人教版高中数学必修五《阅读与思考—九连环》
阅读与数学核心素养的关系——以阅读材料《九连环》为例
一
２ ２
数 学教 学
２ ０ １ ７ 年第 １ ０ 期
（ ２ ） 能在具体 问题 情境 中发现数 列的递推
关系．
过程方法：
（ １ ）经 历 动 手操 作 、探 索 规 律 、提 出 问 题 、建 立 模 型 、解 决 问题 、 方法 应 用 的学 习过
程：
我们用 “ ０ ” 和“ １ ” 来 表示环 的状态 （ 有学生 想 到用 “ ＋ ” 和“ 一 ” 来表 示） ， 是体现 了核心 素养 中的“ 数 学 抽 象” ，并 且 引 入 “ ０ ” 和“ １ ” 之 后 顺 势 提 出了“ 二进制” 和“ 格 雷码 ” 概念．
１ ． ２ 渗 透 数 学 文 化
在 阅读材 料 中介绍 我 国古代在 数学领 域 中的巨大成就， 例如 “ 祖咂原理” 、“ 海伦秦 九韶 公 式” 和“ 九连 环” 等， 让学 生接 受数 学 精神 、 思想和 方法方面 的熏 陶， 培养他们勤 于思考、 坚忍不拔、勇于创新 的精神． １ ． ３ 完善学 生的数学认 知结构 通 过 学 习 与 之 前 所 学 知 识 有 密 切 联 系 的 阅读 材料 ， 拓展 了学生 的知识面 ， 促 进学 生对 拓展知 识的理解， 进一步完善原有 的数学 认知 结构， 形成 自身 的知识体系．
２ ０ １ ７ 年第 １ ０ 期
数 学数 学
１ ０ － ￣ １
阅读 与数 学核 心素 养 的关 系
一
以阅读 材 料 九 连 环 为例
杨 冬 冬
（ 浙江省 宁波市镇 海 中学， 浙江 宁波 ３ １ ５ ２ ０ ０ ）
２ ０ ０ ０ 年 颁布 的 《 九年 制义 务教 育全 日制 初 级 中学 数 学教 学大 纲 （ 试用修订版） 》 中第 一 次提 出“ 数学素养” 这～新概念， 指 出： “ 使 学生 受 到必 要 的数 学 教育， 具有 一 定 的数 学素 养， 对于提 高全 民族素质 ， 为培养 社会主义建 设人 才奠 定基础 是十 分必要 的” ． 那 时并没 有 具体 提 出数学核心素养 的内容， 直到 ２ ０ １ １ 年颁布 的 《 义 务教 育数 学课程 标准 》 明确 提 出了 ｌ ０ 个 核 心 素 养 ：数 感 、符 号 意 识 、 空 间 观 念 、 几 何 直观 、数据分析观念 、运算能力 、推理能力、 模型思想 、直观想象和创新 意识． 从一开始 的 模糊 概念， 到２ ０ １ １ 年 的具体 内容要求 ， 国家 层 面提 出了数学培养 目标 ， 给 了知识传授者更加 明确 的方 向， 紧接 着在近几年 又提 出了数 学抽 象、逻辑推 理、数 学建模 、直观想象、数学运 算 、逻辑 推理和 数据 分析六 个数 学核 心素养， 这又进一 步概 括 了培养 目标 ， 给 高 中数学 的教 学奠定 了基础 ． 在人教版高 中数 学教材 中， 每章节后 都会 有“ 阅读 与思考” 板 块， 它所涉及 内容涵盖 了数 学 史 类 、 知 识拓 展 类 、实 际 应 用 类 和 思想 方 法 类等， 是 学 生 课 内 外 知 识 的拓 展 和 衍 生 ， 给 了 学 生 们 新 的 认 识 、新 的 方 向． 它 既 能 提 高 学 生 数学 学 习的兴趣 ， 又扩大 了学 生知 识面， 在 高 中 日常教 学 中有其 特 有的教 育意 义． 另外， 阅 读材料往往 紧密联系社会 实际， 具有丰 富的生 活背景， 从而有利于培养学生 的数学核心素养． 以下 笔 者 着 重 就 《 九连 环 》的 教学过程 为例， 探讨 “ 阅 读 与 思 考 ”板 块 对 于 培 养 数 学 核 心 素 养的重要性． １ “ 阅读与思 考＂ 板 块 的教 学功 能 １ ． １ 激 发 学 生 学 习 兴 趣
阅读与思考九连环
阅读与思考——九连环教学设计编写人：四川省金堂中学校周传斌【教学目标】1.通过九连环的学习，延伸到数列的相关知识点，建立数学模型；2.通过了解九连环的历史，感受我国古代数学成就，激发学生的民族自豪感；3.经历动手操作，发现规律，提高分析问题和解决问题的能力。
【重点难点】重点:从解九连环这类特殊事件中发现一般规律；难点:从实际问题中提炼出数学知识，建立数学模型。
【教学方法】实验教学法、合作探究法【课时安排】1课时【创设情境】九连环：九连环是一种流传于山西省的传统民间的智力玩具。
它用九个圆环相连成串，以解开为胜。
据明代杨慎《丹铅总录》记载，曾以玉石为材料制成两个互贯的圆环，“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一”。
后来，以铜或铁代替玉石，成为妇女儿童的玩具，它在中国差不多有二千年的历史。
清代，《红楼梦》中也有林黛玉巧解九连环的记载。
周邦彦也留下关于九连环的名句“纵妙手、能解连环。
”西汉才女，辞赋家司马相如之妻卓文君曾提及九连环：……，七弦琴无心弹，八行书无可传，九连环从中折断，十里长亭望眼欲穿；百思想，千怀念，万般无奈把郎怨……2003年3月8日，中国甘肃省嘉峪关市一个普通的建筑工人王仲斌通过14年的反复练习，最终以3分57秒成功解出九连环，进入吉尼斯世界纪录大全。
2012年10月25日CCTV 新闻频道报道，江西理工大学学生杨咸阳创造最快拆解九连环的记录，时间为2分41秒(蒙眼）。
【学习过程】1.播放解九连环的入门教程，然后分组进行解五连环比赛，优胜者给予奖励九连环原理:(1)第一个环在任何情况下可上也可下；(2)若某一个环在上，而它前面所有的环都在下，则此环的后一环也可上可下。
(注：因九连环是一种益智类游戏，短时间内很难学会，需在课前要求每个小组成员通过实际操作探索解九连环的过程。
)2.探究()k n 的表达式我们用()k n 表示前()1n -个圆环都解下后，再解下第n 个圆环所需的次数。
人教版高中数学必修五《九连环》
影视剧《刁蛮公主》片段
近观九连环
近观九连环
环柄
1
9
8
7
6
5
4
3
2
环杆板
环 环杆
初解九连环——规则
(1)下九连环，从9~1；上九连环，从1~9.
(2)要想下/上第 n (n 2)个环 ，必须满足两个 条件： ①第 n 1个环在环柄上； ②前 n 2个环全不在环柄上。
初解九连环
111111111
吴文俊院士
九连环
与神奇的数学
世界三大智力玩具
据明代杨慎《丹铅总录》记载，曾以玉石为材 料制成两个互贯的圆环，"两环互相贯为一，得其关 捩，解之为二，又合而为一"。后来，以铜或铁代替 玉石，成为妇女儿童的玩具。它在中国差不多有二 千年的历史，卓文君在给司马相如的信中有"九连环 从中折断"的句子。清代，《红楼梦》中也有林黛玉 巧解九连环的记载。周邦彦也留下关于九连环的名 句"纵妙手、能解连环。" 2003年3月8日，中国甘肃省嘉峪关市 的王仲斌以3分57秒成功解出九连环， 进入吉尼斯世界纪录大全。 2012年10月25日CCTV新闻频道报道， 江西理工大学学生杨咸阳创造最快拆解 九连环的记录，时间为161秒。
1环上去
2环上去 1环下来 3环上去 1环上去 2环下来
7
8
000000100
000001100
000000111
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1环下来
4环上去
考察九连环的解法过程可 以发现，每一个环只有两种状 态：在柄上或者柄下，而解环 的操作也只有上下两种，就是 将环在这两种状态之间变换。 如果用0和1表示这两种状态， 1—表示环在柄上，0—表示环 在柄下。那么解环过程的每一 种状态就对应一个九位二进制 数，解环的过程就可用一系列 的二进制数表示出来。
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 阅读与思考 九连环》示范课教案_21
九连环普通高中课程标准实验教科书人教A版选修5第二章第五节阅读与思考九连环中的数学一、教学内容解析九连环是我国传统的益智类玩具，是中国传统文化的结晶，具有较强的趣味性，它不仅锻炼大脑，活动手指，其中蕴藏的数学原理还能开发人的逻辑思维能力、培养人的精神品格．在高中课本中，九连环位于人教A版《数学必修5》第二章第五节的“阅读与思考”栏目，是在学生学习完数列之后展开的，主要就是利用数列的递推关系去解决解九连环的最少步数问题．事实上，“九连环”作为递推数列生动的背景，它不但能发展学生的逻辑思维能力，而且能培养学生求真求实的数学精神与迎难而上、坚韧不拔的人格品质，也可作为培养学生核心素养的探究课来尝试．同时本节课的学习，为将来学习高等数学打下基础，也为用数学知识研究现实生活中的的实际问题做铺垫．让学生进一步体会数学抽象数学建模等的核心素养，感受数学来源于生活而用于生活．二、学生情况分析1．从学生的认知基础看：学生之前已经学习了数列的相关知识，对等差数列、等比数列、递推关系等知识有了一定的认识，有阅读、观察的基础，具备一定的合作交流，自主探究能力．但是他们无法将所学知识与实际问题产生联系，并将数列的递推关系运用于现实问题，这其实是教学中的一大难点．2．从学生的思维品质看：学生在学习完数列这一章后对数学又了一定的理解，也能解决一些简单的等差数列、等比数列等问题，并能通过一些简单的递推关系求出数列通项，比如一阶二阶的数列．但是这个年龄段的学生普遍欠缺提出问题，发现问题，解决问题的能力，同时数学抽象的能力不足，数学建模的素养欠缺．三、教学目标设置依据教学大纲的教学要求，根据新课程的教学理念，从发展学生的六大核心素养——数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学计算、数据分析出发，确定本节课的教学目标如下：（一）知识与技能1．理解用化归、递归、类比、函数等思想解决九连环计数问题的方法．2．能在具体问题情景中发现数列的递推关系．（二）过程与方法1．经历动手操作、探索规则、提出问题、建立模型、解决问题、方法应用的学习过程．2．体会求解过程中的化归、递归、类比、函数、归纳等思想方法．（三）情感态度价值观1．通过了解九连环的历史，让学生感受我国古代数学成就，激发学生的民族自豪感．2．通过学生课前，课内，课后自主，合作探究的学习方式，培养学生问题意识，提高学生思维能力，孕育学生创新精神．3．通过九连环计数数列使学生感受到数列是反映现实生活的数学模型，体会数学源于实践并应用于实践．四、教学重难点分析（一）教学重点：1．解九连环的策略与方法．2．结合递推数列有关知识求解九连环的最少移动步数．（二）教学难点：1．解九连环的方法与策略．2．将九连环问题转化为数列问题，并写出递推关系．3．利用递推关系求通项，并解n连环的最少移动步数．（三）突出重点、突破难点的方法：1．突出重点采用“抓三线、突重点”：一抓知识与技能线；二抓过程方法线；三抓能力素养线．2．突破难点采用“抓两点、破难点”：一抓学生情感和思维的兴奋点，玩九连环，在娱乐中运用数列；二抓知识的切入点，从提出的问题进行切入．五、教学策略分析（一）教学媒介课前下发九连环，2人为一组，每组一个九连环．课上我将灵活运用希沃授课助手中的同屏技术、拍照上传技术等，并结合多媒体电子触摸屏展示课堂中学生的操作过程、思考过程、探究过程、计算过程、表达结果等，让学生亲历发现问题、提出问题、解决问题的思维之旅．（二）教法学法基于教学内容的实际特点，教学大纲的基本要求，针对本节课的特点，在教法上，我采用以教师为主导，学生合作探索、积极思考为主体的探究式教学方法；在教学过程中，我注重启发式引导、反馈式评价，充分调动学生的学习积极性，鼓励同学们动手试验，让同学们积极主动分享自己的发现和感悟．本节课立足于生活实践，从九连环的历史出发，引导学生对九连环中的数学问题进行分析．通过一系列问题教学法引发学生思考，最终解决解九连环的最少步数问题．六、教学过程教学流程（一）介绍历史，引出新课：犹抱琵琶半遮面1．介绍历史首先教师展示四张图片由此引出九连环的背景．在2002年第24届世界数学家大会在北京召开，在科技馆中我国展示了一些古典数学玩具，有孔明锁、华容道等，最后重点展示九连环．接着由古典玩具述说九连环的历史，从战国到三国到明清时期都有关于九连环的记载，而且有关九连环的文字记载在我国的古籍中也比较多见，我们熟悉的红楼梦的第七回中就有宝玉黛玉深闺玩九连环的记载，说明在曹雪芹生活的年代解九连环是一个常见的娱乐活动．然后由国内引到国外，其实不单单是我们中国人，外国人也喜欢玩九连环，据说就连爱因斯坦也很喜欢玩九连环，在他的办公桌上还放着一个中国的九连环．2．引出新课最后教师抛出问题：为什么看似圈圈套套的九连环这么吸引人，它有什么吸引人的地方，其中隐含着什么数学奥秘，然后引出今天的课题《探寻九连环中的数学》．3．设计意图在源远流长的九连环历史回溯和充满文学的各类古籍记载的翻阅中，为九连环的出场蒙上犹抱琵琶半遮面的神秘面纱，增强数学的趣味性，活跃课堂气氛，而且学生可以从中感受我国古代数学的魅力，增强民族自豪感．（二）认识连环，提出问题：蓄势待发1．认识九连环在多媒体上展示九连环的的图片，认识各部件的结构，教师辅助说明其的名称．2．提出问题伟大的物理学家爱伊斯坦说过：提出问题的艺术比解决问题的方法更为重要！由此开启由问题引导的教学方式开启探究九连环之旅．【问题一】【问题二】如何解九连环？【问题三】解九连环最少需要几步？在解决完这三个问题后为进一步贯彻数列的思想，提出第四个问题．【问题四】如何求通项？3．设计意图认识九连环后知道了对每一环的名称，为后续描述连环的状态做铺垫．贯彻之前设计的问题教学法以及以教师为主导学生为主体的原则，教师充分发挥主导的作用，并设计四个问题引发学生思考，串起整堂课堂，学生则带着问题去玩九连环、研究九连环，在玩中学数学．（三）探究规律，应用数列：剥丝抽茧寻奥秘1．探究规律（1）探究并解决问题一学生提出问题一后学生能较顺利地得到结果，即为如下图的过程．教师给出两种状态的名称：满贯状态、零状态，解九连环即是从满贯状态到零状态的过程．在此基础上教师再次引导学生进一步思考．【追问】如何描述中间的某个状态？（比如下图所示的这种状态）学生在教师的引导下说出一下，二下，三下，四上，五上，六上，七上，八上，九上，教师在此基础上总结出这是文字语言，并提示能否用图形语言和数学语言去表示，给出一种图形展示如下图，对于数学语言只需考虑的环只有在柄上和柄下两种状态，即可用二进制表示这个过程，若规定在柄上为1，柄下为0，则上述过程即为111111000．在此经历了从文字语言到图形语言再到数学语言，其实这种不断舍弃其物理属性的过程就是数学抽象的过程，在学生体验完数学抽象后再给出数学抽象的概念，让核心素养的落实更务实、准确．有了数学语言的描述，任务就变成从111111111的满贯状态到000000000的零状态，问题一得到了解决．（2）探究并解决问题二教师引导，将问题分解，设置追问．【追问1】如何把第三个环解下或套上？【追问2】如何把第四个环解下或套上……【追问3】你能从中发现什么规律？让学生带着这几个问题动手玩一玩九连环（可以小组合作完成）．在学生回答环节选择打破传统，用希沃授课助手将学生玩九连环的过程实物投影到大屏上，其他组的学生在玩的过程中可以不断借鉴，最终让学生自主形成其中的规律．①第1环可以自由上下②上/下第n环时（n>1），则必须满足：（a）第n-1个环在架上（b）前n-2个环全部在架下．追问1中如何解前两个环的目的是让学生知道环是如何上下的，即基本操作，如何解后面的环是为了发现一般规律．2．应用数列（1）探究并解决问题三由于第一二环可以同时上下，所以规定解下或套上一个环为一步．这里将问题三再分解．【追问1】解下第一个环需要几步？【追问2】解下前二个环需要几步？【追问3】解下前三个环需要几步？首先给出三个追问，第一二问学生马上可以作答，第三问需要操作后才可得到，教师在PPT上展示九连环操作过程中的图形语言和数学语言．【追问4】解下前四个环需要几步？这里试着让学生用数学语言表示操作过程，需要学生小组合作完成，一人操作一人纪律，教师则通过希沃授课助手的拍照上传功能将学生的成果展示在投影仪上．有了前面的基础后，教师设置一个比赛的环节：谁能最快地解下五连环．小组合作动手操作，并将操作过程用数学语言表示出来，教师则将学生成果展示在投影仪上，并最终得到结论需要21步．接着教师再次提问引发学生思考：难道解九连环都要这样通过记录过程并数出结果吗？当然不是，所以教师再次追问．【追问5】你能发现什么规律？第一种思路：从数字本身上寻找规律，这种方法比较难把握，所以教师引导从解环本身上寻找规律．接着分析解前五环的步骤：解下前五环首先要解前三个环，之后才能把第五个换拿下，接着要套上前三个环，最后再解下前四个环即可．所以归纳起来如下图所示．【追问6】可以用什么数学知识表示这一过程？在教师的引导下，学生的深入思考给出答案：可以用数列表示这一过程．设解下前n 个环需要n a 步，则解下前五个环的步骤就可表示为53421a a a =++，而这个即是数列中的递推关系．从分析解前五个环的过程中得到数列的递推关系又是一个数学抽象的过程．由此递推可以得到一般的情况，即2121n n n a a a --=++，这里要注意n 的取值范围，即3n ≥，而121,2a a ==，据此可以逐个写出1a 到9a 的每个值，最终得到解九连环最少需要341步．解决完这个问题后我们还需要进一步思考：知道递推关系就够了吗，如果环再多几个难道还是一个一个写吗？所以引出第四个问题．问题四：如何求数列的通项？（2）探究并解决问题四问题：已知121,2a a ==，且2121(n 3)n n n a a a --=++≥，求数列的通项n a ．学生解答并最终得到答案，教师通过希沃授课助手将学生的作品拍照上传，以下是解答过程．{}为等比数列时，数列当则记解：n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n b n b b a a b a a a a a a a a a a a a a a a a 32)(222:)2()1()2(12)1(12)1(123122312123112≥∴=-=-=---+=--++=++=--------------- 1213332224)1()2(-----=-∴=⨯=⨯=n n n n n n n a a q b b 知由)12(312121222222222:2222121164201642112657435213-=--=+++++=++++=-=-=-=-=-++----n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a n以上式子相加为奇数时：当)22(3121)21(2222222222:222212175311753212768546324-=--=+++++=++++=-=-=-=-=-+----n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a n 以上式子相加为偶数时：当综上可知：111(22)31(21)3n n n n a n ++⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为偶数时当为奇数时 3．设计意图问题一中首先引导学生用通俗易懂的自然语言进行表述，之后试着用图形语言，最后用数学语言去表述，由于只需表示两种状态，所以联系到可用二进制表示，在这三种语言的不断递进让学生体会数学抽象的过程．问题二是得到解九连环一般规律的过程，这里设计追问，需要从简到繁从易到难的思路解决该问题，体会从特殊到一般的归纳过程．问题三同样运用从特殊到一般的思路，通过对解五连环的分析生成数列的递推关系，并推广到一般情况．问题四是对问题三的进一步解答，即由递推关系推出通项公式，这里需要两次构造等比数列，对学生的要求很高，教师可以启发引导并详细解释思路的来龙去脉，或者运用“滚雪球”式的教学方法把其中几个学生的思路展示给全班，由此让这种创新思维越滚越大，以此提升学生的思维能力，另外求通项的方法不止这一种，学生可以课后查阅资料．在问题二中可以用希沃授课助手展示学生解九连环的过程，以及在求通项公式时用拍照上传，在恰当处运用信息技术辅助教学可以大大提高课堂效率，同时当学生的成果被展示时也可以引起学生极大的兴趣，产生课堂的多次高潮，让课堂充满掌声、笑声、赞叹声． （四）探究思考，层层深入1．探究一：变式问题：若一环二环可以同时取下，解九连环又需要几步？通过提问让学生探究，最终发现之前的递推公式保持不变，唯一改变的是2a ，此时21a =，通项公式为11212n n n n a n --⎧-=⎨⎩当为偶数时当为奇数时，所以解下九连环需要256步，比之前少了将近90步．2．探究二：华生问题问题：上个世纪70年代早期，美国一家生产玩具的公司老板杰西华生（Jesse R ． Watson ）提出这样一个问题：假设九连环的初始状态是只有最靠近柄把的一个环在柄上，其他所有的环都在柄下，问解开这个九连环最少需要多少步？思考九连环中递推关系的得出，得到结论即为89511a a +=步，另外对于此问题考虑能否用其他方法解决．不妨考虑n 个圆环的情况．用n b 表示前1n -个圆环都已经解下的前提下,再解下或套上第n 个圆环所需的次数，这样再类比上述推导过程得到递推公式121(2)n n b b n -=+≥，并最终得到通项公式21n n b =-．3．设计意图探究思考其实就是对所学知识的应用．探究一是在解九连环中就会产生的问题，由于一次可以上下前两个环，所以让学生重新思考该数列的递推关系和前两项，寻找改变处和不变处．对于探究二学生要利用之前抽象递推公式的过程得到89a a ，同时让学生考虑设新数列寻找新通项，让学生体验数列在九连环中的再次应用．（五）归纳小结：1．师生共同小结教师提问：请你谈谈这节课有什么收获？这里充分调动学生的积极性，让学生学着自己归纳本堂课的知识、方法、思想等．最终教师在学生的基础上再提炼、再总结，指出解九连环中学生经历的数学抽象、数学建模等数学核心素养，以及这里运用的RMI 原理，即关系——映射——反演原理．2．设计意图通过本节课的学习让学生体会其中蕴含的哲学道理以及培养学生的探索与实践的精神与意识．（六）课后作业，拓展提升1．必做题（1）阅读：书本P59-60阅读与思考题，并解一次九连环，还原一次九连环．（将其拍成视频上传到我的邮箱）（2）能否用其他的递推关系表示解九连环的过程，若可以，给出递推关系，并求通项．（3）能否用其他的递推关系表示华生问题，若可以，给出递推关系，并求其通项．2．选做题（从下面两个问题中选一个问题研究，写成一篇小论文并发到我的邮箱）（1）这里的二进制是用来描述一种状态，能否用二进制来计数呢？（2）你还能用数学知识研究其他玩具吗？（比如汉诺塔、魔方等）3．设计意图通过本节课的学习让学生学会数学来源于生活而用于生活，同时拓展学生的眼界，为学生的进一步学习开一扇窗．七、板书设计1．板书2．设计意图解九连环中的四个问题与最终的数列关系的得到是现实问题与数学问题的联系，其中运用了数学抽象、数学建模等核心素养，想要让核心素养落地生根，就要在问题或情境中寻找能运用能力运用素养的地方，在适当的时候培养能力发展素养，才能让数学的大树枝繁叶茂．大树的枝叶是可见的，根是不可见的，枝叶与根连为一体，只有根茁壮了才能枝繁叶茂，其实数学知识和核心素养的关系也是这样，数学知识是显性可见的的，数学核心素养是隐形不可见的，两者相互联系，而且核心素养发展得好了数学知识才能应用得更好．。
人教A版高中数学必修五第二章-阅读与思考-九连环-课件
追问5：你能发现什么规律？
解下第一个环需要1步 解下前二个环需要2步 解下前三个环需要5步 解下前四个环需要10步 解下前五个环需要21步
。。。。。。
分析前五个环的步骤
111111111 111111110 111111010 111111011 111111001 111111000
111101000 111101001 111101011 111101010 111101110 111101111
111111111
111111101 111111100 111110100 111110101 111110111 111110110 111110010 111110011 111110001 111110000
【比赛】谁能最快地解下五连环 21
111111111 111111110 111111010 111111011 111111001 111111000
九 连 环
情境引入
2002第24届国际数学家 大会在北京召开
九连环的历史
• 战国时代名家惠施曾著立《连环可解》的立论。 • 据说三国时期，诸葛亮常带兵打仗，为排遣妻子寂寞而
发明。 • 于明代普及，明代中期时，流传更是极广。 • 清代上至士大夫，下至贩夫走卒，个个爱玩“九连环”。
九连环的历史
九连环的历史
2n1 1 n为偶数
an
2n1
n为奇数
a9 256
探究与思考
思考二
上个世纪70年代早期，美国一家生产玩具的公司老板杰西 华生（Jesse R. Watson）提出这样一个问题：假设九连环 的初始状态是只有最靠近柄把的一个环在柄上，其他所有 的环都在柄下，问解开这个九连环最少需要多少步？
人教版高中数学必修五《阅读与思考—九连环》PPT共22页
61、辍学如磨刀之石，不见其损，日 有所亏 。 62、奇文共欣赞，疑义相与析。
63、暧暧远人村，依依墟里烟，狗吠 深巷中 ，鸣 桑树颠 。 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适俗韵，性本爱丘山。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 阅读与思考 九连环》示范课教案_15
人教A版必修五《九连环》的教学设计一、教学背景探秘九连环是有益启发智力的活动，通过九连环的装拆竞赛，引导学生感受科技竞赛魅力，提高学生的智力和实践操作能力。
解九连环可以激发学生积极参加各项活动，在观察、拼摆、创作中研究和解决问题，为学生提供开放的个性发展空间；同时培养学生逻辑思维的锻炼及拓展能力，使学生口语表达能力的在课堂中有所表现。
解九连环的理论知识是构造等比数列并求解公式，是高考的必考重点，二、教学目标1、情感态度价值观：九连环使学生体验到通过努力解出九连环的喜悦，产生进一步探索其他益智游戏的兴趣；同时使学生乐于与人交流分享，初步学会学习分析。
2、过程与方法：学生经历九连环由简到繁的拆装，体验解九连环的奇妙之处，懂得有时要做好一件事情，与人交流，合理分工，齐心协力的重要性。
3、知识与技能：学生可以了解九连环的基本特征；感悟九连环的变换规律；培养学生准确快速的动手操作能力，激发创造思维能力。
三、教学过程：1、激趣导入先引入九连环在我国的小典故：①、西汉才女司马相如之妻卓文君曾提及九连环，“…七弦琴无心谈，八行书无可传，九连环从中折断，十里长亭望眼欲穿，百思想，千怀念，万般无奈把郎怨…”②、2003年3月8号，中国甘肃省嘉峪关市的王仲斌以3分57秒成功解出九连环，进入吉尼斯世界纪录大全。
③2012年10月25日，CCTV 新闻频道报道，江西理工大学学生杨咸阳创造最快拆解九连环的记录，时间为161秒，(蒙眼)。
九连环是中国传统的有代表性的智力玩具，凝结着中国传统文化，具有极强的趣味性，九连环既练脑力又练手力，还可以培养学生学习的专注精神和耐心。
2、活动过程（1）、学生通过自己探究初步了解九连环九连环由9个大小相同的圆环依次排开，每个圆环上都连有一个较细的铁丝直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端都插在一个木板的一排小孔里，使它们能在小孔里上下移动，但不会脱出。
（2）、学生明了解九连环的规则：（老师边讲解边拿九连环操作）解九连环就是要把这九个圆环全部从框架上解下或套上，都要遵循一定的规则，例如：为了解下第i个圆环，必须先解下前(i-2)个圆环，因为如果前(i-1)个圆环已经被解下，第i个圆环就无法再解下，如果前(i-1)个圆环已经被解下，第(i+1)个圆环就可以很容易解下。
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 阅读与思考 九连环》示范课教案_14
数学文化视角下的翻转课堂教学案例——“神奇的九连环”教学设计【教材分析】“九连环”是人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学·必修5》第59页“阅读与思考”栏目中出现的内容。
《普通高中数学课程标准（实验）》中明确指出，“数学是人类文化的重要组成部分。
数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势。
”。
九连环肇源甚古，文献记载可以上溯到战国时代，在之后漫长的岁月中，九连环代代相传。
学生在解九连环游戏的过程中，感受中国传统文化，感悟数学原理，激发他们探索数学奥秘的兴趣和勇气。
学生在问题解决的过程中，训练了数学抽象和归纳总结能力；在通项公式的推导过程中，提升了合作探究的能力；在学习资料的收集过程中，培养了自主学习的能力。
【教学目标】（1）了解九连环的构造，能够熟练地解开九连环；（2）在解九连环的过程中，推导“n连环”解法步数的递推公式；通过小组合作学习探究“n连环”解法步数所对应数列{}na的通项公式；（3）了解九连环解环步数与二进制格雷码之间的关系；【教学重点】（1）通过对九连环解环过程的研究，推导“n连环”解法步数的递推公式和通项公式；（2）建立九连环状态所对应的二进制格雷码与九连环解环步数之间的关系。
【教学难点】通过对九连环解环过程的研究，推导“n连环”解法步数的递推公式和通项公式是本节课的教学重点。
【学情分析】本节课的授课对象为我校高一年级的学生，经过一年的学习与翻转课堂的学习实践，学生的自主学习能力有明显提升，对翻转课堂教学模式已经十分熟悉。
学生在学习平台上针对数学问题开展学习讨论，发现问题，提出问题，发表观点已成为常态。
学生通过“数列”相关内容的学习，已经掌握了数列的基础知识和求解数列通项公式的基本方法。
本节课在教师的引导下，学生能够通过自主学习、合作探究，充分感受“九连环”的文化价值及其蕴含的深刻的数学内涵。
【教学策略分析】本节课借助翻转课堂教学模式，将传统课堂转变成以现代信息技术为依托的新型课堂；将数学文化以现代技术手段呈现，引导学生在学习知识的同时，学会合作学习，能够发现问题、提出问题、分析问题和解决问题，培养学生的创新意识。
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 阅读与思考 九连环》示范课教案_20
等差数列求和公式教学设计一、教学设计思想本堂课是以学生自主学习，合作探讨为主，老师时适指导进行设计的。
本堂课的教学设计对教材部分内容进行了有意识的选择和改组，为了体现高效课堂的教学理念，在教法上，采用了以学生为主体，以问题为中心，以老师为引导，以小组的合作为主要学习方式。
课堂结构个性化，让学生在探究中展现个性，在合作中促进学生的个性发展。
在教学中通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。
二、学生情况与教材分析学生分析：数列在整个高中阶段对于学生来说是难点，因为学生对于这部分仅有初中学的简单函数作为基础，所以新课的引入非常重要大纲分析：高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。
本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应用。
教材分析：数列在生产实际中的应用范围很广，而且是培养学生发现、认识、分析、综合等能力的重要题材，同时也是学生进一步学习高等数学的必备的基础知识。
教学目标：知识与技能目标：掌握等差数列前n项和公式，能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。
过程与方法目标：培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。
情感、态度与价值观目标：体验从特殊到一般，又到特殊的认识事物的规律，培养学生勇于创新的科学精神。
教学重点与难点：等差数列前n项和公式是重点。
获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。
教学过程部分：问题引入泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。
陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。
你知道这个图案一共花了多少宝石吗？设计说明：• 源于历史，富有人文气息.• 图中算数，激发学习兴趣.预习案（自主学习）设计说明：由两部分组成，知识链接，预习自测。
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 阅读与思考 九连环》示范课教案_18
数列求和 教学设计学一、教学目标1、知识与技能：让学生能掌握数列求和的几种常见方法，能熟练运用这些方法解决问题。
2、过程与方法：培养学生观察、分析解决问题、归纳总结的能力。
3、情感、态度与价值观：通过对数列通项公式的分析和探究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神。
二、教学重点根据数列通项公式求数列的前n 项和，本节课重点学习裂项相消法和错位相减法。
三、教学难点解题过程中方法的正确选择。
四、教学方法启发诱导，讲练结合，探析归纳五、教具多媒体六、教学过程1、知识梳理（1）公式法：直接利用等差数列或等比数列前n 项和公式求和。
（2）倒序相加法与分组求和（3）裂项相消法（4）错位相减法课前热身：（1）数列1，12，2，14，4，18，…的前n 2项和n S 2＝________．（2）数列{n a }的通项公式是n a ＝1n ＋n ＋1，前n 项和为9，则n ＝( )A ．9B ．99C ．10D ．1002、要点探究考点一 裂项相消法求和1．(2010 山东卷)已知等差数列{n a }满足：3a ＝7，5a ＋7a ＝26.{n a }的前n 项和为n S .(1)求n a 及n S ；(2)令n b ＝112-n a (n ∈N ＋)，求数列{n b }的前n 项和n T . 注意：使用裂项法，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项；你是否注意到由于数列{n a }中每一项n a 均裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多的，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．考点二 错位相减法求和例2 数列{n a }中1a ＝3，已知点(n a ，1+n a )在直线y ＝x ＋2上，(1)求数列{n a }的通项公式；(2)若n b ＝n a ·n 3，求数列{n b }的前n 项和n T注意：(1)利用错位相减法求和，在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“n S －n qS ”的表达式．(2)在两式相减时，要特别注意最后一项系数的符号，同时要注意等比数列的项数是多少．3、课堂练习4、归纳总结：一般数列求和的常见方法5、教学反思从实际教学效果看教学内容安排得比较符合学生的实际，有浅入深，比较合理，基本达到了这节课预期的教学目标和要求。
人教版高三数学必修五《阅读与思考九连环》教案及教学反思
人教版高三数学必修五《阅读与思考九连环》教案及教学反思一、教材简介《阅读与思考九连环》是人教版高中数学必修五的辅助教材，由北京大学数学科学学院编写，主要用于培养学生的思维能力和阅读理解能力。
教材内容包含数学思维、证明、数形结合等多个方面，全书共分为九个章节，每个章节由十道左右的题目组成，各章节之间形成了九个环状。
二、教学目标本次教学的目标是培养学生的阅读理解能力和数学思维能力，提高学生对九连环的理解和掌握程度，让学生能够独立思考并解决数学问题。
三、教学内容1. 教学环节本次教学分为两个环节：•第一环节：分组分享。
要求学生分成若干小组，每个小组选择一条九连环的路径，并组织成一份简短的分享报告，分享内容包括路径的选择、路径中出现的问题及其解决方法等。
•第二环节：讲解阅读与思考九连环的“寻找性质”章节。
本环节要求学生首先自主学习该章节，然后班内其中一位同学向班级讲解该章节的内容。
其他学生则在讲解过程中进行提问和讨论，加深对该章节的理解掌握。
2. 教学准备教师要提前准备好九连环教案及教材，为学生提供阅读与思考九连环的“寻找性质”章节学习资料。
同时，教师应提前确定分组和分享的九连环路径，并告知学生分享报告的要求。
另外，教师还需准备课堂讲解的PPT或笔记。
四、教学过程1. 分组分享环节1.教师首先介绍九连环教材，告知学生课程目标和教学要求。
2.学生分组并选择要分享的九连环路径。
3.学生利用教材和课本中提供的内容和样例，完成分享报告，并准备演示材料。
4.小组代表依次上台进行演示和讲解。
5.学生讨论并评价其他小组的分享内容。
2. 讲解阅读与思考九连环的“寻找性质”环节1.学生自主阅读教材中的“寻找性质”章节，并理解其内容。
2.学生自由讨论和提问，了解章节中的难点及解决方法。
3.班内同学依次上台讲解该章节的详细内容，教师作为辅助者进行指导和讨论。
4.学生互相提问和讨论，加深对该章节内容的理解和掌握。
五、教学反思通过上述教学过程，学生本次教学的目标得到了较好地达成。
人教版A版高中数学必修5：阅读与思考 九连环
则，这些数为：3，3q，3q2，···，3qn，2187
∵这些正数的和为1089。
∴
3q（1-qn） 1-q
=1089
又∵3qn+1=2187
∴q=3
即
3q-3qn+1 1-q
=1089
∴
3q-2187 1-q
=1089
∴插入的正数为9，27，81，243，729。
练习：
1、根据下列各题的条件，求相应的等比数列 {an}的前n项和Sn：
即：S n= a1+ a1q + a1q2 +······+ a1qn-2 + a1qn-1
qSn=
a1q + a1q2 + a1q3 +······ + a1qn-1+a1qn
错位相减得： （1-q）Sn=a1-a1qn
等比数列的求和公式(q≠1)
在 a1、q、n、Sn、 an 中 知“三”求“二”
（1）a1=3、q=2、n=6 ； （2）a1=8、q=0.5、an=0.5 。 2、求： （1）等比数列1，2，4，···从第5项到第16项的和。
（2）等比数列 3 , 3 , 3 , 从第3项到第7项和。 248
归纳小结:
一个中心: 等比数列{an}的前项和Sn的推导及运用。
两个基本点： （1）在a1、q、n、Sn、 an 中知“三”求“二”
令：S30=1+2+22+······+228+229
得: 2S30=
2+22+23+······ +229+230 ，
错位相减得： S30= 230 – 1 = 1073741824元
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谢谢
课后思考：
二、九连环的历史
九连环是中国民间一种古老智力游戏，历史非常悠久，据说发明于 战国时代，宋朝以后，九连环开始广为流传.它是我国古代四大益智游 戏之一，与七巧板、华容道、孔明锁一起被称为中国古典益智游戏中的 “四大金刚”.
在《红楼梦》第七回中，记
载了林黛玉与贾宝玉解九连环的 情景. 目前解九连环的世界吉利
解决问题
课后思考：
511
举一反三
完成下面的过程，需要最少移动圆环多少次？ （1） （2） （3）
111100000
111101111 111111111
111111111 111111111 111001111
21
. . .
11
32
小结：
A.加深对九连环的了解，学会解（套 A.本节课学了哪些知识？
斯个人记录是1分45秒7，中国
创造.
三、描述连环状态
为了表述方便，采用“二进制”表示连环状态，即环在 柄上记为1，在柄下记为0.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
满贯状态
零状态
四、解九连环游戏规则
每次只能移动一个圆环，若要解下第i(i≥3)个圆 环，必须先解下前（i-2）个圆环，且第（i-1）个圆
二、九连环的历史
西汉才女，辞赋家司马相如之妻卓文君曾提及九连环:……，七
弦琴无心弹，八行书无可传，九连环从中折断，十里长亭望眼欲穿; 百思想，千怀念，万般无奈把郎怨。 在西方，16世纪前，欧洲有了九连环的记载。1550年，巴黎刊 行的数学文献，清楚地讨论过这“中国难题”。著名意大利数学家 卡当的著作中将之称为“中国九连环” 。1685年，英国数学家瓦里 斯对此作了详细的数学说明。19世纪，格罗斯用二进位数给了它一 个十分优美的解答。
000000000
可以从简单到复杂，从特殊到一般的思维 过程入手，最后归纳出一般规律.
探索问题
1.解三连环
111111111
111111000
共移动圆环
5
次.
探索问题
2.解四连环
111111111111110000来自共移动圆环10
次.
探索问题
3.解五连环并分享经验
111111111
比赛规则：每个小组派一位选手，共六位 选手同时开始，谁先完成获胜.
111100000
共移动圆环
21
次.
思考？
解九连环需要移动圆环最少多少次？
解下1个圆环所需的最少移动圆环次数为 解下2个圆环所需的最少移动圆环次数为 解下3个圆环所需的最少移动圆环次数为 解下4个圆环所需的最少移动圆环次数为 解下5个圆环所需的最少移动圆环次数为 ……
1
2
5
10 21
解下n个圆环所需的最少移动圆环次数为
环在柄环上，这是因为：如果前（i-1）个圆环已经被
解下，第i个圆环就无法再解下；如果前（i-1）个圆 环已经被解下，第（i+1）个圆环就很容易解下.相反 地，套上一个圆环与解下一个圆环的过程正好相反， 所需要的次数相同.
提出问题
若按照上述规则解开九连环，最少需要移动圆环多少次？
满贯状态
零状态
111111111
一、九连环的结构
柄把
环柄
柄钗
环
环杆
环杆板
一、九连环的结构
9个大小相同的圆环，依次排开，每一个圆环上都连有一个较细的铁
丝直杆，各直杆在后一个圆环内穿过.九个直杆的另一端都插在一个横板 的一排小孔里。直杆的末端都弯成一个小圈，使它们能在小孔里上下移
动。另外有一个粗铁丝做成的框架，圆环可以从框架上解下或套上。