导体球与点电荷
在点电荷电场中球形导体表面感应电荷的分布
点电荷电场中球形导体表面感应电荷的分布姜树青（浙江省平湖中学，浙江 平湖 314200）摘要：在点电荷形成的电场中，导体处于静电平衡时，由于静电感应，其表面有感应电荷分布．本文拟对球形导体表面感应电荷的分布及相关问题作出定量探讨． 关键词：感应电荷面密度 最近点 最远点 界心角 切心角 角差 1 问题的提出如右图1所示，导体球半径为R ，点电荷与球心相距为r （r ＞R ），整个装置置于真空中．试讨论在电键k 接通和断开两种情况下，导体球表面感应电荷的分布规律． 2 求解和讨论 2.1电键k 接通情形2.1.1导体球表面感应电荷分布的定量表达式我们知道，导体球外部空间的电场是由点电荷Q 和球面感应电荷共同叠加形成的．依据电像理论，球面感应电荷对外部空间的电场贡献，可由点电荷Q 的像点电荷q ′等效替代． q ′位于Q 与导体球心O 连线上，距球心为r ′．这里 q ′和r ′之值为：画出点电荷r 为正、负电性两种情形球面某点P 的合电场E P 如图2甲、乙所示．图中E P 方向总与球面垂直，当Q 为正电性时，E P 方向沿径向指向球心；当Q 为负电性时，E P 方向沿径向指向球外．只要R 和r 相同，点电荷Q 正、负两种情形对应的E P 大小相等．设θ为OQ 和OP 所夹的角， 仅用初等数学知识就能求出Q 和．Q2rR－q r R r ='='，q ′在P 点产生的合场强E P 的大小（推导过程从略）：于是P 点感应电荷面密度σP 为表达式中前面的“－”号表示感应电荷的电性与Q 相反．由上式可知，在Q 、R 及r 都确定下，球面上感应电荷的面密度σ只与θ有关．在θ于范围0～2π以内，σ总与Q 符号相反，即整个导体球面上都分布着与Q 电性相反的感应电荷，且感应电荷的分布关于Q 与球心O 的连线对称．|σ|—θ关系如图3所示． 我们知道，导体球接地时，整个球体电势视为0，设整个球面感应电荷的总量为q 总感，由电磁学知识易得q 总感之值：kQ/r + k q 总感 /R = 0，即q 总感=－R Q / r ． （2）一个自然要提出的疑问是：按上述（1）式分布的球面感应电荷，整个球面感应电荷的总量是否也收敛到（2）式的结果呢？对（1）式作球面积分：，）（）（32222P cos 2Q θR r －R r k R －R r －E +⋅=）（）（）（1cos 2Q4432222P P ．R r －R r R－R r －kE θππσ+⋅==．Q 224Q ]cos 21[24Q cos 2sin 4Q sin 222202122220232220220220R R r r R r R rR R r rRR r R d rR R r d R r R d d R s d q -=-⋅⋅--=-+⋅-⋅⋅--=-+--===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰）（）（）（）（）（）（总感ππθππθθθϕπθϕθσσπππππ可见，两种方法所得结果一致．2.1.2球面最近点感应电荷的面密度σ近如图2中，球面上距Q 最近点M ，以下简称最近点．令（1）式中θ= 0，得到球面最近点感应电荷的面密度设想Q 距球心的距离发生变化：r →R 时，|σ近|→∞，即当点电荷Q 由远及近以至充分接近球面时，理论上球面最近点感应电荷面密度的绝对值逐渐增大并趋于无穷大；r →∞时，|σ近|→0．画出|σ近|— r 关系如图4所示． 2.1.3球面最远点感应电荷的面密度σ远如图2中，球面上距Q 最远点N ，以下简称最远点．令（1）式中θ=π，得到球面最远点感应电荷的面密度画出|σ远|— r 关系如图5所示．在r →R 和r →∞两种极端情况下，均有 |σ远|→0，故适当取r 值，|σ远|可取极大值．极值点的位置在何处？把（4）式变形为可知：当（r －R ）= 4R 2 /（r －R ），即r = 3R 时， |σ远|取极大值（另一根r =－ R 舍弃），此时σ远为如果设想把－Q 的电量全部导入一半径为R 的中性绝缘导体球，则当－Q 在导体球面上均匀分布后，电荷的面密度为σ′= －Q /4πR 2．显）（）（）（近34Q 2．R r R R r -+-=πσ）（）（）（远44Q2．R r R R r +--=πσ．RπR r R R r R r 232max 32Q ]4Q [-=+--==）（）（远πσ，）（）（）（）（远]44[14422R R r RR r R Q R r R Q R r +-+-⋅-=+--=ππσ然，上述最远点处的感应电荷面密度σ远max 也才是σ′的1/8．可见最远点处感应电荷分布得较“稀疏”．2.1.4感应电荷面密度之比σ近/σ远及其随r 的变化球面最近点和最远点感应电荷面密度的比值为由（5）式可以看出，当点电荷Q 与球心距离r 在区间（R ，∞）内逐渐增大时，σ近/σ远从无穷大逐渐衰减并趋于1．这表明当点电荷Q 与导体球逐渐远离时，σ近和σ远一方面均渐减小且趋于0，另一方面球面感应电荷的分布也渐趋均匀．画出σ近/σ远 —— r 关系如图6所示．表1列出由（5）式求出的几个r 值所对应的σ近/σ远之值，以便比较．r 100 R 10.0 R 3.00 R 2.00 R 1.50 R 1.10 R 1.01 R σ近/σ远 1.062 1.826 8.000 27.00 125.0 9261 8.121×106 2.1.5右半球面感应电量q 远半占整个球面感应总电量q 总感的百分比 在图1中，我们把导体球面分成靠近Q 一侧的左半球面和远离Q 一侧的右半球面，感应电量分别记为q 近半和q 远半．右半球面的电量 q 远半为）（）（）（）（）（）（远近521]Q 4[4Q 322．Rr R R r R r R R r πR R r -+=-+-⋅-+-=πσσ．Rr R r rR r r R r R R r R R r d r R R r R R r d r d s d q ）（）（）（）（）（）（（右半球面）远半+-+⋅--=-+-⋅--=-+⋅--=⋅==-⎰⎰⎰⎰⎰112Q ]cos 2[2Q ]cos 2sin 4Q [2sin 2222221222222322222022πππππππθθθθππθθσϕσ可以证明，在r →R 下，上述q 远半→0．前已讨论，当r →R 时，最远点|σ远|→0，最近点|σ近|→∞；而由球面感应总电量 q 总感=－R Q / r 知，当r →R 时，q 总感→－Q ．如果我们把上述变化综合起来考查，展现在眼前的是这样一幅物理图景：随着点电荷Q 逐渐向导体表面移近，整个球面感应电荷的总量逐渐增大并趋于－Q ，感应电荷的分布也逐渐向左半球面聚拢，最终感应电荷几乎全部地聚集于最近点处．这是不难理解的，因为当r →R 时，点电荷Q 非常接近导体球面，对点电荷Q 而言，球面则相当于“无穷大的平面”了，它发出的电场线将几乎全部地终止于球面上最近点附近很小的面积区域内．右半球面感应电量q 远半与整个球面感应总电量q 总感之比为表2列出由（6）求得的几个r 值下的q 远半/q 总感 百分比之值，供读者比较．由上表可直观地看到，随着点电荷Q 逐渐向导体球靠近，导体球远离点电荷Q 一侧的半球面所带电量q 远半占整个导体球面感应总电量q 总感的百分比越来越小，或者说导体球面感应电荷的分布重心逐渐向靠近点电荷Q 一侧移动，而当点电荷Q 逐渐远离导体球时，远离点电荷Q 一侧的半球面所带电量q 远半占整个导体球面感应总电量 q 总感的百分比越来越趋近于50％． 2.2电键k 断开情形当k 断开时，根据电像理论，导体球表面电荷在球外空间的电场贡献可由两个像电荷q ′、q ″共同等效替代：q ′和“2.1电键k 接）（）（）（）（总感远半6112Q 112Q 22222222．R r Rr R R r r R R r R r r R r q q +-+⋅-=-+-+⋅--=通情形”完全相同，而q ″置于球心，电量为导体球带电量与q ′之差．以下本文只对整个导体为电中性情形作出讨论．2.2.1整个导体球为电中性情形下，表面感应电荷分布的定量表达式此时球外空间的电场由点电荷Q 及两个像电荷q ′、q ″共同产生，q ′=－q ″=－R Q / r ．三者在球面外侧附近的合场强E 方向沿法线，大小为于是球面某点P 感应电荷面密度表达为2.2.2中性导体球面上感应电荷的界心角右图7为中性导体球在点电荷电场中的剖面图，A 1 、A 2为圆周上正、负感应电荷的分界点（图中以正点电荷Q 为例画出）．我们定义，分界点A 1 、A 2和圆心O 的连线所夹靠近点电荷Q 一侧的角∠A 1O A 2叫界心角，用α表示．在分界点处，感应电荷面密度必为0，故令（7）式σ= 0，得到这里θ1、θ2分别对应图7中A 1 和A 2两分界点．于是界心角为可以证明，（8）式在r →R 和r →∞下，分别有α→0和α→π，表明随着点电荷Q 接近中性绝缘导体球，与Q 异性的感应电荷只分布在球面上很小比例的面积区域内；而当Q 远离中性绝缘导体球并趋向无穷远时，球面上正、负感应电荷的分布均渐趋占据半个球面． 2.2.3中性导体球面感应电荷的界心角和切心角的关系，）（）（）（）（R r k R r －R r k R －R r －r q k R r －R r k R －R r －E Qcos 2Q cos 2Q 32222232222++⋅="++⋅=θθ）（）（）（74πQcos 2Q 432222．rR R r －R r R －R r －++⋅=θπσ，）（r R R r r r R 2arccos θ32222221--+=．rR R r r r R 2arccos 2θ32222222）（--+-=π）（）（82arccos 22θα32222221．rR R r r r R --+==过点电荷Q 向导体球做切线，剖面如图8所示．其中B 1、B 2为两个切点．为叙述方便，把切点B 1、B 2和圆心O 的连线所夹靠近点电荷Q 一侧的角∠B 1O B 2叫切心角，用β表示，有有人从“想当然”出发，错误地认为导体球感应电荷的界心角α等于切心角β．以下我们用反证法证明，只有在r →R 和r →∞两种极端情况下二者相等外，其它情况下并不相等．令r /R =m ，α和β可简化为假设α≤ β． 有亦即两边同时立方并整理，得到因r ＞R ，必有r /R =m ＞1，故上面不等式不成立！结论：只要满足条件∞＞r ＞R ，必有α＞β，即导体球感应电荷的界心角α总大于切心角β． 2.2.4角差及其极值把界心角α与切心角β之差叫角差，用γ表示．有我们的问题是：那种错误地认为导体球感应电荷的界心角α等于切心．rRarccos 2β=．m1arccos 2β2m 1m 2m m 1m arccos 2α33=+--+=，m12m 1m 2m m 1m 33≥+--+1m m 1m 2m m 233-≤+-01m 22≤-）（）（），（9m1arccos 2m 1m 2m m 1m arccos 2β－αγ33－+--+==角β的观点，产生的偏差最大能达到多少？换言之，角差γ的最大值γmax是多少？（9）式是复杂函数，我们借助电子计算机，生成γ—m关系如图9所示，采用逼近法求近似值，得到如下结果：m0≈1.07048，γmax≈0.314131弧度≈18°．即：当点电荷Q离球心的距离约为球半径的1.07048倍（见图10）时，界心角α与切心角β相差最大约为18°（角差的一半即半角差γ/2，最大约为9°，见图10中阴影部分）．。
电磁场与电磁波课后习题答案第3章(杨儒贵编着)
第三章 静电场3-1 已知在直角坐标系中四个点电荷分布如习题图3-1所示，试求电位为零的平面。
解 已知点电荷q 的电位为rq 4πεϕ=，令)0,1,0(1q q -=，)0,1,3(2q q +=，)0,0,1(3q q -=，)0,0,0(4q q +=，那么，图中4个点电荷共同产生的电位应为∑=414ii r q πεϕ令0=ϕ，得 0 4 4 4 44321=+-+-r qr q r q r q πεπεπεπε 由4个点电荷的分布位置可见，对于x =1.5cm 的平面上任一点，4321 ,r r r r ==，因此合成电位为零。
同理，对于x =0.5cm 的平面上任一点，3241 ,r r r r ==，因此合成电位也为零。
所以，x =1.5cm 及x =0.5cm 两个平面的电位为零。
3-2 试证当点电荷q 位于无限大的导体平面附近时，导体表面上总感应电荷等于)(q -。
证明 建立圆柱坐标，令导体表面位于xy 平面，点电荷距离导体表面的高度为h ，如图3-2所示。
那么，根据镜像法，上半空间的电场强度为32023101 4 4r q r q πεπεr r E -=X 习题图3-1(r , z )习题图3-2电通密度为)(43223110r r q r r E D -==πε 式中 232231])([h z r r -+=； 232232])([h z r r ++=那么，⎥⎥⎥⎦⎤⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-++-+⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--+=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++++--+-+=z z zh z r hz h z r h z h z r r h z r r q h z r h z r h z r h z r q e e e e e e D r r r 232223222322232223222322])([])([ ])([])([4 ])([)(])([)(4ππ 已知导体表面上电荷的面密度n s D =ρ，所以导体表面的感应电荷为2322232223220)(2][][4h r qh h r h h r h q D z zs +-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++-+-===ππρ 则总的感应电荷为q h r r r qh r r S q s ss -=+-===⎰⎰⎰∞∞2322)(d d 2d 'πρρ3-3 根据镜像法，说明为什么只有当劈形导体的夹角为π的整数分之一时，镜像法才是有效的？当点电荷位于两块无限大平行导体板之间时，是否也可采用镜像法求解。
第三章 静电场边值关系
电位所满足的拉普拉斯方程在圆柱坐标系
中的展开式只剩下包含变量r 的一项，即电 位微分方程为
2 1 d d r 0 r dr dr
求得
C1 ln r C 2
利用边界条件：
V r a
C1 ln a C 2 V C1 ln b C 2 0
q q 4 π r 4 π r
可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为
r q q r
上任一点均具有同一数值。由上图可见，若要求三角形 △OPq
r 为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值 对于球面 r
r a 与 △ OqP 相似，则 常数。由此获知镜像电荷应为 r f
代入上述边界条ห้องสมุดไป่ตู้，求得镜像电荷如下：
q
1 2 q 1 2
q
2 2 q 1 2
例 已知同轴线的内导体半径为a，电位为V，外导体接地，其
内半径为b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。
解
V a b
O
对于这种边值问题，镜像法不适
用，只好求解电位方程。为此，选用圆柱 坐标系。由于场量仅与坐标 r 有关，因此，
以格林函数表示的积分解。
数学物理方程是描述物理量随空间和时间的变化规律。对于某 一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值与边界值， 这些初始值和边界值分别称为初始条件和边界条件，两者又统称为 该方程的定解条件。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的 泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界 条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。
q q
电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半
第9讲 镜像法
由 d a2 d
(h b)(h b) a2
b h2 a2
b
a l
h
b
a
l
h
两平行导体圆柱的等效电荷
通常将带电细线的所在的位置称为圆柱导体的电轴，因而这 种方法又称为电轴法。
第9讲 镜像法
五、无限大介质分界平面的镜像
1、点电荷与无限大电介质分界平面的镜像
问题：求解空间中的电位分布（上半空间 及下半空间）。
1、点电荷位于接地导体球面外
镜像电荷的确定
(a2 d 2)q '2 (a2 d '2)q2 2a(dq '2 d 'q2) cos 0
(a2 d 2 )q '2 (a2 d '2 )q2 0
2a(dq
'2
d
'
q
2
)
0
q
'
a d
q
d
'
a2 d
q ' q
或
(舍去）
d ' d
l
l
a
a
hh
图1 两平行导体圆柱
荷密度大，而相背一侧电荷密度较小。
分析方法：将导体表面上的电荷用线密
度分别为 l 、且相距为2b 的两根无限长
带电细线来等效替代。
b
a l
h
b
a
l
h
图2 两平行导体圆柱的等效电荷
第9讲 镜像法
四、导体圆柱面的镜像
2、两平行导体圆柱面的镜像 利用线电荷与接地导体圆柱面的
q
等效电荷
q′
非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用 等效电荷产生的电位替代。
均匀带电导体球(壳)形成的电场的互动教学
均匀带电导体球(壳)形成的电场的互动教学在普通高中物理选修3-1（人民教育出版社）“电场强度”这一节的教学中，笔者根据教材的内容举了这一个例子：“一个半径为R的均匀带电导体球（壳）电量为Q。
求：离球心r（r＞R）处的电场强度的大小。
”学生甲解答（板演）：解：在离球心r处放一试探电荷q，该试探电荷受到的库仑力F=KQq/r2，由电场强度的定义式：E=F/q，得：E=KQ/r2。
师：同意同学甲的解法吗？几乎全班学生都同意学生甲的解法。
甚至有学生说教科书就是这样做的。
此时教师可以作一个简单小结：“在研究均匀带电导体球（壳）在球外产生电场时，可以认为全部电荷量集中在球心。
在球外的电场与点荷Q形成的电场是相同的。
”学生对上述结论是乐于接受的，一个物理问题貌似得到了完美解决。
但笔者认为对均匀带电导体球（壳）形成的电场有必要进行深入探讨，这样才能加深对库仑定律、电场强度的矢量性、点荷模型的深入理解，才能真正体现教材编者的真实意图。
一、互动教学中发现“问题”课堂教学中的互动，包括学生与教师，学生与学生，学生与教学内容和教学情境之间的相互作用，是“自主、探究、合作”学习方式的体现。
师：你们认为教科书上说的都是对的吗？古人云“尽信书，则不如不读书”（学生笑了），请你们认真学习阅读教材相关内容，提出自己的想法和疑问。
给你们5分钟时间阅读和思考。
学生乙：均匀带电导体球，与均匀带电导体球壳难道是一样的吗？（问题一）学生丙：教科书中说的是“均匀带电球体”，而这个例子中却又指的是“均匀带电导体球”，难道这两者之间没有区别吗？（问题二）学生丁：教科书搞错了吧？已知条件“r＞R”应该改成“r＞＞R”才对。
（问题三）学生戊：已知条件“r＞R”根本是多余的。
在均匀带电导体球的内部场强E仍是KQ/r2。
（问题四）……课堂教学的过程中引导学生积极思考，鼓励学生勇于质疑，敢于提出“问题”，这些“问题”往往都是很好的教学资源。
二、在互动教学中解决“问题”通过教师与学生、学生与学生之间的互动，解决问题，可以实现从以教师的教为中心向学生的主动学习为中心的教学方式的转变，充分体现学生在学习的过程中的主体地位。
在一个不带电的导体球壳的球心处放入一点电荷q
思 考 题13-1 在一个不带电的导体球壳的球心处放入一点电荷q ，当q 由球心处移开，但仍在球壳内时，球壳内外表面的电荷分布情况如何？答：球壳内表面感应电荷分布不均匀，因为内部的电场分布发生了变化，不再具有对称性。
而外表面感应电荷分布均匀，因为外部电场不变。
13-2 关于高斯定理，下列说法中哪一个是正确的？(A) 高斯面内不包围自由电荷，则面上各点电位移矢量D 为零． (B) 高斯面上处处D 为零，则面内必不存在自由电荷． (C) 高斯面的D 通量仅与面内自由电荷有关．(D) 以上说法都不正确． [ C ] 答：（A ）面内无自由电荷，0=⎰SD dS ，但D 不一定为零。
（B ）D 处处为零，则0=⎰SD dS ，即00=∑q ，可能存在等量异号的自由电荷。
（C ）正确。
故选（C ）13-3 两个半径相同的金属球，一为空心，一为实心，把两者各自孤立时的电容值加以比较，则(A) 空心球电容值大． (B) 实心球电容值大．(C) 两球电容值相等． (D) 大小关系无法确定． [ C ]答：无论空心还是实心金属球，电荷只分布于外表面，二者电势相同，则根据孤立电容的定义，C=Q/U ，则电容值相同。
故选（C ）13-4 一带正电荷的物体M ，靠近一原不带电的金属导体N ，N 的左端感生出负电荷，右端感生出正电荷．若将N 的左端接地，如图所示，则(A) N 上有负电荷入地． (B) N 上有正电荷入地． (C ) N 上的电荷不动．(D) N 上所有电荷都入地． ［ B ］答：接地后，金属导体N 与地球构成一个新的导体。
达到静电感应时，在正电荷M 存在的情况下，靠近M 的导体N 应带负电，N 上原有的正电荷会进入地球。
故选（B ）13-5 磁介质有三种，用相对磁导率μr 表征它们各自的特性时， (A) 顺磁质μr >0，抗磁质μr <0，铁磁质μr >>1． (B) 顺磁质μr >1，抗磁质μr =1，铁磁质μr >>1． (C) 顺磁质μr >1，抗磁质μr <1，铁磁质μr >>1．思考题13-4图(D) 顺磁质μr <0，抗磁质μr <1，铁磁质μr >0． ［ C ］ 答：根据磁介质的分类，书上p30可知答案为（C ）13-6 关于稳恒电流磁场的磁场强度H ，下列几种说法中哪个是正确的？ (A) H 仅与传导电流有关．(B) 若闭合曲线内没有包围传导电流，则曲线上各点的H 必为零． (C) 若闭合曲线上各点H 均为零，则该曲线所包围传导电流的代数和为零． (D) 以闭合曲线Ｌ为边缘的任意曲面的H 通量均相等． ［ C ］ 答：（A ）H 与传导电流和磁化电流均有关。
电磁实验一 点电荷在球外的电位和电场分布
实验一：点电荷在球外的电位和电场分布一、 试验目的了解MATLAB 的基本运用。
观察静电场中点电荷在球外的电位和电场分布情况二、 理论计算在半径为R 的导体球外，距球心为d 处 放置一电量为q 04πε的点电荷，求其周围的电位和电场分布。
解：点电荷和导体球的镜像电荷所产生的电位1=q 时：b r --=1ϕ 其中：第一项为点电荷产生的点位，第二项为镜像电荷 产生的电位。
如用球坐标表示为2/1222/122)cos 2()cos 2(1θθϕrb b r d R rd d r -+--+= 如果用平面极坐标表示则为2/1222/122)cos 2(ln 21)cos 2(ln 21θπθπϕrb b r d rd d r R -++-+=三、 仿真程序及仿真曲线仿真程序为：[x,y]=meshgrid(-10:0.1:10);[Q,r]=cart2pol(x,y);r(r<=1)=NaN;d=2;R=1;b=R.^2/d;V1=sqrt(b.^2+r.^2-2*b.*r.*cos(Q));V2=sqrt(d.^2+r.^2-2*d.*r.*cos(Q));V=(1/2/pi)*log(d./R.*V1./V2);contour(x,y,V,'v');hold onaxis equaltt=0:pi/10:2*pi;plot(exp(i*tt),'r');[ex,ey]=gradient(-V);sx=2+0.3*cos(tt);sy=0.3*sin(tt);streamline(x,y,ex,ey,sx,sy)仿真图形为：四、结果分析当一点电荷在导体球外，导体球可以以一点电荷代替。
五、结论书上的程序又错了，，改正方法为把第八行的“7，”去掉。
大学物理下册第10章课后题答案
习题10-3图第10章 静电场中的导体和电介质习 题一 选择题10-1当一个带电导体达到静电平衡时，[ ] (A) 表面上电荷密度较大处电势较高 (B) 表面曲率较大处电势较高(C) 导体内部的电势比导体表面的电势高(D) 导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零 答案：D解析：处于静电平衡的导体是一个等势体，表面是一个等势面，并且导体内部与表面的电势相等。
10-2将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，导体B 的电势将[ ](A) 升高 (B)降低 (C)不会发生变化 (D)无法确定 答案：A解析：不带电的导体B 相对无穷远处为零电势。
由于带正电的带电体A 移到不带电的导体B 附近的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A ）。
10-3将一带负电的物体M 靠近一不带电的导体N ，在N 的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷。
若将导体N 的左端接地（如图10-3所示），则[ ](A) N 上的负电荷入地 (B) N 上的正电荷入地 (C) N 上的所有电荷入地 (D) N 上所有的感应电荷入地 答案：A解析：带负电的带电体M移到不带电的导体N附近的近端感应正电荷；在远端感应负电荷，不带电导体的电势将低于无穷远处，因此导体N的电势小于0，即小于大地的电势，因而大地的正电荷将流入导体N，或导体N的负电荷入地。
故正确答案为（A）。
10-4 如图10-4所示，将一个电荷量为q电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d。
设无穷远处为零电势，则在导体球球心O点有[ ](A)0E，4πε=qVd(B)24πε=qEd，4πε=qVd(C) 0E，0V(D)24πε=qEd，4πε=qVR答案：A解析：导体球处于静电平衡状态，导体球内部电场强度为零，因此0E。
导体球球心O点的电势为点电荷q及感应电荷所产生的电势叠加。
感应电荷分布于导体球表面，至球心O的距离皆为半径R，并且感应电荷量代数和q∑为0，因此4qVRπε==∑感应电荷。
球面镜像法
ar
q2ah
40 ( h2 a2
)2
ar
接地导体球外的等位面及电场线分布
⒉ 不接地不带电导体球的点电荷镜像：
a O
0, 0
+
hq
0, 0
0, 0 q
q
O
-q h
+z h
q a q h
h a2 h
系统边界条件：
( r )r=a=常数
z > 0 空间电位方程：
2 = -q (z-h)/0
C
h a
h
a2 h
位置 h a 2
h
C
h a
h h
（舍）
镜像电荷 l l
a2 h
h
l l
C C1 h C2 a
• 圆柱外空间任意点电位：
P
0, 0
0, 0
O
R
•l
R
•l
x
h
h
1
2
1
20
(l
ln
C1 R
l ln
C2 ) R
1
2 0
(l
ln
C1 R
l
ln
C2 ) R
1 2 0
0, 0 P
0O, 0qR R
q z
h
h
0, 0
A
0, 0q O h
B
q z
h
(a) q q 0 40R 40R
A (a)
q
40 (h
a)
q
40 (h a)
0
B
(a)
q
40
q (h a)
0
40
(a
h)
q
大学物理 第6章 静电场中的导体和电介质(小结)
Q Q
静电能：
We A
Vdq
0
4
0
qdq
0
R
Q
2
8 0 R
当Q不变时，使R增大到R’=2R时，We’=We / 2 ；可见， 当R增大时，静电能减小，说明电场力对外作正功， 即帮助汽泡增大；从受力情况看，肥皂泡上每个电荷 元都受到其他电荷的电场力作用，力的方向沿半径向 外，半径增大时，电场力作正功，电场能减小。
4 0 r 4 0 r r 为该点到球心的距离. （2）球内（无论是空心与实心）的场强E=0， （内无电荷）；电势不为零，等于球面上的电势。 （3）求E和V时，要将形成场的所有电荷都考虑 到，然后求矢量（E）和或代数和（V）。
2
E
及
V
例题5 有一带正电的肥皂泡，吹大到使它的半径为原 来的2 倍，问静电能有什么变化？电荷的存在对吹泡 有帮助还是有妨碍？
解（1）设q2 、 q3为外球壳内、外 层所带电荷。 由高斯定理可得：
R2 R1 D C B A 0
R3
q 2 q1
2 3
10
8
C
q2 q3 q
q3 4 3 10
8
q1
C
q2
q3
（2）各点的场强和电势 B点： q1 由高斯定理得： E B 2 4 0 rB
VB
q1 4 0 rB
q1 4 0 rB
q2 4 0 rB
q2 4 0 R 2
q3 4 0 rB
q3 4 0 R 3
电磁场与电磁波(杨儒贵_第一版)课后思考题答案
电磁场与波课后思考题2-1 电场强度的定义是什么如何用电场线描述电场强度的大小及方向电场对某点单位正电荷的作用力称为该点的电场强度，以E 表示。
用曲线上各点的切线方向表示该点的电场强度方向，这种曲线称为电场线。
电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小。
2-2给出电位与电场强度的关系式，说明电位的物理意义。
静电场中某点的电位，其物理意义是单位正电荷在电场力的作用下，自该点沿任一条路径移至无限远处过程中电场力作的功。
2-3什么是等位面电位相等的曲面称为等位面。
2-5给出电流和电流密度的定义。
电流是电荷的有规则运动形成的。
单位时间内穿过某一截面的电荷量称为电流。
分为传导电流和运流电流两种。
传导电流是导体中的自由电子（或空穴）或者是电解液中的离子运动形成的电流。
运流电流是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中运动形成的电流。
电流密度：是一个矢量，以J 表示。
电流密度的方向为正电荷的运动方向，其大小为单位时间内垂直穿过单位面积的电荷量。
2-10运动电荷，电流元以及小电流环在恒定磁场中受到的影响有何不同运动电荷受到的磁场力始终与电荷的运动方向垂直，磁场力只能改变其运动方向，磁场与运动电荷之间没有能量交换。
当电流元的电流方向与磁感应强度B 平行时，受力为零；当电流元的方向与B 垂直时，受力最大，电流元在磁场中的受力方向始终垂直于电流的流动方向。
当电流环的磁矩方向与磁感应强度B 的方向平行时，受到的力矩为零；当两者垂直时，受到的力矩最大2-11什么是安培环路定理试述磁通连续性原理。
为真空磁导率，70 10π4-⨯=μ (H/m)，I 为闭合曲线包围的电流。
安培环路定理表明：真空中恒定磁场的磁通密度沿任意闭合曲面的环量等于曲线包围的电流与真空磁导率的乘积。
真空中恒定磁场通过任意闭合面的磁通为0。
磁场线是处处闭合的，没有起点与终点，这种特性称为磁通连续性原理。
2-12什么是感应电动势和感应磁通 感应电场强度沿线圈回路的闭合线积分等于线圈中的感应电动势，即 穿过闭合线圈中的磁通发生变化时，线圈中产生的感应电动势e 为ϕ-∇=E ρS J I ρρd d ⋅=tqI d d =Bv q ρρρ⨯=F Bl I F ρρρ⨯=d ISB B Il IlBl Fl T ====2)(B S I T ρρρ⨯=S I ρρ=m BT ρρ⨯=m Il B l⎰=⋅ 0 d μρρ⎰=⋅SS B 0d ρρt l E ld d d Φ-=⋅⎰ρρt e d d Φ-=线圈中感应电流产生的感应磁通方向总是阻碍原有刺磁通的变化，所以感应磁通又称反磁通。
静电场中的导体球壳类问题例析
阜阳市红旗中学 吴长海当静电场中有导体存在时，导体内的自由电子在电场力的作用下将重新进行分布；反过来，电荷分布的改变又会影响到电场分布。
因此，静电场中有导体存在时，电荷的分布和电场的分布相互影响、相互制约，最后达到的平衡分布是不能预先判知的。
因此，我们处理这类问题的基本方法是：假定这种平衡分布已经达到，然后以静电平衡条件为出发点，结合静电场的普遍规律去进行分析。
而不是去分析电场、电荷在相互作用下怎样达到平衡分布这一复杂过程。
限于中学生的知识水平，物理竞赛中只限于对一些简单问题（主要是导体球壳类问题）进行定性和半定量的分析。
由于中学阶段对这类问题涉及较少，所以，许多参加竞赛的同学对这类问题的理解并不深入，本文试就这类问题的求解思路进行例析。
一、巧用对称性求解均匀带电半球壳问题一个完整的均匀带电球壳可以看作是由两个对称的均匀带电半球壳组成，其内部某点的电势应等于两个均匀带电半球壳单独存在时在该处所产生的电势的叠加。
因此，我们可以巧妙地利用对称性和电势叠加原理来求解。
[例1] （第八届预赛题）电荷q 均匀地分布在半球面ACB上，球面半径为R ，CD 为通过半球面顶点C 与球心O 的轴线，如图1所示，P 、Q 为CD 轴线上在O 点两侧、离O 点距离相等的两点。
已知P 点的电势为U P ，试求Q 点的电势U Q 。
解析：设想一个均匀带电、带电量也是q 的右半球，与题中所给的左半球组成一个完整的均匀带电球壳，由对称性可知，右半球在P 点的电势P U '等于左半球在Q 点的电势，即PU '=Q U （1） 所以 PP Q P U U U U '+=+ （2） 而PP U U '+正是两个半球同时存在时P 点的电势。
因为均匀带电球壳内部各处电势都相等，其值等于Rqk2，k 为静电力常量，所以得 Rq k U U P P 2='+ （3）由（2）、（3）两式得 P Q U RqkU -=2 二、导体球壳的电势常选球心处来计算 这是因为：（1）处于静电平衡状态的导体球壳是一个等势体，其内部各点的电势都与球壳处的电势相等。
点电荷和接地导体球之间电场线示意图
教学目的：学习一种求解静电场 的特殊方法—镜像法（简洁明了） 重点：用镜像法求解静电场。
难点：确定像电荷的数目、每 个像电荷的电量的大小与位置。
❖一、相关内容回顾 ❖二、镜像法求解静电场的基本思想 ❖三、镜像法应用举例 ❖四、总结与讨论
一、相关内容回顾
唯一性定理给出静电场可以唯一 求解的条件。
球坐标系
Q 和 r如何确定？
（2）由边界条件确定
任意，可得 ①
②
解取
？
点电荷
和接地
导体球 之间电
场线示
意图
讨论：
①
R
RR0
Q
4
R0 (a2
a2 R02
R02 2R0a cos )3/ 2
Q dS R0Q
RR0
a
导体球接地后，感应电荷总量不为零？
（4）若导体不接地，电势不为零， 该怎么分析？
（5）若导体不接地，导体上带上自 由电荷，又如何分析？
（6）点电荷和导体球之间的相互作 用力，如何求解?
四、总结与讨论
1、镜象法的基本要领
1) 根据唯一性定理要求的条件求解电磁场 泊松方程边值问题；
2) 在求解区域之外引入象电荷取代感应电 荷，保持求解区域电荷分布不变；
3) 引入镜象电荷，不改变求解区域边值关 系和边界条件。
解：
电荷：一个点电荷 界面：导体球面 区域：球面外区域
已知界面电势为零，满足唯 一性定理的要求，可以确定 电势。
点电荷Q使导体表面产生异号的 感应电荷Q’。
整个电势是由Q和Q’共同产生的。
（1）根据对称
性分析，假想电
荷应在圆心和点
电荷的连线上，
导体电介质和磁介质之同心导体球和球壳之间的电势差和感应电荷
如图所示，一个带有总电量q的金属内球A，半径为R1，外 面有一同心金属球壳B，其内外半径分别为R2和R3，并带有 总电量Q(Q > 0)。此系统的电荷是如何分布的，球与球壳之 间的电势差是多少？如果使内球接地，内球上带有多少感 应电荷？球与球壳之间的电势差又是多少？ [解析]静电平衡时，A球电荷只能分布在外表面，B球内表面 带等量异号的电荷-q，外表面带电量为Q + q。 Q+q Q B 根据高斯定理，电场分布为
壳外表面处产生的电势。
如果内球接地，当内球半径 为零时，感应电荷也为零。
当内球半径接近 球壳内半径时， 内球上感应电荷 最多，感应电荷 与球壳电荷大小 相等，符号相反。
感应电荷随内球半径 的增加而增加，当球 壳变为球面时，内球 上感应电荷随内球半 径的增加而直线增加。
当内球半径为零时， 球体和球壳之间的 电势差最大。
q qQ E E (R1 < r < R2) 2 (r > R3) 4 π 0r 2 4 π 0 r
E = 0 (r < R1)
E = 0 (R2 < r < R3)
R1 -q R2 q A R3
球和球壳之间的电势差为
U U U d s A B A B E
A B
R2
R1
1 1 q kq ( ). d r 2 R1 R2 4 π 0r
{范例11.1} 同心导体球和球壳之间的 电势差和感应电荷
A接地后，B的带电量仍为Q，A感应的电量设为q'，B的内壳 带电为–q'，外壳带电为q' + Q，它们在球心产生的电势为零
q q 1 q Q ( ) 0 可见：感应电荷q'与球壳电荷Q异 4 π R 号，由于R1 < R2，所以|q'| < Q。 0 R 1 R 2 3
绝缘带电导体球对点电荷的作用力
绝缘带电导体球对点电荷的作用
力
1. 绝缘带电导体球的构成：由一个绝缘球和一个内部带电的导体球组成，绝缘球外表面带有正电荷，内部带电的导体球带有负电荷。
2. 点电荷的特性
点电荷是一种电荷的基本形式，由于它的小尺寸，可以看作是一个点，它的电荷量是恒定的，不会发生变化。
点电荷的电场强度随着距离的
增加而减弱，它的电场线是从电荷出发的，向外伸展，并且电场线的
方向指向距离电荷最近的点。
点电荷的电场强度可以用一个简单的公
式来表示：E=kq/r2，其中k是一个常数，q是电荷量，r是电荷到观测点的距离。
3. 绝缘带电导体球对点电荷的作用力
当绝缘带电导体球放置在点电荷的附近时，由于电荷的存在，球上的电荷会受到电场的影响而发生分布变化，从而产生作用力。
这种作用力的大小与球的电荷量、电荷的位置以及电荷的距离有关，它的方向与电荷的位置有关，它的方向指向电荷。
4. 绝缘带电导体球对点电荷的影响
绝缘带电导体球被用于模拟点电荷的作用力。
由于点电荷的作用力是以1/r2的方式衰减的，因此绝缘带电导体球的影响也是以1/r2的方式衰减的。
当绝缘带电导体球离点电荷越近时，它们之间的作用力就越大。
此外，绝缘带电导体球也会产生一个电场，这个电场会对点电荷的作用力产生影响。
5. 绝缘带电导体球的应用
绝缘带电导体球的应用主要是用于测量点电荷的电场强度和电势差，并用于研究电场的分布情况。
它也可以用于测量电荷间的相互作用，以及电荷和电场之间的相互作用。
此外，它还可以用于测量电场的强度和电势差，以及电荷间的相互作用。
均匀带电导体球,半径为a,带电量为q
均匀带电导体球,半径为a,带电量为q1. 概述均匀带电导体球是一种重要的物理模型，它在静电学中有着广泛的应用。
对于这种物体的研究不仅可以帮助我们理解带电体的电场分布特性，还可以为相关领域的研究提供基础和参考。
在本文中，我们将对均匀带电导体球的性质和特点进行详细的分析和讨论。
2. 带电体的基本特点带电体是指带有静电荷的物体。
当一物体带有电荷时，它将产生电场，并且在外部电场的作用下，带电体将受到电场力的影响。
在静电学中，我们通常关注的是带电体所产生的电场和在外部电场中所受到的作用力。
均匀带电导体球作为一种重要的带电体模型，其电场分布和电势分布具有一定的规律性和特点。
3. 均匀带电导体球的电场性质3.1 电场分布对于均匀带电导体球而言，其内部电场强度为零，而在球面上和球外的某一点P处的电场强度可根据库仑定律进行推导。
在球外某点P处，球的电场强度与点电荷的电场强度具有相同的形式，即E = kq/r^2，其中k为库仑常数，q为带电体的电量，r为点P到带电球的距离。
在球面上某一点P处，电场强度的大小同样满足E = kq/r^2，且方向沿着球面的法线方向，且大小大小随着点P到球心的距离r的变化而变化。
3.2 电势分布均匀带电导体球的电势分布也具有一定的规律性。
根据电势的定义，我们知道电势V与电场强度E满足V = -∫ E·dr，其中积分路径为从参考点到指定点的路径。
对于均匀带电导体球而言，我们可以利用球对称性以及电场处处垂直于等势面的性质进行推导，得到该球的电势分布。
4. 均匀带电导体球的作用力均匀带电导体球受到外部电场的作用力与其所带电荷量和外部电场的分布有着密切的关系。
根据静电学的基本原理，我们可以得到带电导体球受到的作用力大小与方向。
5. 结论在本文中，我们对均匀带电导体球的性质和特点进行了详细的分析和讨论。
通过对该物体的电场分布、电势分布和作用力进行分析，我们可以更好地理解带电体的静电学特性，并为相关领域的研究提供基础和参考。
半径为R的导体球原不带电,今在距球心为a处放一点电荷qa＞R。设无限远处的电势为零,则导体球的电势
第十童静电场中的导体和电介质一选择题1.半径为R的导体球原不带电，今在距球心为〃处放一点电荷q(a>R)^无限远处的电势为零，则导体球的电势为()A. qB. qR、C・ 9 D.空4兀％ " 24兀久("一尺) 4兀6("・R),解：导体球处于静电平衡，球心处的电势即为导体球电势，感应电荷士/'分布在导体球表而上,且+ 〃 + (・")=0,它们在球心处的电势W = f z出二丄『禹=0均4加oR仏说均7点电荷g在球心处的电势为厶一"一4ns0a据电势叠加原理,球心处的电势V0=V + V「=—。
4兀勺“所以选(A)2・已知厚度为〃的无限大带电导体平板,两表而上电荷均匀分布，电荷而密度均为CT,如图所示则板外两侧的电场强度的大小为()A. E = —B. E = —C.Q—D. E二一2% 9 £o 2 即解：在导体平板两表而夕H则取两对称平而,做侧而垂直平板的高斯面,根据高斯立理,考虑到两对称平而电场强度相等,且嵩斯面内电何为2oS •可得£ = —o 选择题2图%所以选(C)3・如图，一个未带电的空腔导体球壳，内半径为/?,在腔内离球心的距离为d处gvQ.固左一电量为+g的点电荷。
用导线把球壳接地后，再把地线撤去，选无穷远处为电势零点，则球心。
处的电势为解：球壳内表而上的感应电荷为球壳外表而上的电荷为零,所以有4JI£o d 4JIS()R所以选(D)4. 半径分别为R和厂的两个金属球,相距很远，用一根细长导线将两球连接在一起并使它们带电, 在忽略导线的影响下，两球表而的电荷而密度之比6 /6为()A- R/r B. R2/r C. r/R2 D. r/R解：两球相连z当静电平衡时,两球带电量分别为Q. c因两球相距很远z所以电荷在两球上均匀分布, 且两球电势相等,取无穷远为电势零点,则Q二q即人=-A TT€C R A TT<1 a广_o /4肿一厂6 q/4/卄R所以选(D )5. ■导体球外充满相对介质电常数为J的均匀电介质，若测得导体表而附近场强为E ;则导体球而上的自由电荷面密度动()A. oEB. r E C・ £芒D・(£ ( ) £『一£。
放入金属球壳的导体球所带电量的变化
放入金属球壳的导体球所带电量的变化1．复习资料上有这样一道习题：相距充分远的半径相同（r）的金属小球A和B，用一条充分长导线相连，它们都带上+Q0／2的电量．现把小球A放入一不带电金属球壳（内外半径分别为R1和R2），如图1所示，分析小球A从放入到与球壳内壁接触，小球A和B的电量变化．这道题我们运用大学物理知识在几个特殊位置上给予定量解．2．设小球A在球壳中心O（见图2）．这时，小球A带电Q1，小球B 带电Q2．由电量守恒可得：Q1+Q2=Q0．（1）由于静电感应，球壳内表面带电-Q1，-Q1在内表面是均匀分布的．球壳外表面带电+Q1，外表面上的电荷也是均匀分布的．利用电势叠加原理，球A的电势可按下式计算：A球与B球由于用导线相连而电势相等，因此有：联立（1）、（2）方程解得:可以证明R′＞r′，这表明A球带电增加了，B球带电减小了．3．把小球A从图2的位置放到与球壳内壁相接触．如图3所示．在这位置，A球与内壁均不带电，只有在外表面仍有Q1′电量，B球有Q2′电量，且有：Q1′+Q2′=Q0，（5）它与B球电势相等，所以有：由（5）、（6）方程联立，解得：可以证明R2＞R′，所以B球带电是继续减小．4．把球A从图3的位置再拉到球壳中心，并用手指触摸B球（接地），这时，B球不带电，而A球是否带电，可以通过计算来确定．设A球带电q，由于静电感应，则球壳内表面带电-q，外表面为q+Q1′．由电势叠加原理可以得到A球电势为：因为A球与B球电势相等为零，由此从（8）式U A=0，可以解得：应该注意：导体接地只意味它的电势为零，至于接地导体是否带有电量，应该由其他条件来得知．从（9）式可知q与Q1′为异号．5．从上述计算过程可知，要让中学生回答这一练习题，即使定性分析小球A电量变化，还是有一定难度．但是，作为竞赛辅导用，此题不失为一好题，因为此题用到的知识点较多，诸如电势计算、电势叠加、电荷守恒、静电感应以及静电平衡等知识．。
导体球壳内的电场
导体球壳内的电场廖其力; 邓娅; 余艳【期刊名称】《《物理与工程》》【年(卷),期】2019(029)005【总页数】6页(P90-95)【关键词】逆镜像法; 导体球壳; 感应电荷; 均匀带电线状体【作者】廖其力; 邓娅; 余艳【作者单位】重庆邮电大学移通学院重庆 401520【正文语种】中文图1 点电荷与导体球壳(a) 球壳内点电荷与像点电荷; (b) 球壳内壁上感应电荷随极角的分布; (c) d=0.05m时的等势线; (d) d=0.09m时的等势线电磁学理论[1，3]中静电场的基本规律是泊松(Poisson)方程(2φ=-ρ/ε)和拉普拉斯(Laplace)方程(2φ=0)，通过求解该方程和边界条件来研究点电荷与特殊形状的导体(比如无限大导体平面或者导体球) 相互作用下的电场，也可用格林(Green) 函数来研究点电荷作用下特殊形状导体周围空间的电场，但这些方法相对来说较为繁琐，尤其是求解连续带电体下特殊形状的导体周围空间的电场，其运算量太大无法给出解析结果。
但用电动力学中[3]的镜像法来研究点电荷与无限大导体平面周围的电场、点电荷与导体球外周围的电场及作用力，就容易很多。
文献[4～7]将镜像法应用于研究在连续带电体作用下导体球(或无限大导体平面)周围空间的电场，运用叠加原理和Mathematica软件研究了均匀带电线状体与无限大导体平面的电场力及其周围空间的电场、均匀带电线状体与导体球的相互作用力及其导体球外的电势以及带电圆环与无限大导体平面和导体球的电磁学问题。
镜像法的原理是：导体球(或无限大导体平面)外的点电荷在导体球(或无限大导体平面)表面上产生的异种感应电荷在导体球(或无限大导体平面)外产生的电场，根据光学成像原理，等效于该点电荷经导体球面(或无限大导体平面镜)成像于像点处的异种电荷在导体球(或无限大导体平面)外产生的电场。
本文从镜像法得到启示：根据光学的可逆性原理可知镜像法具有可逆性，即导体球壳内的点电荷在球壳内壁上产生的异种感应电荷在导体球壳内产生的电场，也等效于该点电荷经球面成像于像点处的异种电荷在导体球壳内产生的电场。
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