泊松过程及其在排队论中的应用

泊松过程及其在排队论中的应用

摘要：叙述了泊松过程的基本定义和概念，并列举了泊松过程的其他等价定义和证明并分析了泊松过程在排队论中的应用，讨论了完成服务和正在接受服务的顾客的联合分布。

关键词：泊松过程；齐次泊松过程；排队论

1. 前言

泊松分布是概率论中最重要的分布之一，在历史上泊松分布是由法国数学家泊松引人的。近数十年来，泊松分布日益显现了其重要性而将泊松随机变量的概念加以推广就得到了泊松过程的概念。泊松过程是被研究得最早和最简单的一类点过程，他在点过程的理论和应用中占有重要的地位。泊松过程在现实生活的许多应用中是一个相当适合的模型，它在物理学、天文学、生物学、医学、通讯技术、交通运输和管理科学等领域都有成功运用的例子。

2. 泊松过程的概念

定义3.2 ：设计数过程{ X(t)，t ≥ 0}满足下列条件：

(1) X(0) = 0;

(2) X(t)是独立增量过程;

(3) 在任一长度为t 的区间中，事件A 发生的次数服从参数0t >λ的泊松分布，即对任意是s, t ≥ 0，有

!

)(})()({n t e n s X s t X P n

t λλ-==-+， ,1,0=n 则称计数过程{ X(t)，t ≥ 0}为具有参数0>λ的泊松过程。

注意，从条件(3)知泊松过程是平稳增量过程且t t X E λ=)]([，由于，

t

t X E )]([=

λ表示单位时间内事件A 发生的平均个数，故称λ为此过程的速率或强度。

从定义3.2中，我们看到，为了判断一个计数过程是泊松过程，必须证明它满足条件(1)、(2)及(3)。条件(1)只是说明事件A 的计数是从t = 0时开始的。条件(2)通常可从我们对过程了解的情况去验证。然而条件(3)的检验是非常困难的。为此，我们给出泊松过程的另一个定义。

定义3.3 ：设计数过程{ X(t)，t ≥ 0}满足下列条件：

(1) X(0) = 0;

(2) X(t)是独立平稳增量过程;

(3) X(t)满足下列两式： o(h).

2} X(t)-h)P{X(t o(h),h 1} X(t)-h)P{X(t =≥++==+λ

则称计数过程{ X(t)，t ≥ 0}为具有参数0>λ的泊松过程。

定义中的条件(3)说明，在充分小的时间间隔内，最多有一个事件发生，而不能有两个或两个以上事件同时发生。这种假设对于许多物理现象较容易得到满足。

3. 齐次泊松过程

定理1 假设事件E 的发生形成强度为λ的齐次泊松过程0}t ;{N N t ≥≡，如果每一发生的事件仅以概率p 被记录到，以M 表示被记录到的事件序列，那么过程M 是强度为p λ的齐次泊松过程。

证明：根据前面的等价定义，只需证明对于任意长度b 的可表为有限多个互不相交区间之并的集合B 。在B 中被记录到的事件数M(B)有参数为pb λ的泊松分布。事实上，记q=1 - p ，则对于任意 ,2,1,0=n

))((n B M p =

!

/)(!

/)(!

/)(]!/)([!!/)()

()!/()()

)(())(|))((00

n pq e n pq e e r pb n pb e r n pb pb e r n b e

q p C r n B N P r n B N n B M p n pq n pq b r r n b r r n b r n b r n r n r n r λλλλλλλλλλλλλ--∞

=-∞=-+-∞=+∞=====+=+=⨯+===∑∑∑∑

基于这个定理，我们还可以证明如下的齐次泊松过程分解定理。

定理2 设N 是强度为λ的齐次泊松过程，p 是任意介于0和1之间的常数，则N 可以分解为两个互相独立的齐泊松过程M 和M '，它们的强度分别为p λ和q λ，这里q = 1- p 。

证明：我们可以这样想象，过程N 的点事件以概率p 被记录，而且各点事件是否被记录是互相独立的，于是，由上面的定理知道，N 中被记录的事件序列M 是强度为p λ的齐次泊松过程。而没有被记录的事件序列M' 则形成一强度为q λ的齐次泊松过程。显然有N=M+M '。下面证明M 和M ' 的独立性。为此只需证明对任愈非负整数m 和n ，以及任意可表为有限多个互不相交区间之并的集合有：

))(',)((n B M m B M p ==

]!/)(][!/)([n qb e m pb e n qb m pb λλλλ--=

这里b 是集合B 的总长度。因为事件n}(B)M'm,{M(B)==等价于事件

，

}m N(B)m,{M(B)n +==故 ))(',)((n B M m B M P ==

))(,)((n m B N m B M P +===

))(()(|)((n m B N P n m B N m B M P +=+===）

)!/()(n m b e

q p C n m b n m n n m +=+-+λλ ]!/)(][!/)([n qb e m pb e n qb m pb λλλλ--=

容易看出，上面的论断可以推广到r 个独立过程的情形，这里r 是任意大于2的整数。于是我们有如下的推论。

推论1 [2] 设N 是强度为λ的齐次泊松过程。对于任意整数2≥r 和任意r 个

满足条件11=∑=r i i p 的整数,,2,1r p p p 可以把N 分解为r 个强度分别为

,,2,1r p p p λλλ 的互相独立的齐次泊松过程。

下面进一步研究选取概率不是一常数而是随时间变化的情形。

假设}0;{≥≡t N N t 强度为λ的泊松过程的事件可以分为两类：第一类和第二类，并且假设以事件发生的时间把事件的概率分为第一类。假设如果一个事件发生的时间为t,而且与其他事件独立，于是他可以看成是概率为P(s)的第一类事件，也可以看成是概率为1-P(s)的第二类事件。利用定理1我们能够证明下面的命题。

定理 3 如果)(t N i 表示的是到时间t 为止发生的第i 类事件的数量(i = 1,2),)(1t N 和)(2t N 分别表示的是参数为tp λ和)1(p t -λ的独立泊松随机变量， 其中：

⎰=t ds s p t

p 0)(1 证明：在N(t)已知的条件下，计算)(1t N 和)(2t N 的联合分布。

})(,)({21m t N n t N P ==

})({})(|)(,)({1

021k t N P k t N m t N n t N P k =====∑=