2018版高中数学北师大版必修一学案：第一章 2 集合的基本关系 Word版含答案
2017-2018学年高中数学北师大版2学案：第一章立体几何初步1.5平行关系含答案
第1课时平行关系的判定［核心必知] 1．直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系图形语言符号语言直线在平面内aα直线与平面相交a∩α＝A直线与平面平行a∥α2。
直线与平面平行的判定文字语言图形语言符号语言若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行3.文字语言图形语言符号语言如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则两平面平行［问题思考]1．若直线a平行于平面α内的无数条直线，则直线a平行于平面α吗?提示：不一定,因为直线a在平面α内时，与a平行的直线也有无数条．2．对于平面与平面平行的判定定理中,若把“相交”去掉，这两个平面是否一定平行，为什么？提示：不一定．如图中,平面α内的两条直线a，b均平行于β，而α与β却相交．讲一讲1。
如图，在四棱锥P.ABCD中,底面ABCD是矩形,E，F分别是PB，PC的中点．证明：EF∥平面PAD。
[尝试解答］证明：在△PBC中，E,F分别是PB,PC的中点，∴EF∥BC.又BC∥AD，∴EF∥AD。
又∵AD平面PAD，EF平面PAD,∴EF∥平面PAD。
1．判断或证明线面平行的方法(1)定义法：证明直线与平面无公共点（不易操作）；（2）判定定理法：aα,bα，a∥b⇒a∥α；（3)排除法：证明直线与平面不相交,直线也不在平面内．2．证明线线平行的方法（1)利用三角形、梯形中位线的性质；(2)利用平行四边形的性质；(3)利用平行线分线段成比例定理．练一练1．如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ.证明：连接AC交BD于O，连接QO。
∵四边形ABCD是平行四边形,∴O为AC的中点．又Q为PA的中点，∴QO∥PC。
显然QO平面BDQ，PC平面BDQ，∴PC∥平面BDQ.讲一讲2。
如图所示,正方体ABCD.A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1,C1D1的中点．求证：平面AMN∥平面EFDB.［尝试解答] 证明：如图所示，连接MF。
高中数学必修一 《1 2 集合间的基本关系》获奖说课导学案
【新教材】1.2 集合的基本关系学案（人教A版）1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．2. 理解子集.真子集的概念．3. 能使用venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念．难点：难点是属于关系与包含关系的区别．一、预习导入阅读课本7-8页，填写。
1．集合与集合的关系（1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中_____________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有_____________关系，称集合A为B的______.记作：A_________ B(或B _________ A)读作：A包含于B(或B包含A).图示：（2）如果两个集合所含的元素完全相同（A______ B且B ______ A），那么我们称这两个集合相等.记作：A ______B读作：A等于B.图示：2. 真子集A ，存在元素x______ B且x______ A，则称集合A是集合B的真子集。
若集合B记作：A ______B （或B ______A ） 读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）3．空集__________________的集合称为空集，记作：∅. 规定：空集是任何集合的子集。
4.常用结论（1）A __________ A （类比a a ≤）（2）空集是__________的子集，是_____________的真子集。
（3）若,,A B B C ⊆⊆则A __________ C （类比b a ≤，c b ≤则c a ≤）（4）一般地，一个集合元素若为n 个，则其子集数为________个，其真子集数为________个，特别地，空集的子集个数为________，真子集个数为________。
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空集中只有元素0，而无其余元素． ( ) (2)任何一个集合都有子集． ( ) (3)若A ＝B ，则A ⊆B . ( ) (4)空集是任何集合的真子集． ( ) 2.用适当的符号填空(1) a______{a,b,c} (2) 0_______{x|x 2=0} (3) ∅________{x ∈R|x 2+1=0} (4) {0,1}_____N(5) {∅}_____{x|x 2=x} （6）{2,1}____{x|x 2−3x +2=0} 3．设a ∈R ，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a ＝________.例1 (1)写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集;(2)填写下表,并回答问题:由此猜想:含n 个元素的集合{a 1,a 2,…,a n}的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢?例2 下列能正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x 2+x=0}的关系的维恩图是( )例3 已知集合A={x|-5<x<2},B={x|2a-3<x<a-2}. (1)若a=-1,试判断集合A,B 之间是否存在子集关系; (2)若A ⊇B,求实数a 的取值范围.变式1． [变条件] 【例3】(2)中,是否存在实数a,使得A ⊆B?若存在,求出实数a 的取值范围;若不存在,试说明理由.变式2． [变条件] 若集合A={x|x<-5或x>2},B={x|2a-3<x<a-2},且A ⊇B,求实数a 的取值范围.1．已知集合A ＝{2，－1}，集合B ＝{m 2－m ，－1}，且A ＝B ，则实数m 等于( )A ．2B ．－1C ．2或－1D ．42．已知集合A ＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是( )A ．0⊆AB ．{0}∈AC ．∅∈AD ．{0}⊆A3．已知集合A ⊆{0,1,2}，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为( )A ．6B ．5C．4 D．34．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的关系是( ) A．A⊆B B．A＝BC．A B D．A B5．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是( ) A．1 B．－1C．0,1 D．－1,0,1=1}，则A，B的关系是________．6．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|yx7．已知集合A＝{x|x<3}，集合B＝{x|x<m}，且A⊆B，则实数m满足的条件是________．8．已知A＝{x∈R|x<－2或x>3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若B⊆A，求实数a的取值范围．答案小试牛刀1．答案：(1) ×(2) √(3) √ (4)×2．（1）∈（2）= （3）=（4）⊆（5）⊈（6）=3．-1自主探究例1【答案】见解析【解析】分析:(1)利用子集的概念,按照集合中不含任何元素、含有一个元素、含有两个元素、含有三个元素这四种情况分别写出子集.(2)由特殊到一般,归纳得出.解:(1)不含任何元素的子集为⌀;含有一个元素的子集为{0},{1},{2};含有两个元素的子集为{0,1},{0,2},{1,2};含有三个元素的子集为{0,1,2}.故集合{0,1,2}的所有子集为⌀,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}.其中除去集合{0,1,2},剩下的都是{0,1,2}的真子集.(2)由此猜想:含n 个元素的集合{a 1,a 2,…,a n}的所有子集的个数是2n,真子集的个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2. 例2【答案】B【解析】∵N={x|x 2+x=0}={x|x=0或x=-1}={0,-1},∴N ⫋M,故选B. 例3【答案】见解析【解析】分析:(1)令a=-1,写出集合B,分析两个集合中元素之间的关系,判断其子集关系;(2)根据集合B 是否为空集进行分类讨论;然后把两集合在数轴上标出,根据子集关系确定端点值之间的大小关系,进而列出参数a 所满足的条件.解:(1)若a=-1,则B={x|-5<x<-3}. 如图在数轴上标出集合A,B.由图可知,B ⫋A. (2)由已知A ⊇B.①当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a ≥1.显然成立. ②当B ≠⌀时,2a-3<a-2,解得a<1.由已知A ⊇B,如图在数轴上表示出两个集合, 由图可得{2a -3≥-5,a -2≤2,解得-1≤a≤4.又因为a<1,所以实数a 的取值范围为-1≤a<1 变式1．【答案】见解析【解析】因为A={x|-5<x<2},所以若A ⊆B,则B 一定不是空集.此时有{2a -3≤-5,a -2≥2,即{a ≤-1,a ≥4,显然实数a 不存在.变式2．【答案】见解析【解析】①当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a ≥1.显然成立. ②当B ≠⌀时,2a-3<a-2,解得a<1.由已知A ⊇B,如图在数轴上表示出两个集合,由图可知2a-3≥2或a-2≤-5,解得a ≥52 或a ≤-3.又因为a<1,所以a ≤-3.综上,实数a 的取值范围为a ≥1或a ≤-3. 当堂检测1-5．CDADD 6．B A 7．m≥38．【答案】见解析【解析】∵B ⊆A ，∴B 的可能情况有B ≠∅和B ＝∅两种． ①当B ＝∅时，由a>2a －1，得a<1. ②当B≠∅时，∵B ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a>3，a≤2a－1或⎩⎪⎨⎪⎧2a －1<－2，a≤2a－1成立，解得a>3；综上可知，实数a 的取值范围是{a|a<1或a>3}．。
2020_2021学年新教材高中数学第1章预备知识1集合1.2集合的基本关系学案含解析北师大版必修一
1.2 集合的基本关系学习目标核心素养1.理解集合的包含与相等的含义．(难点) 2．能识别集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(难点、易混点)1．通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助子集、真子集的应用，培养逻辑推理素养．1．Venn图为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图．2．子集文字叙述对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，即若a∈A，则a∈B，那么称集合A是集合B的子集．符号表示若a∈A⇒a∈B，则A⊆B．图形表示性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A．(2)空集是任何集合的子集，即∅⊆A．(3)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C．思考1：符号“∈”与“⊆”有何不同？提示：“∈”表示元素与集合的关系，而“⊆”表示集合与集合的关系．3．集合相等对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等，记作A＝B．思考2：如何证明集合相等？提示：证明这两个集合互为子集．4．真子集对于两个集合A与B，如果A⊆B，且A≠B，那么称集合A是集合B的真子集，记作A B.1．设M＝{}1，2，3，N＝{}1，则下列关系正确的是( )A．N∈M B．N MC ．N ⊆MD ．N ⊇MC [由1∈M ，知N ⊆M .]2．已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．D ⊆CD ．A ⊆DB [根据四边形的定义和分类，可知选B.] 3．集合{}0，1的子集有________个．4 [集合{}0，1的子集分别是∅，{}0，{}1，{}0，1.] 4．已知集合{}16⊆{}a 2，a ＋3，7，求实数a 的值．[解] (1)由已知，得16∈{}a 2，a ＋3，7，所以a 2＝16或a ＋3＝16，解得a ＝－4，4或13，当a ＝4时，a ＋3＝7，集合{}a 2，a ＋3，7的元素不满足互异性，所以，实数a 的值为－4，13.集合间的关系的判断【例1】 判断下列各组中集合间的关系．(1)A ＝{} |x x 是等腰三角形，B ＝{x |x 是等边三角形}； (2)A ＝{} |x x ()x －1＝0，B ＝{}0，1； (3)A ＝{} |x －1<x <4，B ＝{} |x x <5；(4)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ |x x ＝n ＋12，n ∈Z ，B ＝{x ⎪⎪⎪x ＝12n ＋1，n ∈Z }．[解] (1)因为等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，故B A .(2)A ＝B .(3)把集合A 与B 在数轴上表示出来，根据定义易得A B . (4)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ |x x ＝2n ＋12，n ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ |x x ＝n ＋22，n ∈Z ，又{} |x x ＝2n ＋1，n ∈Z {} |x x ＝n ＋2，n ∈Z ，所以AB .判断两集合关系的常用方法(1)化简集合，从元素的属性中寻找两集合间的关系； (2)利用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．提醒：在判断集合间的关系时，要注意数轴及Venn 图的应用，它可以直观地帮助我们发现集合间的关系．[跟进训练] 1．设A ＝{}|x x ＝2n －1，n ∈Z ，B ＝{}|x x ＝2n ＋1，n ∈Z ，C ＝{} |x x ＝4n －1，n ∈Z ，判断它们之间的关系．[解] 因为A ＝{} |x x ＝2n －1，n ∈Z ＝{x |x ＝2()n －1＋1，n ∈Z }⊆B ，B ＝{} |x x ＝2n ＋1，n ∈Z ＝{}x |x ＝2()n ＋1－1，n ∈Z ⊆A ，所以A ＝B .因为C ＝{} |x x ＝4n －1，n ∈Z ＝{x |x ＝2×2n －1，n ∈Z }⊆A ，又－3∈A ，但－3C ，所以C A .综上，C A ＝B .子集个数问题【例2】 已知{}1，2M ⊆{}1，2，3，4，5，试写出满足条件的所有集合M . [思路点拨] 先分析集合M 中元素的特点，然后分类列举．[解] 集合M 含有元素1，2，且含有3，4，5中的至少一个元素，依据集合元素的个数分类列举如下：含有3个元素：{}1，2，3，{}1，2，4，{}1，2，5；含有4个元素：{}1，2，3，4，{}1，2，3，5，{}1，2，4，5； 含有5个元素：{}1，2，3，4，5. 故满足条件的集合M 共有上述7个集合．1．解决此类问题，一般先分析集合元素的特征，然后按集合元素个数分类列举． 2．若一个集合有n 个元素，则它有2n个子集；有2n－1个真子集．[跟进训练]2．已知集合B ＝{}1，2，A ＝{}x |x ⊆B ， (1)写出集合A ；(2)判断B 与A 的关系．[解] (1)集合B 的子集分别是∅，{}1，{}2，{}1，2，所以A ＝{}∅，{}1，{}2，{}1，2；(2)B A .集合间的关系的应用 [探究问题]1．已知{}x |－1≤x ≤1⊆{}x |a ≤x ≤b ，试求a ，b 满足的条件． 提示：a ≤－1且b ≥1.2．已知{}x |a ≤x ≤b ⊆{}x |－1≤x ≤1，试求a ，b 满足的条件． 提示：对集合{}x |a ≤x ≤b 是否为空集讨论， 当{}x |a ≤x ≤b 为空集，即a >b 时，满足题意； 当{}x |a ≤x ≤b 非空时，－1≤a ≤b ≤1， 故a ，b 满足的条件是a >b 或－1≤a ≤b ≤1.【例3】 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，且B ⊆A ，求实数m 的取值范围．[思路点拨] 将集合间的关系转化为元素间的关系，由于B 可能为空集，故需分B ＝∅与B ≠∅两种情况讨论．[解] 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，得m ≤2，当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上得m ≤4.1．对于本例中的集合A ，B ，是否存在实数m 使A ⊆B?[解] 若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<－22m －1>7 ，该不等式组无解，故实数m 不存在．2．若将本例中的“A ＝{x |－2≤x ≤7}”改为“A ＝{}x |x ≤－2，或x ≥7”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．[解] 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，得m ≤2，当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＜2m －1，2m －1≤－2，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＜2m －1，m ＋1≥1，解得m ≥6，综上得x ≤2或m ≥6.1．对于B ⊆A ，在未指明B 非空时，应分B ＝∅与B ≠∅两种情况讨论．2. 对于B ≠∅这种情况，在确定参数的取值时，可借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来，分清实心点与空心圈，由集合之间的关系，列出关于参数的不等式，解不等式求出参数的取值范围．1．在判断集合间的关系时，要注意数轴及Venn 图的应用，它可以直观的帮助我们发现集合间的关系，这是数形结合思想的应用．2．若一个集合有n 个元素，则它的有2n个子集；有2n－1个真子集． 3．由集合间的关系求参数的取值范围时，要考虑空集是否符合题意．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)空集是任何集合的真子集．( )(2)任何一个集合不可能是其自身的真子集． ( ) (3)任何一个集合至少有两个子集．( ) (4)若A 不是B 的子集，则A 中至少存在一个元素不属于B . ( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√2．集合A ＝{}x ∈N |0≤x <3真子集的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．7 D ．8C [因为A ＝{}0，1，2，所以其真子集的个数是23－1＝7.]3．设x ，y ∈R ，A ＝{}()x ，y |y ＝x ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫()x ，y ⎪⎪⎪y x＝1，则集合A ，B 的关系是________．[答案] B A4．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}． (1)若A B ，求实数a 的取值范围； (2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围． [解] (1)当A B 时，a >2. (2)当B ⊆A 时，1≤a ≤2.。
必修一学案
柘城高中数学学案 必修一 第一章集合§1.1.2 集合间的基本关系一、知识链接复习1：集合的表示方法有 、 、. 请用适当的方法表示下列集合. （1）10以内3的倍数；（2）1000以内3的倍数.复习2：用适当的符号填空.（1） 0 N ；2 Q ； -1.5 R .（2）设集合2{|(1)(3)0}A x x x =--=，{}B b =，则1 A ；b B ；{1,3} A .思考：类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？二、自主学习探究：比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系： {3,6,9}A =与*{|3,333}B x x k k N k ==∈≤且；{}C =柘城高中学生与{}D =柘城高中高一学生； {|(1)(2)0}E x x x x =--=与{0,1,2}F =.新知：子集、相等、真子集、空集的概念.① 如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ），记作：()A B B A ⊆⊇或，读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含(contains)A . 当集合A 不包含于集合B 时，记作A B Ø.② 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图. 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系为： ()A B B A ⊆⊇或.③ 集合相等：若A B B A ⊆⊆且，则A B =中的元素是一样的，因此A B =.④ 真子集：若集合A B ⊆，存在元素x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作：A B （或B A ），读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）.⑤ 空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅. 并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.试试：用适当的符号填空.（1）{,}a b {,,}a b c ，a {,,}a b c ； （2）∅ 2{|30}x x +=，∅ R ； （3）N {0,1}，Q N ；（4）{0} 2{|0}x x x -=.反思：思考下列问题.（1）符号“a A ∈”与“{}a A ⊆”有什么区别？试举例说明.（2）任何一个集合是它本身的子集吗？任何一个集合是它本身的真子集吗？试用符号表示结论.（3）类比下列实数中的结论，你能在集合中得出什么结论？ ① 若,,a b b a a b ≥≥=且则； ② 若,,a b b c a c ≥≥≥且则.小结1. 子集、真子集、空集、相等的概念及符号；Venn 图图示；一些结论.2. 两个集合间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，特别要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法.3如果一个集合含有n 个元素，那么它的子集有2n 个，真子集有21n -个.三、自我测评1. 下列结论正确的是（ ）.A. ∅AB. {0}∅∈C. {1,2}Z ⊆D. {0}{0,1}∈B A2. 设{}{}1,A x x B x x a =>=>，且A B ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）. A. 1a < B. 1a ≤ C. 1a > D. 1a ≥3. 若2{1,2}{|0}x x bx c =++=，则（ ）. A. 3,2b c =-= B. 3,2b c ==- C. 2,3b c =-= D. 2,3b c ==-4. 满足},,,{},{d c b a A b a ⊂⊆的集合A 有 个.5. 设集合{},{},{A B C ===四边形平行四边形矩形，{}D =正方形，则它们之间的关系是 ，并用Venn 图表示.6. 某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格. 若用A 表示合格产品的集合，B 表示质量合格的产品的集合，C 表示长度合格的产品的集合．则下列包含关系哪些成立？,,,A B B A A C C A ⊆⊆⊆⊆ 试用V enn 图表示这三个集合的关系.7. 已知2{|0}A x x px q =++=，2{|320}B x x x =-+=且A B ⊆，求实数p 、q 所满足的条件.。
数学新同步课堂人教B全国通用版必修一学案：第1章 1.1 1.1.2 集合的表示方法 Word版含答案
1.1.2集合的表示方法学习目标：1.掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法．(重点)2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．列举法把集合中的所有元素都列举出来，写在花括号“{__}”内表示集合的方法.思考1：什么类型的集合适合用列举法表示？[提示]①元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1 000}；③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N 可以表示为{0,1,2,3，…}．2．集合的特征性质如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质．3．描述法思考2：用列举法能表示不等式x－7<3的解集吗？为什么？[提示]不能．由不等式x－7<3，得x<10，由于比10小的数有无数个，用列举法是列举不完的，所以不能用列举法．[基础自测]1．思考辨析(1)集合0∈{x |x >1}．( )(2)集合{x |x <5，x ∈N }中有5个元素．( )(3)集合{(1,2)}和{x |x 2－3x ＋2＝0}表示同一个集合．( )[解析] (1)×.{x |x >1}表示由大于1的实数组成的集合，而0<1，所以(1)错误．(2)√.集合{x |x <5，x ∈N }表示小于5的自然数，为0,1,2,3,4，共5个，所以(2)正确．(3)×.集合{(1,2)}中只有一个元素为(1,2)，而{x |x 2－3x ＋2＝0}中有两个元素1和2，所以(3)错误．[答案] (1)× (2)√ (3)×2．方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－3的解集是( ) A ．(－1,2)B ．(1，－2)C ．{(－1,2)}D ．{(1，－2)} C [由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1x －y ＝－3解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝2，用列举法可表示为{(－1,2)}，故选C.] 3．不等式x －3<2且x ∈N ＋的解集用列举法可表示为( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}B [由x －3<2得x <5，又x ∈N ＋所以x ＝1,2,3,4.用列举法表示为{1,2,3,4}，故选B.]4．不等式4x －5<7的解集为________．{x |x <3} [由4x －5<7解得x <3，所以可表示为{x |x <3}．][合 作 探 究·攻 重 难](1)36与60的公约数组成的集合；(2)方程(x －4)2(x －2)＝0的根组成的集合；(3)一次函数y ＝x －1与y ＝－23x ＋43的图象的交点组成的集合．[思路探究] (1)(2)可直接先求相应元素，然后用列举法表示． (3)联立⎩⎨⎧ y ＝x －1，y ＝－23x ＋43→求方程组的解→写出交点坐标→用集合表示.[解] (1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合为{1,2,3,4,6,12}．(2)方程(x －4)2(x －2)＝0的根是4或2，所求集合为{4,2}．(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝1，2x ＋3y ＝4的解是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝75，y ＝25，所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎪⎫75，25. [规律方法] 使用列举法表示集合时，需要注意以下几点1．用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么．如本题(3)是点集{(x ，y )}，而非数集{x ，y }．集合的所有元素用“{ }”括起来，元素间用分隔号“，”．2．元素不重复，元素无顺序，所以本题(2)中，{4,4,2}为错误表示．3．对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号．4．适用条件：有限集或元素间存在明显规律的无限集．需要说明的是，对于有限集，由于元素的无序性，如集合{1,2,3,4}与{2,1,4,3}表示同一集合，但对于具有一定规律的无限集{1,2,3,4，…}，就不能写成{2,1,4,3，…}．[跟踪训练]1．用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x 2＝2x 的所有实数解组成的集合；(3)直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合．[解] (1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是 {0,2,4,6,8,10}．(2)方程x 2＝2x 的解是x ＝0或x ＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}．(3)将x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}.(1)小于100的所有非负整数的集合．(2)数轴上与原点的距离大于6的点的集合．(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合(4)方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝2，x －y ＝2的解的集合． (5)被5除余3的所有整数组成的集合．(6)不等式3x －6≤2x ＋7的解组成的集合．[思路探究] 先分析集合中元素的特征，再分析元素满足的条件，最后根据要求写出集合．[解] (1)小于100的所有非负整数的集合，用描述法表示为{x |0≤x <100，x ∈Z }．(2)数轴上与原点的距离大于6的点的集合，用描述法表示为{x ||x |>6}．(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合，用描述法表示为{(x ，y )|xy <0}．(4)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝2的解的集合，用描述法表示为 ⎩⎨⎧ (x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝2或⎩⎨⎧ (x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝0.(5)被5除余3的所有整数组成的集合为{x |x ＝5k ＋3，k ∈Z }．(6)解不等式3x －6≤2x ＋7得x ≤13，所以不等式3x －6≤2x ＋7的解组成的集合为{x |x ≤13}．[规律方法] 利用描述法表示集合应关注五点1．写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x ∈R |x <1}不能写成{x <1}．2．所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x ∈Z |x ＝2k }，k ∈Z ，这种表达方式就不符合要求，需将k ∈Z 也写进花括号内，即{x ∈Z |x ＝2k ，k ∈Z }．3．不能出现未被说明的字母．4．在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x 2－2x ＋1＝0的实数解集可表示为{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}，也可写成{x |x 2－2x ＋1＝0}．5．在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如{直角三角形}，{自然数}等．[跟踪训练]2．已知A ＝{x |3－2x >0}，则有( )A ．3∈AB ．1∈AC ．32∈AD ．0∉AB [A ＝{x |3－2x >0}＝{x |x <32}，∴1∈A .]3．集合{2,4,6,8,10,12}用描述法表示为________．[答案] {x |x ＝2n ，n ∈N ＋，且n ≤6}[1．集合{x ||x |<2，x ∈Z }用列举法如何表示？提示：{－1,0,1}．2．集合{(x ，y )|y ＝x ＋1}与集合{(x ，y )|y ＝2x ＋1}中的元素分别是什么？这两个集合有公共元素吗？如果有，用适当的方法表示它们的公共元素所组成的集合，如果没有，请说明理由．提示：集合{(x ，y )|y ＝x ＋1}中的元素是直线y ＝x ＋1上所有的点；集合{(x ，y )|y ＝2x ＋1}中的元素是直线y ＝2x ＋1上所有的点，它们的公共元素是两直线的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1，y ＝2x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即它们的公共元素为(0,1)，用集合可表示为{(0,1)}．3．设集合A ＝{x |ax 2＋x ＋1＝0}，集合A 中的元素是什么？提示：集合A 中的元素是方程ax 2＋x ＋1＝0的解．集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．[思路探究] 明确集合A 的含义→对实数k 加以讨论→求出实数k 的值→用集合表示[解](1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．母题探究：(变条件)若将本例中的条件“只有一个元素”换成“至多有一个元素”，求相应问题．[解]集合A至多有一个元素，即方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根或无实数根．∴k＝0或Δ＝64－64k≤0，解得k＝0或k≥1.故所求k的值组成的集合是{k|k≥1或k＝0}．[规律方法]识别集合含义的两个步骤1．一看代表元素：例如{x|p(x)}表示数集，{(x，y)|y＝p(x)}表示点集．2．二看条件：既看代表元素满足什么条件(公共特性)．[跟踪训练]4．选择适当的方法表示下列集合．(1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合．(2)大于1且小于7的有理数．(3)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．[解](1)方程x(x2－2x－3)＝0的实数根为－1,0,3，故可以用列举法表示为{－1,0,3)，当然也可以用描述法表示为{x|x(x2－2x－3)＝0}．(2)由于大于1且小于7的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x∈Q|1<x<7}．(3)用描述法表示该集合为M ＝{(x ，y )|y ＝－x ＋4，x ∈N ，y ∈N }或用列举法表示该集合为{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}．[当 堂 达 标·固 双 基]1．用列举法表示大于2且小于5的自然数组成的集合应为( )A ．{x |2<x <5，x ∈N }B ．A ＝{2,3,4,5}C ．{2<x <5}D ．{3,4}D [大于2且小于5的自然数为3和4，所以用列举法表示其组成的集合为{3,4}．]2．下列集合表示的内容中，不同于另外三个的是( )A ．{x |x ＝1}B ．{y |(y －1)2＝0}C ．{x |x －1＝0}D ．{x ＝1}D [选项A 、B 、C 都表示用描述法表示集合，集合中的元素是1，而选项D 中元素为等式x ＝1.]3．若A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，用列举法表示B ＝________. {4,9,16} [由题意知，A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，∴B ＝{4,9,16}．]4．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0}，若4∈A ，则集合A 用列举法表示为________．{－1,4} [∵4∈A ，∴16－12＋a ＝0，∴a ＝－4，∴A ＝{x |x 2－3x －4＝0}＝{－1,4}．]5．用适当的方法表示下列集合：(1)方程组⎩⎨⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8的解集； (2)所有的正方形；(3)抛物线y ＝x 2上的所有点组成的集合．[解] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，故解集为{(4，－2)}．(2)集合用描述法表示为{x|x是正方形}，简写为{正方形}．(3)集合用描述法表示为{(x，y)|y＝x2}．。
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1.3 集合的基本运算(第2课时)补集及综合应用学案 新人教A
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第2课时补集及综合应用1．了解全集的含义及其符号表示．（易混点）2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(重点、难点）3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点)[基础·初探]教材整理补集阅读教材P10补集以下部分，完成下列问题．1．全集(1）定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．（2)记法:全集通常记作U。
2．补集文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U A符号语言∁U A＝｛x|x∈U，且x∉A}图形语言3∁U U＝∅,∁U∅＝U，∁U（∁U A）＝A.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”）(1)只有实数R才可以做为全集U.（）(2）一个集合的补集一定含有元素．( ）(3）集合∁Z N与集合∁Z N＊相等．（)【解析】（1）×.由全集的定义可知，所有的集合都可以做为全集．(2)×。
∵∁U U＝∅,∴（2）错．(3）×.∵0∉∁Z N,而0∈∁Z N＊，∴(3）错．【答案】（1)×（2)×（3）×2．已知全集U＝{x｜|x｜<5,x∈Z｝，A＝{0,1，2｝，则∁U A＝________。
《金版学案》2018-2019学年高中数学必修一(人教版)课件：第一章1.1-1.1.3第1课时并集与交集
答案：(1)C (2){m|m≥－1}
类型 2 集合交集的简单运算 [典例 2] (1)已知集合 A＝{x∈R|3x＋2>0}， B＝{x|x< －1 或 x>3}，求 A∩B； (2)若 A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x>a}，求 A∩B. 2 解：(1)由 3x＋2＞0，得 x>－ . 3
第一章
集合与函数概念
1.1
集合
1．1.3 集合的基本运算 第 1 课时 并集与交集
[学习目标]
1.理解两个集合的并集与交集的含义，
会求两个简单集合的并集与交集(重点)． 2.能使用 Venn 图表达集合的关系及运算， 体会直观图示对理解抽象概念 的作用(重点)． 3.能够利用交集、并集的性质解决有关 问题(重点、难点)．
解析：(1)错，A∪B 的元素个数小于或等于集合 A 与 集合 B 的元素个数和． (2)错，当集合 A 与 B 没有公共元素时，集合 A 与 B 的交集为∅，即 A∩B＝∅. (3)错，B 中最多有 3 个元素，也可能 B＝∅. 答案：(1)× (2)× (3)×
2．已知集合 M＝{－1，－2，－3，－4}，N＝{－3， 3}，下列结论成立的是( A．N⊆M C．M∩N＝N ) B．M∪N＝M D．M∩N 是单元素集合
[知识提炼· 梳理] 1．集合的并集 并集的三种语言表示： (1)文字语言：由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元 素组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集． (2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A 或 x∈B}．
(3)图形语言：如图所示．
温馨提示 “x∈A ，或 x∈B” 包括了三种情况： ①x∈A，但 x∉B；②x∈B，但 x∉A；③x∈A，且 x∈B.
2．求两个集合交集的一般方法：①明确集合中，借助数轴求解．③当所给集合中有一个不确 定时，要注意分类讨论，分类的标准取决于已知集合．
2018最新北师大版高中数学选修1-1学案：第一章 4.3 逻辑联结词“非”
4.3逻辑联结词“非”学习目标 1.理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p”命题.2.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的初步应用.3.理解命题的否定与否命题的区别．知识点一命题的否定思考1观察下列两个命题：①p：5是25的算术平方根；q：5不是25的算术平方根；②p：y＝cos x是偶函数；q：y＝cos x不是偶函数，它们之间有什么关系？逻辑联结词中“非”的含义是什么？思考2你能判断思考1中的问题所描述的两个命题的真假吗？p的真假与綈p的真假有关系吗？梳理(1)对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作__________，读作“非p”或“__________”．“綈p”形式命题：若p是真命题，则綈p必是__________；若p是假命题，则綈p必是__________．(2)逻辑联结词中“非”与生活中的“非”含义一致，表示“否定”“问题的反面”等，若把p看作集合A，则綈p就是集合A的补集．知识点二命题的否定与否命题的区别思考已知命题p：平行四边形的对角线相等，分别写出命题p的否命题和命题p的否定．梳理(1)命题的否定只否定结论，否命题既否定结论也否定条件，这是区分两者的关键．解答此类问题，首先要找出命题的条件与结论，再作出准确的否定．(2)注意常见词语的否定形式：类型一 命题的否定命题角度1 命题的否定的概念例1 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)x ∈(0,2)，函数y ＝x 2－x －1的最小值是－54且最大值是1； (2)100是10或20的倍数．反思与感悟 (1)对命题“p 且q ”的否定，除将简单命题p 、q 否定外，还需将“且”变为“或”．对命题“p 或q ”的否定，除将简单命题p 、q 否定外，还需将“或”变为“且”．(2)命题p 与命题p 的否定綈p 的真假相反．跟踪训练1 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p ：三角形的内角和等于180°；(2)p ：美国总统奥巴马是2009年度诺贝尔和平奖获得者．命题角度2命题的否定与否命题例2写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假．(1)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数；(2)若x2－3x－10＝0，则x＝－2或x＝5.反思与感悟原命题是“若A，则B”，其否定是“若A，则綈B”，条件不变，否定结论；其否命题是“若綈A，则綈B”，既要否定条件，又要否定结论．跟踪训练2写出下列命题的否定和命题的否命题．(1)若a>b，则a－2>b－2；(2)到圆心的距离等于半径的点在圆上．类型二命题否定的综合应用例3设命题p：函数f(x)＝log a|x|在(0，＋∞)上单调递增，命题q：关于x的方程x2＋2x＋log a 32＝0的解集只有一个子集．若“p或q”为真，“綈p或綈q”也为真，求实数a的取值范围．反思与感悟由真值表可判断p或q、p且q、綈p命题的真假，反之，由p或q，p且q，綈p命题的真假也可判断p、q的真假情况．一般求满足p假成立的参数范围，应先求p真成立的参数的范围，再求其补集．跟踪训练3已知命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，若“p或q”与“綈q”同时为真命题，求实数a的取值范围．1．已知命题p：3≥3，q：3>4，则下列判断正确的是()A．p或q为真，p且q为真，綈p为假B．p或q为真，p且q为假，綈p为真C．p或q为假，p且q为假，綈p为假D．p或q为真，p且q为假，綈p为假2．若p是真命题，q是假命题，则()A．p且q是真命题B．p或q是假命题C．綈p是真命题D．綈q是真命题3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为() A．(綈p)或(綈q) B. p或(綈q)C．(綈p)且(綈q) D．p且q4．已知命题p：|x＋1|>2，命题q：5x－6>x2，则綈p是綈q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．若命题p：2n－1是奇数，n∈Z，q：2n＋1是偶数，n∈Z.则p，q，綈p，綈q，p且(綈p)，p或(綈p)，p且(綈q)，p或(綈q)，綈p且(綈q)，(綈p)或(綈q)中真命题的个数是________．1．若命题p为真，则“綈p”为假；若p为假，则“綈p”为真，类比集合知识，“綈p”就相当于集合P在全集U中的补集∁U P.因此(綈p)且p为假，(綈p)或p为真．2．命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别．答案精析问题导学知识点一思考1 命题q 是对命题p 的否定，“非”表示“否定”“不是”“问题的反面”等． 思考2 ①p 为真命题，q 为假命题；②p 为真命题，q 为假命题．若p 为真命题，则綈p 为假命题．梳理 (1)綈p p 的否定 假命题真命题知识点二思考 命题p 的否命题：如果一个四边形不是平行四边形，那么它的对角线不相等；命题p 的否定：平行四边形的对角线不相等．梳理 (2)不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不能 不是 不都(全)是 某个 某两个 某些 至少两个 一个也没有 至少有(n ＋1)个 非p 且非q题型探究例1 解 (1)命题是“p 且q ”的形式，其中p ：x ∈(0,2)，函数y ＝x 2－x －1的最小值是－54；q ：x ∈(0,2)，函数y ＝x 2－x －1的最大值是1.p 真，q 假，该命题的否定是“x ∈(0,2)，函数y ＝x 2－x －1的最小值不是－54或最大值不是1”，这是“綈p 或綈q ”形式的复合命题，因为綈p 假，綈q 真，所以“綈p 或綈q ”为真命题．(2)命题是“p 或q ”的形式，其中p ：“100是10的倍数”；q ：“100是20的倍数”．它的否定形式为“綈p 且綈q ”，即“100不是10的倍数且不是20的倍数”是假命题． 跟踪训练1 解 (1)綈p ：三角形的内角和不等于180°.因为p 为真，故綈p 为假．(2)綈p ：美国总统奥巴马不是2009年度诺贝尔和平奖获得者．因为p 为真，故綈p 为假．例2 解 (1)命题的否定：若x 、y 都是奇数，则x ＋y 不是偶数，为假命题； 命题的否命题：若x ，y 不都是奇数，则x ＋y 不是偶数，为假命题．(2)命题的否定：若x 2－3x －10＝0，则x ≠－2且x ≠5，为假命题；命题的否命题：若x 2－3x －10≠0，则x ≠－2且x ≠5，为真命题．跟踪训练2 解 (1)命题的否定：若a >b ，则a －2≤b －2；否命题：若a ≤b ，则a －2≤b －2.(2)命题的否定：到圆心的距离等于半径的点不在圆上；否命题：到圆心的距离不等于半径的点不在圆上．例3 解 当命题p 是真命题时，应有a >1；当命题q 是真命题时，关于x 的方程x 2＋2x ＋log a 32＝0无解， 所以Δ＝4－4log a 32<0， 解得1<a <32. 由于“p 或q ”为真，所以p 和q 中至少有一个为真，又“綈p 或綈q ”也为真，所以綈p 和綈q 中至少有一个为真，即p 和q 中至少有一个为假，故p 和q 中一真一假．p 假q 真时，a 无解；p 真q 假时，a ≥32. 综上所述，实数a 的取值范围是a ≥32. 跟踪训练3 解 命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4a 2－4≥0，x 1＋x 2>－2，(x 1＋1)(x 2＋1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1≥0，－2a >－2，2－2a >0，解得a ≤－1.命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，等价于a ＝0或⎩⎨⎧a >0，Δ<0.由于⎩⎨⎧ a >0，Δ<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0， 解得0<a <4，所以0≤a <4.因为“p 或q ”与“綈q ”同时为真命题， 即p 真且q 假， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－1，a <0或a ≥4，解得a ≤－1. 故实数a 的取值范围是(－∞，－1]． 当堂训练1．D 2.D 3.A 4.A 5.6。
高中数学第一章集合1.2子集全集补集互动课堂学案
1.2 子集、全集、补集互动课堂疏导引导1.对于两个集合A、B，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集.记为A ⊆B或B ⊇A.疑难疏引对于两个集合A、B，如果A ⊆B且A≠B,则称集合A是集合B的真子集.记为A⊆B或B ⊇A;如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任意一个元素都是集合A的元素，则称集合A和集合B相等，记作A=B.2.（1）A＝B ⇔A⊆ B且B ⊆A.（2）A⊆B，B ⊆C ⇔A ⊆C, A B，B ⊆C ⇒A C, A ⊆B，B C ⇒A C.（3）若集合A有n个元素，则A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1,非空真子集的个数为2n-2.●案例1【探究】设集合A={0，1}，B={x｜x⊆A}，则集合A、B之间的关系如何？要确定A、B的关系，就必须弄清集合B的元素是什么，集合B的元素x⊆A，所以集合B={∅，{0}，{1}，{0，1}}.虽然“∈”表示元素与集合的关系，但是集合A作为B的一个元素出现，故A 与B之间用的是符号“∈”.【溯源】要认真分析所研究的对象是元素与集合之间的关系还是集合之间的关系.如果是元素和集合，那么只能用“∈”和“∉”，如果是两集合之间的关系，那么应该在“⊆”、“⊇”和“＝”中选择合适的符号表示.●案例2写出集合｛a,b,c}的所有子集.【探究】本题考查子集的概念，注意不要遗漏，可按元素个数的多少这一顺序书写，养成好的习惯.｛a,b,c},{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}.【溯源】空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；任何集合都是本身的子集，但不是本身的真子集.●案例3写出满足｛1，3｝⊆M ⊆｛1，3，5，7｝的所有集合M.【探究】根据题目条件可以知道集合M中至少含有元素1和3，最多只能有4个元素1、3、5、,7，所以相当在求集合｛5，7｝的所有子集，然后在这些子集中都加上元素1和3即可.所以所求集合M为｛1，3｝、｛1，3，5｝，｛1，3，7｝，｛1，3，5，7｝.【溯源】 1.若条件改为｛1，3｝M ⊆｛1，3，5，7｝，则符合条件的M应将上述四个集合中的｛1，3｝去掉.2.若仅需求M的个数则只需用公式24－2＝4即可.3.解题时应注意空集的独特性.可采用分类讨论、数形结合、等价转化思想解决集合与二次方程的综合应用题.●案例4已知集合A={1，2}，B={1，2，3，4，5}，且A M ⊆B，写出满足上述条件的集合M.【探究】集合M为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}.疑难疏引利用分类讨论的思想，考虑到集合B的所有可能的情况.这是处理集合与其子集之间关系的常用方法.另外，此题也可以利用韦达定理结合根的判别式求解.此题容易发生的错误是：没有注意题中的已知条件，又多加上B=∅的情形，从而造成画蛇添足!●案例5已知集合A={x|x2－2x－3=0}，集合B={x|ax－1=0}.若B是A的真子集，则a【探究】 本题可先从化简集合A 入手.因为 B A ,所以可写出B 的所有结果,再分别代入求值.∵A ={-1,3}, B A,∴B =∅,{1},{3}.若B =∅,则a =0;若B ={-1},则a =-1;若B ={3},则a =31. 综上,a 的值为-1,0,31. ●案例6已知A ={－3,4},B ={x |x 2－2px +q =0},B ≠∅,且B ⊆A ,求实数p 、,q 的值.【探究】 本题可以先求出集合B 的三种情况，再由方程的根来求出字母的值.由B ⊆A 知，B ={-3}或{4}或{-3，4}.当B ={-3}时，方程x 2－2px +q =0有两个相等的根-3∴⎩⎨⎧=-=∆=++.044,0692q p q p 解得⎩⎨⎧=-=;9,3q p ; 当B ={4}时，方程x 2－2px +q =0有两个相等的根4∴⎩⎨⎧=-=∆=+-.044,08162q p q p 解得⎩⎨⎧==;16,4q p p =4,q =16; 当B ={-3，4}时，方程x 2－2px +q =0的根是-3，4,∴⎩⎨⎧=+-=++.0816,069q p qp 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==.12,21qp【溯源】 本题应从集合B 的三种情况考虑，而不应该盲目地把-3，4带入方程. 活学巧用 1.（1）{1，2，3}______{3，2，1}（2）∅________{0};(3){3}_________{x |2<x <4};(4){x |x =2n +1,n ∈Z }_________{x |x =4n +1,n ∈Z}.【思路解析】 本题考查几个符号的正确应用情况.【答案】=2.设集合M ={x |x ≤0}( )A.0 ⊆MB .{0}∈MC .{0}⊆MD .∅∈M【思路解析】 本题考查几个符号的正确应用.【答案】 C3.集合A ={x |x =2n +1,n ∈Z },B ={y |y =4k ±1,k ∈Z },则A 与B 的关系为( )A.A BB.A BC.A =BD.A ≠B【思路解析】 易知集合A 就是奇数集，集合B 通过给k 赋值，也可以取到所有的奇数.【答案】 C4.已知A ={x |x <5},B ={x |x <a },若A ⊆B ，求实数a 的取值范围.【思路解析】 A ⊆B 说明A 的范围比B 的范围小.【解】 a ≥5.5.写出集合｛1，2，3｝的所有子集并求所有子集中元素之和.【思路解析】 按子集元素个数的多少分别写出它的子集，才能避免不重不漏，同时还应注.（1）由本题知，由3个元素组成的集合子集有8个.那么由2个元素组成的集合子集有几个？由4个元素呢？由5个元素呢？推而广之n 个元素组成的集合子集有多少个？（2n（2）A 中每个元素出现在子集中4次，是在写出所有子集后，再观察得出的结果，能否不写出A 的子集也得出同样结论？完全可行.注意到A 中的元素1，出现在A 的子集（｛1｝，｛1，2｝，｛1，3｝，｛1，2，3｝），如果从这些集合中去掉元素12｝，｛3｝，｛2，3｝，即为集合｛2，3｝的全部子集.一般而言，A 中n 个元素，而每一元素出现于集合中的次数为2n －1.故所有子集元素之和S ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2n －1.【解】∅，｛1｝，｛2｝，｛3｝，｛1，2｝，｛1，3｝，｛2，3｝，｛1，2，3｝.注意到A 中每个元素均出现了4次.故所有子集元素的和为（1＋2＋3）×4＝24.6.己知｛1，2｝⊆A ⊆｛1，2，3，4｝，求满足条件的集合A .【思路解析】 首先弄清应有怎样的元素组成集合A .【解】 ∵｛1，2｝⊆A ，∴A 中要有元素1和2.然后将A（1）A 中仅有元素1和2时，A ＝｛1，2｝.（2）A 在1、2的基础上增加1个，于是有A ＝｛1，2，3｝或A ＝｛1，2，4｝.（3）A 在1、2的基础上增加2个，于是有A ＝｛1，2，3，4｝.这样符合条件的集合A 共有4｛1，2｝，｛1，2，3｝，｛1，2，4｝，｛1，2，3，4｝.7.设集合A ={2,3,a 2+2a -3}，B ={2，5，b }，并且A =B ，求实数a 、b 的值.【思路解析】 本题考查集合相等的含义，易知{2,5,b }={2,3,a 2+2a -3}，解方程组即可.【解】 由已知，{2,5,b }={2,3,a 2+2a -3},∴⎩⎨⎧=-+=.532,32a a b b =3,a 2+2a -3=5. 解得⎩⎨⎧-==4,3a b 或⎩⎨⎧==.2,3a b【思路解析】构成集合的元素可以是世界万物，当然可以是集合，集合B中的元素就是集合.【解】B={∅},{0},{1},{0,1}，C={1},所以A∈B,C∈B,C⊆A.。
高一数学北师大版必修1教学教案第一章3-1交集与全集(4)
3．1 交集、并集一、教材的地位与作用本节通过实例，使学生掌握集合之间的两种运算——交和并。
集合作为一种数学语言，在后续的学习中是一种重要的工具。
因此，在教学过程中要针对具体问题，引导学生恰当使用自然语言、图形语言和集合语言来描述相应的数学内容。
有了集合的语言，可以更清晰的表达我们的思想。
所以，集合是整个数学的基础，在以后的学习中有着极为广泛的应用。
二、教学目标：1. 知识与技能:（1）理解交集与并集的概念；(2)理解“或”、“且”的含义,掌握交集、并集运算.2.过程与方法:①会用符号语言表示交集、并集;②掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集与并集；③逐步学会数形结合法.3.情感态度与价值观:通过对集合符号语言的学习，培养学生符号表达能力，培养严谨的学习作风，养成良好的学习习惯。
三、教学重难点教学重点：交集和并集的概念.教学难点：交集和并集的概念、符号之间的区别.学情分析：学习对象为高一新生，高一学生虽然在智力等各方面都有较之初中的发展，但毕竟刚刚由初中阶段上升而来，对于新的知识朦胧性较大，虽然集合的思想在小学以及初中就有了渗透，但是由于学生之间知识的差异层次较大，再者，一个概念的引入，如想较理性的认识还得靠深入的学习和多一些的训练。
学习习惯：高中级学生经过多年的学习，已经有了自己初级的学习习惯和方法，我们可以充分调动他们的积极性，并且适当帮助他们调整学习方法中的不妥之处。
四、教法学法与教具教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质，采用如下的教学方法：(1)类比发现法。
通过让学生类比实数加法运算引入集合间的运算。
(2)图示法。
利用Venn图和数轴让学生理解集合的交与并。
教具：多媒体.五、教学过程：一、创设情景：1、观察集合A,B,C元素间的关系:A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，C={5，8}2、观察集合A,B,C元素间的关系: A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，C={3，4，5，6，7，8}师：请观察1中A、B、C三个集合的元素，你能发现什么？生：集合C的元素是集合A、B的公共元素.师：请观察2中A、B、D三个集合的元素，你能发现什么？生：集合A与集合B中的元素都是集合D中的元素.师: 我们把集合C叫做集合A与B的交集，把集合D叫做集合A与B的并集这是这节课我们要学习的两个重要概念.二、讲解新课：名称交集并集文字语言一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做A与B的交集．一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集．记法A B（读作“A交B”）A B（读作“A并B”）符号语言A B=｛x|x∈A，且x∈B｝A B ={x|x∈A，或x∈B}图形语言（一般情形）引导学生自主对交集和并集进行概念的类比、内涵类比、外延类比，重点讲清“且”与“或”的区别与联系，为分析问题、解决问题的实际应用中能迅速、准确地决定取“交”还是取“并”扫清障碍。
1.1.2集合的基本关系(2015新人教版高中数学必修一导学案)
1.1.2集合间的基本关系教案【教学目标】(1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。
(2)理解子集.真子集的概念。
(3)能使用venn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.【教学重难点】重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念.难点：难点是属于关系与包含关系的区别．【教学过程】一、导入新课问题l ：实数有相等.大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？让学生自由发言，教师不要急于做出判断。
而是继续引导学生；欲知谁正确，让我们一起来观察.研探.二、新知探究问题2：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？（1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B ==；(2)设A 为某中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B 为这个班学生的全体组成的集合；(3)设{|},{|};C x x D x x ==是两条边相等的三角形是等腰三角形(4){2,4,6},{6,4,2}E F ==.组织学生充分讨论.交流，使学生发现两个集合所含元素范围存在各种关系，从而类比得出两个集合之间的关系:①一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集.记作：()A B B A ⊆⊇或读作：A 含于B(或B 包含A).②如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等.教师引导学生类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么类似之处，强化学生对符号所表示意义的理解。
并指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图。
如图l 和图2分别是表示问题2中实例1和实例3的Venn 图.问题3：与实数中的结论“若,,a b b a a b ≥≥=且则”相类比，在集合中，你能得出什么结论?教师引导学生通过类比，思考得出结论: 若,,A B B A A B ⊆⊆=且则.3、核对预习学案的答案 学生发言、补充，教师完整归纳。
北师大版数学必修一《集合的基本关系》参考课件
规律方法
(1) 分类讨论是写出所有子集的有效方
法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由 少到多的原则，做到不重不漏．(2)集合 A 中有 n 个 元素，则集合 A 有 2n 个子集，有(2n－1)个真子集， (2n－1)个非空子集，(2n－2)个非空真子集．
变 式 迁 移 1 已 知 集 合 M 满 足 {1,2} ⊆ M ⊆ {1,2,3,4,5}，写出集合 M.
解 (1)∵B⊆A， ①当 B＝∅时， m＋1≤2m－1， －3≤2m－1 ②当 B≠∅时，有m＋1≤4 2m－1<m＋1 解得 m≥2. ，
解得－1≤m<2， 综上得 m≥－1. (2)显然 A≠∅，又 A⊆B，∴B≠∅， 如图所示，
2 m 1 m 1 ∴ ，解得 m∈∅. 2 m 1 3 m 1 4
方法二 ∵A＝B，∴A、B 中元素分别对应相同． 2 ① x＋y＝2x＋y ， x＋y(y－1)＝0， ∴ 即 2 y＝2x· y， ② x· xy(2y－1)＝0. ∵集合中元素互异，∴x、y 不能同时为 0. 1 ∴y≠0.由②得 x＝0 或 y＝ . 2 当 x＝0 时，由①知 y＝1 或 y＝0(舍去)； 1 1 当 y＝ 时，由①得 x＝ . 2 4 1 x＝4， x＝0， ∴ 或 y＝1， y＝1. 2
规律方法
(1)分析集合关系时，首先要分析
简化每个集合． (2)此类问题通常借助数轴， 利用数轴分析法， 将各 个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验 证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表 示，不含“=”用空心点表示． (3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱” ，尤其 是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非 空集合而丢解，因此分类讨论思想是必须的．
高中数学第一章预备知识1.3第1课时交集与并集学案北师大版
集合的基本运算新课程标准解读核心素养1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交数学抽象、数学运算集，了解全集的含义数学抽象，能求给定子集的补集数学抽象、数学运算Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用数学运算、直观想象第1课时交集与并集公务员，是指在各级政府机关中，行使国家行政职权，执行国家公务的人员．每年都有很多人报名参加考试，常出现一个岗位若干人争夺的局面．2020国家公务员考试报考条件中规定，报考人员应符合以下条件(摘录)：(1)具有中华人民共和国国籍；(2)18周岁以上、35周岁以下(1983年10月至2001年10月期间出生)，2020年应届硕士研究生和博士研究生(非在职)人员年龄可放宽到40周岁以下(1978年10月以后出生)；……(7)具有大学专科及以上文化程度．[问题] 根据以上条件，哪些人可以报名参加公务员考试呢？知识点一交集一般地，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A 文字语言与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”符号语言A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}图形语言A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅∩A＝∅，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A⊆B⇔A∩B 运算性质＝A对交集概念的理解(1)运算结果：A∩B是一个集合，由集合A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成；(2)关键词“所有”：概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”；(3)A∩B＝∅的含义：当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集．若A∩B＝A，则A与B有什么关系？提示：若A∩B＝A，则A⊆B.1．已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{－1，0，3}，则A∩B＝________．答案：{－1，0}2．若集合A＝{x|－3＜x＜4}，B＝{x|x＞2}，C＝{x|x≤－3}，则A∩B＝________，A ∩C＝________．答案：{x|2＜x＜4} ∅知识点二并集文字语言一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫作集合A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}图形语言运算性质A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A，A⊆A∪B，B⊆A∪B，A⊆B⇔A∪B＝B对并集概念的理解(1)运算结果：A∪B仍是一个集合，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成，公共元素只能算一次(元素的互异性)；(2)并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A，但x∉B”；“x∈B，但x∉A”；“x∈A，且x∈B”．1．已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q＝( )A．{x|－1≤x＜3} B．{x|－1≤x≤4}C．{x|x≤4} D．{x|x≥－1}解析：选C 在数轴上表示出两个集合，如图，可得P∪Q＝{x|x≤4}．2．设集合M＝{4，5，6，8}，N＝{3，5，7，8}，则M∪N＝________．答案：{3，4，5，6，7，8}交集的运算[例1] (链接教科书第9页例6)(1)已知集合A＝{－2，0，3}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝( )A．∅B．{2}C．{0} D．{－2}(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝( )A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}[解析] (1)方程x2－x－2＝0的解为x＝－1或2，∴B＝{－1，2}，∴A∩B＝∅.故选A.(2)在数轴上表示出集合A与B，如图所示，则由交集的定义知，A∩B＝{x|0≤x≤2}．[答案] (1)A (2)A求两个集合的交集的方法(1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可；(2)对于元素是连续实数的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．[跟踪训练]1．(2021·南通高一月考)已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝( ) A．{0} B．{2}C．{1，2} D．{0，1，2}解析：选B ∵集合A＝{x|x＞1}，B＝{0，1，2}，∴A∩B＝{2}．故选B.2．已知M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，则M∩N＝( )A ．x ＝3，y ＝－1B ．(3，－1)C ．{3，－1}D ．{(3，－1)}解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，故M ∩N ＝{(3，－1)}.并集的运算[例2] (链接教科书第10页练习3题)(1)已知集合M ＝{x |－3＜x ≤5}，N ＝{x |x ＜－5或x ＞5}，则M ∪N ＝( )A ．{x |x ＜－5或x ＞－3}B ．{x |－5＜x ＜5}C ．{x |－3＜x ＜5}D ．{x |x ＜－3或x ＞5}(2)已知集合M ＝{0，1}，则满足M ∪N ＝{0，1，2}的集合N 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．8[解析] (1)在数轴上表示出集合M ，N (图略)，可知M ∪N ＝{x |x ＜－5或x ＞－3}．故选A.(2)依题意，可知满足M ∪N ＝{0，1，2}的集合N 有{2}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，共4个．故选C.[答案] (1)A (2)C求集合并集的2种基本方法(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解．[跟踪训练]1．(2021·吉林实验中学高一月考)已知集合A ＝{x |2≤x ＜4}，B ＝{x |3x －7≥8－2x }，则A ∪B ＝( )A ．{x |3≤x ＜4}B ．{x |x ≥2}C ．{x |2≤x ＜4}D ．{x |2≤x ≤3}解析：选B 由集合B 知5x ≥15，即x ≥3，结合数轴(图略)知A ∪B ＝{x |x ≥2}，故选B.2．(多选)满足{1，3}∪A ＝{1，3，5}的所有集合A 可能是( ) A ．{5} B ．{1，5} C ．{3}D ．{1，3}解析：选AB 由{1，3}∪A＝{1，3，5}知，A⊆{1，3，5}，且A中至少有1个元素5，从而A中其余元素是集合{1，3}的子集的元素．而{1，3}有4个子集，因此满足条件的A 有4个，它们分别是{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}．由集合的交集、并集求参数[例3] 集合A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}．(1)若A∩B＝∅，求a的取值范围；(2)若A∪B＝{x|x＜1}，求a的取值范围．[解] (1)A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}，且A∩B＝∅，如图①所示，∴数轴上点x ＝a在点x＝－1左侧，且包含点x＝－1，∴{a|a≤－1}．(2)A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}，且A∪B＝{x|x＜1}，如图②所示，∴数轴上点x ＝a在点x＝－1和点x＝1之间，不包含点x＝－1，但包含点x＝1.∴{a|－1＜a≤1}．[母题探究](变条件)本例(1)中，把“A∩B＝∅”改为“A∩B≠∅”，求a的取值范围．解：利用数轴(略)表示出两个集合，数形结合知，要使A∩B≠∅，需数轴上点x＝a在点x＝－1右侧且不包含点x＝－1，所以{a|a＞－1}．利用集合交集、并集的性质解题的方法(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合的基本关系去分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B等，解答时应灵活处理；(2)当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时一定要考虑B＝∅的情况，切不可漏掉．[跟踪训练]1．若A＝{x2，2x－1，－4}，B＝{x－5，1－x，9}，A∩B＝{9}，则x＝________．解析：由A∩B＝{9}可知9∈A，则x2＝9或2x－1＝9，解得x＝±3或x＝5.①当x＝3时，x－5＝1－x＝－2，集合B中元素不满足互异性，故舍去x＝3；②当x＝－3时，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8，4，9}，满足题意；③当x＝5时，A＝{25，9，－4}，B＝{0，－4，9}，此时A∩B＝{－4，9}，这与A∩B ＝{9}矛盾，故舍去x＝5.综上可知，x＝－3.答案：－32．已知集合A ＝{x |－1≤x ＜3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}． (1)求A ∩B ；(2)若集合C ＝{x |2x ＋a ＞0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意得B ＝{x |x ≥2}， ∴A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}． (2)由题意得C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＞－a 2，∵B ∪C ＝C ，∴B ⊆C ， ∴－a2＜2，解得a ＞－4.∴实数a 的取值范围是{a |a >－4}．1．(2019·北京高考)已知集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x >1}，则A ∪B ＝( ) A ．(－1，1) B ．(1，2) C ．(－1，＋∞) D ．(1，＋∞)解析：选C将集合A ，B 在数轴上表示出来，如图所示．由图可得A ∪B ＝{x |x >－1}．故选C . 2．(2019·天津高考)设集合A ＝{－1，1，2，3，5}，B ＝{2，3，4}，C ＝{x ∈R |1≤x <3}，则(A ∩C )∪B ＝( )A ．{2}B ．{2，3}C ．{－1，2，3}D ．{1，2，3，4} 解析：选D ∵A ∩C ＝{－1，1，2，3，5}∩{x ∈R |1≤x <3}＝{1，2}，∴(A ∩C )∪B ＝{1，2}∪{2，3，4}＝{1，2，3，4}．故选D.3．设S ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，T ＝{x |a ＜x ＜a ＋8}，若S ∪T ＝R ，则实数a 应满足( ) A ．－3＜a ＜－1 B ．－3≤a ≤－1 C ．a ≤－3或a ＞－1D ．a ＜－3或a ＞－1解析：选A 在数轴上表示集合S ，因为S ∪T ＝R ，由数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－1，a ＋8＞5，解得－3＜a A.4．(2021·济宁第一学期质量检测)已知集合A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{－2，－1，0，1，2}，则集合A ∩B ＝( )A ．{0}B ．{－1，0}C ．{0，1}D ．{－1，0，1}解析：选B A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{－2，－1，0，1，2}，∴A ∩B ＝{－1，0}．故选B.5．已知集合A ＝{x ∈R |2x －3≥0}，B ＝{x ∈R |x ＜a }．若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围为________．解析：A ＝{x ∈R |2x －3≥0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≥32，B ＝{x ∈R |x ＜a }，因为A ∩B ＝∅，所以a ≤32.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32。
2018版高中数学人教版A版必修一学案第一单元 1.1.1 第2课时 集合的表示 Word版含答案
第课时集合的表示学习目标.掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法(重点).能够运用集合的两种表示方法表示一些简单的集合(难点)．预习教材－，完成下面问题：知识点集合的表示方法()列举法：①一一列举出来，并用花括号定义：把集合的元素“”{}括起来表示集合的方法叫做列举法；②形式：＝{，，，…，}．()描述法：①定义：用集合所含元素的；共同特征表示集合的方法称为描述法②写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的，再画一条竖线一般符号及取值(或变化)范围，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．【预习评价】()集合{∈*－<}的另一种表示形式是()．{}．{}．{}．{}()方程－＝的解集用列举法表示为．解析()由－<得<，又∈*，故的值为，用列举法表示为{}．()由－＝得＝，即＝±，故其解集用列举法表示为{－}．答案() (){－}题型一用列举法表示集合【例】用列举法表示下列集合：()的正约数组成的集合；()不大于的正偶数集；()方程组(\\(＋＋＝，－＋＝))的解集．解()因为的正约数为，所以所求集合可表示为{}．()因为不大于的正偶数有，所以所求集合可表示为{}．()解方程组(\\(＋＋＝，－＋＝，))得(\\(＝－，＝.))所以所求集合可表示为{(－)}．规律方法用列举法表示集合的三个注意点()用列举法表示集合时，首先要注意元素是数、点，还是其他的类型，即先定性．()列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便．()搞清集合是有限集还是无限集是选择恰当的表示方法的关键．【训练】用列举法表示下列集合：()绝对值小于的偶数；()与的公约数；()方程组(\\(＋＝，－＝))的解集．解()绝对值小于的偶数集为{－，－}，是有限集．(){}，是有限集．()由(\\(＋＝，－＝，))得(\\(＝，＝.))∴方程组(\\(＋＝，－＝))的解集为{(，)(\\(＋＝，－＝))}＝{(，)(\\(＝，＝))}＝{()}，是有限集.()正偶数集；()被除余的正整数的集合；()平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．解()偶数可用式子＝，∈表示，但此题要求为正偶数，故限定∈*，所以正偶数集可表示为{＝，∈*}．()设被除余的数为，则＝＋，∈，但元素为正整数，故＝＋，∈，所以被除余的正整数集合可表示为{＝＋，∈}．()坐标轴上的点(，)的特点是横、纵坐标中至少有一个为，即＝，故坐标轴上的点的集合可表示为{(，)＝}．【迁移】(变换条件)例()改为“用描述法表示平面直角坐标系中位于第二象限的点的集合．”解位于第二象限的点(，)的横坐标为负，纵坐标为正，即<，>，故第二象限的点的集合为{(，)<，>}．【迁移】(变换条件)例()改为“用描述法表示图中阴影部分点(含边界)的坐标的集合．”。
北师大版数学高一必修1学案第一章2集合的基本关系
2 集合的基本关系1．子集(1)子集的概念一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即若a∈A，则a∈B，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作A⊆B(或B⊇A)，这时我们说集合A是集合B的子集．谈重点如何理解子集的概念(1)从文字的角度来看，集合A是集合B的子集，一定要强调集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即强调任意性，否则不一定成立．例如A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，集合A中有一个元素“1”不在集合B中，B中元素“4,5”不在集合A中，因此集合A与集合B不具有包含关系，尽管集合B中的元素比集合A中的元素多，但也不能以元素个数的多少来确定包含关系．(2)从符号的角度看，“A⊆B”说明“对任意的x∈A，都有x∈B”．这种符号语言对于证明一个集合是另一个集合的子集，作用十分明显．(3)当集合A不包含于集合B(或集合B不包含集合A)时，记作A B(或B A)，用符号可以表示为“存在一个x∈A，使得x∉B”．“A B”表达的意义有两个方面．其一，A，B互不包含，如A＝{2,3}，B＝{4,5}；其二，A有可能包含B，如A＝{2,3,4,5}，B＝{3,4,5}．(2)子集的图形表示为了直观地表示集合间的关系，我们常用封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图．常用的封闭曲线有椭圆、矩形等．如，若用A表示我们班所有同学组成的集合，用B表示我们班所有女同学组成的集合，则B⊆A.集合A与B的关系可用Venn图表示为：(3)子集的性质根据子集的定义和Venn图的表示方法可以得到以下性质：①任何一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A.②规定：空集是任何集合的子集，也就是说，对于任何一个集合A，都有∅⊆A.③对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C，即子集具有传递性，并且这条性质也可以推广到有限多个集合，即：若A⊆B，B⊆C，C⊆D，…，M⊆N，则A⊆N.下面仅对三个集合的情况进行证明．证明：设x是集合A中的任一元素，∵A⊆B，∴x∈B.又∵B⊆C，∴x∈C，即可由x∈A推出x∈C.∴A⊆C.【例1－1】下列命题：(1)空集没有子集；(2)任何集合至少有两个子集；(3)空集是任何集合的子集；(4)若∅⊆A，则A≠∅；(5)集合A⊆B，就是集合A中的元素都是集合B中的元素，集合B中的元素也都是集合A中的元素．其中正确的有()．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：(1)错误，因为空集是任何集合的子集，其中“任何集合”包括空集，所以∅⊆∅也成立(或由于任何一个集合都是它本身的子集，所以空集的子集是它本身)；(2)错误，如空集只有一个子集，即它本身；(3)正确；(4)错误，由∅⊆A可知，集合A可以是任何集合，其中包括∅；(5)错误，A⊆B只能说明集合A中的任何元素都是集合B中的元素，而不能说明集合B 中的元素都是集合A中的元素．答案：B【例1－2】已知集合A＝{－1,0}，集合B＝{0,1，x＋2}，且A⊆B，则实数x的值为__________．解析：由A⊆B可知，集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，也就是说，集合A中的元素－1,0都必须在集合B中，故x＋2＝－1，x＝－3.答案：－32．集合相等对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B 中的任何一个元素都是集合A中的元素，这时，我们就说集合A与集合B相等，记作A＝B.即若A⊆B，又B⊆A，则A＝B.用Venn图可表示为：谈重点如何理解集合相等的概念(1)所谓集合A与集合B相等，就是集合A，B中的元素完全相同．例如，试比较集合A ＝{x|x2－1＝0}与集合B＝{－1,1}的关系．由x2－1＝0可知x＝±1，所以集合A用列举法可表示为A＝{－1,1}，我们看到集合A与B中都含有两个元素－1,1，故A＝B.(2)集合相等的概念中给出了一种证明集合相等的方法，即欲证A＝B，只需证A⊆B与B⊆A都成立．【例2－1】下列各组中的两个集合相等的有()．①P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}；②P＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，Q＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}；③P＝{x|x2－x＝0}，Q＝1(1),2nx x n⎧⎫+-⎪⎪=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭Z.A．①②③B．①③C．②③D．①②解析：①集合P，Q都表示所有偶数组成的集合，有P＝Q；②P是由1,3,5，…所有正奇数组成的集合，Q是由3,5,7，…所有大于1的正奇数组成的集合，1∉Q，∴P≠Q.③P＝{0,1}，当n为奇数时，1(1)2nx+-==，当n为偶数时，1(1)12nx+-==，∴Q＝{0,1}，P＝Q.答案：B【例2－2】已知A＝{1，x,2x}，B＝{1，y，y2}，若A⊆B，且A⊇B，求实数x和y的值．分析：由A ⊆B ，且A ⊇B 可知A ＝B ，即集合A 与B 中的元素相同，可根据集合中元素的性质，用分类讨论的方法，通过列方程组求出x ，y 的值；也可根据两个集合中元素的和与积分别相等来建立方程组．两种方法殊途同归，需要注意的是最后都要检验集合中的元素是否具有互异性．解：(方法1)由A ⊆B ，且A ⊇B 知，A ＝B ，由集合相等的概念可得：2,2,x y x y =⎧⎨=⎩或2,2.x y x y ⎧=⎨=⎩ 解方程组得0,0,x y =⎧⎨=⎩或2,2,x y =⎧⎨=⎩或1,41.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 当x ＝0，y ＝0时，A ＝{1,0,0}，B ＝{1,0,0}不符合集合中元素的互异性，舍去．∴x ＝2，y ＝2或14x =，12y =. (方法2)由A ⊆B ，且A ⊇B 知，A ＝B . ∴集合A 与B 中元素的和与积分别相等，即22121,121.x x y y x x y y ⎧++=++⎨⋅⋅=⋅⋅⎩ 解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或2,2,x y =⎧⎨=⎩或1,41,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 当x ＝0，y ＝0时，A ＝{1,0,0}，B ＝{1,0,0}不符合集合中元素的互异性，舍去．∴x ＝2，y ＝2或14x =，12y =. 3．真子集(1)真子集的概念对于两个集合A 与B ，如果A ⊆B ，并且A ≠B ，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B (或B A )，读作“集合A 真包含于集合B (或集合B 真包含集合A )”．从符号的角度来看，则为对任意的x ∈A ，都有x ∈B ，但存在x 0∈B ，使得x 0∉A .例如：已知集合A ＝{a ，b }，集合B ＝{a ，b ，c ，d }，试判断集合A ，B 的关系．显然A ⊆B ，又因为B 中存在一个元素c ，使c ∉A ，所以AB . (2)真子集的Venn 图表示 如果集合A 是集合B 的真子集，则用Venn 图表示这两个集合的关系为：即把表示A 的区域画在表示B 的区域内，但区域A 不能与B 重合．(3)真子集的性质根据真子集的定义和Venn 图的表示方法可以得到以下性质：①任何一个集合A 都不是其自身的真子集．②规定：空集是任何非空集合的真子集，即若集合A ≠∅，则∅A .③对于集合A，B，C，如果A B，B C，则A C，即真子集具有传递性．这条性质可以推广到有限多个集合，即若A B，B C，C D，…，M N，则A N.下面仅对三个集合的情况进行证明．证明：设x是集合A中的任一元素，∵A B，∴x∈B，且B中至少有一个元素a，使得a∉A，又B C，∴x∈C，a∈C，且C中至少存在一个元素b，使得b∉B，∴x∈C，且C中至少有两个元素a，b，使得a∉A，b∉A，∴A C.【例3】设集合A＝{2,8，a}，B＝{2，a2－3a＋4}，且A B，则a的值为__________．解析：因为A B，所以集合B中的元素都在集合A中，对照两个集合中的元素可得a2－3a＋4＝8或a2－3a＋4＝a.由a2－3a＋4＝8，得a＝4或a＝－1；由a2－3a＋4＝a，得a＝2.经检验：当a＝2时，集合A，B中元素有重复，与集合元素的互异性矛盾，所以符合题意的a的值为－1或4.答案：－1或4警误区不可忽视元素的互异性此题易错点是忘记对a的值进行检验，忽视集合中元素的互异性．4．元素与集合、集合与集合之间关系的判断(1)元素与集合的关系是属于与不属于的关系；集合与集合之间的关系是包含与不包含的关系，在包含关系中又分真包含、相等两种情况．(2)符号“∈”和“⊆”的区别：符号“∈”只能适用于元素与集合之间，符号“∈”的左边只能写元素，右边只能写集合，说明左边的元素属于右边的集合，表示元素与集合之间的关系，如－1∈Z，2∈R；符号“⊆”只能适用于集合与集合之间，其左右两边都必须写集合，说明左边的集合是右边集合的子集，左边集合的元素均属于右边的集合，如{1}⊆{1,0}，{x|x＜2}⊆{x|x＜3}．析规律如何判断两个集合间的基本关系判断两个集合间的关系时，主要是根据这两个集合中元素的特征，结合有关定义来判断．对于用列举法表示的集合，只需要观察其元素即可知道它们之间的关系；对于用描述法表示的集合，要从所含元素的特征来分析，分析之前可以多取几个元素来估计它们之间可能有什么关系，然后再加以证明．【例4－1】在以下六个写法中：①{0}∈{0,1}；②∅{0}；③{0,1，－1}⊆{－1,0,1}；④0∈∅；⑤Z＝{全体整数}；⑥{(0,0)}＝{0}，错误写法的个数是()．A．3B．4C．5D．6解析：①中是两个集合的关系，不能用“∈”；④∅表示空集，空集中无任何元素，所以应是0∉∅；⑤集合符号“{}”本身就表示全体之意，故此“全体”不应写；⑥等式左边集合的元素是平面直角坐标系的原点，而右边集合的元素是数零，故不相等．只有②和③正确，因为空集是任何非空集合的真子集，任何集合都是其本身的子集．答案：B【例4－2】判断下列集合之间的关系：(1)A＝{三角形}，B＝{等腰三角形}，C＝{等边三角形}；(2)A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|－1≤x≤2}，C＝{x|x2＋4＝4x}；(3)A＝{x|1≤x≤1010}，B＝{x|x＝t2＋1，t∈R}，C＝{x|2x＋1≥3}；(4)1,24kA x x k⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z，1,42kB x x k⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z.分析：给出两个集合A与B，其关系有如下情况：A＝B，A B，B A，A⊆B，B⊆A，A B，B A.因此判断两集合之间的关系时，要根据集合相等、真子集、子集、互不包含的定义，转化为分析它们所含元素的关系．解：(1)∵等腰三角形、等边三角形是两种特殊的三角形，而等边三角形又是特殊的等腰三角形，∴A B C.(2)∵A＝{－1,2}，B＝{x|－1≤x≤2}，C＝{2}，∴C A B.(3)∵A＝{x|1≤x≤1010}，B＝{x|x≥1}，C＝{x|x≥1}，∴A B＝C.(4)∵21,4kA x x k⎧+⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z，2,4kB x x k⎧+⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z，而当k∈Z时，2k＋1是奇数，k＋2是整数，∴A B.5．集合子集个数的确定(1)当一个集合的元素个数很少时，可以直接写出它的全部子集，从而获取其子集的个数．例如：列举集合{1,2,3}的所有子集．在书写时可以按子集元素个数的多少分别写出所有子集(以一定顺序来写不易发生重复和遗漏现象)．含有0个元素的子集有：∅；含有1个元素的子集有：{1}，{2}，{3}；含有2个元素的子集有：{1,2}，{1,3}，{2,3}；含有3个元素的子集有：{1,2,3}．所以集合{1,2,3}的所有子集的个数为8.(2)当一个集合中元素个数较多时，一一写出它的全部子集不太现实，对于其子集的个数有如下结论：①含有n个元素的集合有2n个子集．②含有n个元素的集合有2n－1个真子集．③含有n个元素的集合有2n－1个非空子集．④含有n个元素的集合有2n－2个非空真子集．例如：集合A＝{1,2,3}中含有3个元素，其子集的个数是23＝8，真子集的个数是23－1＝7，非空子集的个数是7，非空真子集的个数是6.解技巧求有限集合的子集步骤求有限集合的子集，首先明确有限集合的元素的个数，然后再套用相应的公式即可．【例5－1】集合A＝{x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数是()．A．16 B．8 C．7 D．4解析：集合A用列举法可表示为{0,1,2}，其含有3个元素，故A的真子集的个数是23－1＝7.答案：C【例5－2】已知非空集合M⊆{1,2,3,4,5}，且若a∈M，则6－a∈M，那么集合M的个数为()．A．5 B．6 C．7 D．8解析：已知a∈M,6－a∈M，且∅M⊆{1,2,3,4,5}，又∵当a＝1时，6－a＝5∈M；当a＝2时，6－a＝4∈M；当a＝3时，6－a＝3∈M；当a＝4时，6－a＝2∈M；当a＝5时，6－a＝1∈M，∴非空集合M可能是{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共7个．答案：C【例5－3】已知集合M满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，则集合M的个数是________．解析：(方法1)由题意可知，集合M中至少含有元素1,2，至多含有元素1,2,3,4,5.故可按M中所含元素的个数分类写出集合M.当M中含有两个元素时，M为{1,2}；当M中含有三个元素时，M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；当M中含有四个元素时，M为{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；当M中含有五个元素时，M为{1,2,3,4,5}．所以满足条件的集合M有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共8个．(方法2)由{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}知，集合M中一定含有元素1,2，而不一定含有元素3,4,5，所以问题可转化为求集合{3,4,5}的子集的个数，即23＝8个．答案：86．已知两集合间的关系求参数的值已知两集合之间的关系求参数的值时，要明确集合中的元素，通常依据相关的定义，观察这两个集合元素的关系，进而转化为解方程或解不等式．这类问题常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时，常借助于数轴，利用数形结合来建立变量间的关系．需要特别说明的是有关等号能否取到的问题(界点问题)，在解决具体问题时，一方面要注意端点是实心还是空心，另一方面可以将端点值代入检验．例如：已知集合A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|x＜a}．若A B，求实数a的取值范围．我们可以先把集合A中的元素在数轴上表示出来，再根据两个集合之间的关系确定a，这样就能非常直观地看出实数a的取值范围是a≥4(如图所示)．警误区忽视空集致错若B⊆A，则可分B＝∅或B≠∅两种情况进行分类讨论，有时还会涉及对最高次项系数的讨论，对二次函数根的讨论等，在讨论中，B可能为∅易被忽视，要注意这一“陷阱”，时刻记住空集是任何集合的子集这一性质．【例6－1】已知集合A＝{x|－3＜x＜4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，求实数m的取值范围．解：由B⊆A，将集合A，B分别表示在数轴上(如图所示)．∵B⊆A，∴当B＝∅时，m＋1＜2m－1，解得m＞2；当B≠∅时，有321,211,14,mm mm-<-⎧⎪-≤+⎨⎪+<⎩解得－1＜m≤2.综上可知，m的取值范围是{m|m＞－1}．【例6－2】已知集合A＝{x|x2－2x－8＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a2－12＝0}，求满足B⊆A 的a值组成的集合．分析：若B⊆A，则可分B＝∅和B≠∅两种情况进行分类讨论，通过解方程或不等式求出参数a的取值范围．解：由已知得A＝{－2,4}，B是关于x的一元二次方程x2＋ax＋a2－12＝0(*)的解集．方程(*)的判别式Δ＝a2－4(a2－12)＝－3(a2－16)．(1)若B＝∅，则方程(*)没有实数根，即Δ＜0，∴－3(a2－16)＜0，解得a＜－4或a＞4.此时B⊆A.(2)若B≠∅，则B＝{－2}或{4}或{－2,4}．①若B＝{－2}，则方程(*)有两个相等的实数根x＝－2，∴(－2)2＋(－2)a＋a2－12＝0，即a2－2a－8＝0.解得a＝4或a＝－2.当a＝4时，恰有Δ＝0.当a＝－2时，Δ＞0，舍去．∴当a＝4时，B⊆A.②若B＝{4}，则方程(*)有两个相等的实数根x＝4，∴42＋4a＋a2－12＝0，解得a＝－2，此时Δ＞0，舍去．③若B＝{－2,4}，则方程(*)有两个不相等的实数根x＝－2或x＝4，由①②知a＝－2，此时Δ＞0，－2与4恰是方程的两根，∴当a＝－2时，B⊆A.综上所述，满足B⊆A的a值组成的集合是{a|a＜－4或a＝－2或a≥4}．7．判断两个集合相等的方法判断两个集合相等的方法有：(1)利用集合相等的定义，即两个集合中的元素是否完全相同来判断．①将两个集合中的元素一一列出比较；②看集合中的代表元素是否一致且代表元素满足的条件是否相同，若两者均一致，则可判断其相等．(2)利用集合相等的等价命题来证明，即A⊆B且B⊆A，则A＝B.此法常适用于无限集，其关键是将集合中元素满足的条件作适当变形．【例7】集合A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝4k±1，k∈Z}，试证A＝B.证明：(1)任取x∈A，则x＝2k－1，k∈Z，若k为偶数，则k＝2m，m∈Z，此时x＝4m－1，m∈Z，∴x∈B.若k为奇数，则k＝2m－1，m∈Z，此时x＝4m－3＝4(m－1)＋1，m－1∈Z，∴x∈B.综上所述，任取x∈A，均有x∈B，∴A⊆B.(2)任取y∈B，则y＝4k±1，k∈Z.当y＝4k＋1时，y＝2(2k)＋1＝2(2k＋1)－1且2k＋1∈Z.∴y∈A. 当y＝4k－1时，y＝2(2k)－1,2k∈Z，∴y∈A.综上所述，任取y∈B，均有y∈A，∴B⊆A.由(1)(2)知，A＝B.。
新教材2021-2022学年高一数学北师大版必修第一册学案：第1章 章末综合提升含答案
类型1集合及其数学思想【例1】(1)已知全集U＝{1,2,3,4}，A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝() A．{1,3,4} B．{3,4}C．{3} D．{4}(2)已知集合A＝{x|－3＜x＜3}，B＝{x|2k－1＜x＜2k＋1}，且A∪B＝A，则实数k 的取值范围是_______．(3)已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x ＜0}，若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是_______．(1)D (2)－1≤k ≤1 (3){m |m ≤－1} [(1)∵A ∪B ＝{1,2,3}，∴∁U (A ∪B )＝{4}．(2)由A ∪B ＝A ，得A ⊇B ，又B ≠∅，则⎩⎨⎧2k －1≥－32k ＋1≤3，解得－1≤k ≤1.(3)设全集U ＝{m |Δ≥0}＝{m |(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m ≤－1，或m ≥32. 若方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则⎩⎨⎧m ∈Ux 1＋x 2＝4m ≥0，x 1x 2＝2m ＋6≥0解得m ≥32，∵⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m ≥32在U 中的补集为{m |m ≤－1}．∴实数m 的取值范围是{m |m ≤－1}．]1．交集思想许多数学问题是求同时满足若干个条件p 1，p 2，…，p n 的解，如果把满足各条件的对象表示成集合A 1，A 2，…，A n ，则Q ＝A 1∩A 2∩…∩A n 就是问题的解集．如列方程组或不等式组解应用题等，都是运用交集思想方法解题的具体体现．2．并集思想有些数学问题需要分若干种情况讨论，若将问题分为n 类，每类问题的解集为A 1，A 2，…，A n ，则Q ＝A 1∪A 2∪…∪A n 就是问题的解集．3．补集思想“正难则反”策略是指当某一问题从正面解决困难时，我们可以从其反面入手解决．这种“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U ，求子集A ，若直接求A 困难，可先求∁U A ，再由∁U (∁U A )＝A 求A .[跟进训练]1．(1)若全集U ＝{1,2,3,4,5,6)，M ＝{2,3}，N ＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )A ．M ∪NB ．M ∩NC ．(∁U M )∪(∁U N )D ．(∁U M )∩(∁U N )(2)已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{9}，则A ＝( )A ．{1,3}B ．{3,7,9}C ．{3,5,9}D ．{3,9}(3)已知关于x 的不等式a (x －1)x －2>2的解集为A ，且3∉A ，则实数a 的取值范围为________．(1)D (2)D (3){a |a ≤1} [(1)因为M ∪N ＝{1,2,3,4}，所以(∁U M )∩(∁U N )＝∁U (M ∪N )＝{5,6}，故选D.(2)由Venn 图可知A ＝{3,9}．(3)因为3∉A ，所以3∈∁U A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a (x －1)x －2≤2或x ＝2，即当x ＝3时，有a (3－1)3－2≤2，故a ≤1.] 类型2 充分条件与必要条件【例2】 (1) 若a 、b 、c 是常数，则“a ＞0且b 2－4ac ＜0”是“对任意x ∈R ，有ax 2＋bx ＋c ＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)若“x 2＞1”是“x ＜a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为_______． (1)A (2)－1 [(1)若a ＞0且b 2－4ac ＜0，则对任意x ∈R ，有ax 2＋bx ＋c＞0，反之，则不一定成立．如a ＝0，b ＝0且c ＞0时，也有对任意x ∈R ，有ax 2＋bx ＋c ＞0.故选A.(2)由题意知：{x |x ＜a }⊆{x |x ＜－1或x ＞1}，所以a ≤－1.]1．充分条件、必要条件的判断方法定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．2．判断指定条件与结论之间关系的基本步骤：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．3．利用充要条件可进行命题之间的等价转化．[跟进训练]2．(1)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋1＜0，B ＝{x |2－a ＜x ＜2＋a }，则“a ＝2”是“A ∩B ≠∅”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)若“x ∈{3，a }”是不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．(1)A (2)a ≤－12或a ＞3 [(1)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋1＜0＝{x |－1＜x ＜1}， 当a ＝2时，B ＝{x |0＜x ＜4}，A ∩B ＝{x |0＜x ＜1}≠∅；由A ∩B ≠∅推不出a ＝2，比如a ＝3时，A ∩B ＝{x |－1＜x ＜1}≠∅，故选A. (2)由2x 2－5x －3≥0，得x ≤－12或x ≥3， 所以a ≤－12或a ＞3.]类型3 利用基本不等式求最值【例3】(1)设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是__________．(2)设a＞b＞0，则a2＋1ab＋1a(a－b)的最小值是()A．1 B．2 C．3 D．4(1)2105(2)D[(1)∵4x2＋y2＋4xy－3xy＝1，∴1＝(2x＋y)2－32·2xy≥(2x＋y)2－32·⎝⎛⎭⎪⎫2x＋y22＝58(2x＋y)2，∴2x＋y≤210 5，故2x＋y的最大值为210 5.(2)a2＋1ab＋1a(a－b)＝a2－ab＋ab＋1ab＋1a(a－b)＝ab＋1ab＋a(a－b)＋1a(a－b)≥2＋2＝4.当且仅当ab＝1，a(a－b)＝1时等号成立．如取a＝2，b＝22满足条件．]利用基本不等式求最值，要注意以下两点：(1)使用的范围和条件：“一正、二定、三相等”，特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等构造定值的方法，和对等号能否成立的验证；(2)若等号取不到，则应利用函数单调性求最值．[跟进训练]3．(1)设x＞－1，则函数y＝(x＋5)(x＋2)x＋1的最小值为________．(2)若x，y为实数，且x＋2y＝4，则xy的最大值为________．(1)9(2)2[(1)y＝(x＋5)(x＋2)x＋1＝x＋1＋4x＋1＋5，由均值不等式可得：y≥2(x＋1)·4x＋1＋5＝9，等号成立条件为x＋1＝4x＋1⇒x＝1，所以最小值为9.(2)xy＝12·x·(2y)≤12·⎝⎛⎭⎪⎫x＋2y22＝2(当且仅当x＝2y，且x＋2y＝4，即x＝2，y＝1时取“＝”)．]类型4全称量词命题与存在量词命题【例4】(1)命题“至少有一个实数x，使x3＋1＝0”的否定是________；(2)若对任意x∈[1,2]，x2－a≥0，则实数a的取值范围是________．(1)任意x∈R，x3＋1≠0(2)a≤1[(1)任意x∈R，x3＋1≠0(2)对任意x∈[1,2]，x2－a≥0，则a≤(x2)min＝1.]1．不等式恒成立问题的求解方法：若y≥a恒成立，则a≤y min；若y≤a恒成立，则a≥y max.2．不等式有解问题的求解方法：若y≥a有解，则a≤y max；若y≤a有解，则a≥y min.[跟进训练]4．(1)命题“存在x∈R，x2＋2x＋2≤0”的否定是________；(2)若存在x∈[1,2]，x2－a≥0，则实数a的取值范围是________．(1)任意x∈R，x2＋2x＋2＞0(2)a≤4[(1)任意x∈R，x2＋2x＋2＞0；(2)存在x∈[1,2]，x2－a≥0，则a≤(x2)max＝4.]1．(2019·全国卷Ⅰ理)已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－x－6＜0}，则M∩N＝()A．{x|－4＜x＜3} B．{x|－4＜x＜－2}C．{x|－2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}C[由题知N＝{x|x2－x－6<0}＝{x|(x－3)(x＋2)<0}＝{x|－2<x<3}，∴M∩N ＝{x|－2<x<2}，选C.]2．(2018·全国卷Ⅱ理)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A 中元素的个数为()A．9 B．8C．5 D．4A[A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)}共9个元素，选A.]3．(2019·全国卷Ⅰ文)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩∁U A＝()A．{1,6} B．{1,7}C．{6,7} D．{1,6,7}C[由题知∁U A＝{1,6,7}，则知B∩∁U A＝{6,7}，选C.]4．(2019·天津高考文)设x∈R，则“0<x<5”是“|x－1|<1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[由|x－1|<1得0<x<2，故0<x<5推不出0<x<2，而0<x<2能推出0<x<5，故为必要而不充分条件，选B.]5．(2014·四川高考)若a>b>0，c<d<0，则一定有()A．ad>bc B．ad<bcC．ac>bd D．ac<bdB[由c<d<0，得－1d>－1c>0，又a>b>0，由不等式的性质知，－ad>－bc>0，∴ad<bc，选B.]。
5.2必修一第一章集合—元素与集合—根据元素与集合的关系求参数+变式教学学案2(含详细解答)
5.2集合—元素与集合—根据元素与集合的关系求参数变式教学学案21.基本问题（本源性练习）单选1．已知集合{}2|210,A x ax x a =++=∈R 只有一个元素，则a 的取值集合为（ ）A ．{1}B ．{0}C ．{0,1,1}-D ．{0,1} 12．设集合A={2，1-a ，a 2-a +2}，若4∈A ，则a =（ ）A ．-3或-1或2B ．-3或-1C ．-3或2D ．-1或22．若集合A={}2|10x ax ax +-=只有一个元素，则a =A ．-4B ．0C ．4D ．0或-4 3．已知集合A 满足条件:若a ∈A,则1a 1-a +∈A,那么集合A 中所有元素的乘积为( ) A ．-1 B ．1 C ．0 D ．±1 4．若由a 2，2019a 组成的集合M 中有两个元素，则a 的取值可以是（ ） A ．0B ．2019C ．1D ．0或2019 5．若1∈{x ，x 2}，则x =（ ）A ．1B ．1-C ．0或1D ．0或1或1- 6．已知元素a ∈{0，1，2，3}，且a ∉{1，2，3}，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 7．若2∈{1，x 2＋x}，则x 的值为( )A ．－2B ．1C ．1或－2D ．－1或2填空8．已知实数集合{}1,2,3,x 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x =__________． 9．已知集合{}{}1,2,31,A B m ==，，若3m A -∈，则非零实数m 的数值是______．10．已知{}31,2,A x =，且x A ∈，则实数x 的取值集合是______．11．已知{1a ∈，则实数a 的值为______.12．已知集合22{2,(1),33}A a a a =+++，且1A ∈，则实数a 的值为________．13．已知集合21,2,4m M m ，如果5M ∈，那么m 的取值集合为________.14．已知集合(){}2|(1)20,A x x x a a a =++--∈R 若0A ∈，则a 的取值范围是________. 15．若22{|30}x x mx ∈+-=，则m 的值为________．2.变式提升（进阶练习）16．已知集合[][],14,9A t t t t =+⋃++，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A a λ∈，则t 的值是____________17．设非空集合s ={x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有y =x 2∈S ．给出如下三个命题：①若m =1，则S ={1}；②若m =﹣，则≤l ≤1；③若l =，则﹣≤m ≤0．④若l =1，则﹣1≤m ≤0或m =1．其中正确命题的是 ．18．设整数集{}1234,,,A a a a a =，{}222124,,B a a a =，且1234a a a a <<<，若{}23,A B a a ⋂=，满足130a a +=，A B 的所有元素之和为90，求34a a +=________；19．已知集合{}222,1,A a a a =+-，{0,B =7，25a a --，2}a -，且5A ∈，求集合B ．20．已知集合{}2|320,A x ax x a R =-+=∈.（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．21．已知不等式2520ax x +->的解集是M ．（1）若2M ∈，求a 的取值范围；（2）若1|22M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，求不等式22510ax x a -+->的解集． 22．若－3∈{a －3,2a －1，a 2＋1}，求实数a 的值.23．已知关于x 的不等式270mx x m-<-的解集为S . （1）当9m =时，求集合S ；（2）若5S ∈且7S ∉，求实数m 的取值范围.24．已知集合2{|320}A x mx x =-+=.（1）若A 是单元素集，求m 的值及集合A ；（2）求集合P ={|m m 使得A 至少含有一个元素}.3.变式拓展（深化练习）25．已知集合A ＝{x |ax 2＋3x ＋1＝0，x ∈R}，(1)若A 中只有一个元素，求实数a 的值．(2)若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．26．已知集合{}22,2A a a a =++，若3A ∈，求实数a 的值.27．已知{}20,1,1a a a ∈--，求a 的值．28．已知2{3,22,1}A a a a =+++，若5A ∈，求a 所有可能的值.29．已知x ∈R,集合A 中含有三个元素3,x ,x 2-2x.(1)求元素x 满足的条件;(2)若-2∈A ,求实数x.30．设A 是由满足不等式x <6的自然数组成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值． 31．设数集A 由实数构成，且满足：若x A ∈（1x ≠且0x ≠），则11A x ∈-. （1）若2A ∈，试证明A 中还有另外两个元素；（2）集合A 是否为双元素集合，并说明理由；（3）若A 中元素个数不超过8个，所有元素的和为143，且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A .32．已知集合{}2221,,M x x a a b a b Z ==+-=∈ （1）证明：若x M ∈，则1x x +是偶数； （2）设m M ∈，且132m <<，求实数m 的值；（3）设n A ∈M 2(3n ≤<+的n 的详细解答及分析1．D【分析】对参数分类讨论，结合判别式法得到结果.【详解】解：①当0a =时，1{}2A =-，此时满足条件； ②当0a ≠时，A 中只有一个元素的话，440a =-=，解得1a =，综上，a 的取值集合为{0，1}．故选：D ．2．C【解析】若1−a =4，则a =−3，∴a 2−a +2=14，∴A ={2,4,14}；若a 2−a +2=4，则a =2或a =−1，检验集合元素的互异性：a =2时，1−a =−1，∴A ={2,−1,4}；a =−1时,1−a =2(舍)，本题选择C 选项.3．A【分析】根据方程只有一个根，结合函数图象确定a 的值【详解】210ax ax +-=由题意得只有一个实根，所以200{,{,4040a a a a a ≠≠=-∆=+=，选A. 【点睛】本题考查方程的根与集合元素关系，考查基本分析求解能力.4．B【分析】 根据题意，令11a a a +=-代入11a a +-进行求解，依次赋值代入11a a+-进行化简，把集合A 中运算的所有形式全部求出，再求出它们的乘积即可.【详解】由题意，当a A ∈时，11a A a+∈-， 令11a a a +=-代入11a a +-，则1111111aa A a a a ++-=-∈+--， 则111111a a A a a --=∈++，则111111a a a A a a -++=∈--+， 即111,,,11a a A a a a a +-⎧⎫=-⎨⎬-+⎩⎭，所以111111a a a a a a +-⋅⋅-=-+，故选B. 【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合的应用问题，其中解答中正确理解题意，合作选择解答的方法是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.5．C【分析】根据集合的元素互异性判断即可.【详解】若集合M 中有两个元素，则a 2≠2 019a .即a ≠0且a ≠2 019.故选：C.6．B【分析】根据元素与集合关系分类讨论，再验证互异性得结果【详解】根据题意，若1∈{x ，x 2}，则必有x =1或x 2=1，进而分类讨论：①、当x =1时，x 2=1，不符合集合中元素的互异性，舍去，②、当x 2=1，解可得x =-1或x =1（舍），当x =-1时，x 2=1，符合题意，综合可得，x =-1，故选B ．【点睛】本题考查元素与集合关系以及集合中元素互异性，考查基本分析求解能力，属基础题. 7．A【分析】由题意，根据集合中元素与集合的关系，即可求解，得到答案.【详解】由题意，元素a ∈{0，1，2，3}，且a ∉{1，2，3}， ∴a 的值为0．故选A ．【点睛】本题主要考查了集合中元素与集合的关系的应用，其中解答中牢记集合的元素与集合的关系，合理应用是解答本题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.8．C【解析】由题意知x 2＋x ＝2，即x 2＋x －2＝0.解得x ＝－2或x ＝1.选C.9．-3【分析】根据题意求元素的关系．【详解】解：因为实数集合{}1,2,3,x 的最大元素等于该集合的所有元素之和，所以123x x +++=（无解）或者1233x +++=，解得：3x =-．故答案为：-3．【点睛】本题考查集合元素的关系，属于基础题．10．2【解析】由题，若32,m -= 则1,m = 此时B 集合不符合元素互异性，故1;m ≠若31,m -=则2,m =符合题意；若33,m -=则0,m =不符合题意.故答案为211．{}1,0,2-【分析】令1x =，2x =，3x x =分别求得x 的取值，根据元素互异性可得结果．【详解】当1x =时，31x =，由集合元素互异性知，不合题意当2x =时，38x =，满足题意当3x x =时，0x =或1x =-或1x =（舍）综上所述：实数x 的取值集合是：{}1,0,2-【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断，考查了集合元素的互异性，是基础题．12．0【分析】分别讨论1a =、a .【详解】当1a =时，1=当a 0a =或1（舍），所以集合是{0,1}满足.故：0a =.【点睛】本题考查根据元素与集合的关系求解参数的值，注意使用集合中元素的互异性，难度较易. 13．1-或0【分析】根据题意，考虑到各种可能性，分别解方程，并注意检验集合元素的互异性,即可得到答案.【详解】若()211,a +=则0a =或2,a =-当0a =时，{}2,1,3A =，符合元素的互异性；当2a =-时，{}2,1,1A =，不符合元素的互异性，舍去若2a 3a 31,++=则1a =-或2,a =-当1a =-时，{}2,0,1A =，符合元素的互异性；当2a =-时，{}2,1,1A =，不符合元素的互异性，舍去；故答案为：1-或0.【点睛】本题考查元素与集合的关系，集合元素的互异性是关键点，属基础题.14．{}1,3【解析】因为{}251,2,4m m ∈++，所以25m 或245m ，即3m =或1m =±，当3m =时，{}1,5,13M =；当1m =时，{1,3,5}M =；当1m =-时，{}1,1,5M =不满足互异性，所以m 的取值集合为{}1,3.15．12a -≤≤【分析】首先可先求出二次方程的两根，由于0A ∈可判断两根与0 的大小，于是可得到答案.【详解】由于()2(1)20x x a a ++--=的两根为2121,2x x a a =-=+-，由于0A ∈，所以2220x a a =+-≥，即220a a --≤，解得12a -≤≤，故答案为12a -≤≤.【点睛】本题主要考查含参数的一元二次不等式解法，意在考查学生的分析能力和计算能力，难度不大.16．12- 【分析】由题意可知；2是方程230x mx +-=的解，把2x =，代入方程中，求出m 的值.【详解】因为22{|30}x x mx ∈+-=，所以2122302m m +-=⇒=-. 【点睛】本题考查了已知集合中的元素，求一元二次方程一次项系数问题，考查了代入思想. 17．1或3-【分析】根据t 所处的不同范围，得到[],1a t t ∈+和[]4,9a t t ∈++时，aλ所处的范围；再利用集合A 的上下限，得到λ与t 的等量关系，从而构造出方程，求得t 的值.【详解】0A ∉，则只需考虑下列三种情况：①当0t >时，[][],14,9a t t t t ∈+++ 11111,,941a t t t t ⎡⎤⎡⎤∴∈⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦ 又0λ> ,,941a t t t t λλλλλ⎡⎤⎡⎤⇒∈⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦ A a λ∈ 914t t t t λλ⎧≥⎪⎪+∴⎨⎪≤+⎪+⎩且419t t t tλλ⎧≥+⎪⎪+⎨⎪≤+⎪⎩ 可得：()()()()()()991414t t t t t t t t λλ⎧+≤≤+⎪⎨++≤≤++⎪⎩()()()914t t t t λ∴=+=++ 1t ⇒=②当90t +<即9t <-时，与①构造方程相同，即1t =，不合题意，舍去③当1040t t +<⎧⎨+>⎩即41t -<<-时 可得：11t t t t λλ⎧≥⎪⎪+⎨⎪≤+⎪⎩且4994t t t t λλ⎧≥+⎪⎪+⎨⎪≤+⎪+⎩()()()149t t t t λ∴=+=++ 3t ⇒=-综上所述：1t =或3-【点睛】本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过t 的不同取值范围，得到a 与aλ所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于λ的等量关系，从而构造出关于t 的方程；难点在于能够准确地对t 的范围进行分类，对于学生的分析和归纳能力有较高的要求，属于难题.18．①②③④【详解】由定义设非空集合S ={x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有y =x 2∈S 可知：符合定义的参数m 的值一定大于等于﹣1，符合条件的l 的值一定大于等于0，小于等于1，如此才能保证l ∈S 时，有l 2∈S 即l 2≤l ，再对各个命题进行判断：对于①m =1，m 2=1∈S 故必有{l 2≤1l ≥1，可得l =1，S ={1}，故正确； ②m =﹣，则{l 2≤1l ≥14 ，解得≤l ≤1，故正确； ③若l =，则，可解得﹣≤m ≤0，故正确；④若l =1，则可解得﹣1≤m ≤0或m =1，故正确．故答案为①②③④考点：命题的真假判断与应用．19．10【分析】根据130a a +=可得2213a a =，结合已知条件可得20a ≥，然后分情况讨论，20a >和20a =时，利用集合元素的互异性和确定性即可求解.【详解】由130a a +=可得13a a =-，所以2213a a =，因为{}23,A B a a ⋂=，所以20a ≥，若20a >，因为2a Z ∈，所以21a ≥，所以222a a ≤，233a a <，244a a <，故{}2423,a a a ∉所以{}{}221223,,a a a a =， 若212223a a a a ⎧=⎨=⎩则()424432133a a a a a ===-=，可得30a =或31a = 与321a a >≥矛盾，所以此时不成立，若20a =，则4320a a a >>=，所以244a a >，所以{}2423,a a a ∉，所以{}{}221223,,a a a a =即{}{}213,00,a a =显然23231a a a ==，可得30a =或31a =，因为30a =与32a a >矛盾，所以31a =，11a =-，此时{}41,0,1,A a =-，{}241,0,B a =，所以{}4241,0,,1,A B a a ⋃=-，由题意知：44290a a +=，即()()441090a a +-=，解得49a =或410a =-（舍）综上所述：31a =，49a =，所以3410a a +=，故答案为：10.20．{0,B =1，4，7}【分析】由5A ∈，得到215a +=或25(a a -=舍)，从而得2a =±，分别代入集合A 和B ，利用集合中元素的互异性能求出集合B ．【详解】集合{}222,1,A a a a =+-，{0,B =7，25a a --，2}a -，且5A ∈，215a ∴+=或25(a a -=舍)，解得2a =±，当2a =时，{2,A =5，2}，不成立；当2a =-时，{2,A =5，6}，{0,B =7，1，4}，成立．∴集合{0,B =1，4，7}．【点睛】本题考查集合的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．21．（1）98a >；（2）98a ≥或0a =. 【分析】（1）集合中是关于方程根的个数，所以要按0a =和0a ≠考虑，由于是空集，只能是0<且0a ≠，可解．（2）至多一个元素，分为有0个元素，1个元素，所以按0a =和0a ≠分类讨论．【详解】（1）若A =∅ ，方程2320ax x -+=无解，则0a ≠且()23420a ∆=--⋅⋅<，解得98a >． （2）若A 中至多只有一个元素，则方程2320ax x -+=满足，0a ≠且()23420a ∆=--⋅⋅≤，或0a =，解得98a ≥或0a =． 22．（1）2a >-；（2）1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭． 【解析】试题分析：（1）由2是解集中的元素可知其满足不等式，代入可得a 的取值范围；（2）结合三个二次关系可得到a 值，代入不等式22510ax x a -+->可求解其解集试题解析：（1）∵2M ∈，∴225220a ⨯+⨯->，∴2a >-（2）∵1|22M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，∴1,22是方程2520ax x +-=的两个根， ∴由韦达定理得1522{1222a a+=-⋅=-解得2a =- ∴不等式22510ax x a -+->即为：22530x x --+> 其解集为1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭． 考点：一元二次不等式解法23．a ＝0或－1【详解】试题分析：已知集合{a-3，2a-1，a 2+1}，分析a 2+1≥1不可能等于-3，所以只分两种情况，从而求解试题解析：∵{}233,21a 1a a ∈+－－－，，又2a 1+≥1，∴－3＝a －3，或－3＝2a －1，解得a ＝0，或a ＝－1，当a ＝0时，{a －3,2a －1，2a 1+}＝{－3，－1,1}，满足集合中元素的互异性； 当a ＝－1时，{a －3,2a －1，2a 1+}＝{－4，－3,2}，满足集合中元素的互异性； ∴a ＝0或－1.点睛：解决集合问题时，注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.24．（1）7,3,39；（2）71,25,495.【分析】（1）本题首先可代入9m =，然后将不等式转化为()()()97330x x x --+<，通过计算即可得出结果； （2）本题首先可根据题意得出不等式组5702577049m m m m-⎧<⎪⎪-⎨-⎪≥⎪-⎩或57025490m m m -⎧<⎪-⎨⎪-=⎩，然后依次求解，即可得出结果.【详解】（1）因为9m =，所以29709x x -<-， 即()()()97330x x x --+<，解得3x <-或739x ， 故集合7,3,39S . （2）因为5S ∈且7S ∉，所以5702577049490m m m m m -⎧<⎪-⎪-⎨≥⎪-⎪-≠⎩或57025490m m m -⎧<⎪-⎨⎪-=⎩， 5702577049490m m m m m -⎧<⎪-⎪-⎨≥⎪-⎪-≠⎩，即()()()()572507749049m m m m m ⎧--<⎪--≥⎨⎪≠⎩，解得715m 或2549m ，57025490m m m -⎧<⎪-⎨⎪-=⎩，即()()57250490m m m ⎧--<⎨-=⎩，解得49m =， 综上所述，715m 或2549m ，实数m 的取值范围为71,25,495. 【点睛】本题考查根据元素与集合的关系求参数的取值范围，考查分数不等式和高次不等式的解法，一般地，()()0f x g x >等价于()()0f x g x >，而()()0f x g x ≥则等价于()()()00f xg x g x ⎧>⎪⎨≠⎪⎩，注意分式不等式转化为整式不等式时分母不为零，解本题时还应注意容易遗漏490m 这个情况，是难题.25．（1）当0m =时2{}3A =当98m =时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭（2）9{|}8m m ≤ 【解析】试题分析：（1）当0m =时方程为一元一次方程，当0m ≠时，为一元二次方程，所以分类讨论只有一个解的条件（2）至少含有一个元素，除（1）外，再讨论一元二次方程条件下两个不同根的情况，即可得m 的取值范围试题解析：（1）A 是单元素集，0m =，A=23⎧⎫⎨⎬⎩⎭；90,08m m ≠∆=⇒=，A=43⎧⎫⎨⎬⎩⎭； （2）0m = 990,088m m m ≠∆≥⇒≤∴≤或。
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学习目标 1.理解子集、集合相等、真子集的概念.2.能用符号和Venn图表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法．
知识点一子集
思考如果把“马”和“白马”视为两个集合，则这两个集合中的元素有什么关系？
梳理一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的______________元素都是集合B中的元素，即若a∈A，则a∈B，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，称集合A为集合B的子集，记作____________(或__________)，读作“____________”(或“____________”)．
子集的有关性质：
(1)∅是任何集合A的子集，即∅⊆A.
(2)任何一个集合是它本身的子集，即________．
(3)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么________．
(4)若A⊆B，B⊆A，则称集合A与集合B相等，记作A＝B.
知识点二真子集
思考在知识点一里，我们知道集合A是它本身的子集，那么如何刻画至少比A少一个元素的A的子集？
梳理如果集合A⊆B，但A≠B，称集合A是集合B的真子集，记作：__________(或__________)，读作：________________(或______________)．
知识点三Venn图
思考图中集合A，B，C的关系用符号可表示为__________．
梳理一般地，用平面上________曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．Venn图可以直观地表达集合间的关系．
类型一求集合的子集
例1(1)写出集合{a，b，c，d}的所有子集；
(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论．
反思与感悟为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等．
跟踪训练1适合条件{1}⊆A {1,2,3,4,5}的集合A的个数是()
A．15 B．16
C．31 D．32
类型二判断集合间的关系
命题角度1概念间的包含关系
例2设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为()
A．P⊆N⊆M⊆Q
B．Q⊆M⊆N⊆P
C．P⊆M⊆N⊆Q
D．Q⊆N⊆M⊆P
反思与感悟一个概念通常就是一个集合，要判断概念间的关系首先要准确理解概念的定义．
跟踪训练2我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N、Z、Q、R 表示，用符号表示N、Z、Q、R的关系为______________．
命题角度2数集间的包含关系
例3设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x<2或x>3}，则A与B的关系为()
A．A∈B B．B∈A
C．A⊆B D．B⊆A
反思与感悟判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察．
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．
跟踪训练3已知集合A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}，则()
A．A∈B B．A B
C．B A D．B⊆A
类型三由集合间的关系求参数(或参数范围)
例4已知集合A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|ax＝1}，且A⊇B，求实数a的值．
反思与感悟集合A的子集可分三类：∅、A本身，A的非空真子集，解题中易忽略∅.
跟踪训练4已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|2a－3<x<a－2}，且A⊇B，求实数a的取值范围．
1．下列说法：
①空集没有子集；
②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若∅ A，则A≠∅.
其中正确的个数是()
A．0B．1C．2D．3
2．集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,0,1}，则P与T的关系为()
A．P T B．P∈T C．P＝T D．P⃘T
3．下列关系错误的是()
A．∅⊆∅B．A⊆A
C．∅⊆A D．∅∈A
4．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是()
5．若A＝{x|x>a}，B＝{x|x>6}，且A⊆B，则实数a可以是()
A．3B．4C．5D．6
1．对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A ⊆B的常用方法．
(2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A 中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．
(3)在真子集的定义中，A B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但xD∈/A.
2．集合子集的个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．
集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉．
3．由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法
(1)注意点：①不能忽视集合为∅的情形；
②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．
(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．
答案精析
问题导学 知识点一
思考 所有的白马都是马，马不一定是白马．
梳理 任何一个 A ⊆B B ⊇A A 包含于B B 包含A (2)A ⊆A (3)A ⊆C 知识点二 思考 用真子集．
梳理 A B B A A 真包含于B B 真包含A 知识点三 思考 A ⊆B ⊆C 梳理 封闭 题型探究
例1 解 (1)∅，{a }，{b }，{c }，{d }，{a ，b }，{a ，c }，{a ，d }，{b ，c }，{b ，d }，{c ，d }，{a ，b ，c }，{a ，b ，d }，{a ，c ，d }，{b ，c ，d }，{a ，b ，c ，d }．
(2)若一个集合有n (n ∈N )个元素，则它有2n 个子集，2n －1个真子集．如∅，有1个子集，0个真子集．
跟踪训练1 A [这样的集合A 有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15个．]
例2 B [正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，所以选B.] 跟踪训练2 N Z Q R 例3 C [∵0<2，∴0∈B . 又∵1<2，∴1∈B . ∴A ⊆B .]
跟踪训练3 B [由数轴易知A 中元素都属于B ，B 中至少有一个元素如－2∉A ，故有A B .]
例4 解 A ＝{x |x 2－x ＝0}＝{0,1}． (1)当a ＝0时，B ＝∅⊆A ，符合题意． (2)当a ≠0时，B ＝{x |ax ＝1}＝{1
a
}，
∵1a ≠0，要使A ⊇B ，只有1
a ＝1，即a ＝1. 综上，a ＝0或a ＝1.
跟踪训练4 解 (1)当2a －3≥a －2， 即a ≥1时，B ＝∅⊆A ，符合题意． (2)当a <1时，要使A ⊇B ， 需满足⎩⎪⎨⎪
⎧
a <1，2a －3≥1，
a －2≤2，
这样的实数a 不存在．
综上，实数a 的取值范围是{a |a ≥1}． 当堂训练
1．B 2.A 3.D 4.B 5.D。