九年级数学下册第7章锐角三角函数7.2正弦、余弦7.2.1正弦、余弦同步练习2(新版)苏科版

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第7章-专题16用锐角三角函数解决问题-同步学与练(含解析)-数学苏科版九年级下册

专题16用锐角三角函数解决问题（5个知识点4种题型3个中考考点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1．坡度、坡角问题（重点）知识点2．仰角、俯角问题（重点）知识点3．方向角问题知识点4．解直角三角形的实际应用（重点）知识点5．对实际测量问题的设计（难点）【方法二】实例探索法题型1．利用锐角三角函数解决实际生活中的问题题型2．利用锐角三角函数解航线问题题型3．利用锐角三角函数进行方案设计题型4．利用锐角三角函数解决与圆有关的实际应用问题【方法三】仿真实战法考法1．仰角、俯角问题考法2．方向角问题考法3．坡度问题【方法四】成果评定法【学习目标】1．了解坡角、坡度、仰角、俯角、方向角等概念，并能在具体问题中正确运用．2．会用解直角三角形的有关知识来解决某些简单的实际问题，从而进一步把形和数结合起来．3．能把实际问题转化为数学问题，进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的应用，增强应用数学的意识和解决问题的能力．【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1．坡度、坡角问题（重点）1．如图，坡面的铅垂高度（A）和水平宽度（B）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作A，即B．坡度通常写成DC的形式，如i=1︰1.5．2．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作B．坡度C与坡角B之间的关系：B．【例1】．（2023秋•盘州市期中）1．某超市利用一个带斜坡的平台装卸货物，其纵断面ACFE如图所示．AE为台面，AC垂∠为43︒，坡长AB为2m．为保障安直于地面，AB表示平台前方的斜坡．斜坡的坡角ABC全，又便于装卸货物，决定减小斜坡AB的坡角，AD是改造后的斜坡（D在直线BC上），∠为31︒．求斜坡AD底端D与平台AC的距离CD．（结果精确到0.1m）【参考数坡角ADC据：sin430.68cos430.73ta430.93，，】︒=︒=︒=n，，；sin310.52cos310.86tan310.60︒=︒=︒=知识点2．仰角、俯角问题（重点）1．水平线：水平面上的直线以及和水平面平行的直线．2．铅垂线：垂直于水平面的直线，我们通常称为铅垂线．3．在测量时，如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角．【例2】．（2023秋•成都期中）2．如图，一座古塔座落在小山上（塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B），小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点C）出发向右上方（与地面成45°，点A，B，C，O在同一平面）的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，∠= ，求小李到古塔的水平距离即BC的长. （结果精确到1m，参考数据：75AOC≈≈）1.73知识点3．方向角问题1．方向角：以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标的方向线所成的小于90°的角，通常表达成北（南）偏东（西）* 度．若正好为45°，则表示为西（东）南（北）方向．2．方位角：从标准方向的北端起，顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角．方位．角A的取值范围为0360θ≤<【例3】．（2023秋•九龙坡区校级月考）3．如图，海岸边上有三个观测站,,A B C ，观测站B 在观测站A 的东北方向，观测站C 在观测站B 的正东方向，观测站,B C 之间的距离为30海里．某天，观测站,,A B C 同时收到一艘轮船在D 处发出的求救信号，经分析，D 在观测站C 的南偏东15︒方向，在观测站B 的东南方向，在观测站A 的正东方向．(1)求CD 的长度．（结果精确到个位）(2)目前只有观测站A 与B 配备了搜救艇，搜救艇航速为30海里/时．收到求救信号后，因观测站B 的搜救艇在检修，接到任务后不能马上出发，需30分钟后才能出发，而且必须先去C 处，才能再去D 处（在C 处停留时间可忽略不计）；而观测站A 的搜救艇接到任务后可马上出发，并直接到达D 处．请问哪一个观测站的搜救艇可以更快到达D 处？（参考数据：1.732≈≈）知识点4．解直角三角形的实际应用（重点）【例4】．（2023•秦都区校级模拟）4．菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB 的长为8米，更换后的电梯坡面为AD ，点B 延伸至点D ，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：sin 370.60,cos370.80,tan 37 1.73≈≈≈≈︒︒︒）知识点5．对实际测量问题的设计（难点）【例5】．（2023秋•大东区期末）5．如图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC 表示车后盖，已知1m =AB ，0.6m BC =，123ABC ∠=︒，该车的高度 1.7m AO =．如图2，打开后备箱，车后盖ABC 落在AB C ''处，AB '与水平面的夹角27B AD '∠=︒．(1)求打开后备箱后，车后盖最高点B '到地面l 的距离；(2)若小明爸爸的身高为1.83m ，他从打开的车后盖C 处经过，有没有碰头的危险请说明理由．（结果精确到0.01m ，参考数据：sin 270.454︒≈，cos 270.891︒≈，tan 270.510︒≈，1.732)≈【方法二】实例探索法题型1．利用锐角三角函数解决实际生活中的问题（2023秋•长春期末）6．在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔AB 前有一座高为3m 的观景台DE ，已知30DCE ∠=︒，点E C A 、、在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C 处测得塔顶部B 的仰角为45︒，在观景台D 处测得塔顶部B 的仰角为27︒．求塔AB 的高度．【参考数据：tan 27 1.7︒==】．（2023秋•闵行区月考）7．小明想利用建筑CD 玻璃幕墙的反射作用来测建筑AB 的高度．如图所示，他先在建筑AB 的底部A 处用测角仪测得其顶部B 在建筑CD 玻璃幕墙上的反射点E 的仰角为α，然后他沿AC 前进了10米到达点F 处，再用测角仪测得建筑AB 的顶部B 在建筑CD 玻璃幕墙上的反射点G 的仰角为β．已知1tan 3α=，sin 13β=，测角仪置于水平高度1.5米的M 、N 处．求建筑AB 的高度．题型2．利用锐角三角函数解航线问题（2023上·山东东营·九年级统考期中）8．如图，灯塔A 周围12海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B 处，测得灯塔A 在北偏西58°方向上，继续航行8海里后到达C 处，测得灯塔A 在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？（参考数据：sin 320.530︒≈，cos320.848︒≈，tan 320.625︒≈，sin 580.848︒≈，cos580.530︒≈，tan 58 1.6︒≈）（2023上·河北保定·九年级校考阶段练习）9．嘉淇看到这样一道题目：如图，某巡逻船在A 处测得一艘敌舰在北偏东31︒的B 处，卫星测得AB 相距6海里，巡逻船静止不动，6分钟后测得该敌舰在巡逻船的北偏东57.6︒的C 处，此时卫星信号突然中断，已知该敌舰的航速为30海里/小时．（结果保留整数，参考数据：tan310.6︒≈，tan 57.6 1.6︒≈，tan 26.60.5≈° 2.236≈）嘉淇过点C 作CD AB ⊥于D ，设CD x =海里，请你帮她接着解决以下问题：(1)BD =______里（用含用x 的代数式表示）；(2)求敌舰在C 处时与巡逻船的距离．题型3．利用锐角三角函数进行方案设计（2023•东台市一模）10．图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关；图2是其俯视图简化示意图，已知轨道120AB cm = ,两扇活页门的宽60OC OB cm == ,点B 固定，当点C 在AB 上左右运动时，OC 与OB 的长度不变(所有结果保留小数点后一位).(1)若50OBC ∠=︒,求AC 的长；(2)当点C 从点A 向右运动60cm 时，求点O 在此过程中运动的路径长.（参考数据：sin50°≈0.77, cos50°≈0.64, tan50°≈1.19, π取3.14）图1 图2（2023•洪泽区二模）11．某班学生到工厂参加劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD 为矩形，点B 、C 分别在EF 、DF 上，90ABC ∠=︒，53BAD ∠=︒，10cm AB =，5cm =BC ．求零件的截面面积．（参考数据：sin 530.80︒≈，cos530.60︒≈）（2023•滨湖区一模）12．如图，某工程队从A 处沿正北方向铺设了184米轨道到达B 处．某同学在博物馆C 测得A 处在博物馆C 的南偏东27︒方向，B 处在博物馆C 的东南方向．（参考数据：sin 270.45︒≈︒，cos270.90︒≈︒，tan 270.50︒= 2.45=．）(1)请计算博物馆C 到B 处的距离；（结果保留根号）(2)博物馆C 周围若干米内因有绿地不能铺设轨道．某同学通过计算后发现，轨道线路铺设到B 处时，只需沿北偏东15︒的BE 方向继续铺设，就能使轨道线路恰好避开绿地．请计算博物馆C 周围至少多少米内不能铺设轨道．（结果精确到个位）（2023•苏州）13．四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，,,BE CD GF 为长度固定的支架，支架在,,A D G 处与立柱AH 连接（AH 垂直于MN ，垂足为H ），在,B C 处与篮板连接（BC 所在直线垂直于MN ），EF 是可以调节长度的伸缩臂（旋转点F 处的螺栓改变EF 的长度，使得支架BE 绕点A 旋转，从而改变四边形ABCD 的形状，以此调节篮板的高度）．已知,208cm AD BC DH ==，测得60GAE ∠=︒时，点C 离地面的高度为288cm ．调节伸缩臂EF ，将GAE ∠由60︒调节为54︒，判断点C 离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：sin540.8,cos540.6︒≈︒≈）题型4．利用锐角三角函数解决与圆有关的实际应用问题（2023•建湖县三模）14．水乡建湖小桥多．桥的结构多为弧形的桥拱，弧形桥拱和平静的水面构成了一个美丽的弓形（图①）．我校数学兴趣小组同学研究如何测量圆弧形拱桥中桥拱圆弧所在圆的半径问题，将桥拱记为弧AB ，弦AB 为水平面，设弧AB 所在圆的半径为r ，建立了数学模型，得到了多个方案．(1)如图②，从点A 处测得桥拱上点C 处的仰角为30︒，BC a =，则r = ．（用含a 的代数式表示）(2)如图③，在实地勘测某座拱桥后，同学们记录了下列数据：50B ∠=︒，8.8AC =米，求半径r （结果精确到0.1）．（参考数据：sin 200.34cos 200.94tan 200.36sin 500.77,cos500.64tan 50 1.19︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈，，，，）(3)如图④，在弧AB 上任取一点C （不与A B 、重合），作CD AB ⊥于点D ，若2CD =，3BD =，8AD =，求r 的值．【方法三】仿真实战法考法1．仰角、俯角问题（2023•南通）15．如图，从航拍无人机A 看一栋楼顶部B 的仰角α为30︒，看这栋楼底部C 的俯角β为60︒，无人机与楼的水平距离为120m ，则这栋楼的高度为（）A．B．C．D．（2023•淮安）16．根据以下材料，完成项目任务，项目测量古塔的高度及古塔底面圆的半径测量工具测角仪、皮尺等测量说明：点Q 为古塔底面圆圆心，测角仪高度15m AB CD ==.，在B D 、处分别测得古塔顶端的仰角为3245,9m BD ︒︒=、，测角仪CD 所在位置与古塔底部边缘距离12.9m DG =．点B D G Q 、、、在同一条直线上．参考数据sin320.530,cos320.848,tan320.625︒≈︒≈︒≈项目任务（1）求出古塔的高度．（2）求出古塔底面圆的半径．（2023•泰州）17．如图，堤坝AB 长为10m ，坡度i 为1:0.75，底端A 在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D 处立有高20m 的铁塔CD ．小明欲测量山高DE ，他在A 处看到铁塔顶端C 刚好在视线AB 上，又在坝顶B 处测得塔底D 的仰角α为2635︒'．求堤坝高及山高DE ．（sin 26350.45'︒≈，cos 26350.89'︒≈，tan 26350.50'︒≈，小明身高忽略不计，结果精确到1m ）考法2．方向角问题（2022•南京）18．如图，灯塔B 位于港口A 的北偏东58︒方向，且A ，B 之间的距离为30km ，灯塔C 位于灯塔B 的正东方向，且B ，C 之间的距离为10km ．一艘轮船从港口A 出发，沿正南方向航行到达D 处，测得灯塔C 在北偏东37︒方向上，这时，D 处距离港口A 有多远（结果取整数）？（参考数据：sin 580.85︒≈，cos580.53︒≈，tan 58 1.60︒≈，sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈）考法3．坡度问题（2023•淄博）19．如图，与斜坡CE 垂直的太阳光线照射立柱AB （与水平地面BF 垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若2BC =米，8.48CD =米，斜坡的坡角32ECF ∠=︒，则立柱AB 的高为米（结果精确到0.1米）．科学计算器按键顺序计算结果（已取近似值）0.5300.8480.625（2023•深圳）20．爬坡时坡角与水平面夹角为α，则每爬1m 耗能()1.025cos J α-，若某人爬了1000m ，该坡角为30° 1.732≈ 1.414≈）（）A ．58JB ．159JC ．1025JD ．1732J（2023•辽宁）21．暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶600m 高的山峰，由山底A 处先步行300m 到达B 处，再由B 处乘坐登山缆车到达山顶D 处．已知点A ，B ．D ，E ，F 在同一平面内，山坡AB 的坡角为30︒，缆车行驶路线BD 与水平面的夹角为53︒（换乘登山缆车的时间忽略不计）(1)求登山缆车上升的高度DE ；(2)若步行速度为30m/min ，登山缆车的速度为60m/min ，求从山底A 处到达山顶D 处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min ）（参考数据：sin 530.80cos530.60tan 53 1.33︒≈︒≈︒≈，，）（2023•大庆）22．某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点A 出发，途经点B 后到达山顶P ，其中400AB =米，200BP =米，且AB 段的运行路线与水平方向的夹角为15︒，BP 段的运行路线与水平方向的夹角为30︒，求垂直高度PC ．（结果精确到1米，参考数据：sin150.259︒≈，cos150.966︒≈，tan150.268︒≈）【方法四】成果评定法一、选择题（共5小题）（2023•苏州一模）23．如图，为测楼房BC 的高，在距离楼房30米的A 处测得楼顶的仰角为α，则楼高BC 为（）A ．30tan α米B ．30tan α米C ．30sin α米D ．30sin α米（2023秋•沛县校级月考）24．如图，滑雪场有一坡角20︒的滑雪道，滑雪道AC 长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB 的长为（）米．A ．200cos 20︒B ．200sin 20︒C ．200cos 20︒D ．200sin 20︒（2023秋•淮阴区期中）25．如图，要测量小河两岸相对的两点P ，A 的距离，可以在小河边取PA 的垂线PB 上的一点C ，测得PC a =米，35PCA ∠=︒，则小河宽PA 等于（）A ．sin 35a ⋅︒米B ．sin 55a ⋅︒米C ．tan 35a ⋅︒米D ．tan 55a ⋅︒米（2023•梁溪区校级二模）26．小明家的花洒的实景图及其侧面示意图分别如图1、图2所示，花洒安装在离地面高度160厘米的A 处，花洒AD 的长度为20厘米．已知花洒与墙面所成的角120BAD ∠=︒，当花洒喷射出的水流CD 与花洒AD 成90︒的角时，水流喷射到地面的位置点C 与墙面的距离为（）A B ．200厘米C D ．170厘米（2023秋•江阴市月考）27．如图是某区域的平面示意图，码头A 在观测站B 的正东方向，码头A 的北偏西60°方向上有一小岛C ，小岛C 在观测站B 的北偏西15°方向上，码头A 到小岛C 的距离AC 为)1海里．观测站B 到AC 的距离BP 是（）AB ．1C ．2D 二、填空题（共5小题）（2023秋•通州区校级月考）28．如图，矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意图，已知2m BC =， 5.8m CD =，30DCF ∠=o ，则车位所占的宽度EF 为米． 1.7≈，结果精确到1m)（2023秋•靖江市期中）29．如图是某书店扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i=王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为米．（2023•靖江市模拟）30．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB=10米，则旗杆BC的高度为．（2023秋•无锡月考）31．“十一”假期，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场的大型摩天轮的半径为15m，旋转1周需要24min（匀速）．小明乘坐最底部（离地面约1m）的车厢按逆时针方向旋转开始1周的观光，启动10min时，小明离地面的高度是m．（2023秋•海门市校级月考）32．已知B港口位于A观测点北偏东45︒方向，且其到A观测点正北风向的距离BM的长为，一艘货轮从B港口沿如图所示的BC方向航行到达C处，测得C处位于A观测点北偏东75︒方向，则此时货轮与A 观测点之间的距离AC 的长为 km ．三、解答题（共7小题）（2023秋•通州区校级月考）33．2022年举世瞩目的北京冬奥会的成功举办掀起了全民冰雪运动的热潮．图1、图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿ED 与斜坡AB 垂直，大腿EF 与斜坡AB 平行，G 为头部，假设G ，E ，D 三点共线且头部到斜坡的距离GD 为1.05m ，上身与大腿夹角53GFE ∠=︒，膝盖与滑雪板后端的距离EM 长为0.9m ，30EMD ∠=︒(1)求此滑雪运动员的小腿ED 的长度；(2)求此运动员的身高．（运动员身高由GF EF DE 、、三条线段构成；参考数据：sin 5345︒≈，cos5335︒≈，tan 5343︒≈）（2023•灌云县校级模拟）34．如图，建筑物BC 的顶部有一个广告牌AB ，从距离建筑物15米的D 处测得广告牌的顶部A 的仰角为39︒，测得广告牌的底部B 的仰角为30︒，求广告牌AB 的高度（结果保留一位小数）．参考数据：sin 390.63︒≈，cos390.78︒≈，tan 390.81︒≈ 1.73≈．（2022秋•高邮市期末）35．如图1是一辆汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD 表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，当旋转角为n ︒时，箱盖DCE 落在DC E ''的位置（如图2），100cm DC =，20cm CE =，40cm EB =．(1)若72n =，求点C 、C '两点之间的距离；（参考数据：sin360.59︒≈，cos360.81︒≈）(2)若60n =，求E 、E '两点之间的距离．（2023•阜宁县二模）36．一架无人机沿水平方向飞行进行测绘工作，在点P 处测得正前方水平地面上某建筑物AB 的顶端A 的俯角为24︒．无人机保持飞行方向不变，继续飞行48米到达点Q 处，此时测得该建筑物底端B 的俯角为66︒．已知建筑物AB 的高度为36米，求无人机飞行时距离地面的高度．（参考数据：2sin 245≈ ，9cos 2410︒≈，9tan 2420︒≈，9sin 6610︒≈，2cos 665︒≈，9tan 664︒≈）（2023秋•泰兴市期中）37．随着互联网的发展，网上购物几乎成为了人们日常生活中不可或缺的一部分，这也使得快递行业市场规模呈现出爆发式的增长．为了方便居民领取快递，小明的爸爸计划在一条笔直的公路l 旁设一个菜鸟驿站点P ，使驿站到公路同侧的A 、B 两个小区的距离相等．(1)如图 1，当A 小区到公路l 的距离300m AC =， B 小区到公路l 的距离400m BD =，且700m CD =时，求驿站点P 到A 小区的距离；(2)如图2，若A 、B 两个小区到公路l 的距离均为a ，CD 的长度为2a ，求APB ∠的度数；(3)爱动脑的小明通过推理发现：当A 小区到公路l 的距离a 与B 小区到公路l 的距离b 之和等于CD 的长度时，APB ∠始终是直角．请利用图3加以说明．（2023秋•启东市期中）38．如图，上午8时，一条船从A 处测得灯塔C 在北偏西30°，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达B 处，测得灯塔C 在北偏西60°，若船继续向正北方向航行，求轮船何时到达灯塔C 的正东方向D 处?（2023•栖霞区校级三模）39．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在两楼之间上方的点O 处，点O 距地面AC 的高度为60m ，此时观测到楼AB 底部点A 处的俯角为70︒，楼CD 上点E 处的俯角为30︒，沿水平方向由点O 飞行24m 到达点F ，测得点E 处俯角为60︒，其中点A ，B ，C ，D ，E ，F ，O 均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB 与CD 之间的距离AC 的长．（结果精确到1m ，参考数据：sin 700.94︒≈，cos 700.34︒≈，tan 70 2.75︒≈ 1.73)≈参考答案：1．2.3m【分析】本题考查了解直角三角形的应用，首先在Rt ABC △中，求出AC 的长，再在Rt ADC ，由tan AC ADC CD ∠=，即可求出CD 的长，解答本题的关键是利用三角函数知识解直角三角形．【详解】解：在Rt ABC △中，sin AC ABC AB∠=，()sin4320.68 1.36m AC AB ∴=⋅︒=⨯=，在Rt ADC 中，tan AC ADC CD ∠=， ∴()1.36 2.3m tan 310.60AC CD ==≈︒，∴斜坡AD 底端D 与平台AC 的距离CD 约为2.3m ．2．21【分析】过点O 作OD BC ⊥，交BC 的延长线于点D ，过点O 作OE AB ⊥，垂足为E ，根据题意可得：40AO =米，20OC =米，OE BD =，OE BD ∥，从而可得45EOC OCD ∠=∠=︒，进而可得30AOE ∠=︒，然后在Rt OCD △中，利用锐角三角函数的定义求出CD 的长，再在Rt AOE 中，利用锐角三角函数的定义求出OE 的长，从而求出BD 的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【详解】解：过点O 作OD BC ⊥，交BC 的延长线于点D ，过点O 作OE AB ⊥，垂足为E ，由题意得：8540AO =⨯=（米），4520OC =⨯=（米），OE BD =，OE BD∥∴45EOC OCD ∠=∠=︒，∵75AOC ∠=︒，∴30AOE AOC EOC ∠=∠-∠=︒，在Rt OCD △中， cos 4520CD OC =⋅︒==（米），在Rt AOE 中，cos3040OE AO =⋅︒==，∴OE BD ==，∴21BC BD CD =-=-≈（米），∴小李到古塔的水平距离即BC 的长约为21米．3．(1)42（海里）；(2)A 观测站搜救艇可以更快到达D 处．【分析】（1）本题主要考查锐角三角函数的实际应用，解答本题的关键在于找到相应边与角的对应关系，会正确处理15︒是解答本题的重点也是难点，再用已知条件结合勾股定理去求解即可．（2）本题考查运用锐角三角函数解决问题的实际应用，解答本题的关键在于运用小问（1）的信息和结论，求出两观测站的搜救艇所经过的路程，及所用时间即可解答本题．【详解】（1）解：预备知识：如图1，在以90B Ð=°，15C ∠=︒，1AB =的Rt ABC △中，作AD BC =．∵15C DAC ∠=∠=︒∴30ADB C DAC ∠=∠+∠=︒∴在Rt △ABD 中，1AB =，∴由锐角三角函数可得BD =2AD CD ==，∴2BC =+，在Rt ABC △中，tan tan152AB C BC ∠=︒===．如图，过点D 作ED BC ⊥于点E ，由题意可得，45A HBD BDH ∠=∠=∠=︒，15FCD DC ∠=∠E =︒30BC HF ==．设CE x =，则30BE BH ED x ===+，∴在Rt EDC 中，tan tan152CE CDE ED∠=︒==∴(2CE ED =⋅∴(30)(2x x =+1)x =-，∴1)CE =，301)1)ED =+=．由勾股定理得，222CE ED CD +=∴42CD ==≈（海里）．（2）由（1）知，1)BH ED ==，∴从A 观测站行驶距离：21)AD BH ==（海里）时间：11) 2.732t ==≈（小时）；从B 观测站行驶距离1)BC CD +=（海里）时间：20.5 1.5 2.914t ==≈（小时）∵12t t <，∴A 观测站的搜救艇可以更快到达D 处．4．约为1.9米【分析】根据正弦的定义求出AC ，根据余弦的定义求出BC ，根据正切的定义求出CD ，结合图形计算，得到答案．【详解】解：在Rt △ABC 中，AB =8米，∠ABC =37°，则AC =AB •sin ∠ABC ≈8×0.60=4.8（米），BC =AB •cos ∠ABC ≈8×0.80=6.40（米），在Rt △ADC 中，∠ADC =30°，则CD= 4.8tan tan 30AC ADC ==∠︒（米），∴BD =CD -BC =8.30-6.40≈1.9（米），答：BD 的长约为1.9米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．5．(1)车后盖最高点B '到地面l 的距离约为2.15m(2)没有碰头的危险．理由见解析【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．（1）过点B E AD '⊥于E ，根据正弦的定义求出B E '，进而求出车后盖最高点B '到地面l 的距离；（2）过点C '作C F B E ''⊥于点F ，根据题意求出60C B F ''∠=︒，根据余弦的定义求出B F '，再求出点C '到地面l 的距离，比较大小证明结论．【详解】（1）解：如图2，过点B E AD '⊥于E ，在Rt AB E '△中，1m AB AB '==，27B AD '∠=︒，sin B E B AE AB ''∠='，()sin 1sin 270.454m B E AB B AE '''∴=⋅∠=⨯︒≈，∴点B '到地面l 的距离为：()0.454 1.7 2.154 2.15m +=≈，答：车后盖最高点B '到地面l 的距离约为2.15m ；（2）没有碰头的危险，理由如下：如图2，过点C '作C F B E ''⊥于点F ，在Rt AB E '△中，27B AD '∠=︒，则902763AB E '∠=︒-︒=︒，123AB C ABC '∠=∠=︒ ，60C B F ''∴∠=︒，0.6m B C BC ''== ，()1cos 0.60.3m 2B F BC C B F ∴=⋅∠⨯''=''='，∴点C '到地面l 的距离为：()2.150.3 1.85m -=，1.85 1.83> ，∴没有碰头的危险．6．塔AB 的高度约为11.1m【分析】本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角，根据题意可得：DE EC ⊥，然后在Rt DEC △中，利用含30度角的直角三角形的性质得CE ==，过点D 作DF AB ⊥，垂足为F ，设m AB h =，根据题意得：()m,3m DF EA h DE FA ====则()3m BF h =-，然后在Rt BDF △中，利用锐角三角函数的定义求出BF 的长，从而列出关于h 的方程，进行计算即可解答，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．【详解】由题意得：DE EC ⊥，在Rt DEC △中，90,30DEC DCE ∠=︒∠=︒，3m DE =，CE ∴==BA EA ⊥ ，在Rt ABC △中，m,45AB h BCA =∠=︒，m tan45AB AC h ∴=︒=()mAE EC AC h ∴=+=+过点D 作DF AB ⊥，垂足为F ，由题意得：()m,3m DF EA h DE FA ==+==，m AB h = ，()3m BF AB AF h ∴=-=-，在Rt BDF △中，27BDF ∠=︒，()tan270.5m BF DF h ∴=⋅︒=()30.5h h ∴-=，解得：611.1h ==11.1m AB ∴=∴塔AB 的高度约为11.1m ．7．31.5+【分析】延长BE BG ，分别交MN 的延长线于M N ''，，MM '于CD 相交于H ，设m NH x =，则()()()10m,210m,220m MH x N M x MM x '=+=+'=+，然后在Rt MM B ' 和Rt MN B ' 中解直角三角形可得()1·tan 2103BM MM x α==+'、·tan BM MN β'=，由sin 13β=可得tan β=)210BM x =+，据此列方程解得35x =，最后代入即可解答.正确的作出辅助线、灵活应用解直角三角形解实际问题是解题的关键．【详解】解：如图：延长BE BG ．分别交MN 的延长线于M N ''，，MM '于CD 相交于H ，设m NH x =,则()()()10m,210m,220m MH x N M x MM x '=+=+'=+,在Rt MM B ' 中，()1·tan 2103BM MM x α==+'；在Rt MN B ' 中，·tan BM MN β'=，∵sin 13β=，∴cos β=，∴tan β=∴)210BM x =+，∴())12202103x x +=+，解得：35x =，∴()()123520 1.531.5m 3AB ⎡⎤=⨯++=⎣⎦．答：建筑AB 的高度为()31.5m ．8．渔船没有触礁的危险．【分析】本题考查解直角三角形的应用—方向角问题．过点A 作AD BC ⊥，分别解Rt ADC 和Rt ADB ，求出AD 的长，即可得出结论．【详解】解：过点A 作AD BC ⊥，由题意，得：905832ABC ∠=︒-︒=︒，45ACD ∠=︒，8BC =，设AD x =，在Rt ADC 中，45ACD ∠=︒，∴AD CD x ==，∴8BD x =+，在Rt ADB 中，tan 0.6258AD x ABD BD x ∠==≈+，∴13x ≈，∴13AD ≈，∵1312>，∴渔船没有触礁的危险．9．(1)()62x -；(2)敌舰在C 【分析】(1)在Rt ADC 中运用1tan 2CD CAD AD ∠==，可求出2AD x =，再根据线段的和差即可求解； (2)运用勾股定理求出3CD =或95，再根据勾股定理求出AC 的长即可求解；本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题，解题的关键是根据题目中所给方向角构造直角三角形，然后利用三角函数的知识求解．【详解】（1）解：根据题意得， 57.63126.6CAB ∠=︒-︒=︒，630360BC =⨯=(海里)，在Rt ADC 中，CD x =海里，∴1tan 2CD CAD AD ∠==，∴2AD x =，∴()62BD AB AD x =-=-海里，故答案为：()62x -；（2）解：∵CD AB ⊥，∴90ADC BDC ∠=∠=︒，∴222BD CD BC +=，即()222623x x -+=，解得13x =，295x =，∵CD BC <，∴13x =不合，舍去，∴95x =，又222AD CD AC +=，即()2222x x AC +=，∴AC =(负值舍去)，∴AC =海里) ，答：敌舰在C 10．（1）43.2cm. （2）62.8cm.【详解】【分析】（1）如图，作OH ⊥AB 于H ，在Rt △OBH 中，由cos ∠OBC=BH OB，求得BH 的长，再根据AC=AB －2BH 即可求得AC 的长；（2）由题意可知△OBC 是等边三角形，由此即可求出弧OC 的长，即点O 在此过程中运动的路径长.【详解】（1）如图，作OH ⊥AB 于H ，∵OC=OB=60，∴CH=BH ，在Rt △OBH 中，∵ cos ∠OBC=BH OB，∴BH= OB·cos50°≈60×0.64=38.4，∴AC=AB －2BH≈120－2×38.4=43.2，∴AC 的长约为43.2cm ；（2）∵AC=60，∴BC=60 ，∵OC=OB=60，∴OC=OB=BC=60 ，∴△OBC 是等边三角形，∴ OC 的长=6060180π⨯=20 3.14⨯ =62.8，∴点O 在此过程中运动的路径长约为62.8cm.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、弧长公式等，结合题意正确画出图形是解题的关键.11．截面的面积为250cm ．【分析】本题主要考查解直角三角形的应用．由矩形的性质解直角三角形求得AE ，BE 的长，再解直角三角形求解BF ，FC 的长，进而可求解四边形EFDA ，ABE ，BCF △的面积，根据截面的面积ABE BCF EFDA S S S =-- 四边形计算可求解．【详解】解：四边形AEFD 为矩形，53BAD ∠=︒，∴AD EF ∥，90E F ∠=∠=︒，53BAD EBA ∴∠=∠=︒，在Rt ABE △中，90E ∠=︒，10cm AB =，53EBA ∠=︒，sin 0.80AE EBA AB∴∠=≈，cos 0.60BE EBA AB ∠=≈，8AE ∴=，6BE =，90ABC ∠=︒ ，9037FBC EBA ∴∠=︒-∠=︒，9053BCF FBC ∴∠=︒-∠=︒，在Rt BCF 中，90F ∠=︒，6BC cm =，sin 0.80BF BCF BC ∴∠=≈，cos 0.60FC BCF BC∠=≈，4BF ∴=，3=FC ，6410EF ∴=+=，()281080cm EFDA S AE EF ∴=⋅=⨯=四边形，()2118624cm 22ABE S AE BE =⋅=⨯⨯= ，()211436cm 22BCF S BF CF =⋅=⨯⨯= ，∴截面的面积()28024650cm ABE BCF EFDA S S S =--=--= 四边形．答：截面的面积为250cm ．12．(1)博物馆C 到B 处的距离约为(2)博物馆C 周围至少225米内不能铺设轨道【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，熟练掌握锐角三角函数定义，添加适当的辅助线是解题的关键．（1）过点C 作CG AB ⊥于点G ，证明BCG 是等腰直角三角形，得到CG BG =，设CG BG x ==，则BC =，再由锐角三角函数定义得2AG x =，再由2184x x =+，问题可解；（2）过点C 作CH BE ⊥于点H ，根据题意得60CBE CBG DBE ∠=∠+∠=︒，利用锐角三角函数的定义求出CH 的长即可．【详解】（1）解：如图1，过点C 作CG AB ⊥于点G ，在Rt BCG 中，45CBG ∠=︒，。

人教版九年级数学下册锐角三角函数同步练习附答案【优选】

28.1 锐角三角函数——正弦、余弦、正切一、基础·巩固达标1.在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A 的正弦值和余弦值( )A.都没有变化B.都扩大2倍C.都缩小2倍D.不能确定 2.已知α是锐角，且cosα=54，则sinα=( ) A.259 B.54 C.53 D.2516 3.Rt △ABC 中，∠C=90°，AC ∶BC=1∶3，则cosA=_______，tanA=_________. 4.设α、β为锐角，若sinα=23，则α=________；若tanβ=33，则β=_________. 5.用计算器计算：sin51°30′+ cos49°50′－tan46°10′的值是_________. 6.△ABC 中，∠BAC=90°，AD 是高，BD=9，tanB=34，求AD 、AC 、BC.二、综合•应用达标 7.已知α是锐角，且sinα=54，则cos(90°－α)=( ) A.54 B.43 C.53 D.518.若α为锐角，tana=3，求ααααsin cos sin cos +-的值.9.已知方程x 2－5x·sinα+1=0的一个根为32+，且α为锐角，求tanα.10.四边形是不稳定的.如图28.1－14，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出∠α的值吗？图28.1－14三、回顾•展望达标11.三角形在正方形网格纸中的位置如图28.3－15所示，则sinα的值是( )A.43 B.34 C.53 D.54图28.1－15 图28.1－17 图28.1－1612.如图28.1－17，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，连接CD ，若⊙O 的半径23r ，AC=2，则cosB 的值是( ) A.23 B.35 C.25 D.3213.在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA=31，则BC=( ) A.45 B.5 C.51 D.451 14.如图28.3－16，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos ∠BCD=( )A.53 B.43 C.34 D.5415.课本中，是这样引入“锐角三角函数”的：如图28.1－18，在锐角α的终边OB 上，任意取两点P 和P 1，分别过点P 和P 1做始边OA 的垂线PM 和P 1M 1，M 和M 1为垂足.我们规定，比值________叫做角α的正弦，比值________叫做角α的余弦.这是因为，由相似三角形的性质，可推得关于这些比值得两个等式：________，________.说明这些比值都是由________唯一确定的，而与P 点在角的终边上的位置无关，所以，这些比值都是自变量α的函数.图28.1－18 图28.1－1916.计算：2－1－tan60°+(5－1)0+|3|；17.已知：如图28.1－19，△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，sinB=21，∠CAD=30°. (1)求证：AD 是⊙O 的切线； (2)若OD ⊥AB ，BC=5，求AD 的长.参考答案一、基础·巩固达标1.在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A 的正弦值和余弦值( )A.都没有变化B.都扩大2倍C.都缩小2倍D.不能确定思路解析：当Rt △ABC 的各边长度都扩大二倍，所得新三角形与原三角形相似，故锐角A 大小不变. 答案：A2.已知α是锐角，且cosα=54，则sinα=( ) A.259 B.54 C.53 D.2516 思路解析：由cosα=54，可以设α的邻边为4k ，斜边为5k ，根据勾股定理，α的对边为3k ，则sinα=53. 答案：C3.Rt △ABC 中，∠C=90°，AC ∶BC=1∶3，则cosA=_______，tanA=_________.思路解析：画出图形，设AC=x ，则BC=x 3，由勾股定理求出AB=2x ，再根据三角函数的定义计算. 答案：21，3 4.设α、β为锐角，若sinα=23，则α=________；若tanβ=33，则β=_________. 思路解析：要熟记特殊角的三角函数值. 答案：60°,30°5.用计算器计算：sin51°30′+ cos49°50′－tan46°10′的值是_________.思路解析：用计算器算三角函数的方法和操作步骤. 答案：0.386 06.△ABC 中，∠BAC=90°，AD 是高，BD=9，tanB=34，求AD 、AC 、BC. 思路解析：由条件可知△ABC 、△ABD 、△ADC 是相似的直角三角形，∠B=∠CAD ，于是有tan ∠CAD=tanB=34，所以可以在△ABD 、△ADC 中反复地运用三角函数的定义和勾股定理来求解.解：根据题意，设AD=4k ，BD=3k ，则AB=5k. 在Rt △ABC 中，∵tanB=34，∴AC=34AB=320k.∵BD=9,∴k=3.所以AD=4×3=12，AC=320×3=20. 根据勾股定理25152022=+=BC .二、综合•应用达标 7.已知α是锐角，且sinα=54，则cos(90°－α)=( ) A.54 B.43 C.53 D.51思路解析：方法1.运用三角函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而对边、邻边、斜边之比为4∶3∶5，(90°－α)是三角形中的另一个锐角，邻边与斜边之比为4∶5，cos(90°－α)=54.方法2.利用三角函数中互余角关系“sinα=cos(90°－α)”. 答案：A8.若α为锐角，tana=3，求ααααsin cos sin cos +-的值.思路解析：方法1.运用正切函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而直角三角形三边之比为3∶1∶10，sinα=103，cosα=101，分别代入所求式子中.方法2.利用tanα=ααcos sin 计算，因为cosα≠0，分子、分母同除以cosα，化简计算. 答案：原式=213131tan 1tan 1cos sin cos cos cos sin cos cos =+-=+-=+-αααααααααα 9.已知方程x 2－5x·sinα+1=0的一个根为32+，且α为锐角，求tanα.思路解析：由根与系数的关系可先求出方程的另一个根是32-，进而可求出sinα=54，然后利用前面介绍过的方法求tanα.解：设方程的另一个根为x 2，则(32+)x 2=1 ∴x 2=32-∴5sinα=(32+)+(32-)，解得sinα=54. 设锐角α所在的直角三角形的对边为4k ，则斜边为5k ，邻边为3k ， ∴tanα=3434=k k . 10.四边形是不稳定的.如图28.1－14，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出∠α的值吗？图28.1－14思路解析：面积的改变实际上是平行四边形的高在改变，结合图形，可以知道h=b 21，再在高所在的直角三角形中由三角函数求出α的度数. 解：设原矩形边长分别为a ，b ，则面积为ab ，由题意得，平行四边形的面积S=21ab.又因为S=ah=a(bsinα)，所以21ab=absinα，即sinα=21.所以α=30°. 三、回顾•展望达标11.三角形在正方形网格纸中的位置如图28.3－15所示，则sinα的值是( )图28.1－15A.43 B.34 C.53 D.54思路解析：观察格点中的直角三角形，用三角函数的定义. 答案：C12.如图28.1－17，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，连接CD ，若⊙O 的半径23r ，AC=2，则cosB 的值是( )图28.1－17A.23 B.35 C.25 D.32思路解析：利用∠BCD=∠A 计算. 答案：D13.在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA=31，则BC=( ) A.45 B.5 C.51 D.451 思路解析：根据定义sinA=ABBC，BC=AB·sinA. 答案：B14.如图28.3－16，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos ∠BCD=( )图28.1－16A.53 B.43 C.34 D.54 思路解析：直径所对的圆周角是直角，设法把∠B 转移到Rt △ADC 中，由“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”，得到∠ADC=∠B. 答案：B15.课本中，是这样引入“锐角三角函数”的：如图28.1－18，在锐角α的终边OB 上，任意取两点P 和P 1，分别过点P 和P 1做始边OA 的垂线PM 和P 1M 1，M 和M 1为垂足.我们规定，比值________叫做角α的正弦，比值________叫做角α的余弦.这是因为，由相似三角形的性质，可推得关于这些比值得两个等式：________，________.说明这些比值都是由________唯一确定的，而与P 点在角的终边上的位置无关，所以，这些比值都是自变量α的函数.图28.1－18思路解析：正弦、余弦函数的定义. 答案：11111,,,OP OM OP OM OP M P OP PM OP OM OP PM ==，锐角α 16.计算：2－1－tan60°+(5－1)0+|3|；思路解析：特殊角的三角函数，零指数次幂的意义，负指数次幂的意义.解：2－1－tan60°+(5－1)0+|3|=21－3+1+3=23. 17.已知：如图28.1－19，△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，sinB=21，∠CAD=30°.图28.1－19(1)求证：AD 是⊙O 的切线； (2)若OD ⊥AB ，BC=5，求AD 的长.思路解析：圆的切线问题跟过切点的半径有关，连接OA ，证∠OAD=90°. 由sinB=21可以得到∠B=30°，由此得到圆心角∠AOD=60°，从而得到△ACO 是等边三角形，由此∠OAD=90°.AD 是Rt △OAD 的边，有三角函数可以求出其长度. (1)证明：如图，连接OA.∵sinB=21，∴∠B=30°.∴∠AOD=60°. ∵OA=OC ，∴△ACO 是等边三角形 ∴∠OAD=60°.∴∠OAD=90°.∴AD 是⊙O 的切线. (2)解：∵OD ⊥AB ∴ OC 垂直平分AB. ∴ AC=BC=5.∴OA=5.在Rt △OAD 中，由正切定义，有tan ∠AOD=OAAD. ∴ AD=35.。

苏科版九年级数学下册第 7章锐角三角函数 7.3---7.5练习题含答案

7.3 特殊角的三角函数一．选择题（共15小题）1．45°的正弦值为（）A．1 B．C．D．2．在△ABC中，若tanA=1，sinB=，你认为最确切的判断是（）A．△ABC是等腰三角形；B．△ABC是等腰直角三角形C．△ABC是直角三角形；D．△ABC是一般锐角三角形3．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2=0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（）A．75°B．90°C．105°D．120°4．cos60°的值等于（）A．B．1 C．D．5．因为cos60°=，cos240°=﹣，所以cos240°=cos（180°+60°）=﹣cos60°；由此猜想、推理知：当α为锐角时有cos（180°+α）=﹣cosα，由此可知：cos210°=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣6．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则sin∠AOB的值等于（）A．B．C．D．第6题第8题7．若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形最小角的正切值为（）A．B．C．D．8．把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1=，则∠2的度数为（）A．120°B．135°C．145°D．150°9．计算：tan45°+sin30°=（）A．2 B．C．D．10．在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|=0，则△ABC一定是（）A．直角三角形；B．等腰三角形；C．等边三角形；D．等腰直角三角形11．在△ABC中，（tanA﹣）2+|﹣cosB|=0，则∠C的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°12．计算sin60°+cos45°的值等于（）A．B．C．D．13．已知∠C=75°，则∠A与∠B满足以下哪个选项才能构成△ABC（）A．sinA=，sinB=B．cosA=，cosB=C．sinA=，tanB=D．sinA=，cosB=14．若sin（α﹣10o）=，则∠α为（）A．30°B．40°C．60°D．70°15．已知∠A为锐角，且tanA=，那么下列判断正确的是（）A．0＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°二．填空题（共10小题）16．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=，则sin=．17．已知△ABC的内角满足|tanA﹣3|+=0，则∠C=度．18．如图，在正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都是格点，则cos∠BAC=．第18题第19题19．如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan（α+β）tanα+tanβ．（填“＞”“=”“＜”）20．若tan（x+10°）=1，则锐角x的度数为．21．计算：tan45°﹣2cos60°=．22．已知α是锐角，tanα=2cos30°，那么α=度．23．在△ABC中，若，∠A、∠B都是锐角，则∠C=．24．已知对任意锐角α、β均有：cos（α+β）=cosα•cosβ﹣sinα•sinβ，则cos75°=．25．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=，则△ABC是三角形．1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 1516. ；17. ；18. ；19. ；20. ；21. ；22. ；23. ；24. ；25. ；三．解答题（共8小题）26．计算：tan30°cos60°+tan45°cos30°．27．计算：2sin30°+4cos30°•tan60°﹣cos245°．28．计算：sin45°．29．计算：cos245°+﹣•tan30°．30．计算：2cos230°﹣sin30°+．31．若规定：sin（α+β）=sinα•sinβ+cosα•sinβ，试确定sin75°+sin90°的值．32．已知α为锐角，sin（α+15°）=，计算﹣4cosα+tanα+（）﹣1的值．33．计算：﹣sin60°（1﹣sin30°）参考答案与解析一．选择题（共15小题）1．45°的正弦值为（）A．1 B．C．D．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：sin45°=，故选：C．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．2．在△ABC中，若tanA=1，sinB=，你认为最确切的判断是（）A．△ABC是等腰三角形B．△ABC是等腰直角三角形C．△ABC是直角三角形D．△ABC是一般锐角三角形【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A，∠B的值，再根据三角形内角和定理求出∠C即可判断．【解答】解：∵tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=45°．又∵三角形内角和为180°，∴∠C=90°．∴△ABC是等腰直角三角形．故选B．【点评】解答此题关键是熟记特殊角的三角函数值，三角形内角和定理及等腰三角形的判定．3．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2=0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（）A．75°B．90°C．105°D．120°【分析】本题可根据非负数的性质“两个非负数相加和为0，这两个非负数的值都为0．”分别求出∠A、∠B的值．然后用三角形内角和定理即可求出∠C的值．【解答】解：∵|sinA﹣|=0，（﹣cosB）2=0，∴sinA﹣=0，﹣cosB=0，∴sinA=，=cosB，∴∠A=45°，∠B=30°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=105°．故选C．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握二次根式、绝对值、非负数等考点的运算．4．cos60°的值等于（）A．B．1 C．D．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：cos60°=，故选：D．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．5．因为cos60°=，cos240°=﹣，所以cos240°=cos（180°+60°）=﹣cos60°；由此猜想、推理知：当α为锐角时有cos（180°+α）=﹣cosα，由此可知：cos210°=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【分析】当α为锐角时有cos（180°+α）=﹣cosα．把210°代入计算即可．【解答】解：∵cos（180°+α）=﹣cosα，∴cos210°=cos（180°+30°）=﹣cos30°=﹣．故选：C．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，本题是信息题，按照“一般地当α为锐角时有cos（180°+α）=﹣cosα”去答题．同时熟记特殊角的三角函数值也是解题的关键．6．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则sin∠AOB的值等于（）A．B．C．D．【分析】连接AB，先根据题意判断出△AOB的形状，再得出∠AOB的度数，由特殊角的三角函数值即可得出结论．【解答】解：连接AB，∵以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，∴OA=OB，∵以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴sin∠AOB=sin60°=．故选C．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值及等边三角形的判定与性质，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．7．若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形最小角的正切值为（）A．B．C．D．【分析】根据比例设三个内角分别为k、2k、3k，然后根据三角形内角和等于180°列出方程求出最小角，继而可得出答案．【解答】解：∵三角形三个内角度数的比为1：2：3，∴设三个内角分别为k、2k、3k，∴k+2k+3k=180°，解得k=30°，最小角的正切值=tan30°=．故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，利用“设k法”求解更加简单．8．把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1=，则∠2的度数为（）A．120°B．135°C．145°D．150°【分析】首先根据特殊角的三角函数值即可求得∠1的度数，然后根据直角三角形的两个锐角互余，以及平行线的性质即可求解．【解答】解：∵sin∠1=，∴∠1=45°，∵直角△EFG中，∠3=90°﹣∠1=90°﹣45°=45°，∴∠4=180°﹣∠3=135°，又∵AB∥CD，∴∠2=∠4=135°．故选B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，以及直角三角形的性质、平行线的性质，正确理解平行线的性质是关键．9．计算：tan45°+sin30°=（）A．2 B．C．D．【分析】将tan45°=1，sin30°=，分别代入，然后合并即可得出答案．【解答】解：∵tan45°=1，sin30°=，∴tan45°+sin30°=1+=．故选C．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握tan45°=1，sin30°=，难度一般，注意记忆一些特殊角的三角函数值．10．在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|=0，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案．【解答】解：由，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|=0，得2cosA=，1﹣tanB=0．解得A=45°，B=45°，则△ABC一定是等腰直角三角形，故选：D．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．11．在△ABC中，（tanA﹣）2+|﹣cosB|=0，则∠C的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】先根据非负数的性质求出tanA及cosB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A 及∠B的值，根据三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵（tanA﹣）2+|﹣cosB|=0，∴tanA﹣=0，﹣cosB=0，∴tanA=，cosB=，∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=75°，故选B．【点评】本题考查是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．12．计算sin60°+cos45°的值等于（）A．B．C．D．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：sin60°+cos45°=，故选：B．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．13．已知∠C=75°，则∠A与∠B满足以下哪个选项才能构成△ABC（）A．sinA=，sinB=B．cosA=，cosB=C．sinA=，tanB=D．sinA=，cosB=【分析】根据三角形内角和可得∠A+∠B=180°﹣75°=105°，然后再根据特殊角的三角函数进行分析即可．【解答】解：∵∠C=75°，∴∠A+∠B=180°﹣75°=105°，A、sinA=，sinB=，则∠A=45°，∠B=45°，∠A+∠B=90°，故此选项错误；B、cosA=，cosB=，则∠A=60°，∠B=30°，∠A+∠B=90°，故此选项错误；C、sinA=，tanB=，则∠A=45°，∠B=60°，∠A+∠B=105°，故此选项正确；D、sinA=，cosB=，∠A=60°，∠B=60°，∠A+∠B=120°，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查特殊角的三角函数值，关键掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．14．若sin（α﹣10o）=，则∠α为（）A．30°B．40°C．60°D．70°【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：sin（α﹣10o）=，得α﹣10=60°，α=70°，故选：D．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．15．已知∠A为锐角，且tanA=，那么下列判断正确的是（）A．0＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°【分析】根据正切函数的增减性，可得答案．【解答】解：＜＜1，由正切函数随锐角的增大而增大，得tan30°＜tanA＜tan45°，即30°＜A＜45°，故选：B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，利用正切函数的增减性是解题关键．二．填空题（共10小题）16．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=，则sin=．【分析】根据∠A的正弦求出∠A=60°，再根据30°的正弦值求解即可．【解答】解：∵sinA==，∴∠A=60°，∴sin=sin30°=．故答案为：．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．17．已知△ABC的内角满足|tanA﹣3|+=0，则∠C=75度．【分析】根据非负数的和为零，可得特殊角三角函数值，根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：由题意，得，解得∠A=60°，∠B=45°，∠C=180°﹣∠A﹣∠B=75°，故答案为与：75．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．18．如图，在正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都是格点，则cos∠BAC=．【分析】分别利用勾股定理求出AB、BC、AC的长度，然后判断△ABC的形状，得出∠BAC 的度数，求出cos∠BAC的值．【解答】解：AB=BC==，AC==，则AB2+BC2=5+5=10=AC2，则△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=45°，则cos∠BAC=．故答案为：．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值以及勾股定理及逆定理，解答本题的关键是判断三角形ABC为直角三角形．19．如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan（α+β）＞tanα+tanβ．（填“＞”“=”“＜”）【分析】根据正切的概念和正方形网格图求出tanα和tanβ，根据等腰直角三角形的性质和tan45°的值求出tan（α+β），比较即可．【解答】解：由正方形网格图可知，tanα=，tanβ=，则tanα+tanβ=+=，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴α+β=45°，∴tan（α+β）=1，∴tan（α+β）＞tanα+tanβ，故答案为：＞．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值、锐角三角函数的定义以及等腰直角三角形的性质，熟记特殊角的三角函数值、正确理解锐角三角函数的定义是解题的关键．20．若tan（x+10°）=1，则锐角x的度数为20°．【分析】利用特殊角的三角函数值得出x+10°的值进而求出即可．【解答】解：∵tan（x+10°）=1，∴tan（x+10°）==，∴x+10°=30°，∴x=20°．故答案为：20°．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关角对应的函数值是解题关键．21．计算：tan45°﹣2cos60°=0．【分析】把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，后计算加减法即可．【解答】解：原式=1﹣2×，=1﹣1，=0．故答案为：0．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握30°，45°，60°角的三角函数值．22．已知α是锐角，tanα=2cos30°，那么α=60度．【分析】根据30°角的余弦值等于，正切值是的锐角为60°解答即可．【解答】解：∵tanα=2cos30°=2×=，∴α=60°．故答案为：60．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的正弦值、余弦值、正切值是解此类题目的关键．23．在△ABC中，若，∠A、∠B都是锐角，则∠C=105°．【分析】根据绝对值及完全平方的非负性，可得出∠A及∠B的度数，再利用三角形的内角和定理即可得出∠C的度数．【解答】解：∵，∴sinA=，cosB=，∴∠A=45°，∠B=30°，故可得∠C=180°﹣45°﹣30°=105°．故答案为：105°．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值及非负数的性质，解答本题的关键是得出sinA=，cosB=，另外要熟练掌握特殊角的三角函数值．24．已知对任意锐角α、β均有：cos（α+β）=cosα•cosβ﹣sinα•sinβ，则cos75°=．【分析】直接利用已知公式将原式变形，进而结合特殊角的三角函数值求出答案．【解答】解：∵cos（α+β）=cosα•cosβ﹣sinα•sinβ，∴cos75°=cos（30°+45°）=cos30°•cos45°﹣sin30°•sin45°=×﹣×=．故答案为：．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确将原式变形是解题关键．25．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=，则△ABC是直角三角形．【分析】根据一个角的正弦等于它余角的余弦，可得答案．【解答】解：由△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=，得∠A+∠B=90°，故答案为：直角．【点评】本题考查了余角，利用直角三角形的判定是解题关键．三．解答题（共8小题）26．计算：tan30°cos60°+tan45°cos30°．【分析】根据特殊角的三角函数值可以计算出tan30°cos60°+tan45°cos30°的值．【解答】解：tan30°cos60°+tan45°cos30°===．【点评】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是明确特殊角的三角函数值．27．计算：2sin30°+4cos30°•tan60°﹣cos245°．【分析】将sin30°=，cos30°=，tan60°=，cos45°=代入运算，即可得出答案．【解答】解：原式=2×+4×•﹣=1+6﹣=．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是掌握一些特殊角的三角函数值，需要我们熟练记忆，难度一般．28．计算：sin45°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式=﹣×+×=﹣+1=0．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．29．计算：cos245°+﹣•tan30°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式=（）2+﹣×=+﹣1=．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．30．计算：2cos230°﹣sin30°+．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式=2×（）2﹣+=1++．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．31．若规定：sin（α+β）=sinα•sinβ+cosα•sinβ，试确定sin75°+sin90°的值．【分析】根据给出的公式，将75°和90°化为特殊角即可求出答案．【解答】解：原式=sin（30°+45°）+sin（30°+60°）=sin30°•cos45°+cos30°•sin45°+sin30°•cos60°+cos30°•sin60°=×+×+×+×=+++=【点评】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是将75°和90°化为特殊角进行计算，本题属于基础题型．32．已知α为锐角，sin （α+15°）=，计算﹣4cosα+tanα+（）﹣1的值．【分析】首先得出α的值，进而利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质化简求出答案．【解答】解：∵sin （α+15°）=，∴α=45°， ∴﹣4cosα+tanα+（）﹣1=2﹣2+1+3=4．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质，正确掌握相关性质是解题关键．33．计算：﹣sin60°（1﹣sin30°）【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式=﹣×（1﹣）=﹣×=．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．7.4三角函数求锐角1．在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦值（）A 都扩大2倍B 都扩大4倍C 没有变化D 都缩小一半2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，c=10 23cos B ，则b=（） A 5 3 B 10 3 C 5 D 103．等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2，则顶角为（）A 600B 900C 1200D 15004．若∠A 是锐角，sinA=43，那么（） A ．0°＜∠A ＜30°B．30°＜∠A ＜45°C ．45°＜∠A ＜60°D ．60°＜∠A ＜90°5．有一个角的余弦值为21的直角三角形，斜边为cm 1，则斜边上的高为（） A cm 41 B cm 21 C cm 43 D cm 23 6.若sin α=23,则锐角α=________. 若2cos α= 2 ,则锐角α=_________； 7. α为锐角，若sin α=21,则cos α=_________；若sin α=23,则tan α=_________； 8.已知a 是锐角， ()01sin 152α+=，则a =_____； 9. △ABC 中，且0cos 2233tan 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-B A ,则∠C=_________； 10.Rt △ABC 中∠C ＝900 ,6,3si 2==a nB ，则__________,==c b ；11.在△ABC 中，若∠C ＝900,2,32==b c ,，则____tan =B ，面积S ＝；12.如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB ＝6，点C 是优弧AB 上的一点(不与A 、B 重合)，则sin C 的值为_______．13.（1）tan230°+2sin60°+tan45°－tan60°+cos230°；（2）cos60°－sin245°+tan230°+cos230°－sin30°．14.在矩形ABCD中,CE⊥BD,E为垂足,连结AE,已知BC=3,CD=4, 求(1)△ADE的面积,(2)tan∠EAB.15.如图，△ABC中，DC⊥AC交AB于D，若4 :2:3,cos5 ACD CDBS S DCB∆∆=∠=.（1）求∠A的度数；（2）若AC+CD=36，求AB的长.7.5解直角三角形及其应用-一、选择题1.在△ABC中，∠C＝90°，4sin5A ，则tan B＝ ( )A．43 B．34C．35D．452．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC 长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）A． B． C． D．第2题第3题第4题3．河堤、横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比是1:3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，则AC 的长是( )A ．53米B ．10米C ．15米D ．103米4．如图所示，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点M 、N 分别为OB 、OC 的中点，则cos ∠OMN 的值为 ( )A ．12 B ．22C ．32D ．1 5．如图所示，某游乐场一山顶滑梯的高为h ，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l 为 ( )A ．sin h αB ．tan h αC ．cos h αD ．sin h α第5题第6题第7题第8题6．如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝16 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连接BD ，若3cos 5BDC ∠=，则BD 的长是 ( )A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm7．如图所示，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距 ( ) A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里8．如图所示，为了测量河的宽度，王芳同学在河岸边相距200 m的M和N两点分别测定对岸一棵树P的位置，P在M的正北方向，在N 的北偏西30°的方向，则河的宽度是 ( )m C．1003m D．100m A．2003m B．20033二、填空题9．在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值是．第9题第10题第11题10.如图所示，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则AG的值为______．AF11．如图所示，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔402海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为____海里(结果保留根号)．12．如图所示，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD＝2，AB＝4，点E在AB上，将△CBE沿CE翻折，使B点与D点重合，则∠BCE的正切值是________．13．如图所示．线段AB、DC分别表示甲、乙两座建筑物的高．AB⊥BC，DC⊥BC，两建筑物间距离BC＝30米，若甲建筑物高AB＝28米，在A点测得D点的仰角α＝45°，则乙建筑物高DC＝__ __米．第12题第13题第14题14.在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图所示)，那么，由此可知，B、C两地相距________m．三、解答题15．如图所示，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为1:3(即AB:BC＝1:3)，且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计)．16.如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．（1）若∠A=60°，求BC的长；（2）若sinA=，求AD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）17．北京时间2015年04月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米．参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）一、选择题1.【答案】B ；【解析】如图，sin A＝45BC AB =，设BC ＝4x ．则AB ＝5x ．根据勾股定理可得AC ＝223AC AB BC x =-=，∴33tan 44AC x B BC x ===． 2.【答案】B ．【解析】如图所示：设BC=x ，∵ 在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A=30°，∴ AC=2BC=2x ，AB=BC=x ，根据题意得：AD=BC=x ，AE=DE=AB=x ，作EM ⊥AD 于M ，则AM=AD=x ，在Rt △AEM 中，cos ∠EAD==x x321=；3.【答案】A ；【解析】由tan BC i A BC===知，53AC BC ==(米)． 4.【答案】B ；【解析】由题意知MN ∥BC ，∠OMN ＝∠OBC ＝45°，∴ cos 2OMN ∠=． 5.【答案】A ；【解析】由定义sin h l α=，∴ sin h l α=. 6.【答案】D ；【解析】∵ MN 是AB 的中垂线, ∴ BD ＝AD ．又3cos 5DC BDC BD ∠==，设DC ＝3k ，则BD ＝5k ，∴ AD ＝5k ，AC ＝8k ．∴ 8k ＝16，k ＝2，BD ＝5×2＝10．7.【答案】B ；【解析】连接AC ，∵ AB ＝BC ＝40海里，∠ABC ＝40°+20°＝60°，∴ △ABC 为等边三角形，∴ AC ＝AB ＝40海里．8.【答案】A【解析】依题意PM ⊥MN ，∠MPN ＝∠N ＝30°，tan30°200PM =， 2003PM =．二、填空题9．【答案】2；【解析】设菱形ABCD 边长为t ，∵ BE=2，∴ AE=t ﹣2，∵ cosA=，∴，∴ =，∴ t=5， ∴ AE=5﹣2=3，∴ DE==4， ∴ tan ∠DBE 224===BE DE ．故答案为：2． 10．3；【解析】由已知条件可证△ACE ≌△CBD ．从而得出∠CAE ＝∠BCD ． ∴ ∠AFG ＝∠CAE+∠ACD ＝∠BCD+∠ACD ＝60°，在Rt △AFG 中，3sin 602AG AF ==°． 11．【答案】40403+；【解析】在Rt △APC 中，PC ＝AC ＝AP ·sin ∠APC ＝2402402⨯=．在Rt △BPC 中，∠BPC ＝90°-30°＝60°，BC ＝PC ·tan∠BPC ＝403，所以AB ＝AC+BC ＝40403+．12．【答案】12；【解析】如图，连接BD ，作DF ⊥BC 于点F ，则CE ⊥BD ，∠BCE ＝∠BDF ，BF ＝AD ＝2，DF ＝AB ＝4，所以21tan tan 42BF BCE BDF DF ∠=∠===． 13．【答案】58；【解析】α＝45°，∴ DE ＝AE ＝BC ＝30，EC ＝AB ＝28，DE ＝DE+EC＝5814．【答案】200；【解析】由已知∠BAC ＝∠C ＝30°，∴ BC ＝AB ＝200.三、解答题15.【答案与解析】过点A 作AF ⊥DE 于F ，则四边形ABEF 为矩形， ∴ AF ＝BE ，EF ＝AB ＝2．设DE ＝x ，在Rt △CDE 中，3tan tan 603DE DE CE x DCE ===∠°．在Rt △ABC 中，∵ 3AB BC =，AB ＝2，∴ 23BC =．在Rt △AFD 中，DF ＝DE-EF ＝x -2．∴ 23(2)tan tan 30DF x AF x DAF -===-∠°∵ AF ＝BE ＝BC+CE ．∴ 33(2)23x x -=+，解得6x =．答：树DE 的高度为6米．16.【答案与解析】解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=，∴∠E=30°，BE=tan60°•6=6，又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∠E=30°，∴CE==8，∴BC=BE﹣CE=6﹣8；（2）∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==，∴设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x，∴ 3x=6，得x=2，∴ BE=8，AE=10，∴ tanE====，解得，DE=，∴ AD=AE﹣DE=10﹣=，即AD的长是．17.【答案与解析】解：作CD⊥AB交AB延长线于D，设CD=x米．Rt△ADC中，∠DAC=25°，所以tan25°==0.5，所以AD==2x．Rt△BDC中，∠DBC=60°，由tan 60°==，解得：x≈3米．所以生命迹象所在位置C的深度约为3米．。

【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》全章知识点复习及同步习题

c ，则有： s in A = a = cos B ， cos A = = sin B ， tan A = ，这就是锐角三角函数所以 cos B = sin(90 - B) = sin A = ．在 Rt△BCD 中， cos B = ，所以 = ．， cos A = ， =（sin 2A 、cos 2A 分别表示 sin A 、cos A 2 2锐角三角函数我们知道，在 Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为 a 、b 、b ac c b的定义．根据锐角三角函数的定义，再结合直角三角形的性质，我们可以探索出锐角三角函数之间的三个特殊关系．一、余角关系由上面的定义我们已得到 sin A =cos B ，cos A =sin B ，而在直角三角形中，∠A＋∠B ＝90°，即∠B ＝90°－∠A ．因此有：sin A =cos （90°-A ），cos A =sin （90°-A ）．应用这些关系式，可以很轻松地进行三角函数之间的转换．例１如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于 D ，已知 sin A =＝2，求 BC 的长．解：由于∠A ＋∠B ＝90°，12BD 2 1BC BC 2所以 BC ＝4．二、平方关系a b 由定义知 sin A = c c1 2 ，BD所以 sin 2 A + cos 2 A = a 2 b 2 a 2 + b 2+ c c c 2的平方）．又由勾股定理，知 a 2+b 2=c 2，所以 sin 2A +cos 2A = c 2 c 2=1．应用此关系式我们可以进行有关锐角三角函数平方的计算．例 2 计算：sin256°+sin245°+sin234°．=⎪⎪ + 1 = 由定义中 sin A = a， cos A = ，得 = c = ⨯ = = tan A ．所以原式 = = =- ．5 12 5 12所以 sin B = = ．应选(B)．5解：由余角关系知 sin56°=cos（90°-56°）=cos34°．所以原式＝sin245°+（sin234°+cos234°）⎛ 2 ⎫2 ⎝ 2 ⎭3 2 ．三、相除关系b c casin A a c a cos A b c b bc利用这个关系式可以使一些化简求值运算过程变得简单．例 3 已知 α 为锐角，tan α =2，求 3sin α + cos α 4cos α - 5sin α的值．解：因为 tan α = sin α cos α= 2 ，所以 sin α =2cos α ，6cos α + cos α 6 + 1 74cos α - 10cos α 4 - 10 6求三角函数值的方法较多，且方法灵活．是中考中常见的题型．我们可以根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法．四、设参数法例 4 如图 △1，在 ABC 中，∠C =90°，如果 t a n A =(A)(B) (C) (D)13 13 12 55 12 ，那么 sin B 等于（）分析：本题主要考查锐角三角函数的定义及直角三角形的有关性质．因为 tan A = a 5 =b 12，所以可设 a =5k ，b =12k (k >0)，根据勾股定理得 c =13k ，图 1b 12c 13五、等线段代换法例 5如图 2，小明将一张矩形的纸片 ABC D 沿 C E 折叠，B 点恰好落在 A D 边上，设此点为 F ，若 BA ：BC =4：，则 c os∠DCF 的值是______．分析：根据折叠的性质可知 E △B C ≌ EF C ，所以 C F=CB ，又 C D=AB ，AB ：BC =4：5，所以 C D ：C F=4：5，图 2=．113911，即=，所以C E=，在Rt△A E C中，tan∠CA E==3=．所以tanα=．C3445所以DB==，所以tanα=，选(A)．在Rt D△C F中，c os∠D C F=DC4 CF5六、等角代换法例6如图3，C D是平面镜，光线从A点出发经C D上点E反射后照射到B点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC⊥C D，B D⊥C D，垂足分别为C、D，且AC＝3，B D＝6，C D＝11，则tanα的值为（）B（A）（B）（C）（D）311119A分析：根据已知条件可得∠α=∠CA E，所以只需求出tan∠CA E．α根据条件可知△A C E∽B DE，所以AC CE3CE=BD ED611-CEC E图3D11311CE11AC39119七、等比代换法例7如图4，在Rt△ABC中，ACB=90，D⊥AB于点D，BC=3，AC=4，设BC D=α，tanα的值为（）(A)(B)(C)(D)435分析：由三角形函数的定义知tanα=DB DC，由Rt△C D△B∽Rt ACB，BC33DC AC44图4（：锐角三角函数测试1．比较大小：sin41°________sin42°． 2．比较大小：cot30°_________cot22°． 3．比较大小：sin25°___________cos25°． 4．比较大小：tan52°___________cot52°． 5．比较大小：tan48°____________cot41°． 6．比较大小：sin36°____________cos55°．7、下列命题①sin α 表示角α 与符号 sin 的乘积；② 在△ABC 中，若∠C=90°，则 c=α sinA 成立；③任何锐角的正弦和余弦值都是介于 0 和 1 之间实数.其正确的为（）A 、②③B.①②③C.②D. ③8、若 △R t ABC 的各边都扩大 4 倍得到 △R t A ′B ′C ′,那么锐角 A 和锐角 A ′正切值的关系为()A.tanA ′=4tanA B.4tanA ′=tanAC.tanA ′=tanAD.不确定.9（新疆中考题） 1）如图（1）、 2），锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化．试探索随着锐角度数的增大．它的正弦值和余弦值变化的规律．（2）根据你探索到的规律，试比较 18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小。

2022-2023学年苏科版九年级数学下册《第7章锐角三角函数》单元达标测试题(附答案)

2022-2023学年苏科版九年级数学下册《第7章锐角三角函数》单元达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分32分）1．在Rt△ABC中，如果各边的长度同时扩大2倍，那么锐角A的正弦值和余弦值（）A．都扩大2倍B．都缩小2倍C．都不变D．不能确定2．若∠A为锐角，且sin A＝，则cos A等于（）A．1B．C．D．3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tan A的值是（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AD⊥BC交BC于点D，若AB＝4，tan∠CAD＝，则BC＝（）A．6B．6C．7D．75．在△ABC中，BC＝+1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（）A．B．+1C．D．+16．如图，AB表示一条跳台滑雪赛道，在点A处测得起点B的仰角为40°，底端点C与顶端点B的距离为50米，BC⊥AC于点C，则赛道AB的长度为（）A．米B．米C．50sin40°米D．50cos40°米7．如图，河堤横断面迎水坡AB坡比是1：2，堤高BC＝4m，则坡面AB的长度是（）mA．8B．16C．4D．48．如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则sin∠BAC的值是（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题，满分32分）9．比较大小：tan50°tan60°．10．若（3tan A﹣）2+|2sin B﹣|＝0，则以∠A、∠B为内角的△ABC的形状是．11．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线交点，则tan∠P AB+tan∠PBA ＝．12．如图所示，某河提的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长13米，且AB边的坡度为，则河堤的高BE为米．13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），以点A 为圆心，AB的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，连接BC，则∠C的正弦值为．14．如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO＝，则点F的坐标是．15．如图，在△ABC中，AH⊥BC于点H，在AH上取一点K，连接CK，使得∠HKC+∠HAC＝90°，在CK上取一点N，使得CN＝AC，连接BN，交AH于点M，若tan∠ABC ＝2，BN＝15，则CH的长为．16．如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为．三．解答题（共7小题，满分56分）17．计算：﹣2（1+sin60°）18．（1）在△ABC中，∠C＝90°．已知c＝8，∠A＝60°，求∠B，a，b；（2）如图，在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，D为AC上一点，∠BDC＝45°，CD ＝6．求AD的长．19．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，tan A＝．求：（1）S△ABC；（2）∠B的余弦值．20．如图，楼房AB后有一假山CD，CD的坡度为i＝1：2，测得B与C的距离为24米，山坡坡面上E点处有一休息亭，与山脚C的距离CE＝8米，小丽从楼房房顶A处测得E的俯角为45°．（1）求点E到水平地面的距离；（2）求楼房AB的高．21．某海港南北方向上有两个海岸观测站A，B，距离为10海里．从港口出发的一艘轮船正沿北偏东30°方向匀速航行，某一时刻在观测站A，B两处分别测得此轮船正好航行到南偏东30°和北偏东75°方向上的C处．经过0.5时轮船航行到D处，此时在观测站A 处测得轮船在北偏东75°方向上，求轮船航行的速度（结果精确到0.1海里/时，参考数据：≈1.414，＝1.732）22．如图，为测量某建筑物BC的高度，采用了如下方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD（坡度i＝1：2.4）行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，底端B 的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内．根据测量数据，计算出建筑物BC 的高度．（参考数据：）23．阅读以下材料，并解决相应问题：在学习了直角三角形的边角关系后，我们可以继续探究任意锐角三角形的边角关系，在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．如图1，过点A作AD⊥BC于点D，则根据定义得sin B＝，sin C＝，于是AD＝c sin B，AD＝b sin C，也就是c sin B ＝b sin C，即．同理有，，即最终得到．即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论就可以求出其余三个未知元素．（1）在锐角△ABC中，若∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，求AB．（2）仿照证明过程，借助图2或图3，证明和中的其中一个．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：∵锐角A的正弦值是对边和斜边的比，余弦值是邻边和斜边的比，∴边长同时扩大2倍对于锐角A的正弦值和余弦值没有影响，∴锐角A的正弦值和余弦值没有改变．故选：C．2．解：∵∠A为锐角，且sin A＝，∴∠A＝60°，∴cos A＝cos60°＝，故选：D．3．解：∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，∴tan A＝＝，故选：D．4．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，AB＝4，∠B＝45°，∴AD＝AB sin45°＝4×＝4，BD＝AB cos45°＝4×＝4，在Rt△ADC中，tan∠CAD＝，∴CD＝AD tan∠CAD＝4×＝3，∴BC＝BD+DC＝4+3＝7，故选：C．5．解：过A点作AD⊥BC于点D，∵∠B＝45°，∴∠BAD＝45°＝∠B，∴AD＝BD，设BD＝x，则AD＝x，∵∠C＝30°，∴tan C＝，∴，∵BC＝+1，∴x+x＝+1，∴x＝1，即AD＝1，∴．故选：A．6．解：在Rt△ABC中，∵∠A＝40°，BC＝50米，∴sin40°＝，∴AB＝＝米，故选：A．7．解：Rt△ABC中，BC＝4m，tan A＝1：2；∴AC＝＝8m，∴AB＝＝＝4（m）．故选：C．8．解：延长AC到D，连接BD，如图：∵AD2＝20，BD2＝5，AB2＝25，∴AD2+BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，∴sin∠BAC＝．故选：A．二．填空题（共8小题，满分32分）9．解：∵50°＜60°，∴tan50°＜tan60°，故答案为：＜．10．解：∵（3tan A﹣）2+|2sin B﹣|＝0，∴3tan A﹣＝0，2sin B﹣＝0，则tan A＝，sin B＝，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴以∠A、∠B为内角的△ABC的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形．11．解：设小正方形的边长是a，∵tan∠P AB＝＝＝，tan∠PBA＝＝＝，∴tan∠P AB+tan∠PBA＝+＝．12．解：由已知斜坡AB的坡度，得：BE：AE＝12：5，设AE＝5x米，则BE＝12x米，在直角三角形AEB中，根据勾股定理得：132＝5x2+（12x）2，即169x2＝169，解得：x＝1或x＝﹣1（舍去），5x＝5，12x＝12即河堤高BE等于12米．故答案为：12．13．解：∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），∴BO＝3，AO＝4，∴AB＝＝5，∵以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，∴CO＝5﹣4＝1，BC＝＝，∴sin∠C＝＝＝，故答案为：．14．解：过点F作直线F A∥OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥F A于点H，则∠F AE＝90°，∵F A∥OG，∴∠FGO＝∠HFG．∵∠EFG＝90°，∴∠FEA+∠AFE＝90°，∠HFG+∠AFE＝90°，∴∠FEA＝∠HFG＝∠FGO，∵cos∠FGO＝，∴cos∠FEA＝，在Rt△AEF中，EF＝10，∴AE＝EF cos∠FEA＝10×＝6，∴根据勾股定理得，AF＝8，∵∠F AE＝90°，∠AOG＝90°，∠GHA＝90°，∴四边形OGHA为矩形，∴AH＝OG，∵OG＝17，∴AH＝17，∴FH＝17﹣8＝9，∵在Rt△FGH中，＝cos∠HFG＝cos∠FGO＝，∴FG＝9÷＝15，∴由勾股定理得：HG＝＝12，∴F（8，12）．故答案为：（8，12）．15．解：如图，过点N作NJ⊥BC于J．设HJ＝x．∵AH⊥BC，∴∠AHB＝∠AHC＝90°，∵tan∠ABH＝＝2，∴可以假设BH＝k，2k，∵∠HKC+∠HAC＝90°，∠HKC+∠KCH＝90°，∴∠HAC＝∠KCH，∵NJ⊥BC，∴∠AHC＝∠CJN＝90°，∴△AHC∽△CJN，∴＝＝＝2，∴CJ＝k，∴CH＝x+k，JN＝（x+k），∴tan∠NBJ＝＝，设NJ＝y，BJ＝2y，∵BN＝15，∴5y2＝152，∴y＝3，∴NJ＝3，∴CH＝2NJ＝6．16．解：连接CM，DN，由题意得：CM∥AB，∴∠APD＝∠NCD，由题意得：CN2＝12+12＝2，DN2＝32+32＝18，CD2＝22+42＝20，∴CN2+DN2＝CD2，∴△CND是直角三角形，∴tan∠NCD＝＝＝3，∴∠APD的正切值为：3，故答案为：3．三．解答题（共7小题，满分56分）17．解：原式＝﹣2（1+）＝+﹣2﹣＝﹣2．18．解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∴b＝c＝4，∵tan A＝，∴a＝b tan A，∴a＝4×＝12；（2）∵∠C＝90，∠BDC＝45°，∴△BDC是等腰直角三角形，∴BC＝CD＝6，∵sin A＝，∴AB＝＝10，∵AC2＝AB2﹣BC2，∴AC2＝102﹣62，∴AC＝8，∴AD＝AC﹣DC＝2．19．解：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ABC中，tan A＝＝，∴设CD＝4k，则AD＝3k，∴AC＝＝＝5k，∵AC＝15，∴5k＝15，∴k＝3，∴AD＝9，CD＝12，∴S△ABC＝AB•CD＝×15×12＝90，∴S△ABC＝90；（2）在Rt△BCD中，BD＝AB﹣AD＝15﹣9＝6，CD＝12，∴BC＝＝＝6，∴cos B＝＝＝，∴∠B的余弦值为．20．解：（1）过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于F，∵CD的坡度i＝EF：CF＝1：2，∴设EF＝a米，则CF＝2a米，在Rt△CEF中，根据勾股定理得：CE＝＝＝a（米），∵CE＝8米，∴a＝8，∴a＝8，∴EF＝8米，CF＝2a＝16（米），∴点E到水平地面的距离为8米；（2）如图：延长FE交AG于点H，由题意得：∠HAE＝45°，AH＝BF＝BC+CF＝24+16＝40（米），AB＝FH，在Rt△AHE中，HE＝AH•tan45°＝40×1＝40（米），∴AB＝HF＝HE+EF＝40+8＝48（米），∴楼房AB的高为48米．21．解：作AE⊥CD于E，∵∠ACB＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴∠ABC＝∠ACB，∴AC＝AB＝10海里，∵向北的方向线是平行的，∴∠ACF＝∠CAB＝30°，∴∠ACD＝60°，∴∠CAE＝30°，∴CE＝AC＝5海里，AE＝AC＝5海里，∵∠DAC＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴∠DAE＝75°﹣30°＝45°，∴DE＝AE＝5海里，∴CD＝5+5≈13.66（海里），轮船航行的速度为：13.66÷＝27.3（海里/时），答：轮船航行的速度是27.3海里/时，22．解：如图，过D作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．则四边形DHBF是矩形，∴BF＝DH，在RtADH中，AD＝130米，DH：AH＝1：2.4，∴DH＝50（米），∴BF＝DH＝50米），在Rt△EFB中，∠BEF＝45°，∴△EFB是等腰直角三角形，∴EF＝BF＝50（米），在Rt△EFC中，∠CEF＝60°，tan∠CEF＝tan60°＝＝，∴CF＝EF＝50＝86.6（米），∴BC＝BF+CF＝136.6（米）．答：建筑物BC的高度约为136.6米．23．解：（1）根据阅读材料可知，，∵∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，∴＝，∴AB＝＝2；（2）证明．理由如下：如图，连接CO并延长交⊙O于D，连接AD、BD，则∠DAC＝∠DBC＝90°，∠BAC＝∠BDC，∠ABC＝∠ADC．在Rt△ADC中，sin∠ADC＝，∴CD＝．在Rt△BDC中，sin∠BDC＝，∴CD＝，∴＝，∴＝，即在△ABC中，．。

九年级数学下册第7章锐角三角函数72正弦余弦一导学案无答案苏科版

斜边c的比叫做∠A的______，记作=_________，即：cosA=______=_____。
（你能写出∠B的正弦、余弦的表达式吗？）试试看________________.
4．怎样计算任意一个锐角的正弦值和余弦值呢？
（1）如书P42图7—8，当小明沿着15°的斜坡行走了1个单位长度到P点时，他的位置在竖直方向升高了约0.26个单位长度，在水平方向前进了约0.97个单位长度。
根据正弦、余弦的定义，可以知道：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97
（2）你能根据图形求ຫໍສະໝຸດ sin30°、cos30°吗？sin75°、cos75°呢？
sin30°＝_____，cos30°＝_____.sin75°＝_____，cos75°＝_____.
（3）利用计算器我们可以更快、更精确地求得各个锐角的正弦值和余弦值。
7.2正弦、余弦（一）
课题
7.2正弦、余弦（一）
自主
空间
学习目标
知识与技能：理解并掌握正弦、余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。
过程与方法：能用函数的观点理解正弦、余弦和正切。
情感、态度与价值观：通过对正弦、余弦概念的学习感受数学知识的系统性。
学习重点
理解并掌握正弦、余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。
（根据是______________________________。）
2．正弦的定义
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
我们把锐角∠A的对边a与斜边c的比
叫做∠A的______，记作________，即：sinA＝________=________.
3．余弦的定义
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,我们把锐角∠A的邻边b与

九年级数学下册第7章锐角三角函数7.2正弦、余弦7.2.1正弦、余弦同步练习1(新版)苏科版

第1课时正弦、余弦]一、选择题1．如图K－26－1所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，那么sin A的值是链接听课例1归纳总结( )A.513B.1213C.512D.135图K－26－12．如图K－26－2，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，那么cos B的值是链接听课例1归纳总结( )图K－26－2A.34B.43C.35D.453．2021·孝感如图K－26－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，那么sin A 等于( )图K－26－3A.35B.45C.34D.434．在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大为原来的100倍，那么sin A的值( ) A．扩大为原来的100倍B．缩小为原来的1100C．不变D．不能确定5．2021·天水在正方形网格中，△ABC的位置如图K－26－4所示，那么cos B的值为( )图K－26－4A.12B.22C.32D.336．如图K－26－5，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，那么以下比值中不等于cos A的是( )图K－26－5A.BDCBB.CDCBC.ACABD.ADAC7．如图K－26－6，假设锐角三角形ABC内接于⊙O，点D在⊙O外(与点C在AB的同侧)，那么以下三个结论：①sin C＞sin D；②cos C＞cos D；③tan C＞tan D，其中，正确的结论为( )图K－26－6A．①② B．②③C．①②③ D．①③二、填空题8．比拟三角函数值的大小：cos40°________cos50°(填“＞〞“＜〞或“＝〞).链接听课例2归纳总结9．2021·龙岩如图K－26－7，假设点A的坐标为(1，3)，那么sin∠1＝________．10．α是锐角，sinα＝a＋2，那么a的取值范围是________．图K－26－711．如图K－26－8，直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1.如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，那么sinα＝________.图K－26－812．利用计算器求以下三角函数的值：(1)sin39°≈______(准确到0.01)；(2)cos41°≈________(准确到0.001)；(3)sin38°24′≈________(准确到0.001).链接听课例3归纳总结13．方程x2－7x＋12＝0的两根分别为直角三角形的一个锐角所对应的直角边长和斜边长，那么这个角的正弦值为________．14．如图K－26－9，将矩形纸片ABCD(AD>DC)的一角沿着过点D的直线折叠，使点A 落在BC边上，落点为E，折痕交AB边于点F.假设BE＝1，EC＝2，那么sin∠EDC＝________；假设BE∶EC＝m∶n，那么sin∠EDC＝________(用含有m，n的代数式表示)．图K－26－915．等腰三角形的两边长分别为5和8，那么其底角的余弦值为________．三、解答题16．根据图K－26－10中所给出的条件，求∠A，∠B的正弦值和余弦值.链接听课例1归纳总结图K－26－1017．：如图K－26－11，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA＝4，OA＝3，求cos∠APO的值．图K －26－1118．如图K －26－12，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D ＝90°.假设AD ＝8，BC ＝10，求cos C 的值．图K －26－1219．如图K －26－13，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在BC 上，AD ＝BC ＝5，cos ∠ADC ＝35，求sin B 的值．图K －26－13类比思想通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图K －26－14①，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sad A ，这时sad A ＝BC AB.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解答以下问题：(1)sad60°＝________；(2)对于0°<∠A <180°，∠A 的正对值sad A 的取值范围是________； (3)如图②，sin A ＝35，其中∠A 为锐角，试求sad A 的值．图K －26－14 详解详析[课堂达标]1．[解析] A 利用锐角三角函数的概念，得sin A ＝BC AB ＝513.2．[解析] C 在Rt △ABC 中，∵AB ＝5，BC ＝3，∴cos B ＝BC AB ＝35.应选C .3．[解析] A 在Rt △ABC 中，∵AB ＝10，AC ＝8， ∴BC ＝AB 2－AC 2＝102－82＝6，∴sin A ＝BC AB ＝610＝35，应选A . 4．C 5.B6．[解析] A 在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°， ∴cos A ＝ACAB .∵CD 是斜边AB 上的高，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°， ∴cos A ＝ADAC ，∠B ＋∠DCB ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠B ＝90°， ∴∠A ＝∠DCB ，∴cos A ＝cos ∠DCB ＝CDCB .∴cos A ＝AC AB ＝AD AC ＝CDCB.应选A .7．[解析] D 如图，设AD 与⊙O 交于点E ，连接BE.根据圆周角定理，可得∠C ＝∠AEB. ∵∠AEB ＝∠D ＋∠DBE ， ∴∠AEB ＞∠D ， ∴∠C ＞∠D.根据锐角三角函数的增减性，可得sin C ＞sin D ，故①正确； cos C ＜cos D ，故②错误； tan C ＞tan D ，故③正确．应选D .8．[答案] ＞[解析] 锐角的余弦值是随着角度的增大而减小的．9．[答案]32[解析] 如图，由勾股定理，得OA ＝OB 2＋AB 2＝2，所以sin ∠1＝AB OA ＝32.10．－2<a<－111．[答案]55[解析] 如图，过点D 作EF ⊥l 1于点E ，与l 4交于点F.∵l 1∥l 4，∴EF ⊥l 4. 可以证明△ADE ≌△DCF ， ∴AE ＝DF ＝2，∴AD ＝5，sin α＝DE AD ＝55.12．[答案[解析] 按用计算器计算三角函数的程序按键，再按要求取近似值． 13．[答案] 34[解析] 此题将方程与三角函数结合起来考察，同时还考察了三角形的有关性质，这需要在解决问题时多方位、多角度考虑问题．在一个三角形中大边对大角，小边对小角．14．[答案] 23 nm ＋n[解析] 因为BE ＝1，EC ＝2，由折叠的性质可知DE ＝AD ＝BC ＝1＋2＝3，所以sin ∠EDC ＝EC DE ＝23.因为BE ∶EC ＝m ∶n ，所以EC ∶BC ＝n ∶(m ＋n)，所以sin ∠EDC ＝EC DE ＝EC BC ＝nm ＋n.15．[答案] 45或516[解析] (1)如图①，当等腰三角形ABC 的腰长为5，底边长为8时，作底边BC 上的高AD ，那么BD ＝CD ＝4.在Rt △ADB 中，cos B ＝BD AB ＝45.图①(2)如图②，当等腰三角形的腰长为8，底边长为5时，作底边BC 上的高AD ，那么BD ＝CD ＝52.在Rt △ABD 中，cos B ＝BD AB ＝528＝516.图②16．解：(1)sin A ＝3 1010，cos A ＝1010，sin B ＝1010，cos B ＝3 1010.(2) sin A ＝34，cos A ＝74，sin B ＝74，cos B ＝34.17．[解析] 根据切线的性质，知△OAP 是直角三角形，由勾股定理就可以求出OP ＝5，那么可以求得cos ∠APO 的值．解：∵PA 为⊙O 的切线，A 为切点，∴OA ⊥AP. 又∵PA ＝4，OA ＝3，∴OP ＝5，∴cos ∠APO ＝45.18．[解析] 过点B 作BE ⊥CD 于点E ，在Rt △BEC 中，利用勾股定理求出CE 的长，进而根据三角函数的定义求解．解：如图，过点B 作BE ⊥CD 于点E.在Rt △BEC 中，BE ＝AD ＝8，BC ＝10， ∴CE ＝6，∴cos C ＝CE BC ＝35.19．[解析] 先由AD ＝BC ＝5，cos ∠ADC 及勾股定理求出AC 及AB 的长，再由锐角三角函数的定义即可求解．解：∵AD ＝BC ＝5，cos ∠ADC ＝35，∴CD ＝3.在Rt △ACD 中，∵AD ＝5，CD ＝3， ∴AC ＝AD 2－CD 2＝52－32＝4. 在Rt △ABC 中， ∵AC ＝4，BC ＝5，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝42＋52＝41， ∴sin B ＝AC AB ＝441＝4 4141.[素养提升][解析] (1)将60°角放在等腰三角形中，底和腰相等，故sad 60°＝1. (2)在题图①中设想AB ＝AC 的长固定，并固定AB 让AC 绕点A 旋转，当∠A 接近0°时，BC 接近0，那么sad A 接近0但永远不会等于0，故sad A>0；当∠A 接近180°时，BC 接近2AB ，那么sad A 接近2但小于2，故sad A<2.(3)将∠A 放到等腰三角形中，下面的解答是一种方法，另一种方法是在AB 上截取AE ＝AC ，连接CE ，设法求出CE ，可作EF ⊥AC 于点F ，在△AEF 中求EF ，AF ，得CF ，进而可求CE.解：(1)1 (2)0<sad A<2(3)设AB ＝5a ，BC ＝3a ，那么AC ＝4a.如图，在AC 的延长线上取点D ，使AD ＝AB ＝5a ，连接BD ，那么CD ＝a ，∴BD ＝CD 2＋BC 2＝a 2＋〔3a 〕2＝10a ， ∴sad A ＝BD AD ＝105.[点评] 此题属于新定义题型，一定要抓住新定义的本质(等腰三角形)，3个小题的解答都是要充分利用等腰三角形(没有时要构造)进展解答，同时还要利用运动变化的思想进展思考，第(2)小题实际上是让∠A 从0°变到180°，观察变化过程中底边与腰之间的关系有何变化．。

苏科版数学九年级下册7.2《正弦、余弦》同步练习.doc

宜兴外国语校初三年级数导提纲课题：72正弦、余弦设计人：吴静飞审核人：初三数组姓名：班级：评价课前参与一、探索新知：1、问题1：如图，小明沿着某斜坡向上行走了13后，他的相对位置升高了5，如果他沿着该斜坡行走了20，那么他的相对位置升高了多少？行走了a 呢？2、问题2：在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多远？3、探索活动（1）思考：从上面的两个问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________；它的邻边与斜边的比值___________。

（2）正弦的定义如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边a与斜边c的比叫做∠A的______，记作________，即：sinA＝________=________（3）余弦的定义如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,我们把锐角∠A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的______，记作=_________，即：cosA=______=_____。

（你能写出∠B的正弦、余弦的表达式吗？）试试看 ____________________________4、利用计算器我们可以更快、更精确地求得各个锐角的正弦值和余弦值。

从sin15°= ，sin30°= ，sin75°= 的值，你们得到什么结论？从cos15°= ，cos30°= ，cos75°= 的值，你们得到什么结论？当锐角α越来越大时，它的正弦值是怎样变化的？余弦值又是怎样变化的？5、锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的__________。

二、牛刀小试根据如图中条件，分别求出下列直角三角形中锐角．．的正弦、余弦值。

课中参与例1 如图，在Rt⊿ABC中,∠C=90°，AC=24，BC=7求 sinA、cosA、sinB 、cosB，的值。

A B C 7例2、在Rt△ABC 中，∠C＝90°，已知cosA ＝53，请你求出sinA 、cosB 、tanA 、tanB 的值例3、小明正在放风筝，风筝线与水平线成35°角时，小明的手离地面1，若把放出的风筝线看成一条线段，长95，求风筝此时的高度。

苏科版九年级数学下册第7章 7.2 《正弦、余弦》同步测试题

�� ⋅ ��
A. ��
C.�� ⋅ �� ⋅ ��
�� ⋅ ��
3|
2
+
|1
‒
��|．
23.
如图，在��
△
��中，∠��
=
90
∘
，��
=
6，��
=
4
3，求��，��的值．
7.2 《正弦、余弦》同步测试题
（满分 120 分；时间：120 分钟）
真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！
题号
一
二
三
总分
得分
一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计 30 分，）
1. 在�� △ ��中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角��的正切值（）
19. 5��2(90 ∘ ‒ ��) + 5��2�� = ________． 20. 在 △ ��中，∠��＝90 ∘ ，��是斜边��上的中线，��＝4，��＝6，则��的值是________．三、解答题（本题共计 6 小题，共计 60 分，）

课课练九年级数学下册 7.2.2 正弦、余弦测试题(2)(p.

s i n２α＋c o s２α＝１．第２课时㊀正弦㊁余弦(２)㊀１．能够根据直角三角形的边角关系进行计算．２．能用三角函数的知识根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角．㊀开心预习梳理,轻松搞定基础.１．(１)在R tәA B C中,øA㊁øB㊁øC对应的边分别记为a,b,c,øC＝９０ʎ,分别写出øA㊁øB的三角函数关系式:s i n A＝㊀㊀㊀㊀,c o s A＝㊀㊀㊀㊀,t a n A＝㊀㊀㊀㊀,s i n B ＝㊀㊀㊀㊀,c o s B＝㊀㊀㊀㊀,t a n B＝㊀㊀㊀㊀;(２)比较第(１)小题中,s i n A与c o s B,c o s A与s i n B,t a n A与t a n B的表达式,你有什么发现?㊀重难疑点,一网打尽.２．(１)在R tәA B C中,øC＝９０ʎ,B C＝６,A C＝８,则s i n A＝㊀㊀㊀㊀,c o s A＝㊀㊀㊀㊀, t a n A＝㊀㊀㊀㊀;(２)在R tәA B C中,øC＝９０ʎ,B C＝２,A C＝４,则s i n B＝㊀㊀㊀㊀,c o s B＝㊀㊀㊀㊀, t a n B＝㊀㊀㊀㊀;(３)在R tәA B C中,øB＝９０ʎ,A C＝２B C,则s i n C＝㊀㊀㊀㊀．３．在R tәA B C中,øC＝９０ʎ,已知c o s A＝１２１３,求s i n A㊁c o s B㊁t a n A㊁t a n B的值．４．如图,E是矩形A B C D中边C D上一点,әB C E沿B E折叠为әB F E,点F落在A D上．(１)求证:әA B FʐәD F E;(２)若s i nøD F E＝１３,求t a nøE B C的值．(第４题)九年级数学(下)㊀源于教材,宽于教材,举一反三显身手.５．在R t әA B C 中,øC ＝９０ʎ,s i n A ＝４５,则c o s B 的值等于(㊀㊀)．A．３５B ．４５C ．３４D．５５６．在R t әA B C 中,øC ＝９０ʎ,AM 是边B C 上的中线,s i n øC AM ＝３５,则t a n øB 的值为㊀㊀㊀㊀．７．在әA B C 中,øC ＝９０ʎ,c o s B ＝１２１３,A C ＝１０,求әA B C 的周长和斜边A B 上的高．８．工人师傅沿着一块斜靠在车厢后部的木板往汽车上推一个油桶(如图)．已知木板长为４m ,车厢到地面的距离为１．４m ．(１)你能求出木板与地面的夹角吗?(２)请你求出油桶从地面到刚刚到达车厢时移动的水平距离．(精确到０．１m ,参考数据:s i n ２０．５ʎʈ０．３５００,c o s ２０．５ʎʈ０．９３６７,t a n ２０．５ʎʈ０．３７３９)(第８题)㊀瞧,中考曾经这么考!９．(２０１２四川乐山)如图,在R t әA B C 中,øC ＝９０ʎ,A B ＝２B C ,则s i n B 的值为(㊀㊀)．A．１２B ．２２C ．３２D．１(第９题)㊀㊀㊀㊀(第１０题)１０．(２０１２浙江宁波)如图,在R t әA B C 中,øC ＝９０ʎ,A B ＝６,c o s B ＝２３,则B C 的长为(㊀㊀)．A．４B ．２５C ．１８１３１３D．１２１３１３第２课时１．(１)a c㊀b c㊀a b㊀b c㊀a c㊀b a(２)s i n A＝c o s B㊀c o s A＝s i n B㊀t a n A＝１t a n B ２．(１)３５㊀４５㊀３４㊀(２)２５５㊀５５㊀２㊀(３)３２３．在R tәA B C中,c o s A＝A C A B＝１２１３,设A C＝１２k,A B＝１３k,则B C＝５k．则s i n A＝５１３,c o s B＝５１３,t a n A＝５１２,t a n B＝１２５．４．(１)ȵ㊀四边形A B C D是矩形,ʑ㊀øA＝øD＝øC＝９０ʎ．ȵ㊀әB C E沿B E折叠为әB F E,ʑ㊀øB F E＝øC＝９０ʎ．ʑ㊀øA F B＋øD F E＝１８０ʎ－øB F E＝９０ʎ．又㊀øA F B＋øA B F＝９０ʎ,ʑ㊀øA B F＝øD F E．ʑ㊀әA B FʐәD F E．(２)在R tәD E F中,s i nøD F E＝D E E F＝１３,设D E＝a,E F＝３a,D F＝E F２－D E２＝２２a．ȵ㊀әB C E沿B E折叠为әB F E,ʑ㊀C E＝E F＝３a,C D＝D E＋C E＝４a,A B＝４a,øE B C＝øE B F．又由(１)知әA B FʐәD F E,ʑ㊀F E B F＝D F A B＝２２a４a＝２２．ʑ㊀t a nøE B F＝F E B F＝２２．ʑ㊀t a nøE B C＝t a nøE B F＝２２．５．B㊀６．２３７．周长为６０,斜边A B上的高为１２０１３．８．(１)设夹角为α,则s i nα＝１．４４＝０．３５．ʑ㊀αʈ２０．５ʎ．(２)设水平距离为x m．ʑ㊀c o s２０．５ʎ＝x４,即xʈ３．７m．９．C㊀１０．A。

九年级数学下册第7章锐角三角函数7.4由三角函数值求锐角同步练习(新版)苏科版

由三角函数值求锐角]一、选择题1．α是锐角，cos α＝32，那么α等于链接听课例1归纳总结( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 2．利用计算器求锐角A 上显示的结果是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°3．如果锐角α的正弦值为33，那么以下结论中正确的选项是( ) A ．α＝30° B ．α＝45°C ．30°＜α＜45°D ．45°＜α＜60° 4．在△ABC 中，假设锐角∠A ，∠B 满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos A －32＋(1－tan B )2＝0，那么∠C 的大小是( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．105°5．如图K －29－1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC .假设BD ＝4，CD ＝1，那么∠B 的度数是(准确到°)( )图K －29－1A ．°B ．°C ．°D ．°二、填空题6．如果△ABC中，锐角∠A，∠B满足sin A＝cos B＝22，那么△ABC是____________________．7．α是锐角，假设2cosα＝1，那么α＝__________°；假设tan(α＋15°)＝1，那么tanα＝__________．8．根据以下三角函数值，求锐角α的大小(准确到°)：(1)假设sinα＝，那么α≈____________；(2)假设cosα＝，那么α≈____________；(3)假设tanα＝3，那么α≈____________.链接听课例1归纳总结9．如图K－29－2，有一滑梯AB，其水平宽度AC为米，铅直高度BC为米，那么∠A的度数为________(用科学计算器计算，结果准确到°)．图K－29－210．如图K－29－3，将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半(木条宽度忽略不计)，那么这个平行四边形的一个最小内角为________度．图K－29－3三、解答题11．如图K－29－4，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠BDC＝45°，BD＝10 2，AB＝20.求∠A的度数．图K－29－412．在△ABC中，AB＝4，BC＝6，△ABC的面积为 6 3，求∠ABC的度数.链接听课例2归纳总结建模思想如图K－29－5，在海岸边有一港口O，小岛A在港口O的北偏东30°方向上，小岛B在小岛A的正南方向上，OA＝60海里，OB＝20 3海里．(1)求港口O到直线AB的距离；(2)小岛B在港口O的什么方向上？图K－29－5详解详析[课堂达标]1．[解析] A ∵cos 30°＝32， ∴α＝30°，应选A . 2．C3．[解析] C 由12＜33＜22，得30°＜α＜45°，应选C .4．[解析] D 由题意得cos A ＝32，tan B ＝1，∴∠A ＝30°，∠B ＝45°， ∴∠C ＝180°－30°－45°＝105°.应选D . 5．C6．[答案] 等腰直角三角形[解析] ∵∠A ，∠B 是锐角，sin A ＝cos B ＝22，∴∠A ＝∠B ＝45°，∴△ABC 是等腰直角三角形．7．[答案] 6033[解析] ∵α是锐角，且2cos α＝1，∴cos α＝12，∴α＝60°.∵tan (α＋15°)＝1，∴α＋15°＝45°， ∴α＝30°， ∴tan α＝tan 30°＝33. 8．[答案° ° °[解析] 此题中的三角函数均为非特殊值，故要借助计算器进展求解，并按要求取近似值．9．[答案°[解析] ∵tan A ＝BC AC ＝2.85.3≈，∴∠A ≈°. 10．[答案] 30[解析] 作▱ABCD 中BC 边上的高AE ，那么由题意可知：AB ＝2AE. 在Rt △ABE 中，sin B ＝AE AB ＝12，∴∠B ＝30°.11．解：在Rt △BDC 中，因为sin ∠BDC ＝BCBD ，所以BC ＝BD·sin ∠BDC ＝10 2×sin 45°＝10 2×22＝10.在Rt △ABC 中，因为sin A ＝BC AB ＝1020＝12，所以∠A ＝30°.12．解：当∠ABC 为锐角时，如图①，过点A 作AD ⊥BC 于点D. ∵BC ＝6，△ABC 的面积为6 3， ∴AD ＝2 3， ∴sin ∠ABC ＝AD AB ＝32，∴∠ABC ＝60°.当∠ABC 为钝角时，如图②，过点A 作AD ⊥BC 交CB 的延长线于点D. ∵BC ＝6，△ABC 的面积为6 3， ∴AD ＝2 3， ∴sin ∠ABD ＝AD AB ＝32，∴∠ABD ＝60°， ∴∠ABC ＝120°.综上，∠ABC 的度数为60°或120°. [素养提升]解：(1)如图，过点O 作OC ⊥AB 交AB 的延长线于点C ，那么OC 的长就是所求的距离．在Rt △AOC 中，∠A ＝30°，OA ＝60海里， ∴OC ＝OA·sin 30°＝30海里，即港口O 到直线AB 的距离是30海里． (2)在Rt △OBC 中，∵OB ＝20 3海里，OC ＝30海里， ∴sin ∠OBC ＝OC OB ＝32，∴∠OBC ＝60°.∴小岛B 在港口O 的北偏东60°方向上．。

九年级数学下册第7章锐角三角函数 7.2 正弦、余弦 7.2.2 正弦、余弦值的求法同步练习2 (新版)苏科版

第7章锐角三角函数7.2 第2课时正弦、余弦值的求法知识点 1 正弦、余弦值的求法1．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AB ＝5，那么sin A 的值是( ) A.35 B.34 C.45 D.43图7－2－132．2018·衢州如图7－2－13所示，AB 是圆锥的母线，BC 为底面直径，已知BC ＝6 cm ，圆锥的侧面积为15π cm 2，则sin ∠ABC 的值为( )A.34B.35C.45D.533．2017·常州模拟已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan B ＝43，则cos A ＝________．4．如图7－2－14，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AB ＝13，求∠A 的三个三角函数值．图7－2－145．如图7－2－15，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝12，求∠B 的正弦值与余弦值．图7－2－15知识点 2 用正弦、余弦求边长6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， sin A ＝35，BC ＝6，则AB 的长为( )A ．4B ．6C ．8D ．107．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，下列式子一定成立的是( )A ．a ＝c ·sinB B ．a ＝c ·cos BC ．a ＝c ·tan BD ．a ＝ccos B8．如图7－2－16，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D .若AC ＝6 2，∠C ＝45°， tan B ＝3，则BD 等于( )A ．2B ．3C ．3 2D ．2 39．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， cos A ＝13，AC ＝2，那么BC ＝________．7－2－167－2－1710．2017·宁波如图7－2－17，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A 滑行至B ，已知AB ＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了________米．(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)11．如图7－2－18，在△ABC 中，CD ⊥AB, sin A ＝45，AB ＝13，CD ＝12，求BD 的长．图7－2－1812．如图7－2－19，长为5 m 的梯子MN 以倾斜角62°架在墙上，求梯子的底端N 到墙的距离NP .(参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47)图7－2－1913．如图7－2－20所示，在平面直角坐标系中，P (3，m )是第一象限内的点，且OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切值为43，则sin α的值为( )A.45B.54C.35D.537－2－207－2－2114．2018·宁波如图7－2－21，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠B 是锐角，AE ⊥BC 于点E ，M 是AB 的中点．连接MD ，ME ，若∠EMD ＝90°，则cos B 的值为________．图7－2－2215．2017·海南如图7－2－22，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5，点E 在DC 上，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的点F 处，那么cos ∠EFC 的值是________．16．如图7－2－23，在正方形ABCD 中，M 是AD 的中点，BE ＝3AE ，试求sin ∠ECM 的值．图7－2－2317．如图7－2－24，在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，sin B ＝45，AC ＝8，D 为线段BC上一点，且CD ＝2.(1)求BD 的长； (2)求cos ∠DAC 的值．图7－2－2418．如图7－2－25，在△ABC 中，AD 是边BC 上的高，E 为边AC 的中点，BC ＝14，AD ＝12，sin B ＝45.求：(1)线段DC 的长；(2)tan∠EDC的值；(3)sin∠BAC的值．图7－2－25第7章锐角三角函数7.2 第2课时正弦、余弦值的求法1．A2．C [解析] ∵圆锥的侧面积为15π cm 2，则母线长l ＝2×15π÷6π＝5(cm)，利用勾股定理可得OA ＝4 cm ，故sin ∠ABC ＝45，故选C.3.45 [解析] 如图，由tan B ＝43，设AC ＝4k ，BC ＝3k ，由勾股定理，得AB ＝5k ，则cos A ＝AC AB ＝4k 5k ＝45. 4．解：在Rt △ABC 中，∵BC ＝5，AB ＝13， ∴AC ＝12，∴sin A ＝513，cos A ＝1213，tan A ＝512.5．[解析] 根据勾股定理与锐角三角函数的定义求解即可．解：由tan A ＝12，可设BC ＝k ，则AC ＝2k ，AB ＝5k ，所以sin B ＝AC AB ＝2 55，cos B ＝BCAB ＝55. 6．D7．B [解析] sin B ＝bc ，则选项A 错误；cos B ＝a c ，则选项B 正确；tan B ＝b a，则选项C 错误；cos B ＝a c，则选项D 错误．故选B.8．A [解析] ∵AC ＝6 2，∠C ＝45°，∴AD ＝AC · sin45°＝6. ∵tan B ＝3，∴AD BD＝3，∴BD ＝AD3＝2.9．4 210．280 [解析] 在Rt △ABC 中，AB ＝500米，∠B ＝34°，sin B ＝ACAB，∴AC ＝AB ·sin34°≈500×0.56＝280(米)，即这名滑雪运动员的高度下降了280米．11．解：∵CD ⊥AB ，∴∠CDA ＝90°.∵sin A ＝CD AC ＝45，CD ＝12，∴AC ＝15，∴AD ＝AC 2－CD 2＝9， ∴BD ＝AB －AD ＝4.12．解：由题意知，cos62°＝NP MN，则NP ＝MN ·cos62°＝5·cos62°≈2.35(m)．13．A [解析] 如图，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，则可得OE ＝3，PE ＝m ，在Rt △POE中，tan α＝PE OE ＝m 3＝43，所以m ＝4，则OP ＝5，故sin α＝45.14.3－12[解析] 延长EM ，交DA 的延长线于点G ，连接ED .∵M 是AB 的中点， ∴AM ＝BM .又∵四边形ABCD 是菱形，∴GD ∥BC ，∴∠GAB ＝∠ABC . 又∵∠AMG ＝∠BME ， ∴△AMG ≌△BME (ASA)， ∴GM ＝EM ，AG ＝BE . 又∵MD ⊥GE ，∴DG ＝DE . 设BE ＝x ，则DE ＝x ＋2. 在Rt △ABE 中，AE 2＝AB 2－BE 2，在Rt △ADE 中，AE 2＝DE 2－AD 2，∴AB 2－BE 2＝DE 2－AD 2，即22－x 2＝(x ＋2)2－22，解得x ＝3－1(负值已舍去)．在Rt △ABE 中，cos B ＝BE AB ＝3－12. 15.35[解析] 由翻折的性质可得AF ＝AD ＝5，∠AFE ＝∠D ＝90°，∴∠EFC ＋∠AFB ＝90°.又∵∠BAF ＋∠AFB ＝90°，∴∠EFC ＝∠BAF ，∴cos ∠EFC ＝cos ∠BAF ＝AB AF ＝35.16．解：设AE ＝x ，则BE ＝3x ，BC ＝4x ，AM ＝MD ＝2x ，CD ＝4x ， ∴CE ＝（3x ）2＋（4x ）2＝5x ，EM ＝x 2＋（2x ）2＝5x ，CM ＝（2x ）2＋（4x ）2＝2 5x .∵EM 2＋CM 2＝(5x )2＋(2 5x )2＝25x 2＝(5x )2＝CE 2，∴△CEM 是直角三角形， ∴sin ∠ECM ＝EM CE ＝55. 17．解：(1)在Rt △ABC 中，∵sin B ＝AC AB ＝45，AC ＝8，∴AB ＝10，∴BC ＝AB 2－AC 2＝6.∵CD ＝2，∴BD ＝BC －CD ＝6－2＝4.(2)在Rt △ACD 中，∵AD ＝AC 2＋CD 2＝2 17， ∴cos ∠DAC ＝AC AD ＝41717.18．解：(1)∵sin B ＝45，∴AD AB ＝45.∵AD ＝12，∴AB ＝15.在Rt △ABD 中，由勾股定理，得BD ＝AB 2－AD 2＝152－122＝9. ∵BC ＝14，∴DC ＝BC －BD ＝14－9＝5.(2)∵E 为边AC 的中点，AD 是边BC 上的高，∴AE ＝EC ＝DE (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)， ∴∠EDC ＝∠ECD ，∴tan ∠EDC ＝tan ∠ECD ＝AD DC ＝125. (3)如图，过点C 作CF ⊥AB . ∵S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×14×12＝84，∴12AB ·CF ＝84， ∴CF ＝565.在Rt △ADC 中，由勾股定理得AC ＝13，∴sin ∠BAC ＝CF AC ＝5665.。

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第7章锐角三角函数7.2 第1课时正弦、余弦知识点 1 正弦、余弦的定义1．如图7－2－1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，求sin A ，cos A 的值．图7－2－1解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6， ∴AB ＝________． ∵∠A 的对边是________， ∠A 的邻边是________，斜边是________，∴sin A ＝（）（）＝________，cos A ＝（）（）＝________．2．如图7－2－2，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cos B 的值是( ) A.34 B.43 C.35 D.457－2－27－2－33．2017·怀化如图7－2－3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3，4)，那么sinα的值是( )A.35B.34C.45D.434．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，CD ＝4，AC ＝6，则sin B 的值是________．5．如图7－2－4，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，求sin A 和sin B 的值．图7－2－46．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1 cm ，BC ＝2 cm ，求sin A 和sin B 的值．7．如图7－2－5，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D .若AB ＝12，CD ＝6，tan A ＝32，求sin B＋cos B 的值．图7－2－5知识点 2 正弦值和余弦值的增减性8．若0°＜α＜90°，则下列说法不正确的是( )A．sinα的值随α的增大而增大B．cosα的值随α的增大而减小C．tanα的值随α的增大而增大D．sinα，cosα，tanα的值都随α的增大而增大9．比较大小：(1)sin20°________sin21°；(2)cos20°________cos21°.知识点 3 用计算器求正弦值和余弦值10．用计算器求下列各值(精确到0.01)：(1)sin24°≈________；(2)sin68.25°≈________；(3)cos54°≈________；(4)cos38°36′≈________．图7－2－611．2018·丽水如图7－2－6，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AB与AD的长度之比为( )A.tan αtan β B.sin βsin α C.sin αsin β D.cos βcos α图7－2－712．如图7－2－7，△ABC 的顶点都是小正方形组成的网格中的格点，则cos ∠ABC 等于( )A.55 B.2 55C. 5D.2313．如图7－2－8所示，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，若⊙O 的半径为32，AC ＝2，则sin B 的值是( )A.23B.32C.34D.4314．已知抛物线y ＝x 2－2x －3上有三点A (cos10°，m )，B (cos20°，n )，C (cos40°，p )，则m ，n ，p 的大小关系为________．(用“＜”连接)7－2－87－2－915．2017·贵港如图7－2－9，点P 在等边三角形ABC 的内部，且PC ＝6，PA ＝8，PB ＝10，将线段PC 绕点C 顺时针旋转60°得到P ′C ，连接AP ′，则sin ∠PAP ′的值为________．16．2017·上海如图7－2－10，一座钢结构桥梁的框架是△ABC ，水平横梁BC 长18米，中柱AD 高6米，其中D 是BC 的中点，且AD ⊥BC .(1)求sin B 的值；(2)现需要加装支架DE ，EF ，其中点E 在AB 上，BE ＝2AE ，且EF ⊥BC ，垂足为F ，求支架DE 的长．图7－2－1017．如图7－2－11所示，在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为(10，0)，点B 在第一象限内，BO ＝5，sin ∠BOA ＝35，求cos ∠BAO 的值．图7－2－1118．2017·黔西南州把(sin α)2记作sin 2α，根据图①和图②完成下列各题． (1)sin 2A 1＋cos 2A 1＝________，sin 2A 2＋cos 2A 2＝________，sin 2A 3＋cos 2A 3＝________； (2)观察上述等式猜想：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，总有sin 2A ＋cos 2A ＝________； (3)如图②，在Rt △ABC 中证明(2)题中的猜想；(4)已知在△ABC 中，∠A ＋∠B ＝90°，且sin A ＝1213，求cos A 的值．图7－2－12第7章锐角三角函数 7.2 第1课时正弦、余弦1．10 BC AC AB BC AB 35 AC AB 452．C [解析] cos B ＝BC AB ＝35.3．C [解析] 过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，如图，先利用勾股定理计算出OA ＝5，然后在Rt △AOB 中利用正弦的定义得出sin α＝AB OA ＝45.4.345．解：(1)∵AC ＝5，BC ＝3， ∴AB ＝34，∴sin A ＝BC AB＝334＝33434，sin B ＝ACAB＝534＝53434.(2)∵AC ＝1，AB ＝5，∴BC ＝2，∴sin A ＝BCAB＝25＝2 55，sin B ＝ACAB＝15＝55.6．解：由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝ 5 cm ， ∴sin A ＝BC AB ＝2 55，sin B ＝AC AB ＝55.7．解：在Rt △ACD 中，CD ＝6，tan A ＝32，∴AD ＝4，∴BD ＝AB －AD ＝8. 在Rt △BCD 中，BC ＝82＋62＝10，∴sin B ＝CD BC ＝35，cos B ＝BD BC ＝45，∴sin B ＋cos B ＝75.8．D [解析] 由三角函数值的变化规律，可知选项D 的说法不正确．9．(1)< (2)> [解析] 可以用计算器求解，也可以根据正弦值、余弦值的变化规律解题．[点评] 同名函数比较大小有以下两种方法：方法一，用计算器求出它们的函数值进行比较；方法二，根据锐角三角函数的变化情况进行比较．若0°＜α＜90°，0°＜β＜90°，则当α＞β时，sin α＞sin β，cos α＜cos β；当α＝β时，sin α＝sin β，cos α＝cos β；当α＜β时，sin α＜sin β，cos α＞cos β.10．(1)0.41 (2)0.93 (3)0.59 (4)0.7811．B [解析] 由锐角三角函数的定义，得AB ＝AC sin α，AD ＝ACsin β，∴AB 与AD 的长度之比为sin βsin α，故选B.12．B 13.A14．m <n <p [解析] ∵抛物线y ＝x 2－2x －3的对称轴为直线x ＝1，cos40°＜cos20°＜cos10°＜1，∴m ＜n ＜p .15.35 [解析] 连接PP ′，∵线段PC 绕点C 顺时针旋转60°得到P ′C ，∴CP ＝CP ′＝6，∠PCP ′＝60°，∴△CPP ′为等边三角形，∴PP ′＝PC ＝6.∵△ABC 为等边三角形，∴CB ＝CA ，∠ACB ＝60°，∴∠PCB ＝∠P ′CA ，∴△PCB ≌△P ′CA ，∴PB ＝P ′A ＝10.∵62＋82＝102，∴PP ′2＋AP 2＝P ′A 2，∴△APP ′为直角三角形，且∠APP ′＝90°，∴sin ∠PAP ′＝PP ′P ′A ＝610＝35. 16．解：(1)在Rt △ABD 中，∵BD ＝DC ＝9米，AD ＝6米， ∴AB ＝BD 2＋AD 2＝92＋62＝3 13(米)，∴sin B ＝AD AB ＝6313＝21313.(2)∵EF ∥AD ，BE ＝2AE ， ∴EF AD ＝BF BD ＝BE BA ＝23，∴EF 6＝BF 9＝23， ∴EF ＝4(米)，BF ＝6(米)，∴DF ＝3米．在Rt △DEF 中，DE ＝EF 2＋DF 2＝42＋32＝5(米)．17．[解析] 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，由sin ∠BOA 的值求出BC 的长，在Rt △BOC 中，根据勾股定理求出OC 的长，进而求出AC 的长，在Rt △ABC 中，再由勾股定理求出AB 的长，最后根据锐角三角函数的定义求出cos ∠BAO 的值即可．解：过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ， ∵sin ∠BOA ＝35，BO ＝5，∴BC ＝3，由勾股定理得OC ＝4. ∵点A 的坐标为(10，0)， ∴OA ＝10，∴AC ＝6， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝3 5，∴cos ∠BAO ＝AC AB ＝2 55.18．解：(1)sin 2A 1＋cos 2A 1＝(12)2＋(32)2＝14＋34＝1，sin 2A 2＋cos 2A 2＝(12)2＋(12)2＝12＋12＝1，sin 2A 3＋cos 2A 3＝(35)2＋(45)2＝925＋1625＝1.故答案为1，1，1. (2)1(3)证明：∵sin A ＝ac ，cos A ＝b c，且a 2＋b 2＝c 2，∴sin 2A ＋cos 2A ＝(a c )2＋(b c )2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c2＝1，即sin 2A ＋cos 2A ＝1.(4)∵在△ABC 中，∠A ＋∠B ＝90°， ∴∠C ＝90°， ∴sin 2A ＋cos 2A ＝1，即(1213)2＋cos A 2＝1，解得cos A ＝513或cos A ＝－513(舍去)，∴cos A ＝513.。