第六讲运输问题

2010年12月9日
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第六讲
运输规划
二、运输模型的求解
表上作业——确定初始基可行解（2） 确定初始基可行解（ 表上作业 确定初始基可行解
伏格尔法的步骤是： 伏格尔法的步骤是： 第一步： 第一步：计算出各行和各列的最小运费和次最小运 费的差额，并填入该表的最右列和最下行； 费的差额，并填入该表的最右列和最下行； 第二步：从行或列差额中选出最大者，选择它所在行 第二步：从行或列差额中选出最大者， 或列中的最小元素，首先填入运量； 或列中的最小元素，首先填入运量； 第三步：划去已满足条件的行或列， 第三步：划去已满足条件的行或列，并对表中未划去 的元素再分别计算出各行、 的元素再分别计算出各行、各列的最小运费和次最小运费的 差额，并填入该表的最右列和最下行。重复第一、二步。 差额，并填入该表的最右列和最下行。重复第一、二步。直 到给出初始解为止。 到给出初始解为止。
销地 产地
1 2 ┆ m A1 A2 ┆ Am B1 B2 ┈ Bn
1 2 ┉ n
产量 销地 产地
1，2， ┉，n C11，C12， ┉C1n C21，C22， ┉C2n ┆ Cm1，Cm2， ┉Cmn
销量
1 2 ┆ m
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第六讲
运输规划
一、运输规划模型
运输问题的数学模型
与一般线性规划问题不同， 与一般线性规划问题不同，产销平衡的运输问题总是存在 可行解。 可行解。因有
i =1
∑ ai = ∑ b j = d
j =1
m
n
必存在x ≥0， =1， =1， 这就是可行解。 必存在xij≥0，i=1，…，m，j=1，…，n，这就是可行解。又 故运输问题必存在最优解。 0≤x 因0≤xij≤min(ai，bj)，故运输问题必存在最优解。
表1 单位运价表 表2 产销平衡表 B1 B2 B3 B1 3 1 7 B2 11 9 4 B3 3 2 10 B4 10 8 5
销地 加工厂
销地 加工厂
B4
产 量 7 4 9
A1 A2 A3
A1 A2 A3 销量
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6
5
6
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第六讲
运输规划
二、运输模型的求解
求解运输模型的方法——表上作业法 表上作业法 求解运输模型的方法
加工厂
求解运输模型的方法——表上作业法 表上作业法 求解运输模型的方法
A1 A2 A3
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3 1 7
11 9 4
3 2 10
10 8 5
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运输规划
二、运输模型的求解
求解运输模型的方法——表上作业法 表上作业法 求解运输模型的方法 解：先作出这问题的产销平衡表和单位运 价表，见下表： 价表，见下表：
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求解运输模型的方法——表上作业法 表上作业法 求解运输模型的方法
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第六讲
运输规划
二、运输模型的求解
例1 某公司经销甲产品。它下设三个加工厂。每日的 某公司经销甲产品。它下设三个加工厂。 产量分别是： 产量分别是：A1为7吨，A2为4吨，A3为9吨。该公司把这些 产品分别运往四个销售点。各销售点每日销量为： 产品分别运往四个销售点。各销售点每日销量为：B1为3吨， B2为6吨，B3为5吨，B4为6吨。已知从各工厂到各销售点的 单位产品的运价如表所示。问该公司应如何调运产品， 单位产品的运价如表所示。问该公司应如何调运产品，在 满足各销点的需要量的前提下，使总运费为最少。 满足各销点的需要量的前提下，使总运费为最少。 销地 B1 B2 B3 B4
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运输规划
最小元素法
销地 加工厂
二、运输模型的求解
销地 加工厂
B1 3 1 7
B2 11 9 4
B3 3 2 10
B4 10 8 5
B1
B2
B3 4
B4 3 3
产 量 7 4 9
A1 A2 A3
A1 A2 A3 销量 3 6 3 6
1 5 6
最后，该方案的总运费为86元 最后，该方案的总运费为86元。 86
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运输规划
二、运输模型的求解
表上作业——确定初始基可行解（1） 确定初始基可行解（ 表上作业 确定初始基可行解
= ei + em + j
1
(m+n- 个基变量对应的系数列向量是线性独立的。 (2) 这(m+n-1)个基变量对应的系数列向量是线性独立的。 若表中确定的第一个基变量为它对应的系数列向量为: 证：若表中确定的第一个基变量为它对应的系数列向量为:
∑ ∑
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第六讲
运输规划
一、运输规划模型
运输问题的数学模型
这就是运输问题的数学模型。 个变量， 这就是运输问题的数学模型。它包含m×n个变量，(m+n) 个约束方程，其系数矩阵的结构比较松散，且特殊。 个约束方程，其系数矩阵的结构比较松散，且特殊。
x11 x12 ⋯ x1n x21 x22 ⋯ x2 n ⋯ xm1 xm 2 ⋯ xmn u1 1 1 ⋯ 1 u2 1 1 ⋯ 1 ⋮ um v1 1 1 v2 1 1 ⋮ ⋱ ⋱ vn 1 1
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运输规划
二、运输模型的求解
表上作业——确定初始基可行解（1） 确定初始基可行解（ 表上作业 确定初始基可行解 思考：用最小元素法得到的解是基可行解吗？ 思考：用最小元素法得到的解是基可行解吗？
其理由为： 用最小元素法给出的初始解， 其理由为： (1) 用最小元素法给出的初始解，是从单位运 价表中逐次地挑选最小元素，并比较产量和销量。 价表中逐次地挑选最小元素，并比较产量和销量。当产大于 销，划去该元素所在列。当产小于销，划去该元素所在行。 划去该元素所在列。当产小于销，划去该元素所在行。 然后在未划去的元素中再找最小元素，再确定供应关系。 然后在未划去的元素中再找最小元素，再确定供应关系。这 样在产销平衡表上每填入一个数字，在运价表上就划去一行 样在产销平衡表上每填入一个数字， 或一列。表中共有m 总共可划(n+m)条直线。 (n+m)条直线 或一列。表中共有m行n列，总共可划(n+m)条直线。但当表 中只剩一个元素时，这时当在产销平衡表上填这个数字时， 中只剩一个元素时，这时当在产销平衡表上填这个数字时， 而在运价表上同时划去一行和一列。 而在运价表上同时划去一行和一列。此时把单价表上所有元 素都划去了，相应地在产销平衡表上填了(m+n 1)个数字 (m+n- 个数字。 素都划去了，相应地在产销平衡表上填了(m+n-1)个数字。即 给出了(m+n 1)个基变量的值 (m+n- 个基变量的值。 给出了(m+n-1)个基变量的值。
n nm m ∑ b j = ∑ ∑ xij = ∑ ∑ xij = ∑ ai j =1 j =1 i =1 i =1 j =1 i =1
n m
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运输规划
二、运输模型的求解
表上作业法是单纯形法在求解运输问题时的一种简化方 其实质是单纯形法。但具体计算和术语有所不同。 法，其实质是单纯形法。但具体计算和术语有所不同。可归 纳为： 纳为： 找出初始基可行解。即在(m n)产销平衡表上用最小 (m× (1) 找出初始基可行解。即在(m×n)产销平衡表上用最小 元素法或Vogel法给出m+n-1个数字，称为数字格。它们就是初 元素法或Vogel法给出m+n- 个数字，称为数字格。 Vogel法给出m+n 始基变量的取值。 始基变量的取值。 判别是否达到最优解。如已是最优解，则停止计算， (2) 判别是否达到最优解。如已是最优解，则停止计算， 否则转到下一步。 否则转到下一步。 确定换入变量和换出变量，找出新的基可行解。 (3) 确定换入变量和换出变量，找出新的基可行解。在表 用闭回路法调整。 上 用闭回路法调整。 重复(2) (3)直到得到最优解为止 (2)， 直到得到最优解为止。 (4) 重复(2)，(3)直到得到最优解为止。
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运输规划
二、运输模型的求解
表上作业——确定初始基可行解（1） 确定初始基可行解（ 表上作业 确定初始基可行解 思考：最小元素法的缺陷是什么？ 思考：最小元素法的缺陷是什么？
2. 伏格尔法
伏格尔法考虑到，一产地的产品假如不能按最小运费就 伏格尔法考虑到， 近供应，就考虑次小运费，这就有一个差额。差额越大， 近供应，就考虑次小运费，这就有一个差额。差额越大，说 明不能按最小运费调运时，运费增加越多。 明不能按最小运费调运时，运费增加越多。因而对差额最大 就应当采用最小运费调运。 处，就应当采用最小运费调运。
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二、运输模型的求解
表上作业——确定初始基可行解（1） 确定初始基可行解（ 表上作业 确定初始基可行解 练习题
销地 加工厂
B1 8 4
B2 B3 B4 产 量 13 11 5 8 11 50 8 40
A1 A2 A3 销量
12 6 12 6 60 60 40 20 30
Pi