波动理论基础

用u表示位移，应变为
质点运动速度为v u t
工程应力为σ=F/A,胡克定律表示为σ=Eε。
上式中的
为微元的加速度
而σ（x+Δx)和σ(x)分别为微元两端截面上的正应力，上 式两边除以A Δx后得: (1-2)
令Δx—0时,上式取极限可得:
(1-3)
考虑到σ=Eε的关系,以及
则公式(1-3)变为: （1-4）
式(1-24)即为低应变反射波法检测对缺陷或桩反射信号进行 分析判断的重要依据,由该式可以得出如下结论: (1)当Z1>Z2,α>0,即桩身存在缩颈、断裂、混凝土离析、夹泥 或摩擦桩桩底等阻抗相对减小时,缺陷部位的反射与初始入射 波同相； (2)当Z1<Z2,α<0,即桩身存在扩颈或嵌岩桩桩底等阻抗相对增 大时,其反射波与初始入射波反相;
扰动一开始总是以行波的方式将能量传播出去， 而当物体有边界时，由于行波的来回反射，最终 使物体趋于定常的运动状态，则表现为振动现象 。弹性体的振动是被动过程的一种特殊表现形式 ，并不意味着被动过程已经消失，而是一种在有 界物体中长时间范围内的波动过程。在实际的弹 性动力学问题中，有时需要考察波动过程，有时 则对振动现象更感兴趣。
(1 -8 )
式中ω为杆纵向振动的固有圆频率,常数c1,c2由初始条 件决定,c3,c4由边界条件决定.下面研究两种与实际基桩情 形相近的边界条件 (1)两端自由的杆 此时杆的两端受力为零,因而应变为零,即：
代入(1-8)式得：
（1-9）
（1-10） 式中Δf为相邻两阶固有频率之差,且Δf =f1,即相邻两阶固有 频率之差与一阶固有频率相等。 (2)一端自由,一端固定的杆
考虑方向，入射波为FI=ZV，反射波为FR=-ZV

在波阻抗差异界面处(图2-2)，以Z1，Z2分别表示界 面上下的阻抗，脚码I、R、T分别表示入射波、反射波和 透射波，根据界面处连续条件，得到位移、速度和力的平 衡方程: 位移：u1=u2,ui+ur=ut; （1-14） 速度：V1=V2，Vi+Vt=Vr; （1-15） 力： F1=F2,Fi+Ft=Fr （1-16） 由一维波动方程的波动解(1-4)式,入射下行波为: （1-17）
低应变理论基础
2014年11月16日
一、波动与振动
弹性动力学主要目标是在给定扰动源信息及边界条件、初始条件下求解弹性 物体的动力响应。解答的形式有两种：一种是波动解，一种是振动解。前者描 述行波在弹性介质中的传播过程，后者描述弹性体的振动。为了说明两者的联 系与差异，首先考察波动与振动两个物理现象。 一个原来处于静止状态的物体，当其局部受到突然的扰动，并不能立即引 起物体各部分的运动。如下图所示的一根半无限长杆端部受到打击时，远离杆 端的区域并不能立即感受到端部的打击信号，而要经过一定的时间后才能接受 到这个信号。这是动力问题和静力问题最根本的区别。实际上由于连续介质中 的各个质点由某种约束力而彼此联系起来，在末受到扰动之前，质点之间的相 互作用力处于平衡状态。当某一个质点受到扰动以后，它就要偏离
代入式（1-8）有
（1-11）
得到公式(1-8),Δf仍为相邻两阶固有频率之差,但Δf≠f1。
三、弹性波的反射与透射
低应变反射波法以一维波动理论为基础，把桩作为连 续均匀的弹性杆件，研究桩顶在动态力作用下弹性杆的纵 向波动及桩土体系的动态响应。 自然状态下，桩顶受冲击后，将产生向下传播的应力 波(入射波)，在波阻抗差异界面处(如缩径、夹异物、混 凝土离析或扩径等)，部分应力波产生反射向上传播，部 分应力波产生透射继续向下传播至桩端，在桩端处又产生 反射向上传播。 由安装在桩顶的加速度或速度传感器接收初始入射信 号及各种反射信号(动态响应信号)，并经基桩动测仪进行 信号放大等处理后得到速度时程曲线。由(1-5)式，杆中 质点位移由上下行波两部分组成，在顶端受瞬时冲击后产 生的初始下行波中存在压应力σ1，在σ1 的作用下桩身 产生运动，其质点运动速度VI(m/S)取决于应力大小和材 料特性。
假定振动在杆件内是沿轴向进行传播的,并且同一横 截面上的质点振动状态是相同的,既振动时横截面的平面 状态保持不变。现从杆件中取一长为Δx的微元,两端截面 的坐标分别为x和x+ Δx,设A和ρ分别为杆件的横截面面 积和密度,则单元的质量为ρA Δx ,令u为单元的位移,那 么根据牛顿第二定律有:
(1-1)
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二、波动方程 目前,低应变反射波法动力测桩是采用低能量 的瞬态激振,桩在弹性范围内做低幅度振动,利用 振动和波动理论判断桩身缺陷。应力波反射法是 一种以弹性波(也称应力波)在桩身中的传播反射 特征为理论基础的方法。对于桩基来说,桩长一般 远大于直径,从而可将桩看成一维杆件。当在桩顶 处施加一瞬态激振力,将会产生弹性波,由于桩与 土之间的波阻抗差异较大,所以大部分波能量将在 桩身传递,在桩身传播的弹性波可以用一维波动方 程计算。

原来的平衡位置而进入运动状态。由于质点间相对位置的 变化，使得受扰动质点同其周围质点之间增加了附加的弹 性力，从而与受扰动质点相邻的质点也必然受到影响而进 入运动状态。这种作用依次传递下去，便形成一个由扰动 源开始的波动现象。这种扰动借质点间的弹性力而逐渐传 播的过程，称为弹性波。如果介质是无限大的，扰动将会 随时间的发展一直传播出去。然而一个实际的物体总是有 边界的，当扰动到达边界时，将要和边界发生相互作用而 产生反射。对一个有界的物体，由于扰动在其边界上来回 反射，从而使得整个物体就会呈现出在其平衡位置附近的 一种周期性的振荡现象，称之为弹性体的振动。弹性波和 弹性体的振动之间存在着本质的内在联系。这两种现象的 形成有着相同的机制，它们都是由介质的弹性和
惯性两个基本性质所决定的。弹性性质有使发生了位移的 质点回复到原来平衡位置的作用，而运动质点的惯性有使 当前的运动状态持续下去的作用，或者说弹性是贮存势能 的要素，惯性是维持动能的表征。正是由于这两种特性的 存在，系统的能量才能得以保持和传递，外部的扰动才能 激发起弹性被和弹性体的振动。弹性波的传播和弹性体的 振动，实际上可以看作是同一物理问题的不同表现形式。
建立波动方程需满足下列基本假设条件 1.弹性限度内的振动。振动时,各质点的应力、应变和位移的关系均 服从虎克定律。对于低应变反射波法动力测桩来说,由于锤击力 很小且可以控制,因此被振动可以满足假设要求。 2.各向同性的均匀或分段均勾材料。混凝土桩的拉伸特性与压缩特 性存在明显差异,而且是非均匀性的,不过在微米级弹性振动范围 内,可以将其近似看成满足这一假设要求,可以忽略这种差异。 3.纵向振动时,横截面应为平面,且截面上的轴向应力应力是均匀分布 的,其它应力分量均为零。 4.由于纵波长度相比桩横截面尺寸要大的多,故不考虑横向位移对纵 向运动的影响。
（1-18） 同理,对于透射波,有:
1-19
（1-20）
及（1-18）～（1-20）式代入（1-15）式，有： （1-21）
（1-22）
再联立(1-16)式求解,可得:
（1-23）
再由(1-13) 式，有: （1-24） 依次可求得: （1-25）
（1-26）
称为反射系数,-1<α<+1；
又若令:
（1-5）
式中c是应力波传播速度,或称为纵波波速。那么方程(1-4)又可以写为: （1-6）

根据行波理论,其波动解为二个反向行波的叠加, 通解形式为:
（1-7）
f和g分别代表了沿x轴正向传播的下行波和沿x轴负向 传播的上行波,其传播速度(波速)均为C,此通解也称 D‘Alembert通解，高应变动力试桩和低应变反射波法 即是对一维波动方程进行波动解。 根据振动理论,采用分离变量法,令u(x,t)=X(x)U(t),则可解得:
V=±C*ε
（1-12）
式中:V为桩身混凝土质点振动的速度，C为纵波在 桩身混凝土中的传播速度,单位都是m/s，但意思不 一样。
图1-4
根据σ=F/A，F= σA，根据胡克定律σ=Eε ，F= EεA， F=E*（V/C）*A，
根据 F=ρ*C*A*V 有：F=ZV 令Z=ρCA （1-13）