历年高考真题考点归纳2009年 第五章 平面向量、解三角形 第二节 解三角形
2011年高考数学总复习_第五章第二节_解三角形[精品试题库][共12章]
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第五章 平面向量、解三角形第二节 解三角形 第一部分 五年高考荟萃 2009年高考题1.(2009年广东卷文)已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若62a c ==+且75A ∠=o，则b =( )A.2 B ．4＋23 C ．4—23 D ．62- 答案 A解析 026sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos304A +==+=+= 由62a c ==+可知,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =由正弦定理得261sin 2sin 2264ab B A+=⋅=⨯=+,故选A2.（2009全国卷Ⅱ文）已知△ABC 中，12cot 5A =-，则cos A =( )A ．1213 B.513 C. 513- D. 1213-答案 D解析 本题考查同角三角函数关系应用能力，先由cotA=125-知A 为钝角，cosA<0排 除A 和B ，再由1312cos 1cos sin ,512sin cos cot 22-==+-==A A A A A A 求得和.3.(2009全国卷Ⅱ理）已知ABC ∆中，12cot 5A =-， 则cos A = ( )A. 1213B.513C.513-D. 1213-答案 D解析 已知ABC ∆中，12cot 5A =-，(,)2A ππ∴∈. 221112cos 1351tan 1()12A A=-=-=-++-故选D.4.（2009湖南卷文）在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos ACA的值等于 ， AC 的取值范围为 .答案 2)3,2(解析 设,2.A B θθ∠=⇒=由正弦定理得,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC ACθθθθ=∴=⇒=由锐角ABC ∆得0290045θθ<<⇒<<，又01803903060θθ<-<⇒<<，故233045cos 22θθ<<⇒<<， 2cos (2,3).AC θ∴=∈5.（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)222a c b -=左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)sin cos 3cos sin ,A C A C =过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a ac ab bc+-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.解法二:由余弦定理得: 2222cos a c b bc A -=-.又222a c b -=,0b ≠. 所以2cos 2b c A =+①又sin cos 3cos sin A C A C =，sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=sin()4cos sin A C A C +=，即sin 4cos sin B A C =由正弦定理得sin sin bB C c=，故4cos b c A = ②由①，②解得4b =.评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。
【步步高高考数学总复习】第五编 平面向量、解三角形
第五编 平面向量、解三角形 §5.1 平面向量的概念及线性运算基础自测1.下列等式不正确的是（ ）A .a +0=aB .a +b =b +aC .+≠0D .=++答案 C2.如图所示，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是 （ ）A .AB =DC B .+=AC C .AD AB -=BD D .CB AD +=0答案 C3.（2008²广东理，8）在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F .若AC =a ,=b ,则AF 等于（ ）A.41a +21bB.32a +31b C.21a +41bD.31a +32b 答案 B4.若ABCD 是正方形，E 是DC 边的中点，且AB =a ，AD =b ，则BE 等于（ ）A.b +21a B.b -21a C. a +21bD. a-21b 答案 B5.设四边形ABCD 中，有=21，且||=||，则这个四边形是 ( )A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形答案 C例1 给出下列命题①向量的长度与向量的长度相等；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同； ④两个有共同终点的向量，一定是共线向量；⑤向量与向量是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上； ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中假命题的个数为 （ ）A.2B.3C.4D.5答案 C例2 如图所示，若四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M 、N 分别是DC 、AB 的中点，已知=a ， =b ，=c ，试用a 、b 、c 表示，，+.解 =BA +AD +DC =-a +b +c ， ∵MN =++AN ， ∴=-21,=-,=21, ∴MN =21a -b -21c . +=+++=2=a -2b -c .例3 设两个非零向量a 与b 不共线， （1）若=a +b ,=2a +8b ,=3(a -b )， 求证：A 、B 、D 三点共线；（2）试确定实数k ，使k a +b 和a +k b 共线.（1）证明 ∵=a +b ,BC =2a +8b ,CD =3(a -b ), ∴=+=2a +8b +3(a -b ) =2a +8b +3a -3b =5(a +b )=5. ∴、共线，又∵它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线. （2）解 ∵k a +b 与a +k b 共线， ∴存在实数λ，使k a +b =λ(a +k b ), 即k a +b =λa +λk b . ∴(k -λ)a =(λk -1)b .∵a 、b 是不共线的两个非零向量， ∴k -λ=λk -1=0，∴k 2-1=0. ∴k =±1.例4 （12分）如图所示，在△ABO 中，=41, =21,AD 与BC 相交于点M ，设=a ，=b .试 用a 和b 表示向量OM . 解 设=m a +n b ，则=-=m a +n b -a =(m -1)a +n b . =-=21-=-a +21b . 又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM 与共线. ∴存在实数t ,使得AM =t AD ， 即(m -1)a +n b =t (-a +21b ). 3分∴(m -1)a +n b =-t a +21t b . ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-21tn t m ，消去t 得：m -1=-2n ，即m +2n =1. ① 5分又∵CM =-=m a +n b -41a =(m -41)a +n b . =-=b -41a =-41a +b .又∵C 、M 、B 三点共线，∴CM 与共线. 8分 ∴存在实数t 1,使得CM =t 1CB , ∴(m -41)a +n b =t 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-41, ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=-114141t n t m ， 消去t 1得,4m +n =1 ② 10分由①②得m =71,n =73, ∴OM =71a +73b . 12分1.下列命题中真命题的个数为（ ）①若|a |=|b |，则a =b 或a =-b ;②若=DC ，则A 、B 、C 、D 是一个平行四边形的四个顶点； ③若a =b ,b =c ,则a =c ; ④若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c . A.4B.3C.2D.1答案 D2.在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC =BA ，在OB 上取点D ， 使DB =31OB .DC 与OA 交于E ，设OA =a ，=b ，用a , a b ∴b 表示向量，. 解 因为A 是BC 的中点， 所以=21(+)，即=2-=2a -b ； DC =OC -OD =OC -32=2a -b -32b =2a -35b . 3.若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ,t b ,31(a +b )三向量的终点在同一条直线上？ 解 设=a ，=tb ，=31(a +b )，∴=-=-32a +31b ，=-=t b -a . 要使A 、B 、C 三点共线，只需=λ 即-32a +31b =t λb -λa ∴有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-t λλ3132，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2132t λ ∴当t =21时，三向量终点在同一直线上. 4.如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上， 且AN =2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 的值. 解 方法一 设e 1=,e 2=, 则=+CM =-3e 2-e 1， =+=2e 1+e 2.因为A 、P 、M 和B 、P 、N 分别共线，所以存在实数μ、λ，使=λ=-3λe 2-λe 1， BP =μBN =2μe 1+μe 2，∴BA =BP -=（λ+2μ）e 1+（3λ+μ）e 2，另外=+=2e 1+3e 2，⎩⎨⎧=+=+3322μλμλ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5354μλ， ∴=54,=53,∴AP ∶PM =4∶1.方法二 设=λ， ∵=21(+AC )=21+43AN ， ∴AP =2λ+43λ. ∵B 、P 、N 三点共线，∴-=t (-), ∴=(1+t )-t∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t λλ4312∴2λ+43λ=1，λ=54，∴AP ∶PM =4∶1.一、选择题1.下列算式中不正确的是（ ）A .++CA =0B .-AC = C .0²=0D .λ（μa ）=λ²μ²a 答案 B2.（2008²全国Ⅰ理,3）在△ABC 中，=c ，=b ，若点D 满足=2，则等于（ ）A.32b +31c B.35c -32b C.32b -31c D.31b +32c 答案 A3.若=3e 1，=-5e 1，且|AD |=||，则四边形ABCD 是( ) A.平行四边形B.菱形C.等腰梯形D.不等腰梯形答案 C4.如图所示，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括边界）.若=a 1+b 2，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数a ，b 满足（ ）A.a ＞0,b ＞0B.a ＞0,b ＜0C. a ＜0,b ＞0D. a ＜0,b ＜0答案 B5.设=x +y ，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过端点O ），则x +y 等于（ ） A.1B.-1C.0D.不能确定答案 A6.已知平面内有一点P 及一个△ABC ，若PA +PB +=，则（ ）A.点P 在△ABC 外部B.点P 在线段AB 上C.点P 在线段BC 上D.点P 在线段AC 上答案 D 二、填空题7.在△ABC 中，=a ，=b ，M 是CB 的中点，N 是AB 的中点，且CN 、AM 交于点P ，则可用a 、b 表示为 . 答案 -32a +31b 8.在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若=2,=31+λ,则λ= . 答案32 三、解答题9.如图所示，△ABC 中，=32，DE ∥BC 交AC 于E ，AM 是BC 边上中线，交DE 于N .设=a ，=b ，用a ,b 分别表示向量，，，，，.解 ⎪⎭⎪⎬⎫=BC DE 32//⇒=32=32b . =-=b -a .由△ADE ∽△ABC ，得=32=32(b -a ). 由AM 是△ABC 的中线，DE ∥BC ，得 =21DE =31(b -a ). 而且=+=a +21=a +21(b -a )=21(a +b ). 由⎪⎭⎪⎬⎫=∆∆ABM ADN 32⇒=32=31(a +b ). 10.如图所示，在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，=32，=a ，=b . （1）用a 、b 表示向量、、、、； （2）求证：B 、E 、F 三点共线. （1）解 延长AD 到G ，使=21AG ， 连接BG 、CG，得到 ABGC ， 所以=a +b , =21=21(a +b ), =32=31(a +b ). =21AC =21b , =-=31(a +b )-a =31(b -2a ). =-=21b -a =21(b -2a ). (2)证明 由(1)可知=32BF ,所以B 、E 、F 三点共线. 11.已知：任意四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：=21(+). 证明 方法一 如图，∵E 、F 分别是AD 、BC 的中点， ∴+=0，FB +=0， 又∵+++=0，∴=++ ① 同理=++ ② 由①+②得，2=++（+）+（+）=+. ∴=21(+). 方法二 连结，， ∽则=+， =+AB ，∴=21(+) =21(+++)=21(+). 12.已知点G 为△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且=x ，=y ， 求x 1+y1的值. 解 根据题意G 为三角形的重心， 故AG =31(+AC )， =-=31(+)-x =(31-x )+31, =-=y -=y -31(+) =（y -31）AC -31, 由于与GN 共线，根据共线向量基本定理知 =λ⇒(31-x )+31=λ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--y 31)31(，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-)31(313131y x λλ⇒3131--x =3131-y⇒x +y -3xy =0两边同除以xy 得x1+y1=3. §5.2 平面向量基本定理及坐标表示基础自测1.已知平面向量a =（1，1），b =(1,-1),则向量21a -23b 等于 （ ）A.(-2,-1)B. (-2,1)C. (-1,0)D. (-1,2)答案 D2.（2008²安徽理,3）在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若=(2，4)，=(1，3)，则等于 （ ） A. (-2,-4) B. (-3,-5) C. (3,5) D. (2,4)答案 B3.若向量a =(1,1)，b =(1,-1),c =(-2,1),则c 等于 （ ）A.21-a +23b B. 21-a -23bC. 23-a-21bD. 23-a +21b答案 B4.(2009²烟台模拟)已知向量a =(8,x 21),b =(x ,1),其中x ＞0,若（a -2b ）//(2a +b ),则x 的值为（ ） A.4B.8C.0D.2答案 A5.（2008²广东五校联考）设a =⎪⎭⎫ ⎝⎛43,sin x ，b =⎪⎭⎫ ⎝⎛x cos 21,31，且a ∥b ，则锐角x 为 .A.6πB.4π C.3π D.π125 答案 B例1 设两个非零向量e 1和e 2不共线.（1）如果=e 1-e 2，=3e 1+2e 2，=-8e 1-2e 2， 求证：A 、C 、D 三点共线；（2）如果=e 1+e 2，=2e 1-3e 2，=2e 1-k e 2，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值. （1）证明 =e 1-e 2，=3e 1+2e 2, =-8e 1-2e 2, =+=4e 1+e 2=-21(-8e 1-2e 2)=-21, ∴与共线，又∵与有公共点C ， ∴A 、C 、D 三点共线.（2）解 =+=（e 1+e 2）+（2e 1-3e 2）=3e 1-2e 2， ∵A 、C 、D 三点共线，∴与共线，从而存在实数λ使得=λ, 即3e 1-2e 2=λ(2e 1-k e 2)，由平面向量的基本定理，得⎩⎨⎧-=-=kλλ223，解之得λ=32，k =34.例2 已知点A (1，0)、B (0，2)、C (-1，-2)，求以A 、B 、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标.解 设D 的坐标为（x ,y ）.(1)若是 ，则由=得 (0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x ,y ), 即(-1,2)=(-1-x ,-2-y ),∴⎩⎨⎧=---=--2211y x , ∴x =0，y =-4.∴D 点的坐标为（0，-4）（如图中的D 1）. （2）若是 ，则由=得 （x ，y ）-（1，0）=（0，2）-（-1，-2）， 即(x -1,y )=(1,4).解得x =2,y =4. ∴D 点坐标为（2，4）（如图中的D 2）. （3）若是 ，则由=得 （0，2）-（1，0）=（x ,y ）-(-1,-2), 即(-1,2)=(x +1,y +2).解得x =-2,y =0. ∴D 点的坐标为（-2，0）（如图中的D 3）.综上所述，以A 、B 、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标为（0，-4）或（2，4）或（-2，0）.例3 （12分）平面内给定三个向量a =(3,2),b =(-1,2),c =(4,1).回答下列问题： （1）若（a +k c ）∥(2b -a )，求实数k ;(2)设d =(x ,y )满足(d -c )∥(a +b )且|d -c |=1,求d . 解 （1）∵（a +k c ）∥（2b -a ），又a +k c =(3+4k ,2+k ),2b -a =(-5,2), 2分 ∴2³(3+4k )-(-5)³(2+k )=0, 4分 ∴k =-1316. 6分 （2）∵d -c =(x -4,y -1),a +b =(2,4), 又(d -c )∥(a +b )且|d -c |=1,∴()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=---1140124422y x y x ， 8分 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=5521554y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=5521554y x . 10分∴d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛++55255520，或d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--55255520，. 12分1.如图所示，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM =c ，AN =d ，试用c ，d 表示，AD .解 方法一 设AB =a ，AD =b ，则a =AN +NB =d +⎪⎭⎫ ⎝⎛-b 21b =AM +MD =c +⎪⎭⎫⎝⎛-a 21将②代入①得a =d +⎪⎭⎫⎝⎛-21⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a c 21 ⇒a =d 34-32c ,代入② 得b =c +⎪⎭⎫ ⎝⎛-21=⎪⎭⎫ ⎝⎛-c d 323434c -32d即=34d -32c ，=34c -32d 方法二 设=a ，=b . 因M ，N 分别为CD ，BC 的中点， 所以BN =21b ，DM =21a ， 因而⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=b a d a b c 2121⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)2(32)2(32d c b c d a , 即AB =32(2d -c ), AD =32(2c -d ). 2.已知A （-2，4）、B （3，-1）、C （-3，-4）且CM =3，=2，求点M 、N 及的坐标. 解 ∵A （-2，4）、B （3，-1）、C （-3，-4）， ∴=（1，8），=（6，3），∴CM =3CA =（3，24），CN =2CB =（12，6). 设M （x ，y ），则有CM =（x +3，y +4），∴⎩⎨⎧=+=+24433y x ，∴⎩⎨⎧==200y x ,∴M 点的坐标为（0，20）.同理可求得N 点坐标为（9，2），因此=（9，-18）， 故所求点M 、N 的坐标分别为（0，20）、（9，2）， 的坐标为（9，-18）.3.已知A 、B 、C 三点的坐标分别为（-1，0）、（3，-1）、（1，2），并且=31，=31. 求证：∥.证明 设E 、F 两点的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2），则依题意，得=（2，2），=（-2，3）， =（4，-1）.∴)1,32(31),32,32(31-====∴),32,32()0.1(),(11=--=y x).1,32()1,3(),(22-=--=y x∴),32,31()0,1()32,32(),(11-=-+=y x),0,37()1,3()1,32(),(22=-+-=y x一、选择题1.已知向量a =(2,3),b =(-1,2)，若m a +n b 与a -2b 共线，则n m等于 （ ）A.-21 B.2 C.21D.-2答案 A2.设a 、b 是不共线的两个非零向量，已知=2a +p b ，=a +b ，=a -2b .若A 、B 、D 三点共线，则p 的值为 ( )A.1B.2C.-2D.-1答案 D3.已知向量=(3,-2),=(-5,-1),则21等于 （ ）A.(8,1)B.(-8,1)C.(4,-21)D. (-4,21) 答案 D4.已知向量a =(2,4),b =(1,1),若向量b ⊥(a +λb )，则实数λ的值是（ ）A .3B .-3C .31 D .-31 答案 B5.（2008²辽宁文，5）已知四边形ABCD 的顶点A （0，2）、B （-1，-2）、C （3，1），且=2，则顶点D 的坐标为( ) A .(2,27) B .(2,21-) C .(3,2) D .(1,3)答案 A6.设0≤θ＜2π，已知两个向量1OP =（cos θ，sin θ），2OP =（2+sin θ，2-cos θ），则向量21P P 长度的最大值是 （ ） A .2B .3C .23D .32EFEF.AB AB答案 C 二、填空题7.（2008²全国Ⅱ文，13）设向量a =(1,2),b =(2,3)，若向量λa +b 与向量c =(-4,-7)共线，则λ= . 答案 28.（2008²菏泽模拟）已知向量m =(a -2,-2),n =(-2,b -2),m ∥n (a ＞0,b ＞0)，则ab 的最小值是 . 答案 16 三、解答题9.已知A （-2，4），B （3，-1），C （-3，-4）. 设=a ，=b ，=c ，且CM =3c ，=-2b ， （1）求：3a +b -3c ；（2）求满足a =mb +nc 的实数m ，n .解 由已知得a =(5,-5),b =(-6,-3),c =(1,8). (1)3a +b -3c =3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). （2）∵mb +nc =（-6m +n ，-3m +8n ），∴⎩⎨⎧-=+-=+-58356n m n m ，解得⎩⎨⎧-=-=11n m . 10.若a ,b 为非零向量且a ∥b ,1λ,2λ∈R ,且1λ2λ≠0. 求证：1λa +2λb 与1λa -2λb 为共线向量. 证明 设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2).∵a ∥b ,b ≠0,a ≠0,∴存在实数m ,使得a =m b , 即a =(x 1,y 1)=(mx 2,my 2),∴1λa +2λb =((m 1λ+2λ)x 2,(m 1λ+2λ)y 2) =(m 1λ+2λ)(x 2,y 2)同理1λa +2λb =(m 1λ-2λ)(x 2,y 2), ∴(1λa +2λb )∥(1λa -2λb )∥b ,而b ≠0,∴(1λa +2λb )∥(1λa -2λb ).11.在 中，A （1，1），=（6，0），点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P . （1）若=（3，5），求点C 的坐标； （2）当||=|AD |时，求点P 的轨迹. 解 （1）设点C 坐标为(x 0，y 0),又=+=（3，5）+（6，0）=（9，5）, 即（x 0-1,y 0-1）=（9，5）， ∴x 0=10，y 0=6，即点C （10，6）. （2）由三角形相似，不难得出=2 设P （x ,y ），则=-=（x -1，y -1）-（6，0）=（x -7，y -1）,=+=21+3=21+3（-21） =3-=（3(x -1)，3(y -1)）-（6，0） =（3x -9，3y -3），∵||=||，∴ 为菱形， ∴AC ⊥BD ，∴⊥，即（x -7，y -1）²（3x -9，3y -3）=0. （x -7）（3x -9）+（y -1）（3y -3）=0， ∴x 2+y 2-10x -2y +22=0（y ≠1）. ∴(x -5)2+(y -1)2=4(y ≠1).故点P 的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半径的圆去掉与直线y =1的两个交点. 12.A (2,3),B (5,4),C (7,10),=+λ.当λ为何值时， （1）点P 在第一、三象限的角平分线上；（2）点P 到两坐标轴的距离相等？解 （1）由已知=（3，1），=（5，7）， 则+λ=(3，1)+λ(5，7)=（3+5λ，1+7λ）. 设P （x ，y ），则=（x -2，y -3），∴⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x ，∴⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x .∵点P 在第一、三象限的角平分线上， ∴x =y ，即5+5λ=4+7λ,∴λ=21. (2）若点P 到两坐标轴的距离相等， 则|x |=|y |,即|5+5λ|=|4+7λ|, ∴λ=21或λ=-43.§5.3 平面向量的数量积基础自测1.已知a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b 上的投影为（ ）A.13B.513C.565D.65答案 C2.在边长为1的正三角形ABC 中，设=a ，=c ，=b ，则a ²b +b ²c +c ²a 等于 （ ）A.1.5B.-1.5C. 0.5D.-0.5答案 C3.向量a =(cos15°,sin15°),b =(-sin15°,-cos15°),则|a -b |的值是( )A.1B.23 C.2 D.3答案 D4.已知a =(1,-2),b =(5,8),c =(2,3),则a (b ²c )为 （ ）A .34B .(34,-68)C .-68D .(-34,68)答案 B5.(2008² 浙江理,9)已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足（a -c ）²（b -c ）=0，则|c |的最大值是 . A.1B.2C.2D.22答案 C例1 已知向量a =,23sin ,23cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛x xb =,2sin ,2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 且x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,3ππ.（1）求a ²b 及|a +b |;(2)若f (x )=a ²b -|a +b |，求f (x )的最大值和最小值. 解 （1）a ²b =cos23x cos 2x -sin 23x sin 2x =cos2x , a +b =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2sin 23sin ,2cos 23cos x x x x|a +b |=22)2sin 23(sin )2cos 23(cos xx x x -++=|,cos |22cos 22x x =+∵x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈4,3ππ,∴cos x ＞0,∴|a +b |=2cos x .(2)由（1）可得f (x )=cos2x -2cos x =2cos 2x -2cos x -1 =2.23)21(cos 2--x∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈4,3ππx ,∴21≤cos x ≤1,∴当cos x =21时，f (x )取得最小值为-23； 当cos x =1时，f (x )取得最大值为-1.例2 已知a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β)(0＜α＜β＜π).(1)求证：a +b 与a -b 互相垂直；（2）若k a +b 与a -k b 的模相等，求β-α.(其中k 为非零实数) （1）证明 (a +b )²(a -b )=a 2-b 2=|a |2-|b |2=(cos 2α+sin 2α)-(cos 2β+sin 2β)=0,∴a +b 与a -b 互相垂直.（2）解 k a +b =(k cos α+cos β,k sin α+sin β),a -k b =(cos α-k cos β,sin α-k sin β), b a +k =,1)cos(22+-+αβk k b a k -=.)cos(212k k +--αβ∵b a +k =b a k -,∴).cos(2)cos(2αβαβ--=-k k 又k ≠0, ∴cos(αβ-)=0.而0＜α＜β＜π,∴β-α=2π. 例3 （12分）设两个向量e 1,e 2满足|e 1|=2,|e 2|=1,e 1与e 2的夹角为3π,若向量2t e 1+7e 2与e 1+t e 2的夹角为钝角， 求实数t 的范围.解 由向量2t e 1+7e 2与e 1+t e 2的夹角为钝角， 得|||72|)()72(2121212e e e e e e e e t t t t +⋅++⋅+＜0, 3分即(2t e 1+7e 2)²(e 1+t e 2)＜0, 化简即得：2t 2+15t +7＜0, 解得-7＜t ＜-21, 6分 当夹角为π时，也有(2t e 1+7e 2)²(e 1+t e 2)＜0,但此时夹角不是钝角，2t e 1+7e 2与e 1+t e 2反向. 8分 设2t e 1+7e 2=λ(e 1+t e 2),λ＜0,可求得⎪⎩⎪⎨⎧<==072λλλt t ，∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=21414t λ 11分∴所求实数t 的范围是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2147, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,214. 12分1.向量a =(cos23°,cos67°),向量b =(cos68°,cos22°). (1)求a ²b ；（2）若向量b 与向量m 共线，u =a +m ,求u 的模的最小值. 解 （1）a ²b =cos23°²cos68°+cos67°²cos22°=cos23°²sin22°+sin23°²cos22°=sin45°=22. （2）由向量b 与向量m 共线，得m =λb (λ∈R ）， u =a +m =a +λb=(cos23°+λcos68°,cos67°+λcos22°) =（cos23°+λsin22°，sin23°+λcos22°）， |u |2=(cos23°+λsin22°)2+(sin23°+λcos22°)2=λ2+2λ+1=222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+λ +21， ∴当λ=-22时，|u |有最小值为22. 2.已知平面向量a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23,21,b =(-3,-1). (1)证明：a ⊥b ;(2）若存在不同时为零的实数k 、t ,使x =a +(t 2-2)b ,y =-k a +t 2b ,且x ⊥y ，试把k 表示为t 的函数. (1)证明 a ²b =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23,21²()1,3-- =⎪⎭⎫⎝⎛-21³(-3)+23³(-1)=0,∴a ⊥b .(2)解 ∵x ⊥y ,∴x ²y =0, 即［a +(t 2-2)b ］²（-k a +t 2b ）=0.展开得-k a 2+［t 2-k (t 2-2)］a ²b +t 2(t 2-2)b 2=0, ∵a ²b =0,a 2=|a |2=1,b 2=|b |2=4,∴-k +4t 2(t 2-2)=0,∴k =f (t )=4t 2 (t 2-2).3.设a =(cos α，sin α)，b =(cos β，sin β)，且a 与b 具有关系|k a +b |=3|a -k b |(k ＞0). （1）用k 表示a ²b ；（2）求a ²b 的最小值，并求此时a 与b 的夹角. 解 （1）∵|k a +b |=3|a -k b |， ∴(k a +b )2=3(a -k b )2，且|a |=|b |=1， 即k 2+1+2k a ²b =3(1+k 2-2k a ²b )， ∴4k a ²b =k 2+1.∴a ²b =kk 412+(k ＞0）. （2）由（1）知：∵k ＞0 ∴a ²b =41414≥+k k ²2²kk 1· =21. ∴a ²b 的最小值为21(当且仅当k =1时等号成立) 设a 、b 的夹角为θ，此时cos θ=b a b a ·=21. ∵0≤θ≤π,∴θ=3π. 故a ²b 的最小值为21，此时向量a 与b 的夹角为3π.一、选择题1.点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足²=²=²，则点O 是△ABC 的 （ ）A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高线的交点答案 D2.若向量a ,b 满足|a |=1,|b |=2,a 与b 的夹角为60°,则a ²b +b ²b 的值为（ ） A.2B.3C.4D.5答案 D3.已知向量a ,b 满足|a |=1,|b |=4,且a ²b =2,则a 与b 的夹角为（ ） A.6π B.4π C.3π D.2π 答案 C4.若a 与b -c 都是非零向量，则“a ²b =a ²c ”是“a ⊥（b -c ）”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 C5.已知a ，b 是非零向量，且满足（a -2b ）⊥a ，（b -2a ）⊥b ，则a 与b 的夹角是（ ）A.6πB.3π C.32πD.π65 答案 B6. |a |=1,|b |=2,c =a +b ,且c ⊥a ,则向量a 与b 的夹角为( )A .30°B .60°C .120°D .150°答案 C 二、填空题7.（2008²天津理，14）如图所示，在平行四边形ABCD 中，=（1，2），=（-3，2），则²= .答案 38.（2008² 江西理，13）直角坐标平面内三点A （1，2）、B （3，-2）、C （9，7），若E 、F 为线段BC 的三等分点，则²= . 答案 22 三、解答题9.已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°. (1)求证：（a -b ）⊥c ;(2)若|k a +b +c |＞1 (k ∈R )，求k 的取值范围. （1）证明 ∵（a -b ）²c =a ²c -b ²c=|a |²|c |²cos120°-|b |²|c |²cos120°=0, ∴（a -b ）⊥c .（2）解 |k a +b +c |＞1⇔|k a +b +c |2＞1,⇔k 2a 2+b 2+c 2+2k a ²b +2k a ²c +2b ²c ＞1.∵|a |=|b |=|c |=1，且a 、b 、c 的夹角均为120°, ∴a 2=b 2=c 2=1，a ²b =b ²c =a ²c =-21， ∴k 2+1-2k ＞1,即k 2-2k ＞0,∴k ＞2或k ＜0.10.已知a =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛32cos ,32sin ,34cos ,34sin θθθθb ,且θ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡π30,.（1）求ba ba +·的最值； （2）若|k a +b |=3|a -k b | (k ∈R ),求k 的取值范围. 解 （1）a ²b =-sin34θ²sin 32θ+cos 34θ²cos 32θ=cos2θ， |a +b |2=|a |2+|b |2+2a ²b =2+2cos2θ=4cos 2θ.∵θ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡30π，，∴cos θ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡121，，∴|a +b |=2cos θ.∴ba b a +·= θθcos 22cos =cos θ-θcos 21. 令t =cos θ,则21≤t ≤1,⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t 21′=1+221t ＞0, ∴t -t 21在t ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡121，上为增函数. ∴-21≤t -t21≤21，即所求式子的最大值为21，最小值为-21. （2）由题设可得|k a +b |2=3|a -k b |2, ∴(k a +b )2=3(a -k b )2又|a |=|b |=1,a ²b =cos2θ，∴cos2θ=kk 412+.由θ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡π30,，得-21≤cos2θ≤1.∴-21≤kk 412+≤1.解得k ∈［2-3，2+3］ {-1}. 11.设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角. 解 由|m |=1，|n |=1，夹角为60°，得m ²n =21. 则有|a |=|2m +n |=2)2(n m +=22·44n n m m ++=7. |b |=2)32(m n -=229124mn m n +⋅-=7.而a ²b =（2m +n ）²（2n -3m ）=m ²n -272622-=+n m ， 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ=ba ba ··=727-=-21.故a ，b 夹角为120°.12.已知向量a =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-2sin 2cos ,23sin 23cos x ，x x ，x b ,x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，.若函数f (x )=a ²b -21λ|a +b |的最小值为-23，求实数λ的值. 解 ∵|a |=1，|b |=1，x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，，∴a ²b =cos 23x cos 2x -sin 23x sin 2x =cos2x ，|a +b |=2)(b a +=222b b a a +⋅+=x 2cos 22+=2x cos =2cos x .∴f (x )=cos2x -λcos x =2cos 2x -λcos x -1=224cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-λx -82λ-1，cos x ∈［0，1］. ①当λ＜0时，取cos x =0,此时f (x )取得最小值，并且f (x )min =-1≠-23,不合题意. ②当0≤λ≤4时，取cos x =4λ,此时f (x ）取得最小值， 并且f (x )min =-82λ-1=-23,解得λ=2.③当λ＞4时，取cos x =1,此时f (x )取得最小值， 并且f (x )min =1-λ=-23,解得λ=25,不符合λ＞4舍去,∴λ=2. §5.4 正弦定理和余弦定理基础自测1.（2008²陕西理，3）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c =2，b =6，B =120°,则a 等于 （ ）A.6B.2C.3D.2答案 D2.（2008²福建理，10）在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若（a 2+c 2-b 2）tan B =3ac ，则角B 的值为( )A.6π B.3π C.6π或65πD.3π或32π答案 D3.下列判断中正确的是（ ）A .△ABC 中，a =7，b =14，A =30°,有两解B .△ABC 中，a =30,b =25,A =150°，有一解 C .△ABC 中，a =6,b =9，A =45°，有两解D .△ABC 中，b =9,c =10,B =60°,无解 答案 B4.在△ABC 中，A =60°,AB =5,BC =7,则△ABC 的面积为 .答案 3105.（2008²浙江理，13）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若（3b -c ）cos A =a cos C ，则cos A = . 答案 33例1 在△ABC 中，已知a =3,b =2,B =45°,求A 、C 和c . 解 ∵B =45°＜90°且a sin B ＜b ＜a ,∴△ABC 有两解. 由正弦定理得sin A =b B a sin =245sin 3︒=23, 则A 为60°或120°.①当A =60°时，C =180°-(A +B )=75°, c =B C b sin sin =︒︒45sin 75sin 2=︒︒+︒45sin )3045sin(2=226+.②当A =120°时，C =180°-(A +B )=15°, c =B C b sin sin =︒︒45sin 15sin 2=︒︒-︒45sin )3045sin(2=226-. 故在△ABC 中，A =60°,C =75°,c =226+或 A =120°,C =15°,c =226-. 例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且C B cos cos =-ca b+2.（1）求角B 的大小；（2）若b =13，a +c =4，求△ABC 的面积. 解 （1）由余弦定理知：cos B =acb c a 2222-+，cos C =abc b a 2222-+.将上式代入C B cos cos =-ca b +2得:ac b c a 2222-+²2222c b a ab -+=-ca b +2整理得:a 2+c 2-b 2=-ac∴cos B =acb c a 2222-+=ac ac 2- =-21∵B 为三角形的内角，∴B =32π. （2）将b =13,a +c =4,B =32π代入 b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得b 2=(a +c )2-2ac -2ac cos B∴b 2=16-2ac ⎪⎭⎫ ⎝⎛-211,∴ac =3.∴S △ABC =21ac sin B =433. 例3 （12分）△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2-a 2+bc =0. （1）求角A 的大小；（2）若a =3，求bc 的最大值； （3）求cb C a --︒)30sin(的值.解 （1）∵cos A =bca cb 2222-+=bc bc 2-=-21, 1分又∵A ∈（0，π），∴A =120°. 2分（2）由a =3,得b 2+c 2=3-bc ,又∵b 2+c 2≥2bc （当且仅当c =b 时取等号），∴3-bc ≥2bc (当且仅当c =b 时取等号）. 4分 即当且仅当c =b =1时，bc 取得最大值为1. 6分 （3）由正弦定理得：===CcB b A a sin sin sin 2R , ∴CR B R C A R c b C a sin 2sin 2)30sin(sin 2)30sin(--︒=--︒ 8分=CB C A sin sin )30sin(sin --︒ 9分=CC C C sin )60sin()sin 23cos 21(23--︒- 10分 =C C CC sin 23cos 23sin 43cos 43-- 11分=21. 12分 例4 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果（a 2+b 2）sin （A -B ）=（a 2-b 2）sin （A +B ），判断三 角形的形状.解 方法一 已知等式可化为 a 2［sin （A -B ）-sin （A +B ）］ =b 2［-sin （A +B ）-sin(A -B )］ ∴2a 2cos A sin B =2b 2cos B sin A 由正弦定理可知上式可化为： sin 2A cos A sinB =sin 2B cos B sin A ∴sin A sin B (sin A cos A -sin B cos B )=0 ∴sin2A =sin2B ,由0＜2A ,2B ＜2π 得2A =2B 或2A =π-2B , 即A =B 或A =2π-B ,∴△ABC 为等腰或直角三角形.方法二 同方法一可得2a 2cos A sin B =2b 2sin A cos B 由正、余弦定理,可得a 2b bc a c b 2222-+= b 2a acb c a 2222-+∴a 2(b 2+c 2-a 2)=b 2(a 2+c 2-b 2) 即(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2)=0∴a =b 或a 2+b 2=c 2∴△ABC 为等腰或直角三角形.1.（1）△ABC 中，a =8,B =60°,C =75°,求b ; （2）△ABC 中，B =30°,b =4,c =8,求C 、A 、a . 解（1）由正弦定理得BbA a sin sin =. ∵B =60°,C =75°,∴A =45°, ∴b =︒︒⨯=45sin 60sin 8sin sin A B a =46. （2）由正弦定理得sin C =430sin 8sin ︒=b B c =1. 又∵30°＜C ＜150°,∴C =90°.∴A =180°-(B +C )=60°,a =22b c -=43.2.已知△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ,若△ABC 的面积为S ，且2S =(a +b )2-c 2，求tan C 的值. 解 依题意得ab sin C =a 2+b 2-c 2+2ab , 由余弦定理知,a 2+b 2-c 2=2ab cos C . 所以,ab sin C =2ab (1+cos C ), 即sin C =2+2cos C , 所以2sin2C cos 2C =4cos 22C化简得：tan2C=2.从而tan C =2tan 12tan22C C-=-34. 3.（2008²辽宁理，17）在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边的边长分别是a 、b 、c .已知c =2,C =3π. （1）若△ABC 的面积等于3，求a 、b 的值； （2）若sin C +sin(B -A )=2sin2A ,求△ABC 的面积. 解 （1）由余弦定理及已知条件，得a 2+b 2-ab =4. 又因为△ABC 的面积等于3， 所以21ab sin C =3，所以ab =4. 联立方程组⎩⎨⎧==-+,4,422ab ab b a 解得⎩⎨⎧==22b a .（2）由题意得sin(B +A )+sin(B -A )=4sin A cos A , 即sin B cos A =2sin A cos A ,当cos A =0时，A =2π，B =6π，a =334，b =332. 当cos A ≠0时，得sin B =2sin A ,由正弦定理得b =2a , 联立方程组⎩⎨⎧==-+,2,422a b ab b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.334332b ，a所以△ABC 的面积S =21ab sin C =332. 4.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等差数列，且2cos2B -8cos B +5=0,求角B 的大小并判断△ABC 的形状.解 方法一 ∵2cos2B -8cos B +5=0, ∴2(2cos 2B -1)-8cos B +5=0. ∴4cos 2B -8cos B +3=0, 即(2cos B -1)(2cos B -3)=0. 解得cos B =21或cos B =23（舍去）.∴cos B =21.∵0＜B ＜π,∴B =3π. ∵a ，b ，c 成等差数列，∴a +c =2b .∴cos B =acbc a 2222-+=acc a c a 2)2(222+-+=21， 化简得a 2+c 2-2ac =0,解得a =c . 又∵B =3π，∴△ABC 是等边三角形. 方法二 ∵2cos2B -8cos B +5=0， ∴2（2cos 2B -1）-8cos B +5=0. ∴4cos 2B -8cos B +3=0， 即(2cos B -1)(2cos B -3)=0. 解得cos B =21或cos B =23（舍去）. ∴cos B =21,∵0＜B ＜π,∴B =3π,∵a ,b ,c 成等差数列，∴a +c =2b . 由正弦定理得sin A +sin C =2sin B =2sin3π=3. ∴sin A +sin ⎪⎭⎫⎝⎛-A 32π=3，∴sin A +sinA cos 32π-cos A sin 32π=3. 化简得23sin A +23cos A =3,∴sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA =1. ∴A +6π=2π,∴A =3π,∴C =3π,∴△ABC 为等边三角形.一、选择题1.在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ,则△ABC 一定是（ ）A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形答案 B2.在△ABC 中，A =120°,AB =5,BC =7，则CBsin sin 的值为 （ ）A.58 B.85C.35D.53 答案 D3.已知△ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,且面积S △ABC =41（b 2+c 2-a 2），则A 等于 （ ）A.45°B.30°C.120°D.15°答案 A4.在△ABC 中，BC =2，B =3π，若△ABC 的面积为23，则tan C 为 （ ）A.3B.1C.33D.23 答案 C5.在△ABC 中，a 2-c 2+b 2=ab ,则角C 为 （ ）A.60°B.45°或135°C.120°D.30°答案 A6.△ABC 中，若a 4+b 4+c 4=2c 2(a 2+b 2),则∠C 的度数是（ ） A.60° B.45°或135° C.120° D.30°答案 B 二、填空题7.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ,c ，若a =1,b =7,c =3,则B = . 答案65π8.某人向正东方向走了x 千米，他右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值是 . 答案 3或23 三、解答题9.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ,c ，并且a 2=b (b +c ).（1）求证：A =2B ；（2）若a =3b ,判断△ABC 的形状. （1）证明 因为a 2=b (b +c )，即a 2=b 2+bc , 所以在△ABC 中，由余弦定理可得, cos B =ac b c a 2222-+=acbc c 22+=a cb 2+=ab a 22=b a 2=BAsin 2sin , 所以sin A =sin2B ,故A =2B . （2）解 因为a =3b ,所以ba=3, 由a 2=b (b +c )可得c =2b ,cos B =ac b c a 2222-+=22223443b b b b -+=23,所以B =30°,A =2B =60°,C =90°. 所以△ABC 为直角三角形.10.（2008²全国Ⅱ理，17）在△ABC 中，cos B =-135，cos C =54.（1）求sin A 的值； （2）△ABC 的面积S △ABC =233，求BC 的长. 解 (1)由cos B =-135,得sin B =1312, 由cos C =54,得sin C =53. 所以sin A =sin(B +C )=sin B cos C +cos B sin C =6533. (2)由S △ABC =233,得21³AB ³AC ³sin A =233. 由(1)知sin A =6533,故AB ³AC =65. 又AC =C B AB sin sin ⨯=1320AB ,故1320AB 2=65,AB =213. 所以BC =A AB sin ⨯=11.11.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，关于x 的方程ax 2-222b c - x -b =0 (a ＞c ＞b )的两根之差的平方等于4，△ABC 的面 积S =103，c =7. （1）求角C ； （2）求a ，b 的值.解 （1）设x 1、x 2为方程ax 2-222b c -x -b =0的两根，则x 1+x 2=ab c 222-，x 1²x 2=-a b.∴(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=222)(4a b c -+a b4=4.∴a 2+b 2-c 2=ab .又cos C =abc b a 2222-+=ab ab 2=21,又∵C ∈(0°,180°),∴C =60°. (2)由S =21ab sin C =103，∴ab =40. ① 由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C , 即c 2=(a +b )2-2ab (1+cos60°).∴72=(a +b )2-2³40³⎪⎭⎫ ⎝⎛+211.∴a +b =13.又∵a ＞b ② ∴由①②，得a =8,b =5.12.（2008²广东五校联考）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a +b =5，c =7，且4sin22BA +-cos2C =27. (1)求角C 的大小； （2）求△ABC 的面积. 解 （1）∵A +B +C =180°, 由4sin 22B A +-cos2C =27, 得4cos 2C-cos2C =7,∴4²2cos 1C +-(2cos 2C -1)=27, 整理,得4cos 2C -4cos C +1=0,解得cos C =21, ∵0°＜C ＜180°,∴C =60°. (2)由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos C , 即7=a 2+b 2-ab ,∴7=(a +b )2-3ab ， 由条件a +b =5,得7=25-3ab ,ab =6,∴S △ABC =21ab sin C =21³6³23=233.§5.5 正弦定理、余弦定理的应用基础自测1.在某次测量中，在A 处测得同一半平面方向的B 点的仰角是60°,C 点的俯角为70°，则∠BAC 等于 （ ） A.10°B.50°C.120°D.130°答案 D2.从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则βα、的关系为 （ ） A.α＞βB.α=βC.α+β=90°D.α+β=120°答案 B3.在△ABC 中，若(a +b +c )(a +b -c )=3ab ,且sin C =2sin A cos B ,则△ABC 是（ ） A.等边三角形B.等腰三角形但不等边C.等腰直角三角形D.直角三角形答案 A4.已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC =120°，则A 、C 两地的距离为 （ ）A.10 kmB.3kmC.510kmD.107km答案 D5.线段AB 外有一点C ，∠ABC =60°,AB =200 km,汽车以80 km/h 的速度由A 向B 行驶，同时摩托车以50 km/h 的速度由B 向C 行驶，则运动开始 h 后，两车的距离最小. 答案4370例1 要测量对岸A 、B 两点之间的距离，选取相距3 km 的C 、D 两点，并测得∠ACB =75°，∠BCD =45°， ∠ADC =30°，∠ADB =45°，求A 、B 之间的距离. 解 如图所示在△ACD 中，∠ACD =120°，∠CAD =∠ADC =30°， ∴AC =CD =3 km.在△BCD 中，∠BCD =45°，∠BDC =75°，∠CBD =60°.∴BC =︒︒60sin 75sin 3=226+.△ABC 中，由余弦定理，得AB 2=2）3（+2）226（+-2³3³226+³cos75° =3+2+3-3=5，∴AB =5(km).∴A 、B 之间的距离为5 km.例2 （12分）沿一条小路前进，从A 到B ，方位角（从正北方向顺时针转到AB 方向所成的角）是50°，距离是3 km ，从 B 到C ，方位角是110°，距离是3 km ，从C 到D ,方位角是140°，距离是（9+33）km.试画出示意图，并计算出从A 到D 的方位角和距离（结果保留根号）.解 示意图，如图所示， 3分连接AC ，在△ABC 中，∠ABC =50°+(180°-110°)=120°, 又AB =BC =3，∴∠BAC =∠BCA =30°. 5分。
高考数学抢分必备抢分点二三角函数解三角形
抢分点2 三角函数、解三角形【重温高考】1.(2009年广东卷文)已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中)2,0(πθ∈（1）求θsin 和θcos 的值（2）若ϕϕθcos 53)cos(5=-，<<ϕ02π,求ϕcos 的值【抢分点】（1）向量垂直的坐标表示； （2）两角和差的正弦、余弦。
（注意角的范围对角的三角函数值的制约。
）2.（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b【解析】解法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a ac ab bc +-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.【抢分点】（1）正弦定理的应用； （2）余弦定理的应用。
3、（2009浙江文）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos25A =， 3AB AC ⋅=．（I ）求ABC ∆的面积； （II ）若1c =，求a 的值．4、（2008北京） 已知函数2π()sin 3sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．【抢分点】（1）两角和差的正弦、余弦； （2）函数sin()y A x ωϕ=+的性质。
5、（2008天津） 已知函数22s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=（,0x R ω∈>）的最小值正周期是2π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合． 【解析】（Ⅰ）解：()242sin 224sin 2cos 4cos 2sin 222cos 2sin 12sin 22cos 12+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+++⋅=πωπωπωωωωωx x x x x x xx f ★抢分点【抢分点】（1）特殊角三角函数值、两角和的正弦; （2）二倍角的正弦与余弦;（3）函数sin()y A x ωϕ=+的性质等基础知识 6、（2008安徽卷） 已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域【抢分点】（1）函数sin()y A x ωϕ=+图像的性质； （2）sin()y A x ωϕ=+函数的值域问题。
历年高考数学真题考点归纳 第五章 平面向量、解三角形 第二节 解三角形
1.(2009年广东卷文)已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c若a c ==75A ∠=，则b =( )A.2 B ．4＋．4—答案 A解析sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos30A ==+=+=由a c ==,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =由正弦定理得1sin 2sin 2ab B A=⋅==,故选A2.（2009全国卷Ⅱ文）已知△ABC 中，12cot 5A =-，则cos A =( )A ．1213 B.513 C. 513- D. 1213-答案 D解析 本题考查同角三角函数关系应用能力，先由cotA=125-知A 为钝角，cosA<0排 除A 和B ，再由1312cos 1cos sin ,512sin cos cot 22-==+-==A A A A A A 求得和.3.(2009全国卷Ⅱ理）已知ABC ∆中，12cot 5A =-， 则cos A = ( )A. 1213B.513C.513-D. 1213-答案 D解析 已知ABC ∆中，12cot 5A =-，(,)2A ππ∴∈. 12cos 13A ===-故选D. 4.（2009湖南卷文）在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos ACA的值等于 ， AC 的取值范围为 .答案 2)3,2(解析 设,2.A B θθ∠=⇒=由正弦定理得,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC ACθθθθ=∴=⇒=由锐角ABC ∆得0290045θθ<<⇒<<，又01803903060θθ<-<⇒<<，故23045cos 2θθ<<⇒<<，2cos AC θ∴=∈5.（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)222a c b -=左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)sin cos 3cos sin ,A C A C =过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a ac ab bc+-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.解法二:由余弦定理得: 2222cos a c b bc A -=-.又222a c b -=,0b ≠. 所以2cos 2b c A =+①又sin cos 3cos sin A C A C =，sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=sin()4cos sin A C A C +=，即sin 4cos sin B A C =由正弦定理得sin sin bB C c=，故4cos b c A = ②由①，②解得4b =.评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。
近五年高考试题平面向量与解三角形精编
2009年各省高考题汇编1.2009年宁夏卷已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b l +与2a b -垂直，则实数l 的值为（为（ ） A ．17-B ．17C ．16-D ．16【答案】【答案】A A2．2009年湖南卷如图1 D ，E ，F 分别是D ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则（的中点，则（ ） A ．AD + BE + CF =0 B ．BD CE DF -+=0 C ．AD CE CF +-=0D ．BD BE FC --=0 图1 【答案】【答案】A A3.3. 2009年广东卷已知ABC D 中，C B A ÐÐÐ,,的对边分别为a ,b,c 若a =c=26+且75A Ð=o，则b= （ ）A.2 B ．4＋23 C ．4—23 D ．62- 【答案】【答案】A A4.2009年辽宁卷平面向量a 与b 的夹角为060，a=(2,0), | b |=1|=1，则，则，则 | | a+2b |=|=（（ ） A ．3 B ．23 C ．4 D ．12 【答案】【答案】B B 5.2009年北京卷“6pa =”是“1cos 22a =”的（”的（） A ． 充分而不必要条件充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件．必要而不充分条件 C ． 充分必要条件充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】本题主要考查本题主要考查.k .k 本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断简易逻辑中充要条件的判断. . 属于基础知识、基本运算的考查属于基础知识、基本运算的考查. . 当6pa =时，1cos 2cos32pa ==，反之，当1cos 22a =时，有()2236k k k Z p p a p a p =+Þ=+Î，或()2236k k k Z p p a p a p =-Þ=-Î，故应选A.6.2009年重庆卷已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行，则实数x 的值是（ ）A ．-2B ．0C ．1D ．2 【答案】【答案】D D解法1：因为(1(1,1),,1),(2,)a b x ==，所以(3,1),42(6,42),a b x b a x +=+-=-由于a b +与42b a -平行，得6(1)3(42)0x x +--=，解得2x =。
解三角形099月最新更新
第五章 平面向量、解三角形第二节 解三角形第一部分 五年高考荟萃 2009年高考题1.(2009年广东卷文)已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c若a c ==且75A ∠=o，则b =( )A.2 B ．4＋．4—答案 A解析sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos30A ==+=+=由a c ==,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =由正弦定理得1sin 2sin 2ab B A=⋅==,故选A2.（2009全国卷Ⅱ文）已知△ABC 中，12cot 5A =-，则cos A =( )A ．1213 B.513 C. 513- D. 1213-答案 D解析 本题考查同角三角函数关系应用能力，先由cotA=125-知A 为钝角，cosA<0排 除A 和B ，再由1312cos 1cos sin ,512sin cos cot 22-==+-==A A A A A A 求得和.3.(2009全国卷Ⅱ理）已知ABC ∆中，12cot 5A =-， 则cos A = ( )A. 1213B.513C.513-D. 1213-答案 D解析 已知ABC ∆中，12cot 5A =-，(,)2A ππ∴∈.221112cos 1351tan 1()12A A=-=-=-++-故选D. 4.（2009湖南卷文）在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos ACA的值等于 ， AC 的取值范围为 .答案 2)3,2(解析 设,2.A B θθ∠=⇒=由正弦定理得,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC ACθθθθ=∴=⇒=由锐角ABC ∆得0290045θθ<<⇒<<o o o o，又01803903060θθ<-<⇒<<o o o o o，故233045cos 22θθ<<⇒<<oo， 2cos (2,3).AC θ∴=∈5.（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)222a c b -=左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)sin cos 3cos sin ,A C A C =过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.解法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =Q 则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-=gg 化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.解法二:由余弦定理得: 2222cos a c b bc A -=-.又222a c b -=,0b ≠. 所以2cos 2b c A =+①又sin cos 3cos sin A C A C =，sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=sin()4cos sin A C A C +=，即sin 4cos sin B A C =由正弦定理得sin sin bB C c=，故4cos b c A = ②由①，②解得4b =.评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。
平面向量 解三角形 数列 知识点总结
期中复习一．向量有关概念：1．向量的概念2．零向量3．单位向量（)；4．相等向量5．平行向量（也叫共线向量）零向量和任何向量平行。
6．相反向量二．向量的表示方法：1．几何表示法：如2．符号表示法：如；3．坐标表示法：＝三．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2。
如（1）下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是A。
B. C。
D。
（答：B）；四．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量,记作五．平面向量的数量积：1．两个向量的夹角：对于非零向量,，作，称为向量,的夹角2．平面向量的数量积:如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积(或内积或点积），记作：,即＝。
如（1）△ABC中，，，，则_________ （答：－9)；（2）已知，与的夹角为，则等于___（答：1）;（3)已知,则等于____ （答:）；(4）已知是两个非零向量,且，则的夹角为____（答：）3．在上的投影为=，它是一个实数，但不一定大于0。
4．向量数量积的性质:设两个非零向量，，其夹角为,则：①；②当，同向时，＝，特别地,；当与反向时，＝－；当为锐角时,＞0，且不同向，；当为钝角时,＜0,且不反向③非零向量，夹角的计算公式:；④。
如：（答：或且）；（1）已知,，如果与的夹角为锐角,则的取值范围是______六．向量的运算：1．几何运算：“平行四边形法则”“三角形法则”2．坐标运算：设,则：,若，则若，则。
七．向量平行(共线）的条件：＝0。
如(1)设，则k＝_____时,A，B,C共线（答：－2或11）八．向量垂直的充要条件：.如（1)已知，若，则(答:）;（2)以原点O和A（4，2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB,，则点B的坐标是________(3）已知向量,且，则的坐标是________ （答：(1,3)或（3，－1)）;（答:) 九、向量中一些常用的结论:（1)在中,①若,则其重心的坐标为。
历年高考数学真题考点归纳 第五章 平面向量、解三角形 第二节 解三角形1
历年高考真题考点归纳 2009年 第五章 平面向量、解三角形 第二节解三角形1.(2009年广东卷文)已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c若a c ==75A ∠=o ，则b =( )A.2 B ．4＋．4—答案 A解析0000000sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos304A ==+=+=由a c ==,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =由正弦定理得1sin 2sin 2ab B A=⋅==,故选A2.（2009全国卷Ⅱ文）已知△ABC 中，12cot 5A =-，则cos A =( )A ．1213 B.513 C. 513- D. 1213-答案 D解析 本题考查同角三角函数关系应用能力，先由cotA=125-知A 为钝角，cosA<0排 除A 和B ，再由1312cos 1cos sin ,512sin cos cot 22-==+-==A A A A A A 求得和. 3.(2009全国卷Ⅱ理）已知ABC ∆中，12cot 5A =-， 则cos A = ( )A. 1213B.513C.513-D. 1213-答案 D解析 已知ABC ∆中，12cot 5A =-，(,)2A ππ∴∈. 12cos 13A ===-故选D. 4.（2009湖南卷文）在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos ACA的值等于 ， AC 的取值范围为 .答案 2)3,2(解析 设,2.A B θθ∠=⇒=由正弦定理得,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC ACθθθθ=∴=⇒=由锐角ABC ∆得0290045θθ<<⇒<<，又01803903060θθ<-<⇒<<，故23045cos 22θθ<<⇒<<，2cos AC θ∴=∈5.（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)222a c b -=左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)sin cos 3cos sin ,A C A C =过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a ac ab bc +-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.解法二:由余弦定理得: 2222cos a c b bc A -=-.又222a c b -=,0b ≠. 所以2cos 2b c A =+①又sin cos 3cos sin A C A C =，sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=sin()4cos sin A C A C +=，即sin 4cos sin B A C =由正弦定理得sin sin bB C c=，故4cos b c A = ②由①，②解得4b =.评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。
高考数学一轮总复习 专题5 平面向量与解三角形 5.3 正
(2)化边为角:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角
函数间的关系,通过三角恒等变换得出内角的关系,从而判断出三角形
的形状,此时要注意应用“△ABC中,A+B+C=π”这个结论.
方法技巧
方法 有关三角形面积的计算
与三角形面积有关的问题主要有两种:一是求三角形的面积;二是给出
1
三角形的面积,求其他量.解题时主要应用三角形的面积公式S= 2 absin
(1)仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角中,目标视
线在水平视线④ 上方 的叫仰角,目标视线在水平视线⑤ 下方 的
叫俯角(如图(a)所示).
(2)方位角 指从⑥ 某点的正北 方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的 方位角为α(如图(b)所示).
(3)坡角 指坡面与水平面所成的锐二面角. 【知识拓展】 1.三角形中的常用结论 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c. (1)A+B+C=π; (2)在△ABC中,大角对大边,大边对大角,如:a>b⇔A>B⇔sin A>sin B; (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小 于第三边;
A为锐角
A为钝角
图形
关系式 解的个数
a=bsin A 一解
bsin A<a<b 两解
a≥b 一解
a>b 一解
上表中A为锐角时,a<bsin A无解;A为钝角时,a=b,a<b均无解.
(3)已知三边,用余弦定理,有解时,只有一解.
(4)已知两边及夹角,用余弦定理,必有一解.
3.三角形的面积
高考数学（浙江专用）
5.3 正弦、余弦定理及解三角形
历年高考真题考点归纳2010年 第五章 平面向量、解三角形 第二节 解三角形
一、选择题1.（2010上海文）18.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC （A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 【答案】C解析：由sin :sin :sin 5:11:13A B C =及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得0115213115cos 222<⨯⨯-+=c ，所以角C 为钝角 2.（2010湖南文）7.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，a ，则A.a ＞bB.a ＜bC. a ＝bD.a 与b 的大小关系不能确定【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题。
3.（2010江西理）7.E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ECF ∠=（ ）A. 1627B. 23D. 34【答案】D【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。
解法1：约定AB=6,AC=BC=,由余弦定理再由余弦定理得4cos 5ECF ∠=，解得3tan 4ECF ∠=解法2：坐标化。
约定AB=6,AC=BC=（0,3）利用向量的夹角公式得4cos 5ECF ∠=，解得3tan 4ECF ∠=。
4.（2010北京文）（7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（A ）2sin 2cos 2αα-+； （B ）sin 3αα+（C ）3sin 1αα+； （D ）2sin cos 1αα-+ 【答案】A5.（2010天津理）（7）在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若22a b -=，sin C B =，则A=（A ）030 （B ）060 （C ）0120 （D ）0150 【答案】A【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。
历年高考真题考点归纳2008年 第五章 平面向量、解三角形 第二节 解三角形
一、选择题1.（2008福建)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B ,则角B 的值为 （ ）A.6πB.3πC.6π或56πD.3π或23π答案 D2.（2008海南）如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）A.185 B.43 C.23 D.87答案 D3.（2008陕西）ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若120c b B ===，则a 等于（ ）AB ．2CD答案 D 二、填空题7.（2008浙江）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b cos cos 3=-，则=A cos _________.答案 8.(2008湖北)在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===,则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 .答案612三、解答题12.（2008湖南）在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E 正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45且与点A 相距海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45+θ(其中sin θ，090θ<<)且与点A 相距海里的位置C. （I ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（II ）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由. 解 （I ）如图，AB，，,sin BAC θθ∠==由于090θ<<,所以cos θ= 由余弦定理得BC=.510cos 222=⋅-+θAC AB AC AB=/小时）. （II ）解法一 如图所示，以A 为原点建立平面直角坐 标系，设点B 、C 的坐标分别是B （x 1，y 2）, C （x 1，y 2）, BC 与x 轴的交点为D . 由题设有，x 1=y 1=AB=40, x 2=ACcos )30CAD θ∠=-=, y 2=ACsin )20.CAD θ∠=-=所以过点B 、C 的直线l 的斜率k =20210=,直线l 的方程为y =2x -40. 又点E （0，-55）到直线l 的距离7.=<所以船会进入警戒水域.解法二 如图所示，设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q. 在△ABC 中，由余弦定理得，222cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠=⋅=.从而sin ABC∠===在ABQ∆中，由正弦定理得，AQ=sin40.sin(45)AB ABCABC∠==-∠由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.在Rt QPE∆中，PE=QE·sin sin sin(45)PQE QE AQC QE ABC∠=⋅∠=⋅-∠=157.=<所以船会进入警戒水域.。
历年高考真题考点归纳2009年 第五章 平面向量、解三角形 第一节 平面向量.pdf
一、选择题 1.(2009年广东卷 ，b=， 则向量 ( ) A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于轴D.平行于第二、四象限的角平分线 答案 C 解析 ,由及向量的性质可知,C正确. 2.（广东卷）一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知成角，且的大小分别为和，则的大小为 B. 2 C. D. 答案 D 解析 ，所以，选D. 3.（2009浙江卷理）设向量，满足：，，．以，，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为 ( ) A． C． D． C 解析对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点对于圆的位置稍一右移或其他的变化能实现4个交点的情况但5个以上的交点不能实现． 已知向量，．若向量满足，，则 （ ） A． B． C． D． 解析不妨设，则，对于，则有；又，则有，则有【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用．，如果 那么( ) A．且与同向 B．且与反向 C．且与同向 D．且与反向 答案 D 解析 本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算考查. ∵a，b，若，则cab，dab， 显然，a与b不平行，排除A、B. 若，则cab，dab， 即cd且c与d反向，排除C，故选D. 6.（2009北京卷文）设D是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，则集合S表示的平面区域是 ( ) A．三角形区域 B．四边形区域 C．五边形区域 D．六边形区域 答案 D 解析 本题主要考查集合与平面几何基础知识.本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.如图，A、B、C、D、E、FABCDEF，其中， 即点P可以是点A.a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么 ( ) A．且c与d同向 B．且c与d反向 C．且c与d同向 D．且c与d反向 答案 D 解析 本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考 查. 取a，b，若，则cab，dab， 显然，a与b不平行，排除A、B. 若，则cab，dab， 即cd且c与d反向，排除C，故选D. 8.(2009山东卷理)设P是△ABC所在平面内的一点，，则（ ） A. B. C. D. 答案 B 解析 :因为，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。
09年高考数学三角形中三角
城郊库区土地承包到户后所得的土地自然少得可怜。爷爷和奶奶充分表现出农民对土地的敬重和依恋，尽最大限度的发挥自己土地的效益，在自家自留地里种下了几棵香椿树，如今有的椿树有碗口 那么粗，经过修剪的树干不太高，树冠像一把大伞一样地撑开，每次爬树采摘椿芽菜还要格外小心，有的椿树大拇指头一样细，扳弯树枝就可以采摘到椿芽菜，到如今，这块椿树林还参差不齐，奶奶甚 至能说出每棵椿树的故事，某棵曾经被扳断了顶枝，某棵曾被谁砍断过侧枝，是后来才长出来的……诸如此类，她都如数家珍。hg0088
每年清明节前，香椿树便抽出新芽，一两天就长出紫红色中泛着翠绿的鲜嫩叶子，形状像羽毛，清明前后可采摘。前些年考虑到奶奶年事已高，我们提议每年的椿芽菜让邻居帮忙采摘了一人一半， 奶奶嘴上答应了，可过后老家的亲戚来电话说奶奶不听劝，一个人爬树采摘椿芽菜去了，因此，最近几年清明前后，奶奶兴致勃勃的叨念着要采摘椿芽菜时，我们虽然不愿她那么劳累，但并不强烈阻止。 我深知奶奶的爬树采摘椿芽菜，是体验收获的喜悦，想当年这些椿芽菜可是奶奶换钱补贴家用的。
09届高三数学解三角形知识点及典型例题
09级高三数学总复习讲义——解三角形知识清单常用的主要结论有：(1)A+B+C=1800 ⑵任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. ⑶等边对等角:a b A B =⇔=; 大边对大角:a b A B >⇔>.⑷12ABCS=底×高=1()2r a b c ++(其中r 是内切圆半径) 1sin 2ab C == ⑸2sin sin sin a b cR A B C===(正弦定理)⑹22222cos ,a b c bc A b =+-=(余弦定理)课前预习1．已知ab c b a c b a ABC 3,,222=-+∆且三边长分别为，求_____C ∠2.在ABC ∆中，如果sin A ∶sin B ∶sin C =5∶6∶8，那么此三角形最大角的余弦值是 ．3．在ABC ∆中，a 、b 分别为角A 、B 的对边，若60B =︒，75C =︒，8a =，则边b 的长等于4．ABC ∆中，3A π∠=，3BC =，AB =，则C ∠=A ．6π B ．4π C ．34π D ．4π或34π5．已知：在⊿ABC 中，BCb c cos cos =，则此三角形为A. 直角三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形6．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为,,,,1,3a b c A a b π===则c =（ ）．A ． 1 B. 2 C.3—1 D. 37．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在 同一水平面内的两个测点C与D ．测得00153030BCD BDC CD ∠=∠==，，米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为060, 则BC= 米, 塔高AB= 米。
8．在△ABC 中，a ,b ,c 分别是A ∠，B ∠，C ∠的对边，且222b c a += 则A ∠等于 （ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π9．在ABC V 中,45,B =5c b ==,则a 等于( )(A) (B) (C)5 (D)1010．在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为300,600,则塔高为( )(A)4003米 (B)3米 米 (D)2003米A11．在ABC 中，,2,a x b ==，45B =,若这个三角形有两解，则x 的取值范围是（ ）()2A x >()2B x < ()2C x << ()2D x <<12．在ABC ∆中，已知内角3A π=，边BC =设内角B x =,面积为y .(1) 求函数()y f x =的解析式和定义域； (2) 求y 的最大值. 典型例题EG1．正弦定理与余弦定理在∆ABC 中，若 ()()3a b c c b a bc +++-=，则()A =．A ． 150B ．120C ． 60D ． 30变式1：在∆ABC 中，若 a =4c =，60A =，则b =__________．变式2：在∆ABC 中，若 b =30A =，105C =，则此三角形的周长为__________．变式3：已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积．若a =4，b =5，S =53，求c 的长度．EG2.三角形中的几何计算在∆ABC 中，3AB AC ==，2BC =，B ∠的平分线交过点A 且与BC 平行的线于点D ．求∆ABD 的面积．变式1：已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数． 变式2：△ABC 中，,3,3A BC π==则△ABC 的周长为（ ）．A ．)33B π++ B ．)36B π++ C ．6sin()33B π++ D ．6sin()36B π++变式3：在45,ABC B AC C ∆∠=︒==中，，求（1）?BC =（2）若点 D AB 是的中点，求中线CD 的长度。
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1.(2009年广东卷文)已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c若a c ==75A ∠=o ，则b =( )A.2 B ．4＋．4—答案 A解析0000000sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos30A ==+=+=由a c ==,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =由正弦定理得1sin 2sin 2ab B A=⋅==,故选A2.（2009全国卷Ⅱ文）已知△ABC 中，12cot 5A =-，则cos A = ( )A ．1213 B.513 C. 513- D. 1213- 答案 D解析 本题考查同角三角函数关系应用能力，先由cotA=125-知A 为钝角，cosA<0排 除A 和B ，再由1312cos 1cos sin ,512sin cos cot 22-==+-==A A A A A A 求得和.3.(2009全国卷Ⅱ理）已知ABC ∆中，12cot 5A =-， 则cos A = ( ) A.1213B.513 C.513-D. 1213- 答案 D解析 已知ABC ∆中，12cot 5A =-，(,)2A ππ∴∈. 12cos 13A ===-故选D.4.（2009湖南卷文）在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos ACA的值等于 ， AC 的取值范围为.答案 22(解析 设,2.A B θθ∠=⇒=由正弦定理得,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC ACθθθθ=∴=⇒=由锐角ABC ∆得0290045θθ<<⇒<<，又01803903060θθ<-<⇒<<，故23045cos θθ<<⇒<<，2cos AC θ∴=∈5.（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)222a c b -=左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)sin cos 3cos sin ,A C A C =过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a ac ab bc+-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.解法二:由余弦定理得: 2222cos a c b bc A -=-.又222a c b -=,0b ≠. 所以2cos 2b c A =+①又sin cos 3cos sin A C A C =，sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=sin()4cos sin A C A C +=，即sin 4cos sin B A C =由正弦定理得sin sin bB C c=，故4cos b c A = ②由①，②解得4b =.评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。
6.（2009浙江理）（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos2A =，3AB AC ⋅=． （I ）求ABC ∆的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．解 （1）因为cos2A =，234cos 2cos 1,sin 255A A A ∴=-==，又由3AB AC ⋅= 得cos 3,bc A =5bc ∴=，1sin 22ABC S bc A ∆∴== （2）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得2222cos 20a b c bc A =+-=，a ∴=7.（2009浙江文）（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos2A =，3AB AC ⋅=． （I ）求ABC ∆的面积； （II ）若1c =，求a 的值． 解（Ⅰ）531)552(212cos2cos 22=-⨯=-=A A又),0(π∈A ，54cos 1sin 2=-=A A ，而353.==bc A AC AB ，所以5=bc ，所以ABC ∆的面积为：254521sin 21=⨯⨯=A bc（Ⅱ）由（Ⅰ）知5=bc ，而1=c ，所以5=b 所以5232125cos 222=⨯-+=-+=A bc c b a8.（2009北京理） 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=，4cos ,5A b ==。
（Ⅰ）求sin C 的值； （Ⅱ）求ABC ∆的面积.【解析】 本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力． 解（Ⅰ）∵A 、B 、C 为△ABC 的内角，且4,cos 35B A π==， ∴23,sin 35C A A π=-=，∴21sin sin sin 32C A A A π⎛⎫=-=+=⎪⎝⎭.（Ⅱ）由（Ⅰ）知3sin ,sin 5A C ==，又∵,3B b π==ABC 中，由正弦定理，得 ∴sin 6sin 5b A a B ==.∴△ABC 的面积116sin 225S ab C ==⨯=. 9.(2009山东卷理)(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+3π)+sin 2x.(1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期. (2) 设A,B,C 为∆ABC 的三个内角，若cosB=31，1()24c f =-，且C 为锐角，求sinA. 解 （1）f(x)=cos(2x+3π)+sin 2x.=1cos 21cos 2cossin 2sin23322x x x x ππ--+=所以函数f(x),最小正周期π.（2）()2c f =12C =－41, 所以sin C =, 因为C 为锐角, 所以3C π=,又因为在∆ABC 中, cosB=31, 所以 sin B =所以11sin sin()sin cos cos sin 23A B C B C B C =+=+=+=. 10.(2009山东卷文)(本小题满分12分)设函数f(x)=2)0(sin sin cos 2cossin 2πϕϕϕ<<-+x x x 在π=x 处取最小值.（1）求ϕ.的值;（2）在∆ABC 中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,2,1==b a 23)(=A f , 求角C.解 （1）1cos ()2sin cos sin sin 2f x x x x ϕϕ+=⋅+- sin sin cos cos sin sin x x x x ϕϕ=++- sin cos cos sin x x ϕϕ=+ sin()x ϕ=+因为函数f(x)在π=x 处取最小值，所以sin()1πϕ+=-,由诱导公式知sin 1ϕ=,因为0ϕπ<<,所以2πϕ=.所以()sin()cos 2f x x x π=+=（2）因为23)(=A f ,所以cos A =因为角A 为∆ABC 的内角,所以6A π=.又因为,2,1==b a 所以由正弦定理,得sin sin a bA B=,也就是sin 1sin 2b A B a ===, 因为b a >,所以4π=B 或43π=B . 当4π=B 时,76412C ππππ=--=;当43π=B 时,36412C ππππ=--=. 【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.10.（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，23cos )cos(=+-B C A ,ac b =2，求B. 解析：本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=23(负值舍掉)，从而求出B=3π。
解：由 cos （A -C ）+cosB=32及B=π-（A+C ）得 cos （A -C ）-cos （A+C ）=32， cosAcosC+sinAsinC -（cosAcosC -sinAsinC ）=32, sinAsinC=34. 又由2b =ac 及正弦定理得2sin sin sin ,B A C =故 23sin 4B =，sin B =或 sin B =（舍去）， 于是 B=3π 或 B=23π. 又由 2b ac =知a b ≤或c b ≤所以 B =3π。
11.（2009安徽卷理）在∆ABC 中，sin()1C A -=, sinB=13. （I ）求sinA 的值；(II)设，求∆ABC 的面积.解：（Ⅰ）由2C A π-=，且C A B π+=-，∴42BA π=-，∴sin sin()sin )4222B B BA π=-=-，∴211sin (1sin )23A B =-=，又sin 0A >，∴sin A =（Ⅱ）如图，由正弦定理得sin sin AC BCB A=∴sin sin AC ABC B===，又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+13==∴11sin 22ABC S AC BC C ∆=∙∙== 12.（2009安徽卷文）（本小题满分12分） 在ABC 中，C-A=， sinB=。
（I ）求sinA 的值；(II)设AC=，求ABC 的面积。
【思路】（1）依据三角函数恒等变形可得关于sin A 的式子，这之中要运用到倍角公式； （2）应用正弦定理可得出边长，进而用面积公式可求出S . 解（1）∵2c A c A B ππ-=+=-且∴42BA π=-∴sin sin()sin )4222B B B A π=-=- ∴22111sin (cossin )(1sin )22223B B A B =-=-= 又sin 0A >∴cos A =（2）如图，由正弦定理得sin sin AC BC BC B A ==∴sin sin 3AC ABC B===⋅A BCsin sin()sin cos cos sin 13C A B A B A B =+=+=⨯=⋅又∴11sin 22S ABC AC BC C ===⋅⋅. 13.（2009江西卷文）在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，6A π=，(12c b +=．（1）求C ；（2）若1CB CA ⋅=+a ,b ，c ．解：（1）由(12c b += 得1sin 2sin b Bc C==则有55sin()sincos cossin 666sin sin C CCCC ππππ---==11cot 22C +=得cot 1C = 即4C π=. （2） 由1CB CA ⋅=+推出cos 1ab C =；而4C π=,1= 则有 1(12sin sin cb a cA C=+⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩解得 12a b c ⎧=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩14.（2009江西卷理）△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cos A BC A B+=+,sin()cos B A C -=.（1）求,A C ；（2）若3ABC S ∆=,求,a c .解：(1) 因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A BC A B+=+，所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+， 即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，得 sin()sin()C A B C -=-. 所以C A B C -=-,或()C A B C π-=--(不成立).即 2C A B =+, 得3C π=，所以.23B A π+= 又因为1sin()cos 2B A C -==，则6B A π-=，或56B A π-=（舍去） 得5,412A B ππ==(2)1sin 32ABC S ac B ∆===， 又sin sin a c A C =, 即=，得a c ==15.（2009天津卷文）在ABC ∆中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===（Ⅰ）求AB 的值。