2019-2020年中考数学总复习 第一轮 中考考点系统复习 第六单元 圆 第21讲 圆的基本性质试题
中考数学复习讲义课件 中考考点全攻略 第六单元 圆 小专题5 辅助圆问题
2．圆内接四边形对角互补，因此遇到四边形 ABCD中的动点问题，若满足其中一组对角角度之 和等于180°，可考虑作它的外接圆解题．如图3， 在四边形ABCD中，满足∠ABC＋∠ADC＝180°， 可知四边形ABCD有外接圆⊙O，其圆心O为任意 一组邻边的垂直平分线的交点(点O为AB和BC垂直 平分线的交点)．
【经典母题】 如图，△ABC为等边三角形，AB＝2.若P为△ABC内 一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度 的最小值为_______.
[解析] ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2. ∵∠PAB＝∠ACP， ∴∠PAC＋∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，
[思维方法] 根据线段BA与线段BQ关于线段BP所 在的直线对称可知，点Q在以点B为圆心，AB长为 半径的圆上运动，即点Q的运动轨迹是一段圆弧， 然后画出草图，再矩形的性质求出∠ABQ＝120°， 再由矩形的性质和轴对称性可知，△BOQ≌△DOC， 最后根据S阴影部分＝S四边形ABQD－S扇形ABQ ＝S四边形ABOD＋S△BOQ－S扇形ABQ可求出答 案．
小专题5辅助圆问题
类型一 定点定长作圆 方法解
读 平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定， 则点B的轨迹在以点A为圆心，AB长为半径的圆上 (如图1)．依据的是圆的定义：圆是所有到定点的 距离等于定长的点的集合．
推广：如图2，点E为定点，点F为线段BD上的动 点(不含点B)，将△BEF沿EF折叠得到△B′EF，则点 B′的运动轨迹为以点E为圆心，以线段BE为半径的 一段圆弧．若遇到求最值问题，可利用两点间线段 最短或垂线段最短解决。
12．如图，正方形ABCD的边长为4，等边△EFG内 接于此正方形，且E，F，G分别在边AB，AD， BC上，若AE＝3，求EF的长．
4.中考数学一轮复习教材梳理第六单元 圆含答案精品
第六单元圆第24课时圆的基本性质点对点·课时内考点巩固30分钟1. (2019柳州)如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是()A. ∠BB. ∠CC. ∠DEBD. ∠D第1题图2. (2019宜昌)如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是()A. 50°B. 55°C. 60°D. 65°第2题图3. (2019兰州)如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝()A. 110°B. 120°C. 135°D. 140°第3题图4. (2019甘肃省卷)如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的2倍，则∠ASB的度数是()A. 22.5°B. 30°C. 45°D. 60°第4题图5.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠DCB＝110°，则∠AED的度数为()A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°第5题图6. (2019西安高新一中模拟)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，∠DAB ＝48°，则∠AOC 的度数是( )A. 48°B. 96°C. 114°D. 132°第6题图7. (2019陕西黑马卷)如图，在⊙O 中，弦AB ∥CD ，连接BC ，OA ，OD .若∠BCD ＝25°，CD ＝OD ，则∠AOD 的度数是( )A. 140°B. 120°C. 110°D. 100°第7题图8. (2019赤峰)如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 交⊙O 于点C ，点D 是⊙O 上一点，∠ADC ＝30°，则∠BOC 的度数为( )A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°第8题图9. (2019贵港)如图，AD 是⊙O 的直径，AB ︵＝CD ︵，若∠AOB ＝40°，则圆周角∠BPC 的度数是( ) A. 40° B. 50° C. 60° D ．70°第9题图10. 如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，BD 为⊙O 的直径，AD ＝6，则BD 的长为( ) A. 3 B. 2 3 C. 4 3 D. 12第10题图11. 如图，AB 为⊙O 的直径，∠CAB ＝30°，CB ＝3，∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D ，则弦AD 的长为( )A. 2 3B. 2 2C. 3 3D. 3 2第11题图12. 如图，B 、C 是⊙A 上的两点，AB 的垂直平分线与⊙A 交于E 、F 两点，与线段AC 交于点D ，连接BC 、BD 、BF 、CF .若∠BFC ＝20°，则∠DBC ＝( )A. 30°B. 29°C. 28°D. 20°第12题图13. (2019西工大附中模拟)如图，已知△ABC 内接于⊙O ，EF 为⊙O 的直径，且点F 是弧BC ︵的中点．若∠B ＝40°，∠C ＝60°，则∠AFE 的度数为( )A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°第13题图14. (2019西安铁一中模拟)如图，在半径为3的⊙O中，弦BC、DE所对的圆周角分别是∠A、∠F，且∠A＋∠F＝90°.若BC＝4，则DE的长为()A. 13B. 4C. 5D. 2 5第14题图15.在圆内接四边形ABCD中，∠ACB＝∠ACD＝60°，对角线AC、BD交于点E.已知BC＝32，CD ＝22，则线段CE的长为()第15题图A. 32 2B. 7 5C. 62 5D. 22 316. (2019株洲)如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB 相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝________度．第16题图17.(2019安徽)如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为________．第17题图18.已知半径为5的⊙O中，弦AB＝52，弦AC＝5，则∠BAC的度数是________．点对线·板块内考点衔接10分钟1. (2019襄阳)如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是()A. AP＝2OPB. CD＝2OPC. OB⊥ACD. AC平分OB第1题图2. (2019西工大附中模拟)如图，已知⊙O的内接五边形ABCDE，连接BE、CE，若AB＝BC＝CE，∠EDC ＝130°，则∠ABE的度数为()A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°第2题图3.(2019天水)如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE.若∠D＝80°，则∠EAC的度数为()A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°第3题图4.(2019柳州)在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为________．5.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP、OA，则△AOP面积的最大值为________．第5题图点对面·跨板块考点迁移2分钟1. (2019安顺)如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC 为()第1题图A. 13 B. 22 C.223 D.24参考答案第24课时 圆的基本性质点对点·课时内考点巩固1. D 【解析】在⊙O 中，∵∠A 与∠D 都是BC ︵所对的圆周角，∴∠A ＝∠D .2. A 【解析】∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC ＝40°.∴在△OBC 中，∠BOC ＝180°－∠OCB －∠OBC ＝180°－40°－40°＝100°.∴∠A ＝12∠BOC ＝12×100°＝50°.3. D 【解析】∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A ＝40°，∴∠C ＝180°－∠A ＝140°.4. C 【解析】如解图，设圆心为O ，半径为r ，则AB ＝2r .连接OA 、OB ，则r 2＋r 2＝(2r )2，∴△OAB 为等腰直角三角形，∠AOB ＝90°.∴∠ASB ＝12∠AOB ＝45°.第4题解图5. B 【解析】如解图，连接AC ，∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝∠DCB －∠ACB ＝110°－90°＝20°，∴∠AED ＝∠ACD ＝20°.第5题解图6. B 【解析】∵AD ∥BC ，∴∠B ＝180°－∠DAB ＝132°，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠D ＝180°－∠B ＝48°，由圆周角定理得，∠AOC ＝2∠D ＝96°.7. C 【解析】如解图，连接OC ，∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠BCD ＝25°，∴∠AOC ＝50°，∵CD ＝OD ，OD ＝OC ，∴OC ＝OD ＝CD ，∴△COD 为等边三角形，∴∠COD ＝60°，∴∠AOD ＝∠AOC ＋∠COD ＝110°.第7题解图8. D 【解析】∵OC ⊥AB ，∴点C 是AB ︵的中点，即AC ︵＝BC ︵.∴∠BOC ＝∠AOC ＝2∠ADC ＝60°.9. B 【解析】∵AB ︵＝CD ︵，∴∠COD ＝∠AOB ＝40°，∴∠BOC ＝100°，∴∠BPC ＝12∠BOC ＝50°.10. C 【解析】∵∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，∴∠BCA ＝12×(180°－120°)＝30°.∴∠D ＝∠BCA ＝30°.∵BD为⊙O 的直径，∴∠BAD ＝90°.在Rt △BAD 中，BD ＝AD cos30°＝632＝4 3. 11. D 【解析】如解图，连接BD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°，在Rt △ABC 中，∵∠CAB ＝30°，∴AB ＝2CB ＝6，∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCD ＝45°，∵∠BAD ＝∠BCD ＝45°，∴△ABD 为等腰直角三角形，∴AD ＝22AB ＝22×6＝3 2.第11题解图12. A 【解析】∵∠BFC ＝20°，∴∠BAC ＝2∠BFC ＝40°，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－40°)＝70°.又∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠BAC ＝40°，∴∠DBC ＝∠ABC －∠ABD ＝70°－40°＝30°.13. A 【解析】如解图，连接OC 、CF .∵∠B ＝40°，∠ACB ＝60°，∴∠BAC ＝80°，∠AFC ＝∠ABC ＝40°，∵点F 是弧BC ︵的中点，∴∠BAF ＝∠CAF ＝40°，∴∠COF ＝2∠CAF ＝80°，∵OF ＝OC ，∴∠OFC ＝12(180°－80°)＝50°，∴∠AFE ＝∠OFC －∠AFC ＝10°.第13题解图14. D 【解析】如解图，连接DO 并延长，交⊙O 于点G ，连接EG 、FG ，则∠DFG ＝∠DEG ＝90°，又∵∠A ＋∠DFE ＝90°，∠GFE ＋∠DFE ＝90°，∴∠A ＝∠GFE .则GE ＝BC ＝4.∵⊙O 的半径为3，∴DG ＝6.在Rt △DEG 中，DE ＝DG 2－GE 2＝62－42＝2 5.第14题解图15. C 【解析】如解图，作BM ⊥AC 于点M ，DN ⊥AC 于点N ，则BM ∥DN ，∴△BME ∽△DNE ，∴MENE ＝BM DN ，∵∠ACB ＝∠ACD ＝60°，∴∠CBM ＝∠CDN ＝30°，∴CM ＝12BC ＝322，CN ＝12CD ＝2，∴BM ＝3CM ＝362，DN ＝3CN ＝6，∴MN ＝CM －CN ＝122，∴ME NE ＝32，∴EN ＝25MN ＝25，∴CE ＝CN ＋EN ＝2＋25＝625.第15题解图16. 20 【解析】∵AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且OC ⊥AB ，∴∠ADC ＝12∠AOC ＝45°.∵∠AEC＝65°，且∠AEC 是△ADE 的一个外角，∴∠BAD ＝∠AEC －∠ADC ＝20°.17. 2 【解析】如解图，连接OA 、OC ，∵∠CBA ＝45°，∴∠AOC ＝90°.又∵OA ＝OC ＝2，∴AC ＝2 2.在Rt △ACD 中，∠CDA ＝90°，∠CAD ＝30°，∴CD ＝AC ·sin30°＝ 2.第17题解图18. 105°或15° 【解析】如解图，连接OC ，OA ，OB .∵OC ＝OA ＝AC ＝5，∴△OAC 是等边三角形，∴∠CAO ＝60°，∵OA ＝OB ＝5，AB ＝52，∴OA 2＋OB 2＝AB 2，∴△OAB 是等腰直角三角形，∠OAB ＝45°，点C 的位置有两种情况，如解图①时，∠BAC ＝∠CAO ＋∠OAB ＝60°＋45°＝105°；如解图②时，∠BAC ＝∠CAO －∠OAB ＝60°－45°＝15°.综上所述，∠BAC 的度数是105°或15°.第18题解图点对线·板块内考点衔接1. A 【解析】如解图，连接OC .∵四边形OBCD 是平行四边形，OD ＝OB ，∴四边形OBCD 是菱形．∴OD ＝OC ＝CD .∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°.∵CD ∥OB ，∴CD ＝2OP ，OB ⊥AC .故B 、C 选项正确．∵△CBP ≌△COP (HL)，∴BP ＝OP .故D 选项正确．第1题解图2. B 【解析】如解图，连接OA ，OB ，OC ，OE ，∵AB ＝BC ＝CE ，∴AB ︵＝BC ︵＝CE ︵，∠1＝∠2＝∠3，在四边形BCDE 中，∵∠D ＝130°，∴∠CBE ＝50°，∠2＝2∠CBE ＝100°，∴∠1＝∠3＝∠2＝100°，∠AOE ＝360°－3×100°＝60°，∴∠ABE ＝12∠AOE ＝30°.第2题解图3. C 【解析】∵∠AEB ＋∠AEC ＝∠D ＋∠AEC ＝180°，∠D ＝80°，∴∠AEB ＝∠D ＝80°.∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D ＝80°，AB ＝BC ，∴∠B ＝∠AEB .∴∠BAE ＝180°－2∠B ＝20°，∠BAC ＝∠ACB ＝12(180°－∠B )＝50°.∴∠EAC ＝∠BAC －∠BAE ＝30°.4. 52 【解析】如解图，四边形ABCD 为正方形，BD 为⊙O 的直径，OA 为半径，则OA ＝OB ＝5，OA ⊥OB ，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝52＋52＝5 2.第4题解图5.174【解析】如解图，延长AO 至C 点，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，延长FD 交⊙D 于点P ′，连接AP ′，OP ′，要使△AOP 面积最大，则只需AO 边上的高最大，此时P ′满足条件，即P ′F 为△AOP 的AO 边上最大的高．∵DF ＝AD ·CD AC ＝4×342＋32＝125，∴P ′F ＝DF ＋DP ′＝125＋1＝175，AO ＝12AC ＝52，∴△AOP 的最大面积为12AO ·P ′F ＝12×52×175＝174.第5题解图点对面·跨板块考点迁移1. D 【解析】如解图，连接AC 、AO ，得到等腰三角形AOC ，过A 点作AD ⊥OC ，垂足为点D ，∴∠CAD ＝12∠CAO ＝∠OBC ，∵点C 坐标为(0，2)，∴CD ＝OD ＝1，∴在Rt △ACD 中，AD ＝AC 2－CD 2＝32－12＝22，∴tan ∠OBC ＝tan ∠CAD ＝CD AD ＝122＝24.第1题解图第六单元 圆第25课时 与圆有关的位置关系点对点·课时内考点巩固30分钟1. (2019广州)平面内，⊙O 的半径为1，点P 到O 的距离为2，过点P 可作⊙O 的切线的条数为( ) A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 无数条2. (2019重庆B 卷)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，若∠C ＝40°，则∠B 的度数为( )第2题图A. 60°B. 50°C. 40°D. 30° 点对线·板块内考点衔接60分钟1. (2019哈尔滨)如图，P A 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，点C 为⊙O 上一点，连接AC 、BC ，若∠P ＝50°，则∠ACB 的度数为( )A. 60°B. 75°C. 70°D. 65°第1题图2. (2019舟山)如图，已知⊙O 上三点A ，B 、C ，半径OC ＝1，∠ABC ＝30°，切线P A 交OC 延长线于点P ，则P A 的长为( )A. 2B. 3C. 2D. 1 2第2题图3.如图，AB是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC.若AB＝10，∠P ＝30°，则AC的长度是()A. 5 3B. 5 2C. 5D. 5 2第3题图4. (2019泰安)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P 的度数为()A. 32°B. 31°C. 29°D. 61°第4题图5. (北师九下P92例2题改编)如图，边长为23的等边△ABC的内切圆的半径为()A. 1B. 3C. 2D. 2 3第5题图6. (2019贺州)如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝3OD，AB＝12，CD的长是()A. 2 3B. 2C. 3 3D. 4 3第6题图7.如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，连接BD.若CD＝BD＝43，则OE的长度为()第7题图A. 3B. 2C. 2 3D. 48. (2018益阳)如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD＝DC，则∠C＝________度．第8题图9.(2019南京)如图，P A、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A ＋∠C＝________°.第9题图10. (2019眉山)如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝42，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点)，则线段PQ长的最小值为________．第10题图11.(2019陕师大附中模拟)如图，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若BE＝2，BD＝4，求⊙O的半径．第11题图12.如图，MP与⊙O相切于点M，连接PO并延长，交⊙O于点A、B，弦AC∥MP，连接OM、BC、CM.(1)求证：OM∥BC；(2)若∠P＝30°，求证：四边形BCMO为菱形．第12题图13.如图，AB为⊙O的直径，AD、BE为⊙O的弦，延长AD、BE交于点C，且AB＝AC，过点B作⊙O的切线交AC 的延长线于点F .(1)求证：BE ＝CE ；(2)若BF ＝4，CF ＝2，求AD 的长．第13题图14. (2019西安交大附中模拟)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点，以AD 为直径的⊙O 交AC 于点E ，⊙O 的切线EF 交CD 于点F .(1)求证：EF ⊥CD ；(2)若AC ＝10，cos A ＝56，求线段DF 的长．第14题图15. (2019黄冈改编)如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点E ，连接OE .(1)求证：△DBE 是等腰三角形；(2)求证：CA ·CE ＝CO ·CB .第15题图16. (2019凉山州)如图，点D 是以AB 为直径的⊙O 上一点，过点B 作⊙O 的切线，交AD 的延长线于点C ，E 是BC 的中点，连接DE 并延长与AB 的延长线交于点F .(1)求证：DF 是⊙O 的切线； (2)若OB ＝BF ，EF ＝4，求AD 的长．第16题图17. 如图，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，D 是AB 上一点，以BD 为直径的⊙O 切AC 于点E ，交BC 于点F ，连接DF .(1)求证：DF ＝2CE ；(2)若BC ＝3，sin B ＝45，求线段BF 的长．第17题图18. (2019新疆)如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D, CE⊥AB于点E.(1)求证：∠BCE＝∠BCD；(2)若AD＝10，CE＝2BE，求⊙O的半径．第18题图参考答案第25课时 与圆有关的位置关系点对点·课时内考点巩固1. C 【解析】根据切线的定义进行判断，过圆外一点可以作两条直线和圆相切．2. B 【解析】∵AC 是⊙O 的切线，∴AB ⊥AC ，∵∠C ＝40°，∴∠B ＝50°. 点对线·板块内考点衔接1. D 【解析】如解图，连接OA 、OB ，∵P A 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，∴OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∴∠AOB ＝180°－∠P ＝180°－50°＝130°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝12×130°＝65°.第1题解图2. B 【解析】如解图，连接OA ，∵∠AOC 与∠ABC 是AC ︵所对的圆心角和圆周角，∴∠AOC ＝2∠ABC ＝60°，∵AP 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AP ，∴AP ＝OA ·tan ∠AOC ＝1·tan60°＝ 3.第2题解图3. A 【解析】如解图，连接BC ，∵AP 是⊙O 的切线，∴∠BAP ＝90°.∵∠P ＝30°，∴∠AOP ＝60°.∴∠BOC ＝60°.∵OC ＝OA ，∴∠ACP ＝∠BAC ＝12∠BOC ＝30°.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝30°，AB ＝10，∴AC ＝5 3.第3题解图4. A 【解析】如解图，设BP 与⊙O 交于点M ，连接OC ，CM .∵PC 是⊙O 的切线，∴∠OCP ＝90°.∵四边形ABMC 是圆内接四边形，∠A ＝119°，∴∠BMC ＝180°－119°＝61°.∵OC ＝OM ，∴∠OCM ＝∠OMC ＝61°.∴在△COM 中，∠COM ＝58°.∴在△COP 中，∠P ＝180°－∠COM －∠OCP ＝180°－58°－90°＝32°.第4题解图5. A 【解析】如解图，连接OA ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，∵⊙O 是等边三角形ABC 的内切圆，∴OD ⊥AB ，D 为AB 的中点．∵AB ＝23，∴AD ＝12AB ＝ 3.∵在等边△ABC 中，∠CAB ＝60°，∴∠OAD＝30°. ∴tan ∠OAD ＝ODAD. ∴ OD ＝AD ·tan30°＝1.第5题解图6. A 【解析】∵AD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AD .在Rt △AOD 中，AD ＝3OD ，∴tan A ＝OD AD ＝OD3OD ＝33.∴∠A ＝30°.∴∠AOD ＝60°.∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠ABD ＝12∠AOD ＝30°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD ＝∠ABD ＝30°，∴∠ABC ＝60°，∴∠C ＝90°. 在Rt △ABC 中，sin A ＝BC AB ，AB ＝12，∴BC ＝AB ·sin A ＝12×12＝6. 在Rt △CBD 中，CD ＝BC ·tan ∠CBD ＝6×33＝2 3. 7. B 【解析】如解图，连接OD ，∵直线CD 与⊙O 相切于点D ，∴OD ⊥CD ，∴∠ODC ＝90°，∵CD ＝BD ＝43，∴∠C ＝∠B ，∵OD ＝OB ，∴∠B ＝∠ODB ，∴∠DOE ＝∠B ＋∠ODB ＝2∠B ＝2∠C ，在Rt △OCD 中，∠DOE ＝2∠C ，则∠DOE ＝60°，∠C ＝30°，∴OD ＝CD ·tan C ＝43×33＝4，∵DF ⊥AB ，∴∠DEO ＝90°，在Rt △ODE 中，OE ＝OD ·cos ∠EOD ＝4×12＝2.第7题解图8. 45 【解析】∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵BC 为⊙O 的切线，∴AB ⊥BC ，∴∠ABC ＝90°，∵AD ＝CD ，∴△ABC 为等腰直角三角形，∴∠C ＝45°.9. 219 【解析】如解图，连接AB ，∵P A 、PB 是⊙O 的切线，∴P A ＝PB ，∵∠P ＝102°，∴∠P AB ＝∠PBA ＝12(180°－102°)＝39°，∵∠DAB ＋∠C ＝180°，∴∠P AD ＋∠C ＝∠P AB ＋∠DAB ＋∠C ＝180°＋39°＝219°.第9题解图10. 23 【解析】如解图，连接OQ ，则PQ ＝OP 2－OQ 2，根据题意可知OQ 长为定值，若使得PQ 最小，只要OP 最小即可，当OP ⊥AB 时能取得最小值．∵OA ＝OB ＝42，∴AB ＝8，∴OP ＝4，∴PQ ＝42－22＝2 3.第10题解图11. (1)证明：如解图，连接OD ， ∵BC 是⊙O 的切线， ∴OD ⊥BC ， 又∵AC ⊥BC ， ∴OD ∥AC ， ∴∠2＝∠3； ∵OA ＝OD ， ∴∠1＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∴AD 平分∠BAC ；第11题解图(2)解：设⊙O的半径为r，在Rt△BOD中，有OD2＋BD2＝OB2，即r2＋42＝(2＋r)2，解得r＝3.∴⊙O的半径为3.12.证明：(1)∵MP与⊙O相切于点M，∴OM⊥MP，又∵AC∥MP，∴OM⊥AC，又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∴OM∥BC；(2)∵AC∥MP，∠P＝30°，∴∠BAC＝∠P＝30°，∵∠ACB＝90°，∴AB＝2BC，又∵AB＝2OB，∴BC＝OB＝OM，∵OM∥BC，∴四边形BCMO为平行四边形，又∵OB＝OM，∴四边形BCMO为菱形．13. (1)证明：如解图，连接AE.∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，∴E为BC边的中点，∴BE＝CE；第13题解图(2)解：如解图，连接BD ，设⊙O 的半径为r . ∵BF 为⊙O 的切线， ∴∠ABF ＝90°.在Rt △ABF 中，AB 2＋BF 2＝AF 2， 即(2r )2＋42＝(2r ＋2)2， 解得r ＝32.∴AB ＝AC ＝2r ＝3，AF ＝2r ＋2＝5. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝∠ABF ＝90°. 又∵∠BAD ＝∠F AB ， ∴Rt △ABD ∽Rt △AFB . ∴AB AF ＝AD AB ，即35＝AD3. ∴AD ＝95.14. (1)证明：如解图，连接OE ， ∵OA ＝OE ， ∴∠A ＝∠OEA ，∵∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点， ∴AD ＝CD ， ∴∠A ＝∠DCA ， ∴∠OEA ＝∠DCA ， ∴OE ∥CD ， ∵EF 为⊙O 的切线， ∴OE ⊥EF ， ∴EF ⊥CD ；第14题解图(2)解：∵cos A ＝56，∴AC AB ＝56， ∵AC ＝10， ∴AB ＝12，∵∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点， ∴AD ＝DC ＝12AB ＝6，由(1)可得，OE ∥CD ，∴AE ＝12AC ，△OEA ∽△DCA ，∴AO AD ＝AE AC ＝12， ∴AE ＝EC ＝12AC ＝5，∵cos A ＝cos ∠DCA ＝CFCE ，∴CF ＝256，∴DF ＝CD －CF ＝6－256＝116.15. 证明：(1)如解图，连接OD 、CD ， ∵DE 是⊙O 的切线， ∴∠ODE ＝90°，在Rt △OCE 和Rt △ODE 中，⎩⎪⎨⎪⎧OC ＝OD OE ＝OE ， ∴Rt △OCE ≌Rt △ODE (HL)， ∴DE ＝CE ， ∴∠ECD ＝∠CDE ， ∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠CDA ＝90°， ∴∠CDB ＝90°，∴∠B ＋∠ECD ＝90°，∠CDE ＋∠BDE ＝90°， ∵∠ECD ＝∠CDE ， ∴∠BDE ＝∠B ， ∴BE ＝DE ，∴△DBE 是等腰三角形；第15题解图(2)由(1)可得，BE ＝DE ＝CE ， ∴点E 是BC 的中点， ∴OE 是△ABC 的中位线， ∴OE ∥AB ， ∴△COE ∽△CAB . ∴CO CA ＝CE CB， ∴CA ·CE ＝CO ·CB .16. (1)证明：如解图，连接OD ，BD ， ∵BC 是⊙O 的切线， ∴BC ⊥OB ， ∴∠OBC ＝90°. ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°. ∴∠CDB ＝90°. ∵E 是BC 的中点， ∴ED ＝EB ＝12BC ，∴∠EDB ＝∠EBD . ∵OD ＝OB ， ∴∠ODB ＝∠OBD ， ∴∠ODF ＝∠OBC ＝90°， ∴DF ⊥OD .∵OD 是⊙O 的半径， ∴DF 是⊙O 的切线；第16题解图(2)解：由(1)知∠ODF ＝90°，∵OD ＝OB ＝BF ， ∴sin F ＝OD OF ＝12，∴∠F ＝30°，∵∠DOB ＋∠F ＝90°， ∴∠DOB ＝60°， ∴△ODB 是等边三角形， ∴∠OBD ＝60°， ∴tan ∠OBD ＝ADBD ＝3，∴AD ＝3BD . ∵BC ⊥AF ， ∴BE EF ＝sin F ＝12. ∵EF ＝4， ∴BE ＝2，∴BF ＝EF 2－BE 2＝23＝OB ＝DB ， ∴AD ＝3BD ＝6.17. (1)证明：如解图，连接OE 交DF 于点G ， ∵AC 切⊙O 于点E ， ∴∠CEO ＝90°， 又∵BD 为⊙O 的直径， ∴∠DFC ＝∠DFB ＝90°， ∵∠C ＝90°，∴四边形CEGF 为矩形， ∴CE ＝GF ，∠EGF ＝90°， ∴DF ＝2CE ；第17题解图(2)解：在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，BC ＝3，sin B ＝45，∴AB ＝5，设OE ＝x ，∵OE ∥BC ， ∴△AOE ∽△ABC ，∴OE BC ＝AO AB， ∴x 3＝5－x 5， ∴x ＝158，∴BD ＝2OE ＝154，在Rt △BDF 中，∵∠DFB ＝90°，sin B ＝45，∴cos B ＝35＝BF BD ＝BF154，∴BF ＝94.18. (1)证明：如解图，连接OC ，AC ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，∴∠ACO ＋∠OCB ＝90°， 又∵CD 是⊙O 的切线， ∴∠OCD ＝90°， ∴∠OCB ＋∠BCD ＝90°. ∴∠ACO ＝∠BCD . ∵CE ⊥AB ， ∴∠CEB ＝90°， ∴∠BCE ＋∠ABC ＝90°. ∵∠A ＋∠ABC ＝90°， ∴∠BCE ＝∠A . ∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ＝∠BCD . ∴∠BCE ＝∠BCD ；第18题解图(2)解：如解图，过点B 作BF ⊥CD 于点F ，得△BFD ∽△CED . 由(1)得∵BC 平分∠ECD ，∴BF ＝BE . ∵CE ＝2BE ， ∴BD CD ＝BF CE ＝BE CE ＝12. 即CD ＝2BD .∵∠BCD ＝∠A ，∠CDB ＝∠ADC ， ∴△CBD ∽△ACD ， ∴BD CD ＝CD AD. ∵AD ＝10， ∴BD ＝52，∴AB ＝152，∴OA ＝154.∴⊙O 的半径为154.第六单元 圆第26课时 与圆有关的计算点对点·课时内考点巩固5分钟1. (2019长沙)一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则这个扇形的面积是( ) A. 2π B. 4π C. 12π D. 24π2. (2019青海)如图，在扇形AOB 中，AC 为弦，∠AOB ＝140°，∠CAO ＝60°，OA ＝6，则BC ︵的长为( )第2题图A. 4π3 B. 8π3C. 23πD. 2π3. (2019哈尔滨)一个扇形的弧长是11π cm ，半径是18 cm ，则此扇形的圆心角是________度．点对线·板块内考点衔接15分钟1. (2019枣庄)如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以点B 为圆心，AB 为半径画弧，交对角线BD 于点E ，则图中阴影部分的面积是(结果保留π)( )A. 8－πB. 16－2πC. 8－2πD. 8－12π第1题图2. (2019绍兴)如图，△ABC 内接于⊙O ，∠B ＝65°，∠C ＝70°.若BC ＝22，则BC ︵的长为( ) A. π B. 2π C. 2π D. 22π第2题图3. (2019青岛)如图，线段AB 经过⊙O 的圆心，AC ，BD 分别与⊙O 相切于点C ，D .若AC ＝BD ＝4，∠A ＝45°，则CD ︵的长度为( )A. πB. 2πC. 22πD. 4π第3题图4. (2019南充)如图，在半径为6的⊙O 中，点A ，B ，C 都在⊙O 上，四边形OABC 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( )A. 6πB. 33πC. 23πD. 2π第4题图5. (2019山西)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝23，BC ＝2，以AB 的中点O 为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为( )A.534－π2 B. 534＋π2C. 23－πD. 43－π2第5题图6. (2019泰安)如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，AB ︵恰好经过圆心O ，若⊙O 的半径为3，则AB ︵的长为( ) A. 12π B. π C. 2π D. 3π第6题图7. (2019重庆A 卷)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，∠ABC ＝60°，AB ＝2.分别以点A ，点C 为圆心，以AO 的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π)第7题图8. (全国视野创新题推荐·2019贵阳)如图，用等分圆的方法，在半径为OA 的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA ＝2，则四叶幸运草的周长是________．第8题图点对面·跨板块考点迁移2分钟1. (2019天水)如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D 经过原点O ，与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，B 点坐标为(0，23)，OC 与⊙D 相交于点C ，∠OCA ＝30°，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留根号和π)第1题图参考答案第26课时 与圆有关的计算点对点·课时内考点巩固1. C 【解析】∵扇形的半径为6，圆心角为120°，∴S 扇形＝120·π·62360＝12π.2. B 【解析】如解图，连接CO ，∵OC ＝OA ，∠CAO ＝60°，∴△AOC 为等边三角形．∴∠AOC ＝60°，∴∠BOC ＝∠AOB －∠AOC ＝80°，∴BC ︵的长为80×6π180＝8π3.第2题解图3. 110 【解析】设此扇形的圆心角为n °，根据题意得l ＝nπr 180＝nπ·18180＝11π，解得n ＝110. 点对线·板块内考点衔接1. C 【解析】∵正方形ABCD 的边长为4，∴AB ＝4，∠ABD ＝45°.∴S 阴影＝S △ABD －S 扇形ABE ＝12×AB 2－45π×AB 2360＝12×42－45π×42360＝8－2π.2. A 【解析】如解图，连接OB ，OC .∵∠ABC ＝65°，∠ACB ＝70°，∴∠A ＝180°－∠ABC －∠ACB ＝45°，∵∠1＝2∠A ＝90°，OB ＝OC ，∴△OBC 是等腰直角三角形，∵BC ＝22，∴OB ＝OC ＝2，∴BC ︵的长为90×π×2180＝π.第2题解图3. B 【解析】如解图，连接OC ，OD .∵AC ，BD 分别与⊙O 相切于点C ，D ，∴OC ⊥AC ，OD ⊥BD . ∵∠A ＝45°，∴△ACO 是等腰直角三角形，∴AC ＝OC ＝OD ＝4.∵AC ＝BD ＝4，∴△BDO 是等腰直角三角形，∴∠AOC ＝∠BOD ＝45°，∴∠COD ＝90°. ∴CD ︵的长为90π×4180＝2π.第3题解图4. A 【解析】如解图，连接OB ，交AC 于点D .由题意易知四边形OABC 为菱形，∴△OAB 为等边三角形，∴S △OAD ＝S △BCD ，∠AOB ＝60°，∵⊙O 的半径为6.∴S 阴影＝S 扇形AOB ＝60360×π×62＝6π.第4题解图5. A 【解析】如解图，连接OD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E .∵在Rt △ABC 中，AB ＝23，BC ＝2，∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝2 3.在Rt △ABC 中，∵tan ∠BAC ＝BC AB ＝223＝33，∴∠BAC ＝30°，∴∠BOD ＝60°.∵OA ＝OB ＝OD ＝12AB ＝3，∴S 扇形BOD ＝60·π·OD 2360＝π2.∵DE ＝OD ·sin60°＝32，∴S △AOD ＝12OA ·DE ＝334.∴S 阴影＝S △ABC －S △AOD －S 扇形BOD ＝534－π2.第5题解图6. C 【解析】如解图，过点O 作OM ⊥AB 于点M ，连接AO 、BO ，∵⊙O 的半径为3，∴OM ＝12×3＝32.∵在Rt △AOM 中，OM ＝12OA ，∴∠OAB ＝30°，∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠OAB ＝30°，∴∠AOB ＝120°.∴AB ︵的长为120π×3180＝2π.第6题解图7. 23－2π3 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝CO ，∵∠ABC ＝60°，∴∠BAD ＝∠BCD ＝120°，∵AB ＝2，∴AO ＝1，BO ＝3，∴S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝2AO ·BO ＝23，S 扇形＝2×120π×12360＝2π3，∴S 阴影＝23－2π3. 8. 42π 【解析】如解图，根据题意可知四叶幸运草的周长是以AB 为直径的4个半圆弧长，∵OA ＝OB ＝2，∠AOB ＝90°，在Rt △AOB 中，AB ＝OA 2＋OB 2＝22＋22＝22，∴AB ︵的长为12×π×22＝2π，∵四叶幸运草的周长为2π×4＝42π.第8题解图点对面·跨板块考点迁移1. 2π－23 【解析】如解图，连接OD 、AB ，∵∠AOB ＝90°，A 、O 、B 在⊙D 上，∴AB 是⊙D 的直径，∵∠OCA ＝30°，∴∠ODA ＝60°，∠ABO ＝30°.∴△AOD 为等边三角形，∴OD ＝OA ＝OB ·tan30°＝23×33＝2.∴S 阴影＝12S ⊙D －S △AOB ＝12π×22－12×2×23＝2π－2 3.第1题解图。
人教版中考数学考点系统复习 第六章 圆 第一节 圆的基本性质
论有
( C)
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
10．(2021·随州第12题3分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延 长交⊙O于点D，若∠C＝50°，则∠BAD的度数为440 0°°.
11．(2022·随州第12题3分)如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ABC＝60 °，则∠AOC的度数为121020°°.
另解：计算∠AEB＝135°也可以得证．
(2)若AB＝10，BE＝2 10，求BC的长． 解：如图，连接 OC，CD，OD，OD 交 BC 于点 F. ∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD，∴BD＝DC. ∵OB＝OC，∴OD 垂直平分 BC. ∵△BDE 是等腰直角三角形，BE＝2 10， ∴BD＝2 5. ∵AB＝10，∴OB＝OD＝5. 设 OF＝t，则 DF＝5－t. 在 Rt△BOF 和 Rt△BDF 中， 52－t2＝(2 5)2－(5－t)2. 解得 t＝3.∴BF＝4.∴BC＝8.
长是
( A)
A．10
B．8
C．6
D．4
7．★(2019·十堰第8题3分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB 的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝ 13，则AE的长为( D ) A．3 B．3 2 C．4 3 D．2 3
8．(2022·宜昌第7题3分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB, OD,
(4)若∠CAB＝30°，则∠CDB＝3300°°，∠COB＝6600°°，∠OCB＝6600°°；若
B 为︵CD的中点，则∠BCD＝3300°°； (5)当 CD⊥AB 时，若 AB＝10，CD＝8，则 BE＝22，AE＝88，BC＝22 5 ， AC＝44 5 ；
中考圆知识点总结复习(教学课件)
一、圆的概念
集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；
3、点在圆外 点 在圆外；
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 无交点；
2、直线与圆相切 有一个交点；
3、直线与圆相交 有两个交点；
四、圆与圆的位置关系
外离（图1） 无交点 ；
外切（图2） 有一个交点 ；
相交（图3） 有两个交点 ；
内切（图4） 有一个交点 ；
内含（图5） 无交点 ；
五、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理
切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵ 、 是的两条切线
∴ ； 平分
十一、圆幂定理
1、相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在⊙ 中，∵弦 、 相交于点 ，
即：在⊙ 中，∵ 、 是割线
∴
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图： 垂直平分 。
即：∵⊙ 、⊙ 相交于 、 两点
∴ 垂直平分
十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长： 中， ；
中考数学 精讲篇 考点系统复习 第六章 圆 第一节 圆的基本性质
圆与边 BC 相切于点 D，与 AC，AB 分别交于点 E 和点 G，点 F 是优弧G︵E上
一点，∠CDE＝18°，则∠GFE 的度数是
( B)
A．50° B．48° C．45° D．36°
1．垂径定理的应用类型： (1)如图，下列五个结论：①︵AC＝C︵B；②︵AD＝D︵B；③AM＝BM； ④AB⊥CD；⑤CD 是直径．只要满足其中的两个，另外三个结论 一定成立(简称为“知二推三”)； (2)如图，在 Rt△AOM 中，满足 r2＝d2＋a2，利用勾股定理可以对半径、 弦、弦心距“知二求一”．
又∵AD＝BC，∴EC＝BC.∴OM＝ON， ∴CO 平分∠BCE.
命题点 2：垂径定理及其推论(近 6 年考查 2 次)
4．(2020·安徽第 9 题 4 分)已知点 A，B，C 在⊙O 上，则下列命题为真
命题的是
(B)
A．若半径 OB 平分弦 AC，则四边形 OABC 是平行四边形
B．若四边形 OABC 是平行四边形，则∠ABC＝120°
第六章 圆 第一节 圆的基本性质
1．如图，AB，CD 是⊙O 的直径，连接 AC，BC，AD，BD，若∠ABC＝40°， 则∠AOC＝8 80°0°，∠ADC＝4040°°，∠ACB＝9 90°0°，∠BAC＝ 5 500°°.
2．(RJ 九上 P90 练习 T9 改编)如图，在以点 O 为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦 AB 交小圆于 C，D 两点，若大圆的半径 R＝10，小圆的半径 r＝ 8，且圆心 O 到线段 AB 的距离为 6，则 AC 的长为__88－－22 7 __．
解：(1)∵OP⊥PQ，PQ∥AB，∴OP⊥AB， 在 Rt△OPB 中， OP＝OB·tan∠ABC＝3·tan 30°＝ 3.
人教版九年级数学中考复习第一轮专题--6.强化训练第六章 圆
∵DO=BO, ∴∠ODB=∠OBD, ∴∠AOD=2∠ODB=∠EDO. ∵∠CAB=∠CDB=45°=∠EDO+∠ODB=3∠ODB, ∴∠ODB=15°=∠OBD. ∵∠BAF=∠DBA=15°,
∴AF=BF,∠AFD=30°. ∵AB 是直径,∴∠ADB=90°, ∴AF=2AD,DF= AD, ∴BD=DF+BF= AD+2AD,
C.G,H,E
D.H,E,F
5.(2018 福建)如图,AB 是☉O 的直径,BC 与☉O 相切于点 B,AC 交
☉O 于点 D,若∠ACB=50°,则∠BOD 等于( D )
A.40°
B.50°
C.60°
D.80°
第 5 题图
第 6 题图
6.(2018 哈尔滨)如图,点 P 为☉O 外一点,PA 为☉O 的切线,A 为切
(1)求证:EG 是☉O 的切线;
(2)延长 AB 交 GE 的延长线于点 M,若 AH=2,CH=2 2,求 OM 的 长. (1)证明:连接 OE,如图,
∵GE=GF,∴∠GEF=∠GFE. 而∠GFE=∠AFH,∴∠GEF=∠AFH. ∵AB⊥CD,∴∠OAF+∠AFH=90°, ∴∠GEA+∠OAF=90°. ∵OA=OE,∴∠OEA=∠OAF, ∴∠GEA+∠OEA=90°,即∠GEO=90°, ∴OE⊥GE,
第23讲 与圆有关的位置关系
1.(2011.(2019 南岗)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以
点 A 为圆心作圆,如果圆 A 与线段 BC 没有公共点,那么圆 A 的半
2023年中考数学复习第一部分考点梳理第六章圆第1节圆的基本概念与性质
十年真题精选
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教材知识网络
重难考点突破
-3-
6.1 圆的基本概念与性质
2.(2021·安徽第20题)如图,圆O中两条互相垂直的弦AB,CD交
于点E.
(1)M是CD的中点,OM＝3,CD＝12,求圆O的半径长;
(2)点F在CD上,且CE＝EF,求证:AF⊥BD.
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在Rt△AOD中,∵AD＝ AB＝3,∠OAD＝41.3°,
∴OD＝AD·tan
41.3°≈3×0.88＝2.64,OA＝
.°
≈
＝
.
4,
∴CD＝CO＋OD＝OA＋OD＝6.64米.
答:运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离约为6.64米.
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6.1
圆的基本概念与性质
6.1 圆的基本概念与性质
十年真题精选
十年真题精选(学用见P113~114)
命题点1垂径定理及其推论[10年7考]
1.(2022·安徽第7题)已知☉O的半径为7,AB是☉O的弦,点P在
弦AB上.若PA＝4,PB＝6,则OP＝(
A.
B.4
C.
D.5
)D
十年真题精选
重难考点突破
-4-
6.1 圆的基本概念与性质
解:(1)如图,连接OC,OD.
因为M是CD的中点,且CD＝12,
所以CM＝DM＝6,且OM⊥DM.
在Rt△OMD中,由勾股定理,得OD＝ ＋ ＝ ＋
＝3 ,
所以圆O的半径长为3 .
十年真题精选
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2020年中考数学一轮复习基础考点及题型专题 圆(解析版)
专题圆考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一与圆有关的概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，⑶其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．⏜，读作弧AB．在同圆或等弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB圆中，能够重合的弧叫做等弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧， 小于半圆的弧叫做劣弧．弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 弦心距、半径、弦长的关系：（考点）圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角．圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 三角形的外接圆1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 2）三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.3）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.圆内接四边形概念：如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形。
中考数学第六章 圆 第二节 与圆有关的位置关系
方法
考法 切线的判定及性质
提分特训
1.[2021武汉中考]如图, AB是☉O的直径,C,D是☉O上两点,点C是的
中点,过点C作AD的垂线,垂足是点E.连接AC交BD于点F.
(1)求证:CE是☉O的切线;
(2)若 =
6,求cos∠ABD的值.
前往
考点
方法
真题
作业
方法
考法 切线的判定及性质
2
+−
的半径r=
(其中a,b为直角边长,c为斜边长).
2
前往
考点
方法
真题
作业
考点
考点4
正多边形和圆的相关计算 基础点
设正n边形的外接圆半径为R,边长为a,边心距为r.
180°
R·cos
或
边心距r
a 2
2
−( )
2
周长C
na
面积S
1
nar
2
前往
考点
方法
真题
作业
考点
考点4
正多边形和圆的相关计算 基础点
在Rt△OBG中,由勾股定理得OG2+BG2=OB2.
∴(r-
3 2
2
2
2
2t) +(2t) =r ,解得r= t,
2
2 2 2
∴cos∠ABD= = 3 2 = .
3
2
前往
考点
方法
真题
作业
方法
考法 切线的判定及性质
提分特训
2.如图,点O是菱形ABCD的对角线AC上的一点,以点O为圆心,OA为
作业
真题
命题点1 切线的判定(5年3考)
2024年中考数学总复习考点梳理第六章第三节与圆有关的计算
改变图形
设问)
第三节 与圆有关的计算
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考情分析
年份 题号 题型 分值 图形背景 计算公式 设问
结果 溯源教材 教材改编维度
网格，等腰
解答题( 2019 22(2)
4 直角三角形
nπr 2
求阴影面积 20－5π
/
/
二)
360
，扇形
nπr 2
2018 15 填空题 4 矩形，半圆 360 求阴影面积 π
第三节 与圆有关的计算
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2. (2022广东15题3分)扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形 的面积(结果保留π)为_π_． 3. (2021广东13题4分)如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝ 90°，BC＝4.分别以点B，点C为圆心，线段BC长的一半为半径 作圆弧，交AB，BC，AC于点D，E，F， 则图中阴影部分的面积为_4_－__π_．
返回目录
改编维度 第1次改编：改变半径，直径是1 m的铁皮→半径是1 m的铁皮； 第2次改编：改变度数，剪出一个圆心角为90°的扇形→剪出一个圆周 角为120°的扇形．
第三节 与圆有关的计算
返回目录
维度拓展 改变扇形顶点的位置，改变设问． 如图，从一块半径是 13 cm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为60°的扇形， 将剪下的扇形围成一个圆锥，若OA＝2 cm，则 BC 的长是___3_π__．
1 教材改编题课前测 2 教材知识逐点过 3 广东近6年真题
第三节 与圆有关的计算
返回目录
广东近6年考情及趋势分析
命题点1 圆锥的有关计算(2020.16) 考情及趋势分析
考情分析
年份 题号 题型 分值
已知
设问 计算公式溯源教材教材改编维度半径(母线长)
【人教版】2019年春九年级数学下册：全册中考知识点梳理第六单元 圆; 与圆有关的位置关系
知识点四：三角形与圆
5.三角形的外接圆
图形
相关概念
圆心的确定
内、外心的性质
内切圆半径与三角形边的关系：
（1）任意三角形的内切圆（如图a），设三角形的周长为C，则S△ABC=1/2Cr.
（2）直角三角形的内切圆（如图b）
相切
相交
由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况.
例：已知：⊙O的半径为2，圆心到直线l的距离为1，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是1或3.
图形
公共点个数
0个
1个
2个
数量关系
d＞r
d＝r
d＜r
知识点二：切线的性质与判定
3.切线
的判定
到三角形的三个顶点的距离相等
6.三角形的内切圆
与三角形各边都相
切的圆叫三角形的
内切圆，内切圆的
圆心叫做三角形的
内心，这个三角形叫
圆的外切三角形
到三角形三条角平分线的交点
到三角形的三条边的距离相等
①若从切线长定理推导，可得r=1/2(a+b+c);若从面积推导，则可得r=.这两种结论可在做选择题和填空题时直接应用.
例：已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的外切圆半径是2.5.
经过三圆的内接三角形
三角形三条垂直平分线的交点
第22讲与圆有关的位置关系
一、知识清单梳理
知识点一：与圆有关的位置关系
关键点拨及对应举例
1.点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d.
(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d＝r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．
人教版九年级数学第六单元《圆》中考知识点梳理
第六单元《圆》中考知识点梳理第21讲圆的基本性质知识点一：圆的有关概念关键点拨与对应举例1.与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（6）弦心距：圆心到弦的距离.（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个.（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.知识点二：垂径定理及其推论2.垂径定理及其推论定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形.推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.延伸根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：①弧AC=弧BC;②弧AD=弧BD；③AE=BE;④AB⊥CD;⑤CD是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.知识点三：圆心角、弧、弦的关系3.圆心角、弧、弦的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点四：圆周角定理及其推论4.圆周角定理及其推论（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a,∠A=1/2∠O.图a 图b 图c( 2 )推论：①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.②直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.③圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.例：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上ADC=180°. 两点，∠BAC=40°，则∠D的度数为130°．第22讲与圆有关的位置关系知识点一：与圆有关的位置关系关键点拨及对应举例1.点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d.(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d＝r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可.2.直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况.例：已知：⊙O的半径为2，圆心到直线l的距离为1，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是1或3.图形公共点个数0个1个2个数量关系d＞r d＝r d＜r知识点二：切线的性质与判定3.切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径.4.切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点.（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.（3）切线垂直于经过切点的半径.利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题.*5.切线长（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.例：如图，AB、AC、DB是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为2.知识点四：三角形与圆5.三角形的外接圆图形相关概念圆心的确定内、外心的性质内切圆半径与三角形边的关系：（1）任意三角形的内切圆（如图a），设三角形的周长为C，则S△ABC=1/2Cr.（2）直角三角形的内切圆（如图b）①若从切线长定理推导，可得r=1/2(a+b+c);若从面积推导，则可得r=.这两种结论可在做选择题和填空题时直接应用.例：已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的外切圆半径是2.5.经过三角形各定点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形三角形三条垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等6.三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫圆的外切三角形到三角形三条角平分线的交点到三角形的三条边的距离相等第23讲与圆有关的计算知识点一：正多边形与圆关键点拨与对应举例1.正多边形与圆（1）正多边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①.（2）特殊正多边形中各中心角、长度比：中心角=120°中心角=90°中心角=60°，△BOC为等边△a:r:R=2:1:2 a:r:R=2::2 a:r:R=2:2例：(1) 如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是5.(2)半径为6的正四边形的边心距为32，中心角等于90°，面积为72.知识点二：与圆有关的计算公式2.弧长和扇形面积的计算扇形的弧长l＝180n rπ；扇形的面积S＝2360n rπ＝12lr例：已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为3π.3.圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.（2）计算公式：,S侧==πrl在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解.例：如图，已知一扇形的半径为3，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积为。
2020年中考数学单元复习卷：第6单元 圆 含答案
2020年中考数学单元复习卷：第6单元 圆 含答案(时间：120分钟 分值：120分)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项)1．在平面直角坐标系内，已知点M (4,3)，以点M 为圆心，r 为半径作⊙M ，如果点(2,3)在⊙M 内，点(4，－1)在⊙M 外，那么r 的值可能为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．如图，AB 是⊙O 的直径，MN 是⊙O 的切线，切点为N ，如果∠MNB ＝52°，则 ∠NOA 的度数为( )(第2题)A ．76°B ．56°C ．54°D ．52°3．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，CD 平分∠ACB 交⊙O 于点D ，若∠ABC ＝30°，则∠CAD 的度数为( )(第3题)A ．100°B ．105°C ．110°D ．120°4．如图，已知⊙O 为四边形ABCD 的外接圆，点O 为圆心，若∠BCD ＝120°，AB ＝AD ＝6，则⊙O 的半径长为( )(第4题)A ．23B ．2C ．233D ．35．如图，已知钝角三角形ABC 内接于⊙O ，且⊙O 的半径为5，连接OA ，若∠OAC ＝∠ABC ，则AC 的长为( )(第5题)A ．52B ．252C ．53D ．86．中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识．因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形(图1)，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形，图2是等宽的勒洛三角形和圆．下列说法中错误的是( )(第6题)A ．勒洛三角形是轴对称图形B ．图1中，点A 到BC ︵上任意一点的距离都相等C ．图2中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF 的中心O 1的距离都相等D ．图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．已知圆锥的母线长为5，底面半径为3，则圆锥的侧面积为__________．8．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝23，BC ＝2，以AB 的中点O 为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为__________．(计算结果保留π)(第8题)9．如图，正六边形ABCDEF 内接于半径为1的⊙O ，则ACE ︵的长为__________．(第9题)10．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且AB ＝6，BC ＝3，则tan ∠ADC 的值为__________．(第10题)11．如图，已知半圆O 的直径AB 为12，OP ＝1，C 为半圆上一点，连接CP ，将CP 沿射线AB 方向平移至DE ，若DE 恰好与⊙O 相切于点D ，则平移的距离为__________．(第11题)12．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为AB 边上的高，点P 为AC 的中点，连接PD ，BC ＝6，DP ＝4.O 为BA 边上一点，以点O 为圆心，OB 长为半径作⊙O ，当⊙O 与△PDC 的一边所在直线相切时，⊙O 的半径等于__________．(第12题)三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．如图，AD 是⊙O 的直径，点O 是圆心，C ，F 是AD 上的两点，OC ＝OF ，B ，E 是⊙O 上的两点，且AB ︵ ＝DE ︵，求证：BC ∥EF .14．如图，半圆O 的直径AB ＝6，弦CD ＝3，AD ︵ 的长为34π，求BC ︵ 的长．15．(2019沈阳)如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，直线MN 与⊙O 相切于点C ，过点B 作BD ⊥MN 于点D .(1)求证：∠ABC ＝∠CBD ；(2)若BC ＝45，CD ＝4，则⊙O 的半径是________．16．(2019铜仁)如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，BE 是⊙O 的直径，连接BF ，延长BA ，过F 作FG ⊥BA ，垂足为G .(1)求证：FG 是⊙O 的切线；(2)已知FG ＝23，求图中阴影部分的面积．17．(2019资阳)如图，AC 是⊙O 的直径，P A 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O 于点B ，且∠APB ＝60°.(1)求∠BAC 的度数；(2)若P A ＝1，求点O 到弦AB 的距离．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．(2019鄂尔多斯)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，连接AC .过BD ︵上一点E 作EG ∥AC 交CD 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点F ，且EG ＝FG .(1)求证：EG 是⊙O 的切线；(2)延长AB 交GE 的延长线于点M ，若AH ＝2，CH ＝22，求OM 的长．19．(2019本溪)如图，点P 为正方形ABCD 的对角线AC 上的一点，连接BP 并延长交CD 于点E ，交AD 的延长线于点F ，⊙O 是△DEF 的外接圆，连接DP .(1)求证：DP 是⊙O 的切线；(2)若tan ∠PDC ＝12，正方形ABCD 的边长为4，求⊙O 的半径和线段OP 的长．20．(2019永州)如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，且BC 为⊙O 的直径，在劣弧AC ︵ 上取一点D ，使CD ︵＝AB ︵，将△ADC 沿AD 对折，得到△ADE ，连接CE .(1)求证：CE 是⊙O 的切线；(2)若CE ＝3CD ，劣弧CD ︵的弧长为π，求⊙O 的半径．五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．(2019河池)如图，五边形ABCDE 内接于⊙O ，CF 与⊙O 相切于点C ，交AB 延长线于点F . (1)若AE ＝DC ，∠E ＝∠BCD ，求证：DE ＝BC ； (2)若OB ＝2，AB ＝BD ＝DA ，∠F ＝45°，求CF 的长．22．(2019遵义)如图，AB 是⊙O 的直径，弦AC 与BD 交于点E ，且AC ＝BD ，连接AD ，BC . (1)求证：△ADB ≌△BCA ；(2)若OD ⊥AC ，AB ＝4，求弦AC 的长；(3)在(2)的条件下，延长AB 至点P ，使BP ＝2，连接PC .求证：PC 是⊙O 的切线．六、(本大题共12分)23．(2019大庆)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，D 是AC 中点，直线OD 与⊙O 相交于E ，F 两点，P 是⊙O 外一点，P 在直线OD 上，连接P A ，PC ，AF ，且满足∠PCA ＝∠ABC .(1)求证：P A 是⊙O 的切线； (2)证明：EF 2＝4OD ·OP ；(3)若BC ＝8，tan ∠AFP ＝23，求DE 的长．备用图参考答案1．C 2.A 3.B 4.A 5.A 6.C 7.15π 8.534－π2 9.4π310.3 11.8 12.95或154或272013．证明：∵AB ︵ ＝CE ︵ ，AD 是直径，∴AB ＝DE ，BD ︵ ＝AE ︵.∴∠A ＝∠D . ∵OC ＝OF ，OA ＝OD ，∴AC ＝DF . 在△BAC 和△EDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，AC ＝DF ，∴△BAC ≌△EDF (SAS)．∴∠ACB ＝∠DFE .∴∠BCF ＝∠EFC . ∴BC ∥EF .14．解：如图1，连接OD ，OC . ∵AB ＝6，CD ＝3，∴CD ＝OC ＝OD ＝3.图1∴△CDO 是等边三角形．∴∠COD ＝60°. ∴CD ︵ 的长＝60π×3180＝π.又半圆弧的长度为12×6π＝3π，∴BC ︵ ＝AB ︵ －CD ︵ －AD ︵ ＝3π－π－3π4＝5π4.15．(1)证明：连接OC .∵MN 为⊙O 的切线，∴OC ⊥MN .∵BD ⊥MN ，∴OC ∥BD .∴∠CBD ＝∠BCO . 又OC ＝OB ，∴∠BCO ＝∠ABC .∴∠ABC ＝∠CBD . (2)解：5.16．(1)证明：如图2，连接OF ，AO . ∵AB ＝AF ＝EF ，图2∴AB ︵ ＝AF ︵ ＝EF ︵ . ∴∠ABF ＝∠AFB ＝∠EBF . ∵OB ＝OF ，∴∠EBF ＝∠BFO . ∴∠ABF ＝∠BFO .∴BA ∥OF .∵FG ⊥BA ，∴OF ⊥FG .∴FG 是⊙O 的切线． (2)解：∵AB ＝AF ＝EF ，∴∠AOF ＝∠EOF ＝60°. ∵OA ＝OF ，∴△AOF 是等边三角形． ∴OA ＝AF ，∠AFO ＝60°. ∴∠AFG ＝90°－∠AFO ＝30°. 在Rt △AFG 中，FG ＝23，∴AF ＝FGcos ∠AFG＝4.∴OA ＝4.∵∠AFO ＝∠EOF ＝60°，∴AF ∥BE .∴S △ABF ＝S △AOF . ∴阴影部分的面积＝60π×42360＝8π3.17．解：(1)∵P A 和PB 都是⊙O 的切线，∴P A ＝PB ，∠P AC ＝90°. ∵∠APB ＝60°，∴△APB 是等边三角形． ∴∠BAP ＝60°.图3∴∠BAC ＝90°－∠BAP ＝30°.(2)如图3，过点O 作OD ⊥AB 于点D ， 则AD ＝BD ＝12AB .由(1)，得△APB 是等边三角形， ∴AB ＝P A ＝1.∴AD ＝12AB ＝12.在Rt △OAD 中，∠BAC ＝30°，∴OD ＝AD ·tan 30°＝36. 即点O 到弦AB 的距离为36. 18．(1)证明：如图4，连接OE .图4∵EG ＝FG ，∴∠GEF ＝∠GFE . ∵∠GFE ＝∠AFH ，∴∠GEF ＝∠AFH . ∵OA ＝OE ，∴∠OEA ＝∠OAF . ∵AB ⊥CD ，∴∠AFH ＋∠OAF ＝90°. ∴∠GEA ＋∠OEA ＝90°，即∠GEO ＝90°. ∴OE ⊥GE .∴EG 是⊙O 的切线． (2)解：如图4，连接OC .设⊙O 的半径为r ，则OC ＝r ，OH ＝r －2.在Rt △OCH 中，CH ＝22，由勾股定理，得OH 2＋CH 2＝OC 2， 即(r －2)2＋(22)2＝r 2，解得r ＝3.∴OC ＝OE ＝3. 在Rt △ACH 中，CA ＝CH 2＋AH 2＝(22)2＋22＝2 3. ∵AC ∥GE ，∴∠M ＝∠CAH .∵OE ⊥GE ，AB ⊥CD ，∴∠OEM ＝∠CHA ＝90°. ∴Rt △OEM ∽Rt △CHA .∴OM CA ＝OE CH ，即 OM 23＝322.∴OM ＝362.19．(1)证明：如图5，连接OD .∵四边形ABCD 为正方形，∴CD ＝CB ，∠DCP ＝∠BCP ＝45°. 又CP ＝CP ，∴△CDP ≌△CBP (SAS)． ∴∠CDP ＝∠CBP .∵∠BCD ＝90°，∴∠CBP ＋∠BEC ＝90°. ∵OD ＝OE ，∴∠ODE ＝∠OED ＝∠BEC . ∴∠CDP ＋∠ODE ＝90°.∴∠ODP ＝90°. ∴DP 是⊙O 的切线． (2)解：∵∠PDC ＝∠CBE ， ∴tan ∠CBE ＝tan ∠PDC ＝CE BC ＝12.∴CE ＝12BC ＝12×4＝2.∴DE ＝DC －CE ＝2.在正方形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴∠F ＝∠CBE ＝∠PDC .在Rt △DEF 中，tan F ＝tan ∠CBE ＝DE DF ＝12，∴DF ＝2DE ＝4.∴EF ＝DF 2＋DE 2＝42＋22＝2 5. ∴OE ＝ 5.∵∠F ＝∠PDE ，∠DPE ＝∠FPD ，∴△DPE ∽△FPD . ∴PE PD ＝PD PF ＝DE DF ＝12. 设PE ＝x ，则PD ＝2x ，PF ＝PE ＋EF ＝x ＋2 5. ∵PE ·PF ＝PD 2，∴x (x ＋25)＝(2x )2，解得x ＝253.∴OP ＝OE ＋PE ＝5＋253＝553. ∴⊙O 的半径为 5，线段OP 的长为553. 20．(1)证明：由折叠的性质，可知∠CAD ＝∠EAD ，∠DCA ＝∠DEA ，DC ＝DE . ∴∠DCE ＝∠DEC .设∠CAD ＝∠EAD ＝α，∠DCA ＝∠DEA ＝β，∠DCE ＝∠DEC ＝γ. ∵CD ︵ ＝AB ︵，∴∠CAD ＝∠BCA ＝α.在△ACE 中，根据三角形内角和为180°，可得2α＋2β＋2γ＝180°. ∴α＋β＋γ＝90°，即∠OCE ＝90°. ∴CE 是⊙O 的切线．(2)解：如图6，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，延长AD 交CE 于点N ，易得DN ⊥CE .∵∠OCE ＝∠CMA ＝∠CNA ＝90°， ∴四边形AMCN 为矩形． 设AB ＝CD ＝x ，则CE ＝3x ， CN ＝12CE ＝32x ＝AM .在Rt △ABM 中，sin ∠ABM ＝AM AB ＝32，∴∠ABM ＝60°.又OB ＝OA ，∴△OAB 为等边三角形．∴∠AOB ＝60°. ∴CD ︵ ＝AB ︵ ＝60π·OA 180＝π，解得OA ＝3.∴⊙O 的半径为3.21．(1)证明：∵AE ＝DC ，∴AE ︵ ＝DC ︵.∴∠ADE ＝∠DBC . 在△ADE 和△DBC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADE ＝∠DBC ，∠E ＝∠BCD ，AE ＝DC ，∴△ADE ≌△DBC (AAS)． ∴DE ＝BC .(2)解：如图7，连接CO 并延长交AB 于点G ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ， 则∠OHG ＝∠OHB ＝90°.图7∵CF 与⊙O 相切，∴∠FCG ＝90°. ∵∠F ＝45°，∴∠CGF ＝45°.∴△CFG ，△OGH 是等腰直角三角形． ∴CF ＝CG ，GH ＝OH . ∵AB ＝BD ＝DA ， ∴△ABD 是等边三角形． ∴∠ABD ＝60°.∵等边三角形ABD 内接于⊙O ，∴点O 为等边三角形ABD 的外心．∴OB 平分∠ABD . ∴∠OBH ＝30°.∴OH ＝12OB ＝1.在Rt △OGH 中，OG ＝GH 2＋OH 2＝ 2.∴CF ＝CG ＝OC ＋OG ＝2＋ 2.22．(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°.在Rt △ADB 与Rt △BCA 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BA ，BD ＝AC ，∴△ADB ≌△BCA (HL)． (2)解：如图8，连接DC .∵OD ⊥AC ，∴AD ︵ ＝DC ︵.∴AD ＝DC .∵△ADB ≌△BCA ，∴AD ＝BC .∴AD ＝DC ＝BC . ∴∠AOD ＝∠ABC ＝60°.在Rt △ACB 中，AB ＝4，∴AC ＝AB ·sin 60°＝4×32＝2 3.图8(3)证明：如图9，连接OC .图9∵OC ＝OB ，∠ABC ＝60°，∴△OBC 是等边三角形． ∴OB ＝BC ＝12AB ＝2，∠OCB ＝60°.∵BC ＝BP ＝2，∴∠BCP ＝∠P ＝12∠ABC ＝30°.∴∠OCP ＝∠OCB ＋∠BCP ＝60°＋30°＝90°.∴OC ⊥PC . ∴PC 是⊙O 的切线．23．(1)证明：∵D 是弦AC 的中点，∴OD ⊥AC .∴PD 是AC 的中垂线． ∴P A ＝PC .∴∠P AC ＝∠PCA .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∴∠CAB ＋∠ABC ＝90°. 又∠PCA ＝∠ABC ，∴∠CAB ＋∠P AC ＝90°，即AB ⊥P A . ∴P A 是⊙O 的切线．(2)证明：由(1)知∠ODA ＝∠OAP ＝90°， 又∠AOD ＝∠POA ，∴Rt △AOD ∽Rt △POA . ∴AO PO ＝ODAO.∴OA 2＝OP ·OD .又OA ＝12EF ，∴14EF 2＝OP ·OD ，即EF 2＝4OP ·OD .(3)解：在Rt △ADF 中，tan ∠AFP ＝AD DF ＝23.设AD ＝2a ，则DF ＝3a .∵OD ＝12BC ＝4，∴AO ＝OF ＝DF －OD ＝3a －4.在Rt △AOD 中，OD 2＋AD 2＝AO 2，即42＋4a 2＝(3a －4)2， 解得a ＝245.∴DE ＝OE －OD ＝OA －OD ＝3a －8＝325.。
2019-2020学年度最新中考数学第一部分教材知识梳理第六单元第24课时与圆有关的位置关系课件
考点2 直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关 系
相离
相切
相交
图形
公共点个数 d与r的关系
0 d④__>_r
1 d⑤_=__r
③_2__ d<r
考点3 切线的性质与判定(高频考点)
1. 切线的定义： 直线与圆只有⑥_一__个__公共 点，这时称直线与圆相切，这条直线叫做圆的切 线，这个公共点叫做切点.
2. 切线的判定定理： 经过半径的外端并且 ⑦_垂_直__于这条半径的直线是圆的切线
3. 切线的性质： 圆的切线⑧_垂__直_于过切 点的半径.
4. 切线长及其定理 （1）定义：经过圆外一点作圆的切线，这点
和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. （2）切线长定理：过圆外一点所画的圆的两
条切线长⑨_相__等__，这一点和圆心的连线平分两条 切线的夹角.
∴AD=OA-OD= ( 5 1)a ，∵CD∥AT,∴∠TAC=∠ACD,
∴tan∠TAC=tan∠ACD=
.
AD 5 1
CD 2
拓展（’15陕西）如图，AB是⊙O的直径，AC是 ⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交于点 D，作AE⊥AC交DE于点E.
（1）求证：∠BAD=∠E；
f z d x y
（1）证明：∵⊙O与DE相切于点B，
AB为⊙O的直径， ∴∠ABE＝90°， ∴∠BAE+∠E＝90°， 又∵∠DAE＝90°， ∴∠BAD+∠BAE=90°， ∴∠BAD=∠E.
（2）解：如解图,连接BC. ∵AB为⊙O的直径.∴∠ACB＝90°， ∵AC=8,AB=2×5＝10， ∴BC= AB2 AC2 6 .
第一部分 教材知识梳理
安徽省2019年中考数学总复习 第一轮 中考考点系统复习 第六单元 圆单元测试六 圆
百度文库，精选试题圆单元测试(六))分钟(时间：100 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题、每小题4分、满分40分( D ) 1．如图、△ABC是⊙O的度数为的内接三角形、∠AOB＝135°、则∠ACB °55 C．60° D．67.5°A．35°B．( A ) 4、OP＝3、则点P与⊙O的位置关系是2．已知⊙O的半径是 A．点P B在圆内．点P在圆上．不能确定C．点P在圆外 D( D ) 的长为8、OC＝5、则ODAB3．如图、是⊙O的弦、半径OC⊥AB于点D、且AB＝3．A．1 B．2 C．2.5 D( B ) 1为半径的圆、必与4．在平面直角坐标系中、以点O(1、－2)为圆心、 y．x轴相交轴相交 D．轴相切A．x轴相切 B．y C( B ) 1、那么这个正三角形的边长为5．如果正三角形的内切圆半径为33 C．．3 D.2 B．2A︵A、B重合)、则cosC的值为( B ) AB＝6、点C是优弧AB上一点(不与6．如图、在半径为5的⊙O中、弦3433A.B. C. D. 55327．一个圆锥的高为3 cm、侧面展开图是一个半圆、则圆锥的侧面积是( A )π cm D．9π．πA．6 cm B．9π cm C63．将一2222 cm3盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧瓶盖后放倒、水平放置在桌面上．水杯的底面如图所示、已知水杯8( A ) 、则杯底有水部分的面积是内径(图中小圆的直径是8 cm、水的最大深度是2 cm161622π－83)cm3)cmA．(π－4 B．(3348223)cm(3)cmD．π－24．C(π－339．如图、等腰△ABC的三边分别与⊙O相切于点D、E、F、且DE∥BC、AB＝5、AD＝3、则DE的长为( C )A．2 B．2.3 C．2.4 D．2.5试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题是、点6)、⊙O的半径为2(O为坐标原点)P中、直线10．如图、在平面直角坐标系xOyAB经过点A(6、0)、B(0、( D ) 的一条切线PQ、Q为切点、则切线长PQ的最小值为直线AB上的一动点、过点P作⊙O143A.7 B．3 C．2 D.3、故当OP取最小值时、PQ最小．又∵OP≥2、在Rt△OPQ中、PQ＝＝OP－OQ、∵OQ2OQ提22、∴示：连接、OP14.PQ≤)20分(二、填空题本大题共4小题、每小题5分、满分6cm.cm、则这个扇形的半径为11．一个扇形的圆心角为60°、它所对的弧长为2π的坐、则点B(－1、0)12．如图、将一个正六边形放在平面直角坐标系中、中心与坐标原点重合、若点A的坐标为31 (－、－)．标为22AB作⊙O的切线交＝20°、过点C上一点、∠AB是⊙O的直径、C、D是⊙OCDB如图、13．(2013·安徽考纲样卷) 50°．的延长线于点E、则∠E＝、与半圆交于点QCD中点、BP如图、在正方形ABCD中、以AB为直径作半圆、点P是14．(2016·安徽十校联考)34PQ请(.其中正确的是①③∠＝；③∠ADQ＝2∠CBP；④cosCDQ＝给出如下结论：①DQ连接DQ.与半圆O相切；②53BQ )确结论的序号填在横线上．将正与△QOD全等即可；OD、OQ、证明△AOD提示：①连接的长度即可求解；、、借助三角函数和勾股定理求出PQBQ②连接AQ 相等即可求解；(补角)③借助①②的相关结论、结合三角形外角的性质和同角的余角 DQH的三边长度即可确定相关的三角函数．、求出三角形Q作QH⊥CD于点H④过点)分8分、满分16小题、每小题三、(本大题共2 的长．°、求弦的夹角为与、弦＝中、直径15．在⊙OAB10 cmACAB30AC试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题BC. 解：连接∵AB为直径、∴△ABC为直角三角形．又∵∠A＝30°、3 ＝3(cm)．∴AC＝AB·cos302︵︵、⊥ACB是AC上一点、OB16．如图、一条赛道的急转弯处是一段圆弧AC、点O是这段弧所在圆的圆心、AC＝10 m、 1 m、求这段弯路的半径．D、BD＝垂足为1 、＝r－15 m、设OA＝r、则OD＝解：∵OB⊥AC、∴AD＝AC2222222、－1)＝rRt在△AOD中、∵AD＋OD＝OA、即5＋(r13.＝13、即OA解得r＝13 m. 答：这段弯路的半径是)分、满分16分本大题共四、(2小题、每小题8CE. E、连接10、以AC为直径画⊙O交BC于点D、交AB于点、17．如图、在△ABC中、AB＝AC＝13BC＝；(1)求证：BD＝CD的长．(2)求CEAD.(1)证明：连接解：CD. ＝＝AC、∴BD90ADC＝°、∴AD⊥BC、∵AB∵AC为直径、∴∠12212. ＝13－、∴BC＝55AD＝13(2)在Rt△ADC中、∵AC＝、CD＝212012×1011.＝CE＝＝90°、∴CE·AB＝AD·BC、∴AC∵为直径、∴∠AEC131322E. 于点AB是弦、CD⊥如图、18．(2016·利辛中疃模拟)AB是⊙O的直径、CD 求证：△ACE∽△CBE；(1)2的函数解析式．y关于x、请求出、＜OE＝x(0x＜4)CE＝y、设＝若(2)AB8.°＋∠CBA＝°、∴∠＝的直径、∴∠证明：∵AB解：(1)为⊙OACB90CAB90试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题＝∠ACE.90°.∴∠CBAAEC＝∠BEC＝90°.∴∠CAB＋∠ACE＝∵CD⊥AB、∴∠CBE. ∽△∴△ACEOC.(2)连接2＝16－x＝x、OC＝4、根据勾股定理得CE、中、∵AB＝8、∴OC＝4.在Rt△OCEOE22 x ＋16(0<x<4)．∵CE＝y、∴y＝－)10分、满分20分五、(本大题共2小题、每小题的延AB作⊙O的切线、交B、、C是⊙O上的三个点、四边形OABC是平行四边形、过点C19．(2015·天津)已知AD.长线于点的大小；、求∠ADC(1)如图1︵、求∠FAB的大小．E、与AB交于点F、连接AF交于点(2)如图2、经过点O作CD的平行线、与AB解：(1)∵CD是⊙O的切线、＝90°、∴∠OCD ∵四边形OABC是平行四边形、∥AD、∴OC. 90°ADC＝180°－90°＝∴∠OB.(2)连接 OC、由圆的性质知OA＝OB＝ OABC是平行四边形、∵四边形AB.OB＝∴OC＝AB.∴OA＝. °∴△OAB是等边三角形．∴∠AOB＝60AB. ⊥ADC＝90°、∴OF∵OF∥CD、∠︵︵、由垂径定理、得AF＝BF11.∠BOF＝∠AOB＝15°FAB∴∠＝42BC为中心、将三角板顺时针旋转90°、使MN．小明将自己的一块三角板ABC的AC边放在直线上、然后以点C20＝5 cm、求三角板旋转过程中扫过的阴影部分的面积．边落在MN上、若三角板的∠ABC＝30°、AC︵CD.D、连接解：设AA′与AB的交点为是等边三角形．60°又∵AC＝DC、∴△ADCABC∵∠ACB＝90°、∠＝30°∴∠BAC＝25602＝π、×∴S＝π5CAD扇形636025111 3、＝3×5×5＝＝SS×S＝π×(53)＝π.ABC△△BCD422275902CBB′扇形3604试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题27525752525??2??＋3π＝πcm. ∴S＝π＋3＋阴影??124446)(本题满分12分六、AC、交⊥AC的弦、AC为⊙OAD平分∠BAC、交⊙O于点D、DE21．(2016·合肥蜀山二模)如图、AB为⊙O的直径、E.的延长线于点的切线；DE是⊙O(1)求证：直线的长．、求DE(2)若AE＝8.⊙O的半径为5OD.(1)解：证明：连接 OAD＝∠ODA.∵OA＝OD、∴∠ CAD＝∠OAD.∵AD平分∠BAC、∴∠ CAD＝∠ODA.∴AC∥OD.∴∠. 90°AC、∴∠DEC＝90°.∴∠ODE＝∵DE⊥的切线．又∵点D在⊙O上、∴直线DE是⊙OBD.连接(2). °AB是⊙O的直径、∴∠ADB＝90∵DAB. ∽△又∠CAD＝∠OAD、∴△EADADAE25. 4＝AE·AB＝8×10＝80∴、AD＝＝、∴AD ABAD224. ＝－64－AE＝在Rt△EAD80中、DE＝AD)12分七、(本题满分COcm、高．清水浴池的王老板要为锅炉烟筒的顶端增设一个圆锥形的防水帽、方案如图所示、底面直径AB＝24 22写王老板拿来一块足够大的铁皮、想请正在上九年级的同学吴军把图形给画出来．那么吴军该怎样画呢？(＝5 cm. )．出计算过程、并简述画法1AB＝12 cm、 OA解：计算：由题意可知、＝222＝13(cm)．AC＝12＋5∴13 cm.∴展开后扇形的半径为.24π∵底面圆的周长为π×24、∴展开后扇形的弧长为13π×n332.≈24π、∴n设展开后扇形的圆心角为n°、根据弧长公式有：＝180 33213 cm的圆、然后用量角器画一个°的圆心角、即可得到所需扇形．画法：先用圆规画一个半径为)14分本题满分八、(为直径的半AB边上、以DB°、线、∠中、BE是它的角平分C＝90D在ABC)23．(2016·宿州灵璧县一模如图、△ F. BC经过点E、交于点O圆是⊙O求证：(1)AC 的切线；试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题∥AB；若∠A＝30°、连接EF、求证：EF(2) ＝2、求图中阴影部分的面积．(3)在(2)的条件下、若AEOE.解：(1)证明：连接 BEO＝∠EBO.、∴∠∵OB＝OE EBO＝∠CBE.∵BE平分∠CBO、∴∠ BEO＝∠CBE.∴EO∥BC.∴∠. 90°90°、∴∠AEO＝∠C＝＝∵∠C 是⊙O的切线．∴AC. °°、∴∠ABC＝6030(2)证明：∵∠A＝.°∴∠OBE＝∠FBE＝30. °＝90°－∠FBE＝60∴∠BEC °、CEF＝∠FBE＝30∵∠. °＝30°30∴∠BEF＝∠BEC－∠CEF＝60°－∴∠BEF＝∠OBE.∴EF∥AB.OF.(3)连接 OBFE是菱形．、OB＝OE、∴四边形、∵EF∥ABBF∥OE S＝∴S EOF.△△EFB S∴S＝EOF.阴影扇32. ＝＝30°、∴rOE＝2AEOr设圆的半径为、在Rt△中、AE＝、∠A3322×（）60π32π∴S＝S＝＝.EOF阴影扇3609试题习题，尽在百度．。
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2019-2020年中考数学总复习 第一轮 中考考点系统复习 第六单元 圆 第21讲 圆的
基本性质试题
1．(2016·重庆模拟)如图，点A ，点B ，点C 均在⊙O 上，若∠B＝40°，则∠AOC 的度数为( C ) A ．40° B ．60° C ．80° D ．90°
2．(2016·娄底)如图，已知AB 是⊙O 的直径，∠D ＝40°，则∠CAB 的度数为( C ) A ．20° B ．40° C ．50° D ．70°
3．(2016·济宁)如图，在圆O 中，AB ︵＝AC ︵
，∠AOB ＝40°，则∠ADC 的度数是( C ) A ．40° B ．30° C ．20° D ．15°
4．(2015·玉林)如图，在⊙O 中，直径CD⊥弦AB ，则下列结论中正确的是( B ) A ．AC ＝AB B ．∠C ＝1
2∠BOD
C ．∠C ＝∠B
D ．∠A ＝∠BOD
5．(2016·毕节)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A ＝36°，∠C ＝28°，则∠B＝(C ) A ．100° B ．72° C ．64° D ．36°
6．(2016·安徽模拟)被誉为“中国画里乡村”的黄山宏村，村头有一座美丽的圆弧形石拱桥(如图)，已知桥拱的顶部C 距水面的距离CD 为2.7 m ，桥弧所在的圆的半径OC 为1.5 m ，则水面AB 的宽度是( A )
A ．1.8 m
B ．1.6 m
C ．1.2 m
D ．0.9 m
7．(2016·陕西)如图，⊙O 的半径为4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB ，OC ，若∠BAC 和∠BOC 互补，则弦BC 的长度为( B )
A ．3 3
B ．4 3
C ．5 3
D ．6 3
8．(2016·合肥十校联考)如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O ，点P 是优弧AMB ︵
上一点，则∠APB 的度数为( D )
A ．45°
B ．30°
C ．75°
D ．60°
9．(2016·岳阳)如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BCD＝110°，则∠BAD＝70度．
10．(2016·长沙)如图，在⊙O 中，弦AB ＝6，圆心O 到AB 的距离OC ＝2，则⊙O
11．(2016·濉溪县一模)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，CO 的延长线交AB 于点D ，∠A ＝50°，∠B ＝30°，则∠ADC 的度数为110°．
12．(2016·枣庄)如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC ＝2，则tanD
13．(2016·利辛中疃模拟)如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(10，0)，点B 的坐标为(8，0)，点C ，D 在以OA 为直径的半圆M 上，且四边形OCDB 是平行四边形．求点C 的坐标．
解：过点M 作MF⊥CD 于点F ，过点C 作CE⊥x 轴于点E ，连接CM. 在Rt △CMF 中，CF ＝12CD ＝1
2
OB ＝4，
CM ＝12OA ＝5，∴MF ＝CM 2－CF 2
＝3.∴CE＝MF ＝3.
又EM ＝CF ＝4，OM ＝1
2
OA ＝5，
∴OE ＝OM －EM ＝1. ∴C(1，3)．
14．(2016·阜阳二模)如图，BD 是⊙O 的直径，A ，C 是⊙O 上的两点，且AB ＝AC ，AD 与BC 的延长线交于点E. (1)求证：△ABD∽△AEB；
(2)若AD ＝1，DE ＝3，求⊙O 半径的长．
解：(1)证明：∵AB＝AC ，∴AB ︵＝AC ︵
， ∴∠ABC ＝∠ADB.
又∵∠BAE＝∠DAB，∴△ABD ∽△AEB. (2)∵△ABD∽△AEB，∴AB AE ＝AD
AB
.
∴AB 2
＝AD·AE.
∵AD ＝1，DE ＝3，∴AE ＝4.
∴AB 2
＝AD·AE＝1×4＝4.∴AB＝2. ∵BD 是⊙O 的直径，∴∠DAB ＝90°.
在Rt △ABD 中，BD 2＝AB 2＋AD 2＝22＋12
＝5， ∴BD ＝ 5. ∴⊙O 的半径为
52
.
15．(2016·聊城)如图，四边形ABCD 内接于⊙O，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵
，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连接AC.若∠ABC＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为( B )
A ．45°
B ．50°
C ．55°
D ．60°
16．(2016·濉溪县模拟)如图，△ABC 内接于⊙O，AB ＝8，BC ＝10，AC ＝6，D 是弧AB 的中点，连接CD 交AB 于点E ，则DE∶CE 等于( B )
A ．2∶5
B ．1∶3
C ．2∶7
D ．1∶4
提示：连接DO ，交AB 于点F ，利用垂径定理的推论得出DO⊥AB，AF ＝BF ，进而求出DF 的长，再由△DEF∽△CEA，即可求出DE∶CE.
17．(2016·繁昌模拟)如图，AB 是⊙O 的弦，AB ＝6，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB＝45°.若点M ，N 分别是
AB ，BC 的中点，则MN 长的最大值是
提示：当AC 为直径时，MN ＝1
2
AC 最大．
18．(2016·聊城)如图，以Rt △ABC 的直角边AB 为直径作⊙O，交斜边AC 于点D ，点E 为OB 的中点，连接CE 并延长交⊙O 于点F ，点F 恰好落在AB ︵
的中点，连接AF 并延长与CB 的延长线相交于点G ，连接OF. (1)求证：OF ＝1
2BG ；
(2)若AB ＝4，求DC 的长．
解：(1)证明：∵以Rt △ABC 的直角边AB 为直径作⊙O，点F 恰好落在AB ︵
的中点， ∴AF ︵＝BF ︵.
∴∠AOF ＝∠BOF＝90°.
∵∠ABC ＝∠ABG＝90°，∴∠AOF ＝∠ABG. ∴FO ∥BG.
又∵AO＝BO ，∴FO 是△ABG 的中位线． ∴OF ＝12
BG.
(2)在△FOE 和△CBE 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠FOE＝∠CBE，OE ＝BE ，∠OEF ＝∠BEC，
∴△FOE ≌△CBE(ASA)． ∴BC ＝FO ＝1
2
AB ＝2.
∴AC ＝AB 2
＋BC 2
＝2 5. 连接DB.
∵AB 为⊙O 直径，∴∠ADB ＝90°. ∴∠ADB ＝∠ABC.
又∵∠BCD＝∠ACB，∴△BCD ∽△ACB. ∴BC AC ＝CD BC ，即225＝DC 2
.解得DC ＝255.
19．(2016·烟台)如图，Rt △ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合，B 点与0刻度线的一端重合，∠ABC ＝40°，射线CD 绕点C 转动，与量角器外沿交于点D ，若射线CD 将△ABC 分割出以BC 为边的等腰三角形，
A．40° B．70° C．70°或80° D．80°或140°。