高二数学暑假开学考试测试试题目标版 新版.doc
高二数学下学期开学考试试题含解析
卜人入州八九几市潮王学校第二二零二零—二零二壹高二数学下学期开学考试试题〔含解析〕一、单项选择题〔每一小题5分，一共60分〕 1.实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，那么9x y -的取值范围是〔〕A.[7,26]-B.[1,20]-C.[4,15]D.[1,15]【答案】B 【解析】 【分析】令m x y =-，4n x y =-，得到关于,x y 的二元一次方程组，解这个方程组，求出9x y -关于,m n 的式子，利用不等式的性质，结合,m n 的取值范围，最后求出9x y -的取值范围.【详解】解：令m x y =-，4n x y =-，,343n m x n m y -⎧=⎪⎪⇒⎨-⎪=⎪⎩,那么855520941,33333z x y n m m m =-=--≤≤-∴≤-≤又884015333n n -≤≤∴-≤≤，因此80315923z x y n m -=-=-≤≤，故此题选B. 【点睛】此题考察了利用不等式的性质，求不等式的取值范围问题，利用不等式同向可加性是解题的关键. 2.3x >，13y x x =+-，那么y 的最小值为〔〕. A.2 B.3C.4D.5【答案】D 【解析】 【分析】由3x >，即30x ->，那么113333y x x x x =+=-++--，再结合重要不等式求最值即可. 【详解】解：因为3x >，所以30x ->，那么11333533y x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当133x x -=-，即4x =时取等号， 应选C.【点睛】此题考察了重要不等式的应用，重点考察了观察、处理数据的才能，属根底题.3.函数()f x =的定义域是R ，那么实数a 的取值范围是()A.a >13B.－12<a ≤0 C －12<a <0 D.a ≤13【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可知230ax ax +-≠对于一实在数都成立，分类讨论，求出实数a 的取值范围.【详解】由题意可知230ax ax +-≠对于一实在数都成立,当a ＝0时，不等式成立，即符合题意；当0a≠时，要想230ax ax +-≠对于一实在数都成立，只需24(3)0a a ∆=-⨯-<，解得－12<a <0,综上所述，实数a 的取值范围是－12<a ≤0，故此题选B. 【点睛】此题考察了不等式恒成立问题，考察了分类思想.4.如图是某工厂对一批新产品长度(单位:mm )检测结果的频率分布直方图.估计这批产品的平均数与中位数分别为() A. 20 B.222.75C.252D.2525【答案】C【解析】 由题意，这批产品的平均数为()50.0212.50.0417.50.0822.50.0327.50.0332.522.75x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，其中位数为()00.50.020.0452022.50.08x -+⨯=+=.应选C.5.某家庭连续五年收入x 与支出y 如下表：画散点图知：y 与x 线性相关，且求得的回归方程是y bx a =+，其中0.76b =，那么据此预计该家庭2021年假设收入15万元，支出为〔〕万元. A. B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】回归方程一定经过样本中心点()x y ，求出样本中心点，代入方程可以求出a ，然后令15x =，可以解出答案． 【详解】10,8,x y ==y bx a ∴=+由得80.7610a =⨯+0.40.760.4a y x 得，回归方程为=∴=+,.应选:B【点睛】此题主要考察了线性回归方程的样本中心点，属于根底题．6.从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数，那么这个两位数大于30的概率为〔〕A.720B.716C.1320D.916【答案】B【解析】【分析】直接利用古典概型的概率公式求解.【详解】从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数有10，12，13，14，20，21，23，24，30，31，32，34，40，41，42，43，一共16个，其中大于30的有31，32，34，40，41，42，43，一共7个，故所求概率为716 P ．应选B【点睛】此题主要考察古典概型的概率的计算，意在考察学生对该知识的理解掌握程度，属于根底题.7.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、缉古算经，有丰富多彩的内容，是理解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化〞校本课程学习内容，那么所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为〔〕A.35B.710C.45D.910【答案】D【解析】【分析】利用列举法，从这5部专著中选择2部作为“数学文化〞校本课程学习内容，根本领件有10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的根本领件有9种情况，由古典概型概率公式可得结果.【详解】周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、缉古算经，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．记这5部专著分别为,,,,a b c d e ，其中,,a b c 产生于汉、魏、晋、南北朝时期．从这5部专著中选择2部作为“数学文化〞校本课程学习内容，根本领件有,,,,,,,,,,ab ac ad ae bc bd be cd ce de 一共10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的根本领件有,,,,,,,,,ab ac ad ae bc bd be cd ce ，一共9种情况，所以所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为910m Pn ==．应选D ． 【点睛】此题主要考察古典概型概率公式的应用，属于根底题，利用古典概型概率公式求概率时，找准根本领件个数是解题的关键，根本亊件的探求方法有(1)枚举法：适宜给定的根本领件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适宜于较为复杂的问题中的根本亊件的探求.在找根本领件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B ….1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B …这样才能防止多写、漏写现象的发生.8.椭圆22:13x C y +=内有一条以点1(1,)3P 为中点的弦AB ，那么直线AB 的方程为〔〕 A.3320x y +-= B.3320x y ++= C.3340x y +-= D.3340x y ++=【答案】C 【解析】 【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，那么由中点坐标公式可求12x x +，12y y +，由A ，B 在椭圆上可得221113x y +=，222213x y +=，两式相减可得，结合1212AB y y K x x -=-，代入可求直线AB 的斜率，进而可求直线AB 的方程.【详解】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，那么1212x x +=，1212y y+=由A ，B 在椭圆上可得221113x y +=，222213x y +=, 两式相减可得，12121212()()()()031x x x x y y y y -+-++=直线AB 的方程为11(1)3y x -=--即3340.x y +-=故答案为C【点睛】此题主要考察理解析几何中的点差法和设而不求，意在考察学生对这些知识的理解才能掌握程度和应用才能. 9.点(0,1)A -是抛物线22xpy =的准线上一点，F 为抛物线的焦点，P 为抛物线上的点，且PF m PA =，假设双曲线C 中心在原点，F 是它的一个焦点，且过P 点，当m 取最小值时，双曲线C的离心率为〔〕11【答案】C 【解析】 由于A 在抛物线准线上,故2p =,故抛物线方程为24x y =,焦点坐标为()0,1.当直线PA 和抛物线相切时,m获得最小值,设直线PA 的方程为1y kx =-,代入抛物线方程得2440x kx -+=,判别式216160k -=,解得1k =±,不妨设1k =,由2440x x -+=,解得2x =,即()2,1P .设双曲线方程为22221y x a b-=,将P 点坐标代入得22141a b-=,即222240b a a b --=,而双曲线1c =,故22221,1a b b a =+=-,所以()22221410a a a a ----=,解得1a =,故离心率为1c a ==,应选C. 【点睛】本小题主要考察直线和抛物线的位置关系,考察直线和双曲线的位置关系,考察直线和抛物线相切时的代数表示方法,考察双曲线的离心率求解方法.在有关椭圆,双曲线和抛物线等圆锥曲线有关的题目时,一定要注意焦点在哪个坐标轴上,比方此题中,抛物线的焦点在y 轴上,而双曲线的焦点也在y 轴上.10.直三棱柱ABC —A′B′C′中，AC ＝BC ＝AA′，∠ACB＝90°，E 为BB′的中点，异面直线CE 与C A '所成角的余弦值是〔〕B.5-【答案】D 【解析】 【分析】以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC '为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线CE 与C A '所成角的余弦值．【详解】直三棱柱ABC A B C -'''中，AC BC AA =='，90ACB ∠=︒，E 为BB '的中点．以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC '为z 轴，建立空间直角坐标系，设2AC BC AA =='=，那么(0C ，0，0)，(0E ，2，1)，(0C '，0，2)，(2A ，0，0)，(0CE =，2，1)，(2C A '=，0，2)-，设异面直线CE 与C A '所成角为θ，那么||210cos 10||||58CE C A CE C A θ'==='∴异面直线CE 与C A '．应选：D ．【点睛】此题考察异面直线所成角的余弦值的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，是根底题． 11.在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，那么直线1BC 与平面11BB DD 所成角的正弦值为〔〕A.63B.102C.155D.105【答案】D 【解析】 【分析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线,所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．【详解】解：以D 点为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，那么1(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),A B C C (0,2,1),1(2,0,1),(2,2,0),BC AC AC ∴=-=-为平面11BB D D 的一个法向量． 110cos ,58BC AC ∴<>==⋅．∴直线1BC 与平面11BB DD 10应选：D ．【点睛】此题重点考察了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系,利用向量方法解决立体几何问题．12.p ：[1,2)x ∃∈-，2()40f x x ax =-++≤〕A.03a ≤<B.0<<3aC.3a <D.0a>【答案】B 【解析】 【分析】p 的等价条件，结合充分不必要条件的定义转化为集合真子集关系进展求解即可．【详解】p ：[1,2)x ∃∈-，2()40f x x ax =-++≤p ⌝：[1,2)x ∀∈-，2()40f x x ax =-++>那么(1)0(2)0f f ->⎧⎨≥⎩，即(1)140(2)4240f a f a -=--+>⎧⎨=-++≥⎩，解得03a ≤<，p 的等价条件为03a ≤<，那么对应的充分不必要条件为[0,3)的一个真子集，应选：B ．【点睛】此题主要考察充分条件和必要条件的应用，求出p 的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为集合真子集关系是解决此题的关键． 二、填空题〔每一小题5分，一共20分〕 13.假设关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是()(),31,-∞-⋃+∞，那么关于x 的不等式20cx bx a ++>的解集是______.【答案】()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】 由不等式20ax bx c ++<的解集求出a 、b 、c 的关系，再把不等式20cx bx a ++>化为可以解答的一元二次不等式，求出解集即可．【详解】关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是()(),31,-∞-⋃+∞，∴关于x 的方程20ax bx c ++=有两个实数根是3x =-或者1x =；0a ∴<且23bac a⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以23b a c a=⎧⎨=-⎩；∴关于x 的不等式20cx bx a ++>可化为2320ax ax a -++>，即23210x x -->；解得1x >或者13x <-， 故答案为()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】此题主要考察一元二次不等式的解法，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度.14.从2名男同学和1名女同学中任选2名同学参加社区效劳，那么选中的2人恰好是1名男同学和1名女同学的概率是__________． 【答案】23【解析】 【分析】将2名男同学分别记为,x y ，1名女同学分别记为a ，写出所有情况和满足条件的情况，相除得到答案. 【详解】将2名男同学分别记为,x y ，1名女同学分别记为a .所有可能情况有：{},x y ，{},x a ，{},y a ，一共3种.合题意的有{},x a ，{},y a ，2种.所以23p =. 故答案为23【点睛】此题考察了概率的计算，属于根底题型.15.在正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是1BB ，CD 的中点，那么异面直线1D F 与DE 所成角的大小为___________. 【答案】90 【解析】 【分析】以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用直线1D F 和直线DE 的方向向量，计算出线线角的余弦值，由此求得线线角的大小. 【详解】以D为坐标原点建立空间直角坐标系如以下图所示，设正方体边长为2，故()()()12,2,1,0,0,2,0,1,0E D F ，所以()10,1,2D F =-，设直线1D F 和直线DE 所成角为θ，那么11cos 0D F DE D F DEθ⋅==⋅，所以90θ=.【点睛】本小题主要考察利用空间向量法求异面直线所成的角，考察空间向量的运算，属于根底题. 16.集合1{|0}1x A x x -=<+，{|}B x x a =<，假设A 是B 的充分不必要条件，那么实数a 的取值范围是______． 【答案】[)1,+∞【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义建立条件关系即可求出a 的取值范围． 【详解】解：1{|0}{|11}1x A x x x x -=<=-<<+， 假设A 是B 的充分不必要条件， 那么AB ，那么1a ≥，故答案为：[)1,+∞.【点睛】此题主要考察充分条件和必要条件的应用，列出不等关系是解决此题的关键． 三、解答题 17.()()()222f x x m x m m R =+--∈ (1)()f x 在[]2,4上是单调函数,求m 的取值范围； (2)求()0f x <的解集.【答案】(1)6m ≤-或者2m ≥-；(2)当2m =-时,不等式()0f x <的解集为空集；当2m >-时,不等式()0f x <的解集为{}2x m x -<<； 当2m <-时,不等式()0f x <的解集为{}2x x m <<-.【解析】 【分析】(1)求出函数的对称轴,然后根据二次函数的单调性,由题意分类讨论即可求m 的取值范围； (2)根据一元二次方程根之间的大小关系进展分类讨论求出()0f x <的解集.【详解】(1)函数()()()222f x x m x m m R =+--∈的对称轴为：22mx -=因为()f x 在[]2,4上是单调函数,所以有：242m -≥或者222m-≤,解得 6m ≤-或者2m ≥-；(2)方程()2220xm x m +--=的两个根为：2,m -.当2m =-时,不等式()0f x <的解集为空集；当2m >-时,不等式()0f x <的解集为{}2x m x -<<； 当2m <-时,不等式()0f x <的解集为{}2x x m <<-.【点睛】此题考察了函数单调性求参数问题,考察了求解一元二次不等式的解集,考察了分类讨论思想. 18.某校高二期中考试后，教务处方案对全年级数学成绩进展统计分析，从男、女生中各随机抽取100名学生，分别制成了男生和女生数学成绩的频率分布直方图，如以下图.〔2〕在〔1〕中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意任取2人，求至少有1名男生的概率．【答案】〔1〕男30人，女45人〔2〕710【解析】 【分析】〔1〕根据频率分布直方图求出男、女生优秀人数即可；〔2〕求出样本中的男生和女生的人数，写出所有的根本领件以及满足条件的根本领件的个数，从而求出满足条件的概率即可．【详解】〔1〕由题可得，男生优秀人数为()1000.010.021030⨯+⨯=人，女生优秀人数为()1000.0150.031045⨯+⨯=人；〔2〕因为样本容量与总体中的个体数的比是51304515=+，所以样本中包含男生人数为130215⨯=人，女生人数为145315⨯=人．设两名男生为1A ，2A ，三名女生为1B ，2B 3B ．那么从5人中任意选取2人构成的所有根本领件为：{}12,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}13,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}23,A B ，{}12,B B ，{}13,B B ，{}23,B B 一共10个，记事件C ：“选取的2人中至少有一名男生〞， 那么事件C 包含的根本领件有：{}12,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}13,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}23,A B 一共7个．所以()710PC =． 【点睛】此题考察了频率分布问题，考察了古典概型概率问题，是一道中档题．19.将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠,使得平面ABD ⊥平面CBD ,AE ⊥平面ABD ,F是BD 的中点,且AE =(1)求证：DEAC ⊥；(2)求二面角B EC F --的大小． 【答案】(1)见解析；(2)45︒ 【解析】 【分析】 (1)以A 为坐标原点,,,AB AD AE 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,求出点,,E B D 三点的坐标,通过F 是BD 的中点,可得CFBD ⊥,利用面面垂直的性质定理可得CF ⊥平面BDA ,进而可以求出点C 的坐标,最后利用向量法可以证明出DE AC ⊥；(2)分别求出平面BCE 、平面FCE 的法向量,最后利用空间向量夹角公式求出二面角B EC F --的大小．【详解】(1)证明：以A 为坐标原点,,,AB AD AE 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如以下图,那么(E,()2,0,0B ,()0,2,0D取BD 的中点F 并连接,CF AF . 由题意得,CF BD ⊥又平面BDA ⊥平面BDC ,CF ∴⊥平面BDA ,(C ∴,(0,DE ∴=-,(AC =,(0,DE AC ⋅=-⋅(0=,DE AC ∴⊥.(2)解：设平面BCE 的法向量为()111,,n x y z =,那么(2,0,EB =,(BC =-,令(1,1,n =-.平面FCE 的法向量为()222,,m x y z =,()1,1,0F所以()1,1,0EC=，(FC =,由2220000x y EC m z FC m +=⎧⎧⋅=⇒⎨⎨=⋅=⎩⎩得()1,1,0m =-.设二面角B EC F --为θ,那么2cos cos ,2n m θ==所以二面角B EC F --的大小为45︒.【点睛】此题考察了用空间向量的知识解决线线垂直、二面角的问题,正确求出相关点的坐标是解题的关键. 20.曲线Γ上任意一点P到两个定点()1F 和)2F 的间隔之和为4．〔1〕求曲线Γ的方程； 〔2〕设过()0,2-的直线l 与曲线Γ交于C 、D 两点，且0OC OD ⋅=〔O 为坐标原点〕，求直线l 的方程．【答案】(1)2214x y +=；(2)直线l 的方程是22y x =-或者22y x =--．【解析】【详解】〔1〕根据椭圆的定义，可知动点M的轨迹为椭圆， 其中2a=，c =，那么1b ==．所以动点M 的轨迹方程为2214x y +=．〔2〕当直线l 的斜率不存在时，不满足题意． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =-，设11(,)C x y ，22(,)D x y ，∵0OC OD ⋅=，∴．∵112y kx =-，222y kx =-，∴21212122()4y y k x x k x x =⋅-++．∴21212(1)2()40kx x k x x +-++=．①由方程组221,{4 2.x y y kx +==-得()221416120k xkx +-+=．那么1221614k x x k +=+，1221214x x k ⋅=+，代入①，得()222121612401414k k k k k +⋅-⋅+=++． 即24k =，解得，2k =或者2k =-．所以，直线l 的方程是22y x =-或者22y x =--．21.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14AA =，2AB =，点M 是BC 的中点．〔1〕求异面直线1AC 与DM 所成角的余弦值； 〔2〕求直线1AC 与平面1A DM所成角的正弦值．【答案】30 (2)56. 【解析】【详解】分析：〔1〕直接建立空间直角坐标系，求出1A C ，，D ，M四点的坐标写出对于的向量坐标，然后根据向量的夹角公式求解即可；〔2〕先根据坐标系求出平面1A DM 的法向量，然后写出1AC 向量，在根据向量夹角公式即可求解.详解： 在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，以D 为原点，DA 、DC 、1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如以下图空间直角坐标系D xyz -． 因为()1,2,0M，()2,0,0A ，()10,2,4C ，所以()1,2,0DM=，()12,2,4AC =-，所以1121122204cos ,1DM AC DM AC DMAC ⨯-+⨯+⨯⋅===⨯，所以异面直线1AC 与DM 所成角的余弦值为30．(2)()12,0,4DA =，设平面1A DM的一个法向量为(),,nx y z =．那么100DA n DM n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得24020x z x y +=⎧⎨+=⎩，取1y =，得2x =-，1z =，故平面1A DM的一个法向量为()2,1,1n=-．于是(1112221415cos ,6n AC n AC n AC -⨯-+⨯+⨯⋅===⨯-，所以直线1AC 与平面1A DM所成角的正弦值为56．点睛：考察线线角，线面角对于好建空间坐标系的立体几何题那么首选向量做法，直接根据向量求解解题思路会比较简单，但要注意坐标的准确性和向量夹角公式的熟悉，属于根底题. 22.在平面直角坐标系中，N 为圆C ：22(1)16x y ++=上的一动点，点D 〔1,0〕，点M 是DN 的中点，点P 在线段CN 上，且0MP DN⋅=.〔Ⅰ〕求动点P 表示的曲线E 的方程； 〔Ⅱ〕假设曲线E 与x 轴的交点为,A B ，当动点P 与A ，B 不重合时，设直线PA 与PB 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值；【答案】〔Ⅰ〕22143x y +=；〔Ⅱ〕证明见解析过程. 【解析】 【分析】〔Ⅰ〕根据点M 是DN 的中点，又0MP DN ⋅=，可知PM 垂直平分DN .所以PN PD=，又PC PN CN+=，所以4PC PD +=.这样利用椭圆的定义可以求出椭圆的HY 方程；〔Ⅱ〕设000(,)(0)P x y y ≠，那么2200143x y +=，利用斜率公式，可以证明出12k k ⋅为定值.【详解】〔Ⅰ〕由点M 是DN 的中点，又0MP DN⋅=，可知PM 垂直平分DN .所以PN PD =，又PC PN CN+=，所以4PC PD +=.由椭圆定义知，点P 的轨迹是以C ，D 为焦点的椭圆.设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>. 又24,22,ac ==可得224, 3.a b ==所以动点P 表示的曲线E 的方程为22143x y +=.〔Ⅱ〕证明：易知A 〔-2,0〕，B 〔2,0〕.设000(,)(0)P x y y ≠，那么2200143x y +=，即2200314x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，那么0102y k x =+，0202y k x =-， 即20220012222000331(4)4344444x x y k k x x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭⋅====----， ∴12k k ⋅为定值34-．【点睛】此题考察了椭圆的定义，考察了斜率的公式，考察了数学运算才能.。
准高二数学入学测试卷
准高二暑假辅导入学测试卷时间:120分钟 满分:150分一、选择题.(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1、直线l 经过原点和点(2,2)--，则该直线的倾斜角是（ ）A 、45︒B 、135︒C 、135︒或225︒D 、0︒2、下列说法错误．．的是（ ）A 、三棱锥的各个面都是三角形B 、九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C 、长方体和正方体都是棱柱D 、三棱柱的侧面为三角形3、下列说法正确的是（ ）A 、平行直线的平行投影重合B 、平行于同一直线的两个平面平行C 、垂直于同一平面的两个平面平行D 、垂直于同一平面的两条直线平行4、直线(1)2010ax a y x ay +-+=--=与垂直,则实数a 的值为（ ）A 、0B 、2C 、02或D 、02-或5、一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不．可以是（ ）A 、球B 、三棱锥C 、正方体D 、圆柱6、设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面.下列命题中正确的是（ ）A 、若αβ⊥,,m n αβ⊂⊂，则m n ⊥B 、若,,m n αβαβ⊂⊂∥，则m n ∥C 、若m n ⊥,,m n αβ⊂⊂，则αβ⊥D 、若,,m m n n αβ⊥∥∥，则αβ⊥7、直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程为（ ）A 、210x y +-=B 、210x y +-=C 、230x y +-=D 、230x y +-=8、实数,x y 满足240x y +-=，当12x ≤≤时，1y x +的取值范围为（ ）A 、14,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B 、[]1,2C (),-∞+∞D 、1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦9 ）10、某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A 、23π3π、82π- D 、23π11、如图，四棱锥S ABCD -的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不．正确的是（ ） A 、AC ⊥SBB 、AB ∥平面SCDC 、SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角D 、AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角12、在正四面体ABCD 中，E 是棱BC 的中点，则异面直线AE 与BD 所成角的余弦值为（ ）A 、12 D 二、填空题.（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、两条平行直线34106810x y x y --=-+=与间的距离为 .14、设P 点在x 轴上，Q 点在y 轴上，PQ 的中点是(1,2)M -，则PQ 等于 .15、用与球心距离为1的平面去截球，所得截面面积为π，则球的体积为 .16、如图，二面角l αβ--的大小是60︒，线段,AB B l α⊂∈,AB 与l 所成的角为30︒，则AB 与平面β三.解答题.（本大题共小题，其中17题10分，其余5个小题每题12分，共70分）17、已知△ABC 的顶点为1(1,0)(1,0)(2A B C -、、，判断此三角形形状，并求其面积.18、设直线l 的方程为(1)20()a x y a a R +++-=∈.（Ⅰ）若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；（Ⅱ）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围.19、已知直线l 平行于直线1:10l x y +-=，且经过直线23:230:210l x y l x y +-=-+=与的交点.（Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）求点(3,4)A 关于直线l 的对称点'A 的坐标.20、在一个金属球表面涂上油漆，需要油漆2.4kg ，若把这个金属球融化，制成64个半径相等的小金属球 （设损耗为零），将这些小金属球表面涂漆，需要多少油漆？21、如图，在四面体ABCD 中，2,CB CD ==AD BD ⊥.点E F 、分别是AB BD 、的中点. 求证：（Ⅰ）直线EF ACD ∥平面；（Ⅱ）平面EFC BCD ⊥平面.22、如图，已知AP O ⊥圆所在平面,AB O 为圆的直径,C AB 是圆弧的中点,2PA AB ==，过A 作AE PC ⊥于点E .（Ⅰ）证明：AE PBC ⊥平面；（Ⅱ）求二面角A PB C --的正弦值.准高二数学入学测试卷参考答案一.选择题.(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1—5:ADDCD 6—10:DDDAA 11-12:DB二.填空题.(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13、310 14、、3 16、4三.解答题.(本大题共6小题，其中17题10分，其余5个小题每题12分，共70分)172,112ABC AB AC BC ABC S AC BC ===∴∴=⨯⨯=△、解:易求得 △为直角三角形218()1,2122,0,211302020()1:11201a a l x y a a a a a a a a l x y x y a a a a a a l -≠--+-∴=-==+=-∴+=++=-⎧≥⎪≠-⇒<-+⎨⎪-≤⎩=-、解:Ⅰ当时，在轴上的截距为在轴上的截距为 解得或 当时，不满足题意的方程为或 Ⅱ①当时，由题意知 ②当时，经过三四象限，也满足题意综上所述，(],1a -∞-的取值范围为23'''19()1(1,1)1(1),2034()(,),(,)22342022241(1)13(2,1)l l l l y x x y x y A x y AA x y x y y x A -∴-=--+-=++++⎧+-=⎪=-⎧⎪∴⇒⎨⎨-=-⎩⎪⨯-=-⎪-⎩∴--、解:Ⅰ由题意知，的斜率为，与的交点为 的方程为即 Ⅱ设则的中点为3312212220,.4464,43341=6444R r R r R rS S S RS r ππππ=⨯=∴=⨯∴、解:设大金属球的半径为小金属球的半径为则得 大金属球的表面积与所有小金属球的表面积之比为将所有小金属球表面涂漆，需要油漆的量为21:(),,(),,,BDA E F AB BD EF ADEF ACD AD ACD EF ACDCBD CB CD F BD BD CFAD BD EF AD BD EFCF EF F∴⊄⊂∴=∴∴=、证明Ⅰ△中、分别是、的中点 ∥ 又平面平面 ∥平面 Ⅱ△中是的中点 ⊥ 又⊥∥ ⊥ 又 BD EFCBD BCDEFC BCD∴⊂∴⊥平面 又平面 平面⊥平面 22.(),,(),,,=,PA ABCBC PABC AC PA AC A BC PACBC AEPC AE BC PC C AE PBCPB F AF EFPAB PA AB F PB ∴=∴∴=∴解:Ⅰ证明：⊥平面 ⊥ 又⊥ ⊥平面 ⊥ 又⊥ ⊥平面 Ⅱ取的中点连接 △中是的中点(),=2,=2,,2AF PBAE PBCEF PB AFE ABC AB AC Rt PAC PA AC PC PA ACAE PC Rt PAB PA AB PB ∴∴∴∴∴=⋅∴====∴= ⊥ 又⊥平面 ⊥三垂线定理 ∠即为所求二面角在等腰直角△中 在△中 又在△中,sin 3PA ABAF PB AERt AEF AFE AF ⋅∴==∴== 在△中∠。
高二数学暑假班入学测试题
高二数学暑假班入学测试题1、对于0a >且1a ≠，在下列命题中，正确的命题是：（ ）A.若M N =，则log log a a M N =；B. 若,M N R +∈，则log ()log log a a a M N M N +=+；C. 若log log a a M N =，则M N =；D. 若22log log a a M N =，则M N =； 2、cos75cos15⋅ 的值是（ ）A ．12B ． 14C ．D 3、如果tan （α+β）=43，tan （β-4π ）=21，那么tan （α+4π）的值是（ ） A ．1110 B ．112 C ．52D ．24、ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且lg lg lgcos a c B -=，则ABC ∆的形状为（ ）A. 锐角三角形B.直角三角形C. 钝角三角形D.不能确定5、若函数sin cos y x a x =+的一条对称轴方程为x π=，则此函数的递增区间是：（ ）A. (,)42ππB. 3(,)4ππC. 3(2,2),k k k Z ππππ-+∈D. (2,2),k k k Z ππππ-+∈6、已知函数()tan(2)f x x b π=-的图象的一个对称中心为(,0)3π，若1||2b <，则()f x 的解析式为（ ）A ．tan(2)3x π+B ．tan(2)6x π- C ．tan(2)6x π+或tan(2)3x π- D ．tan(2)6x π-或tan(2)3x π+7、已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝（ ）A ．0B ．1C ．－1D ．±18、若不等式log sin2(0,1)a x x a a >>≠，对于任意(0,]4x π∈都成立，则实数a 的取值范围是 （ ）A. (0,)4πB. (,1)4πC. (,)42ππ D. (0,1)9、设0a >，对于函数()sin (0)sin x af x x xπ+=<<，下列结论正确的是（ ）A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值10、设锐角θ使关于x 的方程24cos cot 0x x θθ++=有重根，则θ的弧度数为（ ）A ．6π B ．51212orππ C ．5612orππ D ．12π 11、若()43sin ,sin 525ππθθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，则θ角的终边在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12、函数2sin cos y x x ωω= (0)ω>的最小正周期为π，则函数()2sin()2f x x πω=+的一个单调增区间是（ ）A ．[]22ππ-，B ．[2ππ]C ．[]23ππ，D ．[0]2π，13、已知函数sin()y A x ωϕ=+,(0,0,2A πωϕ>><的图象如下图所示，则该函数的解析式是 （ ）A ．)672sin(2π+=x y B ．22sin()76y x π=- C ．)62sin(2π+=x yD ．62sin(2π-=x y14、已知函数12sin()(--=ππx x f ，则下列命题正确的是A ．)(x f 是周期为1的奇函数B ．)(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数 15、将函数sin(23y x π=+的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12π-中心对称，则向量α的坐标可能为（ ）A ．(,0)12π-B ．(,0)6π-C ．(,0)12πD ．(,0)6π参考答案：1、对于0a >且1a ≠，在下列命题中，正确的命题是：（ C ）A.若M N =，则log log a a M N =；B. 若,M N R +∈，则log ()log log a a a M N M N +=+；C. 若log log a a M N =，则M N =；D. 若22log log a a M N =，则M N =； 2、cos75cos15⋅ 的值是（ B ）A ．12B ． 14C ．D 3、如果tan （α+β）=43，tan （β-4π ）=21，那么tan （α+4π）的值是（ B ） A ．1110 B ．112 C ．52D ．24、ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且lg lg lgcos a c B -=，则ABC ∆的形状为（ B ）A. 锐角三角形B.直角三角形C. 钝角三角形D.不能确定5、若函数sin cos y x a x =+的一条对称轴方程为4x π=，则此函数的递增区间是：（ C ）A. (,)42ππB. 3(,)4ππC. 3(2,2),44k k k Z ππππ-+∈D. (2,2),22k k k Z ππππ-+∈6、已知函数()tan(2)f x x b π=-的图象的一个对称中心为(,0)3π，若1||2b <，则()f x 的解析式为（ D ）A ．tan(2)3x π+B ．tan(2)6x π- C ．tan(2)6x π+或tan(2)3x π- D ．tan(2)6x π-或tan(2)3x π+7、已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝（ A ）A ．0B ．1C ．－1D ．±18、若不等式log sin2(0,1)a x x a a >>≠，对于任意(0,]4x π∈都成立，则实数a 的取值范围是 （ B ）A. (0,)4π B. (,1)4π C. (,)42ππ D. (0,1)9、设0a >，对于函数()sin (0)sin x af x x xπ+=<<，下列结论正确的是 （ B ）A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值10、设锐角θ使关于x 的方程24cos cot 0x x θθ++=有重根，则θ的弧度数为（ B ）A ．6π B ．51212orππ C ．5612orππ D ．12π 11、若()43sin ,sin 525ππθθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，则θ角的终边在（ D ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12、函数2sin cos y x x ωω= (0)ω>的最小正周期为π，则函数()2sin()2f x x πω=+的一个单调增区间是（ C ）A ．[]22ππ-，B ．[2ππ]C ．[]23ππ，D ．[0]2π，13、已知函数sin()y A x ωϕ=+,(0,0,2A πωϕ>><的图象如下图所示，则该函数的解析式是 （ C ）A ．)672sin(2π+=x y B ．22sin()76y x π=- C ．)62sin(2π+=x yD ．62sin(2π-=x y14、已知函数12sin()(--=ππx x f ，则下列命题正确的是A ．)(x f 是周期为1的奇函数B ．)(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数 15、将函数sin(23y x π=+的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12π-中心对称，则向量α的坐标可能为（ C ）A ．(,0)12π-B ．(,0)6π-C ．(,0)12πD ．(,0)6π。
高二数学上学期开学考试试题_1 4(共9页)
三学实验2021-2021学年高二数学上学期(xuéqī)开学考试试题考前须知：1.本套试卷分满分是150分．考试时间是是120分钟。
2.在答题之前，考生先将自己的准考证号、姓名、座位号用0.5毫米黑色签字笔填写上清楚。
3.选择题使需要用2B铅笔填涂，非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚，按照题号顺序在各题目的答题区域内答题，超区域书写之答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
第I卷〔选择题，一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，满分是60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.假设直线的倾斜角为60°，那么直线的斜率为A. 3 B．－ 3 C.33D．－332.△ABC中，a＝4，b＝43，∠A＝30°，那么∠B等于A．30° B．30°或者150° C．60° D．60°或者120°3.给定以下命题：①a＞b⇒a2＞b2；②a2＞b2⇒a＞b；③a＞b⇒ba<1；④a＞b⇒1a<1b.其中正确的命题个数是A．0 B．1 C．2 D．3 4.向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，那么(2a＋b)·a等于A．－1 B．0 C．1 D．25.在以下四个正方体中，能得出AB ⊥CD 的是6.在等差数列(děnɡ chā shù liè){a n }中，a 4＋a 8＝16，那么该数列前11项的和S 11等于 A ．58 B ．88 C ．143 D ．1767.直线l 1：y ＝ax ＋b 与直线l 2：y ＝bx ＋a (ab ≠0，a ≠b )在同一平面直角坐标系内的图象只可能是8.关于直线m ，n 与平面α，β，以下四个命题中真命题的序号是：①假设m ∥α，n ∥β，且α∥β，那么m ∥n ； ②假设m ⊥α，n ⊥β，且α⊥β，那么m ⊥n ；③假设m ⊥α，n ∥β，且α∥β，那么m ⊥n ； ④假设m ∥α，n ⊥β，且α⊥β，那么m ∥n .A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③9.设点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线过P (1,1)且与线段AB 相交，那么l 的斜率k 的取值范围是A ．k ≥34或者k ≤－4B ．－4≤k ≤34C ．－34≤k ≤4D ．以上都不对10. 设函数f (x )＝mx 2－mx －1，假设对于任意的，f (x )<－m ＋4恒成立，那么实数m 的取值范围为A．(－∞，0] B. C．(－∞，0)∪ D.11.△ABC的内角(nèi jiǎo)A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A－b sin B=4c sin C，cos A=－，那么=A．6 B．5 C．4 D．312.如图，O为△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，那么AM→·AO→等于A．4 B．5C．6 D．7第II卷(非选择题一共90分)二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分．13．点A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线AB与直线CD平行，那么m 的值是_______；14.记S n为等比数列{a n}的前n项和．假设，那么S5=_______；15.直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别相交于P，Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率为________；的四个顶点在球的球面上，，△是边长为的正三角形，分别是的中点，，那么球O的体积为_______．三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.17.〔本小题10分〕AB→＝(－1,3)，BC→＝(3，m)，CD→＝(1，n)，且AD→∥BC→.(1)务实数n 的值；(2)假设(jiǎshè)AC →⊥BD →，务实数m 的值．18.〔本小题12分〕直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求l ′的斜截式方程，使得： (1)l ′与l 平行，且过点(－1,3)；(2)l ′与l 垂直，且l ′与两坐标轴围成的三角形的面积为4.19.〔本小题12分〕记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9=－a 5． (1)假设a 3=4，求{a n }的通项公式；(2)假设a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．20. 〔本小题12分〕Rt△ABC 的顶点A (－3,0)，直角顶点B (－1，－22)，顶点C 在x 轴上． (1)求点C 的坐标； (2)求斜边上的中线的方程．21.〔本小题12分〕的内角(nèi jiǎo)的对边分别为，设．(1)求；(2)假设，求．22.〔本小题12分〕如下图，在△ABC中，AC＝BC＝22AB，四边形ABED是正方形，平面ABED⊥底面ABC，G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：GF∥平面ABC；(2)求证：平面DAC⊥平面EBC；2021年秋季三学实验2021级入学考试数学(sh ùxu é)答案一．选择题：题号123456789 11112 答案ADACABDDAD AB二．填空题：13.0或者1 14. 15.－2316.三．简答题：17.解 因为AB →＝(－1,3)，BC →＝(3，m )，CD →＝(1，n )， 所以AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(3,3＋m ＋n )， (1)因为AD →∥BC →，所以AD →＝λBC →，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝3λ，3＋m ＋n ＝λm ，解得n ＝－3.(2)因为AC →＝AB →＋BC →＝(2,3＋m )， BD →＝BC →＋CD →＝(4，m －3)， 又AC →⊥BD →， 所以AC →·BD →＝0，即8＋(3＋m )(m －3)＝0，解得m ＝±1.18.解 ∵直线(zhíxiàn)l 的方程为3x ＋4y －12＝0， ∴直线l 的斜率为－34.(1)∵l ′与l 平行，∴直线l ′的斜率为－34.∴直线l ′的方程为y －3＝－34(x ＋1)，即y ＝－34x ＋94(2)∵l ′⊥l ，∴k l ′＝43.设l ′在y 轴上的截距为b ，那么l ′在x 轴上的截距为－34b ，由题意可知，S ＝12|b |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－34b ＝4，∴b ＝±463， ∴直线l ′的方程为y ＝43x ＋463或者y ＝43x －463.19.解：〔1〕设的公差为d ． 由得．由a 3=4得．于是．因此{}n a 的通项公式为．〔2〕由〔1〕得，故.由知，故等价于，解得1≤n ≤10．所以n 的取值范围是．20.解 (1)∵Rt△ABC 的直角顶点B (－1，－22)， ∴AB ⊥BC ，故k AB ·k BC ＝－1.又∵A (－3,0)，∴k AB ＝0＋22－3－(－1)＝－2，∴k BC ＝22，∴直线(zhíxiàn)BC的方程为y＋22＝22(x＋1)，即x－2y－3＝0.∵点C在x轴上，∴由y＝0，得x＝3，即C(3,0)．(2)由(1)得C(3,0)，∴AC的中点为(0,0)，∴斜边上的中线为直线OB(O为坐标原点)，直线OB的斜率k＝22，∴直线OB的方程为y＝22x.21.〔1〕由得，故由正弦定理得．由余弦定理得．因为，所以．〔2〕由〔1〕知，由题设及正弦定理得，即，可得．由于，所以，故．22.(1)证明连接AE.∵四边形ADEB为正方形，∴AE∩BD＝F，且F是AE的中点(zhōnɡ diǎn)，∵G是EC的中点，∴GF∥AC.又AC⊂平面ABC，GF⊄平面ABC，∴GF∥平面ABC.(2)证明∵四边形ADEB为正方形，∴EB⊥AB.又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，BE⊂平面ABED，∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AC.∵CA2＋CB2＝AB2，∴AC⊥BC.又∵BC∩BE＝B，BC，BE⊂平面EBC，∴AC⊥平面EBC.∵AC⊂平面DAC∴平面DAC⊥平面EBC内容总结（1）三学实验2021-2021学年高二数学上学期开学考试试题考前须知：1.本套试卷分满分是150分．考试时间是是120分钟。
2024年新高二上学期开学考数学试卷与答案
2024年新高二上学期开学考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若()()1,2,1,1OA OB =-=-，则AB = （）A．()2,3-B．()2,3-2．复数2i 2i z =-在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．为了培养青少年无私奉献，服务社会，回馈社会的精神，某学校鼓励学生在假期去社会上的一些福利机构做义工．某慈善机构抽查了其中100名学生在一年内在福利机构做义工的时间（单位：小时），绘制成如图所示的频率分布直方图，则x 的值为（）A．0.0020B．0.0025C．0.0015D．0.00304．已知四边形ABCD 中，AB DC =，并且AB AD = ，则四边形ABCD 是（）A．菱形B．正方形C．等腰梯形D．长方形5．抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件A =“第一枚硬币正面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，事件C =“两枚硬币都正面朝上”，事件D =“至少一枚硬币反面朝上”则（）A．C 与D 独立B．A 与B 互斥C．()12P D =D．()34P A B ⋃=6．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos a b C =，则ABC 的形状一定为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．锐角三角形7．已知两个平面α、β，在下列条件下，可以判定平面α与平面β平行的是（）．A．α、β都垂直于一个平面γB．平面α内有无数条直线与平面β平行C．l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD．l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β8．已知正三棱柱ABC A B C -₁₁₁的底面边长为2，侧棱长为D 为棱BC 上一点，则三棱锥A B DC -₁₁₁的体积为（）A．3B．32C．1D．29．已知三棱锥-P ABC 的底面ABC 是边长为1的等边三角形，PA ⊥平面ABC 且PA =一只蚂蚁从ABC 的中心沿表面爬至点P ，则其爬过的路程最小值为（）10．在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，222AD AB BC ===，点P 为梯形ABCD 四条边上的一个动点，则PA PB ⋅的取值范围是（）A．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．[]1,4-D．1,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．11．复数1ii-=．12．已知向量(4,3)a =- ，(6,)b m = ，若a b ⊥，则m =，若a b∥，则m =．13．甲､乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是13，乙解出这道题目的概率是45，这道题被解出（至少有一人解出来）的概率是.14．在ABC 中，30,A AC ∠== ，满足此条件ABC 有两解，则BC 边长度的取值范围为.15．如图，正方体的1111ABCD A B C D -棱长为1，E ，F ，G ，H 分别是所在棱上的动点，且满足1DH BG AE CF +=+=，则以下四个结论正确有①．E ，G ，F ，H 四点一定共面②．若四边形EGFH 为矩形，则DH CF=③．若四边形EGFH 为菱形，则E ，F 一定为所在棱的中点④．若四边形EGFH 为菱形，则四边形EGFH 周长的取值范围为⎡⎣三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（13分）已知向量(1,3),(1,2)a b =-=．（1）求a b ⋅；（2）求a 与b夹角的大小；（3）求2a b - ．17．（13分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 的中点．(1)求证：1AC BD ⊥；(2)求证：1//AC 平面BDE ．18．（14分）在ABC 中，2sin2sin ,8,77b A a B ac =-==(1)求b 值；(2)求角C 和ABC 的面积.19．（15分）某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．为了解某校学生选科情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表，用频率估计概率．选考情况第1门第2门第3门第4门第5门第6门物理化学生物历史地理政治高一选科人数807035203560高二选科人数604555404060高三选科人数504060404070(1)已知该校高一年级有400人，估计该学校高一年级学生中选考历史的人数；(2)现采用分层抽样的方式从样本中随机抽取三个年级中选择历史学科的5名学生组成兴趣小组，再从这5人中随机抽取2名同学参加知识问答比赛，求这2名参赛同学来自不同年级的概率；(3)假设三个年级选择选考科目是相互独立的．为了解不同年级学生对各科目的选择倾向，现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行调查，设这3名学生均选择了第k 门科目的概率为(12345,6)k P k =,,,,，当k P 取得最大值时，写出k 的值．（结论不要求证明）20．（15分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，△ABC 的面积为S，且2224a b cS +-=．(1)求角C ；(2)若2cos c b b A -=，试判断△ABC 的形状，并说明理由．21．（15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，11AA AB ==，平面11ABB A ⊥平面ABC .(1)求证：11AB AC ⊥；(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，当直线1AC 与平面ABC 所成角为30︒时，（ⅰ）求证：平面ABC ⊥平面11AAC C ；（ⅱ）求二面角1B A C A --的正弦值.条件①：11AC AC =；条件②：1A B =2024年新高二上学期开学考数学试卷答案1．C【分析】求出向量AB的坐标，根据模的计算公式求得答案.【详解】因为()()1,2,1,1OA OB =-=- ，所以()()11,122,3AB OB OA =-=+--=-,因此，AB == C .2．C【分析】化简复数后，利用复数对应象限内点的特征求解即可.【详解】由题意得2i 2i 12i z =-=--，故z 在复平面内对应的点为()1,2--，该点位于第三象限，故C 正确.故选：C3．B【分析】根据题意结合频率和为1列式求解即可.【详解】由题意可得：()200.01750.02250.0051x x ++++=，解得0.0025x =.故选：B.4．A【分析】由AB DC =，得到四边形ABCD 为平行四边形，再由AB AD = ，得到BC AB =，得出四边形ABCD 为菱形.【详解】由题意，四边形ABCD 中，因为AB DC =，可得AB AD = 且AB CD ，所以四边形ABCD 为平行四边形，又因为AB AD =，可得BC AB =，所以四边形ABCD 为菱形.故选：A.5．D【分析】写出样本空间及事件,,,A B C D ，再结合相互独立事件、互斥事件判断AB；利用古典概率公式计算判断CD.【详解】样本空间Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}，事件A ={(正,正),(正,反)}，事件B ={(正,反),(反,反)}，事件C ={(正,正)}，事件D ={(正,反),(反,正),(反,反)}，对于A，13()()44P C P D ==，而CD =∅，()0P CD =，C 与D 不独立，A 错误；对于B，事件,A B 可以同时发生，A 与B 不互斥，B 错误；对于C，3()4P D =，C 错误；对于D，A B ⋃={(正,正),(正,反),(反,反)}，()34P A B ⋃=，D 正确.6．A【分析】利用余弦定理将cos a b C =化为2222a b c a b ab+-=⋅，然后化简可得答案.【详解】 cos a b C =，由余弦定理可得2222a b c a b ab+-=⋅，则22222a a b c =+-，则222a c b +=，所以ABC 为直角三角形.故选：A.7．D【分析】对于ABC，举例判断，对于D，由面面平行的判定理分析判断.【详解】对于A，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B 都与平面ABCD 垂直，但这两个平面不平行，所以A 错误，对于B，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，平面11AAC C 中所有平行于交线1AA 的直线都与平面11AA B B 平行，但这两个平面不平行，所以B 错误，对于C，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，,M N 分别为11,A B AB 的中点，则1,MN BB 在平面11AA B B 内，且都与平面11AAC C 平行，但这两个平面不平行，所以C 错误.对于D，因为l 、m 是两条异面直线，所以将这两条直线平移到共面α时，一定在α内形成两条相交直线，由面面平行的判定定理可知，该结论正确．8．C【分析】连接1A D ,通过已知条件证明AD ⊥平面11BCC B ,即AD 为三棱锥111A B DC -的高，再通过三棱锥的体积公式计算即可.【详解】如图所示，连接1A D ,因为ABC 为正三角形，且D 为BC 中点，所以AD BC ⊥,又因为1BB ⊥平面ABC ,且AD ⊂平面ABC ，所以1AD BB ⊥,因为1BC BB B = ,BC ⊂平面11BCC B ,1BB ⊂平面11BCC B ，所以AD ⊥平面11BCC B ,所以AD 为三棱锥111A B DC -的高，且3AD =,所以111111112331332A B DC B DC V S AD -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= 9．B【分析】利用垂直条件证明得PA ⊥平面ABC ，即可得平面PAC ⊥平面ABC ，然后根据平面展开图判断最短距离，再利用勾股定理计算求解即可.【详解】将底面ABC 旋转，以AC 为轴，旋转至平面PAC 与平面ABC 共面，如图，设ABC 的中心为O ，此时OP 为最短距离，设O 到直线AC 的距离为d ，则136d =，所以3OP =.10．D【分析】此题可以先证明一下极化恒等式，再使用，轻松解决此题.【详解】如图ABP 中，O 为AB 中点，22()()()()PA PB PO OA PO OB PO OA PO OA PO OA =++=+-=-（极化恒等式）共起点的数量积问题可以使用.如图，取AB 中点O ，则由极化恒等式知，2221·4PA PB PO OA PO =-=- ，要求PA PB 取值范围，只需要求2PO 最大，最小即可.由图，可知2PO 最大时，P 在D 点，即2222174PO DO AD AO ==+=，此时21·44PA PB PO =-= ，2PO 最小时，P 在O 点，即20PO =，此时211·44PA PB PO =-=- .综上所得，PA PB ⋅ 取值范围为:1,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.11．【分析】由复数的除法运算即可求解.【详解】()()i 1i 1i 1i i i i ---==---，故答案为：1i--12．【分析】根据平面向量共线以及垂直的坐标运算，即可得到结果.【详解】由题意可得，若a b ⊥，则46308m m -⨯+=⇒=；若a b ∥，则43962m m -=⇒=-故答案为:8;92-13．【分析】设这道题没被解出来为事件A ，则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率()1P P A =-【详解】设数学题没被解出来为事件A ，则()142113515P A ⎛⎫⎛⎫=-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率：()1P P A =-13115152=-=.故答案为：131514．【分析】根据三角形有两解，应满足sin 30AC BC AC ︒<<，化简即可求解.【详解】ABC 有两解，sin 30AC BC AC ∴︒<<，BC <<故答案为：.15．【分析】对①：连接正方体体对角线以及,EF HG ，通过证明,EF HG 互相平分，即可判断四边形FGFH 为平行四边形，从而证明四点共面；对②：通过证明当DH AE =时，也有四边形EGFH 为矩形，即可判断；对③：通过证明,H G 分别为所在棱中点时，也有四边形EGFH 为菱形，即可判断；对④：根据正方体侧面展开图，结合四边形EGFH 的形状，求得周长的最值，即可判断.【详解】因为正方体的1111ABCD A B C D -棱长为1，且1DH BG AE CF +=+=，可得1D H BG =，1AE CF =，对于①：连接1,BD HG ，交于点O ，如下图所示：根据题意，可得1D H BG =，又1//D H BG /，1BGO D HO ≌，故点O 为直线1,HG D B 的中点，同理可得1AEO C FO ≌，故点O 也为直线1,EF AC 的中点，则四边形EGFH 的对角线互相平分，故四边形EGFH 为平行四边形，则,,,H G E F 四点共面，故①正确；对于②：因为AE //DH ，故当DH AE =时，四边形EADH 为平行四边形，则//EH AD ，又AD ⊥平面11,AA B B EG ⊂平面11AA B B ，故AD EG ⊥，则EH EG ⊥，又四边形EGFH 为平行四边形，故四边形EGFH 为矩形；同理，当DH CF =时，也有四边形EGFH 为矩形，综上所述，当DH AE =或DH CF =时，四边形EGFH 为矩形，故②错误；对于③：若,H G 为所在棱的中点时，易知//HG BD /，又111,,,,BD AC BD AA AC AA A AC AA ⊥⊥⋂=⊂平面11AAC C ，故BD ⊥平面11AAC C ，又EF ⊂平面11AAC C ，故BD EF ⊥；则HG EF ⊥，又四边形EGFH 为平行四边形，故四边形EGFH 为菱形，即当,H G 为所在棱中点时，四边形EGFH 为菱形；同理，当,E F 分别为所在棱的中点时，四边形EGFH 也为菱形，故③错误；对于④：根据选项C 中所证，不妨取,E F 分别为所在棱的中点，此时四边形EGFH 为菱形满足题意，取11,BB DD 的中点分别为,M N，画出正方体的部分侧面展开图如下所示由图可知，当,G H 分别与,M N 重合时，四边形EGFH 的周长最小，最小值为4；当,G H 分别与1,B D 重合时，四边形EGFH的周长最大，最大值为12BD =故四边形EGFH周长的取值范围为，故④正确；故选：①④16．【分析】（1）直接利用坐标求解即可；（2）利用向量的夹角公式求解；（3）先求出2a b -的坐标，再求其模【详解】解：（1）因为(1,3),(1,2)a b =-=，所以11325a b ⋅=-⨯+⨯=，（2）设a 与b夹角为θ，则cos a b a b θ⋅== ，因为[0,]θπ∈，所以4πθ=，所以a 与b 夹角的大小为4π，（3）因为(1,3),(1,2)a b =-=，所以22(1,3)(1,2)(3,4)a b -=--=-，所以25a b -== 17．【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明BD ⊥平面1ACA ，结合线面垂直的性质即可得解；（2）由中位线定理得出1//OE A C ，结合线面平行的判定定理即可得证.【详解】（1）如图所示，连接AC ，交BD 于点O ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，而BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，又因为在正方形ABCD 中，AC BD ⊥，且注意到1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面1ACA ，所以BD ⊥平面1ACA ，而1AC ⊂平面1ACA ，所以1BD AC ⊥；（2）如图所示，连接OE ，因为,O E 分别为1,AC AA 的中点，所以1//OE AC ，而1A C ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，从而1//AC 平面BDE .18．【分析】（1）根据正弦定理边化角和二倍角公式可得1cos 7=-A ，再利用余弦定理计算得出结果；（2）根据余弦定理推论计算得出角；再根据三角形面积公式计算的结果；【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理得22sin sin2sin sin 2sin sin cos sin sin ,77B A A B B A A A B =-⇒=-因为sin 0,sin 0B A ≠≠，所以1cos 7=-A ，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，代入2264492,2150b b b b =+-∴--=，解得3b =或=5b -（舍）（2）由余弦定理推论得222649491cos 22832a b c C ab +-+-===⨯⨯，因为0πC <<，所以角π3C =；因此ABC 的面积为11sin 8322ab C =⨯⨯=19．【分析】（1）样本中高一学生共有100人，其中选择历史学科的学生有20人，由此能估计高一年级选历史学科的学生人数．（2）应从样本中三个年级选历史的学生中分别抽取人数为1，2，2，编号为1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，从这5名运动员中随机抽取2名参加比赛，利用列举法能求出事件“这2名参赛同学来自相同年级”的概率．（3）利用相互独立事件概率乘法公式求解．【详解】（1）解：由题意知，样本中高一学生共有100人，其中选择历史学科的学生有20人，故估计高一年级选历史学科的学生有20400=80100⨯人．（2）解：应从样本中三个年级选历史的学生中分别抽取人数为1，2，2，编号为1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，从这5名运动员中随机抽取2名参加比赛，所有可能的结果为{}12,A A ，{}13,A A ，{}14,A A ，{}15,A A ，{}23,A A ，{}24,A A ，{}25,A A ，{}34,A A ，{}35,A A ，{}45,A A ，共10种，设A 为事件“这2名参赛同学来自不同年级”，则A 为事件“这2名参赛同学来自相同年级”有2{A ，3}A ，4{A ，5}A 共2种，所以事件A 发生的概率24()1()1105P A P A =-=-=．（3）解：10.80.60.50.24P =⨯⨯=，20.70.450.40.126P =⨯⨯=，30.350.550.60.1155P =⨯⨯=，40.20.40.40.032P =⨯⨯=，50.350.40.40.056P =⨯⨯=，60.60.60.70.252P =⨯⨯=，∴当k P 取得最大值时，6k =．20．【分析】（1）应用面积公式及余弦定理得出正切进而得出角；（2）先应用正弦定理及两角和差的正弦公式化简得出2A B =，结合π4C =判断三角形形状即可.【详解】（1）在ABC 中，因为2224a b c S +-=，则12cos sin 24ab C ab C =，整理得tan 1C =，且π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π4C =.（2）由正弦定理得sin sin 2sin cos C B B A -=,()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ ,sin cos cos sin sin 2sin cos A B A B B B A ∴+-=,sin cos cos sin sin A B A B B ∴-=,于是()sin sin A B B -=,又(),0,πA B ∈，故ππA B -<-<，所以()πB A B =--或B A B =-，因此πA =（舍去）或2A B =，所以2A B =.πππ,,,424C A B =∴== ABC 是等腰直角三角形.21．【分析】（1）根据面面垂直可证线面及线线垂直，进而可得线面垂直证明线线垂直；（2）（i）若选①，可证四边形11ACC A 为矩形，进而可得线线垂直，证得面面垂直；若选②，由勾股定理可证1AA AB ⊥，进而可证面面垂直；（ii）过B 作BD AC ⊥于点D ，再过D 作1DE A C ⊥，可得二面角的平面角，再根据定义法可得二面角的正弦值.【详解】（1）因为90ABC ∠=︒，所以AB BC ⊥，因为平面11ABB A ⊥平面ABC ，平面11ABB A 平面ABC AB =，BC 平面ABC ，所以BC ⊥平面11ABB A ，因为1AB ⊂平面11ABB A ，所以1BC AB ⊥，因为三棱柱111ABC A B C -，所以四边形11ABB A 是平行四边形，因为1AA AB =，所以11ABB A 是菱形，所以11AB A B ⊥，因为11A B BC B = ，1A B ，BC 平面1A BC ，所以1AB 平面1A BC ，因为1AC 平面1ABC ，所以11AB AC ⊥；（2）若选择条件①：（ⅰ）因为11AC AC =，所以平行四边形11ACC A为矩形，所以1AA AC ⊥，由（1）知，1AA BC ⊥，因为AC BC C = ，BC ，AC ⊂平面ABC ，所以1AA ⊥平面ABC ，因为1AA ⊂平面11ACC A ，所以平面11ACC A ⊥平面ABC ；（ⅱ）因为1AA ⊥平面ABC ，AC 平面ABC C =，所以直线1AC 与平面ABC 所成的角为1A CA ∠，所以130ACA ∠=︒，因为11AA AB ==，所以12AC =，AC =BC =1A B =作BD AC ⊥于D ，因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，BD ⊂平面ABC ，所以BD ⊥平面11ACC A ，又1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BD AC ⊥.作1DE A C ⊥于E ，连接BE ，因为BD DE D ⋂=，BD ，DE ⊂平面BDE ，所以1A C ⊥平面BDE ，因为BE ⊂平面BDE ，所以1A C BE ⊥，所以BED ∠是二面角1B A C A --的平面角.因为AC BD AB BC ⋅=⋅，所以3BD =，因为11AC BE A B BC ⋅=⋅，所以1BE =，所以sin BD BED BE ∠==，所以二面角1B A C A --若选择条件②：1A B =，因为11AA AB ==，所以22211AA AB A B +=，所以1AA AB ⊥，由（1）知，1AA BC ⊥，因为AB BC B ⋂=，AB ，BC ⊂平面ABC ，所以1AA ⊥平面ABC ，因为1AA ⊂平面11ACC A ，所以平面11ACC A ⊥平面ABC ；（ⅱ）因为1AA ⊥平面ABC ，AC 平面ABC C =，所以直线1AC 与平面ABC 所成的角为1A CA ∠，所以130ACA ∠=︒，因为11AA AB ==，所以12AC =，3AC =2BC =12A B =作BD AC ⊥于D ，因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，BD ⊂平面ABC ，所以BD ⊥平面11ACC A ，又1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BD AC ⊥.作1DE A C ⊥于E ，连接BE ，因为BD DE D ⋂=，BD ，DE ⊂平面BDE ，所以1A C ⊥平面BDE ，因为BE ⊂平面BDE ，所以1A C BE ⊥，所以BED ∠是二面角1B A C A --的平面角.因为AC BD AB BC ⋅=⋅，所以63BD =，因为11AC BE A B BC ⋅=⋅，所以1BE =，所以6sin 3BD BED BE ∠==，所以二面角1B A C A --63。
高二数学暑假班入学测试题
高二数学暑假班入学测试题1、对于0a >且1a ≠，在下列命题中，正确的命题是：（ ）M N =，则log log a a M N =；B. 若,M N R +∈，则log ()log log a a a M N M N +=+；C. 若log log a a M N =，则M N =；D. 若22log log a a M N =，则M N =； 2、cos75cos15⋅的值是（ ）A ．12B ． 14C ．D 3、如果tan （α+β）=43，tan （β-4π ）=21，那么tan （α+4π）的值是（ ） A ．1110 B ．112 C ．52D ．24、ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且lg lg lgcos a c B -=，则ABC ∆的形状为（ ）A. 锐角三角形B.直角三角形C.5、若函数sin cos y x a x =+的一条对称轴方程为4x π=，则此函数的递增区间是：（ ）A. (,)42ππB. 3(,)4ππC. 3(2,2),44k k k Z ππππ-+∈D. (2,2),22k k k Z ππππ-+∈6、已知函数()tan(2)f x x b π=-的图象的一个对称中心为(,0)3π，若1||2b <，则()f x 的解析式为（ ）A ．tan(2)3x π+B ．tan(2)6x π- C ．tan(2)6x π+或tan(2)3x π- D ．tan(2)6x π-或tan(2)3x π+7、已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝ （ ）A ．0B ．1C ．－1D ．±18、若不等式log sin 2(0,1)a x x a a >>≠，对于任意(0,]4x π∈都成立，则实数a 的取值范围是 （ ）A. (0,)4πB. (,1)4πC. (,)42ππ D. (0,1)9、设0a >，对于函数()sin (0)sin x af x x xπ+=<<，下列结论正确的是（ ）A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值10、设锐角θ使关于x 的方程24cos cot 0x x θθ++=有重根，则θ的弧度数为（ ）A ．6π B ．51212orππ C ．5612orππ D ．12π 11、若()43sin ,sin 525ππθθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，则θ角的终边在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12、函数2sin cos y x x ωω= (0)ω>的最小正周期为π，则函数()2sin()2f x x πω=+的一个单调增区间是（ ）A ．[]22ππ-，B ．[2ππ]，C ．[]23ππ，D ．[0]2π，13、已知函数sin()y A x ωϕ=+,(0,0,)2A πωϕ>><的图象如下图所示，则该函数的解析式是 （ ） A ．)672sin(2π+=x y B ．22sin()76y x π=- C ．)62sin(2π+=x yD ．)62sin(2π-=x y14、已知函数1)2sin()(--=ππx x f ，则下列命题正确的是A ．)(x f 是周期为1的奇函数B ．)(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数 15、将函数sin(2)3y x π=+的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12π-中心对称，则向量α的坐标可能为（ ）A ．(,0)12π-B ．(,0)6π-C ．(,0)12πD ．(,0)6π参考答案：1、对于0a >且1a ≠，在下列命题中，正确的命题是：（ C ）M N =，则log log a a M N =； B. 若,M N R +∈，则log ()log log a a a M N M N +=+；C. 若log log a a M N =，则M N =；D. 若22log log a a M N =，则M N =；2、cos75cos15⋅的值是（ B ）A ．12B ． 14C ．D 3、如果tan （α+β）=43，tan （β-4π ）=21，那么tan （α+4π）的值是（ B ） A ．1110 B ．112 C ．52D ．24、ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且lg lg lgcos a c B -=，则ABC ∆的形状为（ B ）A. 锐角三角形B.直角三角形C.5、若函数sin cos y x a x =+的一条对称轴方程为4x π=，则此函数的递增区间是：（ C ）A. (,)42ππB. 3(,)4ππC. 3(2,2),44k k k Z ππππ-+∈D. (2,2),22k k k Z ππππ-+∈6、已知函数()tan(2)f x x b π=-的图象的一个对称中心为(,0)3π，若1||2b <，则()f x 的解析式为（ D ）A ．tan(2)3x π+B ．tan(2)6x π- C ．tan(2)6x π+或tan(2)3x π- D ．tan(2)6x π-或tan(2)3x π+7、已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝ （ A ）A ．0B ．1C ．－1D ．±18、若不等式log sin 2(0,1)a x x a a >>≠，对于任意(0,]4x π∈都成立，则实数a 的取值范围是 （ B ）A. (0,)4π B. (,1)4π C. (,)42ππ D. (0,1)9、设0a >，对于函数()sin (0)sin x af x x xπ+=<<，下列结论正确的是（ B ）A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值10、设锐角θ使关于x 的方程24cos cot 0x x θθ++=有重根，则θ的弧度数为（ B ）A ．6π B ．51212orππ C ．5612orππ D ．12π11、若()43sin ,sin 525ππθθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，则θ角的终边在（ D ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12、函数2sin cos y x x ωω= (0)ω>的最小正周期为π，则函数()2sin()2f x x πω=+的一个单调增区间是（ C ）A ．[]22ππ-，B ．[2ππ]，C ．[]23ππ，D ．[0]2π，13、已知函数sin()y A x ωϕ=+,(0,0,)2A πωϕ>><的图象如下图所示，则该函数的解析式是 （ C ） A ．)672sin(2π+=x y B ．22sin()76y x π=- C ．)62sin(2π+=x yD ．)62sin(2π-=x y14、已知函数1)2sin()(--=ππx x f ，则下列命题正确的是A ．)(x f 是周期为1的奇函数B ．)(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数 15、将函数sin(2)3y x π=+的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12π-中心对称，则向量α的坐标可能为（ C ）A ．(,0)12π-B ．(,0)6π-C ．(,0)12πD ．(,0)6π。
高二数学开学考试 试卷
高二数学开学考试 试卷一. 填空题1. 直线210x y -+=的一个法向量为2. 直线350x --=的倾斜角大小为3. 直线20x +=与直线10x +=的夹角为4. 一条直线经过直线230x y +-=，310x y -+=的交点，并且与直线2350x y +-=垂 直，则这条直线方程为5. 点(4,)P a 到直线4310x y --= 的距离等3，则实数a 的值为6. 过点(2,1)A -与(1,2)B 半径最小的圆的方程为7. 对任意实数m ，圆2224620x y mx my m +--+-=恒过定点，则其坐标为8. 已知直线 :2l y ax =+ 和 (1,4)A 、(3,1)B 两点，若直线l 与线段AB 相交，则实数a 的取值范围为9. 已知(2,3)A 、(4,8)B -两点，直线l 经过原点，且A 、B 两点到直线l 的距离相等，则直 线的方程为10. 已知定点(0,5)A -，P 是圆22(2)(3)2x y -++=上的动点，则当||PA 取到最大值时，P 点的坐标为11. 直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于A 、B 两点，若直线AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为12. 已知正三角形的三个顶点(0,0)A 、(2,0)B 、C ，一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 边上的点1P 后，依次反射到CA 和AB 边上的点2P 、3P ，若1P 、2P 、3P 是三个不同的点，则tan θ的取值范围为二. 选择题13. 如果曲线C 上任一点的坐标都是方程(,)0F x y =的解，那么下列命题中正确的是（ ）A. 曲线C 的方程为(,)0F x y =B. (,)0F x y =的曲线是CC. 以方程(,)0F x y =的解为坐标的点都在曲线C 上D. 曲线C 上的点都在方程(,)0F x y =的曲线上14. 若圆222:()()C x a y a a -++= 被直线:20l x y ++=分成的两段弧长之比是1:3，则满足条件的圆C （ ）A. 有一个B. 有两个C. 有三个D. 有四个15. 两直线1l 、2l 的方程分别为0x b +=和sin 0x a θ+=（a 、 b 为实常数），θ为第三象限角，则两直线1l 、2l 的位置关系是（ ）A. 相交且垂直B. 相交但不垂直C. 平行D. 不确定16. 若(2,3)P 既是11(,)A a b 、22(,)B a b 的中点，又是直线111:130l a x b y +-=与直线222:130l a x b y +-=的交点，则线段AB 的中垂线方程是（ ）A. 23130x y +-=B. 32120x y +-=C. 320x y -=D. 2350x y -+=三. 解答题17. 讨论两直线1:1l mx y +=-和2:323l mx my m -=+之间的位置关系.18. 已知ABC ∆的三个顶点(,)A m n 、(2,1)B 、(2,3)C -.（1）求BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，且7ABC S ∆=，求点A 的坐标.19. 已知定点(2,0)A -、(2,0)B ，动点C 在线段AB 上，且PAC ∆、QBC ∆均为等边三角形（P 、Q 均在x 轴上方）.（1）R 是线段PQ 的中点，求点R 的轨迹；（2）求ARB ∠的取值范围.20. 过点(2,1)P -的直线l 分别交12y x =（0x ≥）与2y x =-（0x ≥）于A 、B 两点. （1）设A 点的坐标为(2,)a a ，用实数a 表示B 点的坐标，并求实数a 的取值范围； （2）设AOB ∆的面积为245，求直线l 的方程； （3）当||||PA PB ⋅最小时，求直线l 的方程.。
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【最新整理，下载后即可编辑】高二开学考试数学试题一、选择题（每小题5分，共60分） 1．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角答案：B2．已知f(α)＝sin π－α·cos 2π－αcos －π－α·tan π－α，则f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－25π3的值为( )A.12 B ．－12C ．32D ．－32答案：A3．函数f(x)＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫|φ|＜π2向左平移π6个单位后是奇函数，则函数f(x)在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32B ．－12C ．12D ．32答案：A4．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若其图象向右平移π6个单位长度后得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π12，0对称 B ．关于直线x ＝π12对称C ．关于点⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6，0对称 D ．关于直线x ＝π6对称答案：B5．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，则cos(α－β)的值为( )A ．－12B ．12C ．－13D ．2327答案：D6.已知函数f(x)＝1＋cos 2x 4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋x ＋asin x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π－x 2的最大值为2，则常数a 的值为( )A.15 B ．－15 C ．±15 D ．±10答案：C7．在△ABC 中，BD →＝2DC →，AD →＝mAB →＋nAC →，则m n 的值为( )A ．2B ．12C ．3D ．13答案：B 8．已知平面向量a ＝(1，x)，b ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫12x －3，y －1，若a 与b 共线，则y ＝f(x)的最小值是( )A ．－92B ．－4C ．－72D ．－3答案：C9.已知△ABC 中，|BC →|＝10，AB →·AC →＝－16，D 为边BC 的中点，则|AD→|＝( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3答案：D10．某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为( )A ．9B ．18C ．27D ．36 答案：B11.对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其回归直线方程是y ^＝13x ＋a ^，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数a ^的值是( )A.116 B ．18C.14D ．12答案：B12．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A.17 B ．1235C ．1735D ．1答案：C二、填空题（每小题5分，共20分）13．(2015·辽宁五校二联)已知sin x ＝m －3m ＋5，cos x ＝4－2mm ＋5，且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2，2π，则tan x ＝________.答案：－3414．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________． 答案：－5π615．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2→＝16，|AB→＋AC →|＝|AB →－AC →|.→|＝________.则|AM答案：216．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：球与性别有关．(请用百分数表示)附表：答案：三、解答题17（本小题10分）．已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α.(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr＝6.(2)解法一：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l·2r≤14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫822＝4， 当且仅当2r ＝l ＝4，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 解法二：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 18（本小题12分）．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3π2－α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α.解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.19（本小题12分）．设函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6.(1)求y ＝f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于直线x ＝2对称，当x ∈[0,1]时，求函数y ＝g(x)的最大值．解：(1)由题意知，f(x)＝32sin πx 3－32cos πx 3－1＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫πx 3－π3－1， 所以y ＝f(x)的最小正周期T ＝2ππ3＝6.由2kπ－π2≤πx 3－π3≤2kπ＋π2，k ∈Z ，得6k －12≤x≤6k＋52，k ∈Z ，所以y ＝f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6k －12，6k ＋52，k ∈Z .(2)因为函数y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于直线x ＝2对称， 所以当x ∈[0,1]时，y ＝g(x)的最大值即为x ∈[3,4]时y ＝f(x)的最大值．当x ∈[3,4]时， π3x －π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2π3，π， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3x －π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，32， f(x)∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1，12， 即当x ∈[0,1]时，函数y ＝g(x)的最大值为12.20（本小题12分）.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x)，x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2.(1)若m⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解：(1)∵m ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x)，m⊥n ， ∴ m·n ＝22sin x －22cos x ＝0，即sin x ＝cos x ，∴ tan x ＝sin xcos x＝1.(2)由题意知，|m|＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－222＝1， |n|＝sin 2x ＋cos 2x ＝1，m·n ＝22sin x －22cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4. 而m·n ＝|m|·|n|·cos〈m ，n 〉＝cos π3＝12，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4＝12. 又∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，x －π4∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π4，π4， ∴ x －π4＝π6，∴ x ＝5π12.21（本小题12分）.某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2015年11月11日的网购金额，所得数据如图①：②已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰好为3∶2.(1)试确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图(如图②)； (2)营销部门为了了解该市网友的购物体验，在这200名网友中，用分层抽样方法从网购金额在(1,2]和(4,5]的两个群体中抽取5人进行问卷调查．若需从这5人中随机选取2人进行访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？解：(1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧16＋24＋x ＋y ＋16＋14＝200，16＋24＋x y ＋16＋14＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝80，y ＝50.∴p ＝0.4，q ＝0.25.补全频率分布直方图如图所示．(2)根据题意，“网购金额在(1,2]”的群体中应抽取24 24＋16×5＝3(人)，记为a，b，c，“网购金额在(4,5]”的群体中应抽取1624＋16×5＝2(人)，记为A，B.在此5人中随机选取2人，有以下可能情况：(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，共10种情况．设“此2人来自不同群体”为事件M，包含了(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，共6种可能，∴P(M)＝610＝35，即此2人来自不同群体的概率是35.22（本小题12分）．一个均匀的正四面体的四个面上分别写有1,2,3,4四个数字，现随机抛掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b，c.(1)z＝(b－3)2＋(c－3)2，求z＝4的概率；(2)若方程x2－bx－c＝0至少有一根x∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．解：(1)因为随机抛掷两次，所以基本事件(b ，c)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．当z ＝4时，(b ，c)的所有取值为(1,3)，(3,1)，共2个． 所以P(z ＝4)＝216＝18.(2)∵Δ＝b 2＋4c>0恒成立， ∴方程必有两根．∴①若方程一根为x ＝1，则1－b －c ＝0， 即b ＋c ＝1，不成立．②若方程一根为x ＝2，则4－2b －c ＝0， 即2b ＋c ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝2.③若方程一根为x ＝3，则9－3b －c ＝0， 即3b ＋c ＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3.④若方程一根为x ＝4，则16－4b －c ＝0， 即4b ＋c ＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝4.由①②③④知，(b ，c)的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)．所以方程为“漂亮方程”的概率为P ＝316.。
高二数学下学期开学考试试题含解析 试题
智才艺州攀枝花市创界学校鸡泽县第一二零二零—二零二壹高二数学下学期开学考试试题〔含解析〕一．选择题〔一共12小题〕 1.“00x ∃>，20010x x ++<〞的否认是〔〕A.0x ∀>，210x x ++≥B.0x ∀≤，210x x ++<C.0x ∀>，210x x ++<D.0x ∀≤，210x x ++≥【答案】A 【解析】 【分析】的关系，准确改写，即可求解.【详解】“00x ∃>，20010x x ++<〞的否认为：“0x ∀>，210x x ++≥〞.应选：A . 【点睛】. 2.设()ln(21)f x x =-，假设()f x 在0x 处的导数0()1f x '=，那么0x 的值是〔〕A.12e + B.32C.1D.34【答案】B 【解析】 【分析】直接求出原函数的导函数，由0()1f x '=列式求解0x 的值．【详解】由()ln(21)f x x =-，得(212)f x x =-'． 由002()121f x x '==-，解得：032x =． 应选：B ．【点睛】此题考察了简单的复合函数求导，关键是不要忘记对内层函数求导，是根底题． 3.某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ的数学期望()8.9E ξ=，那么y 的值是〔〕A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据分布列的概率之和为1得,x y 的一个关系式，由变量的期望值得,x y 的另一个关系式，联立方程，求解y 的值.【详解】解：由表格可知：0.10.31780.190.3108.9x y x y +++=⎧⎨+⨯+⨯+⨯=⎩， 解得0.4y =.应选：C ．【点睛】此题考察根据分布列和期望值求参数，熟记概念即可，属于常考题型.4.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区效劳，那么选中的恰有一名女同学的概率为〔〕 A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】设2名男生为,a b ，3名女生为,,A B C ，那么任选2人的种数一共10种，其中恰有一名女同学一共6种，根据古典概型概率计算公式，即可求出结果. 【详解】设2名男生为,a b，3名女生为,,A B C，那么任选2人的种数为ab aA aB aC bA bB Bc AB AC BC ,,,,,,,,,一共10种，其中全是女生为aA aB aC bA bB Bc ,,,,,一共6种，故恰有一名女同学的概率60.610P ==. 应选：D ．【点睛】此题考察概率的求法，考察古典概型概率计算公式等根底知识，考察运算求解才能，考察函数与方程思想，是根底题．5.某人进展投篮训练100次，每次命中的概率为0.8〔互相HY 〕，那么命中次数的HY 差等于〔〕 A.20 B.80C.16D.4【答案】D 【解析】 【分析】先分析出变量服从二项分布，再直接带入公式即可. 【详解】命中次数服从ξ～B 〔100，〕；∴命中次数的HY =4.应选：D ．【点睛】此题考察服从二项分布的变量的HY 差，考察计算才能，属于根底题. 6.如图是函数()y f x =的导数()'y f x =的图象，那么下面判断正确的选项是〔〕A.在()3,1-内()f x 是增函数B.在1x =时()f x 获得极大值C.在()4,5内()f x 是增函数D.在2x=时()f x 获得极小值【答案】C 【解析】 【分析】 根据导函数()y f x ='的图象，分别判断函数的单调区间和极值．【详解】对A ，由导函数()y f x ='的图象可知，在区间(3,1)-内函数先减后增，∴在(3,1)-不单调，故A 错误； 对B ，当1x =时，'(1)0f ≠，此时(1)f 不是极大值，故B 错误；对C ，在(4,5)内()0f x '>，此时函数单调递增，故C 正确．对D ，当2x=时，'(2)0f =，但此时(2)f 不是极小值，而是极大值，故D 错误；应选：C ．【点睛】此题考察函数单调性和极值与导数之间的关系，考察函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，求解时注意从图形中提取信息. 7.设函数2()5cos xf x e x x =--，那么函数()f x 的图象大致为〔〕A. B. C.D.【答案】B 【解析】 【分析】根据函数解析式判断奇偶性，结合极限和特殊值进展排除选项，即可得解. 【详解】依题意，函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称， 且()()()225cos 5cos ()xxf x ex x e x x f x --=----=--=，故函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，排除C ；当x →+∞时，()f x →+∞排除D ；225cos 222f e ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2202e ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，排除A. 应选：B【点睛】此题考察根据函数解析式选择适宜的函数图象，关键在于纯熟掌握函数性质，结合特殊值与极限求解，此类问题常用排除法解决.8.α为第二象限的角，且3tan 4α=-，那么sin cos αα+=() A.75-B.34-C.15-D.15【答案】C 【解析】 【分析】由sin 3tan cos 4ααα==-，①，22sin cos 1a a +=，②，联立①②，再结合条件即可求出sin , cos αα的值，那么答案可求．【详解】解：sin 3tan cos 4ααα==-，①，22sin cos 1a a +=，②，又α为第二象限的角，sin 0,cos 0αα∴><，联立①②，解得34sin ,cos 55αα==-， 那么1sin cos 5αα+=-．应选：C ．【点睛】此题考察了三角函数的化简求值，考察了同角三角函数根本关系，是根底题．9.集合{}2230A x x x =--<，122x Bx ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，那么“x B ∈〞是“x A ∈〞的〔〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】 解出集合A 、B 中的不等式即可判断出答案.【详解】因为{}{}223013A x x x x x =--<=-<<，{}1212x B x x x ⎧⎫=≥=≥-⎨⎬⎩⎭所以假设x A ∈，那么x B ∈，反之不成立 所以“x B ∈〞是“x A ∈〞的必要不充分条件 应选：B【点睛】此题考察的是一元二次不等式和指数不等式的解法，考察了必要不充分条件的判断，属于根底题. 10.函数()ln f x x ax =-恰有两个零点1x ，2x ，且12x x <，那么1x 所在区间为〔〕A.310,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.2311,e e ⎛⎫⎪⎝⎭C.211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭D.1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】结合导数分析函数的特征性质，然后结合函数图象的根本趋势及零点断定定理进展求解即可．【详解】当0a ≤时不符合题意；当0a>时，考察函数()ln g x x =与()h x ax =图象易知，()gx 与()h x 图象在区间()0,1上必有一个交点那么在区间()1,+∞上有且仅有一个公一共点， 当()1,x ∈+∞时，()ln f x x ax =-，()1ax f x x ='-，那么()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以()max 11ln 1f x f a a ⎛=⎫=- ⎪⎝⎤⎣⎦⎭⎡，那么只需1ln10a -=，故1ea =， 当()0,1x ∈时，()1ln ef x x x =--， 易知21110e e f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()110f e =-<，可知11,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.应选：D【点睛】此题考察对数函数的概念与性质，考察学生的逻辑推理才能、运算求解才能以及综合运用数学知识灵敏解决问题的才能，考察数形结合的思想. 11.以下说法正确的选项是〔〕 A.21x =，那么1x ≠21x =，那么1x =〞B.0x R ∃∈，2000x x -＜〞的否认是“x R ∀∈，20x x -＞〞C.“()y f x =在0x 处有极值〞是“0()0f x '=〞的充要条件D.2()1f x x ax =-+有零点，那么“2a ≥或者2a ≤-【答案】D 【解析】 【分析】 选项ABC ，()y f x =在0x 处有极值，既要满足0()0f x '=，也要满足函数在0x 两边的单调性要相反；选项D ，假设函数2()1f x x ax =-+有零点，等价于0∆≥【详解】选项A“假设21x =，那么1x ≠〞21x ≠，那么1x =〞，错误；选项B“0x R ∃∈，2000x x -＜〞的否认是“x R ∀∈，20x x -≥〞，错误；选项C ，0()0f x '=不能得到()y f x =在0x 处有极值，例如3()f x x =在0x =时，导数为0，但0x =不是函数极值点，错误；选项D ，假设函数2()1f x x ax =-+有零点，即方程210x ax -+=有解，所以0∆≥，解得2a ≥或者2a ≤-2a ≥或者2a ≤-【点睛】12.函数()232,3,x x x mf x x x m⎧-+≤=⎨-+>⎩，假设()f x 恰好有2个零点，那么m 的取值范围是〔〕A.(]2,3B.[)2,3C.[)[)1,23,+∞D.(][)1,23,+∞【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，作出函数21232,3y x x y x =-+=-+的图象，利用数形结合的思想求出使()f x 恰好有2个零点的m 的取值范围即可.【详解】令21232,3y x x y x =-+=-+，因为方程2320x x -+=的两根为121,2x x ==，所以在同一直角坐标系下作出函数21232,3y x x y x =-+=-+的图象如下列图：由图可知，当12m ≤<时，函数()f x 恰有两个零点，图象如下列图：当3m ≥时，函数()f x 恰有两个零点，图象如下列图： 综上可知，所务实数m 的取值范围为[)[)1,23,+∞.应选：C【点睛】此题考察利用分段函数的图象和函数零点的个数求参数的取值范围；考察运算求解才能和数形结合思想；纯熟掌握分段函数图象的画法和零点的概念是求解此题的关键；属于中档题. 二．填空题〔一共4小题〕13.假设1cos 3α=，那么sin()2πα-=________. 【答案】13- 【解析】 【分析】根据诱导公式可知sin cos 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 【详解】1sin cos 23παα⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭ 故答案为13-. 【点睛】此题考察根据诱导公式求值，属于简单题型. 14.函数1()()1x f x x R x -=∈+的图象对称中心是___． 【答案】(1,1)- 【解析】【分析】 首先将函数变形为211y x --=+，设1y y '=-，1x x '=+，得到2y x -'='，根据反比例函数和奇函数的性质即可求出答案. 【详解】因为12()111x y f x x x -===-++， 即211y x --=+，可设1y y '=-，1x x '=+，得到2y x -'='， 所以y '与x '成反比例函数关系且为奇函数，那么对称中心为(0,0)，即0y '=，0x '=，得到1y =，1x =-所以函数()y f x =的对称中心为(1,1)-.故答案为：(1,1)-【点睛】此题主要考察学生灵敏运用奇偶函数对称性的才能，同时考察学生推理才能，属于中档题. 15.()()7210axa ->的展开式中第6项的系数为-189，那么展开式中各项的系数和为______.【答案】128 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式得出77717(1)kkk k k T aC x ---+=-，从而得出第六项系数57527(1)189a C --=-，求出3a =，最后利用赋值法求展开式中各项的系数和. 【详解】解：由题意，通项为：7777177()(1)(1)kkk k k k k k T C ax a C x ----+=-=-，由于()()7210axa ->的展开式中第6项的系数为-189，那么第六项系数为：57527(1)189a C --=-，解得：3a =，故该二项式为27(31)x -，令1x =得展开式各项系数的和为：72128=．故答案为：128．【点睛】此题考察二项展开式的通项公式得应用和指定项的系数，以及利用赋值法求展开式中各项的系数和. 16.函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对于任意x ∈R ，恒有(1)(1)f x f x -=+成立，当[]1,0x ∈-时，()21x f x =-，那么(2013)f =___．【答案】12【解析】 【分析】根据抽象函数关系式可确定函数周期，结合奇偶性可知()()()201311f f f ==--，利用解析式求得()1f -后即可得到结果.【详解】由()()11f x f x -=+得：()()2f x f x +=，即函数()f x 的周期是2，()()()20132100611f f f ∴=⨯+=， ()f x 是定义在R 上的奇函数，()()11f f ∴-=-，又当[]1,0x ∈-时，()21x f x =-，()111121122f -∴-=-=-=-， ()()1112f f ∴=--=，()()1201312f f ∴==． 故答案为：12． 【点睛】此题考察利用函数奇偶性和周期性求解函数值的问题，关键是可以利用奇偶性和周期性将所求自变量转化到解析式的自变量所在区间内. 三．解答题〔一共6小题〕17.函数()32134132f x x x x =--+.〔1〕求函数()f x 的单调区间；〔2〕当[]25x ∈-，时，求函数()f x 的最大值和最小值. 【答案】〔1〕单调递增区间是(),1-∞-和()4,+∞；单调递减区间是()1,4-〔2〕最大值为196，最小值为533-. 【解析】 【分析】 〔1〕先求导，()()()41f x x x '=-+，那么0fx 的解集对应的是增区间，0f x 的解集对应的是减区间.〔2〕根据〔1〕知，当[]2,1x ∈--时，0fx，当[]1,4x ∈-时，0fx，当[]4,5x ∈时，0f x ，求出极值点，再加上端点值，其中最大的为最大值，最小的为最小值.【详解】〔1〕()()()41f x x x '=-+，当1x <-或者4x >时，0fx ，当14x -<<时，0f x ，所以函数()f x 单调递增区间是(),1-∞-和()4,+∞，函数()f x 单调递减区间是()1,4-.〔2〕由〔1〕知，当[]2,1x ∈--时，0fx ，当[]1,4x ∈-时，0fx，当[]4,5x ∈时，0fx，所以()123f -=，()1916f -=，()5343f =-，()8956f =-， 当1x =-时，函数()f x 的最大值为196，当4x =时，函数()f x 的最小值为533-. 【点睛】此题主要考察了导数法研究函数的单调性与最值问题，还考察了数形结合的思想和运算求解的才能，属于中档题.18.随着新高考HY 的不断深化，高生生涯规划越来越受到社会的关注.一些高中已经开场尝试开设学生生涯规划选修课程，并获得了一定的成果.下表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取50名学生的统计数据.〔Ⅰ〕根据列联表运用HY 性检验的思想方法分析：能否有99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关〞，并说明理由；〔Ⅱ〕假设从全校选修生涯规划课的学生中随机地抽取3名学生，求抽到成绩不够优秀的学生人数ξ的分布列和数学期望〔将频率当作概率计算〕. 参考附表：参考公式()()()()()22n ad bc Ka b a c b d c d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】〔Ⅰ〕有把握，理由见解析；〔Ⅱ〕分布列见解析，65. 【解析】 【分析】〔Ⅰ〕根据题中所给的公式求出2K 的值，然后根据参考附表进展判断即可；〔Ⅱ〕由题意可以求出在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取1名学生成绩优秀的概率，成绩不优秀的概率，可以判断ξ可取值为0，1，2，3，根据二项分布的性质进展求解即可.【详解】〔Ⅰ〕由题意知，2K 的观测值()2501519610 6.650 6.63521292525k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯. 所以有99%的把握认为“学生的成绩优秀与是否选修生涯规划课有关〞.〔Ⅱ〕由题意知在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取1名学生成绩优秀的概率为35，成绩不优秀的概率为25， ξ可取值为0，1，2，3.所以ξ的分布列为2~3,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，26355E ξ∴=⨯=.【点睛】此题考察了2K 的计算，考察了二项分布的性质应用，考察了离散型随机变量分布列和数学期望，考察了数学运算才能.19.根据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图〔甲〕所示；根据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图〔乙〕所示． 〔1〕以此频率作为概率，试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率；〔2〕该河流域某企业，在8月份，假设没受1、2级灾害影响，利润为500万元；假设受1级灾害影响，那么亏损100万元；假设受2级灾害影响那么亏损1000万元． 现此企业有如下三种应对方案：试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由． 【答案】〔1〕0.155〔2〕应选方案二．【解析】【详解】〔1〕根据甲图，记该河流8月份“水位小于40米〞为事件1A ，“水位在40米至50米之间〞为事件2A ，“水位大于50米〞为事件3A ，它们发生的概率分别为：()()()()120.020.050.0650.65,0.040.0250.30P A P A =++⨯==+⨯=， ()30.0150.05P A =⨯=．记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害〞为事件1B ，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害〞为事件2B ，“水位大于50米且发生1级灾害〞为事件3B ， 所以()()()1230.1,0.2,0.6PB P B P B ===．记“该河流在8月份发生1级灾害〞为事件B ．那么0.650.100.300.200.050.600.155=⨯+⨯+⨯=．估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为0.155． 〔2〕以企业利润为随机变量， 选择方案一，那么利润1X 〔万元〕的取值为：500,100,1000--，由〔1〕知()110000.6500.300.050.050.400.035P X =-=⨯+⨯+⨯=．1X 的分布列为那么该企业在8月份的利润期望()()()15000.811000.15510000.035354.5E X =⨯+-⨯+-⨯=〔万元〕．选择方案二，那么2X 〔万元〕的取值为：460,1040-，由〔1〕知，()()224600.810.1550.965,10400.035P X P X ==+==-=，2X 的分布列为：那么该企业在8月份的平均利润期望()()24600.96510400.035407.5EX =⨯+-⨯=〔万元〕选择方案三，那么该企业在8月份的利润为：()3500100400EX =-=〔万元〕由于()()()231E X E X E X >>，因此企业应选方案二．20.函数()22ln f x x a x x=++，a R ∈． 〔Ⅰ〕假设4a =-，求曲线()y f x =在点()()1,1A f 处的切线方程；〔Ⅱ〕假设函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，务实数a 的取值范围． 【答案】〔I 〕470x y +-=；〔Ⅱ〕[)0,+∞．【解析】 【分析】 〔I 〕对函数()f x 进展求导得到()f x '，把4a =-和1x =分别代入()f x 和()f x '，求出()1f 、()1f '，利用导数的几何意义即可求解；〔Ⅱ〕对函数()f x 进展求导，再由()0f x '≥在[)1,+∞上恒成立得到关于a 的不等式，利用别离参数法和构造函数法求出实数a 的取值范围即可.【详解】〔I 〕因为函数()22ln f x x a x x =++，a R ∈，所以()222a f x x x x'=-+， 当4a =-时，()224ln f x x x x=+-，()11203f =+-=. ()2242f x x x x'=--，()12244f '=--=-． ∴曲线()y f x =在点()()1,1A f 处的切线方程为()341y x -=--，所以470x y +-=即为所求；〔Ⅱ〕函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，()2220a f x x x x'∴=-+≥，可得222a x x ≥-， 令()222x x gx -=，[)1,x ∈+∞， 因为函数2y x=为[)1,+∞上的减函数，函数22y x =为[)1,+∞上的增函数，所以，函数()gx 在[)1,+∞上单调递减．当1x =时，函数()gx 获得最大值为()10g =，因此，实数a 的取值范围为[)0,+∞．【点睛】此题考察利用导数的几何意义求函数在某点处的切线方程、利用导数判断函数的单调性求参数的取值范围，考察运算求解才能和转化与化归才能，纯熟掌握导数的几何意义和利用导数判断函数的单调性的方法是求解此题的关键，属于中档题、常考题型.21.2020年1月10日，引发新冠肺炎疫情的COVID -9病毒基因序列公布后，科学家们便开场了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验.一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是：每天接种一次，312，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关. 〔1〕求一个接种周期内出现抗体次数k 的分布列； 〔2〕每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案：①假设在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进展下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为X元；②假设在一个接种周期内出现2次或者3次抗体，该周期完毕以后终止试验，试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为Y 元. 比较随机变量X 和Y 的数学期望的大小.【答案】〔1〕分布列答案见解析.〔2〕()()E X E Y >【解析】 【分析】〔1〕由题意可知，随机变量k 服从二项分布13,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故3311()(0,1,2,3)22k kkP k C k -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后列出分布列即可 〔2〕根据题意分别算出X 和Y 的期望即可.【详解】〔1〕由题意可知，随机变量k 服从二项分布13,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故3311()(0,1,2,3)22kkk P k C k -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.那么k 的分布列为〔2〕①设一个接种周期的接种费用为ξ元，那么ξ可能的取值为200，300，因为1(200)4P ξ==，3(300)4P ξ==， 所以13()20030027544E ξ=⨯+⨯=.所以三个接种周期的平均花费为()3()3275825E X E ξ==⨯=.②随机变量Y 可能的取值为300，600，900，设事件A 为“在一个接种周期内出现2次或者3次抗体〞，由〔1〕知，311()882P A =+=.所以1(300)()2P Y P A ===，1(600)[1()]()4P Y P A P A ==-⨯=，1(900)[1()][1()]14P Y P A P A ==-⨯-⨯=，所以111()300600900525244E Y =⨯+⨯+⨯=.所以()()E X E Y >.【点睛】此题考察二项分布以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于根底题.22.函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2)e x ﹣x .〔1〕讨论()f x 的单调性；〔2〕假设()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】〔1〕见解析；〔2〕(0,1). 【解析】试题分析：〔1〕讨论()f x 单调性，首先进展求导，发现式子特点后要及时进展因式分解，再对a 按0a ≤，0a >进展讨论，写出单调区间；〔2〕根据第〔1〕问，假设0a ≤，()f x 0a >，当ln x a =-时，()f x 获得最小值，求出最小值1(ln )1ln f a a a-=-+，根据1a =，(1,)∈+∞a ，(0,1)a ∈进展讨论，可知当(0,1)a ∈()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点；设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，那么00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3ln(1)ln a a->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞a 的取值范围为(0,1).试题解析：〔1〕()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()()()2221121x x x x f x ae a e ae e =+---'=+，〔ⅰ〕假设0a ≤，那么()0f x '<，所以()f x 在(),-∞+∞单调递减.〔ⅱ〕假设0a >，那么由()0f x '=得ln x a =-.当(),ln x a ∈-∞-时，()0f x '<；当()ln ,x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞-单调递减，在()ln ,a -+∞单调递增.〔2〕〔ⅰ〕假设0a ≤，由〔1〕知，()f x 至多有一个零点.〔ⅱ〕假设0a>，由〔1〕知，当ln x a =-时，()f x 获得最小值，最小值为()1ln 1ln f a a a-=-+.①当1a =时，由于()ln 0f a -=，故()f x 只有一个零点；②当()1,a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即()ln 0f a ->，故()f x 没有零点； ③当()0,1a ∈时，11ln 0a a-+<，即()ln 0f a -<.又()()4222e 2e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点.设正整数0n 满足03ln 1n a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，那么()()00000000e e 2e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3ln 1ln a a ⎛⎫->-⎪⎝⎭，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点. 综上，a 的取值范围为()0,1.()f x 有2个零点求参数a 的取值范围，第一种方法是别离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断y a =与其交点的个数，从而求出a 的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进展研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是假设()f x 有2个零点，且函数先减后增，那么只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.。
高二数学暑假开学考试测试试题
高二数学试题开学考试制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。
本套试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部.满分是150分.考试时间是是120分钟.第I 卷一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.1、某为了理解某年龄段学生的体质状况，现采用系统抽样方法按1：20的比例抽取一个样本进展体质测试，将所有200名学生依次编号为1、2、…、200，那么其中抽取的4名学生的编号可能是〔 〕A ．3、23、63、113B ．31、61、81、121C ．23、123、163、183D ．17、87、127、167 2、3sin 35x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么5cos 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭等于〔 〕A ．35B ．45C ．35-D ．45-3、,,O A B 是平面上的三点，直线AB 上有一点C ，满足2+=0AC CB ，那么OC ＝( ) A ．2OA OB -B.2OA OB -+C.2133OA OB - D ．1233OA OB -+ 4、如下图的程序框图输出的结果为30，那么判断框内的条件是〔 〕A ．5n ≤B ．5n <C ．6n ≤D ．4n < 5、假设1sin 3=α，那么cos2=α〔 〕A ．89 B ．79 C ．79- D ．89- 6、向量,a b 满足||1,1a a b =⋅=-，那么(2)a a b ⋅-=〔 〕A ．4B ．3C ．2D ．07、在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机选取一个实数x ，那么事件“sin x ≥ 〕A ．1B ．14 C ．13 D ．168、将函数sin(2)5y x =+π的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数〔 〕A. 在区间[,]44-ππ 上单调递增B. 在区间[,0]4π上单调递减C. 在区间[,]42ππ 上单调递增D. 在区间[,]2ππ 上单调递减9、假设(,),()a 54b 3,2==，那么与2a 3b -平行的单位向量为( )A. B.(或-C.(或-D. 10、对具有线性相关关系的变量y x ,有一组观测数据)8,,2,1)(, =i y x i i （，其回归直线 方程是a x y+=21ˆ且5,2821821=+++=+++y y y x x x ，那么实数a 是〔 〕 A.21 B. 41 C. 81 D. 161 11、函数()()sin 03f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值， 无最大值，那么ω的值是〔 〕 A ．23 B ．113 C ．143 D ．7312、如图，ABC ∆中，90A ︒=，30B ︒=，点P 在BC 上运动且满足CP CB λ=，当PA PC ⋅取到最小值时，λ的值是〔 〕 A.14 B.15 C. 16 D.18第II 卷二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.13、现有2名女老师和1名男老师参加说题比赛,一共有2道备选题目,假设每位选手从中有放回地随机选出一道题进展说题,其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为______. 14、3cos 25=θ，那么44sin cos +=θθ . 15、点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---,那么AB 在CD 方向上的投影为 . 16、给出以下命题：①方程8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程； ②函数5sin 22y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭是偶函数； ③在锐角ABC ∆中，B A B A cos cos sin sin >； ④设21,x x 是关于x 的方程log a x k =(0,a >1,a ≠0)k >的两根，那么121x x =； ⑤假设αβ、是第一象限角，且αβ>，那么sin sin αβ>；正确命题的序号是_____．三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.17．〔此题一共10分〕,αβ为锐角, 45tan ,cos()35=+=-ααβ ．〔Ⅰ〕求cos2α；〔Ⅱ〕求tan()-αβ．18．〔此题一共12分〕某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件花费的时间是，为此做了四次试验，所得数据如表：〔Ⅰ〕画出表中数据的散点图；〔Ⅱ〕求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bxa =+， 并在坐标系中画出回归直线；〔Ⅲ〕试预测加工10个零件需要多少时间是？19．〔此题一共12分〕以下茎叶图记录了甲，乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩(满分是为100分) .乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示.〔Ⅰ〕假设甲，乙两个小组的数学平均成绩一样，求a 的值； 〔Ⅱ〕求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率； 〔Ⅲ〕当a =2时，分别从甲，乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值为2分的概率．20．〔此题一共12分〕,,a b c 在同一平面内，且(1,2)a =.〔Ⅰ〕假设||25c =，且//c a ，求c ；〔Ⅱ〕假设5||2b =且(2)(2)a b a b +⊥-，求a 与b 的夹角；21．〔此题一共12分〕设向量]2,0[),23cos ,23(sin ),2sin ,2(cos π∈==x x x b x x a .零件的个数x (个) 2345加工的时间是y (h )34〔Ⅰ〕求b a ⋅及||b a+；〔Ⅱ〕假设函数||2)(b a b a x f++⋅=，求)(x f 的最小值．22．〔此题一共12分〕函数()()()sin 0,,f x A x A o ωϕωϕ=+>><π，在同一周期内，当12x π=时，()f x =获得最大值3；当712x π=时()f x =获得最小值3-． 〔Ⅰ〕求函数()f x =的解析式； 〔Ⅱ〕求函数()f x =的单调递减区间；〔Ⅲ〕假设,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()()21h x f x m =+-有两个零点，务实数m 的范围．答案:制卷人：打自企；成别使；而都那。
高二数学下学期开学考试试题word版本
四川省雅安中学2016-2017 学年高二数学放学期开学考试一试题一、选择题1．直线x y 10 的倾斜角是（）A．B．C．D．3 44242．已知直线l1: (a2)x 3y 5 与直线 l 2 : (a 1) x2 y 6 平行，则直线在轴上的截距为（）A．B．5C．D．93．按流程图的程序计算，若开始输入的值为x 3 ，则输出的的值是（）输入 x计算 x x( x 1) 的值x 100?是输出结果 x2否A．B．C． D．4．要达成以下 3 项抽样检查：①从 15 瓶饮猜中抽取 5瓶进行食品卫生检查 .②某校报告厅有25 排，每排有 38 个座位，有一次报告会恰巧坐满了学生，报告会结束后，为了听取建议，需要抽取25 名学生进行会谈 .③某中学共有 240 名教员工，此中一般教师180 名，行政人员 24 名，后勤人员 36 名. 为了认识教员工对学校在校务公然方面的建议，拟抽取一个容量为20 的样本 .较为合理的抽样方法是（）A．①简单随机抽样, ②系统抽样 , ③分层抽 B ．①简单随机抽样, ②分层抽样 , ③系统抽样C．①系统抽样 , ②简单随机抽样, ③分层抽样D．①分层抽样 , ②系统抽样 , ③简单随机抽样5 ．已知直线y2x 是ABC中 C 的均分线所在的直线，若点A, B 的坐标分别是( 4,2),(3,1)，则点的坐标为（）A．( 2,4)B(2,4)C． (2, 4) D． (2, 4)6．已知直线x 2 y 2 与轴，轴分别交于A, B 两点，若动点P(a, b) 在线段AB上，则的最大值为（）A、1B、 2C、3D、1 237．直线y kx 3 与圆 x2y 32订交于 M 、N 两点，若 MN 2 3，则的24取值范围是（）A．3B．33,03,43C．3,3D．2,03 228．已知双曲线C :x2y2 1 a0 ，b0 的左焦点为F c ，0，点、在双曲线上，是坐a b标原点，若四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN 的面积为2cb ，则双曲线的离心率为（） A．B．2C. 22D． 2 39．抛物线y24x ，直线过的焦点x2y 21且与抛物线交于A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) 两点，1615x1x23，则 AB 中点到轴的距离为（）A．3B．3C．5D ． 42210．直线y m（m0）与y|log a x| （a0 且 a1）的图象交于，两点，分别过点，作垂直于轴的直线交y k（ k0 ）的图象于，两点，则直线CD 的斜率（）xA．与相关B．与相关C．与相关D．等于11．已知函数 f ( x)sin x 3 cos x ，当 x0,时， f (x)1的概率为（）A.1B.1C.1D.1 345212．过椭圆：x2y21(a b0) 的左极点且斜率为的直线交椭圆于另一点，且点在轴a2b2上的射影恰巧为右焦点，若1k1，则椭圆的离心率的取值范围是（）32A．(0,1)B．(2,1) 23C ．(1,2)D ．(0,1)(2,1)2323二、填空题13．甲、乙两个箱子里各装有 2 个红球和 1 个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，则起码有一个红球的概率为．14．若两圆x2y21和 ( x4) 2( y a) 225 有三条公切线，则常数a．15．已知椭圆x2y221(0 b 2)，左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B 两点，若4b|BF2 | | AF2 | 的最大值为，则的值是.16．把离心率e 51x2y21 a0, b0称为黄金双曲线．给出以下几2的双曲线a2b2个说法：①双曲线x2 2 y 21是黄金双曲线；51②若双曲线上一点P( x, y) 到两条渐近线的距离积等于a3，则该双曲线是黄金双曲线；c③若 F1 ,F2为左右焦点，A1 , A2为左右极点，B1(0, b), B2 (0, b) 且 F1 B1 A2900，则该双曲线是黄金双曲线；④．若直线经过右焦点交双曲线于M , N 两点，且 MN F1F2，MON900，则该双曲线是黄金双曲线；此中正确命题的序号为.三、解答题17．已知圆和轴相切，圆心在直线x 3y 0 上，且被直线y x 截得的弦长为 2 7 ，求圆的方程18．已知方程m22m 3 x 2m2m 1 y 6 2m 0 m R ．（1）求该方程表示一条直线的条件；（2）当为什么实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程；（ 3）已知方程表示的直线在轴上的截距为-3 ，务实数的值；（ 4）若方程表示的直线的倾斜角是45°，务实数的值．19．某校举行“青少年禁毒”知识比赛网上答题，高二年级共有500 名学生参加了此次比赛.为认识本次比赛成绩状况，从中抽取了100 名学生的成绩进行统计．请你解答以下问题：（1）依据下边的频次散布表和频次散布直方图，求出 a d 和 b c 的值；（ 2）若成绩不低于90 分的学生就能获奖，问全部参赛学生中获奖的学生约为多少人？20．为贯彻落实教育部等 6 部门《对于加速发展青少年校园足球的实行建议》，全面提升我市中学生的体质健康水平，普及足球知识和技术，市教体局决定矩形春天校园足球联赛，为迎接此次联赛，甲同学选拔了 20 名学生构成集训队，现统计了这 20 名学生的身高，记录以下表：身高（）168174175176178182185188人数12435131（ 1）请计算这20 名学生的身高中位数、众数，并增补达成下边的茎叶图；（ 2）身高为 185 和 188 的四名学生疏别为，，，，先从这四名学生中选 2 名担当正副门将，请利用列举法列出全部可能状况，并修业生当选正门将的概率．21．已知点A(0, 2)，椭圆：x2y21(a b 0) 的离心率为3，是椭圆的右焦点，a2b22直线 AF 的斜率为2 3，为坐标原点．3（ 1）求的方程；（ 2）设过点的动直线与订交于，两点，当OPQ 的面积最大时，求的直线方程．22．已知椭圆中心在原点，离心率2，其右焦点是圆：(x 1)2y21的圆心．2（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，过椭圆上且位于轴左边的一点作圆的两条切线，分别交轴于点、．试推测能否14存在点，使 | MN |？若存在，求出点的坐标；3若不存在，请说明原因参照答案1． D【分析】剖析：直线的倾斜角的正切值等于直线的斜率，获得倾斜角的正切值，由直线倾斜角的范围，利用特别角的三角函数值即可求出倾斜角的度数．解：∵直线 x+y+1=0 的∴直线的斜率是 1，∵直线的倾斜角是 [0 ， π ）∴当 tan α=-1 时，倾斜角 α =3，4故答案为： D评论：此题考察了直线的倾斜角，此题解题的重点是娴熟掌握直线倾斜角与斜率之间的关系和之间的换算，此题是一个基础题．2． B 【分析】试题剖析：由已知得2(a 2)3(a 1) ，得 a 7 ，则直线在轴上的截距为5,应选 B ．9考点：直线与直线平行的判断 .3． D 【分析】试题剖析：依据程序可知， 输入 x ，计算出的值 . ∵当 x=3 时，∴ x x x 16 ；2xx 1 x x 1∵ 6＜ 100，∴当 x=6 时， x 221 100 ，∴当 x=21 时， x2 231，则最后输出的结果是 231.应选 D ．考点：程序框图 .4． A【分析】试题剖析：由抽样方法的特色可知①应用简单随机抽样；②应用系统抽样；③应用分层抽样较为适合 . 故应选 A.考点：抽样方法.5． C【分析】试题剖析：由题意可得：点A4,2 对于直线y2x 的对称点为4,2，所以直线 BC 的方程为3x y 100；点B3,1 对于直线y2x的对称点为1,3，所以直线 AC 的方程为 x3y100 ，所以点的坐标为 (2, 4)．考点：直线的方程．6． A【分析】由题意a2b2(a0, b 0)， a2b2 a.2b ，所以ab 1，应选。
高二数学上学期暑假返校开学考试试题
卜人入州八九几市潮王学校仙游第一二零二零—二零二壹高二数学上学期暑假返校〔开学〕考试试题一．选择题1．集合2{|log 4}A x x =<，集合{|||2}B x x =≤，那么A B =〔〕A.(0,2]B.[0,2]C.[2,2]-D.(2,2)-2．如右图所示的程序框图，运行相应的程序，假设输入的值是20，那么输出的值是〔〕 A ．4B ．3 C ．2D ．13．假设当x R ∈时,函数()xf x a =始终满足0()1f x <≤,那么函数1log ay x=的图象大致为〔〕4．在△ABC 中，a =5，b =15，A=30°，那么c 等于() A ．25B ．25或者5C ．5D ．以上都不对5．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从M 点测得A 点的俯角30NMA ︒∠=，C 点的仰角45CAB ︒∠=以及75MAC ︒∠=；从C 点测得=60MCA ︒∠；山高200BC m =,那么山高MN =〔〕A ．300mB ．2002mC ．2003mD ．3002m 6．在等差数列{}n a 中，563,2a a ==-，那么348a a a +++等于〔〕A ．2B ．1C ．4D ．37．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，假设22cos 3C =，cos cos 2b A a B +=，那么ABC ∆的外接圆的面积为〔〕 A ．4πB ．8πC ．9πD ．36π 8．假设数列满足a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，那么S n ＝〔〕A ．2－21－nB ．2n －1－1C ．2n －1D ．2－2n －19．对于定义在R 上的函数()f x ①假设()f x 满足()()20182017f f >，那么()f x 在R 上不是减函数；②假设()f x 满足()()22f f -=，那么函数()f x 不是奇函数；③假设()f x 满足在区间(),0-∞上是减函数，在区间[)0.+∞也是减函数，那么()f x 在R 上也是减函数；④假设()f x 满足()()20182018f f -≠，那么函数()f x 〕 A ．①④B ．①②C ．②③D ．②④10．如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线12,l l 同侧，且P 到12,l l 的间隔分别为1,3．点,M N 分别在12,l l 上，8PM PN +=，那么·PM PN 的最大值为()A ．9B ．12C ．10D ．1511．假设[]0,απ∈，,44ππβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，R λ∈，且3cos 202πααλ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，314sin 202ββλ++=，那么cos 2αβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是〔〕A ．0B ．12C ．22D 3 12．在直角坐标系xoy 中，全集},|),{(R y x y x U ∈=，集合}20,1sin )4(cos |),{(πθθθ≤≤=-+=y x y x A ，集合A 的补集A C U 所对应区域的对称中心为M ，点P 是线段)0,0(8>>=+y x y x 上的动点，点Q 是x 轴上的动点，那么MPQ ∆周长的最小值为〔〕A ．24B ．104C ．14D ．248+ 二．填空题13．设向量a →=〔1，2〕，(,1)b x →=,当向量a →+2b →与2a b →→-平行时，那么x=_______ 14．3cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，512sin 413πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,0,4πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么sin()αβ+=________．15．如下列图，墙上挂有一块边长为的正六边形木板，它的六个角的空白局部都是以正六边形的顶点为圆心，半径为的扇形面，某人向此板投镖一次，假设一定能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，那么他击中阴影局部的概率是__________．16．假设圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同点到直线l ：0=+-b y x 的间隔为22，那么b 的取值范围是. 三、解答题17．长时间是用 上网严重影响着学生的身体安康，某校为理解A ，B 两班学生 上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进展调查，将他们平均每周 上网的时长作为样本，绘制成茎叶图如下列图〔图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字〕． 〔1〕分别求出图中所给两组样本数据的平均值， 并据此估计，哪个班的学生平均上网时间是较长；（2）从A 班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为a ，从B 班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b ，求a ＞b 的概率．18．向量1sin ,22x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，)1,2sin 2cos 3(x x b -= ，函数b a x f⋅=)(，ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .〔1〕求()f x 的单调递增区间；〔2〕假设()1,f B C +=3,1a b ==，求ABC ∆的面积S ．19．如图，三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，1,1,2,60PA AB AC BAC ===∠=． 〔1〕求三棱锥P-ABC 的体积；〔2〕证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PMMC的值． 20．函数,角的终边经过点.假设是的图象上任意两点,且当时,的最小值为.(1)求或者的值；(2)当时,不等式恒成立,求的最大值.21．圆22:1O x y +=与x 轴负半轴相交于点A ，与y 轴正半轴相交于点B .〔1〕假设过点13,22C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的直线l 被圆O 3l 的方程；〔2〕假设在以B 为圆心半径为r 的圆上存在点P ，使得2PA PO =(O 为坐标原点)，求r 的取值范围；〔3〕设()()1122,,,M x y Q x y 是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为1M ，点M 关于x 轴的对称点为2M ，假设直线12QM QM 、与y 轴分别交于()0,m 和()0,n ，问m n ⋅是否为定值？假设是求出该定值；假设不是，请说明理由.22．〔本小题总分值是16分〕函数,),,( 1)(2R x b a bx ax x f ∈++=为实数〔1〕假设不等式()4f x >的解集为{|3x x <-或者1}x >,求)(x F 的表达式;〔2〕在〔1〕的条件下,当[1, 1]x ∈-时,kx x f x g -=)()(是单调函数,务实数k 的取值范围;〔3〕设0<⋅n m ,,0>+n m 0>a 且)(x f 为偶函数,判断)(m F ＋)(n F 能否大于零参考答案1．A2．C3．B4．B5．A6．D7．C8．C9．A10．D11．C12．B13．1214．655615．16．22b-≤≤17．解析：〔Ⅰ〕A班样本数据的平均值为1(911142031)17 5++++=，B班样本数据的平均值为1(1112212526)19 5++++=，据此估计B班学生平均每周上网时间是较长．5分〔Ⅱ〕依题意，从A班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为a，从B班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b的取法一共有12种，分别为：〔9,11〕，〔9,12〕，〔9,21〕，〔11,11〕，〔11,12〕，〔11,21〕，〔14,11〕，〔14,12〕，〔14,21〕，〔20,11〕，〔20,12〕，〔20,21〕．其中满足条件“a＞b〞的一共有4种，分别为：〔14,11〕，〔14,12〕，〔20,11〕，〔20,12〕．设“a ＞b 〞为事件D ， 那么31124)(==D P ．答：a ＞b 的概率为31．18．解析：〔1〕由题意得=31cos 1sin 222x x --+=31sin cos 22x x +πsin()6x =+，3分令πππ2π2π262k x k -≤+≤+(Z)k ∈ 解得2ππ2π2π 33k x k -≤≤+(Z)k ∈ 所以函数()f x 的单调增区间为2ππ2π,2π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(Z)k ∈.6分 〔2〕解法一：因为()1,f B C +=所以πsin()16B C ++=，又(0,π)B C +∈，ππ7π(,)666B C ++∈, 所以πππ,623B C B C ++=+=，所以2π3A =,8分由正弦定理sin sin a b A B =把3,1a b ==代入，得到1sin 2B =10分 得6B π=或者者56B π=，因为23A π=为钝角，所以56B π=舍去所以π6B =，得π6C =.所以，ABC ∆的面积1113sin 312224S ab C ==⋅⋅⋅=.12分 解法二：同上〔略〕2π3A =,8分 由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-，得231c c =++，1c =或者3-〔舍去〕10分 所以，ABC ∆的面积1133sin 112224S bc A ==⋅⋅⋅=.12分 19.【解析】〔Ⅰ〕解：由题设＝1,可得.由面可知是三棱锥的高,又所以三棱锥的体积〔Ⅱ〕证：在平面内，过点B作，垂足为，过作交于，连接.由面知，所以.由于，故面，又面，所以.在直角中，，从而.由，得.20．〔1〕角的终边经过点.角的终边在第四象限，且，可以取，点是的图象上任意两点,且当时,的最小值为.那么函数的图象的相邻的2条对称轴间的间隔等于，故函数的周期为，故，解得.〔2〕，那么，由不等式可得，那么有，解得，的最大值为.21．解析：〔1〕1︒假设直线l 的斜率不存在，那么l 的方程为：12x =，符合题意. 2︒假设直线l 的斜率存在，设l 的方程为：312y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即2230kx y k --+= ∴点O 到直线l 的间隔()()22322k d k -+=+-∵直线l 被圆O 322312d ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭∴3k =l 的方程为：310x y -+= ∴所求直线l 的方程为12x =或者310x y += 〔2〕设点P 的坐标为(),x y ，由题得点A 的坐标为()1,0-，点B 的坐标为()0,1 由2PA PO =()222212x y x y ++=+()2212x y -+=∵点P 在圆B 上，∴()()22210012r r -≤-+-≤022r <≤∴所求r 的取值范围是022r <≤〔3〕∵()11,M x y ，那么()()111211,,,M x y M x y --- ∴直线1QM 的方程为()211121y y y y x x x x ++=++令0x =，那么122112x y x y m x x -=+同理可得122112x y x y n x x +=-∴()()2212211221122122121212x y x y x y x y x y x y mn x x x x x x --+=⋅=+--()()222212212212111x x x x x x ---==-∴m n ⋅为定值1.【答案】〔1〕由不等式230ax bx +->的解集为{|3x x <-或者1}x >，故0,a >且方程230ax bx +-=的两根为3,1-，由韦达定理，得0,2,33.a baa>⎧⎪⎪-=-⎨⎪⎪-=-⎩解得1, 2.a b ==因此， 〔2〕那么1)2(12)()(22+-+=-++=-=x k x kx x x kx x f x g4)2(1)22(22k k x --+-+=, 当212k -≥或者212k -≤-时,即4k ≥或者0k ≤时,)x (g 是单调函数. 〔3〕∵)(x f 是偶函数∴,1)(2+=ax x f ⎪⎩⎪⎨⎧<-->+=)0( 1)0(1)(22x ax x ax x F , ∵,0n m <⋅设,n m >那么0n <.又,0 ,0>->>+n m n m ∴|n ||m |->)(m F ＋)(n F 0)(1)1()()(2222>-=--+=-=n m a an am n f m f ,∴)m (F ＋)n (F 能大于零。
高二数学开学考试试题 理含解析 试题
智才艺州攀枝花市创界学校龙胜二零二零—二零二壹高二数学开学考试试题理〔含解析〕一、选择题 1.()2,3,1a =-，那么以下向量中与a 平行的是〔〕A.()1,1,1B.()2,3,5--C.()2,3,5-D.()4,6,2--【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量一共线的等价条件判断即可. 【详解】对于A 选项，111231≠≠-，A 选项里面的向量与a 不平行； 对于B 选项，235231--≠≠-，B 选项里面的向量与a 不平行； 对于C 选项，235231-=≠-，C 选项里面的向量与a 不平行； 对于D 选项，462231--==-，D 选项里面的向量与a 平行. 应选：D.【点睛】此题考察空间向量一共线的判断，考察计算才能与推理才能，属于根底题. ，因为是实数，所以〞你认为这个推理〔〕． A.大前提错误 B.小前提错误C.推理形式错误D.结论正确【答案】A 【解析】：任何实数的平方大于0，这句话是错误的，所以导致后面的结论是错误的，因此大前提错误． 3.()()()2,5,1,2,2,4,1,4,1A B C ---，那么向量AB AC 与的夹角为〔〕A.030B.045C.060D.090【答案】C 【解析】 【分析】 先求出,AB AC 的坐标，再利用空间向量夹角余弦公式求解即可.【详解】因为()()()2,5,1,2,2,4,1,4,1A B C ---，所以()()10,1,0,3,3,AB AC =-=，01cos ,23AB AC AB AC AB AC⋅+===⋅，0,60AB AC =应选：C.【点睛】此题主要考察空间向量的坐标运算以及空间向量夹角余弦公式的应用，属于根底题. 4.函数313y x x =+-有〔〕A 极小值-1，极大值1 B.极小值-2，极大值3 C.极小值-2，极大值2 D.极小值-1，极大值3【答案】D 【解析】y ′＝3－3x 2，令y ′＝0，解得x ＝±1.x <－1或者x >1时，y ′<0；－1<x <1时，yf (1)＝3是极大值，f (－1)＝－1是极小值．5.假设平面,αβ的法向量分别为1,1,3,(1,2,6)2ab ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，那么〔〕 A.//αβB.α与β相交但不垂直C.αβ⊥D.//αβ或者α与β重合【答案】D 【解析】 【分析】利用垂直于同一直线的两个不同的平面平行以及法向量的定义即可得到答案. 【详解】因为12a b =-，所以平面,αβ的法向量一共线，故//αβ或者α与β重合.应选：D.【点睛】此题考察利用平面法向量断定面面位置关系，用到垂直于同一直线的两个不同的平面平行，此题属于容易题. 6.向量(2,,2),(2,1,2),(4,2,1)a x b c =-==-.假设()a b c ⊥-，那么x 的值是〔〕A.2-B.2C.3D.3-【答案】A 【解析】【分析】先求解b c -的坐标，再利用坐标表示向量垂直，列出等式，即得解 【详解】∵(2,3,1)b c -=-，∴()4320a b c x ⋅-=++=，解得2x =-.应选：A【点睛】此题考察了空间向量垂直的坐标表示，考察了学生概念理解，数学运算才能，属于根底题 7.曲线1x y xe -=在点〔1,1〕处切线的斜率等于〔〕.A.2eB.eC.2D.1【答案】C 【解析】试题分析：由1x y xe -=，得，故，故切线的斜率为，应选C.考点：导数的集合意义.8.如下列图，在空间四边形OABC 中，OA a OB b OC c ==＝，，，点M 在OA 上，且2,OM MA N=为BC 中点，那么MN=〔〕A.121232a b c -+ B.211322a b c -++ C.111222a b c +- D.221b 332a c -+-【答案】B 【解析】 【分析】由向量的加法和减法运算，12()23MNON OM OB OC OA =-=+-，即得解【详解】由向量的加法和减法运算：12211()23322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++.应选：B【点睛】此题考察了空间向量的加法和减法运算，考察了学生空间想象，概念理解，数学运算才能，属于根底题9.观察按以下顺序排列的等式：9011⨯+=，91211⨯+=，92321⨯+=，93431,...⨯+=，猜想第()Nn n *∈个等式应为〔〕A.9(+1)+=10+9n n nB.9(1)+=109n n n --C.9+(1)=101n n n --D.()9(1)+1=1010n n n ---【答案】B 【解析】解：因为：9011⨯+=，91211⨯+=，92321⨯+=，93431⨯+=，⋯那么可以归纳猜想第()n n +∈N 个等式应为9(1)109n n n -+=-，应选B10.()()231f x x xf '=+，那么()2f '=〔〕A.1B.2C.4D.8【答案】A 【解析】【分析】对函数求导，并令1x =代入可求得()1f '.将()1f '的值代入()f x '可得导函数()f x '，即可求得()2f '的值.【详解】函数()()231f x x xf '=+，那么()()231f x x f ''=+，令1x =代入上式可得()()1231f f ''=+，那么()11f '=-，所以()()23123f x x x '=+⨯-=-，那么()22231f '=⨯-=，应选：A.【点睛】此题考察了导数的定义与运算法那么，在求导过程中注意()1f '为常数，属于根底题.11.在正方体1111ABCD A B C D -，中，E 是1C C 的中点，那么直线BE 与平面1B BD 所成的角的正弦值为()A.B. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面1B BD 法向量以及BE 坐标，按线面角向量法求解. 【详解】设正方体1111ABCD A B C D -边长为2，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在的直线分别为,,x y z 轴建立坐标系，那么(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,2,1),(2,0,1)A B C E BE =-，平面1B BD 法向量为(2,2,0)=-AC ，设直线BE 与平面1B BD 所成的角为θ，sin |5,|AC BE θ<>===. 应选:C.【点睛】此题考察用向量法求直线与平面所成的角，考察计算才能，属于根底题. 12.函数()32f x x ax =+-在区间[)1,+∞内是增函数，那么实数a 的取值范围是〔〕A.[)3,+∞ B.[)3,-+∞C.()3,-+∞D.(),3-∞-【答案】B 【解析】 试题分析：()23f x x a ='+，令()230f x x a '=+≥即23a x ≥-，当a≥0，x∈R；当a ＜0时，解得x ≥x≤因为函数在区间〔11， 解得a≥-3，所以实数a 的取值范围是[-3，+∞〕 考点：函数导数与单调性 二、填空题13.点A,B,C 的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,-1),(2,1,1)，点P 的坐标为(,0,)x z ，假设 PA⊥AB,PA⊥AC，那么点P 的坐标为_______. 【答案】()1,0,2-【解析】由题意，得到,,AB AC PA 的坐标，利用,PA AB PA AC ⊥⊥，列出方程组即可求解. 【详解】由得(1,1,1),(2,0,1),(,1,)AB AC PA x z =---==--，由题意得00PA AB PA AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩即1020x z x z -+=⎧⎨--=⎩，解得12x z =-⎧⎨=⎩，(1,0,2)P ∴-.【点睛】此题主要考察了向量的坐标表示以及向量的数量积的运算，其中熟记空间向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.14.223+＝223，338+＝338，4415+＝4415……假设6a b +＝6ab(a ，b 均为实数)，猜想，a ＝________，b ＝________． 【答案】(1).6(2).35 【解析】根据发现的规律可知26,6135a b ==-=.15.假设函数()y f x =的导函数的图象如下列图，给出以下判断：①函数()y f x =在区间内单调递增；②函数()y f x =在区间内单调递减；③函数()y f x =在区间内单调递增；④当2x=时，函数()y f x =有极小值；⑤当12x =-时，函数()y f x =有极大值； 那么上述判断中正确的选项是___________． 【答案】①②③⑤【详解】由函数图像可知，在函数递增，在函数递减，在()3,5函数递增，即在区间内单调递增，当3x =-时获得最小值，当5x =时获得最大值，当12x =-时获得极大值，当3x =时函数获得极小值，综上可知①②③⑤正确 考点：函数单调性与极值 16.由抛物线2yx x ，直线1x =-及x 轴围成的图形的面积为___________【答案】1 【解析】 【分析】 画出由抛物线2yx x ，直线1x =-及x 轴围成的图形，面积可用定积分表示为：1221()|()|S x x dx x x dx -=-+-⎰⎰，计算即得解【详解】由题意，由抛物线2yx x ，直线1x =-及x 轴围成的图形如以下列图阴影局部所示：可用定积分表示为： 故答案为：1【点睛】此题考察了定积分在曲边梯形面积表示中的应用，考察了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的才能，属于中档题 四、解答题 17.计算： 〔1〕求函数的导数：()31y ln x =-〔2〕计算定积分：()3214x x dx --⎰【答案】〔1〕3=31y x '-〔2〕203【分析】 〔1〕设,31y lnu u x ==-，利用复合函数求导公式，即得解；〔2〕因为23212'43xx x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，利用微积分根本定理，得到 ()12233314213x x dx x x -⎛⎫⎰-=- ⎪-⎝⎭，计算即得解 【详解】〔1〕设,31y lnu u x ==-，那么()()1331331x u xy y u lnu x u x ''⋅'''=⋅=-=⋅=- 〔2〕因为23212'43xx x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 所以()12233314(2)13x x dx x x -⎰-=--()()332213202321333⎡⎤-⎛⎫=⨯--⨯--=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 【点睛】此题考察了复合函数求导和定积分的求解，考察了学生综合分析，概念理解，数学运算才能，属于根底题 18.()()2,1,2,0,1,4a b =--=-，求a b -，()2a b ⋅-，()()a b a b +⋅-.【答案】()2,0,6a b -=-，2()14a b ⋅-=，()()8a b a b +⋅-=-【解析】【分析】利用向量加法、减法、数乘、数量积的坐标运算公式，计算即得解 【详解】由题意，()()2,1,2,0,1,4a b =--=-故()()()2,1,20,1,42,0,6a b ----=-=-且()()()2,1,20,1,42,2,2a b--+-=+=-，()()224,2,42,1,2a -=--=-，【点睛】此题考察了向量加法、减法、数乘、数量积的坐标运算，考察了学生概念理解，数学运算才能，属19.函数42()36f x x x =-+.〔1〕讨论()f x 的单调性； 〔2〕求()f x 的极值【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析 【解析】分析：〔1〕求导，利用导函数的符号变化确定函数的单调性；〔2〕利用〔1〕中的单调性确定极值． 详解：〔1〕()346f x x x '=-，令()0f x '=，得0x=或者2x =±(2)()()1564f x f f x f⎛== ⎝⎭⎝⎭的极小值，的极大值 点睛：此题考察导数与函数的单调性、导数与函数的极值等知识，意在考察学生的逻辑思维才能和根本计算才能． 20.函数32()2f x x x x =-++〔1〕求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程;〔2〕求经过点(1,3)A 的曲线()f x 的切线方程.【答案】〔1〕210x y -+=；〔2〕20x y -+=或者210x y -+=【解析】【详解】试题分析：〔1〕求出()2321f x x x '=-+,求出()1f 的值可得切点坐标，求出()'1f 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；〔2〕设切点坐标为()32,2m m m m -++，求出()'f m 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()y f x =在点()32,2m mm m -++的切线方程，将()1,3代入切线方程可求得m 的值，从而可得结果.试题解析：〔1〕函数32()2f x x x x =-++的导数为()2321f x x x '=-+，可得曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率为(1)3212f '=-+=，切点为(1,3)，所以曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程32(1)y x -=-， 即为210x y -+=；〔2〕设切点为(,)m n ，可得322n m m m =-++， 由()f x 的导数()2321f x x x '=-+，可得切线的斜率为()2321f m m m =-+'， 切线的方程为223)(2)(321)(y m m m x m m m -+--=-++，由切线经过点(1,3)，可得223)3321)((1(2)m m m m m m --++=--+，化为2(1)0m m -=，解得0m =或者1．那么切线的方程为2y x -=或者32(1)y x -=-， 即为2y x =+或者21y x =+．【方法点睛】此题主要考察利用导数求切线斜率，属于中档题.应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要表达在以下几个方面：〔1〕切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；〔2〕己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；〔3〕巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点)求切点,设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解. 21.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面1,//,,1,2ABCD AB DC AB AD AD CD AA AB ⊥====,E 为棱1AA 的中点.〔1〕证明：11B C CE ⊥；〔2〕求二面角11B CE C --的正弦值.【答案】(1)证明见解析；. 【解析】【详解】试题分析：以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得：()()()()()()110,0,0,0,0,2,1,0,10,2,2,1,2,1,0,1,0A B C B C E〔1〕易得()()111,0,1,1,1,1CE B C =-=--,那么110B C CE ⋅=,11.B C CE ⊥ 〔2〕由题意可得平面1B CE 的一个法向量()3,2,1m =--，平面1CEC 的一个法向量为()111,0,1B C =-，那么1111112,7m B C cos m BC m B C ⋅=-⋅><=,故二面角11B CE C --的正弦值为7试题解析：如下列图，以点A 为原点建立空间直角坐标系， 依题意得()()()()()()110,0,0,0,0,2,1,0,10,2,2,1,2,1,0,1,0ABC B C E ，，〔1〕证明：易得()()111,0,1,1,1,1CE B C =-=--,于是110B C CE ⋅=, 所以11.B C CE ⊥ 〔2〕()11,2,1B C =--,设平面1B CE 的一个法向量(),,m x y z =，那么100m B C m CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即200x y z x y z --=⎧⎨-+-=⎩消去x ，得20y z +=， 不妨令1z =，所以平面1B CE 的一个法向量为由〔1〕知，11,B C CE ⊥又11111,,,CC B C CE CC C CE CC ⊥⋂=⊂平面1CEC ， 所以11B C ⊥平面1CEC ，故()111,0,1B C =-为平面1CEC 的一个法向量， 于是111111,14m B C cos m B C m B C ⋅<===>⋅从而1121,7sin m B C ><=所以二面角11B CE C --的正弦值为7 22.某商场销售某件商品的经历说明，该商品每日的销量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式210(6)3a y x x =+--，其中36x <<，a 为常数.销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.〔1〕务实数a 的值；〔2〕假设该商品的本钱为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值.【答案】〔1〕2a=〔2〕当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获的利润最大.最大值42 【解析】【分析】 〔1〕由题意，当5x =时，11y =，代入函数式210(6)3a y x x =+--，运算即得解； 〔2〕先表示商场每日销售该商品所获得的利润为()()()2231063f x x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥-⎣⎦，求导研究单调性，即可得最大值【详解】〔1〕∵5x =时，11y =， 由函数式210(6)3a y x x =+--，得10112a +=，∴2a =. 〔2〕由〔1〕知该商品每日的销售量210(6)3a y x x =+--， ∴商场每日销售该商品所获得的利润为()()()2231063f x x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥-⎣⎦()()221036x x =+--，36x <<， ()()()()2106236f x x x x ⎡⎤=-+--⎣'⎦()()3046x x =--，令'()0f x =，得4x =，当34x <<时，'()0f x >，函数()f x 在()3,4上递增; 当46x <<时，'()0f x <，函数()f x 在()4,6上递减; ∴当4x =时，函数()f x 获得最大值(4)42f =.所以当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获的利润最大.【点睛】此题考察了导数在实际问题中的应用，考察了学生实际应用，综合分析，转化划归，数学运算才能，属于中档题。
人教A版必修四高二暑假开学考试数学.docx
湖北省枣阳市第一中学2016-2017学年高二暑假开学考试数学检测题★ 祝考试顺利 ★时间：120分钟 分值150分_第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ） A ．至少与1l ，2l 中的一条相交 B ．与1l ，2l 都相交C ．至多与1l ，2l 中的一条相交D ．与1l ，2l 都不相交 2．函数⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛-=x x y 6cos 3cos 2ππ的最小值为（ ） A.3- B.2- C.1- D.5-3．三角形ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A －cos B ，cos A －sin C )，则||||||sin cos tan sin cos tan θθθθθθ＋＋的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．3 D ．44．已知函数2()sin(2),()2cos f x x g x x π=-=，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 在区间[,]42ππ上为增函数 B ．函数()()y f x g x =+的最小正周期为2π C ．函数()()y f x g x =+的图像关于直线8x π=对称D ．将函数()f x 的图像向右平移2π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()g x 的图像。
5．若a ，b 是异面直线，直线//c a ，则c 与b 的位置关系是( ).A ．相交B ．异面C ．异面或相交D ．平行6．已知角θ的终边过点(4,3)(0)P k k k -<，则2sin cos θθ+的值是（ ）A ．25 B ．25-C ．25或25-D ．随着k 的取值不同其值不同7．已知各项均为正数的等比数列}{n a 中，13213a ,a ,2a 2成等差数列，则=++1081311a a a a （ ） A. 27 B.3 C. 1-或3 D.1或278．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若3a =8，则5S =（ ）A ．16B ．24C ．32D ．409．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ） A ．19 B ．112 C ．115 D ．11810．已知,a b R +∈，若向量(2,122)m a =-与向量(1,2)n b =共线，则25a b a b +++的最大值为（ ）A ．6B ．4C ．3D ．3 11．一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积为12211俯视图侧视图主视图BCA.A13.B23.C.D4312．若直线ax－by＋1＝0平分圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的周长，则ab的取值范围是( ) A.1,4⎛⎤-∞⎥⎝⎦B.1,8⎛⎤-∞⎥⎝⎦C.10,4⎛⎤⎥⎝⎦D.10,8⎛⎤⎥⎝⎦第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）13．函数]4,0[,)4sin()3sin()(πππ∈++=xxxxf的最大值为．14．已知三角形两边长分别为2和23，第三边上的中线长为2，则三角形的外接圆半径为15．如图，在三棱锥A BCD-中，2BC DC AB AD====，2BD=，平面ABD⊥平面BCD，O为BD中点，点,P Q分别为线段,AO BC上的动点（不含端点），且AP CQ=，则三棱锥P QCO-体积的最大值为________．16．若球O 的球面上共有三点A 、B 、C ，其中任意两点间的球面距离都等于大圆周长的1,6经过A 、B 、C 这三点的小圆周长为43π，则球O 的体积为 ．三、解答题（70分） 17．（本题满分12分）已知函数()2()+28f x x a x =-，不等式()5f x ≤的解集是{15}x x -≤≤．（1）求实数a 的值；（2）2()49f x m m ≥--对于x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围．18．（本题12分）已知数列{a n }的首项a 1＝a ，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足：2n S ＝3n 2a n＋21n S -，a n ≠0，n ≥2，n ∈N *．(1)若数列{a n }是等差数列，求a 的值；(2)确定a 的取值集合M ，使a ∈M 时，数列{a n }是递增数列． 19．(本小题满分12分)已知函数2()123sin cos 2cos f x x x x =-++ （Ⅰ）求函数f (x)的最小正周期； （Ⅱ）求函数f (x)的单调减区间.20．（本题12分）已知数列{}n a 满),0(0253,,1221N n n a a a b a a a n n n ∈≥=+-==++，求数列{}n a 的通项公式。
高二数学下学期开学考试试题 7
卜人入州八九几市潮王学校鸡泽县第一二零二零—二零二壹高二数学下学期开学考试试题一．选择题〔一共12小题〕“00x ∃>，20010x x ++<〞的否认是() A ．0x ∀>，210x x ++B ．0x ∀，210x x ++< C ．0x ∀>，210x x ++<D ．0x∀，210x x ++2．设()(21)f x ln x =-，假设()f x 在0x 处的导数0()1f x '=，那么0x 的值是() A ．12e + B ．32C ．1D ．343．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ的数学期望()8.9E ξ=，那么y 的值是()A ．B ．C ．D ．4．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区效劳，选中的恰有一名女同学的概率为() A ．B ．C ．D ．5．某人进展投篮训练100次，每次命中的概率为，那么命中次数的HY 差等于() A ．20B ．80C ．16D ．46．如图是函数()y f x =的导数()y f x '=的图象，那么下面判断正确的选项是()A ．在(3,1)-内()f x 是增函数B ．在1x =时()f x 获得极大值C ．在(4,5)内()f x 是增函数D ．在2x =时()f x 获得极小值7．设函数||2()5cos x f x e x x =--，那么函数()f x 的图象大致为()A ．B ．C ．D ．ξ 78 9 10Pxy8．α为第二象限的角，且3tan 4α=-，那么sin cos (αα+=) A ．75-B ．34-C ．15-D ．159．集合{}21|230,|22xA x x xB x ⎧⎫=--<=⎨⎬⎩⎭，那么“x B ∈〞是“x A ∈〞的() A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 10．函数()||f x lnx ax =-恰有两个零点1x ，2x ，且12x x <．那么1x 所在区间为() A ．31(0,)e B ．3211(,)e e C ．211(,)e eD ．1(,1)e11．以下说法正确的选项是()A “假设21x =，那么1x ≠“假设21x =，那么1x =〞B “0x R ∃∈，2000x x -<〞的否认是“x R ∀∈，20x x ->〞 C ．“()y f x =在0x 处有极值〞是“0()0f x '=〞的充要条件D “假设函数2()1f x x ax =-+有零点，那么2a或者2a -12．函数232,()3,x x x m f x x x m ⎧-+=⎨-+>⎩，假设()f x 恰好有2个零点，那么m 的取值范围是()A ．(2，3]B ．[2，3)C ．[1，2)[3，)+∞D ．(1，2][3，)+∞二．填空题〔一共4小题〕 13．假设1cos 3α=，那么sin()2πα-=．14．函数1()()1x f x x R x -=∈+的图象对称中心是．15．27(1)(0)ax a ->的展开式中第6项的系数为189-，那么展开式中各项的系数和为．16．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对于任意x R ∈，恒有(1)(1)f x f x -=+成立，当[1x ∈-，0]时，()21x f x =-，那么(2013)f =．三．解答题〔一共6小题〕 17．函数3213()4132f x x x x =--+． 〔1〕求函数()f x 的单调区间；〔2〕当[2x ∈-，5]时，求函数()f x 的最大值和最小值．18．随着新高考HY 的不断深化，高生生涯规划越来越受到社会的关注．一些高中已经开场尝试开设学生生涯规划选修课程，并获得了一定的成果．如表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取50名学生的统计数据．成绩优秀 成绩不够优秀总计 选修生涯规划课 15 10 25 不选修生涯规划课6 19 25 总计212950〔Ⅰ〕根据列联表运用HY 性检验的思想方法分析：能否有99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关“，并说明理由；〔Ⅱ〕假设从全校选修生涯规划课的学生中随机地抽取3名学生．求抽到成绩不够优秀的学生人数ξ的分布列和数学期望〔将频率当作慨率计算〕．2()P K kk参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．根据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图〔甲)所示；根据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图〔乙)所示．〔Ⅰ〕以此频率作为概率，试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率； 〔Ⅱ〕该河流域某企业，在8月份，假设没受1、2级灾害影响，利润为500万元；假设受1级灾害影响，那么亏损100万元；假设受2级灾害影响那么亏损1000万元．现此企业有如下三种应对方案：〔如表〕．试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由． 20．函数22()f x x alnx x=++，a R ∈． 〔Ⅰ〕假设4a =-，求曲线()y f x =在点A (1，f 〔1〕)处的切线方程；方案 防控等级 费用〔单位：万元〕 方案一无措施0 方案二 防控1级灾害40 方案三 防控2级灾害100〔Ⅱ〕假设函数()f x 在[1，)+∞上单调递增，务实数a 的取值范围．21．2021年1月10日，引发新冠肺炎疫情的9COVID -病毒基因序列公布后，科学家们便开场了病毒疫苗的研究过程．但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验．一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体．试验设计是：每天接种一次，3天为一个接种周期．小白鼠接种后当天出现抗体的概率为12，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关． 〔Ⅰ〕求一个接种周期内出现抗体次数kk 的分布列； 〔Ⅱ〕每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案：①假设在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进展下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为X 元；②假设在一个接种周期内出现2次或者3次抗体，该周期完毕以后终止试验，试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为Y 元．比较随机变量X 和Y 的数学期望的大小． 22．函数2()(2)xx f x aea e x =+--．〔1〕讨论()f x 的单调性；〔2〕假设()f x 有两个零点，求a 的取值范围．高二数学开学考试答案一．选择题〔一共12小题〕即0x ∀>，210x x ++，应选：A ． 2、解：由()(21)f x ln x =-，得2()21f x x '=-． 由002()121f x x '==-，解得：032x =．应选：B ． 3、解：由表格可知：0.10.31x y +++=，780.190.3108.9x y +⨯+⨯+⨯=解得0.4y =．应选：C ．4、解：从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区效劳，根本领件总数2510n C ==， 选中的恰有一名女同学包含的根本领件个数11236m C C ==，∴选中的恰有一名女同学的概率为60.610m p n ===．应选：D ．5、解：命中次数服从~(100,0.8)B ξ；∴命中次数的HY 4；应选：D ．6、对于A ，在3(3,)2--上，()0f x '<，()f x 为减函数，A 错误；对于B ，在3(2-，2)上，()0f x '>，()f x 为增函数，1x =不是()f x 的极大值点，B 错误； 对于C ，在(4,5)上，()0f x '>，()f x 为增函数，C 正确；对于D ，在3(2-，2)上，()0f x '>，()f x 为增函数，在(2,4)上，()0f x '<，()f x 为减函数，那么在2x =时()f x 获得极大值，D 错误；应选：C ．7、解：函数的定义域为R ，||2||2()5cos()()5cos ()x x f x e x x e x x f x --=----=--=，那么函数()f x 为偶函数，可排除选项C ；当x →+∞时，()f x →+∞，可排除选项D ；又2222()5cos()()02222f e e ππππππ=--=->，可排除A ．应选：B ． 8、解：sin 3tan cos 4ααα==-，①，22sin cos 1αα+=，②， 又α为第二象限的角，sin 0α∴>，cos 0α<， 联立①②，解得3sin 5α=，4cos 5α=-，那么1sin cos 5αα+=-．应选：C ． 9、解：集合{}21|230,|22xA x x xB x ⎧⎫=--<=⎨⎬⎩⎭， 那么[1A =-，3]，[1B =-，)+∞．“x B ∈〞是“x A ∈〞的必要不充分条件．应选：B ． 10、解：当0a时，不符合题意；当0a >时，考察函数()||g x lnx =与()h x ax =图象易知，()g x 与()h x 图象在区间(0,1)上必有一个交点， 那么在区间(1,)+∞上有且仅有一个公一共点，当(1,)x ∈+∞时，()f x lnx ax =-，1()axf x x-'=， 那么()f x 在1(0,)a 上单调递增，在1(,)a+∞上单调递减，所以11[()]()1max f x f lna a ==-，那么只需110ln a -=，故1a e=，当(0,1)x ∈时，1()f x lnx x e =--，易知211()10f e e =->，f 〔1〕10e=-<， 可知11(,1)x e∈．应选：D ．“假设21x =，那么1x ≠“假设21x ≠，那么1x =〞，所以A 不正确；“0x R ∃∈，2000x x -<的否认是“x R ∀∈，20x x -〞，所以B 不正确；()y f x =在0x 处有极值是0()0f x '=，反之不一定成立，例如3()f x x =，(0)0f '=，导数0x =不是函数的极值点，所以C 不正确；函数2()1f x x ax =-+有零点，可得△240a =-，可得2a或者2a -D 正确；应选：D ． 12、解：如图，作出232y x x =-+与3y x =-+的图象， 由图象可得函数()f x 要想只有两个零点，x m =需满足12m <或者3m ．应选：C ．二．填空题〔一共4小题〕 13、解：1cos 3α=， ∴1sin()cos 23παα-=-=-． 故答案为：13-． 14、解：因为12()111x y f x x x -===-++，即211y x --=+，可设1y y '=-，1x x '=+，得到2y x -'='，所以y '与x '成反比例函数关系且为奇函数， 那么对称中心为(0,0)即0y '=，0x '=得到1y =，1x =-所以函数()y f x =的对称中心为(1-，1)故答案为：(1-，1)． 15、解：由题意，通项为：7777177()(1)(1)k kk k k k kk T C ax a C x ----+=-=-．令第六项系数57527(1)189aC --=-，解得3a =．故该二项式为27(31)x -，令1x =得展开式各项系数的和为：72128=． 故答案为：128．16、解：由(1)(1)f x f x -=+得()(2)f x f x =+，即函数的周期是2． (2013)(210061)f f f =⨯+=〔1〕，()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)f f ∴-=-〔1〕， 当[1x ∈-，0]时，()21xf x =-，111(1)21122f -∴-=-=-=-， f ∴〔1〕1(1)2f =--=，(2013)f f ∴=〔1〕12=．故答案为：12．三．解答题〔一共6小题〕17、解：〔1〕()(4)(1)f x x x '=-+， 函数()f x 单调递增区间是(,1)-∞-和(4,)+∞， 函数()f x 单调递减区间是(1,4)-；〔2〕当[2x ∈-，1]-时，()0f x '>，当[1x ∈-，4]时，()0f x '<，当[4x ∈，5]时，()0f x '>，所以1(2)3f -=，19(1)6f -=，53(4)3f =-，89(5)6f =-， 当1x =-时，函数()f x 为196，当4x =时，函数()f x 的最小值为533-． 18、解：〔Ⅰ〕由题意知，2250(1519610) 6.650 6.63521292525K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关“．〔Ⅱ〕在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取1名学生成绩优秀的概率为153255=，成绩够不优秀的概率为32155-=，而随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3， 00332327(0)()()55125P C ξ===，11232354(1)()()55125P C ξ===， 22132336(2)()()55125P C ξ===，3303238(3)()()55125P C ξ===． ξ∴的分布列为~(3,)5B ξ，()355E ξ∴=⨯=．19、解：〔Ⅰ〕根据甲图，记该河流8月份“水位小于40米〞为事件1A ，“水位在40米至50米之间〞为事件2A ，“水位大于50米〞为事件3A ，它们发生的概率分别为：1()(0.020.050.06)50.65P A =++⨯=，2()(0.040.02)50.3P A =+⨯=，3()0.0150.05P A =⨯=，记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害〞为事件1B ，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害〞为事件2B ，“水位大于50米且发生1级灾害〞为事件3B ， 所以1()0.1P B =，2()0.2P B =，3()0.6P B =， 记“该河流在8月份发生1级灾害〞为事件B ，那么P 〔B 〕112233112233()()()()()()()()()0.155P A B P A B P A B P A P B P A P B P A P B =++=++=，估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为．〔Ⅱ〕以企业利润为随机变量，选择方案一，那么利润1X 〔万元〕的取值为：500，100-，1000-， 由〔Ⅰ〕知1(500)0.650.90.30.750.0500.81P X ==⨯+⨯+⨯=，1(100)0.155P X =-=，1(1000)0.6500.30.050.050.40.035P X =-=⨯+⨯+⨯=， 1X 的分布列为那么该企业在8月份的利润期望1()5000.81(100)0.155(1000)0.035354.5E X =⨯+-⨯+-⨯=〔万元〕．选择方案二，那么2X 〔万元〕的取值为：460，1040-， 由〔Ⅰ〕知，2(460)0.810.1550.965P X ==+=，2(1040)0.035P X =-=，2X 的分布列为：那么该企业在8月份的平均利润期望2()4600.965(1040)0.035407.5E X =⨯+-⨯=〔万元〕选择方案三，那么该企业在8月份的利润为：3()500100400E X =-=〔万元〕，由于231()()()E X E X E X >>，因此企业应选方案二． 20、解：22()()I f x x alnx x=++，a R ∈． 22()2a f x x x x '=-+，4a =-时，22()4f x x lnx x=+-，f 〔1〕1203=+-=． 224()2f x x x x'=--，f '〔1〕2244=--=-． ∴曲线()y f x =在点A (1，f 〔1〕)处的切线方程为：34(1)y x -=--，化为：470x y +-=．〔Ⅱ〕函数()f x 在[1，)+∞上单调递增，22()20af x x x x∴'=-+，化为：222a x x -． 令22()2g x x x=-．[1x ∈，)+∞． 由于函数()g x 在[1x ∈，)+∞上单调递减．1x ∴=时，函数()g x 获得最大值，g 〔1〕0=．0a ∴．21、解：〔Ⅰ〕由题意可知，随机变量k 服从二项分布1(3,)2B ，故3311()()()(0,1,2,3)22kk k P k C k -==．那么k 的分布列为200，300，因为1(200)4P ξ==，3(300)4P ξ==，所以13()20030027544E ξ=⨯+⨯=． 所以三个接种周期的平均花费为()3()3275825E X E ξ==⨯=． ②随机变量Y 可能的取值为300，600，900，设事件A 为“在一个接种周期内出现2次或者3次抗体〞，由〔Ⅰ〕知，311()882P A =+=． 所以1(300)()2P Y P A ===，1(600)[1()]()4P Y P A P A ==-⨯=，1(900)[1()][1()]14P Y P A P A ==-⨯-⨯=， 所以111()300600900525244E Y =⨯+⨯+⨯=． 所以()()E X E Y >． 22、〔1〕由2()(2)xx f x aea e x =+--，求导2()2(2)1x x f x ae a e '=+--，当0a =时，()210xf x e '=--<，∴当x R ∈，()f x 单调递减，当0a >时，11()(21)(1)2()()2x x x x f x e ae a e e a'=+-=+-， 令()0f x '=，解得：x lna =-， 当()0f x '>，解得：x lna >-， 当()0f x '<，解得：x lna <-，(,)x lna ∴∈-∞-时，()f x 单调递减，(,)x lna ∈-+∞单调递增；当0a <时，11()2()()02x x f x a e e a'=+-<，恒成立，∴当x R ∈，()f x 单调递减，综上可知：当0a时，()f x 在R 单调减函数，当0a >时，()f x 在(,)lna -∞-是减函数，在(,)lna -+∞是增函数； 〔2〕①假设0a时，由〔1〕可知：()f x 最多有一个零点，②当0a >时，由〔1〕可知：当x lna =-时，()f x 获得最小值，11()()1min f x f lna ln a a=-=--，当1a =，时，()0f lna -=，故()f x 只有一个零点， 当(1,)a ∈+∞时，由1110ln a a-->，即()0f lna ->， 故()f x 没有零点， 当(0,1)a ∈时，1110ln a a --<，()0f lna -<， 由422(2)(2)2220f ae a e e ----=+-+>-+>，故()f x 在(,)lna -∞-有一个零点，假设存在正整数0n ，满足03(1)n ln a>-，那么00000000()(2)20n n n n f n e ae a n e n n =+-->->->， 由3(1)ln lna a->-， 因此在(,)lna -+∞有一个零点．a ∴的取值范围(0,1)．。
高二数学上学期开学考试试题_1 6(共10页)
城固县第一中学2021-2021学年(xuénián)高二数学上学期开学考试试题注意：本套试卷一共 4 页，22 题，满分是 150 分，时间是 120 分钟第 I 卷〔选择题〕一、选择题〔此题一共12小题，每一小题5分，一共60分。
每一小题只有一个正确答案〕1．点P〔〕在第三象限，那么角在A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．我校高中生一共有2700人，其中高一年级900人，高二年级1200人，高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为135的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为A．45，75，15 B．45，45，45 C．30，90，15 D．45，60，303．与均为单位向量，它们的夹角为，那么等于A．B．C． D．44. 图1是某赛季甲、乙两名篮球运发动每场比赛得分的茎叶图，那么甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是A．62 B．63 C．64 D．655．在中，有如下四个命题：①；∆为等腰三②；③假设，那么ABC∆为锐角三角形．其中正确的命题序号角形；④假设，那么ABC是A．①② B．①③④ C．②③ D．②④6. 将函数的图象沿x轴方向左平移个单位，平移后的图象如右图所示. 那么平移后的图象所对应函数的解析式是 A ．B ．C ．D ．7．给出如下(r úxi à)四对事件：①某人射击1次，“射中7环〞与“射中8环〞； ②甲、乙两人各射击1次，“甲射中7环〞与“乙射中8环〞；③甲、乙两人各射击1次，“两人均射中目的〞与“两人均没有射中目的〞； ④甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目的〞与“甲射中，但乙未射中目的〞， 其中属于互斥事件的有〔 〕A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对8．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图 所示，那么时速在[60，70)的汽车大约有( ) A ．30辆 B ． 40辆C ． 60辆 D ．80辆 9. 在等差数列{}中，，．数列{n a }的通项公式A.n+1B.n+2C.n+3D.n+410.假如下边程序执行后输出的结果是990，那么在程序中 WHILE 后面的“条件〞应为A. i>10B. i<8C. i<=9D. i<9频率 组距40 50 60 70 80 i ＝11 s ＝1 DoS ＝S *i i ＝i －1 Loop While “条件〞11.以下(yǐxià)各式中，值为的是A． B． C． D．12. 某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，那么他等车时间是不超过10分钟的概率是( )A.13B．12C.23D.34第 II 卷〔非选择题〕二、填空题〔每一小题5分，一共20分〕13．扇形半径为8, 弧长为12, 那么中心角为弧度, 扇形面积是14. 与之间的一组数据为x0 1 2 3y 1 3 5-a 7+a那么y与x的回归直线方程必过定点_____15〔文科做〕．样本的平均数是，HY差是，那么15〔理科做〕.在ABC中，，P是BN上的一点，假设，那么实数m的值是__________.16 ．定义在R上的函数f(x) 是偶函数，满足f(x+1)=- f(x)，且在上是增函数，下面关于f(x)的判断：〔1〕f(x)的图像关于点P对称；〔2〕f(x)的图像关于直线X=1对称；〔3〕f(x)在上是增函数；〕〔4〕f(2)=f(0) 其中正确的判断是__________.〔把你认为正确的判断序号填上〕三、解答题〔17题10分、18---22题每一小(yī xiǎo)题12分，本大题一一共70分〕17. 〔本小题满分是10分〕先化简再求值：，其中且=2，求？18. 〔本小题满分是12分〕,,当为何值时，(1) 与垂直？(2) 与平行？平行时它们是同向还是反向？19. 〔本小题满分是12分〕某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩〔均为整数〕分成六组[40，50〕，[50，60〕．．．[90，100]后画出如下局部频率分布直方图.观察图形的信息，答复以下问题：〔Ⅰ〕求成绩落在[70，80〕上的频率，并补全这个频率分布直方图；(Ⅱ) 估计(g ūj ì)这次考试的及格率〔60分及以上为及格〕和平均分；(Ⅲ) 从成绩是70分以上〔包括70分〕的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.20．〔本小题满分是12分〕，, 且(1) 求函数的解析式;(2) 当时, ()f x 的最小值是－4 , 求此时函数()f x 的最大值, 并求出相应的x 的值.第19题图21．〔本小题满分(m ǎn f ēn)是12分〕向量 =〔cos α，sin α〕，=〔cos，sin β〕，|｜＝．〔Ⅰ〕求cos 〔α－β〕的值； 〔Ⅱ〕假设０＜α＜，－2π＜β＜０，且sin β＝－，求sin α的值．22．〔本小题满分(mǎn fēn)是12分〕函数f(x)=|sin2x|+|cos2x|(Ⅰ)求f()的值；(Ⅱ)当x∈[0，]时，求f(x)的取值范围；(Ⅲ)我们知道，函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等，请你探究函数f(x)的性质〔本小题只需直接写出结论〕城固一中高二第一(dìyī)学期开学考试数学参考答案一、BDACC CBDBD DB二、13.，48 14.〔1.5,4〕 15文.96 15理. 16、〔1〕、〔2〕、(4)---------------7代值后为：------------1018.解：〔1〕，得------6〔2〕(3)a b ，得-------10此时，所以方向相反。
黑龙江省齐齐哈尔市衡齐高级中学2024-2025学年高二上学期暑假作业验收(开学)考试数学试题
B．函数
f
(
x)
在
éêë0,
π 6
ù úû
上单调递增
C．
f
(x)
的一个对称中心是
æ çè
π 3
,
0
ö ÷ø
D．若
x1
,
x2
Î
éêë1π27,π12
ù úû
，
x1
¹
x2 时，
f
( x1 ) =
f
( x2 ) 成立，则
x1 - x2
的最大值为 π 6
11．在棱长为
2
的正方体
ABCO
-
A1B1C1O1
中，
uuur AE
=
uuur l AB,
uuur BF
=
l
uuur BC,
l
Î
(0,1)
，则下列说法
正确的是（ ）
A． A1F ^ C1E
试卷第31 页，共33 页
B．三棱锥 B1 - BEF 的体积最大值为 1
C．若 l
=
1 2
，则点
A1 到直线
EF
的距离为
3
2 2
D．三棱锥 B1 - BEF 外接球球心轨迹的长度近似为 2
黑龙江省齐齐哈尔市衡齐高级中学 2024-2025 学年高二上学
期暑假作业验收（开学）考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知
a
Î
R
，若
1
a +
i
+
1
+ 2
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2019高二开学考试
数学试题
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.
第I 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1、某学校为了了解某年龄段学生的体质状况，现采用系统抽样方法按1：20的比例
抽取一个样本进行体质测试，将所有200名学生依次编号为1、2、…、200，则其中抽取的4名学生的编号可能是（ ） A ．3、23、63、113 B ．31、61、81、121 C ．23、123、163、183 D ．17、87、127、167
2、已知3sin 35x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5cos 6x π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
等于（ ）
A ．35
B ．45
C ．35-
D ．4
5
-
3、已知,,O A B 是平面上的三点，直线AB 上有一点C ，满足2+=0AC CB u u u r u u u r r ，则OC uuu r
＝( )
A ．2OA O
B -u u u r u u u r B.2OA OB -+u u u r u u u r C.2133OA OB -u u u r u u u r D ．1233
OA OB -+u u u
r u u u r
4、如图所示的程序框图输出的结果为30，则判断框内的条件是（ ）
A ．5n ≤
B ．5n <
C ．6n ≤
D ．4n <
5、若1
sin 3=
α，则cos2=α（ ） A ．89 B ．79 C ．79- D ．89
-
6、已知向量,a b r r 满足||1,1a a b =⋅=-r r r ，则(2)a a b ⋅-=r r r
（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
7、在区间,22ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上随机选取一个实数x ，则事件“3sin x ≥”发生的概率为（ ）
A ．1
B ．
14 C ．13 D ．1
6
8、将函数sin(2)5y x =+
π
的图象向右平移
10π
个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A. 在区间[,]44-ππ 上单调递增
B. 在区间[,0]4
π
上单调递减
C. 在区间[
,]42ππ 上单调递增 D. 在区间[,]2
π
π 上单调递减 9、若(,),()a 54b 3,2==r r
，则与2a 3b -r r 平行的单位向量为( )
A.()525，55
B.()()525525，或，5555
--
C.()()525525，或，
5555-- D.[]525，55
10、对具有线性相关关系的变量y x ,有一组观测数据
)8,,2,1)(,Λ=i y x i i （，其回归直线 方程是a x y
+=21
ˆ且5,2821821=+++=+++y y y x x x ΛΛ，则实数a 是（ ） A. 21 B. 41 C. 81 D. 16
1
11、函数()()sin 03f x x ωωπ⎛
⎫=+> ⎪⎝
⎭，63f
f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间,63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上有最小值，
无最大值，则ω的值为（ ）
A ．
23 B ．113 C ．143 D ．7
3
12、如图，已知ABC ∆中，90A ︒=，30B ︒=，
点P 在BC 上运动 且满足CP CB λ=u u u r u u u r ，当PA PC ⋅u u u r u u u r 取到最小值时，λ的值为（ ）
A. 14
B.15
C. 16
D.18
第II 卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13、现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛,共有2道备选题目,若每位选手从中有
放回地随机选出一道题进行说题,其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为______.
14、已知3
cos 25
=
θ，则44sin cos +=θθ . 15、点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---,则AB u u u r 在CD uuu
r 方向上的投影为 .
16、给出下列命题：①方程8
x π
=是函数5sin 24
y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象的一条对称轴方程； ②函数5sin 22y x π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
是偶函数； ③在锐角ABC ∆中，B A B A cos cos sin sin >； ④设21,x x 是关于x 的方程log a x k =(0,a >1,a ≠0)k >的两根，则121x x =；
⑤若αβ、是第一象限角，且αβ>，则sin sin αβ>；正确命题的序号是_____．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本题共10分）已知,αβ为锐角,
45
tan ,cos()35=+=-ααβ ．
（Ⅰ）求cos2α；（Ⅱ）求tan()-αβ．
18．（本题共12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件花费的时间，为此做了
四次试验，所得数据如表：
（Ⅰ）画出表中数据的散点图；
（Ⅱ）求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bx
a =+， 并在坐标系中画出回归直线； （Ⅲ）试预测加工10个零件需要多少时间？
19．（本题共12分）以下茎叶图记录了甲，乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩(满分
为100分) .乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示.
（Ⅰ）若甲，乙两个小组的数学平均成绩相同，求a 的值； （Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；
（Ⅲ）当a =2时，分别从甲，乙两组同学中各随机选取一
名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值为2分
的概率．
20．（本题共12分）已知,,a b c r r r 在同一平面内，且(1,2)a =r
.
（Ⅰ）若||25c =r
，且//c a r r ，求c r ；
零件的个数x (个)
2
3 4 5 加工的时间y (h ) 2.5
3
4
4.5
（Ⅱ）若||2
b =r 且(2)(2)a b a b +⊥-r r r r ，求a r 与b r 的夹角；
21．（本题共12分）设向量]2
,0[),23cos ,23(sin ),2sin ,2(cos π
∈==x x x b x x a ρρ.
（Ⅰ）求b a ρρ⋅及||b a ρ
ρ+；
（Ⅱ）若函数||2)(b a b a x f ρ
ρρρ++⋅=，求)(x f 的最小值．
22．（本题共12分）函数()()()sin 0,,f x A x A o ωϕωϕ=+>><π，在同一周期内，
当12x π=
时，()f x =取得最大值3；当712
x π
=时()f x =取得最小值3-． （Ⅰ）求函数()f x =的解析式；
（Ⅱ）求函数()f x =的单调递减区间；
（Ⅲ）若,36x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，函数()()21h x f x m =+-有两个零点，求实数m 的范围．
答案:。