《双曲线》同步训练
高中试卷-3.2.1双曲线及其标准方程 同步练习(Word含答案)(含答案)
3.2.1 双曲线及其标准方程（同步练习）一、选择题1.已知平面内两定点F1(－2,0)，F2(2,0)，下列条件中满足动点P的轨迹为双曲线的是( )A.|PF1|－|PF2|＝±3B.|PF1|－|PF2|＝±4C.|PF1|－|PF2|＝±5D.|PF1|2－|PF2|2＝±42.已知双曲线x2a－3＋y22－a＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于( )A.32B.5C.7D.123.已知双曲线x24－y25＝1上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为( )A.3或7B.6或14C.3D.74.已知双曲线的一个焦点为F1(0)，点P在该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的标准方程是( )A.x24－y2＝1 B.x2－y24＝1 C.x22－y23＝1 D.x23－y22＝15.已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为0)和(0)，点P 在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为( )A.x22－y23＝1 B.x23－y22＝1 C.x24－y2＝1 D.x2－y24＝16.动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是( )A.双曲线的一支B.圆C.椭圆D.双曲线7.已知P为双曲线x216－y29＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心．若S△PMF1＝S△PMF2＋8，则△MF1F2的面积为( )B.10C.8D.68.(多选)关于方程(m－1)x2＋(3－m)y2＝(m－1)·(3－m)，m∈R所表示的曲线C 的形状，下列说法正确的是( )A.∀m∈(1,3)，曲线C为一个椭圆B.∀m∈(－∞，1)∪(3，＋∞)，曲线C 是双曲线C.∀m∈R，曲线C一定不是直线D.∃m∈(1,3)使曲线C不是椭圆二、填空题9.若曲线C ：mx 2＋(2－m)y 2＝1是焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围为________10.已知双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，线段AB 的长为5.若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是________11.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左、右焦点，且双曲线过C ，D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为________12.已知双曲线C ：x 2－y 23＝1的左焦点为F 1，点，P 是双曲线C 右支上的动点，则|PF 1|＋|PQ|的最小值等于________13.△ABC 中，A(－5,0)，B(5,0)，点C 在双曲线x 216－y 29＝1上，则sin A －sin Bsin C＝________三、解答题14.已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值，分别指出方程所表示的曲线类型．15.设声速为k 米/秒，在相距10k 米的A 、B 两哨所，听到炮弹爆炸声的时间差为6秒，求炮弹爆炸点所在曲线的方程．16.已知△ABC 的一边的两个顶点B(－a,0)，C(a,0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m ≠0)．求顶点A 的轨迹方程，并且根据m 的取值情况讨论轨迹的图形．参考答案：一、选择题1.A2.D3.A4.B5.C6.A7.B8.BD二、填空题9.答案：(2，＋∞) 10.答案：26 11.答案：x 2－y 23＝1 12.答案：6 13.答案：±45 三、解答题14.解:(1)当k ＝0时，y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线；(2)当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k ＜0时，方程为y 24－x 2－4k＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线；(4)当0＜k ＜1时，方程为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k ＞1时，方程为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．15.解：以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系．设炮弹爆炸点的轨迹上的点P 的坐标为(x ，y)，则||PA|－|PB||＝6a<10a，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，且2a＝6k,2c＝10k，从而a＝3k，c＝5k，b2＝c2－a2＝16k2. 所以炮弹爆炸点的轨迹方程为x29k2－y216k2＝1.16.解：设顶点A的坐标为(x，y)，则k AB＝yx＋a，k AC＝yx－a.由题意，得yx＋a·yx－a＝m，即x2a2－y2ma2＝1(y≠0)．当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)；当m<0且m≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，其中当－1<m<0时，椭圆焦点在x轴上；当m<－1时，椭圆焦点在y轴上；当m＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a的圆(除去与x轴的两个交点)．。
双曲线练习题
双曲线练习题一、选择题1. 下列关于双曲线的方程中，正确的是（）A. x^2 y^2 = 1B. x^2 + y^2 = 1C. y^2 x^2 = 1D. x^2 y^2 = 02. 双曲线的标准方程为 x^2/a^2 y^2/b^2 = 1（a>0，b>0），则其渐近线方程为（）A. y = ±(a/b)xB. y = ±(b/a)xC. x = ±(a/b)yD. x = ±(b/a)y3. 双曲线的离心率e满足（）A. 0 < e < 1B. e = 1C. e > 1D. e ≤ 14. 下列关于双曲线的焦点坐标，正确的是（）A. (±c, 0)B. (0, ±c)C. (±a, 0)D. (0, ±a)二、填空题1. 双曲线的标准方程为 x^2/a^2 y^2/b^2 = 1，则其焦点到中心的距离是 _______。
2. 已知双曲线的一个焦点为(4, 0)，实轴长为6，则双曲线的方程为 _______。
3. 双曲线的离心率为2，实轴长为4，则双曲线的虚轴长为_______。
三、解答题1. 已知双曲线方程为 x^2/9 y^2/16 = 1，求：（1）焦点坐标；（2）实轴长；（3）渐近线方程。
2. 设双曲线的方程为 y^2 x^2/4 = 1，求：（1）离心率；（2）焦点坐标；（3）渐近线方程。
3. 已知双曲线的两个焦点分别为(±5, 0)，且离心率为2，求双曲线的标准方程。
4. 已知双曲线的实轴长为8，虚轴长为6，求双曲线的离心率。
5. 设双曲线的方程为 x^2/25 y^2/9 = 1，求：（1）焦点坐标；（2）离心率；（3）渐近线方程。
四、计算题1. 已知双曲线的一个焦点为(2, 0)，且经过点P(4, 3)，求双曲线的标准方程。
2. 设双曲线的方程为 4x^2 9y^2 = 36，求该双曲线与直线 y = (2/3)x + 1 的交点。
高二数学双曲线几何性质同步练习(含答案)
高二数学双曲线几何性质同步练习(含答案 )双曲线方程的观察是圆锥曲线的要点知识点，以下是双曲线几何性质同步练习，请大家认真练习。
1.动点与点与点知足，则点的轨迹方程为______________2.假如双曲线的渐近线方程为，则离心率为____________3.过原点的直线与双曲线有两个交点，则直线的斜率的取值范围为 _____________4.已知双曲线的离心率为，则的范围为____________________5.已知椭圆和双曲线有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程为 _____6.已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上且，且的面积为 1，则双曲线的方程为__________________7.若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，其离心率为.8.双曲线的两条渐近线相互垂直，则双曲线的离心率为.9.设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，若，则的值为.10.若双曲线的两个焦点分别为，且经过点，则双曲线的标准方程为 .11.若椭圆和双曲线有同样的焦点，点是两条曲线的一个交点，则的值为.12.是双曲线左支上的一点，为其左、右焦点，且焦距为，则的内切圆圆心的横坐标为 .13.过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线- =1 的通径的长是 _______________ 14.双曲线 16x2-9y2=144 上一点 P(x0,y0)(x00 ) 到左焦点距离为 4，则 x0= .15.已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线上一点，若且，求双曲线的方程.16.如图，某农场在处有一堆肥料沿道路或送到大田中去，已知，，且，，可否在大田中确立一条界限，使位于界限一侧沿送肥料较近 ?若能，请成立适合坐标系求出这条界限方程 .17.试求以椭圆+ =1 的右焦点为圆心，且与双曲线- =1 的渐近线相切的圆方程.参照答案1.2. 或 3.4.5. 6. 7. 8. 9. 7 10.11. 12. 13. 14.15。
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双曲线基础训练题（一）1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ D ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线2．方程11122=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（D ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3． 双曲线14122222=--+m y m x 的焦距是（ C ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与m 有关4．已知m,n 为两个不相等的非零实数，则方程m x －y+n=0与n x 2+my 2=mn 所表示的 曲线可能是 （ C ）5．焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ B ）A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x6．若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线12222=-by a x 有 （ D ）A ．相同的虚轴B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ． 相同的焦点7．过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（ A ）A ．28B ．22C ．14D ．128．双曲线方程为152||22=-+-ky k x ，那么k 的取值范围是 （ D ）A ．k ＞5B ．2＜k ＜5C ．－2＜k ＜2D ．－2＜k ＜2或k ＞59．双曲线的渐近线方程是y=±2x ，那么双曲线方程是（ D ）A ．x 2－4y 2=1 B ．x 2－4y 2＝1 C ．4x 2－y 2=－1 D ．4x 2－y 2=110．设P 是双曲线19222=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF（C ）A ．1或5B ． 6C ． 7D ． 911．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则双曲线的离心率e 的最大值为 （ B ）A ．43B ．53C ．2D ．7312．设c 、e 分别是双曲线的半焦距和离心率，则双曲线12222=-by a x (a>0, b>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离是 （ D ）A ．caB ．c bC ．ea D ．eb 13．双曲线)1(122>=-n y nx 的两焦点为F 1，F 2，P 在双曲线上，且满足|PF 1|+|PF 2|=,22+n 则△PF 1F 2的面积为 （ B ）A ．21 B ．1 C ．2 D ．414．二次曲线1422=+my x ，]1,2[--∈m 时，该曲线的离心率e 的取值范围是（ C ）A ．]23,22[B ．]25,23[C ．]26,25[D ．]26,23[15．直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =_____6416．设双曲线12222=-by a x 的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应的焦点为F ，若以AB 为直径的圆恰好过F17．双曲线122=-by ax 的离心率为5，则a :b= 4或4118．求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．（12分）[解析]：设双曲线方程为：λ=-22169y x ，∵双曲线有一个焦点为（4，0），0>∴λ双曲线方程化为：2548161691169222=⇒=+⇒=-λλλλλy x ，∴双曲线方程为：1251442525622=-y x ∴455164==e ．19．(本题12分)已知双曲线12222=-by a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.23求双曲线的方程； [解析]∵（1）,332=a c 原点到直线AB ：1=-by a x 的距离.3,1.2322==∴==+=a b c ab b a ab d .故所求双曲线方程为 .1322=-y x双曲线基础练习题（二）一. 选择题1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0),(4,0)-，则双曲线的方程是A. 221412x y -=B. 221124x y -= C. 221106x y -= D. 221610x y -=2.设椭圆1C 的离心率为513，焦点在x 上，长轴长为26，若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点距离差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程是A. 2222143x y -=B. 22221135x y -=C. 2222134x y -= D. 222211312x y -=3. 已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率等于A ．53B ．43C ．54D ．324. 已知双曲线22112x y n n+=-，则n = A.2- B .4 C.6 D.8-5.设1F 、2F 是双曲线22221x y a b-=的两个焦点,若1F 、2F 、(0,2)P b 是正三角形的三个顶点，那么其离心率是A.32 B. 52C. 2D. 3 6．已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线距离之比等于A C. 2 D.4 7．如果双曲线22142x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 的距离是A.B. C. D. 8.设12F F ，是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点,若其右支上存在一点P 使得1290F PF ∠=o,且12PF =,则e =A.B. 1C.D . 19. 若双曲线22221x y a b-=的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2，则双曲线的离心率是A ．3B ．5C D10. 设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=o ，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为A ．221+ B ．231+ C ．21+D ．31+11. 双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30o的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为 ABCD ．312. 设1,a >则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是A ．B ．C ．(25)，D ．(213．已知双曲线()222102x y b b-=>的左、右焦点分别为1F 、2F ，它的一条渐近线方程为y x =，点0)P y 在该双曲线上，则12PF PF =u u u r u u u u rgA ．12-B ．2-C ．0D ．414．双曲线22221x y a b-=的两个焦点为1F 、2F ，若P 为其上一点，且122PF PF =，则离心率e 的取值范围是A ．(1)，3B ．(1，3]C ．(3)∞，+D ．)+[3，∞15．设P 为双曲线22112y x -=上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，若1PF ：2PF =3：2，则12PF F ∆的面积为A ．B ．12C ．D ．2416．设1F 、2F 是双曲线2219y x -=的左、右焦点，P 为该双曲线上一点，且120PF PF =u u u r u u u u r g ，则12PF PF +=u u u r u u u u rA ．B ．CD ．二．填空题17．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程是y x =，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为18．以1(60)F -，，2(60)F ，为焦点,离心率2e =的双曲线的方程是19．中心在原点,一个焦点是1(30)F -，20y ±=的双曲线的方程为20．过点(20)N ，且与圆2240x y x ++=外切的动圆圆心的轨迹方程是21．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 22． 已知双曲线22291(0)ym x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m =23．已知双曲线2221(2x y a a -=>的两条渐近的夹角为3π，则双曲线的离心率为24．已知双曲线22221x y a b -=的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，OAF ∆的面积为22a ，（O 为坐标原点），则该双曲线的两条渐近线的夹角为25．过双曲线22143x y -=左焦点1F 的直线交双曲线的左支于M N ，两点，2F 为其右焦点，则22MF NF MN+-=26． 若双曲线22221x y a b-=的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则e 取值范围是27．.P是曲线22221x y a b-=的右支上一点,F为其右焦点,M 是右准线:x l 与x 轴的交点,若60,PMF ∠=o 45PFM ∠=o ,则双曲线方程是28．过双曲线221916x y -=的右焦点F 且平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B, A 为右顶点，则FAB ∆的面积等于 三．解答题29.分别求满足下列条件的双曲线方程（1）中心在原点，一条准线方程是x=，离心率e =（2）中心在原点，离心率e =30.已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的两个焦点为1(20)F -，，2(20)F ，，点(3P 在双曲线C 上．⑴求双曲线C 的方程； ⑵记O 为坐标原点，过点(02)Q ，的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E F ，，若OEF =△S l 方程．双曲线练习题答案（二）一．选择题1．A 2. A3.A4. B 5. C6．C7．A8D9. D10. B11. B12. B13．C14．B15．B16B 二．填空题17．223144x y-=18．221927x y-=19．22145x y-=20．()22113yx x-=≥21．322．423．324．2π25．826．(11⎤⎦27．2211260x y-=28．3215二．解答题29.分别求满足下列条件的双曲线方程（1）中心在原点，一条准线方程是5x=，离心率e=2214yx-=（2）中心在原点，离心率2e=顶点到渐近线的距离为5；2214xy-=30. 已知双曲线22221(00)x yC a ba b-=>>：，的两个焦点为1(20)F-，，2(20)F，，点(3P在双曲线C上．⑴求双曲线C的方程；⑵记O为坐标原点，过点(02)Q，的直线l与双曲线C相交于不同的两点E F，，若OEF=△S l方程．⑴解略：双曲线方程为22122x y-=．⑵解：直线:l2y kx=+，代入双曲线C的方程并整理，得22(1)460k x kx---=. ①Q直线l与双曲线C相交于不同的两点E F，，222110(4)46(1)0kkkk k≠±⎧⎧-≠⎪⎪∴⇔⎨⎨<<∆=-+⨯->⎪⎪⎩⎩，，，,(1)(11)(1k∴∈--U U，.②设1122()()E x yF x y，，，，则由①式得12241kx xk+=-，12261x xk=--，EF ∴21k -而原点O 到直线l 的距离d =1122OEFS d EF ∴=⋅==△．若OEFS =△，即422201k k k=⇔--=-，解得k =此满足②故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为2y =+和2y =+双曲线基础练习题（三）一、选择题（每题5分）1．已知a=3,c=5，并且焦点在x 轴上，则双曲线的标准程是（ ）A ．116922=+y x B. 116922=-y x C. 116922=+-y x 1916.22=-y x D 2．已知,5,4==c b 并且焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程是（ ）A ．191622=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D.116922=-y x 3．.双曲线191622=-y x 上P 点到左焦点的距离是6，则P 到右焦点的距离是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 184．.双曲线191622=-y x 的焦点坐标是 （ ） A. （5，0）、（-5，0）B. （0，5）、（0，-5） C. （0，5）、（5，0） D.（0，-5）、（-5，0） 5、方程6)5()5(2222=++-+-y x y x 化简得：A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 6．已知实轴长是6，焦距是10的双曲线的标准方程是（ ）A ．.116922=-y x 和116922=+-y x B. 116922=-y x 和191622=+-y x C.191622=-y x 和191622=+-y x D. 1162522=-y x 和1251622=+-y x 7．过点A （1，0）和B （)1,2的双曲线标准方程（ ）A ．1222=-y x B ．122=+-y x C ．122=-y x D. 1222=+-y x8．P 为双曲线191622=-y x 上一点，A 、B 为双曲线的左右焦点，且AP 垂直PB ，则三角形PAB 的面积为（ ） A ． 9 B ． 18 C ． 24 D ． 369．双曲线191622=-y x 的顶点坐标是 （ ） A ．（4，0）、（-4，0） B ．（0，-4）、（0，4）C ．（0，3）、（0，-3） D ．（3，0）、（-3，0）10．已知双曲线21==e a ，且焦点在x 轴上，则双曲线的标准方程是（ ）A ．1222=-y x B ．122=-y x C ．122=+-y x D. 1222=+-y x11．双曲线191622=-y x 的的渐近线方程是（ ） A ． 034=±y x B ．043=±y x C ．0169=±y x D ．0916=±y x 12．已知双曲线的渐近线为043=±y x ，且焦距为10，则双曲线标准方程是（ ）A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 二、填空题（每题5分共20分）13．已知双曲线虚轴长10，焦距是16，则双曲线的标准方程是________________. 14．已知双曲线焦距是12，离心率等于2，则双曲线的标准方程是___________________.15．已知16522=++-t y t x 表示焦点在y 轴的双曲线的标准方程，t 的取值范围是___________.16.椭圆C 以双曲线122=-y x 焦点为顶点，且以双曲线的顶点作为焦点，则椭圆的标准方程是___________________三、解答题17．（本小题（10分）已知双曲线C ：191622=+-y x ，写出双曲线的实轴顶点坐标，虚轴顶点坐标，焦点坐标，准线方程，渐近线方程。
数学：第二章 2.3.1《双曲线的标准方程》同步训练(苏教版选修1-1)
第二章 2.3.1《双曲线的标准方程》同步训练1．(2011年高考安徽卷改编)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是________．解析：∵2x 2－y 2＝8，∴x 24－y 28＝1，∴a ＝2，∴2a ＝4. 答案：42．已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C .给出以下四个判断：①当1<t <4时，曲线C 表示椭圆 ②当t >4或t <1时，曲线C 表示双曲线 ③若曲线C表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52④若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则t >4，其中判断正确的是________(只填正确命题的序号)．解析：①错误，当t ＝52时，曲线C 表示圆；②正确，若C 为双曲线，则(4－t )(t －1)<0，∴t <1或t >4；③正确，若C 为焦点在x 轴上的椭圆，则4－t >t －1>0，∴1<t <52；④正确，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧4－t <0t －1>0，∴t >4.答案：②③④3．双曲线9x 2－16y 2＝－1的焦点坐标为________．解析：双曲线方程可化为y 2116－x 219＝1，∴c ＝a 2＋b 2＝116＋19＝512.∴两焦点为(0，－512)和(0，512)．答案：(0，－512)和(0，512)4．与椭圆x24＋y 2＝1共焦点，且过点Q (2,1)的双曲线方程是________．解析：由椭圆方程得焦点为F 1(－3，0)和F 2(3，0)，故设双曲线方程为x 2a 2－y 23－a 2＝1，将Q (2,1)坐标代入得4a 2－13－a2＝1，∴a 4－8a 2＋12＝0.∴a 2＝2或a 2＝6>c 2(舍去)．故所求方程为x22－y 2＝1.答案：x 22－y 2＝1一、填空题1．过双曲线x 216－y 29＝1的左焦点F 1的直线l 交双曲线于A ，B 两点，且A ，B 两点在y轴的左侧，F 2为右焦点，|AB |＝10，则△ABF 2的周长为________．解析：∵A ，B 两点在双曲线的左支上，∴|AF 2|－|AF 1|＝8，|BF 2|－|BF 1|＝8.又∵|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝10，∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋10＝26.∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝26＋10＝36.答案：362．已知双曲线x 2－4y 2＝4上任意一点P 到双曲线的一个焦点的距离等于6，那么点P 到另一个焦点的距离等于________．解析：设点P 到另一个焦点的距离为d ，由双曲线的定义得|d －6|＝2×2＝4，即d ＝10或2.答案：10或23．焦点在坐标轴上，中心在原点，且经过点P (27，3)和Q (－7，－62)的双曲线方程是________．解析：设双曲线的方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，把P 、Q 两点的坐标代入，得⎩⎨⎧m ·(27)2－n ·32＝1m (－7)2－n ·(－62)2＝1，解得⎩⎨⎧m ＝125n ＝175. 答案：x 225－y 275＝14．若椭圆x 24＋y 2m ＝1与双曲线x 2m －y 22＝1有相同焦点，则实数m 的值为________．解析：由已知0<m <4，且4－m ＝m ＋2，∴m ＝1. 答案：15．已知点F 1(－2，0)、F 2(2，0)，动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2.当点P 的纵坐标是12时，点P 到坐标原点的距离是________．解析：因为动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2为定值，又2<22，所以P 点的轨迹为双曲线的一支，因为2a ＝2，所以a ＝1，又因为c ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝1，所以P 点轨迹为x 2－y 2＝1的一支，当y ＝12时，x 2＝1＋y 2＝54，则P 点到原点的距离为|PO |＝x 2＋y 2＝ 54＋14＝62. 答案：626．椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)与双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)有相同的焦点F 1，F 2，且P 是这两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|等于________．解析：由椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，① 由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a .② 由①2减去②2的差再除以4得|PF 1|·|PF 2|＝m －a .答案：m －a7．曲线x 210－m ＋y 26－m ＝1(m <6)与曲线x 25－n ＋y 29－n＝1(5<n <9)的________相等．解析：曲线x 210－m ＋y 26－m ＝1(m <6)为椭圆方程，焦点在x 轴上，c 2＝(10－m )－(6－m )＝4；曲线x 25－n ＋y 29－n ＝1(5<n <9)为双曲线方程，焦点在y 轴上，c 2＝(9－n )＋(n －5)＝4.答案：焦距8．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．解析：A 点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F ′(4,0)，于是由双曲线性质|PF |－|PF ′|＝2a ＝4，而|P A |＋|PF ′|≥|AF ′|＝5，两式相加得|PF |＋|P A |≥9，当且仅当A 、P 、F ′三点共线时等号成立．答案：9 二、解答题9．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a ＝4，且经过点A (1，4103)；(2)焦点在y 轴上，且过点(3，－42)，(94，5)．解：(1)若设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则将a ＝4代入，得x 216－y2b 2＝1.又∵点A (1，4103)在双曲线上，∴116－1609b2＝1. 由此得b 2<0，∴不合题意，舍去．若设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则将a ＝4代入得y 216－x 2b2＝1，代入点A (1，4103)，得b 2＝9， ∴双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.(2)设所求双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．∵点(3，－42)，(94，5)在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋32n ＝1，8116m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－19，n ＝116.∴双曲线标准方程为y 216－x 29＝1.10．一动圆与两定圆⊙A ：(x ＋5)2＋y 2＝49，⊙B ：(x －5)2＋y 2＝1都外切，求动圆圆心P 的轨迹方程．解：如图所示，设动圆的半径为r ， 则|P A |＝r ＋7，|PB |＝1＋r ， ∴|P A |－|PB |＝6.又A ，B 为定点，且6<10，则由双曲线的定义知点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支．设动圆圆心P 的轨迹方程为x 2a 2－y 2b2＝1(x ≥a )．∵A (－5,0)，B (5,0)， ∴|AB |＝10＝2c . ∴c ＝5，即c 2＝25.又∵2a ＝6，∴a ＝3，即a 2＝9， ∴b 2＝c 2－a 2＝16.∴动圆圆心P 的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．11．在△ABC 中，|AB |＝42，且三内角A 、B 、C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ．建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解：如图，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则A (－22，0)、B (22，0)．由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c2.从而有CA －CB ＝12AB ＝22<AB .由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支． ∵a ＝2，c ＝22， ∴b 2＝c 2－a 2＝6.∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．。
人教A版高二数学选择性必修第一册3.2.2双曲线第二课时同步练习(含详细解析)
人教A版高二数学选择性必修第一册3.2.2双曲线第二课时同步练习(原卷版)思维导图常见考法考点一双曲线的离心率【例1】（2020·云南省下关第一中学高二月考）若实数数列：1，a ，81成等比数列，则圆锥曲线221yx a+=的离心率是（）A 10或223B 363C ．233D ．13或10常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．【一隅三反】1．（2020·江苏南京）在平面直角坐标系xOy 中，若点P (30)到双曲线C ：22219x y a -=的一条渐近线的距离为6，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．4C 2D ．32．（2020·贵州省思南中学高二期末（理））已知1F 、2F 为双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，点P 为双曲线C 右支上一点，212||||PF F F =，1230PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为（）A 2B 21+C ．312+D ．31+3．（2020·全国）已知1F ，2F 为双曲线22122:1x y C a b-=的焦点，P 为222x y c +=与双由线1C 的交点，且有121tan 4PF F ∠=，则该双曲线的离心率为（）A ．5B ．62C ．3D ．4．（2020·沙坪坝.重庆八中高二月考）若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点(1,2)-，则该双曲线的离心率为（）A B C D ．2考点二直线与双曲线的位置关系【例2】已知双曲线x 2－y 24＝1，问当直线l 的斜率k 为何值时，过点P (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点．【一隅三反】1．（2018·福建高二期末（理））若直线y kx 2=+与双曲线22x y 6-=的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是()A ．1515,33⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．150,3⎛⎫⎪⎝⎭C ．,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．,13⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭2．（2020·天水市第一中学高二月考（理））直线l ：1y kx =+与双曲线C ：222x y -=的右支交于不同的两点，则斜率k 的取值范围是（）A ．(B ．(11)-，C ．(1)-D ．(1)(1-⋃3．（2020·四川资阳）直线l ：kx －y －2k ＝0与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，则实数k 的值为A ．－1或1B ．－1C ．1D ．1，－1，04．（2020·宁波市北仑中学高一期中）过双曲线2x 2－y 2＝2的右焦点作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线l 的条数为()A ．1B ．2C ．3D ．4考点三弦长【例3】（2019·全国高三课时练习）过双曲线22136x y -=的右焦点F 2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，F 1为左焦点．(1)求|AB |；(2)求△AOB 的面积．【一隅三反】1．（2020·全国）已知直线y＝kx＋1与双曲线2214yx-=交于A，B两点，且|AB|＝82，则实数k的值为()A．7B．3或±41 3C．3D．±41 32．（2018·全国高二课时练习）求双曲线2214yx-=被直线1y x=+截得的弦长.3．（2020·邢台市第八中学高二期末）已知双曲线C：22221(0,0)x y a ba b-=>>3，点(3,0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求AB.4．（2020·宾县第二中学高二期末（文））已知曲线22:1C x y -=及直线:1l y kx =-．（1）若l 与C 左支交于两个不同的交点，求实数k 的取值范围；（2）若l 与C 交于A B 、两点，O 是坐标原点，且AOB ∆，求实数k 的值．考点四点差法【例4】（1）（2020·黑龙江南岗）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，斜率为2的直线与双曲线C 相交于点A 、B ，且弦AB 中点坐标为()1,1，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B CD ．3（2）（2020·河南南阳.高二其他（文））直线l 经过()4,2P 且与双曲线2212x y -=交于M ，N 两点，如果点P 是线段MN 的中点，那么直线l 的方程为（）A ．20x y --=B ．60x y +-=C ．2320x y --=D ．不存在（3）（2019·黑龙江大庆四中高二月考（理））已知双曲线2212x y -=与不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 相交于,M N 两点，线段MN 的中点为P ，设直线l 的斜率为1k ，直线OP 的斜率为2k ，则12k k =A ．12B ．12-C ．2D ．2-【一隅三反】1．（2020·青海西宁）已知倾斜角为π4的直线与双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）相交于A ，B 两点，(4,2)M 是弦AB 的中点，则双曲线的离心率为（）A B C ．32D ．622．（2020·湖北武汉）已知,A B 分别为双曲线22:13y x Γ-=实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F作直线PQ 交双曲线于,P Q 两点（点,P Q 异于,A B ），则直线,AP BQ 的斜率之比:AP BQ k k =（）A ．13-B ．3-C ．23-D ．32-3．（2019·会泽县第一中学校高二月考（理））点(81)P ，平分双曲线2244x y -=的一条弦，则这条弦所在直线的方程是__________．人教A版高二数学选择性必修第一册3.2.2双曲线第二课时同步练习(解析版)思维导图常见考法考点一双曲线的离心率【例1】（2020·云南省下关第一中学高二月考）若实数数列：1，a ，81成等比数列，则圆锥曲线221yx a+=的离心率是（）A 10或223B 363C ．233D ．13或10【答案】A【解析】由1，a ，81成等比数列有：281a =，所以9a =±，当9a =时，方程为2219y x +=，表示焦点在y 轴的椭圆，其中13a =，19122c =-=，故离心率11223c e a ==；当9a =-时，方程为2219y x -=，表示焦点在x 轴的双曲线，其中21a =，21910c =+=，故离心率2210c e a ==,故选择A .常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．【一隅三反】1．（2020·江苏南京）在平面直角坐标系xOy 中，若点P (30)到双曲线C ：22219x y a -=的一条渐近线的距离为6，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．4C D ．【答案】A【解析】双曲线C ：22219x y a -=的一条渐近线为30x ay -=6=，解得a =2c e a ===.故选：A.2．（2020·贵州省思南中学高二期末（理））已知1F 、2F 为双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，点P 为双曲线C 右支上一点，212||||PF F F =，1230PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为（）A B 1+C ．12+D ．1+【答案】C【解析】根据题意作图如下：设1222F F PF c ==.∵1230PF F ∠=∴1PF =∵由双曲线焦半径公式知1P PF ex a =+=，22P PF ex a c =-=∴22a c =-∴12c e a ===故选C.3．（2020·全国）已知1F ，2F 为双曲线22122:1x y C a b-=的焦点，P 为222x y c +=与双由线1C 的交点，且有121tan 4PF F ∠=，则该双曲线的离心率为（）A ．5B ．62C ．3D ．【答案】C【解析】由题意知1290F PF ∠=︒，在12Rt F PF 中，121tan 4PF F ∠=，可设2PF m =，则14PF m =，由勾股定理得，122F F c ==，又由122PF PF a -=得23a m =，所以3c e a ==.故选：C4．（2020·沙坪坝.重庆八中高二月考）若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点(1,2)-，则该双曲线的离心率为（）A B ．2C D ．2【答案】C 【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点(1,2)-，∴点(1,2)-在直线by x a=-上，∴2ba=．则该双曲线的离心率为e ==故选：C ．考点二直线与双曲线的位置关系【例2】已知双曲线x 2－y 24＝1，问当直线l 的斜率k 为何值时，过点P (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点．【答案】见解析【解析】①当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x ＝1与双曲线相切，符合题意．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)＋1，代入双曲线方程，得(4－k 2)x 2－(2k －2k 2)x －k 2＋2k －5＝0.当4－k 2＝0，即k ＝±2时，直线l 与双曲线的渐近线平行，直线l 与双曲线只有一个公共点．当4－k 2≠0时，令Δ＝0，得k ＝52.综上可知，当k ＝52或k ＝±2或直线l 的斜率不存在时，过点P 的直线l与双曲线都只有一个公共点．【一隅三反】1．（2018·福建高二期末（理））若直线y kx 2=+与双曲线22x y 6-=的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是()A ．1515,33⎛⎫-⎪⎝⎭B ．150,3⎛⎫⎪⎝⎭C．,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D．,13⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】把y ＝kx ＋2代入x 2－y 2＝6，得x 2－(kx ＋2)2＝6，化简得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0，由题意知2121210000k x x x x ⎧-≠⎪∆>⎪⎪+>⎨⎪⋅>⎪⎪⎩，，，即()22221640104011001k k k k k ⎧+->⎪⎪⎪>⎨-⎪-⎪>⎪-⎩，，，解得3-＜k ＜－1.答案：D.2．（2020·天水市第一中学高二月考（理））直线l ：1y kx =+与双曲线C ：222x y -=的右支交于不同的两点，则斜率k 的取值范围是（）A．(B ．(11)-，C．(1)-D．(1)(1-⋃【答案】C【解析】由2221x y y kx ⎧-=⎨=+⎩可得，()221230k x kx ---=，因为直线:1l y kx =+与双曲线22:2C x y -=交于不同的两点，所以，()222241210201301k k k k k⎧+->⎪⎪⎪>⎨-⎪-⎪>⎪-⎩解得12k -<<-，所以斜率k的取值范围是12⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，故选C.3．（2020·四川资阳）直线l ：kx －y －2k ＝0与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，则实数k 的值为A ．－1或1B ．－1C ．1D ．1，－1，0【答案】A【解析】因为直线l ：kx －y －2k ＝0过定点(2,0),而直线l ：kx －y －2k ＝0与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，所以直线l ：kx －y －2k ＝0与双曲线渐近线平行，即实数k 的值为－1或1，选A .4．（2020·宁波市北仑中学高一期中）过双曲线2x 2－y 2＝2的右焦点作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线l 的条数为()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y 当直线l 与x 轴垂直时，AB 4=，满足题意当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l：(y k x =-，联立直线与双曲线方程得：(2222y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩，整理得：2222(2)320k xx k -+--=，所以2122322k x x k +=-，2122232x x k +=-，又AB =4=，解得：2k =±，综上：满足这样的直线l 的条数为3条考点三弦长【例3】（2019·全国高三课时练习）过双曲线22136x y -=的右焦点F 2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，F 1为左焦点．(1)求|AB |；(2)求△AOB 的面积．【答案】（1（2.【解析】(1)由双曲线的方程得a b ==3c ==，F 1(－3，0)，F 2(3，0)．直线AB的方程为(3)3y x =-．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由223(3)3136y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去y 得5x 2＋6x －27＝0.∴1265x x +=-，12275x x ⋅=-.∴AB ===(2)直线AB30y --=.∴原点O 到直线AB的距离为32d ==.∴113||222AOB S AB d =⋅==V 【一隅三反】1．（2020·全国）已知直线y ＝kx ＋1与双曲线2214y x -=交于A ，B 两点，且|AB|＝8，则实数k 的值为()A ．B ．或±413C ．D ．±413【答案】B【解析】由直线与双曲线交于,A B 两点，得2k ≠±，将1y kx =+代入2214y x -=得22(4)250k x kx ---=，则2244(4)50k k ∆=+-⨯>，即25k <.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12224k x x k +=-，12254x x k =--.∴AB ==∴k =或3k =±.故选B.2．（2018·全国高二课时练习）求双曲线2214y x -=被直线1y x =+截得的弦长.【解析】由22141y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，得()224140x x -+-=，即23250x x --=．（*）设方程（*）的解为1x，2x，则有122 3x x+=，125 3x x=-，故12d x=-===．3．（2020·邢台市第八中学高二期末）已知双曲线C：22221(0,0)x y a ba b-=>>，点是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求AB.【答案】(1)22136x y-=；(2)5【解析】(1)因为双曲线C：22221(0,0)x y a ba b-=>>，点是双曲线的一个顶点，所以caa⎧=⎪⎨⎪=⎩解得3,c b==22136x y-=(2)双曲线22136x y-=的右焦点为2(3,0)F所以经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为3(3)3y x=-．联立()2213633x yy x⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得256270x x+-=.设()()1122,,,A x yB x y，则1212627,55x x x x+=-=-.所以1635AB==.4．（2020·宾县第二中学高二期末（文））已知曲线22:1C x y-=及直线:1l y kx=-．（1）若l与C左支交于两个不同的交点，求实数k的取值范围；（2）若l与C交于A B、两点，O是坐标原点，且AOB∆，求实数k的值．【答案】（1）()1-；（2）0k =或2k =±【解析】（1）由2211x y y kx ⎧-=⎨=-⎩消去y ，得()221220k x kx -+-=．∵l 与C 左支交于两个不同的交点∴()222104810k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+->⎪⎩且121222220,011k x x x x k k +=-=---∴k的取值范围为()1-（2）设()()1122,,A x y B x y 、，由（1）得12122222,11k x x x x k k+=-=---．又l 过点()0,1D -，∴1212OAB S x x ∆=-=．∴()(2212x x -=，即22228811k k k⎛⎫-+= ⎪--⎝⎭．∴0k =或2k =±．考点四点差法【例4】（1）（2020·黑龙江南岗）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，斜率为2的直线与双曲线C 相交于点A 、B ，且弦AB 中点坐标为()1,1，则双曲线C 的离心率为（）A ．2BCD ．3（2）（2020·河南南阳.高二其他（文））直线l 经过()4,2P 且与双曲线2212x y -=交于M ，N 两点，如果点P 是线段MN 的中点，那么直线l 的方程为（）A ．20x y --=B ．60x y +-=C ．2320x y --=D ．不存在（3）（2019·黑龙江大庆四中高二月考（理））已知双曲线2212x y -=与不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 相交于,M N 两点，线段MN 的中点为P ，设直线l 的斜率为1k ，直线OP 的斜率为2k ，则12k k =A ．12B ．12-C ．2D ．2-【答案】（1）B （2）A （3）A【解析】（1）设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则2211221x y a b -=，2222221x y a b -=，所以2222121222x x y y a b--=，所以2121221212y y x x b x x a y x -+=⨯-+，又弦AB 中点坐标为()1,1，所以122x x +=，122y y +=，又12122y y x x --=，所以22222b a =⨯，即222b a =，所以双曲线的离心率c e a ====故选：B.（2）当斜率不存在时，显然不符合题意；当斜率存在时，设()11,M x y ，()22,N x y ，因为点P 是线段MN 的中点，所以128x x +=，124y y +=，代入双曲线方程得221122221212x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得()222212122x x y y -=-，则()1212121212y y x xk x x y y -+===-+，又直线过点P ，所以直线方程为2y x =-，联立22122x y y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得到28100x x -+=，经检验>0∆，方程有解，所以直线2y x =-满足题意.故选：A（3）设直线l 的方程为1y k x b =+，代入双曲线方程2212x y -=得到2221112102k x bk x b ⎛⎫----= ⎪⎝⎭，得到11221212k bx x k +=-设()()111212,,,M x k x b N x k x b ++，则()11212,22k x x x x N b ⎛⎫+++⎪⎝⎭则21121212b k k x x k =+=+，故1212k k ⋅=，故选A ．【一隅三反】1．（2020·青海西宁）已知倾斜角为π4的直线与双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）相交于A ，B 两点，(4,2)M 是弦AB 的中点，则双曲线的离心率为（）A 6B 3C ．32D ．62【答案】D【解析】因为倾斜角为π4的直线与双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）相交于A ，B 两点，所以直线的斜率tan14πk ==，设()()1122,,,A x y B x y ，则2211221x y a b-=①2222221x y a b-=②由①-②得()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=则2121221212y y b x x k x x a y y -+==⋅-+因为(4,2)M 是弦AB 的中点，12128,4x x y y ∴+=+=因为直线的斜率为122814b a ∴=⋅即222211,22b b a a ==所以2222112c a b a ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭232e ∴=，则2e =，故选：D2．（2020·湖北武汉）已知,A B 分别为双曲线22:13y x Γ-=实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F作直线PQ 交双曲线于,P Q 两点（点,P Q 异于,A B ），则直线,AP BQ 的斜率之比:AP BQ k k =（）A ．13-B ．3-C ．23-D ．32-【答案】B【解析】由已知得双曲线:1a Γ=，b =，2c =．故(2,0)F -，(1,0)A -，(1,0)B ．设直线:2PQ x my =-，且1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ．由22213x my y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去x 整理得22(31)1290m y my --+=，∴121222129,3131m y y y y m m +==--，两式相比得121234y y m y y +=⨯①，121212112211221(3)3:1(1)AP BQ y x y my my y y k k x y y my my y y ---∴=⨯==+--②，将①代入②得：上式12121121223()33(3)4333()4y y y y y y y y y y +--===--+-．故:3AP BQ k k =-．故选：B ．3．（2019·会泽县第一中学校高二月考（理））点(81)P ，平分双曲线2244x y -=的一条弦，则这条弦所在直线的方程是__________．【答案】2150x y --=【解析】设弦的两端点分别为1122Ax y B x y （，），（，），AB Q 的中点是121281162P x x y y ∴+=+=（，），，，把1122A x y B x y （，），（，）代入双曲线2244x y ，-=得22112222 4444x y x y ⎧-⎨-⎩＝＝，∴121212121212401680x x x x y y y y x x y y +---+=∴---=（）（）（）（），（）（），12122y y k x x -∴==-，∴这条弦所在的直线方程是2150x y ．--=故答案为2150x y ．--=．。
高中数学第二册(上)双曲线 同步练习3
双曲线 同步练习31．下列各对双曲线中，既有相同的离心率，又有相同的渐近线的是 （A ）23x ―y 2=1与y 2―23x =1 （B ）23x ―y 2=1与22193xy -= （C ）y 2―23x =1与x 2―23y （D ）23x ―y 2=1与22139y x -= 2．若共轭双曲线的离心率分别为e 1和e 2，则必有 （A ）e 1= e 2 （B ）e 1 e 2=1 （C ）1211e e +=1 （D ）221211e e +=1 3．若双曲线经过点(6,3)，且渐近线方程是y =±31x ，则这条双曲线的方程是（A ）221369x y -= （B ）221819x y -= （C ）2219x y -= （D ）221183x y -=4．双曲线的渐近线为y =±43x ，则双曲线的离心率为（A ）45 （B ）2 （C ）45或35 （D ）2155．如果双曲线221169xy -=右支上一点P 到它的右焦点的距离等于2，则P 到左准线的距离为（A ）245（B ）6910（C ）8 （D ）106．已知双曲线kx 2―2ky 2=4的一条准线是y =1，则实数k 的值是（A ）32 （B ）―32（C ）1 （D ）―17．双曲线2214xy k+=的离心率e ∈(1, 2)，则k 的取值范围是 . 8．若双曲线221169xy -=上的点M 到左准线的距离为221，则M 到右焦点距离是 . 9．双曲线的离心率e =2，则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是 .10．在双曲线2211213y x -=的一支上有不同的三点A (x 1, y 1), BC (x 3, y 3)与焦点F 间的距离成等差数列，则y 1+y 3等于 .班级 姓名 座号7. , 8. .9. .10. .11．双曲线x 2―y 2=1的左、右顶点分别为A 和B ，点P 是双曲线上不同于A , B 的任意点，求证：|∠PBA ―∠P AB |=2π.12.证明：双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值.1—6、BDCCCB 7、（-12，0）8、89.89、3：1 10、12.11、（略）12、2222.a ba b。
高中数学2.3.1 双曲线的标准方程 同步练习
2.3.1双曲线的标准方程 同步练习一、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．1. 已知方程11222=-+-k y k x 的图象是双曲线，那么k 的取值范围是 （ C ） Ａ．k ＜１ Ｂ．k ＞２Ｃ．k ＜１或k ＞２ Ｄ．１＜k ＜２2. 双曲线12222=-ay b x 的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是 ( C ) A.2 B.3 C.2 D.23 3. 点P 是以 F 1、F2为焦点的双曲线192522=-y x 上的一点，且|PF 1|=12，则|PF 2| = （ D ） A ．2 B ．22C ．4或22D ．2或224. 双曲线1322=-y x 的渐近线中，斜率较小的一条渐近线的倾斜角是 （ C ） Ａ．060 Ｂ．090Ｃ．0120 Ｄ．01505. 双曲线12222=-b y a x 的一条准线被它的两条渐近线所截得线段长度恰好为它的一个焦点到一条渐近线的距离，则该双曲线的离心率是 （ B ）A ．3B ．2C ．3D ．2二、填写题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．6. 若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________.7. 设F 1、F 2是双曲线1162522=-y x 的焦点，直线l 过F 1，且与双曲线的同一支交于A 、B 两点，已知｜AB ｜＝8,则△ABF 2的周长为 ．8. 若方程14922=---ky k x 表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数k 的取值范围是 ， 其焦点坐标是 ．三、解答题：本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. 已知双曲线C 1与椭圆C 2：1364922=+y x 有公共的焦点，且双曲线C 1经过点M(－4,372)，试求双曲线C 1的方程．10. 已知双曲线3x 2－5y 2＝75，焦点为F 1、F 2，P 是双曲线上的一点，且∠F 1PF 2＝120°，试求△PF 1F 2的面积．11. 某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴（即双曲线的虚轴）旋转所成的曲面，其中A 、A ′是双曲线的顶点，C 、C ′是冷却塔上口直径的两个端点，B 、B ′是下底直径的两个端点，已知AA ′=14m ，CC ′=18m ，BB ′=22m ，塔高20m ．建立坐标系并写出该双曲线方程.12. 点M 为双曲线141622=-y x 上任意一点，定点A(0，2)，点P 在线段AM 上，且｜AP ｜＝21｜PM ｜,试求点P 的轨迹方程．13*.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ，求过它的焦点且垂直于x 轴的弦长．14*.已知圆F 1:(x ＋2)2＋y 2＝1，圆F 2：(x －2)2＋y 2＝4，动圆与圆F 1内切且与圆F 2外切，试求动圆圆心的轨迹．§2.3.1双曲线的标准方程参考答案一、选择题： 1.C 2. C 3. D 4. C 5. B二、填空题：6.【 答案】1922=-y x 7．【 答案】368．【 答案】,94<<k )0,5(1-F ,)0,5(2F三、解答题：9. 【 解析】10. 【 解析】11. 【 解析】 如图建立直角坐标系xOy ，AA ′在x 轴上，AA ′的中点为坐标原点O ，CC ′与BB ′平行于x 轴. 设双曲线方程为),0,0(12222>>=-b a by a x 则.721='=A A a又设B （11，y 1），C （9，y 2），因为点B 、C 在双曲线上，所以有,171122122=-b y ① ,17922222=-by ② 由题意知 .2012=-y y ③ 由①、②、③得.27,8,1221==-=b y y 故双曲线方程为.1984922=-y x 12. 【 解析】13. 【 解析】14. 【 解析】。
《双曲线的几何性质》同步训练1
2.3.2 双曲线的几何性质》同步训练 1一．选择题(共 10 小题)1设F 1和F 2为双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上且满足/ F I PF 2=90 °则厶F 1PF 2的面 积是( )A ．1B ．C ．2D ． 2222 2. 设点P 是双曲线=1 (a > 0, b > 0)与圆x +y =a +b 在第一象限的交点，F i , F 2分别是 双曲线的左、右焦点，且|PF I |=2|PF 2|,则双曲线的离心率为() A . B . C . D .3.已知双曲线=1 (a >0, b >0),过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M , N 两 点，O 为坐标原点.若 OM 丄ON ，则双曲线的离心率为()A .B .C .D .2 4. 点A 是抛物线C i ： y=2px ( p > 0 )与双曲线C 2： ( a > 0, b > 0)的一条渐近线的交点, 若点A 到抛物线C i 的准线的距离为p ,则双曲线C 2的离心率等于() A . B . C . D .5. 已知双曲线 C : - =1 (a > 0, b > 0)的左、右焦点分别是 F i 、F 2过F ?垂直x 轴的直线 与双曲线C 的两渐近线的交点分别是M 、N ，若△ MF 1N 为正三角形，则该双曲线的离心率为( )A .B .C .D . 2+2 2 2 2 6. 设点P 是双曲线-=1 ( a >0, b > 0)与圆x +y =a +b 在第一象限的交点，F 1、F 2分别 是双曲线的左、右焦点，且 |PF 1|=3|PF 2|,则双曲线的离心率( )2y 2=4x 的焦点重合,且双曲线的离心率等于,则该 双曲线的方程为( )A . x 2- =1B . x 2- y 2=15C .8.双曲线的渐近线方程为(7.已知双曲线- =1 的一个焦点与抛物线2 - y =1 D .- =1 A . y=±B . y= ±x 9.点P 为双曲线C 1：和圆 y=±2x C 2： x 2+y 2=a C .D . y= ±4x 2+b 2 的一个交点，且 2/ PF 1F 2= / PF 2F 1，其中 F 1, F 2为双曲线C 1的两个焦点, 则双曲线 C 1 的离心率为(A. B. C. D. 210. 已知两个点M (- 5, 0 )和N (5, 0),若直线上存在点P,使|PM|-|PN|=6,则称该直线为B型直线”给出下列直线①y=x+1 ;②y=2 ;③y=x;④y=2x+1 ;其中为B型直线”的是( )A .①③B .①② C.③④ D .①④•填空题（共4小题）11. 如图，F l, F2是双曲线C:的左右焦点，过F i的直线I与C的左、右两支分别交于B ,A两点.若△ ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为 _________________ .12•已知双曲线=1的右焦点为（3, 0）,则该双曲线的离心率等于__________________ .13. 双曲线的两个焦点为F1、F2,点P在双曲线上，若PF1丄PF2,则点P到x轴的距离为____________ .14. ____________________________ 双曲线（a> 0, b> 0）的两个焦点为F1, F2，若P为其上一点，且尸和=2尸巳|,则双曲线离心率的取值范围是 .2.3.2 双曲线的几何性质》同步训练 1 参考答案 ．选择题 10 小题）11． 12． 13．14．（1，3］． 1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10．B 二．填空题 4 小题）。
高二数学第二章第3节双曲线同步练习(理)新人教A版选修2-1
几何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题。 4、 D 解析：本题使用了排除法。轨迹是轴对称图形，因此排除
A、 C，轨迹与已知直线
不能有交点，故排除 D。
5、 B 解析：本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质及标准方程，属于容易题。
b3 a 依题意知 c 6 c2 a2 b2
a 2 9, b 2 27 ，所以双曲线的方程为 x 2 y 2 1 9 27
1
1
2k 2
| AB | | CD | 4 2(1
1 k2) －
k2 2 4 2(1 k 2)
3k 2 3 4 2(1 k 2 )
3 2 ，所以 存在常数 8
3 2 ， 使 得 | AB | | CD | ＝ 8
| AB | | CD |恒成立。
专心 爱心 用心
5
27 9
6、已知 F1 、 F2 为双曲线 C： x 2 y2 1的左、右焦点，点 P 在 C 上，∠ F1 P F2 ＝ 60 ，
则 PF1 PF2 （ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
二、填空题：
7、点 A( x0， y0) 在双曲线 x2 y 2 1 的右支上，若点 A 到右焦点的距离等于 2 x0 ，则 x0 4 32
1
3
2 | PF1 || PF2 | 2
解析：考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，
a2
2x 0 3( x 0
) c
x0 2
得到 a＝ 2，c＝ 6， r e r 3d ， d
8、 ( 4,0) 3x y 0
9、 x2 y 2 1 4 12
专心 爱心 用心
3
解析：本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程，属于容易题。
高中数学第二册(上)双曲线 同步练习1
高中数学第二册(上)双曲线 同步练习11．当ab <0时，方程ax 2―ay 2=b 所表示的曲线是（A ）焦点在x 轴上的椭圆 （B ）焦点在x 轴上的双曲线（C ）焦点在y 轴上的椭圆 （D ）焦点在y 轴上的双曲线2．椭圆22214x y a +=与双曲线22212x y a -=有相同的焦点，则a 等于 （A ）21 （B ）―1 （C ）1 （D ）―1或1 3．双曲线2x 2―y 2=k 的焦距是6，则k 的值等于（A ）6 （B ）24 （C ）±6 （D ）±565 4．若方程221||23x y a a+=--表示双曲线，则实数a 的取值范围是 （A ）a <―2或a >3 （B ）―2<a <3 （C ）a >3 （D ）―2<a <2或a >35．“ab <0”是“方程ax 2+by 2=c 表示双曲线”的（A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件（C ）充要条件 （D ）不充分不必要条件6．若双曲线的方程为221178x y -=-，则其焦点坐标为 （A ）(±5, 0) （B ）(±3, 0) （C ）(0, ±3) （D ）(0, ±5)7．已知双曲线2219x y m-=(m ∈R , m ≠0)的离心率为2，则m 的值为 . 8．若方程221x y a m b m+=--(a >b >0)表示双曲线，则实数m 的取值范围是 ；焦点坐标是 .9．已知双曲线221916x y -=上一点的横坐标为5，则点M 到左焦点的距离是 . 10．已知双曲线的焦距是26，且过点(2, 3)，则双曲线的标准方程是 .班级 姓名 座号 题号1 2 3 4 5 6 答案7. , 8. .9. .10. .11．已知B (―5, 0), C (5, 0)是△ABC 的两个顶点，且sin B ―sin C =53sin A ，求顶点A 的轨迹方程。
高三数学必修同步练习题双曲线
高三数学必修同步练习题双曲线大家把实际知识温习好的同时，也应该要多做题，从题中找到自己的缺乏，及时学懂，下面是查字典数学网小编为大家整理的2021年高三数学必修同步练习题，希望对大家有协助。
1.双曲线y2-x2=2的渐近线方程是A.y=xB.y=2xC.y=3xD.y=2x答案：A2.(2021广东)中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于32，那么C的方程是A.x24-y25=1B.x24-y25=1C.x22-y25=1D.x22-y25=1解析：由右焦点为F(3,0)可知c=3，又由于离心率等于32，所以ca=32，所以a=2.由c2=a2+b2知b2=5，故双曲线C的方程为x24-y25=1，应选B.答案：B3.(2021云南大理二模)斜率为2的直线l过双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的右焦点，且与双曲线的左、右两支都相交，那么双曲线的离心率e的取值范围是A.(-，2)B.(1，3)C.(1，5)D.(5，+)解析：依题意，结合图形剖析可知，双曲线的一条渐近线的斜率ba必大于2，即ba2，因此该双曲线的离心率e=ca=a2+b2a=1+ba25.答案：D4.(2021福建)双曲线x2a2-y25=1的右焦点为(3,0)，那么该双曲线的离心率等于A.31414B.324C.32D.43解析：由双曲线中，a，b，c的关系c2=a2+b2，得32=a2+5，a2=4.e=ca=32.答案：C5.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，那么m=________.解析：半虚轴长为 -1m， -1m=2，m=-14.答案：-146.中心在原点的双曲线C，过点P(2，3)且离心率为2，那么双曲线C的规范方程为________.解析：∵双曲线C的离心率为2，2=1+b2a2，ba=3，可设双曲线C的规范方程为x2a2-y23a2=1或y2a2-x23a2=1，把P(2，3)代入得，a2=3或a2=53，所求双曲线C的规范方程为x23-y29=1或y253-x25=1.答案：x23-y29=1或y253-x25=17.(2021湖南)设F1，F2是双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点.假定|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30，那么C的离心率为________.解析：无妨设点P在双曲线C的右支上，由双曲线定义知|PF1|-|PF2|=2a，①又由于|PF1|+|PF2|=6a，②由①②得|PF1|=4a，|PF2|=2a，由于ca，所以在△PF1F2中，PF1F2为最小内角，因此PF1F2=30，在△PF1F2中，由余弦定理可知，|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1||F1F2|cos 30，即4a2=16a2+4c2-83ac.所以c2-23ac+3a2=0，两边同除以a2得，e2-23e+3=0.解得e=3.答案：38.椭圆D：x250+y225=1与圆M：x2+(y-5)2=9，双曲线G与椭圆D有相反焦点，它的两条渐近线恰恰与圆M相切，求双曲线G的方程.解：椭圆D的两个焦点为F1(-5,0)，F2(5,0)，因此双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c=5.设双曲线G的方程为x2a2-y2b2=1(a0，b0)，渐近线方程为bxay=0且a2+b2=25，又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r=3.|5a|b2+a2=3，得a=3，b=4，双曲线G的方程为x29-y216=1.。
高中数学人教A版(2019)选择性必修一3.2 双曲线同步练习
高中数学人教A版（2019）选择性必修一3.2 双曲线同步练习一、单选题1.双曲线的顶点焦点到C的一条渐近线的距离分别为和，则C的方程为（）A.B.C.D.2.双曲线的离心率是（）A. B. 1 C. D. 23.双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.4.若双曲线C的中心为坐标原点，其焦点在y轴上，离心率为2，则该双曲线C的渐近线方程为（）A. B. C. D.5.双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线上一点，轴，，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.6..与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程为（）A. B. C. D.7.已知双曲线的左右焦点为，，过的直线交双曲线于M，N两点在第一象限），若与的内切圆半径之比为3：2，则直线的斜率为（）A.B.C.D.8.已知为双曲线的左､右焦点，过作的垂线分别交双曲线的左､右两支于两点(如图).若，则双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.二、多选题9.某双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率为（）．A.B.C.2D.10.若是双曲线上一点，的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（）A.B.渐近线方程为C.的最小值是D.焦点到渐近线的距离是11.已知双曲线，（）A.B.若W的顶点坐标为，则C.W的焦点坐标为D.若，则W的渐近线方程为12.已知双曲线的一条渐近线方程为，则（）A. 为的一个焦点B. 双曲线的离心率为C. 过点作直线与交于两点，则满足的直线有且只有两条D. 设为上三点且关于原点对称，则斜率存在时其乘积为三、填空题13.已知双曲线C的渐近线方程为，写出双曲线C的一个标准方程：________.14.已知双曲线的左焦点为F，虚轴的端点为A，B，若为等边三角形，则C的离心率为________.15..已知双曲线：的左焦点为，右顶点为，虚轴上顶点为．若双曲线的离心率是，则 1 ．16..已知直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积为2，则双曲线C的焦距的最小值为 1 .四、解答题17.解答下列两个小题：（1）双曲线：离心率为，且点在双曲线上，求的方程；（2）双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程．18..已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点，点在双曲线上．（1）.求双曲线方程；（2）.求证：；（3）.求△的面积．19.在① ，且C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为，②C的焦距为6，③C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：已知双曲线，__________，求C的方程．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．20..已知双曲线过点P（﹣3 ，4），它的渐近线方程为y=± x．（1）.求双曲线的标准方程；（2）.设F1和F2为该双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且|PF1|•|PF2|=41，求∠F1PF2的余弦值．21.已知双曲线的离心率为，过双曲线的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，且( 为坐标原点)的面积为.（1）求双曲线的标准方程；（2）若，是双曲线上的两点，且，关于原点对称，是双曲线上异于，的点.若直线和直线的斜率均存在，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.22.已知双曲线C：＝1(a，b>0)的左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0)，其中c>0，M(c，3)在C上，且C的离心率为2.（1）求C的标准方程；（2）若O为坐标原点，∠F1MF2的角平分线l与曲线D：＝1的交点为P，Q，试判断OP与OQ 是否垂直，并说明理由.答案解析部分一、单选题1.【答案】D2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】A5.【答案】D6.【答案】B7.【答案】B8.【答案】C二、多选题9.【答案】C,D10.【答案】B,C,D11.【答案】B,D12.【答案】B,D三、填空题13.【答案】(答案不唯一)14.【答案】15.【答案】16.【答案】4四、解答题17.【答案】（1）由，得，即，又，即，双曲线的方程即为，点坐标代入得，解得．所以，双曲线的方程为．（2）椭圆的焦点为，设双曲线的方程为，所以，且，所以，所以，双曲线的方程为．18.【答案】（1）解：∵，，，，∴可设双曲线方程为．∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线方程为（2）证明：由（1）可知，在双曲线中，∴，∴，∴，又∵点在双曲线上，∴，．∴，∴（3）解：由（2）知∴△为直角三角形．又，，∴或，由两点间距离公式得：，，∴．即△的面积为619.【答案】解：若选①，因为，所以，所以．因为C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为，所以，解得，C的方程为．若选②，则. 若，则，所以，解得，则C的方程为；若，则，所以，解得，则C的方程为．选③，因为C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4，所以，即. 若，则，所以，解得，则C的方程为；若，则，所以，解得，则C的方程为．20.【答案】（1）解：设双曲线的方程为y2﹣x2=λ（λ≠0），代入点P（﹣3 ，4），可得λ=﹣16，∴所求求双曲线的标准方程为（2）解：设|PF1|=d1，|PF2|=d2，则d1•d2=41，又由双曲线的几何性质知|d1﹣d2|=2a=6，∴d12+d22﹣2d1d2=36即有d12+d22=36+2d1d2=118，又|F1F2|=2c=10，∴|F1F2|2=100=d12+d22﹣2d1d2cos∠F1PF2∴cos∠F1PF2=21.【答案】（1）解：双曲线的渐近线方程为，即，所以点到渐近线的距离为.所以的面积为即.因为双曲线的离心率为，所以，即.代人，解得，所以，故双曲线的标准方程为.（2）解：是定值，理由如下：设，，则，，所以两式相减并整理得所以.所以是定值，且该定值为.22.【答案】（1）解：由题意得，即，解得，又，可得，故双曲线C的标准方程为（2）解：设角平分线与轴交于点，根据角平分线性质可得，，，设，联立方程，可得，即OP与OQ不垂直。
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高二(2)部数学《双曲线》同步训练一
班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿
1．若方程{ EMBED Equation.3 |1cos sin 2
2=+ααy x 表示焦点在轴上的双曲线，则角
所在象限是（ ）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
2．设双曲线上的点P 到点的距离为15，则P 点到的距离是（ ）
A ．7 B.23 C.5或23 D.7或233．椭圆和双曲线有相同的焦点，则实数的值是 （ ）
A B C 5 D 9
4．已知是双曲线的焦点，PQ 是过焦点的弦，且PQ 的倾斜角为600，那么的值为
5．设是双曲线的焦点，点P 在双曲线上,且,则点P 到
的距离为( )
A 1
B
C 2 D
7．P 为双曲线上一点，若F 是一个焦点，以PF 为直径的圆与圆的位置关系是（ ）
A 内切
B 外切
C 外切或内切
D 无公共点或相交
8．求=4，=3，焦点在轴上的双曲线的标准方程
9．求=2，经过点（2，-5），焦点在轴上的双曲线的标准方程
高二(2)部数学《双曲线》同步训练二
班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿
1．根据下列条件，求双曲线的标准方程。
（1）过点，且焦点在坐标轴上。
_________；
（2），经过点（－5，2），且焦点在轴上。
_________；
（3）与双曲线有相同焦点，且经过点_________；
2．设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，
求△的面积。
3．求下列动圆圆心的轨迹方程：
（1）与⊙内切，且过点。
（2）与⊙和⊙都外切。
（3）与⊙外切，且与⊙内切。
高二(2)部数学《双曲线》同步训练三
班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿1．下列方程中，以x±2y=0为渐近线的双曲线方程是
2 .过点(3,0)的直线与双曲线4x2-9y2=36只有一个公共点,则直线共有
(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条
3 .若方程=1表示双曲线，其中a为负常数，则k的取值范围是( )
(A)(,-) (B)(,-) (C)(-,) (D)(-∞,)∪(-,+∞)
4 .中心在原点，一个焦点为(3，0)，一条渐近线方程2x-3y=0的双曲线方程是
(A) (B)
(C) (D)
5 .与双曲线有共同的渐近线，且一顶点为(0，9)的双曲线的方程是（） (A) (B)
(C) (D)
6 .一双曲线焦点的坐标、离心率分别为(5，0)、，则它的共轭双曲线的焦点坐标、离心率分别是（）
(A)(0，5)， (B)(0， (C)(0， (D)(0，
7 .双曲线2kx2-ky2=1的一焦点是F(0，4)，则k等于 ()
(A)-3/32 (B)3/32 (C)-3/16 (D)3/16
8．已知双曲线的两个焦点坐标分别为、，点P在双曲线上且满足，则的面积是____________；
9．若双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线的夹角是_________；
10．双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为________；
高二(2)部数学《双曲线》同步训练四
班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿
1 .方程mx 2＋ny 2＋mn=0(m<n<0)所表示的曲线的焦点坐标是 （ ）
(A)(0,) (B )(0,) (C)(,0) (D)(,0)
2 .下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是 （ ）
(A)-y 2=1和-=1 (B)-y 2=1和y 2-=1
(C)y 2-=1和x 2-=1 (D )-y 2=1和-=1
3 .与双曲线有共同的渐近线，且经过点A 的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是
( )
（A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ）1
4 .以为渐近线，一个焦点是F （0，2）的双曲线方程为 ( )
（A ）（B ） （C ）（D ）
5 .双曲线kx 2+4y 2=4k 的离心率小于2，则k 的取值范围是 ( )
（A ）（-∞,0） （B ）(-3,0) （C ）(-12,0) （D ）(-12,1)
6 .已知平面内有一固定线段AB,其长度为4，动点P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为
（ ）
(A)1.5 (B)3 (C)0.5 (D )3.5
7 .已知双曲线b 2x 2－a 2y 2 = a 2b 2的两渐近线的夹角为2，则离心率e 为( )
(A)arcsin (B) (C ) (D)tg2
8 .一条直线与双曲线两支交点个数最多为 ( )
(A)1 (B )2 (C)3 (D)4
9 .双曲线顶点为（2，－1），（2，5），一渐近线方程为3x －4y ＋c = 0，则准线方程为 ( )
(A) (B) (C) (D )
10 .与双曲线=1(mn<0)共轭的双曲线方程是 ( )
(A) (B) (C) (D )
高二(2)部数学《双曲线》同步训练五
班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿
1．双曲线16x 2―9y 2=―144的实轴长、虚轴长、离心率分别为（ ）
（A ）4, 3, 41
7 （B ）8, 6, 41
7 （C ）8, 6, 45 （D ）4, 3, 4
5 2．顶点在x 轴上，两顶点间的距离为8， e =
4
5的双曲线的标准方程为（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 3．双曲线22
134
x y -=的两条准线间的距离等于（ ）
（A ）76
7 （B ）73
7 （C ） （D ）
4．若双曲线上一点P 到双曲线上焦点的距离是8，那么点P 到上准线的距离是（ ） （A ）10 （B
）7
（C ）27 （D ） 5．经过点M (3, ―1)，且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是（ ）
（A ）y 2―x 2=8 （B ）x 2―y 2=±8 （C ）x 2―y 2=4 （D ）x 2―y 2=8
6．以y =±
32x 为渐近线的双曲线的方程是（ ） （A ）3y 2―2x 2=6 （B ）9y 2―8x 2=1 （C ）3y 2―2x 2=1 （D ）9y 2―4x 2=36
7．下列各对双曲线中，既有相同的离心率，又有相同的渐近线的是（ ）
（A ）―y 2=1与y 2―=1 （B ）―y 2=1与
（C ）y 2―=1与x 2― （D ）―y 2=1与
8．若共轭双曲线的离心率分别为e 1和e 2，则必有（ ）
（A ）e 1= e 2 （B ）e 1 e 2=1 （C ）=1 （D ）22
1211e e =1 9．若双曲线经过点(6, 3)，且渐近线方程是y =±
3
1x ，则这条双曲线的方程是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 10．双曲线的渐近线为y =±
4
3x ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）45 （B ）2 （C ）45或35 （D ）215或 11．如果双曲线右支上一点P 到它的右焦点的距离等于2，则P 到左准线的距离为（ ） （A ） （B ） （C ）8 （D ）10
12．已知双曲线的一条准线是y =1，则实数k 的值是（ ）
（A ）32 （B ）―3
2 （C ）1 （D ）―1 13．双曲线的离心率e ∈(1, 2)，则k 的取值范围是 .
14．若双曲线上的点M 到左准线的距离为，则M 到右焦点的距离是 .
15．双曲线的离心率e =2，则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是 .
15．在双曲线的一支上有不同的三点A (x 1, y 1), B (, 6), C (x 3, y 3)与焦点F 间的距离成等差数列，则y 1+y 3等于 .
16．等轴双曲线的离心率为 ；等轴双曲线的两条渐近线的夹角是
17．从双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 .
18．与有公共焦点，且离心率e =
45的双曲线方程是 19．以5x 2+8y 2=40的焦点为顶点，且以5x 2+8y 2=40的顶点为焦点的双曲线的方程是 .
20．已知双曲线上一点到其右焦点距离为8，求其到左准线的距离。