第5节 概率加法定理
概率的加法公式
U ∑
∑
(
)
∑
(
)
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例1 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答 出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王 (1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率 解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题 (1) P( AB) = P( A) P( AB) = 0.7 0.1 = 0.6 (2) P( A∪ B) = P( A) + P(B) P( AB) = 0.8 (3) P( AB) = P( A∪ B) = 0.2
第一章 概率论的基本概念
11.3 概率的加法公式
P( AU B) = P( A) + P(B) P( AB) 。
A
B S
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第一章 概率论的基本概念
加法公式的推广
1) P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) P(AB) P(AC) P(BC) + P(ABC)
课后同学问： 例1 中小王他能答出第一类问题的概 率为0.7, 答出第二类问题的概率为0.2, 两 类问题都能答出的概率为0.1. 为什么不是 0.7×0.2 ？ 若是的话, 则应有 P( A A2 ) = P( A )P( A2 ) 我们上述等式成立的 条件是 ：事件 A , A2 相互独立. 1
2) 对任意 n 个事件 A1, A2 , L, An , 有 n n P( Ai ) P Ai = P Ai A j + P Ai A j Ak 1≤ i < j ≤ n 1≤ i < j < k ≤ n i =1 i =1 L + ( 1)n 1 P( A1 A2 L An )
概率加法法则
盒中有3个红球， 个白球，， ，，每次从盒中任取 例7 盒中有3个红球，2个白球，，每次从盒中任取 一只，观察其颜色后放回， 一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之 球颜色相同的球，若从盒中连续取球4 试求第1 球颜色相同的球，若从盒中连续取球4次,试求第1、 次取得白球且第3 次取得红球的概率。 2次取得白球且第3、4次取得红球的概率。 解：设Ai为第i次取球时取到白球，则 为第i次取球时取到白球，
1.4 条件概率
引例： 个产品中有60个一等品 个二等品， 引例：100个产品中有 个一等品，30个二等品， 个产品中有 个一等品， 个二等品 10个废品。规定一、二等品都是合格品考虑这批 个废品。 个废品 规定一、 产品的合格率与一二等品率之间的关系。 产品的合格率与一二等品率之间的关系。 分别为一、二等品， 为合格品则 为合格品则： 设A1、A2分别为一、二等品，B为合格品则： P(A1)=60/100 P(A2)=30/100 P(B)=90/100
P(B/A)=5%
P(B/A)=20%
例4： 全年级100名学生中，有男生（A）80 人，女生20人；来自北京的（B）有20人，其 中男生12人，女生8人；免修英语的（C）40 人中有32名男生，8名女生。 试写出下列事件的概率： P(A)= 80 100 =0.8 P(B)= 20 100 =0.2 P(B/A)= 12 80 =0.15 P(A/B)= 12 20 =0.6 P(AB)= 12 100 =0.12 P(C)= 40 100 =0.4 P(C/A)= 32 80=0.4 P(AC)= 32 100=0.32
作业 P27 19、20 、
P(B)=0.1
若从合格品中任取一件， 若从合格品中任取一件，取到一等品的概率为 60/90， ， 怎样区分这两个一等品率？ 怎样区分这两个一等品率？
概率加法公式
概率加法公式
概率加法公式是统计学中重要的概率公式，用于计算某事件发生的概率和。
它指的是一组独立事件中每个事件发生的概率和等于所有事件发生的概率之和。
概率加法公式也常称作概率和定理，也可以称作独立事件加法定理。
概率加法公式的数学形式为：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
其中P(A∪B)表示A和B事件发生的概率，P(A)表示A事件发生的概率，P(B)表示B事件发生的概率，P(A∩B)表示A和B事件同时发生的概率。
概率加法公式的核心思想是利用事件的独立性，计算出某个事件发生的概率。
如果某个事件和另一个事件独立，则两个事件发生的概率可以相加，而不必考虑两个事件之间的关联性。
概率加法公式用于计算某事件发生的概率，可以在多个不同的场景中应用。
例如，投掷两枚硬币，出现正反面概率各为50%，正反面同时出现的概率则为25%，可以用概率加法公式计算出投掷两枚硬币出现任意一面的概率，即P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=50%+50%-25%=75%。
概率加法公式也可用于计算多种可能性的概率和。
例如，计算投掷三枚硬币出现任意一面的概率，可以用概率加法公式计算出
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-
P(B∩C)+P(A∩B∩C)=50%+50%+50%-25%-25%-25%+12.5%=87.5%。
总之，概率加法公式是统计学中重要的概率公式，它可以用于计算某事件发生的概率和以及多种可能性的概率和，它的核心思想是利用事件的独立性，计算出某个事件发生的概率。
高中数学总结归纳 概率的一般加法公式
高考数学复习总结归纳点拨1 概率的一般加法公式我们知道，事件的关系、运算与集合的关系、运算十分类似，在它们之间可以建立一个对应关系.因此，可以从集合的观点来看待事件.比如不可能事件对应于空集∅；必然事件对应于全集U ；事件A 与B 之并对应于两个集合的并()A B U ；事件A 与B 之交对应于两个集合的交()A B I 等．这样，类比集合中的容斥原理：card()card()card()card()A B A B A B =+-U I ，可以得到概率加法公式的一般形式：()()()()P A B P A P B P A B =+-U I ．特别地，若事件A 与B 是互斥事件，则A B I 是不可能事件，有()0P A B =I ，这时()()()P A B P A P B =+U ，即是互斥事件的概率加法公式．利用上述公式，可以简化计算有关问题．例1 一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，求至少有一根熔断的概率．解析：设A =“甲熔丝熔断”，B =“乙熔丝熔断”，则“甲、乙两根熔丝中至少有一根熔断”为事件A B U ．所以()()()()P A B P A P B P A B =+-U I 0.850.740.630.96=+-=．例2 甲、乙两门高射炮同时向一敌机开炮，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.8，甲、乙同时击中敌机的概率为0.48，求敌机被击中的概率．解析：设A =“甲解出此题”，B =“乙解出此题”，则“两人至少有一人解出此题”为事件A B U ．所以()()()()0.60.60.360.84P A B P A P B P A B =+-=+-=U I ．故两人都解不出此题的概率为1()10.840.16P A B -=-=U ．。
概率的加法公式
在上面的例题中，若令 在上面的例题中，若令A=“小明考试及 小明考试及 小明考试不及格” 格”,则A=“小明考试不及格” 则 小明考试不及格 如果求小明考试不及格的概率， 如果求小明考试不及格的概率，则由公 式得 P(A)=1－P(A)=1－0.93=0.07. － － 即小明考试不及格的概率是0.07. 即小明考试不及格的概率是
解：（1）是互斥事件，不是对立事件； ：（ ）是互斥事件，不是对立事件； （2）既是互斥事件，又是对立事件； ）既是互斥事件，又是对立事件； （3）不是互斥事件，当然不可能是对立 ）不是互斥事件， 事件； 事件； 所以对立事件一定是互斥事件， 所以对立事件一定是互斥事件，而互 斥事件不一定是对立 分以上， 解： 分别记小明的成绩在 分以上，在 80~89分，在70~79分，在60~69分为事件 ， 分为事件B， 分 分 分为事件 C，D，E，这四个事件是彼此互斥的 ， ， ，这四个事件是彼此互斥的. 根据概率的加法公式， 根据概率的加法公式，小明的考试成 绩在80分以上的概率是 绩在 分以上的概率是 P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69. ∪ 小明考试及格的概率为 P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+ P(D)+P(E) ∪ ∪ ∪ = 0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.
解：（1）“取出红球或黑球”的概率为 ：（ ） 取出红球或黑球”
3 P(A∪B)=P(A)+P(B)= ； ∪ 4
（2）“取出红或黑或白球”的概率为 ） 取出红或黑或白球”
11 P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)= 。 ∪ ∪ 12
的对立事件为D， 又（2）A∪B∪C的对立事件为 ， ） ∪ ∪ 的对立事件为
概率的运算与应用知识点总结
概率的运算与应用知识点总结概率是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域。
本文将对概率的运算与应用进行知识点总结。
概率的运算主要包括概率的加法规则、乘法规则、全概率公式和贝叶斯公式。
在应用方面，概率可以用于解决生活中的实际问题，比如事件的发生概率、条件概率、独立事件等。
以下是对以上知识点的详细介绍。
一、概率的加法规则概率的加法规则是指当两个事件A和B互不相容（即两个事件不同时发生）时，它们的概率可以通过如下公式进行求和：P(A∪B) = P(A) + P(B)。
其中，P(A∪B)表示事件A和事件B至少有一个发生的概率。
例如，假设有一批产品，其中30%的产品属于A类，50%的产品属于B类。
那么，至少属于A类或者B类的产品的概率可以用加法规则进行计算，即P(A∪B) = P(A) + P(B) = 0.3 + 0.5 = 0.8。
二、概率的乘法规则概率的乘法规则是指当两个事件A和B相互独立时，它们同时发生的概率可以通过如下公式进行计算：P(A∩B) = P(A) × P(B)。
其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
举个例子，假设对于一批产品的检测，产品合格的概率是0.9，产品来自A类的概率是0.4，那么产品同时合格且来自A类的概率可以用乘法规则进行计算，即P(A∩B) = P(A) × P(B) = 0.9 × 0.4 = 0.36。
三、全概率公式全概率公式是指当事件B可以被划分为互不相容的事件B1、B2、B3...时，事件A的概率可以通过如下公式进行计算：P(A) = P(A∩B1) + P(A∩B2) + P(A∩B3) + ...。
其中，P(A∩Bi)表示事件A和事件Bi同时发生的概率。
举个例子，假设有三个工厂分别生产某种产品的比例是0.4、0.3和0.3，且每个工厂生产的产品合格的概率分别是0.9、0.8和0.7。
那么产品合格的概率可以用全概率公式进行计算，即P(A) = P(A∩B1) +P(A∩B2) + P(A∩B3) = 0.9 × 0.4 + 0.8 × 0.3 + 0.7 × 0.3 = 0.69。
概率加法定理
概率加法定理概率加法定理是概率论中的重要概念，它用于计算两个或多个事件概率之和的准确方法。
在实际生活中，我们经常会遇到需要计算事件发生概率的问题，例如赛马比赛中猜胜负的概率、购买彩票中中奖的概率等等。
了解概率加法定理可以帮助我们更好地理解和解决这些问题。
概率加法定理的主要思想是，如果两个事件A和B是互斥的（即两个事件不能同时发生），那么事件A或事件B发生的概率等于事件A 的概率加上事件B的概率。
换句话说，如果两个事件相互排斥，只有一个事件能够发生，那么同时发生的概率就是各自发生概率的总和。
例如，假设有一个袋子里装有5个红球和7个蓝球。
我们从袋子中抽出一球，关于抽到红球或者抽到蓝球的两个事件是互斥的。
事件A 表示抽到红球的概率，事件B表示抽到蓝球的概率。
根据概率加法定理，事件A或事件B发生的概率等于事件A的概率加上事件B的概率，即P(A或B) = P(A) + P(B)。
在这个例子中，P(A)表示抽到红球的概率，即5/12，P(B)表示抽到蓝球的概率，即7/12。
因此，P(A或B) = 5/12 + 7/12 = 1。
然而，并不是所有事件都是互斥的，有些事件是相互独立的。
当事件A和事件B不是互斥的时候，我们需要使用概率加法定理的推广形式，即P(A或B) = P(A) + P(B) - P(A和B)。
这个公式的意思是，我们需要考虑两个事件同时发生的概率，并将其从总概率中减去，以避免重复计数。
为了更好地理解概率加法定理的应用，我们再来看一个例子。
假设有一家旅行社推出了两个旅游线路A和B。
我们分别计算了选择线路A的概率为0.4，选择线路B的概率为0.3，而选择两条线路都去的概率为0.1。
根据概率加法定理的推广形式，我们可以计算出选择线路A 或线路B的概率为P(A或B) = P(A) + P(B) - P(A和B) = 0.4 + 0.3 - 0.1 = 0.6。
通过以上两个例子，我们可以看出概率加法定理的应用是非常广泛的。
高一数学人必修课件时概率的加法公式
拓展延伸：概率论在前沿科技领域应用展望
人工智能与机器学习
概率论在人工智能和机器学习领域有着广泛 的应用。例如，在贝叶斯分类器、隐马尔可 夫模型、深度学习等算法中，都需要用到概 率论的知识来进行建模和推理。
量子计算与量子信息
在量子计算与量子信息领域，概率论也扮演 着重要的角色。例如，在量子纠缠、量子通 信、量子密码等研究中，都需要用到概率论 的知识来描述和分析量子系统的行为和性质 。
02
复杂事件的概率计算
对于复杂的事件，可以通过将其拆分为简单事件的并集或交集来进行概
率计算。在计算过程中，需要注意各个简单事件之间的独立性或相关性
。
03
实际问题中的概率计算
在实际问题中，需要根据问题的具体背景和条件来确定事件的概率。有
些问题可能需要借助其他数学知识或工具来进行计算，如排列组合、微
积分等。
生物遗传学基因型频率推算
在群体遗传学中，利用概率加法 公式计算不同基因型在群体中的 频率分布，以研究基因的遗传规
律和进化过程。
在生物统计学中，通过概率加法 公式分析生物实验数据的变异和 分布规律，进而评估实验结果的
可靠性和显著性。
在医学诊断和预防中，概率加法 公式可用于推算某种遗传病在人 群中的发病率和遗传风险，为医
化学反应发生可能性评估
在化学反应动力学中，利用概率加法 公式计算反应物分子间发生有效碰撞 的概率，以评估化学反应的速率和机 理。
在药物设计和合成中，概率加法公式 可用于评估不同分子结构间发生化学 反应的可能性，指导新药物的研发和 优化。
在化学热力学中，通过概率加法公式 分析反应体系的能量分布和状态变化 ，进而预测化学反应的方向和限度。
高一数学人必修课件时概 率的加法公式
概率问题中的加法原理
概率问题中的加法原理概率是数学中非常重要的一个概念，在各种实际问题中都有广泛的应用。
在概率问题中，加法原理（也称为并事件的概率）是一种非常有用的方法，用于计算同时满足多个条件的概率。
加法原理可以简单地表述为“或事件的概率”，即对于两个事件A和B，它们的总概率等于它们各自的概率之和减去它们的交集的概率。
在概率问题中，加法原理常常用于求解多种可能性中至少满足其中一种的概率。
举个简单的例子来说明加法原理的应用。
假设有一个装有红球和蓝球的袋子，其中红球有5个，蓝球有3个。
现在从袋子中随机取出一个球，问取出的球是红球或者蓝球的概率是多少？首先，我们需要确定红球和蓝球的概率。
红球的概率为5/8，蓝球的概率为3/8。
根据加法原理，取出的球是红球或者蓝球的概率等于红球的概率加上蓝球的概率，即5/8 + 3/8 = 1。
再举一个稍复杂一点的例子。
假设一批零件有10%的次品率，现从中随机抽取5个零件进行检测，问其中至少有一个次品的概率是多少？首先，我们需要确定取到次品的概率。
次品的概率为10%，即0.1。
根据加法原理，求至少有一个次品的概率可以通过计算不出现次品的概率，然后用1减去这个概率。
不出现次品的概率可以通过计算全部为正品的概率来获取。
全部为正品的概率为90%的5次方，即0.9的5次方，约等于0.59049。
那么至少有一个次品的概率为1减去这个概率，即1-0.59049≈0.40951。
通过以上两个例子，我们可以看到加法原理在概率问题中的应用。
无论是只有两个事件的情况还是多个事件的情况，我们都可以利用加法原理来求解。
在实际问题中，加法原理可以帮助我们计算事件的概率，从而更好地了解和预测事物发生的可能性。
需要注意的是，在使用加法原理时，前提是事件之间是互斥的，也就是说它们不存在重叠的情况。
如果事件存在重叠，那么我们需要减去重叠部分的概率，以保证计算结果的准确性。
总结起来，概率问题中的加法原理是一种常用且实用的方法。
证明概率的加法公式
证明概率的加法公式好的，以下是为您生成的文章：在我们的日常生活中，概率这个家伙总是神出鬼没。
今天咱就来好好唠唠概率的加法公式，看看它到底是怎么一回事。
先来说说啥是概率。
比如说，你抛一枚硬币，正面朝上的概率是二分之一，反面朝上的概率也是二分之一。
这就像是一场公平的游戏，正反两面出现的机会差不多。
那概率的加法公式又是啥呢？其实就是说，如果有两个事件 A 和 B，它们互不相容，也就是不会同时发生，那么事件 A 或者事件 B 发生的概率，就等于事件 A 的概率加上事件 B 的概率。
举个例子吧，咱就说在一个班级里选班长，小明被选上的概率是十分之一，小红被选上的概率是八分之一。
而且他俩不可能同时被选上，这就是互不相容的事件。
那小明或者小红被选上的概率就是十分之一加上八分之一。
我还记得有一次，我在课堂上给学生们讲这个知识点。
当时我拿出了一个盒子，盒子里有红、蓝、绿三种颜色的球。
我告诉同学们，从盒子里随机摸出一个红球的概率是三分之一，摸出一个蓝球的概率是四分之一。
然后我就问他们，随机摸出一个红球或者蓝球的概率是多少。
一开始，好多同学都懵了，不知道该怎么算。
我就慢慢地引导他们，让他们想想概率的加法公式。
有个聪明的小家伙突然就开窍了，大声说：“老师，是三分之一加上四分之一！”我笑着点了点头，其他同学也恍然大悟。
这就是概率的加法公式在实际中的应用。
再比如说，在抽奖活动中，一等奖的中奖概率是百分之一，二等奖的中奖概率是百分之二。
如果你想知道中一等奖或者二等奖的概率，那就是百分之一加上百分之二。
其实啊，概率的加法公式就像是我们生活中的小助手，能帮我们算清楚很多看似复杂的可能性。
比如说你去买彩票，不同奖项的中奖概率不同，通过概率的加法公式，你就能大概知道自己有多大的机会能中奖。
还有，在考试的时候，你猜一道选择题的答案。
A 选项正确的概率是四分之一，B 选项正确的概率是四分之一，而且这两个选项不可能同时正确，那么你猜对 A 或者 B 选项的概率就是四分之一加上四分之一，等于二分之一。
概率加法法则和乘法法则教案
概率加法法则和乘法法则教案引言：在概率论中，加法法则和乘法法则是两个基本的计算规则。
它们在计算事件的概率时起到了重要的作用。
本教案将详细介绍概率加法法则和乘法法则的概念、公式以及应用场景，以帮助学生深入理解并能够运用于实际问题的解决。
一、概率加法法则概率加法法则是计算两个或多个不相容事件的概率的规则。
不相容事件是指不能同时发生的事件，例如掷骰子时出现奇数和出现偶数就是两个不相容事件。
1. 概念：概率加法法则表示两个不相容事件的概率之和等于这两个事件发生的总概率。
2. 公式：设事件A和事件B为不相容事件，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，则有：P(A∪B) = P(A) + P(B)3. 应用场景：概率加法法则常常应用于多个互斥的情况，例如掷骰子出现某个固定的数字或某个固定的点数，抓扑克牌出现红桃牌或黑桃牌等。
二、概率乘法法则概率乘法法则是计算两个或多个独立事件同时发生的概率的规则。
独立事件是指一个事件的发生不影响另一个事件的发生，例如抛硬币出现正面和掷骰子出现1点就是两个独立事件。
1. 概念：概率乘法法则表示两个独立事件的概率乘积等于这两个事件同时发生的概率。
2. 公式：设事件A和事件B为独立事件，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，则有：P(A∩B) = P(A) × P(B)3. 应用场景：概率乘法法则常常应用于多个独立事件的情况，例如从一副扑克牌中抽取两张牌均为红桃牌、同时抛掷两个硬币均出现正面等。
三、案例演示为了更好地理解和应用概率加法法则和乘法法则，下面通过一些具体的案例进行演示。
案例1：掷骰子假设我们有一颗均匀的六面骰子，现在分别定义以下两个事件：A：掷骰子出现偶数B：掷骰子出现点数为4根据案例的定义，我们可以得到以下计算过程：P(A) = 3/6 = 1/2P(B) = 1/6根据概率加法法则，我们可以计算事件A或事件B发生的概率：P(A∪B) = P(A) + P(B) = 1/2 + 1/6 = 2/3这样，我们就计算出了掷骰子出现偶数或点数为4的概率为2/3。
概率计算中的随机事件的加法与乘法原理
概率计算中的随机事件的加法与乘法原理概率计算是数学中一个重要的分支，用于描述随机事件的出现可能性。
在概率计算中，加法原理和乘法原理是两个基本概念，用于计算多个随机事件的概率。
一、加法原理加法原理用于计算两个或多个相互独立的随机事件同时发生的概率。
假设事件A和事件B是相互独立的两个事件，它们的概率分别为P(A)和P(B)，那么两个事件同时发生的概率记作P(A∪B)，可以用下式表示：P(A∪B) = P(A) + P(B)根据加法原理，当我们想要计算两个或多个随机事件同时发生的概率时，只需要将各个事件发生的概率相加即可。
这适用于事件A和事件B是互斥事件或非互斥事件的情况。
二、乘法原理乘法原理用于计算两个或多个随机事件按顺序发生的概率。
假设事件A和事件B是相互独立的两个事件，它们的概率分别为P(A)和P(B)，那么两个事件按顺序发生的概率记作P(A∩B)，可以用下式表示：P(A∩B) = P(A) × P(B)根据乘法原理，当我们想要计算两个或多个随机事件按顺序发生的概率时，只需要将各个事件发生的概率相乘即可。
这适用于事件A和事件B是相互独立的情况。
在实际应用中，加法原理和乘法原理可以相互结合使用。
如果我们想要计算两个或多个相互独立的事件的并集或交集的概率，可以根据实际情况选择使用加法原理或乘法原理。
除了相互独立事件的计算，还有一种情况需要考虑，即依赖事件的计算。
如果事件B依赖于事件A的发生，即事件A发生后事件B才有可能发生，那么事件A与事件B同时发生的概率为P(A) × P(B|A)，其中P(B|A)表示在事件A发生的前提下，事件B发生的概率。
例如，设有两个袋子，袋子1中有3个红球和2个蓝球，袋子2中有4个红球和5个蓝球。
现在从袋子1中随机取出一球放入袋子2，然后从袋子2中随机取出一球。
我们想要计算最终取出的球是红球的概率。
设事件A表示从袋子1中取出红球，事件B表示从袋子2中取出红球。
第5节 概率加法定理
AB : 取到的整数能被2和3整除
C : 取到的整数能被6或8整除
于是
C A B
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§1.5
概率加法定理
又
45 P( A) , 90
30 P( B) , P( AB) 15 , 90 90
从而
P(C ) P( A B) P( A) P( B) P( AB)
P( A B) P( A) P( B) P( AB).
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§1.5
概率加法定理
[例2] 从10～99所有的两位数中任取一整数,求取到 的整数能被2或3整除的概率.
解： A : 取到的整数能被2整除 设 B : 取到的整数能被3整除
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§1.5
概率加法定理
[定理4] 任意有限个事件的并的概率可按以下公式
计算：
P( Ai ) P( Ai )
i 1 i 1
n
n
1i j k n
P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1 A2 An )
第一章 随机事件及其概率
§1.5 概率加法定理
概率的加法定律
概率的加法定律概率的加法定律考慮投擲一枚骰子時的兩個事件：A = 擲得「1」B = 擲得「6」A 或B = 擲得「1」或「6」P (A ) =P (B ) =P (A 或B ) =P (A 或B ) = P (A ) P (B )+這3 個概率之間有甚麼關係?3162 1616一個袋中有3 個白球、1 個紅球和1 個藍球。
考慮從袋中任意抽出一個球時的兩個事件：A = 抽出一個白球B = 抽出一個紅球 A 或B = 抽出一個白球或一個紅球P (A ) =P (B ) =P (A 或B ) =P (A 或B ) = P (A ) P (B )+這3 個概率之間有甚麼關係?351545P (A 或B )= P (A )+ P (B )在以上例子中，事件A 和事件B 有甚麼特點? 事件A 和事件B 是互斥事件。
對於互斥事件A 和B …在某城市裏，雨天的概率是0.26，而陰天的概率是0.49。
求該城市某天為雨天或陰天的概率。
P(雨天或陰天)= P(雨天) + P(陰天)= 0.26 + 0.49= 0.75一般來說，若A1、A2、A3、…、A n是互斥事件…P(A1或A2或A3或…或A n)= P(A1)+P(A2)+P(A3)+ …+ P(A n)0.12E 0.030.210.350.250.04概率F D C B A 級別家聰正準備應付一次考試。
P (「C 」級或以上)= P (「A 」級) + P (「B 」級) + P (「C 」級)= 0.04 + 0.25 + 0.35= 0.64他取得各級別的成績的概率：「C 」級或以上=「A 」級或「B 」級或「C 」級他在該次考試中取得「C 」級或以上的成績的概率是多少?若A 和B 是互斥事件，P (A 及B 同時發生) 的值是多少?A 和B 是互斥事件。
→A 和B 不能同時發生。
→P (A 及B 同時發生) = 0課堂研習從一副52 張的撲克牌中隨意抽出一張牌，求抽出一張「K 」或一張紅心「Q 」的概率。
高中概率的加法与乘法公式
高中概率的加法与乘法公式概率是数学中的一个重要分支，用于描述事件发生的可能性。
在高中数学中，学生往往需要学习和应用概率的加法与乘法公式来解决各种概率问题。
本文将介绍高中概率的加法与乘法公式，并通过一些例子来说明其应用方法。
一、高中概率的加法公式在概率问题中，加法公式用于计算两个事件同时发生或其中一个事件发生的概率。
设事件A和事件B为两个相互独立的事件，其发生的概率分别为P(A)和P(B)，则两个事件至少发生一个的概率记为P(A∪B)，可以通过加法公式计算如下：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
例如，某班共有60人，其中40人喜欢听音乐，30人喜欢看电影，有20人既喜欢听音乐又喜欢看电影。
现在从这个班级中随机选择一名同学，求该同学既喜欢听音乐又喜欢看电影的概率。
解：设事件A为喜欢听音乐，事件B为喜欢看电影，则题目所求的概率为P(A∩B)。
已知P(A) = 40/60，P(B) = 30/60，P(A∩B) = 20/60，代入加法公式可得：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)= 40/60 + 30/60 - 20/60= 50/60= 5/6所以，该同学既喜欢听音乐又喜欢看电影的概率为5/6。
二、高中概率的乘法公式在概率问题中，乘法公式用于计算两个或多个独立事件同时发生的概率。
设事件A和事件B为两个相互独立的事件，其发生的概率分别为P(A)和P(B)，则两个事件同时发生的概率记为P(A∩B)，可以通过乘法公式计算如下：P(A∩B) = P(A) * P(B)例如，一个有两个装有白球和黑球的箱子，其中箱子A有2个白球和1个黑球，箱子B有1个白球和2个黑球。
从中随机选择一个箱子，然后从该箱子中随机取出一个球，求取出的球是白球的概率。
解：设事件A为选择箱子A，事件B为从所选箱子中取出白球。
已知P(A) = 1/2，P(B|A) = 2/3，代入乘法公式可得：P(A∩B) = P(A) * P(B|A)= 1/2 * 2/3= 1/3所以，取出的球是白球的概率为1/3。
概率论与数理统计加法公式推导
概率论与数理统计加法公式推导1、减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)此公式来自事件关系中的差事件，再结合概率的可列可加性总结出的公式。
2、加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)此公式来自于事件关系中的和事件，同样结合概率的可列可加性总结出来。
学生还应掌握三个事件相加的加法公式。
以上两个公式，在应用当中，有时要结合文氏图来解释会更清楚明白，同时这两个公式在考试中，更多的会出现在填空题当中。
所以记住公式的形式是基本要求。
3、乘法公式由条件概率公式变形得到，考试中较多的出现在计算题中。
在复习过程中，部分同学分不清楚什么时候用条件概率来求，什么时候用积事件概率来求。
比如“第一次抽到红球，第二次抽到黑球”时，因为第一次抽到红球也是未知事件，所以要考虑它的概率，这时候用积事件概率来求如果“在第一次抽到红球已知的情况下，第二次抽到黑球的概率”，这时候因为已知抽到了红球，它已经是一个确定的事实，所以这时候不用考虑抽红球的概率，直接用条件概率，求第二次取到黑球的概率即可。
4、全概率公式5、贝叶斯公式以上两个公式是五大公式极为重要的两个公式。
结合起来学习比较容易理解。
首先，这两个公式首先背景是相同的，即，完成一件事情在逻辑或时间上是需要两个步骤的，通常把第一个步骤称为原因。
其次，如果是“由因求果”的问题用全概率公式是“由果求因”的问题用贝叶斯公式。
例如买零件，一个零件是由A、B、C三个厂家生产的，分别次品率是a%，b%，c%，现在求买到次品的概率时，就要用全概率公式若已知买到次品了，问是A厂生产的概率，这就要用贝叶斯公式了。
这样我们首先分清楚了什么时候用这两个公式。
概率的加法公式范文
概率的加法公式范文一、定义P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A∪B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B的交集发生的概率。
二、数学表达概率的加法公式可以通过一个简单的例子来解释。
假设有一个袋子里有10个红球和10个蓝球，从中随机抽取一个球。
事件A表示抽到红球，事件B表示抽到蓝球。
我们想要计算抽到红球或抽到蓝球的概率。
根据概率的加法公式，我们有：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=P(A)+P(B)-0=P(A)+P(B)因为事件A和事件B是互斥事件（即事件A和B不可能同时发生），所以它们的交集概率为0。
三、应用1.投掷一枚硬币，事件A表示正面朝上，事件B表示反面朝上。
根据概率的加法公式，P(A∪B)=P(A)+P(B)=1/2+1/2=1、因为硬币必定会正面或反面朝上，所以这两个事件的联合概率为12.商品的退货率为5%，其中1%是因为质量问题而退货，4%是因为其他原因而退货。
事件A表示退货，事件B表示退货原因是因为质量问题。
根据概率的加法公式，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.05+0.01-0.01=0.05、因为退货率是5%，所以退货的概率为0.053.甲、乙、丙三个人分别参加了一场考试，考试合格率分别为50%，60%和70%。
事件A表示甲合格，事件B表示乙合格。
根据概率的加法公式，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.5+0.6-0.3=0.8、因为甲和乙的合格率加起来大于1，所以两个人中至少有一个合格的概率为0.8概率的加法公式的应用不仅仅局限于以上几个例子，它可以帮助我们计算更复杂的事件概率。
在进行概率计算时，我们可以利用概率的加法公式将问题拆解成多个简单事件，然后分别计算每个事件的概率，最后再进行求和运算，得到所求的概率。
因此，熟练掌握和灵活运用概率的加法公式对于理解和解决概率问题非常重要。
概率的加法法则
解 设事件A2,A3表示3个球中有2,3个白 球，显然A2与A3互不相容，有
2 1 3 C4 C3 C4 18 4 22 P( A2 A3 ) P( A2 ) P( A3 ) 3 3 C7 C7 35 35 35
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铃
例5 50个产品中有46个合格品与4个废品，从中一 次抽取3个，求其中有废品的概率。
解 令事件A表示产品的合格品，A1、A2分别 表示一、二等品。显然A1与A2互不相容，并且 A=A1+A2,有 P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=0.98
P ( A) 1 P ( A) 0.02
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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例4 一个袋内装有大小相同的7个球，4个白球，3个 为黑球。从中一次抽取3个，计算至少有两个是白 球的概率。
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公理1 0 P(A) 1 公理2 P(S)=1
(1) (2)
公理3 若事件A1, A2 ,… 两两互不相容，则有 P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 ) (3) 这里事件个数可以是有限或无限的 .
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作业
习题13，14，15，16. P(27)
§13 概率的加法法则
一、概率的加法法则 二、概率的广义加法法则
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一、概率的加法法则
例1 100个产品中有60个一等品，30个二等品，10个发品。 规定一、二等品都为合格品，考虑这批产品的合格率与一、 二等品率之间的关系。
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P ( A) 0.3, P( B) 0.25, P ( AB ) 0.1. P( AB) P( A) P( AB ) 0.3 0.1 0.2. ⑴
⑵
P( AB AB) P( AB) P( AB)
P( A) P( AB ) P( B) P( AB ) 0.3 0.1 0.25 0.1 0.35.
45 30 15 2 . 90 90 90 3
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§1.5
概率加法定理
[例3] 经调查,某班学生订甲报的占30％,订乙报的 占25％,同时订2种报纸的占10％.求下列事件的概率： ⑴ 只订甲报;⑵ 只订一种;⑶ 至少订一种;⑷ 一种也 不订. 解：设 A {订甲报}, B {订乙报}, 则
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§1.5
概率加法定理
解： 已知 P( A) 0.4, P( B) 0.3, P( A B) 0.6, 得
P( AB) P( A) P( B) P( A B) 0.4 0.3 0.6 0.1 .
又 A A( B B) AB AB , 所以 P( A) P( AB) P( AB) ,
P( A B) P( A) P( B). P( A B) P( A) P( B) P( AB).
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§1.5
概率加法定理
思考题
设随机事件 A, B及事件 A B的概率分别为 0.4, 0.3 及
0.6. 若B 表示 B 的对立事件，求概率 P( AB) .
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§1.5
概率加法定理
[定理4] 任意有限个事件的并的概率可按以下公式
计算：
P( Ai ) P( Ai )
i 1 i 1
n
n
1i j k n
P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1 A2 An )
P( Ai Aj ) 1i j n
特别：n 3
P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( BC ) P( AC ) P( ABC )
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§1.5
概率加法定理
小 结
1. 加法定理的本质是,将复杂事件分解成几个简单 事件的并,从而将复杂事件的概率计算转化为简单事 件概率的计算(下一节的乘法定理也是如此). 2. 两个基本公式：
证明： A B AB AB AB, 于是 P( A B) P( AB) P( AB) P( AB). 又 A AB AB, P( A) P( AB) P( AB), 于是 P( AB) P( A) P( AB), P( AB) P( B) P( AB), 同理 从而
第一章 随机事件及其概率
§1.5 概率加法定理
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§1.5
概率加法定理
1.互不相容事件的加法定理
[定理1] 两个互不相容事件的并的概率等于这两个 事件的概率的和：P( A B) P( A) P( B).
证：设样本空间 共有N个等可能的基本事件， 事件 A 包含 M 1个基本事件， 事件 B 包含 M 2 个基本事件， A 由 A 与 B 的互不相容性， B包含 M 1 M 2个基本事件，
i 1 i 1
n
n
[推论1]
如果事件 A1 , A2 , , An 构成互不相容的完 n
备事件组，则
P( Ai ) 1. i 1
[推论2]
对立事件的概率的和等于一：
P( A) P( A) 1.
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§1.5
概率加法定理
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概率加法定理
P( A B) P( A) P( B) P( AB) 0.3 0.25 0.1 0.45. ⑷ P( AB) P( A B) 1 P ( A B )
⑶
1 0.45 0.55.
P( A B) P( A) P( B) P( AB).
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§1.5
概率加法定理
[例2] 从10～99所有的两位数中任取一整数,求取到 的整数能被2或3整除的概率.
解： A : 取到的整数能被2整除 设 B : 取到的整数能被3整除
AB : 取到的整数能被2和3整除
C : 取到的整数能被6或8整除
于是
C A B
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§1.5
概率加法定理
又
45 P( A) , 90
30 P( B) , P( AB) 15 , 90 90
从而
P(C ) P( A B) P( A) P( B) P( AB)
于是
P( AB) P( A) P( AB) 0.4 0.1 0.3 .
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C3 45 P( A) 3 0.724, C50
P( A) 1 P( A) 0.276.
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§1.5
概率加法定理
2.一般概率加法定理
[定理3] 任意二事件的并的概率,等于这二事件的 概率的和减去这二事件的交的概率：
P( A B) P( A) P( B) P( AB).
[例1] 一批产品共有50个,其中45个是合格品,5个是 次品,从这批产品中任取3个,求其中有次品的概率. 解：设 A 表示取出的3个产品中有次品，Ai 表示取出 于是， 的3个产品中恰有 i 个次品 (i 1, 2, 3)， 又
A A1 A2 A3 , C1 C2 P( A1 ) 5 3 45 0.2526, C50 2 C5 C1 45 P( A2 ) 0.0230, 3 C50
C3 P( A3 ) 35 0.0005, C50
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§1.5
概率加法定理
于是,根据加法定理,得
P( A) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) 0.276.
[又解] A 的对立事件 A 是取出的3个产品全是合格品， 显然， 于是，
所以，
M1 M 2 M1 M 2 P( A) P( B). P( A B) N N N
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§1.5
概率加法定理
[定理2] 有限个互不相容事件的并的概率等于这些
事件的概率的和：
P( Ai ) P( Ai ).