[推荐学习]八年级数学下册第19章一次函数19.2一次函数19.2.3一次函数与方程不等式第1课时一
2024八年级数学下册第十九章一次函数19.2一次函数19.2.2一次函数第3课时一次函数解析式
【解】(1)把点A(0，1)，B(1，2)的坐标代入y＝kx＋
b(k≠0)，得ቊ
= ，
= ，
解得ቊ
＋ = ，
= ，
∴该函数的解析式为y＝x＋1.
由题意知点C的纵坐标为4，令y＝4，解得x＝3.
∴C(3，4).
(2)当x＜3时，对于x的每一个值，函数y＝ x＋n的值都大于
人教版八年级下
第 十 九 章
一 次 函 数
19.2
一次函数
19.2.2 一次函数
第3课时 一次函数解析式的求法
用待定系数法求一次函数解析式要明确两点
1.具备条件：一次函数y＝kx＋b(k≠0)中有两个不确定的系
数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，
解方程(组)求得k，b的值；
2.确定方法：将两对已知变量的对应值分别代入y＝kx＋b，
∵点Q(t－1，y2)在直线y＝2x－ 上，
∴y2＝2(t－1)－ ＝2t－ .
∴y1－y2＝－ t＋3－(2t－ )＝－ t＋ .
∵－ ＜0，∴y1－y2随t的增大而减小.
∴当t＝0时，y1－y2的值最大，最大值为 .
利用表格信息探求一次函数解析式解实际应用
直线y＝kx＋b的
k
不变；旋转时，要注意特殊点的坐
标变化.
6.[2023·无锡 母题·教材P91思考]将函数y＝2x＋1的图象向下
平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式是( A )
A.y＝2x－1
2019春八年级数学下册 第十九章 一次函数 19.2 一次函数 19.2.2 一次函数 第3课
第十九章函数
.
.
四、我的疑惑
一、要点探究
问题1
问题2：
要点归纳：
（1
（2）代——把已知条件代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解——解方程或方程组求出待定系数的值；
（4）写——把求出的k，b值代回到解析式中，写出函数解析式.
例1. 若一次函数的图象经过点且与直线y=-x+3平行，求其解析式.
提示：画图，此题有两种情况，需分类讨论.
的自变量的取值范围是－ 3≤x≤ 6，相应函数值的范
，求这个函数的解析式.
用待定系数法求一次函数的解析式
1.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图，则下列结论正确的是（）
A．k=2 B．k=3 C．b=2 D．b=3
第1题图第2题图
2. 如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，填空:
(1)b=______，k=______;
(2)当x=30时，y=______;
(3)当y=30时，x=______.
3.已知直线l与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0，2)，求直线l的解析式.
4.若一直线与另一直线y=-3x+2交于y轴同一点，且过（2，-6），你能求出这条直线的解析式吗？。
八年级数学下册第19章一次函数19.2一次函数19.2.3一次函数与方程不等式人教版
知识点三 一次函数与二元一次方程(组)的关系
5.一次函数y=7-4x和y=1-x的图象的交点坐标为
,则方程组
4x
x
y
y 1
7, 的解为
.
答案
x 2
(2,-1);
y
1
解析 在同一直角坐标系中作出一次函数y=7-4x与y=1-x的图象,如图
所示,由图象可知交点坐标为(2,-1).由y=7-4x,得4x+y=7.由y=1-x,得x+y=
图19-2-3-2 由图象可以看出:当x>-3时,这条直线上的点在x轴上方, ∴不等式3x+2>2x-1的解集为x>-3.
解法二:在同一直角坐标系中分别画出函数y=3x+2与函数y=2x-1的图象 (如图19-2-3-3所示),可以看出,它们交点的横坐标为-3.
图19-2-3-3
当x>-3时,对于同一个x值,直线y=3x+2上的点总在直线y=2x-1上相应点 的上方,此时3x+2>2x-1,故不等式3x+2>2x-1的解集为x>-3. 温馨提示 一元一次不等式的图象解法就是把解不等式转化为比较直 线上点的位置的高低.
实数,a≠0)的形式,所以解一 y=0时对应的x的值
图象与x轴交点的横坐
元一次方程可以转化为求
标
某个一次函数的函数值为0
时的自变量的值
利用一次函数的图 象解一元一次方程 的步骤
(1)转化:将一元一次方程转化为一次函数. (2)画图象:画出一次函数的图象. (3)找交点:找出一次函数的图象与x轴交点的横坐标,即为一元一次方程的解
例1 画出函数y=2x-1的图象,并利用图象求方程1-2x=0的解. 分析 画出函数图象后,求出直线y=2x-1与x轴交点的横坐标,即为2x-1= 0的解,也就是1-2x=0的解. 解析 如图19-2-3-1所示,由图象知直线y=2x-1与x轴的交点坐标为
2019春八年级数学下册 第十九章 一次函数 19.2 一次函数 19.2.2 一次函数 第3课
第3课时 用待定系数法求一次函数解析式1．用待定系数法求一次函数的解析式；(重点) 2．从题目中获取待定系数法所需要的两个点的条件．(难点)一、情境导入已知弹簧的长度y (厘米)在一定的限度内是所挂重物质量x (千克)的一次函数．现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米．求这个一次函数的关系式．一次函数解析式怎样确定？需要几个条件？二、合作探究 探究点：用待定系数法求一次函数解析式【类型一】 已知两点确定一次函数解析式已知一次函数图象经过点A (3，5)和点B (－4，－9)．(1)求此一次函数的解析式；(2)若点C (m ，2)是该函数图象上一点，求C 点坐标．解析：(1)将点A (3，5)和点B (－4，－9)分别代入一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)，列出关于k 、b 的二元一次方程组，通过解方程组求得k 、b 的值；(2)将点C 的坐标代入(1)中的一次函数解析式，即可求得m 的值．解：(1)设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k 、b 是常数，且k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧5＝3k ＋b ，－9＝－4k ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－1，∴一次函数的解析式为y ＝2x －1；(2)∵点C (m ，2)在y ＝2x －1上，∴2＝2m －1，∴m ＝32，∴点C 的坐标为(32，2)．方法总结：解答此题时，要注意一次函数的一次项系数k ≠0这一条件，所以求出结果要注意检验一下． 【类型二】 由函数图象确定一次函数解析式如图，一次函数的图象与x 轴、y轴分别相交于A ，B 两点，如果A 点的坐标为(2，0)，且OA ＝OB ，试求一次函数的解析式．解析：先求出点B 的坐标，再根据待定系数法即可求得函数解析式．解：∵OA ＝OB ，A 点的坐标为(2，0)，∴点B 的坐标为(0，－2)．设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝0，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－2，∴一次函数的解析式为y ＝x －2.方法总结：本题考查用待定系数法求函数解析式，解题关键是利用所给条件得到关键点的坐标，进而求得函数解析式．【类型三】 由三角形的面积确定一次函数解析式如图，点B 的坐标为(－2，0)，AB 垂直x 轴于点B ，交直线l 于点A ，如果△ABO 的面积为3，求直线l 的解析式．解析：△AOB 面积等于OB 与AB 乘积的一半．根据OB 与已知面积求出AB 的长，确定出A 点坐标．设直线l 解析式为y ＝kx ，将A 点坐标代入求出k 的值，即可确定出直线l 的解析式．解：∵点B 的坐标为(－2，0)，∴OB ＝2.∵S △AOB ＝12OB ·AB ＝3，∴12×2×AB ＝3，∴AB ＝3，即A (－2，－3)．设直线l 的解析式为y ＝kx ，将A 点坐标代入得－3＝－2k ，即k ＝32，则直线l 的解析式为y ＝32x .方法总结：解决本题的关键是根据直线与坐标轴围成三角形的面积确定另一个点的坐标．【类型四】 利用图形变换确定一次函数解析式已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象过点(1，2)，且其图象可由正比例函数y ＝kx 向下平移4个单位得到，求一次函数的解析式．解析：根据题设得到关于k ，b 的方程组，然后求出k 的值即可．解：把(1，2)代入y ＝kx ＋b 得k ＋b ＝2.∵y ＝kx 向下平移4个单位得到y ＝kx ＋b ，∴b ＝－4，∴k －4＝2，解得k ＝6.∴一次函数的解析式为y ＝6x －4.方法总结：一次函数y ＝kx ＋b (k 、b 为常数，k ≠0)的图象为直线，当直线平移时k 不变，当向上平移m 个单位，则平移后直线的解析式为y ＝kx ＋b ＋m .【类型五】 由实际问题确定一次函数解析式已知水银体温计的读数y (℃)与水银柱的长度x (cm)之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰(如图)，表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度．出函数自变量的取值范围)；(2)用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2cm ，求此时体温计的读数．解析：(1)设y 关于x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由统计表的数据建立方程组求出k ，b 即可；(2)当x ＝6.2时，代入(1)的解析式就可以求出y 的值．解：(1)设y 关于x 的函数关系式为y＝kx ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧35.0＝4.2k ＋b ，40.0＝8.2k＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1.25，b ＝29.75，∴y ＝1.25x ＋29.75.∴y 关于x 的函数关系式为y ＝1.25x ＋29.75；(2)当x ＝6.2时，y ＝1.25×6.2＋29.75＝37.5.答：此时体温计的读数为37.5℃. 方法总结：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由解析式根据自变量的值求函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．【类型六】 与确定函数解析式有关的综合性问题如图，A 、B 是分别在x 轴上位于原点左右侧的点，点P (2，m )在第一象限内，直线PA 交y 轴于点C (0，2)，直线PB 交y 轴于点D ，S △AOP ＝12.(1)求点A 的坐标及m 的值； (2)求直线AP 的解析式； (3)若S △BOP ＝S △DOP ，求直线BD 的解析式． 解析：(1)S △POA ＝S △AOC ＋S △COP ，根据三角形面积公式得到12×OA ×2＋12×2×2＝12，OA ＝10，则A 点坐标为(－10，0)，S △AOP ＝12×10×m ＝12求出m ；(2)A 点和C 点坐标，可利用待定系数法确定直线AP 的解析式；(3)利用三角形面积公式由S △BOP ＝S △DOP 得PB ＝PD ，即点P 为BD 的中点，则可确定B 点坐标为(4，0)，D 点坐标为(0，245)，然后利用待定系数法确定直线BD 的解析式．解：(1)∵S △POA ＝S △AOC ＋S △COP ，∴12×OA ×2＋12×2×2＝12，∴OA ＝10，∴A 点坐标为(－10，0)．∵S △AOP ＝12×10×m ＝12，∴m ＝125；(2)设直线AP 的解析式为y ＝kx ＋b ，把A (－10，0)，C (0，2)代入得⎩⎪⎨⎪⎧－10k ＋b ＝0，b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝15，b ＝2，∴直线AP 的解析式为y ＝15x ＋2；(3)∵S △BOP ＝S △DOP ，∴PB ＝PD ，即点P 为BD 的中点，∴B 点坐标为(4，0)，D 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，245.设直线BD 的解析式为y ＝k ′x＋b ′，把B (4，0)，D ⎝⎛⎭⎪⎫0，245代入得⎩⎪⎨⎪⎧4k ′＋b ′＝0，b ′＝245，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ′＝－65，b ′＝245，∴直线BD 的解析式为y ＝－65x ＋245.三、板书设计1．待定系数法的定义2．用待定系数法求一次函数解析式教学中，要让学生通过自主讨论、交流，来探究学习中碰到的问题，教师从中点拨、引导，并和学生一起学习，探讨，真正做到教学相长．。
2020版八年级数学下册第十九章一次函数19.2一次函数19.2.3一次函数与方程、不等式(第1课时)教案(新版)
19.2.3一次函数与方程、不等式第1课时【教学目标】知识与技能:认识一次函数与一元一次方程之间的联系.会用函数观点解释一元一次方程的意义.过程与方法:经历用函数图象表示一元一次方程解的过程,学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想,进一步体会“以形表示数,以数解释形”的数形结合思想.情感态度与价值观:培养数形结合的数学思想,积极参与交流,积极发表意见,让学生体会数学的应用价值.【重点难点】重点:会根据一次函数图象求一元一次方程的解.难点:会根据一次函数图象求一元一次方程的解.【教学过程】一、创设情境,导入新课我们来看下面两个问题:1.解方程2x+20=0.2.当自变量x为何值时,函数y=2x+20的值为0?这两个问题之间有什么联系吗?我们这节课就来研究这个问题,并学习利用这种关系解决相关问题的方法.二、探究归纳活动1: 一次函数与一元一次方程的关系1.问题:填空:(1)解方程2x+6=0,得x=________.(2)从函数图象上看,直线y=2x+6与x轴交点的坐标为________ ,这也说明函数y=2x+6值为________,对应的自变量x为__________,即方程2x+6=0的解是________.答案:(1)-3(2)(-3,0)0 -3x=-32.思考:直线y=2x+6与x轴的交点坐标和方程2x+6=0的解有什么关系?提示:直线y=2x+6与x轴的交点的横坐标,就是方程2x+6=0的解.3.归纳:一次函数与一元一次方程的关系(1)由于任何一个以x为未知数的一元一次方程都可转化为ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的形式.所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax+b(a≠0)的函数值为0时,求自变量x的值.(2)一元一次方程ax+b=0的解,是直线y=ax+b与x轴交点的横坐标值.活动2:例题讲解【例1】利用函数图象解下列方程:(1)0.5x-3=1. (2)3x-2=x+4.分析:将方程转化为kx+b=0的形式,画出y=kx+b的图象,由直线与x轴的交点坐标确定原方程的解.解:(1)原方程可化为0.5x-4=0.画出一次函数y=0.5x-4的图象,由图象看出直线y=0.5x-4与x轴的交点为(8,0),所以方程0.5x-3=1的解为x=8.(2)原方程可化为2x-6=0.画出一次函数y=2x-6的图象,由图象看出直线y=2x-6与x轴的交点为(3,0),所以方程3x-2=x+4的解为x=3.总结:一次函数与一元一次方程的关系一个一次函数,当已知函数值求其自变量的值时,就可看成是解一元一次方程;而一个具体的一元一次方程,实际上是已知一次函数的函数值,求其自变量的值.即一次函数是一般意义的一元一次方程,而一元一次方程是具体意义的一次函数.【例2】甲、乙两地距离300 km,一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地.如图,线段OA表示货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系,折线BCDE表示轿车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系,根据图象,解答下列问题:(1)线段CD表示轿车在途中停留了______ h.(2)求线段DE对应的函数解析式.(3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车.分析:(1)根据图象中点C,点D的横坐标求出轿车在途中停留的时间.(2)设线段DE对应的函数解析式为y=kx+b(k≠0),由图象得出D点坐标(2.5,80),与E点坐标(4.5,300),代入y=kx+b列方程组求解.(3)两车在行驶中路程相同时,说明轿车追上货车;在两个图象的交点处说明轿车追上货车.解:(1)CD平行于x轴,说明轿车离甲地的距离没发生变化,即轿车停留,时间为C,D两点横坐标的差,2.5-2=0.5(小时).(2)设线段DE对应的函数解析式为y=kx+b(k≠0),由图象可得在线段DE上,D点坐标(2.5,80),E点坐标(4.5,300),由题意得解得所以线段DE对应的函数解析式为:y=110x-195(2.5≤x≤4.5).(3)两车在行驶中路程相同时,说明轿车追上货车;在两个图象的交点处说明轿车追上货车.∵A点坐标为(5,300),代入解析式y=ax得300=5a,解得a=60,故y=60x,当60x=110x-195时,解得x=3.9,故3.9-1=2.9(小时),答:轿车从甲地出发后经过2.9小时追上货车.总结:用一次函数与方程的关系解决实际问题的步骤(1)分析题目中的数量关系及等量关系.(2)列出函数关系式.(3)利用函数与方程的关系求解.(4)验证所求的解是否符合题意,并作答.三、交流反思这节课我们学习了一次函数与一元一次方程之间的联系.能把解方程kx+b=0(k≠0)与求自变量x为何值时,一次函数y=kx+b的值为0看成是一个问题.利用图象法解一元一次方程,并能应用它们的关系解决实际问题.理解数形结合的内涵.四、检测反馈1.一次函数y=kx+b的图象如图所示,则方程kx+b=0的解为 ()A.x=2B.y=2C.x=-1D.y=-12.直线y=2x+b与x轴的交点坐标是(2,0),则关于x的方程2x+b=0的解是()A.x=2B.x=4C.x=8D.x=103.已知方程kx+b=0的解是x=3,则函数y=kx+b的图象可能是()4.如图,直线y=kx+b分别交x轴,y轴于点A,B,则关于x的方程kx+b=0的解为()A.x=-2B.x=0C.x=2D.x=35.下列各个选项中的网格都是边长为1的小正方形,利用函数的图象解方程5x-1=2x+5,其中正确的是()6.如图所示,是某航空公司托运行李的费用y(元)与行李重量x(千克)的关系图象,由图中可知,乘客可以免费托运行李的最大重量为()A.20千克B.30千克C.40千克D.50千克7.直线y=2x+b与x轴的交点坐标是(2,0),则关于x的方程是2x+b=0的解是x=________.8.科学研究发现,空气含氧量y(克/立方米)与海拔高度x(米)之间近似地满足一次函数关系.经测量,在海拔高度为0米的地方,空气含氧量约为299克/立方米;在海拔高度为2 000米的地方,空气含氧量约为235克/立方米.(1)求出y与x的函数关系式.(2)已知某山的海拔高度为1 200米,请你求出该山山顶处的空气含氧量约为多少?五、布置作业教科书第99页习题19.2第8题六、板书设计七、教学反思这节课学习了一次函数与一元一次方程的关系,关于一次函数与一元一次方程的关系,教师通过引导学生观察分析图象与x轴交点或一次函数解析式与一元一次方程的关系,引导学生得出一次函数与一元一次方程的关系:一个一次函数,当已知函数值求其自变量的值时,就可看成是解一元一次方程;而一个具体的一元一次方程,实际上是已知一次函数的函数值,求其自变量的值.即一次函数是一般意义的一元一次方程,而一元一次方程是具体意义的一次函数.让学生明确有关方程问题可用函数的方法来解决,反之,有关函数问题也可用方程的方法来解决.。
八年级数学下册 第十九章 一次函数 19.2 一次函数 19.
x的方程kx+b=0的解是x=-1.
关闭
C
解析 答案
2.若关于x的方程4x-b=5的解为x=2,则直线y=4x-b一定经过点 ( ). A.(2,0) B.(0,5) C.(2,5) D.(5,2)
关闭
C
答案
3.一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象如图,根据图象信息可
求得关于x的方程kx+b=4的解为
kx+m=0的解为x=3,则k=
,m=
.
2 -6
关闭
答案
解法一电费y(单位:元)是峰电量x(单位:千瓦时)的函数,则
y=0.55x+(300-x)×0.3,即y=0.25x+90.由115=0.25x+90,得0.25x-
25=0. 由函数图象看出射线y=0.25x-25(x≥0)与x轴的交点为(100,0),得
x=100. 所以王老师家该月使用峰电100千瓦时.
一次函数与一元一次方程的关系 【例题】 为了能有效地使用电力资源,我市供电部门最近进行 居民峰谷用电试点,每天8:00至21:00用电每千瓦时0.55元(峰电 价),21:00至次日8:00每千瓦时0.3元(谷电价).王老师家使用峰谷电 后,5月份用电量为300千瓦时,付电费115元,则王老师家该月使用峰 电多少千瓦时? 分析:可采用两种方法: (1)把峰电量看作自变量x,所交电费看作y,写出y与x的函数关系式, 用一次函数的知识来求解; (2)利用一元一次方程的知识把峰电量设为未知数x,根据等量关 系列出一元一次方程解决问题.
19.2.3 一次函数与方程、不等式
第1课时 一次函数与一元一次方程
1.因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为 ax+b=0 (a≠0)的形式,所以解一元一次方程相当于在某个
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一次函数
一课一练·基础闯关
题组一次函数与一元一次方程
1.(2017·徐汇区二模)已知直线y=ax+b(a≠0)经过点A(-3,0)和点B(0,2),那么关于x的方程ax+b=0的解是( )
A.x=-3
B.x=-1
C.x=0
D.x=2
【解析】选A.∵直线y=ax+b(a≠0)经过点A(-3,0),∴关于x的方程ax+b=0的解是x=-3.
2.下列图象中,以方程-2x+y-2=0的解为坐标的点组成的图象是( )
【解析】选B.方程y-2x-2=0可化为y=2x+2,当x=0时,y=2;当y=0时,x=-1,可知函数图象过(0,2)和(-1,0).
3.一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的图象如图所示,根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=3的解为__________.
【解析】由图象知y=3时,x=2,∴方程kx+b=3的解为x=2.
答案:x=2
4.已知函数y=kx+b的图象过点(3,1),(6,4).
(1)求其解析式.
(2)画出该函数的图象.
(3)根据图象回答,当x为何值时,y=0?
【解析】(1)∵一次函数y=kx+b的图象过(3,1),(6,4),
∴解得:k=1,b=-2,
∴函数的解析式为y=x-2.
(2)如图所示:
(3)观察图象可知,当x=2时,y=0.
题组实际问题中的一次函数与一次方程
1.如图所示,购买一种苹果,所付款金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数图象由线段OA和射线AB组成,则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省( )
A.1元
B.2元
C.3元
D.4元
【解析】选B.由线段OA的图象可知,当0<x<2时,y=10x,1千克苹果的价钱为:y=10,当购买3千克这种苹果分三次每次购买1千克时,所花钱为:10×3=30(元),
设射线AB的解析式为y=kx+b(x≥2),
把(2,20),(4,36)代入得:
解得:∴y=8x+4,当x=3时,y=8×3+4=28.
则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省2元.
2.“五一节”期间,王老师一家自驾游去了离家170千米的某地,下面是他们家的距离y(千米)与汽车行驶
时间x(小时)之间的函数图象,当他们离目的地还有20千米时,汽车一共行驶的时间是( )
A.2小时
B.2.2小时
C.2.25小时
D.2.4小时
【解析】选C.设AB段的函数解析式是y=kx+b,
y=kx+b的图象过A(1.5,90),B(2.5,170),
解得
∴AB段函数的解析式是y=80x-30,
离目的地还有20千米时,即y=170-20=150千米,
当y=150时,80x-30=150,x=2.25小时.
3.某单位急需用车,但又不准备买车,他们准备和一个体车主或一出租车公司其中一家签订合同.设汽车每月行驶xkm,应付给个体车主的月费用是y1元,应付给出租车公司的月费用是y2元,y1,y2分别与x之间函数关系如图所示.
每月行驶的路程等于________km时,租两家车的费用相同.
【解析】由图象知当x=1500km时,租两家车的费用相同.
答案:1500
4.如图1,在某个盛水容器内,有一个小水杯,小水杯内有部分水,现在匀速持续地向小水杯内注水,注满小水杯后,继续注水,小水杯内水的高度y(cm)和注水时间x(s)之间的关系满足如图2中的图象,则至少需要________s能把小水杯注满.
【解析】设一次函数的解析式为:y=kx+b,
将(0,1),(2,5)代入得:解得:
∴解析式为:y=2x+1,当y=11时,2x+1=11,解得:x=5,
∴至少需要5s能把小水杯注满.
答案:5
5.如图1所示,在A、B两地之间有汽车站C站,客车由A地驶向C站,货车由B地驶向A地,两车同时出发,匀速行驶,图2是客车、货车离C站的路程y1,y2(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系图象.
(1)填空:A、B两地相距________千米.
(2)求两小时后,货车离站C的路程y2与行驶时间x之间的函数解析式.
(3)客、货两车何时相遇?
【解析】(1)80+360=440.
(2)根据图形可知点D(2,0),
∵两小时前货车的速度为80÷2=40千米/时
∴货车行驶360千米所需时间为360÷40=9小时
∴点P(11,360).
设直线DP的解析式为y2=kx+b(k≠0)
将点D和点P的坐标代入得
解得所以两小时后,货车离C站的路程y2与时间x之间的函数解析式为y2=40x-80(2≤x≤11).
(3)设直线EF的函数解析式为y1=mx+n(m≠0),
将点(6,0)和点(0,360)代入得
解得
故直线EF的函数解析式为y1=-60x+360(0≤x≤6).
联立两函数解析式得方程组
解得
答:客、货两车在4.4小时时相遇.
一次函数y=kx+b的图象与y轴相交于点(0,-3),且方程kx+b=0的解为x=2,求这个一次函数的解析式.
【解析】∵方程kx+b=0的解为x=2,∴一次函数y=kx+b的图象经过点(2,0).把(0,-3)、(2,0)代入y=kx+b
中,得解得故一次函数的解析式是y=x-3.
【母题变式】
[变式一]已知一元一次方程k1x+b1=0的解为x=-2,一元一次方程k2x+b2=0的解为x=3,则直线y=k1x+b1与x 轴的交点A到直线y=k2x+b2与x轴的交点B之间的距离为( )
A.1
B.5
C.6
D.无法确定
【解析】选B.∵一元一次方程k1x+b1=0的解为x=-2,一元一次方程k2x+b2=0的解为x=3,
∴直线y=k1x+b1与x轴的交点A的坐标为(-2,0),直线y=k2x+b2与x轴的交点B的坐标为(3,0),
∴AB=3-(-2)=5.
[变式二]已知:一次函数y=ax+b中的自变量x与函数y的对应值如表所示:
则关于x的方程ax+b=0的解满足( )
A.x<1
B.-1<x<0
C.0<x<1
D.x>1
【解析】选B.∵x=-1时,y=-π;x=0时,y=1,
∴-1<x<0时,y的值由负到正,∴关于x的方程ax+b=0的解满足-1<x<0.
【变式训练】用一次函数的图象解一元一次方程.
(1)3x+1=-5.(2)-x+2=4.
【解析】(1)如图所示,函数y=3x+6的图象与x轴交于点(-2,0),所以方程3x+1=-5的解为x=-2.
(2)如图所示,函数y=x+2的图象与x轴交于点(-2,0),所以方程-x+2=4的解为x=-2.。