初等数论竞赛训练

初等数论竞赛训练
1.（2006一试6）数码1232006,,,,a a a a 中有奇数个9的2007位十进制数12320062a a a a 的个数为 ．
2.(2008一试5) 方程组0,
0,
0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩
的有理数解(,,)x y z 的个数为 ．
3.（2011一试8）
已知
200200(1,2,,95)n
n
n
n a C n -=⋅
⋅= ，则数列}{n a 中整数项的个数为 ．
4.（2009二试3）设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k ≥，使得C k m 与
l 互素．
5.（2010二试）设m 和n 是大于1的整数，求证：
11111112(1)().1m m n m
m
m
k k j
j m m k j i n n C n C i m -+===⎧⎫+++=+-⎨⎬+⎩⎭
∑∑∑
6.（2011二试2）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式
0111)(a x a x a x x f n n n ++++=--
具有如下性质：（1）110,,,-n a a a 均为正整数；（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数k r r r ,,,21 ，均有)()()()(21k r f r f r f m f ≠．
7.（2012二试2）试证明：集合{}
22,2,,2,n
A = 满足
（1）对每个a A ∈，及b N *
∈，若21b a <-，则(1)b b +一定不是2a 的倍数；
（2） 对每个a A ∈（其中A 表示A 在Ｎ 中的补集），且1a ≠，必存在b N *
∈，
21b a <-，使(1)b b +是2a 的倍数．
8.（2013二试2）给定正整数,u v .数列{}n a 定义如下：1a u v =+，对整数1m ≥， 221,
.
m m m m a a u a a v +=+⎧⎨
=+⎩
记12m m S a a a =+++ （1,2,m = ）.证明：数列{}n S 中有无穷多项是完全平方数.
初等数论参考答案
4.【解析】证法一：对任意正整数t，令(!)
m k t l k
=+⋅⋅．我们证明()
C1
k
m
l=
，．
设p是l的任一素因子，只要证明：p／∣C k
m
．
若p／∣k!，则由
1
!C()
k
k
m
i
k m k i
=
=-+
∏
1
[((!)]
k
i
i tl k
=
≡+
∏
1
k
i
i
=
≡∏()1
!mod
k pα+
≡．及|!
p k
α，且pα+1／∣k!，知|!C k
m
p k
α且1
α+
p／∣!C k
m
k．从而p／∣C k
m
．
证法二：对任意正整数t，令2
(!)
m k t l k
=+⋅⋅，我们证明()
C1
k
m
l=
，．
设p是l的任一素因子，只要证明：p／∣C k
m
．若p／∣k!，则由
1
!C()
=
=-+
∏k
k
m
i
k m k i2
1
[((!)]
k
i
i tl k
=
≡+
∏
1
k
i
i
=
≡∏()
!mod
k p
≡．
即p不整除上式，故p／∣C k
m
．
若|!
p k，设1
α≥使|!
p k
α，但1!
p k
α+Œ．12
|(!)
p k
α+．故由
1
1
!C()
k
k
m
i
k m k i
-
=
=-+
∏2
1
[((!)]
k
i
i tl k
=
≡+
∏
1
k
i
i
=
≡∏()1
!mod
k pα+
≡,及|!
p k
α，且pα+1／∣k!，
知|!C k
m
p k
α且1
α+
p／∣!C k
m
k．从而p／∣C k
m
5.证明：
1
1
1
1)
m
m j j
m
j
q C q
+
+
+
=
+=∑
由（得到11
1
(1),
m
m m j j
m
j
q q C q
++
+
=
+-=∑
1,2,,
q n
=
分别将代入上式得：1
1
21,
m
m j
m
j
C
+
+
=
-=∑
11
1
322,
m
m m j j
m
j
C
++
+
=
-=∑ 111
(1)(1),
m
m m j j
m
j
n n C n
++
+
=
--=-
∑
11
1
(1).
m
m m j j
m
j
n n C n
++
+
=
+-=∑
n
将上面个等式两边分别相加得到：1
1
01
(1)1(),
m n
m j j
m
j i
n C i
+
+
==
+-=∑∑
1
1
111
(1)(1)1(1),
m n n
m j j m
m
j i i
n n n C i m i
-
+
===
++-=+++
∑∑∑
（）
11111112(1)().1m m n
m
m
m
k k j j m m k j i n n C n C i m -+===⎧⎫+++=+-⎨⎬+⎩⎭
∑∑∑
7.【解析】证明:对任意的a A ∈,设2,,k a k N *=∈则122,k a +=如果b 是任意一个小于
21a -的正整数,则121b a +≤-
由于b 与1b +中,一个为奇数,它不含素因子2,另一个是偶数,它含素因子2的幂的次数最多为k ,因此(1)b b +一定不是2a 的倍数；
若a A ∈,且1,a ≠设2,k a m =⋅其中k 为非负整数,m 为大于1的奇数, 则1
22k a m +=⋅
下面给出(2)的三种证明方法:
证法一:令1,12,k b mx b y +=+=消去b 得12 1.k y mx +-=
由于1
(2,)1,k m +=这方程必有整数解;1
002k x x t
y y mt +⎧=+⎪⎨=+⎪⎩其中00,(,)t z x y ∈为方程的特解.
把最小的正整数解记为(,),x y **则1
2k x *+<,故21,b mx a *=<-使(1)b b +是2a 的倍数．
证法二:由于1
(2
,)1,k m +=由中国剩余定理知,同余方程组
10(mod 2)1(mod )
k x x m m +⎧=⎨
=-⎩在区间1
(0,2)k m +上有解,x b =即存在21,b a <-使(1)b b +是2a 的倍数．。