2017高考数学经典题型与变式——第15讲：三角函数图像
三角函数公式和图像大全
初等函数的图形幂函数的图形指数函数的图形各三角函数值在各象限的符号sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα三角函数的性质函数y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx定义域R R ｛x｜x∈R且x≠kπ+2π,k∈Z｝｛x｜x∈R且x≠kπ,k∈Z｝值域［-1，1］x=2kπ+2π时ymax=1x=2kπ-2π时ymin=-1［-1,1］x=2kπ时ymax=1x=2kπ+π时ymin=-1R无最大值无最小值R无最大值无最小值周期性周期为2π周期为2π周期为π周期为π奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数单调性在［2kπ-2π,2kπ+2π］上都是增函数；在［2kπ+2π,2kπ+32π］上都是减函数(k∈Z)在［2kπ-π，2kπ］上都是增函数；在［2kπ，2kπ+π］上都是减函数(k∈Z)在(kπ-2π，kπ+2π)内都是增函数(k∈Z)在(kπ，kπ+π)内都是减函数(k∈Z)反三角函数的图形反三角函数的性质名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数定义y=sinx(x∈〔-2π,2π〕的反函数，叫做反正弦函数，记作x=arsinyy=cosx(x∈〔0,π〕)的反函数，叫做反余弦函数，记作x=arccosyy=tanx(x∈(-2π,2π)的反函数，叫做反正切函数，记作x=arctanyy=cotx(x∈(0,π))的反函数，叫做反余切函数，记作x=arccoty理解arcsinx表示属于［-2π,2π］且正弦值等于x的角arccosx表示属于［0，π］，且余弦值等于x的角arctanx表示属于(-2π,2π)，且正切值等于x的角arccotx表示属于(0，π)且余切值等于x的角性质定义域［-1，1］［-1，1］(-∞，+∞) (-∞，+∞) 值域［-2π，2π］［0，π］(-2π，2π) (0，π)单调性在〔-1，1〕上是增函数在［-1，1］上是减函数在(-∞，+∞)上是增数在(-∞，+∞)上是减函数奇偶性arcsin(-x)=-arcsinxarccos(-x)=π-arccosxarctan(-x)=-arctanxarccot(-x)=π-arccotx周期性都不是同期函数恒等式sin(arcsinx)=x(x∈［-1，1］)arcsin(sinx)=x(x∈［-2π,2π］)cos(arccosx)=x(x∈［-1,1］)arccos(cosx)=x(x∈［0,π］)tan(arctanx)=x(x∈R)arctan(tanx)=x（x∈(-2π,2π)）cot(arccotx)=x(x∈R)arccot(cotx)=x(x∈(0,π))互余恒等式arcsinx+arccosx=2π(x∈［-1,1］) arctanx+arccotx=2π(X∈R)三角函数公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) =tanAtanB -1tanBtanA +tan(A-B) =tanAtanB 1tanBtanA +-cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB +cot(A-B) =cotAcotB 1cotAcotB -+倍角公式tan2A =Atan 12tanA2-Sin2A=2SinA •CosACos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π-a)sin(2A )=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=AA cos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=AA cos 1sin + 和差化积sina+sinb=2sin2b a +cos 2ba - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2ba -cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2ba -cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2ba -tana+tanb=ba b a cos cos )sin(+积化和差sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)]sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)]cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)]sin(-a) = -sina cos(-a) = cosasin(2π-a) = cosacos(2π-a) = sinasin(2π+a) = cosacos(2π+a) = -sinasin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosatgA=tanA =aacos sin万能公式sina=2)2(tan 12tan2aa + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1aa+- tana=2)2(tan 12tan2aa -a •sina+b •cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=ab ] a •sin(a)-b •cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin2a +cos 2a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2a )2其他非重点三角函数 csc(a) =asin 1 sec(a) =a cos 1 双曲函数 sinh(a)=2e -e -aa cosh(a)=2e e -aa + tg h(a)=)cosh()sinh(a a 公式一设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2k π＋α）= sin αcos （2k π＋α）= cos αtan （2k π＋α）= tan αcot （2k π＋α）= cot α设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanαcot（π＋α）= cotα公式三任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanαcot（π-α）= -cotα公式五利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanαcot（2π-α）= -cotα2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π+α）= cos α cos （2π+α）= -sin α tan （2π+α）= -cot α cot （2π+α）= -tan α sin （2π-α）= cos α cos （2π-α）= sin α tan （2π-α）= cot α cot （2π-α）= tan α sin （23π+α）= -cos α cos （23π+α）= sin α tan （23π+α）= -cot α cot （23π+α）= -tan α sin （23π-α）= -cos α cos （23π-α）= -sin α tan （23π-α）= cot α cot （23π-α）= tan α (以上k ∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用A •sin(ωt+θ)+B •sin(ωt+φ) =)cos(222ϕθ⋅++AB B A ×sin )cos(2)Bsin in arcsin[(As t 22ϕθϕθω⋅++++AB B A三角函数公式证明（全部）公式表达式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韦达定理判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有一个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中 R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角正切定理[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r >0扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h。
高中数学三角函数专题：三角函数图像和性质
,
5
]
第一个单调区间和第二
22
22
个单调区间的间距： 3 ( ) 2 。 22
当 x [ 2k, 2k] ，其中 k Z 时：函数 f (x) sin x 单调递增。
2
2
②第一个单调递减区间 [
,
3
] ，第二个单调递减区间[5
,
7
]
第一个单调区间和第二
22
22
个单调区间的间距： 5 2 。 22
②第一个取得最小值 1的自变量为 ，第二个取得最小值 1的自变量为 3 第一个自 变量和第二个自变量的间距为 3 2 。 当 x 2k ，其中 k Z 时：函数 f (x) cos x 取得最小值 1。
性质三：对称性。
对称轴：对称轴是由最大值点和最小值点向 x 轴做的垂线。如下图所示：紫色直线为对称轴。
②第一个取得最小值 1的自变量为 ，第二个取得最小值 1的自变量为 3 第一个自
2
2
变量和第二个自变量的间距为 3 ( ) 2 。 22
当 x 2k ，其中 k Z 时：函数 f (x) sin x 取得最小值 1。 2
性质三：对称性。
对称轴：对称轴是由最大值点和最小值点向 x 轴做的垂线。如下图所示：紫色直线为对称轴。
高中数学三角函数专题：三角函数图像和性质
第一部分： f (x) sin x 的图像与性质
描点法：如下表所示：
x
0
3
2
2
2
f (x)
0
1
0
1
0
sin 0 sin( ) sin cos sin cos 0 。
sin
sin(
) sin cossi cos113
三角函数的图像及其性质
三角函数的图像及其性质1、三角函数的图像及性质sin y xsin y A x k图像值域周期对称轴2x k2x k对称中心（零点）令x k 代入求y令x k 代入，求出x 和y 单调增区间2,222x k k2,222x k k单调减区间32,222x k k32,222x k kcos y xcos y A x k图像值域周期对称轴x kx k 对称中心（零点）2x k代入，求y 2x k求出x 和y 单调增区间 2,2x k k 2,2x k k 单调减区间2,2x k k2,2x k k tan y x图像定义域值域周期单调性与对称性性质【考点分类】考点一：图像变换：1．把函数y ＝sin x 的图象向右平移个单位得到y ＝g （x ）的图象，再把y ＝g （x ）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），所得到图象的解析式为（）A．B．C．D．2．将函数f （x ）＝sin x 图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0），纵坐标不变，得到函数g （x ）的图象，若g （x ）的最小正周期为6π，则ω＝（）A．B．6C．D．33．将函数y ＝2sin2x 图象上的所有点向右平移个单位，然后把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，（纵坐标不变）得到y ＝f （x ）的图象，则f （x ）等于（）A．2sin（x ﹣）B．2sin（x ﹣）C．2sin（4x ﹣）D．2sin（4x ﹣）4．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin（2x +），则下面结论正确的是（）A．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到曲线C 2B．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到曲线C 2C．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到曲线C 2D．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到曲线C 25.把函数y ＝cos(3x ＋4)的图象适当变动就可以得到y ＝sin(－3x )的图象，这种变动可以是()A 向右平移4 B 向左平移4 C 向右平移12 D 向左平移126..函数32sin( x y 的图象是由2sin xy 的图象沿x 轴（）得到的。
2017年高考数学(文)热点题型和提分秘籍专题15三角函数的图象和性质Word版含解析
1．能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性2．理解正弦函数、余弦函数在0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的单调性热点题型一 三角函数的定义域及简单的三角不等式 例1、 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π6 B.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－π12 C.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π6k ∈Z D.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π2＋π6k ∈Z(2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________。
(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________。
【答案】（1）D （2）⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z （3）⎝⎛⎭⎫－116π，－76π∪⎝⎛⎭⎫π6，56π∪⎝⎛⎦⎤13π6，8由余弦函数的图象，得 在一个周期－π，π]上，不等式 cos x ≥－32的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－5π6≤x ≤56π， 故原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z 。
【提分秘籍】1．三角函数定义域的求法(1)应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域。
(2)转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域。
2．简单三角不等式的解法 (1)利用三角函数线求解。
(2)利用三角函数的图象求解。
【举一反三】函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________。
【答案】⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫π4＋2k π≤x ≤5π4＋2k π，k ∈Z 【解析】要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0。
利用图象，在同一坐标系中画出0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示。
三角函数的图象、性质及应用(高中数学知识点讲解)
(5)不能认为y=tan
x在定义域上为增函数,应在区间
kπ-
π 2
,kπ
+
π 2
(k∈Z)内
为增函数.
知能拓展
考法一 关于三角函数图象的问题
例1 (1)(2018广东茂名化州二模,9)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<
φ<π)的部分图象如图所示,且f(α)=1,α∈
求φ及ω,从而
得到f(x)的解析式,由f(α)=1求α,进而得cos
2α
+
5π 6
.
A = 5,
(2)①根据已知表格中的数据可得方程组
π 3
ω
+
φ
=
π 2
,
解之可得函数f(x)的
5π 6
ω
+
φ
=
3π 2
,
解析式,进而可补全表格.
②由①并结合函数图象平移可得,g(x)=5sin
2
x
+
2θ -
π 3
-2x
实质上是y=tan
x与y=
π 3
-2x的复合,应
按复合函数单调性求解.
方法总结 三角函数的单调性问题的常见类型及解题策略
1.已知三角函数解析式求单调区间
(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式进行化简,并注意复合
函数单调性规律“同增异减”.
(2)求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的单调区间时,要视“ωx
2π ω
=4×
7π 12
-
π 3
=π,得ω=2,故f(x)=3sin(2x+φ),将
三角函数的图像和性质
当0<A<1时，图像在y轴方向压缩。
02
周期变换
ω表示周期变换的系数，周期T=2π/|ω|。当ω>1时，周期减小，图像
在x轴方向压缩；当0<ω<1时，周期增大，图像在x轴方向拉伸。
03
相位变换
φ表示相位变换的角度，当φ>0时，图像左移；当φ<0时，图像右移。
正弦型曲线应用举例
振动问题
在物理学中，正弦函数常用来描述简谐振动，如弹簧振子 、单摆等。通过正弦函数的振幅、周期和相位等参数，可 以描述振动的幅度、频率和初始状态。
三角函数的图像和性 质
汇报人：XX 2024-01-28
contents
目录
• 三角函数基本概念 • 正弦函数图像与性质 • 余弦函数图像与性质 • 正切函数图像与性质 • 三角函数复合与变换 • 三角函数在解决实际问题中的应用
01
三角函数基本概念
角度与弧度制
角度制
01
将圆周分为360等份，每份称为1度，用度（°）作为单位来度量
角的大小。
弧度制
02
以弧长等于半径所对应的圆心角为1弧度，用符号rad表示，是
国际通用的角度度量单位。
角度与弧度的换算
03
1° = (π/180)rad，1rad = (180/π)°。
三角函数定义及关系
正弦函数
sinθ = y/r，表示单位圆上任意 一点P(x,y)与x轴正方向形成的 角θ的正弦值。
光学
在光的反射、折射等现象中，三角函数可以 帮助计算入射角、折射角等角度问题。
在工程问题中的应用
1 2
建筑设计
在建筑设计中，三角函数可以帮助计算建筑物的 角度、高度、距离等参数，确保设计的准确性和 安全性。
2017年高考数学—三角函数(解答+答案)
2017年高考数学—三角函数（解答+答案）1.（17全国1理17．（12分））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin sin B C ;（2）若6cos cos 1,3B C a ==，求△ABC 的周长.2.（17全国2理17.（12分））ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin 2B AC +=， （1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b ．3.（17全国3理17．（12分））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin 0,2A A a b +===（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．4.（17北京理（15）（本小题13分））在ABC ∆中，360,7A c a ∠==o（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）若7a =，求ABC ∆的面积.已知函数())2sin cos 3f x x x x π=--（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求证：当[,]44x ππ∈-时，1()2f x ≥-6.（17山东理16）设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.已知()06f π=. （Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值.7.（17山东文（17）（本小题满分12分））在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=3，6AB AC =-u u r u u u rg ,3ABC S ∆=，求A 和a 。
8.（17天津理15.（本小题满分13分））在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =. （Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求πsin(2)4A +的值.在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，2225()ac a b c =--.（I ）求cos A 的值； （II ）求sin(2)B A -的值.10.（17浙江18．（本题满分14分））已知函数22()sin cos 23sin cos ()f x x x x x x R =--∈（Ⅰ）求2()3f π的值. （Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.11.（17江苏16. （本小题满分14分））已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,]a x x b x π==-∈. （1）若//a b ，求x 的值； （2）记,求()f x 的最大值和最小值以及对应x 的值参考答案：1.解：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin ac B A=由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =故2sin sin 3B C =。
2017年高考数学(考点解读+命题热点突破)专题08 三角函数的图像与性质 文
专题08 三角函数的图像与性质 文【考向解读】1.三角函数y ＝Asin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图象变换，周期及单调性是2016年高考热点．2.备考时应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象与性质，并熟练掌握函数y ＝Asin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的值域、单调性、周期性等．3.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.4.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点.【命题热点突破一】 三角函数的概念、同角三角函数关系、诱导公式例1、【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725-【答案】D【感悟提升】在单位圆中定义的三角函数，当角的顶点在坐标原点，角的始边在x 轴正半轴上时，角的终边与单位圆交点的纵坐标为该角的正弦值、横坐标为该角的余弦值．如果不是在单位圆中定义的三角函数，那么只要把角的终边上点的横、纵坐标分别除以该点到坐标原点的距离就可转化为单位圆上的三角函数定义．【变式探究】 当x ＝π4时，函数f(x)＝Asin(x ＋φ)(A>0)取得最小值，则函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－x 是( ) A ．奇函数且图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称B ．偶函数且图像关于点(π，0)对称C ．奇函数且图像关于直线x ＝π2对称D ．偶函数且图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称 【答案】C【解析】当x ＝π4时，函数f （x ）＝Asin （x ＋φ）（A>0）取得最小值，即π4＋φ＝－π2＋2k π，k∈Z ，即φ＝－3π4＋2k π，k∈Z ，所以f （x ）＝Asin （x －3π4）（A>0），所以y ＝f （3π4－x ）＝Asin （3π4－x－3π4）＝－Asin x ，所以函数y ＝f （34π－x ）为奇函数，且其图像关于直线x ＝π2对称. 【命题热点突破二】 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像与解析式 例2、设函数f(x)＝sin ωx ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，x∈R .(1)若ω＝12，求f(x)的最大值及相应的x 的取值集合；(2)若x ＝π8是f(x)的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f(x)的最小正周期．【感悟提升】三角函数最值的求法：(1)形如y ＝asin x ＋bcos x ＋k 的函数可转化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k(A>0，ω>0)的形式，利用有界性处理；(2)形如y ＝asin 2x ＋bsin x ＋c 的函数可利用换元法转化为二次函数，通过配方法和三角函数的有界性求解；(3)形如y ＝cos x ＋a sin x ＋b 的函数，一般看成直线的斜率，利用数形结合求解．【变式探究】【2016年高考四川理数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D【解析】由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D. 【命题热点突破三】三角函数的性质例3、某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将y ＝f(x)图像上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g(x)的图像，若y ＝g(x)图像的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．【解析】（1）根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f （x ）＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.【感悟提升】函数图像的平移变换规则是“左加右减”，并且在变换过程中只变换其中的自变量x ，如果x的系数不是1，那么就要提取这个系数后再确定变换的单位长度和方向．【变式探究】函数f(x)＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图像向左平移π6个单位长度后所得图像关于原点对称，则函数f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32 B ．－12C.12D.32 【答案】A 【解析】【命题热点突破四】 三角函数图像与性质的综合应用例4、(2016·高考全国甲卷)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 【答案】：A【解析】：根据图象上点的坐标及函数最值点，确定A ，ω与φ的值．由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－π6(k ∈Z )，结合选项可知y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.【变式探究】已知函数f(x)＝2cos 2x ＋2 3sin xcos x ＋a ，当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f(x)的最小值为2.(1)求a 的值，并求f(x)的单调递增区间；(2)先将函数f(x)的图像上的点的横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变，再将所得的图像向右平移π12个单位长度，得到函数g(x)的图像，求方程g(x)＝4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上所有根之和．【感悟提升】三角函数综合解答题的主要解法就是先把三角函数的解析式化为y ＝Asin(ωx ＋φ)的形式，再结合题目要求，利用函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像与性质解决问题．【命题热点突破五】三角函数图像、性质、正余弦定理、不等式等的综合例5、 已知向量a ＝(sin x ，2cos x)，b ＝(2 3cos x ，－cos x)，函数f(x)＝a·b . (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)在△ABC 中，若角A 满足f ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝1，且△ABC 的面积为8，求△ABC 周长的最小值．【解析】（1）∵f（x ）＝2 3sin xcos x －2cos 2x ＝3sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，∴函数f （x ）的最小正周期为π.由－π2＋2k π≤2x－π6≤π2＋2k π，k∈Z ，得－π6＋k π≤x≤π3＋k π，k∈Z ，∴函数f （x ）的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k∈Z . （2）设a ，b ，c 分别是内角A ， B ，C 对的边， 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝1，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π3－π6－1＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π2＝1，又∵A 为三角形的内角，∴A＝π2， ∴12bc ＝8，∴bc＝16， ∴b＋c≥2 bc ＝8，a ＝b 2＋c 2≥2bc ＝4 2，当且仅当b ＝c ＝4时等号成立. 故△ABC 周长的最小值为8＋4 2.【失分分析】三角函数综合性问题最容易犯的错误是求错三角函数的解析式．解题时要注意各种限制条件的应用，如指定的角的范围、三角形内角的范围等．在使用基本不等式时注意等号成立的条件．【变式探究】在直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的非负半轴，终边为射线l ：y ＝2 2x(x≥0)． (1)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6的值； (2)若点P ，Q 分别是角α始边、终边上的动点，且|PQ|＝6，求三角形POQ 面积最大时点P ，Q 的坐标．【高考真题解读】1.【2016高考新课标3理数】在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ）（A （B （C ）- （D ）-【答案】C【解析】设BC 边上的高为AD ，则3B C A D=，所以AC ==，AB =．由余弦定理，知222222cos2AB AC BC A AB AC +-===⋅，故选C ． 2.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725-【答案】D3.【2016高考新课标3理数】若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．4.【2016年高考四川理数】22cossin 88ππ-= .【答案】2【解析】由二倍角公式得22cossin 88ππ-=cos4=π5.【2016年高考四川理数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D【解析】由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D. 6.【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）（A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B 【解析】7.【2016年高考北京理数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）A.12t =，s 的最小值为6πB.t = ，s 的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3πD.t =，s 的最小值为3π【答案】A【解析】由题意得，ππ1sin(2)432t =⨯-=，当s 最小时，'P 所对应的点为π1(,)122，此时min πππ4126s ==-，故选A.8.【2016高考新课标3理数】函数sin y x x =-的图像可由函数sin y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】32π【解析】因为sin 2sin()3y x x x π=+=+，sin 2sin()3y x x x π==-＝2sin[()]33x π2π+-，所以函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =+的图像至少向右平移32π个单位长度得到． 9.【2016高考浙江理数】设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ） A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B【解析】21cos 2cos 21()sin sin sin sin 222-=++=++=-+++x x f x x b x c b x c b x c ，其中当0=b 时，cos 21()22=-++x f x c ，此时周期是π；当0≠b 时，周期为2π，而c 不影响周期．故选B ．10.【2016高考山东理数】函数f （x ）=sin x +cos x ）x –sin x ）的最小正周期是（ ） （A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π【答案】B11.【2016年高考四川理数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D【解析】由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D. 12.【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）（A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62k x k Z ππ=+∈，故选B. 13.【2016年高考北京理数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）A.12t =，s 的最小值为6πB.t = ，s 的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3πD.2t =，s 的最小值为3π【答案】A【解析】由题意得，ππ1sin(2)432t =⨯-=，当s 最小时，'P 所对应的点为π1(,)122，此时min πππ4126s ==-，故选A.14.【2016高考新课标3理数】函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】32π 【解析】15.【2016高考新课标3理数】在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ）（A （B （C ）- （D ）-【答案】C【解析】设BC 边上的高为AD ，则3B C A D=，所以AC ==，AB =．由余弦定理，知222222cos210AB AC BC A AB AC +-===-⋅，故选C ．16.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725-【答案】D【解析】2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.17.【2016高考新课标3理数】若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】1.【2015高考新课标1，理2】o o o osin 20cos10cos160sin10- =( )（A）-（B） （C ）12-（D ）12【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =osin30=12，故选D.2.【2015江苏高考，8】已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______.【答案】3【解析】12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++-3.【2015高考福建，理19】已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2p个单位长度.(Ⅰ)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程；(Ⅱ)已知关于x 的方程f()g()x x m +=在[0,2)p 内有两个不同的解,a b ． （1)求实数m 的取值范围；（2)证明：22cos ) 1.5m a b -=-(【答案】(Ⅰ) f()2sin x x =，(k Z).2x k pp =+?；(Ⅱ)（1）(-；（2）详见解析．【解析】(2)1)f()g()2sin cos )x x x x x x +=+)x j =+（其中sin j j ）依题意，sin(x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解,a b当且仅当|1<，故m的取值范围是(-.2)因为,a b)=m x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解，所以sin(a j +sin(b j +.当1£+=2(),2();2pa b j a b p b j --=-+当-时,3+=2(),32();2pa b j a b p b j --=-+所以2222cos )cos 2()2sin ()11 1.5m a b b j b j -=-+=+-=-=-(解法二：(1)同解法一. (2)1) 同解法一.4.【2015高考山东，理16】设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.【答案】（I ）单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（II ）ABC ∆面积的最大值为【解析】（I ）由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=- 由222,22k x k k Zππππ-+≤≤+∈ 可得,44k x k k Zππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ ；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦5.【2015高考重庆，理9】若tan 2tan5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 【答案】C 【解析】由已知，3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cos sin55ππαππα+=-33cos 2tan sin 105102tan cos sin 555ππππππ+=- 33cos cos 2sin sin 510510sin cos 55ππππππ+=＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos103cos 10ππ==，选C .6.【2015高考山东，理3】要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ）（A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位【答案】B【解析】7.【2015高考新课标1，理8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )(A)13(,),44k k k Z ππ-+∈ (B)13(2,2),44k k k Zππ-+∈ (C)13(,),44k k k Z -+∈ (D)13(2,2),44k k k Z-+∈【答案】D【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Zπππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D.8. 【2014高考湖南卷第9题】已知函数()sin(),f x x ϕ=-且230()0,f x dx π=⎰则函数()f x 的图象的一条对称轴是( )A.56x π=B.712x π=C.3x π=D.6x π=【答案】A9. 【2014高考江苏卷第5题】已知函数cos y x =与函数sin(2)(0)y x φφπ=+≤<，它们的图像有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 .【答案】6π【解析】由题意cossin(2)33ππϕ=⨯+，即21sin()32πϕ+=，2(1)36k k ππϕπ+=+-⋅，()k Z ∈，因为0ϕπ≤<，所以6πϕ=．10. 【2014辽宁高考理第9题】将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增【答案】B 【解析】。
高考数学专题：三角函数的图象与性质
y t 2 3t 1 4
当t
3 2
时，ymax
1
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
11
［明考情—备考如何学］ 高考对此部分内容主要以选择、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在 第 6～12 题或第 14、15 题位置上，命题的热点主要集中在三角函数的定义、图象与性 质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三 角恒等变换交汇命题．
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
18
2.(2019·湖南省五市十校联考)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0≤φ<2π)的部分图象 如图所示，则 f(2 019)的值为___-_1____．
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
19
B．在π4，51π2上单调递减
C．1π2，0是 g(x)图象的一个对称中心
D．直线 x＝－π6是 g(x)图象的一条对称轴
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
26
2. (2019·洛阳尖子生第二次联考)已知函数 f(x)＝sinωx＋π6(ω>0)在区间－π4，23π上单调
(3)基本关系：
sin2x＋cos2x＝1，
tan
x＝csions
x x.
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
13
［研考点考向·破重点难点］
考点1 三角函数的定义、诱导公式及基本关系
三角函数图像
D．纵坐标变为原来的 倍，横坐标变为原来的2倍
5．已知函数 的最小正周期为π，将 的图象向左平移| |个单位长度，所得图象关于y轴对称，则 的一个值是（）
A． B． C． D．
6．为得到函数 的图象，只需将函数y=sin x的图象（）
A．向左平移 个单位长度B．向右平移 个单位长度
D.y=2sin(2x- )
3．把函数 的图象向右平移 个单位得到的函数解析式为（）
A．y=sin x B．y=cos x C． D．
4．函数y=2sin2x的图象可看成是由y=sin x的图象按下列哪种变换得到的？（）
A．横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍
B．纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的 倍
C．向左平移 个单位长度D．向右平移 个单位长度
7.函数f(x)＝2sin ，当f(x)取得最小值时，x的取值集合为()
A．{x|x＝4kπ－ π，k∈Z}B．{x|x＝4kπ＋ π，k∈Z}
C．{x|x＝4kπ－ ，k∈Z}D．{x|x＝4kπ＋ ，k∈Z}
8．函数 的图象为C，
①图象C关于直线 对称；②函数 在区间 内是增函数；③由y=3sin2x的图象向右平移 个单位长度可以得到图象C．
例3．已知函数 （ ， ， ），在同一周期内的最高点是 ，最低点为 ，求f(x)的解析式．
【变式1】已知函数 （A＞0，ω＞0， ）的图象的一个最高点为 ，由这个最高点到相邻最低点，图象与x轴交于点（6，0），试求函数的解析式．
【变式2】如下图为正弦函数 的一个周期的图象，写出函数的解析式．
类型三：函数 的性质的综合运用
要点诠释：一般地，函数 的图象可以看作是用下面的方法得到的：
高考文科数学三角函数的图像和性质专项讲解
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函数 y＝Asin(ωx＋φ)(或 y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期 T＝2|ωπ|.应特别注意 y＝
π
|Asin(ωx＋φ)|的最小正周期为 T＝|ω|.
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
7
【解析】
(1)A
中，函数
f(x)＝|cos
π 2x|的周期为 2 ，当
x∈π4 ，π2 时，2x∈π2 ，π，
函数
f(x)单调递增，故
A
正确；B
中，函数
f(x)＝|sin
π 2x|的周期为 2 ，当
x∈π4 ，π2
时，2x∈π2 ，π，函数 f(x)单调递减，故 B 不正确；C 中，函数 f(x)＝cos|x|＝cos x
第二部分 高考热点 分层突破
专题一 三角函数与解三角形
第1讲 三角函数的图象与性质
数学
第二部分 专题一 三角函数与解三角形
1
01
做高考真题 明命题趋向
02
研考点考向 破重点难点
03
练典型习题 提数学素养
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
2
考点 3 三角函数的性质(综合型) [知识整合]
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
25
2．若存在实数 φ，使得圆面 x2＋y2≤4 恰好覆盖函数 y＝sinπk x＋φ图象的最高点
或最低点共三个，则正数 k 的取值范围是________． 解析：函数 y＝sinπk x＋φ的图象的最高点或最低点一定在直线 y＝±1 上，由
高中数学课件三角函数ppt课件完整版
高中数学课件三角函数ppt课件完整版目录•三角函数基本概念与性质•三角函数诱导公式与恒等式•三角函数的加减乘除运算•三角函数在解三角形中的应用•三角函数在数列和概率统计中的应用•总结回顾与拓展延伸PART01三角函数基本概念与性质三角函数的定义及性质三角函数的定义正弦、余弦、正切等函数在直角三角形中的定义及在各象限的性质。
特殊角的三角函数值0°、30°、45°、60°、90°等特殊角度下各三角函数的值。
诱导公式利用周期性、奇偶性等性质推导出的三角函数诱导公式。
正弦、余弦函数的图像及其特点，如振幅、周期、相位等。
三角函数图像周期性图像变换正弦、余弦函数的周期性及其性质，如最小正周期等。
通过平移、伸缩等变换得到其他三角函数的图像。
030201三角函数图像与周期性正弦、余弦函数的值域为[-1,1]，正切函数的值域为R 。
值域在各象限内，正弦、余弦函数的单调性及其变化规律。
单调性利用三角函数的性质求最值，如振幅、周期等参数对最值的影响。
最值问题三角函数值域和单调性PART02三角函数诱导公式与恒等式诱导公式及其应用诱导公式的基本形式01通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基本角度（如0°、30°、45°、60°、90°）的三角函数值。
诱导公式的推导02利用三角函数的周期性、对称性、奇偶性等性质，通过逻辑推理和数学归纳法等方法推导出诱导公式。
诱导公式的应用03在解三角函数的方程、求三角函数的值、证明三角恒等式等方面有广泛应用。
例如，利用诱导公式可以简化计算过程，提高解题效率。
恒等式及其证明方法恒等式的基本形式两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。
其中，代数法是通过代数运算和变换来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函数的性质和关系来证明恒等式。
2017年高考数学理试题分类汇编：三角函数(K12教育文档)
2017年高考数学理试题分类汇编：三角函数(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017年高考数学理试题分类汇编：三角函数(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2017年高考数学理试题分类汇编:三角函数一．填空选择题1. （2017年天津卷文）设函数()2sin(),f x x x ωϕ=+∈R ，其中0,||πωϕ><．若5π11π()2,()0,88f f ==且()f x 的最小正周期大于2π,则 （A)2π,312ωϕ== （B ）211π,312ωϕ==-(C ）111π,324ωϕ==- （D ）17π,324ωϕ== 【答案】A【解析】由题意得125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ωπ=>π，所以01ω<<,所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由||πϕ<得12ϕπ=，故选A ． 2. (2017年天津卷理）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π。
若5()28f π=,()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 (A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=-（C ）13ω=,24ϕ11π=- （D ）13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意125282118k k ωππϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,其中12,k k Z ∈，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ππω=>，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕππ=+，由ϕπ<得12πϕ=，故选A ． 3. ( 2017年全国Ⅲ卷文)ABC ∆内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知3,6,600===c b C ，则=A ________15【解析】 根据正弦定理有:Bsin 660sin 30=22sin =∴B 又b c > 045=∴B 075=∴A4. (2017年新课标Ⅰ） 9．已知曲线C 1：y =cos x ,C 2:y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2【答案】D5. ( 2017年新课标Ⅱ卷理) 14。
三角函数12345模型
三角函数12345模型三角函数是高中数学中的一个重要概念，通过它可以描述数学中的各种周期性现象。
在三角函数中常见的有正弦函数、余弦函数和正切函数等。
接下来，我将详细介绍这些三角函数及其模型。
1. 正弦函数（sin）：正弦函数是一个周期为2π的函数，数学表达式为y = sin(x)。
其中，x表示自变量，y表示因变量。
正弦函数的最值在[-1, 1]之间，当自变量x自增时，正弦函数值会在[-1, 1]之间变化。
正弦函数的图像呈现一种波浪形状，可表示许多自然现象，如波浪、声音和光的传播等。
例如，在机械振动中，质点做周期性的振动，其位移与正弦函数呈正相关关系。
2. 余弦函数（cos）：余弦函数也是一个周期为2π的函数，数学表达式为y = cos(x)。
余弦函数的图像与正弦函数非常相似，但在水平方向上平移了π/2、余弦函数的最值也在[-1, 1]之间。
余弦函数在数学和物理学中都有广泛的应用。
在三角函数的应用中，余弦函数通常用于描述旋转、波动等周期性现象，比如天体运动和电路中的交流电信号。
3. 正切函数（tan）：正切函数是一个以π为周期的函数，数学表达式为y = tan(x)。
正切函数的图像在π/2, 3π/2, 5π/2等位置上有无穷大的间断点。
正切函数的值可以取任意实数，它的变化具有较大幅度的剧烈性。
正切函数在物理学、工程学等方面的应用也很广泛。
例如，在房屋设计中，正切函数可以用来计算房顶的坡度；在电子学中，正切函数可以描述电流和电压的关系。
4. 反正弦函数（arcsin）：反正弦函数是正弦函数的反函数，数学表达式为y = arcsin(x)。
反正弦函数的定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2, π/2]。
它表示对于一个给定的y值，通过反函数可以找到对应的x值。
反正弦函数在解三角形的问题中经常被使用。
例如，已知一个直角三角形的斜边和一个角度，可以使用反正弦函数来计算其他两个边的长度。
5. 反余弦函数（arccos）：反余弦函数是余弦函数的反函数，数学表达式为y = arccos(x)。
2017版高考数学课件：3.5 三角函数的图象与性质
c
c
c
第一页，编辑于星期六：二十点 二十二分。
1.若f(x)是周期为π的奇函数,则f(x)可以是 ( )
A.f(x)=sin x B.f(x)=cos x C.f(x)=sin 2x D.f(x)=cos 2x
答案 C f(x)=sin 2x的周期T= =2π,且f(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-f(x),即f(x)
=kπ+
3
c
(k∈Z),
2
+2x co3s
32
+2x =s3in
32
第十四页，编辑于星期六：二十点 二十二分。
解得x= + 3kπ,k∈Z,故f(x)的图象的对称轴方程为x=
+
3πk,k∈Z.
42
42
(2)由(1)知f(B)=sin
2 3
B
3
+
3. 2
∵b2=ac,
∴cos B= a2 c2 b2= a2 c2 ac≥ 2ac a=c ,1
x
6,x∈R.
(2)求f(x)在区间
3
,
4
上的最大值和最小值.
第九页，编辑于星期六：二十点 二十二分。
解析 (1)由已知,有
f(x)=
1
cos 2x
2-
1
cos
2x
2
3
=
1 2
1 2
cos
2x
3 2
sin
2x-
1
2cos 2x=
3
s4in 2x-
1 4
cos 2x=
1sin 2
2x
6
.
2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板 专题17 三角函数的图像和性质问题 含解析
【高考地位】近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具,因此三角函数的性质是高考的重点和难点。
要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。
在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题,其试题难度属中档题。
【方法点评】类型一 求三角函数的单调区间使用情景:一般三角函数类型解题模板：第一步 先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意参数,A ω的正负；第二步 利用三角函数的辅助角公式一般将其化为同名函数，且在同一单调区间;第三步 运用三角函数的图像与性质确定其单调区间。
例1 函数cos(2)4y x π=-的单调递增区间是（ ）A ．k π＋8π,k π＋85π] B ．k π－83π，k π＋8π]C ．2k π＋8π，2k π＋85π］ D ．2k π－83π，2kπ＋8π］（以上k ∈Z ）【答案】B.考点：三角函数单调性。
【点评】本题解题的关键是将24x π-作为一个整体,利用余弦函数的图像将函数cos(2)4y x π=-的单调递增区间转化为24x πθ=-在区间[]2,2k k πππ-+上递减的.【变式演练1】已知函数),0)(62sin()(>+=ωπωx x f 直线21,xx x x ==是)(x f y =图像的任意两条对称轴,且21x x -的最小值为2π．求函数)(x f 的单调增区间; 【答案】Z k k k ∈++-],6,3[ππππ。
【解析】试题分析：根据两条对称轴之间的最小距离求周期，根据周期求ω，根据公式求此函数的单调递增区间. 试题解析：由题意得,π=T 则1,()sin(2).6f x x πω=∴=+由222,262k x k πππππ-+≤+≤+解得.,63Z k k x k ∈+≤≤+-ππππ故)(x f 的单调增区间是Z k k k ∈++-],6,3[ππππ.考点：1．()ϕω+=x A y sin 的单调性；【变式演练2】已知函数()sin()+(00 )2f x A x B A πωϕωϕ=+>><，，的一系列对应值如下表:6π- 3π 56π 43π 116π73π 176πy2-2-（1）根据表格提供的数据求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 的单调递增区间和对称中心; 【答案】（1)()3sin 13f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（2)52 2()66k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，+ 1(3k k ππ∈Z)（，）。
2017年高考数学考点解读命题热点冲破专题08三角函数的图像与性质文
(2)在△ABC中，假设角A知足f ＝1，且△ABC的面积为8，求△ABC周长的最小值．
【解析】（1）∵f（x）＝2 sin xcos x－2cos2x＝ sin 2x－cos 2x－1＝2sin －1，
∴函数f（x）的最小正周期为π.
由－ ＋2kπ≤2x－ ≤ ＋2kπ，k∈Z，得
（A）向左平行移动 个单位长度（B）向右平行移动 个单位长度
（C）向左平行移动 个单位长度（D）向右平行移动 个单位长度
【答案】D
【解析】由题意，为了取得函数 ，只需把函数 的图像上所有点向右移 个单位，应选D.
12.【2016高考新课标2理数】假设将函数 的图像向左平移 个单位长度，那么平移后图象的对称轴为（ ）
(1)求cos 的值；
(2)假设点P，Q别离是角α始边、终边上的动点，且|PQ|＝6，求三角形POQ面积最大时点P，Q的坐标．
【高考真题解读】
1.【2016高考新课标3理数】在 中， ， 边上的高等于 ,那么 （ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】设 边上的高为 ，那么 ，因此 ， ．由余弦定理，知 ，应选C．
【命题热点冲破三】三角函数的性质
例3、某同窗用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 在某一个周期内的图像时，列表并填入了部份数据，如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图像上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，取得y＝g(x)的图像，假设y＝g(x)图像的一个对称中心为 ，求θ的最小值．