向量加法平行四边形法则共25页文档
平面向量的平行四边形法则
• 一、复习：向量的加减法
• 1、向量的加法法则：三角形法则；（首尾
相接……）
rr
rr
• a 例如：已知向量； , b ，求作a b .
• 2、向量的减法法则：三角形法则（同起
点……）
rr
rr
• 例如：已知向量 a, b ；求作a b .
• 3、减去一个向量，等于加上这个向量的相 反向量.
，br
，表示向量：OuuCur ,
uuur AB
B
C
O
A
rr • 向量加法的平行四边形法则：如果 a, b是两
个不平行的向量，那么求它们的和向量时，
可以在平面内r任取r 一点为公共起点作两个 向量与 相a,等b，以这两个向量为邻边作平行四边形，然后以所取的公 Nhomakorabea起点为起
点，作这个平行四边形的对角r 线r 向量，则 这一对角线向量就是 的和a,向b量.——这
• 分析：1）速度单位化为一致；2）作图时， 比例要正确；
小试牛刀：P116：练习
小结
向量减法： • 方法一：在平面内取一点，以这个点为公共起点作
出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终 点为起点，被减向量的终点为终点的向量. • 方法二：减去一个向量，等于加上这个向量的相反 向量.
平行四边形法则：共起点！作平行四边r 形r ， • 以共起点为起点的对角线向量，就是 a,rb r的和向量. • 与被减向量共终点的对角线向量：即是 a, b 的差向
• 4、零向量：模为0，方向任意.
• 5、习题评r析r1：r ur • 已知向量 a, b, c, d
；求作
r r r ur abcd
向量加法的平行四边形法则
ACABBCab
ACADDCba
Da
C
b
b b
a
Aa B
(文2档)仅结供合参考律，不: 能作为科学依据，人请删勿除模。仿；如有不当之处，请联系网站或本
b
A
B
a
c
O C
(a+b)+c=_O__B__+_B_C__=_O__C_ a+(b+c)=OA+__A_C__=_O_C_
一、向量的加法定义： 求向量和的运算，叫做向量 的
加法。
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(一)向量加法的三角形法则：
已知：如图非零向量 a，b
a
C
b
a+b
b
A
a
B
作法: 在平面内任取一点A, 作 AB = a，BC = b 则向量 AC 叫做 a 与 b 的和，即 a+b = AB + BC = AC。
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向量加法的运算律
交换律： abba 结合律：(ab)ca(bc) 想一想
1.零向量和任一向量 a 的和为什么?
r rar r 0r 0raa
2.a b ,a b 和 a b 的 大 小 关 系 如 何 ?
问题1：你能说出实数运算有哪些运算律吗？
问题2：定义了一种新运算,自然要研究其运 算律问题.请类比数的加法的运算律,思考向 量的加法是否也有运算律？有哪些运算律？
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向量公式汇总
向量公式汇总平面向量1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?b。
若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉；若a、b共线，则a?b=+-∣a∣∣b∣。
向量加法法则
向量加法法则
向量加法法则就是平行四边形法则，两个加数作为平行四边形相邻的两边，则和是两向量的公共顶点与对点相连的对角线。
向量减法法则是三角形法则，同样将两向量的始点（就是没箭头的那个点）放在一起，将两个终点连接，就是差，差向量方向指向被减向量。
向量
在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。
它可以形象化地表示为带箭头的线段。
箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。
与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。
平行四边形向量法则
平行四边形向量法则平行四边形的向量法则是矢量的基本运算法则之一，它是描述平行四边形矢量相加关系的重要公式。
对于平行四边形中的两个矢量a和b，它们的和矢量记作a+b。
在平行四边形中，对角线的向量和等于相邻两边向量的和，即a+b=c+d。
在本文中，我们将详细解释平行四边形的向量法则及其相关性质。
首先，我们来了解平行四边形的基本概念。
平行四边形是一个具有两对平行边的四边形，其对应边长相等，对角线相互平分。
我们可以使用向量表示平行四边形的边和对角线，每条边或者对角线都可以看作一个矢量。
接下来，我们可以使用平行四边形的向量法则来描述矢量的相加关系。
设平行四边形的两条对角线的向量分别为a和b，相邻边的向量分别为c和d。
根据平行四边形的性质，我们知道两条对角线的向量和等于相邻边的向量和，即a+b=c+d。
进一步地，我们可以用向量的坐标表示来推导平行四边形的向量法则。
设向量a的坐标为(a1,a2)，向量b的坐标为(b1,b2)，则向量a+b的坐标为(a1+b1,a2+b2)。
同样地，设向量c的坐标为(c1,c2)，向量d的坐标为(d1,d2)，则向量c+d的坐标为(c1+d1,c2+d2)。
根据平行四边形的性质，我们知道(a1+b1,a2+b2)=(c1+d1,c2+d2)。
通过对比坐标，我们可以得到以下结论：a1+b1=c1+d1，a2+b2=c2+d2、这意味着向量法则在向量的坐标表示下也成立。
除了向量的相加关系，平行四边形的向量法则还可以推广到多个矢量的情况。
设平行四边形的n条对角线的向量分别为a1, a2, ..., an，相邻边的向量分别为b1, b2, ..., bn-1、根据平行四边形的性质，我们有a1+a2+...+an-1+an=b1+b2+...+bn-1+bn。
即多个矢量的和等于相邻矢量和的和。
平行四边形的向量法则在物理学、工程学和数学等领域有着广泛的应用。
在物理学中，我们可以用向量法则描述力的合成，即多个力合成为一个力的过程。
向量加法的三角形法则和平行四边形法则
向量加法的三角形法则和平行四边形法则向量加法的三角形法则和平行四边形法则，这两个概念听起来有点高深，其实说白了就是在讲怎么把力和方向结合起来，让我们的生活更简单、更有趣。
想象一下，你在操场上玩飞盘，朋友站在你面前，你用力一扔，飞盘就飞了出去，这就是向量加法的一种表现。
说到这，你可能会问，飞盘的飞行轨迹和向量有什么关系呢？其实大大的有啊。
飞盘的飞行方向和速度，正是两个向量结合的结果，听起来是不是酷毙了？好啦，咱们先聊聊三角形法则。
这个法则就像是两条小路相交形成一个大路，第一条路就是你用力扔飞盘的方向，第二条路就是飞盘飞行的方向，最后形成的那条大路，就是飞盘实际飞出去的方向。
就好比你在超市里推购物车，向前推的时候，车子会稍微偏离，你的推力和车子的运动方向结合在一起，最终形成了一个“我们去往的方向”。
你说这个是不是挺简单的？而且呢，这个三角形法则也不仅仅局限于飞盘，任何时候我们把两个方向结合在一起，都可以用这个法则来描述。
然后说到平行四边形法则，这个名字听上去是不是有点复杂？但其实它的原理跟三角形法则差不多。
想象一下你在沙滩上，脚下的沙子松松软软的。
你和朋友在沙滩上各自扔着球，球的运动轨迹就像是两条边，咱们把它们画成一个平行四边形，里面的角角就代表了这两个球的结合。
在这个平行四边形里，球的运动和力的方向形成了一个完美的结合，最后产生的运动方向就像是我们在沙滩上追逐球的快乐时光。
说实话，生活中有好多事儿都跟这两个法则有关系。
比如说开车，想象一下你在路上，左边有车，右边有个小狗，咱们得左打方向盘，那是一个向量，然后再加上车速，就是另一个向量。
最终，你的车子在路上优雅地转向，就像一位优雅的舞者在舞台上旋转，真是美得不可方物。
而在这个过程中，三角形法则和四边形法则悄悄地在背后工作着，帮你把一切都安排得妥妥的。
而且哦，这两个法则不仅在物理上有用，生活中也处处可见。
你在筹备一个派对，首先得考虑人数，这是一个向量；然后再考虑预算，这是另一个向量，最终你得把这两个合起来，才能确定派对的规模和形式。
向量平行四边形法则
向量平行四边形法则
在平行四边形法则中，向量的加法和减法分别对应平行四边形法则中
的四边形两条对角线。
具体来说，如果有两个向量A和B，它们的起点分
别为O和P，并且它们的终点分别为Q和R，那么可以将向量A的起点和
向量B的起点连线作为平行四边形的一条边，向量A的终点和向量B的终
点连线作为平行四边形的另一条边。
则平行四边形的对角线OQ就表示了
向量A加上向量B的结果C，而对角线OR则表示了向量A减去向量B的
结果D。
根据平行四边形法则，可以得到以下结论：
1.两个向量的和的大小等于平行四边形对角线的大小，方向与对角线
的方向相同；
2.两个向量的差的大小等于平行四边形对角线的大小，方向与对角线
的方向相反；
3.如果两个向量和平行四边形四个角中的一个角相等，那么它们的大
小相等。
在实际问题中，平行四边形法则可以应用于很多不同的情况。
例如，
计算力的合成或分解过程中，可以使用平行四边形法则来确定最终的结果。
另外，在计算路径的问题中，也可以利用平行四边形法则来确定两个不同
路径的合成结果。
此外，平行四边形法则还可以拓展到更多个向量的加法和减法。
当我
们需要计算多个向量的和或差时，可以依次应用平行四边形法则，将它们
逐个加或减，最终得到最终结果。
总之，向量平行四边形法则是一种使用图解方法进行向量加法和减法运算的有效工具。
通过平行四边形法则，我们可以更加直观地了解向量的性质，并在解决实际问题时提供便利。
向量的平行四边形法则
向量的平行四边形法则平行四边形法则是一种基本的几何学原理，它解释了如何通过给定的四边形，用向量的方式来推断它的形状和大小。
具体来说，它指的是当在一个平行四边形中，任意一条边平行于对面的一条边时，其他两条边也一定平行。
这个法则有以下几点简单描述：1.行四边形是由四条直线组成，其中任意两条直线之间都存在平行关系；2.据隐含的直觉，任何三个边的夹角必定是相同的；3.据此法则，其他两条边一定也是平行的，能够判断某个四边形是否是平行四边形。
以上就是平行四边形法则的简单描述，接下来我们将结合一些实例来进一步解释。
假设现在已经有如图所示的一个平行四边形，根据上面的原理，我们可以推断它的形状和大小。
首先，由于其中有两条边是平行的，因此可以推断出另外两条边也是平行的，这意味着这个平行四边形的四个角都是相同的。
并且，由平行四边形的定义可以知道，任意两条边之间的距离是相同的，这可以进一步帮助我们推断出它的形状和大小。
另外，平行四边形法则也可以用来证明一种特殊的四边形是否是平行四边形，如上面提到的例子。
假设现在有一个四边形，但不确定它是不是平行四边形，我们可以通过检查它的任意两条边是否平行来验证它是不是一个平行四边形。
如果它的任意两条边都是平行的，那么我们可以肯定它就是一个平行四边形。
总的来说，向量的平行四边形法则可以帮助我们推断出一个四边形的形状和大小，也可以用来证明一个特殊四边形是否是平行四边形。
平行四边形法则在几何学中被广泛地使用，并被用来解决一系列几何学问题，比如求两个平行四边形的面积大小、求一个平行四边形的外接圆的半径等等。
事实上，向量的平行四边形法则是几何学中一个重要的原理，可以帮助我们更好地理解和分析几何学学科的基本概念，以及解决几何学中的实际问题。
因此，从现在开始，让我们一起来理解并使用这个关于几何学中一个重要原理向量的平行四边形法则，让它为我们带来更多有趣的几何学学习体验！。
向量的平行四边形法则
向量的平行四边形法则在数学中，向量是描述空间中的物理量的工具。
在表示向量时，我们通常使用有方向和大小的箭头来表示。
向量的平行四边形法则是一种用来计算向量之间关系的方法，通过该法则可以方便地计算向量的和、差以及数量积。
平行四边形法则的概念非常直观，即两个向量的和可以表示为通过将它们的起点相接，并以它们的终点为对角线构成的平行四边形的对角线。
通过这个法则，我们可以直观地理解向量之间的关系，并进行相应的计算。
假设有两个向量A和B，它们的起点分别为O点和C点，而终点分别为A点和B点。
根据平行四边形法则，我们将向量A和B的起点相接，然后以A和B的终点为对角线，构成一个平行四边形。
通过这样的构造，我们可以得到平行四边形的对角线，即A和B的和向量，记作C。
根据平行四边形法则，我们可以得到以下的关系式：C = A + B这个关系式表示了两个向量的和可以通过平行四边形法则求得。
只需要将两个向量的对应分量相加即可得到和向量的对应分量，从而得到和向量的大小和方向。
这个过程可以简单地通过向量的坐标表示进行计算。
除了向量的和之外，平行四边形法则还可以用于计算向量的差。
向量的差可以通过将两个向量的起点相接，并以它们的终点为对角线构成的平行四边形的对边得到。
根据平行四边形法则，我们可以得到以下的关系式：D = A - B这个关系式表示了向量的差可以通过平行四边形法则求得。
只需要将两个向量的对应分量相减即可得到差向量的对应分量，从而得到差向量的大小和方向。
除了向量的和和差之外，平行四边形法则还可以用于计算向量的数量积。
数量积也称为点积，是两个向量的乘积。
通过平行四边形法则的图形方法，我们可以得到以下的关系式：N = A·B = |A||B|cosθ其中，N表示数量积，|A|和|B|分别表示向量A和B的大小（模），θ表示两个向量之间的夹角。
这个关系式表明，数量积等于两个向量模的乘积与它们的夹角余弦的乘积。
通过平行四边形法则，我们可以方便地计算向量之间的和、差以及数量积。
向量的加法法则
④若 a，b 均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等． 其中真命题的个数为( ) A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
题型一 向量的加法运算 【例 1】 化简或计算：(1)C→D＋B→C＋A→B＝________.
【变式 1】 如图，E、F、G、H 分别是梯形 ABCD 的边 AB、 BC、CD、DA 的中点，化简下列各式： ①D→G＋E→A＋C→B； ②E→G＋C→G＋D→A＋E→B. 解 ①D→G＋E→A＋C→B＝G→C＋B→E＋C→B＝G→C＋C→B＋B→E＝G→B＋ B→E＝G→E； ②E→G＋C→G＋D→A＋E→B＝E→G＋G→D＋D→A＋A→E＝E→D＋D→A＋A→E＝ E→A＋A→E＝0.
→ 解直角三角形ABC求出|A→C|，∠BAC → 结合图形作答
题型三 向量加法的实际应用 【例 3】 如图所示，在抗震救灾中， 一架飞机从 A 地按北偏东 35°的方向 飞行 800 km 到达 B 地接到受伤人员， 然后又从 B 地按南偏东 55°的方向飞行 800 km 送往 C 地医院， 求这架飞机飞行的路程及两次位移的和． 审题指导 明确飞行路程与两次位移的和的含义
1．准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则 (1)当两个向量不共线时，两个法则是一致的． 如图所示：A→C＝A→B＋A→D(平行四边形法则)， 又∵B→C＝A→D， ∴A→C＝A→B＋B→C(三角形法则) (2)当两个向量共线时，就只能用三角形法则了，平行四边形法 则只适用于不共线的两个向量。 那具体给出两个共线的非零向量相加，你能作出它们的和向量 吗？
向量加法的三角形法则讲究:首尾相接
向量的平行四边形法则
向量的平行四边形法则向量是线性代数中的重要概念，它可以用来描述物体的位移、速度和加速度等物理量。
在向量运算中，平行四边形法则是一个重要的原理，它可以帮助我们理解向量的加法和减法运算。
本文将介绍向量的平行四边形法则，并探讨它在物理和工程领域的应用。
首先，让我们来了解一下向量的基本概念。
在二维空间中，一个向量可以用一个有向线段来表示，它有大小和方向两个属性。
通常情况下，我们用箭头来表示一个向量，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
在数学上，一个二维向量可以用一个有序对(x, y)来表示，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
在三维空间中，一个向量可以用一个有序三元组(x, y, z)来表示，其中x、y和z分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
接下来，让我们来讨论向量的加法和减法运算。
向量的加法运算可以用平行四边形法则来表示。
假设有两个向量a和b，它们的起点都位于原点O，那么它们的和向量a+b的终点就是以a和b为邻边的平行四边形的对角线的终点。
换句话说，向量a+b的终点就是以a和b为邻边的平行四边形的对角线的终点。
这就是向量的平行四边形法则。
同样地，向量的减法运算也可以用平行四边形法则来表示。
假设有两个向量a和b，它们的起点都位于原点O，那么它们的差向量a-b的终点就是以a和-b为邻边的平行四边形的对角线的终点。
换句话说，向量a-b的终点就是以a和-b为邻边的平行四边形的对角线的终点。
这同样是向量的平行四边形法则。
平行四边形法则的一个重要性质是，它满足向量的交换律和结合律。
换句话说，对于任意两个向量a和b，有a+b=b+a和(a+b)+c=a+(b+c)。
这意味着向量的加法运算是可交换的和可结合的。
这些性质使得平行四边形法则成为了描述向量运算的重要工具。
在物理学和工程学中，平行四边形法则有着广泛的应用。
例如，在力学中，平行四边形法则可以用来计算物体受到的合力。
如果一个物体同时受到多个力的作用，那么这些力的合力就可以用平行四边形法则来计算。
平面向量的平行四边形法则ppt课件
例1：作图：已知向量 ，用向量加法的
a 平行四边形法则作图： +b；a -b .
a
b
6
例2：在一段宽阔的河道中，河水以40米/ 分的速度向东流去，一艘小艇顺流航行到A 处，然后沿着北偏东10度的方向以12千米 /小时的速度驶向北岸，请用作图的方法指 出小艇实际航行的方向.
分析：1）速度单位化为一致；2）作图时， 比例要正确；
7
小试牛刀：P116：练习
8
小结
向量减法：
方法一：在平面内取一点，以这个点为公共起点作 出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终 点为起点，被减向量的终点为终点的向量.
方法二：减去一个向量，等于加上这个向量的相反 向量.
平行四边形法则：共起点！作平行四边形，
以共起点为起点的对角线向量，就是 a, b 的和向
量.
a,b
与被减向量共终点的对角线向量：即是 的差向
量.
9
§22.9（2） 向量加法的平行四边形法则
1
一、复习：向量的加减法 1、向量的加法法则：三角形法则；（首尾
相接……）
a, 例如：已知向量； b ，求作a b .
2、向量的减法法则：三角形法则（同起 点……）
例如：已知向量 a, b ；求作a b .
3、减去一个向量，等于加上这个向量的相 反向量.
可以在平面内任取一点为公共起点作两个
向量与
Hale Waihona Puke 相a,等b，以这两个向量为邻边作
平行四边形，然后以所取的公共起点为起
点，作这个平行四边形的对角线向量，则
这一对角线向量就是 的和a,向b量.——这
个规定叫做向量加法的平行四边形法则.
另外一个对角线向量：即是
向量平行四边形法则公式
向量平行四边形法则公式向量平行四边形法则是用于求解平行四边形的向量关系的方法。
平行四边形法则公式可用于计算平行四边形的边长、对角线、面积、向量和角度等问题。
其中，平行四边形的向量和等于对角线的向量和，而平行四边形的对角线等于两个对角向量的矢量和。
在推导平行四边形法则公式时，可以通过向量的加法、减法、数量积与向量积等基本运算进行推导。
首先，考虑平行四边形ABCD，其中两对边分别平行于x轴和y轴。
设平行四边形的对角线AC和BD的向量分别为→AC和→BD。
我们可以将→AC和→BD表示为它们的对角向量的和，即→AC=→AD+→DC和→BD=→BA+→AD。
根据向量平行四边形法则，平行四边形的向量和等于对角线的向量和，即→AB+→BC=→AC。
将上面的式子代入，得到→AB+→BC=(→AD+→DC)+(→BA+→AD)。
使用向量加法的结合律，我们可以将上式改写为→AB+→BC=(→AD+→AD)+(→BA+→DC)。
进一步，我们可以合并相同方向的向量，并使用向量加法的交换律，得到→AB+→BC=2→AD+→BA+→DC。
根据平行四边形的定义，向量→AD和→BA平行且等长，向量→DC和→BA平行且等长。
因此，平行四边形的向量和可写为→AB+→BC=2→AD+2→BA。
使用因子分配律，得到→AB+→BC=2(→AD+→BA)。
这个公式表示平行四边形的向量和等于对角线的向量和的两倍。
换句话说，平行四边形的对角线等于两个对角向量的矢量和。
对于一般情况的平行四边形，我们可以将其平移或旋转，使得两条对角线与坐标轴平行。
然后，我们可以利用上述公式计算平行四边形的向量和或对角线的向量和。
接下来，我们可以利用平行四边形法则公式来解决一些实际问题。
例如，我们可以利用该公式计算平行四边形的边长、对角线的长度以及平行四边形的面积。
假设我们知道平行四边形的边的向量→AB和→BC，我们可以使用平行四边形法则公式计算平行四边形的对角线的向量和：→AB+→BC=2→AD+2→BA。
高中数学知识点：向量加法的三角形法则与平行四边形法则
第 1 页 共 1 页 高中数学知识点：向量加法的三角形法则与平行四边形法则
1.向量加法的概念及三角形法则
已知向量,a b ，在平面内任取一点A ，作,AB a BC b ==，再作向量AC ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a b +，即a b AB BC AC +=+=．如图
本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则．
2．向量加法的平行四边形法则
已知两个不共线向量,a b ，作,AB a AD b ==，则,,A B D 三点不共线，以,AB AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线AC a b =+．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．
求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
对于零向量与任一向量a ，我们规定00a a a +=+=． 要点诠释：
两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.。