高中数学必修一函数的性质奇偶性精选习题测试(打印版)
高中数学必修一单元测试：函数的奇偶性及周期性word版含答案
函数的奇偶性及周期性单元测试一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·浙江名校协作体联考)下列函数为奇函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝e xC ．y ＝cos xD ．y ＝e x－e －x解析：选D 对于A ，定义域不关于原点对称，故不符合要求； 对于B ，y ＝e x为非奇非偶函数，故不符合要求； 对于C ，满足f (－x )＝f (x )，故不符合要求； 对于D ，∵f (－x )＝e －x－e x ＝－(e x －e －x)＝－f (x )， ∴y ＝e x－e －x为奇函数，故选D.2．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋m ，则f (－2)＝( )A ．－3B ．－54C.54D ．3解析：选A 因为f (x )为R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1， 则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.3．函数f (x )＝x ＋1x＋1，f (a )＝3，则f (－a )的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．2解析：选B 由题意得f (a )＋f (－a )＝a ＋1a ＋1＋(－a )＋1－a ＋1＝2.∴f (－a )＝2－f (a )＝－1，故选B.4．函数f (x )在R 上为奇函数，且x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________.解析：∵f (x )为奇函数，x >0时，f (x )＝x ＋1， ∴当x <0时，－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)， 即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1. 答案：－－x －15．设函数f (x )是定义在R 上周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.解析：依题意得，f (2＋x )＝f (x )，f (－x )＝f (x )， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12＋1＝32.答案：32二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·浙江名校协作体联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为( )A ．4B ．－4C ．6D ．－6解析：选B 由f (x )是定义在R 上的奇函数得f (0)＝1＋m ＝0⇒m ＝－1，f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4，选B.2．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52等于( ) A ．－12B ．－14C. 14D. 12解析：选A ∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝－12. 3．(2018·宁波适应性考试)若函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，y ＝g (x )是R 上的奇函数，它们都是周期函数，则下列一定正确的是( )A ．函数y ＝g (g (x ))是偶函数，函数y ＝f (x )＋g (x )是周期函数B ．函数y ＝g (g (x ))是奇函数，函数y ＝f (x )g (x )不一定是周期函数C ．函数y ＝f (g (x ))是奇函数，函数y ＝f (g (x ))是周期函数D ．函数y ＝f (g (x ))是偶函数，函数y ＝f (x )g (x )是周期函数 解析：选D ∵y ＝f (x )是R 上的偶函数，y ＝g (x )是R 上的奇函数， 故有f (－x )＝f (x )，且g (－x )＝－g (x )． 则g (g (－x ))＝g (－g (x ))＝－g (g (x ))，f (g (－x ))＝f (－g (x ))＝f (g (x ))；故g (g (x ))为奇函数，f (g (x ))为偶函数，故排除A 、C ； ∵f (x )和g (x )都是周期函数，设它们的周期的最小公倍数为t ， 即f (x ＋t )＝f (x )，g (x ＋t )＝g (x )， 令n (x )＝f (x )g (x )，则n (x ＋t )＝f (x ＋t )g (x ＋t )＝f (x )g (x )＝n (x )， 所以n (x )＝f (x )g (x )一定为周期函数，故选D.4．(2018·杭州模拟)已知函数y ＝f (x ＋1)为偶函数，且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，设 a ＝f (log 210)，b ＝f (log 310)，c ＝f (0.10.2)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b解析：选C ∵函数y ＝f (x ＋1)为偶函数， ∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)， 设t ＝x ＋1，得f (t )＝f (2－t )，c ＝f (0.10.2)＝f (2－0.10.2)，∵0<0.10.2<1，∴1<2－0.10.2<log 310<log 210， 又f (x )在(1，＋∞)上单调递减， ∴c >b >a .故选C.5．(2018·温州十校联考)设函数y ＝f (x )的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1＋x 2＝2a 时，恒有f (x 1)＋f (x 2)＝2b ，则称点(a ，b )为函数y ＝f (x )图象的对称中心．研究函数f (x )＝x ＋sin πx －3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f ⎝⎛⎭⎪⎫12 018＋ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 018＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0342 018＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0352 018的值为( )A ．－4 035B ．4 035C ．－8 070D ．8 070解析：选C ∵f (x )＝x ＋sin πx －3， ∴当x ＝1时，f (1)＝1＋sin π－3＝－2，∴根据对称中心的定义，可得当x 1＋x 2＝2时，恒有f (x 1)＋f (x 2)＝－4， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫12 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 018＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0342 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0352 018＝2 017×⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫12 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0352 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0182 018＝2 017×(－4)－2 ＝－8 070.6．(2018·贵州适应性考试)已知f (x )是奇函数，g (x )＝2＋f xf x.若g (2)＝3，则g (－2)＝________.解析：由题意可得g (2)＝2＋f 2f 2＝3，则f (2)＝1，又f (x )是奇函数，则f (－2)＝－1，所以g (－2)＝2＋f －2f －2＝2－1－1＝－1.答案：－17．(2018·台州月考)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f (2)＝0，则不等式3f －x －2f x5x ≤0的解集为____________．解析：∵函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f (2)＝0， ∴函数f (x )在(0,2)的函数值为正，在(2，＋∞)上的函数值为负． 当x ＞0时，不等式3f－x －2f x5x≤0等价于3f (－x )－2f (x )≤0，又函数f (x )为奇函数，所以f (x )≥0， 所以0＜x ≤2.同理当x ＜0时，可解得－2≤x ＜0.综上，不等式3f －x －2f x5x ≤0的解集为[－2,0)∪(0,2]．答案：[－2,0)∪(0,2]8．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是______________．解析：在f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x中，用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数， 所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )， 因此得－f (x )－g (x )＝2x.联立方程组解得f (x )＝2－x－2x 2，g (x )＝－2－x ＋2x2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54，故f (1)>g (0)>g (－1)． 答案：f (1)>g (0)>g (－1)9．设f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝x1－3x.(1)求当x <0时，f (x )的解析式；(2)解不等式f (x )<－x8.解：(1)因为f (x )是奇函数，所以当x <0时，f (x )＝－f (－x )，－x >0， 又因为当x >0时，f (x )＝x1－3x，所以当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－－x 1－3－x ＝x1－3－x .(2)f (x )<－x 8，当x >0时，即x 1－3x <－x8，所以11－3x <－18，所以13x－1>18，所以3x－1<8， 解得x <2，所以x ∈(0,2)．当x <0时，即x 1－3－x <－x 8，所以11－3－x >－18，所以3－x>32，所以x <－2， 所以解集是(－∞，－2)∪(0,2)．10．(2017·台州期中)已知函数f (x )＝x |2a －x |＋2x ，a ∈R.(1)若a ＝0，判断函数y ＝f (x )的奇偶性，并加以证明； (2)若函数f (x )在R 上是增函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)函数y ＝f (x )为奇函数． 理由：当a ＝0时，f (x )＝x |x |＋2x ，f (－x )＝－x |x |－2x ＝－f (x )，∴函数y ＝f (x )为奇函数；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2－2a x ，x ≥2a ，－x 2＋2＋2a x ，x <2a ，当x ≥2a 时，f (x )的对称轴为：x ＝a －1； 当x ＜2a 时，y ＝f (x )的对称轴为：x ＝a ＋1； ∴当a －1≤2a ≤a ＋1时，f (x )在R 上是增函数， 即－1≤a ≤1时，函数f (x )在R 上是增函数． 故实数a 的取值范围为[－1,1]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·温州模拟)记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥y ，y ，x <y ，若f (x )，g (x )均是定义在实数集R 上的函数，定义函数h (x )＝max{f (x )，g (x )}，则下列命题正确的是( )A ．若f (x )，g (x )都是单调函数，则h (x )也是单调函数B ．若f (x )，g (x )都是奇函数，则h (x )也是奇函数C ．若f (x )，g (x )都是偶函数，则h (x )也是偶函数D ．若f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则h (x )既不是奇函数，也不是偶函数 解析：选C 对于A ，如f (x )＝x ，g (x )＝－2x 都是R 上的单调函数，而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥0，－2x ，x <0，不是定义域R 上的单调函数，故A 错误；对于B ，如f (x )＝x ，g (x )＝－2x 都是R 上的奇函数，而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－2x ，x <0，不是定义域R 上的奇函数，故B 错误；对于C ，当f (x )，g (x )都是定义域R 上的偶函数时，h (x )＝max{f (x )，g (x )}也是定义域R 上的偶函数，故C 正确；对于D ，如f (x )＝sin x 是定义域R 上的奇函数，g (x )＝x 2＋2是定义域R 上的偶函数， 而h (x )＝g (x )＝x 2＋2是定义域R 上的偶函数，故D 错误．2．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 成立．(1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值；(3)若g (x )＝x 2＋ax ＋3，且y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，求实数a 的值．解：(1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )， 所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期． (2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2， 又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2. (3)因为y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，且|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，所以|f (x )|为偶函数． 故g (x )＝x 2＋ax ＋3为偶函数， 即g (－x )＝g (x )恒成立，于是(－x)2＋a(－x)＋3＝x2＋ax＋3恒成立．于是2ax＝0恒成立，所以a＝0.。
高中必修一函数的奇偶性详细讲解及练习(详细答案)
函数的单调性和奇偶性例 1 （ 1）画出函数 y ＝ -x 2+2｜ x ｜+3 的图像，并指出函数的单调区间．解：函数图像如下图所示， 222＝ -（ x+1）当 x ≥0时，y ＝ -x +2x+3 ＝ -（ x-1） +4；当 x ＜ 0 时，y ＝ -x -2x+3 2．在（ -∞，-1］和［ 0， 1］上，函数是增函数：在［ -1， 0］和［ 1， +∞）上，函数是减函数．+4评析 函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上．（ 2）已知函数 f （ x ）＝ x 2+2 （ a-1）x+2 在区间（ -∞， 4］上是减函数，求实数 a 的取值范围．分析 要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征．２x ＝ 1-a ．因为解： f （ x ）＝ x 2+2（ a-1）x+2 ＝［ x+ （ a-1）］ -（ a-1） 2+2，此二次函数的对称轴是 在区间（ -∞， 1-a ］上 f （ x ）是单调递减的，若使 f （ x ）在（ -∞，4］上单调递减，对称轴 x ＝1-a 必须在 x=4 的右侧或与其重合，即 1-a ≥4， a ≤-3．评析 这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合．例 2 判断下列函数的奇偶性：（ 1） f （ x ）＝-（ 2） f （ x ）＝（ x-1） ．解： （ 1）f （ x ）的定义域为 R ．因为f （ -x ）＝｜ -x+1 ｜ -｜-x-1 ｜＝｜ x-1｜ -｜ x+1 ｜＝ -f （x ）．所以 f （ x ）为奇函数．（ 2） f （ x ）的定义域为｛ x ｜ -1≤x＜ 1｝，不关于原点对称．所以f （ x ）既不是奇函数，也不是偶函数．评析 用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下：（ 1）求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称．（ -x）与 -f （ x）的关系并不明确时，可考查f（ -x）±f（x）＝ 0 是否成立，从而判断函数的奇偶性．例 3已知函数f（ x）＝．（1）判断 f（ x）的奇偶性．（2）确定 f（ x）在（ -∞， 0）上是增函数还是减函数 ?在区间（ 0，+∞）上呢 ?证明你的结论．解：因为 f （ x）的定义域为R，又f （ -x）＝＝＝f（x），所以 f（ x）为偶函数．（ 2）f（ x）在（ -∞，0）上是增函数，由于f（ x）为偶函数，所以f（x）在（ 0，+∞）上为减函数．其证明：取x1＜ x2＜ 0，f （ x1） -f （ x2）＝-＝＝．因为 x1＜ x2＜ 0，所以x2-x1＞ 0， x1+x 2＜ 0，22＞ 0，x 1+1＞ 0， x 2+1得 f （ x1） -f （ x2）＜ 0，即 f （ x1）＜ f（ x2）．所以 f（ x）在（ -∞， 0）上为增函数．评析奇函数在（ a,b）上的单调性与在（ -b,-a）上的单调性相同，偶函数在（ a,b）与（ -b,-a）的单调性相反．例4 已知y=f（x）是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0，试问F（x）＝在（ -∞， 0）上是增函数还是减函数 ?证明你的结论．分析根据函数的增减性的定义，可以任取x1＜ x2＜ 0，进而判定 F（ x1）-F（ x2）＝-＝的正负．为此，需分别判定f（ x1）、 f （ x2）与 f （ x2）的正负，而这可以从已条件中推出．解：任取 x1、x2∈（ -∞， 0）且 x1＜ x2，则有 -x1＞-x2＞ 0．∵y＝ f（ x）在（ 0， +∞）上是增函数，且f（ x）＜ 0，∴f （-x2）＜ f （-x1）＜ 0．①∴f （-x2）＝ -f （x2）， f （-x1）＝ -f（ x1）②由①、②得 f （ x2）＞ f （x1）＞ 0．于是F（x1） -F（ x2）＝＞0，即F（x1）＞F（x2），所以 F（ x）＝在（-∞，0）上是减函数．评析本题最容易发生的错误，是受已知条件的影响，一开始就在（0， +∞）内任取 x1＜ x2，展开证明．这样就不能保证-x1，-x2，在（ -∞， 0）内的任意性而导致错误．避免错误的方法是：要明确证明的目标，有针对性地展开证明活动．例 5讨论函数f（ x）＝（a≠0）在区间（-1，1）内的单调性．分析根据函数的单调性定义求解．解：设 -1＜ x1＜ x2＜１，则f （ x1） -f （ x2）＝-＝∵x1，x2∈（ -1，1），且 x1＜ x２，∴x1-x2＜ 0， 1+x 1x2＞ 0，（1-x 21）（ 1-x22）＞ 0于是，当a＞ 0 时， f （x1）＜ f（ x2）；当 a＜ 0 时， f （x1）＞ f（ x2）．故当 a＞0 时，函数在（-1， 1）上是增函数；当a＜0 时，函数在（-1， 1）上为减函数．评析根据定义讨论（或证明）函数的单调性的一般步骤是：（ 1）设 x1、x2是给定区间内任意两个值，且x1＜ x2；（2）作差 f（ x1） -f （ x2），并将此差式变形；（3）判断 f（ x1） -f （ x2）的正负，从而确定函数的单调性．例6 求证：f（x）＝x+（k＞0）在区间（0，k］上单调递减．解：设 0＜x1＜x2≤k，则f （ x1） -f （ x2）＝ x1+-x2-＝∵0＜ x1＜ x2≤k，∴x1-x2＜ 0， 0＜ x1x2＜ k2，∴f （x1）-f （ x2）＞ 0∴f （x1）＞ f（ x2），∴f （x）＝ x+中（0，k］上是减函数．评析函数 f （ x）在给定区间上的单调性反映了函数 f （x）在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质．因此，若要证明f（ x）在［ a,b］上是增函数（减函数），就必须证明对于区间［ a,b］上任意两点x1， x2，当 x1＜ x2时，都有不等式f（ x1）＜ f（ x2）（ f （x1）＞ f （ x2））类似可以证明：函数 f（ x）＝ x+（k＞0）在区间［k，+∞］上是增函数．例 7判断函数f（ x）＝的奇偶性．分析确定函数的定义域后可脱去绝对值符号．解：由得函数的定义域为［-1，1］．这时，｜x-2 ｜＝ 2-x．∴f （x）＝，∴f （-x）＝＝＝f（x）．且注意到 f （x）不恒为零，从而可知，f（x）＝是偶函数，不是奇函数．评析由于函数解析式中的绝对值使得所给函数不像具有奇偶性，若不作深入思考，便会作出其非奇非偶的判断．但隐含条件（定义域）被揭示之后，函数的奇偶性就非常明显了．这样看来，解题中先确定函数的定义域不仅可以避免错误，而且有时还可以避开讨论，简化解题过程．函数奇偶性练习一、选择题A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数2．已知函数f （）＝ax2＋bx＋3＋b是偶函数，且其定义域为［－ 1，2］，则（）x a a aA．a 1， b＝．a＝－， b＝． a＝，b＝．a＝，b＝0 3B1C1D33．已知（）是定义在 R 上的奇函数，当x ≥0 时，（）＝2－ 2，则f（）在 R 上的表达式是（）f x f x x x xA．y＝ x（ x－ 2）B．y ＝ x（｜ x｜－ 1） C．y ＝｜ x｜（ x－2）D．y＝ x（｜ x｜－ 2）4．已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－ 8，且f（－ 2）＝ 10，那么f（ 2）等于（）A．－ 26B．－ 18C．－ 10D．105．函数f ( x)1x 2x1是（）1x 2x1A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数6．若(x)，g（x）都是奇函数， f ( x)a bg (x) 2 在（0，＋∞）上有最大值5，则 f （ x）在（－∞，0）上有（）A．最小值－ 5B．最大值－ 5C．最小值－ 1D．最大值－ 3二、填空题7．函数f ( x)x22的奇偶性为 ________（填奇函数或偶函数）．1x 28．若y ＝（－1）x2＋2＋ 3 是偶函数，则＝ _________．m mx m9．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若 f (x)g( x)1，则 f （ x）的解析式为_______．x110．已知函数（）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程（）＝0 的所有实根之和为 ________．f x f x三、解答题11．设定义在［－ 2，2］上的偶函数f （）在区间［ 0， 2］上单调递减，若f（1－）＜f（），求实x m m数 m的取值范围．12．已知函数 f （ x）满足 f （x＋ y）＋ f （ x－ y）＝2f （ x）· f （ y）（x R，y R），且f（0）≠0，试证 f （ x）是偶函数．13. 已知函数f （）是奇函数，且当x＞0 时，f（）＝3＋2 2—1，求f（）在 R上的表达式．x x x x x14. f（x）是定义在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函数，且 f （x）在［5，＋∞）上单调递减，试判断 f （x）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．15. 设函数y＝f（x）（x R 且x≠0）对任意非零实数x1、 x2满足 f （ x1· x2）＝ f （ x1）＋ f （ x2），求证 f （ x）是偶函数．函数的奇偶性练习参考答案1．解析：f（x）＝ax2＋bx＋c为偶函数，( x)x为奇函数，∴ g（ x）＝ ax3＋ bx2＋ cx＝ f （ x）·( x)满足奇函数的条件．答案： A2．解析：由f（x）＝ax2＋bx＋ 3a＋b为偶函数，得b＝0．1．故选 A．又定义域为［ a－1，2a］，∴ a－1＝2a，∴a33．解析：由x≥ 0 时，f（x）＝x2－ 2x，f（x）为奇函数，∴当 x＜0时， f （ x）＝－ f （－ x）＝－（ x2＋2x）＝－ x2－2x＝ x（－ x－2）．∴ f ( x)x(x 2)( x 0),x( x 2)( x0) 即 f （x ）＝ x （| x | － 2）,答案： D4．解析： f （x ）＋ 8＝x 5＋ ax 3＋ bx 为奇函数，f （－ 2）＋ 8＝ 18，∴ f （2）＋ 8＝－ 18，∴ f （ 2）＝－ 26．答案： A5．解析： 此题直接证明较烦，可用等价形式 f （－ x ）＋ f （x ）＝ 0．答案： B6．解析：( x) 、 g （x ）为奇函数，∴ f (x)2 a ( x) bg (x) 为奇函数．又 f （x ）在（ 0，＋∞）上有最大值5，∴ f （ x ）－ 2 有最大值3．∴ f （ x ）－ 2 在（－∞， 0）上有最小值－ 3， ∴ f （ x ）在（－∞， 0）上有最小值－1．答案：C7．答案： 奇函数8．答案： 0 解析： 因为函数 y ＝（ m － 1） x 2＋ 2mx ＋ 3 为偶函数，∴ f （－ x ）＝ f （x ），即（ m － 1）（－ x ） 2＋ 2m （－ x ）＋ 3＝（ m — 1） x 2＋ 2mx ＋ 3，整理，得 m＝ 0．9．解析： 由f （ ）是偶函数， （ ）是奇函数，xg x可得f (x)1 ，联立f ( x) g ( x)1g( x)，∴1 (111 x 1x1f ( x)x ) ．2 1x 1 x 2 1答案： f (x)1 10．答案： 0 111x 21． 答案： m212． 证明： 令 x ＝y ＝ 0，有 f （ 0）＋ f （ 0）＝ 2f （ 0）· f （0），又 f （ 0）≠ 0，∴可证 f （ 0）＝ 1．令 x ＝ 0，∴ f （ y ）＋ f （－ y ）＝ 2f （0）· f （ y ） f （－ y ）＝ f （ y ），故 f （ x ）为偶函数．13． 解析： 本题主要是培养学生理解概念的能力．f （ ）＝ x 3＋ 2 2－ 1．因 f （ ）为奇函数，∴f （ 0）＝ 0．x xx当 x ＜0 时，－ x ＞ 0， f （－ x ）＝（－ x ） 3＋ 2（－ x ） 2－1＝－ x 3＋ 2x 2－ 1， ∴ f （ x ）＝ x 3－ 2x 2＋ 1．x 32 x21( x 0) , 因此， f (x)( x 0) ,x32x21( x0).点评： 本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力．14． 解析： 任取 x 1＜ x 2≤－ 5，则－ x 1＞－ x 2≥－ 5．7＞f （ x2），即单调减函数．点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化．15．解析：由x1，x2R 且不为 0 的任意性，令x1＝ x2＝1代入可证，f（ 1）＝ 2f（ 1），∴f（ 1）＝0．又令 x1＝x2＝－1，∴ f ［－1×（－1）］＝2f （1）＝0，∴（－ 1）＝ 0．又令x1＝－ 1，x2＝x，∴ f （－ x）＝ f （－1）＋ f （ x）＝0＋ f （ x）＝ f （ x），即 f （ x）为偶函数．点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x1＝ x2＝1， x1＝x2＝－1或 x1＝x2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．。
高一数学函数奇偶性练习题及答案解析
高一数学函数奇偶性练习题及答案解析数学函数奇偶性练习题及答案解析1.下列命题中，真命题是()A.函数y=1x是奇函数，且在定义域内为减函数B.函数y=x3(x-1)0是奇函数，且在定义域内为增函数C.函数y=x2是偶函数，且在(-3,0)上为减函数D.函数y=ax2+c(ac≠0)是偶函数，且在(0,2)上为增函数解析：选C.选项A中，y=1x在定义域内不具有单调性;B中，函数的定义域不关于原点对称;D中，当a<0时，y=ax2+c(ac≠0)在(0,2)上为减函数，故选C.2.奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为-1，则2f(-6)+f(-3)的值为()A.10B.-10C.-15D.15解析：选C.f(x)在[3,6]上为增函数，f(x)max=f(6)=8，f(x)min=f(3)=-1.∴2f(-6)+f(-3)=-2f(6)-f(3)=-2×8+1=-15.3.f(x)=x3+1x的图象关于()A.原点对称B.y轴对称C.y=x对称D.y=-x对称解析：选A.x≠0，f(-x)=(-x)3+1-x=-f(x)，f(x)为奇函数，关于原点对称.4.如果定义在区间[3-a,5]上的函数f(x)为奇函数，那么a=________.解析：∵f(x)是[3-a,5]上的奇函数，∴区间[3-a,5]关于原点对称，∴3-a=-5，a=8.答案：81.函数f(x)=x的奇偶性为()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数解析：选D.定义域为{x|x≥0}，不关于原点对称.2.下列函数为偶函数的是()A.f(x)=|x|+xB.f(x)=x2+1xC.f(x)=x2+xD.f(x)=|x|x2解析：选D.只有D符合偶函数定义.3.设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()A.f(x)f(-x)是奇函数B.f(x)|f(-x)|是奇函数C.f(x)-f(-x)是偶函数D.f(x)+f(-x)是偶函数解析：选D.设F(x)=f(x)f(-x)则F(-x)=F(x)为偶函数.设G(x)=f(x)|f(-x)|，则G(-x)=f(-x)|f(x)|.∴G(x)与G(-x)关系不定.设M(x)=f(x)-f(-x)，∴M(-x)=f(-x)-f(x)=-M(x)为奇函数.设N(x)=f(x)+f(-x)，则N(-x)=f(-x)+f(x).N(x)为偶函数.4.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数，那么g(x)=ax3+bx2+cx()A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.是非奇非偶函数解析：选A.g(x)=x(ax2+bx+c)=xf(x)，g(-x)=-x•f(-x)=-x•f(x)=-g(x)，所以g(x)=ax3+bx2+cx是奇函数;因为g(x)-g(-x)=2ax3+2cx不恒等于0，所以g(-x)=g(x)不恒成立.故g(x)不是偶函数.5.奇函数y=f(x)(x∈R)的图象必过点()A.(a，f(-a))B.(-a，f(a))C.(-a，-f(a))D.(a，f(1a))解析：选C.∵f(x)是奇函数，∴f(-a)=-f(a)，即自变量取-a时，函数值为-f(a)，故图象必过点(-a，-f(a)).6.f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)≥2，则当x≤0时()A.f(x)≤2B.f(x)≥2C.f(x)≤-2D.f(x)∈R解析：选B.可画f(x)的大致图象易知当x≤0时，有f(x)≥2.故选B.7.若函数f(x)=(x+1)(x-a)为偶函数，则a=________.解析：f(x)=x2+(1-a)x-a为偶函数，∴1-a=0，a=1.答案：18.下列四个结论：①偶函数的图象一定与纵轴相交;②奇函数的图象一定通过原点;③f(x)=0(x∈R)既是奇函数，又是偶函数;④偶函数的图象关于y轴对称.其中正确的命题是________.解析：偶函数的图象关于y轴对称，不一定与y轴相交，①错，④对;奇函数当x=0无意义时，其图象不过原点，②错，③对.答案：③④9.①f(x)=x2(x2+2);②f(x)=x|x|;③f(x)=3x+x;④f(x)=1-x2x.以上函数中的奇函数是________.解析：(1)∵x∈R，∴-x∈R，又∵f(-x)=(-x)2[(-x)2+2]=x2(x2+2)=f(x)，∴f(x)为偶函数.(2)∵x∈R，∴-x∈R，又∵f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x)，∴f(x)为奇函数.(3)∵定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数.(4)f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1]即有-1≤x≤1且x≠0，则-1≤-x≤1且-x≠0，又∵f(-x)=1--x2-x=-1-x2x=-f(x).∴f(x)为奇函数.答案：②④10.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=(x-1)1+x1-x;(2)f(x)=x2+x x<0-x2+x x>0.解：(1)由1+x1-x≥0，得定义域为[-1,1)，关于原点不对称，∴f(x)为非奇非偶函数.(2)当x<0时，-x>0，则f(-x)=-(-x)2-x=-(-x2+x)=-f(x)，当x>0时，-x<0，则f(-x)=(-x)2-x=-(-x2+x)=-f(x)，综上所述，对任意的x∈(-∞，0)∪(0，+∞)，都有f(-x)=-f(x)，∴f(x)为奇函数.11.判断函数f(x)=1-x2|x+2|-2的奇偶性.解：由1-x2≥0得-1≤x≤1.由|x+2|-2≠0得x≠0且x≠-4.∴定义域为[-1,0)∪(0,1]，关于原点对称.∵x∈[-1,0)∪(0,1]时，x+2>0，∴f(x)=1-x2|x+2|-2=1-x2x，∴f(-x)=1--x2-x=-1-x2x=-f(x)，∴f(x)=1-x2|x+2|-2是奇函数.12.若函数f(x)的定义域是R，且对任意x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立.试判断f(x)的奇偶性.解：在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=y=0，得f(0+0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0.再令y=-x，则f(x-x)=f(x)+f(-x)，即f(x)+f(-x)=0，∴f(-x)=-f(x)，故f(x)为奇函数.。
函数的基本性质练习题(重要)
（高中数学必修1）函数的基本性质[B 组]一、选择题1．下列判断正确的是（ ）A ．函数22)(2--=x x x x f 是奇函数 B．函数()(1f x x =- C．函数()f x x = D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数2．若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ）A ．(],40-∞B ．[40,64]C ．(][),4064,-∞+∞UD ．[)64,+∞3．函数y = ）A ．(]2,∞- B ．(]2,0 C ．[)+∞,2 D ．[)+∞,04．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3a ≤-B ．3a ≥-C ．5a ≤D ．3a ≥5．下列四个命题：(1)函数f x ()在0x >时是增函数，0x <也是增函数，所以)(x f 是增函数；(2)若函数2()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则280b a -<且0a >；(3) 223y x x =--的递增区间为[)1,+∞；(4) 1y x =+和y =表示相等函数。
其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．36．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ）二、填空题1．函数x x x f -=2)(的单调递减区间是____________________。
2．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1||)(2-+=x x x f ，那么0x <时，()f x = . 3．若函数2()1x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为________. 4．奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为1-，则2(6)(3)f f -+-=__________。
新高中数学必修1奇偶性基础题训练题(含详解)
【点睛】
此题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题
3.D
【解析】
【分析】
根据奇函数的性质对四个选项逐一判断即可选出正确答案.
【详解】
因为/⑴是定义在R上的奇函数,所以有/(0) = 0、/(-%) =-/W.
选项A:=f(x)+f(x)=2/(x),/(x)的正负性题目中没有说明，故本选项是
错误的；
故选：D.
【点睛】
本题考查根据解析式选择图象，其关键是根据函数的性质以及特殊值选择，通常用排除法, 属于基础题.
8.C
【解析】
【分析】
先利用函数的奇偶性排除BD,再由x>0时，/(X)>O,排除A,故选择C.
【详解】
由题v/(-X)=-—二=-/(X),/(%)是奇函数，排除BD；
-X
又由x>0时，/(兀)>0,排除A,故选择C.
x
d选项，是奇函数，且在r上是增函数，故d正确.
综上所述，故选D.
5.B
【解析】
【分析】
观察四个选项中的函数是否关于y轴或原点对称，从而可得出正确选项.
【详解】
选项a中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；
选项c、d中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；
选项b中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数.
即几2) = -30.
故答案为:-30
【点睛】
本题考查了利用函数的奇偶性求函数值，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
17.-3
【解析】
【分析】
构造奇函数g(x) = 3x-3~x,利用奇函数的性质可解得结果.
【详解】
令g(x) = 3x-3~xf贝ijg(-x) = 3-x-3r=-g(x),所以g(x)为奇函数，
高中数学必修一函数的性质奇偶性精选习题测试(打印版)
VIP 免费 欢迎下载(X )在(— a, — 5］上的单调性，并用定义给予证明.15.设函数y = f (x ) (R 且x z 0)对任意非零实数 X 1、X 2满足f 求证f (x )是偶函数.函数的奇偶性练习参考答案1. 解析：f (x )= ax 2+ bx + c 为偶函数， (x) x 为奇函数， 奇函数的条件.2a ］, • a — 1 = 2a ,「. a =丄.故选 A .33.解析： 由 x >0 时，f (x )= x — 2x , f (x )为奇函数，••当 x v 0 时，f (x )=— f ( — x )=—( x + 2x ) =2X (X —2) (X 畠 0),—x — 2x = x (— x — 2). • f(x)=丿即 f (x )= x (|x | — 2)答案：D 4.解析：f (x )、x(—X-2)(x£0),53+ 8= x + ax + bx 为奇函数，f (— 2)+ 8 = 18,二 f (2)+ 8=— 18,二 f (2)=— 26.答案：A 5.解析：此 题直接证明较烦，可用等价形式f (— x )+ f (x )= 0.答案：B 6 .解析：「(X )、g (x )为奇函数，•f(x) - 2二a (x) bg(x)为奇函数.又f (X )在(0,+a )上有最大值 5, • f (X )— 2有最大值3.二 f (X ) — 2在(—a, 0)上有最小值—3, • f ( X )在(—a, 0)上有最小值—1.答案：C7.答案：奇函数8 .答案：0 解析：因为函数 y =( m- 1) x 2+ 2mx+ 3 为偶函数，• f (— x )= f (x ),即(m- 1) ( — x ) 2+ 2m (— x )2 1 + 3= (m- 1)x + 2m )+ 3,整理，得m= 0.9.解析：由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，可得f(x) - g(x) =_ x _ 1奇偶性 2 3 21.已知函数 f (x )= ax + bx + c (a z 0)是偶函数，那么 g (x )= ax + bx + cx ( D.非奇非偶函数 a — 1, 2a ］,贝卩( A 奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数22.已知函数f (x )= ax + bx + 3a + b 是偶函数，且其定义域为］A a , b = 0 3 (x )是定义在 y = x (x — 2) 5 3B. a =— 1, b = 0C. a = 1, b = 0D. a = 3, b = 0 3. 已知f A . 4. 已知f R 上的奇函数，当 x > 0时， B . y = x (| x | — 1) A — 26 (x )= x + ax + bx — 8，且 f (— 2)= 10, C.— 10 5.函数 f (x)- B .— 18 1 x 2 x - 1 曰 2是( .1 X 2 X 1 B .奇函数 f (x ) = x 2— 2x , y = 1 x | f (2)等于 10 C. 那么 D. 则f (x )在R 上的表达式是( )(x — 2) D. y = x (| x |— 2) ( )C.非奇非偶函数 既是奇函数又是偶函数 A 偶函数 6.若(x) , g ( X )都是奇函数，f (x) = • bg(x) 2 在(0,+a)上有最大值 5，则 f ( X )在(— a, 0) 上有( ) A .最小值—5 一 X —2—2 一" f 的奇偶性为— 心-X 2若y =( m-1) x 2+ 2m 灶3是偶函数，则B.最大值—5C.最小值—1D. D.最大值—3 7. 8. 9. 函数f (x)= (填奇函数或偶函数) m = 已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数, 10. 已知函数f (x )为偶函数，且其图象与 11. 设定义在［—2, 2］上的偶函数 值范围. 12. 已知函数f (x )满足f (x + y ) 是偶函数. 13. 已知函数f (x )是奇函数，且当 14. f (x )是定义在(— a,— 1 若 f(x) g(xp X - 1 x 轴有四个交点，则方程 f ( X ) 在区间［0, 2］上单调递减，若 (x )的解析式为=0的所有实根之和为 ____________ .f (1 — m ) v f (m )求实数m 的取+ f (x — y )= 2f (x ) • f (y ) (R 疗 R)，且 f (0)M0,试证 f(x )x > 0时，f ( x )= x 3+ 2x 2— 1,求f (x )在R 上的表达式. 5::5,+^)上的奇函数，且(x )在］5,+^)上单调递减，试判断 f(X i • X 2)= f ( x i )+ f ( X 2),g (x ) = ax 3 + bx 2+ cx = f (x ) •:(x)满足答案：A 2.解析：由f (x )= ax 2+ bx + 3a + b 为偶函数，得 b = 0.又定义域为［a — 1,联立f(x) g(x)二£&)=丄(」1) J .答案：f(x) J 10 .答案：0 2x — 1 —x — 1 x -1 x - 111.答案：m 芝1 12.证明：令x = y = 0,有f ( 0)+ f (0)= 2f (0) • f (0)，又f (0)z 0,「.可证f (0) 2。
(完整版)函数的奇偶性练习题[(附答案)
函数的奇偶性1．函数f （x ）=x(-1﹤x ≦1)的奇偶性是（ ）A ．奇函数非偶函数B ．偶函数非奇函数C ．奇函数且偶函数D ．非奇非偶函数2. 已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是( ）A .奇函数B .偶函数C .既奇又偶函数D .非奇非偶函数 3. 若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是 ( )A.(-∞,2)B. (2,+∞)C. (-∞,-2)⋃(2,+∞)D. (-2,2) 4．已知函数f (x )是定义在(－∞,+∞)上的偶函数.当x ∈(－∞,0)时，f (x )=x -x 4，则 当x ∈(0.+∞)时，f (x )= . 5. 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝lg (12+x -x ); (2)f (x )＝2-x +x -2(3) f （x ）=⎩⎨⎧>+<-).0()1(),0()1(x x x x x x6.已知g (x )=－x 2－3,f (x )是二次函数，当x ∈[-1,2]时，f (x )的最小值是1，且f (x )+g (x )是奇函数，求f (x )的表达式。
7.定义在（-1，1）上的奇函数f （x ）是减函数，且f(1-a)+f(1-a 2)<0,求a 的取值范围8.已知函数21()(,,)ax f x a b c N bx c+=∈+是奇函数,(1)2,(2)3,f f =<且()[1,)f x +∞在上是增函数,(1)求a,b,c 的值;(2)当x ∈[-1,0)时,讨论函数的单调性.9.定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f (x+y )=f (x )+f (y )． (1)求证f (x )为奇函数；(2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．10下列四个命题：（1）f （x ）=1是偶函数；（2）g （x ）=x 3，x ∈（－1，1]是奇函数；（3）若f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，则H （x ）=f （x ）·g （x ）一定是奇函数； （4）函数y =f （|x |）的图象关于y 轴对称，其中正确的命题个数是 （ ） A ．1B ．2C ．3D ．411下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是( )A.()sin f x x =B.()1f x x =-+C.()1()2x x f x a a -=+ D.2()2xf x lnx-=+ 12若y =f （x ）（x ∈R ）是奇函数，则下列各点中，一定在曲线y =f （x ）上的是（ ） A ．（a ，f （－a ）） B ．（－sin a ，－f （－sin a ））C ．（－lg a ，－f （lg a1）） D ．（－a ，－f （a ））13. 已知f （x ）=x 4+ax 3+bx －8，且f （－2）=10，则f （2）=_____________。
人教版高中数学必修1 函数奇偶性 知识点 例题 练习试题 及其答案
函数奇偶性一、知识点：1.偶函数定义：一般地，如果对于函数f （x ）定义域内任意一个x ， 都有()()x f x f =-，那么函数f （x ）就叫做偶函数。
2.奇函数定义：一般地，如果对于函数f （x ）定义域内任意一个x ， 都有()()x f x f -=-，那么函数f （x ）就叫做奇函数。
3.判断函数奇偶性的步骤:⑴先判断函数f （x ）定义域是否关于原点对称;若函数定义域不关于原点对称,则函数f （x ）为非奇非偶函数; 若函数定义域关于原点对称,再进行第⑵步;⑵若()()x f x f =-或()()0=--x f x f ,则函数f （x ）为偶函数; 若()()x f x f -=-或()()0=+-x f x f ,则函数f （x ）为奇函数。
4．函数奇偶性的性质：⑴函数f （x ）为偶函数⇔函数f （x ）的图象关于y 轴对称； ⑵函数f （x ）为奇函数⇔函数f （x ）的图象关于原点对称；⑶若函数f （x ）为偶函数，则对于定义域内的任意x ，都有()()x f x f =-； ⑷若函数f （x ）为奇函数，则对于定义域内的任意x ，都有()()x f x f -=- ⑸若函数f （x ）为奇函数且定义域含有0，则有()()00f f -=-即()00=f函数奇偶性练习一、范例精讲例1.下列函数是偶函数的是（ ）A. 21x y = B. 3x y = C. 2-=x y D. 1-=x y例2.已知2)(xx e e x f --=，则下列正确的是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数例3.已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x . A ．①③ B ．②③ C ．①④D ．②④例4.函数)(x f 是R 上的偶函数,且当0>x 时,函数的解析式为.)(12-=xx f 求当0<x 时,函数的解析式.例5.设函数f (x )＝1＋x 21－x 2.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性；(3)求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝0.例6.已知，，求.二、对应训练1．若f （x ）为R 上的奇函数，给出下列四个说法：①f （x ）＋f （－x ）＝0 ；②f （x ）－f （－x ）＝2f （x ）；③f （x ）·f （－x ）<0 ④1)()(-=-x f x f . 其中一定正确的有（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个2.()x f y =是奇函数，当0>x 时，()(),1+=x x x f 则0<x 时，()=x f （ ）A.()1+-x xB.()1+-x xC.()1-x xD.()1+x x 3.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当x x x f x 2)(,02-=≥， 求)(x f 的解析式.4.设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则f (－1)＋f (1)=()A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．以上结论都不对5.设函数()()216x a f x x ++=+为奇函数，则实数=a ______________6.已知)(x f 是定义在[)2,0-∪(]0,2上的奇函数，当0>x 时，)(x f 的图象如上图所示，那么)(x f 的值域是函数单调性、奇偶性综合练习一、范例精讲例1.设f (x )满足f (－x )＝f (x )，且在[0，＋∞)上为增函数，则f (－2)，f (－π)，f (3)的大小顺序是( )A ．f (－π)＜f (－2)＜f (3)B ．f (－π)＞f (－2)＞f (3)C ．f (－π)＜f (3)＜f (－2)D ．f (－π)＞f (3)＞f (－2)例2．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)例3.如果偶函数在具有最大值，那么该函数在有（ ）A ．最大值B ．最小值C ．没有最大值D ． 没有最小值例4.若函数 f （x ）=（K-2）x 2+（K-1）x +3是偶函数，则f （x ）的递减区间是例5.已知函数211)(xx f +=（1）判断)(x f 的奇偶性；（2）确定函数)(x f 在)0,(-∞上是增函数还是减函数？证明你的结论.例6.若f (x )满足f (－x )＝－f (x )，且在(－∞，0)内是增函数，又f (－2)＝0，则xf (x )<0的解集是( )A ．(－2,0)∪(0,2)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(2，＋∞)二、对应训练1.已知奇函数()f x 在区间[]0,5上是增函数，那么下列不等式中成立的是（ ）()()()()()()()()()()()()43;43;43;34.A f f fB f f fC f f fD f f f ππππ>->>>>>->->-、、、、2.如果偶函数)(x f 在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]3,7--上是（ ）A.增函数且最小值是5B.增函数且最大值是5C.减函数且最大值是5D.减函数且最小值是5 3.已知函数f (x )＝－2x ＋m ，其中m 为常数．(1)证明：函数在R 上是减函数；(2)当函数f (x )是奇函数时，求实数m 的值．4.已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x .(1)求当x <0时，f (x )的解析式；(2)作出函数f (x )的图象，并指出其单调区间．函数奇偶性练习一、范例精讲例1.下列函数是偶函数的是（ C ）A. 21x y = B. 3x y = C. 2-=x y D. 1-=x y例2.已知2)(xx e e x f --=，则下列正确的是（ A ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数例3.已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( D )①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x . A ．①③ B ．②③ C ．①④D ．②④例4.函数)(x f 是R 上的偶函数,且当0>x 时,函数的解析式为.)(12-=xx f 求当0<x 时,函数的解析式.解析：当0<x 时，-x>0 ,则12--=-x x f )(.∵函数)(x f 是R 上的偶函数 ∴f(-x)=f （x ）∴2()1f x x=--,x<0.例5.设函数f (x )＝1＋x 21－x 2.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性；(3)求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝0.解：(1)由解析式知，函数应满足1－x 2≠0，即x ≠±1. ∴函数f (x )的定义域为{x ∈R|x ≠±1}． (2)由(1)知定义域关于原点对称， f (－x )＝1＋(－x )21－(－x )2＝1＋x 21－x 2＝f (x )．∴f (x )为偶函数．(3)证明：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 2＋1x 2－1，f (x )＝1＋x 21－x 2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝x 2＋1x 2－1＋1＋x 21－x 2＝x 2＋1x 2－1－x 2＋1x 2－1＝0. 例6.已知，，求.解析： 已知中为奇函数，即=中，也即，，得，.二、对应训练1．若f （x ）为R 上的奇函数，给出下列四个说法：①f （x ）＋f （－x ）＝0 ；②f （x ）－f （－x ）＝2f （x ）；③f （x ）·f （－x ）<0 ④1)()(-=-x f x f 。
高一函数的奇偶性试题(有详细解答)
高一函数的奇偶性试题一．选择题（共20小题）1．（2012•陕西）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ D ）A．y=x+1 B．y=﹣x2C．D．y=x|x|解：对于A，非奇非偶，是R上的增函数，不符合题意；对于B，是偶函数，不符合题意；对于C，是奇函数，但不是增函数；对于D，令f（x）=x|x|，∴f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣f（x）；∵f（x）=x|x|=，∴函数是增函数故选D．2．如果f（x）是定义在R的增函数，且F（x）=（x）﹣f（﹣x），那么F（x）一定是（A）A．奇函数，且在R上是增函数B．奇函数，且在R上是减函数C．偶函数，且在R上是增函数D．偶函数，且在R上是减函数解：∵f（x）是定义在R的增函数∴f（﹣x）是定义在R的减函数，从而﹣f（﹣x）是定义在R的增函数，∴F（x）=（x）﹣f（﹣x）是定义在R的增函数，∵F（x）=f（x）﹣f（﹣x）∴F（﹣x）=f（﹣x）﹣f（x）F（x）=﹣F（﹣x）∴函数F（x）为奇函数故选A3．下列函数是偶函数的是（）A．B．y=x3C．y=x﹣2D．y=x﹣1解：根据偶函数的定义，函数的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=f（x），可知A，函数的定义域不关于原点对称，故函数非奇非偶B，D，函数满足f（﹣x）=﹣f（x），故函数是奇函数C，函数满足f（﹣x）=f（x），故函数是偶函数故选C．4．下列函数中是偶函数的是（）A．y=2|x|﹣1 B．y=x2，x∈[﹣1，2]C．y=x2+2x D．y=x3解：对于A，f（﹣x）=2|﹣x|﹣1=f（x），是偶函数对于B，定义域为[﹣1，2]，不满足f（x）=f（﹣x），不是偶函数对于C，不满足f（x）=f（﹣x），则不是偶函数；对于D，不满足f（x）=f（﹣x），，则不是偶函数故选A ．5．函数f （x ）=|x+1|﹣|x ﹣1|，那么f （x ）的奇偶性是（ ） A ． 奇函数 B ． 既不是奇函数也不是偶函数 C ． 偶函数 D ． 既是奇函数也是偶函数解：∵f （﹣x ）=|﹣x+1|﹣|﹣x ﹣1|=﹣|x+1|+|x ﹣1|=﹣（x+1|﹣|x ﹣1|）=﹣f （x ） ∴f （x ）的奇偶性是奇函数， 故选A6．已知f （x ）是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b ∈R ，f （x ）满足关系式：f （a •b ）=bf （a ）+af （b ），则f （x ）的奇偶性为（ ） A ． 奇函数 B ． 偶函数 C ． 非奇非偶函数 D ． 既是奇函数也是偶函数 解：令a=b=1则f （1）=2f （1）则f （1）=0令a=b=﹣1，则f （1）=﹣2f （﹣1）=0∴f （﹣1）=0令a=x ，b=﹣1，则f （﹣x ）=﹣f （x ）+xf （﹣1）=﹣f （x ） 则f （x ）为奇函数． 故选A ．7．下列函数是奇函数的是（ D ） A ． y =3x+4 B ． y =x 4+3x 3C ． y =x 3+x ，x ∈（﹣3，3]D ． y =x 3+x ，x ∈[﹣3，3]解：对于A ，函数非奇非偶；对于B ，令f （x ）=x 4+3x 3，则f （﹣x ）=x 4﹣3x 3，∴函数非奇非偶； 对于C ，定义域不关于原点对称，故函数非奇非偶；对于D ，令f （x ）=x 3+x ，则f （﹣x ）=﹣x 3﹣x=﹣f （x ），所以函数为奇函数； 故选D8．下列各函数中为奇函数的是（ C ） A ． y =x+3 B ． y =x 2+x C ． y =|x ﹣1|﹣|x+1| D ． y =﹣|x|解：由于函数f （x ）=x+3 的定义域为R ，f （﹣x ）=﹣x+3≠﹣f （x ），故函数f （x ）=x+3不是奇函数．由于函数f （x ）=x 2+x 的定义域为R ，f （﹣x ）=x 2﹣x ≠﹣f （x ），故函数f （x ）=x 2+x 不是奇函数．由于函数f （x ）=|x ﹣1|﹣|x+1|的定义域为R ，f （﹣x ）=|﹣x ﹣1|﹣|﹣x+1|=﹣（|x ﹣1|﹣|x+1|）=﹣f （x ），故函数f （x ）是奇函数．由于函数f （x ）=﹣|x|的定义域为R ，f （﹣x ）=﹣|﹣x|=﹣|x|=f （x ），故函数f （x ）是偶函数． 故选C ． 9．函数（ ）A．是奇函数但不是偶函数B．是偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数解：∵∴该函数的定义域为（﹣3，3）而f（﹣x）==﹣f（x），f（﹣x）≠f（x）满足奇函数的定义∴该函数是奇函数但不是偶函数故选A．10．下列函数中是偶函数的是（A）A．B．C．D．y=x2+2x+3解：选项A，定义域为{x|x≠0}且f（﹣x）==f（x），故该函数是偶函数；选项B，定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）=﹣f（x），故该函数是奇函数；选项C，定义域为{x|x≠0，1}不关于原点对称，故该函数不是偶函数；选项D，定义域为R，f（﹣x）=（﹣x）2+2（﹣x）+3≠f（x）．故该函数不为偶函数．故选A．11．下列函数是偶函数的是（）A．y=2x2﹣3 B．y=x3C．y=x2，x∈[0，1]D．y=x解：根据偶函数的定义可得，只有当函数的定义域关于原点对称，且以﹣x代替x后，所得到的函数值不变，这个函数才是偶函数．经检验只有A中的函数满足条件，故选A．12．下列函数中是偶函数的是（）A．y=x2，x∈（﹣2，2]B．y=2|x|﹣1 C．y=x2+x D．y=x3解：对于A，定义域为[﹣2，2]，不满足f（x）=f（﹣x），不是偶函数对于B，f（﹣x）=2|﹣x|﹣1=f（x），是偶函数对于C，不满足f（x）=f（﹣x），则不是偶函数；对于D，不满足f（x）=f（﹣x），，则不是偶函数故选B．13．下列函数中是奇函数的是（）A．y=x2B．C．y=x2+2x+3 D．y=x3解：A：y=x2定义域为R，是偶函数；B：的定义域是x≥0，是非奇非偶函数；C：y=x2+2x+3定义域为R，是非奇非偶函数；D：y=x3定义域为R，是奇函数．故选D．14．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（C）A．y=﹣x2+5（x∈R）B．y=﹣x3+x（x∈R）C．y=x3（x∈R）D．解：对于A，y=﹣x2+5是偶函数对于B，函数是奇函数，但y′=﹣3x2+1＜0时所以函数在上单减故B错对于C，y=x3是奇函数，且y′=3x2≥0恒成立，所以函数在定义域内是增函数，故C正确对于D是奇函数，，但函数在（﹣∞，0）和（0，+∞）上是增函数，但在整个定义域上不是增函数故选C．15．下列说法正确的是（B）A．函数为偶函数B．函数为偶函数C．函数f（x）=0（x≠1）为既奇又偶函数D．函数是非奇非偶函数解：A：∵f（x）=的定义域为[1，+∞），关于原点不对称，函数为非奇非偶函数，A错误B：函数的定义域[﹣1，1]，关于原点对称，且f（﹣x）==为偶函数，B正确C：函数的定义域关于原点不对称，故函数为非奇非偶函数，C错误D：由题意可得函数满足即函数的定义域[﹣1，1]，则=为奇函数，D错误故选B16．已知，则它是（）A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数解：要使函数有意义，则1﹣x≥0，且x﹣1≥0∴x=1∴f（1）=0∴的图象表示点（1，0）∴是非奇非偶函数故选D17．函数y=是（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶数解：由函数的形式得解得x∈[﹣1，0）∪（0，1]，定义域关于原点对称又y（﹣x）===y（x）故函数是偶函数故选B18．下列各函数中为奇函数的是（）A．y=x+3 B．y=x2+x C．y=x|x| D．y=﹣|x|解：所给函数的定义域都是R，关于原点对称．对于函数y=x+3，把x换成﹣x，函数变为y=﹣x+3，函数没有变为原来的相反数，故不是奇函数．对于函数y=x2+x，把x换成﹣x，函数变为y=x2﹣x，函数没有变为原来的相反数，故不是奇函数．对于函数y=x|x|，把x换成﹣x，函数变为y=﹣x|x|，变为原来的相反数，故是奇函数．对于函数y=﹣|x|，把x换成﹣x，函数还是y=﹣|x|，不变，故函数是偶函数．故选C．19．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（C）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞） B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1） D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．20．下列结论正确的是（）A．函数是偶函数B．函数y=x2﹣4x﹣3在（2，+∞）上是减函数C．函数在R上是减函数D．函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|是奇函数解：对于A，f（﹣x）=≠f（x），排除A；对于D，，f（﹣x）=|﹣x+1|﹣|﹣x﹣1|=﹣（|x+1|﹣|x﹣1|）=﹣f（x），f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|是奇函数，故D正确；对于B，y=x2﹣4x﹣3的开口向上，对称轴为x=2，在（2，+∞）上是增函数，故B错误；在（﹣∞，0），（0，+∞）上是减函数，故C错误．故选D．二．填空题（共10小题）21．（2002•天津）设函数f（x）在（﹣∞，+∞）内有定义，下列函数（1）y=﹣|f（x）|；（2）y=xf（x2）；（3）y=﹣f（﹣x）；（4）y=f（x）﹣f（﹣x）中必为奇函数的有（2），（4）（要求填写正确答案的序号）．解：y=﹣|f（x）|中不论x取任何值，|f（x）|所对的函数值均不变，故（1）为偶函数；y=xf（x2）可以看成为两个函数的乘积，其中，y=x是奇函数，y=f（x2）是偶函数，故（2）是奇函数．y=﹣f（﹣x）奇偶性没办法确定．故（3）不是奇函数．令F（x）=y=f（x）﹣f（﹣x）因为F（﹣x）=f（﹣x）﹣f（x）=﹣（f（x）﹣f（﹣x））=﹣F（x），故（4）是奇函数故答案为：（2）（4）22．下列幂函数中是奇函数且在（0，+∞）上单调递增的是（2），（5）（写出所有正确的序号）（1）y=x2（2）y=x（3）（4）y=x﹣1（5）y=x3．解：（1）y=x2是偶函数，不满足要求；（2）y=x即是奇函数且在（0，+∞）上单调递增，满足要求；（3）是非奇非偶函数，不满足要求；（4）y=x﹣1在（0，+∞）上单调递减，不满足要求；（5）y=x3是奇函数且在（0，+∞）上单调递增，满足要求；故答案为：（2），（5）23．判断函数的奇偶性为：非奇非偶．解：有解析式可知，此函数的定义域为：x∈R，当x＞0时，函数f（x）=﹣x2+2x﹣3，此时﹣x＜0，f（﹣x）=（﹣x）2+2（﹣x）+3=x2﹣2x+3=﹣f（x）；当x＜0时，函数f（x）=x2+2x+3，此时﹣x＞0，f（﹣x）=﹣（﹣x）2+2（﹣x）﹣3=﹣x2﹣2x﹣3=﹣f（x）；但是若为奇函数时，x=0时，f（0）=0时，此函数才为奇函数，由此分析此函数应为非奇非偶．故答案为：非奇非偶．24．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是②④（填序号）．①y=f（|x|）；②y=f（﹣x）；③y=x•f（x）；④y=f（x）+x．解：∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴①y=f（|x|）；②y=f（﹣x）；③y=x•f （x）；④y=f（x）+x．的定义域都是R对于①、∵f（x）的定义域为R，∴f（|﹣x|）=f（|x|），∴y=f（|x|）是偶函数；对于②、令F（x）=f（﹣x），则F（﹣x）=f（x）=﹣f（﹣x）=﹣F（x），∴F（x）是奇函数，∴②是奇函数；对于③、令M（x）=x•f（x），则M（﹣x）=﹣x•f（﹣x）=x•f（x）=M（x），∴M（x）是偶函数；对于④、令N（x）=f（x）+x，则N（﹣x）=f（﹣x）﹣x=﹣f（x）﹣x=﹣[f（x）+x]=﹣N（x），∴N（x）是奇函数，故②、④是奇函数．故答案为：②④25．（2012•重庆）若f（x）=（x+a）（x﹣4）为偶函数，则实数a=4．解：∵f（x）=（x+a）（x﹣4）为偶函数∴f（﹣x）=f（x）对于任意的x都成立即（x+a）（x﹣4）=（﹣x+a）（﹣x﹣4）∴x2+（a﹣4）x﹣4a=x2+（4﹣a）x﹣4a∴（a﹣4）x=0∴a=4故答案为：426．（2004•上海）设奇函数f（x）的定义域为[﹣5，5]，若当x∈[0，5]时，f（x）的图象如图，则不等式f（x）＜0的解集是{x|﹣2＜x＜0或2＜x≤5}．解：由奇函数图象的特征可得f（x）在[﹣5，5]上的图象．由图象可解出结果．故答案为{x|﹣2＜x＜0或2＜x≤5}．27．已知函数的图象关于原点对称，则b=﹣1．解：∵∴b=﹣1．故答案为：﹣1．28．若函数为奇函数，则实数a的值是﹣1．解：显然函数的定义域中不含0，由奇函数的性质得f（﹣x）=﹣f（x），即=﹣（），取x=1得：2+a=﹣a，a=﹣1故答案为：﹣1．29．若f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x（x+1），则当x＜0时，f（x）=x （1﹣x）．解：设x＜0，则﹣x＞0∵当x＞0时，f（x）=x（x+1），∴f（﹣x）=﹣x（﹣x+1）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=x（1﹣x）故答案为x（1﹣x）30．设a是实数．若函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣1|是定义在R上的奇函数，但不是偶函数，则a=1．解：∵函数f（x）在定义上为奇函数∴f（﹣x）+f（x）=0，令x=0，则有f（0）=0，即f（x）=|a|﹣|﹣1|=0⇒a=±1，当a=﹣1时，函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣1|=0是定义在R上的奇函数，也是偶函数∴a=1，故答案为：1．。
高一数学函数的奇偶性试题
高一数学函数的奇偶性试题1.设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A．是偶函数B．是奇函数C．是偶函数D．是奇函数【答案】A【解析】由设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，我们易得到|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，进而根据奇+奇=奇，偶+偶=偶，逐一对四个结论进行判断，即可得到答案．∵函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则|g（x）|也为偶函数，则f（x）+|g（x）|是偶函数，故A满足条件；f（x）-|g（x）|是偶函数，故B不满足条件；|f（x）|也为偶函数，则|f（x）|+g（x）与|f（x）|-g（x）的奇偶性均不能确定故选A【考点】函数奇偶性的判断2.已知函数为奇函数,且当时,,则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵为奇函数，∴．【考点】函数的性质．3.若函数为偶函数，则实数的值为__________．【解析】根据偶函数的定义，对定义域中的任意，有，即，故.【考点】函数的奇偶性.4.已知函数是定义域为R的奇函数.当时，，图像如图所示.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若方程有两解，写出的范围；（Ⅲ）解不等式，写出解集.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）当时，，即可代入中得，由奇函数的性质，可得，又因为奇函数中，从而得到分段函数的解析式；（Ⅱ）根据数形结合，使的图像与直线产生两个交点，容易看出的取值范围；（Ⅲ）分和分别求解不等式的解集.试题解析：（Ⅰ），，又，当时， 2分当时，，，，即 4分6分（Ⅱ） 10分（Ⅲ）①，， 13分②，，综上：解集为 16分【考点】奇函数的性质，数形结合思想，分类讨论思想.5.设函数是定义域为的奇函数．(1)求的值；(2)若，且在上的最小值为，求的值.(3)若，试讨论函数在上零点的个数情况。
【答案】(1) ;(2) (3) 当时在上有一个零点;当时在上无零点.【解析】(1) 由奇函数的性质求,可用特殊值或用恒等式对应项系数相等，如果0在奇函数的定义域内,则一定有,如果不在可任取定义域内两个相反数代入求.(2)由求出,代入得,换元,注意自变量的取值范围,每设出一个子母都要把它取的范围缩到最小以有利于解题, 所以得到得到一个新的函数,利用二次函数函数单调性求最值方法得到,二次函数在区间上的最值在端点处或顶点处,遇到对称轴或区间含有待定的字母,则要按对称轴在不在区间内以及区间中点进行讨论.(3)由函数零点判定转化为二次方程根的判定,即在解个数情况,这个解起来比较麻烦,所以可以用函数单调性先来判定零点的个数,即在上为增函数,也就是在这个区间上是一一映射, 时的每个值方程只有一个解.试题解析：(1)为上的奇函数即(2)由(1)知解得或(舍)且在上递增令则所以令,且因为的对称轴为Ⅰ当时解得(舍)Ⅱ当时解得综上:(3)由(2)可得:令则即求,零点个数情况即求在解个数情况由得,所以在上为增函数当时有最小值为所以当时方程在上有一根,即函数有一个零点当时方程在上无根,即函数无零点综上所述:当时在上有一个零点当时在上无零点.【考点】函数奇偶性,复合函数求最值,函数的零点.6.已知定义在上的奇函数，当时，，那么， .【答案】【解析】因为在上为奇函数，所以；取，则，所以，又因为为奇函数，所以，故．综上得，．【考点】1．分段函数；2．函数的奇偶性．7.关于函数，有下面四个结论：（1）是奇函数；（2）恒成立；（3）的最大值是； (4) 的最小值是.其中正确结论的是_______________________________________．【答案】（2）（4）【解析】函数满足，所以函数是偶函数，当时函数是减函数，当时函数是增函数，因此函数最小值为，最大值为，综上可知（2）（4）正确【考点】函数奇偶性单调性与最值点评：本题中求函数最值借助了函数单调性，函数是奇函数则满足，函数是偶函数则满足8.定义在R上的偶函数在上是增函数．若，则实数的取值范围是_________【答案】【解析】因为定义在R上的偶函数在上是增函数．且，所以,|a| 2，解得。
高一数学函数的奇偶性训练及答案
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载高一数学函数的奇偶性训练及答案地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容函数的奇偶性与单调性练习(解析版）一、利用单调性、奇偶性解不等式1. 若为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又,则的解集为.命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的综合性质，一元一次不等式的解集以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★级题目.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、不等式的解法及转化思想.错解分析：本题对不等式组的解题能力要求较高，容易漏掉小于0的情形，同时交并集的运算技能不过关，结果也难获得.技巧与方法：将转化为不等式组求解，或在直角坐标系中画出示意图，依据图形求解.详解：2. 已知偶函数在区间[0，+∞）单调递增，则满足的取值范围是命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★★级题目.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、分类讨论数学思想及转化思想.错解分析：本题对思维能力要求较高，如果不会分类，运算技能不过关，结果很难获得.技巧与方法：分类讨论与添加绝对值.详解一：详解二：3. 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1).求a的取值范围.命题意图：本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法.本题属于★★★★★级题目.知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题.错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱.技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法.解：设0<x1<x2,则－x2<－x1<0，∵f(x)在区间(－∞,0)内单调递增，∴f(－x2)<f(－x1),∵f(x)为偶函数，∴f(－x2)=f(x2),f(－x1)=f(x1), ∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，+∞)内单调递减.由f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1)得：2a2+a+1>3a2－2a+1.解之，得0<a<3.二、利用单调性、奇偶性比较大小4. 如果函数f(x)在R上为奇函数，在[－1，0)上是增函数，试比较f(),f(),f(1)的大小关系_ f()<f()<f(1)_.命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定和逻辑推理能力.属★★级题目.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、比较大小及转化思想.错解分析：本题注重考查基础知识，较易判断，可依据示意图直接得出结论.技巧与方法：利用图象法求解.详解：由题意，函数在区间上是增函数，于是三、利用单调性、奇偶性求函数值5. 函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=，若f(1)=-5，则f(f(5))=___.命题意图：本题主要考查函数的周期性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★★★级题目.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.技巧与方法：对先计算f(5),然后计算结果.详解：一般地，若函数满足或，则，其中为非0实常数.四、判断抽象函数的单调性、奇偶性6. 已知函数f(x)对一切x、y∈R，都有f(x+y)= f(x)+ f(y)，(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(-3)=a，用a表示f(12)．分析：判断函数奇偶性的一般思路是利用定义，看f(-x)与f(x)的关系，进而得出函数的奇偶性；解决本题的关键是在f(x+y)= f(x)+ f(y)中如何出现f(-x)；用a表示f(12)实际上是如何用f(-3)表示f(12)，解决该问题的关键是寻找f(12)与f(-3)的关系．解答：7. 已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减.命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★★级题目.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.技巧与方法：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定的范围是焦点.证明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.令0<x1<x2<1,则f(x2)－f(x1)=f(x2)+f(－x1)=f()∵0<x1<x2<1,∴x2－x1>0,1－x1x2>0，∴>0,又(x2－x1)－(1－x2x1)= (x2－1)(x1+1)<0 ∴x2－x1<1－x2x1,∴0<<1,由题意知f()<0，即f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.∴f(x)在(－1，1)上为减函数.一、选择题1．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）＝ax3＋bx2＋cx（）A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数2．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则（）A．，b＝0 B．a＝－1，b＝0 C．a＝1，b＝0 D．a ＝3，b＝03．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－2x，则f（x）在R上的表达式是（）A．＝x（x－2）B．y ＝x（｜x｜－1）C．y ＝｜x｜（x－2）D．y＝x（｜x｜－2）4．已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，且f（－2）＝10，那么f（2）等于（）A．－26 B．－18 C．－10 D．105．函数是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数6．若f(x)，g（x）都是奇函数，F(x)=af(x)+bg(x)+2在（0，＋∞）上有最大值5，则F（x）在（－∞，0）上有（）A．最小值－5 B．最大值－5 C．最小值－1D．最大值－3二、填空题7．函数的奇偶性为________（填奇函数或偶函数）．8．若y＝（m－1）x2＋2mx＋3是偶函数，则m＝_________．9．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若，则f（x）的解析式为_______．10．已知函数f（x）为偶函数，且其图象与x轴有四个交点，则方程f （x）＝0的所有实根之和为________．三、解答题11．设定义在［－2，2］上的偶函数f（x）在区间［0，2］上单调递减，若f（1－m）＜f（m），求实数m的取值范围．12．已知函数f（x）满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）·f（y）（xR，yR），且f（0）≠0，试证f（x）是偶函数．13.已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋2x2—1，求f （x）在R上的表达式．14.f（x）是定义在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函数，且f（x）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f（x）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．公司档案管理制度一、总则1、为加强本公司档案工作，充分发挥档案作用，全面提高档案管理水平，有效地保护及利用档案，为公司发展服务，特制定本制度。
高一数学专项练习：奇偶性训练题附答案-学习文档
高一数学专项练习：奇偶性训练题附答案高一数学专项练习：奇偶性训练题1.下列命题中，真命题是()A.函数y=1x是奇函数，且在定义域内为减函数B.函数y=x3(x-1)0是奇函数，且在定义域内为增函数C.函数y=x2是偶函数，且在(-3,0)上为减函数D.函数y=ax2+c(ac0)是偶函数，且在(0,2)上为增函数解析：选C.选项A中，y=1x在定义域内不具有单调性;B中，函数的定义域不关于原点对称;D中，当a0时，y=ax2+c(ac0)在(0,2)上为减函数，故选C.2.奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为-1，则2f(-6)+f(-3)的值为()A.10B.-10C.-15D.15解析：选C.f(x)在[3,6]上为增函数，f(x)max=f(6)=8，f(x)min=f(3)=-1.2f(-6)+f(-3)=-2f(6)-f(3)=-28+1=-15.3.f(x)=x3+1x的图象关于()A.原点对称B.y轴对称C.y=x对称D.y=-x对称解析：选A.x0，f(-x)=(-x)3+1-x=-f(x)，f(x)为奇函数，关于原点对称.4.如果定义在区间[3-a,5]上的函数f(x)为奇函数，那么a=________.解析：∵f(x)是[3-a,5]上的奇函数，区间[3-a,5]关于原点对称，3-a=-5，a=8.答案：81.函数f(x)=x的奇偶性为()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数解析：选D.定义域为{x|x0}，不关于原点对称.2.下列函数为偶函数的是()A.f(x)=|x|+xB.f(x)=x2+1xC.f(x)=x2+xD.f(x)=|x|x2解析：选D.只有D符合偶函数定义.3.设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()A.f(x)f(-x)是奇函数B.f(x)|f(-x)|是奇函数C.f(x)-f(-x)是偶函数D.f(x)+f(-x)是偶函数解析：选D.设F(x)=f(x)f(-x)则F(-x)=F(x)为偶函数.设G(x)=f(x)|f(-x)|，则G(-x)=f(-x)|f(x)|.G(x)与G(-x)关系不定.设M(x)=f(x)-f(-x)，M(-x)=f(-x)-f(x)=-M(x)为奇函数.设N(x)=f(x)+f(-x)，则N(-x)=f(-x)+f(x).N(x)为偶函数.4.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a0)是偶函数，那么g(x)=ax3+bx2+cx()A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.是非奇非偶函数解析：选A.g(x)=x(ax2+bx+c)=xf(x)，g(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-g(x)，所以g(x)=ax3+bx2+cx是奇函数;因为g(x)-g(-x)=2ax3+2cx不恒等于0，所以g(-x)=g(x)不恒成立.故g(x)不是偶函数.5.奇函数y=f(x)(xR)的图象必过点()A.(a，f(-a))B.(-a，f(a))C.(-a，-f(a))D.(a，f(1a))解析：选C.∵f(x)是奇函数，f(-a)=-f(a)，即自变量取-a时，函数值为-f(a)，故图象必过点(-a，-f(a)).6.f(x)为偶函数，且当x0时，f(x)2，则当x0时()A.f(x)B.f(x)2C.f(x)D.f(x)R解析：选B.可画f(x)的大致图象易知当x0时，有f(x)2.故选B.7.若函数f(x)=(x+1)(x-a)为偶函数，则a=________.解析：f(x)=x2+(1-a)x-a为偶函数，1-a=0，a=1.答案：18.下列四个结论：①偶函数的图象一定与纵轴相交;②奇函数的图象一定通过原点;③f(x)=0(xR)既是奇函数，又是偶函数;④偶函数的图象关于y轴对称.其中正确的命题是________.解析：偶函数的图象关于y轴对称，不一定与y轴相交，①错，④对;奇函数当x=0无意义时，其图象不过原点，②错，③对.答案：③④9.①f(x)=x2(x2+2);②f(x)=x|x|;③f(x)=3x+x;④f(x)=1-x2x.以上函数中的奇函数是________.解析：(1)∵xR，-xR，又∵f(-x)=(-x)2[(-x)2+2]=x2(x2+2)=f(x)，f(x)为偶函数.(2)∵xR，-xR，又∵f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x)，f(x)为奇函数.(3)∵定义域为[0，+)，不关于原点对称，f(x)为非奇非偶函数.(4)f(x)的定义域为[-1,0)(0,1]即有-11且x0，则-11且-x0，又∵f(-x)=1--x2-x=-1-x2x=-f(x).f(x)为奇函数.答案：②④10.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=(x-1) 1+x1-x;(2)f(x)=x2+xx0-x2+x x0.解：(1)由1+x1-x0，得定义域为[-1,1)，关于原点不对称，f(x)为非奇非偶函数.(2)当x0时，-x0，则f(-x)=-(-x)2-x=-(-x2+x)=-f(x)，当x0时，-x0，则f(-x)=(-x)2-x=-(-x2+x)=-f(x)，综上所述，对任意的x(-，0)(0，+)，都有f(-x)=-f(x)，f(x)为奇函数.11.判断函数f(x)=1-x2|x+2|-2的奇偶性.解：由1-x20得-11.由|x+2|-20得x0且x-4.定义域为[-1,0)(0,1]，关于原点对称.∵x[-1,0)(0,1]时，x+20，f(x)=1-x2|x+2|-2=1-x2x，f(-x)=1--x2-x=-1-x2x=-f(x)，f(x)=1-x2|x+2|-2是奇函数.12.若函数f(x)的定义域是R，且对任意x，yR，都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立.试判断f(x)的奇偶性.解：在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=y=0，得f(0+0)=f(0)+f(0)，f(0)=0.再令y=-x，则f(x-x)=f(x)+f(-x)，即f(x)+f(-x)=0，f(-x)=-f(x)，故f(x)为奇函数.。
高中数学奇偶性练习题及答案
函数的奇偶性与周期性 一、填空题1．已知函数f(x)＝1＋mex －1是奇函数，则m 的值为________．解析：∵f(－x)＝－f(x)，即f(－x)＋f(x)＝0，∴1＋m e －x －1＋1＋mex －1＝0，∴2－mex ex －1＋m ex －1＝0，∴2＋mex －1(1－ex)＝0，∴2－m ＝0，∴m ＝2.答案：22．设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f(x)＝2x －3，则f(－2)＝________. 解析：设x ＜0，则－x ＞0，f(－x)＝2－x －3＝－f(x)，故f(x)＝3－2－x ，所以f(－2)＝3 －22＝－1. 答案：－13．已知函数f(x)＝a －12x ＋1，若f(x)为奇函数，则a ＝________.解析：解法一：∵f(x)为奇函数，定义域为R ，∴f(0)＝0⇔a －120＋1＝0⇔a ＝12.经检验，当a ＝12时，f(x)为奇函数．解法二：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a －12－x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫a －12x ＋1.∴2a ＝12x ＋1＋2x 1＋2x＝1，∴a ＝12.答案：124．若f(x)＝ax2＋bx ＋3a ＋b 是定义在[a －1,2a]上的偶函数，则a ＝________，b ＝ ________. 解析：由a －1＝－2a 及f(－x)＝f(x)，可得a ＝13，b ＝0.答案：135．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式 f(x)＜0的解集是________．解析：由奇函数的定义画出函数y=f(x)，x ∈[-5,5]的图象．由图象可知f(x)＜0的解集 为：{x|-2＜x ＜0或2＜x ＜5}． 答案：{x|-2＜x ＜0或2＜x ＜5} 6．(2010·全国大联考三江苏卷)定义在[－2,2]上的偶函数f(x)，它在[0,2]上的图象是一 条如图所示的线段，则不等式f(x)＋f(－x)>x 的解集为________． 解析：f(x)＋f(－x)>x 即f(x)>x2，如图，由数形结合法可知不等式的解集为[－2,1)．答案：[-2,1) 二、解答题7．已知f(x)是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f(x)＝x3＋x ＋1，求f(x)的解析式． 解：设x ＜0，则－x ＞0，∴f(－x)＝(－x)3－x ＋1＝－x3－x ＋1. 由f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴－x3－x ＋1＝－f(x)，即f(x)＝x3＋x －1.∴x ＜0时，f(x)＝x3＋x －1，又f(x)是奇函数．∴f(0)＝0，∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x3＋x ＋1 (x ＞0)0 (x ＝0)x3＋x －1 (x ＜0).8．f(x)是定义在R 上的奇函数，且满足f(x ＋2)＝f(x)，又当x ∈(0,1)时，f(x)＝2x －1， 求f(log 126)的值．解：∵x ∈(0,1)时，f(x)＝2x －1.∴x ∈(－1,0)时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x ＋1， ∵4＜6＜8，∴－3＜log 126＜－2.又f(x ＋2)＝f(x)，知f(x)是周期为2的函数．∵－1＜log 126＋2＜0，∴f(log 126)＝f(log 126＋2)＝＝－2－log 1232＋1＝－32＋1＝－12.2．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]上只有f(1)＝f(3)＝0. (1)试判断函数y ＝f(x)的奇偶性； (2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2 005，2 005]上的根的个数，并证明你的结论． 解：(1)∵f(1)＝0，且f(x)在[0,7]上只有f(1)＝f(3)＝0，且f(2－x)＝f(2＋x)， 令x ＝－3，f(－1)＝f(5)≠0，∴f(－1)≠f(1)，且f(－1)≠－f(1)． ∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (2)f(10＋x)＝f[2＋(8＋x)]＝f[2－(8＋x)]＝f(－6－x)＝f[7－(13＋x)]＝f[7＋(13＋x)] ＝f(20＋x)，∴f(x)以10为周期．又f(x)的图象关于x ＝7对称知，f(x)＝0在(0,10)上有两个根，则f(x)＝0在(0,2 005]上有201×2＝402个根；在[－2 005,0]上有200×2＝400 个根；因此f(x)＝0在闭区间上共有802个根． 同步练习g3.1012函数的奇偶性和周期性1—13、DAA BD B DD D C AAC. 14、2()2(0)f x x x x =--< 15、0；0 16(1)偶函数 (2)奇函数 17(1)偶函数18、⎡⎢⎣⎭19(1)11()()24f f == (2)T=2 函数的奇偶性与周期性1、若)(x f )(R x ∈是奇函数，则下列各点中，在曲线)(x f y =上的点是（A ）))(,(a f a - （B ）))sin (,sin (α--α-f （C ）))1(lg ,lg (af a -- （D ）))(,(a f a --3.已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+，则)25(f 的值是（ ） A. 0 B.21 C. 1 D. 25 4、)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0在区间（0，6）内解的个数的最小值是A ．5B ．4C ．3D ．2 6、已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f xxx f 则若A ．bB ．－bC ．b 1D ．－b18.函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( )(A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数9.已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( ).A.(25)(11)(80)f f f -<<B. (80)(11)(25)f f f <<-C. (11)(80)(25)f f f <<-D. (25)(80)(11)f f f -<< 10.已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+），则(2008)(2009)f f -+的值为 （ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．211.已知函数()f x 满足：x ≥4,则()f x ＝1()2x ；当x ＜4时()f x ＝(1)f x +，则2(2log 3)f +＝（ ） （A ）124 （B ）112（C ）18 （D ）3812已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是（ ）（A ）（13，23） (B) ［13，23） (C)（12，23） (D) ［12，23） 14、已知函数)(x f y =在R 是奇函数，且当0≥x 时，x x x f 2)(2-=，则0<x 时，)(x f 的解析式为_______________15、定义在)1,1(-上的奇函数1)(2+++=nx x mx x f ，则常数=m ____,=n _____18、定义在]11[，-上的函数)(x f y =是减函数，且是奇函数，若0)54()1(2>-+--a f a a f ，求实数a 的范围.。
函数奇偶性练习题(内含答案)
函数奇偶性一般地，对于函数f(x)（1）如果对于函数定义域内の任意一个x，都有f(x)=f(-x)那么函数f(x)就叫做偶函数。
关于y轴对称，f（-x）=f（x）。
（2）如果对于函数定义域内の任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
关于原点对称，-f（x）=f（-x）。
奇偶函数图像の特征定理奇函数图像关于原点成中心对称图形，偶函数の图像关于y轴成轴对称图形。
f(x)为奇函数<=>f(x)の图像关于原点对称点（x,y）→（-x,-y）f(x)为偶函数<=>f(x)の图像关于Y轴对称点（x,y）→（-x,y）奇函数在某一区间上单调递增，则在它の对称区间上也是单调递增。
偶函数在某一区间上单调递增，则在它の对称区间上单调递减。
性质1、偶函数没有反函数（偶函数在定义域内非单调函数），奇函数の反函数仍是奇函数。
2、偶函数在定义域内关于原点对称の两个区间上单调性相反，奇函数在定义内关于原点对称の两个区间上单调性相同。
3、奇±奇=奇偶±偶=偶奇X奇=偶偶X偶=偶奇X偶=奇（两函数定义域要关于原点对称）4、对于F（x）=f[g(x)]：若g(x)是偶函数，则F[x]是偶函数若g(x)奇函数且f(x)是奇函数，则F（x）是奇函数若g(x)奇函数且f(x)是偶函数，则F（x）是偶函数5、奇函数与偶函数の定义域必须关于原点对称一、选择题1．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx （ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数2．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（ ）A ．31=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 3．已知f （x ）是定义在R 上の奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，则f （x ）在R 上の表达式是（ ）A ．y ＝x （x －2）B ．y ＝x （｜x ｜－1）C ．y ＝｜x ｜（x －2）D ．y ＝x （｜x ｜－2）4．已知f （x ）＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（ ）A ．－26B ．－18C ．－10D ．105．函数1111)(22+++-++=x x x x x f 是（ ）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数6．若)(x ϕ，g （x ）都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ϕ在（0，＋∞）上有最大值5，则f （x ）在（－∞，0）上有（ ）A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－3二、填空题7．函数2122)(xx x f ---=の奇偶性为________（填奇函数或偶函数） ． 8．若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝_________．9．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若11)()(-=+x x g x f ，则f （x ）の解析式为_______．10．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0の所有实根之和为________．三、解答题11．设定义在［－2，2］上の偶函数f （x ）在区间［0，2］上单调递减，若f （1－m ）＜f （m ），求实数m の取值范围．12．已知函数f（x）满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）·f（y）（x∈R，y∈R），且f（0）≠0，试证f（x）是偶函数．13.已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋2x2—1，求f（x）在R上の表达式．14.f（x）是定义在（－∞，－5］ ［5，＋∞）上の奇函数，且f（x）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f（x）在（－∞，－5］上の单调性，并用定义给予证明．15.设函数y＝f（x）（x∈R且x≠0）对任意非零实数x1、x2满足f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），求证f（x）是偶函数．函数の奇偶性练习参考答案1． 解析：f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数，x x =)(ϕ为奇函数， ∴g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx ＝f （x ）·)(x ϕ满足奇函数の条件． 答案：A 2．解析：由f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，得b ＝0．又定义域为［a －1，2a ］，∴a －1＝2a ，∴31=a ．故选A ． 3．解析：由x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，f （x ）为奇函数，∴当x ＜0时，f （x ）＝－f （－x ）＝－（x 2＋2x ）＝－x 2－2x ＝x （－x －2）．∴,,)0()0()2()2()(<≥---=⎩⎨⎧x x x x x x x f 即f （x ）＝x （|x |－2）答案：D4．解析：f （x ）＋8＝x 5＋ax 3＋bx 为奇函数， f （－2）＋8＝18，∴f （2）＋8＝－18，∴f （2）＝－26． 答案：A5．解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f （－x ）＋f （x ）＝0． 答案：B6．解析：)(x ϕ、g （x ）为奇函数，∴)()(2)(x bg x a x f +=-ϕ为奇函数．又f （x ）在（0，＋∞）上有最大值5， ∴f （x ）－2有最大值3．∴f （x ）－2在（－∞，0）上有最小值－3， ∴f （x ）在（－∞，0）上有最小值－1． 答案：C7．答案：奇函数8．答案：0解析：因为函数y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3为偶函数，∴f （－x ）＝f （x ），即（m －1）（－x ）2＋2m （－x ）＋3＝（m —1）x 2＋2mx ＋3，整理，得m ＝0．9．解析：由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，可得11)()(--=-x x g x f ，联立11)()(-=+x x g x f ，∴11)1111(21)(2-=----=x x x x f ． 答案：11)(2-=x x f 10．答案：0 11．答案：21<m 12．证明：令x ＝y ＝0，有f （0）＋f （0）＝2f （0）·f （0），又f （0）≠0，∴可证f （0）＝1．令x ＝0， ∴f （y ）＋f （－y ）＝2f （0）·f （y ）⇒f （－y ）＝f （y ），故f （x ）为偶函数．13．解析：本题主要是培养学生理解概念の能力．f （x ）＝x 3＋2x 2－1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝0．当x ＜0时，－x ＞0，f （－x ）＝（－x ）3＋2（－x ）2－1＝－x 3＋2x 2－1，∴f （x ）＝x 3－2x 2＋1．因此，.)0()0()0(12012)(,,2323<=>+--+=⎪⎩⎪⎨⎧x x x x x x x x f 点评：本题主要考查学生对奇函数概念の理解及应用能力．14．解析：任取x 1＜x 2≤－5，则－x 1＞－x 2≥－5．因f （x ）在［5，＋∞］上单调递减，所以f （－x 1）＜f （－x 2）⇒f （x 1）＜－f （x 2）⇒f （x 1）＞f （x 2），即单调减函数．点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化．15．解析：由x 1，x 2∈R 且不为0の任意性，令x 1＝x 2＝1代入可证，f （1）＝2f （1），∴f （1）＝0．又令x 1＝x 2＝－1，∴f ［－1×（－1）］＝2f （1）＝0，∴（－1）＝0．又令x 1＝－1，x 2＝x ，∴f （－x ）＝f （－1）＋f （x ）＝0＋f （x ）＝f （x ），即f （x ）为偶函数．点评：抽象函数要注意变量の赋值，特别要注意一些特殊值，如，x 1＝x 2＝1，x 1＝x 2＝－1或x 1＝x 2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征の式子即可．。
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奇偶性1．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx （ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数2．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（ ）A ．31=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 3．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（ ） A ．y ＝x （x －2） B ．y ＝x （｜x ｜－1） C ．y ＝｜x ｜（x －2） D ．y ＝x （｜x ｜－2）4．已知f （x ）＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（ ） A ．－26 B ．－18 C ．－10 D ．10 5．函数1111)(22+++-++=x xx x x f 是（）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数6．若)(x ϕ，g （x ）都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ϕ在（0，＋∞）上有最大值5，则f （x ）在（－∞，0）上有（ ）A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－3 7．函数2122)(xx x f ---=的奇偶性为________（填奇函数或偶函数） ．8．若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝_________． 9．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若11)()(-=+x x g x f ，则f （x ）的解析式为_______．10．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为________． 11．设定义在［－2，2］上的偶函数f （x ）在区间［0，2］上单调递减，若f （1－m ）＜f （m ），求实数m 的取值范围．12．已知函数f （x ）满足f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2f （x ）·f （y ）（x ∈R ，y ∈R ），且f （0）≠0，试证f （x ）是偶函数．13.已知函数f （x ）是奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 3＋2x 2—1，求f （x ）在R 上的表达式．14.f （x ）是定义在（－∞，－5］Y ［5，＋∞）上的奇函数，且f （x ）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f （x ）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明． 15.设函数y ＝f （x ）（x ∈R 且x ≠0）对任意非零实数x 1、x 2满足f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2）， 求证f （x ）是偶函数．函数的奇偶性练习参考答案1． 解析：f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数，x x =)(ϕ为奇函数，∴g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx ＝f （x ）·)(x ϕ满足奇函数的条件． 答案：A 2．解析：由f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，得b ＝0．又定义域为［a －1，2a ］，∴a －1＝2a ，∴31=a ．故选A ． 3．解析：由x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，f （x ）为奇函数，∴当x ＜0时，f （x ）＝－f （－x ）＝－（x 2＋2x ）＝－x 2－2x ＝x （－x －2）．∴,,)0()0()2()2()(<≥---=⎩⎨⎧x x x x x x x f 即f （x ）＝x （|x |－2）答案：D 4．解析：f （x ）＋8＝x 5＋ax 3＋bx 为奇函数，f （－2）＋8＝18，∴f （2）＋8＝－18，∴f （2）＝－26．答案：A 5．解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f （－x ）＋f （x ）＝0． 答案：B 6．解析：)(x ϕ、g （x ）为奇函数，∴)()(2)(x bg x a x f +=-ϕ为奇函数．又f （x ）在（0，＋∞）上有最大值5， ∴f （x ）－2有最大值3．∴f （x ）－2在（－∞，0）上有最小值－3， ∴f （x ）在（－∞，0）上有最小值－1．答案：C7．答案：奇函数 8．答案：0解析：因为函数y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3为偶函数，∴f （－x ）＝f （x ），即（m －1）（－x ）2＋2m （－x ）＋3＝（m —1）x 2＋2mx ＋3，整理，得m ＝0．9．解析：由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，可得11)()(--=-x x g x f ，联立11)()(-=+x x g x f ，∴11)1111(21)(2-=----=x x x x f ．答案：11)(2-=x x f 10．答案：0 11．答案：21<m 。
12．证明：令x ＝y ＝0，有f （0）＋f （0）＝2f （0）·f （0），又f （0）≠0，∴可证f （0）＝1．令x ＝0，∴f （y ）＋f （－y ）＝2f （0）·f （y ）⇒f （－y ）＝f （y ），故f （x ）为偶函数．13．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．f （x ）＝x 3＋2x 2－1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝0．当x ＜0时，－x＞0，f （－x ）＝（－x ）3＋2（－x ）2－1＝－x 3＋2x 2－1，∴f （x ）＝x 3－2x 2＋1．因此，.)0()0()0(12012)(,,2323<=>+--+=⎪⎩⎪⎨⎧x x x x x x x x f 。
14．解析：任取x 1＜x 2≤－5，则－x 1＞－x 2≥－5． 因f （x ）在［5，＋∞］上单调递减，所以f （－x 1）＜f （－x 2）⇒f （x 1）＜－f （x 2）⇒f （x 1）＞f （x 2），即单调减函数．15．解析：由x 1，x 2∈R 且不为0的任意性，令x 1＝x 2＝1代入可证， f （1）＝2f （1），∴f （1）＝0． 又令x 1＝x 2＝－1，∴f ［－1×（－1）］＝2f （1）＝0，∴（－1）＝0．又令x 1＝－1，x 2＝x ，∴f （－x ）＝f （－1）＋f （x ）＝0＋f （x ）＝f （x ），即f （x ）为偶函数．点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x 1＝x 2＝1，x 1＝x 2＝－1或x 1＝x 2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．函数值域的八大求法方法一：观察法例1. 求函数2x 4y -=的值域。
解析：由]2,0[x 4,0x 40x 222∈-≥-≥知及。
故此函数值域为]2,0[。
方法二：不等式法例2. 求函数)0x (x )1x (y 222≠+=的值域。
解析：4x 1x 2x 1x 2x x )1x (y 22224222≥++=++=+=Θ，∴此函数值域为),4[+∞。
方法三：反函数法例3. 求函数)4x (2x 1x y -≥+-=的值域。
解析：由2x 1x y +-=得y 11y 2x -+=。
由4x -≥，得4y 11y 2-≥-+，解得1y 25y <≥或。
∴此函数值域为),25[)1,(+∞⋃-∞。
方法四：分离常数法例4. 求函数6x 13x 6)1x (6y 2422+++=的值域。
解析：：6x 13x 66x 12x 66x 13x 6)1x (6y 24242422++++=+++=25242511x 613x 6116x 13x 6x 122242=-≥++-=++-=。
从而易知此函数值域为]1,2524[。
评注：此题先分离常数，再利用不等式法求解。
注意形如)ad bc ,0a (b ax dcx y ≠≠++=的值域为),a c()a c ,(+∞⋃-∞。
方法五：判别式法例5. 求函数1x x 1x y 22--+=的值域。
解析：原式整理可得0)1y (yx x )1y (2=+---。
当01y =-即1y =时，2x -=原式成立。
当01y ≠-即1y ≠时，0)]1y ()[1y (4y 2≥+---=∆，解得552y 552y -≤≥或。
综上可得原函数值域为),552[]552,(+∞⋃--∞。
评注：此方法适用于x 为二次的情形，但应注意01y =-时的情况。
方法六：图象法例6. 求函数1x 1y -=)0x (1≥-的值域。
解析：作出此函数的图象，如下图所示。
可知此函数值域为),1(]2,(+∞-⋃--∞。
方法七：中间变量法例7. 求函数5x 3x y 22-+=的值域。
解析：由上式易得1y 3y 5x 2-+=。
由1y 53y ,01y 3y 5,0x 2>-≤≥-+≥或解得知。
故此函数值域为),1(]53,(+∞⋃--∞。
方法八：配方法例8. 求函数3x 2x y +-=的值域。
解析：因为22)1x (y 2≥+-=，故此函数值域为),2[+∞。