2018届人教B版 三角函数的图象与性质 检测卷

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2018届人教B版 三角函数、三角恒等变换、解三角形 检测卷 2

2018届人教B版    三角函数、三角恒等变换、解三角形  检测卷  2

一、选择题1.(2016·东营模拟)计算:sin 116π+cos 103π= ( A )A .-1B .1C .0D .12-32[解析] 原式=sin(2π-π6)+cos(3π+π3)=-sin π6+cos(π+π3)=-12-cos π3=-12-12=-1.2.(2016·广州模拟)已知sin(52π+α)=15,α是第四象限角,则sin α= ( D )A .15B .-15C .265D .-265[解析] sin(52π+α)=sin(2π+π2+α)=sin(π2+α)=cos α=15.因为α是第四象限角,所以sin α=-1-cos 2α=-1-125=-265. 3.(2017·山东省泰安市宁阳复圣中学高三上学期9月月考数学试题)已知α是第四象限角,sin α=-1213,则tan α= ( C )A .-513B .513C .-125D .125[解析] 利用同角三角函数的基本关系,求得tan α的值. 解:∵α是第四象限角,sin α=-1213,∴cos α=1-sin 2α=513,则tan α=sin αcos α=-125,故选C .[点拨] 本题主要考查同角三角函数的基本关系,属于基础题.4.(2017·浙江省绍兴市柯桥区2016届高三教学质量测试(二模)数学试题)已知sin α+cos α=15,α∈(0,π),则tan α= ( A )A .-43B .-34C .43D .34[解析] 由题设(sin α+cos α)2=125,则2sin αcos α=-2425,故(sin α-cos α)2=1+2425=4925,所以sin α-cos α=75,与sin α+cos α=15联立解之可得sin α=45,cos α=-35,故tan α=-43,应选A .5.已知sin(π-α)=-2sin(π2+α),则sin α·cos α等于 ( B )A .25B .-25C .25或-25D .-15[解析] 由sin(π-α)=-2sin(π2+α)得sin α=-2cos α,所以tan α=-2,∴sin α·cos α=sin α·cos αsin 2α+cos 2α=tan α1+tan 2α=-25,故选B . 6.已知f (α)=sin (π-α)·cos (2π-α)cos (-π-α)·tan (π-α),则f (-25π3)的值为 ( A )A .12B .-12C .32D .-32[解析] ∵f (α)=sin αcos α-cos α·(-tan α)=cos α,∴f (-25π3)=cos(-25π3)=cos 25π3=cos(8π+π3)=cos π3=12.7.(2016·广东汕头质量检测)已知sin(α+π6)=13,则cos(2α-2π3)的值是 ( D )A .79B .13C .-13D .-79[解析] sin(α+π6)=sin[π2-(π3-α)]=cos(π3-α)=cos(α-π3),所以cos(2α-2π3)=2cos 2(α-π3)-1=2×(13)2-1=-79,故选D .8.(2016·广东惠州三调)已知sin θ+cos θ=43(0<θ<π4),则sin θ-cos θ的值为 ( B )A .23B .-23C .13D .-13[解析] 因为sin θ+cos θ=43(0<θ<π4),两边平方可得1+2sin θ·cos θ=169,即sin θ·cos θ=718,所以(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=1-79=29.又因为0<θ<π4,所以sin θ<cos θ,所以sin θ-cos θ<0,所以sin θ-cos θ=-23,故应选B . 二、填空题9.(2017·北京市海淀区101中学高三上学期期中模拟考试数学试题)计算sin(-330°)=12[解析] 因为sin(-330°)=sin(-330°+360°)=sin(30°)=12,所以sin(-330°)=12.10.(2016·济宁模拟)若tan(π-α)=2,则sin2α=-45.[解析] ∵tan(π-α)=2,∴tan α=-2. ∴sin2α=2sin αcos αsin 2α+cos 2α=2tan αtan 2α+1=-45.11.化简:sin (π2+α)·cos (π2-α)cos (π+α)+sin (π-α)·cos (π2+α)sin (π+α)=_0.[解析] 原式=cos α·sin α-cos α+sin α(-sin α)-sin α=-sin α+sin α=0. 三、解答题12.已知sin α=255,求tan(α+π)+sin (5π2+α)cos (5π2-α)的值.[答案] ±52[解析] 因为sin α=255>0,所以α为第一或第二象限角.tan(α+π)+sin (5π2+α)cos (5π2-α)=tan α+cos αsin α=sin αcos α+cos αsin α=1sin αcos α. (1)当α是第一象限角时,cos α=1-sin 2α=55,原式=1sin αcos α=52.(2)当α是第二象限角时,cos α=1-sin 2α=-55, ∴原式=1sin αcos α=-52.13.(2016·浙江杭州模拟)已知-π2<x <0,sin x +cos x =15.(1)求sin x -cos x 的值; (2)求1cos 2x -sin 2x的值.[解析] (1)方法一:联立方程 ⎩⎪⎨⎪⎧sin x +cos x =15,①sin 2x +cos 2x =1,②由①得sin x =15-cos x ,将其代入②,整理得25cos 2x -5cos x -12=0. 因为-π2<x <0,所以⎩⎨⎧sin x =-35,cos x =45,所以sin x -cos x =-75.方法二:因为sin x +cos x =15,所以(sin x +cos x )2=(15)2,即1+2sin x cos x =125,所以2sin x cos x =-2425.因为(sin x -cos x )2=sin 2x -2sin x cos x +cos 2x =1-2sin x cos x =1+2425=4925.①又因为-π2<x <0,所以sin x <0,cos x >0,所以sin x -cos x <0.② 由①②可得sin x -cos x =-75.(2)1cos 2x -sin 2x =1(cos x -sin x )(cos x +sin x )=115×75=2571.(2016·沧州七校联考)已知sin θ+3cos θ3cos θ-sin θ=5,则sin 2θ-sin θcos θ的值是 ( A )A .25B .-25C .-2D .2[解析] ∵sin θ+3cos θ3cos θ-sin θ=5,∴6sin θ=12cos θ,即tan θ=2,∴sin 2θ-sin θcos θ=sin 2θ-sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ-tan θtan 2θ+1=25,选A .2.(2016·河南郑州一模)已知θ为第二象限角,sin θ,cos θ是关于x 的方程2x 2+(3-1)x +m =0(m ∈R )的两根,则sin θ-cos θ等于 ( B )A .1-32B .1+32C . 3D .- 3[解析] ∵sin θ,cos θ是方程2x 2+(3-1)x +m =0(m ∈R )的两根, ∴sin θ+cos θ=1-32,sin θcos θ=m2.可得(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,即2-32=1+m ,∴m =-32. ∵θ为第二象限角,∴sin θ>0,cos θ<0,即sin θ-cos θ>0.∵(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θ·cos θ=4-234-2m =1-32+3=2+32,∴sin θ-cos θ=2+32=1+32. [点拨] 利用根与系数的关系表示出sin θ+cos θ=1-32,sin θcos θ=m2,利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系整理求出m 的值,再利用完全平方公式求出sin θ-cos θ的值即可.3.(2017·湖北省襄阳市枣阳一中开学数学试题)△ABC 为锐角三角形,若角θ的终边过点P (sin A -cos B ,cos A -sin C ),则y =sin θ|sin θ|+cos θ|cos θ|+tan θ|tan θ|的值为 ( B )A .1B .-1C .3D .-3[解析] 由题意△ABC 为锐角三角形,可知,sin A -cos B >0,cos A -sin C <0,推出θ的象限,确定三角函数的符号,然后求出表达式的值.解:△ABC 为锐角三角形,所以A +B >π2,所以sin A >cos B ,cos A <sin C ;所以θ是第二象限角,所以y =sin θ|sin θ|+cos θ|cos θ|+tan θ|tan θ|=1-1-1=-1故选B .4.(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,是tan(θ-π4)=-43.[解析] 通性通法 因为sin(θ+π4)=35,所以cos(θ-π4)=sin[π2+(θ-π4)]=sin(θ+π4)=35,因为θ为第四象限角,所以-π2+2k π<θ<2k π,k ∈Z ,所以-3π4+2k π<θ-π4<2k π-π4,k ∈Z ,所以sin(θ-π4)=-1-(35)2=-45,所以tan(θ-π4)=sin (θ-π4)cos (θ-π4)=-43.光速解法 因为θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,所以θ+π4为第一象限角,所以cos(θ+π4)=45,所以tan(θ-π4)=sin (θ-π4)cos (θ-π4)=-cos[π2+(θ-π4)]sin[π2+(θ-π4)]=-cos (θ+π4)sin (θ+π4)=-43. 5.(教材改编题)已知f (α)=sin (π2-α)cos (2π-α)tan (-α+3π)tan (π+α)sin (π2+α)(1)化简f (α);(2)若α是第三象限角,且cos(α-3π2)=15,求f (α)的值;(3)若α=-1 860°,求f (α)的值.[解析] (1)f (α)=cos αcos α(-tan α)tan αcos α=-cos α.(2)因为cos(α-3π2)=-sin α,所以sin α=-15.因为α是第三象限角, 所以cos α=-1-sin 2α=-1-125=-256. 所以f (α)=256.(3)因为α=-1 860°=-6×360°+300°,所以f (α)=f (-1 860°)=-cos(-1 860°)=-cos(-6×360°+300°)=-cos60°=-12.。

三角函数的图像和性质2018高考真题练习 精品

三角函数的图像和性质2018高考真题练习 精品

三角函数的图像和性质练习江西 在△ABC 中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,已知2sin1cos sin C C C -=+. (1)求C sin 的值;(2)若8)(422-+=+b a b a ,求边c 的值.天津15.(本小题满分13分) 已知函数()tan(2),4f x x π=+(Ⅰ)求()f x 的定义域与最小正周期;(II )设0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,若()2cos 2,2f αα=求α的大小.浙江18.(本题满分14分)在ABC ∆中,角..A B C 所对的边分别为a,b,c .已知()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且214ac b =. (Ⅰ)当5,14p b ==时,求,a c 的值; (Ⅱ)若角B 为锐角,求p 的取值范围;.(2018北京,文15)已知函数f (x )=2cos2x +sin 2x .(1)求f (3π)的值; (2)求f (x )的最大值和最小值.16.(2018湖北,文16)已知函数f (x )=2sin cos 22x x -,g (x )=21sin2x -41. (1)函数f (x )的图象可由函数g (x )的图象经过怎样的变化得出?(2)求函数h (x )=f (x )-g (x )的最小值,并求使h (x )取得最小值的x 的集合.答案:江西17解:(1)已知2sin1cos sin C C C -=+ 2sin 2sin 2cos 2sin 2cos 2cos 2sin 22222C C C C C C C -+=-+∴ 整理即有:012sin 22cos 22sin 02sin 2sin 22cos 2sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⇒=+-C C C C C C C 又C 为ABC ∆中的角,02sin ≠∴C 412sin 2cos 2cos 2sin 2412cos 2sin 212cos 2sin 222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒=-∴C C C C C C C C 43sin 432cos 2sin 2=⇒=∴C C C (2)()8422-+=+b a b a()()2,2022044442222==⇒=-+-⇒=++--+∴b a b a b a b a 又47sin 1cos 2=-=C C ,17cos 222-=-+=∴C ab b a c 天津15.本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式,同角三角函数的基本关系,二倍角的正弦、余弦公式,正切函数的性质等基础知识,考查基本运算能力.满分13分. (I )解:由2,42x k k Z πππ+≠+∈, 得,82k x k Z ππ≠+∈. 所以()f x 的定义域为{|,}82k x R x k Z ππ∈≠+∈ ()f x 的最小正周期为.2π (II )解:由()2cos 2,2af a = 得tan()2cos 2,4a a π+=22sin()42(cos sin ),cos()4a a a a ππ+=-+ 整理得sin cos 2(cos sin )(cos sin ).cos sin a a a a a a a a+=+-- 因为(0,)4a π∈,所以sin cos 0.a a +≠因此211(cos sin ),sin 2.22a a a -==即 由(0,)4a π∈,得2(0,)2a π∈. 所以2,.612a a ππ==即浙江18.本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力。

【高三数学试题精选】三角函数的图象与性质专项检测(附解析2018高考数学一轮)

【高三数学试题精选】三角函数的图象与性质专项检测(附解析2018高考数学一轮)
所以sin x=0或tan x=-33
由sin x=0,x∈π2,π,得x=π;
由tan x=-33,x∈π2,π,得x=5π6
综上,函数f(x)的零点为5π6或π
(2)f(x)=32(1-cs 2x)+12sin 2x
=sin2x-π3+32
因为x∈π2,π,所以2x-π3∈[2π3,5π3].
所以当2x-π3=2π3,即x=π2时,f(x)的最大值为3;
三角函数的图象与性质专项检测(附解析2018高考数学一轮)
5 c三角函数的图象与性质专项检测(附解析2018高考数学一轮)
A组基础演练
1.函数=|sin x|的一个单调增区间是
( )
A-π4,π4 Bπ4,3π4
cπ,3π2 D3π2,2π
解析作出函数=|sin x|的图象.观察可知,函数=|sin x|在π,3π2上递增.
令-π2+2π≤2x-3π4≤π2+2π,∈Z,
可解得π8+π≤x≤5π8+π,∈Z,
因此=f(x)的单调增区间为π8+π,5π8+π,∈Z
9.(2018西城区期末考试)已知函数f(x)=3sin2x+sin xcs x,x∈π2,π
(1)求f(x)的零点;
(2)求f(x)的最大值和最小值.
解(1)令f(x)=0,得sin x (3sin x+cs x)=0,
③=4sin2x+5π4的一个对称中心是-9π8,0;
④=sin2x-π4的图象可由=sin 2x的图象向右平移π4个单位得到.
解析对于①,sinα+csα=2 sinα+π4,其最大值为2,故不存在α满足sinα+csα=32,①错.对于②,=cs7π2-3x=-sin 3x是奇函数,②正确.对于③,当x=-9π8时,=4sin2×-98π+5π4=4sin(-π)=0,故③正确.对于④,=sin2x-π4的图象可由=sin 2x的图象向右平移π8个单位得到,故④错.

配套K122018年高考数学总复习4.3三角函数的图象与性质演练提升同步测评文新人教B版

配套K122018年高考数学总复习4.3三角函数的图象与性质演练提升同步测评文新人教B版

4.3 三角函数的图象与性质A 组 专项基础训练(时间:35分钟)1.(2016·遵义航天高级中学模拟)对于函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx +π2,下列说法正确的是( )A .f (x )的周期为π,且在[0,1]上单调递增B .f (x )的周期为2,且在[0,1]上单调递减C .f (x )的周期为π,且在[-1,0]上单调递增D .f (x )的周期为2,且在[-1,0]上单调递减【解析】 因为f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx +π2=cos πx ,则周期T =2,在[0,1]上单调递减,故选B.【答案】 B2.(2016·石家庄一模)函数f (x )=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2-π12,k π2+5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2-π12,k π2+5π12(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-π12,k π+5π12(k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎪⎫k π+π6,k π+2π3(k ∈Z ) 【解析】 由k π-π2<2x -π3<k π+π2(k ∈Z )得,k π2-π12<x <k π2+5π12(k ∈Z ),所以函数f (x )=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2-π12,k π2+5π12(k ∈Z ). 【答案】 B3.(2015·河北五校联考)下列函数最小正周期为π且图象关于直线x =π3对称的函数是( )A .y =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3B .y =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π6 C .y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+π3 D .y =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π3 【解析】 由函数的最小正周期为π,可排除C.由函数图象关于直线x =π3对称知,该直线过函数图象的最高点或最低点,对于A ,因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3+π3=sin π=0,所以选项A 不正确.对于D ,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3-π3=sin π3=32,所以选项D 不正确.对于B ,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3-π6=sin π2=1,所以选项B 正确.【答案】 B4.关于函数y =tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3,下列说法正确的是( ) A .是奇函数B .在区间⎝⎛⎭⎪⎫0,π3上单调递减C.⎝⎛⎭⎪⎫π6,0为其图象的一个对称中心 D .最小正周期为π【解析】 函数y =tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π3是非奇非偶函数,A 错误;在区间⎝⎛⎭⎪⎫0,π3上单调递增,B 错误;最小正周期为π2,D 错误.∵当x =π6时,tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6-π3=0,∴⎝⎛⎭⎪⎫π6,0为其图象的一个对称中心,故选C.【答案】 C5.函数y =cos 2x +sin 2x ,x ∈R 的值域是( )A .[0,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,1C .[-1,2]D .[0,2]【解析】 y =cos 2x +sin 2x =cos 2x +1-cos 2x 2=1+cos 2x2. ∵cos 2x ∈[-1,1],∴y ∈[0,1]. 【答案】 A6.函数f (x )=sin(-2x )的单调增区间是________. 【解析】 由f (x )=sin(-2x )=-sin 2x , 2k π+π2≤2x ≤2k π+3π2(k ∈Z )得k π+π4≤x ≤k π+3π4(k ∈Z ). 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π+π4,k π+3π4(k ∈Z ) 7.(2016·江苏卷)定义在区间[0,3π]上的函数y =sin 2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是________.【解析】 由sin 2x =cos x 可得cos x =0或sin x =12,又x ∈[0,3π],则x =π2,3π2,5π2或x =π6,5π6,13π6,17π6,故所求交点个数是7. 【答案】 78.(2017·陕西铜川宜君县高中模拟)某地一天6时至20时的温度y (℃)随时间x (小时)的变化近似满足函数y =10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x +3π4+20,x ∈[6,20].在上述时间范围内,温度不低于20 ℃的时间约有________小时.【解析】 由10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x +3π4+20≥20,可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x +3π4≥0,∴2k π≤π8x +3π4≤2k π+π,k ∈Z ,∴16k -6≤x ≤16k +2. ∵x ∈[6,20],∴10≤x ≤18.∴温度不低于20 ℃的时间约有18-10=8小时. 【答案】 89.已知f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π4.(1)求函数f (x )图象的对称轴方程; (2)求f (x )的单调增区间;(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4,3π4时,求函数f (x )的最大值和最小值.【解析】 (1)f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π4,令2x +π4=k π+π2,k ∈Z ,则x =k π2+π8,k ∈Z .∴函数f (x )图象的对称轴方程是x =k π2+π8,k ∈Z . (2)令2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,则k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .故f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-3π8,k π+π8,k ∈Z .(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4,3π4时,3π4≤2x +π4≤7π4,∴-1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π4≤22,∴-2≤f (x )≤1, ∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4,3π4时,函数f (x )的最大值为1,最小值为- 2. 10.(2016·武汉调研)已知函数f (x )=a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x2+sin x +b .(1)若a =-1,求函数f (x )的单调增区间;(2)若x ∈[0,π]时,函数f (x )的值域是[5,8],求a ,b 的值. 【解析】 f (x )=a (1+cos x +sin x )+b=2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π4+a +b .(1)当a =-1时,f (x )=-2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π4+b -1,由2k π+π2≤x +π4≤2k π+3π2(k ∈Z ),得2k π+π4≤x ≤2k π+5π4(k ∈Z ),∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π+π4,2k π+5π4,k ∈Z .(2)∵0≤x ≤π,∴π4≤x +π4≤5π4, ∴-22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π4≤1,依题意知a ≠0.①当a >0时,⎩⎨⎧2a +a +b =8,b =5,∴a =32-3,b =5.②当a <0时,⎩⎨⎧b =8,2a +a +b =5.∴a =3-32,b =8.综上所述,a =32-3,b =5或a =3-32,b =8.B 组 专项能力提升 (时间:20分钟)11.(2017·山东临沂期中)函数f (x )=2-2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x2+π的最小正周期是( ) A.π2B .πC .2πD .4π【解析】 f (x )=2-2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+π=2-2sin 2x2=2-2·1-cos x2=1+cos x 的最小正周期为2π1=2π.【答案】 C12.(2017·北京丰台期末)函数f (x )=sin 2x -cos 2x 的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-3π4,π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,3π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-3π8,π8D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π8,3π8 【解析】 f (x )=sin 2x -cos 2x =2·sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π4.由2k π-π2≤2x -π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-π8≤x ≤k π+3π8,k ∈Z .当k =0时,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π8,3π8.【答案】 D13.已知函数f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx -π6(ω>0)和g (x )=3cos(2x +φ)的图象的对称中心完全相同,若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,则f (x )的取值范围是________.【解析】 由两三角函数图象的对称中心完全相同,可知两函数的周期相同,故ω=2,所以f (x )=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6,当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2时,-π6≤2x -π6≤5π6,所以-12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6≤1,故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,3. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,3 14.已知函数f (x )=A tan(ωx +φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0,|φ|<π2,y =f (x )的部分图象如图,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24=________.【解析】 由题中图象可知,此正切函数的半周期等于3π8-π8=π4,即最小正周期为π2,所以ω=2.由题意可知,图象过定点⎝⎛⎭⎪⎫3π8,0,所以0=A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3π8+φ, 即3π4+φ=k π(k ∈Z ), 所以φ=k π-3π4(k ∈Z ),又|φ|<π2,所以φ=π4.又图象过定点(0,1),所以A =1. 综上可知,f (x )=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4,故有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π24+π4=tan π3= 3.【答案】 315.已知函数f (x )=sin(ωx +φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<2π3的最小正周期为π.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值;(2)若f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,32,求f (x )的单调递增区间.【解析】 ∵由f (x )的最小正周期为π,则T =2πω=π,∴ω=2,∴f (x )=sin(2x +φ).(1)当f (x )为偶函数时,f (-x )=f (x ). ∴sin(2x +φ)=sin(-2x +φ), 展开整理得sin 2x cos φ=0, 由已知上式对∀x ∈R 都成立,∴cos φ=0.∵0<φ<2π3,∴φ=π2.(2)f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,32时,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6+φ=32,即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3+φ=32.又∵0<φ<2π3,∴π3<π3+φ<π,∴π3+φ=2π3,φ=π3. ∴f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3.令2k π-π2≤2x +π3≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-5π12≤x ≤k π+π12,k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-5π12,k π+π12,k ∈Z .。

2018届人教B版 三角函数、解三角形 单元测试

2018届人教B版   三角函数、解三角形          单元测试

基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1.已知点P (tan α,cos α)在第三象限,则角α的终边在第________象限( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析 由题意知tan α<0,cos α<0,∴α是第二象限角.答案 B2.已知角α的终边经过点(-4,3),则cos α=( )A.45B.35C.-35D.-45解析 由三角函数的定义知cos α=-4(-4)2+32=-45 . 答案 D3.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角α∈(0,π)的弧度数为( )A.π3B.π2C. 3D.2解析 设圆半径为r ,则其内接正三角形的边长为3r ,所以3r =α·r ,∴α= 3. 答案 C 4.已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4,cos 3π4落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π4解析 由sin 3π4>0,cos 3π4<0知角θ是第四象限的角, ∵tan θ=cos 3π4sin 3π4=-1,θ∈[0,2π),∴θ=7π4. 答案 D5.若α是第三象限角,则y =⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2sin α2+⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2cos α2的值为( )A.0B.2C.-2D.2或-2解析∵α是第三象限角,∴2kπ+π<α<2kπ+32π(k∈Z),∴kπ+π2<α2<kπ+3π4(k∈Z),∴α2是第二象限角或第四象限角.当α2是第二象限角时,y=sinα2sinα2-cosα2cosα2=0,当α2是第四象限角时,y=-sinα2sinα2+cosα2cosα2=0,故选A.答案 A二、填空题6.设P是角α终边上一点,且|OP|=1,若点P关于原点的对称点为Q,则Q点的坐标是________.解析由已知P(cos α,sin α),则Q(-cos α,-sin α).答案(-cos α,-sin α)7.已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,若P(4,y)是角θ终边上一点,且sin θ=-255,则y=______.解析因为sin θ=y42+y2=-255,所以y<0,且y2=64,所以y=-8.答案-88.在直角坐标系中,O是原点,A点坐标为(3,-1),将OA绕O逆时针旋转450°到B点,则B点的坐标为________.解析设B(x,y),由题意知|OA|=|OB|=2,∠BOx=60°,且点B在第一象限,∴x=2cos 60°=1,∴y=2sin 60°=3,∴B点的坐标为(1,3).答案(1,3)三、解答题9.已知角α的终边在直线3x+4y=0上,求sin α,cos α,tan α的值.解∵角α的终边在直线3x+4y=0上,∴在角α的终边上任取一点P (4t ,-3t )(t ≠0),则x =4t ,y =-3t ,r =x 2+y 2=(4t )2+(-3t )2=5|t |,当t >0时,r =5t ,sin α=y r =-3t 5t =-35,cos α=x r =4t 5t =45,tan α=y x =-3t 4t =-34;当t <0时,r =-5t ,sin α=y r =-3t -5t =35, cos α=x r =4t -5t=-45,tan α=y x =-3t 4t =-34. 综上可知,sin α=-35,cos α=45,tan α=-34或sin α=35,cos α=-45,tan α=-34.10.一个扇形OAB 的面积是1 cm 2,它的周长是4 cm ,求圆心角的弧度数和弦长AB .解 设圆的半径为r cm ,弧长为l cm ,则⎩⎪⎨⎪⎧12lr =1,l +2r =4,解得⎩⎨⎧r =1,l =2.∴圆心角α=l r =2弧度. 如图,过O 作OH ⊥AB 于H ,则∠AOH =1弧度.∴AH =1·sin 1=sin 1 (cm),∴AB =2sin 1 (cm).能力提升题组(建议用时:20分钟)11.已知角α=2k π-π5(k ∈Z ),若角θ与角α的终边相同,则y =sin θ|sin θ|+cos θ|cos θ|+tan θ|tan θ|的值为( )A.1B.-1C.3D.-3解析 由α=2k π-π5(k ∈Z )及终边相同角的概念知,角α的终边在第四象限,又角θ与角α的终边相同,所以角θ是第四象限角,所以sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0.所以y =-1+1-1=-1.答案 B12.点P 从(1,0)出发,沿单位圆x 2+y 2=1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点,则Q 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,-12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,-32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,12 解析 由题意知Q 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3,sin 2π3,即⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,32. 答案 A13.如图,在平面直角坐标系xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P 的位置在(0,0),圆在x 轴上沿正向滚动,当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP→的坐标为________.解析 如图,作CQ ∥x 轴,PQ ⊥CQ, Q 为垂足.根据题意得劣弧DP ︵=2,故∠DCP =2,则在△PCQ 中,∠PCQ =2-π2,|CQ |=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2-π2=sin 2,|PQ |=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2-π2=-cos 2, 所以P 点的横坐标为2-|CQ |=2-sin 2,P 点的纵坐标为1+|PQ |=1-cos 2,所以P 点的坐标为(2-sin 2,1-cos 2),故OP→=(2-sin 2,1-cos 2). 答案 (2-sin 2,1-cos 2)14.如图所示,动点P ,Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动,点P按逆时针方向每秒钟转π3弧度,点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度,求点P ,点Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ,Q 点各自走过的弧长.解 设P ,Q 第一次相遇时所用的时间是t ,则t ·π3+t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪-π6=2π.所以t =4(秒), 即第一次相遇的时间为4秒.设第一次相遇点为C ,第一次相遇时P 点和Q 点已运动到终边在π3·4=4π3的位置,则x C =-cos π3·4=-2, y C =-sin π3·4=-2 3.所以C 点的坐标为(-2,-23).P 点走过的弧长为43π·4=163π.Q 点走过的弧长为23π·4=83π.。

2018届高中数学新人教b版(理科数学)三角函数图象与性质、三角恒等变换单元测试版含答案

2018届高中数学新人教b版(理科数学)三角函数图象与性质、三角恒等变换单元测试版含答案

专题三三角函数及解三角形第1讲三角函数图象与性质、三角恒等变换(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号同角三角函数关系式、诱导公式1,7三角恒等变换2,6,9三角函数图象与性质3,5,8,11综合应用4,10一、选择题1.(2017·河南天一大联考)若cos(-α)=,则cos(π-2α)等于( B )(A)(B)-(C)(D)-解析:cos(π-2α)=2cos2(-α)-1=-.故选B.2.(2017·云南民族中学三模)已知sin 2α=,则tan α+等于( A )(A)(B) (C) (D)4解析:由sin 2α=2sin αcos α=,可得sin αcos α=,所以tan α+=+==.故选A.3.(2017·成都实验外国语学校二诊)已知函数f(x)=sin2x+cos2x-,若将其图象向左平移(>0)个单位后所得的图象关于原点对称,则的最小值为( C )(A) (B) (C) (D)解析:函数f(x)=sin 2x+cos2x-=sin 2x+cos 2x=sin(2x+),将其图象向左平移(>0)个单位后,可得y=sin(2x+2+)的图象,若该函数图象关于原点对称,则2+=kπ,k∈Z,故的最小值为.故选C.4.(2017·云南昆明一模)已知常数ω>0,f(x)=-1+2sin ωx cos ωx+2cos2ωx图象的对称中心到对称轴的距离的最小值为,若f(x0)=,≤x0≤,则cos 2x0等于( D )(A)(B)(C)(D)解析:f(x)=-1+2sin ωxcos ωx+2cos2ωx,sin 2ωx+cos 2ωx=2sin(2ωx+)因为对称中心到对称轴的距离的最小值为,所以T=π.由T==π,可得ω=1.f(x0)=,即2sin(2x0+)=,因为≤x0≤,所以≤2x0+≤,又sin(2x0+)=>0,所以cos(2x0+)=-.那么cos 2x0=cos(2x0+-)=cos(2x0+)cos+sin(2x0+)sin=. 故选D.5. (2017·青海西宁二模)函数y=cos(ωx+)(ω>0,0<<π)为奇函数,其部分图象如图所示,A,B分别为最高点与最低点,且|AB|=2,则该函数图象的一条对称轴方程为( D )(A)x= (B)x=。

2018届人教B版 三角函数、三角恒等变换、解三角形 检测卷 3

2018届人教B版    三角函数、三角恒等变换、解三角形  检测卷  3

一、选择题1.(2017·湖南省益阳六中3月月考数学试题)三角函数y =sin x2是 ( A )A .周期为4π的奇函数B .周期为π2的奇函数C .周期为π的偶函数D .周期为2π的偶函数[解析] 由条件利用正弦函数的奇偶性和周期性,可得结论. 解:三角函数y =sin x 2是奇函数,它的周期为2π12=4π,故选A .2.(2017·湖南省益阳六中3月月考数学试题)函数y =cos x tan x 的值域是 ( C ) A .(-1,0)∪(0,1) B .[-1,1]C .(-1,1)D .[-1,0)∪(0,1][解析] 先确定函数函数y =cos x tan x 的定义域,再由正弦函数的值域从而可确定答案. 解:∵x ≠π2+k π时,y =cos x tan x =sin x∴y =sin x ∈(-1,1)函数y =cos x tan x 的值域是(-1,1) 故选C .3.(2016·福建模拟)若a =sin(π-π6),则函数y =tan ax 的最小周期为 ( C )A .π2B .πC .2πD .4π[解析] ∵a =sin(π-π6)=sin π6=12,则函数y =tan ax =tan x 2的最小周期为π12=2π,故选C .4.(2016·安徽“江南十校”联考)已知函数y =2cos x 的定义域为[π3,π],值域为[a ,b ],则b -a 的值是 ( B )A .2B .3C .3+2D .2- 3[解析] 因为x ∈[π3,π],所以cos x ∈[-1,12],故y =2cos x 的值域为[-2,1],所以b -a=3.故选B .5.(2016·辽宁大连模拟)已知函数f (x )=2sin(ωx +φ),x ∈R ,其中ω>0,-π<φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π,且当x =π2时,f (x )取得最大值,下列说法正确的是 ( A )A .f (x )在区间[-2π,0]上是增函数B .f (x )在区间[-3π,-π]上是增函数C .f (x )在区间[3π,5π]上是减函数D .f (x )在区间[4π,6π]上是减函数[解析] 因为f (x )的最小正周期为6π,所以ω=13.因为当x =π2时,f (x )有最大值,所以13×π2+φ=π2+2k π(k ∈Z ),φ=π3+2k π(k ∈Z ).因为-π<φ≤π,所以φ=π3.所以f (x )=2sin(x 3+π3),由此函数验证易得,在区间[-2π,0]上是增函数,而在区间[-3π,-π]或[3π,5π]上均没有单调性,在区间[4π,6π]上是增函数.故选A .6.(2017·浙江省台州中学高三10月月考数学试题)函数y =3sin(2x +π6)的图象是轴对称图形,其中它的一条对称轴可以是 ( C )A .y 轴B .直线x =-π12C .直线x =π6D .直线x =π3[解析] A .x =0时,2x +π6=π6,不合题意;B .x =-π12时,2x +π6=0,不合题意;C .x=π6时,2x +π6=π2,正确;D .x =π3时,2x +π6=5π6,不合题意,故选C . 7.(2016·广东广州测试)若函数y =cos(ωx +π6)(ω∈N *)的一个对称中心是(π6,0),则ω的最小值为 ( B )A .1B .2C .4D .8[解析] 依题意,得cos(ω·π6+π6)=0,π6(ω+1)=k π+π2,ω=6k +2(其中k ∈Z ).又ω是正整数,因此ω的最小值是2.故选B .8.已知函数y =sin ωx 在[-π3,π3]上是增函数,则ω的取值范围是 ( C )A .[-32,0)B .[-3,0)C .(0,32]D .(0,3][解析] 由于y =sin x 在[-π2,π2]上是增函数,为保证y =sin ωx 在[-π3,π3]上是增函数,所以ω>0且π3 ·ω≤π2,则0<ω≤32.故选C .二、填空题9.函数y =tan(2x +π4)的图象与x 轴交点的坐标是(k π2-π8,0),k ∈Z .[解析] 由2x +π4=k π(k ∈Z )得,x =k π2-π8(k ∈Z ).∴函数y =tan(2x +π4)的图象与x 轴交点的坐标是(k π2-π8,0),k ∈Z .10.(2017·浙江省镇海中学高三3月高考模拟数学试题)若函数f (x )=a sin(x +π4)+3sin(x-π4)是偶函数,则实数a ;单调增区间为[2k π,π+2k π]k ∈Z . [解析] 由题设可得f (-π4)=f (π4),即a =-3;此时f (x )=-26cos x ,因此其单调递增区间是[2k π,π+2k π]k ∈Z ,应填-3,[2k π,π+2k π]k ∈Z .11.设函数f (x )=3sin(π2x +π4),若存在这样的实数x 1,x 2,对任意的x ∈R ,都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立,则|x 1-x 2|的最小值为2.[解析] f (x )=3sin(π2x +π4)的周期T =2π×2π=4,f (x 1),f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值,故|x 1-x 2|的最小值为T2=2.三、解答题12.已知函f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<2π3) 的最小正周期为π.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值;(2)若f (x )的图象过点(π6,32),求f (x )的单调递增区间.[解析] ∵由f (x )的最小正周期为π,则T =2πω=π,∴ω=2,∴f (x )=sin(2x +φ). (1)当f (x )为偶函数时,f (-x )=f (x ). ∴sin(2x +φ)=sin(-2x +φ), 展开整理得sin2x cos φ=0, 由已知上式对∀x ∈R 都成立, ∴cos φ=0,∵0<φ<2π3,∴φ=π2.(2)f (x )的图象过点(π6,32)时,sin(2×π6+φ)=32,即sin(π3+φ)=32.又∵0<φ<2π3,∴π3<π3+φ<π.∴π3+φ=2π3,φ=π3. ∴f (x )=sin(2x +π3).令2k π-π2≤2x +π3≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-5π12≤x ≤k π+π12,k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为[k π-5π12,k π+π12],k ∈Z . 13.已知f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的最小正周期为2,且当x =13时,f (x )的最大值为2.(1)求f (x )的解析式;(2)在闭区间[214,234]上是否存在f (x )的对称轴?如果存在求出其对称轴.若不存在,请说明理由.[解析] (1)由T =2知2πω=2得ω=π.又因为当x =13时,f (x )max =2,知A =2.且π3+φ=2k π+π2(k ∈Z ), 故φ=2k π+π6(k ∈Z ).∴f (x )=2sin(πx +2k π+π6)=2sin(πx +π6),故f (x )=2sin(πx +π6).(2)存在.令πx +π6=k π+π2(k ∈Z ),得x =k +13(k ∈Z ).由214≤k +13≤234. 得5912≤k ≤6512,又k ∈Z ,知k =5.故在[214,234]上存在f (x )的对称轴,其方程为x =163.1.(2016·大庆检测)函数y =cos(2x -3π2)是 ( C )A .最小正周期为π2的奇函数B .最小正周期为π2的偶函数C .最小正周期为π的奇函数D .最小正周期为π的偶函数[解析] ∵cos(2x -3π2)=-sin2x ,∴函数是最小正周期为π的奇函数,选C 项.2.(2017·浙江省温州中学高三10月高考模拟数学试题)已知函数f (x )=sin ωx -3cos ωx (ω>0)的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于π2,若将函数y =f (x )的图象向左平移π6个单位得到函数y =g (x )的图象,则y =g (x )是减函数的区间为 ( A )A .(π4,π3)B .(-π4,π4)C .(0,π3)D .(-π3,0)[解析] 因为f (x )=2sin(ωx -π3),所以T 2=π2,即T =2πω=π,则ω=2,故f (x )=2sin(2x -π3),g (x )=2sin[2(x +π6)-π3]=2sin2x ,故其减区间为2k π+π2≤2x ≤3π2+2k π,即k π+π4≤x ≤3π4+k π,故应选A .3.(2017·山西重点中学协作体质检)已知函数f (x )=sin(2x +φ),其中φ为实数.若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立,且f (π2)>f (0),则f (x )的单调递增区间是 ( C )A .[k π-π3,k π+π6](k ∈Z )B .[k π,k π+π2](k ∈Z )C .[k ππ6,k π+2π3](k ∈Z )D .[k π-π2,k π](k ∈Z )[解析] 由题意知,f (x )在π6处取得最大值或最小值,所以x =π6是函数f (x )的对称轴.所以2×π6+φ=π2+k π,φ=π6+k π,k ∈Z .又由f (π2)>f (π)得sin φ<0,所以φ=-56π+2k π,不防取φ=-56π.所以f (x )=sin(2x -5π6).由2k π-π2≤2x -56π≤2k π+π2,得f (x )的单调增区间为[k π+π6,k π+2π3](k ∈Z ).故选C .4.(2015·天津)已知函数f (x )=sin ωx +cos ωx (ω>0),x ∈R .若函数f (x )在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y =f (x )的图象关于直线x =ω对称,则ω的值为π2.[解析] f (x )=sin ωx +cos ωx =2sin(ωx +π4),因为函数f (x )的图象关于直线x =ω对称,所以f (ω)=2sin(ω2+π4)=±2,所以ω2+π4=π2+k π,k ∈Z ,即ω2=π4+k π,k ∈Z ,又函数f (x )在区间(-ω,ω)内单调递增,所以ω2+π4≤π2,即ω2≤π4,取k =0,得ω2=π4,所以ω=π2.5.已知函数f (x )=sin(ωx +φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R 上的偶函数,其图象关于点M (34π,0)对称.(1)求φ,ω的值; (2)求f (x )的单调递增区间;(3)x ∈[-3π4,π2],求f (x )的最大值与最小值.[解析] (1)因为f (x )=sin(ωx +φ)是R 上的偶函数,所以φ=π2+k π,k ∈Z ,且0≤φ≤π,则φ=π2,即f (x )=cos ωx .因为图象关于点M (34π,0)对称,所以ω×34π=π2+k π,k ∈Z ,且0<ω<1,所以ω=23.(2)由(1)得f (x )=cos 23x ,由-π+2k π≤23x ≤2k π且k ∈Z 得,3k π-3π2≤x ≤3k π,k ∈Z ,所以函数f (x )的递增区间是[3k π-3π2,3k π],k ∈Z .(3)因为x ∈[-3π4,π2]所以23x ∈[-π2,π3],当23x =0时,即x =0,函数f (x )的最大值为1,当23x =-π2时,即x =-3π4,函数f (x )的最小值为0.。

2018届人教B版 三角函数、三角恒等变换、解三角形 检测卷 4

2018届人教B版    三角函数、三角恒等变换、解三角形  检测卷  4

一、选择题1.(2017·福建省四地六校第三次联考数学试题)函数y =-3sin(12x +π4)的周期,振幅,初相分别是 ( C )A .π4,3,π4B .4π,3,π4C .4π,3,5π4D .2π,3,5π4[解析] 根据函数y =A sin(ωx +φ)的解析式,写出函数的振幅、周期和初相即可. 解:函数y =-3sin(12x +π4)=3sin(12x +5π4)的振幅是A =3,周期是T =2π12=4π,初相是φ=5π4.故选C .2.(2017·广东省揭阳市普宁市华侨中学高三上学期期末数学试题)要得到函数y =sin2x 的图象,只需将函数y =sin(2x -π3)的图象 ( B )A .向右平移π6个单位长度B .向左平移π6个单位长度C .向右平移π3个单位长度D .向左平移π3个单位长度[解析] 把函数y =sin2x 的图象向右平移π6个单位即可得到函数 y =sin2(x -π6)=sin(2x-π3) 的图象,把平移过程逆过来可得结论. 解:把函数y =sin2x 的图象向右平移π6个单位即可得到函数 y =sin2(x -π6)=sin(2x -π3)的图象,故要得到函数y =sin2x 的函数图象,可将函数y =sin(2x -π3)的图象向左至少平移π6个单位即可,故选B .3.(2016·全国卷Ⅱ)函数y =A sin(ωx +φ)的部分图象如图所示,则 ( A )A .y =2sin(2x -π6)B .y =2sin(2x -π3)C .y =2sin(x +π6)D .y =2sin(x +π3)[解析] 由图易知A =2,因为周期T 满足T 2=π3-(-π6),所以T =π,ω=2πT =2.由x =π3时,y =2可知2×π3+φ=π2+2k π(k ∈Z ),所以φ=-π6+2k π(k ∈Z ),结合选项可知函数解析式为y=2sin(2x -π6).[解法总结] 确定y =A sin(ωx +φ)+b (A >0,ω>0)的步骤和方法:(1)求A ,b 确定函数的最大值M 和最小值m ,则A =M -m 2,b =M +m 2.(2)求ω,确定函数的周期T ,则可得ω=2πT .(3)求φ,常用的方法有:①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时A ,ω,b 已知)或代入图象与直线y =b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上);②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口,具本如下:“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时ωx +φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx +φ=π2;“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时ωx +φ=π;“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx +φ=3π2;“第五点”时ωx +φ=2π. 4.(2017·广东韶关六校联考)将函数y =sin(x +π6)的图象上各点的横坐标压缩为原来的12倍(纵坐标不变),所得函数在下面哪个区间单调递增 ( A )A .(-π3,π6)B .(-π2,π2)C .(-π3,π3)D .(-π6,2π3)[解析] 将函数y =sin(x +π6)的图象上各点的横坐标压缩为原来的12倍所得图象的解析式为f (x )=sin(2x +π6),由-π2+2k π≤2x +π6≤π2+2k π(k ∈Z )得-π3+k π≤x ≤π6+k π(k ∈Z ),故其增区间为[-π3+k π,π6+k π](k ∈Z ),当k =0时,对应增区间[-π3,π6],故选A .5.(2016·全国卷Ⅰ)将函数y =2sin(2x +π6)的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为 ( D )A .y =2sin(2x +π4)B .y =2sin(2x +π3)C .y =2sin(2x -π4)D .y =2sin(2x -π3)[解析] 函数y =2sin(2x +π6)的周期为π,所以将函数y =2sin(2x +π6)的图象向右平移π4个单位长度后,得到函数图象对应的解析式为y =2sin[2(x -π4)+π6]=2sin(2x -π3).故选D .6.(2017·湖北咸宁模拟)已知函数f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0,-π2<φ<π2)的最小正周期为π,将该函数的图象向左平移π6个单位长度后,得到的图象对应的函数为奇函数,则f (x )的图象( B )A .关于点(π12,0)对称B .关于直线x =5π12对称C .关于点(5π12,0)对称D .关于直线x =π12对称[解析] 由已知得ω=2,则f (x )=sin(2x +φ).设平移后的函数为g (x ),则g (x )=sin(2x +π3+φ)(-π2<φ<π2)且为奇函数,所以φ=-π3,f (x )=sin(2x -π3).令2x -π3=k π+π2,易得图象关于直线x =5π12对称.故选B .7.(2017·山东省烟台市高三上学期期中数学试题)将函数y =sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π的图象向左平移π3个单位,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得的图象解析式为y =sin x ,则y =sin(ωx +φ)图象上离y 轴距离最近的对称中心为 ( C )A .(π3,0)B .(56π,0)C .(-π6,0)D .(-π3,0)[解析] 函数y =sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π的图象向左平移π3个单位,得到函数y =sin[ω(x+π3)+φ]的图象;再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y =sin(12ωx +π3ω+φ)的图象;由解析式相同求出ω、φ的值,然后根据正弦函数的对称中心求出函数y =sin(ωx +φ)的对称中心,进而求出离y 轴距离最近的对称中心.解:将函数y =sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π的图象向左平移π3个单位,得到函数y =sin[ω(x+π3)+φ]的图象; 再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y =sin(12ωx +π3ω+φ)的图象;∴函数y =sin(12ωx +π3ω+φ)的图象与函数y =sin x 的图象相同∴12ω=1,π3ω+φ=0 解得:ω=2,φ=-2π3∴y =sin(ωx +φ)=sin(2x -2π3)由2x -2π3=k π得2x =k π+2π3(k ∈Z )当k =-1时,x =-π6∴离y 轴距离最近的对称中心为(-π6,0).故选C .8.(2017·四川眉山中学期中)将函数f (x )=3sin(2x +π3)的图象向右平移π2个单位长度,所得图象对应的函数 ( B )A .其一条对称轴方程为x =-π6B .在区间[π12,7π12]上单调递增C .当x =π12+k π(k ∈Z )时取得最大值D .在区间[-π6,π3]上单调递增[解析] f (x )=3sin(2x +π3)的图象向右平移π2个单位所得图象对应的函数为f (x )=3sin[2(x-π2)+π3]=-3sin(2x +π3)其对称轴方程为2x +π3=π2+k π(k ∈Z ) 即x =π12+k π2(k ∈Z ),排除A .由π2+2k π≤2x +π3≤3π2+2k π(k ∈Z )得π12+k π≤x ≤7π12+k π(k ∈Z ),即f (x )的增区间为[π12+k π,7π12+k π](k ∈Z ),故选B .二、填空题9.(创新题)(2016·湖北黄冈模拟)函数f (x )=tan ωx (ω>0)的图象截直线y =π4所得最短线段长为π4,则f (π4)=0.[解析] 依题意知,πω=π4.所以f (x )=tan4x .所以f (π4)=tan(4×π4)=tanπ=0.10.(2017·山西省长治一中期中数学试题)若函数f (x )=sin ωx (ω>0)在区间[0,π3]上单调递增,在区间[π3,π2]上单调递减,则ω=32.[解析] 由题意可知函数在x =π3时确定最大值,就是ωπ3=2k π+π2,求出ω的值即可.解:由题意可知函数在x =π3时确定最大值,就是ωπ3=2k π+π2,k ∈Z ,所以ω=6k +32;只有k =0时,ω=32满足题意.故答案为:32.[点拨] 本题是基础题,考查三角函数的性质,函数解析式的求法,也可以利用函数的奇偶性解答,常考题型.11.(2016·江苏四市二调)将函数y =2sin(ωx -π4)(ω>0)的图象分别向左、向右各平移π4个单位长度后,所得的两个图象对称轴重合,则ω的最小值为2.[解析] 由题意得,函数的周期满足T 2≤π2,即T ≤π,所以ω=2πT ≥2,即ω的最小值是2.三、解答题12.(2016·安徽合肥模拟)设函数f (x )=cos(ωx +φ)(ω>0,-π2<φ<0)的最小正周期为π,且f (π4)=32.(1)求ω和φ的值;(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0,π]上的图象.[解析] (1)最小正周期T =2πω=π,所以ω=2.因为f (π4)=cos(2×π4+φ)=cos(π2+φ)=-sin φ=32,所以sin φ=-32.因为-π2<φ<0,所以φ=-π3.(2)由(1)得f (x )=cos(2x -π3),列表如下:13.(2016·福建模拟)已知函数f (x )=A sin(ωx +φ),x ∈R (其中A >0,ω>0,0<φ<π2)的图象与x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为π2,且图象上一个最低点为M (2π3,-2).(1)求f (x )的解析式;(2)当x ∈[π12,π2]时,求f (x )的值域.[解析] (1)由最低点为M (2π3,-2),得A =2.由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2,得T 2=π2,即T =π,所以ω=2πT =2ππ=2.由点M (2π3,-2)在图象上,得2sin(2×2π3+φ)=-2,即sin(4π3+φ)=-1,故4π3+φ=2k π-π2(k ∈Z ).所以φ=2k π-11π6(k ∈Z )又φ∈(0,π2),所以φ=π6.故f (x )=2sin(2x +π6).(2)因为x ∈[π12,π2],所以2x +π6∈[π3,7π6].当2x +π6=π2,即x =π6时,f (x )取得最大值2;当2x +π6=7π6,即x =π2时,f (x )取得最小值-1.故f (x )的值域为[-1,2].1.(2017·高三毕业年级模拟考试)将函数y =3sin(4x +π6)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,再向右平移π6个单位,所得函数图象的一个对称中心为 ( D )A .(7π48,0 )B .(π3,0 )C .(5π8,0 )D .(7π12,0 )[解析] 由已知得函数为y =3sin(2x -π6)分别代入A 、B 、C 、D 四个选项否定A 、B 、C ,故选D .2.(2015·安徽高考)已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A ,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x =2π3时,函数f (x )取得最小值,则下列结论正确的是 ( A )A .f (2)<f (-2)<f (0)B .f (0)<f (2)<f (-2)C .f (-2)<f (0)<f (2)D .f (2)<f (0)<f (-2)[解析] 由最小正周期为π,可得ω=2,又x =2π3时,函数f (x )取得最小值,故可令φ=π6,得函数f (x )=A sin(2x +π6),即f (0)=A sin π6,f (2)=A sin(4+π6),f (-2)=A sin(-4+π6),由正弦函数性质易得f (0)>f (-2)>f (2).故选A .3.如图为函数f (x )=3sin(ωx +φ)(ω>0)的部分图象,B 、C 分别为图象的最高点和最低点,若AB →·BC →=|AB →|2,则ω= ( C )A .π3B .π4C .π6D .π12[解析] 由题意可知|BC →|=2|AB →|,由AB →·BC →=|AB →|2,知-|AB →|·|BC →|cos ∠ABC =|AB →|2,所以∠ABC =120°,过B 作BD 垂直于x 轴于D ,则|AD →|=3,T =12,ω=2πT =π6,故选C .4.(2017·上海交通大学附属中学高三上学期摸底数学试题)已知函数f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|≤π2),x =-π4为f (x )的零点,x =π4为y =f (x )图象的对称轴,且f (x )在(π18,5π36)单调,则ω的最大值为9.[解析] 先跟据正弦函数的零点以及它的图象的对称性,判断ω为奇数,由f (x )在(π18,5π36)单调,可得ω·π18+φ≥2k π-π2,且ω·5π36+φ≤2k π+π2,k ∈Z ,由此求得ω的范围,检验可得它的最大值.解:∵函数f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|≤π2),x =-π4为f (x )的零点,x =π4为y =f (x )图象的对称轴,∴ω(-π4)+φ=n π,n ∈Z ,且ω·π4+φ=n ′π+π2,n ′∈Z ,∴相减可得ω·π2=(n ′-n )π+π2=k π+π2,k ∈Z ,即ω=2k +1,即ω为奇数.∵f (x )在(π18,5π36)单调,∴ω·π18+φ≥2k π-π2,且ω·5π36+φ≤2k π+π2,k ∈Z ,即-ω·π18-φ≤-2k π+π2 ①,且ω·5π36+φ≤2k π+π2,k ∈Z ②,把①②可得336ωπ≤π,∴ω≤12,故有奇数ω的最大值为11.当ω=11时,-114+φ=k π,k ∈Z ,∵|φ|≤π2,∴φ=-π4.此时f (x )=sin(11x -π4)在(π18,5π36)上不单调,不满足题意.当ω=9时,-9π4+φ=k π,k ∈Z ,∵|φ|≤π2,∴φ=π4,此时f (x )=sin(9x +π4)在(π18,5π36)上单调递减,满足题意;故ω的最大值为9, 故答案为9.[点拨] 本题主要考查正弦函数的零点以及它的图象的对称性,正弦函数的单调性的应用,属于中档题.5.(2016·辽宁重点中学协作体月考)已知函数f (x )=sin(ωx +φ),其中ω>0,-π2<φ<π2.(1)若cos π4cos φ-sin 3π4sin φ=0,求φ的值;(2)在(1)的条件下,若函数f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3,求函数f (x )的解析式,并求最小正实数m ,使得函数f (x )的图象向左平移m 个单位长度后所对应的函数是偶函数.[解析] (1)由cos π4cos φ-sin 3π4sin φ=0得cos(φ+π4)=0,即φ+π4=π2+k π,φ=π4+k π,k∈Z .又因为-π2<φ<π2,所以φ=π4.(2)由(1)得f (x )=sin(ωx +π4).依题意,T 2=π3,T =23π,ω=2πT =3.所以f (x )=sin(3x +π4).函数f (x )的图象向左平移m 个单位长度后所对应的函数为g (x )=sin[3(x +m )+π4].g (x )是偶函数当且仅当3m +π4=k π+π2(k ∈Z ),即m =k π3+π12(k ∈Z ).所以最小正实数m =π12.。

2018届人教B版 3.2 三角函数图象变换失误 检测卷

2018届人教B版   3.2 三角函数图象变换失误   检测卷

迁移运用1.【2017中原名校豫南九校第四次质量考评】要得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,只需将cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上的所有点( )A .向左平行移动6π个单位长度 B .向右平行移动6π个单位长度 C.向左平行移动12π个单位长度 D .向右平行移动12π个单位长度【答案】D【解析】cos 2cos 2sin 2sin 26323126y x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,向右平移12π个单位得sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.选D.2.【2017福建厦门一中上学期期中】将函数()()sin f x x ωϕ=+的图像向左平移2π个单位,若所得图像与原图像重合,则ω的值不可能等于( )A .4B .6C .8D .12 【答案】B【解析】因为将函数()()sin f x x ωϕ=+的图象向左平移2π个单位.若所得图象与原图象重合,所以2π是已知函数周期的整数倍,即22πωπ=⋅k (Z k ∈),解得k 4=ω(Z k ∈),A,C,D 正确.故选B .3.【2017山东潍坊高三上学期期中联考】为了得到函数sin 2y x =的图象,只需将函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象( )A .向左平移8π个单位 B .向右平移8π个单位 C .向左平移4π个单位 D .向右平移4π个单位【答案】A4.【2017山东省枣庄市2017届高三上学期期末】已知函数()()cos 0f x x ωω=>,将()y f x =的图象向右平移3π个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值为( )A .3B .6 C. 9 D .12 【答案】B【解析】将()y f x =的图象向右平移3π个单位长度,得cos ()cos()33y x x ωωωππ=-=-,又因为所得的图象与原图象重合,所以23k ωπ-=π,即6k ω=()k Z ∈,所以ω=65.【2017辽宁盘锦市高中11月月考】已知函数()3sin(2)3f x x π=-,则下列结论正确的是( )A .导函数为'()3cos(2)3f x x π=-B .函数()f x 的图象关于直线2x π=对称C .函数()f x 在区间5(,)1212ππ-上是增函数D .函数()f x 的图象可由函数3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度得到【答案】C【解析】()⎪⎭⎫⎝⎛-='32cos 6πx x f ,故A 错误;B .当2π=x 时,()33sin 3322sin 3±≠=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=πππx f ,不是最值,故()f x 的图象关于直线2x π=不对称,故B 错误;C .当12512ππ<<-x 时,2322πππ<-<-x ,则x y sin =在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ上单调递增函数,故C 正确;D .函数3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度得到⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=322sin 332sin 3ππx x y ,则不能得到函数()x f 的图象,故D 错误,故选C. 6.【2017山西运城上学期期中】把函数sin y x =的图象上所有点的横坐标都缩短到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图象向右平移6π个单位,这是对应于这个图象的解析式为( )A .sin(2)3y x π=- B .sin(2)6y x π=-C .1sin()23y x π=-D .1sin()26y x π=-【答案】A【解析】函数sin y x =的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,可以得到函数sin 2y x =的图象,再把图象向右平移6π个单位,以得到函数sin 2sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象.故选A7.(2016届湖北武汉华中师大第一附中高三上期中)函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如图所示,为了得到()cos g x A x ω=-的图象,可以将()f x 的图象( )A .向右平移12π个单位长度B .向右平移512π个单位长度C .向左平移12π个单位长度D .向左平移512π个单位长度【答案】B8.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像,可以将函数x y 3sin 2=的图像( )A.向右平移4π个单位 B .向左平移4π个单位 C .向右平移12π个单位 D .向左平移12π个单位 【解析】y =sin 3x +cos 3xsin (3x +4π)sin 3(x +12π),故需将ysin 3x 的图象向左平移12π【答案】D9.将函数()y f x =的图象按向量,212a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 平移后,得到函数()sin 226g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象,则函数()f x 的解析式为( )A .sin 2y x =B .sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C .sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D .sin 212y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A【解析】将函数()y f x =的图象按向量,212a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移后,得到函数()sin 226g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象,即函数()y f x =的图象可以由函数()y g x =的图象向右平移12π个单位,再向下平移2个单位.即()sin[2()]22126f x x ππ=-++-即可得()sin 2f x x =.故选A .10.函数)2||,0,0)(sin()(πφωφω<>>+=A x A x f 的部分图象如图示,则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后,得到的图象解析式为( )A .x y 2sin =B .x y 2cos =C .)322sin(π+=x yD .)62sin(π-=x y 【答案】D11.【2017湖北孝感高三上学期第一次联考】将函数()()1sin 22f x x ϕ=+的图象向左平移6π个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象关于3x =π对称,则ϕ的最小值为( )A .12πB .6π C. 3πD .56π【答案】B 【解析】)2sin(21)(ϕ+=x x f 向左平移6π个单位后得到)32sin(21)6(ϕππ++=+x x f ,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到)3sin(21)621(ϕππ++=+x x f ,此函数图象关于3π=x 对称,所以令3π=x ,得1)32sin()33sin(±=+=++ϕπϕππ,所以ππϕπk +=+232,得Z k k ∈+-=,6ππϕ,则ϕ的最小值为6π.12.将函数()sin 2f x x =的图像向右平移π02ϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图像,若对满足()()122f x g x -=的1x ,2x ,有12minπ3x x -=,则ϕ=( ). A.5π12B.π3C.π4D.π6 【答案】D【解析】依题意()f x 向右平移ϕ个单位后,得到)22sin()(ϕ-=x x g ,又因为 2|)()(|21=-x g x f ,所以不妨设1π22π2x k =+,2π222π2x m ϕ-=-+, 所以12π()π2x x k m ϕ-=-+-. 又因为12min π3x x -=,所以πππ236ϕϕ-=⇒=.故选D.13.(2016届江西省南昌二中高三上第三次考试)将函数()sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移4π个单位长度得到sin y x =的图象,则()6f π= .14.【2017浙江杭州地区重点中学高三上学期期中】将函数5()sin()6f x x π=+图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),再把得到的图象向右平移3π个单位,得到的新图像的函数解析式为()g x = ,()g x 的单调递减区间是 . 【答案】sin(2)6x π+;2(,)63k k ππππ++,k Z ∈ 【解析】将函数5()sin()6f x x π=+图象上各点横坐标缩短到原来的12倍,得5sin(2)6y x π=+,再把得图象向右平移3π个单位,得5()sin[2()]sin(2)366g x x x πππ=-+=+;由222262k x k ππ3ππ+≤+≤π+,即63k x k π2ππ+≤≤π+()k Z ∈,所以()g x 的单调递减区间是2(,)63k k ππππ++()k Z ∈. 15.【2017江苏徐州丰县民族中学高三上学期第二次月考】如图所示函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >,0ω>,||2πϕ<)的部分图像,现将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后,得到函数()y g x =的图象,则函数()g x 的解析式为 .【答案】sin(2)6x π-16.【2017广西南宁、梧州高三毕业班摸底联考】函数()()2sin 0 22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭,的部分图象如图3所示,则()f x 的图象可由函数()2sin g x x ω=的图象至少向右平移 个单位得到.【答案】6π【解析】由图象可得,354123T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,解得T π=,由2T ππω==得2ω=. 因为图象过点5 212π⎛⎫⎪⎝⎭,,所以52sin 2212πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭, 则5262k ππϕπ+=+,得()=23k k Z πϕπ-+∈,由22ππϕ-<<,得3πϕ=-, ()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以将()2sin 2g x x =的图象向右平移6π个单位得到函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.17.【2017中原名校高三上学期第三次质量考评】已知函数()2332cos 2sin cos 232f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求函数()f x 的单调递减区间;(2)将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度,个单位长度,得到函数()g x 的图像,求当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,函数()g x 的值域.【答案】(1)()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦;(2).(2)将函数()f x 的图像向右平移3π个单位长度,得到函数23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,,得到()23g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象.因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,所以sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以()g x ∈即函数()g x 的值域为.18.已知向量a m x (,cos 2)= ,b x n (sin 2,)= ,函数f (x )=a b ⋅ ,且y =f (x )的图象过点(12π和点2(,2)3π-. (1)求m ,n 的值;(2)将y =f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y =g (x )的图象,若y =g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y =g (x )的单调递增区间.【答案】(1)m ,n =1;(2)[kπ-2π,kπ],k ∈Z .【解析】试题分析:(1)利用数量积列出等式,利用图象经过已知两点,可解出m ,n 的值;(2)设出平移后的最高点,利用最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求出最高点的坐标,进而解得平移量,求出单调区间.试题解析:(1)由题意知,f (x )=a ·b =msin 2x +ncos 2x . 因为y =f (x )的图像过点(12π)和点(23π,-2),所以sin cos 66442sin cos33m n m n ππππ=+⎨⎪-=+⎪⎩即12122m n =+⎨⎪-=-⎪⎩ 解得mn =1.(2)由(1)知f (x )2x +cos 2x =2sin (2x +6π)由题意知,g (x )=f (x +φ)=2sin (2x +2Φ+6π)设y =g (x )的图像上符合题意的最高点为(x 0,2). 由题意知,x 02+1=1,所以x 0=0,即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2). 将其代入y =g (x )得,sin (2Φ+6π)=1.因为0<φ<π,所以φ=6π.因此,g (x )=2sin (2x +2π)=2cos 2x .由2kπ-π≤2x ≤2kπ,k ∈Z 得kπ-2π≤x ≤kπ,k ∈Z ,所以函数y =g (x )的单调递增区间为[kπ-2π,kπ],k ∈Z .19.已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π,且0)4(=πf ,将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像. (1)求函数()f x 与()g x 的解析式; (2)是否存在0(,)64x ππ∈,使得)6(),(),(00πf xg x f 按照某种顺序成等差数列?若存在,请求出0x 的值,若不存在,说明理由;(3)求实数a 与正整数n ,使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点.【答案】(1)x x g sin )(=;(2)假设存在,当)4,6(ππ∈x 时,22sin 21<<x ,212cos 0<<x ,又21)6(=πf ,则)()6()(00x f f xg >>π,所以2)()(00=+x f x g )6(πf ,即12cos sin 00=+x x ,化简得0sin 0=x 或21sin 0=x 与22sin 210<<x 矛盾,所以不存在0(,)64x ππ∈,使得)6(),(),(00πf xg x f 按照某种顺序成等差数列;(3)1±=a ,1342=n . 【解析】(1)由函数)sin()(ϕω+=x A x f 的周期为π可得,2=ω,又由0)4(=πf ,πϕ<<0得2πϕ=,所以x x f 2cos )(=;将函数)(x f 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(保持纵坐标不变)后可得x y cos =的图像,再将x y cos =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数x x g sin )(=.(2)假设存在,当)4,6(ππ∈x 时,22sin 21<<x ,212cos 0<<x ,又21)6(=πf ,则 )()6()(00x f f x g >>π,所以2)()(00=+x f x g )6(πf ,即12cos sin 00=+x x ,化简得0sin 0=x 或21sin 0=x 与22sin 210<<x 矛盾,所以不存在0(,)64x ππ∈,使得)6(),(),(00πf xg x f 按照某种顺序成等差数列.20.已知函数()sin 2cos 2()f x a b x c x x R =++∈的图像过点(0,1),(,1)4A B π,且b >0,又()f x的最大值为1.(1)将()f x 写成含sin()(0)A ωx φωφπ+><,0<的形式;(2)由函数y =()f x 图像经过平移是否能得到一个奇函数y =()g x 的图像?若能,请写出平移的过程;若不能,请说明理由.【答案】(1)())14f x x π=+-;(2)能,过程见解析.【解析】(1)()sin 2cos 2)(tan )bf x a b x c x a x c ϕϕ=++=++=,由题意,可得111a c a b a ⎧+=⎪+=⎨⎪=-⎩,解得122a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩,所以()12sin 2cos 2f x x x =-++,()12sin 2cos 2)14f x x x x π=-++=+-. (2)将()f x 的图像向上平移1个单位得到函数())4f x x π=+的图像,再向右平移8π单位得到2y x =的图像,而函数y x =为奇函数,故将()f x 的图像先向上平移1个单位,再向右平移8π单位就可以得到奇函数y =()g x 的图像.。

2018届人教B版(理) 数列、三角函数、立体几何、导数 检测题

2018届人教B版(理)  数列、三角函数、立体几何、导数       检测题

单元测试考生注意:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页.2.答卷前,考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上.3.本次考试时间120分钟,满分150分. 4.请在密封线内作答,保持试卷清洁完整.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图所示的Venn 图中,A ,B 是非空集合,定义A *B 表示阴影部分的集合.若x ,y ∈R ,A ={x |y =2x -x 2},B ={y |y =3x ,x >0},则A *B 等于( ) A .(2,+∞) B .[0,1)∪(2,+∞) C .[0,1]∪(2,+∞)D .[0,1]∪[2,+∞)2.(2016·南昌调研)“x >1”是“1x <1”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件3.函数y =|x |(1-x )在区间A 上是增加的,那么区间A 是( ) A .(-∞,0) B .[0,12] C .[0,+∞) D .(12,+∞)4.(2016·大同质检)已知f (x )为偶函数,当x ≥0时,f (x )=⎩⎨⎧cos πx ,x ∈[0,12],2x -1,x ∈(12,+∞),则不等式f (x -1)≤12的解集为( )A .[14,23]∪[43,74]B .[-34,-13]∪[14,23]C .[13,34]∪[43,74]D .[-34,-13]∪[13,34]5.在三棱锥P -ABC 中,P A ⊥平面ABC ,AC ⊥BC ,D 为侧棱PC 上的一点,它的主视图和左视图如图所示,则下列命题正确的是( )A .AD ⊥平面PBC 且三棱锥D -ABC 的体积为83B .BD ⊥平面P AC 且三棱锥D -ABC 的体积为83C .AD ⊥平面PBC 且三棱锥D -ABC 的体积为163D .BD ⊥平面P AC 且三棱锥D -ABC 的体积为1636.(2016·济宁模拟)设等差数列{a n }的前n 项和是S n ,若-a m <a 1<-a m +1(m ∈N +且m ≥2),则必定有( ) A .S m >0,且S m +1<0 B .S m <0,且S m +1>0 C .S m >0,且S m +1>0D .S m <0,且S m +1<07.(2016·黄山联考)设函数f (x )=3cos(2x +φ)+sin(2x +φ)(|φ|<π2),且其图像关于直线x =0对称,则( )A .y =f (x )的最小正周期为π,且在(0,π2)上是增加的B .y =f (x )的最小正周期为π,且在(0,π2)上是减少的C .y =f (x )的最小正周期为π2,且在(0,π4)上是增加的D .y =f (x )的最小正周期为π2,且在(0,π4)上是减少的8.(2017·昆明统考)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若△ABC 的面积为S ,且2S =(a +b )2-c 2,则tan C 等于( ) A.34 B.43 C .-43 D .-349.设1<x <2,则ln x x ,(ln x x )2,ln x 2x 2的大小关系是( )A .(ln x x )2<ln x x <ln x 2x 2B.ln x x <(ln x x )2<ln x 2x 2 C .(ln x x )2<ln x 2x 2<ln x xD.ln x 2x 2<(ln x x )2<ln x x10.(2016·滨州一模)若对任意的x >1,x 2+3x -1≥a 恒成立,则a 的最大值是( )A .4B .6C .8D .1011.若f (x )=x 2+2ʃ10f (x )d x ,则ʃ10f (x )d x 等于( )A .-1B .-13 C.13D .112.(2017·陕西千阳中学质检)已知f 1(x )=(x 2+2x +1)·e x ,f 2(x )=[f 1(x )]′,f 3(x )=[f 2(x )]′,…,f n +1(x )=[f n (x )]′,n ∈N +.设f n (x )=(a n x 2+b n x +c n )e x ,则c 100等于( ) A .9 903 B .9 902 C .9 901 C .9 900第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.(2016·福州质检)在△ABC 中,AR →=2RB →,CP →=2PR →,若AP →=mAB →+nAC →,则m +n =________.14.在算式“4×△+1×○=30”中的△,○中,分别填入两个正整数,使它们的倒数和最小,则这两个数构成的数对(△,○)应为________.15.棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O 的表面上,E 、F 分别是棱AA 1、DD 1的中点,则直线EF 被球O 截得的线段长为________.16.已知函数f (x )=1-x ax +ln x ,若函数f (x )在[1,+∞)上是增加的,则正实数a 的取值范围为________.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,-π2<φ<π2,x ∈R )的部分图像如图所示. (1)求函数y =f (x )的解析式;(2)当x ∈[-π,-π6]时,求f (x )的取值范围.18.(12分)已知数列{a n }是递增的等差数列,a 2,a 4是方程x 2-5x +6=0的根. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{a n2n }的前n 项和.19.(12分)(2016·江西上饶重点中学第二次联考)已知向量a =(sin x ,34),b =(cos x ,-1). (1)当a ∥b 时,求cos 2x -sin 2x 的值;(2)设函数f (x )=2(a +b )·b ,已知在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a =3,b =2,sin B =63,求f (x )+4cos(2A +π6)(x ∈[0,7π24])的取值范围.20.(12分)(2016·景德镇质检)在等腰直角三角形ABC 中(图1),斜边BC =6,O 为BC 中点,E ,F 分别在OC 和AC 上,且EF ∥AO ,现将三角形以EF 为折痕,向上折成60°的二面角,且使C 在平面ABEF 内的投影恰好为O 点(图2). (1)求V C -ABEF ;(2)求平面CEF 和平面CAB 夹角的余弦值.21.(12分)(2016·合肥质检)已知△ABC 的三边长AB =13,BC =4,AC =1,动点M 满足CM →=λCA →+μCB →,且λμ=14.(1)求|CM →|最小值,并指出此时CM →与C A →,C B →的夹角;(2)是否存在两定点F 1,F 2,使||MF 1→|-|MF 2→||恒为常数k ?若存在,指出常数k 的值,若不存在,说明理由.22.(12分)(2016·潍坊一中期初考试)已知函数f (x )=x +1e x (e 为自然对数的底数). (1)求函数f (x )的最大值;(2)设函数φ(x )=xf (x )+tf ′(x )+1e x ,存在实数x 1,x 2∈[0,1],使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立,求实数t 的取值范围.答案解析1.C [A ={x |0≤x ≤2},B ={y |y >1}, 故A ∪B ={x |x ≥0},A ∩B ={x |1<x ≤2}, 由题图可知,A *B ={x |x ∈A 或x ∈B 且x ∉A ∩B } ={x |0≤x ≤1或x >2}.]2.A [当x >1时,1x <1,当1x <1时,x >1或x <0,所以“x >1”是“1x<1”的充分不必要条件.]3.B [y =|x |(1-x )=⎩⎪⎨⎪⎧x (1-x ),x ≥0,-x (1-x ),x <0=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+x ,x ≥0,x 2-x ,x <0=⎩⎨⎧-(x -12)2+14,x ≥0,(x -12)2-14,x <0.画出函数的图像,如图.由图易知原函数在[0,12]上是增加的.故选B.]4.A [借助偶函数的性质,先解不等式f (x )≤12,再利用图像的平移知识解不等式f (x -1)≤12.当x ∈[0,12]时,由cos πx ≤12,得13≤x ≤12;当x ∈(12,+∞)时,由2x -1≤12,得12<x ≤34;所以不等式f (x )≤12(x ≥0)的解为13≤x ≤12或12<x ≤34,即13≤x ≤34.由于偶函数的图像关于y 轴对称,则在函数的定义域内, 不等式f (x )≤12的解为-34≤x ≤-13或13≤x ≤34.函数f (x -1)的图像可以看作由f (x )的图像向右平移1个单位得到的,故不等式f (x )≤12的解为14≤x ≤23或43≤x ≤74,即解集为[14,23]∪[43,74].] 5.C [∵P A ⊥平面ABC ,∴P A ⊥BC ,又AC ⊥BC ,P A ∩AC =A , ∴BC ⊥平面P AC ,∴BC ⊥AD ,又由三视图可得在△P AC 中,P A =AC =4,D 为PC 的中点, ∴AD ⊥PC ,∴AD ⊥平面PBC .又BC =4,∠ADC =90°,BC ⊥平面P AC . 故V D -ABC =V B -ADC =13×12×22×22×4=163.]6.A [因为-a m <a 1<-a m +1,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a m >0,a 1+a m +1<0.易得S m =a 1+a m 2·m >0,S m +1=a 1+a m +12·(m +1)<0.]7.B [∵f (x )=3cos(2x +φ)+sin(2x +φ)=2sin(2x +π3+φ),且其图像关于x =0对称,∴f (x )是偶函数, ∴π3+φ=π2+k π,k ∈Z . 又∵|φ|<π2,∴φ=π6,∴f (x )=2sin(2x +π3+π6)=2cos 2x .易知f (x )的最小正周期为π,在(0,π2)上是减少的.]8.C [因为2S =(a +b )2-c 2=a 2+b 2-c 2+2ab ,则结合面积公式与余弦定理,得ab sin C =2ab cos C +2ab ,即sin C -2cos C =2,所以(sin C -2cos C )2=4, sin 2C -4sin C cos C +4cos 2Csin 2C +cos 2C=4,所以tan 2C -4tan C +4tan 2C +1=4,解得tan C =-43或tan C =0(舍去),故选C.] 9.A [方法一 令f (x )=x -ln x (1<x <2), 则f ′(x )=1-1x =x -1x >0,∴函数y =f (x )在(1,2)上是增加的, ∴f (x )>1>0,∴x >ln x >0⇒0<ln xx <1,∴(ln x x )2<ln x x.又ln x 2x 2-ln x x =2ln x -x ln x x 2=(2-x )ln x x 2>0,∴(ln x x )2<ln x x <ln x 2x2,故选A.方法二 ∵1<x <2,∴0<ln x x <1,∴(ln x x )2<ln x x ,又ln x 2x 2=2x ·ln x x >ln xx ,∴(ln x x )2<ln x x <ln x 2x2.]10.B [a ≤x 2+3x -1对x ∈(1,+∞)恒成立,即a ≤(x 2+3x -1)min ,x 2+3x -1=(x -1)2+2(x -1)+4x -1=(x -1)+4x -1+2,∵x >1,∴(x -1)+4x -1+2≥2(x -1)·4x -1+2=6,当且仅当x -1=4x -1,即当x =3时取“=”,∴a ≤6,∴a 的最大值为6,故选B.] 11.B [因为f (x )=x 2+2ʃ10f (x )d x ,所以ʃ10f (x )d x =(13x 3+2x ʃ10f (x )d x )|10=13+2ʃ10f (x )d x , 所以ʃ10f (x )d x =-13.] 12.C [∵f 1(x )=(x 2+2x +1)e x , ∴f 2(x )=[f 1(x )]′=(x 2+4x +3)e x , f 3(x )=[f 2(x )]′=(x 2+6x +7)e x , f 4(x )=[f 3(x )]′=(x 2+8x +13)e x , ∴数列{c n }为1,3,7,13,…, ∵1=(1-1)×1+1, 3=(2-1)×2+1, 7=(3-1)×3+1, 13=(4-1)×4+1, ∴c n =n (n -1)+1=n 2-n +1.∴C 100=1002-100+1=9 901.] 13.79解析 由CP →=2PR →,得AP →-AC →=2(AR →-AP →),得AP →=13(AC →+2AR →).又由AR →=2RB →,得AR →=2(AB →-AR →),得AR →=23AB →,故AP →=13AC →+49AB →,所以m +n =79.14.(5,10)解析 设数对为(a ,b ),则4a +b =30, 所以1a +1b =130(1a +1b )(4a +b )=130(5+b a +4a b )≥130(5+2 b a ·4a b )=310,当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b a =4a b ,4a +b =30,即⎩⎪⎨⎪⎧a =5,b =10时等号成立,所以满足题意的数对为(5,10). 15.2a 解析因为正方体内接于球, 所以2R =a 2+a 2+a 2, R =32a , 过球心O 和点E 、F 的大圆的截面图如图所示, 则直线被球截得的线段为QR , 过点O 作OP ⊥QR 于点P , 所以在△QPO 中,QR =2QP =2 (32a )2-(12a )2 =2a .16.[1,+∞)解析 ∵f (x )=1-x ax+ln x , ∴f ′(x )=ax -1ax 2(a >0). ∵函数f (x )在[1,+∞)上是增加的,∴f ′(x )=ax -1ax 2≥0在x ∈[1,+∞)上恒成立, ∴ax -1≥0在x ∈[1,+∞)上恒成立,即a ≥1x在x ∈[1,+∞)上恒成立,∴a ≥1. 17.解 (1)由题图得A =1,T 4=2π3-π6=π2, 所以T =2π,则ω=1,将(π6,1)代入得1=sin(π6+φ), 因为-π2<φ<π2,所以φ=π3, 因此函数f (x )=sin(x +π3). (2)由于x ∈[-π,-π6],则-2π3≤x +π3≤π6, 所以-1≤sin(x +π3)≤12, 所以f (x )的取值范围是[-1,12]. 18.解 (1)方程x 2-5x +6=0的两根为2,3,由题意得a 2=2,a 4=3.设数列{a n }的公差为d ,则a 4-a 2=2d ,故d =12,从而a 1=32. 所以{a n }的通项公式为a n =12n +1. (2)设{a n 2n }的前n 项和为S n ,由(1)知a n 2n =n +22n +1, 则S n =322+423+…+n +12n +n +22n +1, 12S n =323+424+…+n +12n +1+n +22n +2. 两式相减得12S n =34+(123+…+12n +1)-n +22n +2 =34+14(1-12n -1)-n +22n +2. 所以S n =2-n +42n +1. 19.解 (1)∵a ∥b ,∴34cos x +sin x =0,得tan x =-34, cos 2x -sin 2x =cos 2x -2sin x cos x sin 2x +cos 2x =1-2tan x 1+tan 2x =85. (2)f (x )=2(a +b )·b=2sin x cos x +2cos 2x +12=sin 2x +cos 2x +32=2sin(2x +π4)+32. 由正弦定理a sin A =b sin B ,得sin A =22, ∴A =π4或A =3π4. ∵b >a ,∴B >A ,∴A =π4. ∴f (x )+4cos(2A +π6)=2sin(2x +π4)-12. ∵x ∈∈[0,7π24], ∴2x +π4∈[π4,5π6], ∴sin(2x +π4)∈[12,1], ∴2-12≤f (x )+4cos(2A +π6)≤2-12. 故f (x )+4cos(2A +π6)的取值范围为 [2-12,2-12]. 20.解 (1)设OE =a ,则CE =2a ,又OE +CE =3,∴a =1,CO =3,S 四边形ABEF =7,∴V C -ABEF =13OC ·S ABEF =733. (2)分别以OA ,OB ,OC 为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则A (3,0,0),B (0,3,0),C (0,0,3),E (0,-1,0),F (2,-1,0),EF →=(2,0,0),EC →=(0,1,3),CA →=(3,0,-3), CB →=(0,3,-3),设n 为平面CEF 的法向量,m 为平面ABC 的法向量,⎩⎪⎨⎪⎧ n ·EF →=0,n ·EC →=0⇒n =(0,-3,1)为平面CEF 的一个法向量, ⎩⎪⎨⎪⎧ m ·CA →=0,m ·CB →=0⇒m =(1,1,3)为平面ABC 的一个法向量. cos θ=|m ·n ||m ||n |=0. 即平面CEF 和平面CAB 夹角的余弦值为0.21.解 (1)由余弦定理知cos ∠ACB =12+42-132×1×4=12 ⇒∠ACB =π3, 因为|CM →|2=CM →2=(λC A →+μC B →)2 =λ2+16μ2+2λμC A →·C B →=λ2+1λ2+1≥3, 所以|CM →|≥3,当且仅当λ=±1时,“=”成立,故|CM →|的最小值是3,此时〈CM →,C A →〉=〈CM →,C B →〉=π6或5π6. (2)以C 为坐标原点,∠ACB 的平分线所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系如图所示, 所以A (32,12),B (23,-2),设动点M (x ,y ),因为CM →=λC A →+μC B →, 所以⎩⎨⎧ x =32λ+23μ,y =12λ-2μ⇒⎩⎨⎧ x 23=(λ2+2μ)2,y 2=(λ2-2μ)2,再由λμ=14知x 23-y 2=1, 所以动点M 的轨迹是以F 1(-2,0),F 2(2,0)为焦点,实轴长为23的双曲线,即||MF 1→|-|MF 2→||恒为常数23,即存在k =2 3.22.解 (1)函数f (x )的定义域为R ,f ′(x )=-x ex . 当x <0时,f ′(x )>0;当x >0时,f ′(x )<0,所以f (x )在(-∞,0)上是增加的,在(0,+∞)上是减少的. 因此,f (x )在x =0处取得极大值,也是最大值,最大值为f (0)=1.(2)由题意,存在x 1,x 2∈[0,1],使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立, 即2φ(x )min <φ(x )max .因为φ(x )=xf (x )+tf ′(x )+1e x =x 2+(1-t )x +1e x,x ∈[0,1], 所以φ′(x )=-x 2+(1+t )x -t e x =-(x -1)(x -t )e x. ①当t ≥1时,φ′(x )≤0,φ(x )在[0,1]上是减少的,所以2φ(1)<φ(0),即t >3-e 2>1,符合题意. ②当t ≤0时,φ′(x )≥0,φ(x )在[0,1]上是增加的, 所以2φ(0)<φ(1),即t <3-2e<0,符合题意.③当0<t <1时,若x ∈[0,t ),φ′(x )<0,φ(x )在[0,t )上是减少的;若x ∈(t,1],φ′(x )>0,φ(x )在(t,1]上是增加的.所以2φ(t )<max{φ(0),φ(1)},即2×t +1e t <max{1,3-t e}.(*)由(1)知,函数g (t )=2·t +1e t 在[0,1]上是减少的, 故4e ≤2·t +1e t ≤2,而2e <3-t e <3e, 所以不等式(*)无解.综上所述,t 的取值范围为(-∞,3-2e)∪(3-e 2,+∞).。

2018届人教B版 三角函数的图象与性质 单元测试

2018届人教B版   三角函数的图象与性质  单元测试

【名师精讲指南篇】【高考真题再现】1.【2013⋅新课标全国】设当x =θ时,函数f (x )=sin x -2cos x 取得最大值,则cosθ=______【答案】;【解析】cosθ== 2.【2013⋅新课标全国】函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为( )【答案】C ;3.【2014全国1高考理】如图,图O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数)(x f ,则],0[)(π在x f y =的图像大致为( )xy1Oxy1OA BCD【答案】CP OAM D POAM D4.【2014高考全国1卷文】在函数①|2|cos x y =,②|cos |x y = ,③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中,最小正周期为π的所有函数为( ) A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 【答案】A【解析】①中函数是一个偶函数,其周期与cos 2y x =相同,22T ππ==;②中函数|cos |x y =的周期是函数cos y x =周期的一半,即T π=; ③22T ππ==; ④2T π=,则选A .5.【2015全国1理问】函数()()cos f x x ωϕ=+的部分图像如图所示,则()f x 的单调递减区间为( ).A .13,44k k ⎛⎫π-π+ ⎪⎝⎭,k ∈Z B .132,244k k ⎛⎫π-π+ ⎪⎝⎭,k ∈Z C .13,44k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,k ∈Z D .132,244k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,k ∈Z 【答案】D【名题精选练兵篇】1.【2016届湖北省龙泉中学等校高三9月联考】将函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后,所得函数()g x 的图象关于原点对称,则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为( ) A .12-B .12C .D【答案】C【解析】将函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后,所的函数解析式为)32sin()(ϕπ++=x x g ,此函数关于原点对称,即)()(x g x g -=-,将解析式代入其中,利用三角恒等变换可求得30)3sin(πϕϕπ-=⇒=+,则)32sin()(π-=x x f 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为,所以本题的正确选项为C. 2.【2016届陕西省西北工大附中高三第四次适应性考试】要得到函数cos 2y x =的图像,只需将函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像沿x 轴( ) A .向左平移12π个单位 B .向左平移6π个单位C .向右平移6π个单位D .向右平移12π个单位【答案】A3.【2016届河南省洛阳市一中高三下学期第二次模拟】已知函数2sin y x =的定义域为[,]a b ,值域为[2,1]-,则b a -的值不可能是( )A.56π B.π C. 76πD.2π 【答案】D【解析】当2sin 1y x ==时,1sin 2x =,所以可令6b π=,又函数的最小值为2,所以762a ππ-≤≤-,所以2433b a ππ≤-≤,所以选项D 不可能,故选D. 4.【2016届河南省洛阳市一中高三下学期第二次模拟】已知函数①sin ,y x x =⋅②cos y x x =⋅,③cos y x x =⋅,④2xy x =⋅的部分图象如下,但顺序被打乱,则按照图象从左到右的顺序,对应的函数序号正确的一组是( ).A ①④②③ .B ①④③② .C ④①②③ .D ③④②①【答案】A 【解析】函数sin y x x =是偶函数,所以对应图象应为第一个图象;函数cos y x x =是奇函数,且当在区间(0,)+∞函数值有正有负,对应图象为第3个函数图象;函数cos y x x =是奇函数,且当在区间(0,)+∞函数值0y ≥,所以对应图象为第4个图象;当0x <时,20x y x =⋅<,当0x >时,20x y x =⋅>,所以函数2x y x =⋅的图象为第2个,故选A.5.【2016届河北省邯郸一中高三下第一次模拟】已知函数()cos (sin )(0)f x x x x ωωωω=>,如果存在实数0x ,使得对任意的实数x ,都有00()()(2016)f x f x f x π≤≤+成立,则ω的最小值为( ) A .14032π B .12016π C .14032 D .12016【答案】C【解析】因为()cos (sin )(0)f x x x x ωωωω=>sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,设()f x 的最小正周期为T ,则12016,24032T πω≤∴≥,所以ω的最小值为14032,故选C. 6.【2016届四川省成都市七中高三考试】关于函数()|tan |f x x =的性质,下列叙述不正确的是( )A .()f x 的最小正周期为2πB .()f x 是偶函数C .()f x 的图象关于直线()2k x k Z π=∈对称D .()f x 在每一个区间(,)()2k k k Z πππ+∈内单调递增【答案】A7.【2016届河北省衡水中学高三下学期一模考试】若函数[])111sin 20,y x x π=-∈,函数223y x =+,则()()221212x x y y -+-的最小值为( )AB .()21872π+ C .()21812π+ D【答案】B【解析】设()()221212z x x y y =-+-,则z 的几何意义是两曲线动点之间的距离的平方,取函数[])sin 20,y x x π=-∈的导数2cos y x '=,直线3y x =+的斜率为1,由2cos 1y x '==,即cos 21x =,解得6x π=,此时sin 20y x ==,即函数在(,0)6π处的切线与3y x =+平行,则最短距离为d ()()221212x x y y -+-的最小值为()221872d π+=,故选B.8.【2016届宁夏六盘山高中高三第二次模拟考试】已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为4π,且13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,则()f x 的一个对称中心是( )A .2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭B .,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭C .2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭D .5,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A9.【2016届宁夏六盘山高中高三第二次模拟】已知()[)()cos 0,0,2y x ωϕωϕπ=+>∈的部分图象如图所示,则ϕ=( )A .32πB .4πC .74πD .0【答案】C【解析】由题意得,根据给定的图象,可知284T T =⇒=,又284x w ππ=⇒=,即cos 4y x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令1x =,则cos 112,44k k ππϕϕπ⎛⎫⨯+=⇒=-∈Z ⎪⎝⎭,又[)0,2ϕπ∈,所以令1k =,所以74πϕ=,故选C. 10.【2016届福建省厦门一中高三下学期测试】已知函数()()sin 0,0,2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象,如图所示,将函数()f x 的图象向左平移()0m m >个单位后,得到函数()g x 的图象关于点3π⎛ ⎝对称,则m 的值可能是( )A .6πB .2πC .76π D .712π 【答案】D由函数()g x 的图象关于点3π⎛ ⎝对称,可得1522,,36212m k k Z m k k Z πππππ⨯++=∈∴=-∈ 则当2k =时,712m π=,选D 11. 【江西省九江市2015年第一次高考模拟】已知函数()sin(2))f x x ϕϕπ=+<(的图象向左平移6π个单位后得到()cos(2)6g x x π=+的图象,则ϕ的值为( )A.23π-B.3π-C.3πD.23π【答案】C.【解析】由题意得()=sin[2()]6g x x πϕ++,又∵2()cos(2)=sin(2)63g x x x ππ=++, ∴2+=233k ππϕπ+,即=23k πϕπ+,k Z ∈,∵ϕπ<,∴=3πϕ,故选C. 12. 【湖北省黄冈市2015届高三上学期元月调研】将函数sin()cos()22y x x ϕϕ=++的图象沿x 轴向右平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的取值不可能...是( ) A .54π-B .4π-C .4π D .34π 【答案】C13. 【江苏省苏锡常镇四市2015届高三调研】设函数π()sin())(0,)2f x ωx φωx φωφ=++><的最小正周期为π,且满足()()f x f x -=,则函数()f x 的单调增区间为 . 【答案】π[π,π],()2k k k -+∈Z【解析】因为()sin())2sin()3πf x ωx φωx φωx φ=+++=++,所以由22ππωω=⇒=,由()()2()32f x f x k k Z -=⇒+=+∈p p j p ,因为π2φ<,所以π=,()cos 26φf x x =,由222,2πk ππx k πk πx k πk Z -≤≤⇒-≤≤∈,即函数()f x 的单调增区间为π[π,π],()2k k k -+∈Z 14. 【江苏省启东中学2015届高三下学期期初调研】设常数a 使方程 a x x =+cos 3sin 在闭区间]2,0[π上恰有三个解321,,x x x ,则=++321x x x ▲ . 【答案】37π;【解析】a x x x x x =+=+=+)3sin(2)cos 23sin 21(2cos 3sin π,直线与三角函数图象的交点,在]2,0[π上,当3=a 时,直线与三角函数图象恰有三个交点,令32323)3sin(ππππ+=+⇒=+k x x 或)(3223Z k k x ∈+=+πππ,即πk x 2=或)(32Z k k x ∈+=ππ,∴此时ππ2,3,0321===x x x ,37321π=++∴x x x . 15.已知函数()sin(2)()2f x x x R π=-∈下列结论错误的是( )A .函数()f x 的最小正周期为πB .函数()f x 是偶函数C .函数()f x 的图象关于直线4x π=对称D .函数()f x 在区间[0,]2π上是增函数【答案】C16. 【辽宁省朝阳市三校协作体2015届高三下学期开学联考】设函数()11sin 222f x x x πθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,且其图像关于y 轴对称,则函数()y f x =的一个单调递减区间是 ( ).A 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ .B ,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ .C ,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ .D 3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【名师原创测试篇】1. 若函数22()sin 6sin cos 3cos (0)f x x x x x ωωωωω=--+>的最小正周期为2π,若对任意x R ∈,都有()1()1f x f α-≤-,则tan α的值为A.32- B.23- C.32 D. 23【答案】A【解析】由已知=--+=--=12sin 3)2cos 1(21cos sin 6cos 4)(2x x x x x x f ωωωωω1)2cos(1312sin 32cos 2++=+-θωωωx x x ,此时132cos =θ,133sin =θ,因最小正周期为2π,故21=ω,又对任意x R ∈,都有()1()1f x f α-≤-,所以1)(-αf 应为1)(-x f 的最值,即⇒±=+=-13)cos(131)(θααf πθαk =+,所以tan α23cos sin tan )tan(-=-=-=-=θθθθπk 2.已知函数⎪⎭⎫⎝⎛<>+=2,0)sin()(πϕωϕωx x f 的最小正周期是π,若其图像向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数,则函数)(x f y =的图像 ( )A.关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,12π对称 B.关于直线12π=x 对称 C.关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,125π对称 D.关于直线125π=x 对称 【答案】C【解析】根据最小正周期为π,知:2ω=,将()()sin 2f x x ϕ=+图像向右平移3π个单位得到2sin 2sin 233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为奇函数,所以()23k k Z πϕππ-=+∈,解得:()53k k Z πϕπ=+∈,因为2πϕ<,只有当1k =-时,3πϕ=-符合题意,所以()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,根据三角函数的性质可知5012f π⎛⎫=⎪⎝⎭,所以C 正确.3.已知函数()sin()f x A x x R ωϕ=+∈,(其中0022A ππωϕ>>-<<,,),其部分图像如下图所示,将()f x 的图像纵坐标不变,横坐标变成原来的2倍,再向右平移1个单位得到()g x 的图像,则函数()g x 的解析式为()A.()sin(1)2g x x π=+ B.()sin (1)8g x x π=+ C.()sin(1)2g x x π=+D.()sin(1)8g x x π=+【答案】B4.函数()|sin |2|cos |f x x x =+的值域为( )A .[1,2]B .C .D . 【答案】D 【解析】∵()|sin()|2|cos()||sin |2|cos ||sin |2|cos |f x x x x x x x πππ+=+++=-+-=+, ∴()f x 为周期函数,其中一个周期为T π=,故只需考虑()f x 在[0,]π上的值域即可, 当[0,]2x π∈时,()sin 2cos )f x x x x α=+=+,其中cos α=,sin α=,∴max ()()2f x f πα=-=,()()12f x f π>=,当[,]2x ππ∈时,()sin 2cos )f x x x x β=-=+,cos β=sin β=,∴max ()()2f x f πβ=-=min ()()12f x f π==,∴()f x的值域为.5. 已知函数y =sinωx (ω>0)在区间[0,2π]上为增函数,且图象关于点(3π,0)对称,则ω的取值集合为 . 【答案】12{,1}33,【解析】由题意知,223=k ππωωππ⎧≥⎪⎨⎪⎩即013k ωω<≤⎧⎪⎨=⎪⎩,其中k Z ∈,则ω的取值集合为12{,1}33,6. 设偶函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示,0MK ML ⋅= , ||1KL =,则1()6f 的值为( )A. B .14- C .12- D【答案】D6.已知函数[]sin,0,2()1(2),(2,)2x xf xf x xπ⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩,()()ln1g x x=-求函数()()()h x f x g x=-的零点个数()A.2 B. 3 C.4 D.5 【解析】C。

2018届人教B版 三角函数、三角恒等变换、解三角形 检测卷

2018届人教B版    三角函数、三角恒等变换、解三角形   检测卷

第三章 综合过关规范限时检测(时间:120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.(2016·辽宁沈阳模拟)若角α的终边过点P (2cos120°,2sin225°),则sin α= ( D ) A .-32B .-12C .22D .-22[解析] 由于cos120°=-12,sin225°=sin(180°+45°)=-sin45°=-22,所以P (-1,-1),r =|OP |=2,所以sin α=y r =-22,故选D .2.(2017·新疆兵团农二师华山中学期末数学试题)若点(a,9)在函数y =3x 的图象上,则tan a π6的值为 ( D ) A .0 B .33C .1D . 3[解析] 先将点代入到解析式中,解出a 的值,再根据特殊三角函数值进行解答. 解:将(a,9)代入到y =3x 中,得3a =9, 解得a =2.∴tan a π6=tan π3= 3. 故选D .3.(2017·新疆生产建设第二中学高三上学期第二次数学试题)已知2sin θ=1+cos θ,则tan θ= ( B )A .-43或0B .43或0C .-43D .43[解析] ∵2sin θ=1+cos θ,∴两边平方,整理可得:5cos 2θ+2cos θ-3=0,∴解得:cos θ=-1或35,∴当cos θ=-1时,θ=2k π+π,k ∈Z 得:tan θ=0;当cos θ=35时,有sin θ=45,tan θ=43,故选B .4.(2017·黑龙江双鸭山一中期中)已知cos(α-π6)=12,则cos α+cos(α-π3)= ( C )A .12B .±12C .32D .±32[解析] cos α+cos(α-π3)=cos α+cos αcos π3+sin αsin π3=32sin α+32cos α=3sin(α+π3) =3sin(-π2+(α+π6))=3cos(α-π6)=32,故选C .5.(2016·西安模拟)若△ABC 中,cos A =513,cos B =45,则cos C 的值为 ( D )A .5665B .-5665C .-1665D .1665[解析] △ABC 中,cos A =513,cos B =45,即有sin A =1-(513)2=1213,sin B =1-(45)2=35,则cos C =-cos(A +B )=-(cos A cos B -sin A sin B )=-(513×45-1213×35)=1665,故选D .6.(2017·江西赣州十三县期中)函数y =2sin(π6-2x )(x ∈[0,π])为增函数的区间是 ( C )A .[0,π3]B .[π12,7π12]C .[π3,5π6]D .[5π6,π][解析] y =-2sin(2x -π6)由π2+2k π≤2x -π6≤3π2+2k π(k ∈Z )得π3+k π≤x ≤5π6+k π(k ∈Z ) ∴函数在[0,π]上的增区间为[π3,5π6],故选C .7.(2016·浙江嘉兴一中等高三五校联考)为了得到函数y =sin(2x -π6)的图象,可以将函数y =cos2x 的图象 ( B )A .向右平移π6B .向右平移π3C .向左平移π6D .向左平移π3[解析] 函数y =cos2x =sin(2x +π2)图象向右平移π3,得到函数y =sin(2x -π6)的图象,故选B .8.(2016·吉林大学附中模底)函数f (x )=A sin(ωx +φ)+b 的图象如图所示,则f (x )的解析式及f (0)+f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 008)的值分别为 ( C )A .f (x )=12sin2πx +1,S =2 007B .f (x )=12sin π2x +1,S =2 008C .f (x )=12sin π2x +1,S =2 009D .f (x )=12sin π2x +1,S =2 010[解析] 观察图象可知,b =1,T =4,即2πω=4,所以ω=π2,又A =12,φ=0,所以f (2)=12sin π2x +1,所以f (0)=1,f (1)=32,f (2)=1,f (3)=12,所以f (0)+f (1)+f (2)+f (3)=4,且4项为一周期,所以f (0)+f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 008)=4×502+1=2 009,故选C .9.(2016·浙江嘉兴一中等高三五校联考)已知函数f (x )=2sin(2x +π6),把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位,得到函数g (x )的图象,关于函数g (x ),下列说法正确的是 ( D )A .在[π4,π2]上是增函数B .其图象关于直线x =-π4对称C .函数g (x )是奇函数D .当x ∈[0,π3]时,函数g (x )的值域是[-1,2][解析] 由题意得, g (x )=2sin[2(x +π6)+π6]=2sin(2x +π2)=2cos2x ,A :x ∈[π4,π2]时,2x ∈[π2,π],g (x )是减函数,故A 错误;B :g (-π4)=2cos(-π2)=0,故B 错误;C :g (x )是偶函数,故C 错误;D ;x ∈[0,π3]时,2x ∈[0,2π3],值域为[-1,2],故D 正确,故选D .10.(2017·黑龙江哈三中期中)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a =2b cos C ,则△ABC 的形状是 ( C )A .等腰直角三角形B .直角三角形C .等腰三角形D .等边三角形[解析] ∵a =2b cos C ∴sin A =2sin B cos C ∴sin(B +C )=2sin B cos C ∴cos B sin C -sin B cos C =0 ∴sin(C -B )=0又-π<C -B <π,∴B =C ,故选C . 另解:∵a =2b cos C ∴a2b =cos C =a 2+b 2-c 22ab ∴b 2-c 2=0,∴b =c ,故选C .11.(2016·贵州贵阳模拟)如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内.若飞机的高度为18 km ,速度为1 000 km/h ,某时刻飞行员看到山顶的俯角为30°,经过1 min 后看到山顶的俯角为75°,则山顶的高度为(3≈1.73精确到0.1 km) ( B )A .11.4 kmB .6.6 kmC .6.5 kmD .5.6 km[解析] 因为AB =1 000×160=503(km),所以BC =AB sin45°·sin30°=5032(km).所以航线离山顶h =5032×sin75°≈11.38(km).所以山高为18-11.38≈6.6(km ).故选B .12.(2017·辽宁省葫芦岛市普通高中期末数学试题)已知△ABC 的重心为G ,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若aGA →+bGB →+33cGC →=0,则角A 为 ( A )A .π6B .π4C .π3D .π2[解析] 根据G 为三角形重心,化简已知等式,用c 表示出a 与b ,再利用余弦定理表示出cos A ,将表示出的a 与b 代入求出cos A 的值,即可确定出A 的度数.解:∵△ABC 的重心为G ,∴GA →+GB →+GC →=0,即GA →+GB →=-GC →, ∵aGA →+bGB →+33cGC →=0,∴(a -33c )GA →+(b -33c )GB →=0, ∴a -33c =0,b -33c =0,即a =33c ,b =33c , ∴cos A =b 2+c 2-a 22bc =13c 2+c 2-13c22×33c 2=32,则A =π6.故选A .二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上) 13.(2017·内蒙古包头市包钢四中期中数学试题)若角α的终边经过点P (1,-2),则tan2α的值为43.[解析] 根据角α的终边经过点P (1,-2),可先求出tan α的值,进而由二倍角公式可得答案.解:∵角α的终边经过点P (1,-2), ∴tan α=-21=-2⇒tan2α=2tan α1-tan 2α=43故答案为43.14.(2015·江苏)已知tan α=-2,tan(α+β)=17,则tan β的值为__________ 3 .[解析] tan β=tan [(α+β)-α]=tan (α+β)-tan α1+tan (α+β)tan α=17+21-27=3.15.(2016·福建模拟)一艘船以15 km/h 的速度向东航行,该船在A 处看到灯塔M 在北偏东60°方向,行驶4 h 后,船到达B 处,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时船与灯塔的距离为[解析] 如图所示,依题意有AB =15×4=60,∠MAB =30°,∠AMB =45°,在△AMB 中,由正弦定理得60sin45°=BM sin30°,解得BM =302(km).16.(2016·河北教学质量监测)设函数y =sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π,且其图象关于直线x =π12对称,则下列四个结论中:①图象关于点(π4,0)对称;②图象关于点(π3,0)对称;③在[0,π6]上是增函数;④在[-π6,0]上是增函数.正确结论的序号为②④. [解析] 因为T =π,所以ω=2.又2×π12+φ=k π+π2,所以φ=k π+π3(k ∈Z ).因为|φ|<π2,所以φ=π3,所以y =sin(2x +π3).由图象及性质可知②④正确.三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)(2016·浙江重点中学协作体第二次适应性测试)已知sin x 2-2cos x 2=0.(1)求tan x 的值; (2)求cos2x2cos (π4+x )sin x的值.[答案] (1)-43 (2)14[解析] (1)由sin x 2-2cos x 2=0,得tan x2=2,故tan x =2tanx21-tan 2x 2=2×21-22=-43. (2)原式=cos 2x -sin 2x2(22cos x -22sin x )sin x=(cos x -sin x )(cos x +sin x )(cos x -sin x )sin x=cos x +sin x sin x =1+1tan x=1-34=14.18.(本小题满分12分)(2017·湖南省衡阳市八中高三第二次月考数学试题)已知函数f (x )=tan(2x +π4).(1)求f (x )的定义域与最小正周期;(2)设α∈(0,π4),若f (α2)=2cos2α,求α的大小.[答案] (1){x |x ≠π8+k π2,k ∈Z },π2 (2)α=π12[解析] (1)利用正切函数的性质,由2x +π4≠π2+k π,k ∈Z ,可求得f (x )的定义域,由其周期公式可求最小正周期;(2)利用同三角函数间的关系式及正弦、余弦的二倍角公式,可得sin2α=12,再由α∈(0,π4),知2α∈(0,π2),从而可求得α的大小.解:(1)由2x +π4≠k π+π2,k ∈Z 得x ≠π8+k π2,k ∈Z ,所以f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠π8+k π2,k ∈Z },f (x )的最小正周期为π2.(2)由f (α2)=2cos2α,得tan(α+π4)=2cos2α,即sin (α+π4)cos (α+π4)=2(cos 2α-sin 2α),整理得:sin α+cos αcos α-sin α=2(cos α-sin α)(cos α+sin α),因为sin α+cos α≠0,所以可得(cos α-sin α)2=12,解得sin2α=12,由α∈(0,π4)得2α∈(0,π2),所以2α=π6,α=π12.19.(本小题满分12分)(2016·广东中山一中等七校联合体联考)已知函数f (x )=A sin(π3x+φ),x ∈R (其中A >0,0<φ<π2),其部分图象如图所示,P ,Q 分别为该图象的最高点和最低点,点P 的坐标为(1,A ).(1)求f (x )的最小正周期及φ的值;(2)若点R 的坐标为(1,0),∠PRQ =2π3,求A 的值.[答案] (1)6 π6(2) 3[解析] (1)由题意得,T =2ππ3=6,因为P (1,A )在y =A sin(π3x +φ)的图象上,所以sin(π3+φ)=1.又因为0<φ<π2,所以φ=π6.(2)设点Q 的坐标为(x 0,-A ),由题意可知π3x 0+π6=3π2,所以Q (4,-A ).(注:也可以根据周期求出点Q 坐标)连接PQ ,在△PRQ 中,∠PRQ =2π3,由余弦定理得cos ∠PRQ =RP 2+RQ 2-PQ 22RP ·RQ=A 2+9+A 2-(9+4A 2)2A ·9+A 2=-12,解得A 2=3.又A >0,所以A = 3.20.(本小题满分12分)(2016·北京)在△ABC 中,a 2+c 2=b 2+2ac . (1)求∠B 的大小;(2)求2cos A +cos C 的最大值. [解析] (1)由余弦定理及题设得 cos B =a 2+c 2-b 22ac =2ac 2ac =22.又0<∠B <π,所以∠B =π4.(2)由(1)知∠A +∠C =3π4,则2cos A +cos C =2cos A +cos(3π4-A )=2cos A -22cos A +22sin A =22cos A +22sin A =cos(A -π4).因为0<∠A <3π4,∴-π4<∠A -π4<π2.所以当∠A =π4时,2cos A +cos C 取得最大值1.注:2cos A +cos C =22(sin A +cos A )=sin(A +π4) ∵0<A <3π4∴π4<A +π4<π ∴当A +π4=π2即A =π4时,2cos A +cos C 已取得最大值.21.(本小题满分12分)(2017·浙江省宁波市诺丁汉大学附中高三上学期期中数学试题)已知在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且c =2,2sin A =3a cos C .(1)求角C 的大小;(2)若2sin2A +sin(2B +C )=sin C ,求△ABC 的面积.[解析] (1)由已知及正弦定理得,sin C sin A =3sin A cos C ,结合sin A >0,利用同角三角函数基本关系式化简可求tan C =3,结合角的范围即可得解C 的值.(2)利用三角函数恒等变换的应用化简可求4sin A cos A =2sin B cos A ,分类讨论,利用三角形面积公式即可计算得解.解:(1)由已知得,c sin A =3a cos C , 由正弦定理得,si n C sin A =3sin A cos C .又sin A >0,∴cos C ≠0,sin C =3cos C ,tanC =3,∴C =π3.(2)由2sin 2A +sin(2B +C )=sin C , 可得:2sin 2A =sin C -sin(2B +C ),∴4sin A cos A =sin(A +B )-sin [(π-A )+B ]=sin(A +B )+sin(B -A )=2sin B cos A . 当cos A =0时,A =π2,此时B =π6,∵c =2,∴b =233,S △ABC =12bc =233.当cos A ≠0时,sin B =2sin A ,∴b =2a .由c 2=a 2+b 2-2ab cos C 得,4=a 2+b 2-ab .联立⎩⎪⎨⎪⎧b =2a a 2+b 2-ab =4,得a =233,b =433,∴S △ABC =12ab sin C =233.综上所述,△ABC 的面积为233.22.(本小题满分12分)(2016·淄博模拟)如图所示,近日我渔船编队在岛A 周围海域作业,在岛A 的南偏西20°方向有一个海面观测站B ,某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近,现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航,上级指示海警船沿北偏西40°方向,以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队,30分钟后到达D 处,此时观测站测得B ,D 间的距离为21海里.(1)求sin ∠BDC 的值;(2)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A? [解析] (1)由已知可得CD =40×12=20,△BDC 中,根据余弦定理求得 cos ∠BDC =212+202-3122×21×20=-17,∴sin ∠BDC =437.(2)由已知可得∠BAD =20°+40°=60°, ∴sin ∠ABD =sin(∠BDC -60°)=437×12-(-17)×32=5314. △ABD 中,由正弦定理可得AD =BD ×sin ∠ABD sin ∠BAD =21×sin ∠ABDsin ∠BAD =15,∴t =1540×60=22.5分钟.即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A .。

2018届人教B版 3.2 应用三角函数的性质求解参数问题 检测卷

2018届人教B版   3.2 应用三角函数的性质求解参数问题   检测卷

迁移运用1.若函数y =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,0,则ω的最小值为( )A .1B .2C .4D .8【答案】B【解析】由题意知πω6+π6=k π+π2(k ∈Z )⇒ω=6k +2(k ∈Z ),又ω∈N *,∴ωmin =2,故选B.2.若函数f (x )=sin ωx (ω>0)在区间[0,π3]上单调递增,在区间[π3,π2]上单调递减,则ω等于( )A.23B.32 C .2 D .3 【答案】B【解析】 ∵f (x )=sin ωx (ω>0)过原点,∴当0≤ωx ≤π2,即0≤x ≤π2ω时,y =sin ωx 是增函数;当π2≤ωx ≤3π2,即π2ω≤x ≤3π2ω时,y =sin ωx 是减函数. 由f (x )=sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π3上单调递增,在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3,π2上单调递减知,π2ω=π3, ∴ω=32.3.【2017河北省武邑中学高三上学期第三次调研】已知函数()()2cos ,43f x x x g x x x =+=-+-,对于[],1a m m ∀∈+,若,03b π⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦,满足()()g a f b =,则m 的取值范围是( )A .22⎡-+⎣B .1⎡+⎣C.2⎡+⎣ D .12⎡+⎣【答案】C4.【2017广东高三上学期阶段测评】函数()sin 1f x x x ωω=++的最小正周期为π,当[] x m n ∈,时,()f x 至少有12个零点,则n m -的最小值为( ) A .12π B .73π C.6π D .163π【答案】D 【解析】由题知()()2sin 2 1 0 2sin 2133f x x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,,∴1sin 232x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.由周期性可知16533n m πππ-≥+=,∴()min 163n m π-=.选D. 5.【2017河北省沧州第一中学10月月考】已知函数1()sin()62f x x πω=-+,x R ∈,且1()2f α=-,1()2f β=.若||αβ-的最小值为34π,则ω的值为( ) A . 43 B .23 C. 1D .83【答案】B【解析】由题设16sin(-=-πωα,0)6sin(=-πωβ,则443T =π,即πωπ32==T ,故32=ω,故应选B. 6.【2016学年吉林省长春十一中高一上期中】若2cos 2sin 220m m θθ+--<对R θ∈恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A .21-<mB .1m >-C .11m -<<+D .121≤<-m 【答案】B7.【2017河南百校联盟高三11月质检】已知函数()()f x x ωϕ=+(0ω>)的图像关于直线2x π=对称且318f π⎛⎫=⎪⎝⎭,()f x 在区间3,84ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调,则ω可取数值的个数为( )A.1B.2C.3D.4 【答案】B【解析】由题意:函数()()f x x ωϕ=+(0ω>)的图像关于直线2x π=对称且318f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,()f x 在区间3,84ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调,,即在3,84ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是同一单调区间. ∴当2x π=时,函数()f x 取得最大值或最小值,即,22ωππϕ+=或,22ωππϕ+=-…①,38sinωπϕ+=(),即438ππωϕ+=或3438πωϕπ+=,…②, 由①②解得:22πωϕ==-,或322πωϕ=-=,,或562πωϕ=-=,或9310,202282ππππωϕωϕωωϕ=-===--+≥∴-> ,,.且42ππωϕ-+≤,经检验:ω可取数值的个数为2.故选B . 8.【2017福建厦门一中上学期期中】若函数()1sin 2cos 2f x x a x =+在()0,π上单调递增,则a 的取值范围是( )A .(],1-∞-B .[)1,-+∞C .(],1-∞D .[)1,+∞ 【答案】A9.【2016届江西省南昌二中高三上第三次考试】若函数2()sin 2(2)cos 2f x a x a x =+-的图像关于直线8x π=-,则()f x 的最大值为( )A .2B 或C . 【答案】B【解析】∵函数()()2sin 22cos 2f x a x a x =+- 的图象关于直线8x π=-对称,∴8x π=-时,函数取得最值,∴()2sin 2co ((44s a a ππ-+--=()2sin 2cos 44()()a a ππ-+--=()()22241222a a a a ⎡⎤=⎦+⎣+-- ,化简可得220a a +-= ,解得1a =,或2a =-,所以()f x =或故选B .10.【2016届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期中】若函数)6tan(πω+=x y 在]3,3[ππ-上单调递减,且在]3,3[ππ-上的最大值为3,则ω的值为( ) A .21- B .21C .1-D .1【答案】A【解析】由题意得:0,=236362363πππππππππωωωω<-<+-+<-+且,,解得12ω=-,选A .11.【2016届北京市朝阳区高三上学期期中统一考试】 若函数()sin cos f x a x x =+在区间ππ(,64上单调递增,则实数a 的取值范围是 . 【答案】[1,)+∞【解析】因为函数()sin cos f x a x x =+在区间ππ(,64上单调递增所以()0f x '≥在区间ππ(,)64上恒成立()cos sin 0cos sin f x a x x a x x '=-≥⇒≥因为ππ(,)64x ∈,所以cos 0x > 所以sin tan cos xa x x≥=因为tan y x =在区间ππ(,)64上单调递增tan 1x << 所以1a ≥,即实数a 的取值范围是[1,)+∞12.设常数a 使方程sin x x a =在闭区间[0,2π]上恰有三个解123,,x x x ,则123x x x ++= .【解析】原方程可变为2sin(3a x π=+,如图作出函数2sin(),[0,2]3y x x ππ=+∈的图象,再作直线y a =,从图象可知函数2sin(),[0,2]3y x x ππ=+∈在[0,]6π上递增,7[,]66ππ上递减,在7[,2]6ππ上递增,只有当a =,直线y a =与函数2sin(),[0,2]3y x x ππ=+∈的图象有三个交点,10x =,23x π=,32x π=,所以12373x x x π++=.13.【2016届北京市朝阳区高三上学期期中统一考试】若函数sin ()cos a xf x x-=在区间ππ(,63上单调递增,则实数a 的取值范围是 . 【答案】[2,)+∞14.【2016届重庆市巴蜀中学高三上学期第三次月考】已知()sin()(0)3f x x πωω=+>,()(63f f ππ=,且()f x 在区间(,)63ππ有最小值,无最大值,则ω= . 【答案】143【解析】如图所示,因为()sin()3f x x πω=+,且)3(6(ππf f =,又在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭,内只有最小值、无最大值,所以()f x 在4236πππ=+处取得最小值,所以2,()432k k z πππωπ+=-∈,所以108()3k k z ω=-∈.又0ω>,所以当1k =时,3143108=-=ω;当2k =时,33831016=-=ω,此时()f x 在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭,内有最大值,故314=ω.15.【2016届浙江省温州市二外学校高三10月月考】若函数x a x y cos sin +=在区间[0,6π]上是单调函数,最大值为21a +,则实数a = .16.【2016届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期中】已知函数())cos()sin 244f x x x x a ππ=++++的最大值为1.(1)求函数()f x 的单调递增区间; (2)将()f x 的图象向左平移6π个单位,得到函数()g x 的图象,若方程()g x =m 在x∈[0,]2π上有解,求实数m 的取值范围.【答案】(1)Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,12,125ππππ(2)-3≤m≤13-【解析】(1)()ax x a x x x f ++=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2sin 2cos 32sin 22sin 3πax +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin 2π12=+∴a ,1-=∴a由πππππk x k 223222+≤+≤+-,解得ππππk x k +≤≤+-12125,所以函数的单调递增区间Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,12,125ππππ(3) 将()x f 的图象向左平移6π个单位,得到函数()x g 的图象,()⎪⎭⎫⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∴322sin 2362sin 26ππππx x x f x g -1( 或写成()x g =2cos(2x+6π)-1 )⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+∴⎦⎤⎢⎣⎡∈35,32322,2,0ππππx x ∴当32322ππ=+x 时,23322sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πx ,()x g 取最大值13-; 当23322ππ=+x 时,1322sin -=⎪⎭⎫⎝⎛+πx ,()x g 取最小值-3.方程()g x =m 在x∈[0,]2π上有解,即 -3≤m≤13- 17.【2016届黑龙江省牡丹江市一中高三10月月考】已知()sin f x ax x =+()a R ∈(I )当12a =时,求()f x 在[0,]π上的最值; (II )若函数()()()g x f x f x '=+在区间[,]22ππ-上不单调....求实数a 的取值范围.【答案】(I )max ()3πf x =+min ()0f x =;(II )(. 【解析】 (I )当12a =时,1()sin 2f x x x =+,∴1()cos 2f x x '=+ 令()0f x '=,得23πx =.所以max 2()(33ππf x f ==min ()(0)0f x f == (II )()sin f x ax x =+ ,()cos f x a x '=+, ∴()sin cos g x ax x x a =+++则()cos sin )4g x a x x a x π'=+-=-∵[,22ππx ∈-)[4x π-∈当a ≤时,()0g x '≤在[,]22ππ-上恒成立,即()g x 在区间[,22ππ-上递减,不合题意,当1a ≥时,()0g x '≥在[,]22ππ-上恒成立,即()g x 在区间[,22ππ-上递增,不合题意,故函数()()()g x f x f x '=+在区间[,22ππ-上不单调...,则1a <<,综上所述,实数a 的取值范围为(.。

2018届人教B版 三角函数、三角恒等变换、解三角形 检测卷 8

2018届人教B版    三角函数、三角恒等变换、解三角形  检测卷  8

一、选择题1.若点A在点B的北偏西30°,则点B在点A的(C)A.北偏西30°B.北偏西60°C.南偏东30°D.东偏南30°[解析]如图,点B在点A的南偏东30°.2.以观测者的位置作为原点,东、南、西、北四个方向把平面分成四个象限,以正北方向为始边,按顺时针方向旋转280°到目标方向线,则目标方向线的位置在观测者的(C)A.北偏东80°B.东偏北80°C.北偏西80°D.西偏北80°[解析]注意旋转的方向是顺时针方向,作出相应的图形分析可得正确选项为C.3.(2017·湖南省常德市石门一中上学期第一次月测数学试题)如图,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于1 km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为(C)A.1 km B. 2 kmC. 3 km D.2 km[解析]先根据题意求得∠ACB,进而根据余弦定理求得AB.解:依题意知∠ACB=180°-20°-40°=120°,在△ABC中,由余弦定理知AB=AC2+BC2-2AC·BC·cos120°=1+1+2×1×1×12= 3.即灯塔A与灯塔B的距离为 3 km.故选C.4.(易错题)(2016·山东临沂质检)在200 m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°,60°,则塔高为(A)A .4003 mB .40033 mC .20033mD .2003m[解析] 如图,由已知可得∠BAC =30°,所以∠BCA =60°,∠ACD =30°,∠ADC =120°,∠DAC =30°.因为AB =200,所以AC =4003 3.在△ACD 中,由正弦定理,得AC sin120°=DC sin30°,即DC =AC ·sin30°sin120°=4003(m).故选A .[易错提示] 作图时注意仰角和俯角的作图方法5.一艘海轮从A 处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B 处,在C 处有一座灯塔,海轮在A 处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B ,C 两点间的距离是 ( A )A .102海里B .103海里C .203海里D .202海里[解析]如图所示,易知,在△ABC 中,AB =20,∠CAB =30°,∠ACB =45°,根据正弦定理得BC sin30°=AB sin45°, 解得BC =102(海里).6.(易错题)(2016·辽宁大连模拟)如图,测量河对岸的塔高AB 时,可以选与塔底点B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ,测得∠BCD =15°,∠BDC =135°,CD =30 m ,并在点C 处测得塔顶A 的仰角为30°,则塔高AB 为 ( D )A .10 2 mB .10 3 mC .15 6 mD .10 6 m[解析] 在△BCD 中,∠CBD =180°-15°-135°=30°,由正弦定理,得BCsin ∠BDC=CD sin ∠CBD,所以BC =30sin135°sin30°=302(m).在Rt △ABC 中,AB =BC ·tan ∠ACB =302×tan30°=106(m).故选D .[易错提示] 涉及立体图形时,注意图形间的立体关系 二、填空题7.在相距2千米的A ,B 两点处观测目标C ,若∠CAB =75°,∠CBA =60°,则A ,C.[解析]如图所示, 由题意知C =45°,由正弦定理得AC sin60°=2sin45°,∴AC =222·32= 6. 8.已知A 船在灯塔C 北偏东80°处,且A 船到灯塔C 的距离为2 km ,B 船在灯塔C北偏西40°处,A 、B 两船间的距离为3 km ,则B 船到灯塔C 的距离为__________ km.[解析]如图,由题意可得,∠ACB =120°,AC =2,AB =3. 设BC =x ,则由余弦定理可得: AB 2=BC 2+AC 2-2BC ·AC cos120°, 即32=22+x 2-2×2x cos120°, 整理得x 2+2x =5,解得x =6-1(另一解为负值舍掉). 三、解答题9.(2016·广东广州模拟)如图,某测量人员为了测量长江北岸不能到达的两点A ,B 之间的距离,在长江南岸找到一个点C ,从点C 可以观察到点A ,B ;找到一个点D ,从点D 可以观察到点A ,C ;找到一个点E ,从点E 可以观察到点B ,C .测量得到数据:∠ACD =90°,∠ADC =60°,∠ACB =15°,∠BCE =105°,∠CEB =45°,DC =CE =1 m.(1)求△CDE 的面积; (2)求A ,B 之间的距离.[解析] (1)在△CDE 中,∠DCE =360°-90°-15°-105°=150°,S △ECD =12DC ·CE ·sin150°=12×1×1×12=14(m 2).(2)因为∠ACD =90°,∠ADC =60°,所以AC =DC ·tan ∠ADC =1×tan60°=3(m).在△BCE 中.∠CBE =180°-∠BCE -∠CEB =180°-105°-45°=30°.因为BCsin ∠CEB =CEsin ∠CBE,所以BC =CE sin ∠CBE ·sin ∠CEB =1sin30°×sin45°=2(m).因为cos15°=cos(60°-45°) =cos60°cos45°+sin60°sin45° =12×22+32×22=6+24. 连接AB ,在△ABC 中,由余弦定理AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC cos ∠ACB ,可得AB 2=(3)2+(2)2-23×2×6+24=2-3, 所以AB =6-22(m). 10.在海岸A 处,发现北偏东45°方向,距A 处(3-1)n mile 的B 处有一艘走私船,在A 处北偏西75°的方向,距离A 处2n mile 的C 处的缉私船奉命以103n mile /h 的速度追截走私船.此时,走私船正以10n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?[答案] 东偏北30°方向[分析] 本例考查正弦、余弦定量的建模应用.如图所示,注意到最快追上走私船且两船所用时间相等,若在D 处相遇,则可先在△ABC 中求出BC ,再在△BCD 中求∠BCD .[解析] 设缉私船用t h 在D 处追上走私船, 则有CD =103t ,BD =10t ,在△ABC 中,∵AB =3-1,AC =2,∠BAC =120°, ∴由余弦定理,得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC cos ∠BAC =(3-1)2+22-2·(3-1)·2·cos120°=6. ∴BC = 6.且sin ∠ABC =AC BC ·sin ∠BAC =26·32=22.∴∠ABC =45°.∴BC 与正北方向垂直.∵∠CBD =90°+30°=120°, 在△BCD 中,由正弦定理,得sin ∠BCD =BD ·sin ∠CBD CD =10t sin120°103t =12.∴∠BCD =30°.即缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船.1.(2017·四川省成都外国语学校期中数学试题)如图,A 、B 两点都在河的对岸(不可到达),为了测量A 、B 两点间的距离,选取一条基线CD ,A 、B 、C 、D 在一平面内.测得:CD =200 m ,∠ADB =∠ACB =30°,∠CBD =60°,则AB = ( A )A .20033 mB .200 3 mC .100 2 mD .数据不够,无法计算[解析] 由题意可得AC ⊥BD .设AC ∩BD =O ,可得△OCD 为等腰直角三角形,求得OC =OD 的值,△BCO 中,由直角三角形中的边角关系求得 OB 的值,同理求得OA 的值,再利用勾股定理求得AB 的值.解:如图所示,∵∠ADB =∠ACB =30°,∠CBD =60°,∴AC ⊥BD . 设AC ∩BD =O ,则△AOD ∽△BOC , 设OA =x ,OB =y ,则AD =2x ,BC =2y , ∴OD =3x ,OC =3y .△COD 中,由勾股定理可得3x 2+3y 2=40000,求得 x 2+y 2=40 0003,故AB =x 2+y 2=20033.故选A .[点拨] 本题主要考查直角三角形中的边角关系,余弦定理的应用,属于中档题. 2.(2016·安徽模拟)如图所示,为了测量某湖泊两侧A ,B 间的距离,某同学首先选定了与A ,B 不共线的一点C ,然后给出了四种测量方案:(△ABC 的角A ,B ,C 所对的边分别记为a ,b ,c )①则量A ,C ,b .②测量a ,b ,C .③测量A ,B ,a .④测量a ,b ,B .则一定能确定A ,B 间距离的所有方案的序号为 ( A ) A .①②③ B .②③④ C .①③④D .①②③④[解析] 对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A ,B 两点间的距离。

2018届人教B版 三角函数、三角恒等变换、解三角形 检测卷 1

2018届人教B版    三角函数、三角恒等变换、解三角形  检测卷  1

第三章 第一讲一、选择题1.(易错题)(2016·江西模拟)下列说法中,正确的是 ( C ) A .小于π2的角是锐角B .第一象限的角不可能是负角C .终边相同的两个角的差是360°的整数倍D .若α是第一象限角,则2α是第二象限角[解析] 锐角的范围是(0,π2),小于π2的角还有0度角和负角,它们都不是锐角,A 项不正确;-300°角的终边就落在第一象限,B 项不正确;与角α终边相同的角都可以写成α+k ·360°(k ∈Z )的形式,其差显然是360°的整数倍,C 项正确;若α是第一象限的角,则k ·360°<α<k ·360°+90°(k ∈Z ),所以2k ·360°<2α<2k ·360°+180°(k ∈Z ),所以2a 是第一象限或第二象限或终边在y 轴非负半轴上的角,D 项不正确,故选C.[易错提示] 对角的概念理解不深刻而致误2.(2016·四川成都模拟)若α是第三象限角,则下列各式中不成立的是 ( B ) A .sin α+cos α<0 B .tan α-sin α<0 C .cos α-tan α<0D .tan αsin α<0[解析] 在第三象限,sin α<0,cos α<0,tanα>0,则可排除A 、C 、D 三项.3.(2017·江西省鹰潭一中高三上学期期中数学试题)若角765°的终边上有一点(4,m ),则m 的值是 ( C )A .1B .±4C .4D .-4[解析] 直接利用三角函数的定义,即可求出m 的值. 解:因为角765°的终边上有一点(4,m ), 所以tan 765°=tan 45°=m4=1,所以m =4.故选C.4.(2016·浙江温州一模)已知角α的终边与单位圆交于点(-45,35),则tan α的值等于( D )A .-43B .-45C .-35D .-34[解析] 根据三角函数的定义,tan α=y x =35-45=-34.故选D.5.(2017·吉林省东北师大附中净月实验学校期中数学试题)设扇形的弧长为2,面积为2,则扇形中心角的弧度数是 ( A )A .1B .4C .1或4D .π[解析] 设扇形中心角的弧度数为α,半径为r .利用弧长公式、扇形的面积计算公式可得αr =2,12a ·r 2=2,解出即可.解:设扇形中心角的弧度数为α,半径为r . 则αr =2,12a ·r 2=2,解得α=1.故选A.6.(2017·辽宁省东北育才学校、省实验中学、大连二十高(新疆部)三校期末联考数学试题)已知MP ,OM ,AT 分别为角θ(π4<θ<π2)的正弦线、余弦线、正切线,则一定有 ( B )A .MP <OM <ATB .OM <MP <ATC .AT <OM <MPD .OM <AT <MP[解析] 解:由MP ,OM ,AT 分别为角θ(π4<θ<π2)的正弦线、余弦线、正切线,如图由于(π4<θ<π2),所以OM <MP 又由图可以看出MP <AT ,故可得OM <MP <AT .故选B.[点拨] 作出角θ的三角函数线图象,由图象进行判断 即可得到OM <MP <AT . 7.(2016·山东日照模拟)若角α是第二角限角,则角α3一定不是 ( C )A .第一象限角B .第二象限角C .第三象限角D .第四象限角[解析] 方法一:因为α是第二象限角,所以π2+2k π<α<π+2k π,k ∈Z ,则π6+2k π3<α3<π3+2k π3,k ∈Z .当k =3m ,m ∈Z 时,π6+2m π<α3<π3+2m π,m ∈Z ,此时α3为第一象限角;当k =3m +1,m ∈Z 时,5π6+2m π<α3<π+2m π,m ∈Z .此时α3为第二象限角;当k =3m +2,m ∈Z 时,3π2+2m π<α3<5π3+2mπ,m ∈Z ,此时α3为第四象限角.故选C.方法二:也可举特例,α=120°,则α3=40°不可选A ,α=480°则α3=160°否定B ,α=840°,α3=280°否定D.故选C.方法三:作出图形由图可知α3不会是第三象限角.8.点P 从(-1,0)出发,沿单位圆顺时针方向运动7π3弧长到达点Q ,则点Q 的坐标为( A )A .(-12,32)B .(-32,-12) C .(-12,-32)D .(-32,12) [解析] 设点A (-1,0),点P 从(-1,0)出发,沿单位圆顺时针方向运动7π3弧长到达点Q ,则∠AOQ =7π3-2π=π3(O 为坐标原点),所以∠xOQ =2π3,cos 2π3=-12,sin 2π3=32,所以点Q 的坐标为(-12,32).二、填空题9.-2 017°角是第_二_象限角,与-2 017°角终边相同的最小正角是_143°_,最大负角是_-217°_.[解析] ∵-2 017°=-6×360°+143°,∴-2 017°角的终边与143°角的终边相同. ∴-2 017°角是第二象限角,与-2 017°角终边相同的最小正角是143°.又是143°-360°=-217°,故与-2 017°终边相同的最大负角是-217°.10.(2017·新疆生产建设第二中学高三上学期第二次数学试题)若圆弧长度等于该圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为 3 .[解析] 如图,等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形,则弧AB 所对的圆心角∠AOB =2π3.作OM ⊥AB ,垂足为M ,在Rt △AOM 中,AO =r ,∠AOM =π3,∴AM =32r ,AB =3r ,∴I =3r ,由弧长公式I =|a |r ,得α=I r =3rr=3,故答案为 3.[点拨] 本题考查了圆的内接正三角形的边长与半径的关系及弧长公式,理解以上知识和计算方法是解决问题的关键,难度一般;等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形,则线段AB 所对的圆心角∠AOM =π3,在△OAB 中求出AB 的长度(用r 表示),即AB =3r ,就是弧长,再由弧长公式a =Ir求圆心角弧度数.11.(2016·鹰潭模拟)若α是第二象限角,其终边上一点P (x ,5),且cos α=2x 4,则sin α=4. [解析] α是第二角限角,其终边上一点P (x ,5),所以x <0,则OP =x 2+5所以cos α=x x 2+5=2x 4,x =-3,sin α=58=104.三、解答题12.(2016·玉林月考)已知1|sin α|=-1sin α,且lgcos α有意义.(1)试判断角α所在的象限;(2)若角α的终边上的一点是M (35,m ),且|OM |=1(O 为坐标原点),求m 的值及sin α的值.[答案] (1)α在第四象限 (2)m =-45,sin α=-45[解析] (1)由1|sin α|=-1sin α可知,sin α<0,由lgcos α有意义可知cos α>0, ∴α是第四象限角.(2)∵|OM |=1,∴(35)2+m 2=1,解得m =±45.又α是第四象限角,故m <0,从而m =-45.由正弦函数的定义或知sin α=y r =m |OM |=-451=-45.13.已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3,求圆心角的大小;(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .[答案] (1)23或6 (2)α=2,4sin1[解析] 设扇形AOB 的半径为r ,弧长为l ,圆心角为α, (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r +l =8,12lr =3,解得⎩⎪⎨⎪⎧ r =3,l =2或⎩⎪⎨⎪⎧r =1,l =6,∴α=l r =23或α=lr =6.(2)法一:∵2r +l =8 ∴S 扇=12lr =14l ·2r≤14(l +2r 2)2=14×(82)2=4, 当且仅当2r =l ,即α=lr =2时,扇形面积取得最大值4.∴圆心角α=2,弦长AB =2sin1×2=4sin1. 法二:∵2r +l =8,∴S 扇=12lr =12r (8-2r )=r (4-r )=-(r -2)2+4≤4,当且仅当r =2,即α=lr =2时,扇形面积取得最大值4.∴弦长AB =2sin1×2=4sin1.在△ABC 中,若sin A ·cos B ·tan C <0,则△ABC 的形状是 ( B ) A .锐角三角形 B .钝角三角形 C .直角三角形D .不能确定[解析] ∵△ABC 中每个角都在(0,π)内,∴sin A >0. ∵sin A ·cos B ·tan C <0,∴cos B ·tan C <0. 若B ,C 同为锐角,则cos B ·tan C >0. ∴B ,C 中必定有一个钝角. ∴△ABC 是钝角三角形.故选B.2.(2017·新疆生产建设第二中学高三上学期第二次数学试题)点M (13,a )在函数y =log 3x的图象上,且角θ的终边所在直线过点M ,则tan θ= ( C )A .-13B .±13C .-3D .±3[解析] 因为M (13,a )在函数y =log 3x 的图象上,即a =log 313=-1得M (13,-1),故tan θ=-113=-3,故选C. 3.(2016·松原模拟)如果π4<θ<π2,那么下列各式中正确的是 ( D )A .cos θ<tan θ<sin θB .sin θ<cos θ<tan θC .tan θ<sin θ<cos θD .cos θ<sin θ<tan θ[解析] 由π4<θ<π2,可得sin θ∈(22,1),cos θ∈(0,22),tan θ>1,故有cos θ<sin θ<tan θ,故选D.4.已知sin α>sin β,那么下列命题成立的是 ( D ) A .若α,β是第一象限的角,则cos α>cos β B .若α,β是第二象限的角,则tan α>tan β C .若α,β是第三象限的角,则cos α>cos β D .若α,β是第四象限的角,则tan α>tan β [解析] 由三角函数线可知选D.5.(2016·临沭期中)如图,设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点,P 、Q 是单位圆上两点,O 是坐标原点,∠AOP =π6,∠POQ =α,α∈(0,π)。

第十课 三角函数的图象与性质(含答案)

第十课 三角函数的图象与性质(含答案)

第十课 三角函数的图象与性质(含答案)一、选择题1.(2018全国卷Ⅱ)若()cos sin =-f x x x 在[,]-a a 是减函数,则a 的最大值是A .π4B .π2C .3π4D .π2.(2018天津)将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度,所得图象对应的函数 A .在区间35[,]44ππ上单调递增B .在区间3[,]4ππ上单调递减 C .在区间53[,]42ππ上单调递增 D .在区间3[,2]2ππ上单调递减 3.(2018北京)在平面直角坐标系中,记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离,当θ,m 变化时,d 的最大值为 A .1B .2C .3D .44.(2017新课标Ⅰ)已知曲线1C :cos y x =,2C :2sin(2)3y x π=+,则下面结论正确的是A .把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移6π个单位长度,得到曲线2CB .把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12π 个单位长度,得到曲线2CC .把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移6π 个单位长度,得到曲线2C D .把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12π 个单位长度,得到曲线2C5.(2017新课标Ⅲ)设函数()cos()3f x x π=+,则下列结论错误的是A .()f x 的一个周期为2π-B .()y f x =的图像关于直线83x π=对称 C .()f x π+的一个零点为6x π=D .()f x 在(,)2ππ单调递减6.(2017天津)设函数()2sin()f x x ωϕ=+,x ∈R ,其中0ω>,||ϕ<π.若5()28f π=,()08f 11π=,且()f x 的最小正周期大于2π,则 A .23ω=,12ϕπ= B .23ω=,12ϕ11π=- C .13ω=,24ϕ11π=- D .13ω=,24ϕ7π=7.(2016北京)将函数sin(2)3y x π=-图像上的点(,)4P t π向左平移s (0s >)个单位长度得到点P '.若P '位于函数sin 2y x =的图像上,则A .12t =,s 的最小值为6π B .2t =,s 的最小值为6πC .12t =,s 的最小值为3π D .2t =,s 的最小值为3π8.(2016山东)函数()cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期是A .2πB .πC .32πD .2π9.(2016全国I )已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ωϕωϕ=>=-,≤为()f x 的零点,π4x =为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在π5π()1836,单调,则ω的最大值为 A .11 B .9 C .7 D .5 10.(2016全国II )若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度,则平移后图象的对称轴为A .()26k x k Z ππ=-∈ B .()26k x k Z ππ=+∈ C .()212k x k Z ππ=-∈ D .()212k x k Z ππ=+∈ 11.(2015山东)要得到函数4sin(4)3y x π=-的图像,只需要将函数sin 4y x =的图像A .向左平移12π个单位B .向右平移12π个单位C .向左平移3π个单位D .向右平移3π个单位12.(2015四川)下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是A .cos(2)2y x π=+B .sin(2)2y x π=+C .sin 2cos 2y x x =+D .sin cos y x x =+13.(2015新课标Ⅱ)函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示,则()f x 的单调递减区间为.A .13(,)44k k ππ-+,k Z ∈ B .13(2,2)44k k ππ-+,k Z ∈ C .13(,)44k k -+,k Z ∈ D .13(2,2)44k k -+,k Z ∈14.(2015安徽)已知函数()()sin f x Αx ωϕ=+(Α,ω,ϕ均为正的常数)的最小正周期为π,当23x π=时,函数()f x 取得最小值,则下列结论正确的是 A .()()()220f f f <-< B .()()()022f f f <<- C .()()()202f f f -<< D .()()()202f f f <<- 15.(2014新课标Ⅰ)在函数①|2|cos x y =,②|cos |x y = ,③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中,最小正周期为π的所有函数为A .①②③B .①③④C .②④D .①③16.(2014浙江)为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象,可以将函数y x =的图像A .向右平移12π个单位 B .向右平移4π个单位 C .向左平移12π个单位 D .向左平移4π个单位17.(2014安徽)若将函数x x x f 2cos 2sin )(+=的图象向右平移ϕ个单位,所得图象关于y轴对称,则ϕ的最小正值是A .8π B .4π C .83π D .43π18.(2014福建)将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位,得到函数()y f x =的函数图象,则下列说法正确的是A .()y f x =是奇函数B .()y f x =的周期是πC .()y f x =的图象关于直线2x π=对称 D .()y f x =的图象关于点,02π⎛⎫-⎪⎝⎭19.(2014辽宁)将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度,所得图象对应的函数 A .在区间7[,]1212ππ上单调递减 B .在区间7[,]1212ππ上单调递增C .在区间[,]63ππ-上单调递减 D .在区间[,]63ππ-上单调递增 20.(2013广东)已知51sin()25πα+=,那么cos α=A .25-B .15-C .15D .2521.(2013山东)将函数()sin 2y x ϕ=+的图像沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图像,则ϕ的一个可能取值为A .34π B .4πC .0D .4π- 22.(2013福建)将函数)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象,若)(),(x g x f 的图象都经过点)23,0(P ,则ϕ的值可以是 A .35πB .65πC .2πD .6π23.(2012新课标)已知ω>0,0ϕπ<<,直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴,则ϕ=A .π4B .π3C .π2D .3π424.(2012安徽)要得到函数)12cos(+=x y 的图象,只要将函数x y 2cos =的图象A .向左平移1个单位B .向右平移1个单位C .向左平移12个单位 D .向右平移12个单位 25.(2012浙江)把函数cos 21y x =+的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图像是26.(2012山东)函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为A .2B .0C .-1D .1--27.(2012天津)将函数()sin f x x ω=(其中ω>0)的图像向右平移4π个单位长度,所得图像经过点3(,0)4π,则ω的最小值是 A .13 B .1 C .53D .228.(2012新课标)已知0>ω,函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减,则ω的取值范围是 A .]45,21[B .]43,21[C .]21,0(D .]2,0(29.(2011山东)若函数()sin f x x ω=(ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,则ω=A .23 B .32C .2D .330.(2011新课标)设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++,则A .()y f x =在(0,)2π单调递增,其图象关于直线4x π=对称B .()y f x =在(0,)2π单调递增,其图象关于直线2x π=对称C .()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线4x π=对称D .()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线2x π=对称31.(2011安徽)已知函数()sin(2)f x x ϕ=+,其中ϕ为实数,若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立,且()()2f f ππ>,则()f x 的单调递增区间是A .,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B .,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C .2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D .,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦32.(2011辽宁)已知函数)(x f =A tan (ωx +ϕ)(2||,0πϕω<>),y =)(x f 的部分图像如下图,则=)24(πfA .BCD .2 二、填空题33.(2018北京)设函数π()cos()(0)6f x x ωω=->,若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立,则ω的最小值为___. 34.(2018全国卷Ⅲ)函数()cos(3)6f x x π=+在[0,]π的零点个数为_____.35.(2018江苏)已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称,则ϕ的值是 .36.(2016年全国III )函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到.37.(2015浙江)函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是________,单调递减区间是_______.38.(2014山东)函数22cos 2y x x =+的最小正周期为 . 39.(2014江苏)已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<),它们的图象有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是 . 40.(2014重庆)将函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<≤->+=220sin πϕπωϕω,x x f 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移6π个单位长度得到x y sin =的图像,则=⎪⎭⎫⎝⎛6πf ______. 41.(2014安徽)若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位,所得图象关于y 轴对称,则ϕ的最小正值是________.42.(2013新课标Ⅰ)设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ= . 43.(2013新课标Ⅱ)函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后,与函数sin(2)3y x π=+的图象重合,则ϕ=_________.44.(2013江西)设()cos3f x x x =+,若对任意实数x 都有()f x a ≤,则实数a 的取值范围是 .45.(2013江苏)函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 .46.(2011江苏)函数()sin(),(,,f x A x A w ωϕϕ=+是常数,0,0)A ω>>的部分图象如图所示,则(0)f = .47.(2011安徽)设()f x =sin 2cos2a x b x +,其中,a b ∈R ,0ab ≠,若()()6f x f π≤对一切则x ∈R 恒成立,则①11()012f π= ②7()10f π<()5f π ③()f x 既不是奇函数也不是偶函数④()f x 的单调递增区间是2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦⑤存在经过点(,)a b 的直线与函数()f x 的图像不相交 以上结论正确的是 (写出所有正确结论的编号). 48.(2010江苏)定义在区间⎪⎭⎫⎝⎛20π,上的函数6cos y x =的图像与5tan y x =的图像的交点为P ,过点P 作1PP ⊥x 轴于点1P ,直线1PP 与sin y x =的图像交于点2P ,则线段12P P 的长为 .49.(2010福建)已知函数()=3sin()(>0)6f x x πωω-和g()=2cos(2+)+1x x ϕ的图象的对称轴完全相同.若[0,]2x π∈,则()f x 的取值范围是 .三、解答题50.(2018上海)设常数a R ∈,函数2()sin 22cos f x a x x =+.(1)若()f x 为偶函数,求a 的值;(2)若()14f π=,求方程()1f x =ππ-[,]上的解.51.(2017江苏)已知向量(cos ,sin )x x =a ,(3,=b ,[0,]x π∈.(1)若∥a b ,求x 的值;(2)记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值. 52.(2017山东)设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-,其中03ω<<.已知()06f π=.(Ⅰ)求ω;(Ⅱ)将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移4π个单位,得到函数()y g x =的图象,求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值.53.(2016年天津)已知函数()4tan cos cos()3f x x x x π=-(Ⅰ)求()f x 的定义域与最小正周期; (Ⅱ)讨论()f x 在区间[,44ππ-]上的单调性.54.(2015北京)已知函数2()cos 222x x x f x =.(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期;(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-,上的最小值.55.(2015湖北)某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:((Ⅱ)将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度,得到()y g x =的图象.若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12,求θ的最小值. 56.(2014福建)已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+.(Ⅰ)求5()4f π的值; (Ⅱ)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.57.(2014湖北)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t (单位:h )的变化近似满足函数关系:ππ()10sin 1212f t t t =-,[0,24)t ∈. (Ⅰ)求实验室这一天上午8时的温度; (Ⅱ)求实验室这一天的最大温差.58.(2014福建)已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-. (Ⅰ)若02πα<<,且sin 2α=,求()f α的值; (Ⅱ)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间. 59.(2014北京)函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的部分图象如图所示. (Ⅰ)写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值; (Ⅱ)求()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.60.(2014天津)已知函数()2cos sin 34f x x x x π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭,x R ∈. (Ⅰ)求()f x 的最小正周期; (Ⅱ)求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.61.(2014重庆)已知函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤->+=220sin 3πϕπωϕω,x x f 的图像关于直线3π=x 对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.(I )求ω和ϕ的值; (II )若⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫⎝⎛326432παπαf ,求⎪⎭⎫ ⎝⎛+23cos πα的值.62.(2013山东)设函数2()sin cos (0)2f x x x x ωωωω=-->,且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π. (Ⅰ)求ω的值; (Ⅱ)求()f x 在区间3[,]2ππ上的最大值和最小值.63. (2013天津)已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R .(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.64.(2013湖南)已知函数()cos cos 3f x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭(1)求2()3f π的值; (2)求使 1()4f x <成立的x 的取值集合.65.(2012安徽) 设函数2()cos(2)sin 24f x x x π=++ (I )求函数()f x 的最小正周期; (II )设函数()g x 对任意x R ∈,有()()2g x g x π+=,且当[0,]2x π∈时,1()()2g x f x =-; 求()g x 在[,0]π-上的解析式. 66.(2012湖南)已知函数()sin()f x A x ωϕ=+ (,x R ∈0ω>,0)2πϕ<<的部分图像如图所示.(Ⅰ)求函数()f x 的解析式;(Ⅱ)求函数()()()1212g x f x f x ππ=--+的单调递增区间.67.(2012陕西)函数()sin()16f x A x πω=-+(0,0A ω>>)的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π. (1)求函数()f x 的解析式; (2)设(0,)2πα∈,则()22f α=,求α的值.第十课 三角函数的图象与性质答案部分1.A【解析】解法一()cos sin )4=-=+πf x x x x ,且函数cos =y x 在区间[0,]π上单调递减,则由04ππ+≤≤x ,得344ππ-≤≤x . 因为()f x 在[,]-a a 上是减函数,所以434ππ⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥≤a a ,解得4π≤a ,解法二 因为()cos sin =-f x x x ,所以()sin cos '=--f x x x , 则由题意,知()sin cos 0'=--≤f x x x 在[,]-a a 上恒成立, 即sin cos 0+≥x x)04π+≥x ,在[,]-a a 上恒成立,结合函数)4π=+y x 的图象可知有044πππ⎧-+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩≥≤a a ,解得4π≤a ,所以04π<≤a , 所以a 的最大值是4π,故选A . 2.A 【解析】把函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度得函数 ()sin[2()]sin 2105g x x x ππ=-+=的图象,由22222k x k ππππ-++≤≤(k ∈Z )得44k x k ππππ-++≤≤(k ∈Z ),令1k =,得3544x ππ≤≤, 即函数()sin 2g x x =的一个单调递增区间为35[,]44ππ,故选A . 3.C【解析】由题意可得d ====(其中cos ϕ=,sin ϕ=),∵1sin()1θϕ--≤≤,d ≤1=+∴当0m =时,d 取得最大值3,故选C . 4.D 【解析】把2C 的解析式运用诱导公式变为余弦,2C :22sin(2)cos[(2)]cos[(2)]cos(2)32366y x x x x πππππ=+=-+=-+=+ 则由1C 图象横坐标缩短为原来的12,再把得到的曲线向左平移12π个单位长度,得到曲线2C .选D5.D 【解析】∵()cos()3f x x π=+的周期为2k π,k ∈Z ,所以A 正确;∵8()cos313f ππ==-,所以B 正确; 设4()()cos()3g x f x x ππ=+=+,而3()cos 062g ππ==,C 正确;选D .6.A 【解析】由题意5π8x =取最大值,11π8x =与x 相交,设()f x 周期为T ,所以11538844T πππ-==或34T ,所以3T π=或T π=, 又()f x 的最小正周期大于2π,所以3T π=,所以223T πω==,排除C 、D ;由5π()28f =,即252sin()238πϕ⨯+=,102242k ππϕπ+=+,即212k πϕπ=+,令0k =,12πϕ=.选A .7.A 【解析】因为点(,)4P t π在函数sin(2)3y x π=-的图象上,所以sin(2)43t ππ=⨯-=1sin 62π=,又1(,)42P s π'-在函数sin 2y x =的图象上,所以1sin 2()24s π=-,则2()246s k πππ-=+或52()246s k πππ-=+,k Z ∈,得6s k ππ=-+或 6s k ππ=--,k Z ∈.又0s >,故s 的最小值为6π,故选A .8.B 【解析】由题意得()2sin()2cos()2sin(2)663f x x x x πππ=+⨯+=+,故该函数的最小正周期22T ππ==.故选B .9.B 【解析】因为4x π=-为函数()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,所以2π24kT T=+(k Z ∈,T 为周期),得221T k π=+(k Z ∈).又()f x 在5(,)1836ππ单调,所以11,62T k π厔,又当5k =时,11,4πωϕ==-,()f x 在5(,)1836ππ不单调;当4k =时,9,4πωϕ==,()f x 在5(,)1836ππ单调,满足题意,故9ω=,即ω的最大值为9.10.B 【解析】函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度,得到的图像对应的函数表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,解得()ππ26k x k =+∈Z ,所以所求对称轴的方程为()ππ26k x k =+∈Z ,故选B . 11.B 【解析】sin 4()12y x π=-,只需将函数sin 4y x =的图像向右平移12π个单位. 12.A 【解析】采用验证法,由cos(2)sin 22y x x π=+=-,可知该函数的最小正周期为π且为奇函数,故选A . 13.D 【解析】由图象可知242m ωπϕπ+=+,32425ωm πϕπ+=+,m Z ∈, 所以,2,4m m Z πωπϕπ==+∈,所以函数()cos(2)cos()44πππππ=++=+f x x m x 的单调递减区间为,224k x k πππππ<+<+,即132244k x k -<<+,k Z ∈.14.A 【解析】∵()sin()f x A x ωϕ=+的最小正周期为π,且23x π=是经过函数()f x 最小值点的一条对称轴,∴2326x πππ=-=是经过函数()f x 最大值的一条对称轴.∵12|2|66ππ--=,512|(2)|66πππ---=,|0|66ππ-=,∴|2||(2)||0|666ππππ->-->-,且2233ππ-<<,2233πππ-<-<,2033ππ-<<, ∴(2)(2)(0)f f f π<-<,即(2)(2)(0)f f f <-<.15.A 【解析】①|2|cos x y =,最小正周期为π;②|cos |x y =,最小正周期为π;③)62cos(π+=x y ,最小正周期为π;④)42tan(π-=x y ,最小正周期为2π.最小正周期为π的函数为①②③.16.A 【解析】因为sin 3cos3))412y x x x x ππ=+=-=-,所以将函数y x =的图象向右平移12π个单位后,可得到)4y x π=-的图象,故选A .17.C 【解析】())4f x x π=+,将函数()f x 的图象向右平移ϕ个单位得()2)4f x x πϕ=+-,由该函数为偶函数可知2,42k k Z ππϕπ-=+∈,即328k ππϕ=+,所以ϕ的最小正值是为38π. 18.D 【解析】函数sin y x =的图象向左平移2π个单位,得到函数()sin()cos 2f x x xπ=+=的图象,()cos f x x =为偶函数,排除A ;()cos f x x =的周期为2π,排除B ; 因为()cos022f ππ==,所以()cos f x x =不关于直线2x π=对称,排除C ;故选D .19.B 【解析】 将3sin(2)3y x π=+的图象向有右移2π个单位长度后得到 3sin[2()]23y x ππ=-+,即23sin(2)3y x π=-的图象,令2222232k x k πππππ-+-+≤≤,k Z ∈,化简可得7[,]1212x k k ππππ∈++,k Z ∈,即函数23sin(2)3y x π=-的单调递增区间为7[,]1212k k ππππ++,k Z ∈,令0k =.可得23sin(2)3y x π=-在区间7[,]1212ππ上单调递增,故选B .20.C 【解析】51sin()sin(2+)sin cos 2225πππαπααα⎛⎫+=+=+== ⎪⎝⎭,选C.22.B 【解析】把)23,0(P 代入)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f ,解得3πθ=,所以)232sin()(ϕπ-+=x x g ,把)23,0(P 代入得,πϕk =或6ππϕ-=k , 观察选项,故选B23.A 【解析】由题设知,πω=544ππ-,∴ω=1,∴4πϕ+=2k ππ+(k Z ∈), ∴ϕ=4k ππ+(k Z ∈),∵0ϕπ<<,∴ϕ=4π,故选A.24.C 【解析】cos 2y x =向左平移12→1cos 2()cos(21)2y x x =+=+. 25.A 【解析】cos 21cos 1cos(1)1cos(1)y x y x y x y x =+⇒=+⇒=++⇒=+,故选A .26.A【解析】709,,sin()1,3636263x x x ππππππ∴≤≤∴-≤-≤∴-≤-≤max min 2,y y ∴==故选8.27.D 【解析】函数向右平移4π得到函数)4sin()4(sin )4()(ωπωπωπ-=-=-=x x x f x g ,因为此时函数过点)0,43(π,所以0)443(sin =-ππω,即,2)443(πωπππωk ==-所以Z k k ∈=,2ω,所以ω的最小值为2,选D .28.A 【解析】函数)4sin()(πω+=x x f 的图像可看作是由函数()sin f x x =的图像先向左平移4π个单位得()sin()4f x x π=+的图像,再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的1ω倍,纵坐标不变得到的,而函数()sin()4f x x π=+的减区间是5[,]44ππ,所以要使函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ上是减函数,需满足142514ππωππω⎧⨯⎪⎪⎨⎪⨯⎪⎩≤≥,解得1524ω≤≤. 29.B 【解析】由于()sin f x x ω=的图象经过坐标原点,根据已知并结合函数图象可知,3π为函数()f x 的四分之一周期,故243ππω=,解得32ω=. 30.D 【解析】∵()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++)22x x π+=,所以2y x =在(0,)2π单调递减,对称轴为2x k π=,即()2k x k Z π=∈.31.C 【解析】因为当x R ∈时,()|()|6f x f π≤恒成立,所以()sin()163f ππϕ=+=±,可得26k πϕπ=+或526k πϕπ=-,k Z ∈, 因为()sin()sin ()sin(2)sin 2f f ππϕϕππϕϕ=+=->=+=故sin 0ϕ<,所以526k πϕπ=-,所以5()sin(2)6f x x π=-, 由5222262k x k πππππ-+-+≤≤(k Z ∈), 得263k x k ππππ++≤≤(k Z ∈),故()f x 的单调递增区间是2[,]63k k ππππ++(k Z ∈). 32.B 【解析】半周期为3884πππ-=,即最小正周期为2π,所以2ω=.由题意可知,图象过定点3(,0)8π,所以30tan(2)8A πϕ=⨯+,即34k πϕπ+= ()k Z ∈所以3()4k k Z πϕπ=-∈,又||2πϕ<,所以4πϕ=,又图象过定点(0,1),所以1A =.综上可知()tan(2)4f x x π=+,故有()tan(2)tan 242443f ππππ=⨯+==33.23【解析】由于对任意的实数都有π()()4f x f ≤成立,故当4x π=时,函数()f x 有最大值,故()14f π=,246k πωππ-=(k ∈Z ),∴283k ω=+(k ∈Z ),又0ω>,∴min 23ω=.34.3【解析】由题意知,cos(3)06x π+=,所以362x k πππ+=+,k ∈Z ,所以93k x ππ=+,k ∈Z ,当0k =时,9x π=;当1k =时,49x π=;当2k =时,79x π=,均满足题意,所以函数()f x 在[0,]π的零点个数为3.35.π6-【解析】由函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称,得2sin()13πϕ+=±,因为22ϕππ-<<,所以27636πππϕ<+<,则232ππϕ+=,6πϕ=-.36.32π【解析】函数sin 2sin()3y x x x π==-的图像可由函数sin y x =+2sin()3x x π=+的图像至少向右平移23π个单位长度得到. 37.π、]87,83[ππππk k ++ (Z k ∈)【解析】23)42sin(22)(+-=πx x f ,故最小正周期为π,单调递减区间为]87,83[ππππk k ++ (Z k ∈).38.π【解析】2sin 2cos 2y x x =+=1112cos 2sin(2)22262y x x x π=++=++,所以其最小正周期为22ππ=. 39.6π【解析】由题意交点为1(,)32π,所以21sin()32πϕ+=,又0ϕπ<≤,解得6πϕ=.40.2【解析】把函数sin y x =图象向左平移6π个单位长度得到sin()y x ωϕ=+的图象,再把函数sin()6y x π=+图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数1()sin()26f x x π=+的图象,所以=⎪⎭⎫⎝⎛6πf 1sin()sin 26642πππ⨯+==. 41.38π【解析】()sin[2()]sin(22)44f x x x ππϕϕϕ-=-+=+- ∴2()42k k Z ππϕπ-=+∈,∴()82k k Z ππϕ=--∈,当1k =-时min 38πϕ=.42.5-【解析】∵()f x =sin 2cos x x -)x x令cos ϕ=5,sin 5ϕ=-,则()f x cos sin cos )x x ϕϕ+)x ϕ+,当x ϕ+=2,2k k z ππ+∈,即x =2,2k k z ππϕ+-∈时,()f x 取最大值,此时θ=2,2k k z ππϕ+-∈,∴cos θ=cos(2)2k ππϕ+-=sin ϕ=.43.56π【解析】函数cos(2)y x ϕ=+,向右平移2π个单位,得到sin(2)3y x π=+, 即sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位得到函数cos(2)y x ϕ=+,sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位,得sin[2()]sin(2)233y x x ππππ=++=++sin(2)cos(2)323x x πππ=-+=++ 5cos(2)6x π=+,即56πϕ=.44.2a ≥【解析】()3cos32sin(3)f x x x x φ=+=+得|()|2f x ≤故2a ≥.45.π【解析】2==2T ππ.46.2A =,741234T πππ=-=,所以T π=,22Tπω==,又函数图象经过点(,0)3π,所以23πϕπ⨯+=,则3πϕ=,故())3f x x π=+,所以(0)32f π==.47.①③【解析】()sin 2cos2)f x a x b x x ϕ=+=+(其中tan b aϕ=),因此对一切x R ∈,()|()|6f x f π≤恒成立,所以sin()13πϕ+=±,可得()6k k Z πϕπ=+∈,故())6f x x π=+.而1111())012126f πππ=⨯+=,所以①正确;74717|()||||123030f πππ==,17|()|||530f ππ=,所以7|()||()|105f f ππ=,故②错;③明显正确;④错误:由函数())6f x x π=+和())6f x x π=+的图象(图略)可知,不存在经过点(,)a b 的直线与函数()f x 的图象不相交,故⑤错误.48.23【解析】线段12P P 的长即为sin x 的值,且其中的x 满足6cos 5tan x x =,解得sin x =23.线段12P P 的长为23. 49.3[,3]2-【解析】由题意知,2ω=,因为[0,]2x π∈,所以52[,]666x πππ-∈-,由三角函数图象知:()f x 的最小值为33sin ()=62π--,最大值为3sin =32π,所以()f x 的取值范围是3[,3]2-. 50.【解析】(1)若()f x 为偶函数,则对任意∈R x ,均有()()=-f x f x ;即22sin 22cos sin 2()2cos ()+=-+-a x x a x x , 化简得方程sin 20=a x 对任意∈R x 成立,故0=a ;(2)2()sin(2)2cos ()11444πππ=⨯+=+=f a a ,所以=a故2()22cos =+f x x x .则方程()1=-f x 222cos 1+=x x222cos 1+-=x x ,化简即为2sin(2)6π+=x即sin(2)62π+=-x ,解得1124ππ=-+x k 或524ππ'=-+x k ,,'∈Z k k 若求该方程在[,]ππ-上有解,则1335[,]2424∈-k ,1929[,]2424'∈-k , 即0=k 或1;0'=k 或1, 对应的x 的值分别为:1124π-、1324π、524π-、1924π.51.【解析】(1)因为(cos ,sin )x x =a ,(3,=b ,∥a b ,所以3sin x x =.若cos 0x =,则sin 0x =,与22sin cos 1x x +=矛盾,故cos 0x ≠.于是tan x = 又[0,]x π∈,所以56x π=.(2)π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅==+a b . 因为[0,]x π∈,所以ππ7π[,]666x +∈,从而π1cos()62x -≤+≤.于是,当ππ66x +=,即0x =时,()f x 取到最大值3;当π6x +=π,即5π6x =时,()f x 取到最小值-52.【解析】(Ⅰ)因为()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-,所以1()cos cos 22f x x x x ωωω=--3cos 22x x ωω=-1sin )2x x ωω=)3x πω=-由题设知()06f π=,所以63k ωπππ-=,k Z ∈.故62k ω=+,k Z ∈,又03ω<<, 所以2ω=.(Ⅱ)由(Ⅰ)得())3f x x π=-所以()))4312g x x x πππ=+-=-. 因为3[,]44x ππ∈-, 所以2[,]1233x πππ-∈-,当123x ππ-=-,即4x π=-时,()g x 取得最小值32-. 53.【解析】(Ⅰ)()f x 的定义域为{|,}2x x k k Z ππ≠+∈.()4tan cos cos()3f x x x x π=--4sin cos()3x x π=--14sin (cos )2x x x =+-22sin cos x x x =+-sin 2cos2)x x =+-sin 2x x =-2sin(2)3x π=-所以()f x 的最小正周期22T ππ==. ()II 令2,3z x π=-函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,.22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭,易知,124AB ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时, ()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,上单调递减.54.【解析】(Ⅰ)因为()cos )f x x x =-sin()4x π=+ 所以()f x 的最小正周期为2π. (Ⅱ)因为0x π-≤≤,所以3444x πππ-≤+≤. 当42x ππ+=-,即34x π=-时,()f x 取得最小值.所以()f x 在区间[],0π-上的最小值为3()142f π-=--. 55.【解析】(Ⅰ)根据表中已知数据,解得π5,2,A ωϕ===-. 数据补全如下表:且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-.(Ⅱ)由(Ⅰ)知 π()5sin(2)6f x x =-,得π()5sin(22)6g x x θ=+-.因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ,k ∈Z . 令π22π6x k θ+-=,解得ππ212k x θ=+-,k ∈Z . 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称,令ππ5π21212k θ+-=, 解得ππ23k θ=-,k ∈Z . 由0θ>可知,当1k =时,θ取得最小值π6. 56.【解析】解法一:(Ⅰ)5555()2cos (sin cos )4444f ππππ=+ 2cos(sincos )444πππ=---2=(Ⅱ)因为2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos21x x =++)14x π=++.所以22T ππ==. 由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈,得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈, 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈.解法二:因为2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos21x x =++)14x π=++(Ⅰ)511()112444f πππ=+=+=.(Ⅱ)22T ππ==.由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈,得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈, 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈.57.【解析】(Ⅰ)ππ(8)108sin 81212f =⨯-⨯()()2π2π10sin 33=-110()102=--=.故实验室上午8时的温度为10 ℃.(Ⅱ)因为π1πππ()10sin )=102sin()12212123f t t t t =-+-+, 又024t ≤<,所以πππ7π31233t ≤+<,ππ1sin()1123t -≤+≤.当2t =时,ππsin()1123t +=;当14t =时,ππsin()1123t +=-. 于是()f t 在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃.58.【解析】解法一:(Ⅰ)因为0,2πα<<sin 2α=所以cos 2α=.所以11()()22222f α=+-=. (Ⅱ)因为2111cos 21()sin cos cos sin 22222x f x x x x x +=+-=+-11sin 2cos 2sin(2)2224x x x π=+=+, 所以22T ππ==.由222,,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈. 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈. 解法二:2111cos 21()sin cos cos sin 22222x f x x x x x +=+-=+-11sin 2cos 2)224x x x π=+=+(Ⅰ)因为0,2πα<<sin 2α=所以4πα=从而31())24242f ππαα=+== (Ⅱ)22T ππ== 由222,,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈.所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈. 59.【解析】:(I )()f x 的最小正周期为π,076x π=,03y =.(II )因为[,]212x ππ∈--,所以52[,0]66x ππ+∈-,于是当206x π+=,即12x π=-时,()f x 取得最大值0;当262x ππ+=-,即3x π=-时,()f x 取得最小值3-.60.【解析】(Ⅰ)由已知,有21()cos sin 2f x x x x x 骣÷ç÷=?-+ç÷ç÷ç桫21sin cos 224x x x =?+)1sin 21cos2444x x =-++1sin 244x x =-1sin 223x p 骣÷ç=-÷ç÷ç桫. 所以,()f x 的最小正周期22T pp ==. (Ⅱ)因为()f x 在区间,412p p 轾犏--犏臌上是减函数,在区间,124p p 轾犏-犏臌上是增函数. 144f p 骣÷ç-=-÷ç÷ç桫,1122f p 骣÷ç-=-÷ç÷ç桫,144f p 骣÷ç=÷ç÷ç桫. 所以,函数()f x 在闭区间,44p p 轾犏-犏臌上的最大值为14,最小值为12-.61.【解析】:(I )因()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以()f x 的最小正周期T π=,从而22Tπω==.又因()f x 的图象关于直线3π=x 对称,所以2,0,1,2,,32k k ππϕπ⋅+=+=±±因22ππϕ-≤<得0k =.所以2236πππϕ=-=-.(II )由(I )得22264f ααπ⎛⎫⎛⎫=⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以1sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭.由263ππα<<得0,62ππα<-<所以cos 6πα⎛⎫-=== ⎪⎝⎭ 因此3cos sin sin 266πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+==-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ sin cos cos sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1142428⨯+=.62.【解析】(1)()f x =22ωx -sin ωx cos ωx=1cos 21sin 2222x x ωω--=2cos 2ωx -12sin 2ωx =πsin 23x ω⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4, 又ω>0,所以2ππ=424ω⨯.因此ω=1. (2)由(1)知()f x =πsin 23x ⎛⎫--⎪⎝⎭.当π ≤x ≤3π2时,5π3≤π8π233x -≤.所以πsin 213x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭,因此-1≤()f x故()f x 在区间3ππ,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦1.63.【解析】(1)()f x =sin 2x ·ππcos sin 44x ⋅+3sin 2x -cos 2x=2sin 2x -2cos 2x =π24x ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 所以,()f x 的最小正周期T =2π2=π.(2)因为()f x 在区间3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数,在区间3ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数. 又f (0)=-2,3π8f ⎛⎫=⎪⎝⎭,π22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 故函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为,最小值为-2. 64.【解析】(1)41)212cos 232(sin 21)3sin sin 3cos (cos cos )(+⋅+⋅=⋅+⋅⋅=x x x x x x f ππ41)32(.414123sin 21)32(41)62sin(21-==-=+=⇒++=ππππf f x 所以. (2)由(1)知,111()sin(2)sin(2)0(2)(2,2)264466f x x x x k k ππππππ=++<⇒+<⇒+∈- .),12,127(.),12,127(Z k k k Z k k k x ∈--∈--∈⇒ππππππππ所以不等式的解集是:65.【解析】2111())sin cos 2sin 2(1cos 2)4222f x x x x x x π=++=-+- 11sin 222x =-. (I )函数()f x 的最小正周期22T ππ==. (Ⅱ)当[0,]2x π∈时,11()()sin 222g x f x x =-=.当[,0]2x π∈-时,()[0,]22x ππ+∈,11()()sin 2()sin 22222g x g x x x ππ=+=+=-当[,)2x ππ∈--时,()[0,)2x ππ+∈,11()()sin 2()sin 222g x g x x x ππ=+=+=得:函数()g x 在[,0]π-上的解析式为1sin 2(0)22()1sin 2()22x x g x x x πππ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩.66.【解析】(Ⅰ)由题设图像知,周期11522(),21212T Tππππω=-=∴==. 因为点5(,0)12π在函数图像上,所以55sin(2)0,sin()0126A ππϕϕ⨯+=+=即.又55450,,=26636πππππϕϕϕπ<<∴<+<+从而,即=6πϕ. 又点0,1()在函数图像上,所以sin 1,26A A π==,故函数()f x 的解析式为()2sin(2).6f x x π=+(Ⅱ)()2sin[2()]2sin[2()]126126g x x x ππππ=-+-++ 2sin 22sin(2)3x x π=-+12sin 22(sin 22)22x x x =-+sin 22x x =-2sin(2),3x π=-由222,232k x k πππππ-≤-≤+得5,.1212k x k k z ππππ-≤≤+∈ ()g x ∴的单调递增区间是5,,.1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 67.【解析】(Ⅰ)∵函数()f x 的最大值是3,∴13A +=,即2A =.∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π,∴最小正周期T π=,∴2ω=. 故函数()f x 的解析式为()2sin(2)16f x x π=-+.(Ⅱ)∵()2f α2sin()126πα=-+=,即1sin()62πα-=,∵02πα<<,∴663πππα-<-<,∴66ππα-=,故3πα=.。

2018届北师大版 三角函数的图象与性质 检测卷

2018届北师大版      三角函数的图象与性质     检测卷
答案:A
2.y=|cosx|的一个单调增区间是()
A.B.
C.D.
解析:将y=cosx的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称,x轴上方(或x轴上)的图象不变,即得y=|cosx|的图象(如图).故选D.
答案:D
3.关于函数y=tan,下列说法正确的是()
A.是奇函数
B.是区间上单调递减
C.为其图象的一个对称中心
三角函数的图象与性质
一、选择题
1.(2017·广州市五校联考)下列函数中,周期为π的奇函数是()
A.y=sinxcosxB.y=six
解析:y=sin2x为偶函数;y=tan 2x的周期为;y=sin 2x+cos 2x为非奇非偶函数,故B、C、D都不正确;选A.
解得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z).
所以函数的单调减区间为(k∈Z).
答案:(k∈Z)
8.若函数f(x)=2tan的最小正周期T满足1<T<2,则自然数k的值为________.
解析:由题意知,1<<2,即k<π<2k,又k∈N,所以k=2或k=3.
答案:2或3
9.已知函数f(x)=cosxsinx(x∈R),给出下列四个命题:
答案:A
5.已知函数y=sinx的定义域为[a,b],值域为,则b-a的值不可能是()
A.B.
C.π D.
解析:画出函数y=sinx的草图分析知b-a的取值范围为.
答案:A
6.(2017·吉林实验中学模拟)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)对任意x都有f=f,则f等于()
A.2或0 B.-2或2
C.0D.-2或0
解析:因为函数f(x)=2sin(ωx+φ)对任意x都有f=f,

2018届高考数学 专题3.1 三角函数的图像和性质同步单元双基双测(b卷)文

2018届高考数学 专题3.1 三角函数的图像和性质同步单元双基双测(b卷)文

专题3.1 三角函数的图像和性质(测试时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(共12小题,每题5分,共60分)1. 已知函数sin (0)y ax b a =+>的图像如图所示,则函数log ()a y x b =+的图像可能是( )【答案】C 【解析】考点:三角函数图像,对数函数的图像.2. 已知函数()2sin(2)(0)4f x x ωωπ=->的最大值与最小正周期相同,则函数()f x 在[11]-,上的单调增区间为( ) A .13(,)44-B .13[,44-)C .13[,]44-D .13(,]44- 【答案】C【解析】由已知得2222πωωπ=⇒=,()2sin()4f x x ππ∴=-,令22242k x k ππππππ-+≤-≤+,解得1322,44k x k k Z -+≤≤+∈,又[1,1]x ∈-,所以1344x -≤≤,所以函数()f x 在[1,1]-上的单调递增区间为13[,]44-考点:三角函数的图像和性质 3. 函数()3sin(2),(0,)3f x x πφφπ=-+∈满足)()(x f x f =,则φ的值为A .6πB .3πC .56πD .32π【来源】【百强校】2017届内蒙古杭锦后旗奋斗中学高三上入学摸底数学理试卷(带解析)【答案】C 【解析】考点:函数的奇偶性,诱导公式.4. 若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ,两点,则MN 的最大值为( )A .1BCD .2 【答案】B 【解析】试题分析:设x=a 与f (x )=sinx 的交点为M (a ,y 1),x=a 与g (x )=cosx 的交点为N (a ,y 2),则|MN|=|y 1-y 2|sin (a-4π)|. 考点:三角函数图像和性质。

5. 函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中0,||2A πϕ><)的图象如图所示,为了得到()sin 2g x x =的图像,则只要将()f x 的图像( )A .向右平移6π个单位长度 B .向右平移12π个单位长度C .向左平移6π个单位长度D .向左平移12π个单位长度【答案】A 【解析】试题分析:由图可知,721,,,241234T A T πππππωω==-=∴==∴=,又当712x π=时,()1f x =-,所以7322122k ππϕπ⨯+=+,k Z ∈,解得23k πϕπ=+,又因为||,23ππϕϕ<∴=,所以()sin(2)sin 2()36f x x x ππ=+=+,为得到()sin 2g x x =的图象,将()f x 的图象向右平移6π个单位即可,应选A.考点:三角函数图象和性质、平移变换. 6. 【2018安徽阜阳一中二模】已知 ,函数在内单调递减,则 的取值范围是( ) A.B.C.D.【答案】B7. 已知函数21()cos(2)sin cos 232f x x x x π=++-,[0,]3x π∈.若m 是使不等式()f x a ≤恒成立的a 的最小值,则2cos 6m π=( )A .2-B .12-C .2D .12【来源】【百强校】2017届河南省天一大联考高三上学期段测一数学(文)试卷(带解析) 【答案】D 【解析】考点:三角函数恒等变形.【思路点晴】对于三角恒等变换,高考命题主要以公式的基本运用、计算为主,其中多以与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查,在三角恒等变换过程中,准确记忆公式、适当变换式子、有效选取公式是解决问题的关键.应熟悉公式的逆用和变形应用,公式的正用是常见的,但逆用和变形应用则往往容易被忽视,公式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力,只有熟悉了公式的逆用和变形应用后,才能真正掌握公式的应用.8.【2018百校联盟联考】 若()()2cos 2(0)f x x ϕϕ=+>的图像关于直线3x π=对称,且当ϕ取最小值时, 00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,使得()0f x a =,则a 的取值范围是( ) A. (]1,2- B. [)2,1-- C. ()1,1- D. [)2,1- 【答案】D 【解析】函数()()()2c o s 20fx x ϕϕ=+>的图象关于直线3x π=对称,22,33k k ππϕπϕπ∴+=∴=-,当ϕ 取最小值时3πϕ=, ()2cos 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭, 0040,,2,2333x x ππππ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()0011cos 2,2132x f x π⎛⎫∴-≤+<∴-≤< ⎪⎝⎭,()0,21f x a a =∴-≤<,即a 的取值范围是[)2,1-,故选D.9. 使sin (0)y x ωω=>在区间]1,0[至少出现2次最大值,则ω的最小值为( ) A .π25B .π45C .πD .π23 【答案】A【解析】要使sin (0)y x ωω=>在区间]1,0[至少出现2次最大值只需要最小正周期542πω≤1,故πω25≥。

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专题二 三角函数第1讲 三角函数的图象与性质一、选择题1.(2016·四川卷)为了得到函数y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫x -π3的图象,只需把函数y =sin x 的图象上所有的点( )A .向左平行移动π3个单位长度B .向右平行移动π3个单位长度C .向左平行移动π6个单位长度D .向右平行移动π6个单位长度解析:把函数y =sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度就得到函数y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π3的图象. 答案:A2.若函数f (x )=sin ax +3cos ax (a >0)的最小正周期为2,则函数f (x )的一个零点为( )A .-π3B.23C.⎝⎛⎭⎪⎫23,0 D .(0,0)解析:f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax +π3,∵T =2πa =2,∴a =π.∴f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx +π3,∴当x =23时,f (x )=0.答案:B3.把函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6图象上各点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变),再将图象向右平移π3个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为( )A .x =-π2B .x =-π4C .x =π8D .x =π4解析:由题意知y =sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π3+π6=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π2=-cos 2x ,验证可知x =-π2是所得图象的一条对称轴.答案:A4.(2016·北京卷)将函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,t 向左平移s (s >0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y =sin 2x 的图象上,则( )A .t =12,s 的最小值为π6B .t =32,s 的最小值为π6C .t =12,s 的最小值为π3D .t =32,s 的最小值为π3解析:∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,t 在函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3的图象上,∴t =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4-π3=sin π6=12.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,12.将点P 向左平移s (s >0)个单位长度得P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-s ,12. ∵P ′在函数y =sin 2x 的图象上,∴sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-s =12,即cos 2s =12,∴2s =2k π+π3或2s =2k π+53π, 即s =k π+π6或s =k π+5π6(k ∈Z),∴s 的最小值为π6.答案:A5.函数f (x )=sin(ωx +φ)(x ∈R)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,如果x 1,x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6,π3,且f (x 1)=f (x 2),则f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1+x 22等于( ) A.12 B.22 C.32D .1解析:由题中图象可知,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3=0,得到f (x )的一条对称轴为x =-π6+π32=π12,∴x 1+x 2=2×π12=π6,观察题中图象可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12=1,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+x 22=1. 答案:D二、填空题6.已知函数f (x )=3sin(ωx -π6)(ω>0)和g (x )=3cos(2x +φ)的图象的对称中心完全相同,若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,则f (x )的取值范围是________. 解析:由两个三角函数图象的对称中心完全相同,可知两函数的周期相同,故ω=2,∴f (x )=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6,那么当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2时,-π6≤2x -π6≤5π6,∴-12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6≤1,故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,3. 答案:⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,37.(2016·江苏卷)定义在区间[0,3π]上的函数y =sin 2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是________.解析:法一:函数y =sin 2x 的最小正周期为2π2=π,y =cos x 的最小正周期为2π,在同一坐标系内画出两个函数在[0,3π]上的图象,如图所示.通过观察图象可知,在区间[0,3π]上两个函数图象的交点个数是7.法二:联立两曲线方程,得⎩⎪⎨⎪⎧y =sin 2x ,y =cos x ,两曲线交点个数即为方程组解的个数,也就是方程sin 2x =cos x 解的个数.方程可化为2sin x cos x =cos x ,即cos x (2sin x -1)=0,∴cos x =0或sin x =12.①当cos x =0时,x =k π+π2,k ∈Z ,∵x ∈[0,3π],∴x =π2,32π,52π,共3个;②当sin x =12时,∵x ∈[0,3π],∴x =π6,56π,136π,176π,共4个.综上,方程组在[0,3π]上有7个解,故两曲线在[0,3π]上有7个交点.答案:78.已知函数f (x )=sin ωx +cos ωx (ω>0),x ∈R.若函数f (x )在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y =f (x )的图象关于直线x =ω对称,则ω的值为________.解析:f (x )=sin ωx +cos ωx =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx +π4,∵函数f (x )的图象关于直线x =ω对称,∴f (ω)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω2+π4=±2,∴ω2+π4=π2+k π,k ∈Z ,即ω2=π4+k π,k ∈Z ,又函数f (x )在区间(-ω,ω)内单调递增,∴ω2+π4≤π2,即ω2≤π4,取k =0,得ω2=π4,∴ω=π2. 答案:π2三、解答题9.(2016·北京卷)已知函数f (x )=2sin ωx cos ωx +cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)求f (x )的单调递增区间.解:(1)∵f (x )=2sin ωx cos ωx +cos 2ωx =sin 2ωx +cos 2ωx =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx +π4,∴f (x )的最小正周期T =2π2ω=πω.依题意,得πω=π,解得ω=1.(2)由(1)知f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4. 函数y =sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π-π2,2k π+π2 (k ∈Z).由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2(k ∈Z),得k π-3π8≤x ≤k π+π8(k ∈Z).∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-3π8,k π+π8(k ∈Z).10.某同学用“五点法”画函数f (x )=A sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0,|φ|<π2在某一个周期内的图象时,列表并填入部分数据,如下表:(1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并直接写出函数f (x )的解析式;(2)将y =f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度,得到y =g (x )的图象,求y =g (x )的图象离原点O 最近的对称中心.解:(1)根据表中已知数据,解得A =5,ω=2,φ=-π6.数据补全如下表:且函数表达式为f (x )=5sin ⎝ ⎭⎪2x -π6.(2)由(1)知f (x )=5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6, 因此g (x )=5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6-π6=5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6.∵y =sin x 的对称中心为(k π,0),k ∈Z. 令2x +π6=k π,k ∈Z ,解得x =k π2-π12,k ∈Z.即y =g (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2-π12,0,k ∈Z , 其中离原点O 最近的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫-π12,0. 11.设函数f (x )=sin ωx +sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx -π2,x ∈R.(1)若ω=12,求f (x )的最大值及相应x 的集合;(2)若x =π8是f (x )的一个零点,且0<ω<10,求ω的值和f (x )的最小正周期.解:由已知:f (x )=sin ωx -cos ωx =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx -π4. (1)若ω=12,则f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -π4. 又x ∈R ,则2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -π4≤2, ∴f (x )max =2,此时12x -π4=2k π+π2,k ∈Z ,即f (x )取最大值时,x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x =4k π+3π2,k ∈Z.(2)∵x =π8是函数f (x )的一个零点,∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8 ω-π4=0,∴π8ω-π4=k π,k ∈Z.又0<ω<10,所以ω=2,∴f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π4,此时其最小正周期为π.。

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