高三练习等比数列有答案

1.
等比数列{}n a 中，前项和为n S ，10203010,30,S S S === 70
2.
已知数列{}n a 的前n 项和5(n n
S t t =+是实数)，下列结论正确的是 B
A ．t 为任意实数，{}n a 均是等比数列
B ．当且仅当1t =-时，{}n a 是等比数列
C ．当且仅当0t
=时，{}n a 是等比数列 D ．当且仅当5t =-时，{}n a 是等比数列
3.
（2010浙江理）（3）设n S 为等比数列
{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则
5
2
S S =（A ）11 （B ）5 （C ）8- （D ）11- 解析：通过2
580a a +=，设公比为q ，将该式转化为08322=+q a a ，解得q =-2，带入所求式可知答案选D ，本题主要考察了本题
主要考察了等比数列的通项公式与前n 项和公式，属中档题
4. （2010辽宁文）设n S 为等比数列
{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q =
(A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 解析：选B. 两式相减得， 3433a a a =-，4
4
33
4,4a a a q a =∴=
=. 5.
（2010辽宁理）（6）设{a n }是有正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和。

已知a 2a 4=1, 37S =,则5S =（A ）
152 (B)31
4
(C)
334
(D)
17
2 【答案】B 【解析】由a 2a 4=1可得24
11a q
=，因此12
1
a q =
，又因为23
1(1)7S a q q =++=，联力两
式有11(
3)(2)0q q
+-=，所以q=
12,所以55
1
4(1)
3121412
S --
=
=-，故选B 。

6.
（2010广东理）4. 已知{}n a 为等比数列，S n 是它的前n 项和。

若2312a a a ⋅=， 且4a 与27a 的等差中项为
54
，则5S =
A ．35 B.33 C.31 D.29【答案】C 解析：设{n a }的公比为q ，则由等比数列的性质知，
231412a a a a a ⋅=⋅=，即42a =。

由4a 与27a 的等差中项为
5
4
知，475224
a a +=⨯
，即7415151(2)(22)24244
a a =
⨯-=⨯-=． ∴3
741
8
a q a =
=，即12q =．3411128a a q a ==⨯=，即116a =．
7. 若等比数列{a n }的公比q ＜0，前n 项和为S n ，则S 8a 9与S 9a 8的大小关系是 A.S 8a 9＞S 9a 8
B.S 8a 9＜S 9a 8
C.S 8a 9=S 9a 8
D.不确定
解析：由等比数列通项公式和前n 项和公式得S 8·a 9－S 9·a 8=－q
q a --1)
1(81·a 1q 3－
q q a --1)1(91·a 1q 7=q a q q q a ----1)]()[(1671682
1=q
q q a --1)(7
82
1
=－a 12q 7.又q ＜0，则S 8·a 9－S 9·a 8＞0，即S 8·a 9＞S 9·a 8.答案：A
8. 已知数列｛a n ｝为等差数列，公差d ≠0，｛a n ｝的部分项组成下列数列：a 1
k ，a 2
k ，…，a n
k ，恰为等比数列，其中k 1＝1，k 2
＝5，k 3＝17，求k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n .
剖析：运用等差（比）数列的定义分别求得a n
k ，然后列方程求得k n .
解：设｛a n ｝的首项为a 1，∵a 1
k 、a 2
k 、a 3
k 成等比数列，∴（a 1＋4d ）2
＝a 1（a 1＋16d ）.得a 1＝2d ，q ＝
1
2k k a a ＝3.∵a n
k ＝a 1＋（k n
－1）d ，又a n
k ＝a 1·3n －1
，∴k n ＝2·3n －1
－1.∴k 1＋k 2＋…＋k n ＝2（1＋3＋…＋3n －1
）－n ＝2×3
131--n
－n ＝3n －n －1.
评述：运用等差（比）数列的定义转化为关于k n 的方程是解题的关键转化时要注意a n
k 是等差数列中的第k n 项而是等比数列中的第n 项.
9. 等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项中，数值最大的一项是54，若该数列的前n 项之和为S n ，且S n =80，S 2n =6560，求：（1）
前100项之和S 100.（2）通项公式a n .
解：设公比为q ，∵S 2n －S n =6480＞S n ，∴q ＞1.则最大项是a n =a 1q n －1
（∵a n ＞0）. ①又S n =q
q a n --1)1(1=80， ②
S 2n =q
q a n --1)1(21=6560③由①②③解得a 1=2，q =3，则前100项之和S 100=13)13(2100--=3100－1.（2）通项公式为a n =2·3n －
1.
10. 等比数列{n a }的前n 项和为n s ，已知1S ,3S ,2S 成等差数列1)求{n a }的公比q ； （2）求1a －3a ＝3，求n s
（Ⅰ）依题意有)(2)(2111111
q a q a a q a a a ++=++由于01≠a ，故022=+q q 又0≠q ，从而2
1
－
=q （Ⅱ）由已知可得321211=--）（a a 故41=a 从而））（（）
（）
）（（n n
n
211382112114--=----=S
11. （2010北京文）（16）（本小题共13分） 已知||n a 为等差数列，且3
6a =-，60a =。

（Ⅰ）求||n a 的通项公式； （Ⅱ）若等差数列||n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求||n b 的前n 项和公式
解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d 。

因为366,0a a =-= 所以11
26
50a d a d +=-⎧⎨+=⎩ 解得110,2a d =-=
所以10(1)2212n
a n n =-+-⋅=- （Ⅱ）设等比数列{}n
b 的公比为q 因为212324,8b a a a b =++=-=-
所以824q -=- 即q =3所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)
4(13)1n n n b q S q
-=
=-- 12. 已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列. （Ⅰ）求数列{a n }的通项; （Ⅱ）求数列{2an
}的前n 项和S n .
解 （Ⅰ）由题设知公差d ≠0， 由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得
121
d
+＝
1812d d
++，
解得d ＝1，d ＝0（舍去）， 故{a n }的通项a n ＝1+（n －1）×1＝n . (Ⅱ)由（Ⅰ）知2
m
a =2n
，由等比数列前n 项和公式得
S m
=2+22
+23
+ (2)
=2(12)
12
n --=2
n+1
-2.
13. 已知等差数列
{}n a 的前n 项和为n s ，且1151
,602a s ==，
（Ⅰ）求数列
{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设4n
a
n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
解：（Ⅰ）设数列{}n a 公差为d ，由已知得：15
11514156022S d ⨯=⨯+=解得 1
2
d =
∴ 通项公式111(1)(1)222
n n a a n d n =+-=+-⨯= ，即 2n n a = ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2n n
a = ∴
12
244(4)2n
n
a n
n
n b ==== 即 {}n b 是公比为2首项为12b =的等比数列，∴ {}n b 的前n 项和12(12)
2212
n n n T +-==--．
14. （2010北京文）（16）（本小题共13分）已知||n a 为等差数列，且36a =-，60a =。

（Ⅰ）求||n a 的通项公式；（Ⅱ）若等差数列||n b 满足1
8b =-，2123b a a a =++，求||n b 的前n 项和公式
解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d。

因为366,0a a =-=所以11
26
50a d a d +=-⎧⎨+=⎩ 解得110,2a d =-=
所以10(1)2212n a n n =-+-⋅=- （Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q 因为212324,8b a a a b =++=-=-
所以824q -=- 即q =3所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)
4(13)1n n n b q S q
-==--
15. （2010重庆文）（16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分. ） 已知
{}n a 是首项为19，公差为-2的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和.（Ⅰ）求通项n a 及n S ；
（Ⅱ）设
{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T
.
16. 设数列｛a n ｝，a 1＝
6
5
，若以a 1，a 2，…，a n 为系数的二次方程：a n －1x 2－a n x ＋1＝0（n ∈Ｎ*且n ≥2）都有根α、β满足3α－αβ＋3β＝1. （1）求证:｛a n －
2
1
｝为等比数列；（2）求a n ；（3）求｛a n ｝的前n 项和S n . （1）证明：∵α＋β＝
1-n n a a ，αβ＝11-n a 代入3α－αβ＋3β＝1得a n ＝31a n －1＋3
1
， ∴
2121
1
--
-n n a a ＝2
121313
111--
+--n n a a ＝31为定值.∴数列｛a n
－21｝是等比数列.
（2）a 1－
21＝65－21＝31，∴a n －21＝31×（31）n －1＝（31）n .∴a n ＝（31）n ＋2
1. （3）解：S n ＝（31＋231+…+n 31)+2n ＝
3
11)
311(31--n +2n ＝21+n －n 321⨯.
17. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若对于任意的n ∈N *
，都有S n =2a n －3n ． ⑴求数列{a n }的首项a 1与递推关系式：a n+1=f (a n )；
⑵先阅读下面定理：“若数列{a n }有递推关系a n+1=A a n +B ，其中A 、B 为常数，且A ≠1，B ≠0，则数列}1{A
B
a n --
是以A 为公比的等比数列。

”请你在⑴的基础上应用本定理，求数列{a n }的通项公式； ⑶求数列{a n }的前n 项和S n ．
解：⑴令n=1,S 1=2a 1－3。

∴a 1 =3 ，又S n+1=2a n+1－3(n+1), S n =2a n －3n,两式相减得，
a n+1 =2a n+1－2a n －3，则a n+1 =2a n +3 …………4分 ⑵按照定理：A=2，B=3，∴{ a n +3}是公比为2的等比数列。

则a n +3=（a 1+3）·2
n －1
=6·2
n －1
，∴a n =6·2
n －1
－3 。

…………9分
⑶6(12)
3623612
n n n S n n -=
-=--- 。

……………14分。