3.1.3两角和与差的正切
两角和与差的正切公式。
两角和与差的正切公式。
两角和与差的正切公式如下：
1.两角和公式：
tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A * tan B)
2.两角差公式：
tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A * tan B)
这些公式可以用来计算两个角的和或差的正切值。
它们在三角函数的计算中很有用，尤其是在解决三角函数方程或证明三角函数恒等式时。
拓展：
这些公式可以通过三角恒等式的推导得到，可以帮助我们更好地理解三角函数之间的关系。
除了正切函数之外，正弦、余弦等三角函数也有类似的两角和与差的公式。
掌握这些公式可以帮助我们更好地理解三角函数的性质和用途。
3.1.3两角和与差的正切
想一想： 公式有何特点？你如何记忆？
Bqr6401@
三、概念形成
普 通 高 中 课 程 标 准
Liangxiangzhongxue
几点重要说明： 1.两角和与差的正切同样不能按分配律展开；
2.两角和与差的正切公式中由于正切函数对角是有 限制的，所以，公式应该适用于能够使得公式中每
普 通 高 中 课 程 标 准
Liangxiangzhongxue
良乡中学数学组 任宝泉 Bqr6401@
怀 天 天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！ 什 才 在 于 勤 奋，努 力 书 山 有 下 学问为 求人 真 海 无，学 苦成 做 !!! 人 勤劳的孩子展望未来, 什 徒 才 能 但懒惰的孩子享受现在!!! 天 小 不 不 ， 的径，学 知 伤 悲不 到 功！ 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话 少 么 也 路 勤习，老 来 么 也 崖 学 作 舟
一个表达式有意义的角：
即： k , k , k , k Z
2 2 2
3.要学会灵活运用公式（逆用、变形用）。
Bqr6401@
四、应用举例
普 通 例1.求下列各式的精确值 高 （1）t an 75 ； 中 课 tan17 tan 43 程 （2） 1 tan17tan 43 标 1 cot 75 准 (3) 1 tan15
优化设计，同步测控，第 页，我夯基，我达标
Bqr6401@
普 通 高 中 课 程 标 准
Liangxiangzhongxue
下课
Bqr6401@
Bqr6401@
六、课堂总结
普 通 高 中 课 程 标 准
2013高中新课程数学(苏教版必修四)3.1.3两角和与差的正切
2
1 2 x － 2x＋ 2
2
＝0的两根．
因为tan＜tan，所以
tan＝1－
2 2 ，tan＝1＋ ． 2 2
2
苏教版高中数学教材必修4
第3章
三角恒等变换
苏教版高中数学教材必修4
第3章
三角恒等变换
3.1.3两角和与差的正切
数学理论
苏教版高中数学教材必修4
第3章
三角恒等变换
3.1.3两角和与差的正切
例题讲解
例1
求下列各式的值：
(1)tan75º ；
tan12＋ tan33 ( 2) ； 1－ tan12 tan33
tan(60＋ )－tan( 30＋ ) (3) ． 1＋tan(60＋ ) tan( 30＋ )
苏教版高中数学教材必修4 第3章 三角恒等变换
3.1.3两角和与差的正切
2．已知tan＋tan＝2，tan(＋)＝4，且 tan＜tan，试求tan和tan． 解：由tan＋tan＝2， tan(＋)＝4，得 1－tantan＝ 1 ，即tantan＝ 1 ．
所以tan，tan是方程
3.1.3两角和与差的正切
例题讲解 例2 已知tan ，tan是方程x2＋5x－6＝0 的两根，求tan(＋)的值．
分析：本题既可以根据方程解出tan，tan，再代入公式 计算，也可以不解方程，通过计算tan＋tan， tan tan的值 来求tan(＋)．
点评：对于求tan(＋)而言tan和tan不是必要，根据公式 T(＋)只需知道tan＋tan和tan tan的值即可．
苏教版高中数学教材必修4 第3章 三角恒等变换
3.1.3两角和与差的正切
课堂训练
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式互动课堂疏导引导1.二倍角公式(1)二倍角公式的正弦、余弦、正切公式sin2α=2sin αcos α,(S 2α)cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α,(C 2α)tan2α=αα2tan 1tan 2-,(T 2α) 这组公式要记准、记熟、用活.下面给出这组公式的推导:∵sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,当α=β时,有sin2α=2sin αcos α.∵cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,当α=β时,有cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1(sin 2α=1-cos 2α)=1-2sin 2α(cos 2α=1-sin 2α).∵tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+, 当α=β时,有tan2α=αα2tan 1tan 2-. 公式S 2α、C 2α中,α∈R ,公式T 2α中的α≠21k π+4π且α≠k π+2π (k∈Z ). 从上面的公式推导中可以看到二倍角公式是和角公式的特殊情况.(2)关于倍角公式应注意的几个问题:①推导思路:在正弦、余弦、正切的和角公式中,令两角相等,就得相应倍角公式.由此,倍角公式是和角公式的特例.②公式的适用范围:公式S 2α、C 2α中,角α可以为任意角,但公式T 2α只有当α≠2π+k π及α≠4π+2πk (k∈Z )时才成立,否则不成立.当α=2π+k π,k∈Z ,虽然tan α的值不存在,但tan2α的值是存在的,这时求tan2α的值可利用诱导公式.③对于“二倍角”要有广义理解,如4α是2α的2倍;α作为2α的2倍;2α作为4α的2倍;3α作为23α的2倍;3α作为6α的2倍等. 2.二倍角公式的变形(1)公式逆用2sin αcos α=sin2α,sin αcos α=21sin2α,cos α=ααsin 22sin 2,cos 2α-sin 2α=cos2α,αα2tan 1tan 2-=tan2α. (2)公式的逆向变换及有关变形1±sin2α=sin 2α+cos 2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2,1+cos2α=2cos 2α,1-cos2α=2sin 2α,cos 2α=22cos 1α+,sin 2α=22cos 1α-. 活学巧用1.已知sin α+cos α=31,且0＜α＜π,求sin2α、cos2α、tan2α的值. 解析:方法一:∵sin α+cos α=31,∴sin 2α+cos 2α+2sin αcos α=91.∴sin2α=98-且sin αcos α=94-＜0. ∵0＜α＜π,sin α＞0,∴cos α＜0.∴sin α-cos α＞0.∴sin α-cos α=3172sin 1)cos (sin 2=-=-ααα. ∴cos2α=cos 2α-sin 2α=(sin α+cos α)(cos α-sin α)=31×(-317)=917-. tan2α=171782cos 2sin =αα. 方法二:∵sin α+cos α=31,平方得sin αcos α=94-, ∴sin α、cos α可看成方程x 2-31x 94-=0的两根, 解方程x 2-31x 94-=0,得x 1=6171+,x 2=6171-.∵α∈(0,π),∴sin α＞0.∴sin α=6171+, cos α=6171-.∴sin2α=2sin αcos α=98-,cos2α=cos 2α-sin 2α=917-,tan2α=171782cos 2sin =αα. 答案:sin2α=98-,cos2α=917-,tan2α=17178. 2.已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若x∈［0, 2π］,求f(x)的最大值、最小值. 解析:f(x)=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)-sin2x =cos2x-sin2x=2cos(2x+4π). (1)T=22π=π. (2)0≤x≤2π,0≤2x≤π,4π≤2x+4π≤45π,-1≤cos(2x+4π)≤22,∴-2≤2cos(2x+4π)≤1.∴f(x)max =1,f(x)min =-2.答案:(1)π;(2)f(x)max =1,f(x)min =-2.3.已知函数y=21cos 2x+23sinxcosx+1,x∈R .当函数y 取得最大值时,求自变量x 的集合. 解析:y=21cos 2x+23sinxcosx+1=41(2cos 2x-1)+41+43(2sinxcosx)+1 =21(cos2xsin 6π+sin2xcos 6π)+45=21sin(2x+6π)+45.y 取得最大值必须且只需2x+6π=2π+2k π,k∈Z ,即x=6π+k π,k∈Z .所以量x 的集合为{x|x=6π+k π,k∈Z }.。
课件7：3.1.3 两角和与差的正切
【解】 ∵tanα＋tanβ＝－3 3<0，tanα·tanβ＝4>0， ∴tanα<0，tanβ <0， ∵－π2<α<π2，－2π<β<2π，∴－π2<α<0，－π2<β<0.∴－π<α＋β<0， ∴tan(α＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ＝－1－3 43＝ 3， ∴α＋β＝－23π.
3－tan18° 变式训练 1-2 1＋ 3tan18°＝________. 解析：1＋3－3ttaann1188°°＝1t＋an6ta0n°6－0°ttaann1188°°＝tan(60°－18°)＝tan42°.
答案：tan42°
题型二 给值求值
π
π
例 2 已知 tan12＋α＝ 2，tanβ－3＝2 2，求：
3.1.3 两角和与差的正切
学习目标
1．理解由两角和的正弦、余弦公式推导两角和与差的正切公式 的过程． 2．掌握两角和与差的正切公式的结构特征，并能运用公式进行 化简求值.
新知初探
1．两角和与差的正切公式
tanα＋tanβ (1)Tα＋β：tan(α＋β)＝ 1－tanαtanβ .
tanα－tanβ (2)Tα－β：tan(α－β)＝ 1＋tanαtanβ .
(1)tanα＋β－4π；
(2)tan(α＋β)．
【分析】 注意到α＋1π2＋β－π3＝α＋β－4π.
【解】 (1)tanα＋β－4π＝tanα＋1π2＋β－π3
＝1t－antaαn＋α1＋π21＋π2t·atannββ－－π3π3 ＝1－2＋2×22
2 ＝－ 2
2.
(2)tan(α＋β)＝tanα＋β－π4＋4π＝1t－antaαn＋αβ＋－βπ4－＋π4t·atannπ4π4
课件9：3.1.3 两角和与差的正切
规律方法 1．通过先求角的某个三角函数值来求角． 2．选取函数时，应遵照以下原则： (1)已知正切函数值，选正切函数； (2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是0，2π， 选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为 －π2，π2，选正弦较好．
3．给值求角的一般步骤： (1)求角的某一三角函数值；(2)确定角的范围； (3)根据角的范围写出所求的角．
3．计算1＋3－3ttaann1155°°＝________. 解析：1＋3－3ttaann1155°°＝1t＋ant6a0n°6－0°ttaann1155°°＝tan 45°＝1.
答案：1
4．已知tan(α＋β)＝25，tanβ－π5＝14，求tanα＋π5的值． [解] ∵α＋π5＝(α＋β)－β－π5， ∴tanα＋π5＝tan (α＋β)－β－π5 ＝1t＋an(taαn＋(αβ＋)－β)ttaannββ－－π5π5＝1＋25－25×1414＝232.
[解] (1)tan 15°＝tan(45°－30°)
＝1t＋ant4a5n°4－5°ttaann3300°°＝11－＋
3 33＝33－ ＋
3
33＝2－
3.
(2)1－3＋3ttaann7755°°＝1＋33－33ttaann7755°°＝1t＋ant3a0n°3－0°ttaann7755°°
＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－tan 45°＝－1.
5. (1)求 tan(α＋β)的值；(2)求 α＋2β 的值．
[思路探究] 先由任意角的三角函数定义求出 cos α，cos β， 再求 sin α，sin β，从而求出 tan α，tan β，然后利用 Tα＋β 求 tan(α＋β)， 最后利用 α＋2β＝(α＋β)＋β，求 tan(α＋2β)进而得到 α＋2β 的值．
3.1.3 两角和与差的正切(1)
3.1.3 两角和与差的正切（1）教学过程：（一）复习：()(),S C αβαβ±±公式。
（二）新课讲解：1．两角和的正切sin cos cos sin tan()cos cos sin sin αβαβαβαβαβ++=-sin cos cos sin cos cos cos cos sin sin cos cos αβαβαβαβαβαβ+=-tan tan 1tan tan αβαβ+=- 即：tan()αβ+tan tan 1tan tan αβαβ+=- （()T αβ+） 2．两角差的正切tan()αβ-tan tan()1tan tan()αβαβ+-=--tan tan 1tan tan αβαβ-=+ 即：tan()αβ-tan tan 1tan tan αβαβ-=+ （()T αβ-） 说明：①()T αβ±公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围； ②()T αβ±公式的变形：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ-=-+． 3．例题分析：例1：求值：（1）11tan 12π；（2）tan 285 ． 解：（1）11tan 12πtan tan()1246πππ=-=--tan tan 461tan tan 46ππππ-=-+12==- （2）tan 285 tan(36075)tan75=-=-tan 45tan 3021tan 45tan 30+=-=--例2：求1tan151tan15+-值。
解：1tan151tan15+- =tan 45tan151tan 45tan15+-tan(4515)tan60=+== ． 例3：求tan70tan50tan50+ 值。
解：原式tan(7050)(1tan70tan50)=+-tan50tan70tan50)=-tan50=例4：已知一元二次方程20ax bx c ++=(0,)a a c ≠≠的两个根为tan ,tan αβ，求tan()αβ+的值。
课件3：3.1.3 两角和与差的正切
根据 α，β 的任意性， 得 tan(α－β)＝1t－ antαan＋αttaann((－－ββ))＝1t＋ antαan－αttaannββ.
4.两角和与差的正切公式的变形形式较多，例如： tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)， tan αtan β＝1－tatnanα(＋α＋taβn)β＝tatnanα(－α－taβn)β－1. 这些变式在解决某些问题时是十分方便的．
A.－2
B.－12
1 C.2
D.2
解析 tan α＝tanπ4－4π－α ＝11－ ＋ttaann4π4π－ －αα ＝11－ ＋33＝－12.
2.已知 A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为( B )
A.1
B.2
C.－2
D.不确定
解析 (1＋tan A)·(1＋tan B) ＝1＋(tan A＋tan B)＋tan Atan B ＝1＋tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan Atan B ＝1＋1－tan Atan B＋tan Atan B ＝2.
2.公式 T(α±β)的逆用 一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换，
如 tan 4π＝1，tan π6＝ 33，tan π3＝ 3等，
要特别注意
tan4π＋α＝11＋－ttaann
αα，tanπ4－α＝11－＋ttaann
α α.
3.公式 T(α±β)的变形应用 见到 tan α±tan β，tan αtan β 时，要有灵活应用公式 T(α±β) 的意识.学会对公式 T(α±β)进行变形应用，就不难想到解题 思路.
解：由已知得tan tan
α＋tan β＝－3 α·tan β＝4
课件4：3.1.3 两角和与差的正切
命题方向 2 给值求角
例 2 已知 tanα、tanβ 是方程 6x2－5x＋1＝0 的两根，
且 0<α<π2，π<β<32π，求 α＋β 的值． 解：由已知得 tanα＋tanβ＝56，且 tanαtanβ＝16，
5 ∴tan(α＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ＝1－6 16＝1.
∴tan(α－β)＝1t＋anαta－nαttaannββ＝1＋12－12×33＝－1.
命题方向1 三角函数式的化简与求值 例1 求值 (1)tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°；
cos15°－sin15° (2)cos15°＋sin15°.
解：(1)原式
＝tan(15°＋30°)(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30°
＝－1－43＋34×153153＝－5397. 【答案】－5397
5．已知(1＋tanA)(1＋tanB)＝2，则tan(A＋B)＝________. 【解析】∵(1＋tanA)(1＋tanB)＝1＋tanA＋tanB＋tanAtanB ＝2，
∴tanA＋tanB＝1－tanAtanB．
∴tan(A＋B)＝1t－anAta＋nAttaannBB＝1. 【答案】1
m≠0 解：由题意得Δ＝(2m－3)2－4m(m－2)≥0 ， 解得 m≤94且 m≠0. 且 tanα＋tanβ＝－2mm－3，tanαtanβ＝m－m 2.
∴tan(α＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ＝－ 1－2mmm－－m 23＝32－m. 又 m≤94且 m≠0， ∴tan(α＋β)的最小值为23－49＝－34.
(2)tan(α＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ＝1－2＋2×33＝－1. 又 0°<α<90°，0°<β<90°，0°<α＋β<180°， ∴α＋β＝135°.
3.1.3两角和与差的正切0
(又有什么要求?)
k k
2 2 (k Z )
1 tan tan
两角和与差的正切公式
ta n ( ) ta n ta n 1 ta n ta n
记 ： T( + )
记 : T( - )
ta n ( )
2
3
tan 6 0 tan 4 5 1 tan 6 0 tan 4 5
tan105=tan(60+45)
3 1 1 3
(2
3)
(1) 例2、化简： tan ( (2)
)(1 tan tan )
tan ( ) tan 1 tan ( ) tan
2
2注意公式的结构，尤其是符号。
问:如何求cot(a+β), cot(a－β)? 有关两角和差的余切问题，一般都是将它 由同角公式的倒数关系化为两角和差的正切， 用公式来解决．
co t( ) 1 tan ( )
1 tan ( )
1 tan tan tan tan
练习
6 1化简： sin x cos x 4 4 4 4 2
2 .化 简 f ( x ) co s(2 x
3
) sin (2 x
6
) 2 co s 2 x
如何求 tan ( ) ？
3.1.3两角和与差的正切
k
(k Z ) 2
sin cos cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos cos
两角和与差的正切公式
小试身手1 填空：
（1）、tan1005 2 3_
5
tan tan
（2）、
12
12
1 tan 5 tan tanFra bibliotek3
3
_
12 12
.
（3）、1 tan 15 0
= tan 30
3
1 tan 15 0
3_
石阡县第三高级中学 高一数学
2
5
解 ：ta n ta n ( )
tantan() 1tantan()
9 19
石阡县第三高级中学 高一数学
例题讲解（合作探究）
例3、已知tanα、tanβ是方程3x２+5x-1=0
的两根，求tan（α+β）的值。
解分因析为：tanA,tanB是方程 3x25x10的两根
两角和与差的正切公式：
tan(α +β )=tanα +tanβ 1-tanα tanβ
tan(α -β )=tanα -tanβ 1+tanα tanβ
符号上同、下相反 对两角和与差的正切公式的应用。
石阡县第三高级中学 高一数学
作业布置：
课本137页：练习9、10题
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tan tan 1tan tan
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两角和的正切公式:
tan()tantan 1tantan
(T(+))
那两角差的正切呢?
ta n )(ta n ( [) ]1 t a ta n ttn a a n n ))(
思考:两角和与差的正切公式是怎样的呢?
2013高中新课程数学(苏教版必修四)3.1.3两角和与差的正切 课件
＝2×2＝4.
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题型二
给值求角
【例 2】 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边 作两个锐角 α，β，它们的终边分别与单位圆交于 A、B 两点，已 2 2 5 知 A、B 的横坐标分别为 10 、 5 . (1)求 tan(α＋β)的值； (2)求 α＋2β 的值．
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sinα－β sin α· cos β－cos α· sin β 提示 tan(α－β)＝ ＝ cosα－β cos α· cos β＋sin α· sin β sin α· cos β－cos α· sin β cos α· cos β ＝ cos α· cos β＋sin α· sin β cos α· cos β tan α－tan β ＝ . 1＋tan α· tan β
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2．公式的变形应用 π π (1)注意常值代换，如 tan4＝1，tan3＝ 3等． 特别的
π 1＋tan tan4＋x＝ 1－tan π 1－tan x x ，tan4－x＝ . x 1＋tan x
(2)在见到 tan α± tan β，tan α、tan β 时，应用公式的变形 当 α＋β 或 α－β 是一特殊值时，更易找到等量关系.
【题后反思】 依据和(差)角的正弦公式、余弦公式，将含有 同角的正弦余弦的两项之和化为一个三角函数，研究函数的性质．
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练
课件8：3.1.3 两角和与差的正切
【解】
(1)原式＝t1a＋n 6ta0n°6－0°ttaann
15° 15°
＝tan(60°－0°＝
3＝1ta－n t2a3n°23＋°ttaann
37° 37°
，
所以 tan 23°＋tan 37°＝ 3－ 3tan 23°tan 37°，
所以 tan 23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°＝ 3.
1．公式的适用范围
素养提升
由正切函数的定义可知 α、β、α＋β(或 α－β)的终边不能落在
y 轴上，即它们不能为 kπ＋2π(k∈Z)． 2．公式的逆运用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常数值代换，
如 tan4π＝1，tanπ6＝ 33，tanπ3＝ 3等．
特别要注意
tan(4π＋α)＝11＋ －ttaann
3－ tan
3tan Btan Btan C－1
C＝－
3，
又 0°＜A＜180°，所以 A＝120°.
由 tan C＝tan[π－(A＋B)]＝ttaannAAt＋antBan－B1＝
tan 3tan
A＋tan B A＋ 3tan
＝ B
33，
又 0°＜C＜180°，所以 C＝30°，B＝30°.
所以△ABC 是顶角为 120°的等腰三角形．
方法归纳 利用和差角公式判断三角形形状时，应考虑借助同名三角函数 之间的关系判断三角形内角的关系或者求出内角大小，进而判 断三角形形状，注意三角形内角和 A＋B＋C＝180°这一隐含 条件的运用．
跟踪训练 如图所示，在△ABC 中，AD⊥BC，垂足为 D， 且 BD∶DC∶AD＝2∶3∶6，求∠BAC 的度数．
当堂检测 1．已知 tan α＝4，cot β＝13，则 tan(α＋β)＝( )
3.1.3 两角和与差的正切公式
§3.1.3 两角和与差的正切公式
（一）、教学目标
1、知识目标：掌握公式的结构特点及其推导过程，理解公式成立的条件；
运用公式求值；
2、能力目标：培养学生的观察、分析、类比、联想能力；间接推理能力（即
不能直接套公式,需要变化条件,寻找依据,才能推出结论）；自学能力；
3、情感目标：发展学生的正向、逆向思维和发散思维能力，构建良好的数
学思维品质；
（二）教学重点、难点
重点：公式的结构特点及其推导方法、成立条件；运用公式求值；
难点：公式的逆向及变形运用；
（三）学法与教学用具
学法：研讨式教学
（四）教学设计：
本组成员：王琪、李路军、李晓峰、李淑清、时秋英、韩英、周跃辉、何春梅、李云丽、李宁、苗佳、刘振刚、韩斌。
3.1.3两角和与差的正切(1)
3.1.3 两角和与差的正切（1）一、课题：两角和与差的正切（1）二、教学目标：1.掌握两角和与差的正切公式的推导；2.掌握公式的正、逆向及变形运用。
三、教学重点、难点：()T αβ±公式的推导及运用。
四、教学过程：（一）复习：()(),S C αβαβ±±公式。
（二）新课讲解：1．两角和的正切sin cos cos sin tan()cos cos sin sin αβαβαβαβαβ++=-sin cos cos sin cos cos cos cos sin sin cos cos αβαβαβαβαβαβ+=-tan tan 1tan tan αβαβ+=-即：tan()αβ+tan tan 1tan tan αβαβ+=- （()T αβ+） 2．两角差的正切tan()αβ-tan tan()1tan tan()αβαβ+-=--tan tan 1tan tan αβαβ-=+即：tan()αβ-tan tan 1tan tan αβαβ-=+（()T αβ-）说明：①()T αβ±公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围；②()T αβ±公式的变形：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ-=-+．3．例题分析：例1：求值：（1）11tan 12π；（2）tan 285．解：（1）11tan 12πtan tan()1246πππ=-=--tan tan 461tan tan 46ππππ-=-+12==-+ （2）tan 285tan(36075)tan75=-=-tan 45tan 3021tan 45tan 30+=-=-- 例2：求1tan151tan15+-值。
解：1tan151tan15+-=tan 45tan151tan 45tan15+-tan(4515)tan603=+==． 例3：求tan 70tan503tan 70tan50+-值。
课件1：3.1.3 两角和与差的正切
探究点2
(2)除了公式的正用、逆用外，还要注意公式的变形应用 tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β) 如 tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)， tan(α＋β)－tan α－tan β＝tan αtan βtan(α＋β)， 1－tan αtan β＝tatnanα＋α＋taβnβ， 1＋tan αtan β＝tatnanα－α－taβnβ.
tan( ) tan tan 1- tan tan
上式中以代得 tan[ ( )] tan tan( ) tan - tan
1 tan tan( ) 1 tan tan
tan( - ) tan - tan 1 tan tan
记T(- )
想一想
公式的适用条件是什么？
典型例题
已知 tan(α＋β)＝35，tan(β－π3)＝13，求 tan(α＋π3)． 解：tan(α＋π3)＝tan[(α＋β)－(β－π3)]＝ 1t＋antaαn＋αβ＋－βttaannββ－－π3π3＝135＋－3tan(α－β)＝3，求 tan 2α， tan 2β，tan(2α＋π4)． 【解】 tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] ＝1t－antaαn＋αβ＋＋βttaannαα－－ββ ＝1－5＋5×3 3＝－47，
课堂练习
tan 2β＝tan[(α＋β)－(α－β)] ＝1t＋antaαn＋αβ＋－βttaannαα－－ββ
＝1＋5－5×3 3＝18，
tan(2α＋π4)＝11－＋ttaann
22αα＝11－＋4747＝
3 11.
3.1.3两角和与差的正切公式
两角和与差的正切公式一、选择题1．在△ABC中，假设0<tan B tan C<1，那么△ABC是( )u A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．形状不能确定[答案] B[解析] ∵0<tan B tan C<1，∴B，C均为锐角，∴sin B sin Ccos B cos C<1，∴cos(B＋C)>0，∴cos A<0，∴A为钝角．[点评] 也可用两角和的正切公式判断：由条件知，tan B>0，tan C>0，∴tan(B＋C)＝tan B＋tan C1－tan B·tan C>0.∴B＋C为锐角，从而A为钝角．2．给出以下三个等式f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)＝f(x)·f(y)，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)1－f(x)f(y)，以下函数中不满足其中任何一个等式的是( )A．f(x)＝3xB．f(x)＝sin xC．f(x)＝log2xD．f(x)＝tan x[答案] B[解析] 对选项A，满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，对选项C，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，对选项D，满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)1－f(x)f(y)，应选B.3．化简tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°的值等于( ) A．1B．2C．tan10°D.3tan20°[答案] A[解析] ∵tan(20°＋10°)＝tan20°＋tan10°1－tan20°·tan10°， ∴tan20°＋tan10°＝tan30°(1－tan20°tan10°)， ∴原式＝tan10°tan20°＋3tan30°(1－tan20°·tan10°)＝tan10°·tan20°＋1－tan20°·tan10°＝1.4．tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，那么α＋β的值为( )A.π3B ．－2π3C.π3或－2π3D ．－π3或2π3[答案] B[解析] 由韦达定理得tan α＋tan β＝－33，tan α·tan β＝4，∴tan α<0，tan β<0，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3 又－π2<α<π2，－π2<β<π2，且tan α<0，tan β<0 ∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－2π3. [点评] 由tan α与tan β的和与积，先判断tan α与tan β的符号，可进一步限定角α、β的取值范围．请再做下题：tan α、tan β是方程x 2＋3x －2＝0的两个根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，那么α＋β的值是( )A ．－π6B ．－2π3C.π6或－5π6D ．－π3或2π3[答案] A[解析] 由韦达定理得，⎩⎨⎧ tan α＋tan β＝－3tan α·tan β＝－2tan α与tan β一正一负，不妨设tan α>0，tan β<0，那么0<α<π2，－π2<β<0，∴－π2<α＋β<π2，又tan(α＋β)＝－31－(－2)＝－33.∴α＋β＝－π6.5．设α和β是一个钝角三角形的两个锐角，以下四个不等式中不正确的选项是() A ．tan α·tan β<1B ．sin α＋sin β< 2C ．cos α＋cos β>1D.12tan(α＋β)<tan α＋β2[答案] D [解析] 取特例，令α＝β＝π6可得，12tan(α＋β)＝32，tan α＋β2＝33，∴12tan(α＋β)>tan α＋β2，∴D 不正确．6.sin6°＋cos15°·sin9°cos6°－sin15°·sin9°的值为( )A ．2＋ 3B.2＋32C ．2－ 3D.2－32[答案] C[解析] si n6°＝sin(15°－9°)＝sin15°cos9°－cos15°sin9°，cos6°＝cos(15°－9°)＝cos15°cos9°＋sin15°sin9°， ∴原式＝tan15°＝tan(45°－30°)＝1－tan30°1＋tan30°＝2－3，应选C.7．α、β为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，那么tan β的值为( ) A.13B.139C.1315D.59[答案] B[解析] ∵α是锐角，cos α＝45，故sin α＝35，tan α＝34∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan(α－β)1＋tan α·tan (α－β)＝139.8．在△ABC 中，假设tan B ＝cos(C －B )sin A ＋sin(C －B )，那么这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形[答案] B[解析] 因为△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以tan B ＝cos(C －B )sin A ＋sin(C －B )＝cos C cos B ＋sin C sin B sin(B ＋C )＋sin(C －B )＝cos Ccos B ＋sin C sin B2cos B sin C ，即sin B cos B ＝cos C ·cos B ＋sin Csin B2cos B sin C ，∴cos(B ＋C )＝0，∴cos(π－A )＝0，∴cos A ＝0，∵0<A <π，∴A ＝π2，∴这个三角形为直角三角形，应选B.9．sin α＝35，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝1，那么tan β的值是() A ．－7B ．7C ．－34D.34[答案] B[解析] 由sin α＝35，α为第二象限角，得cos α＝－45， 那么tan α＝－34. ∴tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan(α＋β)－tan α1＋tan(α＋β)tan α＝1＋341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝7.10．假设a ＝tan20°，b ＝tan60°，c ＝tan100°，那么1ab ＋1bc ＋1ca＝( ) A ．－1B ．1C ．－ 3 D. 3[答案] B[解析] ∵tan(20°＋100°)＝tan20°＋tan100°1－tan20°tan100°， ∴tan20°＋tan100°＝－tan60°(1－tan20°tan100°)，即tan20°＋tan60°＋tan100°＝tan20°·tan60°·tan100°，∴tan20°＋tan60°＋tan100°tan20°·tan60°·tan100°＝1， ∴1ab ＋1bc ＋1ca ＝1，选B.二、填空题11．假设tan α＝2，tan(β－α)＝3，那么tan(β－2α)的值为________．[答案] 17[解析] tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tan(β－α)－tan α1＋tan(β－α)·tan α＝3－21＋3×2＝17. 12．化简3－tan18°1＋3tan18°＝________. [答案] tan42°[解析] 原式＝tan60°－tan18°1＋tan60°·tan18°＝tan(60°－18°)＝tan42°. 13．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝12，tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－α2＝－13，那么tan α＋β2＝________. [答案] 17[解析] tan α＋β2＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2 ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－131－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝17. 14．不查表求值：tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°＝______.[答案] 1[解析] tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°＝tan(15°＋30°)(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30°＝tan45°(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30°＝1－tan15°tan30°＋tan15°tan30°＝1.三、解答题15．化简：tan(18°－x )tan(12°＋x )＋3[tan(18°－x )＋tan(12°＋x )]．[分析] 对此题进行观察，发现它有两个特征：一个特征是该三角式的前半段是两个角正切函数的积，而后半段是这两个角正切函数的和的倍数；另一个特征是这两个角的和(18°－x )＋(12°＋x )＝30°，而30°是特殊角，根据这两个特征，很容易联想到正切的和角公式．[解析] ∵tan[(18°－x )＋(12°＋x )]＝tan(18°－x )＋tan(12°＋x )1－tan(18°－x )·tan (12°＋x )＝tan30°＝33∴tan(18°－x )＋tan(12°＋x ) ＝33[1－tan(18°－x )·tan(12°＋x )] 于是原式＝tan(18°－x )tan(12°＋x )＋3·33[1－tan(18°－x )·tan(12°＋x )]＝1.16．设tan α，tan β是方程ax 2－(2a ＋1)x ＋(a ＋2)＝0的两根，求证：tan(α＋β)的最小值是－34. [解析] 由tan α，tan β是方程的两根得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(2a ＋1)2－4a (a ＋2)≥0a ≠0⇒a ≤14且a ≠0， 又⎩⎪⎨⎪⎧ tan α＋tan β＝2a ＋1a tan α·tan β＝a ＋2a ，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2a ＋1a 1－a ＋2a＝－12－a ≥－12－14＝－34. ∴tan(α＋β)的最小值是－34. 17．是否存在锐角α、β，使得(1)α＋2β＝2π3，(2)tan α2·tan β＝2－3同时成立？假设存在，求出锐角α、β的值；假设不存在，说明理由．[解析] 假设存在锐角α、β，使得(1)α＋2β＝2π3，(2)tan α2·tan β＝2－3同时成立． 由(1)得α2＋β＝π3， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β＝tan α2＋tan β1－tan α2tan β＝ 3. 又tan α2tan β＝2－3，所以tan α2＋tan β＝3－ 3. 因此tan α2，tan β可以看成是方程x 2－(3－3)x ＋2－3＝0的两个根．解得：x 1＝1，x 2＝2－ 3.假设tan α2＝1，那么α＝π2，这与α为锐角矛盾． 所以tan α2＝2－3，tan β＝1，所以α＝30°，β＝45°. 所以满足条件的α、β存在，且α＝30°，β＝45°.。
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1 - 3tan75 (2) 3 + tan75o
o
=cot(60°+75°)=cot135°=－1 ° ° ° －
练习 1.求下列各式的值：
1 + tan 75 (1) 1 − tan 75
− 3
1
(2) tan17°+tan28°+tan17°tan28° ° ° ° °
tan17° + tan 28° tan 45° = 1 − tan17° tan 28°
2 π 1 例4 已知tan(α + β) = 5 ,tan(β − 4 )= 4 , 求tan(α + )的值。 4 π π 解： tan(α + ) = tan[(α + β) − (β − )] 4 4 π tan(α + β) − tan(β − ) 4 = π 1 + tan(α + β) tan(β − ) 4
记 ： T(α + β )
tan α − tan β 记 : T( α - β ) tan(α − β ) = 1 + tan α tan β 注意：1°必须在定义域范围内使用上述公式。 即：tanα，tanβ，tan(α±β)只要有一个不存在 就不能使用这个公式，只能(也只需)用诱导公 式来解。如:已知tan α =2,求tan( π − α ) 不能用 T(α − β )
3 1+ 3 = 3 1− 3
= 2+ 3
tan105°=tan(60°+45°) ° ° °
tan 60° + tan 45° = 1 − tan 60° tan 45°
3 +1 = 1− 3
= −(2 + 3)
例2、化简： (1) tan(α + β )(1 − tan α tan β ) 、化简： tan(α − β ) + tan β (2) 1 − tan(α − β ) tan β
2
2°注意公式的结构，尤其是符号。
如何求cot(a+β), cot(a－β)? 问:如何求 如何求 － 有关两角和差的余切问题， 有关两角和差的余切问题，一般都是将它 由同角公式的倒数关系化为两角和差的正切， 由同角公式的倒数关系化为两角和差的正切， 用公式来解决． 用公式来解决．
1 − tan α tan β cot(α + β ) = = tan(α + β ) tan α + tan β 1
1 tan α = 2
练习
1、已知tanθ和tan( −θ)是方程x2 + px + q = 0的两个根， 4 q − p =1 问p、q满足的关系式？ 1− tan A 2、(1)已知 = 4 + 5，求cot A 值 的 . 1+ tan A (2)tan16 + tan104 − 3tan16 tan104 tan104
1 + tan α tan β cot(α − β ) = = tan(α − β ) tan α − tan β 1
例1. 求tan75°和tan105°的值： ° °的值： 解：tan75 ° =tan(45 ° +30 °)
tan 45° + tan 30° = 1 − tan 45° tan 30°
(3) tan 20 + tan 40 ° +
3 ta + bx + c = 0(b ≠ 0, a ≠ c) tan
2
的两根， 求cot(α + β)
b c tan α + tan β = − , tan α tan β = a a
c 1− 1 a cot(α + β) = = tan(α + β) − b a c−a = b
(
)(
)
(
)(
)
3、（ ）0； 、（1） ； 、（
4. − 3
(2) − 3
5. 2
23
，
π
3 = 22
2 变式：已知cot α = 2, α − β)=- , tan( 3 求tan(β − 2α)的值。
tan(β − 2α ) = − tan(2α − β) = − tan[α + (α − β)]
1 2 + (− ) 1 2 3 =− = 1 2 1 − ⋅ (− ) 8 2 3
tan α + tan(− β ) tan[α + (− β )] = 1 − tan α tan(− β )
tan α − tan β = 1 + tan α tan β
tanα − tan β ∴tan(α − β) = 1+ tanα tan β
记T(α − β )
两角和与差的正切公式 tan α + tan β tan(α + β ) = 1 − tan α tan β
tan α + tan β (1) ∵ tan(α + β ) = 1 − tan α tan β
所以原式=tanα+tanβ. 所以原式 (2) 原式 原式=tan[(α－β)+β] － =tan α.
例3、求值： 、求值： o o tan71 - tan26 (1) 1+ tan71o tan26o =tan(71°－26°)=tan45°=1 ° ° °
分子分母同时除以 cos α cos β 当 cos α cos β ≠ 0时，
tanα + tan β tan(α + β) = 1− tanα tan β
记：T(α + β )
tan α + tan β tan(α + β ) = 1 − tan α tan β
上式中以−β代 上式中以−β代β得 −β
3.1.3两角和与差的正切 两角和与差的正切
cos(α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β
sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β
两角和的正切公式： sin(α + β ) tan(α + β ) = cos(α + β )
sin α cos β + cos α sin β = cos α cos β − sin α sin β
5 −5 (1) 2
π
(2) − 3
3 (1)1 、计算： + tan66 + tan69 − tan66 tan69 (2)tan16 + tan104 − 3tan16 tan104 tan20 + tan40 + tan120 4、求值 ： tan20 tan40
5、计算 1+ tan1 1+ tan2 ⋅⋯⋅ 1+ tan43 1+ tan44 ：