陕西省延安中学2012届高三第七次模拟试题 理数

延安中学2012届高三第七次模拟试题数学（理科）第Ⅰ卷 (选择题，共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分 1.复数11z i=+（i为虚数单位）的虚部为( )A. 12B. 12- C. 1 D. 1- 2.已知x ，y ，z ∈R ，若1-，x ，y ，z ，3-成等差数列，则x y z ++的值为( )A.2-B. 4-C. 6-D. 8- 3.已知命题:1P a >，:(1)(1)0Q a a -+>，则P 是Q 成立的（ ）条件A.充分而不必要B.必要而不充分C.充分必要D.既不充分也不必要4.已知两组样本数据,}{n x x x ,......,21的平均数为h ，}{m y y y ,......,21的平均数为k, 则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为 （ ） A ．2k h + B ．n m mk nh ++ C ．n m mh nk ++ D ．nm kh ++ 5.已知函数()()()f x x a x b =--(其中)a b >的图象如右图所示，则函数()xg x a b =+的图象大致为( )A B C D6.某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在 一起，那么不同的停放方法的种数为（ ）A.16B.18C.24D.32主视图左视图俯视图7.双曲线222x y -=,若抛物线2y ax =的焦点恰好为该双曲线的右焦点，则a 的值为 ( ) A.2B.2C.4D.88.在直角梯形ABCD 中，已知BC ∥AD ，AB AD ⊥，4AB =，2BC =，4AD =，若P为CD的中点，则PA PB⋅ 的值为（ ）A. 5-B. 4-C. 4D. 59.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中主视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球半径为 （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 610.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-+=)10(,1)01(,1)(2x x x x x f , 则⎰-=11)(dx x f ( )A ．21π+ B. 421π+C. 41π+D. 221π+第Ⅱ卷（共100分）二、填空题:本大共5小题,考生作答5小题,每小题5分，满分25分 11.设二项式6)(xa x -的展开式中2x 的系数为A ,常数项为B ,若A B 4=,则=a 12．执行如图的程序框图，那么输出S 的值是13．设()sin(2)f x x ϕ+＝，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x R ∈① 012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭； ② ()f x 的图像关于点5(,0)12π对称； ③ ()f x 既不是奇函数也不是偶函数； ④ ()f x 的单调递增区间是()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 以上结论正确的是__________________（写出所有正确结论的编号）．14.23==4= .观察以上等式，若8=a ，t 均为正实数），则=+t a . 15.选做题（请考生在以下三个小题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）A.（不等式选作）已知不等式a x x <-+-34有解，则a 的取值范围为 .B.（平面几何选作）如图，AB 是⊙O 的直径，直线DE 切⊙O 于点D ，且与AB 延长线交于点C ，若CD =，1CB =，则ADE ∠= ．C.（极坐标与参数方程选作）在极坐标系中，圆2=ρ的圆心到 直线cos sin 2ρθρθ+=的距离为 ．三、解答题:本大题共6小题,满分75分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本题满分12分）已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为,,,c b a 向量)2cos ,2(cos ),1,4(2A A n m =-=→→,且27=⋅→→n m .（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =c b ⋅取得最大值时△ABC 形状．17.（本题满分12分）某公司向市场投放三种新型产品，经调查发现第一种产品受欢迎的概率为45，第二、第三种产品受欢迎的概率分别为,()p q p q >，且不同种产品是否受欢迎相互独立.记ξ为公司向市场投放三种新型产品受欢迎的数量，其分布列为ξ0 1 2 3p245a b845（Ⅰ）求,p q 的值 （Ⅱ）求数学期望E ξ.18.（本题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD是矩形，2,AB =BC =，且侧面PAB 是正三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ， （Ⅰ）求证：PD AC ⊥；（Ⅱ）在棱PA 上是否存在一点E ，使得二面角E BD A --的大小为45°.若存在，试求AEAP的值，若不存在，请说明理由.19.（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点()0,1 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）12,A A 为椭圆C 的左、右顶点，直线:l x =x 轴交于点D ，点P 是椭圆C上异于12,A A 的动点，直线12,A P A P 分别交直线l 于,E F 两点.证明：DE DF ⋅恒为定值.20.（本题满分13分）已知等差数列{}n a 的公差d 大于0，且2a 、5a 是方程212270x x -+=的两根.数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足2()n n T b n N +=-∈ （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，记()(,)n n n c S b R n N λλ+=-⋅∈∈.若6c 为数列{}n c 中的最大项，求实数λ的取值范围.21.（本题满分14分）已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点.（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围.第七次模拟答案一．选择题（50分）14、-3 12. 2 13. ①②③ 14.71 15.A ),1(+∞ B.︒60 C.2 16．解：（Ⅰ）2(4,1),(cos ,cos2)2AA =-=由m n 2221cos 4cos cos24(2cos 1)2cos 2cos 322A AA A A A +⋅=-=⋅--=-++m n27712cos 2cos 3cos 222A A A ⋅=++==又因为,所以-解得m nπ0π,3A A <<∴= ………………………………6分（Ⅱ）2222cos ,ABC a b c bc A a =+-=在中,且△2222212.2b c bc b c bc ∴=+-⋅=+-………………………………8分 222,32,b c bc bc bc +≥∴≥-3,,bc b c b c ≤==⋅即当且仅当取得最大值……………………………10分ππ,,33A B C b c ABC =∴==⋅故取得最大值时,为等边三角形△………12分 17.解：设事件i A 表示“该公司第i 种产品受欢迎”，1,2,3,i =由题意知124(),()5P A P A p ==3()P A q = ………………………………………………1分 （I ）由题意知12312312(0)()(1)(1),(3)()545P P A A A p q P P A A A ξξ===--=== 48545pq ==，整理得29pq =且1p q +=，由p q >，可得21,33p q ==.…………6分（II ）由题意知123123123(1)()()()a P P A A A P A A A P A A A ξ===++41113(1)(1)(1)(1)55545p q p q p q =--+-+-=，……………………………8分 22(2)1(0)(1)(3)45b p p P p ξξξξ===-=-=-==……………………10分因此270(0)1(1)2(2)3(3)15E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+⨯=+⨯==……………12分18.取AB 中点H ，则由PA PB =，得PH AB ⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB 平面ABCD AB =，所以PH ⊥平面ABCD .以H 为原点，建立空间直角坐标系H xyz -（如图）.则(1,0,0),(1,0,0),(1(1A B D C P --……………………2分（Ⅰ）证明：∵(1(PD AC ==-……………………………………………………………………4分∴(1(0PD AC =-=，∴PD AC ⊥，即PD AC ⊥.…………………………………6分（Ⅱ）假设在棱PA 上存在一点E ，不妨设(01)AE AP λλ=<<，则点E的坐标为(1,)λ-，……………………………8分∴(2),BE BD λ=-=设(,,)n x y z =是平面EBD 的法向量，则0(2)00,0200z x n BE n BE x y z n BD n BD x z y λ⎧=⎧⎧⎧⊥=-++=⎪⎪⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨⊥=++=⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩=⎩不妨取x =EBD的一个法向量2)n λλ-=-.………10分又面ABD的法向量可以是HP = 要使二面角E BD A --的大小等于45°，则cos 45°=2|)(0,0,||cos ,|||2|||||)|||HP n HP n HP n λλλλ--<>==-- 可解得12λ=，即12AE AP =故在棱PA 上存在点E ，当12AE AP =时，使得二面角E BD A --的大小等于45° …12分19.（Ⅰ）解：由题意可知，1b =，2c a =， 解得2a =. …………4分所以椭圆的方程为2214x y +=. …………5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知,1(2,0)A -，2(2,0)A .设00(,)P x y ，依题意022x -<<，于是直线1A P 的方程为00(2)2y y x x =++，令x =则00(22y y x =+.即002)2y DE x =+. …………7分又直线2A P 的方程为00(2)2y y x x =--，令x =0y =，即002)2y DF x =-. …………9分220000220000442)2)2244y y y y DE DF x x x x ⋅=⋅==+---…………11分 又00(,)P x y 在2214x y +=上，所以220014x y +=,即220044y x =-，代入上式， 得2020414x DE DF x -⋅==-,所以||||DE DF ⋅为定值1. …………12分20.解：（Ⅰ）由252512,27a a a a +==，且0d >，所以253,9a a ==，从而5212,1,3a a d a -===∴21(*)n a n n N =-∈ ………………3分 在已知2n n T b =-中，令1n =，得11b =当2n ≥时，2n n T b =-，112n n T b --=-，两式相减得，1n n n b b b -==， ∴1111(2),()(*)22n n n n b n b n N b --=≥∴=∈ ……………………6分 （Ⅱ）∵2[1(21)]2n n n S n +-==则211()()()2n n n n c S b n λλ-=-=-……………………8分 当2n ≥时，[]22121)21()1()21()(---⋅---⋅-=-n n n n n n c c λλ21422n n n λ--+-+=有7n ≥时，1023n n c c λ--≤⇒≤…………………………10分6n ≤时，1014n n c c λ--≥⇒≥……………………………12分则有1423λ≤≤ ………………………………13分21.（Ⅰ）因为()'2101af x x x=+-+所以()'361004af =+-= 因此16a = （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ()()()216l n 110,1,fx x x x x =++-∈-+∞()()2'2431x x f x x-+=+当()()1,13,x ∈-+∞ 时，()'0f x >当()1,3x ∈时，()'0fx <所以()f x 的单调增区间是()()1,1,3,-+∞()f x 的单调减区间是()1,3（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'0fx =所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-，极小值为()332ln 221f =- 因此()()21616101616ln291f f =-⨯>-=()()213211213fef --<-+=-<所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<因此，b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--。