2012年华约自主招生数学试题参考解答

过一次比赛，我们还剩下 A, B, C, D, E 互相的比赛和 A, B, C, D 与 F1 , F1 ,..., F2 m , F2 m 之间 的比赛， A, B, C, D, E 互相的比赛根据 l 1 的结论我们知道也有满足要求的比赛；
1 2 1 2
A, B, C, D 与 F11 , F12 ,..., F21m , F22m 之间的比赛我们安排如下：
ABC , BE R† AC u E , CD R† AB u D , BC = 25, CE = 7 , u: H , ë •Ý . DE , ± DE •†»x ,T † AC
BD = 15 . e BE, CD u,˜: F , ¦ AF )‰. ë
3 7 DF , Kk DF R† AC . d®•^‡k cos B = , cos C = ,¤ 5 25 4 24 ± sin B = , sin C = . u´ 5 25 sin A = sin(B + C ) = sin B cos C + sin C cos B = Ï d ∠A = ∠B , = ABC • n 4 = sin B , 5 AC =
2. 当 l m 的时候结论成立，那么 l m 1 的时候，假设这 4m 5 位选手为
A, B, C, D, E, F11 , F12 , F21 , F22 ,..., F21m , F22m ，由归纳假设，可以安排 E, F11 , F12 , F21 , F22 ,..., F21m , F22m 之间的比赛，使得他们之间每两位选手作为队友恰好只参加
Ïd
p
1 ž , {pk } 4O ; 2
p
1 ž , {pk } 4~ . 2
2. ® • fn (x) = 1 + x + fn (x) = 0 Ã) ,
x2 xn + ··· + , (n = 1, 2, 3......) . ¦ y : n • ó êž 2! n! n •Ûêž fn (x) = 0 k•˜) xn … xn+2 < xn .
n−1 n−2 n n C2 k+1 = C2k−1 + 2C2k−1 + C2k−1 ,
¤±
k
pk+1 =
n=0 k
n n 2k+1−n C2 k+1 (1 − p) p
=
n=0 k
n−1 n−2 n n 2k+1−n (C2 k−1 + 2C2k−1 + C2k−1 )(1 − p) p k n C2 k−1 (1 n=0 k


，我们都可以构造出满足要求的
n 4l 1的时候，我们对 l 使用数学归纳法：
1. 当 l 1 的时候， n 5 ，此时我们假设这 5 名选手为 A, B, C, D, E ，那么我们如下安排
比赛即可： AB CD, AC BE, BC DE, AE BD, AD CE
=
− p) p
n 2k+1−n
+2
n=1
n−1 n 2k+1−n C2 k−1 (1 − p) p
+
n=2 k
n−2 n 2k+1−n C2 k−1 (1 − p) p k−1 n n 2k+1−n C2 +2 k−1 (1 − p) p n n+1 2k−n C2 p k−1 (1 − p) n=0 n n+2 2k−1−n C2 p k−1 (1 − p)

y ². ^ 8 B { y f2n−1 (x) = 0 k • ˜ ) x2n−1 … î ‚ ü N4 O , f2n (x) = 0 à ¢ê ) . w , n = 1 ž , d ž f1 (x) = 1 + x k • ˜ ) x1 = −1 … î ‚ ü x2 N4 O , f2 x = 1 + x + à ¢ê ) . y 3 b f2n−1 (x) = 0 k • ˜ ) 2 x2n−1 …î‚üN4O , f2n (x) = 0 âê) . u´5¿ f2n+1 (x) = f2n (x) , f2n (x) = 0 âê) , ¤± f2n (x) > 0 ð¤á , Ïd f2n+1 (x) î‚4O . qÏ •3 x = −2n − 1 ž , džé?¿
k k k =pk + C2 k−1 (1 − p) p (2p − 1) ,
Ïd
p
1 ž , {pk } 4O ; 2
k−1
p
1 ž , {pk } 4~ . 2 2k + 1 g VÇ üg– ¤
,).
w, pk =
n=0
n n 2k−1−n C2 . y35¿ k−1 (1 − p) p
´c 2n − 1 g¤õ k + 1 g
n
0
k
n k x + 2k + 1
0 , u´
f2n+1 (−2n − 1) =
k=0 n
x2k x2k+1 + (2k )! (2k + 1)! x2k (x + 2k + 1) < 0 . (2k + 1)!
=
k=0
qÏ• f2n+1 (0) = 1 > 0 , ¤±d f2n+1 (x) î‚4O• f2n+1 (x) = 0 k•˜Š 0 > x2n+1 > −2n − 1 . éu f2n+2 (x) k f2n+2 (x) = f2n+1 (x) , ¤± f2n+2 (x) 3 (−∞, x2n+1 ) þ4~ , 3 (x2n−1 , +∞) þ4O , ¤± min f2n+2 (x) = f2n+2 (x2n+1 ) = f2n+1 (x2n+1 ) +
x∈R n+2 n+2 x2 x2 2n+1 2n+1 = >0, (2n + 2)! (2n + 2)!
Ïd f2n+2 (x) = 0 âê) . nþ¤ã , é?¿ fn (x) = 0 k•˜) xn . 2y x2n+1 < x2n−1 . ¯¢þ , d f2n−1 (x) î‚üN5 , •I y f2n−1 (x2n+1 ) < x2n x2n+1 0 . 5¿ f2n+1 (x) − f2n−1 (x) = + , dþã8B{y²L§¥ (2n)! (2n + 1)! ên, n • ó êž fn (x) = 0 à ) , n • Û êž
x2n+1 > −2n − 1 , ¤± f2n−1 (x2n+1 ) = −
2n+1 n x2 x2 n+1 2n+1 − (2n)! (2n + 1)! 2n x2n+1 (x2n+1 + 2n + 1) < 0 , =− (2n + 1)!
Ïd x2n+1 < x2n−1 . nþ¤ã , 3. ®•b ·K y.
AFi1 与 BFi 2 ， AFi 2 与 BFi1 ， CFi1 与 DFi 2 ， CFi 2 与 DFi1 ，这样就满足要求了
最后将这些比赛总计起来，就是满足要求的 4m 5 位选手之间的比赛了 由数学归纳法，结论得到了证明 n 4l 的时候，我们对 l 使用数学归纳法，与上面几乎类似也可以证明结论 综合上述， n 的所有可能取值是 n 4l 或者 4l 1 ，其中 l
¥Àà , ¦‚pƒ?1
eZ|®
¥V‹'m , ¿ ¤kŒUŠ .
…uy?¿ü¶ÀÊ•èlTЕë\L˜g'm , ž¯ n
2 y². 假设比赛了 k 场比赛，那么由题目假设，一场比赛出现了 2 对队友，所以 Cn 2k
也就是说 4k n n 1 ，那么得到 n 4l 或者 4l 1 ，其中 l 下面我们证明，对于任意的 n 4l 或者 4l 1 ，其中 l 比赛：
2012cu gÌç)êÆÁKë•)‰
1. XÚSk 2k − 1 ‡ ~óŠ , KXÚ
k−1
‡ , z‡
‡
~óŠ
VÇ• p , ek‡L˜Œ
‡
~óŠ , ¦XÚ ~óŠ VÇ pk , ¿?Ø pk
n n 2k−1−n C2 . 5¿ k−1 (1 − p) p
üN5 .
)‰. w, pk =
n=0
VÇ\þc 2n − 1 g¤õ k g
õ˜g
VDZ9 2n − 1 g¤ห้องสมุดไป่ตู้ k g
ügѤõ VÇ . u´k
k k−1 k k k −1 k + C2 (1 − (1 − p)2 ) pk+1 =pk − C2 k−1 p (1 − p) k−1 p (1 − p) k−1 k−1 + C2 (1 − p)k p2 k−1 p k+1 k k+1 k k (1 − p)k + C2 =pk − C2 k −1 p k−1 p (1 − p) k k k =pk + C2 k−1 (1 − p) p (2p − 1) ,
/ , u ´ d CD R † AB Œ
25, AD = DB = 15 , AE = AC − CE = 25 − 7 = 18 . q Ï • ∠CDB = ∠CEB = 90◦ , ¤ ± B, C, D, E o : ∠ABC = ∠BAE , Ï d AE AF = F E = =9. 2 4. 8ck n (n 2) ® ADE • n . u ´ ∠AED = / , ¤ ± d DF R † AC • ,