，，，又，曲线在点处的切线方程为,即.本题考查导数几何意义的应用，由奇函数求得参数，得到函数式是本题解题关键.14.已知实数，满足不等式组，那么的最大值和最小值分别是和,则=___________.【答案】0根据线性规划的知识求得的最大值和最小值后可得所求．【详解】画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．由得，结合图形，平移直线可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，此时取得最大值；当直线经过可行域内的点B时，直线在y轴上的截距最小，此时取得最小值．由题意得，∴，∴.故答案为0．利用线性规划求目标函数最值的步骤(1)作图，即画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线；(2)平移，即将平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．有时需要进行目标函数和可行域边界的斜率的大小比较；(3)求值，即解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．15.若，则的值为．【答案】试题：由于，则，因为，且，则．考点：三角恒等变换．16.直三棱柱的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为，则该三棱柱体积的最大值为__________．【答案】由题意可知三棱柱上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，利用勾股定理建立变量间的关系，结合均值不等式得到最值.【详解】设三棱柱底面直角三角形的直角边为a，b，则棱柱的高，设外接球的半径为r，则，解得，∵上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，∴．∴，∴，∴．当且仅当时“＝”成立．∴三棱柱的体积．故答案为：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列为等比数列，，是和的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.（1）由题意首先求得数列的公比，然后求解数列的通项公式即可；（2）首先求得数列的通项公式，然后错位相减求解数列的前项和即可.【详解】（1）设数列的公比为，因为，所以，．因为是和的等差中项，所以．即，化简得．因为公比，所以．所以（）.（2）因为，所以．所以．本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.下图是我国2010年至2016年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图注：年份代码1~7分别对应年份2010~2016（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请求出相关系数r，并用相关系数的大小说明y与t相关性的强弱；（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2018年我国生活垃圾无害化处理量. 附注：参考数据：，，，.参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：【答案】（1），说明与的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系；（2）回归方程为，预测2018年我国生活垃圾无害化处理量将约2.15亿吨. （Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得，利用公式，求得的hi，即可得到结论；（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，，即可得到回归直线的方程，得到预测. 【详解】（1）由折线图中数据和附注中参考数据得，，，，∴.因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.（2）由及（Ⅰ）得，∴.所以关于的回归方程为：.将2018年对应的代入回归方程得.所以预测2018年我国生活垃圾无害化处理量将约2.15亿吨.本题主要考查了回归直线方程的求解及其应用，其中解答中认真审题，利用表中的数据，利用公式，准确、合理的运算是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19.如图所示，在四棱锥中，平面，，，.（1）求证：；（2）当几何体的体积等于时，求四棱锥的侧面积.【答案】（1）证明见；（2）.（1）连结BD，取CD的中点F，连结BF，证明BC⊥BD，BC⊥DE，即可证明BC⊥平面BDE，推出BC⊥BE．（2）利用体积求出DE=2，然后求解EA，通过就是BE2=AB2+AE2，证明AB⊥AE，然后求解四棱锥E﹣ABCD的侧面积．【详解】（1）连结BD，取CD的中点F，连结BF，则直角梯形ABCD中，BF⊥CD，BF=CF=DF，∴∠CBD=90°即：BC⊥BD∵DE⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD∴BC⊥DE又BD∩DE=D∴BC⊥平面BDE由BE⊂平面BDE得：BC⊥BE（2）∵，∴DE=2∴，，又AB=2，∴BE2=AB2+AE2∴AB⊥AE∴四棱锥E﹣ABCD的侧面积为本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积以及侧面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，点是椭圆上的一个动点，面积的最大值是．（1）求椭圆的方程；（2）若是椭圆上不重合的四点，与相交于点，，且，求此时直线的方程．【答案】（1）；（2）（1）根据离心率，面积的最大值是，结合性质，列出关于、、的方程组，求出、，即可得结果；（2）直线与曲线联立，根据韦达定理，弦长公式将用表示，解方程可得的值,即可得结果.【详解】（1）由题意知，当点是椭圆上、下顶点时，面积取得最大值此时，是，又解得，所求椭圆的方程为（2）由（1）知，由得，①当直线与有一条直线的斜率不存在时，，不合题意②当直线的斜率为（存在且不为0）时，其方程为由消去得设则所以直线的方程为，同理可得由,解得故所求直线的方程为求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.21.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若恒成立，求的值.【答案】（1）函数的单调减区间为，单调增区间为．（2）（1）直接利用导数求得函数的单调减区间为，单调增区间为．，其中，由题意知在上恒成立，再利用导数求出≥0，记，再利用导数求得所以，即=0，所以a=1.【详解】（1）依题意，，令，解得，故，故当时，函数单调递减，当时，函数单调递增；故函数的单调减区间为，单调增区间为．（2），其中，由题意知在上恒成立，，由（1）可知，∴，∴，记，则，令，得．当变化时，，的变化情况列表如下：∴，故，当且仅当时取等号，又，从而得到．本题主要考查利用导数求函数的单调区间、极值和最值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和推理能力.22.在直角坐标系xOy中，直线经过点，倾斜角，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程并写出直线l的参数方程；（Ⅱ）直线l与曲线C的交点为A，B，求点P到A、B两点的距离之积．【答案】（1）曲线C的直角坐标方程为，l的参数方程为（t为参数）；（2）．（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得曲线C的直角坐标方程，再根据直线参数方程的形式，即可求解直线的参数方程；（2）由（1）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用参数的几何意义，可求解. 【详解】（Ⅰ）因为，所以，即直线l的参数方程为（t为参数）（Ⅱ）把，代入圆的直角坐标方程得设，是方程的两根，则，由参数t的几何意义，得即点P到A、B两点之间的距离之积为3.本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，其中熟记极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，把直线的参数方程，代入曲线的方程，利用直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了问题和解答问题的能，以及推理与运算能力.23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或(1)去掉绝对值得到分段函数形式，分段求解即可；（2），根据绝对值三角不等式求得最值.【详解】（1） ,或或，解得：或或无解，综上，不等式的解集是（2），当时等号成立，不等式有解，，或，即或，实数的取值范围是或这个题目考查了绝对值不等式的解法，通常是去掉绝对值分段解决；考查到了绝对值三角不等式求最值的应用，不等式求最值常见的做法有绝对值三角不等式的应用，均值不等式的应用.。