泊松过程及其在排队论中的应用
泊松过程的应用
泊松过程的应用泊松过程是概率论中一种重要的随机过程，它在现实生活中有着广泛的应用。
本文将介绍泊松过程的应用，并重点讨论其中的几个典型例子。
泊松过程在电话交换机中的应用十分广泛。
当电话交换机的用户数量较大时，用户的呼叫行为可以看作是一个泊松过程。
泊松过程的特点是事件的发生是独立的，并且事件的发生率是常数。
在电话交换机中，用户的呼叫行为符合这个特点，用户的呼叫请求是独立的，并且呼叫率是稳定的。
基于泊松过程的模型，可以帮助我们理解电话交换机的性能，优化呼叫资源的分配，提高通信系统的效率。
泊松过程在信号处理中的应用也非常广泛。
在无线通信系统中，信号的到达可以看作是一个泊松过程。
例如，在无线传感器网络中，传感器会定期发送采集到的数据，这些数据的到达时间可以建模为一个泊松过程。
利用泊松过程的统计特性，可以帮助我们设计有效的信号处理算法，实现高效的数据传输和处理。
泊松过程还在排队论中有着重要的应用。
排队论是研究随机到达和服务的队列系统的数学理论。
泊松过程可以用来描述到达队列系统的顾客或任务的过程，从而帮助我们分析系统的性能指标，如平均等待时间和系统利用率。
这对于优化排队系统的运行效率，提高顾客满意度具有重要意义。
泊松过程还可以应用于风险管理和金融领域。
在风险管理中，泊松过程可以用来描述某个事件的发生率，并帮助我们评估和控制风险。
在金融领域，泊松过程可以用来模拟股票价格的变动，从而帮助投资者进行风险管理和决策。
泊松过程在各个领域的应用非常广泛。
它不仅可以帮助我们理解和分析现实生活中的随机过程，还可以为我们提供有效的数学模型和工具，用于解决实际问题。
在未来的研究和应用中，我们可以进一步深入研究泊松过程的属性和特点，探索更多的应用领域，为人类社会的发展做出更大的贡献。
泊松分布排队论
泊松分布排队论
泊松分布是概率论中一种重要的离散概率分布，常用于描述独立事件在给定时间或空间上的发生次数。
排队论则是研究随机到达和服务过程的数学理论，常用于描述排队系统中顾客到达和服务的规律。
在排队论中，泊松分布被广泛应用于以下两个方面：
1.顾客到达模型：当顾客的到达服从泊松过程时，即顾客到
达的时间间隔服从泊松分布，可以使用泊松分布来描述顾客到达的模型。
这个模型假设顾客的到达是随机、独立和恒定的，并允许在单位时间内到达的顾客数量有一定的概率。
2.服务时间模型：当服务时间服从指数分布时，可以使用泊
松过程来描述服务时间的模型。
指数分布是泊松过程的一个重要特例，这意味着服务时间满足随机、独立和恒定的分布，且具有无记忆性质。
在使用泊松分布进行排队论分析时，可以使用M/M/1模型来描述单服务台排队系统。
其中，M表示到达过程服从泊松分布，M表示服务时间服从指数分布，1表示系统中只有一个服务台。
通过泊松分布和指数分布的特点，可以推导出系统的各种性能指标，如平均队长、排队时间等。
需要注意的是，排队论的分析模型还可以根据实际情况使用其他分布，如负指数分布、超几何分布等。
除了M/M/1模型
外，还存在其他排队系统模型，如M/M/m模型（多个服务台）和M/G/1模型（服务时间服从一般分布）。
选择适当的排队系统模型对于准确描述和分析实际排队系统至关重要。
总而言之，泊松分布在排队论中是常用的概率分布，用于描述到达和服务的规律。
它为排队系统的性能评估和优化提供了理论基础。
泊松过程的应用范文
1.无线通信：泊松过程可以用于表示用户的到达时间和数据包的到达时间，研究无线网络中的容量和覆盖范围。
泊松过程在金融领域的应用：
1.期权定价：泊松过程可以用于建立股票价格模型，帮助计算期权的价格和风险价值。
2.保险精算：泊松过程可以用于描述保险事故的发生过程，研究保险公司的风险和储备。
3.稀释性：对于时间区间[0,t]和[0,s](s<t)，在时间s内N(t)-N(s)的分布仍然是一个泊松分布。
泊松过程在生物学领域的应用：
1.遗传学：泊松过程可以用于描述染色体上突变点的分布，用于研究基因突变的规律。
2.分子生物学：泊松过程可以用于描述酶催化反应的进程，研究酶的活性和速率。
3.神经科学：泊松过程可以用于描述神经元的放电模式，研究神经元的兴奋过程。
2.事件发生的概率分布：在时间区间[0,t]上，事件发生的数目服从泊松分布，即P(N(t)=n)=(λt)^n*e^(-λt)/n!，其中λ是事件发生的平均速率。
1.独立增量：对于不相交的时间区间，N(t1)和N(t2)-N(t1)是独立的随机变量。
2.无记忆性：已知在时间t1已经发生n个事件，那么在时间t2>t1时，N(t2)-N(t1)的分布与N(t2)的分布相同。
3.高频交易：泊松过程可以用于建模市场价格的波动和交易活动的发生，研究高频交易策略和风险控制。
综上所述，泊松过程是一种重要的随机过程，具有独立增量、无记忆性和稀释性等性质。在生物学、计算机科学、通信工程和金融等领域中，泊松过程被广泛应用于描述事件的发生过程和研究随机现象的规律。通过对泊松过程的研究，可以深入理解各个领域中的问题，并提供有益的解决方案和决策支持。
泊松过程在计算机科学领域的应用：
随机过程第三章 泊松过程
义 3.2 可知
PN (2) N (1) 5 5 e101 (101)n
n0
n!
PN (3) N (2) 0 e101 (101)0 e10
0!
例 3.2（事故发生次数及保险公司接到的索赔数）若以 N (t) 表示某公路交叉口、矿山、
，利用数学归纳法证明。假设当 (n 1) 时成立，因
此
d dt
(et Pn (t))
et
et
t n1 (n 1)!
t n1 (n 1)!
解得
et Pn (t)
(t)n n!
C
又 Pn (0) PN(0) n 0 代入进一步解得
Pn (t)
et
(t)n n!
因此，结论得证，即定义 3.3 蕴含定义 3.2。 （2）再证定义 3.2 蕴含定义 3.3。欲证此结论，只需验证定义 3.3 中的条件（3）（4）
题。 注：定理 3.2 的命题易于理解。泊松过程的平稳独立增量性质等价于表示在概率意义上
过程在任何时刻都重新开始，即从任何时刻起过程独立于先前已发生的一切（由独立增量）； 且与原过程具有完全一样的分布（由平稳增量）。换言之，泊松过程是无记忆的，因此间隔 序列服从指数分布。
另一感兴趣的量是Tn ，第 n 次事件发生的时间，也称为第 n 次事件的等待时间。 定理 3.3 Tn , n 1, 2,服从参数为 n 和 的 分布，即其概率密度为
工厂等场所在 (0,t]时间内发生事故的次数，则泊松过程就是N(t),t 0 的一种很好近似。
另外，保险公司接到赔偿请求的次数（设一次事故就导致一次索赔）等都可以应用泊松过程 的模型。以保险为例，设保险公司每次的赔付都是 1,每月平均接到 4 次索赔请求，则一年中 它们要付出的金额平均为多少？
证明泊松过程是马尔可夫链
证明泊松过程是马尔可夫链泊松过程是一种常见的随机过程，它具有马尔可夫性质。
本文将通过阐述泊松过程的定义、特点以及马尔可夫链的概念，来证明泊松过程是马尔可夫链。
我们来了解一下泊松过程的定义。
泊松过程是一种随机过程，其描述了在一段时间内某个事件发生的次数。
泊松过程具有以下几个特点：1. 事件发生的次数是离散的，且是无限可数的。
2. 事件发生的概率只与时间间隔有关，而与具体的时间点无关。
3. 事件之间的发生是相互独立的，即一个事件的发生不会影响其他事件的发生。
接下来，我们来了解一下马尔可夫链的概念。
马尔可夫链是一种随机过程，其状态在给定当前状态下，未来状态的条件概率分布只与当前状态有关，而与过去状态无关。
马尔可夫链具有以下几个特点：1. 未来状态的条件概率分布只与当前状态有关，而与过去状态无关。
2. 状态空间是离散的，且是有限可数或无限可数的。
3. 在任意时刻，状态的转移只与当前状态有关，而与过去状态无关。
现在我们来证明泊松过程是马尔可夫链。
根据泊松过程的特点，可以看出泊松过程满足马尔可夫链的定义。
具体来说，泊松过程的状态可以表示为事件发生的次数，而状态之间的转移是离散的。
根据泊松过程的第二个特点，事件发生的概率只与时间间隔有关，而与具体的时间点无关，这意味着未来状态的条件概率分布只与当前状态有关，而与过去状态无关，满足马尔可夫链的第一个特点。
此外，根据泊松过程的第三个特点，事件之间的发生是相互独立的，即一个事件的发生不会影响其他事件的发生，这也满足马尔可夫链的第三个特点。
泊松过程具有马尔可夫性质，即泊松过程是马尔可夫链。
泊松过程的马尔可夫性质使得其在实际应用中具有重要的意义。
例如，在通信系统中，泊松过程可以用来描述数据包的到达时间，从而帮助我们设计和优化系统的性能。
此外，在排队论中，泊松过程也被广泛应用于描述顾客到达和服务的过程。
总结起来，泊松过程是一种具有马尔可夫性质的随机过程。
泊松过程的马尔可夫性质使得其在实际应用中具有重要的意义。
泊松过程的应用
泊松过程的应用引言泊松过程是概率论中的重要概念，广泛应用于各个领域。
它最早由法国数学家西蒙·泊松在19世纪提出，用于描述随机事件在一段固定时间或空间上发生的次数。
泊松过程具有良好的数学性质，便于分析和模拟，因此在实际应用中得到了广泛的运用。
本文将探讨泊松过程的应用，并着重介绍其在排队论、通信网络和风险管理等领域的具体应用。
排队论中的应用电信中心的服务模拟泊松过程的一个重要应用领域是排队论。
排队论用于研究随机到达和离开系统的事件以及他们之间的关系。
在电信中心，泊松过程可以用于模拟用户的到达和离开情况，从而评估电话交换机的性能。
M/M/1模型M/M/1模型是排队论中常用的一种模型，其中M表示服从泊松分布的到达过程，1表示只有一个服务台，也就是说系统只能同时处理一个顾客。
M/M/1模型的研究可以帮助我们预测系统的排队长度、延迟时间和服务效率等指标。
通信网络中的应用网络传输的流量建模泊松过程被广泛用于网络传输的流量建模。
在通信网络中，流量的到达和离开可以看作是一系列随机事件的发生。
通过使用泊松过程，我们可以建立一个合适的数学模型来描述流量的变化规律，从而优化网络的资源分配和性能管理。
随机分组传输在随机分组传输中，泊松过程可以用于模拟数据包的到达和发送情况。
通过分析数据包到达和发送的频率，我们可以确定数据包的传输速率和系统的稳定性。
同时，泊松过程还可以用于预测系统的拥塞程度，帮助我们优化网络传输的效率。
风险管理中的应用金融市场的波动性建模在金融市场中，泊松过程被广泛应用于对市场波动性的建模。
泊松过程可以描述市场上随机事件的发生，如股票价格或汇率的波动。
通过对市场波动性的建模，我们可以评估投资组合的风险和收益。
保险业务的理赔模型在保险业务中，泊松过程被用于模拟理赔的发生情况。
泊松过程可以描述事故的发生频率和严重程度，从而帮助保险公司评估风险和制定合理的保险费率。
结论泊松过程作为一种重要的概率模型，在排队论、通信网络和风险管理等领域都有广泛的应用。
泊松过程和指数分布
泊松过程和指数分布1. 介绍泊松过程和指数分布是概率论和数理统计中的两个重要概念。
泊松过程描述的是事件在一定时间内发生的频率，而指数分布描述的是连续随机事件发生的时间间隔。
本文将深入探讨泊松过程和指数分布的定义、性质以及在实际应用中的应用场景。
2. 泊松过程2.1 定义和性质泊松过程是一种时间上的随机过程，其定义如下：•在任意固定时间段内，事件发生的次数服从泊松分布。
•在任意不重叠的时间段内，事件的发生是相互独立的。
泊松过程常用来描述稀有事件的出现，例如地震发生的次数、客户到达某商店的次数等。
泊松分布是该过程的概率分布函数，其数学表达式如下：P(X=k)=λk e−λk!其中，X表示在单位时间内事件发生的次数，λ表示单位时间内事件平均发生的次数。
2.2 应用场景泊松过程在实际应用中有广泛的应用场景，以下是其中几个典型的例子：2.2.1 电话到达系统在一个电话系统中，电话接收员接收到的电话数量可以看作是一个泊松过程。
根据泊松过程的性质，可以计算在一定时间段内接收到电话的概率，从而评估电话接收员的工作量和需求。
对于网络流量来说，到达某节点的数据包数量也可以看作是一个泊松过程。
通过对泊松过程建模，可以预测网络流量的峰值和波动情况，从而优化网络资源的分配和调度。
2.2.3 遗传变异分析在遗传学研究中，基因突变的发生也可以使用泊松过程进行建模。
通过分析遗传变异的频率和规律，可以更好地理解和预测基因突变在遗传传递中的作用和影响。
3. 指数分布3.1 定义和性质指数分布是一种连续概率分布，其定义如下：•随机变量X的概率密度函数f(x)如下所示：f(x)={λe −λx,if x≥00,if x<0•随机变量X的累积分布函数F(x)如下所示：F(x)={1−e −λx,if x≥00,if x<0其中，λ为指数分布的一个参数，表示事件发生的平均速率。
3.2 应用场景指数分布在实际应用中也有广泛的应用场景，以下是其中几个常见的例子：3.2.1 服务时间分析在排队论中，服务时间常常被建模为指数分布。
排队论大学课件6-泊松过程
复杂系统建模
02
对于复杂的服务系统，如多服务台、多队列等，基于泊松过程
的排队论模型建模难度较大。
数据获取与处理03在实际应用中，获取准确的顾客到达和服务时间数据较为困难，
对模型的验证和应用带来挑战。
未来发展趋势及研究方向
A
非齐次泊松过程研究
针对事件发生率变化的情况，研究非齐次泊松 过程在排队论中的应用。
均值与方差
指数分布的均值和方差都是1/λ，其中λ是单位时间内事件的平 均到达率。因此，到达时间间隔的期望值（均值）和波动程度 （方差）都与事件到达率成反比。
到达次数分布
泊松分布
在给定时间区间内，事件到达的次数服从泊松分布。泊松分布是一种离散型概率分布，用于描述在固 定时间或空间范围内随机事件发生的次数。
泊松过程应用场景
01 02
电话交换系统
在电话交换系统中，用户呼叫的到达可以看作是一个泊松过程。通过泊 松过程可以预测在给定时间内呼叫到达的次数，从而合理安排交换机的 容量。
交通流
道路上车辆到达的情况也可以看作是一个泊松过程。通过泊松过程可以 分析交通流的特性，如车流量、车速等，为交通规划和管理提供依据。
期望值与方差
对于单个事件的等待时间，其期望值（均值）是1/λ，方差也是1/λ。对于多个事件的等待时间，其期望值（均值） 和方差都与事件数量成正比。因此，等待时间的期望值（均值）和波动程度（方差）都与事件到达率成反比。
泊松过程参数估计与检验
03
参数估计方法
01
矩估计法
利用样本矩来估计总体矩，从而获得泊松过程参数的估 计值。
02
最大似然估计法
根据样本数据，构造似然函数，通过最大化似然函数得 到参数的估计值。
随机过程第三章泊松过程
随机过程第三章泊松过程泊松过程是随机过程中的一类重要过程，在许多领域都有广泛应用，如排队论、可靠性分析、金融工程等。
泊松过程的概念由法国数学家泊松提出，它具有无记忆性、独立增量和平稳增量等重要特征。
在本文中，我们将介绍泊松过程的定义、性质以及一些实际应用。
泊松过程的定义：设N(t)是在区间[0,t]内发生的事件个数，若满足以下三个条件，则称N(t)是具有独立增量和平稳增量的泊松过程：1.N(0)=0，表示在时间0之前没有事件发生；2.对于任意的s<t，N(t)-N(s)的分布只与时间间隔t-s有关，与s时刻之前的事件个数无关，这表明泊松过程具有无记忆性；3.对于任意的s<t，N(t)-N(s)的分布是一个参数为λ(t-s)的泊松分布，其中λ是过程的强度参数。
泊松过程具有很多重要的性质。
首先，泊松过程的均值和方差等于其强度参数λ。
其次，泊松过程的增量独立，即在非重叠区间上的增量相互独立。
此外，泊松过程的时间间隔也是独立同分布的指数分布。
泊松过程具有广泛的应用。
在排队论中，泊松过程可用于描述到达队列的顾客数量。
在可靠性分析领域，泊松过程可用于描述设备的故障次数。
在金融工程中，泊松过程可用于模拟股票价格的变动和交易的发生。
在实际应用中，对于给定的泊松过程，我们通常感兴趣的是估计其强度参数λ。
常用的估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计通过最大化观测到的事件发生次数和估计的事件发生率之间的似然函数，来估计λ的值。
矩估计则是通过将观测到的事件个数的平均值等于λ的估计值，来确定λ的值。
此外，在泊松过程的应用中，我们还可能遇到泊松过程的两个重要扩展：非齐次泊松过程和二维泊松过程。
非齐次泊松过程是指强度参数λ是时间的一个函数，而不是常数。
二维泊松过程是指同时考虑两个独立的泊松过程，其事件发生次数可能影响到对方的发生次数。
综上所述，泊松过程是一种重要的随机过程，具有无记忆性、独立增量和平稳增量等特征。
泊松过程的应用
应用随机过程课程论文题目:浅谈泊松过程及其应用姓名:学院:理学院学号:2013年7月1 日浅谈泊松过程及其应用摘要： 本文论述了泊松过程的有关定义，并对其进行相应的推广，阐述了时齐泊松过程、非时齐泊松过程、复合泊松过程以及条件泊松过程，从中很容易看出它们之间的联系。
同时，本文也在排队论、数控机床可靠性、保险、航空备件需求上简单描述了泊松过程的应用。
另外，泊松过程在物理学、地质学、生物学、金融和可靠性理论等领域中也有着广泛的应用。
关键词：泊松过程；复合泊松过程；排队论一、泊松过程1．时齐泊松过程定义：一随机过程{}(),0N t t ≥，若满足如下条件：（1） 它是一个计数过程，且(0)0N =;（2） 它是独立增量过程;（3） 0,0,,()()s t k N s t N s ∀≥∈+-是参数为t λ的泊松分布，即{}()()().!kt t P N t s N t k e k λλ-+-== 则称此随机过程为时齐泊松过程。
2．非时齐泊松过程定义：一随机过程{}(),0N t t ≥，若满足如下条件：（1） 它是一个计数过程，且(0)0N =;（2） 它是独立增量过程;（3） 0,0,,s t k ∀≥∈满足{}()()[()()]()().!km s m s t m s t m s P N t s N t k e k -++-+-==其中 0()()tm t s ds λ=⎰，则称此随机过程为具有强度函数为{}(t)>0λ的非时齐泊松过程。
3．复合泊松过程定义：设{},1i Y i ≥是独立同分布的随机变量序列，{}(),0N t t ≥为泊松过程，且{}(),0N t t ≥与{},1i Y i ≥独立，记()1()N t i i X t Y ==∑，则称{}(),0X t t ≥为复合泊松过程。
4．条件泊松过程定义：设Λ为一正的随机变量，分布函数为(),0G x x ≥，当给定λΛ=的条件下，{}(),0N t t ≥是一个为泊松过程，即0,0,,0s t k λ∀≥∈≥， 有{}()()().!kt t P N t s N t k e k λλλ-+-=Λ== 则称{}(),0N t t ≥是条件泊松过程。
泊松过程应用实例
泊松过程应用实例一、什么是泊松过程？泊松过程是一种随机过程，它描述了在一个给定时间段内某个事件发生的次数。
它的特点是：事件之间独立且随机发生，且发生的概率与时间间隔成正比。
二、泊松过程的应用1. 电话交换系统电话交换系统中，电话呼叫可以看作是一个泊松过程。
当用户拨打电话时，呼叫的到达时间就是一个随机变量。
这些呼叫被分配给不同的线路，如果所有线路都忙碌，则呼叫将被阻塞。
因此，泊松过程可以用于优化电话交换系统的性能。
2. 金融市场在金融市场中，股票价格和汇率等都可以看作是随机变量。
因此，我们可以将其建模为一个泊松过程，并利用该模型进行预测和风险管理。
3. 交通流量控制在城市道路中，车辆流量也可看作是一个泊松过程。
通过对车流量进行建模和预测，我们可以更好地控制信号灯和限速等措施来优化交通流量。
三、实例分析：医院急诊科排队模型在医院急诊科，病人到达的时间和就诊时间都是随机的。
因此，我们可以将其建模为一个泊松过程，并利用该模型来优化急诊科的排队系统。
1. 建立模型假设病人到达时间服从参数为λ的泊松分布，并且就诊时间服从参数为μ的指数分布。
则每个病人在急诊科停留的总时间服从参数为λ+μ的指数分布。
2. 优化排队系统根据泊松过程的特点，我们可以得出以下结论：（1）当λ=μ时，病人平均等待时间最短。
（2）当λ>μ时，排队长度会无限增长，需要增加医生数量或者限制病人流量。
（3）当λ<μ时，排队长度有限，但是医生可能会浪费很多时间等待下一个病人到来。
因此，在实际应用中，我们需要根据具体情况来选择最合适的参数值，并采取相应措施来优化排队系统。
四、总结泊松过程是一种非常重要的随机过程，在许多领域都有广泛应用。
通过建立合适的模型和采取相应措施来优化系统，可以大大提高效率和减少成本。
因此，学习和掌握泊松过程的应用是非常有必要的。
排队论中三种典型的分布
排队论顾客到达时间的间隔分布和服务时间的分布（1）泊松分布（顾客到达数满足泊松分布）随机变量x （单位时间内顾客到达数），满足泊松分布：x~P(λ)，概率分布为：()!kP x k e k λλ-==注意：泊松分布中的λ，既是数学期望又是方差，即E(x)=D(X)= λ(单位时间内平均到达的顾客数)（2）负指数分布随机变量T （顾客相继到达时间间隔），满足负指数分布，即：~()()t T f t e λλ-=密度函数注意：E(T)=1/λ(为相继到达平均间隔时间),21D(T)λ=。
说明：顾客到达数满足泊松分布等价于顾客相继到达时间间隔满足负指数分布。
随机变量v （顾客相继离开的间隔时间），满足负指数分布，即：~()()t v f t e μμ-=密度函数注意：E(v)=1/μ(为相继离开平均间隔时间),D(v)= 1/μ2 。
（3）爱尔朗分布设k 个顾客到达系统的时间间隔序列为：v1 ， v2 ,…, vk ，（为相互独立的随机变量），且都服从参数为kλ的负指数分布，即：k),...,2,1(i e k ~ vi k -=λλ 则随机变量Tk I=1iT v =∑服从k 阶爱尔朗分布()()()()()()()121~0,01!111,,k k t k i i i k k t T f t e t k E v E T v D T k k λλλλλλλ--==>>-====∑ 说明1：K=1时，就是负指数分布。
说明2：假设系统中有串联的K 个服务台，每个服务台对顾客的服务时间相互独立，且服从参数为kμ的负指数分布，则一个顾客接受完k 个服务台服务所需的总时间T 就服从k 阶爱尔朗分布。
强度为λ的泊松过程
强度为λ的泊松过程
首先，数学定义方面，强度为λ的泊松过程是一个随机过程，其特点是在任意时间段内事件的数量服从参数为λ的泊松分布。
这意味着在任意不相交的时间段内，事件的发生是独立的，并且事件发生的平均速率为λ。
其次，泊松过程的特性包括，1）事件之间的时间间隔是指数分布的，即满足无记忆性；2）事件的发生次数在不同的时间段内是独立的；3）在小时间段内事件发生的概率与时间段的长度成正比，即服从泊松分布。
泊松过程在实际中有着广泛的应用。
例如，在通信系统中，泊松过程可以用来描述信道上的数据包到达的模式；在排队论中，泊松过程可以用来描述顾客到达的模式；在可靠性工程中，泊松过程可以用来描述设备的故障率等。
此外，泊松过程还在金融领域、生物学和地震学等领域有着重要的应用。
总的来说，强度为λ的泊松过程是一个重要的随机过程模型，具有独立增量和无记忆性等特性，广泛应用于描述各种随机事件的发生模式。
希望以上回答能够满足你的需求。
(完整版)泊松定理及其应用
(完整版)泊松定理及其应用
引言
泊松定理是概率论中一项重要的定理，它描述了一个随机事件在一定时间内发生的次数与其平均发生率之间的关系。
泊松定理被广泛应用于各个领域，包括工程学、统计学和金融学等。
泊松定理的表述
泊松定理表述如下：在一个给定时间段内，一个随机事件的发生次数服从泊松分布。
泊松分布的参数是该事件在该时间段内的平均发生率。
泊松定理的公式
泊松分布的概率质量函数为：
P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!
其中，`λ`代表事件在给定时间段内的平均发生率，`k`代表事件的发生次数。
泊松定理的应用
泊松定理在实际应用中有很多方面，以下列举了其中几个重要
的应用领域：
1. 电话交换系统：泊松定理可以用于估计电话系统中的呼叫流量，并帮助设计适当的系统容量，以满足不同时间段的呼叫需求。
2. 金融风险模型：泊松定理可以用于建立金融市场中某些事件（如股票价格的变化）的模型，从而评估风险和制定相关的投资策略。
3. 交通流量分析：泊松定理可以帮助分析交通流量中车辆的到
达情况，从而优化交通信号灯的配时策略，提高道路的通行效率。
4. 零件故障率分析：泊松定理可以用于估计机械零件的故障率，并为维修计划提供依据，从而提高设备的可靠性和维护效率。
以上只是泊松定理在实际应用中的一些例子，该定理还有许多
其他应用领域，如服务中心的排队理论、生物学中的分子碰撞等等。
结论
泊松定理是概率论中一个重要的定理，能够描述随机事件在一定时间内发生的次数与其平均发生率之间的关系。
该定理在各个领域都有广泛的应用，并且可以帮助解决各种实际问题。
本科毕业论文泊松分布在排队论中的应用讲解
学号：0907431050刽袒岬況学院本科毕业论文（设计）（2013 届）泊松分布在排队论中的应用院系数学系专业统计学_______姓名孙中美指导教师________职称讲师等级________________________泊松分布在排队论中的应用日常生活中存在着大量有形和无形的排队和拥挤现象，小到如旅客购票排队，市内电话占线银行服务系统，高速公路收费系统，大到国防武器作战效能•排队论的产生与发展来自实际的需要，实际的需要也必将影响今后的发展•已有的理论知识对日常生活中涉及排队论知识的实际问题建立了经典的模型，在这个基础上，对采集的数据进行相关的的分析，将分析的结果和分析得出的数据回带到模型中，进行数学推演，得出数量指标的统计规律，然后根据这些指标为涉及排队论服务系统的改进提供有价值的参考•本文先从排队论的相关基本知识入手，简单介绍排队论的内容，排队论的模型和模型需要用到的指标，从而引出对泊松分布的介绍，最后再运用泊松分布的相关知识对实际周边生活的排队服务系统进行拟合计算其指标•从而得出模型最后的结论.关键词：泊松分布排队论排队模型模型结论ABSTRACTThere are a lot of tan gible and intan gible queu ing and con gesti on phe nomena in our daily life, such as passe nger ticket queue, local teleph one on li ne, banking service system, the highway toll system. From a large perspective, it invo Ives with the Defense Weap on Combat effective ness. The emerge nee and developme nt of queu ing theory come from the actual dema nd that will also affect the future developme nt. The existi ng theoretical kno wledge is helpful to establish typical models invo Ived with queu ing theory in daily life. Based on that, we can make an alysis of the collected data, the result of the an alysis can be take n in to the model. Through mathematical deduction, the statistical regularity of the quantity index can be produced. With those indexes, some valuable refere nee for the improveme nt related to the Queu ing service system. This paper starts with the basic kno wledge related to the queu ing theory, the n makes a brief in troduct ion of queu ing theory, queu ing model and the required in dex, thus leads to a in troducti on of the Poiss on distributi on. Fin ally, the related kno wledge of Poiss on queue service system is applied to en gage a fitting calculation of the indicators on the practical life. And the model conclusion can be obta in ed.Keywords: Poiss on distributi on queu ing theory queu ing model the model con clusi on.目录摘要................................................................ I. ABSTRACT ...................................................................................................... I I 1引言 (4)2 排队论的基本理论 (4)2.1排队论简介 (4)2.2判断服务系统优劣的指标 (5)3排队论模型中的相关分布 (6)3.1时间间隔的分布 (6)3.2服务时间的分布 (7)4具体模型 (7)4.1模型一：M/M/1/二/二（顾客源无限，系统容量不限） (7)4.2 模型二：M / M / 1/ N^：（系统容量有限） (9)5具体实例分析 (10)6小结 (14)合肥师范学院2013届本科生毕业论文(设计)1引言泊松分布(poisson distribution) 是一种统计与概率学中最常见的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩•德尼•泊松(sim幻n-Denis poisson )于1838年提出，近些年来，随着自然科学的不断发展，泊松分布的重要性日益彰显•在泊松随机变量概念的基础上，加以推广便得到了泊松过程的概念•泊松过程属于早期的和简单的点过程理论研究•但泊松分布的相关概念在自然科学中却有着不可替代的位置•泊松过程可以拟合现实生活中很大一部分的实际问题，比如保险理赔问题和排队论问题•排队论的基本思想是丹麦电话工程师A.K.埃尔郎在解决自动电话问题时开始形成发展的一个随机服务系统理论. 通过对服务对象及服务时间的统计研究，得出数量指标(等待时间，排队长度等)的统计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象使得服务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优•本文将要介绍的现实中的排队服务问题，此外，泊松分布在诸如管理科学、交通运输、生物学、物理学、医学等很多涉及排队论问题的领域有着大量成功运用的实例.2排队论的基本理论由于排队可以归属为一种随机现象，因此在研究有关排队现象的时候，主要采取概率论的相关知识作为其主要的工具•泊松分布作为概率论中最常见的分布在有关排队论问题中的应用非常广泛•我们把排队论所要研究的对象(要求服务的人或事物)称为顾客，把为顾客服务的人或事物称作服务机构，将顾客排队等待的整个过程称作服务系统或排队系统•由于顾客的到达时间和接受服务的时间到服务结束的时间一般说来都是随机的•所以我们又称服务系统为随机服务系统12.1排队论简介各种随机服务系统一般由三个部分组成，排队的一般过程就是顾客由顾客源出发，到达服务机构(服务员或服务台)等待服务，接受服务，完成服务后离开的过程21.一般可以下三个构成部分：(1)输入系统；各类型的顾客以怎样的规律到达服务系统，主要是顾客到达时间的间隔分布；(2)排队规则；顾客到达服务系统后以怎样的次序方式接受服务，即如果全部的服务台都有顾客正在接受服务，则离开（损失制），或者是排队等待服务（等待制）•还有系统的有限性和无限性即顾客源的有限或无限也是有差别的.（3）服务机构：相同的时刻有多少可以提供服务的设备可以为顾客提供服务，单个顾客的服务时间是多少.2.2判断服务系统优劣的指标①队长：服务系统总的顾客数，记其期望值为L s;②排队长：服务系统中正在等待接收服务的顾客，记其期望值为L q ；通常情况下L s或L q越大，系统的服务质量越差，反之，则越好；③逗留时间：某一顾客在服务系统中总的停留时间，记其期望值为W s；④等待时间：指某一顾客在服务系统中排队过程所费总时间；⑤忙期：指从某一顾客到达空闲服务机构至该机构再次空闲的时间间隔长度，是服务质量和强度的指标.用N t表示从初始时刻（0时刻）到t时刻（时间区间用0,t 1表示）到达服务台的顾客数，用P n tnt2表示在时间区间「2 （t2>t i ）内共有n个顾客到达服务台的概率，即：P n t!,t2 =P k t2 -N t!下面本文将通过泊松分布及泊松过程的有关定理探求P n t的概率分布.首先引入泊松分布及泊松过程的有关定义和概念：定义2.1对于随机变量•所有可能取值为0,123-满足以下两个条件时；⑴ P 二k 0. k =0,1,2,3 …k⑵ a P =k e—' =1;k £k=0 k!则称这个分布服从参数为-'> 0泊松分布3，，记为X ~二■.泊松过程作为一种累计的随机事件发生次数的最基本的独立增量过程，排队问题中的计数过程I N t ,t -01需满足下面三个条件4Li. 独立增量性：在没有重叠区间的时间间隔内到达服务系统的顾客数相互独立；ii. 平稳性：对充分小的t，在时间区间t,^ ：t内有一个顾客到达的概率与t无关，而约与氏成正比.即：R t,t「「氏•：「t （'为大于零的常数）iii. 普通性：对充分小的t，在时间区间t,^ t内有2个或2个以上顾客到达的概率极小，以至于可以忽略不计，即：、巳t,t ：t 二：-：t n=2由上述条件（i ）取t =0即从0时刻算起，并记为P n t二R 0,t ；再由条件（ii ）（iii ）可得在t,t •.址内无顾客到达的概率为：F0 t,t 讥『1 一At :讥因为0, t rt 二0,t t,t rt （即将0 t rt 拆分）由全概率公式有：F n t At =F n t 1- t R」t t - n_1 ......... ①将①式两边同时除以t ：t 0可得：dP n t二 _ P n t 尹t ；n _1 d t [ Pn(0)=0购（P n 0 =0是初值条件）当n = 0时可将②式改写为：—P0t.P。
笔记梳理：计数过程+泊松过程+非齐次泊松过程
笔记梳理：计数过程+泊松过程+非齐次泊松过程Abstract泊松过程是一类较为重要的随机工程,其在排队论理论中有着广泛的应用.泊松过程是特殊的计数过程,其可分为(齐次)泊松过程和非齐次泊松过程.本文主要是对泊松过程(包含非齐次)概念的梳理和总结.一、计数过程和泊松过程Definition1.1(计数过程):如果是在时间段内某一特定事件发生的次数,则称为计数过程(counting process).Remark:计数过程具有以下基本性质:(1) 该过程状态空间为(因为次数总是非负整数)(2) 单调不减性(,);(3) 的样本函数是单调不减右连续的阶梯函数.介绍计数过程的目的是为了引出泊松过程,这是由于泊松过程也是一类计数过程.然而,在教材中,泊松过程的定义有两个并且二者是等价的.Definition1.2(泊松过程定义1):我们称计数过程为参数为的泊松过程,如果其满足(1) ;(在时刻时次数为0)(2) 过程具有独立增量性;(3) ,有Remark:定义中的条件(2)其实意味着泊松过程是一个独立增量过程,而条件(3)则意味着其是一个平稳增量过程.换句话说,泊松过程是一个平稳独立增量过程(),这也是定义2的其中一个条件.同样地,定义2与定义1的第一个条件是一致的.我们根据条件(3)可以得到泊松过程的均值函数与方差函数这两个数字特征:值得说明的是,我们把这里的称为泊松过程的强度,它所代表的含义有如下两点:其一,是事件在单位时间内发生的平均次数;其二,是单位时间内平均出现的质点数.下面我们将给出定义2的另两个条件.定义2的另两个条件:(1)当时,;(2)当时,.泊松过程的应用:排队论. eg: 到达120急救中心的呼叫次数;到达某服务设施的顾客数. 换句话说,现实中遇到跟排队有关的建模问题,可以考虑用泊松过程.我们先前说过代表在时间段内某一特定事件发生的次数,现在考虑设表示第次事件发生的时刻,表示第次与第次事件发生的间隔.假设是泊松过程,下面我们探究和满足怎样的分布.Theorem1.3:服从参数为的指数分布,且相互独立.Theorem1.4:服从参数为和的埃尔根分布.Remark:事实上,如果每次事件发生的时间间隔相互独立,且服从同一参数为的指数分布,则计数过程是参数为的泊松过程.换言之,时间间隔的特性也为泊松过程判定提供了充分条件.二、非齐次泊松过程我们在前面介绍的泊松过程均是"齐次",那里的参数是一个正数,而我们现在所要考虑的非齐次泊松过程中的强度函数是跟时间有关的.这主要是由于在现实生活中强度函数往往并非是一个常数,即某一事件在单位时间内发生的平均次数往往与时间是有关的.注意到,非齐次泊松过程也有两个定义.Definition2.1(非齐次泊松过程定义1):我们称计数过程为强度函数为的非齐次泊松过程,如果其满足以下条件:(1) ;(2) 具有独立增量性;(3) 当时,;(4) 当时,.Remark:这里需要注意的是,此时的称为强度函数,并非是参数.也不难看出,非齐次泊松方程的定义1是跟齐次泊松方程的定义2是相似的.而对于非齐次泊松方程的另一定义,其满足的前两个条件与定义1一样的.即若一个计数过程如果仅满足定义1的前两个条件,那么还需要添加什么条件才能使其是一个非齐次泊松过程呢?定义2的第三个条件: 服从参数的泊松分布.类比泊松过程的定义1中第三个条件,注意到如果等于常数,那么此时同样地,上述条件3我们可以写成另外,我们同样地可以求出非齐次泊松方程的均值函数与自相关函数:<参考文献>钱伟民,梁汉营,杨国庆. 应用随机过程.北京:高等教育出版社,2014.。
泊松过程的q矩阵
泊松过程的q矩阵泊松过程是一种重要的随机过程，它在许多实际问题的建模和分析中被广泛应用。
在泊松过程的研究中，q矩阵是一个关键概念，它描述了泊松过程中状态之间的转移概率。
本文将围绕泊松过程的q 矩阵展开讨论，详细介绍其定义、性质和应用。
我们来了解一下泊松过程。
泊松过程是一种在连续时间和离散状态空间下的随机过程，它具有无记忆性和独立增量性的特点。
在泊松过程中，事件的到达是随机的，并且事件之间的间隔时间服从指数分布。
泊松过程的q矩阵描述了在一个时间段内状态之间的转移概率，它是一个方阵，其中的元素表示从一个状态到另一个状态的转移概率。
q矩阵的定义如下：```q(i,i) = -λ(i)，i ≠ jq(i,j) = λ(i)p(i,j)，i ≠ j```其中，q(i,j)表示从状态i到状态j的转移速率，λ(i)表示状态i 的到达速率，p(i,j)表示从状态i到状态j的转移概率。
接下来，我们来讨论一下q矩阵的性质。
首先，对于任意的i，有∑j≠iq(i,j) = 0。
这是因为在泊松过程中，一个状态只能转移到其他状态，而不能转移到自身。
其次，对于任意的i，有q(i,i) =-∑j≠iq(i,j)。
这是因为从状态i出发的转移速率等于从其他状态转移到状态i的转移速率之和的相反数。
最后，q矩阵的对角线元素q(i,i)等于状态i的到达速率的相反数。
q矩阵在泊松过程的建模和分析中起着重要的作用。
通过求解q矩阵，我们可以得到泊松过程的稳态解和瞬态解。
对于稳态解，我们可以求解出泊松过程在不同状态下的平均停留时间和平均到达时间。
对于瞬态解，我们可以求解出泊松过程在不同状态下的瞬时概率和瞬时速率。
除了在泊松过程的分析中，q矩阵还有广泛的应用。
例如，在通信网络中，泊松过程可以用来描述消息的到达和离开过程，而q矩阵可以用来计算网络中的消息传输概率和平均传输时间。
在排队论中，泊松过程可以用来描述客户的到达和离开过程，而q矩阵可以用来计算队列长度和平均等待时间。
修正开关泊松过程（RSPP）和RSPP／M／1排队
修正开关泊松过程（RSPP）和RSPP／M／1排队
王建利;樊延河
【期刊名称】《通信学报》
【年(卷),期】1994(015)005
【摘要】在通信网互连中，若被连子网具有不同的最大允许分组长度，那么有信
关中一个较长的分组就可能要被拆分为多个较小的分组，这就是公组再分问题，已经证明，在某些情况下。
再分后的公组流可以用一个修正的开关泊松过程来，本文ＲＳＰＰ和ＲＳＰＰ／Ｍ／１排队。
文中推导出了ＲＳＰＰ到达间隔分布的表达式，并给出了平均到达率。
文中还给出了队长分布，平均等候时间的表达式；信关输出流的特性对于全网的性能分析是必需的，因此本文着重
【总页数】7页(P10-16)
【作者】王建利;樊延河
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】TN913.2
【相关文献】
1.泊松过程在排队论中的应用 [J], 王东升;刘玉堂
2.泊松过程和排队论在银行排队问题中的研究 [J], 邓秋玲;韦新星
3.排队论和泊松过程在小区物业管理中的应用 [J], 李明伦;王法精;朱文彬;杜惠;崔
立臣
4.在修正二元Min(N,D)-策略下多级适应性休假M/G/1排队的性能分析 [J], 王
敏;唐应辉;兰绍军
5.基于泊松过程尖点模型的修正假设检验 [J], 林楠;杨霖
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泊松过程及其在排队论中的应用摘要：叙述了泊松过程的基本定义和概念，并列举了泊松过程的其他等价定义和证明并分析了泊松过程在排队论中的应用，讨论了完成服务和正在接受服务的顾客的联合分布。
关键词：泊松过程；齐次泊松过程；排队论1. 前言泊松分布是概率论中最重要的分布之一，在历史上泊松分布是由法国数学家泊松引人的。
近数十年来，泊松分布日益显现了其重要性而将泊松随机变量的概念加以推广就得到了泊松过程的概念。
泊松过程是被研究得最早和最简单的一类点过程，他在点过程的理论和应用中占有重要的地位。
泊松过程在现实生活的许多应用中是一个相当适合的模型，它在物理学、天文学、生物学、医学、通讯技术、交通运输和管理科学等领域都有成功运用的例子。
2. 泊松过程的概念定义3.2 ：设计数过程{ X(t)，t ≥ 0}满足下列条件：(1) X(0) = 0;(2) X(t)是独立增量过程;(3) 在任一长度为t 的区间中，事件A 发生的次数服从参数0t >λ的泊松分布，即对任意是s, t ≥ 0，有!)(})()({n t e n s X s t X P nt λλ-==-+， ,1,0=n 则称计数过程{ X(t)，t ≥ 0}为具有参数0>λ的泊松过程。
注意，从条件(3)知泊松过程是平稳增量过程且t t X E λ=)]([，由于，tt X E )]([=λ表示单位时间内事件A 发生的平均个数，故称λ为此过程的速率或强度。
从定义3.2中，我们看到，为了判断一个计数过程是泊松过程，必须证明它满足条件(1)、(2)及(3)。
条件(1)只是说明事件A 的计数是从t = 0时开始的。
条件(2)通常可从我们对过程了解的情况去验证。
然而条件(3)的检验是非常困难的。
为此，我们给出泊松过程的另一个定义。
定义3.3 ：设计数过程{ X(t)，t ≥ 0}满足下列条件：(1) X(0) = 0;(2) X(t)是独立平稳增量过程;(3) X(t)满足下列两式： o(h).2} X(t)-h)P{X(t o(h),h 1} X(t)-h)P{X(t =≥++==+λ则称计数过程{ X(t)，t ≥ 0}为具有参数0>λ的泊松过程。
定义中的条件(3)说明，在充分小的时间间隔内，最多有一个事件发生，而不能有两个或两个以上事件同时发生。
这种假设对于许多物理现象较容易得到满足。
3. 齐次泊松过程定理1 假设事件E 的发生形成强度为λ的齐次泊松过程0}t ;{N N t ≥≡，如果每一发生的事件仅以概率p 被记录到，以M 表示被记录到的事件序列，那么过程M 是强度为p λ的齐次泊松过程。
证明：根据前面的等价定义，只需证明对于任意长度b 的可表为有限多个互不相交区间之并的集合B 。
在B 中被记录到的事件数M(B)有参数为pb λ的泊松分布。
事实上，记q=1 - p ，则对于任意 ,2,1,0=n))((n B M p =!/)(!/)(!/)(]!/)([!!/)()()!/()())(())(|))((00n pq e n pq e e r pb n pb e r n pb pb e r n b eq p C r n B N P r n B N n B M p n pq n pq b r r n b r r n b r n b r n r n r n r λλλλλλλλλλλλλ--∞=-∞=-+-∞=+∞=====+=+=⨯+===∑∑∑∑基于这个定理，我们还可以证明如下的齐次泊松过程分解定理。
定理2 设N 是强度为λ的齐次泊松过程，p 是任意介于0和1之间的常数，则N 可以分解为两个互相独立的齐泊松过程M 和M '，它们的强度分别为p λ和q λ，这里q = 1- p 。
证明：我们可以这样想象，过程N 的点事件以概率p 被记录，而且各点事件是否被记录是互相独立的，于是，由上面的定理知道，N 中被记录的事件序列M 是强度为p λ的齐次泊松过程。
而没有被记录的事件序列M' 则形成一强度为q λ的齐次泊松过程。
显然有N=M+M '。
下面证明M 和M ' 的独立性。
为此只需证明对任愈非负整数m 和n ，以及任意可表为有限多个互不相交区间之并的集合有：))(',)((n B M m B M p ==]!/)(][!/)([n qb e m pb e n qb m pb λλλλ--=这里b 是集合B 的总长度。
因为事件n}(B)M'm,{M(B)==等价于事件，}m N(B)m,{M(B)n +==故 ))(',)((n B M m B M P ==))(,)((n m B N m B M P +===))(()(|)((n m B N P n m B N m B M P +=+===）)!/()(n m b eq p C n m b n m n n m +=+-+λλ ]!/)(][!/)([n qb e m pb e n qb m pb λλλλ--=容易看出，上面的论断可以推广到r 个独立过程的情形，这里r 是任意大于2的整数。
于是我们有如下的推论。
推论1 [2] 设N 是强度为λ的齐次泊松过程。
对于任意整数2≥r 和任意r 个满足条件11=∑=r i i p 的整数,,2,1r p p p 可以把N 分解为r 个强度分别为,,2,1r p p p λλλ 的互相独立的齐次泊松过程。
下面进一步研究选取概率不是一常数而是随时间变化的情形。
假设}0;{≥≡t N N t 强度为λ的泊松过程的事件可以分为两类：第一类和第二类，并且假设以事件发生的时间把事件的概率分为第一类。
假设如果一个事件发生的时间为t,而且与其他事件独立，于是他可以看成是概率为P(s)的第一类事件，也可以看成是概率为1-P(s)的第二类事件。
利用定理1我们能够证明下面的命题。
定理 3 如果)(t N i 表示的是到时间t 为止发生的第i 类事件的数量(i = 1,2),)(1t N 和)(2t N 分别表示的是参数为tp λ和)1(p t -λ的独立泊松随机变量， 其中：⎰=t ds s p tp 0)(1 证明：在N(t)已知的条件下，计算)(1t N 和)(2t N 的联合分布。
})(,)({21m t N n t N P ==})({})(|)(,)({1021k t N P k t N m t N n t N P k =====∑=})({})(|)(,)({21m n t N P m n t N m t N n t N P +=+====现在考虑在区间内的任一事件，如果事件发生的时间为s ，那么它是概率为P(s)的一类事件，因而利用定理1知道这个事件发生在均匀分布(0,t)上的某个时间，那么它必然是概率为⎰=t ds s p t p 0)(1的第一类事件，并且与其他事件来说是独立的。
因而})(|)(,)({21m n t N m t N n t N P +===刚好表示的是在n+m 次独立的实验中有n 次成功，m 次失败，用p 表示每次成功的概率，那么：})(|)(,)({21m n t N m t N n t N P +===m n p p nm n )1(-+=）（ 也就是：})(,)({21m t N n t N P ==)!()()1(!!)!(m n t e p p m n m n m n t m n +-+=+-λλ !))1((!)()1(m p t e n tp e mp t ntp -=---λλλλ 这就证明了定理的论断。
4. 排队论中应用举例例1 设在上午8时到下午8时运送乘客到达飞机场的小汽车形成强度为30=λ(辆/时)的齐次泊松过程。
如果每辆车载有1,2,3,4个乘客的概率分别为0.1，0.2，0.4，0.3。
求在一小时内有小汽车送到机场的乘客的平均数。
解：用)4,3,2,1(=i M i 表示在一小时内运送i 个乘客到达机场的小汽车数目，则由推论1知道4321,,,M M M M 是参数分别为3，6，12，9的泊松分布。
因此，4321,,,EM EM EM EM 分别等于对应的分布参数值，所以欲求的乘客的平均数为)432(4321M M M M E +++= 3 +12 + 36 + 36= 87例2 假设顾客到达服务站的人数服从强度为λ的泊松过程，到达的顾客很快就可以接受服务，并且假设服务时间是独立的并且服从一个普通的分布，记为G 。
解：为了计算在时刻t 已完成服务和正在接受服务的顾客的联合分布，把在时刻t 完成服务的顾客称为第一类，在时刻t 未完成服务的顾客称为第二类顾客，现在，如果第一个顾客到来的时间为t S S ≤,，如果他的服务时间少于t - s ，那么他就是第一类顾客，并且因为服务时间服从G 分布，所以服务时间少于t - s 的概率为G(t - s)因而，P(s) = G(t -s); S ≤ t 。
利用定理2我们得到的)(1t N 的分布。
到时间t 为止，已完成服务的顾客的数目服从泊松分布，其参数为：dy y G ds s t G t N E tt ⎰⎰=-=001)()()]([λλ 同理)(2t N ，到时刻t 仍然在接受服务的顾客的数目也是服从泊松分布，其参数为：⎰=tdy y G t N E 02)()]([λ，由此可见)(1t N 和)(2t N 是独立的。
5. 总结泊松过程是被研究得最早和最简单的一类点过程。
它在现实生活的许多应用中是一个相当适合的模型。
除了本文中所讲到的在排队论的应用之外, 它在其他的领域中也有广泛的应用。
例如物理学、天文学、生物学、医学、通讯技术、交通运输、保险和管理科学领域中都有成功应用的例子。
另外在本文排队论中的应用也可以做一些拓展。
参考文献：[1] 刘次华. 随机过程[M]. 武汉：华中科技大学出版社，2008。