九年级数学一元二次方程例题及答案解析
中考数学培优 易错 难题(含解析)之一元二次方程含详细答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】（1）5；（2）180【解析】【分析】（1）设平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意得：x+1+（x+1）x ＝36，解得：x ＝5或x ＝﹣7（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；（2）根据题意得：5×36＝180（个），答：第三轮将又有180人被传染．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.2．已知关于x 的一元二次方程()220x m x m -++=（m 为常数） （1）求证：不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是2，求m 的值及方程的另一个根．【答案】(1)见解析；(2) 即m 的值为0，方程的另一个根为0.【解析】【分析】（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4＞0，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的另一个根为t ，利用根与系数的关系得到2+t=21m + ,2t=m,最终解出关于t 和m 的方程组即可.【详解】(1)证明：△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4，∵无论m 为何值时m 2≥0，∴m 2+4≥4＞0，即△＞0，所以无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根.(2)设方程的另一个根为t ，()220x m x m -++=根据题意得2+t=21m + ,2t=m ， 解得t=0，所以m=0，即m 的值为0，方程的另一个根为0.【点睛】本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对△的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为t ，用根于系数关系列出方程组，在求解.3．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ?【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m【解析】【分析】根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答.【详解】解:设绿化区宽为y ，则由题意得502302x y -=-.即10y x =-列方程: 50304(10)1344x x ⨯--=解得13x =- (舍)，213x =.∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．4．已知关于x的一元二次方程有两个实数x2+2x+a﹣2=0，有两个实数根x1，x2．（1）求实数a的取值范围；（2）若x12x22+4x1+4x2=1，求a的值．【答案】（1）a≤3；（2）a=﹣1．【解析】试题分析：（1）由根的个数，根据根的判别式可求出a的取值范围；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，代换求值即可得到a的值.试题解析：（1）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即22﹣4×1×（a﹣2）≥0，解得a≤3；（2）由题意可得x1+x2=﹣2，x1x2=a﹣2，∵x12x22+4x1+4x2=1，∴（a﹣2）2﹣8=1，解得a=5或a=﹣1，∵a≤3，∴a=﹣1．5．校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．【答案】（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．【解析】【分析】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.【详解】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，根据题意得：x(32﹣2x)=126，解得：x1=7，x2=9，∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，根据题意得：y(36﹣2y)=170，整理得：y2﹣18y+85=0．∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0，∴该方程无解，∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．6．已知关于x的方程x2﹣(k+3)x+3k＝0．(1)若该方程的一个根为1，求k的值；(2)求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根．【答案】(1)k＝1；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）把x＝1代入方程，即可求得k的值；（2）求出根的判别式是非负数即可.【详解】(1)把x＝1代入方程x2﹣(k+3)x+3k＝0得1﹣(k﹣3)+3k＝0，1﹣k﹣3+3k＝0解得k＝1；(2)证明：1,(3),3a b k c k==-+=24b ac∆=-∴△＝(k+3)2﹣4•3k ＝(k﹣3)2≥0，所以不论k取何实数，该方程总有两个实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键.7．今年以来猪肉价格不断走高，引起了民众与区政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据统计：从今年年初至11月 10 日，猪排骨价格不断走高，11 月 10 日比年初价格上涨了 75%．今年 11 月 10 日某市民于 A 超市购买 5 千克猪排骨花费 350 元．（1）A 超市 11 月排骨的进货价为年初排骨售价的32倍，按 11 月 10 日价格出售，平均一天能销售出 100 千克，超市统计发现：若排骨的售价每千克下降 1 元，其日销售量就增加20千克，超市为了实现销售排骨每天有 1000 元的利润，为了尽可能让顾客优惠应该将排骨的售价定位为每千克多少元？（2）11 月 11 日，区政府决定投入储备猪肉并规定排骨在 11 月 10 日售价的基础上下调a%出售，A 超市按规定价出售一批储备排骨，该超市在非储备排骨的价格不变情况下，该天的两种猪排骨总销量比 11 月 10 日增加了a%，且储备排骨的销量占总销量的57，两种排骨销售的总金额比 11 月 10 日提高了128a %，求 a 的值． 【答案】（1）售价为每千克65元；（2）a =35.【解析】【分析】 （1）先根据题意计算出11月10的售价和11月的进货价，设每千克降价x 元，则每千克的利润为10-x 元，日销量为100+20x 千克，根据销量×单利润=总利润列出方程求解，并根据为了尽可能让顾客优惠，对所得的解筛选；（2）根据销售总金额=储备排骨销售单价×储备排骨销售数量+非储备排骨销售单价×非储备排骨销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：（1）11月10日的售价为350÷5=70元/千克年初的售价为：350÷5÷175％=40元/千克，11月的进货价为： 340602元/千克设每千克降价x 元，则每千克的利润为70-60-x=10-x 元，日销量为100+20x 千克 则(10020)(10)1000x x ，解得10x =，25x =因为为了尽可能让顾客优惠，所以降价5元，则售价为每千克65元. （2）根据题意可得52170(1%)100(1%)70100(1%)701001%7728a a a a ⎛⎫-++⨯+=⨯+ ⎪⎝⎭解得135a =,20a =(舍去)所以a =35.【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，（1）中理清销售量随着单价的变化而变化的数量关系是解题关键；（2）中在求解时有些难度，可先设令%a t =，解方程求出t 后再求a 的值.8．利民商店经销甲、乙两种商品.现有如下信息信息1：甲乙两种商品的进货单价和为11；信息2：甲商品的零售单价比其进货单价多2元，乙商品的零售单价比其进货单价的2倍少4元：信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件共付37元．()1甲、乙两种商品的进货单价各是多少？()2据统计该商店平均每天卖出甲商品500件，经调查发现，甲商品零售单价每降0.1元，这样甲商品每天可多销售100件，为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零售单价下降a 元，在不考虑其他因素的条件下，当a 定为多少时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元？【答案】（1）甲种商品的进货单价是5元/件，乙种商品的进货单价是6元/件（2）当a 定为0.5或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元【解析】【分析】()1设甲种商品的进货单价是x 元/件，乙种商品的进货单价是y 元/件，根据给定的三个信息，可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；()2当零售单价下降a 元/件时，每天可售出()5001000a +件，根据总利润=单件利润⨯销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】()1设甲种商品的进货单价是x 元/件，乙种商品的进货单价是y 元/件，根据题意得：()()113x 222y 437x y +=⎧++-=⎨⎩， 解得：{56x y ==．答：甲种商品的进货单价是5元/件，乙种商品的进货单价是6元/件． ()2当零售单价下降a 元/件时，每天可售出()5001000a +件，根据题意得：()()250010001500a a -+=，整理得：22310a a -+=，解得：10.5a =，21a =．答：当a 定为0.5或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：()1找准等量关系，正确列出二元一次方程组；()2找准等量关系，正确列出一元二次方程．9． ∵1.7×35=59.5，1.7×80=136＜151∴这家酒店四月份用水量不超过m 吨（或水费是按y=1.7x 来计算的），五月份用水量超过m 吨（或水费是按来计算的） 则有151=1.7×80+（80－m ）×即m 2－80m+1500=0解得m 1=30，m 2=50．又∵四月份用水量为35吨，m 1=30＜35，∴m 1=30舍去．∴m=50【解析】10．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答： （1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？【答案】（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售．【解析】【分析】（1）设每千克茶叶应降价x 元，利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可； （2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折．【详解】（1）设每千克茶叶应降价x 元．根据题意，得：（400﹣x ﹣240）（200+10x ×40）=41600． 化简，得：x 2﹣10x +240=0．解得：x 1=30，x 2=80．答：每千克茶叶应降价30元或80元．（2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．此时，售价为：400﹣80=320（元），320100%80%400⨯=． 答：该店应按原售价的8折出售．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．。
《一元二次方程的解法》典型例题及解析
《一元二次方程的解法》典型例题及解析1．以配方法解3x2+4x+1 = 0时，我们可得出下列哪一个方程式( )A．(x+2) 2= 3 B．(3x+)2 =C．(x+)2 =D．(x+)2 =答案：D说明：先将方程3x2+4x+1 = 0的二次项系数化为1，即得x2+x+= 0，再变形得x2+x+()2 =()2−，即(x+)2 =，答案为D．2．想将x2+x配成一个完全平方式，应该加上下列那一个数( )A． B． C．D．答案：D说明：题目所给的式子中x2系数为1，因此，要将它配成一个完全平方式只需加上一次项系数一半的平方，即，所以答案为D．3．下列方程中，有两个不相等的实数根的是( )A．x2−9x+100 = 0 B．5x2+7x+5 = 0C．16x2−24x+9 = 0 D．2x2+3x−4 = 0答案：D说明：方程x2−9x+100 = 0中b2−4ac = 81−400<0；方程5x2+7x+5 = 0中b2−4ac = 49−4×5×5 = 49−100<0；方程16x2−24x+9 = 0中b2−4ac = 576−4×16×9 = 0；方程2x2+3x−4 = 0中b2−4ac = 9+32 = 41>0，所以方程2x2 = 3x−4 = 0有两个不相等的实数根，故选D．4．下列方程中，有两个相等实数根的是( )A．4(x−1)2−49 = 0 B．(x−2)(x−3)+(3−x) = 0C．x2+(2+1)x+2= 0 D．x(x−)+1 = 0答案：B说明：A中方程整理为一般形式为4x2−8x−45 = 0，这里b2−4ac = 64+720 = 784>0；B中方程整理为一般形式为：x2−6x+9 = 0，这里b2−4ac = 36−36 = 0；C中方程b2−4ac = 21+4−8= 21−4>0；D中方程整理为一般形式为x2−x+1 = 0，这里b2−4ac = 5−4 = 1>0；所以只有方程(x−2)(x−3)+(3−x) = 0有两个相等实数根，答案为B．5．下列方程4x2−3x−1 = 0，5x2−7x+2 = 0，13x2−15x+2 = 0中，有一个公共解是( )A．x =B．x = 2 C．x = 1 D．x = −1 答案：C说明：方程4x2−3x−1 = 0可变形为(4x+1)(x−1) = 0，方程5x2−7x+2 = 0可变形为(x−1)(5x−2) = 0，方程13x2−15x+2 = 0可变形为(x−1)(13x+2) = 0，所以这三个方程的公共解为x = 1，答案为C．6．用适当的方法解下列一元二次方程．(1)(x+4)2−(2x−1)2 = 0(2)x2−16x−4 = 0(3)2x2−3x−6 = 0(4)(x−2)2 = 256(5)(2t+3)2 = 3(2t+3)(6)(3−y)2+y2 = 9(7)(1+)x2−(1−)x = 0解：(1)平方差公式分解因式，方程变形为[(x+4)+(2x−1)][(x+4)−(2x−1)] = 0，化简后即3(x+1)(5−x) = 0，因此，可求得x1 = −1，x2 = 5．(2)用配方法，方程可变形为(x−8)2 = 68，两边开方化简可得x = 8±2(3)用公式法，b2− 4ac = (−3)2−4×2×(−6) = 57，所以x =(4)方程两边直接开方，得x−2 = ±16，即x1 = 18，x2 = −14(5)方程可化为(2t+3)(2t+3−3) = 0，即2t(2t+3) = 0，解得t1 = 0，t2 = −(6)方程变形为(y−3)2+y2−9 = 0，(y−3)[(y−3)+(y+3)] = 0，即2y(y−3) = 0，解得y1 = 0，y2 = 3(7)用因式分解法，方程可变形为x[(1+)x−1+] = 0，所以x1 = 0，x2 === 2−3扩展资料一元二次方程，数学史上的一场论战中世纪的欧洲，代数学的发展几乎处于停滞的状态，其真正的起步，始于公元1535年的一场震动数学界的论战．大家知道，尽管在古代的巴比伦或古代的中国，都已掌握了某些类型一元二次方程解法．但一元二次方程的公式解法，却是由中亚数学家阿尔·花拉子米于公元825年给出的．花拉子米是把方程x2+px+q = 0配方后改写为：的形式，从而得出了方程的两个根为：在欧洲，被誉为“代数学鼻祖”的古希腊的丢番图，虽然也曾得到过类似的式子，但由于丢番图认定只有根式下的数是一个完全平方数，且根为正数时，方程才算有解，因而数学史上都认为阿尔·花拉子米为求得一元二次方程一般解的第一人．花拉子米之后，许多数学家都致力于三次方程公式解的探求，但在数百年漫漫的历史长河中，除了取得个别方程的特解外，都没有人取得实质性进展，许多人因此怀疑这样的公式解根本不存在！话说当时意大利的波伦亚大学，有一位叫费洛的数学教授，也潜心于三次方程公式解这一当时世界难题的研究，功夫不负有心人，他终于取得了重大突破.公元1505年，费洛宣布自己已经找到了形如x3 + px = q方程的一个特别情形的解法，但他没有公开自己的成果，为的是能在一次国际性的数学竞赛中一放光彩．遗憾的是，费洛没能等到一个显示自己的才华的机会就抱恨逝去，临死前他把自己的方法传给了得意门生，威尼斯的佛罗雷都斯．现在话转另外一头，在意大利北部的布里西亚，有一个颇有名气的年轻人，叫塔塔里亚（Nicolo Tartaglia，1500－1557），此人从小天资聪明，勤奋好学，在数学方面表现出超人的才华，尤其是他发表的一些论文，思路奇特，见地高远，因而一时间名闻遐迩．塔塔里亚自学成才自然受到了当时一些习惯势力的歧视，公元1530年，当时布里西亚的一些人公开向塔塔里亚发难，提出以下两道具有挑战性的问题：（1）求一个数，其立方加上平方的3倍等于5；（2）求三个数，其中第二个数比第一个数大2，第三个数又比第二个数大2，它们的积为1000．读者不难知道，对第一个问题，若令所求数为x，则依题意有：x3+3x2 = 5而对第二个问题，令第一个数为x，则第二、三数分别为x+2，x+4，于是依题意有：x(x+2)(x+4)=1000化简后x3+6x2+8x−1000 = 0以上是两道三次方程的求解问题，塔塔里亚求出了这两道方程的实根，从而赢得了这场挑战，并为此名声大震！消息传到了波伦亚，费洛的门生佛罗雷都斯心中顿感震怒，他无法容忍一个不登大雅之堂的小人物与他平起平坐！于是双方商定，在1535年2月22日，于意大利的米兰，公开举行数学竞赛，各出30道问题，在两小时内决定胜负．赛期渐近，塔塔里亚因自己毕竟是自学出身而感到有些紧张．他想：佛罗雷都斯是费洛的得意弟子，难保他不会拿解三次方程来对付自己，那么自己所掌握的一类方法与费洛的解法究竟相距多远呢？他苦苦思索着，脑海中的思路不断进行着各种新的组合，这些新的组合终于撞击出灵感的火花，在临赛前八天，塔塔里亚终于找到了解三次方程的新方法，为此他欣喜若狂，并充分利用剩下的八天时间，一面熟练自己的新方法，一面精心构造了30道只有运用新方法才能解出的问题．2月22日那天，米兰的大教堂内，人头攒动，热闹非凡，大家翘首等待着竞赛的到来．比赛开始了，双方所出的30道题都是令人眩目的三次方程问题，但见塔塔里亚从容不迫，运笔如飞，在不到两小时的时间内，解完了的佛罗雷都斯的全部问题．与此同时，佛罗雷都斯却提笔拈纸，望题兴叹，一筹莫展，终于以0:30败下阵来！消息传出，数学界为之震动.在米兰市有一个人坐不住了，他就是当时驰名欧洲的医生卡当（Girolamo Cardano，1501－1576）．卡当其人，不仅医术颇高，而且精于数学.他也潜心于三次方程的解法，但无所获．所以听到塔塔里亚已经掌握三次方程的解法时,满心希望能分享这一成果．然而当时的塔塔里亚已经誉满欧洲，所以并不打算把自己的成果立即发表，而醉心于完成《几何原本》的巨型译作．对众多的求教者，则一概拒之门外．当过医生的卡当，熟谙心理学的要领，软缠硬磨，终于使自己成了唯一的例外．公元1539年，塔塔利亚终于同意把秘诀传授给他，但有一个条件，就是要严守发现的秘密．然而卡当实际上没有遵守这一诺言．公元1545年，他用自己的名字发表了《大法》一书，书中介绍了不完全三次方程的解法，并写道：“大约30年前，波伦亚的费洛就发现了这一法则，并传授给威尼斯的佛罗雷都斯，后者曾与塔塔里亚进行过数学竞赛，塔塔里亚也发现了这一方法．在我的恳求下，塔塔里亚把方法告诉了我，但没有给出证明．借助于此，我找到了若干证明，因其十分困难，特叙述如下．”卡当指出：对不完全三次方程x3+px+q = 0，公式给出了它的解，这就是今天我们所说的卡当公式．《大法》发表第二年，塔塔里亚发表了的《种种疑问及发明》一文，谴责卡当背信弃义，并要求在米兰与卡当公开竞赛，一决雌雄．然而到比赛那一天，出阵的并非卡当本人，而是他的天才学生斐拉里（Ferrari L.，1522－1565），此时斐拉里，风华正茂，思维敏捷，他不仅掌握了解三次方程的全部要领，而且发现了一般四次方程的极为巧妙的解法．塔塔里亚自然不是他的对手，终于狼狈败退，并因此番挫折，心神俱伤，于公元1557年溘然与世长辞！没想到，正是这场震动数学界的论战，使沉沦了一千三百多年的欧洲代数学，揭开了划时代的新篇章！。
九年级数学上册《解一元二次方程》练习题及答案解析
九年级数学上册《解一元二次方程》练习题及答案解析学校:___________姓名：___________班级：____________一、单选题1．方程x 2﹣x ＝﹣2的根的情况为（ ）A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根2．若关于x 的一元二次方程2210ax x -+=有实数根，则a 应满足（ ）A ．1a ≤B ．1a ≥C ．1a ≥-且0a ≠D ．1a ≤且0a ≠3．若关于x 的一元二次方程()21220m x x -+-=没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．12m <B ．12m >C ．12m >且1m ≠D ．1m ≠4．关于x 的方程()()221x x p -+=（p 为常数）根的情况，下列结论中正确的是（ ）A ．有两个相异正根B ．有两个相异负根C ．有一个正根和一个负根D ．无实数根5．一元二次方程 210x x -+= 的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．有一个实数根6．在平面直角坐标系中，已知函数211y x ax =++，222y x bx =++，233y x cx =++，其中a ＝2，b 、c 都是正实数，且满足b 2＝ac ．设y 1，y 2，y 3的图象与x 轴的交点个数分别为M 1，M 2，M 3，则下列结论错误的是（ ）A ．若M 1＝1，M 2＝1，则M 3＝2B ．若M 1＝1，M 2＝1，则M 3＝1C ．若M 1＝1，M 2＝0，则M 3＝0或1或2D ．若M 1＝1，M 2＝2，则M 3＝27．若关于x 的方程（k ﹣2）x 2﹣2x ＋1＝0有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．3k ≥B ．3k ≤C ．3k ≥-且k ≠2D ．3k ≤且k ≠28．已知关于x 的方程38132ax x x --=-有负整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和为（ ） A ．11- B ．26- C ．28- D ．30-9．如图，顶点为(3,6)--的抛物线2y ax bx c =++经过点(1,4)--，则下列结论中正确的是（ ）A ．240b ac -≥B ．若点(2,),(4,)--m n 都在抛物线上，则m n >C ．当3x <-时，y 随x 的增大而减小D ．关于x 的一元二次方程27ax bx c ++=-有两个不等的实数根10．在平面直角坐标系中，若反比例函数3a y x+=的图象在第一、三象限，则关于x 的一元二次方程()21310a x x +-+=有实数根，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ）A ．5-B ．4-C ．2-D ．1-二、填空题11．已知关于x 的方程2245x x n --=，在04x ≤≤内有两个不相等的实数根，则n 的取值范围是___________________________．12．若等腰三角形的一边长为6，另两边的长是关于x 的一元二次方程280x x m -+=的两个根，则m 的值为_______．13．若关于x 的一元二次方程210kx x +-=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是______． 14．若双曲线k y x =与直线AB ：443y x =-+只有一个公共点P ，则k =________．15．已知一元二次方程260x x m ++=有两个相等的实数根，则m 的值为________________．三、解答题16．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根．17．已知关于x的一元二次方程22310++-=．x x aa=-，解这个方程；(1)若1(2)若该方程有实数根，求a的取值范围．18．如图，某中学课外兴题小组准备围建一个矩形花园ABCD，其中一边靠墙，另外三边用总长为60 m的篱笆围成，与墙平行的一边BC上要预留2 m宽的入口（如图中MN所示，不用篱笆），已知墙长为28 m．(1)当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；(2)能否围成500平方米的矩形花园?若能求出BC长；若不能，说明理由．参考答案与解析：1．A【分析】判断方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2－4ac的值的符号就可以了．【详解】解：方程整理得，x2﹣x+2＝0，△Δ＝（﹣1）2﹣4×1×2＝﹣7＜0，△方程无实数根．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2－4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．2．D【分析】方程为一元二次方程，故a≠0，再结合根的判别式：当24b ac-≥0时，方程有实数根；即可求解．【详解】解：△原方程为一元二次方程，且有实数根，△a ≠0，24b ac -≥0时，方程有实数根；△2(2)40a --≥，解得：a ≤1，△1a ≤且0a ≠，故选：D【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练地掌握根的判别式与根的关系是解题的关键．当24b ac -≥0时，方程有实数根，当24b ac -<0时，方程无实数根．3．A【分析】先根据一元二次方程的定义可得1m ≠，再利用一元二次方程根的判别式可得一个关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得． 【详解】解：方程()21220m x x -+-=是关于x 的一元二次方程，10m ∴-≠，解得1m ≠， 又关于x 的一元二次方程()21220m x x -+-=没有实数根，∴此方程根的判别式48(1)0m ∆=+-<， 解得12m <， 综上，实数m 的取值范围是12m <， 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．4．C【分析】先对方程进行化简，然后再根据一元二次方程根的判别式可进行求解．【详解】解：由题意得：方程可化为2220x x p ---=，△()()2222142184490p p p ∆=----=++=+>， △该方程有两个不相等的实数根，设该方程的两个根为12,x x ，则根据根与系数的关系可知：21220x x p ⋅=--<，△该方程的两个根为一正一负，故选C ．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．5．A【分析】根据一元二次方程根的判别式进行计算即可求解．【详解】解：△一元二次方程 210x x -+=中，1,1,1a b c ==-=△241430b ac ∆=-=-=-<，∴该方程没有实数根，故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=-，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程没有实数根．6．B【分析】利用一元二次方程根的判别式一一证明即可．【详解】解：△a ＝2，△y 1＝x 2+2x +1＝（x +1）2，△抛物线顶点坐标为（﹣1，0），△M 1＝1，△y 2＝x 2+bx +2，△2Δ8b =-，当M 2＝1时，b 2﹣8＝0，△b 2＝ac ＝8，△c ＝4，△y 3＝x 2+4x +3，△2Δ44340=-⨯=>，△M 3＝2，故A 选项正确,B 错误；当M 2＝0时，b 2﹣8＜0，△b 2＝ac ＜8，△c ＜4，△22Δ4312c c =-⨯=-，△M 3＝0或1或2，故C 正确；当M 2＝2时，28>0b ﹣，△2>8b ac ＝，△>4c ，△22Δ43120c c =-⨯=->，△M 3＝2，故D 选项正确；故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用一元二次方程的根的判别式解决问题．7．B【分析】分情况讨论：当k -2=0时，方程为一元一次方程，方程有一个实数解；当k -2≠0时，利用根的判别式的意义得到Δ=()()2242k ---≥0，解得k ≤3且k ≠2，然后综合两种情况得到k 的取值范围．【详解】解：当k -2=0时，方程化为-2x +1=0，解得x =12；当k -2≠0时，根据题意得Δ=()()2242k ---≥0，解得k ≤3且k ≠2，综上所述，k 的取值范围为k ≤3．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=-，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程没有实数根．8．D【分析】先解方程可得x 7032a =+（a 32≠-），根据方程的解是负整数可得7032a +是负整数，进而可求解满足条件的所有非负整数a 的值，即可求解．【详解】解：解关于x 的方程38132ax x x --=- 得x 7032a=+（a 32≠-）， △关于x 的方程38132ax x x --=-的解是负整数， △7032a +是负整数，△231a +=- 或235a +=-或237a +=-或2335a +=-即满足条件的所有整数a 为-2、-4、-5、-19，△满足条件的所有整数a 的值的和为-2+（-4）+（-5）+（-19）＝-30，故答案为：D ．【点睛】本题主要考查一元一次方程的解，正确求解一元一次方程是解题的关键．9．C【分析】由抛物线与x 轴有两个交点则可对A 进行判断；根据抛物线上的点离对称轴的远近，则可对B 进行判断；由抛物线的增减性可直接判断C 选项；根据二次函数的最值可对D 进行判断．【详解】解：A 、图像与x 轴有两个交点，方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根，b 2-4ac ＞0，故A 选项不符合题意；B 、抛物线的对称轴为直线x =-3，因为-2离对称轴的距离等于-4离对称轴的距离，所以m =n ，故B 选项不符合题意；C 、顶点为（-3，-6），则对称轴为直线x =-3，抛物线开口向上，则当x ＜-3时，y 随x 的增大而减小，故C 选项符合题意；D 、由抛物线开口向上及顶点为（-3，-6）可知，此函数的最小值为-6，则ax 2+bx +c =-7（a ≠0）没有实数根，故D 选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题综合考查了二次函数的性质，属于基础题，且难度适中；考查了根的判别式、最值与顶点坐标的关系，及一元二次方程与二次函数的关系等方面的内容，掌握相关基础知识是解题关键．10．D 【分析】根据反比例函数3a y x +=的图象在第一、三象限，可得：3,a 根据关于x 的一元二次方程()21310a x x +-+=有实数根，可得：54a ≤且1,a 再结合a 为整数，从而可得答案． 【详解】解：△反比例函数3a y x+=的图象在第一、三象限， △30,a解得：3,a △关于x 的一元二次方程()21310a x x +-+=有实数根，23410a 且10,a +≠解得：54a ≤且1,a 综上：534a且1,a △a 为整数， △2a =-或0a =或1a =，△2011,故选：D ．【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，一元二次方程的根的判别式，“理解反比例函数的图象与系数k 的关系，根据一元二次方程的解的情况列不等式求解参数的取值范围”都是解本题的关键．11．-7＜n ≤-5【分析】根据“方程有两个不相等的实数根”求出n ＞-7，解出方程，根据在04x ≤≤内有两个不相等的实数根，求出n 的取值，问题得解．【详解】解：原方程整理得()22450x x n -+--=， △()2=416425856b ac n n ∆-=-⨯--=+，△方程有两个不相等的实数根，△8560n +＞△n ＞-7，△x ==△方程在04x ≤≤内有两个不相等的实数根，4≥≤， 解得n ≤-5，n ≤11，△n≤-5，又△n ＞-7，△-7＜n ≤-5．故答案为：-7＜n ≤-5【点睛】本题考查了含字母系数的一元二次方程，根的判别式，综合性较强，解题的关键是用公式法求出一元二次方程的两个根，根根据题意列出不等式．12．12或16【分析】分6为等腰三角形的腰长和6为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得．其中，每种情况下都要根据三角形三边关系定理（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）检验三边长是否满足三角形的三边关系．【详解】解：由题意，分以下两种情况：（1）当6为等腰三角形的腰长时，则关于x 的方程x2−8x+m=0的一个根x1=6代入方程得，36-48+m=0解得m=12则方程为x2−8x+12=0解方程，得另一个根为x2=2△等腰三角形的三边长分别为6，6，2，经检验满足三角形的三边关系定理；（2）当6为等腰三角形的底边长时，则关于x的方程x2−8x+m=0 有两个相等的实数根△根的判别式246440b ac m=-=-=解得，m=16则方程为x2−8x+16=0解方程，得x1=x2=4△等腰三角形的三边长分别为4，4，6，经检验满足三角形的三边关系定理．综上，m的值为12或16．故答案为：12或16．【点睛】本题考查一元二次方程根的定义，根的判别式，等腰三角形的定义，三角形的三边关系定理等知识点．正确分两种情况讨论是解题关键．13．14k>-且0k≠．【分析】由题意可得Δ＞0且k≠0，然后解不等式即可．【详解】解：由题意得：Δ＞0，△214(1)0k-⨯->整理得：14 k>-．又△k≠0，△实数k的取值范是14k>-且k≠0．故答案是：14k >-且k ≠0． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．14．3 【分析】联立443y x =-+，k y x=，可得241230x x k +=-，根据双曲线和直线AB 只有一个公共点P ，结合一元二次方程的根的判别式，列式并求解即可获得答案． 【详解】解：联立443y x =-+，k y x =，可得443k x x-+=， 整理得 241230x x k +=-，△双曲线y =k x与直线AB 只有一个公共点P ， △241230x x k +=-有两个相等实数根，即2124430k ∆=-⨯⨯=，解得 k =3．故答案为：3．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合应用、一元二次方程的根的判别式等知识，熟练掌握相关性质，利用数形结合思想分析问题是解题关键．15．9【分析】根据根的判别式的意义得到△2640m =-=，然后解关于m 的方程即可．【详解】解：根据题意得△2640m =-=，解得9m =．故答案为：9．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与△=-24b ac 有如下关系：当△0>时，方程有两个不相等的实数根；当△0=时，方程有两个相等的实数根；当△0<时，方程无实数根．16．(1)见解析(2)2【分析】（1）先证明240,b ac =-≥ 即可得到结论；（2）先把1x =代入原方程求解m ，再利用根与系数的关系求解另一个根即可．（1）证明：a ＝1，b ＝﹣（m +2），c ＝2m ．△Δ＝b 2﹣4ac ＝[﹣（m +2）]2﹣4×1×2m ＝m 2+4m +4﹣8m ＝m 2﹣4m +4＝（m ﹣2）2≥0，△不论m 为何值，该方程总有两个实数根．（2）解：将x ＝1代入原方程得：1﹣（m +2）+2m ＝0，△m ＝1，△原方程为x 2﹣3x +2＝0．△2÷1＝2，△方程的另一个根为2．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，配方法的应用，熟练的运用一元二次方程根的判别式与根与系数的关系解题是关键．17．(1)11x =-21x =-(2)23a ≤【分析】（1）把1a =-代入22310x x a ++-=，得到2240x x +-=，再解这个方程即可；（2）根据该方程有实数根，由根的判别式可求a 的取值范围．（1）解：△关于x 的一元二次方程22310x x a ++-=，△当1a =-时，方程为2240x x +-=，△1x ==-△11x =-21x =- （2）△关于x 的一元二次方程22310x x a ++-=有实数根，△()441310a =-⨯⨯-≥△，解得：23a ≤．△a 的取值范围为23a ≤． 【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程和一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的根的判别式．一元二次方程根的判别式用24b ac =-△表示，当0>时，方程有两个不相等的实数根；当0=时，方程有两个相等的实数根；当0<时，方程没有实数根．18．(1)当矩形的长BC 为12米时，矩形花园的面积为300平方米(2)不能围成500平方米的矩形花园，理由见解析【分析】（1）根据可以砌60m长的墙的材料，即总长度是60m，BC=xm，则AB=1（60-x+2）m，再根据2矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．（2）利用根的判别式进行判断即可．（1）（60﹣x+2）米，依题意列方程得：设矩形花园BC的长为x米，则其宽为121（60﹣x+2）x＝300，2x2﹣62x+600＝0，解这个方程得：x1＝12，x2＝50，△28＜50，△x2＝50（不合题意，舍去），△x＝12．答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米；（2）（60﹣x+2）米，依题意列方程得：设矩形花园BC的长为x米，则其宽为121（60﹣x+2）x＝500，2x2﹣62x+1000＝0，△＝622﹣4000＝﹣156＜0，则该方程无解，即不能围成500平方米的矩形花园．答：不能围成500平方米的矩形花园．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙EF最长可利用28m，舍掉不符合题意的数据．。
一元二次函数经典题目带答案附解析
一元二次函数经典题目带答案附解析一、单选题（共7题；共14分）1.如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝OC则由抛物线的特征写出如下结论（）A. abc>0B. 4ac－b2>0C. a－b+c>0D. ac+b+1＝02.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A. abc＜0B. b2﹣4ac＜0C. a﹣b+c＜0D. 2a+b＝03.“学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择—个参加活动，两人恰好选择同—场馆的概率是( )A. B. C. D.4.在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黑球的个数为( )A. 27B. 23C. 22D. 185.如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB=∠B=30°，OA=2，将△AOB 绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点的坐标是（）A. B. C. D.6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB），点O是这段弧所在圆的圆心，AB=40m，点C是AB的中点，且CD=10m，则这段弯路所在圆的半径为（）A. 25mB. 24mC. 30mD. 60m7.如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长度为（）A. B. 2 C. 2 D. （1+2 ）二、填空题（共2题；共2分）8.柳州市某校的生物兴趣小组在老师的指导下进行了多项有意义的生物研究并取得成果.下面是这个兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据：种子数n 30 75 130 210 480 856 1250 2300发芽数m 28 72 125 200 457 814 1187 21850.9333 0.9600 0.9615 0.9524 0.9521 0.9509 0.9496 0.9500发芽频率依据上面的数据可以估计，这种植物种子在该实验条件下发芽的概率约是________(结果精确到0.01). 9.如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是________．三、作图题（共1题；共5分）10.已知：在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，.①画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标；②画出将绕点按顺时针旋转所得的.四、综合题（共13题；共178分）11.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（4，3），与y轴相交于点B（0，﹣5），对称轴为直线l，点M是线段AB的中点.（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M的坐标并求直线AB的表达式；（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标.12.已知函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（-2，4）（1）求b，c满足的关系式（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式（3）若该函数的图象不经过第三象限，当-5sx≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值13.已知抛物线y＝2x2-4x＋c与x轴有两个不同的交点.（1）求c的取值范围；（2）若抛物线y＝2x2-4x＋c经过点A(2，m)和点B(3，n)，试比较m与n的大小，并说明理由.14.超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件.根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件.设销售单价增加元，每天售出件.（1）请写出与之间的函数表达式；（2）当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？（3）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值是多少？15.如图所示・二次函数的图像与一次函数的图像交于A、B两点，点B 在点A的右側，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0.（1）求A、B两点的横坐标；（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；（3）二次函数图像的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.16.如图，已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2，3）.（1）求a的值和图象的顶点坐标。
初三数学一元二次方程常考应用题型附答案解析
初三数学一元二次方程常考应用题型附答案解析一、列一元二次方程解决率类问题例1、今年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元。
假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A．2500x2=3500 （B．2500（1+x）2=3500C．2500（1+x%）2=3500D．2500（1+x）+2500（1+x）2=3500【解答】解：设增长率为x，根据题意得2500×（1+x）2=3500，故选B．例2、为落实素质教育要求，促进学生全面发展，某市某中学2009年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2011年投资18.59万元。
则该学校为新增电脑投资的年平均增长率是，从2009年到2011年，该中学三年为新增电脑共投资万元。
【解答】解：设该学校为新增电脑投资的年平均增长率是x11（1+x）2=18.59x=30%（则该学校为新增电脑投资的年平均增长率是30%11×（1+30%）=14.3万元11+14.3+18.59=43.89万元故答案为：30%；43.89练习1、股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停。
已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价。
若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（）A．（1+x）2=B．（1+x）2=C．1+2x=D．1+2x=【解答】解：设平均每天涨x，则90%（1+x）2=1，即（1+x）2=，故选B。
（2、某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为（）A．20%B．40%C．﹣220%D．30%【解答】解：设每年投资的增长率为x，根据题意，得：5（1+x）2=7.2解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（舍去），故每年投资的增长率为为20%，故选：A3、随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆。
初三数学一元二次方程经典例题及答案解析
初三数学一元二次方程经典例题1．某网店专门销售某种品牌的工艺品，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天工艺品的销售量不低于240件，销售单价应定在什么范围？（3）如果在（2）的条件下，网店每天销售的利润为3750元，求该种工艺品销售单价是多少元？2．已知关于x的元二次方程（x+2）（x﹣3）＝|k|（1）求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根；（2）设（x+2）（x﹣3）＝|k|的两个实数根分别为x1、x2，若x12+x22＝21，求k的值．3．解下列方程：（1）x2+6x﹣1＝0；（2）3x（1﹣x）＝2﹣2x．4．直接写出下列方程的根．（1）x2＝4x；（2）3（x﹣1）2﹣18＝0；（3）2y2﹣y＝6；（4）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）﹣2＝0．5．某商店出售A、B两种商品，一月份这两种商品的利润都是10万元，后因某种原因确定增加出售A种商品的数量，使A种商品每月利润的增长率都为a，同时减少B种商品的数量，使B种商品每月利润减少的百分率也都是a，（1）分别求出二月份出售A和B两种商品的利润是多少万元？（2）求出三月份出售A、B两种商品的总利润是多少万元？初三数学一元二次方程经典例题答案1．某网店专门销售某种品牌的工艺品，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天工艺品的销售量不低于240件，销售单价应定在什么范围？（3）如果在（2）的条件下，网店每天销售的利润为3750元，求该种工艺品销售单价是多少元？【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式；（2）由销售量不低于240件，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合该工艺品的成本价，即可得出结论；（3）根据总利润＝单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合（2）的结论即可确定该种工艺品销售单价．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（40，300），（55，150）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+700．（2）当y≥240时，﹣10x+700≥240，解得：x≤46，∵成本为30元/件，∴30＜x≤46．答：销售单价应大于30元/件，小于等于46元/件．（3）依题意，得：（x﹣30）（﹣10x+700）＝3750，整理，得：x2﹣100x+2475＝0，解得：x1＝45，x2＝55．∵30＜x≤46，∴x＝45．答：该种工艺品销售单价是45元/件．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于x的一元一次不等式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．2．已知关于x的元二次方程（x+2）（x﹣3）＝|k|（1）求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根；（2）设（x+2）（x﹣3）＝|k|的两个实数根分别为x1、x2，若x12+x22＝21，求k的值．【分析】（1）将方程化为一般式后根据判别式即可求出答案；（2）利用根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：（1）由题意可知：x2﹣x﹣6﹣|k|＝0，△＝1+4（6+|k|）＝25+4|k|＞0，∴对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根；（2）原方程可化为x2﹣x﹣6﹣|k|＝0，∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣6﹣|k|，∵x12+x22＝21，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝21，∴1﹣2（﹣6﹣|k|）＝21，∴|k|＝4，∴k＝±4，【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是判别式以及根与系数的关系，本题属于基础题型．3．解下列方程：（1）x2+6x﹣1＝0；（2）3x（1﹣x）＝2﹣2x．【分析】（1）利用配方法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵x2+6x＝1，∴x2+6x+9＝1+9，即（x+3）2＝10，则x+3＝±，∴x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣；（2）∵3x（1﹣x）＝2（1﹣x），∴3x（1﹣x）﹣2（1﹣x）＝0，则（1﹣x）（3x﹣2）＝0，∴1﹣x＝0或3x﹣2＝0，解得x＝1或x＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．4．直接写出下列方程的根．（1）x2＝4x；（2）3（x﹣1）2﹣18＝0；（3）2y2﹣y＝6；（4）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）﹣2＝0．【分析】（1）利用因式分解法求解；（2）利用直接开平方法求解；（3）利用因式分解法求解；（4）利用因式分解法求解．【解答】解：（1）x2＝4x，x2﹣4x＝0．x（x﹣4）＝0，解得x1＝0，x2＝4；（2）3（x﹣1）2﹣18＝0，（x﹣1）2＝6，∴x﹣1＝±，解得x1＝1+，x2＝1﹣；（3）2y2﹣y＝6，2y2﹣y﹣6＝0，（2y+3）（y﹣2）＝0，解得y1＝﹣，y2＝2；（4）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）﹣2＝0，2x﹣1＝，∴x1＝，x2＝．【点评】此题主要考查一元二次方程的一般解法：直接开平方法、因式分解法等，对不同的方程要选择合适的方法．5．某商店出售A、B两种商品，一月份这两种商品的利润都是10万元，后因某种原因确定增加出售A种商品的数量，使A种商品每月利润的增长率都为a，同时减少B种商品的数量，使B种商品每月利润减少的百分率也都是a，（1）分别求出二月份出售A和B两种商品的利润是多少万元？（2）求出三月份出售A、B两种商品的总利润是多少万元？【分析】（1）根据“A种商品每月利润的增长率都为a，使B种商品每月利润减少的百分率也都是a”列出代数式；（2）在（1）的基础上分别求得三月份出售A和B两种商品的利润，然后求和即可．【解答】解：（1）由题意，得二月份出售A商品的利润：10（1+a）万元．二月份出售A商品的利润：10（1﹣a）万元．（2）根据题意，得10（1+a）2+10（1﹣a）2＝20a2+20（万元）答：三月份出售A、B两种商品的总利润是（20a2+20）万元．【点评】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系．。
九年级数学解一元二次方程专项练习试题(带答案解析)[40道]
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解一元二次方程专项练习题（带答案）1、用配方法解以下方程：（1）x2＋12 x＋25＝0（3）x2－6x＝112、用配方法解以下方程：（1）6x2－7x＋1＝0（3）4x2－3x＝523、用公式法解以下方程：（1） 2x 2－9x＋8＝0（3）16x2＋8x＝34、运用公式法解以下方程:(1)5x 2＋ 2x－1＝ 0（2）x2＋4x＝10（4）x2－2 x－4＝0（2）5x2－18＝9x（4）5x2＝4－2x（2）9x2＋6x＋1＝0（4）2x2－4x－1＝0(2)x2＋6 x＋9＝7（ 3）5x＋ 2＝3x 2（4）( x－ 2)(3x－5)＝15、用分解因式法解以下方程：（ 1）9x2＋6x＋1＝0（2）3x( x－1)＝2－2x（ 3）(2x＋3)2＝4(2 x＋3)（4）2(x－3)2＝x2－96、用适合方法解以下方程：（1）(3 x)2 x2 5 （2）x2 2 3x 3 0（ 3）(3x 11)( x 2) 2 ；（4） x(x 1) 1 ( x 1)( x 2)3 47、解以下对于x 的方程 :(1) x2+2x－ 2=0(2)3x2+4x－ 7=(3) (x+3)( x－1)=5（4)(x－ 2 )2+4 2 x=08、解以下方程（ 12 分）（ 1）用开平方法解方程：( x 1)2 4 （2）用配方法解方程： x2—4x+1=0（ 3）用公式法解方程：3x2+5(2 x+1)=0（4）用因式分解法解方程：3(x- 5)2=2(5 - x)9、用适合方法解以下方程：（ 1）x( x－14)＝0（2）x2＋12x＋27＝0（ 3）x2＝x＋56（4）x(5x＋4)＝5x＋4（ 5）4x2－45＝31x（6）－3x2＋22 x－24＝0（ 7）( x＋8)( x＋1)＝－12（8）(3x＋2)( x＋3)＝x＋14解一元二次方程专项练习题答案1、【答案】（1）－611；（2）－214；（3） 3 2 5；（4）1 52、【答案】x ＝， x ＝1（2）x＝3，x＝－6（1）11 2 1 26 5（ 3）x1＝4，x2＝－13（4）x＝－121 4 53、【答案】（ 1）x＝917 （ 2）x1＝x2＝－14 3（ 3）x1＝1，x2＝－3（ 4）x＝264 4 24、【答案】(1)x1= 1 6, x2 1 6 (2). x1=－ 3+ 7 ,x2=－ 3－7 5 5（） x ＝2 ， x ＝－1（ 4）x＝11133 1 2635、【答案】（ 1）x1＝x2＝－1（2）x1＝1，x2＝－2 3 3（ 3）x＝－3， x ＝1（4）x ＝3 ， x ＝91 2 1 22 26、【答案】（1）x1＝1，x2＝2 （ 2）x1＝x2＝－ 3（ 3）x1 5, x2 4；（ 4）x1 2, x23 37、【答案】(1)x=－ 1± 3 ;7 (2) x1=1， x2=－3(3)x1=2， x2=－ 4; 1=x2=－ 28、【答案】解：（ 1）x13, x21 （ 2）x123, x2 23（ 3）x1510 , x2 5 10 （ 4）x15, x2 13 。
初三数学一元二次方程试题答案及解析
初三数学一元二次方程试题答案及解析1. (1)解方程：；(2)解不等式组：【答案】（1）x1=﹣，x2=2；（2）1＜x＜4．【解析】（1）用因式分解法进行求解即可；（2）先求得不等式组中每一个不等式的解集，然后取其交集．试题解析：（1）（2x+1）（x-2）=0，解得x1=﹣，x2=2；（2）不等式①的解集为：x>1；不等式②的解集为：x＜4．故原不等式的解集为： 1＜x＜4．【考点】1.解一元二次方程2.解不等式组．2.小明的家庭作业中有这样一道题：“如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题．在第n个图中，黑、白瓷砖各有多少块．（用含n的代数式表示）”小明做完作业后发现这些图案很美．正好小明爸爸的商铺要装修，准备使用边长为1米的正方形白色瓷砖和长为1米、宽为0.5米的长方形黑色瓷砖来铺地面．于是他建议爸爸按照图案方式进行装修．已知每块白色瓷砖40元，每块黑色瓷砖20元，贴瓷砖的费用每平方米15元．经测算，瓷砖无须切割，且恰好能完成铺设，总费用需7260元．问两种瓷砖各需买多少块？【答案】白色瓷砖需买110块，黑色瓷砖需买44块．【解析】设白色瓷砖的行数为n，利用总费用为7260元为等量关系列出方程求解即可．设白色瓷砖的行数为n，根据题意，得40n（n+1）+20×4（n+1）+15（n+1）（n+2）=7260，解得n1=10，n2=-13（不合题意，舍去）．白色瓷砖块数为n（n+1）=110，黑色瓷砖块数为4（n+1）=44，答：白色瓷砖需买110块，黑色瓷砖需买44块．【考点】1.一元二次方程的应用；2.规律型：图形的变化类．3.已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程的两实根，且，若这两个圆相切，则t =【答案】2或0．【解析】先解方程求出⊙O1、⊙O2的半径，再分两圆外切和两圆内切两种情况列出关于t的方程讨论求解．试题解析：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根，解得⊙O1、⊙O2的半径分别是1和3．①当两圆外切时，圆心距O1O2=t+2=1+3=4，解得t=2；②当两圆内切时，圆心距O1O2=t+2=3-1=2，解得t=0．∴t为2或0．考点: 1.圆与圆的位置关系；2.解一元二次方程-因式分解法．4.若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1，x2，且x1x2有下列结论：①x1=2,x2=3；②m>；③二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m的图象与x轴交点的坐标为(2,0)和(3,0).其中正确的结论是__________(填正确结论的序号)【答案】②③．【解析】将已知的一元二次方程整理为一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可对选项②进行判断；再利用根与系数的关系求出两根之积为6-m，这只有在m=0时才能成立，故选项①错误；将选项③中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，整理得到确定出二次函数解析式，令y=0，得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可对选项③进行判断．试题解析：一元二次方程（x-2）（x-3）=m化为一般形式得：x2-5x+6-m=0，∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，∴b2-4ac=（-5）2-4（6-m）=4m+1＞0，解得：m＞-，故选项②正确；∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，∴x1+x2=5，x1x2=6-m，而选项①中x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故选项①错误；二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m=x2-（x1+x2）x+x1x2+m=x2-5x+（6-m）+m=x2-5x+6=（x-2）（x-3），令y=0，可得（x-2）（x-3）=0，解得：x=2或3，∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故选项③正确．综上所述，正确的结论有2个：②③．考点: 1.抛物线与x轴的交点；2.一元二次方程的解；3.根的判别式；4.根与系数的关系．5.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB边上有一动点P(不与A、B重合)，连结DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射线BC于点E，设AP=x．⑴当x为何值时，△APD是等腰三角形?⑵若设BE=y，求y关于x的函数关系式；⑶若BC的长可以变化，在现在的条件下，是否存在点P，使得PQ经过点C?若存在，求出相应的AP的长；若不存在，请说明理由，并直接写出当BC的长在什么范围内时，可以存在这样的点P，使得PQ经过点C．【答案】．【解析】（1）过D点作DH⊥AB于H，则四边形DHBC为矩形，在Rt△AHD中，由勾股定理可求得DH、AD、PH的值，若△ADP为等腰三角形，则分三种情况：①当AP=AD时，x=AP=AD，②当AD=PD时，有AH=PH，故x=AH+PH，③当AP=PD时，则在Rt△DPH中，由勾股定理可求得DP的值，有x=AP=DP．（2）易证：△DPH∽△PEB⇒，即，故可求得y与x的关系式．（3）利用△DPH∽△PEB，得出，进而利用根的判别式和一元二次不等式解集得出即可．试题解析：（1）过D点作DH⊥AB于H，则四边形DHBC为矩形，∴DH=BC=4，HB=CD=6．∴AH=2，AD=2．∵AP=x，∴PH=x﹣2，情况①：当AP=AD时，即x=2．情况②：当AD=PD时，则AH=PH．∴2=x﹣2，解得x=4．情况③：当AP=PD时，则Rt△DPH中，x2=42+（x﹣2）2，解得x=5．∵2＜x＜8，∴当x为2、4、5时，△APD是等腰三角形．（2）∵∠DPE=∠DHP=90°，∴∠DPH+∠EPB=∠DPH+∠HDP=90°．∴∠HDP=∠EPB．又∵∠DHP=∠B=90°，∴△DPH∽△PEB．∴，∴．整理得：y=（x﹣2）（8﹣x）=﹣x2+x﹣4；（3）存在．设BC=a，则由（2）得△DPH∽△PEB，∴，∴y=，当y=a时，（8﹣x）（x﹣2）=a2x2﹣10x+（16+a2）=0，∴△=100﹣4（16+a2），∵△≥0，∴100﹣64﹣4a2≥0，4a2≤36，又∵a＞0，∴a≤3，∴0＜a≤3，∴满足0＜BC≤3时，存在点P，使得PQ经过C．【考点】1.一元二次方程2.相似三角形的判定与性质．6.已知：关于的方程x2+(2-m)x-2m=0.⑴求证：无论取什么实数值，方程总有实数根；⑵取一个m的值，使得方程两根均为整数，并求出方程的两根。
人教版初三数学一元二次方程例题及答案解析
人教版初三数学一元二次方程例题1．某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品，已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）为120万元，在销售过程中发现，年销售量y （万件）与销售单价x（元）之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）直接写出y关于x的函数关系式为．（2）市场管理部门规定，该产品销售单价不得超过100元，该公司销售该种产品当年获利55万元，求当年的销售单价．2．解方程：（1）2x2﹣8＝0（2）x2﹣x﹣1＝0．3．用指定方法解方程：（1）2x2+4x﹣3＝0（配方法解）（2）5x2﹣8x＝﹣2（公式法解）4．（1）计算（1﹣）2﹣+（）0（2）解方程：（1﹣2x）2＝4x﹣2．5．解方程．（1）2x2﹣6x﹣1＝0；（2）2y（y+2）﹣y＝2．人教版初三数学一元二次方程例题答案1．某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品，已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）为120万元，在销售过程中发现，年销售量y （万件）与销售单价x（元）之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）直接写出y关于x的函数关系式为y＝﹣x+8．（2）市场管理部门规定，该产品销售单价不得超过100元，该公司销售该种产品当年获利55万元，求当年的销售单价．【分析】（1）设直线解析式为y＝kx+b，把已知坐标代入求出k，b的值后可求出函数解析式；（2）根据获利55万元列出一元二次方程求解即可；【解答】解：（1）设y＝kx+b，它过点（60，5），（80，4），，解得：，∴y＝﹣x+8；（2）根据题意得：（x﹣40）（﹣x+8）﹣120＝55，解得：x＝90或x＝110，∵x≤100，∴x＝90，答：当年销售单价为90元．【点评】考查了一元二次方程的应用及一次函数的应用的知识，解题的关键是根据题意列出方程，难道中等．2．解方程：（1）2x2﹣8＝0（2）x2﹣x﹣1＝0．【分析】（1）移项，系数化成1，开方，即可得出答案；（2）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：（1）2x2﹣8＝0，2x2＝8，x2＝4，x＝±2，即x1＝2，x2＝﹣2；（2）x2﹣x﹣1＝0，b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5，x＝，x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．3．用指定方法解方程：（1）2x2+4x﹣3＝0（配方法解）（2）5x2﹣8x＝﹣2（公式法解）【分析】（1）根据配方法即可求出答案；（2）根据公式法即可求出答案；【解答】解：（1）∵2x2+4x﹣3＝0，∴x2+2x＝，∴（x+1）2＝，∴x+1＝，∴x＝﹣1±（2）∵5x2﹣8x＝﹣2，∴a＝5，b＝﹣8，c＝2，∴△＝64﹣4×5×2＝24，∴x＝＝；【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．4．（1）计算（1﹣）2﹣+（）0（2）解方程：（1﹣2x）2＝4x﹣2．【分析】（1）根据零指数幂的意义以及二次根式的运算法则即可求出答案；（2）根据因式分解法即可求出答案．【解答】解：（1）原式＝1﹣2+3﹣（﹣1）+1＝（2）∵（1﹣2x）2＝4x﹣2，∴（1﹣2x）2﹣2（1﹣2x）＝0，∴（1﹣2x﹣2）（1﹣2x）＝0，∴【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．5．解方程．（1）2x2﹣6x﹣1＝0；（2）2y（y+2）﹣y＝2．【分析】（1）根据配方法即可求出答案；（2）根据因式分解法即可求出答案；【解答】解：（1）∵2x2﹣6x﹣1＝0，∴x2﹣3x＝，∴（x﹣）2＝，∴x＝；（2）∵2y（y+2）﹣y＝2，∴2y（y+2）﹣y﹣2＝0，∴（y+2）（2y﹣2）＝0，∴y＝﹣2或y＝1；【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．。
九年级数学·一元二次方程专项练习(含参考答案)
九年级数学一元二次方程专项练习（含参考答案）练习1用直接开平方法解一元二次方程162=x ；16)3(2=-x ；16)1(2=-x ；06)4(322=--x ；3)23(212=+x ；22)21(9)1(4x x -=+；042=-x ；942=x ；29)1(22=+x ；027)2(32=-+x ；22)1()12(-=+x x ；016)3(32=-+x .【参考答案】4,421-==x x /1,721-==x x /4,621-==x x /1,721==x x 362,36221--=+-=x x /45,8121==x x /2,221-==x x /23,2321-==x x 25,2121-==x x /5,121-==x x /2,021-==x x /3323,332321--=+-=x x0342=+-x x ;862=+x x ;16)8(=+x x ;024102=--x x ;2122=-x x ;04522=--x x ;342-=+x x ;0132=+-y y ;2432=-x x ;242=+x x ;032=+x x ;216121x x -=+.【参考答案】1,321==x x /173,17321--=+-=x x /244,24421--=+=x x 2,1221-==x x /261,26121-=+=x x /35,3521-=+=x x 3,121-=-=x x /253,25321-=+=y y /31032,3103221-=+=x x 62,6221--=+-=x x /3,021-==x x /4121==x x12312=+x ；0662=--x x ；2)4)(2(=+-x x ；03522=--x x ；0162=-+-x x ；0238322=-+y y ；0652=-+x x ；622=-x x ；20)8(=+x x ；16)8(=-x x ；04212=--x x ；01422=--x x .【参考答案】22123,2212321--=+-=x x /153,15321-=+=x x 11111121--=+-=x x /21,321-==x x /361,36121-=+=x x 727221--=+-=y y /6,121-==x x /71,7121-=+=x x 10,221-==x x /244,24421+=-=x x /2,421-==x x /261,26121-=+=x x1.用公式法解下列方程：03232=--x x ；8922-=x x ；0372=+-x x ；042522=+-x x ；0242=--x x ；2)1(3)1(2+=+-y y y .2.已知关于x 的一元二次方程)0(022)23(2>=+++-m m x m mx （1）求证：方程有两个不相等的实数根且其中一根为定值。
初三数学一元二次方程试题答案及解析
初三数学一元二次方程试题答案及解析1.若一元二次方程x2﹣6x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为．【答案】9．【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=36﹣4m=0，解得：m=9.【考点】1.一元二次方程根的判别式；2.解一元一次方程．2.下列方程中是关于x的一元二次方程的是()A．x2＋＝0B．ax2＋bx＋c＝0C．(x－1)(x＋2)＝1D．3x2－2xy－5y2＝0【答案】C【解析】A中分母含有未知数；B中当a＝0时，二次项系数为0；D中含有两个未知数，只有C 化为一般形式为x2＋x－3＝0，是一元二次方程．3.在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为a⊕b＝a2－b2，求方程(4⊕3)⊕x＝24的解．【答案】x1＝5，x2＝－5【解析】解：∵(4⊕3)⊕x＝24，∴(42－32)⊕x＝24，即7⊕x＝24.∴72－x2＝24，∴x2＝25.∴x1＝5，x2＝－5.4.某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m）另三边用木栏围成，木栏长40m．（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m2吗？（2）鸡场的面积能达到250m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．【答案】（1）能，能；（2）不能.【解析】（1）首先设出鸡场宽为x米，则长（40-2x）米，然后根据矩形的面积=长×宽，用未知数表示出鸡场的面积，根据面积为200m2，可得方程，解方程即可；（2）要求鸡场的面积能否达到250平方米，只需让鸡场的面积先等于250，然后看得出的一元二次方程有没有解，如果有就证明可以达到250平方米，如果方程无实数根，说明不能达到250平方米．试题解析：（1）设宽为x米，长（40-2x）米，根据题意得：x（40-2x）=200，-2x2+40x-200=0，解得：x1=x2=10，则鸡场靠墙的一边长为：40-2x=20（米），答：鸡场靠墙的一边长20米．（2）根据题意得：x（40-2x）=250，∴-2x2+40x-250=0，∵b2-4ac=402-4×（-2）×（-250）＜0，∴方程无实数根，∴不能使鸡场的面积能达到250m2．考点: 一元二次方程的应用．5.已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为（）A．2B．3C．4D．8【解析】根据一元二次方程两根之和等于6，从而求出另一根为4.故选C.考点: 一元二次方程根与系数的关系.6.下列关于的方程：①；②；③；④；⑤．其中是一元二次方程有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】方程①与的取值有关；方程②经过整理后，二次项系数为2，是一元二次方程；方程③是分式方程；方程④的二次项系数经过配方后可化为，无论取何值，其都不为0，所以方程④是一元二次方程；方程⑤不是整式方程，也可排除.故一元二次方程有2个．7.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】根据一元二次方程的定义知：A、不是整式方程,故本选项错误;B、方程二次项系数可能为0,故本选项错误;C、符合一元二次方程的定义,故本选项正确;D、方程含有两个未知数,故本选项错误．故选C．【考点】一元二次方程的定义．8.解方程：【答案】．【解析】将分解成,再进行计算．试题解析：,,．【考点】因式分解法解一元二次方程．9.已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是．【答案】.【解析】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，∴.【考点】一元二次方程根的判别式.10.某社区2012年投入教育经费2500万元，计划2014年投入3600万元，设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（）A．B．C．D．【解析】因为这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则2013年投入教育经费为2500(1＋x)， 2014年投入教育经费为2500(1＋x) (1＋x) ＝2500(1＋x)2. 据此列出方程：.故选C.【考点】一元二次方程的应用（增长率问题）.11.雅安地震牵动全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元。
初三数学一元二次方程例题及答案解析
初三数学一元二次方程例题1．解下列方程：（1）x2﹣2x+1＝0（2）9x2﹣（x﹣1）2＝02．如图，某工地在直角墙角处，用可建60米长围墙的建筑材料围成一个矩形堆物场地，中间用同样的材料分隔为两间，要使所围成的矩形ABFE和矩形CDEF的面积分别是300m2和150m2，求BF的长．3．解下列一元二次方程：（1）（2x﹣1）2＝（x﹣3）2；（2）x2﹣2x﹣1＝0．4．每年九月是开学季，大多数学生会购买若干笔记本满足日常学习需要，校外某文具店老板开学前某日去批发市场进货，购进甲乙丙三种不同款式的笔记本共950本，已知甲款笔记本的进价为2元/本，乙款笔记本的进价是4元/本，丙款笔记本的进价是6元/本．（1）本次进货共花费3300元，并且甲款的笔记本数量是乙款笔记本数量的2倍，请问本次购进丙款笔记本多少本？（2）经过调研发现，甲款笔记本、乙款笔记本和丙款笔记本的零售价分别定为4元/本、6元/本和10元/本时，每天可分别售出甲款笔记本30本，乙款笔记本50本和丙款笔记本20本．如果将乙款笔记本的零售价提高元（a＞25），甲款笔记本和丙款笔记本的零售价均保持不变，那么乙款笔记本每天的销售量将下降a%，丙款笔记本每天的销售量将上升a%，甲款笔记本每天的销量仍保持不变；若调价后每天销售三款笔记本共可获利260元，求a的值．5．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2+1＝0．（1）若方程的一个根是1，求实数a的值．（2）当a＝﹣2时，用配方法解方程．初三数学一元二次方程例题答案1．解下列方程：（1）x2﹣2x+1＝0（2）9x2﹣（x﹣1）2＝0【分析】（1）先变形，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）x2﹣2x+1＝0，（x﹣1）2＝0，开方得：x﹣1＝0，即x1＝x2＝1；（2）9x2﹣（x﹣1）2＝0，[3x+（x﹣1）][3x﹣（x﹣1）]＝0，3x+（x﹣1）＝0，3x﹣（x﹣1）＝0，解得：x1＝，x2＝﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．2．如图，某工地在直角墙角处，用可建60米长围墙的建筑材料围成一个矩形堆物场地，中间用同样的材料分隔为两间，要使所围成的矩形ABFE和矩形CDEF的面积分别是300m2和150m2，求BF的长．【分析】设CD的长为xm，则BC的长为（60﹣2x）m，根据矩形的面积公式及矩形ABCD 的面积为450m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再利用矩形的面积公式结合矩形ABFE的面积为300m2，即可求出BF的长．【解答】解：设CD的长为xm，则BC的长为（60﹣2x）m，依题意，得：x（60﹣2x）＝300+150，整理，得：x2﹣30x+225＝0，解得：x1＝x2＝15．∴EF＝DC＝15．∵EF×BF＝300，∴BF＝20（m）．答：BF的长是20m．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．解下列一元二次方程：（1）（2x﹣1）2＝（x﹣3）2；（2）x2﹣2x﹣1＝0．【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；（2）利用配方法求解可得．【解答】解：（1）∵（2x﹣1）2＝（x﹣3）2，∴2x﹣1＝x﹣3或2x﹣1＝3﹣x，解得x＝﹣2或x＝；（2）∵x2﹣2x＝1，∴x2﹣2x+2＝1+2，即（x+）2＝3，则x+＝，∴x1＝﹣+，x2＝﹣﹣．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．4．每年九月是开学季，大多数学生会购买若干笔记本满足日常学习需要，校外某文具店老板开学前某日去批发市场进货，购进甲乙丙三种不同款式的笔记本共950本，已知甲款笔记本的进价为2元/本，乙款笔记本的进价是4元/本，丙款笔记本的进价是6元/本．（1）本次进货共花费3300元，并且甲款的笔记本数量是乙款笔记本数量的2倍，请问本次购进丙款笔记本多少本？（2）经过调研发现，甲款笔记本、乙款笔记本和丙款笔记本的零售价分别定为4元/本、6元/本和10元/本时，每天可分别售出甲款笔记本30本，乙款笔记本50本和丙款笔记本20本．如果将乙款笔记本的零售价提高元（a＞25），甲款笔记本和丙款笔记本的零售价均保持不变，那么乙款笔记本每天的销售量将下降a%，丙款笔记本每天的销售量将上升a%，甲款笔记本每天的销量仍保持不变；若调价后每天销售三款笔记本共可获利260元，求a的值．【分析】（1）根据甲乙丙三款笔记本的进价与数量的乘积等于总花费即可列方程求解；（2）根据售价﹣进价＝利润即可列方程求解．【解答】解：（1）设乙款笔记本的数量为x本，则甲款2x本，丙款（950﹣3x）本，根据题意，得2×2x+4x+6（950﹣3x）＝3300解得x＝240，∴950﹣3x＝230．答：本次购进丙款笔记本230本．（2）根据题意，得（4﹣2）×30+（6+﹣4）×50（1﹣a%）+（10﹣6）[20（1+a%）]＝260整理得a2﹣70a+1000＝0解得a1＝50，a2＝20（不符合题意，舍去）答：a的值为50．【点评】本题考查了一元一次方程应用、一元二次方程的应用，解决本题的关键是根据题意找好等量关系．5．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2+1＝0．（1）若方程的一个根是1，求实数a的值．（2）当a＝﹣2时，用配方法解方程．【分析】（1）将x＝1代入原方程即可求出答案；（2）将a＝﹣2代入方程即可求出答案．【解答】解：（1）将x＝1代入原方程可得：（a﹣1）﹣2+a2+1＝0，解得：a＝1或a＝﹣2，由于a﹣1≠0，∴a＝﹣2；（2）将a＝﹣2代入方程可得：﹣3x2﹣2x+5＝0，∴x2+x＝，∴（x+）2＝，∴x＝±，∴x＝1或x＝；【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．。
中考《一元二次方程》经典例题及解析
一元二次方程一、一元二次方程的概念1．一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．2．一般形式：20ax bx c ++=（其中,,a b c 为常数，0a ≠），其中2,,ax bx c 分别叫做二次项、一次项和常数项，,a b 分别称为二次项系数和一次项系数．注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意0a ≠，因为当0a =时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．二、一元二次方程的解法1．直接开平方法：适合于2()()0x a b b ±=≥或22()()ax b cx d ±=±形式的方程．2．配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项； （3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成2()()0x a b b ±=≥的形式； （5）运用直接开平方法解方程．3．公式法：（1）把方程化为一般形式，即20ax bx c ++=；（2）确定,,a b c 的值；（3）求出24b ac -的值；（4）将,,a b c 的值代入x =即可． 4．因式分解法：基本思想是把方程化成()()0ax b cx d ++=的形式，可得0ax b +=或0cx d +=． 三、一元二次方程根的判别式及根与系数关系1．根的判别式：一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠是否有实数根，由24b ac -的符号来确定，我们把24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2．一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）当240b ac ->时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根； （2）当240b ac -=时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有1个（两个相等的）实数根； （3）当240b ac -<时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠没有实数根．3．根与系数关系：对于一元二次方程20ax bx c ++=（其中,,a b c 为常数，0a ≠），设其两根分别为1x ，2x ，则12b x x a +=-，12c x x a=． 四、利用一元二次方程解决实际问题列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容．1．增长率等量关系（1）增长率=增长量÷基础量．（2）设为原当m 为平均下降率时，则有(1n a m -2．利润等量关系：（1）利润=售价－成本3．面积问题（1）类型1：如图1所示的矩形ABCD ()(22)a x b x --．（2）类型2：如图2所示的矩形ABCD （3）类型3：如图3所示的矩形ABCD 为()()a x b x --．图1 4. 碰面问题（循环问题）（1）重叠类型（双循环）：n 支球队互相之∵1支球队要和剩下的（n －1）支球队比赛∵存在n 支这样的球队，∴比赛场次为：∵A 与B 比赛和B 与A 比赛是同一场比赛∴m =（ −1）（2）不重叠类型（单循环）：n 支球队，∵1支球队要和剩下的（n －1）支球队比赛∵存在n 支这样的球队，∴比赛场次为：∵A 与B 比赛在A 的主场，B 与A ∴m = （ −1）经典1．若关于x 的方程220x ax +-=有一个【答案】1【分析】根据一元二次方程的解的定义，【解析】解：把x=1代入方程2x ax +=a 为原来量，m 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长)b =．成本．（2）利润率=利润成本×100％． BCD 长为a ，宽为b ，空白“回形”道路的宽为x ，CD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则空白部分的BCD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则4块空 图2 图互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m 。
初三数学一元二次方程试题答案及解析
初三数学一元二次方程试题答案及解析1.已知m、n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解，若（m－1）（n－1）=－6，则a的值为。
【答案】-4．【解析】根据一元二次方程的根与系数的关系得出：m+n=3，mn=a，再把（m－1）（n－1）=－6化简后，把m+n=3，mn=a代入即可求出a的值．∵m，n是一元二次方程x2－3x＋a＝0的两根，∴m+n=3，mn=a∵（m-1）(n-1)=-6∴mn-（m+n）+1=-6∴a-3+1=-6解得：a=-4．【考点】根与系数的关系．2.已知两圆半径、分别是方程的两根,两圆的圆心距为7,则两圆的位置关系是A．相交B．内切C．外切D．外离【答案】C．【解析】试题分析:∵x2﹣7x+10=0,∴（x﹣2）（x﹣5）=0,∴x1=2,x2=5,即两圆半径r1、r2分别是2,5,∵2+5=7,两圆的圆心距为7,∴两圆的位置关系是外切．故选C．考点:圆与圆的位置关系．3.解方程：⑴x－4x－5=O ⑵【答案】（1），；（2），【解析】(1)把方程左边多项式进行分解因式，将其变成两个一次方程，分别求解即可. （2）移项，利用因式分解法即可求出方程的解.试题解析：(1)∵x2－4x－5=O∴(x+1)(x-5)=0即：x+1=0，x-5=0解得：，；（2）∵∴即：整理得：即：，解得：，考点:解一元二次方程----因式分解法.4.一元二次方程的解是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】由得，∴原方程的解为.故选C.【考点】解一元二次方程.5.随着青奥会的临近,青奥特许商品销售逐渐火爆．甲.乙两家青奥商品专卖店一月份销售额分别为10万元和15万元,三月份销售额甲店比乙店多10万元．已知甲店二.三月份销售额的月平均增长率是乙店二.三月份月平均增长率的2倍．(1)若设乙店二.三月份销售额的月平均增长率为,则甲店三月份的销售额为万元,乙店三月份的销售额为万元．（用含的代数式表示）(2)甲店.乙店这两个月销售额的月平均增长率各是多少？【答案】(1) 10（1+2x）2,15（1+x）2;(2) 甲.乙两店这两个月的月平均增长率分别是120%.60%．【解析】（1）设乙店销售额月平均增长率为x,分别表示出每个月的销售额;（2）根据等量关系“三月份销售额甲店比乙店多10万元列出方程即可求解．试题解析：（1）设乙店二.三月份销售额的月平均增长率为x,则甲店三月份的销售额为10（1+2x）2万元,乙店三月份的销售额为15（1+x）2万元;故答案为：10（1+2x）2,15（1+x）2;（2）10（1+2x）2﹣15（1+x）2=10,解得 x1=60%,x2=﹣1（舍去）,2x=120%,答：甲.乙两店这两个月的月平均增长率分别是120%.60%．【考点】一元二次方程的应用．6.已知x=2时关于x的一元二次方程的一个解,则a的值为（）A．0B．-1C．1D．2【答案】C．【解析】将x=2代入,得：,解得：a=1.故选C．【考点】一元二次方程的解．7.随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多的进入普通家庭，成为居民消费新的增长点。
新人教版九年级数学上册 ：《一元二次方程》习题精选及答案解析
《一元二次方程》姓名 得分一、填空题（每空2分，共32分） 1．把一元二次方程（x －2）（x ＋3）=1化为一般形式是 ． 2．用配方法解方程2250x x --=时，配方后得到的方程是 ；当x = 时，分式2926x x --的值为零；一元二次方程2x （x －1）=x －1的解是 ；3．方程(x-1)2=4的解是 ；方程2x =x 的解是 ．4．足球世界杯预选赛实行主客场的循环赛，即每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场。
共举行比赛210场，则参加比赛的球队共有 支。
5．一个菱形的两条对角线的和是14cm ，面积是24 cm 2，则这个菱形的周长是___ _______。
6．当m 时，关于x 的一元二次方程02142=-+-m x x 有两个相等的实数根，此时这两个实数根是 ．7．请你写出一个有一根为1的一元二次方程： ．8．某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设 平均每月降价的百分率为x ，根据题意列出的方程是 ． 9．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为22*a b a b =-，根据这个规则， 方程(2)50*x +=的解为．10．李娜在一幅长90cm 、宽40cm 的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制 成一幅挂图，使风景画的面积是整个挂图面积的54%，设金色纸边的宽度为xcm ，根据题 意，所列方程为： 。
11．若方程2310x x --=的两根为1x 、2x ，则1211x x +的值为 ． 12．设a b ，是方程220110x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为 ． 二、选择题（每小题3分，共24分）1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A ．221x x y ++=B ．2110x x+-= C ．20x = D ．2(1)(3)1x x x ++=- 2．一元二次方程x 2－3x ＋4＝0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实根B ．有两个相等的实根C ．无实数根D ．不能确定 3．已知代数式2346x x -+的值为9，则2463x x -+的值为（ ） A ．18 B ．12 C ．9 D ．74．直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（ ）AB ．5 C．75．若a+b+c=0，则关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）有一根是（ ）．A ．1B ．－1C ．0D ．无法判断6．在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色 纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（ ）A ．213014000x x +-= B ．2653500x x +-= C ．213014000x x --=D ．2653500x x --=7．为执行“两免一补”政策，某地区2007年投入教育经费2500万元，预计2009年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x ，那么下面列出的方程正确的是（ ） A ．225003600x =B ．22500(1%)3600x +=C ．22500(1)3600x +=D ．22500(1)2500(1)3600x x +++=8．关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则212()x x -的值是（ ） A ．1 B ．12C ．13D ．25三、解答题（共64分） 1．解下列方程（10分）（1）解方程：2420x x ++= （2） 解方程2220x x --=2．（8分）关于x 的方程04)2(2=+++kx k kx 有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由。
初三数学一元二次方程试题答案及解析
初三数学一元二次方程试题答案及解析1.某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资10亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2012年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2014年该市计划投资“改水工程”864万元．（1）求A市投资“改水工程”的年平均增长率；（2）从2012年到2014年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？【答案】（1）20%；（2）2184.【解析】（1）设求A市投资“改水工程”费用的年平均增长率为x，根据2014年该市计划投资“改水工程”864万元，列出方程，求出方程的解即可；（2）根据（1）的结果把2012年到2014年每年的投资相加即可．（1）设求A市投资“改水工程”费用的年平均增长率为，得，解之得，，（不合题意，舍去）∴答：A市投资“改水工程”费用的年平均增长率为20%.（2）由题意得，600＋600（1＋）＋864=600＋600×120%+864=2184(万元)答：从2012年到2014年，A市三年共投资“改水工程”2184万元.【考点】一元二次方程的应用．2.某菱形的两条对角线长都是方程x2－6x＋8＝0的根，则该菱形的周长为【答案】．【解析】∵x2-6x+8=0，∴（x-2）（x-4）=0，解得：x1=2，x2=4.∵菱形ABCD的两条对角线长分别是方程x2-6x+8=0的两根，∴菱形ABCD的两条对角线长分别是2与4，设菱形ABCD的两条对角线相交于O，∴AC⊥BD，OA=AC=2，OB=BD=1，∴.∴菱形周长为：4AB=．【考点】1.因式分解法解一元二次方程；2.菱形的性质；3 .勾股定理．3.用配方法解一元二次方程：．【答案】，【解析】把常数项-4移项后，在左右两边同时加上1配方求解．试题解析：原方程可化为：∴∴∴，考点: 解一元二次方程-配方法．4.已知方程的一个根为，则另一个根是（）A．5B．C．D．3【答案】C【解析】将代入方程，得，解一元二次方程得另一个根为.5.用配方法解方程x2－2x＝2,原方程可变形为（）A．(x＋1)2＝3B．(x－1)2＝3C．(x＋2)2＝7D．(x－2)2＝7【答案】B．【解析】试题分析:将方程x2－2x＝2两边同时加上一次项系数一半的平方,配方得．故选B．考点:解一元二次方程-配方法．6.解方程：⑴x－4x－5=O ⑵【答案】（1），；（2），【解析】(1)把方程左边多项式进行分解因式，将其变成两个一次方程，分别求解即可.（2）移项，利用因式分解法即可求出方程的解.试题解析：(1)∵x2－4x－5=O∴(x+1)(x-5)=0即：x+1=0，x-5=0解得：，；（2）∵∴即：整理得：即：，解得：，考点:解一元二次方程----因式分解法.7.一元二次方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是 .【答案】且．【解析】一元二次方程有两个不相等的实数根,所以,解得：且．故答案是且．【考点】根的判别式．8.解下列方程：（1）（2）【答案】（1）;（2）．【解析】（1）直接应用公式法解方程;（2）移项,提取公因式,求值．试题解析：（1）,,;（2）,,．【考点】解一元二次方程．9.解方程．【答案】-1或3．【解析】先把3x+3整体移项，再提取公因式x+1即可得方程的解．试题解析：：∵x（x+1）-3（x+1）=0，∴（x+1）（x-3）=0，∴x+1=0或x-3=0，∴x1=-1，x2=3，故答案为-1或3．考点: 解一元二次方程---因式分解法．10.一件商品的标价为108元，经过两次降价后的销售价是72元，求平均每次降价的百分率。
九年级数学解一元二次方程专项练习题(带答案)【40道】
九年级数学解一元二次方程专项练习题(带答案)【40道】1、用配方法解下列方程：1) 12x + 25 = 2x + 4x + 22化简得：6x = -3，解得x = -1/22) x^2 + 4x = 10x + 22移项化简得：x^2 - 6x - 22 = 0使用配方法解得：x = 3，x = -43) x^2 - 6x - 11 = 0使用配方法解得：x = 3 + 2√3，x = 3 - 2√32、用配方法解下列方程：1) 6x^2 - 7x + 1 = 0使用配方法解得：x = 1/2，x = 1/33) 4x^2 - 3x - 52 = 0使用配方法解得：x = 4，x = -3/43、用公式法解下列方程：1) 2x^2 - 9x + 8 = 0使用公式法解得：x = 4/2，x = 1/23) 16x^2 + 8x - 3 = 0使用公式法解得：x = 1/4，x = -3/44、运用公式法解下列方程:1) 5x^2 + 2x - 1 = 0使用公式法解得：x = 1/5，x = -14) 5x^2 + 2x + 4 = 0使用公式法解得：无实数解2) 9x^2 + 6x + 1 = 0使用公式法解得：x = -1/3，x = -1/34) 2x^2 - 4x - 1 = 0使用公式法解得：x = 1 + √3/2，x = 1 - √3/22) x^2 + 6x + 9 = 7移项化简得：x^2 + 6x + 2 = 0使用公式法解得：x = -3 + √7，x = -3 - √7 3) 2x + 3 = 3x移项化XXX：x = 34) (x - 2)(3x - 5) = 15化简得：3x^2 - 11x + 20 = 0使用公式法解得：x = 5/3，x = 20/36、用分解因式法解下列方程：1) 9x^2 + 6x + 1 = 0分解因式得：(3x + 1)^2 = 0，解得x = -1/32) 3x(x - 1) = 2 - 2x移项化简得：3x^2 - 3x + 2 = 0无法分解因式，使用公式法解得：x = (3 ± √17)/6 3) 2x + 3 = 4(2x + 3)移项化简得：-6x = -9，解得x = 3/24) 2(x - 3) = x - 9移项化XXX：x = 37、解下列关于x的方程:1) x^2 + 2x - 2 = 0使用公式法解得：x = -1 ± √32) 3x^2 + 4x - 7 = 0使用公式法解得：x = (-2 ± √10)/33) (x + 3)(x - 1) = 5化简得：x^2 + 2x - 8 = 0使用公式法解得：x = -4，x = 24) (x - 2)^2 + 42x = 0移项化简得：x^2 - 2x - 4 = 0使用公式法解得：x = 1 ± √58、解下列方程：1) 2√(x - 1) = 4移项化简得：x - 1 = 4，解得x = 52) x^2 - 4x + 1 = 0使用公式法解得：x = 2 + √3，x = 2 - √3 3) 3x^2 + 10x + 5 = 0使用公式法解得：x = (-5 ± √5)/34) 3(x - 5)^2 = 2(5 - x)化简得：3x^2 - 34x + 75 = 0使用公式法解得：x = 5/3，x = 25/3 5) 4x - 45 = 31x移项化简得：x = -15/276) -3x + 22x - 24 = 0化简得：19x = 24，解得x = 24/197) (x + 8)(x + 1) = -12移项化简得：x^2 + 9x + 20 = 0使用公式法解得：x = -4，x = -58) (3x + 2)(x + 3) = x + 14移项化简得：3x^2 + 7x - 8 = 0使用公式法解得：x = -8/3，x = 1/31.解一元二次方程专项练题答案1) $x=-6\pm\sqrt{11}$2) $x_1=2-2\sqrt{3}。
专题1-3 一元二次方程根的判别式(解析版)
（苏科版）九年级上册数学《第1章 一元二次方程》专题1-3 一元二次方程根的判别式◆1、一般地，式子b 2﹣4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b 2﹣4ac ．◆2、利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况．一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与Δ＝b 2﹣4ac 有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．◆3、利用根的判别式判断一元二次方程根的情况的步骤:①把一元二次方程化为一般形式；②确定a ，b ，c 的值；③计算b 2﹣4ac 的值；④根据b 2﹣4ac 的符合判定方程根的情况．◆4、运用根的判别式时的注意事项（1）将方程化成一般形式后才能确定a ，b ，c 的值．（2）确定a ，b ，c的值时不要漏掉符合．【例题1】（2023•淮南一模）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）A ．x 2+4＝2xB ．（x +1）2＝0C ．x 2﹣2023x ＝0D ．x 2+2＝3x【分析】求出一元二次方程根的判别式，根据符号即可得到结论．【解答】解：A 、方程x 2+4＝2x 可化为x 2﹣2x +4＝0，∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×4＝﹣12＜0，∴方程无实数根，故本选项符合题意；B 、∵方程（x +1）2＝0，∴x 1＝x 2＝﹣1，∴方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；C、方程整理得x2﹣2023x＝0，∵Δ＝20232﹣4×1×0＝20232＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；D、方程整理得x2﹣3x+2＝0，∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意．故选：A．【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程解的情况之间的关系是解决问题的关键．【变式1-1】（2023春•淮北月考）方程2x2﹣5x+7＝0根的情况是（ ）A．方程有两个不相等的实数根B．方程有两个相等的实数根C．方程没有实数根D．无法判断【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．【解答】解：∵2x2﹣5x+7＝0，∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×7＝﹣31＜0，∴方程没有实数根．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．【变式1-2】（2023•新会区二模）下列关于x的一元二次方程中有两个相等的实数根的是（ ）A．（x﹣3）2＝4B．x2＝x C．x2+2x+1＝0D．x2﹣16＝0【分析】通过解方程求得方程的解或根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号判断即可．【解答】解：A、∵（x﹣3）2＝4，∴x﹣3＝±2，∴x1＝1，x2＝5，故本选项不符合题意；B、∵x2＝x，∴x2﹣x＝0，∴x（x﹣1）＝0，∴x1＝0，x2＝1，故本选项不符合题意；C、Δ＝22﹣4×1×1＝0，该方程有两个相等实数根．故本选项符合题意；D、Δ＝02﹣4×1×（﹣16）＝64＞0，该方程有两个不相等的实数根．故本选项不符合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了根的判别式．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．【变式1-3】（2023•郯城县二模）一元二次方程3x2﹣5x＝﹣6的根的情况为（ ）A．无实数根B．有两个不等的实数根C．有两个相等的实数根D．不能判定【分析】先计算出根的判别式的值得到Δ＜0，根据根的判别式的意义对各选项进行判断．【解答】解：一元二次方程3x²﹣5x＝﹣6可化为3x²﹣5x+6＝0，∵Δ＝（﹣5）2﹣4×3×6＝﹣47＜0，∴方程无实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．【变式1-4】（2023•贵州模拟）已知关于x的一元二次方程x2+6+c+c＝0的一个根是x＝1，则方程x2+6x﹣c＝0的根的情况是（ ）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．有一个根是x＝1【分析】先把x＝1代入方程x2+6x+c＝0可得到c＝﹣7，则方程x2+6x﹣c＝0化为x2+6x+7＝0，再计算根的判别式的值得到Δ＝8＞0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可．【解答】解：把x＝1代入方程x2+6x+c＝0得1+6+c＝0，解得c＝﹣7，所以方程x2+6x﹣c＝0化为x2+6x+7＝0，∵Δ＝62﹣4×7＝8＞0，∴方程x2+6x﹣c＝0有两个不相等的实数根．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的解．【变式1-5】（2023•内乡县校级三模）已知a，c互为倒数，则关于x的方程ax2﹣x+c＝0（a≠0）根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．有一根为1【分析】根据根的判别式得到Δ＝1﹣4ac，根据a，c互为倒数，得到ac＝1，解之即可．【解答】解：关于x的方程ax2﹣x+c＝0（a≠0）根的判别式为Δ＝1﹣4ac，∵a，c互为倒数，∴ac＝1，∴1﹣4ac＜0．∴原方程无实数根，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的定义．【变式1-6】（2023•扶沟县二模）若|a﹣3|+=0，则关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+bx+2＝0的根的情况是（ ）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【分析】先根据非负性求出a和b的值，再计算根的判别式的值得到Δ，然后根据根的判别式的意义进行判断．【解答】解：∵|a﹣3|+=0，∴a﹣3＝0，b﹣2＝0，∴a＝3，b＝2，∴关于x的一元二次方程为x2+x+1＝0，∵Δ＝12﹣4×1×1＝1﹣4＝﹣3＜0，∴方程没有实数根．故选：C．【点评】本题考查了非负数的性质：绝对值，非负数的性质：算术平方根，根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．【例题2】（2023•安徽模拟）关于x的一元二次方程x2﹣kx+k+3＝0有两个相等的实数根，则k的值为（ ）A．﹣2B．﹣2或6C．6D．﹣6或2【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣kx+k+3＝0有两个相等的实数根可知Δ＝0，故可得出关于k的方程，求出k的值即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+k+3＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即Δ＝（﹣k）2﹣4（k+3）＝0，解得k＝6或﹣2．故选：B．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解题的关键．【变式2-1】（2023•淮阳区校级三模）若关于x的一元二次方程mx2﹣6x+1＝0 有两个相等实数根，则m 的值是（ ）A．﹣1B．1C．﹣9D．9【分析】由方程有两个相等的实数根可得其判别式等于0，可得到关于m的方程，可求得m的值．【解答】解：∵一元二次方程mx2﹣6x+1＝0有两个相等实数根，∴Δ＝0，即（﹣6）2﹣4m＝0，解得m＝9．故选：D．【点评】本题主要考查根的判别式，由方程根的情况得到m的方程是解题的关键．【变式2-2】（2023春•乐清市月考）若关于x的方程x2﹣4x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可以是（ ）A．﹣4B．4C．8D．16【分析】根据方程有两个相等的实数根，计算根的判别式得关于c的方程，求解方程即可．【解答】解：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×c＝16﹣4c，∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，∴16﹣4c＞0，解得c＜4．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（Δ＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．【变式2-3】（2023•永嘉县二模）若关于x的方程x2+6x+18a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（ ）A．―12B．12C．﹣2D．2【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝62﹣4×18a＝0，然后解方程即可．【解答】解：根据题意得Δ＝62﹣4×18a＝0，解得a=1 2．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．【变式2-4】（2023•驻马店二模）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+2﹣m＝0有两个相等的实数根，则m 的值是．【分析】先计算根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0，由此建立关于m的方程解答即可．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+2﹣m＝0有两个相等的实数根，∴（﹣3）2﹣4×1×（2﹣m）＝0，解得：m=―1 4．故答案为：―1 4．【点评】此题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）当Δ＞0则方程有两个不相等的实数根；（2）当Δ＝0则方程有两个相等的实数根；（3）当Δ＜0则方程没有实数根．【变式2-5】（2023•永嘉县三模）若关于x的一元二次方程x2+bx+16＝0，有两个相等的实数根，则正数b的值是．【分析】先根据一元二次方程根的判别式的意义得到Δ＝b2﹣4×16＝0，然后解关于b的方程即可．【解答】解：根据题意得Δ＝b2﹣4×16＝0，解得b1＝8，b2＝﹣8，所以正数b的值为8．故答案为：8．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．【例题3】（2023•聊城）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（ ）A．m≥﹣1B．m≤1C．m≥﹣1且m≠0D．m≤1且m≠0【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式列得不等式并计算即可．【解答】解：∵一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，∴Δ＝22﹣4m≥0，且m≠0，解得：m≤1且m≠0，故选：D．【点评】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，特别注意二次项系数不能为0．【变式3-1】（2023•金水区校级三模）若关于x的一元二次方程x2﹣x+2k+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣1）2﹣4（2k+1）＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣1）2﹣4（2k+1）＞0，解得k＜―3 8．故答案为：k＜―3 8．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．【变式3-2】（2023•中牟县二模）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）A．m≥0B．m＞0C．m≥0且m≠1D．m＞0且m≠1【分析】先根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m﹣1≠0且Δ＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）≥0，解得m≥0且m≠1，即m的取值范围为m≥0且m≠1．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．【变式3-3】（2023春•宁明县期中）关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是（ ）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，且二次项系数不为0，即可求出整数a的最大值．【解答】解：根据题意得：Δ＝4﹣12（a+1）≥0，且a+1≠0，解得：a≤―23，a≠﹣1，则整数a的最大值为﹣2．故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，弄清题意是解本题的关键．【变式3-4】（2023•市北区三模）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ．【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2+4（k﹣1）＞0，再求出两个不等式的公共部分即可得到答案．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2+4（k﹣1）＞0，解得：k＞0且k≠1．故答案为：k＞0且k≠1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根，解题时注意不能忽视二次项系数不为零的条件．【变式3-5】（2023•兰考县一模）如果关于x的一元二次方程kx2+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）A．k＜13B．k＜13且k≠0C．―13≤k＜13且k≠0D．―13≤k＜1且k≠0【分析】首先根据一元二次方程的定义，确定字母k 的取值范围，然后结合根的判别式以及二次根式的定义继续求解k 的取值范围即可．【解答】解：∵原方程为一元二次方程，∴k ≠0，∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ=(―2―4k ＞0，解得：k ＜1，∴3k +1≥0，解得：k ≥―13，∴k 的取值范围是―13≤k ＜1且k ≠0，故选：D ．【点评】本题考查根据一元二次方程根的情况判断参数，理解根的判别式，以及一元二次方程的基本定义和二次根式的定义是解题关键．【变式3-6】（2023•西宁二模）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +2a ﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求a 的取值范围；（2）若a 为正整数，求一元二次方程的解．【分析】（1）根据方程根的判别式Δ＞0，即可得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出a 的取值范围；（2）由（1）可求得a 的正整数，代入原方程，解之即可求出方程的根．【解答】解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +2a ﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣3）2﹣4（2a ﹣1）＞0，解得a ＜158，∴a 的取值范围为a ＜158；（2）∵a ＜158，且a 为正整数，∴a ＝1．此时，方程为x 2﹣3x +1＝0，解得：x1x2∴方程的根为x1x2【点评】本题主要考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）熟记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）熟练掌握一元二次的解法—公式法．【例题4】（2023•兰州）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝（ ）A．﹣2B．2C．﹣4D．4【分析】由一元二次方程有有两个相等的实数根得Δ＝b2﹣4ac＝0，得到b2﹣4c＝0，再将其代入所求式子中计算即可求解．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4c＝0，∴b2＝4c，∴b2﹣2（1+2c）＝b2﹣4c﹣2＝0﹣2＝﹣2．故选：A．【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解题关键．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．【变式4-1】若关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等实数根，则代数式2m2﹣8m+1的值为 ．【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出Δ＝m2﹣4m＝0，将其代入2m2﹣8m+1中即可得出结论．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等实数根，∴Δ＝（﹣m）2﹣4m＝m2﹣4m＝0，∴2m2﹣8m+1＝2（m2﹣4m）+1＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键．【变式4-2】（2023•曹妃甸区模拟）关于x的一元二次方程x2﹣mx+（m+1）＝0有两个相等的实数根，则代数式8m﹣2m2+10的值为（ ）A．18B．10C．4D．2【分析】先根据根的判别式得到：Δ＝（﹣m）2﹣4×（m+1）＝0，则m2﹣4m＝4，再将代数式8m﹣2m2+10变形后把m2﹣4m＝4代入计算即可．【解答】解：根据题意，得Δ＝（﹣m）2﹣4×（m+1）＝0，整理，得m2﹣4m＝4，所以原式＝﹣2（m2﹣4m）+10＝﹣2×4+10＝2，故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．【变式4-3】关于x的一元二次方程（a+1）x2+bx+1＝0有两个相等的实数根，则代数式8a﹣2b2+6的值是 ．【分析】先根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到a+1≠0且Δ＝b2﹣4×（a+1）＝0，则b2﹣4a＝4，再将代数式8a﹣2b2+6变形后把b2﹣4a＝4代入计算即可．【解答】解：根据题意得a+1≠0且Δ＝b2﹣4×（a+1）＝0，即b2﹣4a﹣4＝0，∴b2﹣4a＝4，所以原式＝﹣2（b2﹣4a）+6＝﹣2×4+6＝﹣2，故答案为﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．【变式4-4】若关于x的一元二次方程12x2﹣2kx+1﹣4k＝0有两个相等的实数根，则代数式（k﹣2）2+2k （1﹣k）的值为（ ）A．3B．﹣3C．―72D．72【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（2k）2﹣4×12×（1﹣4k）＝0，则k2+2k=12，然后利用代入的方法计算代数式的值．【解答】解：根据题意得Δ＝（2k）2﹣4×12×（1﹣4k）＝0，∴k2+2k=1 2，∴（k﹣2）2+2k（1﹣k）＝k2﹣4k+4+2k﹣2k2＝﹣k2﹣2k+4＝﹣（k2+2k）+4=―12+4=7 2．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．【变式4-5】（2022•江夏区模拟）已知关于x的一元二次方程（3a﹣1）x2﹣ax+14=0有两个相等的实数根，则代数式a2﹣2a+1+1a的值（ ）A．﹣3B．3C．2D．﹣2【分析】先根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到3a﹣1≠0且Δ＝a2﹣4×（3a﹣1）×14=0，则a2﹣3a+1＝0，再将a2＝3a﹣1代入代数式得到a+1a，通分后得到a21a，再代入a2+1＝3a计算即可．【解答】解：根据题意得3a﹣1≠0且Δ＝a2﹣4×（3a﹣1）×14=0，即a2﹣3a+1＝0，∴a2＝3a﹣1，所以原式＝3a﹣1﹣2a+1+1a=a+1a=a21a=3aa=3．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．【变式4-6】若关于x的一元二次方程12x2﹣2bx﹣4b+1＝0有两个相等的实数根，则代数式（3b﹣1）2﹣5b（2b―45）的值为 ．【分析】化简代数式得﹣（b2+2b）+1，根据一元二次方程根的判别式，求得b2+2b=12，代入即可．【解答】解：∵一元二次方程12x2﹣2bx﹣4b+1＝0有两个相等的实数根，∴（﹣2b）2﹣4×12×（﹣4b+1）＝4b2+8b﹣2＝0，∴b2+2b=1 2，∴（3b﹣1）2﹣5b（2b―45）＝﹣b2﹣2b+1＝﹣（b2+2b）+1=―12+1=12，故答案为：1 2．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，多项式乘法，熟练掌握整体代入方法是解决问题的关键．【例题5】（2023•丰台区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0．（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；（2）选择一个m的值，使得方程至少有一个正整数根，并求出此时方程的根．【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＞0，从而利用根的判别式的意义得到结论；（2）m可以取0，然后利用直接开平方法解方程．【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4）＝16＞0，∴该方程总有两个不相等的实数根；（2）解：当m＝0时，方程化为x2﹣4＝0，解得x1＝2，x2＝﹣2．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．【变式5-1】（2023•门头沟区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果此方程的一个根为1，求k的值．【分析】（1）通过计算根的判别式进行推理证明；（2）将x＝1代入该方程，通过求解关于k的一元二次方程进行求解．【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2k，c＝k2﹣1，∴b2﹣4ac＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣1）＝4k2﹣4k2+4＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）由题意得12﹣2k×1+k2﹣1＝0，整理，得k2﹣2k＝0，解得k1＝0，k2＝2，∴k的值为0或2．【点评】此题考查了一元二次方程的求解和根的判别式的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地求解．【变式5-2】（2023•工业园区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0．（1）若该方程有一个根是x＝2，求m的值；（2）求证：无论m取什么值，该方程总有两个实数根．【分析】（1）直接把x＝2代入到原方程中得到关于m的方程，解方程即可得到答案；（2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0的一个根为x＝2，∴22﹣4m+2m﹣1＝0，∴m=3 2；（2）证明：由题意得，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4（2m﹣1）＝4m2﹣8m+4＝4（m﹣1）2≥0，∴无论m取什么值，该方程总有两个实数根．【点评】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根；一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值．【变式5-3】（2023•大兴区二模）已知关于x的方程x2﹣（m+4）x+4m＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根小于1，求m的取值范围．【分析】（1）证明Δ≥0即可；（2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m+4）]2﹣4×4m＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2≥0，∴此方程总有两个实数根．（2）解：用因式分解法解此方程x2﹣（m+4）x+4m＝0，可得（x﹣4）（x﹣m）＝0，解得x1＝4，x2＝m，若该方程有一个根小于1，则m＜1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判别式，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．【变式5-4】（2023•顺义区二模）已知关于x的方程x2﹣bx+2b﹣4＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若b为正整数，且方程有一个根为负数，求b的值．【分析】（1）证明Δ≥0即可；（2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣b）2﹣4×（2b﹣4）＝b2﹣8b+16＝（b﹣4）2．∵（b﹣4）2≥0，∴方程总有两个实数根．（2）解：用因式分解法解此方程x2﹣bx+2b﹣4＝0，可得（x﹣2）（x﹣b+2）＝0，解得x1＝2，x2＝b﹣2，若方程有一个根为负数，则b﹣2＜0，故b＜2，∵b为正整数，∴b＝1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判别式，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．【变式5-5】（2022春•通州区期末）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（2a+1）x+2＝0．（1）求证：此方程一定有两个不相等的实数根；（2）如果这个方程根的判别式的值等于9，求a的值．【分析】（1）表示出根的判别式，判断其值大于0即可得证；（2）表示出根的判别式，让其值为9求出a的值即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝（2a+1）2﹣8（a﹣1）＝4a2+4a+1﹣8a+8＝4a2﹣4a+1+8＝（2a﹣1）2+8，∵（2a﹣1）2≥0，∴Δ＝（2a﹣1）2+8＞0，∴此方程一定有两个不相等的实数根；（2）解：∵Δ＝（2a﹣1）2+8＝9，∴（2a﹣1）2＝1，解得：a1＝0，a2＝1，∵a≠1，∴a＝0．【点评】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式与根的情况之间的关系是解本题的关键．【例题6】（2023•新乡三模）对于实数a，b定义运算“※”为a※b＝b2﹣ab，例如3※2＝22﹣3×2＝﹣2．若关于x的方程3※x＝﹣m没有实数根，则m的值可以是（ ）A．3B．2C．1D．0【分析】直接利用已知运算公式得出一元二次方程，再利用根的判别式得出m的取值范围，进而得出答案．【解答】解：3※x＝﹣m，则x2﹣3x＝﹣m，故x2﹣3x+m＝0，∵关于x的方程3※x＝﹣m没有实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4m＜0，解得：m＞9 4，∴m的值可以是3．故选：A．【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的取值范围是解题关键．【变式6-1】（2023•内乡县三模）定义运算：a※b＝a2+ab，例如，2※2＝22+2×2＝8，若方程x※3＝﹣m 有两个不相等的实数根，则m的值可以为（ ）A．2B．3C．4D．5【分析】先根据新定义得到x2+3x＝﹣m，再把方程化为一般式得到x2+3x+m＝0，接着根据根的判别式的意义得到Δ＝32﹣4m＞0，然后解不等式得到m的取值范围，从而可对各选项进行判断．【解答】解：∵x※3＝﹣m，∴x2+3x＝﹣m，即x2+3x+m＝0，∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝32﹣4m＞0，解得m＜9 4，∴m的值可以为2．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了实数的运算．【变式6-2】（2023•枣庄二模）定义新运算a*b，对于任意实数a，b满足a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6，若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（ ）A．有一个实根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根【分析】先根据新定义得到（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，再把方程化为一般式，接着计算根的判别式的值得到Δ＝4k2+5＞0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．【解答】解：根据题意得（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣k2﹣1）＝4k2+5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．【变式6-3】（2023•平顶山二模）定义运算：a※b＝a2b+ab﹣1，例如：2※3＝22×3+2×3﹣1＝17，则方程x※1＝0的根的情况为（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根【分析】利用新定义得到x2+x﹣1＝0，然后利用Δ＞0可判断方程根的情况．【解答】解：由新定义得：x2+x﹣1＝0，∵Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．【变式6-4】（2023•息县一模）定义新运算：a◎b＝ab﹣b2，例如1◎2＝1×2﹣22＝2﹣4＝﹣2，则方程2◎x＝5的根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．只有一个实数根【分析】先根据定义得到关于x的一元二次方程，然后计算一元二次方程的判别式即可得解．【解答】解：方程2◎x＝5化为2x﹣x2＝5，一元二次方程化为一般式为x2﹣2x+5＝0，∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×5＝﹣16＜0，∴方程没有实数根．故选：C．【点评】本题考查新定义下的方程应用，熟练掌握所给定义的应用、一元二次方程根的判别式的计算及应用是解题关键．【变式6-5】定义新运算：对于任意实数，a、b，都有a⊕b＝a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5＝2（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5（1）求x⊕（﹣4）＝6，求x的值；（2）若3⊕a的值小于10，请判断方程：2x2﹣bx﹣a＝0的根的情况．【分析】（1）根据新定义运算以及一元二次方程的解法即可求出答案．（2）先求出a的范围，然后根据判别式即可求出答案．【解答】解：（1）∵x⊕（﹣4）＝6，∴x[x﹣（﹣4）]+1＝6，∴x2+4x﹣5＝0，解得：x＝1或x＝﹣5．（2）∵3⊕a＜10，∴3（3﹣a）+1＜10∴10﹣3a＜10∴a＞0，∴Δ＝（﹣b）2+8a＝b2+8a＞0，所以该方程有两个不相等的实数根．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．【变式6-6】（2022•石家庄模拟）定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n＝m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2＝（﹣3）2×2+2＝20．根据以上知识解决问题：（1）x☆4＝20，求x；（2）若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情况．【分析】（1）根据已知公式得出4x2+4＝20，解之可得答案；（2）由2☆a的值小于0知22a+a＝5a＜0，解之求得a＜0．再在方程2x2﹣bx+a＝0中由Δ＝（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0可得答案．【解答】解：（1）∵x☆4＝20，∴4x2+4＝20，即4x2＝16，解得：x1＝2，x2＝﹣2；（2）∵2☆a的值小于0，∴22a+a＝5a＜0，解得：a＜0．在方程2x2﹣bx+a＝0中，Δ＝（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0，∴方程2x2﹣bx+a＝0有两个不相等的实数根．【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．【例题7】（2023•宁南县模拟）已知等腰三角形ABC的一边长a＝6，另外两边的长b，c恰好是关于x的一元二次方程x2﹣（3k+3）x+9k＝0的两个根，则△ABC的周长为 ．【分析】分a＝6为腰和a＝6为底边两种情况分类讨论即可确定三角形的周长，注意运用三边关系进行验证．【解答】解：若a＝6为腰，则b、c中还有一腰，即6是方程x2﹣（3k+3）x+9k＝0的一个根，∴36﹣6（3k+3）+9k＝0，∴k ＝2，这时方程为x 2﹣9x +18＝0，其根为3、6，∴△ABC 的周长为6+6+3＝15；若a ＝6为底，则b ＝c ，即方程x 2﹣（3k +3）x +9k ＝0有两个相等的实根，∴Δ＝[﹣（3k +3）]2﹣4×9k ＝0，解得：k ＝1，这时方程为x 2﹣6x +9＝0，∴x 1＝x 2＝3，但3+3＝6不能围成三角形，综上可得：△ABC 的周长为15．故答案为：15．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式及三角形的三边关系，在解答（2）时要注意分类讨论，不要漏解．【变式7-1】（2022春•双流区期末）已知等腰△ABC 的底边长为3，两腰长恰好是关于x 的一元二次方程14kx 2―(k 3)x 2+3＝0的两根，则△ABC 的周长为 ．【分析】由题意知方程14kx 2―(k 3)x 2+3＝0有两个相等的实数根，据此得出k 的值，再利用三角形的周长公式可得答案．【解答】解：由题意知方程14kx 2―(k 3)x 2+3＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（―k 32）2﹣4×14k ×3＝0，。
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九年级数学一元二次方程例题
1．当a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3时，求的值．
2．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨2元，月销售量就减少20kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克56元时，计算销售量和月销售利润；
（2）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？
3．巫溪的黄金密柚在中国重庆首届柚博会上被评为重庆十大名柚之一，黄金密柚的果肉金黄色、多汁柔软、入口即化、不留残渣，是人们喜爱的水果．红心密柚也是巫溪密柚发展的主推品种之一．某水果店老板在2018年11月份用15200元购进了400千克红心密柚和600千克黄金密柚，已知黄金密柚每千克的进价比红心密柚每千克的进价2倍还多4元
（1）求11月份这两种水果的进价分别为每千克多少元？
（2）时下正值密柚销售旺季，水果店老板决定在12月份继续购进这两种水果．但进入12月份，由于密柚的大量上市，红心密柚和黄金密柚的进价都有大幅下滑，红心密柚每千克的进价在11月份的基础上下降了m%．黃金密柚每千克的进价在11月份的基础上下降了m%．由于红心密柚和黄金密柚都深受巫溪老百姓欢迎，实际水果店老板在12月份购进的红心密柚数量比11月份增加了m%，黄金密柚购进的数量比11月份增加了2m%．结果12月份所购进的这两种密柚的总价与11月份所购进的这两种柑橘的总价相同，求m的值．
4．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1＝0（m为实数）．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）若m是整数，且方程有两个不相等的整数根，求m的值．
5．已知关于x的方程x2﹣2x+m＝1．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）若方程有一个实数根是3，求此方程的另一个根．
九年级数学一元二次方程例题答案
1．当a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3时，求的值．
【分析】首先用代入法得出b2﹣4ac，再代入即可．
【解答】解：∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×（﹣3）＝13，
∴＝．
【点评】本题主要考查了代数式求值，直接代入是解答此题的关键．
2．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨2元，月销售量就减少20kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克56元时，计算销售量和月销售利润；
（2）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？
【分析】（1）根据“销售单价每涨2元，月销售量就减少20千克”，可知：月销售量＝500﹣（销售单价﹣50）×．由此可得出售价为55元/千克时的月销售量，然后根据利润＝每千克的利润×销售的数量来求出月销售利润；
（2）销售成本不超过10000元，即进货不超过10000÷40＝250kg．根据利润表达式求出当利润是8000时的售价，从而计算销售量，与进货量比较得结论．
【解答】解：（1）当销售单价定为每千克56时，月销售量为：500﹣（56﹣50）×10＝44（千克），
所以月销售利润为：（56﹣40）×440＝7040；
（2）由于水产品不超过10000÷40＝250kg，定价为x元，
则（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000，
解得：x1＝80，x2＝60．
当x1＝80时，进货500﹣10（80﹣50）＝200kg＜250kg，符合题意，
当x2＝60时，进货500﹣10（60﹣50）＝400kg＞250kg，舍去．
答：商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售
单价应为80元．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，能正确表示出月销售量是解题的关键．3．巫溪的黄金密柚在中国重庆首届柚博会上被评为重庆十大名柚之一，黄金密柚的果肉金黄色、多汁柔软、入口即化、不留残渣，是人们喜爱的水果．红心密柚也是巫溪密柚发展的主推品种之一．某水果店老板在2018年11月份用15200元购进了400千克红心密柚和600千克黄金密柚，已知黄金密柚每千克的进价比红心密柚每千克的进价2倍还多4元
（1）求11月份这两种水果的进价分别为每千克多少元？
（2）时下正值密柚销售旺季，水果店老板决定在12月份继续购进这两种水果．但进入12月份，由于密柚的大量上市，红心密柚和黄金密柚的进价都有大幅下滑，红心密柚每千克的进价在11月份的基础上下降了m%．黃金密柚每千克的进价在11月份的基础上下降了m%．由于红心密柚和黄金密柚都深受巫溪老百姓欢迎，实际水果店老板在12月份购进的红心密柚数量比11月份增加了m%，黄金密柚购进的数量比11月份增加了2m%．结果12月份所购进的这两种密柚的总价与11月份所购进的这两种柑橘的总价相同，求m的值．
【分析】（1）设11月份红心密柚每千克的进价为x元，黄金密柚每千克的进价为y元，根据“某水果店老板在2018年11月份用15200元购进了400千克红心密柚和600千克黄金密柚，且黄金密柚每千克的进价比红心密柚每千克的进价2倍还多4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总价＝单价×数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设11月份红心密柚每千克的进价为x元，黄金密柚每千克的进价为y 元，
依题意，得：，
解得：．
答：11月份红心密柚每千克的进价为8元，黄金密柚每千克的进价为20元．
（2）依题意，得：8（1﹣m%）×400（1+m%）+20（1﹣m%）×600（1+2m%）＝15200，
整理，得：2.5m2﹣124m＝0，
解得：m1＝0（不合题意，舍去），x2＝49.6．
答：m的值为49.6．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．4．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1＝0（m为实数）．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）若m是整数，且方程有两个不相等的整数根，求m的值．
【分析】（1）由题意得m﹣1≠0且△＞0，解得m≠1且m≠0；
（2）解方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1＝0，得出x1＝﹣1，x2＝，由m为m≠0且m≠1的整数，且方程有两个不相等的整数根，得出m＝2．
【解答】解：（1）由题意得：m﹣1≠0且△＞0，
m﹣1≠0，
解得：m≠1，
∵△＝（m﹣2）2﹣4（m﹣1）×（﹣1）＝m2，
∴m2＞0，
∴m≠0，
∴m的取值范围为：m≠0且m≠1；
（2）（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1＝0，
解得：x＝，
∴x1＝﹣1，x2＝，
∵m为m≠0且m≠1的整数，且方程有两个不相等的整数根，
∴m＝2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法与根的判别式等知识；熟练掌握根的判别式的解题的关键．
5．已知关于x的方程x2﹣2x+m＝1．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）若方程有一个实数根是3，求此方程的另一个根．
【分析】（1）根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；
（2）设方程的另一个根为a，根据根与系数的关系得出3+a＝2，求出方程的解即可．【解答】解：（1）x2﹣2x+m＝1，
x2﹣2x+m﹣1＝0，
∵关于x的方程x2﹣2x+m＝1有两个不相等的实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）＞0，
解得：m＜2，
即m的取值范围是m＜2；
（2）设方程的另一个根为a，
∵关于x的方程x2﹣2x+m＝1有一个实数根是3，
∴由根与系数的关系得：3+a＝2，
解得：a＝﹣1，
即方程的另一个根为﹣1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，根的判别式和根与系数的关系，能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的关键．。