【数学】广东省普宁市华美实验学校2014-2015学年高二6月月考(理)

广东省普宁市华美实验学校2014-2015学年高二6月月考（理）试卷满分：150分；考试时间：120分钟一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1.设集合{}{}{}1,2,3,4,5,2,3,4,3,5U A B ===，则图中阴影部分所表示的集合为( ）A.{}2,3B.{}1,4C.{}5D.{}62、已知()212bi i+=（R b ∈，i 是虚数单位），则b =（ ）A ．2B ．1C ． 1±D ．1或23.已知向量()()()5,2,4,3,,a b c x y ==--=，若320a b c -+=，则c =（ ） A.()23,12--B.()23,12C.()7,0D.()7,0-4.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）A.263B.83π+C.143πD.73π5、已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且公比1q ≠，若2a 、312a 、1a 成等差数列，则公比q =（ ）A．或 B． C．或 D．6、抛物线280y x -=的焦点F 到直线:l 10x y --=的距离是（ ） U ABA．BC．D．7、若()f x是奇函数，且0x是()xy f x e=+的一个零点，则0x-一定是下列哪个函数的零点（）A．()1xy f x e=--B．()1xy f x e-=+C．()1xy e f x=-D．()1xy e f x=+8.已知函数()f x的定义域为D，如果存在实数M，使对任意的x D∈，都有()f x M≤，则称函数()f x为有界函数，下列函数：①()2,xf x x R-=∈②()()ln,0,f x x x=∈+∞③()()()2,,00,1xf x xx=∈-∞+∞+；④()()sin,0,f x x x x=∈+∞为有界函数的是（）A.②④B.②③④C.①③D.①③④二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 如图所示的流程图，若输入x的值为2，则输出x的值为10. 设变量yx,满足约束条件203x yx yx-+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则yxz2+=的最小值为.11. 函数()lnf x x x=在点()(),e f e处的切线方程为___________________.12.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为45，以其焦点为顶点，左右顶点为焦点的双曲线的渐近线方程为____ .13.项为的二项展开式中的常数）（61xx - . 14.=+>=+a ba ab b a 取得最小值时，当设21,0,2 三、解答题（本大题共6小题，满分80分。

解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分12分）已知函数()sin 1f x x x ωω=+（其中0,x R ω>∈）的最小正周期为6π. ⑴求ω的值；⑵ 设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，13217f πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()1135f βπ+=，求()cos αβ+的值. 16.（本小题满分12分）某学校随机抽取部分新生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学路上所需时间的范围是[]0,100，样本数据分组为[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100．()1求直方图中x 的值；()2如果上学路上所需时间不少于60分钟的学生可申请在学校住宿，请估计学校1000名新生中有多少名学生可以申请住宿；()3现有6名上学路上时间小于40分钟的新生，其中2人上学路上时间小于20分钟．从这6人中任选2人，设这2人中上学路上时间小于20分钟人数为X ，求X 的分布列和数学期望．17（本小题满分14分）如图，直角梯形CD AB 中，//CD AB ，C AB ⊥B ，1AB =，C 2B =，CD 1=+过A 作CD AE ⊥，垂足为E ．F 、G 分别是C E 、D A 的中点．现将D ∆A E沿AE 折起，使二面角D C -AE -的平面角为135．()1求证：平面DC E ⊥平面C AB E ；()2求直线FG 与平面DC E 所成角的正弦值．18（本小题满分14分）（本小题满分14分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知122n n a S +=+（n *∈N ）．()1求数列{}n a 的通项公式；()2在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，求证：121111516n d d d ++⋅⋅⋅+<（n *∈N ）．19（本小题满分14分） 设00(,)P x y 是圆222:3O x y +=外的动点，过P 的直线与圆O 相切，切点为,A B ，设切线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，且满足1212k k =-． （1）求点P 的轨迹方程C ；（2）若动直线12,l l 均与C 相切，且12//l l ，试探究在x 轴上是否存在定点Q ，点Q 到12,l l 的距离之积恒为1？若存在，请求出点Q 坐标；若不存在，请说明理由． ．20（本小题满分14分）已知函数（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若在区间(1,2)上存在不相等的实数成立，求的取值范围；（Ⅲ）若函数有两个不同的极值点，，求证：．答案一，选择题：1，C 2，B 3，A 4，D 5，D 6，B 7，C 8，C 二、填空题：9， 7 10，-3 11，20x y e --= 12，34y x=±13，15 14， —2三，解答题：15解：⑴ ()sin 12sin()13f x x x x πωωω=+=-+ …………3分26T ππω==，所以13ω=. ………………………………………………6分()12sin()133f x x π=-+注：如果()2cos()16f x x πω=-++等正确结果的话相应给分即可.⑵1132sin (3)12sin 12cos 12323217f ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=-+=-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以8cos 17α=………………………………………………………………7分()11132sin (3)12sin 1335f πβπβπβ⎛⎫+=+-+=+=⎪⎝⎭ 所以3sin 5β=…………………………………………………………………8分因为,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以154sin ,cos 175αβ====，10分所以()13cos cos cos sin sin 85αβαβαβ+=-=-. …………………………12分,16，解：()1由直方图可得：200.0125200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=所以0.025x =.……………………………2分()2新生上学所需时间不少于60分钟的频率为：0.0032200.12⨯⨯=……………4分因为10000.12120⨯=所以1000名新生中有120名学生可以申请住宿………………6分()3X 的可能取值为0，1，2. …………………………………7分0224262(0)5C C P X C ⋅===，1124268(1)15C C P X C ⋅===，2024261(2)15C C P X C ⋅===……10分所以X 的分布列为：………………………11分2812012515153EX =⨯+⨯+⨯=………………………………12分17，()1证明：DE ⊥AE ，CE ⊥AE ，,DE CE E DE CE CDE =⊂，平面∴ AE ⊥平面CDE ……3分AE ⊂平面ABCE∴平面⊥DCE 平面ABCE ……5分()2以E 为原点，EA 、EC 分别为,x y 轴，建立空间直角坐标系……6分DE ⊥AE ，CE ⊥AE∴DEC ∠是二面角C AE D --的平面角，即DEC ∠=0135……7分1=AB ，2=BC，21+=CD ，∴A （2，0，0），B （2，1，0），C （0，1，0），E （0，0，0），D （0，1-，1）……9分F 、G 分别是CE 、AD 的中点∴F 1002（，，），G 11122-（，，）……10分∴FG =1112-(，，)，AE =(2,0,0)-……11分 由()1知AE 是平面DCE 的法向量……12分设直线FG 与平面DCE 所成角02παα≤≤（），则22sin ||||33||||22FG AE FG AE α⋅-===⋅⨯故求直线FG 与平面DCE 所成角的正弦值为23……14分（列式1分，计算1分）18，()1解：设等比数列}a {n 的首项为1a ，公比为q ，………………1分2S 2a n 1n +=+，2S 2a 1n n +=-（2n ≥）………………2分 ∴)S S (2a a 1n n n 1n -+-=-=n a 2即3a a n 1n =+(2n ≥)………3分当1n=,得2a 2a 12+=，即2a 2a 311+=，解得：2a 1=……………4分1n 1n 1n 32q a a --⋅=⋅=………5分即123n n a -=⨯.………6分()2证明：1(1)n n n a a n d +=++，则1431n n d n -⨯=+，11143n n n d -+=⨯………8分 =+⋅⋅⋅++n 21d 1d 1d 1)31n 343332(411n 20-++⋅⋅⋅++………9分 设=n T 1n 2031n 343332-++⋅⋅⋅++① 则31=n T n 22131n 343332++⋅⋅⋅++②………10分①-②得：32=n T 2+n1n 3231n 31313131+-+⋅⋅⋅++- =2+n1n 31n 31])31(1[31+----=………12分)31n 321(23415T n1n n ++⋅-=-415<………13分 161541541d 1d 1d 1n 21=⋅<+⋅⋅⋅++………14分19，解：（1）设过00(,)P x y 的切线方程是00()y y k x x -=-， 即000kx y y kx -+-=------1分由它和圆222:3O x y +=相切得：d ==------2分化简得：2220000(32)6320x k x y k y --+-=由题意，上面方程的两个根为12,k k ，且2023x ≠， 所以，201220321,322y k k x -==--，即22200021()23x y x +=≠ ------5分 ∴C 的方程为2221()23x y x +=≠±．---------------------------------------------6分（2）①当直线12,l l 斜率存在时，设其方程为,y kx m y kx n =+=+ 把1l 的方程代入椭圆方程得222(12)4220k x mkx m +++-=∵直线1l 与椭圆C 相切，∴2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-=，化简得2212m k =+-------------------------------------------------------------------------------------9分同理，2212n k =+∴22m n =，若m n =，则12,l l 重合，不合题意，∴m n=------------------------10分设在x 轴上存在点Q(t ，0)，点Q 到直线12,l l 的距离之积为1，则1=，即22||1k t m k-=+，--------------------------------------11分把2212k m +=代入并去绝对值整理，22(3)2k t -=或者22(1)0k t -=前式对任意的k 显然不恒成立；而要使得后式对任意的k R ∈恒成立则210t -=，解得1t =±； -------------------------------------------------13分②当直线12,l l 斜率不存在时，其方程为x =x =定点(1,0)-到直线12,l l 的距离之积为1)1=；定点(1,0)到直线12,l l 的距离之积为1)1=； 综上所述，满足题意的定点Q为(1,0)-或(1,0)--------------------------------------------14分, 20，.解：（Ⅰ）当时，，．由，解得，． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增．所以的单调增区间为，单调减区间为．--------4分（Ⅱ）依题意即求使函数在上不为单调函数的的取值范围．，设，则，．因为在上为增函数．所以，， -----------------------------8分即当时，函数在上有且只有一个零点，设为，当时，，即，为减函数； 当时，，即，为增函数，满足在上不为单调函数．-----------------------------9分 （Ⅲ）．因为函数有两个不同的零点，即有两个不同的零点，即方程的判别式，。