2018届中考数学一轮复习第16课时解直角三角形导学案
中考数学一轮复习 解直角三角形教案
解直角三角形教案【课标要求】1．掌握直角三角形的判定、性质．2．能用面积法求直角三角形斜边上的高．3．掌握勾股定理及其逆定理，能用勾股定理解决简单的实际问题．4．理解锐角三角函数定义（正弦、余弦、正切、余切），知道四个三角函数间的关系．5．能根据已知条件求锐角三角函数值．6．掌握并能灵活使用特殊角的三角函数值．7．能用三角函数、勾股定理解决直角三角形中的边与角的问题．8．能用三角函数、勾股定理解决直角三角形有关的实际问题．【课时分布】解直角三角形部分在第一轮复习时大约需要5课时，其中包括单元测试，下表为课时安排解直角三角形的应用【12．基础知识直角三角形的特征⑴直角三角形两个锐角互余；⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；⑶直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半；在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则a 2+b 2=c 2；则这个三角形是直角三角形，即：在△ABC 中，若a 2+b 2=c 2⑹射影定理：AC 2=AD AB ,BC 2=BD AB ,CD 2=DA DB ．锐角三角函数的定义： 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a,b,c ,则sinA =a c ,cosA =b c ,tanA =a b ,cotA =ba1 解直角三角形（Rt △ABC ,∠C ＝90°）⑴三边之间的关系：a 2+b 2=c 2．⑵两锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°．． ⑶边角之间的关系：sinA =A a c ∠的对边＝斜边,cosA = A bc ∠的邻边＝斜边．tanA =A a A b ∠∠的对边＝的邻边,cotA = A bA a∠∠的邻边＝的对边．⑷解直角三角形中常见类型：①已知一边一锐角． ②已知两边．③解直角三角形的应用． 2．能力要求例1 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，CD ⊥AB 于点D ，求∠BCD 的四个三角函数值．【分析】求∠BCD 的四个三角函数值，关键要弄清其定义，由于∠BCD 是在Rt △BCD 中的一个内角，根据定义，仅一边BC 是已知的，此时有两条路可走，一是设法求出BD 和CD ，二是把∠BCD 转化成∠A ，显然走第二条路较方便，因为在Rt △ABC 中，三边均可得出，利用三角函数定义即可求出答案．【解】 在Rt △ABC 中，∵ ∠ACB ＝90°∴∠BCD ＋∠ACD ＝90°，∵CD ⊥AB ，∴∠ACD ＋∠A ＝90°，∴∠BCD ＝∠A ． 在Rt △ABC 中，由勾股定理得，AB10，∴sin ∠BCD =sinA =BC AB =45 ,cos ∠BCD =cosA =AC AB =35 ,tan ∠BCD =tanA =BC AC =43 ,cot ∠BCD =cotA =AC BC =34．【说明】本题主要是要学生了解三角函数定义，把握其本质，教师应强调转化的思想，即本题中角的转换．（或可利用射影定理，求出BD 、DC ，从而利用三角函数定义直接求出）例2 如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角，在离电线杆6米的B 处安置测角仪，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，已知测角仪离AB 为1.5米，求拉线CE 的长．（结果保留根号）【分析】求CE 的长，此时就要借助于另一个直角三角形，故过点A 作AG ⊥CD ，垂足为G ，在Rt △ACG 中，可求出CG ，从而求得CD ，在Rt △CED 中，即可求出CE 的长． 【解】 过点A 作AG ⊥CD ，垂足为点G ，在Rt △ACG 中，∵∠CAG ＝30°，BD ＝6，∴tan 30°=CG AG ，∴CG =6×33 =2 3∴CD =2 3 +1.5,在Rt △CED 中，sin 60°=CDEC，∴EC =CD sin60°=4+ 3 ．答：拉线CE 的长为4+ 3 米．【说明】在直角三角形的实际应用中，利用两个直角三角形的公共边或边长之间的关系，往往是解决这类问题的关键．老师在复习过程中应加以引导和总结．例3 如图，某县为了加固长90米，高5米，坝顶宽为4米的迎水坡和背水坡，它们是坡度均为1∶0.5，橫断面是梯形的防洪大坝，现要使大坝顺势加高1米，求⑴坡角的度数；⑵完成该大坝的加固工作需要多少立方米的土？【分析】大坝需要的土方＝橫断面面积×坝长；所以问题就转化为求梯形ADNM 的面积，在此问题中，主要抓住坡度不变，即MA 与AB 的坡度均为1∶0.5． 【解】 ⑴∵i =tanB ,即tanB =10.5=2，∴∠B =63.43⑵过点M 、N 分别作ME ⊥AD ，NF ⊥AD ， 垂足分别为E 、F ． 由题意可知：ME ＝NF ＝5，∴ME AE ＝10.5， ∴AE＝DF ＝2.5，∵AD =4， ∴MN =EF =1.5，∴S 梯形ADNM ＝12(1.5+4)×1＝2.75．∴需要土方为2.75×90=247.5 (m 3) ．【说明】本题的关键在于抓住前后坡比不变来解决问题，坡度＝垂直高度水平距离 ＝坡角的正切值，虽然2007年中考时计算器不能带进考场，但学生应会使用计算器，所以建议老师还是要复习一下计算器的使用方法．例4 某风景区的湖心岛有一凉亭A ,其正东方向有一棵大树B ，小明想测量A 、B 之间的距离，他从湖边的C 处测得A 在北偏西45°方向上，测得B 在北偏东32°方向上，且量得B 、C 间距离为100米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A 、B 之间的距离．（结果精确到1米，参考数据：sin 32°≈0.5299,cos 32°≈0.8480,tan s 32°≈0.6249,cot 32°≈1.600） 【分析】本题涉及到方位角的问题，要解出AB 的长，只要去解Rt △ADC 和Rt △BDC 即可．【解】过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ． 由题知：∠α=45°，∠β=32°．在Rt △BDC 中，sin 32°=BDBC，∴BD ＝100sin 32°≈52.99cos32°=CDBC，∴CD =100 cos 32°≈84.80．在Rt △ADC 中，∵∠ACD =45°，∴AD =DC =84.80． ∴AB =AD +BD ≈138米．答：AB 间距离约为138米．【说明】本题中涉及到方位角的问题，引导学生画图是本题的难点，找到两个直角三角形的公共边是解题的关键，教师在复习中应及时进行归纳、总结由两个直角三角形构成的各种情形． 例5 在某海滨城市O 附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的东偏南70°方向200千米的海面P 处，并以20千米/ 时的速度向西偏北25°的PQ 的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/ 时速度不断扩张．(1)当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；又台风中心移动t 小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米．(2)当台风中心移动到与城市O 距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由(参1.41 1.73≈)． 【分析】⑴由题意易知． ⑵先要计算出OH 和PH 的长，即可求得台风中心移动时间，而后求出台风侵袭的圆形区域半径，此圆半径与OH 比较即可．【解】⑴100； (6010)t +．⑵作OH ⊥PQ 于点H ，可算得141OH =≈（千米），设经过t 小时时，台风中心从P 移动到H ，则20PH t ==得t =，此时，受台风侵袭地区的圆的半径为：6010130.5+⨯（千米）＜141（千米）．B∴城市O 不会受到侵袭．【说明】本题是在新的情境下涉及到方位角的解直角三角形问题，对于此类问题常常要构造直角三角形,利用三角函数知识来解决．例6 如图所示：如图，某人在山坡坡脚A 处测得电视塔尖点C 的仰角为60° ，沿山坡向上走到P 处再测得点C 的仰角为45° ，已知OA =100米，山坡坡度为 12 ，（即tan ∠PAB = 12）且O 、A 、B 在同一条直线上。
中考数学专题复习《解直角三角形复习课》导学案
中考数学专题复习《解直角三角形复习课》导学案一、学习目标1、利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA,cosA ，tanA ），知道30°，45°，60°角的三角函数值。
2、能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。
二、重难点1、重点：把实际问题中的已知条件和未知元素，化归到某个直角三角形中加以解决。
2、难点：把实际问题转化为解直角三角形的数学问题 三、课前小测（每题4分，共12分） 1、(2013·德州中考)cos30°的值是________.2、(2014·德州中考)如图是拦水坝的横断面,斜坡AB 的水平宽度为12米,斜面坡度为1∶2,则斜坡AB 的长为( )A.4米 B.6米C.12米 D.24米3、(2015·德州中考)如图,某建筑物BC 上有一旗杆AB,从与BC 相距38m 的D 处观测旗杆顶部A 的仰角为50°,观测旗杆底部B 的仰角为45°,则旗杆的高度约为________m.(结果精确到0.1m,参考数据:sin 50°≈0.77,cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.19) 四、知识梳理，拓展提升 （一）知识梳理1、 =斜边的对边A ∠=cosB ； =斜边的邻边A ∠=sinB ；tanA=的邻边的对边A A ∠∠=cotB 锐角∠A 的值随着角度的增大而 。
2、 sin 2A+cos 2A = tanA= ，cotA= tanA · cotA=3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的 。
4、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的 。
5、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原来的直角三角形 。
步步清练习：1、sin60°的值为( )321A. 3B.C. D.2222、在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=13,AC=5,则sinA 的值为( )512512A.B. C. D.13131253、梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A ，关于∠A 的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）A.sinA 的值越大，梯子越陡 B .cosA 的值越大，梯子越陡 C. tanA 值越小，梯子越陡 D.梯子陡的程度与∠A 的三角函数值无关4、已知,在Rt △ABC 中,∠C=90°,tanB=,则cosA=________.（二）拓展提升例1(2016·德州中考)2016年2月1日,我国在西昌卫星发射中心,用长征三号丙运载火箭成功将第5颗新一代北斗星送入预定轨道,如图,火箭从地面L 处发射,当火箭到达A 点时,从位于地面R 处的雷达站测得AR 的距离是6 km,仰角为 42.4°;1秒后火箭到达B 点,此时测得仰角为45.5°. (1)求发射台与雷达站之间的距离LR.(2)求这枚火箭从A 到B 的平均速度是多少(结果精确到0.01)?(参考数据:sin 42.4°≈0.67,cos 42.4°≈0.74,tan 42.4°≈0.91, sin 45.5°≈0.71,cos 45.5°≈0.70,tan 45.5°≈1.02)步步清练习：（2017·德州中考）如图所示,某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器,检测点设在距离公路10m 的A 处,测得一辆汽车从B 处行驶到C 处所用时间为0.9秒.已知∠B=30°,∠C=45°.（可变式为方位角问题） (1)求B,C 之间的距离.(保留根号)(2)如果此地限速为80km/h,那么这辆汽车是否超速?请说明理由.(参考数据:≈1.7,≈1.4)函数名 30° 45° 60°sin cos tan五、小结小组内交流学习心得六、当堂达标A阶：（每题4分，共12分，目标全员做对）1、(2017·怀化)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么sinα的值是( )A. B. C. D.2、Rt△ABC中,cosA=,那么sinA的值是( )A. B. C. D.3、（2007旅顺）一个钢球沿坡角31 °的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是(单位：米)（）A.5cos31 °B.5sin31 °C.5tan31 °D.5cot31 °B阶：（每题4分，共12分，目标1、2、3、4号全部做对）4、(2017·泰州)小明沿着坡度i为1∶的直路向上走了50m,则小明沿垂直方向升高了________m.5、若tan(x+10°)=1,则锐角x的度数为________.6、(2017·东营)一数学兴趣小组来到某公园,准备测量一座塔的高度.如图,在A 处测得塔顶的仰角为α,在B处测得塔顶的仰角为β,又测量出A,B两点的距离为s米,则塔高为________米. C阶：（每题4分，共4分，目标1、2号做对）7、(2017·临沂)如图,两座建筑物的水平距离BC=30m,从A点测得D点的俯角α为30°,测得C点的俯角β为60°,求这两座建筑物的高度.附加题1、(2017·烟台)如图,数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度,在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°,向前走20米到达A′处,测得点D 的仰角为67.5°,已知测倾器AB的高度为1.6米,则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1米,≈1.414,tan67.5°≈2.414)( )A.34.14米B.34.1米C.35.7米D.35.74米2、(2017·玉林)如图,一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60°方向上,轮船沿正东方向航行30海里到达B处后,此时测得灯塔P位于其北偏东30°方向上,此时轮船与灯塔P的距离是( )A.15海里B.30海里C.45海里D.30海里。
中考数学第一轮复习导学案：解直角三角形及其应用
解直角三角形及其应用◆课前热身1.图1是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB 、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC 的长是8 m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是（ ）A．833 mB ．4 mC ．43 mD ．8 m 2.如图2,长方体的长为15，宽为10，高为2 0，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（ ）A. 215B. 25C. 1055+D. 353.如图3，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为（ ）A. αcos 5B.αcos 5C. αsin 5D. αsin 54.如图4，在Rt ABC △中，ACB ∠=90°，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（ ） A ．3sin 2A =B ．1tan 2A = C ．3cos 2B =D ．tan 3B =5.如图5，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）图2EA BCD 150°图1hBCA 图4α5米AB图3A ．5mB ．6mC ．7mD ．8m 【参考答案】 1. B【解析】过点B 作直线AB 的垂线，，垂足为E ，在Rt △BCE 中，sin ∠CBE=BCCE，即sin30°=218=h ，所以h=4m. 【点评】作垂线构造直角三角形，因为知道斜边长，所以利用已知锐角的正弦关系解答即可.本题还可以利用“直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”来求解. 2. B【解析】根据“两点之间，线段最短”和“勾股定理”蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，较短爬行路线有以下4条（红色线段表示）.计算可知最短的是第2条.【点评】在立体图形上找最短距离，通常要把立体图形转化为平面图形（即表面展开图）来解答，但是不同的展开图会有不同的答案，所以要分情况讨论.3. B 【解析】利用锐角三角函数解答，在以AB 为斜边的直角三角形中，cos AB5=α，所以AB=αcos 5.【点评】在直角三角形中，根据已知边、角和要求的边、角确定函数关系. 4. D 【解析】此题考查了特殊角的三角函数值.由已知可知∠A=30°，∠B=60°，对照 30°、60°的三角函数值选择正确答案. 【点评】熟记特殊角30°、45°、60°的三角函数值是解题的关键.本题也可以通过勾股定理计算出AC ，然后根据锐角三角函数定义判断. 5. A 【解析】考查了勾股定理和坡度的定义.坡度即坡比是铅直高度与水平宽度的比，在这里设铅直高度为h 米，则有h:4=0.75，h=3，利用勾股定理得相邻两树间的坡面距离为2243+=5m.【点评】在理解坡度、坡面距离、水平距离等概念的基础上，通过直角三角形的知识来解答.1．掌握并灵活应用各种关系解直角三角形，这是本节重点．2．了解测量中的概念，并能灵活应用相关知识解决某些实际问题，而在将实际问题转化为直角三角形问题时，•怎样合理构造直角三角形以及如何正确选用直角三角形的边角关系是本节难点，也是中考的热点． ◆备考兵法正确地建立解直角三角形的数学模型以及熟悉测量，航海，航空，•工程等实际问题中的常用概念是解决这类问题的关键．注意：（1）准确理解几个概念：①仰角，俯角；②坡角；③坡度；④方位角． （2）将实际问题抽象为数学问题的关键是画出符合题意的图形．（3）在一些问题中要根据需要添加辅助线，构造出直角三角形，•从而转化为解直角三角形的问题． ◆考点链接1．解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些_____________叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的类型：已知____________；已知___________________． 3．如图（1）解直角三角形的公式：（1）三边关系：__________________．（2）角关系：∠A+∠B＝_____，（3）边角关系：sinA=___，sinB=____，cosA=_______．cosB=____，tanA=_____ ，tanB=_____．4．如图（2）仰角是____________,俯角是____________．5．如图（3）方向角：OA ：_____，OB ：_______，OC ：_______，OD ：________． 6．如图（4）坡度：AB 的坡度i AB ＝_______，∠α叫_____，tanα＝i ＝____．（图2） （图3） （图4）αACB45︒南北西东60︒ADC B70︒OOA B Cc baAC B例1（安徽省）长为4m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整成60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 ______m ．【答案】2(32)- （约0.64）.【解析】涉及知识点有锐角三角函数的应用.4m 的梯子、地面和墙高构成了直角三角形，当梯子搭在墙上与地面成45°的角时，梯子的顶端到地面的距离是4×sin45°=22，当梯子搭在墙上与地面成60°的角时，梯子的顶端到地面的距离是4×sin60°=23.则梯子的顶端沿墙面升高了2(32)- （约0.64）m ．【点评】把立体图形转化为平面图形即直角三角形，利用锐角三角函数或勾股定理解答即可. 例2（山东临沂）如图，A ，B 是公路l （l 为东西走向）两旁的两个村庄，A 村到公路l 的距离AC=1km ，B 村到公路l 的距离BD=2km ，B 村在A 村的南偏东45°方向上． （1）求出A ，B 两村之间的距离；（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P ，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P 的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．【分析】（1）设AB 与CD 的交点为O ，那么三角形AOC 和BOD 是两个等要直角三角形，根据A 、B 到公路的距离，利用勾股定理计算AO 、BO ，进而计算AB 的长度.或者以AB 为斜边构造直角三角形解答.（2）作AB 的垂直平分线，与公路l 的交点即为所求.【答案】解：（1）方法一：设AB 与CD 的交点为O ，根据题意可得45A B ∠=∠=°．ACO ∴△和BDO △都是等腰直角三角形．北 东AC Dl2AO ∴=，22BO =．∴A B ，两村的距离为22232AB AO BO =+=+=（km ）． 方法二：过点B 作直线l 的平行线交AC 的延长线于E ． 易证四边形CDBE 是矩形，∴2CE BD ==．在Rt AEB △中，由45A ∠=°，可得3BE EA ==．∴223332AB =+=（km ）∴A B ，两村的距离为32km ．（2）作图正确，痕迹清晰．作法：①分别以点A B ，为圆心，以大于12AB 的长为 半径作弧，两弧交于两点M N ，， 作直线MN ；②直线MN 交l 于点P ，点P 即为所求．【点评】（1）点到线的距离是垂线短的长，所以图形中就包含了直角三角形，然后利用勾股定理计算便是.本题也可以利用锐角三角函数计算.（2）“到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”把握这个特征是找出确切位置的基础. ◆迎考精练 一、选择题1.（山东泰安）在一次夏令营活动中，小亮从位于A 点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km 到达B 地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C 地，测得A 地在C 地南偏西30°方向，则A 、C 两地的距离为 A.km 3310 B.km 335 C.km 25 D.km 352.（山东潍坊）如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得30BAD ∠=°，在C 点测得60BCD ∠=°，又测得50AC =米，则小岛B 到公路l 的距离为（ ）米．BACDlN MOPBA l2题E第1题图A ．25B ．253C ．1003D ．25253+二、填空题1.（四川遂宁）如图，已知△ABC 中，AB=5cm ，BC=12cm ，AC=13cm ，那么AC 边上的中线BD 的长为 cm.2.（浙江宁波）如图，在坡屋顶的设计图中，AB AC =，屋顶的宽度l 为10米，坡角α为35°，则坡屋顶高度h 为 米．（结果精确到0.1米）3.（湖南益阳）如图，将以A 为直角顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线BC 平移得到△C B A '''，使点B '与C 重合，连结B A '，则C B A ''∠tan 的值为 .4.（山东济南）如图，AOB ∠是放置在正方形网格中的一个角，则cos AOB ∠的值是 ．5.（山东泰安）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A ＜∠B ，沿△ABC 的中线CM 将△CMA 折叠，使点A 落在点D 处，若CD 恰好与MB 垂直，则tanA 的值为 .O AB第4题图ABChlαA C (B ′)A ′C ′D6.（湖南衡阳）某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为52米，则这个坡面的坡度为__________.7.（湖北孝感）如图，角α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则sinα=．三、解答题1.（河南省）如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2 .90m的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1m．矩形面与地面所成的角α为78°.李师傅的身高为l.78m，当他攀升到头顶距天花板0.05～0.20m时，安装起来比较方便.他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断他安装是否比较方便?(参考数据：sin78°≈0.98，c os78°≈0.21，tan78°≈4.70.)D2.（福建福州）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC△的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）用签字笔．．．画AD∥BC（D为格点），连接CD；（2）线段CD的长为；（3）请你在ACD△的三个内角中任选一个锐角．．，若你所选的锐角是，则它所对应的正弦函数值是 .（4）若E为BC中点，则tan∠CAE的值是3.（山东德州）如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:3，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆BC的高度．4.（浙江台州）如图，有一段斜坡BC长为10米，坡角12CBD︒∠=，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°．（1）求坡高CD ；（2）求斜坡新起点A 与原起点B 的距离（精确到0.1米）．5.（河北省）如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD∥AB，且CD = 24 m ，OE⊥CD 于点E ．已测得sin∠DOE = 1213． （1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？6.（江苏省）如图，在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ，点A 到航线l 的距离为2km ，点B 位于点A 北偏东60°方向且与A 相距10km 处．现有一艘轮船从位于点B 南偏西76°方向的C 处，正沿该航线自西向东航行，5min 后该轮船行至点A 的正北方向的D 处．（1）求观测点B 到航线l 的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h ）．（参考数据：3 1.73≈，sin760.97°≈，cos760.24°≈，tan76 4.01°≈）（第4题）DC BA5°12°参考数据 sin12°≈0.21 cos12°≈0.98 tan5°≈0.09OEC D 北东CDB E 60° 76°O7.（湖南娄底）在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一长为30米的宣传条幅AE ，张明同学站在离办公楼的地面C 处测得条幅顶端A 的仰角为50°，测得条幅底端E 的仰角为30°. 问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量？（精确到整数米）（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64， tan50°≈1.20，sin30°=0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58）8.（山东烟台）腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图①）.为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°（如图②）.若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．（结果精确到0.1米，参考数据3173. ）．DC B A② ①9.（山东济南）九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得右图所放风筝的高度，进行了如下操作：（1）在放风筝的点A 处安置测倾器，测得风筝C 的仰角60CBD =︒∠； （2）根据手中剩余线的长度算出风筝线BC 的长度为70米； （3）量出测倾器的高度 1.5AB =米．根据测量数据，计算出风筝的高度CE 约为 米．（精确到0.1米，3 1.73≈）10.（山东威海）如图，一巡逻艇航行至海面B 处时，得知其正北方向上C 处一渔船发生故障．已知港口A 处在B 处的北偏西37o方向上，距B 处20海里；C 处在A 处的北偏东65o方向上．求,B C 之间的距离（结果精确到0.1海里）．参考数据：sin370.60cos370.80tan370.75≈≈≈o o o，，， sin 650.91cos650.42tan 65 2.14.≈≈≈o o o ，，11.（广东省）如图所示，A 、B 两城市相距100km ．现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB ），经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内．请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区．为什么？A DB EC60°65° 37°北北 ACB1.732 1.414）12.（湖北襄樊）为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛A 北偏西45︒并距该岛20海里的B 处待命．位于该岛正西方向C 处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东60︒的方向有我军护航舰（如图所示），便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿BC 航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C 处？（结果精确1.4 1.7）13.（湖南长沙）校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量湘江宽度的活动．如图，他们在河东岸边的A 点测得河西岸边的标志物B 在它的正西方向，然后从A 点出发沿河岸向正北方向行进550米到点C 处，测得B 在点C 的南偏西60°方向上，他们测得的湘江宽度是多1.4141.732）AB F E P45°30°【参考答案】 选择题 1. A【解析】此题考查了锐角三角函数的应用.由方位角可求得∠BAC=30°，∠ABC=90°，所以由∠BAC 的余弦定义得cos30°=235==AC AC AB ，所以AC=km 3310.【点评】根据角度判断三角形的形状，再选择适当的关系式. 2.【解析】过点B 作BE 垂直于AC ，垂足为E ，因为30BAD ∠=°，60BCD ∠=°，所以∠ABC=∠BAD=30°，则BC=AC=50，在Rt △BCE 中，sin ∠BCD=BCBE，所以小岛B 到公路l 的距离BE=BC ·sin ∠BCD=50×23=. 【点评】遇到非直角三角形的问题，通常最垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数或勾股定理解答. 填空题1. 213【解析】知识点：勾股定理的逆定理、直角三角形斜边上的中线性质.由52+122=132知△ABC 是直角三角形，AC 是斜边，所以BD=21AC=213cm. 【点评】由数量关系判断三角形的形状，这是数形结合思想的体现.学习时要注意把直角三角形所有的知识都归纳起来，从而达到综合运用知识的能力.2. 3.5【解析】知识点：等腰三角形三线合一的性质、坡角α函数关系、计算器的操作.根据三线合一的性质可知，坡屋顶高度h 把等腰三角形分成了两个全等的直角三角形，且有tan α=5h，所以h 约为3.5米. 【点评】利用三线合一的性质把等腰三角形转化为直角三角形，利用相应的函数关系时解答. 3.31【解析】由题意可知，△ABC 平移的距离是等腰直角三角形的斜边长，过点A ′作AD ⊥B ′C 于点D ，设A ′D 为a ，根据等腰三角形三线合一的性质则有BC=B ′C ′=2a ，所以BD=3a ，在Rt △A ′BD 中，C B A ''∠tan =BD D A '=31.【点评】准确地构造直角三角形是解答此题的关键.4.225.33【解析】本题所考查的知识点有轴对称、直角三角形斜边的中线性质、等边对等角、同角的余角相等、30°的正切函数值. 由CM 是Rt △ABC 斜边的中线可得CM=AM ，则∠A=∠ACM ；由折叠可知∠ACM=∠DCM ；又∠A+∠B=∠BCD+∠B=90°，则∠A =∠BCD ，所以∠A=∠ACM=∠DCM=∠BCD=30°，因此tanA=tan30°=33.【点评】把直角三角形与等腰三角形结合起来，根据折叠的不变性转化角与角之间的关系，求出角的大小，函数值即可跃然纸上. 6. 1：2 【解析】如图，由题意得直角三角形ABC ，AB=10米，AC=52米，由勾股定理得BC=45米，坡度为215452=.7.45(或0.8) 【解析】根据点P 的坐标利用勾股定理可以求得OP=2243+=5.所以 sin α=54=斜边的对边α. 解答题1. 【解析】过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点D 作DF ⊥BC 于点F ，利用三角函数计算AE 、DF ，结合电工身高计算其头顶到天花板的距离在0.05～0.20m 范围内即可判断安装方便；否则，不方便.【答案】解：过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点D 作DF ⊥BC 于点F ．BCA∵AB=AC, ∴CE=12BC=0.5． 在Rt △ABC 和Rt △DFC 中，∵tan780=AE EC，∴AE=EC ×tan780≈0.5×4.70=2.35.又∵sin α=AE AC =DFDC， DF=DC AC ·AE=37×AE ≈1.007．李师傅站在第三级踏板上时，头顶距地面高度约为：1.007+1.78=2.787． 头顶与天花板的距离约为：2.90-2.787≈0.11．∵0.05＜0.11＜0.20， ∴它安装比较方便．【点评】将等腰三角形转化为直角三角形，把问题转化为解直角三角形的问题.2. 【解析】按要求作图，因图中的三角形是格点三角形，所以线段的计算要用它与网格线构成的直角三角形，通过勾股定理计算，然后计算有关锐角的函数值. 【答案】（１）如图；（２）5；（３）∠CAD ，55(或∠ADC ，552) （４）21 【点评】选择合适的格点直角三角形是计算线段长、锐角三角函数值的基础.3. 【解析】BC 所在的三角形是斜三角形，所以它的高度无法直接求得，我们可以过点C 作AD 的垂线，结合坡比这个条件计算CE 、AE ，再计算BE ，从而通过BE 、CE 的差求BC. 【答案】解：延长BC 交AD 于E 点，则CE ⊥AD ．在Rt △AEC 中，AC ＝10， 由坡比为1︰3可知：∠CAE ＝30°，∴ CE ＝AC ·sin30°＝10×12＝5，AE ＝AC ·cos30°＝103＝53． 在Rt △ABE 中，BE 22AB AE -2214(53)-＝11． ∵ BE ＝BC ＋CE ，∴ BC ＝BE －CE ＝11-5＝6（米）．ABCDE答：旗杆的高度为6米．【点评】过合适的点作垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数和勾股定理计算线段的长度.4. 【解析】在Rt △BCD 中，利用∠CBD 的正弦计算CD ，利用∠CBD 的余弦计算BD ；在Rt △ACD 中，利用∠A 的正切计算AD ，AD 与BD 的差则是A 、B 的距离.【答案】解：（1）在BCD Rt ∆中，︒=12sin BC CD 1.221.010=⨯≈（米）． （2）在BCD Rt ∆中，︒=12cos BC BD 8.998.010=⨯≈（米）； 在ACD Rt ∆中，︒=5tan CD AD 2.123.330.09≈≈（米）， 23.339.813.5313.5AB AD BD =-≈-=≈（米）． 答：坡高2.1米，斜坡新起点与原起点的距离为13.5米．【点评】这是一道锐角三角函数的应用题，结合图形和已知条件，选择合适的函数关系式计算线段的长度.5. 【解析】根据垂径定理可知DE 的长度，在Rt △DOE 中，利用∠DOE 的正弦求半径OD ，再利用勾股定理计算OE ，然后结合水面下降的速度得时间. 【答案】解：（1）∵OE⊥CD 于点E ，CD=24，∴ED =12CD =12．在Rt△DOE 中，∵sin∠DOE =ED OD =1213， ∴OD =13（m ）．（2）OE=22OD ED -=2213125-=．∴将水排干需： 5÷0.5=10（小时）．【点评】在直角三角形中，已知一边和与它相关的函数关系式时用函数关系计算另一边，当知道两条边长时，则用勾股定理计算第三边.6. 【解析】在Rt △OAD 中，利用∠A 的余弦关系求OA ，便知OB 的长度，然后在Rt △BOE 中利用∠OBE 的余弦关系求BE ；在Rt △OAD 和Rt △BOE 利用60°的正切关系求出OD 、OE ，便得DE ，利用路程和时间求速度.【答案】解：（1）设AB 与l 交于点O ． 在Rt AOD △中，6024cos60ADOAD AD OA ∠====°，，°．又106AB OB AB OA =∴=-=，．在Rt BOE △中，60cos603OBE OAD BE OB ∠=∠=∴==g °，°（km ）． ∴观测点B 到航线l 的距离为3km ．（2）在Rt AOD △中，tan 6023OD AD ==g °． 在Rt BOE △中，tan 6033OE BE ==g °．53DE OD OE ∴=+=．在Rt CBE △中，763tan 3tan76CBE BE CE BE CBE ∠==∴=∠=g °，，°．3tan 7653 3.38CD CE DE ∴=-=-°≈．15min h 12=，1212 3.3840.6112CDCD ∴==⨯≈（km/h ）． 答：该轮船航行的速度约为40.6km/h【点评】根据已知的边和角，在相应的直角三角形中选择三角函数关系式计算线段的长度即距离.7. 【解析】过D 点作DF ⊥AB 于F 点，DF 的长度便是张明同学是在离该单位办公楼水平距离.【答案】解：方法一：过D 点作DF ⊥AB 于F 点在Rt △DEF 中，设EF=x ，则DF=3x在Rt △ADF 中，tan50°=303x x+≈1.204分 30+x=3x ×1.20Fx ≈27.8 ∴DF=3x ≈48答：张明同学站在离办公楼约48米处进行测量的.方法二：过点D 作DF ⊥AB 于F 点 在Rt △DEF 中，EF=FD ·tan30° 在Rt △AFD 中，AF=FD ·tan30° ∵AE+EF=AF∴30+FDtan30°=FD ·tan50° ∴FD ≈48答：张明同学站在离办公楼约48米处进行测量的.【点评】作垂线构造直角三角形，根据锐角三角函数直接或间接计算所要求的距离. 8. 【解析】过点C 作CE AB ⊥于E 则AB 被分为AE 、BE 两部分，在相应的直角三角形中计算即可.【答案】解：过点C 作CE AB ⊥于E ．906030903060D ACD ∠=-︒=∠=-=Q °°，°°°， 90CAD ∴∠=°．11052CD AC CD =∴==Q ，．在Rt ACE △中，5sin 5sin 302AE AC ACE =∠==g g °，5cos 5cos3032CE AC ACE =∠==g g °在Rt BCE △中，545tan 4532BCE BE CE ∠=∴==Q g °，° 5553(31) 6.8222AB AE BE ∴=+=+=≈（米）． 所以，雕塑AB 的高度约为6.8米．【点评】利用已知角度判断三角形的形状——直角三角形，作垂线构造直角三角形，通过锐角三角函数关系把未知转化为已知，步步为营，水到渠成.9. 【解析】首先利用三角函数关系计算DC 的长度，加上侧倾器的高度AB ，便得风筝的高度CE.DEAC【答案】解：在Rt △CBD 中，sin60°=70CD BC CD ==23， ∴CD=353≈60.55∴CE=CD+DE=CD+AB ≈62.1（米） 答：风筝的高度CE 约为62.1米．【点评】把实际问题转化为数学问题——直角三角形，这是锐角三角函数的应用.10. 【解析】过点A 作AD ⊥BC 于D ，在Rt △ABD 中利用正弦、余弦函数计算BD 、AD ，在Rt △ACD 中利用正切求CD ，即可计算BC 的长. 【答案】解：过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ． 在Rt ABD △中，20AB =，37B ∠=°， ∴sin3720sin3712AD AB ==·°°≈．cos3720cos3716BD AB ==·°°≈．在Rt ADC △中，65ACD ∠=°， ∴125.61tan 65 2.14AD CD =≈≈°5.611621.6121.6BC BD CD ∴=++=≈≈（海里）答：B C ，之间的距离约为21.6海里．【点评】把斜三角形转化为直角三角形，灵活利用锐角三角函数间接计算两点之间的距离.11. 【解析】根据“垂线段最短”的道理，利用解直角三角形的知识计算P 到公路AB 的垂直距离，再与半径50km 作比较.【答案】解：过点P 作PC AB C ⊥，是垂足，则3045APC BPC ∠=∠=°，°，PFBC AEAC PC =·tan 30BC PE =°，·tan 45°, AC BC AB +=Q ，PC ∴·tan 30PC +°·tan 45°=100，31100PC ⎛⎫∴+= ⎪ ⎪⎝⎭， ()()5033503 1.73263.450PC ∴=-⨯->≈≈答：森林保护区的中心与直线AB 的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．【点评】构造直角三角形，通过三角函数关系计算点到公路的距离，再与森林区域涉及的数据相比较，就能知道公路是否通过保护区.12. 【解析】要求护航舰所需时间，已知它的速度，必须要先计算出B 、C 两处的距离. 【答案】解：由图可知，3045ACB BAC =︒=︒∠，∠ 作BD AC ⊥于D （如图）， 在Rt ADB △中，20AB =∴2sin 45201022BD AB ==⨯=g° 在Rt BDC △中，30ACB =︒∠∴210220228BC =⨯= ∴280.4760≈ ∴0.476028.228⨯=≈（分钟）答：我护航舰约需28分钟就可到达该商船所在的位置C ． 【点评】“化斜为直”便可解决问题的目的. 13. 【解析】在Rt △ABC 中，利用tanC=ACAB求AB. 【答案】解：由题意得：ABC △中，9060550BAC ACB AC ∠=∠==°，°，，tan AB AC ACB =∠g 5503≈952.6≈953≈（米）． 答：他们测得湘江宽度为953米．【点评】在直角三角形中，已知一锐角和它的邻边、求对边时，用正切函数.CAB60° 45°北北D。
中考数学专题复习导学案直角三角形(含答案)
中考数学专题练习19《直角三角形》【知识归纳】1.直角三角形的定义有一个角是的三角形叫做直角三角形2.直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角；(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的；(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的3.直角三角形的判定(1)两个内角的三角形是直角三角形；(2)一边上的中线等于这条边的的三角形是直角三角形4.勾股定理及逆定理勾股定理：如果直角三角形两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么逆定理：如果三角形三边长a，b，c满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是三角形【基础检测】1.（·广西百色·3分）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（）A．6 B．6 C．6 D．122.（·贵州安顺·3分）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B． C． D．3．（广西南宁3分）如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）A．5sin36°米 B．5cos36°米 C．5tan36°米 D．10tan36°米4．（海南3分）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C 落在点E的位置．如果BC=6，那么线段BE的长度为（）A．6 B．6C．2D．35.（·四川南充）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC 的中点，则DE的长为（）A．1 B．2 C．D．1+6. （·浙江省湖州市·4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连结CD，则CD的长是．7. （·湖北随州·3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN= ．8．（·湖北荆州·10分）如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，∠FAB=15°，连接OF交AB于点E，过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD于点H．（1）求证：CD是半圆O的切线；（2）若DH=6﹣3，求EF和半径OA的长．【达标检测】一．选择题1.（•毕节市）（第5题）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．，， B． 1，， C． 6，7，8 D． 2，3，42．（•青岛，第4题3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（）A. B. 2 C.3 D. +23. 如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE=BC，连接DE,则图中等腰三角形共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连接AE，若CE=5，AC=12，则BE的长是A．5 B．10 C．12 D．135.（·湖北荆门·3分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．5 B．6 C．8 D．106. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( )A．120° B．90° C．60° D．30°7. 已知等腰三角形ABC中，腰AB=8，底BC=5，则这个三角形的周长为( )（第11题图）A. 21B. 20C. 19D. 188．（·四川宜宾）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）A． B．2 C．3 D．29．（·湖北荆州·3分）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是（）A．2 B． C． D．二．填空题10．（湖北省鄂州市，15，3分）著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB=20cm，则画出的圆的半径为10 cm．11．（·四川宜宾）在平面直角坐标系内，以点P（1，1）为圆心、为半径作圆，则该圆与y轴的交点坐标是．12.（·四川内江）如图4，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE＝______．13. （·湖北武汉）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA ＝55，则BD的长为_______．14. 如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为米（结果精确到0.1米，=1.73）．15. （·江西·3分）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是．DO CEBA图4三．解答题16．（江西，23，10分）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：●操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是（填序号即可）①AF=AG=AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB．●数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧．．作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；●类比探索：在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：．17.（·湖北咸宁）定义：数学活动课上，乐老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．理解：（1）如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB、BC为边的两个对等四边形ABCD；（2）如图2，在圆内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，AC=BD．求证：四边形ABCD是对等四边形；（3）如图3，在Rt△PBC中，∠PCB=90°，BC=11，tan∠PBC=，点A在BP边上，且AB=13．用圆规在PC上找到符合条件的点D，使四边形ABCD为对等四边形，并求出CD的长．【知识归纳答案】1.直角三角形的定义有一个角是 90°的三角形叫做直角三角形2.直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角互余；(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半3.直角三角形的判定(1)两个内角和为90°的三角形是直角三角形；(2)一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形4.勾股定理及逆定理勾股定理：如果直角三角形两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2=c2逆定理：如果三角形三边长a，b，c满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形【基础检测答案】1.（·广西百色·3分）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（）A．6 B．6C．6D．12【考点】含30度角的直角三角形．【分析】根据30°所对的直角边等于斜边的一半求解．【解答】解：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=12，∴BC=12sin30°=12×=6，故答选A．2.（·贵州安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2B． C． D．【分析】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．【解答】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．3．（广西南宁3分）如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）A．5sin36°米 B．5cos36°米 C．5tan36°米 D．10tan36°米【考点】解直角三角形的应用．【分析】根据等腰三角形的性质得到DC=BD=5米，在Rt△ABD中，利用∠B的正切进行计算即可得到AD的长度．【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，BC=10米，∴DC=BD=5米，在Rt△ADC中，∠B=36°，∴tan36°=，即AD=BD•tan36°=5tan36°（米）．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．4．（海南3分）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C 落在点E的位置．如果BC=6，那么线段BE的长度为（）A．6 B．6C．2D．3【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据折叠的性质判定△EDB是等腰直角三角形，然后再求BE．【解答】解：根据折叠的性质知，CD=ED，∠CDA=∠ADE=45°，∴∠CDE=∠BDE=90°，∵BD=CD，BC=6，∴BD=ED=3，即△EDB是等腰直角三角形，∴BE=BD=×3=3，故选D．【点评】本题考查了翻折变换，还考查的知识点有两个：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、等腰直角三角形的性质求解．5.（四川南充）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（）A．1 B．2 C．D．1+【分析】由“30度角所对的直角边等于斜边的一半”求得AB=2BC=2．然后根据三角形中位线定理求得DE=AB．【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴AB=2BC=2．又∵点D、E分别是AC、BC的中点，∴DE是△ACB的中位线，∴DE=0.5 AB=1．故选：A．【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．6. （浙江省湖州市·4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连结CD，则CD的长是 5 ．【考点】作图—基本作图；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．【分析】首先说明AD=DB，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可解决问题．【解答】解：由题意EF是线段AB的垂直平分线，∴AD=DB，Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8，∴AB===10，∵AD=DB，∠ACB=90°，∴CD=AB=5．故答案为5．7. （湖北随州·3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN= 3 ．【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的判定与性质．【分析】连接CM，根据三角形中位线定理得到NM=CB，MN∥BC，证明四边形DCMN是平行四边形，得到DN=CM，根据直角三角形的性质得到CM=AB=3，等量代换即可．【解答】解：连接CM，∵M、N分别是AB、AC的中点，∴NM=CB，MN∥BC，又CD=BD，∴MN=CD，又MN∥BC，∴四边形DCMN是平行四边形，∴DN=CM，∵∠ACB=90°，M是AB的中点，∴CM=AB=3，∴DN=3，故答案为：3．8．（湖北荆州·10分）如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，∠FAB=15°，连接OF交AB于点E，过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD于点H．（1）求证：CD是半圆O的切线；（2）若DH=6﹣3，求EF和半径OA的长．【分析】（1）连接OB，根据已知条件得到△AOB是等边三角形，得到∠AO B=60°，根据圆周角定理得到∠AOF=∠BOF=30°，根据平行线的性质得到OC⊥CD，由切线的判定定理即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠DBC=∠EAO=60°，解直角三角形得到BD=BC=AB，推出AE= AD，根据相似三角形的性质得到，求得EF=2﹣，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）连接OB，∵OA=OB=OC，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB=OC，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∵∠FAD=15°，∴∠BOF=30°，∴∠AOF=∠BOF=30°，∴OF⊥AB，∵CD∥OF，∴CD⊥AD，∵AD∥OC，∴OC⊥CD，∴CD是半圆O的切线；（2）∵BC∥OA，∴∠DBC=∠EAO=60°，∴BD=BC=AB，∴AE=AD，∵EF∥DH，∴△AEF∽△ADH，∴，∵DH=6﹣3，∴EF=2﹣，∵OF=OA，∴OE=OA﹣（2﹣），∵∠AOE=30°，∴==，解得：OA=2．【点评】本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，连接OB构造等边三角形是解题的关键．【达标检测答案】一．选择题1.（•毕节市）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（） A．，， B． 1，， C． 6，7，8 D． 2，3，4【解析】勾股定理的逆定理．.知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．【解答】解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故错误；B、12+（）2=（）2，能构成直角三角形，故正确；C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误．故选：B．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．2．（•青岛）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（）A. B. 2 C.3 D. +2【解析】含30度角的直角三角形．根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角△BDE 中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得．故选C ．【点评】本题考查了角的平分线的性质以及直角三角形的性质，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，理解性质定理是关键．3. 如图，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC ，BD 是△ABC 的角平分线，若在边AB 上截取BE=BC ，连接DE,则图中等腰三角形共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 【答案】D【解析】在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC ，求得∠ABC=∠C=72°，且△ABC 是等腰三角形． 因为BD 是△ABC 的角平分线 所以∠ABD=∠DBC=36° 所以△ABD 是等腰三角形． 在△BDC 中有三角形的内角和求出∠BDC=72° 所以△BDC 是等腰三角形．所以BD=BC=BE 所以△BDE 是等腰三角形．所以∠BDE=72°, 所以∠ADE=36°, 所以△ADE 是等腰三角形．共5个． 故选D ．4.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 于E ，连接AE ，若CE=5，AC=12，则BE 的长是 A ．5B ．10C ．12D ．13【解答】解：∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，∠C=90°， ∴CD=DE=1，又∵直角△BDE 中，∠B=30°， ∴BD=2DE=2， ∴BC=CD+BD=1+2=3．【答案】D.【解析】在Rt△CAE中，CE=5，AC=12，由勾股定理得：2213AE AC CE=+=又DE是AB的垂直平分线，∴BE=AE=13.故选D.5.（湖北荆门·3分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．5 B．6 C．8 D．10【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，∵AB=5，AD=3，∴BD==4，∴BC=2BD=8，故选C．6. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( )A．120° B．90° C．60° D．30°【答案】D．【解析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解：（第11题图）∵直角三角形中，一个锐角等于60°，∴另一个锐角的度数=90°﹣60°=30°．故选D．7. 已知等腰三角形ABC中，腰AB=8，底BC=5，则这个三角形的周长为( )A. 21B. 20C. 19D. 18【答案】A．【解析】由于等腰三角形的两腰相等，题目给出了腰和底，根据周长的定义即可求解：∵8+8+5=21．∴这个三角形的周长为21．故选A．8．（四川宜宾）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）A． B．2C．3 D．2【考点】旋转的性质．【分析】通过勾股定理计算出AB长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用勾股定理求出B、D两点间的距离．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，∴AE=4，DE=3，∴BE=1，在Rt△BED中，BD==．故选：A．9．（湖北荆州·3分）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是（）A．2 B． C． D．【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【解答】解：∵由图可知，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=32+42=25，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，∴cos∠ABC==．故选D．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．二．填空题10．（湖北省鄂州市，15，3分）著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB=20cm，则画出的圆的半径为10 cm．【解析】直角三角形斜边上的中线．【解答】连接OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OP的长，画出的圆的半径就是OP长．【点评】解：连接OP，∵△AOB是直角三角形，P为斜边AB的中点，∴OP=AB，∵AB=20cm，∴OP=10cm，故答案为：10．11．（四川宜宾）在平面直角坐标系内，以点P（1，1）为圆心、为半径作圆，则该圆与y轴的交点坐标是（0，3），（0，﹣1）．【考点】坐标与图形性质．【分析】在平面直角坐标系中，根据勾股定理先求出直角三角形的另外一个直角边，再根据点P的坐标即可得出答案．【解答】解：以（1，1）为圆心，为半径画圆，与y轴相交，构成直角三角形，用勾股定理计算得另一直角边的长为2，则与y轴交点坐标为（0，3）或（0，﹣1）．故答案为：（0，3），（0，﹣1）．12.（四川内江）如图4，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE ⊥BC，垂足为点E，则OE＝______．[答案]12 5[考点]菱形的性质，勾股定理，三角形面积公式。
初中数学九年级下册《解直角三角形》导学案
28．2．1 解直角三角形【学习目标】⑴ 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形⑵ 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．⑶ 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．【学习重点】直角三角形的解法．【学习难点】三角函数在解直角三角形中的灵活运用【导学过程】一、自学提纲：1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系a b A b a A c b A c a A ====cot ;tan ;cos ;sin b a B a b B c a B c b B ====cot ;tan ;cos ;sin如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成. 的对边的邻边；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠=∠∠=∠=∠=cot tan cos sin(2)三边之间关系 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据．二、合作交流：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足， (如图).现有一个长6m 的梯子，问:(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m)(2)当梯子底端距离墙面2.4 m 时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o ) 这时人是否能够安全使用这个梯子三、教师点拨： 例1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b=2， a=6，解这个三角形．例2在Rt △ABC 中， ∠B =35o ，b=20，解这个三角形．四、学生展示：完成课本74页练习补充题1．根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），求出________•其它所有元素的过程，即解直角三角形．2、在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．3、在△ABC中，∠C为直角，AC=6，BAC的平分线AD=43，解此直角三角形。
初三数学导学案 解直角三角形
学 生教 师 吴老师 日 期 2013/12/29 年 级 初三学 科数学时 段10:10-11:40学 情 分 析 1、对本周相关知识点进行梳理，强化训练 2、对之前的作业进行评讲课 题 解直角三角形学习目标与 考点分析 解直角三角形是近年来中考命题的热点之一，中考中通常以中档题的形式出现，解决此类问题，首先要认真读题，弄清题意，特别是关键字、词；其次要正确地画出图形，将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系；最后，运用“转化”(斜三角形转化为直角三角形)的思想方法，通过建立解直角三角形的数学模型使问题得到解决。
学习重点 难 点让学生熟练掌握解题的方法，会运用知识灵活计算，并能正确地进行相关题目的运算教学方法 讲练结合、互动启发教学过程（一）运用三角函数解直角三角形解直角三角形的思路，实际上就是根据已知条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解方程来求解。
例1、 在Rt △ABC 中，∠C=90°, sinA=43, AC=72,求ＡＢ＝？濠知教育学科导学案A B C D C D B A ED C B A（二）有关测量问题：测量类问题涉及仰角和俯角的知识，属于解直角三角形中已知一边和一锐角的类型，无斜边时，应用正切建立方程求解。
例2、某中学九年级（1）班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动，他们在某公园人工湖旁的小山AB 上测得湖中两个小岛C 、D 的距离。
从山顶A 处测得湖中小岛C 的俯角为60°,测得湖中小岛D 的俯角为45°,已知小山AB 的高为180米，求小岛CD 的距离。
思路点拨：C 、D 间的距离即为BD 和CB 的差，分别解两个直角三角形求得BD 和CB 。
例3、为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况，在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB ，在地面上事先划定以B 为圆心，半径AB 等长的圆形危险区，现有某工人站在离B 点3米远的D 处，测树的顶端A 点的仰角为60°，树的底部B 点的俯角为30°，问：距离B 点8米远的保护物是否在危险区内？方法小结：弄清题意，明确目标，将实际问题转化为解直角三角形问题，找出可以求解的直角三角形或构造出可以求解的直角三角形作为解题的突破口。
解直角三角形导学案
C B CBCBA斜边c对边abC B A(2)1353CB A(1)34CB A年 班 姓名_________________ ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆◆◆◆◆四中先学后教、当堂达标数学导学案年级：九年级课型：新授课课题：24．1锐角三角函数（1）目标导航： 【学习目标】⑴:经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。
⑵:能根据正弦概念正确进行计算 【学习重点】理解正弦（sinA ）概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实． 【学习难点】当直角三角形的锐角固定时，，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。
【导学过程】 一、自学提纲：1、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m ，•求AB2、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m ，•求BC 二、合作交流：问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，•在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？思考1：如果使出水口的高度为50m ，那么需要准备多长的水管？； 如果使出水口的高度为a m ，那么需要准备多长的水管？；结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值思考2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边 的比值是一个定值吗？•如果是，是多少？结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值三、教师点拨：从上面这两个问题的结论中可知，•在一个Rt △ABC 中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于12，是一个固定值；•当∠A=45°时，∠A 的对边与斜边的A 取其他一定度数的锐角时，•它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？探究：任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′，使得∠C=∠C ′=90°， ∠A=∠A ′=a ，那么''''BC B C AB A B 与有什么关系．你能解释一下吗？结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，•∠A 的对边与斜边的比 正弦函数概念：规定：在Rt △BC 中，∠C=90，∠A 的对边记作a ，∠B 的对边记作b ，∠C 的对边记作c ．在Rt △BC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦， 记作sinA ，即sinA= =a c ．sinA ＝A aA c∠=∠的对边的斜边 例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°=；当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°=． 四、学生展示：例1 如图，在Rt △ABC 中， ∠C=90°，求sinA 和sinB 的值．五、课堂小结：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A •的对边与斜边的比都是．在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A •的，•记作， 六、作业设置：复习巩固第1题、第2题．（只做与正弦函数有关的部分） 七、自我反思：本节课我的收获:。
解直角三角形导学案
合
二、例题： (2)∠B=60° ,c=14 例 1．如图：在 Rt△ABC 中，∠C 为直角， ∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c， 且 b= 2 ，a= 6 ，解这个三角形． 5、在△ABC 中，∠C 为直角，AC=6， BAC 的平分线 AD=4 3 ， 解此直角三 角形。
2 作 0 ′
练习： 1.建筑物 BC 上有一旗杆 AB，由距 BC40m 的 D 处观察旗杆顶部 A 的仰角为 50°，观察 底部 B 的仰角为 45 °，求旗杆的高度？
合
20 作 ′
二、自学内容： 仰角、俯角 当我们进行测量时， 在视线与水平线 所成的角中， 视线在水平线上方的角 叫做仰角， 在水平线下方的角叫做俯 角．
姓名：
月 日
学习目标 重 难 点 点
将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，利用所学知 识解决实际问题 实际问题转化成数学模型 导 学 授 进 程 学 生 练 习
环 节 知 识 链 接
时 间
新
课
讲
一、复习回顾 1．解直角三角形指什么？ 5 ′
2．解直角三角形主要依据什么？ (1)勾股定理： （sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20） (2)锐角之间的关系： (3)边角之间的关系： （特殊角的三角 函数）
习
要满足 ， (如图). 现有一个长 6m 的梯子，问: 求点 B 到地面的垂直距离 DE 3 2m ， (1)使用这个梯子最高可以 BC． 安全攀上多高的墙(精确到 0.1m)？ (2)当梯子底端距离墙面 2.4m 时，梯子与地 面所成的角 等于多少(精确到 1o)这时人是 否能够安全使用这个梯子？
探 例 2．在 Rt△ABC 中，∠C=90 o ∠B =35o， b=20，解这个三角形．(结果保留一位小数)
数学：27.3《解直角三角形》导学案(人教版九年级下)
数学：27.3《直角三角形》导学案（人教版九年级下）课 题课 型 新授课 执笔人 审核人级部审核 讲学时间 第14周第3导学稿 教师寄语聪明出于勤奋，天才在于积累; 好学而不勤问非真好学者。
学习目标。
通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． 教学重点运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。
教学难点培养学生分析问题、解决问题的能力 教学方法学生自主活动材料一．前置自学1．在三角形中有那几个元素？2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系sinA=_________ cosA=________ tanA=________sinB=__________ cosB=_________ tanB=_________如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.sin α=____________ cos α= ____________ tan α=__________(2)三边之间关系___________________ (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．________________以上三点正是解直角三角形的依据二．课堂测试1、在△ABC 中，∠C=900，AC=3,AB=4,欲求∠A 的值,最适宜的做法是（ ）A 计算tanA 的值求出B 计算sinA 的值求出C 计算cosA 的值求出D 先根据sinB 求出∠B 再利用900-∠B 求出2、等腰三角形的三边长分别为1、1、3，那么它的底角为（ ）度A 15 B 30 C 45D 603、在△ABC 中，∠C=900 ，si nB=23，b=3则a=（ ） A 3B 1 C 2 D 34、在Rt 在△ABC 中，∠C=900，AC=12,cosA=1312则tanA=________ 5、直角三角形的两条边长分别为3、4，则第三条边长为 ( )A ．5B ．7C ．7D ．5或76．如图19—7l ，菱形ABCD 的对角线AC ＝6，BD ＝8，∠ABD ＝a ，则下列结论正确的是 ( )A ．54sin =a B ．53cos =a C ．34tan =a D ．3tan 4a =7．如图19—73，钓鱼竿AC 长6m ，露在水面上的鱼线BC 长23m ，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 转动到C A '的位置，此时露在水面上的鱼线 C B ''为33，则鱼竿转过的角度是 ( )A ．60°B ．45°C ．15°D ．90°8．如图5，某中学有一块三角形状的花圃ABC ，现可直接测量到45B ∠=，30C ∠=，8AC =米．请你求出这块花圃的面积．（结果可保留根号）9．如图6，河对岸有一高层建筑物AB ，为测其高，在C 处由点D 用测量仪测得顶端A 的仰角为30°，向高层建筑物前进50米，到达E 处，由点F 测得顶点A 的仰角为45°，已知测。
九年级数学《解直角三角形》导学案
九年级数学“28.2解直角三角形”(1)导学案【学习目标】知识与技能：.理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．过程与方法：通过解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．【学习重点】直角三角形的解法．【学习难点】三角函数在解直角三角形中的灵活运用．一、自主探究：（前置性学习）要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°.现有一个长6m的梯子.问:(1) 使用这个梯子最高可以安全攀上多高的平房?(精确到0.1m)（这个问题归结为: 在Rt△ABC中,已知∠A= 75°,斜边AB=6,求BC的长）(2) 当梯子底端距离墙面2.4m时,梯子与地面所成的角α等于多少(精确到1°)?这时人能否安全使用这个梯子?（这个问题归结为: 在Rt△ABC中,已知AC=2.4m,斜边AB=6, 求锐角α的度数?）（一）、探究活动11．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？(1) 边角之间关系(2) 三边之间关系(3) 锐角之间关系以上三点正是解直角三角形的依据，由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两个元素(其中至少有一个是边),就可以求出其余三个元素.探究活动2：在Rt△ABC中,(1)根据∠A= 75°,斜边AB=6,你能求出这个三角形的其他元素吗?(2)根据AC=2.4m,斜边AB=6,你能求出这个三角形的其他元素吗?(3)根据∠A=60°,∠B=30°,你能求出这个三角形的其他元素吗?（二）、新知盘点：（三）、个人质疑：二、合作探究：（一）、交流展示：（二）、学以致用：例 1. 在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，，解这个三角形．例2. 在Rt △ABC 中，∠C 为直角∠B =35°，b=20，解这个三角形．拓展延伸：如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？。
初中中考总总结复习解直角三角形导学案
解直角三角形一、锐角三角函数的定义：B1. ∠ A 的正弦： sin AA 的对边________斜边 2．∠ A 的余弦：3．∠ A 的正切：cos AA 的邻边 ________斜边 sin AA 的对边 ________A 的邻边cabCA二、特别三角函数值和三角函数之间的关系1. 特其余三角函数值：30°45°60°sinA cosA tanA2. 简单三角函数之间的关系：⑴同角三角函数的关系 : ① sin 2 Acos 2 A 1② tan A sin Acos A⑵互为余角的三角函数之间的关系：① sin A cos 90A② cosA sin 90 A三、直角三角形的边角关系：1．直角三角形的边角关系⑴三边关系：勾股定理：．⑵三角关系：①∠ A+∠ B=∠ C ； ②∠ A+∠ B+∠ C=180°． ⑶边角关系：① sin Aa② cos Aba ； ； ③ tan Accb⑷面积关系： S ABC1ab1ch （h 为斜边 c 上的高）222 三角函数值的变换规律BcabCA⑴当 0 A 90 时， sin A ， tan A 随角度增大而 ________． ⑵当 0A90 时， cos A 随角度增大而 ________．3. 解直角三角形的看法：.4.解直角三角形的方法与技巧⑴已知素来角边和一个锐角（ a 和∠ A） .①∠ B=90° - ∠ A；② ca；③ ba也许b c 2 sin A tan B⑵已知斜边和一个锐角（ c 和∠ A） .①∠ B=90° - ∠ A；② a c sin A ；③ b c cos A 也许b ⑶已知两直角边（ a 和 b） .①c a 2b2；②tan A aA ；③∠B=90°-∠Ab ⑷已知斜边和一条直角边（c 和 a）.①b c 2a2；②sin A aA ；③∠B=90° -∠Ac 四、解直角三角形的应用：仰角、俯角、坡度、坡角、方向角88a 2c 2a2BcabC A 解题指导【例 1】已知a3 ， b a 【】b 4 b4B. 1 1 1A. C. D.33 4 4及时练习：1. 如图，乐器上的一根弦AB 80 cm，两个端点 A 、 B 固定在乐器板面上，支撑点 C 是凑近点 B 黄金切割点，支撑点 D 是凑近点 A 的黄金切割点，则 AC cm，DC cm．ＡD C B2.（2000?山西）请阅读下面资料，并回答所提出的问题．三角形内角均分线性质定理：三角形的内角均分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比率．已知：如图，△ABC中， AD是角均分线．求证：BD ABDC AC解析：要证BD AB BD、 DC与 AB、 AC或 BD、 AB与 DC、 AC所在三角形相似．DC，一般只要证AC现在 B、D、C在素来线上，△ ABD与△ ADC不相似，需要考虑用其余方法换比．在比率式BD ABDC AC 中， AC正是 BD、 DC、 AB 的第四比率项，所以考虑过C作 CE∥ AD，交 BA的延长线于E，从而得到BD、 DC、 AB 的第四比率项 AE，这样，证明证明：过 C 作 CE∥ DA，交 BA的延长线于 E．BD AB, 就可以转变为证AE=AC．DC AC1 ECE∥ DA? 2 3 E3 AC AE1 2CE ∥ DA BD BABA DCBDAEACAE AC DC（1）上述证明过程中，用到了哪些定理？（写对两个定理即可）（2）在上述解析、证明过程中，主要用到了以下三种数学思想的哪一种？选出一个填在后边的括号内．[]①数形结合思想；②转变思想；③分类谈论思想．（ 3）用三角形内角均分线性质定理解答问题：已知：如图，△ABC中， AD是角均分线， AB=5cm， AC=4cm，BC=7cm．求 BD的长．【例 2】以下四个三角形中，与左图中的三角形相似的是【】A．B．C．D．【例3】（ 2010?衡阳）如图6，在ABCD中， AB=6，AD=9，∠ BAD的均分线交BC于点E，交DC的延长线于点F， BG⊥ AE，垂足为4 2，则CEF的周长为【】G， BG=例题 4【例4】如图，在正三角形ABC中， D， E， F 分别是BC， AC， AB上的点，DE⊥ AC，EF⊥ AB，FD⊥ BC，则△ DEF的面积与△ABC的面积之比等于．【例5】花丛中有一路灯杆AB. 在灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时小明的影长GH＝ 5 米 . 若是小明的身高为 1.7 米，求路灯杆AB的高 ( 精确到0.1 米 )【例 6】如图，等腰梯形 ABCD中， AD∥ BC，AD=3， BC=7，∠ B=60°， P 为下底 BC上一点（不与 B、C 重合），过 P 点作 PE 交 DC于 E，使得∠ APE=∠ B．（1）求等腰梯形的腰长；（2）证明：△ ABP∽△ PCE；（3）在底边 BC上可否存在一点 P，使得 DE：EC=5：3？若是存在，求出 BP的长；若是不存在，请说明原由．【例 7】如图，在一个由4× 4 个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是（）D A.3 ： 4 ：：C：2A B例题 7B CA ′【例 8】如图，△ABC与△A B C是位似图形，CA′且位似比是 1: 2，若AB=2cm，则 A B cm ，并在图中画出位似中心 O． B ′例题 8【例 9】如图 ( 十四 ) ，不等长的两对角线AC、 BD订交于O点，且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形。
人教九年级下册数学- 解直角三角形的简单应用导学案
28.2.2 应用举例第1课时解直角三角形的简单应用【学习目标】1.使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．2. 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3.渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识【学习重点】将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．【学习难点】实际问题转化成数学模型【导学过程】一、课前热身：1.解直角三角形的类型：已知____________；已知___________________．2.如图解直角三角形的公式：（1）三边关系：__________________．（2）角关系：∠A+∠B＝_____，（3）边角关系：sinA=___，sinB=____，cosA=_______．cosB=____，tanA=_____ ，tanB=_____．3.已知，如图，在△ABC中，∠B = 45°，∠C = 60°，AB = 6．求BC的长. (结果保留根号).cbaAC B二、合作交流：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足， (如图).现有一个长6m的梯子，问:(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m)(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o) 这时人是否能够安全使用这个梯子？（可用计算器）【素材积累】1、冬天，一层薄薄的白雪，像巨大的轻软的羊毛毯子，覆盖摘摘这广漠的荒原上，闪着寒冷的银光。
2、抬眼望去雨后，青山如黛，花木如洗，万物清新，青翠欲滴，绿意径直流淌摘心里，空气中夹杂着潮湿之气和泥土草木的混合气味，扑面而，清新而湿热的气流迅疾钻入人的身体里。
脚下，雨水冲刷过的痕迹跃然眼前，泥土地上，湿湿的，软软的。
中考数学一轮复习几何部分导学案专题12：解直角三角形(学生用)
中考数学一轮复习几何部分专题12：解直角三角形必考知识点：本节知识主要考查解直角三角形的四种类型，以及构造直角三角形解非直角三角形的有关问题。
必考例题：【例1】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，sinA ＝52，D 为AC 上一点，∠BDC ＝450，DC ＝6，求AB 的长。
变式：如图，在△ABC 中，∠B ＝900，C 是BD 上一点，DC ＝10，∠ADB ＝450，∠ACB ＝600，求AB 的长。
【例2】如图，在△ABC 中，∠A ＝300，E 为AC 上一点，且AE ∶EC ＝3∶1，EF ⊥AB 于F ，连结FC ，则cot ∠CFB ＝（ ）A 、361B 、321C 、334D 、341【例3】已知等腰梯形ABCD 中，AD ＋BC ＝18cm ，sin ∠ABC ＝352，AC 与BD 相交于点O ，∠BOC ＝1200，试求AB 的长。
例1图 D C BA 例1变式图DC B A 例2图探索与创新：【问题】如图，如果△ABC 中∠C 是锐角，BC ＝a ，AC ＝b 。
证明：C ab S ABC sin 21=∆跟踪训练：一、填空题：1、如图，在△ABC 中，∠C ＝900，∠ABC ＝600，D 是AC 的中点，那么tan ∠DBC 的值是 。
2、在△ABC 中，∠B ＝300，tanC ＝2，AB ＝2，则BC 的长是 。
3、在△ABC 中，∠C ＝900，AB ＝2，BC ＝3，则tan2A＝ 。
4、已知正方形ABCD 的两条对角线相交于O ，P 是OA 上一点，且∠CPD ＝600，则PO ∶AO ＝ 。
5、如图，在△ABC 中，∠B ＝600，∠BAC ＝750，BC 边上的高AD ＝3，则BC ＝ 。
6、等腰三角形的周长为32+，腰长为1，则底角等于 。
二、选择题：1、在△ABC 中，∠C ＝900，AC ＝BC ＝1，则tanA 的值是（ ）A 、2B 、22C 、1D 、212、在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高线，已知∠ACD 的正弦值是32，则ABAC的值是（ ） A 、52 B 、53 C 、25 D 、32例3图GF EODC BA问题图D CB A第1题图DCB A第5题图D CB A3、如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2米，梯子的顶端B 到地面的距离为7米。
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C A b a c B 第16课时解直角三角形班级：姓名：
学习目标：1.能利用直角三角形的边边关系、边角关系解直角三角形。
2.能结合仰角、俯角、坡度等知识，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题
重难点：运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题
学习过程
一．知识梳理直角三角形的边角关系
1.在Rt ABC 中，90C A B C ∠︒∠∠∠＝，，，的对边分别为.
a b c ，，(1)三边之间的关系：
；(2)两个锐角之间的关系：
；(3)边角之间的关系：sinA ＝，cosA ＝，
tanA ＝，2.解直角三角形的应用
（1）仰角、俯角：如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．
（2）坡度(坡比)、坡角：如图②，坡面的高度h 和
的比叫做坡度(或坡比)，即=tan =i h l
α，坡面与水平面的夹角α叫做坡角．
二、典型例题
1.三角函数的实际应用（1）（2017山东滨州）如图，在△ABC 中，30AC BC ABC ⊥∠︒，＝，点D 是CB 延长线上的一点，且
BD BA ＝，则tan DAC ∠的值为（
）A．2＋3B．23C．3＋3D．33
（2）（2017包头）如图，在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 是BC 上一点，且2FC BF =，连接
AE ，EF ．若23AB AD ==，，则cos AEF ∠的值是．
（3）（中考指要例2）（2016梧州）如图，四边形ABCD是一片水田，某村民小组需计算其面积，测得如下数据：906054200300
A ABD CBD A
B m B
C m
∠=︒∠=︒∠=︒==
，，，，．
请你计算出这片水田的面积．
（参考数据：540.809540.58854 1.376 1.732
sin cos tan
︒≈︒≈︒≈≈
，，，）
2.解直角三角形的应用
（1）（2017益阳）如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，
CAB
∠=α，则拉线BC的长度为（）（A D B
、、在同一条直线上）
A．
sin
h
α
B．
cos
h
α
C．
tan
h
α
D．cos
hα
⋅
（2）（2017山西）如图所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点A处测得正前方小岛C的俯角为30°，面向小岛方向继续飞行10km到达B处，发现小岛在其正后方，此时测得小岛的俯角为45°，如果小岛高度忽略不计，求飞机飞行的高度（结果保留根号）
．
α
A
C
D B。