安徽省滁州市定远县民族中学2017_2018学年高一数学下学期期末考试试题2-含答案 师生通用

定远民族中学2017-2018学年度下学期期末考试卷高一数学（本卷满分150分，考试时间120分钟）第I卷（选择题 60分）一、选择题（本题有12小题，每小题5分，共60分。

）1.亳州市某校为了解学生数学学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中，抽取72人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为24，那么n （）A. 800B. 1000C. 1200D. 14002.如图程序的输出结果为（）A.（4，3）B.（7，7）C.（7，10）D.（7，11）3.根据如下样本数据得到的回归方程为ˆy=ˆb x+ˆa，则（）A. ˆa>0，ˆb<0B. ˆa>0，ˆb>0C. ˆa<0，ˆb<0D. ˆa<0，ˆb>04.某城市2016年的空气质量状况如下表所示：其中污染指数T ≤50时，空气质量为优；50＜T ≤100时，空气质量为良；100＜T ≤150时，空气质量为轻微污染．该城市2016年空气质量达到良或优的概率为（ ） A.35 B. 1180 C. 119 D. 595.扇形AOB 的半径为1，圆心角为90°.点C ，D ，E 将弧AB 等分成四份．连接OC ，OD ，OE ，从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为8的概率是( )A.310 B. 15 C. 25 D. 126.如图，该程序运行后输出的结果为（ ）A.1B.2C.4D.167.一个正项等比数列前n 项的和为3，前3n 项的和为21，则前2n 项的和为（ ） A. 18 B. 12 C. 9 D. 68.在等差数列中，若为方程的两根，则（ ）A.10B.15C.20D.409.在各项均为正数的等比数列{ }中，若，数列{}的前n 项积为，若，则m 的值为( )A.4B.5C.6D.710.关于x 的不等式220ax bx ++>的解集为()1,2-，则关于x 的不等式220bx ax -->的解集为（ ）A. ()2,1-B. ()(),21,-∞-⋃+∞C. ()(),12,-∞-⋃+∞D. ()1,2- 11.已知正项数列{}n a 中， ()2221211111,2,22,n n n n n n a a a a a n b a a -++===+≥=+，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则40S 的值是（ ）A.113 B. 103C. 10D. 11 12.已知点(),P x y 的坐标满足条件4{ 1x y y x x +≤≥≥，则22x y +的最大值为（ ）B. 8C. 10D. 16第II 卷（非选择题 90分）二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分。

） 13.，时，若，则的最小值为 ．14.事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为，且P (A )＝2P (B )，则P ()＝________．15.已知数列{}n a 与{}n b 满足13n n a a +=， 11n n b b +=-， 613b a ==，若()2136n n a b λ->，对一切*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是__________．16.已知AOB ∆中， 60AOB ∠=， 2OA =， 5OB =，在线段OB 上任取一点C ，则AOC ∆为锐角三角形的概率_________．三、解答题（本题有6小题，共70分。

）17. （12分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数； （Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．18. （12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S a +=，数列{}n b 为等差数列，且1233b b b +==.（1）求n S ；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .19. （12分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛． （Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为123456,,,,,A A A A A A ，从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛． （ⅰ）用所给编号列出所有可能的结果；（ⅱ）设A 为事件“编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到”，求事件A 发生的概率．20. （12分）已知数列 是等比数列，首项 ，公比，其前n 项和为，且，，成等差数列．（1）求数列 的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前n 项和 ．21. （12分）已知函数()()()280f x ax b x a ab a =+---≠，当()3,2x ∈-时，()0f x >；当()(),32,x ∈-∞-⋃+∞时， ()0f x <．设()()f x g x x=．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若不等式()220x xg k -⋅≥在[]1,1-上恒成立，求实数k 的取值范围．22. （10分）为了选拔参加自行车比赛的选手，对自行车运动员甲、乙两人在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m /s )的数据如下：(1)画出茎叶图，由茎叶图你能获得哪些信息；(2)估计甲、乙两运动员的最大速度的平均数和方差，并判断谁参加比赛更合适．参考答案1.D 【解析】由条件得722410001200n 1200=++，即312200n 1200=+=，得2200+n=3×1200=3600， 得n=3600﹣2200=1400， 故选：D2.C 【解析】程序在运行过程中各变量的结果如下表示： 第一行 X=4 第二行 Y=3 第三行 X=X+Y=7 第四行 Y=X+Y=10 故程序的输出结果为（7，10）． 故选：C ．3.A 【解析】画出散点图如图所示，y 的值大致随x 的增加而减小，因而两个变量呈负相关，可知b ∧<0， a ∧>0.从散点图可以看出ˆa>0， ˆb <0选A. 4.A 【解析】1113+=10635+，故选A 。

5.A 【解析】由已知中扇形的半径为1，圆心角90°．点C ，D ，E 将弧AB 等分成四份可得每个小扇形的面积为16π．则图中共有面积为16π的扇形4个，面积为8π的扇形3个，面积为316π的扇形2个，面积为4π的扇形1个，共10个故图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为8π的概率P=310． 故选A ．6.D 【解析】由题意可得：①a=1≤3，b=2，a=1+1=2； ②a=2≤3，b=4，a=2+1=3； ③a=3≤3，b=16，a=3+1=4；因为a=4≤3不成立，所以输出b 的数值为16． 故选D ．由题意可得：①a=1≤3，b=2，a=1+1=2；②a=2≤3，b=4，a=2+1=3；③a=3≤3，b=16，a=3+1=4；进而程序结束得到答案． 7.C 【解析】{}n a 是等差数列， 232n n n n n S S S S S ∴--，， 也成等差数列，()()32323212n n n n n n n S S S S S S S ==∴-=+-，，， ，解得29n S =故选C8.B 【解析】由韦达定理可得： ，结合等差数列的性质可知： ，据此可得： . 故答案为：B9.B 【解析】设等比数列的公比为 ，由题意有： ，则：，结合题意可得：，等比数列中各项均不为零，据此可得： ，即数列 是的常数列，则：，求解指数方程可得： .故答案为：B根据等比数列的性质a n+1=a n *q 可得a m =2，q=1，故为常数列，代入前n 项积公式中即可解出m 的值。

10.B 【解析】设()22f x ax bx =++， ()0f x > 解集为12-（，） 所以二次函数图像开口向下，且与x 交点为()()10,20-，，，由韦达定理得121{ { ,2112ba ab a--+==-⇒=-⨯=所以220x x +-> 的解集为{|21}x x x -或 ，故选B.11.B 【解析】∵()2221122,n n n a a a n -+=+≥所以数列{}2n a 为等差数列，且首项为1，公差为3，则23n 2n a =-，即n a ,故1113n n n b a a +==+（则数列{}n b 的前n 项和为n S=13n 3⎤++⎦（1， 故401S ==103故选项为：B 12.C 【解析】可行域如图, 22x y +表示可行域内点到原点距离的平方,所以22x y +的最大值为2||10OA =,选C.13.4【解析】∵ ，， ，∴ （当且仅当即，时取等号）∴ 的最小值为4.故答案为：4.通过适当变形，利用基本不等式求得所给代数式的最小值.14.35 【解析】由题意得()()23155P A P B +=-=， 又()()2P A P B =，所以()()21,55P A P B ==。

所以()()231155P A P A =-=-=。

答案： 3515.1318⎛⎫+∞⎪⎝⎭，【解析】由题意可得3,363n n n a b n n ==+-=-， 满足()2136n n a b λ->时，有：()()()3633363183121,3323n nnnn n n λλ-+--->∴>=+， 其中()()()111821831872333n n n n n n +-----=， 故当4n =时，()336313318n nn +-=取得最值， 实数λ的取值范围是1318⎛⎫+∞⎪⎝⎭， 16.0.6【解析】如图，过点A 作OB 垂线，垂足为H ，在A O B ∆中， 60AOB ∠=， 2OA =，故1OH =；过点A 作OA 垂线，与OB 交于点 D ，因60AOB ∠=，则4,3OD DH ==，结合图形可知：当点C 位于线段DH 上时， AOC ∆为锐角三角形，所以3,5d HD D OB ====，由几何概型的计算公式可得其概率30.65d P D ===，应填答案0.6。

17.解：(I)由频率分布直方图知，分数在 的频率为 ，分数在的频率为，则分数小于70的频率为，故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为 .(Ⅱ)由频率分布直方图知，样本中分数在区间 的人数为(人)，已知样本中分数小于40的学生有5人，所以样本中分数在区间 内的人数为 (人)，设总体中分数在区间 内的人数为 ，则，得，所以总体中分数在区间 内的人数为20人.(Ⅲ)由频率分布直方图知，分数不小于70的人数为(人)，已知分数不小于70的男女生人数相等， 故分数不小于70分的男生人数为30人， 又因为样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为： ，即女生的频率为：，即总体中男生和女生人数的比例约为：18.（1）112nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （2）()1222nn T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【解析】（1）因为n S 1n a +=,所以当n=1时，得1S =112a =当2n ≥时，因为n a = 1n n S S --，代入n S 1n a +=得121n n S S --= 所以()1211,n n S S --=-又1S -1=-120≠， 即{}1n S -为以-12为首项， 12为公比的等比数列 所以11111222n nn S -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以112nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）因为n S 1n a +=,所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为数列{}n b 为等差数列，且1233b b b +==所以12321326,2,2b b b b b b b ++==+∴=，即公差为1 所以()221n b n n =+-⨯=所以数列{}n n a b 的前n 项和 2311111232222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭①234+11111112322222n n T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②①-②得()2341111111111+1222222222n n n n T n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-⋅=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1222nn T n ⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭19. 【解析】（Ⅰ）应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3，1，2； （Ⅱ）（ⅰ）从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛，所有可能的结果为{}{}{}121314,,,,,A A A A A A ，{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}1516232425263435364546,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ， {}56,A A ，共15种．（ⅱ）编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到的结果为{}{}{}{}15162526,,,,,,,A A A A A A A A ， {}{}{}{}{}3536454656,,,,,,,,,A A A A A A A A A A ，共9种，所以事件A 发生的概率()93155P A ==． 20. 解：（1）因为 ，，成等差数列，所以 ，所以，所以 ，因为数列 是等比数列，所以，又，所以，所以数列的通项公式（2）由（1）知，，，所以．故21.解：（Ⅰ）由题意得3x =-和2x =是函数()f x 的零点且0a ≠， 则()()()()220?38?3{0?28?2a b a ab a b a ab=-+----=+---，解得3{5a b =-=，∴()23318f x x x =--+．（Ⅱ）由已知可得()1833g x x x =-+- 所以()2?20xx g k -≥可化为183?23?22x x x k -+-≥， 化为2113183?22x x k ⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭， 令12x t =，则21833k t t ≤--， 因[]1,1x ∈-，故1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，记()21833h t t t =--，因为1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故()min102h t h ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴0k ≤．22. 【解析】（1）由已知画茎叶图，由茎叶图能得到中位数和甲、乙两人的最大速度等信息；（2）由已知求出甲、乙两运动员的最大速度的平均数和方差，由乙的最大速度比甲稳定，得到派乙参加比赛更合适．试题解析：(1)画茎叶图如右图，可以看出，甲、乙两人的最大速度都是均匀分布的，只是甲的最大速度的中位数是33，乙的最大速度的中位数是33. 5，因此从中位数看乙的情况比甲好．(2) x甲()1273830373531336=⨯+++++=， x 乙()1332938342836336=⨯+++++=， 所以他们的最大速度的平均数相同，再看方差()()2221476263s ⎡⎤=⨯-+⋅⋅⋅-=⎣⎦甲，()2221380363s =⨯+⋅⋅⋅=乙，则22s s >甲乙，故乙的最大速度比甲稳定，所以派乙参加比赛更合适．。