【解密高考】2015届高考数学(人教)大一轮课件：3-3定积分与微积分基本定理(理)
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2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套精讲课件第二章函数、导数及其应用第十二节定积分与微积分基本定理
5．已知函数 y＝f(x)的图像是折线段 ABC，其中 A(0,0)、B12，1、 C(1,0)．函数 y＝xf(x)(0≤x≤1)的图像与 x 轴围成的图形的面积 为________．
解析：由题知 y＝f(x)＝22－x，2x0，≤12x≤<12x，≤1，
则 y＝xf(x)＝22xx2－，20x≤2，x12<≤12，x≤1，
b
(2)a[f1(x)±f2(x)]dx＝
b
b
af1(x)dx±af2(x)dx
；
b
b
c
(3)af(x)dx＝af(x)dx＋
c
f(x)dx
(其中 a<c<b)．
3．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)
b
一 义是什么？
A．1＋25ln 5想
B．8＋25ln131
()
C．4＋25ln 5
D．4＋50ln 2
[解析]
由v(t)＝7－3t＋
25 1＋t
＝0，可得t＝4
t＝－83舍去
，
4
因此汽车从刹车到停止一共行驶了4
s，此期间行驶的距离为
0
v(t)dt＝047－3t＋12＋5 tdt＝7t－32t2＋25ln1＋t|40＝4＋25ln 5.
2
2．(2014·唐山模拟)已知f(x)＝2－|x|，则 f(x)dx等于( ) -1
A．3
B．4
7
9
C.2
D.2
解析：f(x)＝2－|x|＝22－ ＋xxxx≥<00，，)dx＝-1(2＋x)dx＋0(2－x)dx
＝2x＋x22|0－1＋2x－x22|20＝32＋2＝72.
2015届高考数学(理)一轮精品复习课件3.4定积分与微积分基本定理(人教版)
的值.
���1���2dx
1������ =12x2|e1+ln x|e1- |e1
பைடு நூலகம்
=12(e2-1)+(ln e-ln 1)-
1 e
-1
=12e2-1e+32.
(3)
e
0f(x)dx=
1 0
x2dx+
e 1 1������dx
=13x3|10+ln x|e1=13+ln e=43.
考点一 考点二 考点三
3 1
2dt+
6 3
13 t + 1
dt=t2|11+2t|13+
2
1 6
������2
+
t |36=449(m).
考点一 考点二
考点三
答案
-22-
方法提炼
1.做变速运动的物体在一段时间间隔内所经过的路程,可以利用该物
体运动的速度关于时间的函数在该时间段上的积分来求解.因此要求一个
物体在一段时间内的位移,只要求出其运动的速度函数,再利用微积分基本
定理求出该时间段上的定积分即可,即物体做变速直线运动的路程 s,等于
其速度函数
v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分
������ ������
v(t)dt.另外物体做
变速直线运动的速度 v,等于加速度函数 a=a(t)在时间区间[a,b]上的定积分
������ ������
a(t)dt.
2.如果力 F(x)使得物体沿力的方向由 x=a 运动到 x=b(a<b),则力 F(x)
对物体所做的功
W=
������ ������
高考数学一轮单元复习：第15讲定积分与微积分基本定理-PPT精选文档
第15讲 │ 定积分与微积分基本定理
第15讲 │ 知识梳理
知识梳理
第15讲 │ 知识梳理
第15讲 │ 知识梳理
第15讲 │ 知识梳理
第15讲 │ 知识梳理
第15讲 │ 要点探究
要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 规律总结 规律总结
第15讲 │ 规律总结
第15讲 │ 规律总结
第15讲 │ 规律总结
第15讲 │ 规律总结
第15讲 │ 规律总结
第15讲 │ 知识梳理
知识梳理
第15讲 │ 知识梳理
第15讲 │ 知识梳理
第15讲 │ 知识梳理
第15讲 │ 知识梳理
第15讲 │ 要点探究
要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 规律总结 规律总结
第15讲 │ 规律总结
第15讲 │ 规律总结
第15讲 │ 规律总结
第15讲 │ 规律总结
第15讲 │ 规律总结
高三一轮 第三章3.3 定积分与微积分基本定理
思维升华
计算定积分的解题步骤 (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积 的和或差. (2)把定积分变形为求被积分函数为上述函数的定积分. (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数. (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和.
多维探究
题型二 定积分的几何意义
(3)ʃ 20|1－x|dx；
解 ʃ 20|1－x|dx＝ʃ 10(1－x)dx＋ʃ 21(x－1)dx ＝x－12x210＋12x2－x21 ＝1－12－0＋12×22－2－12×12－1＝1. (4)ʃ 21e2x＋1xdx； 解 ʃ 21e2x＋1xdx＝ʃ 12e2xdx＋ʃ 121xdx ＝ 12e2x21＋ln x21＝12e4－12e2＋ln 2－ln 1 ＝12e4－12e2＋ln 2.
x 轴下方.( × ) (4)曲线 y＝x2 与 y＝x 所围成图形的面积是 ʃ 01(x2－x)dx.( × )
1 2 3 4 5 67
题组二 教材改编 2.[P66A 组 T14]ʃ e2＋1x－1 1dx＝__1__. 解析 ʃ e2＋1x－1 1dx＝ln(x－1)|e2＋1＝ln e－ln 1＝1.
为__2__3_－__2_3π__.
解析 令 2sin x＝1，得 sin x＝12，
当 x∈[0，π]时，得 x＝6π或 x＝56π，
5π
所以所求面积S＝
6 π
(2sin x－1)dx
6
5π
＝(－2cos x－x) |π6 2
6
3 2π . 3
师生共研
题型三 定积分在物理中的应用
例3 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t) ＝7－3t＋ 25 (t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续
一轮复习--定积分与微积分基本定理PPT课件
0
5
所以5
－5
(3x3＋4sin
x)dx＝0－5
(3x3＋4sin
x)dx
＋
0
(3x3
＋
4sin x)dx＝0.
[方法技巧] 1．利用定积分几何意义求定积分的策略 当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直 线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形的面积易求时，利 用定积分的几何意义求定积分． 2．两个常用结论 设函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则由定积分的几 何意义和奇、偶函数图象的对称性可得两个结论： (1)若f(x)是偶函数，则a－af(x)dx＝2af(x)dx；
图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．
由yy＝ ＝x－x，2 得交点A(4,2)．
因此 y＝ x与 y＝x－2 及 y 轴所围成的图形的面积为
＝
4
0
x－x＋2dx
＝
2 3x
3 2
－12x2＋2x
4 0
＝23×8－12×16＋2×4＝136.
[答案] C
[方法技巧] 利用定积分求平面图形面积的步骤
3.在区间[0,1]上给定曲线 y＝x2，试在此区间内确定点 t 的值，使图 4－5－4 中阴影部分的面积 S1 与 S2之和最小．
图 4－5－4
解：S1 面积等于边长为 t 与 t2 的矩形面积去掉曲线 y＝x2 与 x 轴、直线 x＝t 所围成的面积，即
t
S1＝t·t2－ 0
x2dx＝23t3.
当 t＝12时，S 最小，
∴最小值为 S12＝14.
kbf(x)dx
(1)bkf(x)dx＝___a______ (k 为常数)；
a
bf1(x)dx±bf2(x)dx
高考数学(理)一轮复习课件：定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用PPT文档共68页
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
高考数学(理)一轮复习课件：定积分
的概念与微积分基本定理、定积分的
•
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时8、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
简单应用
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
高考数学(理)一轮复习课件：定积分
的概念与微积分基本定理、定积分的
•
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时8、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
简单应用
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
2015届高三数学一轮课件：3.4 定积分与微积分基本定理
自我检测
1
考纲考向
2
3
考点基础
重点难点
随堂演练
5
4
3.已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,则它与 x轴所围图形的面积为(
2
5
4
3
A.
3
2
B.
)
2
C.
D.
答案:B
2
解析:由图象可得二次函数的解析式为 f(x)=-x +1,则其与 x轴所围图形的面
积 S=
1
-1
2
(-x +1)dx=
基础梳理
x3
考点基础
重点难点
随堂演练
2
(4)如图所示,若当 a≤x≤c时,f(x)≤0;当 c<x≤b时,f(x)>0,则
S=
c
a f(x) x +
基础梳理
b
c
f(x)dx=
- ac f(x)dx+ cb f(x)dx.
自我检测
第八页，编辑于星期五：八点 三十七分。
第4讲 定积分与微积分基本定理
基础梳理
考纲考向
如果在区间[a,b]上函数 f(x)连续且恒有 f(x)≥0,那么定积分
b
a
f(x)dx表示
由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)所围成的曲边梯形(如图中的阴影部
分)的面积.
基础梳理
自我检测
第四页，编辑于星期五：八点 三十七分。
第4讲 定积分与微积分基本定理
基础梳理
1
考纲考向
考点基础
重点难点
随堂演练
2
温馨提示
几种典型的曲边梯形面积的计算方法:
2015高考数学一轮总复习课件：3.18 定积分与微积分基本定理
【解析】S＝a
xdx＝23x32
a 0
＝23a32＝a2，解得
a＝49.
0
【命题立意】本题考查定积分的求法及其几何意 义，求解时应注意结合图形，难度较小．
第二十四页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
1.1 (sin x＋1)dx 的值为( A ) －1
A．2 B．0 C．2＋2cos 1 D．2－2cos 1
第十五页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
例4如图，已知曲线 C1：y＝x2 与曲 线 C2：y＝－x2＋2ax(a>1)交于点 O、 A，直线 x＝t(0<t≤1)与曲线 C1，C2 分别交于点 D、B，连结 OD、AD 、 AB.
(1)写出由线段 OD, DA，BA 及曲线 OB 所构成曲 四边形 ABOD 的面积 S 与 t 的函数关系 S＝f(t)；
第七页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
2．定积分的性质
kbf(x)dx
(1)bkf(x)dx＝______a__________(k 为常数)； a bf(x)dx±bg(x)dx
(2)b[f(x)±g(x)]dx＝____a_________a________； a
c
f(x)dx＋bf(x)dx
＋3)dt＝13t3－2t2＋3t04＝43 m. 即在 t＝4 s 时，该点距出发点43 m. (2)∵v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)．
第十四页，编辑于星期五：十二点 三十二分。
∴在[0，1]及[3，4]上，v(t)≥0，
在[1，3]上，v(t)≤0，
∴t＝4 s 时的路程为
S
＝
(3)4
x＋1xdx；
1
π
(4)
2015高考数学一轮课件：第3章 3.4 定积分的概念与微积分基本定理
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第十五页，编辑于星期五：十三点 四十四分。
题型分类·深度剖析
题型二
利用定积分求曲边梯形的面积
【例 2】 如 图所示，求由 抛物线 y＝ －x2＋4x－3 及其在点 A(0，－3)和点 B(3,0)处的切 线所围成的图形的面积．
思维启迪 解析 思维升华
消去 y，得 x＝23，即点 M 的横坐标为32.
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
3．定积分的运算性质 (1)ʃabkf(x)dx＝ kʃ abf(x)dx (k 为常数)． (2)ʃab[f1(x)±f2(x)]dx＝ ʃ abf1(x)dx±ʃ baf2(x)dx . (3)ʃabf(x)dx＝ ʃ acf(x)dx＋ʃ cbf(x)dx (a<c<b) ．
思维启迪 解析 答案 思维升华
x2， 2－x，
x∈[0，1]， x∈1，2]，
则 ʃ02f(x)dx
等于
(C)
3 A.4
4 B.5
5 C.6
D．不存在
(2)若定积分 ʃm－2 －x2－2xdx＝π4，
则 m 等于
( A)
A．－1 B．0 C．1 D．2
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第十页，编辑于星期五：十三点 四十四分。
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第二十页，编辑于星期五：十三点 四十四分。
题型分类·深度剖析
题型三
定积分在物理中的应用
【例 3】 一 物体做变速 直线运动， 其 v－t 曲线 如图所示， 则该物体在12 s～6 s 间的运动 路程为__________．
2015高考数学一轮课件：3.4 定积分与微积分基本定理
题型三
定积分在物理方面的应用
【例3】 一物体做变速直线运
思维启迪
解析
探究提高
动，其v－t曲线如图所示，则 该物体在12 s～6 s间的运动路程
为__________．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第二十三页，编辑于星期五：十三点 十八分。
题型分类·深度剖析
题型三
定积分在物理方面的应用
【例3】 一物体做变速直线运
思维启迪
解析
探究提高
＝解((1313×))(ʃʃ120π22)x03ʃ(s－20xixn＋(02xx2＋1＋d)xd1.12x)d×；x＝22－ʃ(202(0)xʃ221＝＋e21x3x4＋)d. x1x＝dxʃ02；x2dx＋ʃ20xdx＝13x3|02＋12x2|02
(2)ʃ12e2x＋1xdx＝ʃ21e2xdx＋ʃ211xdx＝12e2x|21＋ln x|21＝12e4－12e2＋ln 2－ln 1
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第十五页，编辑于星期五：十三点 十八分。
题型分类·深度剖析
变式训练1 求下列定积分：
(1)ʃ02(4x3＋3x2－x)dx； (2)ʃ12x－x2＋1xdx； (3)ʃ－0 π(cos x＋ex)dx； (4)ʃ02|1－x|dx.
(3)ʃ－ 0 π(cos x＋ex)dx
y＝2－x 得交点A(1,1)；由y＝－13x
得交点B(3，－1)．
故所求面积S＝ʃ 10 x＋13xdx＋ʃ 312－x＋13xdx
＝23x
3 2
＋16x2|01＋2x－13x2|13
＝23＋16＋43＝163.
基础知识
题型分类
2015高三人教版数学一轮复习课件：第2章 第14节 定积分与微积分基本定理
第九页，编辑于星期五：十二点 分。Байду номын сангаас
第二章 函数、导数及其应用
4．若∫10f(x)dx＝1，∫20f(x)dx＝－1，则∫21f(x)dx＝________． 解析 ∵∫20f(x)dx＝∫10f(x)dx＋∫21f(x)dx， ∴∫21f(x)dx＝∫20f(x)dx－∫10f(x)dx＝－1－1＝－2. 答案 －2
[跟踪训练]
2．(1)(2014·合肥模拟)计算∫10 1－x2dx＝________． 解析 令 y＝ 1－x2，则 y2＝1－x2(y≥0)，
即 x2＋y2＝1(y≥0)，
其图形为在 x 轴上方的半圆，如图，
则∫10 1－x2dx 的值为阴影部分的面积， 所以所求值为14×π×12＝π4.
答案
π 4
第十页，编辑于星期五：十二点 分。
第二章 函数、导数及其应用
5．(2012·山东高考)设 a>0，若曲线 y＝ x与直线 x＝a，y＝0 所围
成封闭图形的面积为 a2，则 a＝________．
解析 由已知得 S＝∫a0 xdx＝23x32|a0＝23a32＝a2，
所以 a12＝23，所以 a＝49.
第二章 函数、导数及其应用
[规律方法] 利用定积分求曲边梯形面积的步骤 (1)画出曲线的草图； (2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、 下限； (3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差； (4)计算定积分，写出答案．
第二十三页，编辑于星期五：十二点 分。
第二章 函数、导数及其应用
第二章 函数、导数及其应用
[体验高考] 1．(2013·北京高考)直线 l 过抛物线 C：x2＝4y 的焦点且与 y 轴垂
第二章 函数、导数及其应用
4．若∫10f(x)dx＝1，∫20f(x)dx＝－1，则∫21f(x)dx＝________． 解析 ∵∫20f(x)dx＝∫10f(x)dx＋∫21f(x)dx， ∴∫21f(x)dx＝∫20f(x)dx－∫10f(x)dx＝－1－1＝－2. 答案 －2
[跟踪训练]
2．(1)(2014·合肥模拟)计算∫10 1－x2dx＝________． 解析 令 y＝ 1－x2，则 y2＝1－x2(y≥0)，
即 x2＋y2＝1(y≥0)，
其图形为在 x 轴上方的半圆，如图，
则∫10 1－x2dx 的值为阴影部分的面积， 所以所求值为14×π×12＝π4.
答案
π 4
第十页，编辑于星期五：十二点 分。
第二章 函数、导数及其应用
5．(2012·山东高考)设 a>0，若曲线 y＝ x与直线 x＝a，y＝0 所围
成封闭图形的面积为 a2，则 a＝________．
解析 由已知得 S＝∫a0 xdx＝23x32|a0＝23a32＝a2，
所以 a12＝23，所以 a＝49.
第二章 函数、导数及其应用
[规律方法] 利用定积分求曲边梯形面积的步骤 (1)画出曲线的草图； (2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、 下限； (3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差； (4)计算定积分，写出答案．
第二十三页，编辑于星期五：十二点 分。
第二章 函数、导数及其应用
第二章 函数、导数及其应用
[体验高考] 1．(2013·北京高考)直线 l 过抛物线 C：x2＝4y 的焦点且与 y 轴垂
高考数学一轮单元复习 第15讲 定积分与微积分基本定理课件
第15讲 │ 定积分与微积分基本定理
h
1
第15讲 │ 知识梳理 知识梳理
h
2
第15讲 │ 知识梳理
h
3
第15讲 │ 知识梳理
h
4
第15讲 │ 知识梳理
h
5
第15讲 │ 知识梳理
h
6
第15讲 │ 要点探究 要点探究
h
7
第15讲 │ 要点探究
h
8
第15讲 │ 要点探究
h
9
第15讲 │ 要点探究
h
20
第15讲 │ 要点探究
h
21
第15讲 │ 要点探究
h
22
第15讲 │ 要点探究
h
23
第15讲 │ 要点探究
h
24
第15讲 │ 规律总结 规律总结
h
25
第15讲 │ 规律总结
h
26
第15讲 │ 规律总结
h
27
第15讲 │ 规律总结
h
28
第15讲 │ 规律总结
h
29
第15讲 │ 规律总结
h
10
第15讲 │ 要点探究h Nhomakorabea11
第15讲 │ 要点探究
h
12
第15讲 │ 要点探究
h
13
第15讲 │ 要点探究
h
14
第15讲 │ 要点探究
h
15
第15讲 │ 要点探究
h
16
第15讲 │ 要点探究
h
17
第15讲 │ 要点探究
h
18
第15讲 │ 要点探究
h
19
第15讲 │ 要点探究
h
30
h
1
第15讲 │ 知识梳理 知识梳理
h
2
第15讲 │ 知识梳理
h
3
第15讲 │ 知识梳理
h
4
第15讲 │ 知识梳理
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5
第15讲 │ 知识梳理
h
6
第15讲 │ 要点探究 要点探究
h
7
第15讲 │ 要点探究
h
8
第15讲 │ 要点探究
h
9
第15讲 │ 要点探究
h
20
第15讲 │ 要点探究
h
21
第15讲 │ 要点探究
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2015高考数学一轮复习课件：2.4 定积分与微积分基本定理
2．定积分的几何意义： (1)当函数 f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分bfxdx的
a
几何意义是由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所 围成的曲边梯形的面积(图①中阴影部分)．
第五页，编辑于星期五：十二点 二十分。
(2)一般情况下，定积分bf(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、 a
第十六页，编辑于星期五：十二点 二十分。
4.
b
f(x)dx
，
b
|f(x)|dx
，
|
b
f(x)dx|
三
者
在
几
何
意
义
上
的
不
a
a
a
同．当 f(x)≥0 即函数 f(x)的图象全部在 x 轴上方时，bf(x)dx
a
＝b|f(x)|dx＝|bf(x)dx|表示界于 x 轴、曲线 y＝f(x)以及直线 x
a
a
二、定积分基本定理 如果 F′(x)＝f(x)且 f(x)在[a，b]上可积，那么
bf(x)dx＝__F_(b_)_－__F_(_a_)，这个结论叫做微积分基本定理，
a
又叫做牛顿－莱布尼兹公式． 为了方便，常把 F(b)－F(a)记成__F_(_x_)_|ba____，即bf(＝F(b)－F(a)．
疑点清源
1.在直角坐标系中，由曲线 f(x)，直线 x＝a，x＝b(a≠b)
和 x 轴围成的曲边梯形的面积的求法分为以下几种情况：
(1)y＝f(x)(f(x)≥0，x∈[a，b])，x＝a，x＝b(a＜b)和 x 轴
围成的曲边梯形的面积为 S＝bf(x)dx(这时曲线全部在 x 轴上 a
方)；
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1.定积分的定义 如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0＜x1＜„＜ xi－1＜xi＜„＜xn＝b 将区间[a，b]等分成 n 个小区间，在每个小 区间[xi－1，xi]上任取一点 ξi(i＝1,2，„，n)，
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归纳拓展：(1)求定积分的方法 ①利用定义求定积分； ②利用微积分基本定理求定积分； ③利用定积分的几何意义求定积分．如：定积分
1 0 1 0
1 1－x dx 的几何意义是求单位圆面积的4，所以
2
π 1－x dx＝4.
2
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a
为了方便计算，人们把定积分的概念扩大，使下限不一定小于上
b b b 限，并规定： f(x)dx＝－ f(x)dx， f(x)dx＝0.
a a a
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(2)几种典型的曲边梯形面积的计算方法： ①由三条直线 x ＝ a 、 x ＝ b(a ＜ b) 、 x 轴，一条曲线 y ＝ f(x)(f(x)≥0)围成的曲边梯形(如图)的面积：
b S＝ f(x)dx.
a
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特别提醒：(1)积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与
b b 积分变量的字母无关，即 f(x)dx＝ f(t)dt.
a a
(2)定义中间区[a，b]的分法和 ξi 的取法都是任意的．
b (3)定积分的定义中， f(x)dx 限定下限小于上限，即 a＜b，
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第三节
定积分与微积分基本定理(理)
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以考查几何概型为背景考查定积分的运算．
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定积分的计算和几何概型结合起来考查仍会是命题的方向 之一.
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b (1)定积分 f(x)dx 是一个常数．
a
(2)用定义求定积分的一般方法是： ①分割：n 等分区间[a，b]； ②近似代替：取点 ξi∈[xi－1，xi]； b－a ③求和：∑f(ξi)· n ；
n i＝1
b－a ④取极值： f(x)dx＝lim∑f(ξi)· n .
考点
考纲要求
考查角度 求由曲线围成的 平面图形的面积 定积分的计算
了解定积分的基本思想；了解 定积分 定积分的概念 了解微积分基本定理的含义； 微积分 会用牛顿－莱布尼茨公式求被 基本定 积函数是简单的幂函数，正、 理 余弦函数，指数函数的定积分
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a a
b－a ＝lim∑ n f(ξi)，a，b 分别叫做积分下限与 积分上限，区间[a， n→∞i＝1
n
b]叫做 积分区间 ，函数 f(x)叫做 被积函数 ， x 叫做积分变量，
f(x)dx 叫做被积分．
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对定义的几点说明：
a
b ② f2(x)]dx＝ [f1(x)±
a
b a
b f1(x)dx± f2(x)dx a
；
b ③ f(x)dx＝
a
c a
b f(x)dx＋ f(x)dx
c
(其中 a＜c＜b)．
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2．微积分基本定理 一般地，如果 f(x)在区间[a，b]上连续，且 F′(x)＝f(x)，那
b b 么 f(x)dx＝F(x)| a＝ F(b)－F(a) ．
a
这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼兹公 式．
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b
n
a
n→∞i＝1
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(3)定积分的几何意义：如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续且
b 恒有 f(x)≥0，那么定积分 f(x)dx 表示由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，
a
y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(如图阴影部分)， 这
b 就是定积分 f(x)dx 的几何意义．
a
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(4)定积分的性质 b k f(x)dx b a ① (k 为常数)； kf(x)dx＝
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b－a 当 n→∞时，和式∑ n f(ξi)无限接近某个常数，这个常数 i＝1
n b b 叫做函数 f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作 f(x)dx，即 f(x)dx