高中数学--平面向量讲解及答案

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高中数学第二章平面向量 2.4 向量的应用 2.4.1 向量在几何中的应用 2.4.2 向量在物

2.4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用 2.4.2 向量在物理中的应用1．向量在平面几何中的应用(1)证明线段相等，转化为证明向量的长度相等，求线段的长，转化为求向量的长度； (2)证明线段、直线平行，转化为证明向量共线；(3)证明线段、直线垂直，转化为证明向量的数量积为零； (4)平面几何中与角相关的问题，转化为向量的夹角问题；(5)对于与长方形、正方形、直角三角形等平面几何图形有关的问题，通常以相互垂直的两边所在的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，通过代数(坐标)运算解决平面几何问题．【自主测试1－1】在四边形ABCD 中，若AB →＝13CD →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．梯形C ．菱形D ．矩形解析：由AB →＝13CD →⇒AB ∥CD ，且AB ≠CD ，故四边形ABCD 为梯形，故选B ．答案：B【自主测试1－2】在△ABC 中，已知|AB →|＝|AC →|＝4，且AB →·AC →＝8，则这个三角形的形状是__________．解析：∵AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC＝8，∴4×4×cos ∠BAC＝8，∴∠BAC＝60°.又|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 为等边三角形．答案：等边三角形2．向量在解析几何中的应用(1)设直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，A (x 1，y 1)∈l ，P (x ，y )∈l ，向量a ＝(m ，n )平行于l ，则k ＝y －y 1x －x 1＝n m ＝tan α；反之，若直线l 的斜率k ＝nm，则向量(m ，n )一定与该直线平行．(2)向量(1，k )与直线l ：y ＝kx ＋b 平行．(3)与a ＝(m ，n )平行且过点P (x 0，y 0)的直线方程为n (x －x 0)－m (y －y 0)＝0. (4)过点P (x 0，y 0)，且与向量a ＝(m ，n )垂直的直线方程为m (x －x 0)＋n (y －y 0)＝0. 【自主测试2－1】已知直线l ：mx ＋2y ＋6＝0，向量(1－m,1)与l 平行，则实数m 的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．－1或2 答案：D【自主测试2－2】过点A (3，－2)且垂直于向量n ＝(5，－3)的直线方程是__________．答案：5x －3y －21＝0 3．向量在物理中的应用(1)力是具有大小、方向和作用点的向量，它与自由向量有所不同．大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的．但是，在不计作用点的情况下，可用向量求和的平行四边形法则求作用于同一点的两个力的合力．(2)速度是具有大小和方向的向量，因而可用三角形法则和平行四边形法则求两个速度的合速度．【自主测试3】已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N ，合力与F 1的夹角为60°，则F 1的大小为( )A ．5 3 NB ．5 NC ．10 ND ．52N 答案：B1．用向量的方法证明直线平行、直线垂直、线段相等及点共线等问题的基本方法剖析：(1)要证两线段AB ＝CD ，可转化为证明|AB →|＝|CD →|或AB →2＝CD →2； (2)要证两线段AB ∥CD ，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λCD →成立； (3)要证两线段AB ⊥CD ，可转化为证明AB →·CD →＝0；(4)要证A ，B ，C 三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λAC →，或若O 为平面上任一点，则只需要证明存在实数λ，μ(其中λ＋μ＝1)，使OC →＝λOA →＋μOB →.2．对直线Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量的理解剖析：(1)设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)为直线上不重合的两点，则P 1P 2→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)及与其共线的向量λP 1P 2→均为直线的方向向量．显然当x 1≠x 2时，向量⎝ ⎛⎭⎪⎫1，y 2－y 1x 2－x 1与P1P 2→共线，因此向量⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－A B ＝1B(B ，－A )为直线l 的方向向量，由共线向量的特征可知(B ，－A )为直线l 的方向向量．(2)结合法向量的定义可知，向量(A ，B )与(B ，－A )垂直，从而向量(A ，B )为直线l 的法向量．3．教材中的“探索与研究”利用向量与向量平行、垂直的条件，再次研究两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行和垂直的条件，以及如何求出两条直线夹角θ的余弦．结论：l 1∥l 2(或重合)⇔A 1B 2－A 2B 1＝0. l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.cos θ＝|A 1A 2＋B 1B 2|A 21＋B 21A 22＋B 22.剖析：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0的方向向量为n 1＝(－B 1，A 1)，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的方向向量为n 2＝(－B 2，A 2)．若l 1∥l 2，则n 1∥n 2，从而有－B 1A 2＝－A 1B 2，即A 1B 2－A 2B 1＝0. 若l 1⊥l 2，则n 1·n 2＝0，从而有B 1B 2＋A 1A 2＝0. 所以直线l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，直线l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 由于n 1·n 2＝A 1A 2＋B 1B 2， |n 1|＝A 21＋B 21，|n 2|＝A 22＋B 22，所以cos 〈n 1，n 2〉＝A 1A 2＋B 1B 2A 21＋B 21A 22＋B 22. 所以直线l 1与l 2夹角θ的余弦值为cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|A 1A 2＋B 1B 2|A 21＋B 21A 22＋B 22.题型一向量在平面几何中的应用【例题1】已知正方形ABCD 中，E ，F 分别是CD ，AD 的中点，BE ，CF 交于点P . 求证：(1)BE ⊥CF ；(2)AP ＝AB ．分析：建系→确定点A ，B ，C ，E ，F ，P 的坐标→证BE →·CF →＝0及|AP →|＝|AB →|→还原为几何问题证明：建立如图所示平面直角坐标系，设AB ＝2，则有A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，E (1,2)，F (0,1)．(1)BE →＝(－1,2)，CF →＝(－2，－1)． ∵BE →·CF →＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴BE →⊥CF →，即BE ⊥CF . (2)设点P 的坐标为(x ，y )，则FP →＝(x ，y －1)，CF →＝(－2，－1)， ∵FP →∥CF →，∴－x ＝－2(y －1)，即x ＝2y －2，同理，由BP →∥BE →得y ＝－2x ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y －2，y ＝－2x ＋4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝85.∴点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85.则|AP →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＝2＝|AB →|，即AP ＝AB ．反思由于向量集数形于一身，用它来研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量法是研究几何问题的一个有效的工具，解题时一定注意用数形结合的思想．〖互动探究〗正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，求cos ∠DOE . 解：建立平面直角坐标系如图，则向量OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，∴OD →·OE →＝12×1＋1×12＝1.又|OD →|＝|OE →|＝52，∴cos ∠DOE ＝OD →·OE →|OD →||OE →|＝152×52＝45.题型二向量在解析几何中的应用【例题2】过点A (－2,1)，求： (1)与向量a ＝(3,1)平行的直线方程； (2)与向量b ＝(－1,2)垂直的直线方程．分析：在直线上任取一点P (x ，y )，则AP →＝(x ＋2，y －1)．根据AP →∥a 和AP →⊥b 解题即可．解：设所求直线上任意一点P 的坐标为(x ，y )． ∵A (－2,1)，∴AP →＝(x ＋2，y －1)．(1)由题意，知AP →∥a ，则(x ＋2)×1－3(y －1)＝0，即x －3y ＋5＝0.故所求直线方程为x －3y ＋5＝0.(2)由题意，知AP →⊥b ，则(x ＋2)×(－1)＋(y －1)×2＝0，即x －2y ＋4＝0，故所求直线方程为x－2y＋4＝0.反思已知直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，则向量(A，B)与直线l垂直，即向量(A，B)为直线l的法向量；向量(－B，A)与l平行，故过点P(x0，y0)与直线l平行的直线方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0.【例题3】已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点．(1)求直线DE，EF，FD的方程；(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程．分析：(1)利用向量共线的坐标表示求解；(2)利用向量垂直的坐标表示求解．解：(1)由已知，得点D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)．设M(x，y)是直线DE上任意一点，则DM∥DE.又DM＝(x＋1，y－1)，DE＝(－2，－2)，所以(－2)×(x＋1)－(－2)(y－1)＝0，即x－y＋2＝0为直线DE的方程．同理可求，直线EF，FD的方程分别为x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.(2)设点N(x，y)是CH所在直线上的任意一点，则CN⊥AB.所以CN·AB＝0.又CN＝(x＋6，y－2)，AB＝(4,4)，所以4(x＋6)＋4(y－2)＝0，即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程．反思(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．(2)要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等，则对应坐标相等．题型三向量在物理中的应用【例题4】一条河的两岸互相平行，河的宽度为d＝500 m，一艘船从A处出发航行到河正对岸的B处，船的航行速度为|ν1|＝10 km/h，水流速度为|ν2|＝4 km/h.(1)试求ν1与ν2的夹角(精确到1°)及船垂直到达对岸所用的时间(精确到0.1 min)； (2)要使船到达对岸所用时间最少，ν1与ν2的夹角应为多少？分析：船(相对于河岸)的航行路线不能与河岸垂直．原因是船的实际航行速度是船本身(相对于河水)的速度与水流速度的合速度．解：(1)依题意，要使船垂直到达对岸，就要使ν1与ν2的合速度的方向正好垂直于对岸，所以|ν|＝ν21－ν22＝100－16≈9.2(km/h)，ν1与ν的夹角α满足sin α＝0.4，α≈24°，故ν1与ν2的夹角θ＝114°；船垂直到达对岸所用的时间t ＝d |ν|＝0.59.2≈0.054 3(h)≈3.3 min. (2)设ν1与ν2的夹角为θ(如下图)．ν1与ν2在竖直方向上的分速度的和为|ν1|·sin θ，而船到达对岸时，在竖直方向上行驶的路程为d ＝0.5 km ，从而所用的时间t ＝0.510sin θ.显然，当θ＝90°时，t 最小，即船头始终向着对岸时，所用的时间最少，为t ＝0.510＝0.05(h)．反思注意“速度”是一个向量，既有大小又有方向．结合具体问题，在理解向量知识和应用两方面下功夫．将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后通过对这个数学模型的研究解释相关物理现象．题型四易错辨析【例题5】在直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC →＝13OA →＋23OB →.(1)求证：A ，B ，C 三点共线；(2)已知A (1，cos x )，B (1＋sin x ，cos x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )＝OA →·OC →－⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋23|AB→|的最小值为12，求实数m 的值．错解：(1)∵AB →＝OB →－OA →，AC →＝OC →－OA →＝13OA →＋23OB →－OA →＝23OB →－23OA →＝23AB →，∴AC →∥AB →，∴A ，B ，C 三点共线．(2)∵A (1，cos x )，B (1＋sin x ，cos x )， ∴OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋23sin x ，cos x ，AB →＝(sin x,0)，从而|AB →|＝|sin x |.故f (x )＝－(sin x ＋m 2)2＋m 4＋2.又sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )有最小值，即－(1＋m 2)2＋m 4＋2＝12，解得m ＝±12.错因分析：错解中忽略了题目中x 的取值范围，造成正弦值的范围扩大．正解：(1)∵AB →＝OB →－OA →，AC →＝OC →－OA →＝13OA →＋23OB →－OA →＝23OB →－23OA →＝23AB →，∴AC →∥AB →，∴A ，B ，C 三点共线．(2)∵A (1，cos x )，B (1＋sin x ，cos x )， ∴OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋23sin x ，cos x ，AB →＝(sin x,0)，故|AB →|＝sin x ，从而f (x )＝－(sin x ＋m 2)2＋m 4＋2.又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin x ∈[0,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )有最小值，即－(1＋m 2)2＋m 4＋2＝12，化简得m 2＝14，解得m ＝±12.1．若向量n 与直线l 垂直，则称向量n 为直线l 的法向量，则直线x ＋2y ＋3＝0的一个法向量为( )A ．(1,2)B ．(1，－2)C ．(2,1)D ．(2，－1)解析：可以确定已知直线l 的斜率k ＝－12，所以直线的方向向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12.由a ·n ＝0，可知应选A ．答案：A2．已知A (2,1)，B (3,2)，C (－1,4)，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形答案：C3．过点A (2,3)且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程是( ) A ．2x ＋y －7＝0 B ．2x ＋y ＋7＝0 C ．x －2y ＋4＝0 D ．x －2y －4＝0 答案：A4．在重600 N 的物体上系两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )A ．3003N,3003NB ．150 N,150 NC ．3003N,300 ND ．300 N,3003N解析：如图，作矩形OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°. 在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，所以|OA |＝|OC |cos 30°＝3003N ， |AC |＝|OC |sin 30°＝300 N ， |OB |＝|AC |＝300 N. 答案：C5．通过点A (3,2)且与直线l ：4x －3y ＋9＝0平行的直线方程为__________．答案：4x －3y －6＝06．已知两个粒子a ，b 从同一点发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为v a ＝(4,3)，v b ＝(3,4)，则v a 在v b 上的正射影为__________．解析：由题知v a 与v b 的夹角θ的余弦值为 cos θ＝12＋125×5＝2425.所以v a 在v b 上的正射影为|v a |cos θ＝5×2425＝245.答案：2457．平面上不共线的三点A ，B ，C 使得AB ＋BC 所在的直线和AB －BC 所在的直线恰好互相垂直，则△ABC 必为__________三角形．解析：如图所示，作ABCD ，易知AB ＋BC ＝AC ，AB －BC ＝AB －AD ＝DB .依题意，知BD 与AC 互相垂直，故ABCD 为菱形，从而△ABC 为等腰三角形，且∠ABC 为顶角．答案：等腰 8．如图所示，已知ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线，求证：AC ⊥BD ．证明：证法一：∵AC ＝AB ＋AD ，BD ＝AD －AB ，∴AC ·BD ＝(AB ＋AD )·(AD －AB )＝|AD |2－|AB |2＝0.∴AC ⊥BD . ∴AC ⊥BD ．证法二：以BC所在的直线为x轴，点B为原点建立平面直角坐标系．设B(0,0)，A(a，b)，C(c,0)，则由|AB|＝|BC|，得a2＋b2＝c2.∵AC＝BC－BA＝(c－a，－b)，BD＝BA＋BC＝(a＋c，b)，∴AC·BD＝c2－a2－b2＝0.∴AC⊥BD，∴AC⊥BD．。

高中数学必修二第六章平面向量及其应用重点知识点大全(带答案)

高中数学必修二第六章平面向量及其应用重点知识点大全单选题1、若M 为△ABC 的边AB 上一点，且AB⃑⃑⃑⃑⃑ =3AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,则CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =（） A ．3CM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −2CA ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．3CA ⃑⃑⃑⃑⃑ −2CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ C ．3CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +2CA ⃑⃑⃑⃑⃑ D ．3CA ⃑⃑⃑⃑⃑ +2CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：A解析：先用向量CB →，CA →表示向量CM →，再转化为用CA →，CM →表示CB →即可得答案.解：根据题意做出图形，如图，所以CM →=CB →+BM →=CB →+23BA →=CB →+23(CA →−CB →)=13CB →+23CA →，所以CB →= 3CM →−2CA →.故选：A.小提示：关键点睛：解题关键在于利用向量的线性运算进行求解，属于基础题2、已知向量a ,b ⃑ 满足|a |⃑⃑⃑⃑⃑ =1,a ⊥b ⃑ ，则向量a −2b ⃑ 在向量a 方向上的投影向量为（）A ．aB ．1C ．-1D ．−a答案：A分析：根据给定条件，求出(a −2b ⃑ )⋅a ，再借助投影向量的意义计算作答.因|a |⃑⃑⃑⃑⃑ =1,a ⊥b ⃑ ，则(a −2b ⃑ )⋅a =a 2−2b ⃑ ⋅a =1，令向量a −2b ⃑ 与向量a 的夹角为θ，于是得|a −2b ⃑ |cosθ⋅a ⃑ |a ⃑ |=(a ⃑ −2b ⃑ )⋅a ⃑ |a ⃑ |⋅a⃑ |a ⃑ |=a ，所以向量a −2b ⃑ 在向量a 方向上的投影向量为a .故选：A3、如图，四边形ABCD 是平行四边形，则12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =（）A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．CD ⃑⃑⃑⃑⃑C ．CB ⃑⃑⃑⃑⃑D ．AD ⃑⃑⃑⃑⃑答案：D分析：由平面向量的加减法法则进行计算.由题意得AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=AD ⃑⃑⃑⃑⃑ .故选：D.4、下列条件中能得到a ⃗=b ⃑⃗的是（）A ．|a ⃗|=|b ⃑⃗|B ．a ⃗与b ⃑⃗的方向相同；C ．a ⃗=0⃑⃗，b ⃑⃗为任意向量D ．a ⃗=0⃑⃗且b ⃑⃗=0⃑⃗答案：D分析：根据相等向量的概念，即可得到结果.由于a ⃗=b ⃑⃗，所以a ⃗与b ⃑⃗的大小相等，方向相同，故D 正确.故选：D.5、向量a ⃗，b ⃑⃗满足a ⃗=(1,√3)，|b ⃑⃗|=1，|a ⃗+b ⃑⃗|=√3，则b ⃑⃗在a ⃗方向上的投影为（）A ．-1B ．−12C ．12D ．1答案：B解析：根据题条件，先求出a ⃗⋅b ⃑⃗，再由向量数量积的几何意义，即可求出结果.因为向量a ⃗，b ⃑⃗满足a ⃗=(1,√3)，|b ⃑⃗|=1，|a ⃗+b ⃑⃗|=√3，所以|a ⃗|2+2a ⃗⋅b ⃑⃗+|b ⃑⃗|2=3，即4+2a ⃗⋅b ⃑⃗+1=3，则a ⃗⋅b⃑⃗=−1，所以b ⃑⃗在a ⃗方向上的投影为|b →|cos <a →,b →>=a →⋅b →|a →|=−12. 故选：B.6、在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且a (sin A −sin B )+b sin B =c sin C,a +b =2c =2，则△ABC 的面积为（）A ．3√38B ．√34C ．√32D ．3√32 答案：B分析：由正弦定理化角为边结合余弦定理可求出C =π3，再由已知可求出ab =1，即可求出面积.因为a (sin A −sin B )+b sin B =c sin C ，由正弦定理得a (a −b )+b 2=c 2，即a 2+b 2−c 2=ab ，所以cos C =a 2+b 2−c 22ab =12，又C ∈(0,π)，所以C =π3.又a +b =2c =2，则c =1,a +b =2，由a 2+b 2−c 2=a 2+b 2−1= ab,(a +b)2−3ab =1，得ab =1.所以S △ABC =12ab sin C =12×1×1×sin π3=√34. 故选：B.7、在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于（）A ．14B ．34C ．√24D ．√23答案：B分析：利用余弦定理求得cosB .b 2=ac,c =2a ，则b 2=2a 2，由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac =a 2+4a 2−2a 22a⋅2a =34. 故选：B8、在△ABC 中，若AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=0，则△ABC 的形状一定是（） A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形答案：B分析：先利用数量积运算化简得到accosB =c 2，再利用余弦定理化简得解.因为AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB⃑⃑⃑⃑⃑ 2=0，所以accos(π−B)+c 2=0，所以accosB =c 2，所以ac ×a 2+c 2−b 22ac =c 2，所以b 2+c 2=a 2，所以三角形是直角三角形.故选：B多选题9、下列结果为零向量的是( )A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −(BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +CA ⃑⃑⃑⃑⃑ )B ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −CD ⃑⃑⃑⃑⃑ C ．OA ⃑⃑⃑⃑⃑ −OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ D ．NO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +OP ⃑⃑⃑⃑⃑ +MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −MP⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：BCD分析：根据向量加减法的运算方法即可逐项判断.A 项，AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗−(BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)＝AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝2AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗； B 项，AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗−CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝0⃑⃗；C 项，OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝0⃑⃗；D 项，NO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗−MP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝NP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋PN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝0⃑⃗.故选：BCD.10、已知向量a ⃗=(1,−2)，b⃑⃗=(−1,m)，则（） A ．若a ⃗与b ⃑⃗垂直，则m =−1B ．若a ⃗//b⃑⃗，则m =2 C ．若m =1，则|a ⃗−b ⃑⃗|=√13D ．若m =−2，则a ⃗与b⃑⃗的夹角为60° 答案：BC分析：利用向量垂直、平行的坐标表示求参数m ，即可判断A 、B 的正误；由m 的值写出b⃑⃗的坐标，再由向量坐标的线性运算及模长的坐标求法、夹角的坐标求法求|a ⃗−b ⃑⃗|、a ⃗与b⃑⃗的夹角，即可判断C 、D 正误. A ：a ⃗与b ⃑⃗垂直，则−1−2m =0，可得m =−12，故错误；B：a⃗//b⃑⃗，则m−2=0，可得m=2，故正确；C：m=1有b⃑⃗=(−1,1)，则a⃗−b⃑⃗=(2,−3)，可得|a⃗−b⃑⃗|=√13，故正确；D：m=−2时，有b⃑⃗=(−1,−2)，所以cos<a⃗,b⃑⃗>=a⃑⃗⋅b⃑⃗|a⃑⃗||b⃑⃗|=√5×√5=35，即a⃗与b⃑⃗的夹角不为60°，故错误.故选：BC11、（多选）已知向量a⃗，b⃑⃗，在下列命题中正确的是（）A．若|a⃗|>|b⃑⃗|，则a⃗>b⃑⃗B．若|a⃗|=|b⃑⃗|，则a⃗=b⃑⃗C．若a⃗=b⃑⃗，则a⃗//b⃑⃗D．若|a⃗|=0，则a⃗=0答案：CD分析：根据向量相等和模值相等的区别分析四个选项便可得出答案.解：向量的模值可以比较大小，但是向量不能比较大小，故A错；向量的模值相等，只能证明大小相等并不能说明方向也相同，故B错；两个向量相等，这两个向量平行，所以C正确；模值为零的向量为零向量，故D正确故选：CD填空题12、《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪.以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形.中有都柱，傍行八道，施关发机.外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之.其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际.如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之.振声激扬，伺者因此觉知.虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在.验之以事，合契若神.”如图，为张衡地动仪的结构图，现要在相距200km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向，若A地动仪正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置在A地正东________________km.答案：100(√3+1)分析：依题意画出图象，即可得到A=60∘,B=75∘,C=45∘，AB=200，再利用正弦定理计算可得；解：如图，设震源在C处，则AB=200km，则由题意可得A=60∘,B=75∘,C=45∘，根据正弦定理可得200 sin45∘=ACsin75∘，又sin75∘=sin(45∘+30∘)=sin45∘cos30∘+cos45∘sin30∘=√22×√32+√22×12=√6+√24所以AC=200sin75∘sin45∘=200×√6+√24√22=100(√3+1)，所以震源在A地正东100(√3+1)km处.所以答案是：100(√3+1)13、已知向量a⃗,b⃑⃗的夹角为120°，|a⃗|=2,|b⃑⃗|=1，若(a⃗+3b⃑⃗)⊥(2a⃗+λb⃑⃗)，则实数λ=___________. 答案：−1分析：由(a⃗+3b⃑⃗)⊥(2a⃗+λb⃑⃗)，可得(a⃗+3b⃑⃗)⋅(2a⃗+λb⃑⃗)=0，化简后结已知条件可求得答案解：因为向量a⃗,b⃑⃗的夹角为120°，|a⃗|=2,|b⃑⃗|=1，且(a⃗+3b⃑⃗)⊥(2a⃗+λb⃑⃗)，所以(a ⃗+3b ⃑⃗)⋅(2a ⃗+λb ⃑⃗)=0，即2a ⃗2+(6+λ)a ⃗⋅b⃑⃗+3λb ⃑⃗2=0，所以8+(6+λ)×2×1×(−12)+3λ=0，解得λ=−1，所以答案是：−114、设向量m ⃑⃑ =2a −3b ⃑ ,n ⃑ =4a −2b ⃑ ,p =3a +2b ⃑ ，若用m ⃑⃑ ,n ⃑ 表示p ，则p =________.答案：−74m ⃑⃑ +138n ⃑分析：根据平面向量基本定理进行求解即可.设p ⃗=xm ⃑⃑⃗+yn ⃑⃗，则有p ⃗=3a ⃗+2b ⃑⃗=x(2a ⃗−3b ⃑⃗)+y(4a ⃗−2b ⃑⃗)=(2x +4y)a ⃗+(−3x −2y)b⃑⃗，得{2x +4y =3−3x −2y =2⇒{x =−74,y =138.，所以p ⃗=−74m ⃑⃑⃗+138n ⃑⃗，所以答案是：−74m ⃑⃑⃗+138n ⃑⃗解答题 15、△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知asinAsinB +ccosA =(acosA +2b )cosB（1）求B ;（2）若b =2√3,AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =6，求△ABC 的周长答案：（1）B =π3；（2）6√3. 分析：（1）根据asinAsinB +ccosA =(acosA +2b )cosB ，利用正弦定理结合两角和与差的三角函数化简为2sinBcosB =sinB 求解；（2）利用余弦定理得到(a +c )2−3ac =12，然后由AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =6求得ac 代入即可. （1）因为 asinAsinB +ccosA =(acosA +2b )cosB ，所以a (sinAsinB −cosAcosB )+ccosA =2bcosB ，所以−acos(A +B)+ccosA =2bcosB所以acosC +ccosA =2bcosB由正弦定理得sinAcosC +sinCcosA =2sinBcosB整理得sin (A +C )=2sinBcosB =sinB因为在△ABC 中，所以sinB ≠0，则2cosB =1所以B =π3 （2）由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2accosB ，即(a +c )2−3ac =12，因为AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =accosB =12ac =6，所以ac =12，所以(a +c )2−36=12，解得a +c =4√3.所以△ABC 的周长是6√3小提示：方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．。

高中数学第二章平面向量向量应用举例例题与探究(含解析)

2.7 向量应用举例典题精讲例1用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。

思路分析：把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度，转化为证明向量长度之间的关系.基向量法和坐标法均可解决.答案：已知：四边形ABCD是平行四边形，求证：|AC｜2＋|BD|2=2|AB｜2＋2|AD|2。

证法一：如图2—7—1所示，设AB=a, AD=b，∴AC=AB＋AD=a＋b，BD=AD-AB=b-a。

图2-7—1∴｜AC｜2=(a+b）2=a2+2a·b+b2，｜BD｜2=（b—a)2=a2-2a·b＋b2。

∴｜AC|2＋|BD|2=2a2+2b2.又∵2|AB|2＋2|AD|2=2｜OB|2＋2|OD|2=2a2+2b2，∴｜AC｜2＋|BD|2=2|AB|2＋2｜AD｜2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.证法二:如图2—7-2所示，以A为原点,以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.设A（0，0）、D（a,b）、B（c，0），∴AC=AB＋AD图2—7-2=OB＋OD=(c，0）+（a，b)=(a+c,b），BD=AD—AB=OD—OB=（a，b)-(c,0）=（a-c,b)。

∴|AC｜2=（c+a）2+b2，|BD｜2=（a-c）2+b2.∴｜AC|2＋|BD｜2=2a2+2c2+2b2。

又∵2｜AB｜2＋2|AD｜2=2|OB｜2＋2｜OD｜2=2a2+2c2+2b2,∴|AC|2＋|BD｜2=2|AB｜2＋2｜AD｜2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。

绿色通道：1。

向量法解决几何问题的步骤:①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;②通过向量运算（有基向量法和坐标法两种),研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系。

这是用向量法解决平面几何问题的“三步曲”.又简称为：一建二算三译；也可说成为：捡便宜（建算译)。

高中数学第五章_平面向量

第五章⎪⎪⎪平面向量第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念平行四边形法则向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa . [小题体验]1．下列四个命题中，正确的命题是( ) A ．若a ∥b ，则a ＝b B ．若|a |＝|b |，则a ＝b C ．若|a |＝|b |，则a ∥b D ．若a ＝b ，则|a |＝|b |答案：D2．若m ∥n ，n ∥k ，则向量m 与向量k ( ) A ．共线 B ．不共线 C ．共线且同向 D ．不一定共线答案：D3．若D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD ―→等于( ) A ．－BC ―→＋12BA ―→B ．－BC ―→－12 BA ―→C ．BC ―→ －12BA ―→D ．BC ―→＋12BA ―→答案：A4．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 答案：－131．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误． 2．在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． 3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系． [小题纠偏]1．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB ―→－CB ―→＋CD ―→|＝________. 解析：|AB ―→－CB ―→＋CD ―→|＝|AB ―→＋BC ―→＋CD ―→|＝|AD ―→|＝2. 答案：22．已知a ，b 是非零向量，命题p ：a ＝b ，命题q ：|a ＋b |＝|a |＋|b |，则p 是q 的________条件．解析：若a ＝b ，则|a ＋b |＝|2a |＝2|a |，|a |＋|b |＝|a |＋|a |＝2|a |，即p ⇒q . 若|a ＋b |＝|a |＋|b |，由加法的运算知a 与b 同向共线，即a ＝λb ，且λ＞0，故q ⇒/ p . ∴p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要考点一平面向量的有关概念(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.2．下列说法中错误的是( )A ．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段B ．若向量a 和b 不共线，则a 和b 都是非零向量C ．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D ．方向相反的两个非零向量必不相等解析：选C 选项A 中向量与有向线段是两个完全不同的概念，故正确；选项B 中零向量与任意向量共线，故a ，b 都是非零向量，故正确；选项C 中是共线向量，故错误；选项D 中既然方向相反就一定不相等，故正确．3．(易错题)给出下列命题： ①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是________．解析：①正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .②正确．∵AB ―→＝DC ―→，∴|AB ―→|＝|DC ―→|且AB ―→∥DC ―→，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB ―→∥DC ―→且|AB ―→|＝|DC ―→|，因此，AB ―→＝DC ―→.③不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．④不正确．考虑b ＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是①②. 答案：①②[谨记通法]向量有关概念的5个关键点 (1)向量：方向、长度．(2)非零共线向量：方向相同或相反． (3)单位向量：长度是一个单位长度． (4)零向量：方向没有限制，长度是0. (5)相等相量：方向相同且长度相等．考点二向量的线性运算(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2018·武汉调研)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＋OD ―→等于( )A ．OM ―→B ．2OM ―→C ．3OM ―→D ．4OM ―→解析：选D 因为M 是平行四边形ABCD 对角线AC ，BD 的交点，所以OA ―→＋OC ―→＝2OM ―→，OB ―→＋OD ―→＝2OM ―→，所以OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＋OD ―→＝4OM ―→.2．(2018·温州模拟)在等腰梯形ABCD 中，AB ―→＝－2CD ―→，M 为BC 的中点，则AM ―→＝( ) A.12AB ―→＋12AD ―→ B.34AB ―→＋12AD ―→C.34AB ―→＋14AD ―→ D.12AB ―→＋34AD ―→ 解析：选B 因为AB ―→＝－2CD ―→，所以AB ―→＝2DC ―→.又M 是BC 的中点，所以AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)＝12(AB―→＋AD ―→＋DC ―→)＝12⎝⎛⎭⎫AB ―→＋AD ―→＋12AB ―→＝34AB ―→＋12AD ―→.3．(2019·郑州第一次质量预测)如图，在△ABC 中，N 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 在线段BN 上且AP ―→＝⎝⎛⎭⎫m ＋211AB ―→＋211BC ―→，则实数m 的值为( )A ．1 B.13C.911D.511解析：选D AP ―→＝⎝⎛⎭⎫m ＋211AB ―→＋211BC ―→＝⎝⎛⎭⎫m ＋211AB ―→＋211(AC ―→－AB ―→)＝m AB ―→＋211AC ―→，设BP ―→＝λBN ―→(0≤λ≤1)，则AP ―→＝AB ―→＋λBN ―→＝AB ―→＋λ(AN ―→－AB ―→)＝(1－λ)AB ―→＋λAN ―→，因为AN ―→ ＝13AC ―→，所以AP ―→＝(1－λ)AB ―→＋13λAC ―→，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1－λ，211＝13λ，解得⎩⎨⎧λ＝611，m ＝511，故选D.[谨记通法]1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较、观察可知所求．考点三共线向量定理的应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC ―→＝3CD ―→，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO ―→＝x AB ―→＋(1－x )·AC ―→，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎝⎛⎭⎫－12，0 D.⎝⎛⎭⎫－13，0 解析：选D 设CO ―→＝y BC ―→，∵AO ―→＝AC ―→＋CO ―→＝AC ―→＋y BC ―→＝AC ―→＋y (AC ―→－AB ―→)＝－y AB ―→＋(1＋y ) AC ―→，∵BC ―→＝3CD ―→，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，∴y ∈⎝⎛⎭⎫0，13，∵AO ―→＝x AB ―→＋(1－x )AC ―→，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－13，0. 2．设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 同向．解：(1)证明：∵AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3a －3b ， ∴BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB ―→.∴AB ―→，BD ―→共线，又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 同向，∴存在实数λ(λ＞0)，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量，⎩⎪⎨⎪⎧ k －λ＝0，λk －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝1，λ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1，又∵λ＞0，∴k ＝1.[由题悟法]共线向量定理的3个应用(1)证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB ―→＝λAC ―→，则A ，B ，C 三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． [提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．[即时应用]1．设向量a ，b 不共线，AB ―→＝2a ＋p b ，BC ―→＝a ＋b ，CD ―→＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选B 因为BC ―→＝a ＋b ，CD ―→＝a －2b ，所以BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a －b .又因为A ，B ，D 三点共线，所以AB ―→，BD ―→共线．设AB ―→＝λBD ―→，所以2a ＋p b ＝λ(2a －b )，所以2＝2λ，p ＝－λ，即λ＝1，p ＝－1.2．如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ―→＝23AD ―→，AB ―→＝a ，AC―→＝b .(1)用a ，b 表示向量AD ―→，AE ―→，AF ―→，BE ―→，BF ―→； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．解：(1)延长AD 到G ，使AD ―→＝12AG ―→，连接BG ，CG ，得到▱ABGC ，所以AG ―→＝a ＋b ， AD ―→＝12AG ―→＝12(a ＋b )，AE ―→＝23AD ―→＝13(a ＋b )，AF ―→＝12AC ―→＝12b ，BE ―→＝AE ―→－AB ―→＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )，BF ―→＝AF ―→－AB ―→＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明：由(1)可知BE ―→＝23BF ―→，又因为BE ―→，BF ―→有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知O ，A ，B 是同一平面内的三个点，直线AB 上有一点C 满足2AC ―→＋CB ―→＝0，则OC ―→＝( ) A ．2OA ―→－OB ―→B ．－OA ―→＋2OB ―→C.23OA ―→－13OB ―→ D ．－13OA ―→＋23OB ―→解析：选A 依题意，得OC ―→＝OB ―→＋BC ―→＝OB ―→＋2AC ―→＝OB ―→＋2(OC ―→－OA ―→)，所以OC ―→＝2OA ―→－OB ―→. 2．(2019·石家庄质检)在△ABC 中，点D 在边AB 上，且BD ―→＝12DA ―→，设CB ―→＝a ，CA ―→＝b ，则CD ―→＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13b C.35a ＋45b D.45a ＋35b 解析：选B ∵BD ―→＝12DA ―→，∴BD ―→＝13BA ―→，∴CD ―→＝CB ―→＋BD ―→＝CB ―→＋13BA ―→＝CB ―→＋13(CA ―→－CB ―→)＝23CB ―→＋13CA ―→＝23a ＋13b . 3．在四边形ABCD 中，AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－4a －b ，CD ―→＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( ) A ．矩形 B ．平行四边形 C ．梯形D ．以上都不对解析：选C 由已知，得AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC ―→，故AD ―→∥BC ―→. 又因为AB ―→与CD ―→不平行，所以四边形ABCD 是梯形．4．(2018·扬州模拟)在△ABC 中，N 是AC 边上一点且AN ―→＝12NC ―→，P 是BN 上一点，若AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→，则实数m 的值是________．解析：如图，因为AN ―→＝12NC ―→，P 是BN ―→上一点．所以AN ―→＝13AC ―→，AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→＝m AB ―→＋23AN ―→，因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，则m ＝13. 答案：135．在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD ―→＝14AC ―→＋λAB ―→(λ∈R)，则AD 的长为________．解析：因为B ，D ，C 三点共线，所以14＋λ＝1，解得λ＝34，如图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN ―→＝14AC ―→，AM ―→＝34AB ―→，因为在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，所以四边形ANDM 为菱形，因为AB ＝4，所以AN ＝AM ＝3，AD ＝3 3.答案：3 3二保高考，全练题型做到高考达标1．已知向量a ，b ，且AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－5a ＋6b ，CD ―→＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D解析：选A AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝3a ＋6b ＝3AB ―→.因为AB ―→与AD ―→有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．2．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( ) A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：选B 由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝k d (k ＜0)，于是λa ＋b ＝k []a ＋(2λ－1)b . 整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k ＜0，所以λ＜0，故λ＝－12.3．(2019·浙江六校联考)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，则向量BF ―→＝( )A.13a ＋23b B ．－13a －23bC ．－13a ＋23b D.13a －23b解析：选C 如图，因为点E 为CD 的中点，CD ∥AB ，所以BFEF ＝ABEC ＝2，所以BF ―→＝23BE ―→＝23(BC ―→＋CE ―→)＝23⎝⎛⎭⎫b －12a ＝－13a ＋23b . 4．(2018·遂昌期初)已知a ，b 是两个不共线的非零向量，且起点在同一点上，若a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一直线上，则实数t 的值为( )A ．2B ．1C ．23D ．12解析：选D 由题可设13(a ＋b )＝λa ＋μt b ，因为a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一直线上，所以有λ＋μ＝1.所以13＝λ，μ＝23，所以13＝23t ，解得t ＝12.5．(2019·丹东五校协作体联考)P 是△ABC 所在平面上的一点，满足PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝2AB ―→，若S △ABC＝6，则△PAB 的面积为( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：选A ∵PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝2AB ―→＝2(PB ―→－PA ―→)，∴3PA ―→＝PB ―→－PC ―→＝CB ―→，∴PA ―→∥CB ―→，且方向相同，∴S △ABC S △PAB ＝BC AP ＝|CB ―→||PA ―→|＝3，∴S △PAB ＝S △ABC3＝2. 6．已知O 为△ABC 内一点，且2AO ―→＝OB ―→＋OC ―→，AD ―→＝t AC ―→，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为________．解析：设线段BC 的中点为M ，则OB ―→＋OC ―→＝2OM ―→. 因为2AO ―→＝OB ―→＋OC ―→，所以AO ―→＝OM ―→，则AO ―→＝12AM ―→＝14(AB ―→＋AC ―→)＝14⎝⎛⎭⎫AB ―→＋1t AD ―→＝14AB ―→＋14t AD ―→.由B ，O ，D 三点共线，得14＋14t ＝1，解得t ＝13.答案：137．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC ―→2＝16，|AB ―→＋AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→|，则|AM ―→|＝________.解析：由|AB ―→＋AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→|可知，AB ―→⊥AC ―→，则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，因此，|AM ―→|＝12|BC ―→|＝2.答案：28．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，给出下列命题：①AD ―→＝12a －b ；②BE ―→＝a ＋12b ；③CF ―→＝－12a ＋12b ；④AD ―→＋BE ―→＋CF ―→＝0. 其中正确命题的个数为________．解析：BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，AD ―→＝12CB ―→＋AC ―→＝－12a －b ，故①错；BE ―→＝BC ―→＋12CA ―→＝a ＋12b ，故②正确；CF ―→＝12(CB ―→＋CA ―→)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，故③正确；AD ―→＋BE ―→＋CF ―→＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0，故④正确．∴正确命题为②③④. 答案：39．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB ―→＝2e 1－8e 2，CB ―→＝e 1＋3e 2，CD ―→＝2e 1－e 2. (1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF ―→＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：由已知得BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB ―→＝2e 1－8e 2， ∴AB ―→＝2BD ―→.又∵AB ―→与BD ―→有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)由(1)可知BD ―→＝e 1－4e 2，∵BF ―→＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴BF ―→＝λBD ―→(λ∈R )，即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ. 解得k ＝12.10．已知a ，b 不共线，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，OD ―→＝d ，OE ―→＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c ,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ―→＝d －c ＝2b －3a ，CE ―→＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ―→＝k CD ―→，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如图，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足BD ＝12DC ，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AM ―→＝m AB ―→，AN ―→＝n AC ―→，则( )A ．m ＋n 是定值，定值为2B ．2m ＋n 是定值，定值为3 C.1m ＋1n 是定值，定值为2 D.2m ＋1n 是定值，定值为3解析：选D 因为M ，D ，N 三点共线，所以AD ―→＝λAM ―→＋(1－λ)AN ―→.又AM ―→＝m AB ―→，AN ―→＝n AC ―→，所以AD ―→＝λm AB ―→＋(1－λ)n AC ―→.又BD ―→＝12DC ―→，所以AD ―→－AB ―→＝12AC ―→－12AD ―→，所以AD ―→＝13AC ―→＋23AB ―→.比较系数知λm ＝23，(1－λ)n ＝13，所以2m ＋1n ＝3，故选D.2．(2019·长沙模拟)在平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点．若AB ―→＝λAM ―→＋μDB ―→，则λ－μ＝________.解析：如图，在平行四边形ABCD 中，AB ―→＝DC ―→，所以AB ―→＝AM ―→＋MB ―→＝AM ―→＋12CB ―→＝AM ―→＋12(DB ―→－DC ―→)＝AM ―→＋12(DB ―→－AB ―→)＝AM ―→＋12DB ―→－12AB ―→，所以32AB ―→＝AM ―→＋12DB ―→，所以AB ―→＝23AM ―→＋13DB ―→，所以λ＝23，μ＝13，所以λ－μ＝13.答案：133．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R )． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明：(1)若m ＋n ＝1，则OP ―→＝m OA ―→＋(1－m )OB ―→＝OB ―→＋m (OA ―→－OB ―→)， ∴OP ―→－OB ―→＝m (OA ―→－OB ―→)，即BP ―→＝m BA ―→，∴BP ―→与BA ―→共线．又∵BP ―→与BA ―→有公共点B ，∴A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP ―→＝λBA ―→， ∴OP ―→－OB ―→＝λ(OA ―→－OB ―→)．又OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→.故有m OA ―→＋(n －1)OB ―→＝λOA ―→－λOB ―→，即(m －λ)OA ―→＋(n ＋λ－1)OB ―→＝0.∵O ，A ，B 不共线，∴OA ―→，OB ―→不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1. 第二节平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB ―→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.[小题体验]1．已知a ＝(4,2)，b ＝(－6，m )，若a ∥b ，则m 的值为______．答案：－32．(教材习题改编)已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，则3a ＋4b ＝________. 答案：(－6,19)3．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b . 因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2.由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎨⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －134．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 答案：－11．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.[小题纠偏]1．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________. 答案：02．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．解析：∵ma ＋nb ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－3考点一平面向量基本定理及其应用(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2019·温州模拟)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC边上一点，BC ―→＝3EC ―→，F 为AE 的中点，则BF ―→＝( )A.23AB ―→－13AD ―→B.13AB ―→－23AD ―→ C ．－23AB ―→＋13AD ―→D ．－13AB ―→＋23AD ―→解析：选C 如图，取AB 的中点G ，连接DG ，CG ，易知四边形DCBG 为平行四边形，∴BC ―→＝GD ―→＝AD ―→－AG ―→＝AD ―→－12AB ―→，∴AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23⎝⎛⎭⎫AD ―→－12AB ―→＝23AB ―→＋23AD ―→，于是BF ―→＝AF ―→－AB ―→＝12AE ―→－AB ―→＝12⎝⎛⎭⎫23AB ―→＋23AD ―→－AB ―→＝－23AB ―→＋13AD ―→，故选C.2．在△ABC 中，点M ，N 满足AM ―→＝2MC ―→，BN ―→＝NC ―→.若MN ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，则x ＝________；y ＝________.解析：∵AM ―→＝2MC ―→，∴AM ―→＝23AC ―→.∵BN ―→＝NC ―→，∴AN ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，∴MN ―→＝AN ―→－AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)－23AC ―→＝12AB ―→－16AC ―→. 又MN ―→＝x AB ―→＋y AC ―→， ∴x ＝12，y ＝－16.答案：12 －16L ，且AK ―→＝3.如图，已知平行四边形ABCD 的边BC ，CD 的中点分别是K ，e 1，AL ―→＝e 2，试用e 1，e 2表示BC ―→，CD ―→.解：设BC ―→＝x ，CD ―→＝y ，则BK ―→＝12x ，DL ―→＝－12y .由AB ―→＋BK ―→＝AK ―→，AD ―→＋DL ―→＝AL ―→，得⎩⎨⎧－y ＋12x ＝e 1， ①x －12y ＝e 2， ②①＋②×(－2)，得12x －2x ＝e 1－2e 2，即x ＝－23(e 1－2e 2)＝－23e 1＋43e 2，所以BC ―→＝－23e 1＋43e 2.同理可得y ＝－43e 1＋23e 2，即CD ―→＝－43e 1＋23e 2.[谨记通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决． (2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．考点二平面向量的坐标运算(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，则b 为( ) A ．(－3,4) B ．(3,4) C ．(3，－4)D ．(－3，－4)解析：选A 由a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，得2b ＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，∴b ＝12(－6,8)＝(－3,4)，故选A.2．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP ―→＝12MN ―→，则P 点的坐标为( )A ．(－8,1)B ．⎝⎛⎭⎫－1，－32 C ．⎝⎛⎭⎫1，32 D ．(8，－1)解析：选B 设P (x ，y )，则MP ―→＝ (x －3，y ＋2)，而12MN ―→＝12(－8,1)＝⎝⎛⎭⎫－4，12，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－4，y ＋2＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－32，所以P ⎝⎛⎭⎫－1，－32. 3．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，且CM ―→＝3c ，CN ―→＝－2b ， (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM ―→＝OM ―→－OC ―→＝3c ， ∴OM ―→＝3c ＋OC ―→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN ―→＝ON ―→－OC ―→＝－2b ，∴ON ―→＝－2b ＋OC ―→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)，∴MN ―→＝(9，－18)．[谨记通法]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．考点三平面向量共线的坐标表示(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．解析：∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，∴DC ―→＝2AB ―→.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC ―→＝(4－x ，2－y )，AB ―→＝(1，－1)，∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．答案：(2,4)2．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB ―→＝2a ＋3b ，BC ―→＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．解：(1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， ∴k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵k a －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0，∴k ＝－12.(2)AB ―→＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC ―→＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )． ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→∥BC ―→， ∴8m －3(2m ＋1)＝0，∴m ＝32.[由题悟法]向量共线的充要条件 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)；(2)a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0(其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))．当涉及向量或点的坐标问题时一般利用(2)比较方便．[即时应用]1．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由题意得a ＋b ＝(2,2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，所以m ＝－6.当m ＝－6时，a ∥(a ＋b )，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件．2．(2018·贵阳监测)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )∥(m －n )，则λ＝________. 解析：因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，又(m ＋n )∥(m －n )，所以(2λ＋3)×(－1)＝3×(－1)，解得λ＝0. 答案：03．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．解析：∵a 与b 方向相反，∴可设a ＝λb (λ＜0)， ∴a ＝λ(2,1)＝(2λ，λ)．由|a |＝5λ2＝25，解得λ＝－2或λ＝2(舍去)，故a ＝(－4，－2)．答案：(－4，－2)4．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值等于________．解析：AB ―→＝(a －2，－2)，AC ―→＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12.答案：12一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在平行四边形ABCD 中，AC 为对角线，若AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则BD ―→＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5)D ．(2,4)解析：选B 由题意得BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝BC ―→－AB ―→＝(AC ―→－AB ―→)－AB ―→＝AC ―→－2AB ―→＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．2．已知A (－1，－1)，B (m ，m ＋2)，C (2,5)三点共线，则m 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A AB ―→＝(m ，m ＋2)－(－1，－1)＝(m ＋1，m ＋3)， AC ―→＝(2,5)－(－1，－1)＝(3,6)， ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→∥AC ―→，∴3(m ＋3)－6(m ＋1)＝0， ∴m ＝1.故选A.3．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，且BP―→＝2PA ―→，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14解析：选A 由题意知OP ―→＝OB ―→＋BP ―→，又BP ―→＝2PA ―→，所以OP ―→＝OB ―→＋23BA ―→＝OB ―→＋23(OA ―→－OB ―→)＝23OA ―→＋13OB ―→，所以x ＝23，y ＝13. 4．(2019·舟山模拟)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋b 与a －2b 共线，则m 的值为________．解析：由a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋b ＝(2m －1,3m ＋2)，a －2b ＝(4，－1)，又m a ＋b 与a －2b 共线，所以－1×(2m －1)＝(3m ＋2)×4，解得m ＝－12.答案：－125．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．解析：因为a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，所以u ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)， v ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又因为u ∥v ，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0，即10x ＝5，解得x ＝12.答案：12二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·温州十校联考)已知a ＝(－3,1)，b ＝(－1,2)，则3a －2b ＝( ) A ．(7,1) B ．(－7，－1) C ．(－7,1)D ．(7，－1)解析：选B 由题可得，3a －2b ＝3(－3,1)－2(－1,2)＝(－9＋2，3－4)＝(－7，－1)．2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行，则A ＝( )A.π6B.π3C.π2D.2π3解析：选B 因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝3，由于0＜A ＜π，所以A ＝π3.3．已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC ―→＝2CB ―→，则实数a 等于( )A ．2B ．1C ．45D ．53解析：选A 设C (x ，y )，则AC ―→＝(x －7，y －1)，CB ―→＝(1－x,4－y )，∵AC ―→＝2CB ―→，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝2(1－x )，y －1＝2(4－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.∴C (3,3)．又∵点C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ×3，∴a ＝2.4．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内的点，且∠AOC ＝π4，|OC |＝2，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝( )A ．2 2B ． 2C ．2D ．4 2解析：选A 因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，则AF ―→＝( )A.14a ＋12bB.12a ＋14bC.23a ＋13bD.13a ＋23b 解析：选C 如图，∵AC ―→＝a ，BD ―→＝b ， ∴AD ―→＝AO ―→＋OD ―→＝12AC ―→＋12BD ―→＝12a ＋12b .∵E 是OD 的中点， ∴|DE ||EB |＝13， ∴|DF |＝13|AB |.∴DF ―→＝13AB ―→＝13(OB ―→－OA ―→)＝13×⎣⎡⎦⎤－12 BD ―→⎝⎛⎭⎫－12AC ―→＝16AC ―→－16BD ―→＝16a －16b ， ∴AF ―→＝AD ―→＋DF ―→＝12a ＋12b ＋16a －16b ＝23a ＋13b ，故选C.6．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2,1)，c ＝(3,2)．若向量c 与向量k a ＋b 共线，则实数k ＝________，若c ＝x a ＋y b ，则x ＋y 的值为________．解析：k a ＋b ＝k (1,3)＋(－2,1)＝(k －2,3k ＋1)，因为向量c 与向量k a ＋b 共线，所以2(k －2)－3(3k ＋1)＝0，解得k ＝－1.因为c ＝x a ＋y b ，所以(3,2)＝(x －2y,3x ＋y )，即x －2y ＝3,3x ＋y ＝2，解得x ＝1，y ＝－1，所以x ＋y ＝0.答案：－1 07．已知向量OA ―→＝(1，－3)，OB ―→＝(2，－1)，OC ―→＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB ―→，AC ―→不共线． ∵AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， ∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1. 答案：k ≠18.如图，在正方形ABCD 中，P 为DC 边上的动点，设向量AC ―→＝λDB ―→＋μAP ―→，则λ＋μ的最大值为________．解析：以A 为坐标原点，以AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，设正方形的边长为2，则B (2,0)，C (2,2)，D (0,2)，P (x,2)，x ∈[0,2]． ∴AC ―→＝(2,2)，DB ―→＝(2，－2)，AP ―→＝(x,2)．∵AC ―→＝λDB ―→＋μAP ―→，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋xμ＝2，－2λ＋2μ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2－x2＋x ，μ＝42＋x ，∴λ＋μ＝6－x 2＋x .令f (x )＝6－x2＋x(0≤x ≤2)， ∵f (x )在[0,2]上单调递减，∴f (x )max ＝f (0)＝3，即λ＋μ的最大值为3. 答案：39．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k . 解：(1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎨⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613.10．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA ―→＝a ，BC ―→＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ―→，DF ―→，CD ―→.解：EF ―→＝EA ―→＋AB ―→＋BF ―→＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ―→＝DE ―→＋EF ―→＝－16b ＋⎝⎛⎭⎫13b －a ＝16b －a ， CD ―→＝CF ―→＋FD ―→＝－12b －⎝⎛⎭⎫16b －a ＝a －23b . 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (2,3)，B (3,2)，C (1,1)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)内，设OP ―→＝m AB ―→－n CA ―→(m ，n ∈R )，则2m ＋n 的最大值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．3解析：选B 由已知得AB ―→＝(1，－1)，CA ―→＝(1,2)，设OP ―→＝(x ，y )，∵OP ―→＝m AB ―→－n CA ―→，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m －n ，y ＝－m －2n ，∴2m ＋n ＝x －y .作出平面区域如图所示，令z ＝x －y ，则y ＝x －z ，由图象可知当直线y ＝x －z 经过点B (3,2)时，截距最小，即z 最大．∴z 的最大值为3－2＝1，即2m ＋n 的最大值为1.2．设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3―→＝λA 1A 2―→(λ∈R )，A 1A 4―→＝μA 1A 2―→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知点C (c,0)，D (d,0)(c ，d ∈R )调和分割点A (0,0)，B (1,0)，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上解析：选D 根据已知得(c,0)－(0,0)＝λ[(1,0)－(0,0)]，即(c,0)＝λ(1,0)，从而得c ＝λ.(d,0)－(0,0)＝μ[(1,0)－(0,0)]，即(d,0)＝μ(1,0)，得d ＝μ.根据1λ＋1μ＝2，得1c ＋1d ＝2.线段AB 的方程是y ＝0，x ∈[0,1]．若C 是线段AB 的中点，则c ＝12，代入1c ＋1d ＝2得，1d ＝0，此等式不可能成立，故选项A 的说法不正确；同理选项B 的说法也不正确；若C ，D 同时在线段AB 上，则0＜c ≤1,0＜d ≤1，此时1c ≥1，1d ≥1，1c ＋1d ≥2，若等号成立，则只能c ＝d ＝1，根据定义，C ，D 是两个不同的点，矛盾，故选项C 的说法也不正确；若C ，D 同时在线段AB 的延长线上，即c ＞1，d ＞1，则1c ＋1d ＜2，与1c ＋1d ＝2矛盾，若c ＜0，d ＜0，则1c ＋1d 是负值，与1c ＋1d ＝2矛盾，若c ＞1，d ＜0，则1c ＜1，1d ＜0，此时1c ＋1d ＜1，与1c ＋1d ＝2矛盾，故选项D 的说法是正确的．3．已知三点A (a,0)，B (0，b )，C (2,2)，其中a ＞0，b ＞0.(1)若O 是坐标原点，且四边形OACB 是平行四边形，试求a ，b 的值； (2)若A ，B ，C 三点共线，试求a ＋b 的最小值．解：(1)因为四边形OACB 是平行四边形，所以OA ―→＝BC ―→，即(a,0)＝(2,2－b )，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，2－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2. 故a ＝2，b ＝2.(2)因为AB ―→＝(－a ，b )，BC ―→＝(2,2－b )，由A ，B ，C 三点共线，得AB ―→∥BC ―→，所以－a (2－b )－2b ＝0，即2(a ＋b )＝ab ，因为a ＞0，b ＞0，所以2(a ＋b )＝ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，即(a ＋b )2－8(a ＋b )≥0，解得a ＋b ≥8或a ＋b ≤0. 因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b ≥8，即a ＋b 的最小值是8. 当且仅当a ＝b ＝4时，“＝”成立．第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例1．向量的夹角2．平面向量的数量积3．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.[小题体验]1．已知|a |＝2，|b |＝6，a ·b ＝－63，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案：D2．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由题意可得a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝2×3×32＝3. 3．已知向量a ，b 均为单位向量，若它们的夹角为60°，则|a ＋3b |＝( ) A.7 B.10 C.13D ．4解析：选C 依题意得a ·b ＝12，则|a ＋3b |＝a 2＋9b 2＋6a ·b ＝13.4．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝________.解析：因为向量a ，b 为单位向量，所以b 2＝1，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a ·b ＝12，由b ·c ＝0，得b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0，即t a ·b ＋(1－t )b 2＝0，所以12t ＋(1－t )＝0，所以t ＝2.答案：25．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE ―→·BD ―→＝________.解析：选向量的基底为AB ―→，AD ―→，则BD ―→＝AD ―→－AB ―→，AE ―→＝AD ―→＋12AB ―→，所以AE ―→·BD ―→＝⎝⎛⎭⎫AD ―→＋12AB ―→ ·(AD ―→－AB ―→)＝2. 答案：21．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量． 2．两个向量的夹角为锐角，则有a ·b ＞0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a ·b ＜0，反之不成立．3．a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b . 4．在用|a |＝a 2求向量的模时，一定要把求出的a 2再进行开方． [小题纠偏]1．若a ，b 是两个互相垂直的非零向量，给出以下式子：①a ·b ＝0；②a ＋b ＝a －b ；③|a ＋b |＝|a －b |；④a 2＋b 2＝(a ＋b )2.其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 因为a ，b 是两个互相垂直的非零向量，所以a·b ＝0；所以(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2；(a －b )2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝a 2＋b 2；所以(a ＋b )2＝(a －b )2，即|a ＋b |＝|a －b |.故①③④是正确的，②是错误的．2．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，则|a ＋2b |＝________.解析：|a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝ 1＋4×⎝⎛⎭⎫－12＋4＝ 3. 答案： 3考点一平面向量的数量积的运算(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c ＝( ) A ．(－15,12) B ．0 C ．－3D ．－11解析：选C ∵a ＋2b ＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)， ∴(a ＋2b )·c ＝(－5,6)·(3,2)＝－3.2．(2018·浙江考前冲刺)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|b |＝4，则向量a 在a ＋b 上的投影为( )A. 3 B ．3 C. 6D ．6解析：选B 由|a ＋b |＝|a －b |，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，即a ·b ＝0，由|a ＋b |＝2|b |，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝4b 2，即a 2＝3b 2，所以|a |＝3|b |＝23，所以向量a 在a ＋b 上的投影为a ·(a ＋b )|a ＋b |＝a 2|a ＋b |＝3.中点，则AB ―→·AD―→3．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，D 为BC 的＝________.解析：法一：由题意知，AC ＝BC ＝2，AB ＝22， ∴AB ―→·AD ―→＝AB ―→·(AC ―→＋CD ―→)＝AB ―→·AC ―→＋AB ―→·CD ―→＝|AB ―→|·|AC ―→|cos 45°＋|AB ―→|·|CD ―→|cos 45° ＝22×2×22＋22×1×22＝6. 法二：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得A (0,2)，B (－2,0)， D (－1,0)，∴AB ―→＝(－2,0)－(0,2)＝(－2，－2)， AD ―→＝(－1,0)－(0,2)＝(－1，－2)， ∴AB ―→·AD ―→＝－2×(－1)＋(－2)×(－2)＝6. 答案：64．(2019·台州模拟)以O 为起点作三个不共线的非零向量OA ―→，OB ―→，OC ―→，使AB ―→＝－2BC ―→，|OA ―→|＝4，OA ―→|OA ―→|＋OB ―→|OB ―→|＝OC ―→|OC ―→|，则OA ―→·BC ―→＝________. 解析：法一：由OA ―→|OA ―→|＋OB ―→|OB ―→|＝OC ―→|OC ―→|，平方得OA ―→|OA ―→|·OB ―→|OB ―→|＝－12，即cos ∠AOB ＝－12，因为OA ―→，OB ―→不共线，所以0°＜∠AOB ＜180°，所以∠AOB ＝120°.因为AB ―→＝－2BC ―→，所以C 为线段AB 的中点．由OA ―→|OA ―→|＋OB ―→|OB ―→|＝OC ―→|OC ―→|两边同乘以OC ―→|OC ―→|，得cos ∠AOC ＋cos ∠BOC ＝1，即cos ∠AOC ＋cos(120°－∠AOC )＝1，解得∠AOC ＝60°，所以OC 为∠AOB 的平分线，所以OC ―→⊥AB ―→.又|OA ―→|＝4，所以|AC ―→|＝|BC ―→|＝23，所以OA ―→·BC ―→＝(OC ―→＋CA ―→)·BC ―→＝BC ―→2＝12.法二：由OA ―→|OA ―→|＋OB ―→|OB ―→|＝OC ―→|OC ―→|及AB ―→＝－2BC ―→，结合向量加法的平行四边形法则得OC 为∠AOB 的平分线，C 为AB 的中点，所以OC ―→⊥AB ―→，且|OA ―→|＝|OB ―→|＝4，|AC ―→|＝|BC ―→|＝23，所以OA ―→·BC ―→＝(OC ―→＋CA ―→)·BC ―→＝BC ―→2＝12.答案：12[谨记通法]向量数量积的2种运算方法考点二平面向量数量积的性质(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．常见的命题角度有： (1)平面向量的模； (2)平面向量的夹角； (3)平面向量的垂直；(4)与最值、范围有关问题．[题点全练]角度一：平面向量的模1．已知e 1，e 2是单位向量，且e 1·e 2＝12.若向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________.解析：法一：∵e 1·e 2＝12，∴|e 1||e 2|cos e 1，e 2＝12，∴e 1，e 2＝60°.又∵b ·e 1＝b ·e 2＝1＞0，∴b ，e 1＝b ，e 2＝30°. 由b ·e 1＝1，得|b ||e 1|cos 30°＝1，∴|b |＝132＝233.法二：由题可得，不妨设e 1＝(1,0)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，32，b ＝(x ，y )． ∵b ·e 1＝b ·e 2＝1，∴x ＝1，12x ＋32y ＝1，解得y ＝33.∴b ＝⎝⎛⎭⎫1，33，∴|b |＝ 1＋13＝233. 答案：233角度二：平面向量的夹角2．(2018·浙江十校联盟适考)若向量a ，b 满足|a |＝4，|b |＝1，且(a ＋8b )⊥a ，则向量a ，b 的夹角为( ) A.π6 B.π3C.2π3D.5π6解析：选C 由(a ＋8b )⊥a ，得|a |2＋8a ·b ＝0，因为|a |＝4，所以a ·b ＝－2，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－12，所以向量a ，b 的夹角为2π3. 3．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.解析：因为a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝m a ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)，|a |＝5，|b |＝25，所以c ·a ＝5m ＋8，c ·b ＝8m ＋20. 因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以c ·a |c |·|a |＝c ·b|c |·|b |，即5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2. 答案：2角度三：平面向量的垂直4．(2019·南宁模拟)已知向量AB ―→与AC ―→的夹角为120°，且|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2.若AP ―→＝λAB ―→＋AC ―→，且AP ―→⊥BC ―→，则实数λ的值为________．解析：由AP ―→⊥BC ―→，知AP ―→·BC ―→＝0，即AP ―→·BC ―→＝(λAB ―→＋AC ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝(λ－1)AB ―→·AC ―→－λAB ―→2＋AC ―→2＝(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712. 答案：7125．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．解：(1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，cos α＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π，又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β。

高中数学第六章平面向量及其应用-向量的数量积课件及答案

【对点练清】 1．(2020·全国卷Ⅱ)已知单位向量 a ，b 的夹角为 45°，ka －b 与 a 垂直，则 k＝_____.
解析：由题意，得 a ·b ＝|a |·|b |cos 45°＝ 22.因为向量a ＝ka
2－a ·b ＝k－
22＝0，解得
【学透用活】 [典例 3] (1)已知 e1 与 e2 是两个互相垂直的单位向量，若向量 e1＋ke2 与 ke1＋e2 的夹角为锐角，则 k 的取值范围为_________． (2)已知非零向量 a ，b 满足 a ＋3b 与 7a －5b 互相垂直，a －4b 与 7a －2b 互相垂直，求 a 与 b 的夹角． [解析] (1)∵e1＋ke2 与 ke1＋e2 的夹角为锐角， ∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke21＋ke22＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0.当 k ＝1 时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为 0，不符合题意，舍去．综上， k 的取值范围为 k＞0 且 k≠1. 答案：(0,1)∪(1，＋∞)
(3)设非零向量 a 与 b 的夹角为 θ，则 cos θ>0⇔a ·b >0.
(√)
(4)|a ·b |≤a ·b .
( ×)
2．若向量 a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与 b 的夹角为 60°，则 a ·b 等于 ( )
1 A.2
3 B.2
C．1＋
3 2
D．2
答案：A
3．已知|a |＝1，|b |＝2，设 e 是与 a 同方向上的单位向量，a 与 b 的夹角为π3，则 b 在 a 方向上的投影向量为______．
(4)|a ·b |≤__|_a_|_|_b_|.
2．平面向量数量积的运算律：

高中数学新教材高一下期末复习第一讲平面向量及其应用(解析版)

平面向量及其应用单元复习一知识结构图二.学法指导1.向量线性运算的基本原则和求解策略(1)基本原则：向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量．因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．(2)求解策略：向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧．2. 向量数量积的求解策略(1)利用数量积的定义、运算律求解．在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛，即(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，上述两公式以及(a＋b)·(a－b)＝a2－b2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用．(2)借助零向量．即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理地进行向量的移项以及平方等变形，求解数量积．(3)借助平行向量与垂直向量．即借助向量的拆分，将待求的数量积转化为有垂直向量关系或平行向量关系的向量数量积，借助a⊥b，则a·b ＝0等解决问题．(4)建立坐标系，利用坐标运算求解数量积． 3.解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知A ，B 和c ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，由正弦定理求a ，b .(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a ，b 和C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B ＋C ＝π，求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a ，b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解可能有多种情况．(4)已知三边a ，b ，c ，可应用余弦定理求A ，B ，C .三.知识点贯通知识点1 平面向量的线性运算首尾相接用加法的三角形法则，如AB →＋BC →＝AC →；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如OB →－OA →＝AB →.例题1.如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DCAB ＝k ，设AD →＝e 1，AB →＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC →，BC →，MN →.【答案】DC →=k e 2.BC →=e 1＋(k －1)e 2. MN →=＝k ＋12e 2.【解析】∵AB →＝e 2，且DCAB＝k ，∴DC →＝kAB →＝k e 2.∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，∴BC →＝－AB →－CD →－D A →＝－AB →＋DC →＋AD →＝e 1＋(k －1)e 2.又∵MN →＋NB →＋BA →＋AM →＝0，且NB →＝－12BC →，AM →＝12AD →，∴MN →＝－AM →－BA →－NB →＝－12AD →＋AB →＋12BC →＝k ＋12e 2.知识点二平面向量数量积的运算2121cos ||||y y x x b a b a +==⋅θ例题2：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，AM →＝2MD →.若AC →·BM →＝－3，则AB →·AD →＝ .【答案】32【解析】因为AC →·BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－AB →＋23AD →＝－2－23AB →·AD →＝－3，所以AB →·AD →＝32.知识点三平面向量的坐标运算若a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则①a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2)； ②a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2)； ③λa ＝(λa 1，λa 2)； ④a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2； ⑤a ∥b ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2(λ∈R )，或a 1b 1＝a 2b 2(b 1≠0，b 2≠0)；⑥a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0； ⑦|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22；⑧若θ为a 与b 的夹角，则 cos θ＝a ·b |a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22.例题3 .设a ＝(2,0)，b ＝(1，3)．①若(λa －b )⊥b ，求λ的值；②若m ＝λa ＋μb ，且|m |＝23，〈m ，b 〉＝π6，求λ，μ的值．【答案】①λ＝2.②λ＝1，μ＝1或λ＝－1，μ＝2.【解析】 ①因为a ＝(2,0)，b ＝(1，3)，所以λa －b ＝(2λ，0)－(1，3)＝(2λ－1，－3)．又(λa －b )⊥b ，所以(λa －b )·b ＝0，即(2λ－1，－3)·(1，3)＝0，所以2λ－1－3＝0.所以λ＝2.②因为a ＝(2,0)，b ＝(1，3)，m ＝λa ＋μb ＝λ(2,0)＋μ(1，3)＝(2λ＋μ，3μ)．因为|m |＝23，〈m ，b 〉＝π6，所以⎩⎪⎨⎪⎧(2λ＋μ)2＋(3μ)2＝(23)2，cos π6＝(2λ＋μ，3μ)·(1，3)23×2，即⎩⎪⎨⎪⎧ λ2＋λμ＋μ2＝3，λ＋2μ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，μ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，所以λ＝1，μ＝1或λ＝－1，μ＝2. 知识点四平面向量的平行与垂直问题 1．证明共线问题常用的方法(1)向量a ，b (a ≠0)共线⇔存在唯一实数λ，使b ＝λa . (2)向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (3)向量a 与b 共线⇔|a ·b |＝|a ||b |.(4)向量a 与b 共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0. 2．证明平面向量垂直问题的常用方法a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．例题4． (1)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1(2)设A ，B ，C ，D 为平面内的四点，且A (1,3)，B (2，－2)，C (4,1)． ①若AB →＝CD →，求D 点的坐标．②设向量a ＝AB →，b ＝BC →，若k a －b 与a ＋3b 平行，求实数k 的值．（1）【答案】B【解析】因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，且(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝－2λ－3－3＝0，解得λ＝－3.故选B 。

高一数学平面向量试题答案及解析

高一数学平面向量试题答案及解析1.已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是；【答案】【解析】略2.已知平面向量，且∥，则（）A．-3B．-9C．9D．1【答案】B【解析】由两向量平行坐标间的关系可知【考点】向量平行的性质3.（12分）已知向量，令且的周期为．（1）求函数的解析式；（2）若时，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）．【解析】（1）本题考察的是求函数解析式，本题中根据平面向量的数量积，再结合辅助角公式进行化简，又的周期为，可以求出从而求出的解析式．（2）本题考察的是求参数的取值范围问题，本题中根据所给的定义域求出的值域，再根据不等式恒成立问题即可求出参数的取值范围．试题解析：（1）∵的周期为∴（2），则【考点】（1）辅助角公式（2）三角函数的值域4.在边长为的正三角形中，设，，若，则的值为A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知可得：D为BC中点，，又因为在边长为的正三角形中，所以，故解得，故选择D【考点】平面向量的线性运算5.若向量满足：，，，则 .【答案】【解析】【考点】向量垂直与向量的坐标运算6.设，向量，，且，∥，则______________．【答案】【解析】因为，∥，所以有即，，所以【考点】向量坐标运算7.向量a=，b=，则A．a∥bB．C．a与b的夹角为60°D．a与b的夹角为30°【答案】B【解析】根据两向量平行坐标表示公式“”可得A错误；根据两向量垂直的坐标表示公式“”可得B正确；根据B可知两向量夹角为，所以C，D错误，故选择B【考点】向量线性关系8.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，故选择A【考点】向量的加减法运算9.设是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】D【解析】,,,,则动点的轨迹一定通过的垂心．故C正确．【考点】1向量的加减法;2数量积;3向量垂直．10.已知向量则x=【答案】6【解析】由题意可得,解得．【考点】向量共线．11.（2015秋•友谊县校级期末）已知△ABC和点M满足+=﹣，若存在实数m使得m+m=成立，则m等于（）A．B．2C．D．3【答案】C【解析】作出图象，由向量加法的平行四边形法则可知M是△ABC的重心，故，代入m+m=可解出m．解：以MB，MC为邻边作平行四边形MBEC，连结ME交BC于D，如图．则，∵+=﹣，∴M在线段AD上，且|MA|=2|MD|，∵D是BC中点，∴=2=3，∵m+m=，∴3m=，∴m=．故选C．【考点】平面向量的基本定理及其意义．12.已知点（1）求证：恒为锐角；（2）若四边形为菱形，求的值【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】（1）只需证明且三点不在一条直线上即可；（2）利用菱形的定义可求得坐标，进而求出所求的值.试题解析：（1）∵点∴∴.若A，P，B三点在一条直线上，则，得到，此方程无解，∴∴∠APB恒为锐角．（2）∵四边形ABPQ为菱形，∴，即，化简得到解得设Q（a，b），∵，∴，∴【考点】平面向量数量积的运算13.如图所示，是的边上的中点，则向量= （填写正确的序号）．①，②，③，④【答案】①【解析】．故选A．【考点】向量的线性运算．【名师】在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．14. O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以AB为斜边的直角三角形C．以AC为底边的等腰三角形D．以AC为斜边的直角三角形【答案】C【解析】将条件式展开化简，两边同时加上，根据向量的线性运算的几何意义即可得出答案．解：∵（﹣）•（+﹣2）=0，∴+﹣2=+﹣2．即﹣2=﹣2．两边同时加，得（）2=（）2，即AB2=BC2．∴AB=BC．∴△ABC是以AC为底边的等腰三角形．故选：C．【考点】平面向量数量积的运算．15.已知，，，则=（）A．﹣8B．﹣10C．10D．8【答案】B【解析】向量的数量积的运算和向量的模即可求出．解：，，，∴=+|+2=16+25+2=21，∴=﹣10，故选：B．【考点】平面向量数量积的运算．16.已知||=1，||=2，∠AOB=150°，点C在∠AOB的内部且∠AOC=30°，设=m+n，则=（）A．B．2C．D．1【答案】B【解析】可画出图形，由可得到，根据条件进行数量积的运算便可得到，从而便可得出关于m，n的等式，从而可以求出．解：如图，由的两边分别乘以得：；∴；∴得：；∴；∴．故选：B．【考点】向量在几何中的应用．17.已知正方形的边长为2，点是边上的中点，则的值为（）A．1B．2C．4D．6【答案】B【解析】以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则，.【考点】向量数量积的坐标表示.18.=（2，3），=（﹣3，5），则在方向上的投影为．【答案】【解析】由已知向量的坐标求出与，代入投影公式得答案．解：∵=（2，3），=（﹣3，5），∴，，则=．故答案为：．【考点】平面向量数量积的运算．19.已知向量，满足||＝1，||＝2，与的夹角为120°．(1) 求及＋；(2)设向量＋与－的夹角为θ，求cosθ的值．【答案】(1);;(2).【解析】(1)根据向量的数量积的运算公式；以及；（2）根据公式，根据数量积公式，再根据公式试题解析：解析：(1)＝||||cos 120°θ＝1×2×(－)＝－1，所以|＋|2＝(＋)2＝2＋2＋2＝12＋22＋2×(－1)＝3.所以|＋|＝(2)同理可求得|－|＝.因为(＋)(－)＝2－2＝12－22＝－3，所以cosθ＝＝＝－．所以向量＋与－的夹角的余弦值为－．【考点】向量数量积20.（1）在直角坐标系中，已知三点，当为何值时，向量与共线？（2）在直角坐标系中，已知为坐标原点，，，当为何值时，向量与垂直？【答案】（1）；（2）.【解析】首先根据向量减法的线性运算得到向量与的坐标，当与共线时坐标交叉积的差等于零，当与垂直是数量积等于零，从而列出的方程，即可求得满足条件的的值.试题解析：（1）∵，又向量与共线，∴,解得（2）,当向量与垂直时，，即，解得【考点】向量的线性运算及平行与垂直的坐标表示.21.已知a，b为非零向量，且｜a＋b｜＝|a|＋|b|，则一定有（）A．a＝b B．a∥b，且a，b方向相同C．a＝－b D．a∥b，且a，b方向相反【答案】B【解析】根据向量加法的几何意义， a，b方向相同，方向相同即是共线向量.【考点】向量加法的几何意义．22.已知向量．（1）若点三点共线，求的值；（2）若为直角三角形，且为直角，求的值.【答案】（Ⅰ）-19；（Ⅱ）1.【解析】（Ⅰ）根据向量的减法运算和向量平行的充要条件即可解得；（Ⅱ）根据向量的减法运算和向量垂直的充要条件即可解得.试题解析：解：（Ⅰ）∴，.（Ⅱ），则，∴，【考点】向量的减法运算；向量平行和垂直的充要条件.23.平面内有一个和一点，线段的中点分别为的中点分别为，设.（1）试用表示向量；（2）证明线段交于一点且互相平分.【答案】（1），，；（2）证明见解析.【解析】（1）根据向量的加法、数乘的几何意义，以及向量加法的平行四边形法则，并进行向量的数乘运算便可得到，从而同理可以用分别表示出；（2）设线段、的中点分别为，用分别表示出，从而可得，即证得线段交于一点且互相平分．试题解析：（1），.（2）证明：设线段的中点为，则，设中点分别为，同理：，，∴，即其交于一点且互相平分.【考点】1、向量的三角形法则；2、向量的线性运算．【方法点睛】本题考查向量加法、数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，以及向量的数乘运算，三角形中位线的性质，平行四边形的判定，平行四边形的对角线相交于一点且互相平分，考查学生逻辑推理能力，属于中档题．另一种解法：（1）；同理，；（2）证明：如图，连接，则，且，，且，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴线段交于一点且互相平分，同理，线段交于一点且互相平分，∴线段交于一点且互相平分．24.已知是两个非零向量，当的模取最小值时.①求的值；②已知与共线且同向，求证：与垂直.【答案】①；②证明见解析.【解析】（1）设出两个向量的夹角，表示出两个向量的模长，对于模长形式，通常两边平方，得到与已知条件有关的运算，整理成平方形式，当底数为零时，结果最小；（2）本题要证明两个向量垂直，这种问题一般通过向量的数量积为零来证明，求两个向量数量积，根据上一问做出的结果，代入数量积的式子，合并同类项，得到数量积为零．得到垂直．试题解析：①令，则.当时，.②证明：与共线且同向，,,,.【考点】（1）向量的模；（2）数量积判断两个向量的垂直关系.【方法点晴】本题主要考查模长形式，通常两边平方以及证明两个向量垂直，这种问题一般通过向量的数量积为零来证明，因为在本题中主要是数学符号的运算，所以对学生的运算能力要求较高，属于难题.启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质．25.已知，在方向上的投影为，则（）A．3B．C．2D．【答案】B【解析】由在方向上的投影为，则，所以，故选B.【考点】向量的数量积及向量的投影的应用.26.给出下列命题：（1）若，则；（2）向量不可以比较大小；（3）若则；（4）．其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由题意得，（1）中，例如，此时，但，所以不正确；（2）中，向量是既有大小又有方向的量，所示向量不能比较大小，所以（2）是正确的；（3）中，根据相等向量的概念，可得“若则”是正确的；（4）中，由，则是成立的，但由，则与是相等向量或相反向量，所以不正确，综上所述，正确命题的个数为个，故选B.【考点】向量的基本概念.【方法点晴】本题主要考查了平面向量的基本的概念——向量的模、相等向量、向量的概念、共线向量及相反向量的概念，其中牢记平面向量的基本概念是判断此类问题的关键，试题很容易出错，属于易错题，本题的解答中，（4）中，，容易忽视相反向量的概念，造成错解，应牢记向量是既有大小又有方向的量这一基本概念，防止出错.27.已知向量，若，则=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，．故选A．【考点】数量积的坐标运算．28.已知向量,．（1）若四边形ABCD是平行四边形，求的值；（2）若为等腰直角三角形，且为直角，求的值．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）根据四边形为平行四边形，利用，即可求解的值；（2）利用为等腰直角三角形，且为直角，则且，列出方程，即可求解的值．试题解析：（1），，由得x=-2,y=-5．（2），若为直角，则，∴，又，∴，再由，解得或．【考点】向量的运算及向量的垂直关系的应用．29.（1）已知，，且与的夹角为60°，求的值；（2）在矩形中，,点为的中点，点在边上，若,求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）利用向量模的平方等于向量的平方，即可化简，即可求解的值；（2）设，利用，求得的值，又由，，即可运算的值．试题解析：（1） =169，得；（2）矩形ABCD中，∵点F在边CD上，∴设，，本小题也可建坐标系，用平面向量坐标运算解决．【考点】向量的模的计算及向量数量积的运算．30.已知三角形△ABC中，角A,B,C的对边分别为，若，则 =（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【考点】向量的坐标运算31.已知向量与的夹角为，||=2,||=3,记,（1）若，求实数k的值。

高中数学平面向量专题复习(含例题练习)

平面向量专题复习一．向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

如：2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； 6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

a 的相反向量是－a 。

如例1：（1）若a b =，则a b =。

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。

（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。

（5）若,a b b c ==，则a c =。

（6）若//,//ab bc ，则//a c 。

其中正确的是_______二、向量的表示1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。

如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

高中数学二轮讲义：专题2 第1讲平面向量(教师版)

专题二第1讲平面向量【要点提炼】考点一平面向量的线性运算1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．【热点突破】【典例】1 (1)如图所示，AD 是△ABC 的中线，O 是AD 的中点，若CO →＝λAB →＋μAC →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ的值为( )A ．－12B.12 C ．－14D.14【答案】 A【解析】由题意知，CO →＝12(CD →＋CA →)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12CB →＋CA →＝14(AB →－AC →)＋12CA →＝14AB →－34AC →，则λ＝14，μ＝－34，故λ＋μ＝－12.(2)已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0.若a ∥b ，则mn ＝________.【答案】－2【解析】 ∵a ∥b ，∴m ×(－1)＝2×n ，∴mn＝－2.(3)A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ∈R ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________．【答案】 (1，＋∞)【解析】由题意可得，OD →＝kOC →＝k λOA →＋k μOB →(0<k<1)，又A ，D ，B 三点共线，所以k λ＋k μ＝1，则λ＋μ＝1k>1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．易错提醒在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化．【拓展训练】1 (1)如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE ，DF ，交于点G.若CG →＝λCD →＋μCB →(λ，μ∈R )，则λμ＝________.【答案】 12【解析】由题意可设CG →＝xCE →(0<x<1)，则CG →＝x(CB →＋BE →)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫CB →＋12CD →＝x 2CD →＋xCB →.因为CG →＝λCD →＋μCB →，CD →与CB →不共线，所以λ＝x 2，μ＝x ，所以λμ＝12.(2)如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋3y的取值范围是________．【答案】 [1,3]【解析】设扇形的半径为1，以OB 所在直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，则B(1,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C(cos θ，sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中∠BOC ＝θ，0≤θ≤π3. 则OC →＝(cos θ，sin θ)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＋y(1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y ＝cos θ，32x ＝sin θ，解得x ＝23sin θ3，y ＝cos θ－3sin θ3，故x ＋3y ＝23sin θ3＋3cos θ－3sin θ＝3cos θ－33sin θ，0≤θ≤π3. 令g(θ)＝3cos θ－33sin θ，易知g(θ)＝3cos θ－33sin θ在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递减，故当θ＝0时，g(θ)取得最大值为3，当θ＝π3时，g(θ)取得最小值为1，故x ＋3y 的取值范围为[1,3]．【要点提炼】考点二平面向量的数量积1．若a ＝(x ，y)，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. 2．若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.【热点突破】【典例】2 (1)(2020·全国Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( )A ．－3135B ．－1935 C.1735 D.1935【答案】 D【解析】 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·a ＋b |a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. (2)已知扇形OAB 的半径为2，圆心角为2π3，点C 是弧AB 的中点，OD →＝－12OB →，则CD →·AB →的值为( )A ．3B ．4C ．－3D ．－4 【答案】 C【解析】如图，连接CO ，∵点C 是弧AB 的中点， ∴CO ⊥AB ，又∵OA ＝OB ＝2，OD →＝－12OB →，∠AOB ＝2π3，∴CD →·AB →＝(OD →－OC →)·AB →＝－12OB →·AB →＝－12OB →·(OB →－OA →)＝12OA →·OB →－12OB →2＝12×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－12×4＝－3. (3)已知在直角梯形ABCD 中，AB ＝AD ＝2CD ＝2，∠ADC ＝90°，若点M 在线段AC 上，则|MB →＋MD →|的取值范围为________________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，22 【解析】以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)，设AM →＝λAC →(0≤λ≤1)，则M(λ，2λ)，故MD →＝(－λ，2－2λ)，MB →＝(2－λ，－2λ)，则MB →＋MD →＝(2－2λ，2－4λ)， ∴|MB →＋MD →|＝2－2λ2＋2－4λ2＝20⎝⎛⎭⎪⎫λ－352＋45，0≤λ≤1，当λ＝0时，|MB →＋MD →|取得最大值为22，当λ＝35时，|MB →＋MD →|取得最小值为255，∴|MB →＋MD →|∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，22.易错提醒两个向量的夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量的夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线．【拓展训练】2 (1)(2019·全国Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 【答案】 B【解析】方法一设a 与b 的夹角为θ，因为(a －b )⊥b ，所以(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝0，又因为|a |＝2|b |，所以2|b |2cos θ－|b |2＝0，即cos θ＝12，又θ∈[0，π]，所以θ＝π3，故选B.方法二如图，令OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝OA →－OB →＝a －b .因为(a －b )⊥b ，所以∠OBA ＝π2，又|a |＝2|b |，所以∠AOB ＝π3，即a 与b 的夹角为π3，故选B.(2)(2020·新高考全国Ⅰ)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →·AB →的取值范围是( ) A ．(－2,6) B ．(－6,2) C ．(－2,4) D ．(－4,6)【答案】 A【解析】如图，取A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(3，3)，F(－1，3)．设P(x ，y)，则AP →＝(x ，y)，AB →＝(2,0)，且－1<x<3. 所以AP →·AB →＝(x ，y)·(2,0)＝2x ∈(－2,6)．(3)设A ，B ，C 是半径为1的圆O 上的三点，且OA →⊥OB →，则(OC →－OA →)·(OC →－OB →)的最大值是( ) A ．1＋ 2B ．1－ 2C.2－1 D ．1【答案】 A【解析】如图，作出OD →，使得OA →＋OB →＝OD →.则(OC →－OA →)·(OC →－OB →)＝OC →2－OA →·OC →－OB →·OC →＋OA →·OB →＝1－(OA →＋OB →)·OC →＝1－OD →·OC →，由图可知，当点C 在OD 的反向延长线与圆O 的交点处时，OD →·OC →取得最小值，最小值为－2，此时(OC →－OA →)·(OC →－OB →)取得最大值，最大值为1＋ 2.故选A.专题训练一、单项选择题1．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE →等于( ) A ．－12AB →＋AD →B.12AB →－AD →C.AB →＋12AD →D.AB →－12AD →【答案】 A【解析】由题意可知，BE →＝BC →＋CE →＝－12AB →＋AD →.2．(2020·广州模拟)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为π3，每只胳膊的拉力大小均为400 N ，则该学生的体重(单位：kg)约为(参考数据：取重力加速度大小为g ＝10 m/s 2，3≈1.732)( )A ．63B ．69C ．75D ．81 【答案】 B【解析】设该学生的体重为m ，重力为G ，两臂的合力为F ′，则|G |＝|F ′|，由余弦定理得|F ′|2＝4002＋4002－2×400×400×cos 2π3＝3×4002，∴|F ′|＝4003，∴|G |＝mg ＝4003，m ＝403≈69 kg.3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(λ，－1)，若c ∥(2a ＋b )，则λ等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．－12 D.12【答案】 A【解析】 ∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，∴2a ＋b ＝(4,2)，又c ＝(λ，－1)，c ∥(2a ＋b )，∴2λ＋4＝0，解得λ＝－2，故选A.4．(2020·潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点P(3，1)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →，则点Q 的坐标是( )A ．(－2，1)B ．(－1，2)C ．(－3，1)D ．(－1，3) 【答案】 D【解析】由P(3，1)，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π6，2sin π6， ∵将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2，又cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋π2＝－sin π6＝－12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2＝cos π6＝32，∴Q(－1，3)．5．(2020·泰安模拟)如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】 C【解析】如图，连接AO ，由O 为BC 的中点可得，AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线， ∴m 2＋n2＝1. ∴m ＋n ＝2.6．在同一平面中，AD →＝DC →，BE →＝2ED →.若AE →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，则m ＋n 等于( ) A.23 B.34 C.56 D ．1 【答案】 A【解析】由题意得，AD →＝12AC →，DE →＝13DB →，故AE →＝AD →＋DE →＝12AC →＋13DB →＝12AC →＋13(AB →－AD →)＝12AC→＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－12AC →＝13AB →＋13AC →，所以m ＝13，n ＝13，故m ＋n ＝23.7．若P 为△ABC 所在平面内一点，且|PA →－PB →|＝|PA →＋PB →－2PC →|，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】 C【解析】 ∵|PA →－PB →|＝|PA →＋PB →－2PC →|，∴|BA →|＝|(PA →－PC →)＋(PB →－PC →)|＝|CA →＋CB →|，即|CA →－CB →|＝|CA →＋CB →|，两边平方整理得，CA →·CB →＝0，∴CA →⊥CB →，∴△ABC 为直角三角形．故选C. 8．已知P 是边长为3的等边三角形ABC 外接圆上的动点，则||PA →＋PB →＋2PC →的最大值为( )A ．2 3B ．3 3C ．4 3D ．5 3 【答案】 D【解析】设△ABC 的外接圆的圆心为O ，则圆的半径为332×12＝3， OA →＋OB →＋OC →＝0，故PA →＋PB →＋2PC →＝4PO →＋OC →. 又||4PO →＋OC→2＝51＋8PO→·OC →≤51＋24＝75，故||PA →＋PB →＋2PC →≤53，当PO →，OC →同向共线时取最大值．9．如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM →＝xBA →＋yBD →(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的最大值为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．2 2 【答案】 C【解析】方法一如图，连接DA ，以D 点为原点，BC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设内切圆的半径为r ，则圆心为坐标(0，r)，根据三角形面积公式，得12×l △ABC ×r ＝12×AB ×AC ×sin 60°(l △ABC 为△ABC 的周长)，解得r＝1.易得B(－3，0)，C(3，0)，A(0,3)，D(0,0)，设M(cos θ，1＋sin θ)，θ∈[0,2π)，则BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)，BA →＝(3，3)，BD →＝(3，0)，故BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)＝(3x ＋3y,3x)，故⎩⎨⎧cos θ＝3x ＋3y －3，sin θ＝3x －1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ3，y ＝3cos θ3－sin θ3＋23，所以2x ＋y ＝3cos θ3＋sin θ3＋43＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＋43≤2.当θ＝π6时等号成立．故2x ＋y 的最大值为2.方法二因为BM →＝xBA →＋yBD →，所以|BM →|2＝3(4x 2＋2xy ＋y 2)＝3[(2x ＋y)2－2xy]．由题意知，x ≥0，y ≥0， |BM →|的最大值为232－32＝3，又2x ＋y 24≥2xy ，即－2x ＋y 24≤－2xy ，所以3×34(2x ＋y)2≤9，得2x ＋y ≤2，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号．二、多项选择题10．(2020·长沙模拟)已知a ，b 是单位向量，且a ＋b ＝(1，－1)，则( ) A ．|a ＋b |＝2 B ．a 与b 垂直C ．a 与a －b 的夹角为π4D ．|a －b |＝1 【答案】 BC【解析】 |a ＋b |＝12＋－12＝2，故A 错误；因为a ，b 是单位向量，所以|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝1＋1＋2a ·b ＝2，得a ·b ＝0，a 与b 垂直，故B 正确；|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝2，|a －b |＝2，故D 错误；cos 〈a ，a －b 〉＝a ·a －b |a ||a －b |＝a 2－a ·b 1×2＝22，所以a 与a－b 的夹角为π4，故C 正确．11．设向量a ＝(k,2)，b ＝(1，－1)，则下列叙述错误的是( ) A ．若k<－2，则a 与b 的夹角为钝角 B ．|a |的最小值为2C ．与b 共线的单位向量只有一个为⎝⎛⎭⎪⎫22，－22D ．若|a |＝2|b |，则k ＝22或－2 2 【答案】 CD【解析】对于A 选项，若a 与b 的夹角为钝角，则a ·b <0且a 与b 不共线，则k －2<0且k ≠－2，解得k<2且k ≠－2，A 选项正确；对于B 选项，|a |＝k 2＋4≥4＝2，当且仅当k ＝0时等号成立，B 选项正确；对于C 选项，|b |＝2，与b 共线的单位向量为±b|b |，即与b 共线的单位向量为⎝⎛⎭⎪⎫22，－22或⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，C 选项错误；对于D 选项，∵|a |＝2|b |＝22，∴k 2＋4＝22，解得k ＝±2，D 选项错误．12．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 上的两点，且AE →＝EB →，AD →＝2DC →，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是( ) A.AB →·CE →＝－1 B.OE →＋OC →＝0C ．|OA →＋OB →＋OC →|＝32D.ED →在BC →方向上的投影为76【答案】 BCD【解析】因为AE →＝EB →，△ABC 是等边三角形，所以CE ⊥AB ，所以AB →·CE →＝0，选项A 错误；以E 为坐标原点，EA →，EC →的方向分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，所以E(0,0)，A(1,0)，B(－1,0)，C(0，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，设O(0，y)，y ∈(0，3)，则BO →＝(1，y)，DO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，y －233，又BO →∥DO →，所以y －233＝－13y ，解得y ＝32，即O 是CE 的中点，OE →＋OC →＝0，所以选项B 正确； |OA →＋OB →＋OC →|＝|2OE →＋OC →|＝|OE →|＝32，所以选项C 正确；ED →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，BC →＝(1，3)，ED →在BC →方向上的投影为ED →·BC →|BC →|＝13＋22＝76，所以选项D 正确．三、填空题13．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________.【答案】22【解析】由题意知(k a －b )·a ＝0，即k a 2－b ·a ＝0. 因为a ，b 为单位向量，且夹角为45°，所以k ×12－1×1×22＝0，解得k ＝22. 14．在△ABC 中，AB ＝1，∠ABC ＝60°，AC →·AB →＝－1，若O 是△ABC 的重心，则BO →·AC →＝________.【答案】 5【解析】如图所示，以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．∵AB ＝1，∠ABC ＝60°， ∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.设C(a,0)． ∵AC →·AB →＝－1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12＋34＝－1，解得a ＝4.∵O 是△ABC 的重心，延长BO 交AC 于点D ， ∴BO →＝23BD →＝23×12()BA →＋BC→ ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＋4，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，36.∴BO →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，36·⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－32＝5.15．(2020·石家庄模拟)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点O 为△ABC 的外接圆的圆心，A ＝π3，且AO →＝λAB →＋μAC →，则λμ的最大值为________．【答案】 19【解析】 ∵△ABC 是锐角三角形， ∴O 在△ABC 的内部，∴0<λ<1,0<μ<1.由AO →＝λ(OB →－OA →)＋μ(OC →－OA →)，得(1－λ－μ)AO →＝λOB →＋μOC →，两边平方后得，(1－λ－μ)2AO →2＝(λOB →＋μOC →)2 ＝λ2OB →2＋μ2OC →2＋2λμOB →·OC →，∵A ＝π3，∴∠BOC ＝2π3，又|AO →|＝|BO →|＝|CO →|.∴(1－λ－μ)2＝λ2＋μ2－λμ， ∴1＋3λμ＝2(λ＋μ)，∵0<λ<1,0<μ<1，∴1＋3λμ≥4λμ，设λμ＝t ，∴3t 2－4t ＋1≥0，解得t ≥1(舍)或t ≤13，即λμ≤13⇒λμ≤19，∴λμ的最大值是19.16．(2020·浙江)已知平面单位向量e 1，e 2满足|2e 1－e 2|≤2，设a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1＋e 2，向量a ，b 的夹角为θ，则cos 2θ的最小值是________．【答案】2829【解析】设e 1＝(1,0)，e 2＝(x ，y)，则a ＝(x ＋1，y)，b ＝(x ＋3，y)．由2e 1－e 2＝(2－x ，－y)，故|2e 1－e 2|＝2－x2＋y 2≤2，得(x －2)2＋y 2≤2.又有x 2＋y 2＝1，得(x －2)2＋1－x 2≤2，化简，得4x ≥3，即x ≥34，因此34≤x ≤ 1.cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·b |a |·|b |2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋1x ＋3＋y 2x ＋12＋y2x ＋32＋y 22 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋42x ＋26x ＋102＝4x ＋12x ＋13x ＋5 ＝4x ＋13x ＋5＝433x ＋5－833x ＋5＝43－833x ＋5，当x ＝34时，cos 2θ有最小值，为4⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋13×34＋5＝2829.。

部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案高频考点知识梳理

(名师选题)部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案高频考点知识梳理单选题1、定义空间两个向量的一种运算a ⃑⊗b ⃑⃑=|a ⃑|⋅|b ⃑⃑|sin⟨a ⃑,b ⃑⃑⟩，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A ．λ(a ⃑⊗b ⃑⃑)=(λa ⃑)⊗b ⃑⃑B ．(a ⃑⊗b ⃑⃑)⊗c ⃑=a ⃑⊗(b ⃑⃑⊗c ⃑)C ．(a ⃑+b ⃑⃑)⊗c ⃑=(a ⃑⊗c ⃑)+(b ⃑⃑⊗c ⃑)D ．若a ⃑=(x 1,y 1)，b ⃑⃑=(x 2,y 2)，则a ⃑⊗b⃑⃑=|x 1y 2−x 2y 1| 2、已知向量a ⃑,b ⃑⃑满足|a ⃑|=2,|b ⃑⃑|=1,a ⃑⋅(a ⃑−2b ⃑⃑)=2，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为（） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3、已知非零平面向量a ⃗，b ⃑⃗，c ⃗，下列结论中正确的是（）（1）若a ⃗⋅c ⃗=b ⃑⃗⋅c ⃗，则a ⃗=b ⃑⃗；（2）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗|+|b ⃑⃗|，则a ⃗//b⃑⃗ （3）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗−b ⃑⃗|，则a ⃗⊥b ⃑⃗（4）若(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0，则a ⃗=b ⃑⃗或a ⃗=−b ⃑⃗ A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（2）（3）（4）4、在△ABC 中，AB =3，AC =2，∠BAC =60°，点P 是△ABC 内一点（含边界），若AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑=23AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+λAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则|AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的最大值为（） A ．2√73B ．83C ．2√193D ．2√1335、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a +b )2−c 2=4，C =120°，则△ABC 的面积为（） A ．√33B ．2√33C ．√3D ．2√36、已知向量a ⃗=(√3,1)，b ⃑⃗=(−√3,1)，则a ⃗与b ⃑⃗的夹角为（） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°7、已知不共线的平面向量a ⃗,b ⃑⃗,c ⃗两两所成的角相等，且|a ⃗|=1,|b ⃑⃗|=4,|a ⃗+b ⃑⃗+c ⃗|=√7，则|c ⃗|=（）A ．√2B ．2C ．3D ．2或38、向量PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(k,12)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(4,5)，PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(10,k)．若A,B,C 三点共线，则k 的值为（） A ．−2B ．1C ．−2或11D ．2或−11 多选题9、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若a =1，b =√3， A =30°，则B =（） A ．30∘B ．150∘C ．60∘D ．120∘10、已知向量a ⃑⋅b ⃑⃑=1，|a ⃑|=1，|a ⃑−b ⃑⃑|=√3，设a ⃑，b ⃑⃑所成的角为θ，则（） A ．|b ⃑⃑|=2B ．a ⃑⊥(b ⃑⃑−a ⃑)C ．a ⃑//b⃑⃑D ．θ=60° 11、“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz ）的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，则S A ⋅OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+S B ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+S C ⋅OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑⃗.若O 是锐角△ABC 内的一点，A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且点O 满足OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅OC⃑⃑⃑⃑⃑⃑=OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑.则（）A ．O 为△ABC 的外心B ．∠BOC +A =πC ．|OA⃑⃑⃑⃑⃑⃑|:|OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|:|OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=cosA:cosB:cosC D ．tanA ⋅OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+tanB ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+tanC ⋅OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑⃗ 填空题12、若单位向量a ⃗,b ⃑⃑满足a ⃗⊥b ⃑⃑，且(2a ⃗+3b ⃑⃑)⊥(ka ⃗−4b ⃑⃑)，则实数k 的值为___________.部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案(八)参考答案1、答案：D分析：A．按λ的正负分类讨论可得，B．由新定义的意义判断，C．可举反例说明进行判断，D．与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．A．(λa⃑)⊗b⃑⃑=|λa⃑||b⃑⃑|sin<λa⃑,b⃑⃑>，λ>0时，<λa⃑,b⃑⃑>=<a⃑,b⃑⃑>，(λa⃑)⊗b⃑⃑=λ|a⃑||b⃑⃑|sin<a⃑,b⃑⃑>=λ(a⃑⊗b⃑⃑)，λ=0时，λ(a⃑⊗b⃑⃑)=0,(λa⃑)⊗b⃑⃑=0，成立，λ<0时，<λa⃑,b⃑⃑>=π−<a⃑,b⃑⃑>，sin<λa⃑,b⃑⃑>=sin(π−<a⃑,b⃑⃑>)=sin<a⃑,b⃑⃑>(λa⃑)⊗b⃑⃑=−λ|a⃑||b⃑⃑|sin< a⃑,b⃑⃑>=−λ(a⃑⊗b⃑⃑)，综上，A不恒成立；B．a⃑⊗b⃑⃑是一个实数，(a⃑⊗b⃑⃑)⊗c⃑无意义，B不成立；C．若a⃑=(0,1),b⃑⃑=(1,0)，c⃑=(1,1)，则a⃑+b⃑⃑=(1,1)，<a⃑+b⃑⃑,c⃑>=0，(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑=|a⃑+b⃑⃑||c⃑|sin0=√2×√2×0=0，<a⃑,c⃑>=π4,<b⃑⃑,c⃑>=π4，(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)=1×√2×sinπ4+1×√2×sinπ4=2，(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑≠(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)，C错误；D．若a⃑=(x1,y1)，b⃑⃑=(x2,y2)，则|a⃑|=√x12+y12，|b⃑⃑|=√x22+y22，cos<a⃑,b⃑⃑>=1212√x1+y1×√x2+y2，sin<a⃑,b⃑⃑>=√1−cos2<a⃑,b⃑⃑>=√1−(x1x2+y1y2)2(x12+y12)(x22+y22)=1221√(x12+y12)(x22+y22)，所以a⃑⊗b⃑⃑=|a⃑||b⃑⃑|sin<a⃑,b⃑⃑>=|x1y2−x2y1|，成立．故选：D．小提示：本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解．解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的sin<a⃑,b⃑⃑>用cos<a⃑,b⃑⃑>，而余弦可由数量积进行计算．2、答案：B分析：由题意，先求出a⃑⋅b⃑⃑，然后根据向量的夹角公式即可求解.解：因为a⃑⋅(a⃑−2b⃑⃑)=a⃑2−2a⃑⋅b⃑⃑=|a⃑|2−2a⃑⋅b⃑⃑=4−2a⃑⋅b⃑⃑=2，所以a⃑⋅b⃑⃑=1，设a⃑与b⃑⃑的夹角为θ，则cosθ=a⃑⃑⋅b⃑⃑|a⃑⃑||b⃑⃑|=12，因为θ∈[0°,180°]，所以θ=60°，故选：B.3、答案：B解析：根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结果. 已知非零平面向量a⃗，b⃑⃗，c⃗，（1）若a⃗⋅c⃗=b⃑⃗⋅c⃗，则(a⃗−b⃑⃗)⋅c⃗=0，所以a⃗=b⃑⃗或(a⃗−b⃑⃗)⊥c⃗，即（1）错；（2）若|a⃗+b⃑⃗|=|a⃗|+|b⃑⃗|，则a⃗与b⃑⃗同向，所以a⃗//b⃑⃗，即（2）正确；（3）若|a⃗+b⃑⃗|=|a⃗−b⃑⃗|，则|a⃗|2+|b⃑⃗|2+2a⃗⋅b⃑⃗=|a⃗|2+|b⃑⃗|2−2a⃗⋅b⃑⃗，所以2a⃗⋅b⃑⃗=0，则a⃗⊥b⃑⃗；即（3）正确；（4）若(a⃗+b⃑⃗)⋅(a⃗−b⃑⃗)=0，则|a⃗|2−|b⃑⃗|2=0，所以|a⃗|=|b⃑⃗|，不能得出向量共线，故（4）错；故选：B.小提示：本题主要考查向量数量积的运算，考查向量有关的判定，属于基础题型.4、答案：D分析：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立坐标系，设点P为(x,y)，根据向量的坐标运算可得y=√3(x−2)，当直线y=√3(x−2)与直线BC相交时|AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑|最大，问题得以解决以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，∵AB=3，AC=2，∠BAC=60°，∴A(0,0)，B(3,0)，C(1,√3)，设点P 为(x,y)，0⩽x ⩽3，0⩽y ⩽√3， ∵ AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑=23AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+λAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， ∴(x ，y)=23(3，0)+λ(1，√3)=(2+λ，√3λ)， ∴ {x =2+λy =√3λ ， ∴y =√3(x −2)，① 直线BC 的方程为y =−√32(x −3)，②，联立①②，解得{x =73y =√33，此时|AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|最大， ∴|AP|=√499+13=2√133，故选：D ．小提示：本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的坐标运算，解题的关键是建立直角坐标系将几何运算转化为坐标运算，同时考查了学生的数形结合的能力，属于中档题 5、答案：C解析：利用余弦定理可求ab 的值，从而可求三角形的面积. 因为C =120°，故c 2=a 2+b 2−2abcos120°=a 2+b 2+ab ，而(a +b )2−c 2=4，故c 2=a 2+b 2+2ab −4=a 2+b 2+ab ，故ab =4，故三角形的面积为12×ab ×sin120°=√34×4=√3，故选：C. 6、答案：C分析：根据数量积的夹角公式进行求解，再结合平面向量夹角范围即可得到答案解：cos⟨a ⃗,b ⃑⃑⟩=a ⃑⃗⋅b ⃑⃑|a⃑⃗||b ⃑⃑|=−3+12×2=−12，因为0°≤⟨a ⃗,b ⃑⃑⟩≤180°，所以⟨a ⃗,b ⃑⃑⟩=120°，故选：C 7、答案：D 分析：先求出θ=2π3，转化|a ⃗+b ⃑⃗+c ⃗|=√(a ⃗+b ⃑⃗+c ⃗)2=√7，列方程即可求出.由不共线的平面向量a ⃗，b ⃑⃑，c ⃑两两所成的角相等，可设为θ，则θ=2π3.设|c ⃑|=m.因为|a ⃗|=1，|b ⃑⃗|=4，|a ⃗+b ⃑⃗+c ⃗|=√7，所以|a ⃗+b ⃑⃗+c ⃗|2=7，即a ⃗2+2a ⃗⋅b ⃑⃗+b ⃑⃗2+2b ⃑⃗⋅c ⃗+2a ⃗⋅c ⃗+c ⃗2=7，所以12+2×1×4cos2π3+42+2×4×mcos2π3+2×1×mcos2π3+m 2=7即m 2−5m +6=0，解得：m =2或3. 所以|c ⃑|=2或3 故选：D 8、答案：C分析：求得BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，利用向量共线的充要条件，可得关于k 的方程，求解即可. 解：由题可得：BA⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(k,12)−(4,5)=(k −4,7)， CA⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(k,12)−(10,k )=(k −10,12−k ). 因为A,B,C 三点共线，所以BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑∥CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，所以(k −4)(12−k )−7(k −10)=0，整理得k 2−9k −22=0，解得k =−2或k =11. 故选：C. 9、答案：CD分析：由题意结合正弦定理即可得sinB =√32，进而可得B ，即可得解. 由正弦定理asinA =bsinB ，所以sinB =bsinA a =√3×121=√32，又b >a ，0°<B <180°，所以B =60°或B =120°. 故选：CD.小提示：本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 10、答案：ABD解析：由|a ⃑−b ⃑⃑|=√3两边平方，将条件代入可得|b ⃑⃑|=2，再由a ⃑⋅b ⃑⃑=1可得cosθ=12，又a ⃑⋅(b ⃑⃑−a ⃑)=a ⃑⋅b ⃑⃑−a ⃑2=1−1=0，从而可对各个选项作出判断，得到答案. 向量a ⃑⋅b ⃑⃑=1，|a ⃑|=1由|a ⃑−b ⃑⃑|=√3，可得|a ⃑−b ⃑⃑|2=|a ⃑|2+|b ⃑⃑|2−2a ⃑⋅b ⃑⃑=3 即1+|b⃑⃑|2−2=3，解得|b ⃑⃑|=2 ，所以A 正确. a ⃑⋅b ⃑⃑=|a ⃑|⋅|b ⃑⃑|cosθ=1×2×cosθ=1，所以cosθ=12 又θ∈[0°,180°]，所以θ=60°，所以D 正确,C 不正确. a ⃑⋅(b ⃑⃑−a ⃑)=a ⃑⋅b ⃑⃑−a ⃑2=1−1=0,则a ⃑⊥(b ⃑⃑−a ⃑)，故B 正确. 故选：ABD 11、答案：BCD分析：由根据数量积的运算律可得OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⇔OB ⊥CA ,可得O 为△ABC 的垂心；结合∠OBC +C +∠OCB +B =π与三角形内角和等于π可证明B 选项；结合B 选项结论证明cosA:cosB =OA:OB 即可证明C 选项，利用奔驰定理证明S A :S B =tanA:tanB 可证明D 选项．解：因为OA⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⇔OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅(OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=0⇔OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⇔OB ⊥CA ，同理OA ⊥CB ，OC ⊥AB ，故O 为△ABC 的垂心，故A 错误； ∠OBC +C =π2,∠OCB +B =π2，所以∠OBC +C +∠OCB +B =π，又∠OBC +∠OCB +∠BOC =π，所以∠BOC =C +B ，又A +B +C =π，所以∠BOC +A =π，故B 正确；故A =π−∠BOC ，同理B =π−∠AOC ，延长CO 交AB 与点P ，则cosA:cosB =cos(π−∠BOC):cos(π−∠AOC)=cos∠BOP:cos∠AOP =OP OB :OP OA=OA:OB ，同理可得cosA:cosC =OA:OC ，所以cosA:cosB:cosC =OA:OB:OC ，故C 正确；S A :S B =(12⋅OC ⋅BP):(12⋅OC ⋅AP)=BP:AP =OPtan∠POB:OPtan∠AOP=tan∠BOC:tan∠AOC =tan(π−A):tan(π−B)=tanA:tanB ，同理可得S A :S C =tanA:tanC ，所以S A :S B :S C =tanA:tanB:tanC ，又S A ⋅OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+S B ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+S C ⋅OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑⃗，所以tanA ⋅OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+tanB ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+tanC ⋅OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑⃗，故D 正确．故选：BCD ．12、答案：6分析：根据两向量垂直，可得到(2a ⃗+3b ⃑⃑)⋅(ka ⃗−4b ⃑⃑)=0，展开化简即可求出k 值. 因为a ⃗⊥b ⃑⃑，所以a ⃗⋅b ⃑⃑=0，因为(2a ⃗+3b ⃑⃑)⊥(ka ⃗−4b ⃑⃑)，所以(2a ⃗+3b ⃑⃑)⋅(ka ⃗−4b ⃑⃑)=0，即2ka ⃗2−12b ⃑⃑2=0，又a ⃗,b ⃑⃑是单位向量，所以2k =12，即k =6. 所以答案是：6。

高中数学必修二第六章平面向量及其应用全部重要知识点(带答案)

高中数学必修二第六章平面向量及其应用全部重要知识点单选题1、在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且B=π3，b=3，a=√3，则c=（）．A．√3B．2√3C．3−√3D．3答案：B分析：利用余弦定理可构造方程直接求得结果.在△ABC中，由余弦定理得：b2=a2+c2−2accosB=3+c2−√3c=9，即c2−√3c−6=0，解得：c=2√3或c=−√3（舍），∴c=2√3.故选：B.2、已知向量a⃑与b⃑⃑的夹角为π6，且|a⃑|=2|b⃑⃑|=2，则a⃑⋅b⃑⃑=（）A．√3B．1C．2√3D．2答案：A解析：利用向量数量积的定义即可求解.由|a⃑|=2|b⃑⃑|=2，则|a⃑|=2，|b⃑⃑|=1，又向量a⃑与b⃑⃑的夹角为π6，所以a⃑⋅b⃑⃑=|a⃑||b⃑⃑|cos⟨a⃑,b⃑⃑⟩=2×1×√32=√3.故选：A小提示：本题考查了向量数量积的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.3、在△ABC中，sin2A=sinBsinC，若∠A=π3，则∠B的大小是（）A．π6B．π4C．π3D．2π3答案：C分析：由正弦定理边角互化，以及结合余弦定理，即可判断△ABC的形状，即可判断选项. 因为sin2A=sinBsinC，所以a2=bc，由余弦定理可知a2=b2+c2−2bccosπ3=b2+c2−bc=bc，即(b−c)2=0，得b=c，所以△ABC是等边三角形，∠B=π.3故选：C4、设a⃗,b⃑⃗均为单位向量，且|a⃗−b⃑⃗|=1，则|a⃗−2b⃑⃗|=（）A．√3B．√7C．3D．7答案：A分析：由已知，利用向量数量积的运算律求得a⃗⋅b⃑⃗=1，又|a⃗−2b⃑⃗|2=a⃗2−4a⃗⋅b⃑⃗+4b⃑⃗2即可求|a⃗−2b⃑⃗|.2由题设，|a⃗−b⃑⃗|2=a⃗2−2a⃗⋅b⃑⃗+b⃑⃗2=1，又a⃗,b⃑⃗均为单位向量，∴a⃗⋅b⃑⃗=1，2∴|a⃗−2b⃑⃗|2=a⃗2−4a⃗⋅b⃑⃗+4b⃑⃗2=3，则|a⃗−2b⃑⃗|=√3.故选：A5、已知向量a⃗=(1,1)，b⃑⃗=(−2,3)，那么|a⃗−2b⃑⃗|=（）A．5B．5√2C．8D．√74答案：B分析：根据平面向量模的坐标运算公式，即可求出结果.因为向量a⃗=(1,1)，b⃑⃗=(−2,3)，所以a⃗−2b⃑⃗=(5,−5)|a⃗−2b⃑⃗|=√52+(−5)2=5√2.故选：B.6、△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，C=30∘，c=10.如果△ABC有两解，则a的取值范围是（）A．[10,20]B．[10,10√3]C．(10,10√3)D．(10,20)答案：D分析：作出图形，根据题意可得出关于a的不等式，由此可解得a的取值范围.如下图所示：因为△ABC有两解，所以asinC=12a<c=10<a，解得10<a<20.故选：D.7、如图，△ABC中，角C的平分线CD交边AB于点D，∠A=2π3，AC=2√3，CD=3√2，则BC=（）A．3√3B．4C．4√2D．6答案：D分析：△ACD中由正弦定理求得∠ADC后可得∠ACD，从而得∠ACB，B角，得AB，用余弦定理可得BC．在△ACD中，根据正弦定理得sin∠ADC=AC⋅sinACD =2√3×√323√2=√22，由∠ADC<∠A，所以∠ADC=π4，所以∠ACD=π−2π3−π4=π12，所以∠ACB=π6，则∠B=π6，所以AB=AC=2√3，在△ABC中，由余弦定理得BC2=(2√3)2+(2√3)2−2×2√3×2√3×(−12)=36，所以BC=6．故选：D．小提示：关键点点睛：本题主要考查正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值等基础知识，解题时对照已知条件选用恰当的公式进行计算．如先在△ACD中选用正弦定理求得两边中另一边的对角，可得三角形的第三角，这样图形听所有角都已知，然后再求选用公式求边．本题也可以不用余弦定理求边BC ．8、如图，四边形ABCD 是平行四边形，则12AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=（）A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑B ．CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑C ．CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑D ．AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：D分析：由平面向量的加减法法则进行计算. 由题意得AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑，所以12AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑.故选：D. 多选题9、有下列说法，其中错误的说法为 A ．若a ⃑//b ⃑⃑,b ⃑⃑//c ⃑，则a ⃑//c ⃑ B ．若2OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+3OC⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0，S ΔAOC ，S ΔABC 分别表示ΔAOC ，ΔABC 的面积，则S ΔAOC :S ΔABC=1:6C ．两个非零向量a ⃑，b ⃑⃑，若|a ⃑−b ⃑⃑|=|a ⃑|+|b ⃑⃑|，则a ⃑与b ⃑⃑共线且反向D ．若a ⃑//b ⃑⃑，则存在唯一实数λ使得a ⃑=λb ⃑⃑ 答案：AD分析：对每一个选项逐一分析判断得解.A. 若a ⃑//b ⃑⃑,b ⃑⃑//c ⃑，则a ⃑//c ⃑，如果a ⃑，c ⃑都是非零向量，b ⃑⃑=0⃑⃑，显然满足已知条件，但是结论不一定成立，所以该选项是错误的；B. 如图，D,E 分别是AC,BC 的中点，2OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+3OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑⃑，∴2（OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑）+（OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑）=0⃑⃑，∴4OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+2OE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑⃑,∴OE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−2OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，所以OD =16AB,则S ΔAOC :S ΔABC =1:6,所以该选项是正确的；C. 两个非零向量a ⃑，b ⃑⃑，若|a ⃑−b ⃑⃑|=|a ⃑|+|b ⃑⃑|，则a ⃑与b ⃑⃑共线且反向，所以该选项是正确的；D. 若a ⃑//b ⃑⃑，如果a ⃑是非零向量，b ⃑⃑=0⃑⃑，则不存在实数λ使得a ⃑=λb ⃑⃑，所以该选项是错误的. 故选A,D小提示：本题主要考查平面向量的运算，考查向量的平行及性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.10、设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，下列命题正确的是（） A ．若a 2+b 2<c 2，则C >π2B ．若ab =c 2，则C ≥π3C ．若a 3+b 3=c 3，则C <π2D ．若a +b =2c ，则C >π2答案：AC分析：利用余弦定理及基本不等式一一判断即可；解：对于A 选项，a 2+b 2<c 2，可以得出cosC =a 2+b 2−c 22ab <0，∴C >π2，故A 正确；对于B 选项，因为ab =c 2，所以cos C =a 2+b 2−c 22ab≥2ab−ab 2ab=12，当且仅当a =b 时取等号，因为C ∈(0,π)，所以0<C ≤π3，故B 错误；对于C 选项，假设C ≥π2，则c >a ，c >b ，则c 2≥a 2+b 2，所以c 3≥a 2c +b 2c >a 3+b 3与a 3+b 3=c 3矛盾，∴C <π2，故C 正确，对于D 选项，取a =b =c =2，满足a +b =2c ，此时C =π3，故D 错误；故选：AC.11、已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c 且a ＝6，4sin B ＝5sin C ，有以下四个命题中正确命题有（）A ．△ABC 的面积的最大值为40B ．满足条件的△ABC 不可能是直角三角形 C ．当A ＝2C 时，△ABC 的周长为15D ．当A ＝2C 时，若O 为△ABC 的内心，则△AOB 的面积为√7 答案：ACD分析：对于A ，运用圆的方程和三角形的面积公式，即可得到所求最大值；对于B ，考虑勾股定理的逆定理，即可判断；对于C ，运用正弦定理可得4b ＝5c ，运用三角函数的恒等变换，即可得到所求周长；对于D ，运用正弦定理和三角函数的恒等变换、三角形的面积公式和等积法，即可得到所求面积. 以BC 的中点为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，可得B （﹣3，0），C （3，0）， 4sin B ＝5sin C ，可得4b ＝5c ，设A （m ，n ），可得4√(m −3)2+n 2＝5√(m +3)2+n 2，平方可得16（m 2+n 2﹣6m +9）＝25（m 2+n 2+6m +9），即有m 2+n 2+823m +9＝0，化为（m +413）2+n 2＝（403）2，则A 的轨迹为以（﹣413，0），半径为403的圆，可得△ABC 的面积的最大值为12×6×403＝40，故A 对；a ＝6，4sin B ＝5sin C 即4b ＝5c ，设b ＝5t ，c ＝4t ，由36+16t 2＝25t 2，可得t ＝43，满足条件的△ABC 可能是直角三角形，故B 错误；a ＝6，4sin B ＝5sin C ，A ＝2C ，可得B ＝π﹣3C ，由正弦定理可得4b ＝5c ，可得b ＝5c4，由b sinB＝csinC，可得5c 4sin(π−3C)＝csinC ＝5c 4sinC (4cos 2C−1)，由sin C ≠0，可得：4cos 2C ﹣1＝54，解得：cos C ＝34，或﹣34（舍去）， sin C ＝√1−cos 2C ＝√74，可得sin A ＝2sin C cos C ＝2×34×√74＝3√78， 3√78＝√74，可得：c ＝4，b ＝5，则a +b +c ＝15，故C 对；a ＝6，4sin B ＝5sin C ，A ＝2C ，可得B ＝π﹣3C ，由正弦定理可得4b ＝5c ，可得b ＝5c4，由b sinB＝csinC，可得5c 4sin(π−3C)＝csinC ＝5c 4sinC (4cos 2C−1)，由sin C ≠0，可得：4cos 2C ﹣1＝54，解得：cos C ＝34，或﹣34（舍去）， sin C ＝√1−cos 2C ＝√74，可得：sin A ＝2sin C cos C ＝2×34×√74＝3√78， 3√78＝c √74，可得：c ＝4，b ＝5，S △ABC ＝12bc sin A ＝12×5×4×3√78＝15√74. 设△ABC 的内切圆半径为R ，则R ＝2Sa+b+c＝2×15√744+5+6＝√72，S △ABO ＝12cR ＝12×4×√72＝√7.故D 对.故选：ACD .小提示：本题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化思想和运算能力，属于难题. 填空题12、已知|a ⃗|=|b ⃑⃗|=|a ⃗−b ⃑⃗|，作OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=a ⃗,OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=a ⃗+b ⃑⃗，则∠AOB =___________. 答案：30°##π6分析：由题设可得<a ⃗,b ⃑⃗>=π3，再根据向量夹角公式及数量积运算律可得cos∠AOB =a⃑⃗2+a ⃑⃗⋅b ⃑⃗|a⃑⃗||a ⃑⃗+b ⃑⃗|、|a ⃗+b⃑⃗|=√(a ⃗−b ⃑⃗)2+4a ⃗⋅b ⃑⃗，结合已知即可求角的大小. 由|a ⃗|=|b ⃑⃗|=|a ⃗−b ⃑⃗|知：<a ⃗,b⃑⃗>=π3，而cos∠AOB =OA⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗||OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=a⃑⃗2+a ⃑⃗⋅b ⃑⃗|a⃑⃗||a ⃑⃗+b ⃑⃗|，|a ⃗+b ⃑⃗|=√(a ⃗−b ⃑⃗)2+4a ⃗⋅b⃑⃗，所以cos∠AOB =32a ⃑⃗2√3a⃑⃗2=√32，又∠AOB ∈[0,π]，则∠AOB =π6.所以答案是：π613、a →，b →为不共线的向量，设条件M:b →⊥(a →−b →)；条件N:对一切x ∈R ，不等式|a →−xb →|≥|a →−b →|恒成立．则M 是N 的__________条件．答案：充要分析：由条件M:b →⊥(a →−b →)，可得b ⃑⃑⋅(a ⃑−b ⃑⃑)=a ⃑⋅b ⃑⃑−b ⃑⃑2=0；不等式|a →−xb →|≥|a →−b →|化为x 2b ⃑⃑2−2xa ⃑⋅b ⃑⃑+2a ⃑⋅b ⃑⃑−b ⃑⃑2≥0．由于对一切x ∈R ，不等式|a →−xb →|≥|a →−b →|恒成立，所以可得Δ≤0，化简即可得出．由条件M:b →⊥(a →−b →)，可得b ⃑⃑⋅(a ⃑−b ⃑⃑)=a ⃑⋅b ⃑⃑−b ⃑⃑2=0；不等式|a →−xb →|≥|a →−b →|化为x 2b ⃑⃑2−2xa ⃑⋅b ⃑⃑+2a ⃑⋅b ⃑⃑−b ⃑⃑2≥0， ∵对一切x ∈R ，不等式|a →−xb →|≥|a →−b →|恒成立， ∴Δ=4(a ⃑⋅b ⃑⃑)2−4(2a ⃑⋅b ⃑⃑−b ⃑⃑2)b ⃑⃑2≤0，化为(a ⃑⋅b ⃑⃑−b ⃑⃑2)2≤0， ∴a ⃑⋅b ⃑⃑−b ⃑⃑2=0，所以M ⇔N ．所以答案是：充要．小提示：关键点睛：本题的解题关键是由不等式|a →−xb →|≥|a →−b →|化为x 2b ⃑⃑2−2xa ⃑⋅b ⃑⃑+2a ⃑⋅b⃑⃑−b ⃑⃑2≥0后由一元二次不等式的知识得出Δ=4(a ⃑b ⃑⃑)2−4(2a ⃑b ⃑⃑−b ⃑⃑2)b ⃑⃑2≤0，从而得解. 14、已知△ABC 为正三角形，则下列各式中成立的是___________.（填序号）①|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|；②|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|；③|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|；④|CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|.答案：①②③分析：设D,E,F 分别为AB,BC,AC 的中点，根据平面向量的加法和减法的运算法则逐一判断即可得出答案. 对于①，|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，故①成立；对于②，设D,E,F 分别为AB,BC,AC 的中点，则AE =CD =BF =√32AB ， |AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑−CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|2AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=√3|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|， |BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|2BF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=√3|BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，所以|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑−CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，故②成立；对于③，|CA⃑⃑⃑⃑⃑⃑−BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|2CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=√3|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，所以|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑−CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，故③正确；对于④，|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≠|CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，故④不成立. 所以答案是：①②③.解答题15、已知函数f (x )=2cosxsin (x +π6).（1）求f (x )的最小正周期及f (x )在区间[−π6,π4]上的最大值（2）在锐角△ABC 中，f （A 2）=32，且a =√3，求b +c 取值范围.答案：（1）最小正周期为π，最大值32；（2）(3,2√3].分析：（1）先利用三角恒等变换对函数进行化简，进而通过三角函数的图像和性质的应用得到答案；（2）利用正弦定理进行边化角，然后借助三角恒等变换进行化简，最后通过三角函数的图像和性质的应用求出结果.（1）f(x)=2cosx⋅(sinx⋅√32+cosx⋅12)=√32sin2x+1+cos2x2=sin(2x+π6)+12，所以f(x)的最小正周期为π.因为−π6≤x≤π4，所以−π6≤2x+π6≤2π3于是，当2x+π6=π2，即x=π6时，f(x)取得最大值32（2）在△ABC中，A+B+C=πf(A2)=sin(A+π6)+12=32，∴sin(A+π6)=1，A∈(0,π2),∴A+π6∈(π6,23π)，∴A+π6=π2,∴A=π3.由正弦定理asinA =bsinB=csinC=2，∴b=2sinB,c=2sinC，∴b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin(A+B)=2sinB+2sin(π3+B)=2sinB+√3cosB+sinB=3sinB+√3cosB=2√3sin(B+π6)，∵{0<B<π20<C<π2⇒{0<B<π20<23π−B<π2⇒π6<B<π2，∴B+π6∈(π3,2π3)，∴sin(B+π6)∈(√32,1]，∴b+c=2√3sin(B+π6)∈(3,2√3].。

高中数学第六章平面向量及其应用-平面向量的运算课件及答案

【对点练清】如图，已知向量a，b，求作向量a＋b.
解：(1)作―O→A ＝a ，―A→B ＝b ，则―O→B ＝a ＋b ，如图①. (2)作―O→A ＝a ，―A→B ＝b ，则―O→B ＝a ＋b ，如图②. (3)作―O→A ＝a ，―A→B ＝b ，则―O→B ＝a ＋b ，如图③.
题型二向量加法及运算律的应用
法二(平行四边形法则) 如图，(1)在平面内任取一点 O，作―O→A ＝a ，―O→B ＝b ； (2)作平行四边形 AOBC，则―O→C ＝a ＋b ； (3)再作向量―O→D ＝c； (4)作平行四边形 CODE，则―O→E ＝―O→C ＋c＝a ＋b ＋c.―O→E 即为所求．
[深化探究] (1)如图，已知四个非零向量 a ，b ，c，d ，求作和向量 a ＋b ＋c＋d . 解：如图，在平面上任选一点 O，作向量―O→A ＝a ，―A→B ＝b ，―B→C ＝c，―C→D ＝d ，则―O→D ＝―O→A ＋―A→B ＋―B→C ＋―C→D ＝a ＋b ＋c＋d .
[方法技巧] 应用向量解决实际应用问题的基本步骤
【对点练清】
在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达 B地
接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，
求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
解：设―A→B ，―B→C 分别表示飞机从 A 地按北偏东 35°的方向
图形
续表
向量加法的平行四边形法则
前提作法结论
已知不共线的两个向量 a ，b 在平面内任取一点 O，作―O→A ＝a ，―O→B ＝b .以 OA，OB
为邻边作▱OACB，连接 OC，则―O→C ＝―O→A ＋―O→B ＝a ＋b

(完整版)高中数学-平面向量专题

第一部分：平面向量的看法及线性运算一.基础知识自主学习1．向量的相关看法名称定义备注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量平面向量是自由向量的(或称)零向量长度为的向量；其方向是任意的记作 0单位向量长度等于的非零向量 a 的单位向量为±a 向量|a|平行向量方向或的非零向量0 与任向来量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能够比较大小相反向量长度且方向的向量0 的相反向量为 0 2.向量的线性运算向量运算定义法规 (或几何运算律意义 )加法求两个向量和的运算求 a 与 b 的相反向量－b 减法的和的运算叫做 a 与 b的差(1)交换律：a＋ b＝ b＋ a.(2)结合律：(a＋ b)＋ c＝ a＋ (b＋c)．a－ b＝ a＋ (－ b)法规求实数λ与向量 a 的积的(1)|λa|＝ |λ||a|.；λ(μa)＝λμa；数乘(2)当λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向运算当λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向；当λ (λ＋μ)a＝λa＋μa；＝0 时，λa＝ 0.λ(a＋ b)＝λa＋λb.3.共线向量定理向量 a(a≠0)与 b 共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得 b＝λa.二.难点正本疑点清源1．向量的两要素向量拥有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的地址没相关系．同向且等长的有向线段都表示同向来量．也许说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能够比较大小．2．向量平行与直线平行的差异向量平行包括向量共线 (或重合 )的情况，而直线平行不包括共线的情况．所以要利用向量平行证明向量所在直线平行，必定说明这两条直线不重合．三．基础自测→→→→1．化简 OP－ QP＋ MS－MQ 的结果等于 ________．2．以下命题：①平行向量必然相等；②不相等的向量必然不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量必然共线．其中不正确命题的序号是_______．→→→→→3．在△ ABC 中， AB＝ c， AC＝ b.若点 D 满足 BD＝ 2DC ，则 AD ＝ ________(用 b、 c 表示 )．4．如图，向量a－ b 等于 ()A ．－ 4e1－ 2e2B ．－ 2e1－4e2C． e1－ 3e2 D ． 3e1－ e2→→→() 5．已知向量 a， b，且 AB＝ a＋ 2b， BC＝－ 5a＋ 6b，CD ＝ 7a－ 2b，则必然共线的三点是A ． A、 B、DB ．A、 B、CC． B、 C、D D ．A、 C、 D四．题型分类深度剖析题型一平面向量的相关看法例 1给出以下命题：→→①若 |a|＝ |b|，则 a＝ b；②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则AB＝ DC是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若 a＝ b，b＝ c，则 a＝ c；④ a＝ b 的充要条件是|a|＝ |b|且a∥ b；⑤若 a∥ b，b∥c，则 a∥ c.其中正确的序号是________．变式训练1判断以下命题可否正确，不正确的请说明原由．(1)若向量 a 与 b 同向，且 |a|＝ |b|，则 a>b ；(2)若 |a|＝ |b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反；(3)若 |a|＝ |b|，且 a 与 b 方向相同，则 a＝ b；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；(5)若向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 的方向相同或相反；→→(6)若向量 AB与向量 CD是共线向量，则 A， B， C， D 四点在一条直线上；(7)起点不相同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(8)任向来量与它的相反向量不相等题型二平面向量的线性运算例 2→→→ 1→→ 1→如图，以向量 OA＝ a， OB＝ b 为边作 ?OADB ， BM＝BC， CN＝CD，用33→→→a、 b 表示 OM 、 ON、 MN.变式训练→ 2→→→2 △ABC 中， AD＝ AB，DE ∥BC 交 AC 于 E， BC 边上的中线 AM 交 DE 于 N.设 AB＝ a，AC＝ b，用 a、b3→ → → →→→表示向量 AE、 BC、 DE 、 DN、 AM、 AN.题型三平面向量的共线问题例 3设 e1 2→＝ 2e1→＝ e12→＝ 2e1是两个不共线向量，已知 AB2， CD2， e－ 8e， CB＋ 3e－e .(1)求证： A、B、 D 三点共线；→(2)若 BF ＝ 3e1－ ke2，且 B、D 、 F 三点共线，求 k 的值．变式训练3设两个非零向量 a 与 b 不共线，→→→(1)若 AB＝ a＋ b， BC＝ 2a＋8b， CD ＝ 3(a－b)．求证： A、 B、D 三点共线；(2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋ kb 共线．五．思想与方法5．用方程思想解决平面向量的线性运算问题试题：以下列图，在△→ 1→→ 1→→→ABO 中， OC＝ OA， OD ＝ OB， AD 与 BC 订交于点 M，设 OA＝ a，OB＝ b.试用 a 和 b 42→表示向量 OM .六．思想方法感悟提高方法与技巧1．将向量用其他向量(特别是基向量)线性表示，是十分重要的技术，也是向量坐标形式的基础．→→→→2．能够运用向量共线证明线段平行或三点共线问题．如 AB∥ CD且 AB 与 CD 不共线，则 AB ∥CD ；若 AB∥ BC，则 A、B、C 三点共线．失误与防范1．解决向量的看法问题要注意两点：一是不但要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量可否也满足条件．要特别注意零向量的特别性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的序次，从而求得所求向量的相反向量，以致错误．七．课后练习1．给出以下命题：①两个拥有公共终点的向量，必然是共线向量；②两个向量不能够比较大小，但它们的模能比较大小；③ λa ＝ 0 (λ为实数 )，则 λ必为零；④ λ， μ为实数，若 λa ＝ μb ，则 a 与 b 共线．其中错误命题的个数为 ()A ． 1B ． 2C ．3D ．42．若 A 、B 、C 、D 是平面内任意四点，给出以下式子： → → →AD ；③ AC －AB ＋ CD ＝ BC ＋ DA ；② AC ＋ BD = BC→ → ) BD ＝ DC + AB .其中正确的有 (A ． 0 个B ． 1 个C ．2 个D ． 3 个3. 已知 O 、 A 、 B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点 C ，满足 2 AC CB =0，则 OC 等于 ()A. 2OA → →－ OB B. OA ＋ 2OB2 OA － 1 → D. 1 2 →C. 3OB 3OA ＋ 3OB31→→→→4.以下列图，在△ ABC 中， BD ＝DC ，AE ＝ 3ED ，若 AB ＝ a ， AC ＝b ，则 BE 等于 ()21 11 1A. 3a ＋3bB ．－ 2a ＋ 4b1 11 1 C.2a ＋ 4b D ．－ 3a ＋ 3b→，则四边形 ABCD 的形状是 (5. 在四边形 ABCD 中， AB ＝a ＋ 2b, BC ＝－ 4a －b ， CD ＝－ 5a － 3b A ．矩形 B ．平行四边形 C ．梯形 uuur D ．以上都不对uuur uuur6. AB ＝8， AC ＝ 5，则 BC 的取值范围是 __________．7．给出以下命题：①向量 AB 的长度与向量 →→BA 的长度与向量 BA 的长度相等； ②向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，必然是共线向量；→ → ⑤向量 AB 与向量 CD 与向量 CD 是共线向量，则点 A 、 B 、 C 、 D 必在同一条直线上．其中不正确的个数为 ____________ ．8.如图，在△ ABC 中，点 O 是 BC 的中点 .过点 O 的直线分别交直线AB 、AC 于不相同的两点 M 、→AB ＝ mAM ，→AC ＝ nAN ，则 m ＋ n 的值为 ________． 9．设 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a ＋λb 与－ (b －2a)共线，则 λ＝ ________.→ →10.在正六边形 ABCDEF 中， AB ＝ a ， AF ＝ b ，求 AC, AD ，AE.11.以下列图，△ ABC 中，点 M 是 BC 的中点，点 N 在边 AC 上，且 AN ＝2NC ， AM 与 BN 订交于点的值．12.已知点 G 是△ ABO 的重心， M 是 AB 边的中点 .→ →（ 1）求 GA ＋GB ＋GO ；→→→ 11)N. 若P ，求 AP ∶ PM第二部分：平面向量的基本定理及坐标表示一．基础知识自主学习1．两个向量的夹角定义→→已知两个向量 a，b，作 OA＝ a，OB ＝b，则∠ AOB ＝θ叫做向量 a 与 b 的夹角 (如图 )范围向量夹角θ的范围是,当θ＝时,两向量共线，当θ＝时，两向量垂直，记作a⊥b.2.平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理若是 e1，e2是同一平面内的两个向量，那么关于这一平面内的任意向量a，一对实数λ1，λ2，使 a＝.其中，不共线的向量e1， e2叫做表示这一平面内所有向量的一组．(2)平面向量的正交分解及坐标表示把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量正交分解．(3)平面向量的坐标表示①在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i，j 作为基底，关于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使 a＝xi ＋ yj，这样，平面内的任向来量 a 都可由 x，y 唯一确定，把有序数对叫做向量 a 的坐标，记作a＝，其中叫做a在x轴上的坐标，叫做a在y轴上的坐标．→→→②设 OA＝ xi ＋yj，则向量 OA的坐标 (x， y)就是的坐标，即若OA＝(x，y)，则A点坐标为，反之亦成立． (O 是坐标原点 )3．平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设 a＝ (x1， y1) ，b＝ (x2， y2)，则a＋ b＝，a－b＝，λa＝，|a|＝.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设 A(x1 1→→22＝， |AB.， y )， B(x， y)，则 AB|＝4．平面向量共线的坐标表示：设 a＝ (x1， y1)， b＝ (x2， y2)，其中 b≠ 0a.∥ b?.二．难点正本疑点清源1．基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的采用不唯一，平面内任意向量 a 都可被这个平面的一组基底 e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．2．向量坐标与点的坐标的差异→a 唯一确定，此时点 A 的坐标与 a 的坐在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA＝ a，点 A 的地址被向量标一致为 (x，y)，但应注意其表示形式的差异，如点→A(x， y)，向量 a＝OA＝ (x， y)．→→→→→当平面向量 OA平行搬动到 O11时，向量不变即O1A 1＝OA＝(x，y),但O11的起点O1和终点1的坐标都发生了变A A A 化．三．基础自测1．已知向量a＝ (2，－ 1)， b＝(－ 1， m)，c＝ (－ 1,2)，若 (a＋b) ∥c，则 m＝ ________.2．已知向量a＝ (1,2)， b＝ (－ 3,2)，若 ka＋ b 与 b 平行，则k＝ ________.3．设向量 a＝ (1，－ 3)， b＝ (－ 2,4)， c＝(－ 1，－ 2)．若表示向量4a、 4b－2c、 2(a－ c)、 d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量 d＝ ____________.→→4．已知四边形 ABCD 的三个极点 A(0,2)， B(－ 1，－ 2)， C(3,1) ，且 BC＝ 2AD ，则极点 D 的坐标为()A. 2，7B. 2，－1 22C． (3,2)D． (1,3)5．已知平面向量 a＝ (x,1)， b＝(－ x， x2) ，则向量 a＋ b()A ．平行于 y 轴B ．平行于第一、三象限的角均分线C．平行于 x 轴 D ．平行于第二、四象限的角均分线四．题型分类深度剖析题型一平面向量基本定理的应用例 1→→→ →如图，在平行四边形ABCD 中， M， N 分别为 DC，BC 的中点，已知 AM＝ c， AN＝ d，试用 c，d 表示 AB， AD.→→→→变式训练 1 如图， P 是△ ABC 内一点，且满足条件 AP＋ 2BP＋ 3CP＝ 0，设 Q 为 CP 的延长线与AB 的交点，令CP＝ p，→试用 p 表示 CQ.题型二向量坐标的基本运算→→→→→例2 已知 A(－2,4)， B(3，－ 1)， C(－ 3，－ 4)．设 AB＝ a，BC＝ b， CA＝ c，且 CM ＝ 3c，CN＝－ 2b，→(1) 求 3a＋ b－ 3c；(2) 求满足 a＝ mb＋ nc 的实数 m， n； (3) 求 M、 N 的坐标及向量 MN 的坐标．变式训练 2(1) 已知点 A、B、 C 的坐标分别为→→ 1→A(2，－ 4)、 B(0，6) 、 C(－ 8,10)，求向量 AB＋ 2BC－ AC的坐标；211(2) 已知 a＝ (2,1) ， b＝ (－ 3,4)，求：① 3a＋4b；② a－ 3b；③2a－4b.题型三平行向量的坐标运算例 3平面内给定三个向量a＝ (3,2)， b＝(－1,2)， c＝ (4,1)，请解答以下问题：(1) 求满足 a＝ mb＋ nc 的实数 m， n； (2)若 (a＋ kc)∥ (2b－a) ，求实数k；(3) 若 d 满足 (d－ c)∥ (a＋ b)，且 |d－ c|＝ 5，求 d.变式训练3已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1)求 |a＋ 3b|； (2)当 k 为何实数时， ka－ b 与 a＋ 3b 平行，平行时它们是同向还是反向？五．易错警示8．忽视平行四边形的多样性致误试题：已知平行四边形三个极点的坐标分别为(－ 1,0)，(3,0) ，(1，－ 5)，求第四个极点的坐标．六．思想方法感悟提高方法与技巧1．平面向量基本定理的实质是运用向量加法的平行四边形法规，将向量进行分解．2．向量的坐标表示的实质是向量的代数表示，其中坐标运算法规是运算的要点，经过坐标运算可将一些几何问题转变成代数问题办理，从而向量能够解决平面剖析几何中的好多相关问题．3．在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．失误与防范1．要区分点的坐标与向量坐标的不相同，尽管在形式上它们完满相同，但意义完满不相同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．1122)，则 a∥ b 的充要条件不能够表示成x1＝y1，由于 x22有可能等于0，所以应表示为 1 22．若 a＝( x，y )，b＝ (x ，y x2y2，y x y y ＝ 0.同时， a∥ b 的充要条件也不能够错记为x x － y y ＝ 0， x y－ x y ＝ 0 等．－ x2 1 1 21 2 1 1 2 2七．课后练习1．已知向量 a ＝(1，－ 2)， b ＝(1＋ m,1－ m)，若 a ∥ b ，则实数 m 的值为 ( )A ．3B ．－ 3C ． 2D ．－ 2 2．已知平面向量 a ＝ (1,2)， b ＝(－ 2， m) ，且 a ∥ b ，则 2a ＋ 3b 等于 ( )A ．( －2，－ 4)B ． (－ 3，－ 6)C ．(－ 4，－ 8)D ． (－ 5，－ 10)3.设向量 a ＝ (3， 3)， b 为单位向量，且 a ∥ b ，则 b 等于 ( )3 1 3 1 3 1A.2 ，－ 2 或－ 2 ， 2B.2 ， 2313 13 1C. － 2 ，－ 2D. 2 ， 2或－ 2 ，－ 24.已知向量 a ＝ (1，－ m)，b ＝ (m 2， m)，则向量 a ＋ b 所在的直线可能为 ()A ． x 轴B ．第一、三象限的角均分线C ． y 轴D ．第二、四象限的角均分线5．已知 A(7,1) 、B(1,4), 直线 y1 →ax 与线段 AB 交于 C,且 AC2CB ，则实数 a 等于 ()245A ． 2B ． 1C. 5D.31＋ 1的值等于 ________．6．若三点 A(2,2) ，B(a,0)， C(0， b) (ab ≠ 0)共线，则 ab7．已知向量 a ＝(1,2) ，b ＝ (x,1)， u ＝ a ＋2b ， v ＝ 2a － b ，且 u ∥ v ，则实数 x 的值为 ________． 8．若向量 a ( x 3, x 2 3 x 4) 与 AB 相等，其中 A(1,2) ， B(3 ， 2) ，则＝x ________.9．若平面向量 a ， b 满足 |a ＋ b|＝ 1， a ＋ b 平行于 y 轴， a ＝ (2，－ 1)，则 b ＝ ______________. 10． a ＝ (1,2)， b ＝ (－ 3,2)，当 k 为何值时， ka ＋b 与 a － 3b 平行？平行时它们是同向还是反向？11．三角形的三内角 A ， B ， C 所对边的长分别为 a ， b ， c ，设向量 m ＝ (3c － b ， a － b)， n ＝ (3a ＋ 3b ， c)， m ∥n.(1) 求 cos A 的值； (2) 求 sin(A ＋30°)的值．12．在△ ABC 中， a 、 b 、c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边，已知向量 m ＝ (a ， b)，向量 n ＝(cos A ， cos B)，向量 p ＝ 2 2sinB ＋C ， 2sin A ，若 m ∥ n ， p 2＝ 9，求证：△ ABC 为等边三角形． 2第三部分：平面向量的数量积一．基础知识自主学习1．平面向量的数量积已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 θ，则数量 _______叫做 a 和 b 的数量积 (或内积 )，记作 ________________.规定：零向量与任向来量的数量积为____.两个非零向量 a 与 b 垂直的充要条件是，两个非零向量 a 与 b 平行的充要条件是.2．平面向量数量积的几何意义数量积 a ·b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影 _________的乘积．3．平面向量数量积的重要性质(1)e ·a ＝ a ·e ＝；(2) 非零向量 a ， b ，a ⊥ b? ；(3) 当 a 与 b 同向时， a ·b ＝；当 a 与 b 反向时， a ·b ＝， a ·a ＝ a 2，|a|＝a ·a；a ·b (4)cos θ＝；|a||b|(5)|a ·b|____|a|| b|.4．平面向量数量积满足的运算律(1) a ·b＝(交换律 )；(2)( λa )·b ＝＝(λ为实数 )；(3)( a ＋ b) ·c ＝.5．平面向量数量积相关性质的坐标表示设向量 a ＝ (x 1， y 1)， b ＝ (x 2 ， y 2)，则 a ·b＝，由此获取(1) 若 a ＝ (x ， y)，则 |a|2＝或|a|＝.(2) 设 A （x 1uuur.,y 1） ,B(x 2,y 2),则 A 、 B 两点间的距离 |AB|= AB ＝(3) 设两个非零向量 a ， b ， a ＝ ( x ， y )， b ＝ (x ， y )，则 a ⊥b?.1122二．难点正本疑点清源1．向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值相关，在运用向量的数量积解题时，必然要注意两向量夹角的范围．2．数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不满足向量间的结合律，即 (a ·b)c 不用然等于a(b ·c)．这是由于 (a ·b)c 表示一个与 c 共线的向量，而 a(b ·c)表示一个与 a 共线的向量，而 c 与 a 不用然共线．三．基础自测1．已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30°， |a|＝ 2， |b|＝ 3，则向量 a 和向量 b 的数量积 a ·b＝________.2.在△ ABC 中， AB =3， AC=2， BC=10 ,则 AB ·AC ＝ ______.- 94．已知 |a|＝ 6， |b|＝3， a·b＝－ 12，则向量 a 在向量 b 方向上的投影是()A ．－ 4B． 4C．－ 2 D ．25．已知向量a＝(1，－ 1)， b＝(1,2) ，向量 c 满足 (c＋ b)⊥ a， (c－ a)∥ b，则 c 等于()A ． (2,1)B ．(1,0)31C. 2，2D． (0，－ 1)四．题型分类深度剖析题型一求两向量的数量积例1 (1) 在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AB＝ 5， AC＝4，求AB·BC；(2)若 a＝ (3，－ 4) ，b＝ (2,1)，试求 (a－2b) · (2a＋3b)．变式训练 1 (1)若向量 a 的方向是正南方向，向量 b 的方向是正东方向，且|a|＝ |b|＝ 1，则 (－ 3a) ·(a＋ b)＝______.uuur→ uuur(2) 如图，在△ ABC 中， AD ⊥ AB，BC＝ 3 BD， | AD |＝ 1，则AC·AD等于 ()33A ． 2 3B. 2 C. 3 D.3题型二求向量的模例2 已知向量 a 与 b 的夹角为 120°，且 |a|＝ 4， |b|＝ 2，求： (1)|a＋ b|； (2)|3a－ 4b|； (3)(a－ 2b) ·(a＋b)．π变式训练 2 设向量 a， b 满足 |a－ b|＝ 2，|a|＝ 2，且 a－ b 与 a 的夹角为3，则 |b|＝ ________.题型三利用向量的数量积解决夹角问题例 3已知a与b是两个非零向量，且|a|＝ |b|＝ |a－ b|，求 a 与 a＋ b 的夹角．变式训练 3 设 n 和 m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝ 2m＋ n 与 b＝ 2n－3m 的夹角．题型四平面向量的垂直问题例 4 已知 a＝ (cos α， sin α)， b＝ (cos β， sin β)(0< α<β<π)．(1)求证： a＋ b 与 a－ b 互相垂直；(2) 若 ka＋ b 与 a－ kb 的模相等，求β－α.(其中k为非零实数)uuur→uuur→→变式训练 4 已知平面内A、B、C 三点在同一条直线上，OA ＝(－2，m)，OB＝(n,1)，OC＝(5，－1)，且OA⊥OB，求实数 m， n 的值．五．答题规范5．思想要慎重，解答要规范试题：设两向量 e1、e2满足 |e1 |＝ 2，|e2|＝ 1，e1、e2的夹角为60°，若向量 2te1＋7e2与向量 e1＋te2的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围．六．思想方法感悟提高方法与技巧1．向量的数量积的运算法规不具备结合律，但运算律和实数运算律近似．如(a＋ b)2＝a2＋2a·b＋b2；22(λa＋μb) ·(sa＋ tb)＝λs a＋(λt＋μs)a·b＋μt b(λ，μ， s， t∈ R)．2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝ a2，将模的运算转变成向量的数量积的运算．3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法技巧．失误与防范1． (1)0 与实数 0 的差异： 0a＝0≠0， a＋( －a)＝0≠0，a·0＝0≠0；(2)0 的方向是任意的，其实不是没有方向，0 与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系．2． a·b＝0 不能够推出 a＝ 0 或 b＝ 0，由于 a·b＝0 时，有可能 a⊥ b.3．一般地， (a · b)c ≠ (b即·乘c)a法的结合律不行立．因a·b是一个数量，所以(a · b)c表示一个与 c 共线的向量，同理右边 (b ·c)a表示一个与 a 共线的向量，而 a 与 c 不用然共线，故一般情况下(a ·b)c ≠(b ·c)a. 4． a·b＝a· c(a ≠不0)能推出 b＝ c.即消去律不行立．uuur uuur5．向量夹角的看法要意会，比方正三角形ABC 中，〈AB,BC〉应为 120°，而不是 60°.- 11七．课后练习1 1()1.设向量 a ＝ (1,0)， b ＝( ， )，则以下结论中正确的选项是22A ． |a|＝ |b|B ． a ·b＝ 22 C ． a ∥ b D ．a － b 与 b 垂直 2.若向量 a ＝ (1,1)， b ＝ (2,5)， c ＝ (3， x)，满足条件 (8a － b)·c ＝ 30，则 x 等于 ( )A ． 6B ．5C ． 4D ． 33.已知向量 a ，b 的夹角为 60°，且 |a|＝2， |b|＝ 1，则向量 a 与 a ＋ 2b 的夹角等于 ()A ． 150 °B ． 90°C ． 60°D ． 30°uuur uuur4.平行四边形 ABCD 中， AC 为一条对角线，若 AB ＝ (2,4)， AC ＝ (1,3)，则 AD BD 等于 ()A ． 6B ．8C ．－ 8D ．－ 6πa ＝ 2e 1)1 2的单位向量，且向量2 1 25.若 e 、e 是夹角为 3＋ e ，向量 b ＝－ 3e ＋2e ，则 a ·b等于 (7 7A ． 1B ．－ 4C ．－ 2D.2π6．若向量 a ， b 满足 |a|＝1 ，|b|＝ 2 且 a 与 b 的夹角为 3，则 |a ＋ b|＝ ________.7．已知向量 a ，b 满足 |a|＝ 3，|b|＝ 2， a 与 b 的夹角为 60°，则 a ·b＝________，若 (a －mb)⊥ a ，则实数 m ＝ ________. 8．设 a 、 b 、 c 是单位向量，且 a ＋ b ＝ c ，则 a ·c 的值为 ________． 9.（O 是平面上一点， A 、 B 、C 是平面上不共线的三点 .平面内的动点 P 满足 OPOA (AB AC),uuuruuur uuur若 λ＝1时， PA (PBPC ) 的值为 ______．210．不共线向量 a ， b 的夹角为小于 120 °的角，且 |a|＝ 1， |b|＝2，已知向量 c ＝ a ＋ 2b ，求 |c|的取值范围．11．已知平面向量 a ＝ (1， x)， b ＝ (2x ＋3，－ x)， x ∈ R.(1) 若 a ⊥ b ，求 x 的值； (2)若 a ∥b ，求 |a －b|.12．向量 a ＝ (cos 23 ，°cos 67 °)，向量 b ＝ (cos 68 ，°cos 22 °)．(1) 求 a ·b；(2)若向量 b 与向量 m 共线， u ＝ a ＋m ，求 u 的模的最小值．第四部分：平面向量应用举例一．基础知识自主学习1．向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主若是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥ b??.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a⊥ b??.(3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝a·b ＝x1 x2＋ y1y222 2 2 (θ为 a 与 b 的夹角 )．|a||b|x1＋ y1x2＋ y22．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是，它们的分解与合成与向量的相似，能够用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，这是力 F 与位移 s 的数量积．即W ＝ F·s＝|F|| s|cos θ(θ为 F 与 s 的夹角 )．3．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、剖析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件能够获取关于该未知数的关系式．在此基础上，能够求解相关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转变成代数运算，其转变路子主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．二．难点正本疑点清源1．向量兼具代数的抽象与慎重和几何的直观，向量自己是一个数形结合的产物．在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思想与逻辑思想的结合．2．要注意变换思想方式，能从不相同角度看问题，要善于应用向量的相关性质解题．三．基础自测1．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边 AB∥ DC ， AD∥ BC.已知 A(－ 2,0)，B(6,8)， C(8,6)．则D 点的坐标为 ________．2．已知平面向量α、β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥ (α－2β)，则|2α＋β|的值是________．y uuur 3．平面上有三个点A( － 2， y)， B 0，2， C( x， y)，若ABuuur⊥ BC ，则动点C的轨迹方程为_______________．uuur5，AC·CB等于 () 4．已知 A、 B 是以 C 为圆心，半径为5的圆上两点，且 | AB |＝5553A ．－2 B.2C． 0D.25．某人先位移向量a ： “向东走 3 km ”，接着再位移向量b ： “向北走 3 km ”，则 a ＋b 表示()A ．向东南走 3 2 kmB ．向东北走 3 2 kmC ．向东南走 33 kmD ．向东北走 3 3 km四．题型分类深度剖析题型一向量在平面几何中的应用例 1 如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ ACB ＝90°， CA ＝ CB ， D 为 BC 的中点， E 是 AB 上的一点，且 AE ＝ 2EB.求证： AD ⊥ CE.变式训练 1在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(－ 1，－ 2)，B(2,3)， C(－ 2，－ 1)．(1) 求以线段 AB 、 AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2) →→ →设实数 t 满足 (AB － tOC) ·OC ＝ 0，求 t 的值．题型二平面向量在剖析几何中的应用uuuuruuur →3 →例 2 已知点 P （ 0，-3），点 A 在 x 轴上，点 M 满足 PA AM =0 ，AM ＝－MQ ，当点 A 在 x 轴上搬动时，求动点 M2的轨迹方程．变式训练 2 已知圆 C ： (x-3) 2+(y-3)2N 在线段 MA 的延长线上，=4 及点 A （ 1,1）， M 是圆上的任意一点，点 uuur →且 MA ＝ 2AN ，求点 N 的轨迹方程．题型三平面向量与三角函数例 3 已知向量 a ＝ (sin x ， cos x)， b ＝ (sin x ， sin x) ，c ＝ (－ 1,0)．π(1)若 x ＝ 3，求向量 a 与 c 的夹角；3π π(2)若 x ∈ － 8 ， 4 ，求函数 f(x) ＝a ·b 的最值；2 (3) 函数 f(x)的图象能够由函数y ＝ 2 sin 2x (x ∈ R)的图象经过怎样的变换获取？变式训练 3已知 A(3,0) ， B(0,3) ， C(cos α， sin α)．若 uuur uuur ＝－ 1，求 sin α＋ π的值； (2) uuur uuur ＝，且 α∈ ， π)，求 → uuur (1) AC ·若 | OA+ OC | 13 OB 与 OC 的夹角．BC 4(0五．易错警示9．忽视对直角地址的谈论致误uuur uuur试题：已知平面上三点A 、B 、C ，向量 BC ＝ (2－ k,3)， AC ＝ (2,4)．(1) 若三点 A 、B 、 C 不能够构成三角形，求实数 k 应满足的条件； (2)若△ ABC 为直角三角形，求k 的值．六．思想方法感悟提高方法与技巧1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合供应了前提，运用向量的相关知识能够解决某些函数问题．2．以向量为载体，求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．经过向量的坐标运算，将问题转变成解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法．3．相关线段的长度或相等，能够用向量的线性运算与向量的模．4．用向量方法解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转变成向量问题；(2)经过向量运算，研究几何元素之间的关系；(3) 把运算结果 “翻译 ”成几何关系．5．向量的坐标表示，使向量成为解决剖析几何问题的有力工具，在证明垂直、求夹角、写直线方程时显示出了它的优越性，在办理剖析几何问题时，需要将向量用点的坐标表示，利用向量的相关法规、性质列出方程，从而使问题解决．失误与防范1．向量关系与几何关系其实不完满相同，要注意差异．比方：向量2．加强平面向量的应企图识，自觉地用向量的思想和方法去思虑问题．uuurAB→∥ CD 其实不能够说明AB ∥CD .七．课后练习1．已知△ ABC ，AB AC ,则必然有()A ．AB⊥ACB ．AB = ACC． ( AB + AC)⊥ ( AB - AC)D．AB + AC= AB - AC2．点 P 在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝ (4，－ 3)( 即点 P 的运动方向与v 相同，且每秒搬动的距离为|v|个单位 ) ．设开始时点 P 的坐标为 ( － 10,10)，则 5 秒后质点 P 的坐标为 ()A ． (－ 2,4)B ．( －30,25)C． (10，－ 5)D． (5，－ 10)uuur uuur uuur uuur uuur3.平面上有四个互异点)A、 B、 C、D ，已知 (DB DC2DA) (AB AC) 0 ，则△ ABC 的形状是 (A ．直角三角形B ．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形uuur uuur4.如图，△ ABC 的外接圆的圆心为 O,AB=2,AC=3,BC=7 ,则AO BC等于()35A. 2B.2C． 2D． 35．平面上 O、 A、 B 三点不共线，设OA a,OB，则△ OAB 的面积等于 ()bA.|a|2|b|2－ (a·b)2B.|a|2 |b|2＋ (a·b)2122－ (a·b)21 2 2＋ (a·b)2C.2D.2|a| |b||a| |b|6．已知 |a|＝ 3， |b|＝2，〈 a， b〉＝ 60°，则 |2a＋ b|＝ ________.7．河水的流速为 2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为________．→→ →→8.已知△ ABO 三极点的坐标为A(1,0), B(0,2), O(0,0),P(x,y)是坐标平面内一点，且满足 AP·OA≤0，BP·OB≥0，则 OP·AB的最小值为 ________．uuur uuur 9．在△ ABC 中，角 A、B、 C 所对的边分别为a、 b、 c，若AB·AC＝BA BC 10.如右图，在Rt△ABC 中，已知 BC=a,若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中心，问的值最大？并求出这个最大值．1，那么c＝________.→→PQ 与BC的夹角θ取何值时BP·CQ11．已知向量a＝ (sin θ， cos θ－ 2sin θ)， b＝ (1,2)．(1)若 a∥ b，求 tan θ的值； (2) 若 |a|＝ |b|,0<θ<π，求θ的值．12．在△ ABC 中，角 A、B、 C 的对边分别为a、 b、 c，若AB·AC BA·BC ＝k (k∈R)．(1) 判断△ ABC 的形状； (2)若 c＝2，求 k 的值．- 16。

高中数学第六章平面向量及其应用知识点总结归纳(带答案)

高中数学第六章平面向量及其应用知识点总结归纳单选题1、给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是( ) A ．①②③是数量，④⑤⑥是向量B ．②④⑥是数量，①③⑤是向量 C ．①④是数量，②③⑤⑥是向量D ．①②④⑤是数量，③⑥是向量答案：D分析：根据向量的定义即可判断.密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量；速度、位移既有大小又有方向，是向量．故选：D ．2、已知向量a ⃗,b ⃗⃗ 满足|a |⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1,a ⃗⊥b ⃗⃗，则向量a ⃗−2b ⃗⃗在向量a ⃗方向上的投影向量为（） A ．a ⃗B ．1 C ．-1D ．−a ⃗ 答案：A分析：根据给定条件，求出(a ⃗−2b ⃗⃗)⋅a ⃗，再借助投影向量的意义计算作答.因|a |⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1,a ⃗⊥b ⃗⃗，则(a ⃗−2b ⃗⃗)⋅a ⃗=a ⃗2−2b ⃗⃗⋅a ⃗=1，令向量a ⃗−2b ⃗⃗与向量a ⃗的夹角为θ，于是得|a ⃗−2b⃗⃗|cosθ⋅a ⃗⃗|a⃗⃗|=(a⃗⃗−2b ⃗⃗)⋅a ⃗⃗|a⃗⃗|⋅a ⃗⃗|a⃗⃗|=a ⃗，所以向量a ⃗−2b ⃗⃗在向量a ⃗方向上的投影向量为a ⃗. 故选：A3、若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=5，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=8，则|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的取值范围是（） A ．[3,8]B ．(3,8) C ．[3,13]D ．(3,13) 答案：C分析：利用向量模的三角不等式可求得|BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的取值范围.因为|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，所以，||AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|−|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||≤|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|≤|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，即3≤|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|≤13. 故选：C.4、某人先向东走3km ，位移记为a →，接着再向北走3km ，位移记为b →，则a →+b →表示（） A ．向东南走3√2km B ．向东北走3√2km C ．向东南走3√3km D ．向东北走3√3km 答案：B分析：由向量的加法进行求解.由题意和向量的加法，得a →+b →表示先向东走3km ，再向北走3km ，即向东北走3√2km . 故选：B.5、在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别满足BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗．若BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μAF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则实数λ＋μ的值为（）A ．−15B ．15C ．−75D ．75答案：B解析：设AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a →，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b →，由BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，得到AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a →+12b →，AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13a →+b →，结合平面向量的基本定理，化简得到−a →+b →=(λ+13μ)a →+(12λ+μ)b →，即可求解. 由题意，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a →，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b →，则在平行四边形ABCD 中，因为BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以点E 为BC 的中点，点F 在线段DC 上，且CF =2DF ，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a →+12b →，AF⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13a →+b →，又因为BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μAF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b →−a →，所以−a →+b →=λAE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μAF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ(a →+12b →)+μ(13a →+b →)=(λ+13μ)a →+(12λ+μ)b →，所以{λ+13μ=−112λ+μ=1，解得{λ=−85μ=95，所以λ+μ=15。

高中数学必修二第六章平面向量及其应用知识点梳理(带答案)

高中数学必修二第六章平面向量及其应用知识点梳理单选题1、如图，四边形ABCD 是平行四边形，则12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =（）A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．CD ⃑⃑⃑⃑⃑C ．CB ⃑⃑⃑⃑⃑D ．AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：D分析：由平面向量的加减法法则进行计算. 由题意得AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=AD ⃑⃑⃑⃑⃑ . 故选：D.2、若|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=5，|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=8，则|BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |的取值范围是（） A ．[3,8]B ．(3,8) C ．[3,13]D ．(3,13) 答案：C分析：利用向量模的三角不等式可求得|BC⃑⃑⃑⃑⃑ |的取值范围. 因为|BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |，所以，||AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |−|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ||≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |≤|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |+|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |，即3≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |≤13. 故选：C.3、已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2=a (a +c )，则asinAbcosA−acosB 的取值范围是（） A ．(0,√22)B ．(0,√32)C ．(12,√22)D ．(12,√32) 答案：C分析：由b 2=a(a +c)利用余弦定理，可得c −a =2acosB ，正弦定理边化角，在消去C ，可得sin(B −A)=sinA ，利用三角形ABC 是锐角三角形，结合三角函数的有界限，可得asinAbcosA−acosB 的取值范围．由b 2=a(a +c)及余弦定理，可得c −a =2acosB正弦定理边化角，得sinC −sinA =2sinAcosB∵A +B +C =π∴sin(B +A)−sinA =2sinAcosB∴sin(B −A)=sinA∵ABC 是锐角三角形， ∴B −A =A ，即B =2A ． ∵0<B <π2，π2<A +B <π，那么：π6<A <π4则asinAbcosA−acosB =sin 2Asin(B−A)=sinA ∈(12，√22) 故选：C小提示：方法点睛：解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.4、在△ABC 中，AB =3，AC =2，∠BAC =60°，点P 是△ABC 内一点（含边界），若AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =23AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +λAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ |的最大值为（） A ．2√73B ．83C ．2√193D ．2√133答案：D分析：以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立坐标系，设点P 为(x,y)，根据向量的坐标运算可得y =√3(x −2)，当直线y =√3(x −2)与直线BC 相交时|AP⃑⃑⃑⃑⃑ |最大，问题得以解决以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，∵AB =3，AC =2，∠BAC =60°， ∴A(0,0)，B(3,0)，C(1,√3)，设点P 为(x,y)，0⩽x ⩽3，0⩽y ⩽√3， ∵ AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =23AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +λAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， ∴(x ，y)=23(3，0)+λ(1，√3)=(2+λ，√3λ)， ∴ {x =2+λy =√3λ ， ∴y =√3(x −2)，① 直线BC 的方程为y =−√32(x −3)，②，联立①②，解得{x =73y =√33 ，此时|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ |最大， ∴|AP|=√499+13=2√133，故选：D ．小提示：本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的坐标运算，解题的关键是建立直角坐标系将几何运算转化为坐标运算，同时考查了学生的数形结合的能力，属于中档题5、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a +b )2−c 2=4，C =120°，则△ABC 的面积为（）A ．√33B ．2√33C ．√3D ．2√3答案：C解析：利用余弦定理可求ab 的值，从而可求三角形的面积. 因为C =120°，故c 2=a 2+b 2−2abcos120°=a 2+b 2+ab ，而(a +b )2−c 2=4，故c 2=a 2+b 2+2ab −4=a 2+b 2+ab ，故ab =4，故三角形的面积为12×ab ×sin120°=√34×4=√3，故选：C.6、在△ABC 中，若AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=0，则△ABC 的形状一定是（） A ．等边三角形B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形答案：B分析：先利用数量积运算化简得到accosB =c 2，再利用余弦定理化简得解. 因为AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=0，所以accos(π−B)+c 2=0，所以accosB =c 2，所以ac ×a 2+c 2−b 22ac =c 2，所以b 2+c 2=a 2，所以三角形是直角三角形. 故选：B7、2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影A ′,B ′,C ′满足∠A′C′B′=45°，∠A′B ′C ′=60°．由C 点测得B 点的仰角为15°，BB ′与CC ′的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45°，则A ，C 两点到水平面A ′B ′C ′的高度差AA ′−CC ′约为（√3≈1.732）（）A．346B．373C．446D．473答案：B分析：通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得A′B′，进而得到答案．过C作CH⊥BB′，过B作BD⊥AA′，故AA′−CC′=AA′−(BB′−BH)=AA′−BB′+100=AD+100，由题，易知△ADB为等腰直角三角形，所以AD=DB．所以AA′−CC′=DB+100=A′B′+100．因为∠BCH=15°，所以CH=C′B′=100tan15°在△A′B′C′中，由正弦定理得：A′B′sin45°=C′B′sin75°=100tan15°cos15°=100sin15°，而sin15°=sin(45°−30°)=sin45°cos30°−cos45°sin30°=√6−√24，所以A′B′=100×4×√2 2√6−√2=100(√3+1)≈273，所以AA′−CC′=A′B′+100≈373．故选：B ．小提示：本题关键点在于如何正确将AA′−CC′的长度通过作辅助线的方式转化为A′B′+100．8、已知直角三角形ABC 中，∠A =90°，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值为（）A ．16+16√55B ．16+8√55C ．165D ．565答案：D分析：建立如图所示的坐标系，根据PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−5可求其最大值. 以A 为原点建系，B (0,2),C (4,0)，BC:x4+y2=1，即x +2y −4=0，故圆的半径为r =√5∴圆A:x 2+y 2=165，设BC 中点为D (2,1)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·PC⃑⃑⃑⃑⃑ =PD ⃑⃑⃑⃑⃑ 2−14BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−14×20=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−5， |PD |max =|AD |+r =√5+√5=√5，∴(PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·PC ⃑⃑⃑⃑⃑ )max =815−5=565，故选：D. 多选题9、下列说法正确的有（）A ．若a //b ⃑ ，b ⃑ //c ，则a //cB ．若a =b ⃑ ，b ⃑ =c ，则a =cC ．若a //b ⃑ ，则a 与b ⃑ 的方向相同或相反D ．若AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 、BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 共线，则A 、B 、C 三点共线答案：BD分析：取b ⃑ =0⃑ 可判断AC 选项的正误；利用向量相等的定义可判断B 选项的正误；利用共线向量的定义可判断D 选项的正误.对于A 选项，若b ⃑ =0⃑ ，a 、c 均为非零向量，则a //b ⃑ ，b ⃑ //c 成立，但a //c 不一定成立，A 错；对于B 选项，若a =b ⃑ ，b ⃑ =c ，则a =c ，B 对；对于C 选项，若b ⃑ =0⃑ ，a ≠0⃑ ，则b ⃑ 的方向任意，C 错；对于D 选项，若AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 、BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 共线且AB 、BC 共点B ，则A 、B 、C 三点共线，D 对. 故选：BD.10、（多选）已知向量a ⃗，b ⃑⃗，在下列命题中正确的是（） A ．若|a ⃗|>|b ⃑⃗|，则a ⃗>b ⃑⃗B ．若|a ⃗|=|b ⃑⃗|，则a ⃗=b ⃑⃗ C ．若a ⃗=b ⃑⃗，则a ⃗//b ⃑⃗D ．若|a ⃗|=0，则a ⃗=0 答案：CD分析：根据向量相等和模值相等的区别分析四个选项便可得出答案. 解：向量的模值可以比较大小，但是向量不能比较大小，故A 错；向量的模值相等，只能证明大小相等并不能说明方向也相同，故B 错；两个向量相等，这两个向量平行，所以C 正确；模值为零的向量为零向量，故D 正确故选：CD11、如图所示，四边形ABCD 为梯形，其中AB ∥CD ，AB =2CD ，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则下列结论正确的是（）A ．AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AB⃑⃑⃑⃑⃑ B ．MC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BC ⃑⃑⃑⃑⃑ C ．MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AB ⃑⃑⃑⃑⃑ D ．BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：ABD解析：根据向量运算法则依次计算每个选项得到答案.AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +DC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AB⃑⃑⃑⃑⃑ ，A 正确； MC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =12BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =12(BC ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )+AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，B 正确； MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +DN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −14AB⃑⃑⃑⃑⃑ ，C 错误； BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +DC ⃑⃑⃑⃑⃑ =−AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −12AB⃑⃑⃑⃑⃑ ，D 正确. 故选：ABD .小提示：本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力. 填空题12、已知|OA⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=|OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=1，若存在m,n ∈R ，使得mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗与nAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗夹角为60∘，且|(mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)−(nAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)|=12，则|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|的最小值为___________. 答案：√132分析：设a ⃗=OA ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，b ⃑⃗=OB ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=nAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗可得A,A ′,B,B ′共线，又|a ⃗−b⃑⃗|=|B ′A ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=12，当|B ′A ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=12为最小时|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|最小，而此时A ′、B ′关于y 轴对称，结合已知即可求|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|的最小值. 由题意，AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗=OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，∴令a ⃗=OA ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(1−m)OA⃑⃑⃑⃑⃑⃗+mOB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，b ⃑⃗=OB ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=nAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(1+n)OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−nOA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，故有A,A ′,B,B ′共线，∵|a →−b →|=|B ′A ′→|=12，故当且仅当|B′A ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=12为最小时，|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|最小， ∴有A ′、B ′关于y 轴对称时，|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|最小，此时O 到AB 的距离为√3⋅|B ′A ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|2=√34， ∴|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|2=√1−316=√134，即|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=√132.所以答案是：√132. 小提示：关键点点睛：应用向量的线性关系及共线性质，可知a ⃗=OA ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，b ⃑⃗=OB ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=nAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗、OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗、OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗的终点共线，且|a ⃗−b⃑⃗|=|B ′A ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=12可分析得A ′、B ′关于y 轴对称时，|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|最小，进而求最小值即可. 13、设向量m ⃑⃑ =2a −3b ⃑ ,n ⃑ =4a −2b ⃑ ,p =3a +2b ⃑ ，若用m ⃑⃑ ,n ⃑ 表示p ，则p =________. 答案：−74m ⃑⃑ +138n ⃑分析：根据平面向量基本定理进行求解即可.设p⃗=xm⃑⃑⃗+yn⃑⃗，则有p⃗=3a⃗+2b⃑⃗=x(2a⃗−3b⃑⃗)+y(4a⃗−2b⃑⃗)=(2x+4y)a⃗+(−3x−2y)b⃑⃗，得{2x+4y=3−3x−2y=2⇒{x=−74,y=138.，所以p⃗=−74m⃑⃑⃗+138n⃑⃗，所以答案是：−74m⃑⃑⃗+138n⃑⃗14、海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD=45m，∠ADB=135°，∠BDC=∠DCA=15°，∠ACB=120°，则AB两点的距离为______m．答案：45√5分析：先将实际问题转化为解三角形的问题，再利用正、余弦定理求解。

厚学高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案重点知识点大全

(名师选题)厚学高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案重点知识点大全单选题1、在正方形ABCD 中，BC ⃑⃑⃑⃑⃑ −DC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =（） A ．BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ B ．DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ C ．AD ⃑⃑⃑⃑⃑ D ．DA ⃑⃑⃑⃑⃑2、在△ABC 中，已知a =11，b =20，A =130°，则此三角形（） A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定3、已知平面向量a ⃗,b ⃑⃗满足|a ⃗|=√2,|b ⃑⃗|=1,a ⃗⊥(a ⃗+2b ⃑⃗)，则向量a ⃗,b ⃑⃗的夹角为（） A ．π3B ．π4C ．2π3D ．3π44、若z(1+i 3)=i ，则在复平面内复数z 对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5、已知菱形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 为AO 的中点，若AB =2，∠BAD =60°，则AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅DE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=（） A ．−2B ．−12C ．−72D ．126、已知向量a ，b ⃑ 满足|a |=√3，|b ⃑ |=2，且a ⊥(a −b ⃑ )，则a 与b ⃑ 的夹角为（） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°7、“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36°的等腰三角形，暂且称为“黄金三角形A ”．如图所示，已知五角星是由5个“黄金三角形A ”与1个正五边形组成，其中sin18°=√5−14，则阴影部分面积与五角形面积的比值为（）．A ．√5−14B ．√55C ．√5+16D ．3√5208、设λ为实数，已知向量m ⃑⃑⃗=(-1，2)，n ⃑⃗=(1，λ).若m ⃑⃑ ⊥n ⃑ ，则向量m →+2n ⃑⃗与m →之间的夹角为（） A ．π4B ．π3C ．2π3D ．3π4 填空题9、已知A ，B 为x ，y 正半轴上的动点，且|AB|=4，O 为坐标原点，现以|AB|为边长在第一象限做正方形ABCD ，则OC⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值为___________. 10、在直角坐标系中，O 为原点,O 、A 、B 不共线，xOA⃑⃑⃑⃑⃑ +yOB ⃑⃑⃑⃑⃑ =2AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则x +y =________ 11、设向量a ⃗=(1,−1),b ⃑⃗=(m +1,2m −4)，若a ⃗⊥b ⃑⃗，则m =______________. 解答题12、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，csinA +√3asin (C +π2)=0，c =6. （1）求△ABC 外接圆的面积；（2）若c =√3b ，AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =13AB⃑⃑⃑⃑⃑ ，求△ACM 的周长. 13、设向量a =(−1,2)，b ⃑ =(1,−1)，c =(4,−5). (1)求|a +2b⃑ |； (2)若c =λa +μb⃑ ，λ,μ∈R ，求λ+μ的值； (3)若AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =a +b ⃑ ，BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =a −2b ⃑ ，CD ⃑⃑⃑⃑⃑ =4a −2b ⃑ ，求证：A ，C ，D 三点共线.厚学高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案(五)参考答案1、答案：C分析：根据平面向量加减运算法则计算可得.解：BC ⃑⃑⃑⃑⃑ −DC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +CD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ . 故选：C. 2、答案：A分析：根据三角形大边对大角（小边对小角）和三角形内角和为180°，即可判断解的情况. ∵a <b ，∴A <B ，又∵A =130°，∴A +B +C >180°，故此三角形无解．故选:A. 3、答案：D解析：利用a ⃗⋅(a ⃗+2b ⃑⃗)=0求出a ⃗⋅b ⃑⃗，再求出夹角的余弦，再得到夹角即可. ∵a ⃗⊥(a ⃗+2b ⃑⃗),∴a ⃗⋅(a ⃗+2b ⃑⃗)=0，即a ⃗2+2a ⃗⋅b ⃑⃗=0,∴a ⃗⋅b ⃑⃗=−1， ∴cos〈a ⃗,b ⃑⃗〉=a⃑⃗⋅b ⃑⃗|a⃑⃗||b ⃑⃗|=√2×1=−√22．∵〈a ⃗,b ⃑⃗〉∈[0,π],∴〈a ⃗,b ⃑⃗〉=3π4．故选：D ． 4、答案：B分析：先利用复数的除法化简，再利用复数的几何意义判断. 因为z(1−i )=i ，所以z =i 1−i=i (1+i )2=−1+i 2，故z 对应的点位于复平面内第二象限．故选：B ． 5、答案：B分析：根据题意,以对角线交点为坐标原点，对角线所在直线为x,y 轴建立直角坐标系,利用坐标法求解. 解：如图，以点O 为坐标原点，OD,OA 所在直线为x,y 轴建立平面直角坐标系，由AB =2，∠BAD =60°，所以A(0,√3)，B(−1,0)，D(1,0)，E(0,√32)，所以AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(−1,−√3),DE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(−1,√32)，所以AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅DE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=1−32=−12. 故选：B小提示：本题考查向量的数量积运算，解题的关键在于根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标法求解，考查运算求解能力，是中档题. 6、答案：A分析：利用数量积的定义，即可求解.解：a ⊥(a −b ⃑ ),所以a ⋅(a −b ⃑ )=0,即|a →|2−|a →||b →|cos <a →,b →>=0，解得cos <a →,b →>=√32,又因为向量夹角的范围为[0°,180°]，则a 与b⃑ 的夹角为30°，故选：A. 7、答案：B分析：在三角形ABC中，由sin18°值，可得BCAC =√5−12，即BDAB=√5−12，设△ABC的面积为x，由此可知△BCD和△CEF的面积均为√5−12x，△CDE的面积为x，由此即可求出结果. 如图所示，依题意，在三角形ABC中，sin18°=BC2AC=√5−14，故BCAC=√5−12；所以BDAB =√5−12，设△ABC的面积为x，则△BCD面积为√5−12x，同理△CEF的面积为√5−12x，△CDE的面积为x，则阴影部分面积与五角形面积的比值为2x+2⋅√5−1 2x2⋅√5−12x+6x=√55.故选：B．8、答案：A解析：根据向量垂直的坐标运算解得λ=12，再运用向量夹角的坐标运算公式可得选项.因为向量m⃑⃑⃗=(−1,2),n⃑⃗=(1,λ)，若m⃑⃑ ⊥n⃑，则m⃑⃑⃗⋅n⃑⃗=−1×1+2λ=0，解得λ=12，所以m⃑⃑⃗+2n⃑⃗=(1,3)，所以(m⃑⃑⃗+2n⃑⃗)⋅m⃑⃑⃗=1×(−1)+3×2=5，|m⃑⃑⃗+2n⃑⃗|=√12+32=√10，|m⃑⃑⃗|=√(−1)2+22=√5，设向量m⃑⃑ +2n⃑⃗与m⃑⃑ 之间的夹角θ，则0≤θ≤π，∴cosθ=(m⃑⃑⃑⃗+2n⃑⃗)⋅m⃑⃑⃑⃗|m⃑⃑⃑⃗+2n⃑⃗|×|m⃑⃑⃑⃗|=√10×√5=√22，所以向量m⃑⃑ +2n⃑⃗与m⃑⃑ 之间的夹角为π4. 故选：A.9、答案：32分析：建立平面直角坐标系，设出角度和边长，表达出C,D 点坐标，进而表达出OC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，利用三角函数换元，求出最大值.如图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点C 作CF ⊥y 轴于点F ，设∠DAE =θ，（θ∈[0,π2]），则由三角形全等可知∠BCF =θ，设OA =m ，OB =n ，则m 2+n 2=AB 2=16，则D (m +4cosθ,4sinθ)，C (4cosθ,n +4sinθ)，则OC⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =4cosθ(m +4cosθ)+4sinθ(n +4sinθ)=16+4mcosθ+4nsinθ，令m =4cosφ，n =4sinφ，则OC⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =16+16cosφcosθ+16sinφsinθ=16+16cos (θ−φ)，当cos (θ−φ)=1时，OC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 取得最大值，最大值为32所以答案是：32 10、答案：0解析：根据向量的线性运算求出(x +2)OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +(y −2)OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0⃑⃗，根据对应关系求出x +y 的值即可． ∵ xOA⃑⃑⃑⃑⃑ +yOB ⃑⃑⃑⃑⃑ =2AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ， ∴xOA ⃑⃑⃑⃑⃑ +yOB ⃑⃑⃑⃑⃑ =2(OB ⃑⃑⃑⃑⃑ −OA ⃑⃑⃑⃑⃑ )， ∴(x +2)OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +(y −2)OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0⃑⃗， ∴x =−2，y =2，x +y =0. 所以答案是：0． 11、答案：5分析：根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.由a⃗⊥b⃑⃗可得a⃗⋅b⃑⃗=0，又因为a⃗=(1,−1),b⃑⃗=(m+1,2m−4)，所以a⃗⋅b⃑⃗=1⋅(m+1)+(−1)⋅(2m−4)=0，即m=5，所以答案是：5.小提示：本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.12、答案：（1）12π；（2）4+2√3.分析：（1）先利用诱导公式将原式化简，再运用正弦定理进行边角互化，得出角C的大小，然后运用正弦定理csinC=2R求解外接圆的半径，从而得出外接圆的面积.（2）由c=6及c=√3b可解出b，sinB的大小，得出角B的大小，进而得出角A，然后在△ACM中，由余弦定理可解得CM的值，得出△ACM的周长.（1）∵csinA+√3asin(C+π2)=0，∴csinA+√3acosC=0，由正弦定理得：sinCsinA+√3sinAcosC=0，因为sinA≠0，所以sinC+√3cosC=0，得tanC=−√3，又0<C<π，故C=2π3，∴△ABC外接圆的半径R=12⋅csinC=12×√32=2√3，∴△ABC外接圆的面积为12π.（2）由c=6及c=√3b得：b=2√3，sinB=√3=√32√3=12，∵C=2π3，则B为锐角，∴B=π6，故A=π−B−C=π6.如图所示，在△ACM中，由余弦定理得，CM2=AM2+AC2−2AM⋅AC⋅cosA=22+(2√3)2−2×2×2√3×√32=4，解得CM=2，则△ACM 的周长为4+2√3.小提示：解三角形时，若题目所给式子中含有角的余弦或边的二次式，则考虑用余弦定理；若式子中含有角的正弦或者边的一次式时，则考虑用正弦定理；若以上特征不明显，则两个定理都有可能用到. 13、答案：(1)1 (2)2(3)证明见解析分析：（1）先求a +2b ⃑ =(1,0)，进而求|a +2b⃑ |；（2）列出方程组，求出{λ=−1μ=3 ，进而求出λ+μ；（3）求出AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =2a −b ⃑ ，从而得到CD ⃑⃑⃑⃑⃑ =4a −2b ⃑ =2AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，得到结果. （1）a +2b ⃑ =(−1,2)+(2,−2)=(1,0)，|a +2b⃑ |=√1+0=1；（2）(4,−5)=λ(−1,2)+μ(1,−1)，所以{−λ+μ=42λ−μ=−5，解得：{λ=−1μ=3，所以λ+μ=2；（3）因为AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =a +b ⃑ +a −2b ⃑ =2a −b ⃑ ，所以CD ⃑⃑⃑⃑⃑ =4a −2b ⃑ =2AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以A ，C ，D 三点共线.。

高中数学必修二第六章平面向量及其应用知识点归纳超级精简版(带答案)

高中数学必修二第六章平面向量及其应用知识点归纳超级精简版单选题1、已知向量a ⃑，b ⃑⃑满足|a ⃑|=√3，|b ⃑⃑|=2，且a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑)，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为（） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：A分析：利用数量积的定义，即可求解.解：a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑),所以a ⃑⋅(a ⃑−b ⃑⃑)=0,即|a →|2−|a →||b →|cos <a →,b →>=0，解得cos <a →,b →>=√32,又因为向量夹角的范围为[0°,180°]，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为30°，故选：A.2、“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36°的等腰三角形，暂且称为“黄金三角形A ”．如图所示，已知五角星是由5个“黄金三角形A ”与1个正五边形组成，其中sin18°=√5−14，则阴影部分面积与五角形面积的比值为（）．A ．√5−14B ．√55C ．√5+16D ．3√520答案：B分析：在三角形ABC 中，由sin18°值，可得BCAC =√5−12，即BD AB=√5−12，设△ABC 的面积为x ，由此可知△BCD 和△CEF 的面积均为√5−12x ，△CDE 的面积为x ，由此即可求出结果.如图所示，依题意，在三角形ABC 中，sin18°=BC 2AC=√5−14，故BC AC=√5−12；所以BDAB =√5−12，设△ABC 的面积为x ，则△BCD 面积为√5−12x ，同理△CEF 的面积为√5−12x ， △CDE 的面积为x ，则阴影部分面积与五角形面积的比值为2x+2⋅√5−12x 2⋅√5−12x+6x=√55. 故选：B ．3、在△ABC 中，已知AB =6，AC =2，且满足DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，若线段CD 和线段BE 的交点为P ，则AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅(CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=（）. A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：B分析：待定系数法将AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑向量分解，由平面向量共线定理求出系数，然后代回原式计算设AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑=xAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+yAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，由DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑知AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3xAD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+yAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∵D ，P ，C 三点共线，∴3x +y =1①，由AE⃑⃑⃑⃑⃑⃑=EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑知AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=xAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+2yAE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∵B ，P ，E 三点共线，∴x +2y =1②，由①②得：x =15.y =25，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=15AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+25AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，而CA⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−2AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， ∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅(CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=(15AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+25AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−2AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=15(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2−4AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2)=15×(62−4×22)=4 故选：B4、已知平面向量a ⃑＝(1，2)，b ⃑⃑＝(－2，m )，且a ⃑∥b ⃑⃑，则2a ⃑＋3b ⃑⃑＝( ) A ．(－4，－8)B ．(－8，－16) C ．(4，8)D ．(8，16) 答案：A分析：根据向量平行的坐标表示求出m ，再根据向量线性运算得坐标表示即可求解. ∵a ⃑∥b ⃑⃑，∴1×m ＝2×(－2)，∴m ＝－4，∴b ⃑⃑＝(－2，－4)， ∴2a ⃑＋3b ⃑⃑＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．故选：A.5、已知向量a ⃑=(−1,m )，b ⃑⃑=(m +1,2)，且a ⃑⊥b ⃑⃑，则m =（） A ．2B ．−2C ．1D ．−1 答案：C分析：由向量垂直的坐标表示计算．由题意得a ⃑⋅b ⃑⃑=−m −1+2m =0，解得m =1 故选：C ．6、在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（）A ．19B ．13C ．12D ．23答案：A分析：根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC，即可求得答案.∵在△ABC 中，cosC =23，AC =4，BC =3根据余弦定理：AB 2=AC 2+BC 2−2AC ⋅BC ⋅cosCAB 2=42+32−2×4×3×23可得AB 2=9 ，即AB =3 由∵ cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC=9+9−162×3×3=19故cosB =19.故选：A.小提示：本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 7、在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若A =45°,B =60°,b =2√3，则c 等于（） A ．√6−√24B ．√6+√24C ．√6−√2D ．√6+√2答案：D分析：先求出C ，再由正弦定理求解即可. 解：在△ABC 中，C =180°−45°−60°=75°．由正弦定理可知csinC =bsinB ，所以csin75°=2√3sin60°，故c =2√3sin75°sin60°=4sin75°=4sin(30°+45°)=4×√6+√24=√6+√2．故选：D.8、已知向量|a ⃑|=2,|b ⃑⃑|=4，且a ⃑,b ⃑⃑不是方向相反的向量，则|a ⃑−b ⃑⃑|的取值范围是（） A ．(2,6)B ．[2,6) C ．(2,6]D ．[2,6] 答案：B分析：直接由||a ⃑|−|b ⃑⃑||≤|a ⃑−b ⃑⃑|<|a ⃑|+|b⃑⃑|求解即可. 由已知必有||a ⃑|−|b ⃑⃑||≤|a ⃑−b ⃑⃑|<|a ⃑|+|b ⃑⃑|，则所求的取值范围是[2,6)．故选：B. 多选题9、如果平面向量a ⃗=(2,−4)，b ⃑⃗=(−6,12)，那么下列结论中正确的是（） A ．|b ⃑⃗|=3|a ⃗|B ．a ⃗//b⃑⃗ C ．a ⃗与b ⃑⃗的夹角为30°D ．a ⃗在b ⃑⃗方向上的投影为2√5 答案：AB分析：根据向量坐标运算及向量共线的意义可得解.因为a ⃗=(2,−4)，b ⃑⃗=(−6,12)，所以b ⃑⃗=−3a ⃗．在A 中，由b ⃑⃗=−3a ⃗，可得|b ⃑⃗|=3|a ⃗|，故A 正确；在B 中，由b ⃑⃗=−3a ⃗，可得a ⃗//b⃑⃗，故B 正确；在C 中，由b ⃑⃗=−3a ⃗，可得a ⃗与b⃑⃗的夹角为180°，故C 错误；在D 中，a ⃗在b ⃑⃗方向上的投影为a ⃑⃗⋅b ⃑⃗|b ⃑⃗|=22=−2√5，故D 错误．故选:AB ．10、ΔABC 是边长为3的等边三角形，已知向量a ⃑、b ⃑⃑满足AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑+b ⃑⃑，则下列结论中正确的有（） A ．a ⃑为单位向量B ．b ⃑⃑//BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑C ．a ⃑⊥b ⃑⃑D ．(6a ⃑+b ⃑⃑)⊥BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：ABD解析：求出|a ⃑|可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ⃑⃑，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a ⃑⋅b ⃑⃑，可判断C 选项的正误；计算出(6a ⃑+b⃑⃑)⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 对于A 选项，∵AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑，∴a ⃑=13AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则|a ⃑|=13|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=1，A 选项正确；对于B 选项，∵AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑+b ⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+b ⃑⃑，∴b ⃑⃑=AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∴b ⃑⃑//BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，B 选项正确；对于C 选项，a ⃑⋅b ⃑⃑=13AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=13×32×cos 2π3≠0，所以a ⃑与b ⃑⃑不垂直，C 选项错误；对于D 选项，(6a ⃑+b ⃑⃑)⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)⋅(AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2=0，所以，(6a ⃑+b ⃑⃑)⊥BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，D 选项正确. 故选：ABD.小提示：本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.11、在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为△ABC 的重心，则下述结论中正确的是（） A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑B ．AG⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑) C ．AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑⃑D ．GA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+GB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+GC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑⃑ 答案：CD分析：根据向量的加法运算、相反向量、中线的向量表示，重心的性质分别计算求解. 由D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为△ABC 的重心，因为AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AC →≠CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，故A 错误；由12(AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=AD →≠AG →, 故B 错误；因为AF ⃑+BD ⃑+CE ⃑=12(AB →+BC →+CA →)=0⃑, 故C 正确；因为GA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+GB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+GC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−23[12(AB →+AC →)+12(BA →+BC →)+12(CA →+CB →)] =−13(AB →+BA →+BC →+CB →+AC →+CA →)=0→, 故D 正确. 故选：CD 填空题12、在△ABC 中， a ＝5，b ＝5√3，A ＝30°，则B ＝________. 答案：60°或120°分析：利用正弦定理求得sinB ，由此求得B . 由正弦定理得asinA=b sinB，即5sin30°=5√3sinB ⇒sinB =√32，由于0°<B <180°，所以B =60°或B =120°. 所以答案是：60°或120°13、在△ABC 中，cos∠BAC =−13，AC ＝2，D 是边BC 上的点，且BD ＝2DC ，AD ＝DC ，则AB 等于 ___．答案：3分析：运用余弦定理，通过解方程组进行求解即可. 设DC =x,AB =y ，因为BD ＝2DC ，AD ＝DC ，所以BC =3x,AD =DC =x ，在△ADC 中，由余弦定理可知：cosC =AC 2+CD 2−AD 22AC⋅DC =4+x 2−x 24x=1x ，在△ABC 中，由余弦定理可知：cosC =AC 2+CB 2−AB 22AC⋅BC=4+9x 2−y 212x，于是有4+9x 2−y 212x=1x ⇒9x 2−y 2=8(1)，在△ABC 中，由余弦定理可知：cosA =AB 2+CA 2−CB 22AB⋅AC=y 2+4−9x 24y=−13，⇒27x 2−3y 2−4y =12(2)，把(1)代入(2)中得，y =3，所以答案是：314、在△ABC 中，P 是BC 上一点，若BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+μAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则2λ+μ=___________. 答案：43##113分析：根据给定条件，用向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑表示向量AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，再利用平面向量基本定理求解作答. 在△ABC 中，BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23(AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑) =13AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，又AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+μAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，且AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑不共线，则λ=13,μ=23，所以2λ+μ=43. 所以答案是：43解答题15、已知函数f (x )=4cosxsin (x −π3)+√3．（Ⅰ）求函数f (x )在区间[π4,π2]上的值域．（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c ，若角C 为锐角，f (C )=√3，且c =2，求△ABC 面积的最大值．答案：（Ⅰ）[1,2]；（Ⅱ）√3分析：（Ⅰ）利用差角的正弦公式、辅助角公式化简函数，结合正弦函数的性质，可得函数f(x)在区间[π4，π2]上的值域；（Ⅱ）先求出C ，再利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得△ABC 面积的最大值．解：（Ⅰ）f(x)=4cosxsin(x −π3)+√3=4cosx (sinxcos π3−cosxsin π3)+√3=4cosx (12sinx −√32cosx)+√3=2sinxcosx −2√3cos 2x +√3=sin2x −√3cos2x =2sin(2x −π3)，由π4⩽x⩽π2，有π6⩽2x−π3⩽2π3，所以12≤sin(2x−π3)≤1∴函数f(x)的值域为[1,2]．（Ⅱ）由f(C)=√3，有sin(2C−π3)=√32，∵C为锐角，∴2C−π3=π3，∴C=π3．∵c=2，∴由余弦定理得：a2+b2−ab=4，∵a2+b2⩾2ab，∴4=a2+b2−ab⩾ab．∴S△ABC=12absinC=√34ab⩽√3，∴当a=b，即△ABC为正三角形时，△ABC的面积有最大值√3．。

高中数学必修二 6 平面向量的共线定理、量积(精讲)(含答案)

因为
由可得，，
所以三点共线，因为，
所以点在射线上，
所以点的轨迹一定通过的重心，
故选：C.
4．(2021·全国·高一专题练习)已知点在△ 所在平面内，且，则点依次是△ 的( )
A．重心外心B．重心内心C．外心重心D．外心内心
【答案】C
【解析】∵ ，
∴ 到△ 的三个顶点的距离相等，故是△ 的外心，
(2)(2021·上海·高一课时练习)已知向量，的夹角为，，，则等于( )
A．7B．6C．5D．4
(3)(2021·河北·正定中学高一月考)已知平面向量，则的最大值( )
A． B． C． D．
【答案】(1)C(2)A(3)A
【解析】(1)因为向量与的夹角为60°，，，
所以，即，
于是的取值范围是 .
考点二共线定理的应用
【例2】(2021·上海市奉贤中学高一期中)设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】延长到，使，延长到，使，连接，
因为，所以，
所以为的重心，
所以设，则， ,
所以 ,
【答案】
【解析】因为，，，所以，
所以在上的投影向量为，
故答案为： .
考点七向量的综合运用
【例7】(2021·上海·高一课时练习)设是两个非零向量，则下列命题为真命题的是( )
A．若，则 B．若，则
C．若，则存在实数λ，使得 D．若存在实数λ，使得，则
【答案】C
【解析】对于A，若，则，
所以，

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高中数学--平面向量一、本章知识结构：二、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。

3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。

4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。

7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。

8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。

三、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.3.向量在空间中的应用（在B类教材中）.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。

对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。

本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。

总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。

考查的重点是基础知识和基本技能。

[来源:学.科.网]四、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。

在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。

二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。

在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力。

五、典型例题平面向量【例1】在下列各命题中为真命题的是( ) ①若a =(x 1,y 1)、b =(x 2,y 2)，则a ·b =x 1y 1+x 2y 2②若A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，则｜AB ｜=221221)()(y y x x -+-③若a =(x 1,y 1)、b =(x 2,y 2),则a ·b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0 ④若a =(x 1,y 1)、b =(x 2,y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0 A 、①② B 、②③ C 、③④ D 、①④解：根据向量数量积的坐标表示；若a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)，则a ·b =x 1x 2+y 1y 2，对照命题(1)的结论可知，它是一个假命题、于是对照选择支的结论、可以排除(A)与(D)，而在(B)与(C)中均含有(3)、故不必对(3)进行判定，它一定是正确的、对命题(2)而言，它就是两点间距离公式，故它是真命题，这样就以排除了(C)，应选择(B)、说明：对于命题(3)而言，由于a ·b =0⇔a =0或b =0或a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0，故它是一个真命题、而对于命题(4)来讲，a ⊥b ⇒x 1x 2+y 1y 2=0、但反过来，当x 1x 2+y 1y 2=0时，可以是x 1=y 1=0，即a =0，而我们的教科书并没有对零向量是否与其它向量垂直作出规定，因此x 1x 2+y 1y 2=0⇒/a ⊥b )，所以命题(4)是个假命题、【例2】已知a =(－3,－1), b =(1,3)，那么a ，b 的夹角θ=( )A 、30°B 、60°C 、120°D 、150°解：a ·b =(－3,－1)·(1，3)=－23｜a ｜=22)1()3(-+-=2 ｜b ｜=22)3(1+=2 ∴cosθ=ba b a ∙∙=2232⨯-=23-【例3】已知a =(2,1), b =(－1,3),若存在向量c 使得：a ·c =4, b ·c =－9，试求向量c 的坐标、解：设c =(x ,y ),则由a ·c =4可得：2x +y =4；又由b ·c =－9可得：－x +3y =－9 于是有：⎩⎨⎧=+-=+9342y x y x)2()1(由(1)+2(2)得7y =－14,∴y =－2,将它代入(1)可得：x =3 ∴c =(3,－2)、说明：已知两向量a ，b 可以求出它们的数量积a ·b ，但是反过来，若已知向量a 及数量积a ·b ，却不能确定b 、【例4】求向量a =(1,2)在向量b =(2，－2)方向上的投影、解：设向量a 与b 的夹角θ、有cosθ=ba b a ∙∙ =2222)2(221)2(221-++-⨯+⨯=－1010∴a 在b 方向上的投影=｜a ｜cosθ=5×(－1010)=－22【例5】已知△ABC 的顶点分别为A(2，1)，B(3，2)，C(－3，－1)，BC 边上的高AD ，求AD 及点D 的坐标、解：设点D 的坐标为(x ,y ) ∵AD 是边BC 上的高， ∴AD ⊥BC ，∴AD ⊥BC 又∵C 、B 、D 三点共线，∴BC ∥BD又AD =(x －2,y －1), BC =(－6,－3) BD =(x －3,y －2)∴⎩⎨⎧=-+--=----0)3(3)2(60)1(3)2(6x y y x 解方程组，得x =59,y =57∴点D 的坐标为(59，57)，AD 的坐标为(－51，52)【例6】设向量a 、b 满足：｜a ｜＝｜b ｜=1，且a +b =(1，0)，求a ，b 、解：∵｜a ｜＝｜b ｜=1，∴可设a =(cosα,sinα), b =(cosβ,sinβ)、 ∵a +b =(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(1,0)，⎩⎨⎧=+=+)2(0βsin αsin )1(1βcos αcos由(1)得：cosα=1－cosβ……(3) 由(2)得：sinα=－sinβ……(4) ∴cosα=1－cosβ=21∴sinα=±23,sinβ= 23⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=23,2123,21b a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=23,2123,21b a【例7】对于向量的集合A={v =(x ,y )｜x 2+y 2≤1}中的任意两个向量1v 、2v 与两个非负实数α、β；求证：向量α1v +β2v 的大小不超过α+β、证明：设1v =(x 1,y 1)，2v =(x 2,y 2) 根据已知条件有：x 21+y 21≤1,x 22+y 22≤1又因为｜α1v +β2v ｜=221221)βα()βα(y y x x ++=)(αβ2)(β)(α21212222221212y y x x y x y x +++++ 其中x 1x 2+y 1y 2≤2121y x +2222y x +≤1所以｜α1v +β2v ｜≤αβ2βα22++=｜α+β｜=α+β【例8】已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA=21AB 、求证：AC ⊥BC证明：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系、如图，设AD=1 则A(0，0)、B(2，0)、C(1，1)、D(0，1)∴BC =(－1,1), A C=(1,1) BC ·A C=－1×1+1×1=0 ∴BC ⊥AC 、【例9】已知A(0，a ),B(0,b),(0＜a ＜b)，在x 轴的正半轴上求点C ，使∠ACB 最大，并求出最大值、解，设C(x ,0)(x ＞0) 则CA =(－x ,a ), CB =(－x ,b)则CA ·CB =x 2+a b 、 cos ∠ACB=CBCA CB CA ∙∙=22222bxa xab x+++令t=x 2+a b 故cos ∠ACB=11)(1)(1222+∙-+--tb a tb a ab当t1=ab21即t=2a b 时，cos ∠ACB 最大值为ba ab +2、当C 的坐标为(ab ,0)时，∠ACB 最大值为arccosba ab +2、【例10】如图，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线BD 上的一点，PECF 是矩形，用向量法证明(1)PA=EF (2)PA ⊥EF证明：建立如图所示坐标系，设正方形边长为1，｜OP ｜=λ,则A(0，1)，P(22λ，22λ)，E(1，22λ)，F(22λ，0)∴PA =(－22λ,1－22λ), EF =(22λ－1,－22λ)(1)｜PA ｜2=(－22λ)2+(1－22λ)2=λ2－2λ+1｜EF ｜2=(22λ－1)2+(－22λ)2=λ2－2λ+1∴｜PA ｜2=｜EF ｜2,故PA=EF (2) PA ·EF =(－22λ)(22λ－1)+(1－22λ)(－22λ)=0∴PA ⊥EF ∴PA ⊥EF 、【例11】已知).1,2(),0,1(==b a① 求|3|b a+；②当k 为何实数时,k -a b 与b a3+平行, 平行时它们是同向还是反向？解：①b a 3+= (1,0) + 3(2,1) = ( 7,3) , ∴|3|b a+=2237+=58.②k -ab = k(1,0)－(2,1)=(k －2,－1). 设k -a b =λ(b a3+),即(k －2,－1)= λ(7,3),∴⎩⎨⎧=-=-λ31λ72k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⇒31λ31k .故k=31-时, 它们反向平行.【例12】已知,1||,2||==b a a 与b 的夹角为3π,若向量b k a +2与b a +垂直, 求k.解：3πcos ||||b a b a =⋅=2×1×21=1.∵b k a +2与b a+垂直,∴(b k a +2))(b a+⋅= 0 ,∴20222=++⋅+b k b a k b a a ⇒ k = － 5.【例13】如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足b 2 + c 2 = 5a 2,BE 、CF 分别为AC 边与AB 上的中线, 求证：BE ⊥CF. 解：22222222211(),()221()41111[()()(4222BE BA BC C F C B C A BE C F BA BC AB AC BC C B C A BA BC AC AB AC BC BC C A C =+=+∴⋅=-⋅+⋅--⋅=-+-++---+ 22222222)]11(5)(5)0,88B BA AB AC BC b c a -=+-=+-= ∴BE ⊥CF, 即 BE ⊥CF .【例14】是否存在4个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直?解：如图所示，在正△ABC 中，O 为其内心，P 为圆周上一点，满足PA ，PB ，PC ，PO 两两不共线，有 (PA +PB )·(PC +PO )=(PO +OA +PO +OB )·(PO +OC +PO ) =(2PO +OA +OB )·(2PO +OC ) =(2PO －OC )·(2PO +OC ) =4PO 2－OC 2 =4PO 2－OC 2=0有(PA +PB )与(PC +PO )垂直、同理证其他情况、从而PA ，PB ，PC ，PO 满足题意、故存在这样4个平面向量、平面向量的综合应用1．利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题【例1】已知向量321,,OP OP OP 满足条件0321=++OP OP OP ，1321===OP OP OP ，求证：321P P P ∆是正三角形解：令O 为坐标原点，可设()()()333222111sin ,cos ,sin ,cos ,sin ,cos θθθθθθP P P 由321OP OP OP -=+，即()()()332211θsin θcos θsin ,θcos θsin ,θcos --=+⎩⎨⎧-=+-=+321321θsin θsin θsin θcos θcos θcos 两式平方和为()11θθcos 2121=+-+，()21θθcos 21-=-，由此可知21θθ-的最小正角为0120，即1O P 与2O P的夹角为0120，同理可得1OP 与3OP 的夹角为0120，2O P与3O P 的夹角为0120，这说明321,,P P P 三点均匀分部在一个单位圆上，所以321P P P ∆为等腰三角形.【例2】求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数解：如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x 轴、y 轴建立直角坐标系，设()()a B a A 2,0,0,2，则()()a C a D ,0,0,，从而可求：()()a a BD a a AC 2,,,2-=-=,()()aa a a a a BDAC BD AC 552,,2θcos ⋅-⋅-=⋅==545422-=-aa .⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴54arccos θ.2．利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题【例3】已知ABC ∆，AD 为中线，求证()2222221⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=BC ACABAD证明：以B 为坐标原点，以BC 所在的直线为x 轴建立如图2直角坐标系，设()()0,,,c C b a A ，⎪⎭⎫⎝⎛0,2c D ， ① ②则()222222402b a ac c b a c AD++-=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，222221⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+BC ACAB .=()442122222222c ac b a c b a c b a +-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++，从而=2AD222221⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+BC ACAB ， ()2222221⎪⎭⎫⎝⎛-+=BC ACABAD.3．利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量【例4】已知点O 是，，内的一点，090B OC 150AOB =∠=∠∆ABC,,,OA c OC b OB a ===设且,3,1,2===c b a 试用.,c b a 表示和解：以O 为原点，OC ，OB 所在的直线为x 轴和y 轴建立如图3所示的坐标系. 由OA=2，0120=∠AOx ，所以()(),31-A ,120sin 2,120cos 20，即A ，易求()()3,0C 1-0B ，，，设()()()12121212O A ,-130-13,0-3-13.13--3O B O C λλλλλλλλ=+=+⎧==⎧⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩即，，，，133a b c =-- .【例5】如图，001,O B 120O C O A 30,O C 5O A O B O A ===与的夹角为，与的夹角为，用OA OB ，表示.OC 解：以O 为坐标原点，以OA 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，则()0,1A ，()，，即，所以由⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∠25235C ,30sin 5,5cos30C 30COA 0⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23,21B 同理可求 ()121253513O C ,10-,2222O A O B λλλλ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，， .335λ3310λλ2325λ21-λ23521221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==， OB OA OC 3353310+=∴.4．利用向量的数量积解决两直线垂直问题【例6】如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面 ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD . (1)求证：C 1C ⊥BD . (2)当1CC CD 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明.(1)证明：设CD =a , CD =b ,1CC =c ,依题意，|a |=|b |，CD 、C B 、 1CC中两两所成夹角为θ，于是DB CD BD -==a －b ，BD CC ⋅1=c (a －b )=c ·a －c ·b =|c |·|a |cos θ－|c |·|b |cos θ=0,∴C 1C ⊥BD .(2)解：若使A 1C ⊥平面C 1BD ，只须证A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DC 1，由)()(1111CC CD AA CA D C CA -⋅+=⋅=(a +b +c )·(a －c )=|a |2+a ·b －b ·c －|c |2=|a |2－|c |2+|b |·|a |cos θ－|b |·|c |·cos θ=0,得当|a |=|c |时，A 1C ⊥DC 1，同理可证当|a |=|c |时，A 1C ⊥BD ， ∴1CC CD =1时，A 1C ⊥平面C 1BD .【例7】如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA =CB =1，∠BCA =90°，AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.(1)求BN 的长；(2)求cos<11,CB BA >的值； (3)求证：A 1B ⊥C 1M .解：(1)如图，以C 为原点建立空间直角坐标系O －xyz . 依题意得：B (0，1，0)，N (1，0，1) ∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.(2)解：依题意得：A 1(1，0，2)，C (0，0，0)，B 1(0，1，2). ∴1BA =1),2,1,1(CB -=(0，1，2) 11CB BA ⋅=1×0+(－1)×1+2×2=3 |1BA |=6)02()10()01(222=-+-+- 5)02()01()00(||2221=-+-+-=CB .1030563||||,cos 111111=⋅=⋅⋅>=<∴CB BC CB BA CB BA(3)证明：依题意得：C 1(0，0，2)，M (2,21,21))2,1,1(),0,21,21(11--==B A M C ∴,,00)2(21121)1(1111M C B A M C B A ⊥∴=⨯-+⨯+⨯-=⋅∴A 1B ⊥C 1M .5．利用向量的数量积解决有关距离的问题，距离问题包括点到点的距离，点的线的距离，点到面的距离，线到线的距离，线到面的距离，面到面的距离.【例8】求平面内两点),(),,(2211y x B y x A 间的距离公式解：设点),(),,(2211y x B y x A ，),(1212y y x x AB --=∴212212)()(||y y x x AB -+-=∴ ,而||||AB AB =∴点A 与点B 之间的距离为：212212)()(||y y x x AB -+-=6.利用向量的数量积解决线与线的夹角及面与面的夹角问题.【例9】证明:βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-证明：在单位圆O 上任取两点B A ,，以Ox 为始边，以OB OA ,为终边的角分别为αβ,，则A 点坐标为),sin ,(cos ββB 点坐标为)sin ,(cos αα；则向量=OA ),sin ,(cos ββ=OB )sin ,(cos αα，它们的夹角为βα-，,1||||==OB OA βαβαsin sin cos cos +=⋅OB OA ,由向量夹角公式得：[来源:学§科§网]=⋅=-||||)βαcos(OB OA OB OA βαβαsin sin coscos +,从而得证.注：用同样的方法可证明=+)cos(βαβαβαsin sin cos cos - 7.利用向量的数量积解决有关不等式、最值问题.【例10】证明柯西不等式2212122222121)()()(y y x x y x y x +≥+⋅+证明：令),(),,(2211y x b y x a ==（1）当0 =a 或0 =b 时，02121=+=⋅y y x x b a，结论显然成立；（2）当0 ≠a 且0 ≠b 时，令θ为b a ,的夹角，则],0[πθ∈θc o s ||||2121b a y y x x b a=+=⋅. 又 1|cos |≤θ ||||||b a b a≤⋅∴（当且仅当b a //时等号成立）222221212121||y x y x y y x x +⋅+≤+∴∴2212122222121)()()(y y x x y x y x +≥+⋅+.（当且仅当2211y x y x =时等号成立）【例11】求x x x x y 22cos3cos sin 2sin++=的最值解：原函数可变为x x y 2cos 2sin 2++=，所以只须求x x y 2cos 2sin +='的最值即可，构造{}{}1,1,2cos ,2sin ==b x x a ，那么22cos 2sin =≤⋅=+b a b a x x .故22,22min max -=+=y y .【例12】三角形ABC 中，A (5，－1)、B (－1，7)、C (1，2)，求：(1)BC 边上的中线AM 的长；(2)∠CAB 的平分线AD 的长；(3)cos ABC 的值.解：(1)点M 的坐标为x M =)29,0(,29227;0211M y M ∴=+==+- .2221)291()05(||22=--+-=∴AM5)21()15(||,10)71()15(||)2(2222=--+-==--++=AC ABD 点分BC 的比为2. ∴x D =31121227,3121121=+⨯+==+⨯+-D y.2314)3111()315(||22=--+-=AD(3)∠ABC 是BA 与BC 的夹角，而BA =(6，8），BC =(2，－5）.1452629291052)5(2)8(6)5()8(26||||cos 2222==-+⋅-+-⨯-+⨯=⋅⋅=∴BC BA BC BA ABC解斜三角形【例1】已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足A +C =2B .BCAcos 2cos 1cos 1-=+，求cos2C A -的值.解法一：由题设条件知B =60°，A +C =120°. 设α=2C A -，则A －C =2α，可得A =60°+α，C =60°－α，,43cos cos sin 43cos 41cos sin 23cos 211sin 23cos 211)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1222-αα=α-αα=α+α+α-α=α-︒+α+︒=+CA所以依题设条件有,cos 243cos cos 2B-=-αα[来源:学科网ZXXK].2243cos cos ,21cos 2-=-αα∴=B整理得42cos 2α+2cos α－32=0(M )(2c os α－2)(22cos α+3)=0，∵22cos α+3≠0， ∴2cos α－2=0.从而得cos222=-C A .解法二：由题设条件知B =60°，A +C =120°22cos 1cos 1,2260cos 2-=+∴-=︒-CA①，把①式化为cos A +cos C =－22cos A cos C②，利用和差化积及积化和差公式，②式可化为)]cos()[cos(22cos2cos2C A C A C A C A -++-=-+ ③，将cos2CA +=cos60°=21，cos(A +C )=－21代入③式得： )cos(2222cosC A CA --=-④将cos(A －C )=2cos 2(2C A -)－1代入 ④：42cos 2(2C A -)+2cos 2C A -－32=0，(*)，.222cos:,022cos2,032cos22,0)32cos22)(222cos2(=-=--∴=+-=+---C A CA C A C A C A 从而得【例2】在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为60°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为30°的C 处。