四川高中数学竞赛试题及答案

全国高中数学联合竞赛（四川初赛）一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、函数()f x 对于任意实数x 满足：()()13f x f x +=-，若(0)2f =，则(2013)f =【 】A 、12- B 、12C 、2D 、20132、设等差数列{}n a 与等比数列{}n b 满足：11550a b a b <=<=，则下述四个结论：① 33a b < ； ②33a b >； ③66a b >； ④66a b <中正确的个数是 【 】 A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个3、已知二面角l αβ--的平面角为θ，PA α⊥，PB β⊥，A 、B 为垂足，5PA =，4PB =，设A 、B 到二面角的棱l 的距离分别为x 、y ，当θ变化时，点(,)x y 的轨迹为下列图形中的 【 】A 、B 、C 、D 、4、从[0,10]上任取一个数x ，从[0,6]上任取一个数y ，则使得|5||3|4x y -+-≤的概率是 【 】A 、15 B 、13 C 、12 D 、345、当平面上的点(,)x y 的坐标x 、y 都为有理数时，该点称为有理点，设r 是给定的正实数，则圆222(1)(2)x y r -+-=上的有理点 【 】A 、最多有一个B 、最多有两个C 、最多有四个D 、可以有无穷多个 6、△ABC 中，90C ∠= ，30B ∠= ,2AC =，M 是AB 的中点，将△ACM 沿CM 翻折，使A 、B 两点间的距离为22，则三棱锥A BCM -的体积等于 【 】A 、23B 、23C 、63D 、223二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、已知函数xxx f ++=13)(，记m f f f f =++++)1024()4()2()1( ，n f f f f =++++)10241()81()41()21( ，则=+n m ． 8、已知i 是虚数单位， 23420131z i i i i i =++++++ ，把复数z 的共轭复数记为z ，则z z ⋅= ．9、实数y x ,满足11622=+y x ，则22y x +的最大值是 ． 10、关于曲线C ：421x y +=的下列命题：① 曲线C 关于原点对称； ② 曲线C 关于直线y x =对称； ③ 曲线C 所围成的面积小于π； ④ 曲线C 所围成的面积大于π， 其中的真命题是 ．（写出所有真命题的编号）11、设n 是小于100的正整数，且满足211(1)35n n -+为整数，则符合条件的所有正整数n 的和为 ． 12、已知函数x xax f -=)(，对任意(0,1)x ∈，有()(1)1f x f x ⋅-≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、设实数0ω>，已知函数2π()sin 3sin sin()2f x x x x ωωω=+⋅+的最小正周期是π2．求()f x 在ππ[,]84上的最大值与最小值．14、已知函数323()31x x f x x +=+，数列{}n x 满足：12x =，*1()()n n x f x n N +=∈，记1311log ()1n n n x b x ++-=+ *()n N ∈． ( I ) 求证：数列{}n b 成等比数列，并求数列{}n b 的通项公式；（II ）记n n c nb =-*()n N ∈，求数列{}n c 的前n 项和公式n T ．15、已知点(0,1)B ，P 、Q 为椭圆2214x y +=上异于点B 的任意两点，且BP BQ ⊥．（I ）若点B 在线段PQ 上的射影为点M ，求M 的轨迹方程； （II ）求线段PQ 的中垂线l 在x 轴上的截距的取值范围．16、若实数0x 满足00()f x x =，则称0x x =为()f x 的不动点．已知函数32()3f x x ax bx =+++，其中,a b 为常数．（Ｉ）若0a =，求函数()f x 的单调递增区间；（II ）若0a =时，存在一个实数0x ，使得0x x =既是()f x 的不动点，又是()f x 的极值 点．求实数b 的值；（III ）求证：不存在实数组(,)a b ，使得()f x 互异的两个极值点皆为不动点．2013年全国高中数学联赛（四川）初赛试题参考答案及评分标准说明：1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分一个档次，不要再增加其它中间档次. 一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、A2、B3、C4、C5、B6、D 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、42 8、2 9、94 10、①④ 11、635 12、1{|1}4a a a ≥≤-或 三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分） 13、已知函数2π()sin 3sin sin()(0)2f x x x x ωωωω=+⋅+>的最小正周期是π2． 求()f x 在ππ[,]84上的最大值与最小值．解：1cos23()sin 222x f x x ωω-=+311sin 2cos2222x x ωω=-+1sin(2)62x πω=-+， （5分）由条件知222T ππω==，则2ω=． 于是1()sin(4)62f x x π=-+， （10分）当84x ππ≤≤时，54366x πππ≤-≤，故1sin(4)126x π≤-≤，即131sin(4)622x π≤-+≤． （15分） 所以，()f x 在6x π=时取最大值32，在4x π=时取最小值是1． （20分）14、已知函数323()31x xf x x +=+，数列{}n x 满足：12x =，*1()()n n x f x n N +=∈.， 记1311log ()1n n n x b x ++-=+ *()n N ∈．( I ) 求证：数列{}n b 成等比数列，并求数列{}n b 的通项公式； （II ）记n n c nb =-*()n N ∈，求数列{}n c 的前n 项和公式n T ．解：（1）33232133212311()131331131()13311131n nn n n n n n n n n n n n n n n n x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x +++-⎛⎫--+-+--==== ⎪+++++++⎝⎭++ （5分） 于是133111log ()3log ()11n n n n x x x x ++--=++，即13n n b b +=，所以数列{}n b 成等比数列．又1321log ()121b -==-+，于是13n n b -=-， 所以．数列{}n b 的通项公式为13n n b -=-． （10分） （II ）由（I ）知，13n n b -=-，故13n nc n -=⋅，01211323333n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯ ， 12331323333n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯ ，于是213121333332n n nn n T n n ---=++++-⨯=-⨯ ， （15分）即 331(21)31244n n n n n n T ⨯--⋅+=-=， 所以，数列{}n c 的前n 项和公式*(21)31()4n n n T n N -⋅+=∈. （20分） 15、已知点(0,1)B ，P 、Q 为椭圆2214x y +=上异于点B 的任意两点，且BP BQ ⊥，（I ）若点B 在线段PQ 上的射影为M ，求M 的轨迹方程； （II ）求线段PQ 的中垂线l 在x 轴上的截距的取值范围．解：（I ）设11(,)P x y 、22(,)Q x y ，PQ 的方程为y kx m =+， 与椭圆方程联立消去y 得：222(14)8440k x kmx m +++-=，所以122841km x x k -+=+，21224441m x x k -=+， （5分）由BP BQ ⊥得1212111y y x x --?-，即121212()10x x y y y y +-++=， 从而可得22222(1)(44)8(1)(1)04141k m kmk m m k k +--+-?-=++化简得25230m m --=，解得1m =（舍去）或35m =-．设(,)M x y ，因为BM PQ ^，所以1xk y =--， 代入PQ 方程得2315x y y =---， 整理得22214()()55x y +-=，由题意知轨迹不经过点(0,1)B ．所以，动点M 的轨迹方程为：22214()()(1)55x y y +-=≠． （10分） （II ）PQ 方程为35y kx =-，所以1221225(41)x x k k +=+，122325(41)y y k +-=+ 所以PQ 中垂线方程为223112()5(41)5(41)ky x k k k +=--++， （15分） 其在x 轴上的截距为295(41)kb k =+，所以,992020b -≤≤． （20分）16、若实数0x 满足00()f x x =，则称0x x =为()f x 的不动点． 已知函数32()3f x x ax bx =+++，其中,a b 为常数． （I ）若0a =，求函数()f x 的单调递增区间；（II ）若0a =时，存在一个实数0x ，使得0x x =既是()f x 的不动点，又是()f x 的极值 点．求实数b 的值；（III ）求证：不存在实数组(,)a b ，使得()f x 互异的两个极值点皆为不动点．解：（I ）若0a =，3()3f x x bx =++，故2()3f x x b '=+．当0b ≥时，显然()f x 在R 上单增；当0b <时，由()0f x '>知3b x >-或3bx <--． 所以，当0b ≥时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞；当0b <时，()f x 的单调递增区间为(,)3b -∞--，(,)3b -+∞． （5分）（II ）由条件知203000303x b x bx x ⎧+=⎨++=⎩，于是300230x x +-=，即2000(1)(223)0x x x -++=，解得01x =从而3b =-． （10分）（III ）假设存在一组实数(,)a b 满足条件．由条件知2()32f x x ax b '=++， 因为()f x 的两个不同极值点，则24120a b ∆=->，即23a b >． ① 设()f x 的两个不同极值点为12,x x ，其中12x x <，则12,x x 是方程2320x ax b ++=的两实根，所以12122,33a b x x x x +=-=． 又由12,x x 是()f x 的不动点，则12,x x 是方程32(1)30x ax b x ++-+=的两根，设其另一个根为3x ．故32123(1)3()()()x ax b x x x x x x x ++-+=---即3232123122331123(1)3()()x ax b x x x x x x x x x x x x x x x x ++-+=-+++++-故有12312233112313x x x ax x x x x x b x x x ++=-⎧⎪++=-⎨⎪=-⎩于是393a x b=-=-，从而27ab =． ② 又1212321()()()333b a a b x x x x x -=++=+--，即2221093a b-+=， 故2218109a a-+=，即3291620a a +-= （15分） 令3()29162g x x x =+-，则2()690g x x '=+> 故()g x 在R 上单增，从而()0g x =至多有一个实根；又因为(0)1620g =-<， (4)20g =>，从而()0g x =至少有一个实根； 所以，()0g x =恰有一个实数根(0,4)x a =∈． 由①、②知2813a b a>=，即381a >，这与(0,4)a ∈，矛盾！ （20分） 所以，不存在实数组(,)a b ，使得()f x 互异的两个极值点皆为不动点．。