2012届高考数学第一轮专题复习测试卷2--参数方程
2012届高考数学第一轮复习考试题24-坐标系与参数方程
4－4 坐标系与参数方程1．已知极坐标平面内的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－5π3，则P 关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为( )(1，(－ (2 2 解析：圆ρ＝4cos θ的圆心C (2,0)，如图，|OC |＝2，在Rt △COD 中，∠ODC ＝π2，∠COD ＝π4，∴|CD |＝ 2.即圆ρ＝4cos θ的圆心到直线tan θ＝1的距离为 2. 答案：Bl 系是 ( )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但不过圆心 解析：圆的普通方程为x 2＋y 2＝4，∴圆心坐标为(0,0)，半径r ＝2，点(0,0)到直线3x－4y －9＝0的距离为d ＝|－9|32＋42＝95＜2，∴直线与圆相交，而(0,0)点不在直线上，故选D. 答案：D5．已知极坐标系中，极点为O,0≤θ<2π，M ⎛⎪⎫3，π，在直线OM，∠xOM ＝π3，在直线Q ，4，|6．已知极坐标系中，极点为O ，将点A ⎝⎛⎭⎪⎫4，π6绕极点逆时针旋转π4得到点B ，且|OA |＝|OB |，则点B 的直角坐标为________．解析：依题意，点B 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π12， ∵cos 5π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π6＝cos π4cos π6－sin π4sin π6 ＝22·32－22·12＝6－24，sin 5π＝sin ⎛⎪⎫π＋π＝sin πcos π＋cos πsin π． 8．点M (x ，y )在椭圆x 212＋y 24＝1上，则点M 到直线x ＋y －4＝0的距离的最大值为________，此时点M 的坐标是________．解析：椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，则点M (23cos θ，2sin θ)到直线x ＋y －4＝0的距离 d ＝|23cos θ＋2sin θ－4|2＝|4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3－4|2.当联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.(2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0. A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α，(α为参数)．P 点轨迹的普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋y 2＝116.||OQ |∶|QP |＝3∶2，所以点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35ρ，θ，由于点Q 在圆上，所以35ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6. 故点P 的轨迹方程为ρ＝10cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6.。
2012届高考数学一轮精品12.3抛物线(考点疏理+典型例题+练习题和解析)
2012届高考数学一轮精品：12.3抛物线（考点疏理+典型例题+练习题和解析）12.3抛物线【知识网络】1．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．2．了解抛物线简单应用．3．进一步体会数形结合思想．【典型例题】[例1]（1）设R a a ∈≠,0，则抛物线24ax y =的焦点坐标为（ ）Ａ、 (a,0) Ｂ、 (0,a) Ｃ、 (0,a161) Ｄ、 随a 的符号而定 （2）顶点在原点，准线为y=2的抛物线方程为（Ｄ）A ．y 2=8xB ．y 2=－8xC ．x 2=8yD ．x 2=－8y（3）已知：Ｐ为抛物线ｙ＝241x 上的任意一点，Ｆ为抛物线的焦点，点Ａ坐标为(1,1)，则｜PF ｜＋｜PA ｜的最小值为 （ ）A ．1617 B ．2 C ．12+ D ．12-（4）已知抛物线y 2=4x 过点P （4，0）的直线与抛物线相交于A （x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12＋y 22的最小值是 ．（5）已知抛物线C 1：y=2x 2与抛物线C 2关于直线y=-x 对称，则C 2的准线方程是 .[例2] 抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－３与抛物线相交于点Ａ，5=AF ，求抛物线的标准方程．[例3]如图，抛物线px y 22=的弦21P P 交x 轴于点Q ，过1P 、2P 分别作x 轴的垂线，垂足为M 、N ，求证：OQ 是OM 和ON 的比例中项．[例4] 如图，M （a ，0）（a ＞0)是抛物线y 2=4x 对称轴上一点，过M 作抛物线的弦AMB ，交抛物线与A ，B ．（1）若a =2，求弦AB 中点的轨迹方程；（2）过M 作抛物线的另一条割线CMD （如图），与抛物线交于CD ，若AD 与y 轴交与点E ，连ME ，BC ，求证：ME ∥BC ．【课内练习】1．以抛物线)0(22>=p px y 的焦半径PF 为直径的圆与y 轴位置关系为（ ）Ａ、 相交 Ｂ、 相离 Ｃ、 相切 Ｄ、 不确定2．抛物线方程为7x ＋8y 2=0，则焦点坐标为（ ）A ．(716 ,0)B ．(－732 ,0)C ．(0,－ 732 )D ．(0,－ 716) 3．抛物线y=－x 2上的点到直线4x ＋3y －8=0距离的最小值是 （ ）A ．43B ．75C ．85D ．3 4．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA → ·AF → =－4，则A 点坐标为 （ ）A ．（2，±2 2 ）B ．（1，±2）C ．（1，2）D ．（2，2 2 ）5．抛物线y 2=－2px(p ＞0)上一点横坐标为-9，它到焦点的距离为10，这点的坐标为 ．6．过抛物线x y =2的焦点F 的直线m 的倾斜角m ,4πθ≥交抛物线于A 、B 两点，且A 点在x 轴上方，则|FA|的取值范围是 ．7．一动圆Ｍ和直线:4l x =-相切，并且经过点(4,0)F ，则圆心Ｍ的轨迹方程是 ．8．直线l 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点且与x 轴垂直，若l 被抛物线截得的线段长为6，求p 的值．9．已知直线l ：y= 3 x ＋4被抛物线x 2=2p y(p ＞0)截得的弦长为4 3 ．（1）求抛物线的方程；（2）在该抛物线上位于直线l 下方的部分中，求一点M ，使M 到l 的距离最远．10．已知抛物线y 2=4ax(a ＞0)的焦点为A ，以B （a+4，0）为圆心，|AB|长为半径画圆，在x 轴上方交抛物线于M 、N 不同的两点，若P 为MN 的中点．（1）求a 的取值范围；（2）求|AM|+|AN|的值；（3）问是否存在这样的a 值，使|AM|、|AP|、|AN|成等差数列？12.3抛物线【典型例题】例1 （1）C ．提示：注意抛物线的开口方向．（2）D ．提示：逆用准线方程公式．（3）B ．提示：用抛物线定义结合三角形的性质．（4）32．提示：设出过点P 的直线方程与抛物线方程联列，用韦达定理及配方法．（5）x=18．提示：在抛物线方程中，先用－x 换y ，同时用－y 换x ．得到对称抛物线的标准方程．例2. 设所求焦点在x 轴上的抛物线的标准方程为：)0(22≠=p px y ，)3,(-m A 则由抛物线的定义得25p m AF +==，又pm 2)3(2=- 所以9,1±=±=p p故所要求抛物线的方程为：x y x y 18,222±=±=例3、设点1P 、2P 的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则直线21P P 的方程为 121121x x x x y y y y --=-- ① 由于点Ｑ是直线21P P 和x 轴的交点，令y ＝０得点Ｑ的横坐标为212112y y y x y x x --=． 点1P 和2P 分别在x 轴的上方和下方，不妨设点1P 在x 轴的上方，点2P 在x 轴的下方，则112px y =，222px y -=． 代入①，得2121122222px px px x px x x ++=＝21x x ， 所以ON OM OQ =2即证得OQ 是OM 和ON 的比例中项．例4、（1）当AB 斜率存在时，由a=2,设其方程为y=k (x －2)，弦AB 中点为（x 0,y 0)由24(2)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得22224(1)40k x k x k -++=△=16（k 2＋1)2－16k 4=32k 2＋16＞0212022120122222212(22)22x x k x k k y y y kx k kx k k ⎧++===+⎪⎪⎨+⎪==-+-=⎪⎩消去k 得y 02=2x 0－4(x 0＞2)当AB 斜率不存在时，其方程为x=2，与抛物线相交，中点为（2，0），满足y 02=2x 0－4． 综上所述，弦AB 中点的轨迹方程y 2=2x －4．（2）证明：设A （t 12,－2t ),B （t 22, 2t 2),C （t 32,－2t 3),D （t 42,－2t 4),其中t 1，t 2，t 3，t 4均为正数，用两点式求得AB 的方程为 y(t 2－t 1)＋2t 1t 2=2xCD 的方程为y (t 4－t 3)＋2t 3t 4=2x AB ,CD 都经过点M ，故t 1t 2= t 3t 4=a ， AD 的方程为y(t 4－t 1)＋2t 1t 4=2xAD 与y 轴交点为E （0，14142t t t t -） k ME =14412()t t a t t - 而k BC =23222323222t t t t t t +=--=142a a t t -=14412()t t a t t - ∴k ME =k BC ，ME ∥BC ．【课内练习】1．C ．提示：利用抛物线的定义．2．B ．提示：先将方程化成标准形式．3．A ．提示：设出与已知直线平行且与抛物线相切的直线方程，用△法求出直线方程，再求两平行线间的距离．4．B ．提示：依据对称性排除C ，D ，再用坐标法排除A ．5．(－9,±6)．提示：利用抛物线的定义先求出p ．6．]221,41(+．提示：联想抛物线定义． 7．y 2=16x ．提示：运用抛物线定义．8．p=3．提示：运用通径的性质．9．（1）抛物线的方程为x 2= 23 y ；（2）所求点M，12 ）10．(1) 设M (x 1，y 1 )，N (x 2，y 2)，P (x 0，y 0 )则[ x —（a +4）]2 + y 2 = 16 ( y≥0)用y 2 = 4ax (a>0) 代入得x 2 + 2 (a —4)x + 8a + a 2 = 0由4△= ( a —4)2 — (8a + a 2) > 0得：0 < a < 1 (2) ∵A 为焦点 ∴ |AM| + |AN| = (x 1 + a ) + (x 2 + a) = x 1 + x 2 + 2a = 8—2a + 2a = 8.(3) 若存在a 使使|AM|、|AP|、|AN|成等差数列即 2|AP| = |AM| + |AN| = 8 ∴ |AP| = 4则 (x 0—a )2 + y 02 = 16，x 0 =221x x + = 4—a ，y 0 =21（y 1 + y 2）( 4—2a )2 + a [ 8— ∴ a = 1 与 0 < a < 1 矛盾故a 不存在.。
高考数学(理)一轮复习课件：坐标系与参数方程-2参数方程
π
当α＝ 4 时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝
2 2
，与
C2交点B1的横坐标为x′＝3
10 10 .
π
当α＝－ 4 时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别
与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形． 故四边形A1A2B2B1的面积为 （2x′＋2x）2 （x′－x）＝25.
(2)由(1)知xy＝＝t12＋2t
① ②
由①得t＝x－2 1，代入②得y＝(x－2 1)2，∴(x－1)2－4y＝0.
[答案] (1)1 (2)(x－1)2－4y＝0
[规律总结] 化参数方程为普通方程，关键是消去参
数建立关于x，y的二元方程F(x，y)＝0，常用方法有代入
消元法，加减消元法，恒等式法，方法的选取是由方程
＝0.
由题意可得圆心C(－1，0)，则圆心到直线x＋y＋3＝
0的距离即为圆的半径，故r＝
2＝ 2
2 ，所以圆的方程为
(x＋1)2＋y2＝2.
高考测点典例研习
参数方程与普通方程的互化
例1 [教材改编]已知某曲线C的参数方程为
x＝1＋2t y＝at2
(其中t是参数，a∈R)，点M(5，4)在该曲线
点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝
π 2
时，这
两个交点重合．
(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；
(2)设当α＝
π 4
时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1.当α
＝－
π 4
时，l与C1
，C2的交点分别为A2，B2求四边形
A1A2B2B1的面积．
[思路点拨] (1)将参数方程化成普通方程； (2)求出A1B1A2B2点的坐标结合图形求四边形的面 积．
【名师金典】版高考数学大一轮复习 第2节 参数方程课时检(选修4-4)
课时检测 参数方程(建议用时：45分钟)1．设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程．【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2化为普通方程为y ＝x 2，由于ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以化为极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos 2θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.2．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【解】 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t 代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.3．已知动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 【解】 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．4．(2015·福州调研)在平面直角坐标系中， 以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．【解】 (1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝2，所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1. 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22＜1， 所以直线l 与圆C 相交． 5．已知P为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程． 【解】 (1)∵M 点的极角为π3，且M 点的极径等于π3， 故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π3.(2)M 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3π6，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫π6－1t ，y ＝3π6t (t 为参数)．6．(2014·湖南高考改编)在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线l 的极坐标方程．【解】 消去曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α中的参数α，得(x －2)2＋(y －1)2＝1.由于|AB |＝2，因此|AB |为圆的直径． ∴直线l 过曲线C 的圆心C (2,1)． 又直线l 的倾斜角为π4，则k ＝tan π4＝1.所以直线l 的方程为y －1＝x －2，即x －y －1＝0.将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式，得ρcos θ－ρsin θ＝1. 因此直线l 的极坐标方程ρ(cos θ－sin θ)＝1.7．(2015·沈阳质检)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2.(1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．【解】 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y －2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0， 由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1.所以⎩⎪⎨⎪⎧b2＝1，－ab2＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.8．(2014·重庆高考改编)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ<2π)，若直线l 与曲线C 的公共点为M ，求点M 的极径．【解】 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t 化为普通方程为y ＝x ＋1.由ρsin 2θ－4cos θ＝0，得ρ2sin 2θ－4ρcos θ＝0， 其对应的直角坐标方程为y 2－4x ＝0，即y 2＝4x . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y 2＝4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴直线l 和曲线C 的交点M (1,2)， 因此点M 的极径ρ＝12＋22＝ 5.9．(2015·郑州质检)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，求椭圆C 的离心率．【解】 由已知可得椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m 可得ρsin θ＋ρcos θ＝m ，即直线的普通方程为x ＋y ＝m . 又圆的普通方程为x 2＋y 2＝b 2，不妨设直线l 经过椭圆C 的右焦点(c,0)，则得c ＝m . 又因为直线l 与圆O 相切，所以|m |2＝b ，因此c ＝2b ，即c 2＝2(a 2－c 2)．整理，得c 2a 2＝23，故椭圆C 的离心率为e＝63. 10．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程是：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5＋22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程，直线l 的普通方程；(2)将曲线C 横坐标缩短为原来的12，再向左平移1个单位，得到曲线C 1，求曲线C 1上的点到直线l 距离的最小值．【解】 (1)将曲线C ：ρ＝4cos θ化为普通方程为x 2＋y 2＝4x ， ∴曲线C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4. 直线l 的普通方程是x －y ＋25＝0.(2)将曲线C ：(x －2)2＋y 2＝4横坐标缩短为原来的12，得到曲线的方程为(2x －2)2＋y2＝4，即4(x －1)2＋y 2＝4，再向左平移1个单位，得到曲线C 1的方程为4x 2＋y 2＝4，即x 2＋y 24＝1.设曲线C 1上的任意一点为(cos θ，2sin θ)，它到直线l 的距离为d ＝|cos θ－2sin θ＋25|2＝|25－5θ＋φ2，当sin(θ＋φ)＝1时，d 取得最小值52＝102， ∴曲线C 1上的点到直线l 距离的最小值为102.。
2012届高考数学第一轮专题复习测试卷 第一讲 坐标系2012届高考数学第一轮专题复习测试卷 第一
第一讲 坐标系一､选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)1.点M 的直角坐标为则它的球坐标为( )5.2,,.2,,444453.2,,.2,,4444A B C D ππππππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解析:2,1,tan 0,tan 02,x 0.411,,15.4r y x ϕϕθϕθπθππθ======<-=-=<==由≤≤得又≤所以答案:B2.在平面直角坐标系中,以(1,1)为圆心为半径的圆在以直角坐标系的原点为极点,以Ox 为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为( )()B..C.os(1)D.4in 14A ρθρθππρθρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝=-=⎭=-解析:由题意知圆的直角坐标方程为 (x-1)2+(y-1)2=2.化为极坐标方程为(ρcosθ-1)2+(ρsinθ-1)2=2.∴0.42042,04044 ..cos ρρθρθρρππππθρθρπθ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎡⎤⎛-∴-∴⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭=也过极点与等价对应的极坐标方程为答案:A3.在极坐标系中,点(ρ,θ)与(-ρ,π-θ)的位置关系为( )A.关于极轴所在直线对称 B.关于极点对称 C.重合 D.关于直线θ=2π(ρ∈R)对称 解析:点(ρ,θ)也可以表示为(-ρ,π+θ),而(-ρ,π+θ)与(-ρ,π-θ)关于极轴所在直线对称,故选A.答案:A4.在柱坐标系中,两点24,,04,,333M N ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与的距离为( ) A.3 B.4 C.5 D.8解析:解法一:由柱坐标可知M 在Oxy 平面上,N 在Oxy 平面上的射影坐标为N |MN |4,24,,0MN 5.3.,C π'∴'===⎛⎫⎪⎝⎭再由勾股定理得故选解法二:可将M ､N 化为直角坐标,N(MN 5..C =-∴=故选答案:C5.两直线θ=α和ρcos(θ-α)=a 的位置关系是( )A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.重合解析:θ=α表示过极点且极角为α的一条直线,ρcos(θ-α)=a 表示与极点距离为a 并且垂直于上述直线的直线,选C.答案:C6.在极坐标方程中,曲线C 的方程是ρ=4sinθ,过点4,6π⎛⎫⎪⎝⎭作曲线C 的切线,则切线长为( )A.4.C D解析:ρ=4sinθ化为普通方程为x 2+(y-2)2=4,点4,2),6π⎛⎫⎪⎝⎭化为直角坐标为切线长､圆心到定点的距离及半径构成直角三角形.由勾股定理:= 答案:C二､填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)7.圆ρ=5cosθ的圆心坐标是________.解析:圆的普通方程是22525.2x y ⎛⎛⎫-++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭∴圆心为5,,2⎛ ⎝转化为极坐标为5,.3π⎛⎫-⎪⎝⎭答案:5,3π⎛⎫-⎪⎝⎭8.设直线过极坐标系中的点M(2,0),且垂直于极轴,则它的极坐标方程为________.解析:设所求直线的任一点的极坐标为(ρ,θ),由题意可得ρcosθ=2.答案:ρcosθ=29.极坐标方程分别为ρ=cosθ与ρ=sinθ的两个圆的圆心距为________.解析:ρ=cosθ表示圆心为1,0,2⎛⎫⎪⎝⎭半径为 的圆. ρ=sinθ表示圆心为1,,22π⎛⎫⎪⎝⎭半径为 的圆.∴圆心距d ==答案 10.(2010·广东)在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=-1的交点的极坐标为________.解析:曲线ρ=2sinθ化为直角坐标方程为 x 2+y 2=2y,即x 2+(y-1)2=1,而ρcosθ=-1化为直角坐标方程为x=-1.直线x=-1与圆x 2+(y-1)2=1的交点坐标为(-1,1),化为极坐标为3.4π⎫⎪⎭答案:34π⎫⎪⎭三､解答题:(本大题共3小题,11､12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)11.(2010·江苏)在极坐标系中,圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切,求实数a的值.解:化为平面直角坐标系:圆:x2-2x+y2=0,即:(x-1)2+y2=1.直线:3x+4y+a=0.1=,∴a=2或a=-8.12.(2010·浙江自选模块卷)如图,在极坐标系(ρ,θ)中,已知曲线213,423:4422C:4sin2C.2:40C cosπρθθρθθθπρπθππππ=⎛⎛⎫⎪⎝⎭⎫<⎪⎝⎭==⎛⎫⎪⎝⎭≤≤≤≤或≤，≤≤(1)求由曲线C 1,C 2,C 3围成的区域的面积; (2)设M 4,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭,N(2,0),射线θ=α0,42ππρα⎛⎫<< ⎪⎝⎭≥与曲线C 1,C 2分别交于A,B(不同于极点O)两点.若线段AB 的中点恰好落在直线MN 上,求tanα的值.解:(1)由已知,如图弓形OSP 的面积= ×π×22- ×22=π-2,从而,如图阴影部分的面积= ×π×22-2(π-2)=4, 故所求面积= π×42+ ×π×22-4=6π-4. (2)设AB 的中点为G(ρ,α),∠ONG=φ. 由题意ρ=2sin 2cos ,sin 255A Bααϕϕρρ+=+==在△OGN 中,222,.()2.()2sin cos ON OG sin cos sin OGN sin ONG sin sin sin sin sin cos ααπαφφφαααφαα+==--==++∠∠+即所以化简得sin 2α-3sinαcosα=0, 又因为sinα≠0,所以tanα=3.13.从极点O 作直线与另一直线l:ρcosθ=4相交于点M,在OM 上取一点P,使OM·OP=12.(1)求点P 的轨迹方程;(2)设R 为l 上的任意一点,试求|RP|的最小值.解:(1)设动点P 的极坐标为(ρ,θ),M 的极坐标为(ρ0,θ),则ρρ0=12.∵ρ0cosθ=4,∴ρ=3cosθ即为所求的轨迹方程.(2)将ρ=3cosθ化为直角坐标方程是x 2+y 2=3x, 即(x- )2+y 2=( )2,知P 的轨迹是以( ,0)为圆心,半径为 的圆.直线l 的直角坐标方程是x=4.结合图形易得|RP|的最小值为1.第一讲 集合与集合的运算班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________一､选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)1.(2010·天津)设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R}.若A∩B=,则实数a的取值范围是( )A.{a |0≤a≤6} B.{a|a≤2,或a≥4}[来源:学.科.网]C.{a|a≤0,或a≥6} D.{a|2≤a≤4}解析:由于不等式|x-a|<1的解是a-1<x<a+1,当A∩B=∅时,只要a+1≤1或a-1≥5即可,即a≤0或a≥6,选C.答案:C2.(2010·安徽)若集合()1R 21|,2A A x log x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭≥则22,.,2222.(,0A.(,],.,20]2B C D ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎫⎡⎫-++⎪⎪⎢⎢⎪⎪⎣⎭⎣-∞⋃∞∞∞⋃∞⎭∞1R 1221201112220220,,.2:log A (,220]2x x log x log x x x >⎧⎪⇒⇒⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩>⎧⎛⎫⎪<+∞ ⎪⎨ ⎪⇒=-∞⋃⎝⎭⎪⎩解析不等式≥≥≤所以≤答案:A3.已知M={x|x=a 2+2a+4,a∈Z},N={y|y=b 2-4b+6,b∈Z},则M ､N 之间的关系是( )A.M N B.N MC.M=ND.M与N之间没有包含关系解析:取a=0,则4∈M,但4∉N,若不然,有b2-4b+6=4,b∉Z.又取b=0,6∈N,但6∉M.答案:D4.设全集为U,若命题p:2010∈A∩B,则命题⌝ p是( )A.2010∈A∪BB.2010∉A且2010∉BC.2010∈(U A)∩(U B)D.2010∈(U A)∪(U B)解析:命题⌝p是2010∈U(A∩B),即2010∈(U A)∪(U B).答案:D评析:本题考查集合的运算及非命题的概念,要求对于集合中的运算性质U(A∩B)=( U A)∪(U B)与U(A∪B)=(U A)∩(U B)能够加强联想与发散.5.已知集合P={y=x2+1},Q={y|y=x2+1},S={x|y=x2+1},M={(x,y)|y=x2+1},N={x|x≥1},则( )A.P=MB.Q=SC.S=MD.Q=N解析:集合P是用列举法表示,只含有一个元素,集合Q,S,N中的元素全是数,即这三个集合都是数集,集合Q是函数y=x2+1中y的取值范围{y|y≥1},集合S是函数y=x2+1中x的取值范围R;集合N是不等式的解集{x|x≥1},而集合M的元素是平面上的点,此集合是函数y=x2+1图象上所有的点组成的集合.选D.答案:D评析:解集合问题时,对集合元素的准确性识别十分重要,不要被x,y等字母所迷惑,要学会透过现象看本质.6.定义集合M与N的新运算如下:M*N={x|x∈M或x∈N,但x M∩N}.若M={0,2,4,6,8,10,12},N={0,3,6,9,12,15},则(M*N)*M等于( )A.MB.{2,3,4,8,9,10,15}C.ND.{0,6,12}解析:因为M∩N={0,6,12},所以M*N={2,3,4,8,9,10,15},所以(M*N)*M={0,3,6,9,12,15}=N,故选C.答案:C评析:本题给出了新运算“*”的定义,并要求求(M*N)*M的解,解决这类信息迁移题的基本方法是以旧代新法,把新定义的运算“*”纳入到已有的集合交､并､补的运算体系之中,并用已有的解题方法来分析､解决新的问题.另外此题还可以用Venn图来分析求解.[来源:Z#xx#]二､填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)[来源:]7.(2010·重庆)设U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx=0},若U A={1,2},则实数m=________.[来源:学,科,网][来源:学§科§网Z§X§X§K]解析:依题意得A={0,3},因此有0+3=-m,m=-3.答案:-38.已知A={x|x>3或x<-1},B={x|a≤x≤b}.若A∪B=R,A∩B={x|3<x≤4},则a,b的值分别为________.解析:画出数轴可知a=-1,b=4.答案:-1,4[来源:学科网ZXXK]9.已知U={实数对(x,y)},A={(x,y)|lg(y-4)-lg(x-2)=lg3},B={(x,y)|3x-y-2=0},则瘙綂[KG-1mm]UA∩B=________. 解析:容易错解为:由lg(y-4)-lg(x-2)=lg3,得y=3x-2,故A=B,则U A∩B=∅.上述解答的错因是将条件进行了非等价变形而扩大了变量的取值范围.实际上,由lg(y-4)-lg(x-2)=lg3,得y=3x-2(x>2),[来源:学科网]∴A={(x,y)|lg(y -4)-lg(x-2)=lg3}={(x,y)|y=3x-2(x>2)},U A ={(x,y)|y=3x-2(x≤2)}.答案: U A∩B={(x,y)|y=3x -2(x≤2)}10.已知集合A ､B 与集合A⊙B 的对应关系如下表:A{1,2,3,4,5} {-1,0,1} {-4,8} B {2,4,6,8} {-2,-1,0,1}[来源:]{-4,-2,0,2}A⊙B {1,3,6,5,8} {-2} {-2,0,2,8} 若A={-2009,0,2010},B={-2009,0,2011},试根据图表中的规律写出A⊙B=__________.解析:通过对表中集合关系的分析可以发现:集合A⊙B 中的元素是A∪B 中的元素再去掉A∩B 中的元素组成,故当A={-2009,0,2010},B={-2009,0,2011}时,A⊙B={2010,2011}.答案:{2010,2011}三､解答题:(本大题共3小题,11､12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)11.规定与是两个运算符号,其运算法则如下:对任意实数a,b有:a b=ab,a b=b(a 2+b 2+1)且-2<a<b<2,a,b∈Z.用列举法表示集合|2().a b A x x a b b ⎧⎫==+⎨⎩⊕⎬⎭⊗解:根据运算法则有[来源:学科网]()2222ab a b 1a b 1.a 1,b 0b 1.,b ,b 02(),.a b x a b b a b b ⊕⊗=+++=++⊕=-====+当时或因为在中为分母故不符合题意舍去当a=0时,b=1.把a=-1,b=1或a=0,b=1代入x=(a+b)2+1得x=1或x=2.故A={1,2}.12.已知集合A={2,x,x 2,xy},集合B={2,1,y,x},是否存在实数x,y 使A=B?若存在,试求x,y 的值;若不存在,说明理由.解:假设存在实数x,y 使A=B,若x=1,则集合A,B 中出现2个1,这与集合中元素的互异性矛盾,所以必有2,21,1,.x y x xy xy y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 (1)由x 2=y 且xy=1,解得x=y=1,与集合中元素的互异性矛盾.[来源:学&科&网Z&X&X&K](2)由x 2=1且xy=y,解得x=1,y∈R(舍去)或x=-1,y=0.经检验x=-1,y=0适合题意.13.已知两集合A={x|x=t 2+(a+1)t+b},B={x|x=-t 2-(a-1)t-b},求常数a 、b,使A∩B={x|-1≤x≤2}.{}22224(1)4(1)|,|,44(1)4(1:A A B x |1x 2)14,4(1)24,b a b a x x B x x b a b a ⎧⎫⎧⎫-+--=⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭⎧-+=-⎪⎪⎨--⎪==⋂-=∴⎪⎩-解≥≤≤≤解得a=-1,b=-1.。
2012年高考理科数学(全国卷)含答案及解析
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）一、 选择题（1）、复数131i i-++= A. 2 B. 2 C. 12 D. 12i i i i +-+- 【考点】复数的计算【难度】容易【答案】C 【解析】13(13)(1)24121(1)(1)2i i i i i i i i -+-+-+===+++-. 【点评】本题考查复数的计算。
在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。
（2）、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m } ,A B ＝A , 则m =A. 0或3B. 0或3C. 1或3D. 1或3【考点】集合【难度】容易【答案】B【解析】(1,3,),(1,)30,1()3A B A B A A m B m m A m m m m m m ⋃=∴⊆==∴∈∴==∴===或舍去.【点评】本题考查集合之间的运算关系，及集合元素的性质。
在高一数学强化提高班下学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02讲中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合相关知识及综合题目的总结讲解。
（3） 椭圆的中心在原点，焦距为4， 一条准线为x =﹣4 ，则该椭圆的方程为 A. 216x +212y =1 B. 212x +28y =1 C. 28x +24y =1 D. 212x +24y =1 【考点】椭圆的基本方程【难度】容易【答案】C【解析】椭圆的一条准线为x =﹣4,∴2a =4c 且焦点在x 轴上，∵2c =4∴c =2，a =22∴椭圆的方程为22=184x y + 【点评】本题考查椭圆的基本方程，根据准线方程及焦距推出椭圆的方程。
在高二数学（理）强化提高班，第六章《圆锥曲线与方程》中有详细讲解，其中在第02讲有相似题目的详细讲解。
2012年高考数学真题汇编2 函数与方程 理( 解析版).pdf
2012高考真题分类汇编：函数与方程 一、选择题 1.【2012高考真题重庆理7】已知是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“为上的增函数”是“为上的减函数”的 （A）既不充分也不必要的条件 （B）充分而不必要的条件 （C）必要而不充分的条件 （D）充要条件 【答案】D 【解析】因为为偶函数，所以当在上是增函数，则在上则为减函数，又函数的周期是4，所以在区间也为减函数.若在区间为减函数，根据函数的周期可知在上则为减函数，又函数为偶函数，根据对称性可知，在上是增函数，综上可知，“在上是增函数”是“为区间上的减函数”成立的充要条件，选D. 2.【2012高考真题北京理8】某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高。
m值为（ ）A.5B.7C.9D.11 【答案】C 【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C。
3.【2012高考真题安徽理2】下列函数中，不满足：的是（ ） 【答案】C 【命题立意】本题考查函数的概念与解析式的判断。
【解析】与均满足：得：满足条件． 4.【2012高考真题天津理4】函数在区间(0,1)内的零点个数是 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】B 【解析】因为函数的导数为，所以函数单调递增，又，，所以根据根的存在定理可知在区间内函数的零点个数为1个，选B. 5.【2012高考真题全国卷理9】已知x=lnπ，y=log52，，则 (A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x 【答案】D 【解析】，，，，所以，选D. 6.【2012高考真题新课标理10】 已知函数；则的图像大致为（ ） 【答案】B 【解析】排除法，因为，排除A.，排除C,D，选B. 7.【2012高考真题陕西理2】下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D. 【解析】根据奇偶性的定义和基本初等函数的性质易知A非奇非偶的增函数；B是奇函数且是减函数；C是奇函数且在，上是减函数；D中函数可化为易知是奇函数且是增函数.故选D. 8.【2012高考真题重庆理10】设平面点集，则所表示的平面图形的面积为 （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】由可知或者，在同一坐标系中做出平面区域如图：，由图象可知的区域为阴影部分，根据对称性可知，两部分阴影面积之和为圆面积的一半，所以面积为，选D. 9.【2012高考真题山东理3】设且，则“函数在上是减函数 ”，是“函数在上是增函数”的 （A）A 【解析】若函数在R上为减函数，则有。
高考数学一轮复习学案 第67讲 参数方程（原卷版）
第67讲 参数方程（原卷版）考点 内容解读要求 常考题型 1.参数方程的判定参数方程与普通方程的互化与等价性判定Ⅰ选择题，填空题，大题 2.参数方程的意义 参数方程所表示的曲线的性质. Ⅱ选择题，填空题，大题一、参数方程的概念(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ）y ＝g （t ）①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x ，y)都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的 ，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做 ． (2)参数的意义：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数． 2．参数方程与普通方程的区别与联系(1)区别：普通方程F(x ，y)＝0，直接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有x ，y 两个变量；参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ）y ＝g （t ）(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有三个变量t ，x ，y ，其中x 和y 都是参数t 的函数．(2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t 的一个值，就可以求出唯一对应的x ，y 的值．这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程． 2．圆的参数方程1．圆心在坐标原点，半径为r 的圆的参数方程 如图圆O 与x 轴正半轴交点M0(r ，0)．(1)设M(x ，y)为圆O 上任一点，以OM 为终边的角设为θ，则以θ为参数的圆O 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos θy ＝rsin θ(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是OM0绕O 点逆时针旋转到OM 的位置时转过的角度．(2)设动点M 在圆上从M0点开始逆时针旋转作匀速圆周运动，角速度为ω，则OM0经过时间t 转过的角θ＝ωt ，则以t 为参数的圆O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos ωt y ＝rsin ωt (t 为参数)．其中参数t 的物理意义是 ． 2．圆心为C(a ，b)，半径为r 的圆的参数方程圆心为(a ，b)，半径为r 的圆的参数方程可以看成将圆心在原点，半径为r 的圆通过坐标平移得到，所以其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋rcos θ，y ＝b ＋rsin θ(θ为参数)．3．参数方程和普通方程的互化 曲线的参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．(3)普通方程化参数方程，首先确定变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f(t)，其次将x ＝f(t)代入普通方程解出y ＝g(t)，则 就是曲线的参数方程． (4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．二、圆锥曲线的参数方程 1．椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的参数方程是 ，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的参数方程是 ，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(3)中心在(h ，k)的椭圆普通方程为（x －h ）2a2＋（y －k ）2b2＝1，则其参数方程为 ．2．双曲线的参数方程和抛物线的参数方程 1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x2a2－y2b2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝asec φy ＝btan φ(φ为参数)，规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y2a2－x2b2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝btan φy ＝asec φ(φ为参数)．2．抛物线的参数方程(1)抛物线y2＝2px 的参数方程为 ．(2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数． 三、直线的参数方程 1．直线的参数方程经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为 ． 2．直线的参数方程中参数t 的几何意义(1)参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M0的距离．(2)当M0M →与e(直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．当M0M →与e 反向时，t 取负数，当M 与M0重合时，t ＝0． 3．直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程．我们把过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线，选取参数t ＝M0M 得到的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x0＋tcos αy ＝y0＋tsin α(t 为参数)称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t 有明确的几何意义．一般地，过点M0(x0，y0)，斜率k ＝ba (a ，b 为常数)的直线，参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x0＋at y ＝y0＋bt (t 为参数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t 不具有标准式中参数的几何意义． 四、渐开线与摆线1．渐开线的概念及参数方程 (1)渐开线的产生过程及定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做 ，相应的定圆叫做 ． (2)圆的渐开线的参数方程以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为(x ，y)，则有 ．这就是圆的渐开线的参数方程．2．摆线的概念及参数方程 (1)摆线的产生过程及定义平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫做平摆线，简称 ，又叫旋轮线．(2)半径为r 的圆所产生摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ是参数)．五、曲线的普通方程与曲线的参数方程的区别与联系 曲线的普通方程＝0是相对参数方程而言，它反映了坐标变量与y 之间的直接联系；而参数方程t 是通过参数t 反映坐标变量与y 之间的间接联系.曲线的普通方程中有两个变数，变数的个数比方程的个数多1；曲线的参数方程中，有三个变数两个方程，变数的个数比方程的个数多1个.从这个意义上讲，曲线的普通方程和参数方程是“一致”的. 这时普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式.考点一、参数方程化普通方程例1：化参数方程（t≥0,t为参数）为普通方程，说明方程的曲线是什么图形. 【答案】由(2)解出t，得t=y－1，代入(1)中，得(y≥1)即(y≥1)方程的曲线是顶点为(0,1),对称轴平行于x轴，开口向左的抛物线的一部分.【解析】先由一个方程解出t，再代入另一个方程消去参数t,得到普通方程，这种方法是代入消参法.例2：当t R时，参数方程（t为参数），表示的图形是（）A 双曲线B 椭圆C 抛物线D 圆【答案】解法1：原方程可化为(1)÷(2)得：代入(2) 得(y≠-1) 答案选B解法2：令tg=Z) 则消去，得(y≠-1)【解析】解法1使用了代数消元法，解法2观察方程（1）、（2）的“外形”很像三角函数中的万能公式，使用了三角消参法.当x和y是t的有理整函数时，多用代入或加减消元法消去参数；当x和y是t的有理分式函数时，也可以用代入消参法，但往往需要做些技巧性的处理.至于三角消参法，只在比较巧合的情况下使用.类题通法将参数方程化普通方程方法：（基本思想是消参）(1)代入消参法；(2)代数变换法（＋，－，×，÷，乘方）(3)三角消参法注意：参数取值范围对取值范围的限制.(参数方程与普通方程的等价性）变式训练1. 将下列方程化为普通方程：(1)（为参数）(2) （t为参数）考点二、普通方程化参数方程例3：设，为参数，化方程为参数方程。
2012年全国高考(新课标-)文科数学试卷及参考答案-2
2012年普通高等学校招生全国统一考试 （新课标文科数学试卷及参考答案）第Ⅰ卷一、选择题1.已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则（ ）（A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=∅ 2.复数z ＝－3+i2+i的共轭复数是 （ ）（A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i 3.在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为 （ ）（A ）－1 （B ）0 （C ）12（D ）14.设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦线x =3a2上一点，△F 1PF 2是底角为30°的等腰三角E 的离心率为（ ）（A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）455.已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z=－x+y 的取值是（ ）（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3)6.如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N ≥2)和数a 1,a 2,…,a N ，输出A,B ，则（ ） （A ）A+B 为a 1,a 2,…,a N 的和（B ）A ＋B 2为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数（C ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的（D ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小的数和最大的7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） （A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）188.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为 （ ）（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π9.已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4是函数f (x 条相邻的对称轴，则φ=（ ）（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π410.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB|=43，则C 的实轴长为（ ）（A ） 2 （B ）2 2 （C ）4 （D ）811.当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是 （ ）（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) 12.数列{a n }满足a n +1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为（ ） （A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830 第Ⅱ卷二．填空题13.曲线y =x (3ln x +1)在点（1,1）处的切线方程为________14.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2=0，则公比q =_______ 15.已知向量a ,b 夹角为45°，且|a |=1，|2a －b |=10，则|b |=16.设函数f (x )=(x +1)2+sin xx 2+1的最大值为M ，最小值为m ，则M+m =____三、解答题17.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c = 3a sinC －c cosA (1) 求A(2) 若a =2，△ABC 的面积为3，求b ,c 18.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。
2012年高考数学坐标系与参数方程练习题及答案
2012年高考数学二轮复习同步练习：专题10 选考内容 第2讲 坐标系与参数方程一、选择题1．(2011·安徽理，5)在极坐标系中点⎝⎛⎭⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( ) A ．2 B.4＋π29C.1＋π29D. 3[答案] D[解析] 极坐标⎝⎛⎭⎫2，π3化为直角坐标为2cos π3，2sin π3，即(1，3)，圆的极坐标方程ρ＝2cos θ可化为ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，所以圆心坐标为(1,0)，则由两点间距离公式d ＝(1－1)2＋(3－0)2＝3，故选D.2．(2011·北京理，3)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A ．(1，π2)B ．(1，－π2)C ．(1,0)D ．(1，π)[答案] B[解析] 由ρ＝－2sin θ得：ρ2＝－2ρsin θ， ∴x 2＋y 2＝－2y ，即x 2＋(y ＋1)2＝1，∴圆心直角坐标为(0，－1)，极坐标为(1，－π2)，选B.3．(2010·湖南卷)极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－ty ＝2＋3t (t 为参数)所表示的图形分别是( )A ．圆、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．直线、直线[答案] A[解析] 将题中两个方程分别化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝x,3x ＋y ＋1＝0，它们分别表示圆和直线．4．(2010·北京卷)极坐标方程为(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( ) A ．两个圆B ．两条直线C ．一个圆和一条射线D ．一条直线和一条射线[答案] C[解析] 由(ρ－1)(θ－π)＝0得ρ＝1或者θ＝π， 又ρ≥0，故该方程表示的图形是一个圆和一条射线． 二、填空题5．(2011·上海理，5)在极坐标系中，直线ρ(2cos θ＋sin θ)＝2与直线ρcos θ＝1的夹角大小为________．(结果用反三角函数值表示)[答案] arctan 12[解析] 极坐标方程化普通方程时要注意等价性．∵ρ(2cos θ＋sin θ)＝2，由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得一般方程为2x ＋y ＝2. ρcos θ＝1的一般方程为x ＝1.直线2x ＋y ＝2的倾斜角的补角为arctan2，设两直线夹角为α，则tan α＝tan(π2－arctan2)＝cot(arctan2)＝1tan (arctan2)＝12，∴α＝arctan 12.6．(2011·陕西理，15)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θy ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．[答案] 3[解析] C 1为圆(x －3)2＋(y －4)2＝1，C 2为圆x 2＋y 2＝1.∴|AB |min ＝32＋42－1－1＝3.7．(2011·天津理，11)已知抛物线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t ，(t 为参数)，若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________.[答案]2[解析] 根据抛物线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t2y ＝8t，得出y 2＝8x ，得出抛物线焦点坐标为(2,0)，所以直线方程：y ＝x －2，利用圆心到直线距离等于半径，得出r ＝22＝ 2. 8．(2011·广东理，14)已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θy ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2y ＝t(t∈R )，它们的交点坐标为________．[答案] ⎝⎛⎭⎫1，255[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝sin θ(0≤θ≤π) 化为普通方程为x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1)，而⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2y ＝t 化为普通方程为x ＝54y 2，由⎩⎨⎧ x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1)x ＝54y2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝255，即交点坐标为⎝⎛⎭⎫1，255.三、解答题9．(2011·福建理，21)在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为(4，π2)，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． [解析] (1)把极坐标系的点P (4，π2)化为直角坐标，得P (0,4)，因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线 l 上． (2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为 (3cos α，sin α)， 从而点Q 到直线l 的距离d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos (α＋π6)＋42＝2cos(α＋π6)＋22，由此得，当cos(α＋π6)＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.10．(2011·新课标理，23)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α.(α为参数)．M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.[解析] (1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2.由于M 点在C 1上，所以⎩⎨⎧x2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.11．已知参数C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝22t －2，y ＝22t(t 为参数)．(1)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；(2)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C 1′，C 2′.写出C 1′，C 2′的参数方程．C 1′与C 2′公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由．[解析] (1)C 1是圆，C 2是直线．C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，圆心C 1(0,0)，半径r ＝1. C 2的普通方程为x －y ＋2＝0.因为圆心C 1到直线x －y ＋2＝0的距离为1，所以C 2与C 1只有一个公共点． (2)压缩后的参数方程分别为C 1′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)，C 2′：⎩⎨⎧x ＝22t －2，y ＝24t(t 为参数)．化为普通方程为C 1′：x 2＋4y 2＝1，C 2′：y ＝12x ＋22，联立消元得2x 2＋22x ＋1＝0， 其判别式△＝(22)2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线C 2′与椭圆C 1′仍然只有一个公共点，和C 1与C 2公共点个数相同．12．(2010·辽宁理，23)已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．[解析] (1)由已知，M 点的极角为π3，且M 点的极径等于π3，故点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫π3，π3.(2)M 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫π6，3π6，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋⎝⎛⎭⎫π6－1t ，y ＝3π6t ，(t 为参数)．。
高考数学(理)一轮复习题库：14.1 第2课时参数方程
第2课时 参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程1．直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝2－3t (t 为参数)，求直线l 的斜率．解 将直线l 的参数方程化为普通方程为y －2＝－3(x －1)，因此直线l 的斜率为－3.2．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)垂直，求k 的值．解 直线l 1的方程为y ＝－k 2x ＋4＋k 2，斜率为－k2；直线l 2的方程为y ＝－2x ＋1，斜率为－2. ∵l 1与l 2垂直，∴(－k2)×(－2)＝－1⇒k ＝－1.3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，求|PF|的值．解 将抛物线的参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，则焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，又P (3，m )在抛物线上，由抛物线的定义知|PF|＝3－(－1)＝4.4．(2016·北京东城区模拟)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋4t ，y ＝3t (t 为参数)，求直线l 与曲线C 相交所截的弦长． 解 曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1， 直线l 的普通方程为3x －4y ＋3＝0. 圆心到直线的距离d ＝|3×0－4×0＋3|32＋42＝35.∴直线l 与曲线C 相交所截的弦长为21－(35)2＝85.题型一 参数方程与普通方程的互化例1 (1)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．(2)在平面直角坐标系中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋s ，y ＝1－s (s 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋2，y ＝t2(t 为参数)，若l 与C 相交于A ，B 两点，求|AB|的长． 解 (1)圆的半径为12，记圆心为C (12，0)，连接CP ，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos2θ＝cos 2θ，y P ＝12sin2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．(2)直线l 的普通方程为x ＋y ＝2，曲线C 的普通方程为y ＝(x －2)2(y ≥0)，联立两方程得x 2－3x ＋2＝0，求得两交点坐标为(1,1)，(2,0)，所以|AB|＝ 2. 思维升华 消去参数的方法一般有三种：(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数； (2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围．(1)求直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数． (2)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值．解 (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t 消去参数t 得直线x ＋y －1＝0；将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α消去参数α得圆x 2＋y 2＝9. 又圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22<3. 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点． (2)直线l 的普通方程为x －y －a ＝0， 椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，∴椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线l 过(3,0)， 则3－a ＝0，∴a ＝3. 题型二 参数方程的应用例2 已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． 解 (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.思维升华 已知圆、圆锥曲线的参数方程解决有关问题时，一般是把参数方程化为普通方程，通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝⎛⎭⎫θ为参数，0≤θ≤π2和⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t (t 为参数)，求曲线C 1与C 2的交点坐标．解 曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＝5(x ≥0，y ≥0)． 曲线C 2的普通方程为x －y －1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1＝0，x 2＋y 2＝5(x ≥0，y ≥0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.∴曲线C 1与C 2的交点坐标为(2,1)． 题型三 极坐标方程和参数方程的综合应用例3 (2015·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，曲线C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB|的最大值．解 (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB|＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB|取得最大值，最大值为4.思维升华 在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以使问题得到简捷的解答．例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos(θ＋π4)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝－1＋22t (t 为参数)，直线l 和圆C 交于A ，B 两点，P 是圆C 上不同于A ，B 的任意一点． (1)求圆心的极坐标； (2)求△P AB 面积的最大值． 解 (1)由圆C 的极坐标方程为 ρ＝22cos(θ＋π4)，得ρ2＝22(22ρcos θ－22ρsin θ)， 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入可得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. ∴圆心坐标为(1，－1)， ∴圆心的极坐标为(2，7π4)． (2)由题意，得直线l 的直角坐标方程为22x －y －1＝0. ∴圆心(1，－1)到直线l 的距离d ＝|22＋1－1|(22)2＋(－1)2＝223，∴|AB|＝2r 2－d 2＝22－89＝2103. 点P 到直线l 的距离的最大值为r ＋d ＝2＋223＝523， ∴S max ＝12×2103×523＝1059.1．求直线⎩⎨⎧x ＝1－12t ，y ＝32t(t 为参数)被曲线⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)所截得的弦长．解 直线方程可化为3x ＋y －3＝0， 曲线方程可化为x 2＋y 23＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ＋3，x 2＋y 23＝1，得x 2－x ＝0， ∴x ＝0或x ＝1.可得交点为A (0，3)，B (1,0)． ∴AB ＝1＋3＝2. ∴所截得的弦长为2.2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋at ，y ＝bt (t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)相切，求切线的倾斜角． 解 直线的普通方程为bx －ay －4b ＝0，圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝3，直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为3，从而有3＝|2b －a ·0－4b |a 2＋b2，即3a 2＋3b 2＝4b 2，∴b ＝±3a ，而直线的倾斜角的正切值为tan α＝b a ，∴tan α＝±3，因此切线的倾斜角为π3或2π3.3．已知直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程：⎩⎨⎧x ＝22t －2，y ＝22t(t 为参数)，以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求以极点为圆心且与直线l 相切的圆的极坐标方程．解 ∵直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0. ∴原点到直线的距离r ＝22＝1. ∴以极点为圆心且与直线l 相切的圆的极坐标方程为ρ＝1.4．(2015·湖北)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －1t，y ＝t ＋1t(t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，求|AB|的长．解 直线l 的极坐标方程ρ(sin θ－3cos θ)＝0化为直角坐标方程为3x －y ＝0，曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝t －1t，y ＝t ＋1t两式经过平方相减，化为普通方程为y 2－x 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，y 2－x 2＝4解得⎩⎨⎧x ＝－22，y ＝－322或⎩⎨⎧x ＝22，y ＝322.所以A ⎝⎛⎭⎫－22，－322，B ⎝⎛⎭⎫22，322. 所以|AB|＝⎝⎛⎭⎫－22－222＋⎝⎛⎭⎫－322－3222＝2 5.5．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t2(t 为参数)，在以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的方程为ρsin(θ＋π4)＝22，求曲线C 1与曲线C 2的交点个数．解 曲线C 1，C 2化为普通方程和直角坐标方程分别为x 2＝2y ，x ＋y －4＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2y ，x ＋y －4＝0，消去y 得x 2＋2x －8＝0，因为判别式Δ>0，所以方程有两个实数解．故曲线C 1与曲线C 2的交点个数为2.6．(2016·全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A 、B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44. 由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 7．(2015·陕西)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解 (1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ， 所以x 2＋(y －3)2＝3.(2)设P ⎝⎛⎭⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC|＝⎝⎛⎭⎫3＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫32t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，PC 取得最小值， 此时，P 点的直角坐标为(3,0)．8．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ. (1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2，C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆． 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)，a ＝1. a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上． 所以a ＝1.9．(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t ，(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段|AB|的长．解 直线l 的方程化为普通方程为3x －y －3＝0，椭圆C 的方程化为普通方程为x 2＋y 24＝1，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x 2＋y 24＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1y 1＝0或⎩⎨⎧x 2＝－17，y 2＝－837，∴A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－17，－837.故|AB|＝⎝⎛⎭⎫1＋172＋⎝⎛⎭⎫0＋8372＝167.10．(2016·全国丙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标系方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 解 (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1.C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2距离d (α)的最小值， d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12.。
2012届高考数学第一轮专题复习测试卷 第一讲 坐标系 2含答案
第一讲 坐标系一､选择题:（本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内。
）1。
点M 的直角坐标为（—1,—，则它的球坐标为( ） 5.2,,.2,,444453.2,,.2,,4444A B C D ππππππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解析：2,1,tan 0,tan 02,x 0.411,,15.4r y x ϕϕθϕθπθππθ======<-=-=<==由≤≤得又≤所以 答案:B2.在平面直角坐标系中，以（1,1)角坐标系的原点为极点，以Ox 为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为( ）()B..C.os(1)D.4in 14A ρθρθππρθρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝=-=⎭=-解析:由题意知圆的直角坐标方程为(x-1）2+（y —1)2=2.化为极坐标方程为（ρcosθ-1)2+（ρsinθ-1)2=2。
∴0.42042,04044 ..cos ρρθρθρρππππθρθρπθ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎡⎤⎛-∴-∴⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭=也过极点与等价对应的极坐标方程为答案:A3.在极坐标系中,点(ρ,θ）与(—ρ，π—θ)的位置关系为( ）A.关于极轴所在直线对称B 。
关于极点对称C 。
重合D.关于直线θ=2π （ρ∈R）对称 解析：点(ρ,θ)也可以表示为（—ρ，π+θ),而（-ρ，π+θ)与（—ρ,π—θ)关于极轴所在直线对称,故选A 。
答案:A4.在柱坐标系中，两点24,,04,,333M N ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与的距离为（ ） A.3 B.4C 。
5D 。
8解析:解法一：由柱坐标可知M 在Oxy 平面上,N 在Oxy 平面上的射影坐标为N |MN |4,24,,0MN 5.3.,C π'∴'==⎛⎫ ⎪⎝⎭再由勾股定理得故选解法二:可将M ､N 化为直角坐标,N(MN 5..C =-∴=故选答案：C5.两直线θ=α和ρcos（θ—α）=a 的位置关系是（ ）A.平行 B 。
2012届高考数学第一轮立体几何单元练习题(含答案)
2012届高考数学第一轮立体几何单元练习题(含答案)高三数学单元练习题：立体几何（Ⅱ）第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）. 1．一条直线与一个平面所成的角等于，另一直线与这个平面所成的角是 . 则这两条直线的位置关系（） A．必定相交 B．平行 C．必定异面 D．不可能平行 2．在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为（） A．1∶ B．1∶9 C．1∶ D．1∶ 3．正方体中，、、分别是、、的中点．那么，正方体的过、、的截面图形是（） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 4．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）A．75° B．60° C．45° D．30° 5．对于直线m、n和平面，下面命题中的真命题是（） A．如果、n是异面直线，那么 B．如果、n是异面直线，那么相交 C．如果、n共面，那么 D．如果、n共面，那么 6．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，长为定值的线段EF在棱AB上移动（EF<a），若P是A1D1上的定点，Q是C1D1上的动点，则四面体PQEF的体积是（） A．有最小值的一个变量B．有最大值的一个变量 C．没有最值的一个变量 D．是一个常量 7．已知平面所成的二面角为80°，P为、外一定点，过点P的一条直线与、所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有（） A．1条B．2条 C．3条 D．4条 8．如图所示，在水平横梁上A、B两点处各挂长为50cm的细线AM、 BN、AB的长度为60cm，在MN处挂长为60cm的木条MN平行于横梁，木条中点为O，若木条绕O的铅垂线旋转60°，则木条比原来升高了（） A．10cm B．5cm C．10 cm D．5 cm 9．如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是（） A．258 B．234 C．222 D．210 10．在半径为的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（） A． B． C． D． 11．底面边长为a，高为h的正三棱锥内接一个正四棱柱（此时正四棱柱上底面有两个顶点在同一个侧面内），此棱柱体积的最大值（） A． B． C． D． 12．将半径都为１的４个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（） A． B．2+ C．4+ D．第Ⅱ卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）. 13．某地球仪上北纬纬线的长度为，该地球仪的半径是__________cm，表面积是______________cm2. 14．如图，矩形ABCD中，DC= ，AD=1，在DC上截取DE=1，将△ADE沿AE翻折到D1点，点D1在平面ABC上的射影落在AC上时，二面角D1¬―AE―B 的平面角的余弦值是 . 15．多面体上位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：①3；②4；③5；④6；⑤7 以上结论正确的为______________. （写出所有正确结论的编号） 16．如图，在透明材料制成的长方体容器ABCD―A1B1C1D1内灌注一些水，固定容器底面一边BC于桌面上，再将容器倾斜根据倾斜度的不同，有下列命题：（1）水的部分始终呈棱柱形；（2）水面四边形EFGH的面积不会改变；（3）棱A1D1始终与水面EFGH平行；（4）当容器倾斜如图所示时，BE•BF是定值。
2013届高考数学一轮复习课时检测 第二节 参数方程 理
选修4-4 第二节 参数方程1．(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程．解：由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.2．在椭圆x 29＋y 24＝1上求一点M ，使点M 到直线x ＋2y －10＝0的距离最小，并求出最小距离．解：因为椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)，所以可设点M 的坐标为(3cos φ，2sin φ)． 由点到直线的距离公式，得到点M 到直线的距离为d ＝|3cos φ＋4sin φ－10|5＝|5cos φ·35＋sin φ·45－10|5＝15|5cos(φ－φ0)－10|， 其中φ0满足cos φ0＝35，sin φ0＝45.由三角函数的性质知，当φ－φ0＝0时，d 取最小值 5. 此时，3cos φ＝3cos φ0＝95，2sin φ＝2sin φ0＝85.因此，当点M 位于(95，85)时，点M 到直线x ＋2y －10＝0的距离取最小值 5.3．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2sin θ，直线l 的参数方程是 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35t ＋2，y ＝45t(t 为参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设直线 l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求|MN |的最大值． 解：(1)曲线C 的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsin θ， 又x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0. (2)将直线l 的参数方程化为普通方程， 得y ＝－43(x －2)，令y ＝0得x ＝2， 即M 点的坐标为(2,0)．又曲线C 为圆，且圆心坐标为(0,1)，半径r ＝1， 则|MC |＝ 5.所以|MN |≤|MC |＋r ＝5＋1. 即|MN |的最大值为5＋1.4．已知圆M ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)的圆心F是抛物线E ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt的焦点，过焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，求AF ·FB 的取值范围．解：圆M ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ的普通方程是(x －1)2＋y 2＝1，所以F (1,0)．抛物线E ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt的普通方程是y 2＝2px ，所以p2＝1，p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x . 设过焦点F 的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θy ＝t sin θ，(t 为参数)，代入y 2＝4x ，得t 2sin 2θ－4t cos θ－4＝0.所以AF ·FB ＝|t 1t 2|＝4sin 2θ.因为0<sin 2θ≤1，所以AF ·FB 的取值范围是[4，＋∞)．5．(2012·厦门模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝2 2.(1)求直线l 的直角坐标方程；(2)点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值． 解：(1)ρcos(θ－π4)＝22化简ρcos θ＋ρsin θ＝4，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝4； (2)设点P 的坐标为(2cos α，sin α)， 得P 到直线l 的距离d ＝|2cos α＋sin α－4|2，即d ＝|5sin α＋φ－4|2，其中cos φ＝15，sin φ＝25.当sin(α＋φ)＝－1时，d max ＝22＋102. 6．(2012·福建高考)在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为(4，π2)，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． 解： (1)把极坐标系下的点P (4，π2)化为直角坐标，得P (0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上． (2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos α＋π6＋42＝2cos(α＋π6)＋2 2.由此得，当cos(α＋π6)＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.7．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |. 解：(1)由ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0， 即x 2＋(y －5)2＝5.(2)法一：将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程， 得(3－22t )2＋(22t )2＝5， 即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根， 所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2. (2)法二：因为圆C 的圆心为(0，5)，半径r ＝5， 直线l 的普通方程为：y ＝－x ＋3＋ 5.由⎩⎨⎧x 2＋y －52＝5，y ＝－x ＋3＋ 5.得x 2－3x ＋2＝0.解得：⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2＋ 5.或 ⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A (1,2＋5)，B (2,1＋5)， 又点P 的坐标为(3，5)， 故|PA |＋|PB |＝8＋2＝3 2. 8．已知椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ，y ＝5sin φ.(φ为参数)上相邻两个顶点为A 、C ，又B 、D 为椭圆上两个动点，且分别在直线AC 的两侧，求四边形ABCD 面积的最大值．解：设相邻两个顶点A (4,0)、C (0,5)、AC 所在直线方程为5x ＋4y －20＝0.又设B (4cos α，5sin α)，D (4cos β，5sin β)，其中α∈(0，π2)，β∈(π2，2π)．点B 到AC 距离d 1＝2041|cos α＋sin α－1|＝2041|2sin(α＋π4)－1|≤2041(2－1)(当α＝π4时取等号)．点D 到AC 的距离d 2＝2041|2sin(β＋π4)－1|≤2041(2＋1)(当α＝54π时取等号)．∴所求S 四边形ABCD 的最大值为12AC ·[2041(2－1)＋2041(2＋1)]＝20 2。
高考真题专题训练(参数方程答案1-5题)
高考真题专题训练——参数方程专题（参考答案1-5）1、（2012课标全国Ⅰ，理23，10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =,P 点的轨迹为曲线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 22、（2012课标全国Ⅱ，理23，10分）已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围。
【解析】（1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,3636ππππ点,,,A B C D的直角坐标为1,1)--（2）设00(,)P x y ；则002cos ()3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数 2222224440t PA PB PC PD x y =+++=++3、(1)把C 1(2)求C 1解：(1)即C 1：x 2将x y ρρ=⎧⎨=⎩ρ2－8ρ所以C 1ρ2－8ρ(2)C 2由22220x x y y ⎧+⎨+-=⎩1y ⎨=⎩ 2.y ⎨=⎩所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(2013课标全国Ⅱ，理23，10分)已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos ,2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．解：(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M的轨迹的参数方程为cos cos2,sin sin2xyαααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M点到坐标原点的距离d==＜α＜2π)．当4t为参数）.d=|5、确定D的坐标.所以D 点坐标为1(1)-或1(1,)+-。
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第二讲 参数方程班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一､选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)1.判断以下各点,哪一个在曲线231432x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ (t 为参数)上( ) A.(0,2) B.(-1,6) C.(1,3)D.(3,4)解析:∵x=1+t 2+t 4=2213124t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥∴点(0,2),(-1,6)不在曲线上对于点(1,3),当x=1时,t=0,y=2. ∴点(1,3)不在曲线上, 验证知(3,4)在曲线上,选D. 答案:D2.能化为普通方程x 2+y-1=0的参数方程为( )2.12.A .2x sintx tan B y tan y cos t x cos x C D y sin y t θθφφ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩⎧=⎧=⎪⎨⎨==⎪⎩⎩。
解析:由x 2+y-1=0,知x∈R,y≤1. 排除A ､C ､D,只有B 符合. 答案:B3.若直线的参数方程为1223x ty t=+⎧⎨=-⎩ (t 为参数),则直线的斜率为( )2233....3322A B C D --解析:由参数方程,消去t,得3x+2y-7=0. ∴直线的斜率k=- . 答案:D4.过点M(2,1)作曲线C:44x cosy sinθθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)的弦,使M为弦的中点,则此弦所在直线的方程为( )A.y-1=- (x-2)B.y-1=-2(x-2)C.y-2=- (x-1)D.y-2=-2(x-1)解析:由于曲线表示的是圆心在原点,半径为r=4的圆,所以过点M的弦与线段OM垂直, ∵k OM= ,∴弦所在直线的斜率是-2,故所求直线方程为y-1=-2(x-2).答案:B5.(2010·安徽)设曲线C的参数方程为2313x cos y sinθθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数),直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线C上到直线l距离为10的点的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析:曲线C表示以(2,-1)为圆心,以3为半径的圆,则圆心C(2,-1)到直线l的距离3=<,所以直线与圆相交.所以过圆心(2,-1)与l平行的直线与圆的2个交点满足题意,又3-d<10,故满足题意的点有2个.答案:B6.(2010·上海)直线l的参数方程是122x ty t=+⎧⎨=-⎩(t∈R),则l的方向向量d可以是( )A.(1,2)B.(2,1)C.(-2,1)D.(1,-2)解析:化参数方程122x ty t=+⎧⎨=-⎩为一般方程得x+2y-5=0,所以直线l 的斜率为- ,∴方向向量为(-2,1),选C. 答案:C二､填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)7.若直线1223x ty t =-⎧⎨=+⎩(t 为参数)与直线4x+ky=1垂直,则常数k=________.解析:将11237,23223.2y k x t x y t =-⎧=-+⎨=+-∴⎩=化为斜率显然k=0时,直线4x+ky=1与上述直线不垂直. ∴k≠0,从而直线4x+ky=1的斜率k 2=-4k. 依题意k 1k 2=-1,即431, 6.2k k ⎛⎫--=-=- ⎪⎝⎭⨯ 答案:-68.(2010·武汉质检)圆C:3424x cos y sin θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数)的圆心坐标为________,和圆C关于直线x-y=0对称的圆C′的普通方程是________.解析:将圆C 的方程化为普通方程得(x-3)2+(y+2)2=16. ∴其圆心坐标为(3,-2).则点(3,-2)关于x-y=0的对称点为(-2,3). ∴圆C′的方程为(x+2)2+(y-3)2=16. 答案:(3,-2) (x+2)2+(y-3)2=169.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为33x t y t=+⎧⎨=-⎩ (参数t∈R),圆C 的参数方程为222x cos y sin θθ=⎧⎨=+⎩(参数θ∈[0,2π)),则圆C 的圆心到直线l 的距离为________.解析:圆C 的圆心坐标为(0,2),直线l:33x t y t=+⎧⎨=-⎩消去系数t 得:x+y=6,圆心到直线l 的距离=答案10.(2010·陕西)已知圆C 的参数方程为1x cos y sin αα=⎧⎨=+⎩,(α为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρsin θ=1,则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________.解析:圆C 的普通方程为x 2+(y-1)2=1,直线l 的直角坐标方程为y=1,解方程组221,1,(,1)11, 1.1x x x y y y y =-=⎧+-=⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩得或故直线l 与圆C 的交点的直角坐标为(-1,1),(1,1). 答案:(-1,1),(1,1)评析:此题巧妙地将参数方程､极坐标方程与直角坐标方程结合起来,体现了在知识交汇处命题的指导思想,但题目又不难,也是今后命题的方向.三､解答题:(本大题共3小题,11､12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)11.(2010·辽宁)已知P 为半圆C:x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数,0≤θ≤π)上的点,点A 的坐标为(1,0),O 为坐标原点,点M 在射线OP 上,线段OM 与C 的弧 AP的长度均为3π. (1)以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M 的极坐标; (2)求直线AM 的参数方程. 解:(1)由已知,M 点的极角为,3,3M ππ且点的极径等于故点M 的极坐标为(),.33,(1,0)611,.62M ,AM (t ).6A x t y t ππππ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛ ⎝⎭⎧⎪⎛⎫=+-=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎩点的直角坐标为故直线的参数方程为为参数12.(2010·福建)在直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为3,22x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,圆C 的方程为ρθ.(1)求圆C 的直角坐标方程;(2)设圆C 与直线l 交于点A,B.若点P 的坐标为),求|PA|+|PB|. 解:(1)由ρθ,得x 2+y 2即x 22=5.(2)解法一:将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程,得2235,⎛⎫⎫+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭即t 2由于Δ2-4×4=2>0,故可设t 1,t 2是上述方程的两实根,所以(((((12122212122l P t PA PB t t t t :C r l :y x ,4.,5,31,2,23x 3x 20.:A 1P (31,2,2,1,t t t t x y y x x x y y B ⎧+=⎪⎨=⎪⎩=⎧+-=⎪⎨⎪=-++⎩==⎧⎧⎪⎪⎨+⎨=+==+=+=⎪⎪⎩⎩++=-+-=又直线过点故由上式及的几何意义得解法二因为圆的圆心为半径直线的普通方程为由得解得不妨设又点的坐标为PA PB =+=故13.(2010·全国新课标)已知直线C 1:{2t ),C :,).,(,1(x cos x tcos y tsin y sin θααθθ=⎧=+=⎨=⎩为参数圆为参数(1)当α=3π时,求C 1与C 2的交点坐标; (2)过坐标原点O 作C 1的垂线,垂足为A,P 为OA 的中点.当α变化时,求P 点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.解:(1)当α=3π时,C 1的普通方程为2的普通方程为x 2+y 2=1.联立方程组()12221),1,C C 1,0,.21.y x x y ⎧⎛=-⎪ ⎨ +=⎪⎝⎭⎩解得与的交点为 (2)C 1的普通方程为xsin α-ycos α-sin α=0. A 点坐标为(sin 2α,-cos αsin α). 故当α变化时,P 点轨迹的参数方程为222().P 1,21.211.41611,0,44P x sin y sin cos x y αααα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩⎛⎫-+= ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭为参数点轨迹的普通方程为故点轨迹是圆心为半径为的圆.评析:本题给出了两个参数方程,在解题过程中如果都用参数方程就不好做了,因此可以将其都化为普通方程,至少将其中的某个方程化为我们便于应用的普通方程,即参数方程普通化的主导思想.。