教科版高中数学必修5:2 ART OF PENCILS AND BRUSHES_课件1
高二年级必修五数学知识点
高二年级必修五数学知识点在高中数学学习中,必修五是一门重要的数学课程。
它是高中数学的第五门课程,也是学生在高中时期经常接触的一门数学课程。
在此篇文章中,我将会介绍高二年级必修五数学知识点。
第一部分:平面向量矢量的概念在欧几里得空间当中,矢量是表示方向和大小的量。
一个矢量通常用一个有向线段来表示,它的方向和长度分别表示矢量的方向和大小。
矢量的运算矢量之间可以进行加、减、数乘等运算。
矢量加法两个矢量相加等于将其中一个矢量平移后与另一个矢量的始点相连所得到的矢量。
矢量减法两个矢量相减等于将其中一个矢量反方向平移后与另一个矢量的始点相连所得到的矢量。
数乘数乘是指一个矢量乘以一个常数,常数称为标量。
矢量的数量积和向量积数量积两个矢量的数量积是一个标量,表示两个矢量夹角的余弦值与两个矢量长度的乘积。
向量积两个矢量的叉积是一个矢量,其大小等于两个矢量围成的平行四边形的面积,其方向垂直于这两个矢量所在的平面,符合右手法则。
第二部分:三角函数角度制和弧度制三角函数中的角度可以用角度制和弧度制来表示。
角度制是将一周分成360度,弧度制是将一周分成 $2\\pi$ 弧度。
正弦、余弦、正切函数正弦函数、余弦函数和正切函数是三角函数中的重要概念。
在一个直角三角形中,正弦函数等于对边与斜边的比值,余弦函数等于邻边与斜边的比值,正切函数等于对边与邻边的比值。
三角函数的求值三角函数的求值可以通过查表或使用计算器来完成。
在计算三角函数值时,应注意数值是否符合角度制或弧度制的要求。
常用三角函数公式三角函数中有许多重要的公式,如余弦定理、正弦定理、同角三角函数间的关系等。
第三部分:导数导数的概念导数是微积分中的基础概念,表示函数曲线在某个点上的切线斜率。
它可以表示为函数关于自变量的变化率,也可以表示为函数的微分。
导数的计算导数的计算可以使用定义式或运用常用导数公式来完成。
在计算导数时,需要注意一些基本的求导规则和公式。
导数的应用导数在数学中有许多应用,如求函数的最大值和最小值、判断函数的单调性、辅助解方程等。
苏教版高中数学必修5全册完整课件
思考题:
(06江西)在△ABC中设
a
b命题p: c
s命i题nqB: △ABsCi是n等C边三s角i形n,A那么
命题p是命题q的( )
C
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既充分也不必要条件
结论
12
“正边弦角定互理化和” 是余解弦决定三理角的 问题应常用用的
一个策略
3
正余定理掌握住 三角地带任漫步 边角转化是关键 正余合璧很精彩
B
π 2
即为△ABC等腰三角形或直角三角形
b2sinAc分o析:sB a2cosAsinB
b a a b 思路二:2 a2 c2 b2 2ac
2 b2 c2 a2 2bc
sbi2(n2aB2 sci2nAbc2 )osaB2(sb2in2cA2coas2 )AsinB
bs2ci2 nbA4 sai2cn2 Ba04
(1)当B 64时,C 180 ( A B) 180 (40 64 ) 76,
c a sin C 20sin 76 30(cm). sin A sin 40
(2)当B 116时,C 180 ( A B) 180 (40 116 ) 24,
c a sin C 20sin 24 13(cm). sin A sin 40
3
3 2
练习:
1. (05天津)已知ΔABC中, b2 c2 - bc a2 ,
c 1 3,求A和 tanB的值 . b2
A
3
tan
B
1 2
例题分析:
例3.在△ABC中,
22
22
(a +b )sin(A-B)=(a -b )sin(A+B)
人教版高中数学(理)必修5(实验班)全册同步练习及答案
人教版高中数学(理)必修5(实验班)全册同步练习及答案1.1.1 正弦定理一、选择题1.在ABC ∆中,10a =,60B =,45C =,则c = ( )A .10B .1)C .1)D .2.在ABC ∆中,下列关系式中一定成立的是 ( ) A .sin a b A > B .sin a b A = C .sin a b A <D .sin a b A ≥3. 在ABC ∆中,已知60A =,a =sin sin sin a b cA B C++=++ ( )A B D .4. 在ABC ∆中,已知22tan tan a B b A =,则此三角形是 ( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形D .直角或等腰三角形5. 在锐角ABC ∆中,已知4AB = ,1AC = ,ABC S ∆=,则AB AC的值为( )A .2-B .2C .4±D .2±6. 在ABC ∆中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,且4a =,5b c +=,tan tan tan B C B C += ,则ABC ∆的面积为 ( )A ..34二、填空题7.在ABC ∆中,若1b =,c =C =2π3,则a =________.8.已知a ,b ,c 分别是△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边.若a =1,b =3,A +C =2B ,则sin C =________.三、解答题9.根据下列条件,解ABC ∆.(1)已知4b =,8c =,30B =,解此三角形; (2)已知45B =,75C =,2b =,解此三角形.10. 在ABC ∆中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,若2a =,4C π=,cos25B =, 求ABC ∆的面积S .1.1.1正弦定理一、选择题1.B2.D3.B4.D5.B6.C 二、填空题 7.1 8. 1三、解答题9. 解:(1)由正弦定理得sin 8sin30sin 14c B C b ===由c b >知30150C << ,得90C =从而60A = ,a ==(2)由180+=A B C + 得60A =∵sin sin a b A B = ∴sin 2sin 60sin sin 45b A a B ===同理sin 2sin 751sin sin 45b C c B ===10. 解:由2cos 2cos12B B =-知43cos 2155B =⨯-=又0B π<<,得4sin 5B ==sin sin[()]sin()A B C B C π∴=-+=+sin cos cos sin 10B C B C =+= 在ABC ∆中,由sin sin a c A C =知sin 10sin 7a C c A == 111048sin 222757S ac B ∴==⨯⨯⨯=.1.1.2 余弦定理一、选择题1.在ABC ∆中,已知13,34,8===c b a ,则ABC ∆的最小角为 ( ) A .3π B .4π C .4π D .12π 2.在ABC ∆中,如果bc a c b c b a 3))((=-+++,则角A 等于 ( )A .030B .060C .0120D .01503.在ABC ∆中,若8,3,7===c b a ,则其面积等于 ( ) A .12 B .221C .28D .36 4.在ABC ∆中,若bc a c b c b a 3))((=-+++,并有sin 2sin cos A B C =,那么ABC ∆是 ( ) A .直角三角形 B .等边三角形 C .等腰三角形 D .等腰直角三角形5.在ABC ∆中,60A = ,1b =,ABC S ∆,则sin sin sin a b cA B C++=++ ( )A B D 6.某班设计了一个八边形的班徽(如右图),它由腰长为1,顶角为α的四个等腰三角形及其底边构成的正方形所组成,该八边形的面积为 ( )A .2sin 2cos 2αα-+B .sin 3αα+C .3sin 1αα+D .2sin cos 1αα-+ 二、填空题7.在ABC ∆中,三边的边长为连续自然数,且最大角是钝角,这个三角形三边的长分别为_______ .8. 在ABC ∆中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,若)cos cos c A a C -=,则cos A = .三、解答题9.在△ABC 中,已知030,35,5===A c b ,求C B a 、、及面积S .10.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边.已知:b =2,c =4,cos A =34.(1)求边a 的值;(2)求cos(A -B )的值.1.1.2余弦定理一、选择题1.B2.B3.D4.B5.B6.A 二、填空题 7.8.三、解答题9. 解 由余弦定理,知A bc c b a cos 2222-+=2530sin 3552)35(5022=⨯⨯-+= ∴5=a 又∵b a =∴030==A B ∴00120180=--=B A C432530sin )35(521sin 210=⨯⨯==A bc S10. 解:(1)a 2=b 2+c 2-2bc cos A=22+42-2×2×4×34=8,∴a =2 2.(2)∵cos A =34,∴sin A =74,a sin A =bsin B , 即2274=2sin B .∴sin B =148.又∵b <c ,∴B 为锐角.∴cos B =528. ∴cos(A -B )=cos A cos B +sin A sin B =34×528+74×148=11216.1.1.3 正、余弦定理的综合应用一、选择题1.在ABC ∆中,若sin :sin :sin 5:7:8A B C =,则B ∠的大小是 ( )A .6π B .56π C .3πD .23π2.在ABC ∆中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,如果c =,30B =,那么角C等于 ( ) A .120B .105C .90D .753.ABC ∆的两边长分别为2,3,其夹角的余弦值为13,则其外接圆的半径为( )A B C D . 4.在ABC ∆中,若1413cos ,8,7===C b a ,则最大角的余弦是 ( ) A .51- B .61- C .71- D .81-5. 在ABC ∆中,A ∠满足条件cm BC cm AB A A 32,2,1cos sin 3===+,ABC ∆的面积等于 ( )A .3B .CD 6.在ABC ∆中,2sin22A c b c-= (a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边),则ABC ∆的形状为 ( )A .正三角形B .直角三角形C .等腰直角三角形D .等腰三角形 二、填空题7.已知在ABC ∆中,060A =,最大边和最小边的长是方程0322732=+-x x 的两实根,那么BC 边长等于________.8.已知锐角ABC ∆的三边a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,且222()tan b c a A +-,则角A 的大小_________.三、解答题9.在ABC ∆中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,且满足(2)cos cos a c B b C -=.(1)求角B 的大小;(2)若b =4a c +=,求ABC ∆的面积.10.在ABC ∆中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,已知1cos 24C =-. (1)求sin C 的值;(2)当2a =,2sin sin A C =时,求b 及c 的长.1.1.3正、余弦定理的综合应用一、选择题1.C2.A3.C4.C5.C6.B 二、填空题 7.78.60三、解答题9. 解:(1)由正弦定理得a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C , 代入(2a -c )cos B =b cos C ,整理,得2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B , 即2sin A cos B =sin(B +C )=sin A . 又sin A >0,∴2cos B =1,由B ∈(0,π),得B =π3. (2)由余弦定理得 b 2=a 2+c 2-2ac ·cos B =(a +c )2-2ac -2ac cos B .将b =7,a +c =4,B =π3代入整理,得ac =3.∴△ABC 的面积为S =12ac sin B =32sin60°=334.10. 解:(1)因为cos2C =1-2sin 2C =-14,所以sin C =±104, 又0<C <π,所以sin C =104.(2)当a =2,2sin A =sin C 时,由正弦定理a sin A =csin C ,得c =4. 由cos2C =2cos 2C -1=-14,且0<C <π得cos C =±64. 由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,得b 2±6b -12=0, 解得b =6或26,所以⎩⎨⎧ b =6,c =4,或⎩⎨⎧b =26,c =4.1.2应用举例(二)一、选择题1. 在某测量中,设A 在B 的南偏东3427' ,则B 在A 的 ( ) A.北偏西3427'B. 北偏东5533'C. 北偏西5533'D. 南偏西5533'2.台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动,离台风中心30 km 内的地区为危险区,城市B 在A 的正东40 km 处,B 城市处于危险区内的时间为( )A.0.5 hB.1 hC.1.5 hD.2 h3.已知D 、C 、B 三点在地面同一直线上,DC a =,从C 、D 两点测得A 的点仰角分别为α、()βαβ>,则A 点离地面的高AB 等于 ( ) A .)sin(sin sin βαβα-a B .)cos(sin sin βαβα-a C .)sin(cos cos βαβα-a D . )cos(cos cos βαβα-a4.有一长为1公里的斜坡,它的倾斜角为20°,现要将倾斜角改为10°,则坡底要伸长 ( )A .1公里B .sin10°公里C .cos10°公里D .cos20°公里5. 如右图,在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ,沿BE 方向前进30米至C 处测得顶端A 的仰角为2θ,再继续前进103米至D 处,测得顶端A 的仰角为4θ,则θ的值为 ( )A .15°B .10°C .5°D .20°6.一船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°, 另一灯塔在船的南偏西75°西,则这只船的速度是每小时( )A.5海里B.53海里C.10海里D.103海里° 二、填空题7.我舰在敌岛A 南偏西50 相距12n mile 的B 处,发现敌舰正由岛沿北偏西10 的方向以10n mile /h 的速度航行,我舰要用2小时追上敌舰,则需要速度的大小为 .8.在一座20m 高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60 ,塔底俯角为45 ,那么这座塔的高为___ ____.三、解答题°9.如图,甲船在A处,乙船在A处的南偏东45 方向,距A有9n mile并以/h的速度航行用多20n mile/h的速度沿南偏西15 方向航行,若甲船以28n mile少小时能尽快追上乙船?10.在海岸A处发现北偏东45°方向,距A处(3-1)海里的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°方向,距A处2海里的C处的我方缉私船,奉命以103海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/小时的速度,从B处向北偏东30°方向逃窜.问:缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.1.2应用举例(二)一、选择题1.A2.B3.A4.A5.A6.C 二、填空题 7.14nmile/h8. 20(1+3)m三、解答题9. 解:设用t h ,甲船能追上乙船,且在C 处相遇。
教科版高中数学必修5:4 ART OF THE MOVING PICTURE_课件1
Motion pictures are both an art form and an industry. They were first started in the late 19th century. While 8mm and 16mm cameras and expensive soundrecording equipment make it possible to create individual works at lower costs, the film industry has all the time been moving toward making feature films.
(5) Some people say that in a movie one can see all forms of art. Do you agree? Do you think movies will take the place of all other forms of art for enjoyment? Why or why not?
Contemporary motion pictures are made up of images recorded frame by frame and then sent onto a flat surface, and usually this is matched by sound and music. However, filmmakers of the future may move away from the traditional forms. Tape recordings and videodiscs, for example, may take over from the conventional forms of film reproduction. But the basic activities involved in filmmaking and the ways in which the materials are used to produce effects on audiences will probably continue with little change.
数学高一必修五知识点手写笔记
数学高一必修五知识点手写笔记一、二次函数1. 定义:二次函数是指函数的表达式中含有二次项(x²)的函数。
一般形式为f(x) = ax² + bx + c,其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
2. 抛物线的开口方向:a) 当a > 0时,抛物线开口朝上;b) 当a < 0时,抛物线开口朝下。
3. 顶点坐标:二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
4. 对称轴:二次函数的对称轴为x = -b/2a。
5. 零点:二次函数与x轴的交点称为函数的零点,可以通过求解二次方程ax² + bx + c = 0来求得。
6. 判别式:对于二次方程ax² + bx + c = 0,判别式Δ = b²-4ac可以用来判断方程的解的情况:a) 当Δ > 0时,方程有两个不相等的实数根;b) 当Δ = 0时,方程有两个相等的实数根;c) 当Δ < 0时,方程没有实数根。
二、三角函数1. 正弦函数(sin):a) 定义:在直角三角形中,对于一个锐角A,正弦函数可以定义为:sinA = 对边/斜边。
b) 周期性:正弦函数的周期为2π。
c) 奇偶性:正弦函数是奇函数,即sin(-x) = -sin(x)。
2. 余弦函数(cos):a) 定义:在直角三角形中,对于一个锐角A,余弦函数可以定义为:cosA = 邻边/斜边。
b) 周期性:余弦函数的周期为2π。
c) 奇偶性:余弦函数是偶函数,即cos(-x) = cos(x)。
3. 正切函数(tan):a) 定义:在直角三角形中,对于一个锐角A,正切函数可以定义为:tanA = 对边/邻边。
b) 周期性:正切函数的周期为π。
c) 奇偶性:正切函数是奇函数,即tan(-x) = -tan(x)。
4. 三角函数的基本关系:a) sin²x + cos²x = 1,即正弦函数的平方加余弦函数的平方等于1;b) tanx = sinx/cosx,即正切函数等于正弦函数除以余弦函数。
whoart术语集
whoart术语集Art Terms Glossary:1. Composition: The arrangement and organization of visual elements in a work of art. It refers to how different elements such as lines, shapes, colors, and textures are positioned to create a harmonious or dynamic composition.2. Perspective: The technique of creating an illusion of depth and space on a two-dimensional surface. It involves using lines, vanishing points, and foreshortening to create the illusion of three-dimensionality.3. Balance: The distribution of visual weight in a work of art. It can be symmetrical, where elements are evenly distributed on either side of an axis, or asymmetrical, where visual weight is balanced through different elements and their placement.4. Contrast: The juxtaposition of different elements to create visual interest and impact. It can be achieved through variations in color, value, texture, size, or shape. Contrast helps to make certain elements stand out and creates a sense of drama or emphasis.5. Color Theory: The study of how colors interact with each other and the effects they have on viewers. It involves understanding concepts such as the color wheel, color harmony, temperature (warm and cool colors), and color psychology.6. Texture: The surface quality of a work of art that can be perceived through touch or visually. Texture can be actual(physical texture) or implied (simulated texture). Artists use texture to add depth, interest, and realism to their work.7. Line: A mark made by a moving point, usually with a pen, pencil, or brush. Lines can vary in thickness, length, direction, and shape. They can be used to define shapes, suggest movement, create patterns, or convey emotions.8. Form: The three-dimensional aspect of an object that occupies space. Artists give the illusion of form by using techniques such as shading, perspective, and modeling. Form can be organic (irregular shapes) or geometric (regular shapes).9. Medium: The materials and tools used by artists to create their work. It can include paints, charcoal, pencils, clay, digital tools, or any other material used for artistic expression.10. Unity: The visual harmony and coherence in a work of art. It refers to how different elements come together to create a sense of completeness and oneness. Unity can be achieved through repetition, proximity, continuation, or through the use of a limited color palette.11. Proportion: The relationship of sizes between different elements within a work of art. It involves the relative size, scale, and ratio of objects or figures in comparison to each other or their surroundings.12. Symbolism: The use of symbols or imagery to represent ideas, emotions, or concepts. Artists often use symbols to convey hiddenmeanings or messages in their work. Symbolism can be cultural, personal, or universal in nature.13. Abstract: A style of art that does not attempt to represent an accurate depiction of visual reality. It emphasizes shapes, forms, colors, and gestural marks, often with a focus on emotional or expressive content.14. Impressionism: An art movement characterized by visible brush strokes, emphasis on light and color, and an emphasis on capturing the fleeting moment. Impressionist artists often painted outdoors and focused on the changing effects of light on landscapes or everyday scenes.15. Renaissance: A period in European art history known for its focus on humanism, perspective, and the revival of classical ideas and techniques. It spanned from the 14th to the 17th century and produced some of the most renowned artists such as Leonardo da Vinci, Michelangelo, and Raphael.These are just a few art terms that are commonly used in the art world. Understanding these terms can help deepen your appreciation and understanding of art across various styles, movements, and periods.。
PEP小学四年级英语模拟【答案和题解】
PEP小学四年级英语模拟【答案和题解】(共50道题)下面有答案和解题分析一、综合题1.She _______ (be) my best friend.2.Which of these is a vegetable?A. GrapeB. AppleC. CarrotD. Banana3.My father _______ a doctor.A. isB. areC. amD. be4.Every summer, we ______ (go) to the beach. Last year, we ______ (swim) in the sea and ______ (build) a big sandcastle. We ______ (stay) at the beach for the whole afternoon.5.We _______ (eat) pizza tomorrow evening.6.Yesterday, my family __________ (go) to a restaurant for dinner. We __________ (order) pizza, pasta, and salad. My little sister __________ (eat) a big slice of pizza, and I __________ (have) pasta. After dinner, we __________ (walk) to the park. It__________ (be) a lovely evening.7.Which of these is a number?A. catB. dogC. threeD. ball8.Which of these animals is a mammal?A. BirdB. DogC. FishD. Snake9.We _______ (not/see) the movie last night.10.They _______ (go) to the swimming pool every summer.11.What do you use to write on paper?A. PencilB. SpoonC. PlateD. Cup12.They _______ (visit) their grandparents on weekends.13.We _______ (finish) our homework.14.My family ______ (live) in a big city, but we ______ (want) to move to the countryside. We ______ (like) the peaceful life there. Last summer, we ______ (visit) a small village, and we ______ (enjoy) the fresh air and quiet streets. Next year, we ______ (plan) to move to a house near the lake.15.What is the opposite of big?A. LargeB. TinyC. HugeD. Tall16.I _______ (don’t / doesn’t / not) like to wake up early.17.I _______ (eat) breakfast at 7:30 every morning.18.In the morning, I __________ (1) breakfast at 7:30 AM. I __________ (2) eggs and toast with milk. After breakfast, I __________ (3) to school by bus. It __________ (4) about 20 minutes to get to school. I __________ (5) my homework in the afternoon and __________ (6) some time to play with my friends.19.What do you call the place where you buy books?A. SchoolB. LibraryC. BookstoreD. Hospital20.What is the opposite of "big"?A. TallB. SmallC. WideD. Heavy21.Which of these is a mode of communication?A. TelephoneB. PlateC. SpoonD. Knife22.She _______ (eat) breakfast at 7:00 every morning.23.Today is a __________ (1) day. The sky __________ (2) clear, and the sun__________ (3) shining brightly. I __________ (4) my sunglasses because it __________ (5) very hot. I __________ (6) to the park later and __________ (7) a picnic with my family. We __________ (8) to play some games after eating.24.I live in a small house with my family. My room is very __. I have a big __ to sleep on and a small __ to study. On my desk, there are books, a __, and a __. I like to keep my room __ and clean. In the evening, I turn on the __ and read my favorite books.25.Which of these animals says "woof"?A. DogB. CatC. DuckD. Cow26.She _______ very fast.27.She _______ (cook) dinner right now.28.Which of these is used to eat salad?A. KnifeB. ForkC. SpoonD. Plate29.I _______ (study / studies / studied) English yesterday.30.I _______ (help) my mom with the dishes.31.Which sentence uses the correct form of the verb "to be"?A. She am a student.B. I is a teacher.C. They are friends.D. He are a doctor.32.We _______ (watch) TV every evening.33.David is doing his homework at the desk in his room. He has a __________ on his desk, where he keeps his pens, pencils, and erasers. Today, he is studying __________, and he needs to answer some questions about numbers. After finishing his math homework, he will start his __________ homework. His mom will help him check his work before bedtime.34.She _______ a teacher.A. amB. isC. areD. be35.We _______ (play) table tennis last Saturday.36.Yesterday, my friends and I ______ (go) to the zoo. We ______ (see) many animals, like lions, tigers, and elephants. My favorite animal ______ (be) the panda. It ______ (eat) bamboo and ______ (sleep) a lot. We ______ (have) a great time there.37.Which of these is a body part?A. EarB. SpoonC. TableD. Chair38.Yesterday, we ______ (visit) the zoo. We ______ (see) many animals, including lions, elephants, and giraffes. The lions ______ (be) very big, and the giraffes ______ (look) tall and graceful. After we ______ (watch) the animals, we ______ (eat) ice cream at the zoo cafe.39.We _______ (study/studies) English at school.40.During the summer holidays, I __________ (1) to visit my cousins in the countryside. We __________ (2) a lot of fun together. We __________ (3) in the river, picked fruits from the trees, and __________ (4) many pictures of the beautiful nature. I __________ (5) to go again next summer.41.We __________ (have) a science class yesterday. Our teacher __________ (show) us how to make a simple volcano with baking soda and vinegar. We __________ (try) it ourselves, and it __________ (be) so much fun. After the experiment, we __________ (discuss) what happened, and the teacher __________ (explain) the science behind it.42.What do we use to brush our teeth?A. KnifeB. ToothbrushC. PlateD. Spoon43.We _______ (play / plays / played) soccer every afternoon.44.We _______ (go) to the beach every summer.45.How do you say "谢谢" in English?A. PleaseB. Thank youC. SorryD. Goodbye46.They _______ (be) good friends.47.Which of these is a vehicle?A. BicycleB. TableC. BookD. Chair48.We _______ (not) go to the park on Sundays.49.I _______ (have / has / had) a new pencil case.50.They _______ (not/like) to eat vegetables.(答案及解释)。
数学必修五笔记整理手写笔记
数学必修五笔记整理手写笔记Studying mathematics is often seen as a challenging and daunting task for many students. However, it is also a subject that provides a solid foundation for critical thinking, problem-solving, and analytical skills. Mathematics is not just about numbers and equations; it is about logic, reasoning, and the ability to think abstractly.学习数学常常被许多学生视为一项具有挑战性和令人望而却步的任务。
然而,数学也是一门能够为批判性思维、问题解决能力和分析技能提供坚实基础的学科。
数学不仅仅是关于数字和方程式,它还涉及逻辑、推理和抽象思维能力。
When it comes to mastering mathematics, it is essential to have a clear understanding of the basic concepts. Building a strong foundation in arithmetic, algebra, geometry, and calculus is crucialfor tackling more advanced topics. It is important for students to practice regularly and seek help from teachers or tutors when encountering difficulties.在掌握数学的过程中,对基本概念有清晰的理解是至关重要的。
高中数学必修5第一二章复习知识点总结与练习
高中数学必修5 第一章 解三角形复习一、知识点总结【正弦定理】1.正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C=== (R 为三角形外接圆的半径). 2.正弦定理的一些变式:()sin sin sin i a b c A B C ::=::;()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2cR=; ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===;(4)R CB A cb a 2sin sin sin =++++ 3.两类正弦定理解三角形的问题:(1)已知两角和任意一边,求其他的两边及一角.(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边角.(可能有一解,两解,无解) 4.在ABC ∆中,已知a,b 及A 时,解得情况: 解法一:利用正弦定理计算【余弦定理】1.余弦定理: 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩2.推论:222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩. 设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边,则: ①若222a b c +=,则90C =o; ②若222a b c +>,则90C <o; ③若222a b c +<,则90C >o.3.两类余弦定理解三角形的问题:(1)已知三边求三角.(2)已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角.【面积公式】已知三角形的三边为a,b,c,1.111sin ()222a S ah ab C r a bc ===++(其中r 为三角形内切圆半径)2.设)(21c b a p ++=,))()((c p b p a p p S ---=(海伦公式)【三角形中的常见结论】(1)π=++C B A (2) sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-2cos 2sinC B A =+,2sin 2cos CB A =+;A A A cos sin 22sin ⋅=, (3)若⇒>>C B A c b a >>⇒C B A sin sin sin >> 若C B A sin sin sin >>⇒c b a >>⇒C B A >> (大边对大角,小边对小角)(4)三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边 (5)三角形中最大角大于等于ο60,最小角小于等于ο60(6) 锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.钝角三角形⇔最大角是钝角⇔最大角的余弦值为负值 (7)ABC ∆中,A,B,C 成等差数列的充要条件是ο60=B .(8) ABC ∆为正三角形的充要条件是A,B,C 成等差数列,且a,b,c 成等比数列. 二、题型汇总题型1【判定三角形形状】判断三角形的类型(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式.(2)在ABC ∆中,由余弦定理可知:222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形∆(注意:是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆)(3) 若B A 2sin 2sin =,则A=B 或2π=+B A .例1.在ABC ∆中,A b c cos 2=,且ab c b a c b a 3))((=-+++,试判断ABC ∆形状.题型2【解三角形及求面积】一般地,把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.题型3【证明等式成立】证明等式成立的方法:(1)左⇒右,(2)右⇒左,(3)左右互相推.题型4【解三角形在实际中的应用】仰角 俯角 方向角 方位角 视角数列知识点总结一、 数列的定义:(1)按一定次序排成的一列数(2)数列可以看作是项数n 的函数f(n)=an,其定义域为正整数集或它的子集。
高中必修五数学知识点笔记整理
高中必修五数学知识点笔记整理高中必修五数学知识点一、基础知识(1)常用逻辑用语:四种命题(原、逆、否、逆否)及其相互关系;充分条件与必要条件;简单的逻辑联结词(或、且、非);全称量词与存在性量词,全称命题与特称命题的否定.(2)圆锥曲线:曲线与方程;求轨迹的常用步骤;椭圆的定义及其标准方程、椭圆的简单几何性质(注意离心率与形状的关系);双曲线的定义及其标准方程、双曲线的简单几何性质(注意双曲线的渐近线)、等轴双曲线与共轭双曲线;抛物线的定义及其标准方程;抛物线的简单几何性质;直线与圆锥曲线的常用公式(弦长公式、两根差公式).圆锥曲线的几何性质的常用拓展还有:焦半径公式、椭圆与双曲线的焦准定义、椭圆与双曲线的“垂径定理”、焦点三角形面积公式、圆锥曲线的光学性质等等.(3)空间向量与立体几何:空间向量的概念、表示与运算(加法、减法、数乘、数量积);空间向量基本定理、空间向量运算的坐标表示;平面的法向量、用空间向量计算空间的角与距离的方法.二、重难点与易错点重难点与易错点部分配合必考题型使用,做完必考题型后会对重难点与易错部分部分有更深入的理解.(1)区分逆命题与命题的否定;(2)理解充分条件与必要条件;(3)椭圆、双曲线与抛物线的定义;(4)椭圆与双曲线的几何性质,特别是离心率问题;(5)直线与圆锥曲线的位置关系问题;(6)直线与圆锥曲线中的弦长与面积问题;(7)直线与圆锥曲线问题中的参数求解与性质证明;(8)轨迹与轨迹求法;(9)运用空间向量求空间中的角度与距离;(10)立体几何中的动态问题探究.高中必修五数学必背知识点一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性:(1) 元素的确定性,(2) 元素的互异性,(3) 元素的无序性,3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2) 集合的表示方法:列举法与描述法。
五年级英语绘画主题分析单选题40题
五年级英语绘画主题分析单选题40题1. We use ______ to draw pictures.A. pencilsB. pensC. rulersD. erasers答案:A。
铅笔是用于画画的常见工具,选项B 钢笔通常用于书写,选项C 尺子用于测量和绘制直线,选项D 橡皮用于擦除错误,而非用于画图。
2. Which of the following is not a painting material?A. PaintB. PaperC. ScissorsD. Brush答案:C。
油漆、纸张和画笔都是绘画材料,而剪刀是用于裁剪,不是绘画材料。
3. You can color with ______.A. glueB. crayonsC. tapeD. chalk答案:B。
蜡笔可以用于上色,选项 A 胶水用于粘贴,选项 C胶带用于粘贴或固定,选项D 粉笔常用于在黑板上书写。
4. What do we need to draw on a canvas?A. Paints and brushesB. Books and pensC. Rulers and erasersD. Computers and phones答案:A。
在画布上画画需要颜料和画笔,选项B 书和钢笔不是在画布上画画的必需品,选项C 尺子和橡皮在画画中不是必须用于画布的,选项D 电脑和手机通常不用于在画布上直接作画。
5. The best material to draw a straight line is ______.A. a penB. a pencilC. a rulerD. a brush答案:C。
尺子是画直线的最佳工具,钢笔和铅笔不容易画出笔直的直线,画笔主要用于涂抹和绘制不规则的形状。
6.Which of the following is a traditional painting style?A.CubismB.ImpressionismC.RealismD.Abstract art答案:C。
教科版高中数学必修5:1 ART IN FLOWING TIME_课件1
(4)It usually confines you to only a very limited world of music./Why confine yourself to just one small portion of a vast world of music out there?
1 ART IN FLOWING TIME
1.课前准备
Discuss the following questions in groups.
(1)Do you like music? Why or why not?
(2)What music do you like better, pop or classical music? How about your parents? Do they like the same music as you do?
(1)He was starved and ate
in the fridge.
(2)The word “hot” can be used of “spicy” or of “having a certain degree of heat”.
(3) If you talk with him for five minutes, you will discover that his interest the sports world only.
(5)The writer says that art music is something that we may do well to learn about.
高中数学2版必修5
高中数学2版必修5§3 解三角形的实际应用举例第1课时距离和高度问题知能目标解读1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法求解不可到达的两点之间的距离.2.学会处理测量距离、测量高度等解三角形的实际问题.3.深刻理解三角形的知识在实际中的应用,增强应用数学建模意识,培养自己分析问题和解决实际问题的能力.重点难点点拨重点:分析测量的实际情景,找出解决测量距离的方法.难点:分析如何运用学过的解三角形知识解决实际问题中距离测量和高度问题.学习方法指导1.解三角形应用题的基本思路解三角形应用题要注意两点:(1)读懂题意,理解问题的实际背景,明确已知和所求,准确理解应用题中的有关术语、名称.理清量与量之间的关系.(2)将三角形的解还原为实际问题,注意实际问题中的单位、近似计算要求.2.常见应用题型正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有:测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.3.解三角形应用题常见的几种情况(1)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题,一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题,从而得到运用正弦定理去解决的方法.(2)测量两个不可到达的点之间的距离问题,一般是把求距离转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题.然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题,然后运用正弦定理解决.知能自主梳理实际问题中的名词、术语1.方位角:从指北方向时针转到目标方向的水平角.如图(1)所示.2.方向角:相对于某一正方向(东、西、南、北)的水平角.①北偏东α°,即由指北方向旋转α°到达目标方向,如图(2).②北偏西α°,即是由指北方向旋转α°到达目标方向.3.基线:在测量上,我们根据测量的需要适当确定的线段叫做基线.一般来说,基线越,测量的精确度越高.4.测量底部不可到达的建筑物的高度问题,由于底部不可到达,这类问题不能直接用解三角形的方法解决,但常用和,计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离,然后转化为解直角三角形的.5.仰角与俯角:目标方向线(视线)与水平线的夹角中,当目标(视线)在水平线时,称为仰角,在水平线时,称为俯角,如图.[答案]1.顺2.顺时针逆时针3.长4.正弦定理余弦定理5.上方下方思路方法技巧命题方向测量高度问题[例1]如图,测量人员沿直线MNP的方向测量,测得塔AB的仰角分别是∠AMB= 30°,∠ANB=45°∠APB=60°,且MN=PN=500m,求塔高.[分析]解题的关键是读懂立体图形.[解析]设AB高为x.∵AB垂直于地面,∴△ABM,△ABN,△ABP均为直角三角形,∴BM=x・cot30°=3x,BN=x・cot45°=x,BP =x ・cot60°=33x .在△MNB 中,由余弦定理,得BM 2=MN 2+BN 2-2MN ・BN ・cos ∠MNB,在△PNB 中,由余弦定理,得BP 2=NP 2+BN 2-2NP ・BN ・cos ∠PNB ,又∵∠BNM 与∠PNB 互补,MN=NP =500,∴3x 2=__+x 2-2×500x ・cos ∠MNB ,①31x 2=__+x 2-2×500x ・cos ∠PNB ,② ①+②,得310x 2=__+2x 2,∴x =2506.答:塔高2506m.[说明]在测量高度时,要理解仰角和俯角的概念,区别在于视线在水平线的上方还是下方,一般步骤是:①根据已知条件画出示意图;②分析与问题有关的三角形;③运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解;④把解出答案还原到实际问题中.还要注意综合运用平面几何和立体几何知识以及方程的思想.变式应用1如图,在塔底B 处测得山顶C 的仰角为60°,在山顶C 测得塔顶A 的俯角为45°,已知塔高AB =20m ,求山高DC (精确到0.1m ).[分析]如图,DC 在Rt △BCD 中,∠DBC =60°,只需求出边BC 的长,即可求出DC ,而BC 又在斜三角形ABC 中,依据条件由正弦定理可求出BC .[解析]由已知条件,得∠DBC =60°,∠ECA =45°,则在△ABC 中,∠ABC =90°-60°=30°,∠ACB =60°-45°=15°,∠CAB =180°-(∠ABC +∠ACB )=135°.在△ABC 中,?=?15sin 135sin AB BC .∴BC =()()__015sin 135sin +=-?=???AB . 在Rt △CDB 中,CD =BC ・sin ∠CBD =20(3+1)×23≈47.3. 答:山高约为47.3m.命题方向测量距离问题[例2]要测量河对岸两地A 、B 之间的距离,在岸边选取相距1003米的C 、D 两点,并测得∠ACB =75°,∠BCD =45°,∠ADC =30°,∠ADB =45°(A 、B 、C 、D 在同一平面内),求A 、B 两地的距离.[分析]此题是测量计算河对岸两点间的距离,给出的角度较多,涉及几个三角形,重点应注意依次解哪几个三角形才较为简便.[解析]如图所示,在△ACD 中,∠CAD=180°-(120°+30°)=30°,∴AC=CD =1003.在△BCD 中,∠CBD =180°-(45°+75°)=60°.由正弦定理,得BC =?=??75sin __sin 75sin 3100. 在△ABC 中,由余弦定理,得AB 2=(1003)2+(200sin75°) 2-2×1003×200sin75°・cos75°=1002(3+4×???-?-150sin 322150cos 1)=1002×5, ∴AB =1005.答:A 、B 两地间的距离为1005米.[说明](1)求解三角形中的基本元素,应由确定三角形的条件个数,选择合适的三角形求解,如本题选择的是△BCD 和△ABC .(2)本题是测量都不能到达的两点间的距离,它是测量学中应用非常广泛的三角网测量方法的原理,其中AB 可视为基线.(3)在测量上,我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线,如本例的CD .在测量过程中,要根据实际需要选取合适的基线长度,使测量具有较高的精确度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.变式应用2如图所示,货轮在海上以40km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行,为了确定船位,船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°,航行半小时后船到达C 点,观测灯塔A 的方位角是65°.问货轮到达C 点时与灯塔A 的距离是多少?[分析]根据所给图形可以看出,在△ABC 中,已知BC 是半小时路程,只要根据所给的方位角数据,求出∠ABC 及A 的大小,由正弦定理可得出AC 的长.[解析]在△ABC 中,BC =40×21=20, ∠ABC =140°-110°=30°,∠ACB =(180°-140°)+65°=105°,∴A =180°-(30°+105°)=45°,由正弦定理,得AC =A ABC BC sin sin ∠?=__sin 30sin 20=??? (km). 答:货轮到达C 点时与灯塔A 的距离是102 km.探索延拓创新命题方向综合应用问题[例3]如下图所示,甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于A 1处时,乙船位于甲船的北偏西105°的方向B 1处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A 2处时,乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处,此时两船相距102海里,问乙船每小时航行多少海里?[分析]甲、乙两船航行时间相同,要求得乙船的速度,只需求得乙船航行的距离B 1B 2即可.连结A 1B 2,转化为在△A 1B 1B 2中已知两边及夹角求对边的问题.[解析]如上图,连结A 1B 2,∵A 2B 2=102,∴A 1A 2=6020×302=102.∵△A 1A 2B 2是等边三角形,∴∠B 1A 1B 2=105°-60°=45°.在△A 1B 2B 1中,由余弦定理得B1B 22=A 1B 12+A 1B 22-2A 1B 1・A 1B 2cos45°=202+(102)2-2×20×102×22=200, 则B 1B 2=102.因此乙船的速度的大小为20210×60=302. 即乙船每小时航行302海里.[说明]仔细观察图形,充分利用图形的几何性质挖掘隐含条件,并通过添加适当的辅助线将问题纳入到三角形中去解决是解此类问题的关键.变式应用3海中有小岛A ,已知A 岛四周8海里内有暗礁.今有一货轮由西向东航行,望见A 岛在北偏东75°,航行202海里后见此岛在北偏东30°.如货轮不改变航向继续前进,问有无触礁的危险?如图所示,要判断有无触焦危险,只要看AD 的长与8的大小,若AD >8,则无触礁危险,否则有触礁危险.[解析]如图所示,作AD ⊥BC 的延长线于D ,由已知∠NBA =75°,∠ACD =60°,BC =202. 由正弦定理,得()?-?-?=?__-__sin __sin AC ,∴AC =10(6- 2),∴AD =AC ・sin60°=152-56>8.∴无触礁危险.[说明]本题中理解方位角是解题的关键.北偏东75°是指以正北方向为始边,顺时针方向转75°.名师辨误做答[例4]某观测站C 在城A 的南偏西20°的方向,由城A 出发的一条公路,走向是南偏东40°,在C 处测得公路上B 处有一人,距C 为31千米,正沿公路向A 城走去,走了20千米后到达D 处,此时CD 间的距离为21千米,问:这人还要走多少千米才能到达A 城?[误解]本题为解斜三角形的应用问题,要求这人走多少路才可到达A 城,即求AD 的长,在△ACD 中,已知CD =21千米,∠CAD =60°,只需再求出一个量即可.如图,设∠ACD =α,∠CDB =β,在△CBD 中,由余弦定理,得cos β=7__-__2120・__-__-=??-+=-+CD BD CB CD BD ,∴sin β=734. ∴在△ACD 中,(),AC 232160sin __sin =?=-?β∴AC =.__-__1=?? ∴CD 2=AC 2+AD 2-2AC ・AD ・cos60°,即212=242+AD 2-2×24×21・AD ,整理,得AD 2-24AD +135=0,解得AD =15或AD =9,答:这个人再走15千米或9千米就可到达A 城.[辨析]本题在解△ACD 时,利用余弦定理求AD ,产生了增解,应用正弦定理来求解. [正解]如图,令∠ACD =α,∠CDB =β,在△CBD 中,由余弦定理得cos β=CDBD CB CD BD ・2222--=__-__-__-=??-+,∴sin β=734.又sin α=sin(β-60°)=sin βcos60°-sin60°cos β=734×21+23×71=1435,在△ACD 中,αsin 60sin 21AD =?, ∴AD =??60sin sin 21α=15(千米). 答:这个人再走15千米就可以到达A 城.课堂巩固训练一、选择题1.如图所示,在河岸AC 测量河的宽度BC ,测量下列四组数据,较适宜的是( )A.a 和cB.c 和bC.c 和βD.b 和α[答案]D[解析]在△ABC 中,能够测量到的边和角分别为b 和α.2.如图所示,D 、C 、B 在地平面同一直线上,DC =10m ,从D 、C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°,则A 点离地面的高AB 等于( )A.10mB.53mC.5(3-1)mD.5(3+1)m[答案]D[解析]在△ABC 中,由正弦定理得AD =()__sin 135sin 10+=?? 在Rt △ABC 中,AB=AD sin30°=5(3+1)(m).3.(2012・福州高二质检)如图所示,为了测量隧道口AB 的长度,给定下列四组数据,测量时应当用数据( )A.α,a,bB.α,β,aC.a,b,γD.α,β,b[答案]C[解析]根据实际情况,α、β都是不易测量的数据,而a,b 可以测得,角γ也可以测得,根据余弦定理AB 2=a 2+b 2-2ab cos γ能直接求出AB 的长,故选C.4.(2011・上海理,6)在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ,若∠CAB =75°,∠CBA = 60°,则A 、C 两点之间的距离为千米.[答案]6[解析]本题考查正弦定理等解三角形的知识,在三角形中,已知两角和一边可求第三个角以及利用正弦定理求其它两边.∵∠CAB =75°,∠CBA =60°,∴∠C =180°-75°-60°=45°, 由正弦定理:CAB CBA AC ∠=∠sin sin , ∴?=?45sin 260sin AC , ∴AC =6.二、填空题5.某地电信局信号转播塔建在一山坡上,如图所示,施工人员欲在山坡上A 、B 两点处测量与地面垂直的塔CD 的高,由A 、B 两地测得塔顶C 的仰角分别为60°和45°,又知AB 的长为40米,斜坡与水平面成30°角,则该转播塔的高度是米.[答案]3340 [解析]如图所示,由题意,得∠ABC =45°-30°=15°,∠DAC =60°-30°=30°.∴∠BAC =150°,∠ACB =15°,∴AC=AB =40米,∠ADC =120°,∠ACD =30°,在△ACD 中,由正弦定理,得CD =ADC ACD ∠∠sin sin ・AC =??120sin 30sin ・40=3 340. 三、解答题6.如图,为了测量河的宽度,在一岸边选定两点A 、B ,望对岸的标记物C ,测得∠CAB = 45°,∠CBA =75°,AB =120米,求河的宽度.[解析]如图,在△ABC 中,∵∠CAB =45°,∠CBA =75°,∴∠ACB =60°.由正弦定理,得AC =??=∠∠?60sin 75sin 120sin sin ACB CBA AB=20(362+).设C 到AB 的距离为CD ,则CD =AC sin ∠CAB =22AC =20(3+3). 答:河的宽度为20(3+3)米.课后强化作业一、选择题1.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形,如图,测得AC 的长度为4m,∠A =30°,则其跨度AB 的长为()A.12mB.8mC.33mD.43m[答案]D[解析]在△ABC 中,已知可得BC=AC =4,∠C =180°-30°×2=120°所以由余弦定理得AB 2=AC 2+BC 2-2AC ・BC cos120°=42+42-2×4×4×(-21)=48 ∴AB =43 (m).2.从塔顶处望地面A 处的俯角为30°,则从A 处望塔顶的仰角是( )A.-60°B.30°C.60°D.150°[答案]B3.海上有A 、B 两个小岛相距10海里,从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角,从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角,则B 、C 间的距离是( ) A.103海里B.106海里C.52海里D.56海里[答案]D[解析]如图,由正弦定理得?=?45sin 1060sin BC ,∴BC =56.4.某人向正东方向走x km 后,他向右转150°,然后朝新方向走3 km ,结果他离出发点恰好3km ,那么x 的值为()A. 3 B.23C.23或3D.3[答案]C[解析]由题意画出三角形如下图.则∠ABC =30°, 由余弦定理得,cos30°=x x 6392-+,∴x=23或3.5.甲船在湖中B 岛的正南A 处,AB =3km ,甲船以8km/h 的速度向正北方向航行,同时乙船从B 岛出发,以12km/h 的速度向北偏东60°方向驶去,则行驶15分钟时,两船的距离是()A.7 kmB. 13kmC. 19kmD.3310- km[答案]B[解析]由题意知AM =8×360__-__5=?==,BN ,MB=AB-AM =3-2=1,所以由余弦定理得MN 2=MB 2+BN 2-2MB ・BN cos120°=1+9-2×1×3×(-21)=13,所以MN =13km. 6.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为() A.3400米B.33400米C.2003米D.200米[答案]A[解析]如图,设AB 为山高,CD 为塔高,则AB =200,∠ADM =30°,∠ACB =60°,∴BC =200cot60°=33200,AM =DM tan30°=BC tan30°=3200. ∴CD=AB-AM =3400. 7.一货轮航行到M 处,测得灯塔S 在货轮的北偏东15°,与灯塔S 相距20海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为()A.20(2+6)海里/时B.20(6-2)海里/时C.20(6+3)海里/时D.20(6-3)海里/时[答案][解析]题意可知∠NMS =45°,∠MNS =105°,则∠MSN =180°-105°-45°=30°.而MS =20,在△MNS 中,由正弦定理得?=?105sin 30sin MS MN ,∴MN =()?+?=??4560sin __sin 30sin 20 =??+??30sin 60cos 30cos 60sin 10 =()__610-=+=10(6-2).∴货轮的速度为10(6-2)÷21=20(6-2)(海里/时). 8.如图所示,在山底A 处测得山顶B 的仰角∠CAB =45°,沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000米到达S 点,又测得山顶仰角∠DSB =75°,则山高BC 为()A.5002mB.200mC.__mD.1000m[答案]D[解析]∵∠SAB =45°-30°=15°,∠SBA =∠ABC -∠SBC =45°-(90°-75°)=30°, 在△ABS 中,AB =???30sin 135sin AB =2__-__? =1 0002,∴BC =AB ・sin45°=1 0002×22=1 000(m ). 二、填空题9.一船以24 km/h 的速度向正北方向航行,在点A 处望见灯塔S 在船的北偏东30°方向上,15 min 后到点B 处望见灯塔在船的北偏东75°方向上,则船在点B 时与灯塔S 的距离是km.(精确到0.1 km )[答案]4.2[解析]作出示意图如图.由题意知,AB =24×6015=6,∠ASB =45°,由正弦定理得,?45sin 6=?30sin BS ,可得BS =22216?=32≈4.2(km ). 10.从观测点A 看湖泊两岸的建筑物B 、C 的视角为60°,AB =100m,AC =200m,则B 、C 相距 .[答案]1003m[解析]在△ABC 中,由余弦定理得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ・AC ・cos A=1002+2002-2×100×200×21=__ 所以BC =1003m.11.甲、乙两楼相距20米,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°,则甲、乙两楼的高分别是 .[答案]203米,3340米[解析]如图,依题意有甲楼的高度AB =20・tan60°=203 (米),又CM=DB =20米,∠CAM=60°,所以AM=CM ・cot60°=3320米,故乙楼的高度为CD =203-3320=3340(米). 12.如图,一辆汽车在一条水平的公路上从C 处向正东行驶,到A 处时,测量公路南侧远处一山顶D 在东南15°的方向上,行驶15km 后到达B 处,测得此山顶在东偏南30°的方向上,仰角为15°,则此山的高度CD 等于km.[答案]5(2-3)[解析]在△ABC 中,∠A =15°,∠C =30°-15°=15°,BC=515sin 15sin 5sin sin =???=C A AB . 又CD=BC ・tan ∠DBC =5×tan15°=5×tan(45°-30°)= 5(2-3). 三、解答题13.(2012・厦门高二检测)海面上相距10海里的A 、B 两船,B 船在A 船的北偏东45°方向上,两船同时接到指令同时驶向C 岛,C 岛在B 船的南偏东75°方向上,行驶了80分钟后两船同时到达C 岛,经测算,A 船行驶了107海里,求B 船的速度.[解析]如图所示,在△ABC 中,AB =10,AC =107,∠ABC =120°由余弦定理,得AC 2=BA 2+BC 2-2BA ・BC ・cos120°即700=100+BC 2+10BC ,∴BC =20,设B 船速度为v ,则有v =3420=15(海里/小时). 即B 船的速度为15海里/小时.14.在上海世博会期间,小明在中国馆门口A 处看到正前方上空一红灯笼,测得此时的仰角为45°,前进200米到达B 处,测得此时的仰角为60°,小明身高1.8米,试计算红灯笼的高度(精确到1m ).[解析]由题意画出示意图(AA ′表示小明的身高).∵AB =200,∠CA ′B ′=45°,∠CB ′D ′=60°,∴在△A ′B ′C 中,?'=''∠''45sin sin C B B C A B A ∴B ′C =?''15sin 45sin B A =() __-____+=-?. 在Rt △CD ′B ′中,CD ′=B ′C ・sin60°=100(3+3), ∴CD =1.8+100(3+3)≈475(米).答:红灯笼高约475米.15.山上有一纪念塔,不能到达底部,你有哪些方法测量塔的高度PO ?[解析]如图(1),在地面上引一条基线AB ,使其延长线通过塔底点O ,测出A 、B 分别对塔顶P 的仰角α、β及AB 的长度就可以求出塔高PO.计算方法:在△PAB 中,由正弦定理得PA =()βα-sin AB ・sin β, 在Rt △PAO 中,PO =PA sinα∴PO =()βαβα-sin sin sin AB . 16.在大海上,“蓝天号”渔轮在A 处进行海上作业,“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20海里的B 处.现在“白云号”以每小时10海里的速度向正北方向行驶,而“蓝天号”同时以每小时8海里的速度由A 处向南偏西60°方向行驶,经过多少小时后,“蓝天号”和“白云号”两船相距最近.[解析]如右图,设经过t 小时,“蓝天号”渔轮行驶到C 处,“白云号”货轮行驶到D 处,此时“蓝天号”和“白云号”两船的距离为CD .则根据题意,知在△ABC 中,AC =8t ,AD =20-10t,∠CAD =60°.由余弦定理,知CD 2=AC 2+AD 2-2×AC ×AD cos60°=(8t )2+(20-10t) 2-2×8t ×(20-10t )×cos60° =244t 2-560t+400=244(t-6170)2+400-244×(6170)2,∴当t =6170时,CD 2取得最小值,即“蓝天号”和“白云号”两船相距最近.。
教科版高中数学必修5:5 TIMES OF JOY AND HAPPINESS_课件1
(5) He
as Father Christmas at the party.
(6) He was
because he had killed a woman.
5.单词学习Biblioteka 6.语法学习7.任务
Suppose you are an American and you want to know about the Chinese Spring Festival. Ask your partner about the festival, e.g. its date, the foods people eat or the things people usually do during the Spring Festival. In return, you will say something about Thanksgiving Day in the United States. The following role cards may be helpful.
Many Westerners celebrate Christmas and Easter. Valentine’s Day, has an interesting story. Claudius II, Emperor of Rome, wanted to keep his army strong. He gave an order to keep soldiers from getting married. The soldiers got very angry and Valentine, a priest, agreed to hold a marriage ceremony for the soldiers and their lovers. Valentine was finally put to death. But until today, February 14 each year is still a very popular day for friends and lovers. They exchange greeting cards and gifts.
高中数学必修5课后习题答案之欧阳歌谷创编
人教版高中数学必修5课后习题解答欧阳歌谷(2021.02.01)第一章解三角形1.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习(P4)1、(1)14b≈cm,75a≈cm,15C=︒.b≈,105a≈,19B=︒;(2)182、(1)65C≈︒,13c≈;A≈︒,35c≈;或115A≈︒,85C≈︒,22(2)41a≈.B≈︒,24A≈︒,24练习(P8)1、(1)39.6,58.2, 4.2 cmA B cB C a≈︒≈︒≈.≈︒≈︒≈;(2)55.8,81.9,10.5 cm2、(1)43.5,100.3,36.2A B C≈︒≈︒≈︒.≈︒≈︒≈︒;(2)24.7,44.9,110.4A B C习题1.1 A组(P10)1、(1)38,39,80a cmb cm C≈≈=︒≈≈≈︒;(2)38,56,90a cmb cm B2、(1)114,43,35;20,137,13≈︒≈︒≈≈︒≈︒≈A B a cm A B a cm(2)35,85,17≈︒≈︒≈;B C c cm(3)97,58,47;33,122,26≈︒≈︒≈≈︒≈︒≈;A B a cm A B a cm3、(1)49,24,62≈︒≈︒≈;A C b cm≈︒≈︒≈;(2)59,55,62A B c cm(3)36,38,62≈︒≈︒≈;B C a cm4、(1)36,40,104≈︒≈A B≈︒≈︒≈︒;(2)48,93A B C习题1.1 A组(P10)1、证明:如图1,设ABC ∆的外接圆的半径是R ,①当ABC ∆时直角三角形时,90C ∠=︒时,ABC ∆的外接圆的圆心O 在Rt ABC ∆的斜边AB 上.在Rt ABC ∆中,sin BC A AB =,sin AC B AB= 即sin 2a A R =,sin 2b B R= 所以2sin a R A =,2sin b R B =又22sin902sin c R R R C ==⋅︒=所以2sin , 2sin , 2sin a R A b R B c R C ===②当ABC ∆时锐角三角形时,它的外接圆的圆心O 在三角形内(图2),作过O B 、的直径1A B ,连接1A C ,则1A BC ∆直角三角形,190ACB ∠=︒,BAC ∠=在1Rt A BC ∆中,11sin BCBAC A B =∠, 即1sin sin 2a BAC A R =∠=, 所以2sin a R A =,同理:2sin b R B =,2sin c R C =③当ABC ∆时钝角三角形时,不妨假设A ∠为钝角,它的外接圆的圆心O 在ABC ∆外(图3)作过O B 、的直径1A B ,连接1A C .则1A BC ∆直角三角形,且190ACB ∠=︒,1180BAC ∠=︒-在1Rt A BC ∆中,12sin BC R BAC =∠,即2sin(180)a R BAC =︒-∠ (第1题图2)即2sin a R A =同理:2sin b R B =,2sin c R C =综上,对任意三角形ABC ∆,如果它的外接圆半径等于R ,则2sin , 2sin , 2sin a R A b R B c R C ===2、因为cos cos a A b B =,所以sin cos sin cos A A B B =,即sin2sin2A B =因为02,22A B π<<,所以22A B =,或22A B π=-,或222A B ππ-=-. 即A B =或2A B π+=.所以,三角形是等腰三角形,或是直角三角形.在得到sin2sin2A B =后,也可以化为sin2sin20A B -=所以cos()sin()0A B A B +-=2A B π+=,或0A B -=即2A B π+=,或A B =,得到问题的结论.1.2应用举例练习(P13)1、在ABS ∆中,32.20.516.1AB =⨯= n mile ,115ABS ∠=︒, 根据正弦定理,sin sin(6520)AS AB ABS =∠︒-︒ 得sin 16.1sin115sin(6520)AS AB ABS ==⨯∠=⨯︒-︒∴S 到直线AB 的距离是sin 2016.1sin115sin 207.06d AS =⨯︒=⨯︒≈(cm ).∴这艘船可以继续沿正北方向航行.2、顶杆约长1.89 m.练习(P15)1、在ABP ∆中,180ABP γβ∠=︒-+,在ABP ∆中,根据正弦定理,sin sin AP AB ABP APB=∠∠ 所以,山高为sin sin()sin sin()a h AP αγβαγα-==- 2、在ABC ∆中,65.3AC =m ,25251738747BAC αβ'''∠=-=︒-︒=︒ 根据正弦定理,sin sin AC BC ABC BAC=∠∠ sin 65.3sin7479.8sin sin6435AC BAC BC ABC '⨯∠⨯︒==≈'∠︒m 井架的高约9.8m.3、山的高度为200sin38sin 29382sin9⨯︒︒≈︒m 练习(P16)1、约63.77︒.练习(P18)1、(1)约2168.52 cm ; (2)约2121.75 cm ; (3)约2425.39 cm .2、约24476.40 m3、右边222222cos cos 22a b c a c b b C c B b c ab ac+-+-=+=⨯+⨯ 22222222222a b c a c b a a a a a+-+-=+===左边 【类似可以证明另外两个等式】习题1.2 A 组(P19)1、在ABC ∆中,350.517.5BC =⨯= n mile ,14812622ABC ∠=︒-︒=︒ 78(180148)110ACB ∠=︒+︒-︒=︒,1801102248BAC ∠=︒-︒-︒=︒根据正弦定理,sin sin AC BC ABC BAC=∠∠ sin 17.5sin 228.82sin sin 48BC ABC AC BAC ⨯∠⨯︒==≈∠︒n mile货轮到达C 点时与灯塔的距离是约8.82 n mile. 2、70 n mile.3、在BCD ∆中,301040BCD ∠=︒+︒=︒,1801804510125BDC ADB ∠=︒-∠=︒-︒-︒=︒130103CD =⨯= n mile 根据正弦定理,sin sin CD BD CBD BCD=∠∠ 在ABD ∆中,451055ADB ∠=︒+︒=︒,1806010110BAD ∠=︒-︒-︒=︒根据正弦定理,sin sin sin AD BD AB ABD BAD ADB ==∠∠∠,即sin15sin110sin55AD BD AB ==︒︒︒ 10sin 40sin15sin1510sin 40sin15 6.84sin110sin110sin 70BD AD ⨯︒⨯︒⨯︒⨯︒︒===≈︒︒︒ n mile sin5510sin 40sin5521.65sin110sin15sin70BD AB ⨯︒⨯︒⨯︒==≈︒︒⨯︒n mile 如果一切正常,此船从C 开始到B 所需要的时间为: 6.8421.65206010306086.983030AD AB +++⨯+≈+⨯≈ min 即约1小时26分59秒. 所以此船约在11时27分到达B 岛.4、约5821.71 m5、在ABD ∆中,700 km AB =,1802135124ACB ∠=︒-︒-︒=︒根据正弦定理,700sin124sin35sin 21AC BC ==︒︒︒ 700sin35sin124AC ⨯︒=︒,700sin 21sin124BC ⨯︒=︒所以路程比原来远了约86.89 km.6、飞机离A 处探照灯的距离是4801.53 m ,飞机离B 处探照灯的距离是4704.21 m ,飞机的高度是约4574.23 m.7、飞机在150秒内飞行的距离是15010001000 m 3600d =⨯⨯根据正弦定理,sin(8118.5)sin18.5d x =︒-︒︒这里x 是飞机看到山顶的俯角为81︒时飞机与山顶的距离. 飞机与山顶的海拔的差是:sin18.5tan81tan8114721.64 m sin(8118.5)d x ⨯︒⨯︒=⨯︒≈︒-︒ 山顶的海拔是2025014721.645528 m -≈8、在ABT ∆中,21.418.6 2.8ATB ∠=︒-︒=︒,9018.6ABT ∠=︒+︒,15 m AB =根据正弦定理,sin 2.8cos18.6AB AT =︒︒,即15cos18.6sin 2.8AT ⨯︒=︒塔的高度为15cos18.6sin 21.4sin 21.4106.19 m sin 2.8AT ⨯︒⨯︒=⨯︒≈︒9、3261897.8 km 60AE ⨯== 在ACD ∆中,根据余弦定理: 根据正弦定理,sin sin AD AC ACD ADC =∠∠ 在ABC ∆中,根据余弦定理:AB =在ACE ∆中,根据余弦定理:CE = 所以,飞机应该以南偏西10、如图,在ABC ∆133.82BAC ∠≈︒, 90BAC ∠-︒所以,仰角为43.82︒11、(1)211sin 2833sin 45326.68 cm 22S ac B ==⨯⨯⨯︒≈ (2)根据正弦定理:sin sin a c A C =,36sin sin66.5sin sin32.8a c C A =⨯=⨯︒︒(3)约为1597.94 2cm12、212sin 2nR n π. 13、根据余弦定理:222cos 2a c b B ac +-= (第9题)所以222()2cos 22a a a m c c B =+-⨯⨯⨯所以a m =,同理b m =,c m =14、根据余弦定理的推论,222cos 2b c a A bc+-=,222cos 2c a b B ca +-= 所以,左边(cos cos )c a B b A =-222222221()(22)222c a b b c a c a b c c +-+-=-=-=右边 习题1.2 B 组(P20)1、根据正弦定理:sin sin a b A B =,所以sin sin a B b A= 代入三角形面积公式得211sin 1sin sin sin sin 22sin 2sin a B B C S ab C a C a A A==⨯⨯= 2、(1)根据余弦定理的推论:222cos 2a b c C ab +-= 由同角三角函数之间的关系,sin C = 代入1sin 2S ab C =,得 记1()2p a b c =++,则可得到1()2b c a p a +-=-,1()2c a b p b +-=-,1()2a b c p c +-=- 代入可证得公式(2)三角形的面积S 与三角形内切圆半径r 之间有关系式122S p r pr =⨯⨯=其中1()2p a b c =++,所以Sr p == (3)根据三角形面积公式12a S a h =⨯⨯所以,2a S h a ==即a h 同理b h =c h =第一章 复习参考题A 组(P24)1、(1)219,3851,8.69 cm B C c ''≈︒≈︒≈; (2)4149,10811,11.4 cm B C c ''≈︒≈︒≈;或13811,1149, 2.46 cm B C c ''≈︒≈︒≈ (3)112,3858,28.02 cm A B c ''≈︒≈︒≈; (4)2030,1430,22.92 cm B C a ''≈︒≈︒≈;(5)1620,1140,53.41 cm A C b ''≈︒≈︒≈; (6)2857,4634,10429A B C '''=︒=︒=︒;2、解法1:设海轮在B 处望见小岛在北偏东75︒,在C 处望见小岛在北偏东60︒,从小岛A 向海轮的航线BD 作垂线,垂线段AD 的长度为x n mile ,CD 为y n mile.则tan 30tan 308tan 30tan15tan1588tan15x x y y x x x x y y ⎧⎧=︒=⎪⎪⎪⎪︒⇒⇒=-⎨⎨︒︒⎪⎪=︒=+⎪⎪+︒⎩⎩ 所以,这艘海轮不改变航向继续前进没有触礁的危险.3、根据余弦定理:2222cos AB a b ab α=+-所以 222cos AB a b ab α=+-从B ∠的余弦值可以确定它的大小.类似地,可以得到下面的值,从而确定A ∠的大小.22cos 2cos A a b ab α=+-4、如图,,C D 是两个观测点,C 到D 的距离是d ,航船在时刻1t在A 处,以从A 到B 的航向航行,在此时测出ACD ∠CDA ∠. 在时刻2t ,航船航行到B 处,此时,测出CDB ∠和BCD ∠. 根 据正弦定理,在BCD ∆中,可以计算出BC 的长,在ACD ∆中, (第2题) d B A (第4题)可以计算出AC 的长. 在ACB ∆中,AC 、BC 已经算出,ACB ACD BCD ∠=∠-∠,解ACD ∆,求出AB 的长,即航船航行的距离,算出CAB ∠,这样就可以算出航船的航向和速度.5、河流宽度是sin()sin sin h αβαβ-.6、47.7 m.7、如图,,A B 是已知的两个小岛,航船在时刻1t 在C到D 的航向航行,测出ACD ∠和BCD ∠. 在时刻2t 到D 处,根据时间和航船的速度,可以计算出C 到D 的距离是d ,在D 处测出CDB ∠和CDA ∠. 根据正弦定理,在BCD ∆中,可以计算出BD 的长,在ACD ∆中,可以计算出AD的长. 在ABD ∆中,AD 、BD 已经算出,ADB CDB CDA ∠=∠-∠,根据余弦定理,就可以求出AB 的长,即两个海岛,A B 的距离.第一章 复习参考题B 组(P25)1、如图,,A B 点E处,测出图中AEF ∠,AFE ∠的大小,以及EF 的距离定理,解AEF ∆,算出AE . 在BEF ∆中,测出BEF ∠和利用正弦定理,算出BE . 在AEB ∆中,测出AEB ∠,利用余弦定 理,算出AB 的长. 本题有其他的测量方法.2、关于三角形的面积公式,有以下的一些公式:(1)已知一边和这边上的高:111,,222a b c S ah S bh S ch ===;(2)已知两边及其夹角:111sin ,sin ,sin 222S ab C S bc A S ca B ===;(3)已知三边:S =2a b c p ++=; (4)已知两角及两角的共同边:222sin sin sin sin sin sin ,,2sin()2sin()2sin()b C Ac A B a B C S S S C A A B B C ===+++; (5)已知三边和外接圆半径R :4abc S R=. 3、设三角形三边长分别是1,,1n n n -+,三个角分别是,3,2απαα-. 由正弦定理,11sin sin 2n n αα-+=,所以1cos 2(1)n n α+=-. 由余弦定理,222(1)(1)2(1)cos n n n n n α-=++-⨯+⨯⨯. 即2221(1)(1)2(1)2(1)n n n n n n n +-=++-⨯+⨯⨯-,化简,得250n n -= 所以,0n =或5n =. 0n =不合题意,舍去. 故5n =所以,三角形的三边分别是4,5,6. 可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍.另解:先考虑三角形所具有的第一个性质:三边是连续的三个自然数.(1)三边的长不可能是1,2,3. 这是因为123+=,而三角形任何两边之和大于第三边.(2)如果三边分别是2,3,4a b c ===.因为 2222223427cos 22348b c a A bc +-+-===⨯⨯ 在此三角形中,A 是最小角,C 是最大角,但是cos2cos A C ≠, 所以2A C ≠,边长为2,3,4的三角形不满足条件.(3)如果三边分别是3,4,5a b c ===,此三角形是直角三角形,最大角是90︒,最小角不等于45︒. 此三角形不满足条件.(4)如果三边分别是4,5,6a b c ===.此时,2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯此时,cos2cos A C =,而02,A C π<<,所以2A C = 所以,边长为4,5,6的三角形满足条件.(5)当4n >,三角形的三边是,1,2a n b n c n ==+=+时,三角形的最小角是A ,最大角是C .cos A 随n 的增大而减小,A 随之增大,cos C 随n 的增大而增大,C随之变小.由于4n =时有2C A =,所以,4n >,不可能2C A =. 综上可知,只有边长分别是4,5,6的三角形满足条件. 第二章 数列2.1数列的概念与简单表示法 练习(P31)1、2、前5项分别是:1,0,1,0,1--.3、例1(1)1(2,)1(21,)n n m m N na n m m N n⎧-=∈⎪⎪=⎨⎪=-∈⎪⎩**; (2)2(2,)0(21,)n n m m N a n m m N ⎧=∈⎪=⎨=-∈⎪⎩**说明:此题是通项公式不唯一的题目,鼓励学生说出各种可能的表达形式,并举出其他可能的通项公式表达形式不唯一的例子.4、(1)1()21n a n Z n +=∈-; (2)(1)()2n n a n Z n +-=∈; (3)121()2n n a n Z +-=∈ 习题2.1 A 组(P33) 1、(1)2,3,5,7,11,13,17,19; (2)(3)1,1.7,1.73,1.732,…1.732050; 2,1.8,1.74,1.733,…,1.732051. 2、(1)11111,,,,491625; (2)2,5,10,17,26--.3、(1)(1),4-,9,(16-),25,(36-),49; 12(1)n n a n +=-; (2)1,),2;n a =.4、(1)1,3,13,53,2132; (2)141,5,,,5454--.5、对应的答案分别是:(1)16,21;54n a n =-;(2)10,13;32n a n =-;(3)24,35;22n a n n =+.6、15,21,28; 1n n a a n -=+. 习题2.1 B 组(P34)1、前5项是1,9,73,585,4681.该数列的递推公式是:1118,1n n a a a +=+=.通项公式是:817n n a -=.2、110(10.72)10.072a =⨯+=﹪; 2210(10.72)10.144518a =⨯+=﹪; 3310(10.72)10.217559a =⨯+=﹪; 10(10.72)n n a =⨯+﹪.3、(1)1,2,3,5,8; (2)358132,,,,2358.2.2等差数列 练习(P39)1、表格第一行依次应填:0.5,15.5,3.75;表格第二行依次应填:15,11-,24-.2、152(1)213n a n n =+-=+,1033a =.3、4n c n =4、(1)是,首项是11m a a md +=+,公差不变,仍为d ;(2)是,首项是1a ,公差2d ;(3)仍然是等差数列;首项是716a a d=+;公差为7d .5、(1)因为5375a a a a -=-,所以5372a a a =+. 同理有5192a a a =+也成立;(2)112(1)n n n a a a n -+=+>成立;2(0)n n k n k a a a n k -+=+>>也成立. 习题2.2 A 组(P40)1、(1)29n a =; (2)10n =; (3)3d =; (4)110a =.2、略.3、60︒.4、2℃;11-℃;37-℃.5、(1)9.8s t =; (2)588 cm ,5 s.习题2.2 B 组(P40)1、(1)从表中的数据看,基本上是一个等差数列,公差约为2000,52010200280.2610a a d =+=⨯再加上原有的沙化面积5910⨯,答案为59.2610⨯;(2)2021年底,沙化面积开始小于52810 hm ⨯. 2、略. 2.3等差数列的前n 项和 练习(P45)1、(1)88-; (2)604.5.2、59,11265,112n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩ 3、元素个数是30,元素和为900.习题2.3A 组(P46)1、(1)(1)n n +; (2)2n ; (3)180个,和为98550; (4)900个,和为494550.2、(1)将120,54,999n n a a S ===代入1()2n n n a a S +=,并解得27n =;将120,54,27n a a n ===代入1(1)n a a n d =+-,并解得1713d =.(2)将1,37,6293n d n S ===代入1(1)n a a n d =+-,1()2n n n a a S +=,得111237()6292n n a a a a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩;解这个方程组,得111,23n a a ==. (3)将151,,566n a d S ==-=-代入1(1)2n n n S na d -=+,并解得15n =;将151,,1566a d n ==-=代入1(1)n a a n d =+-,得32n a =-.(4)将2,15,10n d n a ===-代入1(1)n a a n d =+-,并解得138a =-;将138,10,15n a a n =-=-=代入1()2n n n a a S +=,得360n S =-.3、44.5510⨯m.4、4.5、这些数的通项公式:7(1)2n -+,项数是14,和为665.6、1472.习题2.3B 组(P46)1、每个月的维修费实际上是呈等差数列的. 代入等差数列前n 项和公式,求出5年内的总共的维修费,即再加上购买费,除以天数即可. 答案:292元.2、本题的解法有很多,可以直接代入公式化简,但是这种比较繁琐.现提供2个证明方法供参考.(1)由 61615S a d =+,1211266S a d =+,18118153S a d =+可得61812126()2()S S S S S +-=-. (2)1261212126()()S S a a a a a a -=+++-+++同样可得:1812672S S S d -=+,因此61812126()2()S S S S S +-=-. 3、(1)首先求出最后一辆车出发的时间4时20分;所以到下午6时,最后一辆车行驶了1小时40分.(2)先求出15辆车总共的行驶时间,第一辆车共行驶4小时,以后车辆行驶时间依次递减,最后一辆行驶1小时40分. 各辆车的行驶时间呈等差数列分布,代入前n 项和公式,这个车队所有车的行驶时间为2418531522S +=⨯= h. 乘以车速60 km/h ,得行驶总路程为2550 km. 4、数列1(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的通项公式为111(1)1n a n n n n ==-++ 所以111111111()()()()1122334111n nS n n n n =-+-+-++-=-=+++ 类似地,我们可以求出通项公式为1111()()n a n n k k n n k==-++的数列的前n 项和. 2.4等比数列 练习(P52)1、 2、由题意可知,每一轮被感染的计算机台数构成一个首项为180a =,公比为20q =的等比数列,则第5轮被感染的计算机台数5a 为 447518020 1.2810a a q ==⨯=⨯.3、(1)将数列{}n a 中的前k 项去掉,剩余的数列为12,,k k a a ++. 令,1,2,k i b a i +==,则数列12,,k k a a ++可视为12,,b b .因为11(1)i k i ik ib a q i b a ++++==≥,所以,{}n b 是等比数列,即12,,k k a a ++是等比数列.(2){}n a 中的所有奇数列是135,,,a a a ,则235211321(1)k k a a a q k a a a +-=====≥.所以,数列135,,,a a a 是以1a 为首项,2q 为公比的等比数列. (3){}n a 中每隔10项取出一项组成的数列是11223,,,a a a , 则1112231111121110(1)k k a a a q k a a a +-=====≥所以,数列11223,,,a a a 是以1a 为首项,11q 为公比的等比数列. 猜想:在数列{}n a 中每隔m (m 是一个正整数)取出一项,组成一个新的数列,这个数列是以1a 为首项,1m q +为公比的等比数列. 4、(1)设{}n a 的公比为q ,则24228511()a a q a q ==,而262837111a a a q a q a q ⋅=⋅= 所以2537a a a =⋅,同理2519a a a =⋅(2)用上面的方法不难证明211(1)n n n a a a n -+=⋅>. 由此得出,n a 是1n a -和1n a +的等比中项.同理:可证明,2(0)n n k n k a a a n k -+=⋅>>. 由此得出,n a 是n k a -和n k a +的等比中项(0)n k >>.5、(1)设n 年后这辆车的价值为n a ,则13.5(110)n n a =-﹪. (2)4413.5(110)88573a =-≈﹪(元). 用满4年后卖掉这辆车,能得到约88573元.习题2.4A 组(P53)1、(1)可由341a a q =,得11a =-,6671(1)(3)729a a q ==-⨯-=-. 也可由671a a q =,341a a q =,得337427(3)729a a q ==⨯-=-(2)由131188a q a q =⎧⎪⎨=⎪⎩,解得12723a q =⎧⎪⎨=⎪⎩,或12723a q =-⎧⎪⎨=-⎪⎩(3)由416146a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩,解得232q =,还可由579,,a a a 也成等比数列,即2759a a a =,得22795694a a a ===.(4)由411311156a q a a q a q ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩①②①的两边分别除以②的两边,得2152q q +=,由此解得12q =或2q =. 当12q =时,116a =-. 此时2314a a q ==-. 当2q =时,11a =. 此时2314a a q ==.2、设n 年后,需退耕na ,则{}n a 是一个等比数列,其中18(110),0.1a q =+=﹪.那么2005年需退耕5551(1)8(110)13a a q =+=+≈﹪(万公顷) 3、若{}n a 是各项均为正数的等比数列,则首项1a 和公比q 都是正数.由11n n a a q -=11(1)22)n n qq --==.那么数列{}n a12q 为公比的等比数列.4、这张报纸的厚度为0.05 mm ,对折一次后厚度为0.05×2 mm ,再对折后厚度为0.05×22 mm ,再对折后厚度为0.05×32 mm. 设00.05a =,对折n 次后报纸的厚度为n a ,则{}n a 是一个等比数列,公比2q=. 对折50次后,报纸的厚度为这时报纸的厚度已经超出了地球和月球的平均距离(约83.8410 m⨯),所以能够在地球和月球之间建一座桥.5、设年平均增长率为1,105q a=,n年后空气质量为良的天数为n a,则{}na是一个等比数列.由3240a=,得2231(1)105(1)240a a q q=+=+=,解得10.51q=≈6、由已知条件知,,2a bA G+==,且2a bA G+-===所以有A G≥,等号成立的条件是a b=. 而,a b是互异正数,所以一定有A G>.7、(1)2±;(2)22()ab a b±+. 8、(1)27,81;(2)80,40,20,10.习题2.4B组(P54)1、证明:由等比数列通项公式,得11mma a q-=,11nna a q-=,其中1,0a q≠所以1111mm nmnna a qqa a q---==2、(1)设生物体死亡时,体内每克组织中的碳14的原子核数为1个单位,年衰变率为q,n年后的残留量为na,则{}n a是一个等比数列. 由碳14的半衰期为5730则57305730112na a q q===,解得157301()0.9998792q=≈(2)设动物约在距今n年前死亡,由0.6na=,得10.9998790.6nna a q===.解得4221n≈,所以动物约在距今42213、在等差数列1,2,3,…中, 有7108917a a a a +==+,1040203050a a a a +==+ 由此可以猜想,在等差数列{}n a 中 若*(,,,)k s p q k s p q N +=+∈,则k s p q a a a a +=+.从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个 问题:由等差数列{}n a 的图象,可以看出k pa ka p =,s q a s a q= 根据等式的性质,有k sp qa a k sa a p q++=++,所以k s p q a a a a +=+. 猜想对于等比数列{}n a ,类似的性质为:若*(,,,)k s p q k s p q N +=+∈,则k s p q a a a a ⋅=⋅.2.5等比数列的前n 项和 练习(P58)1、(1)6616(1)3(12)189112a q S q--===--. (2)1112.7()9190311451()3n n a a q S q----===----. 2、设这个等比数列的公比为q 所以 101256710()()S a a a a a a =+++++++555S q S =+55(1)q S =+50=同理 1015105S S q S =+.因为 510S =,所以由①得 5101051416S q q S =-=⇒=代入②,得1015105501610210S S q S =+=+⨯=.3、该市近10年每年的国内生产总值构成一个等比数列,首项12000a =,公比 1.1q =设近10年的国内生产总值是10S ,则10102000(1 1.1)31874.81 1.1S -=≈-(亿元)习题2.5A 组(P61) 1、(1)由34164641a q a ===--,解得4q =-,所以144164(4)5111(4)a a q S q ---⨯-===---. (2)因为2131233(1)S a a a a q q --=++=++,所以2113q q --++=,即2210q q --=解这个方程,得1q =或12q =-. 当1q =时,132a =;当12q =-时,16a =.2、这5年的产值是一个以1138 1.1151.8a =⨯=为首项, 1.1q =为公比的等比数列所以5515(1)151.8(1 1.1)926.75411 1.1a q S q -⨯-==≈--(万元) 3、(1)第1个正方形的面积为42cm ,第2个正方形的面积为22cm ,…,这是一个以14a =为首项,12q =为公比的等比数列所以第10个正方形的面积为99710114()22a a q -==⨯=(2cm )(2)这10个正方形的面积和为77110101422821112a a q S q---⨯-===---(2cm )4、(1)当1a =时,2(1)(1)(2)()12(1)2n n na a a n n --+-++-=-----=-当1a ≠时,22(1)(2)()()(12)n n a a a n a a a n -+-++-=+++-+++(2)1212(235)(435)(35)2(12)3(555)n n n n -------⨯+-⨯+-⨯=+++-+++(3)设21123n n S x x nx -=++++……① 则 212(1)n n n xS x x n x nx -=+++-+……②①-②得,21(1)1n n n x S x x x nx --=++++-……③ 当1x =时,(1)1232n n n S n +=++++=;当1x ≠时,由③得,21(1)1n nn x nx S x x-=--- 5、(1)第10次着地时,经过的路程为91002(50251002)-++++⨯ (2)设第n 次着地时,经过的路程为293.75 m ,则1(1)12(1)12(12)1002100(222)100200293.7512n n ---------+⨯+++=+⨯=- 所以130********.75n --⨯=,解得120.03125n -=,所以15n -=-,则6n =6、证明:因为396,,S S S 成等差数列,所以公比1q ≠,且9362S S S =+即,936111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---⨯=+--- 于是,9362q q q =+,即6321q q =+上式两边同乘以1a q ,得741112a q a q a q =+即,8252a a a =+,故285,,a a a 成等差数列习题2.5B 组(P62)1、证明:11111()(1())1n n n n n n n n n b b b a b a a a b b a a b a a a b a+++---+++=+++==-- 2、证明:因为7714789141277()S S a a a q a a a q S -=+++=+++= 所以71472114,,S S S --成等比数列3、(1)环保部门每年对废旧物资的回收量构成一个等比数列,首项为1100a =,公比为 1.2q =.所以,2010年能回收的废旧物资为89100 1.2430a =⨯≈(t )(2)从2002年到2010年底,能回收的废旧物资为9919(1)100(1 1.2)208011 1.2a q S q --==≈--(t ) 可节约的土地为165048320⨯=(2m )4、(1)依教育储蓄的方式,应按照整存争取定期储蓄存款利率计息,免征利息税,且若每月固定存入a 元,连续存n 个月,计算利息的公式为()2a na n +⨯月利率. 因为整存整取定期储蓄存款年利率为2.52﹪,月利率为0.21﹪ 故到期3年时一次可支取本息共(505036)360.2118001869.932+⨯⨯⨯+=﹪(元) 若连续存6年,应按五年期整存整取定期储蓄存款利率计息,具体计算略.(2)略.(3)每月存50元,连续存3年按照“零存整取”的方式,年利率为1.89﹪,且需支付20﹪的利息税所以到期3年时一次可支取本息共1841.96元,比教育储蓄的方式少收益27.97元.(4)设每月应存入x 元,由教育储蓄的计算公式得36(36)0.2136100002x x x +⨯+=﹪ 解得267.39x ≈(元),即每月应存入267.39(元)(5)(6)(7)(8)略5、设每年应存入x 万元,则2004年初存入的钱到2010年底利和为7(12)x +﹪,2005年初存入的钱到2010年底利和为6(12)x +﹪,……,2010年初存入的钱到2010年底利和为(12)x +﹪.根据题意,76(12)(12)(12)40x x x ++++++=﹪﹪﹪根据等比数列前n 项和公式,得7(12)(1 1.02)401 1.02x +-=-﹪,解得52498x ≈(元)故,每年大约应存入52498元第二章 复习参考题A 组(P67)1、(1)B ; (2)B ; (3)B ; (4)A .2、(1)212n n n a -=; (2)12(1)(21)1(2)n n n a n +--=+; (3)7(101)9n n a =-; (4)1(1)n n a =+-或1cos n a n π=+.3、4、如果,,a b c 成等差数列,则5b =;如果,,a b c 成等比数列,则1b =,或1-.5、n a 按顺序输出的值为:12,36,108,324,972. 86093436sum =.6、81381.9(10.13)1396.3⨯+≈﹪(万) 7、从12月20日到次年的1月1日,共13天. 每天领取的奖品价值呈等差数列分布.110,100d a ==. 由1(1)2n n n S a n d -=+得:1313121001310208020002S ⨯=⨯+⨯=>. 所以第二种领奖方式获奖者受益更多.8、因为28374652a a a a a a a +=+=+=所以34567285450()2a a a a a a a +++++==+,则28180a a +=.9、容易得到101010,1012002n n n a n S +==⨯=,得15n =. 10、212212()()()n n n n S a a a a nd a nd a nd ++=+++=++++++容易验证2132S S S =+. 所以,123,,S S S 也是等差数列,公差为2n d . 11、221(1)(1)4(1)221a f x x x x x =+=+-++=--因为{}n a 是等差数列,所以123,,a a a 也是等差数列.所以,2132a a a =+. 即,20286x x =-+. 解得1x =或3x =.当1x =时,1232,0,2a a a =-==. 由此可求出24n a n =-.当3x =时,1232,0,2a a a ===-. 由此可求出42n a n =-.第二章 复习参考题B 组(P68)1、(1)B ; (2)D .2、(1)不成等差数列. 可以从图象上解释. ,,a b c 成等差,则通项公式为y pn q =+的形式,且,,a b c 位于同一直线上,而111,,a b c的通项公式却是1y pn q =+的形式,111,,a b c不可能在同一直线上,因此肯定不是等差数列. (2)成等比数列. 因为,,a b c 成等比,有2b ac =.又由于,,a b c 非零,两边同时取倒数,则有21111b ac a c==⨯. 所以,111,,a b c也成等比数列. 3、体积分数:60.033(125)0.126⨯+≈﹪,质量分数:60.05(125)0.191⨯+≈﹪. 4、设工作时间为n ,三种付费方式的前n 项和分别为,,n n n A B C . 第一种付费方式为常数列;第二种付费方式为首项是4,公差也为4的等差数列;第三种付费方式为首项是0.4,公比为2的等比数列.则38n A n =,2(1)44222n n n B n n n -=+⨯=+, 0.4(12)0.4(21)12n n n C -==--. 下面考察,,n n n A B C 看出10n <时,380.4(21)n n >-.因此,当工作时间小于10天时,选用第一种付费方式.10n ≥时,,n n n n A C B C ≤≤因此,当工作时间大于10天时,选用第三种付费方式.5、第一星期选择A 种菜的人数为n ,即1a n =,选择B 种菜的人数为500a -.所以有以下关系式:2118030a a b =⨯+⨯﹪﹪…… 所以111502n n a a -=+,115003502n n n b a a -=-=- 如果1300a =,则2300a =,3300a =,…,10300a =6、解:由1223n n n a a a --=+得 1123()n n n n a a a a ---+=+以及1123(3)n n n n a a a a ----=--所以221213()37n n n n a a a a ---+=+=⨯,221213(1)(3)(1)13n n n n a a a a ----=--=-⨯.由以上两式得,11437(1)13n n n a --=⨯+-⨯ 所以,数列的通项公式是11137(1)134n n n a --⎡⎤=⨯+-⨯⎣⎦ 7、设这家牛奶厂每年应扣除x 万元消费基金2002年底剩余资金是1000(150)x +-﹪2003年底剩余资金是2[1000(150)](150)1000(150)(150)x x x x +-+-=+-+-﹪﹪﹪﹪……5年后达到资金 54321000(150)(150)(150)(150)(150)2000x x x x +-+-+-+-+=﹪﹪﹪﹪﹪解得 459x ≈(万元)第三章不等式3.1不等关系与不等式练习(P74)1、(1)0a b +≥;(2)4h ≤;(3)(10)(10)3504L W L W ++=⎧⎨>⎩. 2、这给两位数是57. 3、(1)>;(2)<;(3)>;(4)<; 习题3.1 A 组(P75)1、略.2、(1)24;(2>3、证明:因为20,04x x >>,所以21104x x x ++>+>因为22(1)02x +>>,所以12x +> 4、设A 型号帐篷有x 个,则B 型号帐篷有(5)x +个,050448054853(5)484(4)48x x x x x x >⎧⎪+>⎪⎪<⎪⎨<-<⎪⎪+<⎪+⎪⎩≥ 5、设方案的期限为n 年时,方案B 的投入不少于方案A 的投入. 所以,(1)5105002n n n -+⨯≥即,2100n ≥. 习题3.1 B 组(P75)1、(1)因为222259(56)30x x x x x ++-++=+>,所以2225956x x x x ++>++(2)因为222(3)(2)(4)(69)(68)10x x x x x x x ----=-+--+=>所以2(3)(2)(4)x x x ->--(3)因为322(1)(1)(1)0x x x x x --+=-+>,所以321x x x >-+(4)因为22222212(1)1222(1)(1)10x y x y x y x y x y ++-+-=++-+-=-+-+> 所以2212(1)x y x y ++>+-2、证明:因为0,0a b c d >>>>,所以0ac bd >>又因为0cd >,所以10cd > 于是0a b d c >>>3、设安排甲种货箱x 节,乙种货箱y 节,总运费为z .所以352515301535115050x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪+=⎩≥≥所以28x ≥,且30x ≤所以2822x y =⎧⎨=⎩,或2921x y =⎧⎨=⎩,或3020x y =⎧⎨=⎩ 所以共有三种方案,方案一安排甲种货箱28节,乙种货箱22节;方案二安排甲种货箱29节,乙种货箱21节;方案三安排甲种货箱30节,乙种货箱20节.当3020x y =⎧⎨=⎩时,总运费0.5300.82031z =⨯+⨯=(万元),此时运费较少. 3.2一元二次不等式及其解法练习(P80)1、(1)1013x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤≤;(2)R ;(3){}2x x ≠;(4)12x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭; (5)31,2x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或;(6)54,43x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或;(7)503x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. 2、(1)使2362y x x =-+的值等于0的x的集合是1⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭; 使2362y x x =-+的值大于0的x的集合为11x x x ⎧⎪<>+⎨⎪⎪⎩⎭或; 使2362y x x =-+的值小于0的x的集合是11x x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭. (2)使225y x =-的值等于0的x 的集合{}5,5-;使225y x =-的值大于0的x 的集合为{}55x x -<<;使225y x =-的值小于0的x 的集合是{}5,5x x x <->或.(3)因为抛物线2+610y x x =+的开口方向向上,且与x 轴无交点所以使2+610y x x =+的等于0的集合为∅;使2+610y x x =+的小于0的集合为∅;使2+610y x x =+的大于0的集合为R.(4)使231212y x x =-+-的值等于0的x 的集合为{}2;使231212y x x =-+-的值大于0的x 的集合为∅;使231212y x x =-+-的值小于0的x 的集合为{}2x x ≠.习题3.2 A 组(P80)1、(1)35,22x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或;(2)x x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭; (3){}2,5x x x <->或;(4){}09x x <<.2、(1)解2490x x -+≥,因为200∆=-<,方程2490x x -+=无实数根所以不等式的解集是R ,所以y R.(2)解2212180x x -+-≥,即2(3)0x -≤,所以3x =所以y ={}3x x =3、{33m m m <-->-+或; 4、R.5、设能够在抛出点2 m 以上的位置最多停留t 秒. 依题意,20122v t gt ->,即212 4.92t t ->. 这里0t >. 所以t 最大为2(精确到秒)答:能够在抛出点2 m 以上的位置最多停留2秒.6、设每盏台灯售价x 元,则15[302(15)]400x x x ⎧⎨-->⎩≥. 即1520x <≤.所以售价{}1520x x x ∈<≤习题3.2 B 组(P81)1、(1)x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭;(2){}37x x <<;(3)∅;(4)113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 2、由22(1)40m m ∆=--<,整理,得23210m m +->,因为方程23210m m +-=有两个实数根1-和13,所以11m <-,或213m >,m 的取值范围是11,3m m m ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或. 3、使函数213()324f x x x =--的值大于0的解集为33x x x ⎧⎪<<+⎨⎪⎪⎩⎭或. 4、设风暴中心坐标为(,)a b ,则a =22450b +<,即150150b -<<而150151)13.7202=≈(h ),3001520=. 所以,经过约13.7小时码头将受到风暴的影响,影响时间为15小时.3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题练习(P86)1、B .2、D .3、B .4、分析:把已知条件用下表表示:解:设家具厂每天生产A 类桌子x 张,B 类桌子y 张.对于A 类桌子,x 张桌子需要打磨10x min ,着色6x min ,上漆6x min 对于B 类桌子,y 张桌子需要打磨5y min ,着色12y min ,上漆9y min 而打磨工人每天最长工作时间是450min ,所以有105450x y +≤. 类似地,612480x y +≤,69450x y +≤在实际问题中,0,0x y ≥≥;所以,题目中包含的限制条件为1054506124806945000x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≥≥练习(P91)1、(1)目标函数为2z x y =+,可行域如图所示,作出直线2y x z =-+,可知z 要取最大值,即直线经过点C 时,解方程组11x y y +=⎧⎨=-⎩得(2,1)C -,⎩15⎩ 可得点(2,1)A --和点(1.5,2.5)B .所以max 3 1.55 2.517z =⨯+⨯=,min 3(2)5(1)11z =⨯-+⨯-=-2、设每月生产甲产品x 件,生产乙产品y 件,每月收入为z 元,(第1题)目标函数为30002000z x y =+,需要满足的条件是2400250000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥,作直线30002000z x y =+,当直线经过点A 时,z 取得最大值.解方程组24002500x y x y +=⎧⎨+=⎩可得点(200,100)A ,z 的最大值为800000元. 习题3.3 A 组(P93)1、画图求解二元一次不等式:(1)2x y +≤;(2)22x y ->;(3)2y -≤;(4)3x ≥解:设每周播放连续剧甲x 次,播放连续剧乙y 目标函数为6020z x y =+,所以,题目中包含的限制条件为8040320600x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥≥ 可行域如图. 解方程组80403206x y x y +⎧⎨+⎩==得点M 的坐标为(2,4),所以max6020200z x y =+=答:电视台每周应播放连续剧甲2次,播放连续剧乙4次,才能获得最高的收视率.4、设每周生产空调器x 台,彩电y 台,则生产冰箱120x y --台,产值为z .则,目标函数为432(120)2z x y x y x y =++--=++所以,题目中包含的限制条件为111(120)402341202000x y x y x y x y ⎧++--⎪⎪⎪--⎨⎪⎪⎪⎩≤≥≥≥即,312010000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥ 可行域如图,解方程组3120100x y x y +⎧⎨+⎩==得点M 的坐标为(10,90),所以max 2240350z x y=++=(千元) 答:每周应生产空调器10台,彩电90台,冰箱20台,才能使产值最高,最高产值是350千元. 习题3.3 B 组(P93)1、画出二元一次不等式组23122300x y x y x y +⎧⎪+>⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥所表示的区域如右图2、画出(21)(3)0x y x y +--+>3费为z (70)x -吨、向B 镇运送大米(110y -208(110)609030200z y x y =⨯⨯-=++.所以,题目中包含的限制条件为100(70)(110)800700x y x y x y +⎧⎪-+-⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤≥. 所以当70,30x y ==时,总运费最省min 37100z =(元) 所以当0,100x y ==时,总运费最不合理max 39200z =(元) 使国家造成不该有的损失2100元.答:甲粮库要向A 镇运送大米70吨,向B 镇运送大米30吨,乙粮库要向A 镇运送大米0吨,向B 镇运送大米80吨,此时总运费最省,为37100元. 最不合理的调运方案是要向A 镇运送大米0吨,向B 镇运送大米100吨,乙粮库要向A 镇运送大米70吨,向B 镇运送大米10吨,此时总运费为39200元,使国家造成损失2100元. 3.42a b+ 练习(P100)1、因为0x >,所以12x x+≥ 当且仅当1x x=时,即1x =时取等号,所以当1x =时,即1x x+的值最小,最小值是2.2、设两条直角边的长分别为,a b ,0,a >且0b >,因为直角三角形的面积等于50.即1502ab =,所以20a b +==≥,当且仅当10a b ==时取等号.答:当两条直角边的长均为10时,两条直角边的和最小,最小值是20.3、设矩形的长与宽分别为a cm ,b cm. 0a >,0b >因为周长等于20,所以10a b +=所以2210()()2522a b S ab +===≤,当且仅当5a b ==时取等号.答:当矩形的长与宽均为5时,面积最大. 4、设底面的长与宽分别为a m ,b m. 0a >,0b >因为体积等于323m ,高2m ,所以底面积为162m ,即16ab = 所以用纸面积是222324()32323264S ab bc ac a b =++=+++=+=≥当且仅当4a b ==时取等号答:当底面的长与宽均为4米时,用纸最少. 习题3.4 A 组(P100)1、(1)设两个正数为,a b ,则0,0a b >>,且36ab = 所以12a b +=≥,当且仅当6a b ==时取等号.答:当这两个正数均为6时,它们的和最小.(2)设两个正数为,a b ,依题意0,0a b >>,且18a b += 所以2218()()8122a b ab +==≤,当且仅当9a b ==时取等号.答:当这两个正数均为9时,它们的积最大. 2、设矩形的长为x m ,宽为y m ,菜园的面积为S 2m . 则230x y +=,S x y =⨯由基本不等式与不等式的性质,可得211219002252()222242x y S x y +=⨯⨯=⨯=≤. 当2x y =,即1515,2x y ==时,菜园的面积最大,最大面积是22522m .3、设矩形的长和宽分别为x 和y ,圆柱的侧面积为z ,因为2()36x y +=,即18x y +=.所以222()1622x y z x y πππ+=⨯⨯⨯=≤,当x y =时,即长和宽均为9时,圆柱的侧面积最大.4、设房屋底面长为x m ,宽为y m ,总造价为z 元,则12xy =,12y x=当且仅当1236004800x x⨯=时,即3x =时,z 有最小值,最低总造价为34600元.习题3.4 B 组(P101)1、设矩形的长AB 为x ,由矩形()ABCD AB AD >的周长为24,可知,宽12AB x =-.设PC a =,则DP x a =-所以222(12)()x x a a -+-=,可得21272x x a x -+=,1272x DP x a x-=-=.所以ADP ∆的面积211272187272(12)66[()18]2x x x S x x x x x--+-=-=⨯=⨯-++由基本不等式与不等式的性质6[18]6(18108S ⨯-=⨯-=-≤当72x x=,即x =m 时,ADP ∆的面积最大,最大面积是(108-2m .2、过点C 作CD AB ⊥,交AB 延长线于点D . 设BCD α∠=,ACB β∠=,CD x =.在BCD ∆中,tan b c xα-=. 在ACD ∆中,tan()a c xαβ-+=则tan()tan tan tan[()]1tan()tan αβαβαβααβα+-=+-=++⋅当且仅当()()a c b cx x--=,即x =时,tan β取得最大,从而视角也最大.第三章复习参考题A 组(P103)12、化简得{}23A x x =-<<,{}4,2B x x x =<->或,所以{}23A B x x =<<3、当0k <时,一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立,即二次函数2328y kx kx =+-在x 轴下方,234(2)()08k k ∆=--<,解之得:30k -<<.当0k >时,二次函数2328y kx kx =+-开口朝上一元二次不等式23208kx kx +-<不可能对一切实数x 都成立,所以,30k -<<.4、不等式组43800x y x y ++>⎧⎪<⎨⎪<⎩表示的平面区域的整点坐标是(1,1)--. 5、设每天派出A 型车x 辆,B 型车y 辆,成本为z .所以070494860360x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≤≤≤≤≤≥,目标函数为160252z x y =+ 把160252z x y =+变形为40163252y x z =-+,得到斜率为4063-,在y 轴上的截距为1252z ,随z 变化的一族平行直线. 在可行域的整点中,点(5,2)M 使得z 取得最小值. 所以每天派出A 型车5辆,B 型车2辆,成本最小,最低成本为1304元.6、设扇形的半径是x ,扇形的弧长为y ,因为12S xy =扇形的周长为2Z x y =+=≥当2x y =,即x =,y=时,Z 可以取得最小值,最小值为.7、设扇形的半径是x ,扇形的弧长为y ,因为2P x y =+扇形的面积为221112(2)()244216x y P Z xy x y +===≤当2x y =,即4P x =,2P y =时,Z 可以取得最大值,半径为4P 时扇形面积最大值为216P .8、设汽车的运输成本为y ,2()s sa y bv a sbv vv=+⨯=+当sa sbv v=时,即v =c 时,y 有最小值.2sa y sbv v =+≥2c >时,由函数say sbv v=+的单调性可知,v c =时y 有最小值,最小值为sa sbc c+.第三章复习参考题B 组(P103) 1、D2、(1)3226x x x x ⎧⎫<--<<>⎨⎬⎩或或(2)231334x x x x ⎧⎫-<>⎨⎬⎩⎭或或≤≤3、1m =4、设生产裤子x 条,裙子y 条,收益为z .则目标函数为2040z x y =+,所以约束条件为2600x y x x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩≤≥≥5、因为22x y +所以,当240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩即2,3A A x y ==时,22x y +的最大值为13.当4525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时,22x y +最小,最小值是45.。
教科版高中数学必修5:3 ART OF THE CAMERA_课件1
Picture 2:
Is this a painting or a photo? Can you seat your dog in this comfortable, or uncomfortable, position?
(2)Ask your classmates what they think of this photo.
(3) Write an article about this photo base on what you and your classmates have talked about.
Thank You
Now and then a photographer's portrait becomes so closely connected to a given subject that the subject’s name brings about an image of that portrait in people’s minds. Such is the case with Barbara Morgan ’s famous study of the dancer Martha Graham. For any one who is at all interested in dance, this image is of Martha Graham. Mention her name, and the mind ’s eye sees it.
In the mid-19th century, Mathew Brady, a creative and hardworking man, stood out in the field of photography in America. Brady opened a studio in New York in 1844 at the age of twenty-one. Later there was a studio in Washington D. C. and more studios in New York. He set out to photograph all the famous people of the time, and he nearly succeeded.
高中数学人教版必修5全套教案(2)(K12教育文档)
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课题:§1.1.1正弦定理授课类型:新授课●教学目标知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作.情感态度与价值观:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程Ⅰ。
课题导入如图1.1—1,固定∆ABC的边CB及∠B,使边AC绕着顶点C转动。
A思考:∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系?显然,边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来? C B Ⅱ。
讲授新课[探索研究] (图1.1-1)在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。
2020北师大版高中数学必修5:第2章 本章整合
2
2
(3)在△ABC 中,a2+b2<c2⇔cos C<0⇔C> π ; ������2 + ������2 = ������2⇔cos
2
C=0⇔C=
π 2
;
������2
+
������2
>
������2⇔cos
C>0⇔0<C<
π.
2
专题一
专题二
专题三
专题四
应用 若a,b,c是△ABC的三边,直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相离,则
是钝角.
故△ABC 是钝角三角形.
答案:D
专题一
专题二
专题三
专题四
专题三 三角形中的计算
正弦定理、余弦定理在平面几何的计算中有着十分广泛的应用,
其背景是三角形,故其应用涉及三角形的各个方面.
应用 在△ABC 中,B=45°,AC=
10, cos ������ = 2 5.
5
(1)求 BC 边的长;
关系来解,
也可利用正弦定理将
������ ������
转化为
sin������ sin������
来解.
2.常见的思考方向:(1)是否两边(或两角)相等;(2)是否三边(或三
角)相等;(3)是否有直角、钝角.
专题一
专题二
专题三
专题四
3.解三角形中的常用结论:
(1)在△ABC 中,A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B.
������ = 2������sin������,������ = 2������sin������,������ = 2������sin������
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Drawing seems intimate because it is often—although not always—the artist’s own note-taking. Many drawings are not shown publicly during the artist’s lifetime. They may be sketches for some other work. We think of such drawings as direct expressions from mind to hand. In looking at a sketch by Michelangelo, for example, we can see what he was really thinking as he drew those lines. Through the drawings Michelangelo becomes more human to us, as we watch him playing with new shapes again and again. Other things may also make drawing intimate. Most drawings are small beside paintings, and many are done quickly. Drawings are often made in great numbers; some artists do hundreds of drawings for every “finished” work.
(3) Do you agree that Paganini in this picture seems to be “a little proud” ? Do you think that a confident person may often look “a little proud”? Why or why not? Give a few examples.
The pencil probably has made more drawings than any other tool. Pencils are cheap, and easy to come by and work with. Mistakes can be removed with an eraser. If the drawing turns out badly, it can be thrown away at no great expense. Some of the best drawings we know have been done with the pencil. One master of pencildrawing was Jean Ingres. In 1819, Ingres used the sharp point of a pencil to draw his friend, the great Italian violinist Nicolo Paganini.
Questions:
(1)Which picture is a painting? Y H
(2)In which picture do you find tears dropping? Y H
(3)In which picture do you find eyes away from their normal positions? Y H
2 ART OF PENCILS AND BRUSHES
1.课前准备
Paintings and drawings are different kinds of pictures. Let’s see if you can tell them apart.
Les Demoiselles d'Avignon
(4)Which picture seems to show a sad angry feeling? Y H
(5)Which picture shows broken and wrongly-placed body parts?
Y
H
2.阅读
Drawing
Everybody draws. There can hardly be ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ person above the age of two who has never made a drawing. Many people take photos, some paint, a few make sculptures, and a very few may even design a building, but everybody draws.
2.(1) “Paganini has a vivid personality.” What does this mean? Name a person in your class or a teacher who you think also has a “vivid personality” and tell why. Do you like a person who has a “vivid personality”?
.
Of course, though almost everyone d
, artists turn out much
better w
of art than most of u
can do. Very often,
artists draw s only to prepare. This means that t draw when they
We usually think that drawings are worked out on paper, but in history, many other surfaces have been used to draw on. The oldest artworks we know of are the cave drawings found in the south of France and in Spain. The artists who made the cave drawings worked directly on the stone walls of the caves. The Chinese in the past drew on silk, and many Chinese artists still do today.
Children begin to draw long before they begin to write, sometimes before they can talk clearly. In drawing far more than in speech, children show what they feel happy about or what they are afraid of.
are p
what their works will I
like. In this sense,
when faced w
an artist’s sketch, we seem to be “seeing” h
he is putting his
in good order.
Drawings can not only be made on p , but also on other s . In the past, for example, French and Spanish artists made drawings on the w of caves, while the Chinese drew on s .
La Tête
Both pictures are works of Pablo Picasso. The picture on the left is The Young Ladies of Avignon (Y) and the one on the right is Head (H). Take a careful look at both, and check your choices below according to how you feel. But note that you may have to check both Y and H for some questions.
Drawing is both familiar and intimate. Drawing is familiar in that it uses things we are all used to: pencils, pens, sticks of chalk, etc. These are things we find in everyday life. You can pick up a pencil and draw somebody’s image on paper, and so can a great artist. Your drawing almost certainly will not look as good as the work of a great artist, but it is the same kind of expression.