2018年山东省泰安市高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)
2018-2019学年山东省泰安市高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2018-2019学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合A＝{x|x（x﹣2）≤0}，B＝{x|0＜x≤1}，则A∩B＝（）A．{x|0≤x≤1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|0＜x≤2}D．∅2．（5分）已知命题p：∃x0∈R，x02+4x0+6＜0，则￢p为（）A．∀x∈R，x02+4x0+6≥0B．∃x0∈R，x02+4x0+6＞0C．∀x∈R，x02+4x0+6＞0D．∃x0∈R，x02+4x0+6≥03．（5分）已知函数f（x）＝lnx+x2﹣2，则y＝f（x）的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（2，3）4．（5分）已知tan（α+β）＝，tan（β﹣）＝，则tan（α+）的值为（）A．B．C．D．5．（5分）已知数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝2a n+1（n∈N*），S n为其前n项和，则S5的值为（）A．57B．61C．62D．636．（5分）设D是△ABC所在平面内一点，＝2，则（）A．＝﹣B．＝﹣C．＝﹣D．＝﹣7．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（）A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且f（x）的图象关于点（﹣，0）对称，则下列判断正确的是（）A．要得到函数f（x）的图象只将y＝cos2x的图象向右平移个单位B．函数f（x）的图象关于直线x＝对称C．当x∈[﹣]时，函数f（x）的最小值为D．函数f（x）在[]上单调递增11．（5分）设F1、F2是双曲线x2﹣＝1的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（+）•＝0（O为坐标原点）且且|PF1|＝λ|PF2|，则λ的值为（）A．2B．C．3D．12．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＞2，f（0）＝5，则不等式f（x）﹣3e﹣x＞2的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（0，+∞）D．（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若实数x，y满足，则z＝﹣x+y的最小值为．14．（5分）已知直线l：x﹣y+4＝0与圆x2+y2＝9交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝．15．（5分）若直线y＝ax是曲线y＝2lnx+1的一条切线，则实数a＝．16．（5分）在△ABC中，D是BC的中点，H是AD的中点，过点H作一直线MN分别与边AB，AC交于M，N，若＝x，＝y，其中x，y∈R，则x+4y的最小值是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，且2a sin（C+）＝．（1）求角A的值．（2）若b＝3，c＝4，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，a2＝2，且S n+2＝3S n+3．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S2n．19．（12分）如图1，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，∠DAB＝60°，点E是AB的中点，点F是CD的中点，分别沿DE．BF将△ADE和△CBF折起，使得平面ADE∥平面CBF（点A、C在平面EFDE的同侧），连接AC、CE，如图2所示．（1）求证：CE⊥BF；（2）当AD＝2，且平面CBF⊥平面BFDE时，求二面角B﹣AC﹣D的余弦值．20．（12分）已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0）的离心率为，抛物线C2：y2＝﹣4x 的准线被椭圆C1截得的线段长为．（1）求椭圆C1的方程；（2）如图，点A、F分别是椭圆C1的左顶点、左焦点直线l与椭圆C1交于不同的两点M、N（M、N都在x轴上方）．且∠AFM＝∠OFN．证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）设a∈R，函数f（x）＝alnx﹣x．（1）若f（x）无零点，求实数a的取值范围．（2）若a＝1，证明：当m≤2时，xf′（x）＜e x﹣mx2．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（β为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为＝．（1）求曲线C的极坐标方程与直线l的直角坐标方程；（2）已知直线l与曲线C交于M，N两点，与x轴交于点P，求|PM|•|PN|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x﹣m|，m∈R．（1）当m＝3时，解不等式f（x）≥3．（2）若存在x0满足f（x0）＜2﹣|x0﹣1|，求实数m的取值范围．2018-2019学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．【解答】解：A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|0＜x≤1}；∴A∩B＝{x|0＜x≤1}．故选：B．2．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃x0∈R，x02+4x0+6＜0，则￢p为∀x∈R，x02+4x0+6≥0．故选：A．3．【解答】解：函数f（x）＝lnx+x2﹣2，是定义域内的连续函数，f（1）＝ln1+1﹣2＝﹣1＜0，f（2）＝ln2+4﹣2＝2+ln2＞0，所以根据根的存在性定理可知在区间（1，2）内函数存在零点．故选：B．4．【解答】解：tan（α+β）＝，tan（β﹣）＝，则tan（α+）＝tan（（α+β）﹣（β﹣））＝＝＝．故选：C．5．【解答】解：由a n+1＝2a n+1∴a n+1+1＝2（a n+1），∵a1＝1，∴所以{a n+1}是以2为公比，2为首项的等比数列，所以a n+1＝2•2n﹣1＝2n，∴a n＝2n﹣1，∴S n＝（2﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n﹣1）＝（2+22+23+…+2n）﹣n，＝﹣n，S n＝2n+1﹣n﹣2．＝2n+1﹣n﹣2．∴当n＝5时，S5＝64﹣5﹣2＝57，故选：A．6．【解答】解：，，∴＝＝．故选：D．7．【解答】解：函数f（x）的定义域为{x|x≠0}．而f（﹣x）＝＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，排除A；当x→+∞时，＝＝＝＝＝不存在．可得函数f（x）＝的图象大致为B．故选：B．8．【解答】解：A、B、D的反例如图．故选：C．9．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由左右两部分组成的，左边是半圆锥，右边是一个圆柱．∴该几何体的表面积＝++π×12+2π×1×2+＝+1．故选：C．10．【解答】解：函数f（x）＝A sin（ωx+φ）中，A＝，＝，∴T＝π，ω＝＝2，又f（x）的图象关于点（﹣，0）对称，∴ωx+φ＝2×（﹣）+φ＝kπ，解得φ＝kπ+，k∈Z，∴φ＝；∴f（x）＝sin（2x+）；对于A，y＝cos2x向右平移个单位，得y＝cos2（x﹣）＝cos（2x﹣）的图象，且y＝cos（2x﹣）＝cos（﹣2x）＝sin（2x+），∴A正确；对于B，x＝时，f（）＝sin（2×+）＝0，f（x）的图象不关于x＝对称，B错误；对于C，x∈[﹣，]时，2x+∈[﹣，]，sin（2x+）∈[﹣，1]，f（x）的最小值为﹣，C错误；对于D，x∈[，]时，2x+∈[，]，f（x）是单调递减函数，D错误．故选：A．11．【解答】解：由题意得a＝1，b＝2，∴c＝，F1（﹣，0），F2（，0），e＝．设点P（，m），∵＝（+，m）•（﹣，m）＝1+﹣5+m2＝0，m2＝，m＝±．由双曲线的第二定义得e＝＝，∴|PF2|＝2，∴|PF1|＝2a+|PF2|＝4，∴λ＝＝＝2，故选：A．12．【解答】解：令F（x）＝e x f（x）﹣2e x﹣3，则F′（x）＝e x[f（x）+f′（x）﹣2]＞0，故F（x）在R递增，又f（0）＝5，故F（0）＝0，则f（x）﹣3e﹣x＞2等价于e x f（x）﹣3＞2e x，即e x f（x）﹣3﹣2e x＞0，即F（x）＞0，又F（0）＝0，函数F（x）在R递增，故F（x）＞0的解是：x＞0，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝﹣x+y得y＝x+z，平移直线y＝x+z，由图象知，当直线y＝x+z经过点A时，直线的距离最小，此时z最小，由得，即A（，﹣），此时z＝﹣×﹣＝﹣﹣＝﹣1，故答案为：﹣114．【解答】解：圆心到直线的距离d＝＝，则|AB|＝2＝2＝2，过C作CE∥AB，直线x﹣y+4＝0即y＝x+，则直线的斜率k＝，故其倾斜角α＝30°，则∠ECD＝30°，即cos30°＝＝，即|CD|＝＝＝，故答案为：．15．【解答】解：设切点为（m，n），由y＝2lnx+1的导数为y′＝，可得切线的斜率为k＝＝a，且n＝am＝2lnm+1，解得m＝，a＝．故答案为：．16．【解答】解：如图所示，△ABC中，D为BC边的中点，H为AD的中点，∵＝x，＝y，∴＝＝x＝，∴＝，同理，＝+（﹣y），∵与共线，∴存在实数λ，使＝λ（λ＜0），即（﹣x）+＝λ[+（﹣y）]，∴，解得x＝，y＝，∴x+4y＝（1﹣λ）+（1﹣）＝+（﹣λ﹣）≥，当且仅当λ＝﹣即λ＝﹣2时，“＝”成立；∴x+4y的最小值是，故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第23题为选考题，考生根据要求作答．17．【解答】解：（1）△ABC中，2a sin（C+）＝b，∴2sin A sin（C+）＝sin（A+C），∴sin A sin C+sin A cos C＝sin A cos C+cos A sin C，∴sin A sin C＝cos A sin C，∴tan A＝，∴A＝60°；（2）如图所示，设AD＝x，BC2＝32+42﹣2×3×4cos60°＝13，∴BC＝，CD＝﹣x；由余弦定理得16＝x2+x2﹣2x•x•cos∠ADB，…①9＝x2+﹣2x（﹣x）cos（π﹣∠ADB），…②由①②解得x＝，即AD的长为．18．【解答】解：（1）∵S n+2＝3S n+3，∴n≥2时，S n+1＝3S n﹣1+3．∴a n+2＝3a n．n＝1时，S3＝3S1+3，即1+2+a3＝3+3，解得a3＝3，满足上式．∴n分别为奇数、偶数时都是等比数列，公比为3，首项分别为1，2．∴a2k﹣1＝3k﹣1，a2k＝2×3k﹣1．∴a n＝，k∈N*．（2）S2n＝（a1+a3+……+a2n﹣1）+（a2+a4+……+a2n）＝（1+3+32+……+3n﹣1）+（2+2×3+……+2×3n﹣1）＝3×（1+3+32+……+3n﹣1）＝3×＝．19．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝2AD，∠DAB＝60°，点F是CD的中点，∴CF＝CB，又∠FCB＝60°，∴△CBF为等边三角形，连接EF，由BF＝CB＝BE，∠EBF＝∠CFB＝60°，得△BEF为等边三角形．取BF的中点O，连接OC，OE，则CO⊥BF，EO⊥BF．∴BF⊥平面COE，则BF⊥CE；（2）解：由（1）知，CO⊥BF，又平面CBF⊥平面BFDE，则CO⊥平面BFDE，又OE⊥BF，以O为坐标原点，分别以OE，OB，OC所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，∵AD＝2，AB＝2AD，∠DAB＝60°，∴B（0，1，0），C（0，0，），A（，﹣1，），D（，﹣2，0），，，．设平面ABC与平面ACD的一个法向量分别为，．由，取z1＝1，得；由，取z2＝﹣1，得．∴cos＜＞＝＝．∴二面角B﹣AC﹣D的余弦值为．20．【解答】解：（1）由题意可知，抛物线C2的准线方程为x＝1，又椭圆C1被准线截得弦长为，∴点（1，）在椭圆上，∴+＝1，①又e＝＝，∴e2＝＝，∴a2＝2b2，②，由①②联立，解得a2＝2，b2＝1，∴椭圆C1的标准方程为：+y2＝1，（2）设直线l：y＝kx+m，设M（x1，y1），N（x2，y2），把直线l代入椭圆方程，整理可得（2k2+1）x2+4km+2m2﹣2＝0，△＝16k2m2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）＝16k2﹣8m2+8＞0，即2k2﹣m2+1＞0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∵k FM＝，k FN＝，∵M、N都在x轴上方）．且∠AFM＝∠OFN，∴k FM＝﹣k FN，∴＝﹣，即（kx1+m）（x2+1）＝﹣（kx2+m）（x1+1），整理可得2kx1x2+（k+m）（x1+x2）+2m＝0，∴2k•+（k+m）（﹣）+2m＝0，即4km2﹣4k﹣4k2m﹣4km2+4k2m+2m＝0，整理可得m＝2k，∴直线l为y＝kx+2＝k（x+2），∴直线l过定点（2，0）21．【解答】解：（1）∵f（x）＝alnx﹣x，∴f（x）定义域是（0，+∞）又f′（x）＝﹣1＝，①当a＝0时，无零点；②当a＜0时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上为减函数，又f（1）＝﹣1当x→0时，f（x）→+∞，所以f（x）有唯一的零点；③当a＞0时，∴f（x）在（0，a）递增，在（a，+∞）递减，∴f（a）＝alna﹣a＜0，则只要lna﹣1＜0，即lna＜1，∴a＜e而a＞0，∴0＜a＜e，综上所述：所求a的范围是[0，e）．（2）a＝1时，f（x）＝lnx﹣x，f′（x）＝﹣1，要证m≤2时，xf′（x）＜e x﹣mx2即1﹣x＜e x﹣mx2，而e x﹣mx2≥e x﹣2x2，问题转化为证明1﹣x＜e x﹣2x2，整理得：e x﹣2x2+x﹣1＞0（x＞0）恒成立，令g（x）＝e x﹣2x2+x﹣1＞0，（x＞0），g′（x）＝e x﹣4x+1，g″（x）＝e x﹣4，故g′（x）在（0，2ln2）递减，在（2ln2，+∞）递增，故g′（x）min＝g′（2ln2）＝5﹣8ln2＜0，g′（0）＝2＞0，g′（2）＞0，故存在a∈（0，2ln2]，b∈（2ln2，2），使得g′（a）＝g′（b）＝0，故当0＜x＜a或x＞b时，g′（x）＞0，g（x）递增，当a＜x＜b时，g′（x）＜0，g（x）递减，故g（x）的最小值是g（0）＝0或g（b），由g′（b）＝0，得e b＝4b﹣1，g（b）＝e b﹣2b2+b﹣1＝﹣2b2+5b﹣2＝﹣（b﹣2）（2b﹣1），∵b∈（2ln2，2），故g（b）＞0，故x＞0时，g（x）＞0，原不等式成立．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（β为参数），∴曲线C的普通方程为x2+（y﹣1）2＝4，即x2+y2﹣2y﹣3＝0，∴曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ﹣3＝0．∵直线l的极坐标方程为＝．∴＝，即ρcosα+ρsinα＝2，∴直线l的直角坐标方程为x+y﹣2＝0．（2）联立，得或，∴可设M（，），N（，），在直线l：x+y﹣2＝0中，令y＝0，得P（2，0），∴|PM|＝＝，|PN|＝＝，∴|PM|•|PN|＝＝1．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）m＝3时，f（x）≥3⇔或或，解得x或x，∴f（x）≥3的解集为{x|x或x}；（2）若存在x0满足f（x0）＜2﹣|x0﹣1|等价于|2x﹣2|+|2x﹣m|＜2有解，∵|2x﹣2|+|2x﹣m|≥|m﹣2|，∴|m﹣2|＜2，解得0＜m＜4，实数m的取值范围是（0，4）．。
山东省泰安市2018届高三上学期期末考试数学(理)试题
高三年级考试 数学试题（理科）2018.1第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}3,4,5M =，{}2,3N =，则集合()U C N M ⋂= A.{}2B.{}1,3C.{}2,5D.{}4,52.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2583,25a S a ===，则 A.16B.15C.14D.133. 已知132a =，31221log ,log 33b c ==，则 A.a b c >>B.a c b >>C.c a b >>D.c b a >>4.下列命题正确的是A.命题“[]0,1x ∃∈，使210x -≥”的否定为“[]0,1x ∀∈，都有210x -≤”B.若命题p 为假命题，命题q 是真命题，则()()p q ⌝∨⌝为假命题C.命题“若a 与b 的夹角为锐角，则0a b >”及它的逆命题均为真命题 D.命题“若20x x +=，则0x =或1x =-”的逆否命题为“若0x ≠且1x ≠-，则20x x +≠”5.有两条不同的直线m n 、与两个不同的平面αβ、，下列命题正确的是 A.,//m n αβ⊥，且//αβ，则m n ⊥ B.m n αβ⊥⊥，，且αβ⊥，则//m n C.//,m n αβ⊥，且αβ⊥，则//m nD.//,//m n αβ，且//αβ，则//m n6.设不等式组1,04x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，表示的平面区域为M ，若直线2y kx =-上存在M 内的点，则实数k的取值范围是A.[]25，B.(][)13-∞⋃+∞，，C.[]13，D.(][)-∞⋃+∞，25，7.将函数sin 2y x =的图像向右平移()0ϕϕ>个单位长度，若所得图像过点132π⎛⎫⎪⎝⎭，，则ϕ的最小值为 A.12πB.6π C.4π D.3π8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.883π+ B.1683π+ C.8163π+D.16163π+ 9.函数()c o s 33,,00,s i n 22x fx x x x ππ⎡⎫⎛⎤=∈-⋃⎪ ⎢⎥-⎣⎭⎝⎦的图像大致是10.已知函数()()()21,2xx f x e a e e aex b a b R =+--+∈(其中e 为自然数底数)在1x =取得极大值，则a 的取值范围是 A.0a <B.0a ≥C.0e a -≤<D.a e <-11.已知双曲线()22122C :10,0x y a b a b-=>>，圆22223:204C x y a x a +-+=，若双曲线1C 的一条渐近线与圆2C 有两个不同的交点，则双曲线1C 的离心率范围是A.1⎛ ⎝⎭B.⎫+∞⎪⎪⎝⎭C.()12，D.()2+∞，12.定义在1ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的函数()f x ，满足()1f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且当1,1x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()ln f x x=若函数()()g x f x ax =-在上1ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，有零点，则实数a 的取值范围是A.ln ,0ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.[]ln ,0ππ-C.1ln ,e ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.1,2e π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）~（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）~（23）题为选考题，考生根据要求做答。
【真题】18年山东省泰安市高三(上)数学期中试卷含答案(理科)
2017-2018学年山东省泰安市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={2，4，5}，B={1，3，5，7}，则（∁U A）∩B=（）A．{7}B．{3，5}C．{1，3，6，7}D．{1，3，7}2．（5分）“a，b，c，d成等差数列”是“a+d=b+c”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）下列函数在（0，2）上是增函数的是（）A．B．C．D．4．（5分）已知||=||=2，（+2）•（﹣）=﹣2，则与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°5．（5分）定积分=（）A．10﹣ln3 B．8﹣ln3 C．D．6．（5分）已知函数的最小正周期为4π，则（）A．函数f（x）的图象关于原点对称B．函数f（x）的图象关于直线对称C．函数f（x）图象上的所有点向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称D．函数f（x）在区间（0，π）上单调递增7．（5分）函数f（x）=（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A．B．C．D．8．（5分）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE 的延长线与CD相交于点F．若AB=2，，∠BAD=45°，则=（）A．B．1 C．﹣ D．19．（5分）已知函数（a＞0且a≠1）．若函数f（x）的图象上有且只有两个点关于y轴对称，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．（1，4） C．（0，1）∪（1，+∞）D．（0，1）∪（1，4）10．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过的在正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论，其中不正确的是（）①f（）=②函数f（x）在（，π）上为减函数③任意x∈[0，]，都有f（x）+f（π﹣x）=4．A．①B．③C．②D．①②③11．（5分）如图，点A，B在函数y=log2x+2的图象上，点C在函数y=log2x的图象上，若△ABC为等边三角形，且直线BC∥y轴，则点A的横坐标为（）A．2 B．3 C．D．12．（5分）设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为（）A．[﹣2，2]B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）．13．（5分）命题“∃x0∈R，2x02＜cosx0”的否定为．14．（5分）函数在x=1处的切线的斜率为．15．（5分）已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为其前n项和，若S8=4S4，则a9=．16．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=﹣2f（x），当x∈（0，2]时，f（x）=2x，则在区间（4，6]上满足f（x）=f（3）+12的实数x的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，sinβ），0＜β＜α＜π．（I）若|；（Ⅱ）设，求α，β的值．18．（12分）已知命题p：函数f（x）=（m2﹣1）上为增函数；命题q：函数g（x）=x2﹣2elnx﹣m有零点．（I）若p∨q为假命题，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．19．（12分）如图，A、B是海面上两个固定观测站，现位于B点南偏东45°且相距海里的D处有一艘轮船发出求救信号．此时在A处观测到D位于其北偏东30°处，位于A北偏西30°且与A相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？20．（12分）已知函数．（I）若α是第二象限角，且的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间．21．（12分）已知数列{a n}的首项为a1=2，且满足a1+a2+…+a n﹣a n+1=﹣2．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，求数列{a n b n}的前n 项和T n．22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣x+m（m∈R）的图象与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2．（I）若函数f（x）的最大值为2，求m的值；（Ⅱ）若恒成立，求实数k的取值范围；（Ⅲ）证明：x1x2＜1．2017-2018学年山东省泰安市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={2，4，5}，B={1，3，5，7}，则（∁U A）∩B=（）A．{7}B．{3，5}C．{1，3，6，7}D．{1，3，7}【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={2，4，5}，B={1，3，5，7}，∴C U A={1，3，6，7}，（∁U A）∩B={1，3，7}．故选：D．2．（5分）“a，b，c，d成等差数列”是“a+d=b+c”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由a，b，c，d成等差数列，可得：a+d=b+c，反之不成立：例如a=0，d=5，b=1，c=4．∴“a，b，c，d成等差数列”是“a+d=b+c”的充分不必要条件．故选：A．3．（5分）下列函数在（0，2）上是增函数的是（）A．B．C．D．【解答】解：函数在（0，2）上是增函数，满足题意；函数在（0，2）上是减函数，不满足题意；函数在（0，2）上是减函数，不满足题意；函数在（0，2）上是减函数，不满足题意；故选：A．4．（5分）已知||=||=2，（+2）•（﹣）=﹣2，则与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°【解答】解：由（+2）•（﹣）=﹣2，得，∴，又||=||=2，∴，即cos=，∵两向量夹角的范围为[0°，180°]，∴与的夹角为60°．故选：C．5．（5分）定积分=（）A．10﹣ln3 B．8﹣ln3 C．D．【解答】解：==8﹣ln3，故选：B．6．（5分）已知函数的最小正周期为4π，则（）A．函数f（x）的图象关于原点对称B．函数f（x）的图象关于直线对称C．函数f（x）图象上的所有点向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称D．函数f（x）在区间（0，π）上单调递增【解答】解：函数的最小正周期为4π，∴，可得ω=．那么f（x）=sin（）．由对称中心横坐标方程：，k∈Z，可得：x=2kπ∴A不对；由对称轴方程：=，k∈Z，可得：x=2k，k∈Z，∴B不对；函数f（x）图象上的所有点向右平移个单位，可得：sin[（x﹣）]=sin2x，图象关于原点对称．∴C对．令≤，k∈Z，可得：≤x≤∴函数f（x）在区间（0，π）上不是单调递增．∴D不对；故选：C．7．（5分）函数f（x）=（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A．B．C．D．【解答】解：f（﹣x）=（﹣x+）cos（﹣x）=﹣（x﹣）cosx=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，∴函数f（x）的图象关于原点对称，故排除A，B，当x=π时，f（π）=（π﹣）cosπ=﹣π＜0，故排除C，故选：D．8．（5分）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE 的延长线与CD相交于点F．若AB=2，，∠BAD=45°，则=（）A．B．1 C．﹣ D．1【解答】解：平行四边形ABCD，AB=2，，∠BAD=45°，DF∥AB，可得△DEF∽△BEA，E是线段OD的中点，可得DF：BA═DE：BE=EF：AE=1：3，==×（+）=（++）=（+）；==（﹣），则=（+）•（﹣）=（2﹣2﹣•）=×（×2﹣×4﹣2×）=﹣．故选：C．9．（5分）已知函数（a ＞0且a ≠1）．若函数f （x ）的图象上有且只有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（1，4）C ．（0，1）∪（1，+∞）D ．（0，1）∪（1，4） 【解答】解：由题意，0＜a ＜1时，显然成立；a ＞1时，f （x ）=log a x 关于y 轴的对称函数为f （x ）=log a （﹣x ），则log a 4＞1，∴1＜a ＜4，综上所述，a 的取值范围是（0，1）∪（1，4）， 故选：D ．10．（5分）如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记∠AOP 为x （x ∈[0，π]），OP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积S=f （x ），那么对于函数f （x ）有以下三个结论，其中不正确的是（ ） ①f （）=②函数f （x ）在（，π）上为减函数③任意x ∈[0，]，都有f （x ）+f （π﹣x ）=4．A ．①B ．③C ．②D ．①②③【解答】解：当0≤x ≤arctan2时，f （x ）=tanx ； 当arctan2＜x ＜，在△OBE 中，f （x ）=S 矩形OABM ﹣S △OME =2﹣EM•OM=2﹣；当x=时，f （x ）=2；当＜x≤π﹣arctan2时，同理可得f（x）=2﹣．当π﹣arctan2＜x≤π时，f（x）=4﹣×1×tan（π﹣x）=4+tanx．于是可得：①f（）=tan=，正确；②当＜x≤π﹣arctan2时，由f（x）=2﹣，为增函数．当π﹣arctan2＜x ≤π时，f（x）=4+tanx，为增函数，因此不正确．③∀x∈[0，]，由图形及其上面，利用对称性可得：f（x）+f（π﹣x）=4，因此正确；故选：C．11．（5分）如图，点A，B在函数y=log2x+2的图象上，点C在函数y=log2x的图象上，若△ABC为等边三角形，且直线BC∥y轴，则点A的横坐标为（）A．2 B．3 C．D．【解答】解：根据题意，设B（x0，2+log2x0），A（m，n），C（x0，log2x0），∵线段BC∥y轴，△ABC是等边三角形，∴BC=2，2+log2m=n，∴m=2n﹣2，∴4m=2n；又x0﹣m=，∴m=x0﹣，∴x0=m+；又2+log2x0﹣n=1，∴log2x0=n﹣1，x0=2n﹣1；∴m+=2n﹣1；2m+2=2n=4m，∴m=，故选：D．12．（5分）设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为（）A．[﹣2，2]B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＜0，故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是减函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数，∴f（4﹣m）﹣f（m）=g（4﹣m）+（4﹣m）2﹣g（m）﹣m2=g（4﹣m）﹣g （m）+8﹣4m≥8﹣4m，∴g（4﹣m）≥g（m），∴4﹣m≤m，解得：m≥2，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）．13．（5分）命题“∃x0∈R，2x02＜cosx0”的否定为∀x∈R，2x2≥cosx．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈R，2x02＜cosx0”的否定为：∀x∈R，都有2x2≥cosx．故答案为：∀x∈R，都有2x2≥cosx．14．（5分）函数在x=1处的切线的斜率为．【解答】解：对函数求导：f'（x）=，当x=1时，f'（1）=．故答案为．15．（5分）已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为其前n项和，若S8=4S4，则a9=．【解答】解：∵{a n}是公差为1的等差数列，S8=4S4，∴8a1+×1=4，解得a1=．则a9=+8×1=．故答案为：．16．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=﹣2f（x），当x∈（0，2]时，f（x）=2x，则在区间（4，6]上满足f（x）=f（3）+12的实数x的值为5．【解答】解：根据题意，若f（x）满足f（x+2）=﹣2f（x），则f（x+4）=﹣2f（x+2）=4f（x），f（3）=﹣2f（1）=﹣2×21=﹣4，设4＜x≤6，则0＜x﹣4≤2，f（x）=4f（x﹣4）=4×2x﹣4=2x﹣2，若在区间（4，6]上满足f（x）=f（3）+12，则有2x﹣2=（﹣4）+12，即2x﹣2=8，解可得x=5；故答案为：5．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，sinβ），0＜β＜α＜π．（I）若|；（Ⅱ）设，求α，β的值．【解答】解：（I）==（2cos2﹣1，sinα）=（cosβ，sinα），==（2cos2﹣1，sinβ）=（cosα，sinβ），==（2cos2﹣2cos2，sinβ﹣sinα）=（cosα﹣cosβ，sinβ﹣sinα），∵，∴=cosαcosβ+sinαsinβ=0，∴=（cosα﹣cosβ）2+（sinβ﹣sinα）2=2﹣2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2，∴||=．（II）=（cosα+cosβ，sinα+sinβ），==（0，1），∴，∵0＜β＜α＜π．∴α+β=π，且sinα+sinβ=，∴α=，β=．18．（12分）已知命题p：函数f（x）=（m2﹣1）上为增函数；命题q：函数g（x）=x2﹣2elnx﹣m有零点．（I）若p∨q为假命题，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．【解答】解：若命题p为真命题，即函数f（x）=（m2﹣1）上为增函数，则m2﹣1＞0，解得：m＜﹣1，或m＞1，∵函数g（x）=x2﹣2elnx﹣m∴g′（x）=2x﹣当x∈（0，）时，g′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0，故当x=时，函数g（x）取最小值﹣m，若命题q为真命题：函数g（x）=x2﹣2elnx﹣m有零点．则：﹣m≤0，即m≥0，（I）若p∨q为假命题，则p，q均为假命题，则，解得：﹣1≤m＜0；（Ⅱ）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，若p真q假，则，解得：m＜﹣1若p假q真，则，解得：0≤m≤1，综上可得：0≤m≤1，或m＜﹣1．19．（12分）如图，A、B是海面上两个固定观测站，现位于B点南偏东45°且相距海里的D处有一艘轮船发出求救信号．此时在A处观测到D位于其北偏东30°处，位于A北偏西30°且与A相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【解答】解：由题意，BD=5，AC=20，∠BAD=30°，∠ABD=45°，∠CAD=60°在△DAB中，由正弦定理得，=，∴AD=•sin∠ABD=•sin45°=10，在△ACD中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AC•AD•cos∠CAD=（20）2+（10）2﹣2×20×10×=900，∴CD=30，∵航行速度为30海里/小时，∴该救援船到达D点需要1（小时）．答：救援船到达D点需要1小时20．（12分）已知函数．（I）若α是第二象限角，且的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间．【解答】解：（I）α是第二象限角，且，则：，解得：，α是第二象限角，解得：，，已知函数，=．=，=．（Ⅱ）由题意得：，=，=，=，令，解得：，由于：0≤x≤2π，则：①当k=0时，函数的单调递增区间为：[0，]，②当k=1时，函数的单调递增区间为：[]，③当k=2时，函数的单调递增区间为：[]．故函数的单调递增区间为：：[0，]和[]和[]．21．（12分）已知数列{a n}的首项为a1=2，且满足a1+a2+…+a n﹣a n+1=﹣2．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，求数列{a n b n}的前n 项和T n．=﹣2．【解答】解：（I）∵数列{a n}满足a1+a2+…+a n﹣a n+1∴a1+a2+…+a n﹣a n=﹣2．﹣1相减可得：2a n=a n+1．∴数列{a n}是等比数列，首项为2，公比为．∴a n=2×=．（II）由（I）可得：a1a2…a n===．b n=×=．∴a n b n==（3﹣n）．∴T n=2+1×+0﹣1×﹣…+（3﹣n），=1++0﹣﹣…+（4﹣n）+（3﹣n）．∴T n =2﹣﹣﹣…﹣+（n ﹣3）=3﹣+（n ﹣3）．可得：T n =2+．22．（12分）已知函数f （x ）=lnx ﹣x +m （m ∈R ）的图象与x 轴相交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，且x 1＜x 2．（I ）若函数f （x ）的最大值为2，求m 的值； （Ⅱ）若恒成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）证明：x 1x 2＜1．【解答】解：（Ⅰ）∵f （x ）=lnx ﹣x +m ， ∴f′（x ）=﹣1=当x ＞1时，f′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减， 当0＜x ＜1时，f′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增， ∴f （x ）max =f （1）=ln1﹣1+m=2， 解得m=3，（Ⅱ）当x ＞1时，f （x ）＜k （1﹣）+xf′（x ）+m ﹣2，（k ≤2）恒成立， ∴lnx ﹣x +m ＜k （1﹣）+1﹣x +m ﹣2恒成立， ∴（lnx +1）＞k （x ﹣3），k ≤2，（*） ∵当x ＞1时，（*）恒成立，当x ＞1时，（lnx +1）﹣k （x ﹣3）＞0恒成立， 令g （x ）=（lnx +1）﹣k （x ﹣3）， ∴g′（x ）=lnx +2﹣k ， ∵x ＞1，k ≤2， ∴g′（x ）＞0，∴g （x ）在（1，+∞）单调递增， ∴g （x ）＞g （1）=1+2k ＞0，∴k＞﹣，即k的取值范围为（﹣，2]；（Ⅲ）函数f（x）=lnx﹣x+m（m∈R）的图象与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2．结合（Ⅰ）可得x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），∴∈（0，1），∵f（x1）=f（x2），∴lnx1﹣x1=lnx2﹣x2，∴f（x1）﹣f（）=lnx1﹣x1+lnx2+=lnx2﹣x2+lnx2+=2lnx2﹣x2+，令h（x）=2lnx﹣x+，x＞1，∴h′（x）=﹣1﹣=﹣=﹣＜0，∴h（x）在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）＜h（1）=0，∴f（x1）﹣f（）＜0，∴f（x1）＜f（），∵函数f（x）在（0，1）上单调递增，∴x1＜，∴x1x2＜1赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x=为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo第21页（共21页）【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
山东省2018-2019学年高三数学上学期期中质量监测试题理
2018〜2019学年度第一学期期中质量监测高三数学（理）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分，共 4页；满分150分，考试 时间120分钟. 注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡（纸）上.2. 第I 卷的答案须用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号 .3. 答第n 卷（非选择题）考生须用0.5mm 的黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡（纸）的各题目指定.的区域内相应位置，否则，该答题无效. 4. 书写力求字体工整、笔迹清楚 •第I 卷（选择题60 分）12个小题，每小题 5分，满分60分；在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合上如込:：「二，丨：，则：■=、选择题（本A. ； 二 B . - ■■■ |2.函数—「心一「的定义域为A . C.二3. 设 f? E R ，则“ sin 0 =A .充分不必要条件 C.充要条件1 . _ ? 1 14•已知.， 」，•■••,则有 C .【〕+巧 D | ' - - ■- JB . I .「ID...二 】i | ： •-:的B .必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件2A. : > —■B.h> c> a3ff 1\ 5.定积分|「,■% 1 x iA. l ：i 2、B.B - M36.已知「丨一::■: -■■,-'(«- b)=A.:B.45°C. :："：：：■:;D. m-.2264C ：D •；'，则:•与••的夹角为C.，:D.7.已知命题.存在实数,满足匚…⑴.匚一 ■!：. :■- - ■■■ 命题•：汽—.）.则下列命题为真命题的是B.设函数/ I. : -r.i.V I（:心::堤常数，…：.•；"」），且函数八门的部分图象如右图所示，则有J W 4』 10. 已知也y E /?,且d-y + l £ 6,则目标函数z = 2x + y 的最小值为 / 4- y - 1 孑 0 11. 已知•是：的外心，|心|••, 「」［，则「:代龙：A . :B .C.D .12. 若直线； r ；匸是曲线：汀;：■/ + .：；的切线，也是曲线:--门的切线，则实数•的 值是2 3A .："； •：. B. I 门小 C. 2 + D.第n 卷（非选择题共 90分）二、填空题：（本大题共 4个小题，每小题5分，共20分）13. 已知向量■- - '■ 1」，；，一 3 C , ： -■' 1.若 i 二 I 、一 “：，则实数/一 ▲.14. 设当-时，函数- "■■：■■■ '■取得最大值,则■■■' - ▲.15. 观察下列各式：13-121323=32132333=6216.已知函数’ 是定义在：'上的偶函数，其导函数为 ::，且当 时，… ■: .■8. 9. 右图是函数的部分图象，则函数◎ ―的零点所在的区间是 fl 1A..B. ： . 'C.DB .C.D.A .c. D3 JT ] 斗照此规律，则第个等式应为▲，则不等式■■'i：'.；： ' ： . ' ：' I： ; I |:的解集为▲ •三、解答题：（本大题共6个小题，共70分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本题满分10分）设命题函数-―- .在区间丨・一.：上单调递减；命题：函数■■- ■ J；-?-'-:的值域是;，.如果命题八7为真命题，•：为假命题，求实数•的取值范围.18. （本题满分12分）已知向量- ；：：.，丄［--：..：u；•；.（I）若£丄二，求m的值；（n）令7八-•- ：■,把函数’的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标TT不变），再把所得图象沿轴向右平移个单位，得到函数：■-屮门的图象，试求函数' 的单调增区间及图象的对称中心.19. （本题满分12分）在m中，内角小二"所对应的边分别为」，已知-:- - I.-' - ■■■■.（I）求的值；（n）试求■'的面积.20. (本题满分12分)已知函数/ | |.C :;|，不等式，:T.C ：：丄的解集为..L ( I .(I)求实数•的值；(n)若关于的不等式恒成立，求实数：•的取值范围21. (本题满分12分)山东省于2015年设立了水下考古研究中心，以此推动全省的水下考古、水下文化遗产保护等工作；水下考古研究中心工作站，分别设在位于刘公岛的中国甲午战争博物院和威海市博物馆。
山东省泰安市2018届高三第一轮复习质量检测数学理试题
山东省泰安市2018年3月高三第一轮质量检测数学试题(理科) 2018．3第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}-1012A =，，，，集合{}23,B y y x x A ==-∈⋂，则A B 等于A ．{}101-，，B ．{}11-，C ．{}112-，，D ．{}012，，2．若()125i z i -=，则z 的值为A ．3B ．5CD 3．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，6483,a a a =+则A ．有最小值6B ．有最大值6C ．有最大值9D ．有最小值34．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x 与相应的生产能耗y 的几组对应数据：根据上表可得回归方程9.49.1y x =+，那么表中m 的值为A ．27．9B ．25．5C ．26．9D ．265．阅读右侧程序框图，运行相应程序，则输出i 的值为A ．3B ．4C ．5D ．66．将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，则下列说法不正确．．．的是A ．()g x 的周期为πB ．6g π⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()3x g x π=是的一条对称轴 D ．()g x 为奇函数7．以()0,02P F P ⎛⎫> ⎪⎝⎭为焦点的抛物线C 的准线与双曲线222x y -=相交于M ，N 两点，若MNF ∆为正三角形，则抛物线C 的标准方程为A ．2y =B ．2y =C ．2x =D ．2x = 8．()9201cos 2a x dx ax ax π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰，则展开式中3x 项的系数为 A ．212- B ．638- C ．638 D ．63169．已知m ，n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，则下列命题正确的是A ．//,//,//m n m n αα若则B ．,//αγβγαβ⊥⊥若，则C ．//,//,//m m αβαβ若则D ．,,//m n m n αα⊥⊥若则10．如图，平面四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=，2BC CD ==，点E 在对角线AC 上，AC=4，AE=1，则EB ED ⋅的值为A ．17B ．13C ．5D ．111．已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的一条渐近线交于两点P ，Q ，若60PAQ ∠=，且3OQ OP =，则双曲线C 的离心率为A B C C 12．已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()()1f x y f x '=-，函数是奇函数，当()()()()1110x x f x x f x '<-+++<⎡⎤⎣⎦时，，则不等式()()10xf x f ->的解集为A ．(1，+∞)B ．(－∞，－1)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，+∞)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡中的横线上．13．设函数()()()()2211log 2,16log 112,1x x x f x f f x -⎧+-<⎪=-+=⎨≥⎪⎩，则 ▲ ． 14．已知实数,x y 满足关系2040,0x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则22x y -+的最大值是 ▲ ．15．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ▲ ．16．对任意数列123:,,,,,n A a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，定义A ∆为数列2132431,,,,,n n a a a a a a a a +---⋅⋅⋅-⋅⋅⋅，如果数列A 使得数列()A ∆∆的所有项都是1，且122220a a a ===，则 ▲ ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)在ABC ∆中，角A ，B ，C所对的边分别为()222,,24a b c a b c =-，且． (I)求角B 的大小；(Ⅱ)若1b c =-的取值范围．18．(本小题满分12分)如图，三棱柱1111ABC A B C A -，点在平面ABC 内的射影D 在AC 上11602BAC CAA AB AC AA ∠=∠====，且．(I)求证：11B C A B ⊥；(Ⅱ)求二面角1A B C B --的余弦值．19．(本小题满分12分)体检评价标准指出：健康指数不低于70者为身体状况好，健康指数低于70者为身体状况一般。
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山东省泰安市2018—2018学年第一学期高三期中考试数学试题（理）2018．11第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若U ＝｛1,2,3,4｝,M ＝｛1,2｝, N ＝｛2,3｝则C U （M ∪N ）＝A ．｛1,2,3｝B ．{2}C ．{1,2,3}D ．{4}2．sin17°sin223°＋sin73°sin47°等于A ．－21B ．21 C ．－23 D ．23 3．已知a >0，b >0，a 、b 的等差中项是21，且α＝a ＋a 1, β＝b+b1，则α＋β的最小值是 A ．3B ．4C ．5D ．64．设函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在（－∞，0 ]上增函数，若｜a ｜>｜b ｜，则以下结论正确的是A ．f （a ）－f （b ）<0B ．f （a ）－f （b ）>0C ．f （a ）＋f （b ）>0D ．f （a ）＋f （b ）<05．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°,则塔高为A ．3400m B ．33200m C ．33400m D ．3200m 6．已知O 为坐标原点，＝（－3,1），＝（0,5），且∥，⊥，则点C 的坐标为A ．（－3,－429） B ．（3,429） C ．（－3,429） D ．（3,－429） 7．已知cos （4＋x ）=53，则sin2x 的值为A ．－2524B ．－257 C ．2524 D ．257 8．如图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB 是边长为2的等边三角形，设直线x =t （0≤t ≤2）截这个三角形可得位于此直线左方的图形（阴影部分）的面积为f （t ），则函数y =f （t ）的图象（如下图所示）大致是9．当0<x <4π时，函数f （x ）＝x x x x 2sin cos sin 12cos -+的最小值是A ．1B ．2C ．4D ．810．已知函数f （n ）＝⎪⎩⎪⎨⎧-22n n)()(为偶数时当为奇数时当n n ,且a n =f （n ）＋f （n ＋1）,则a 1＋a 2＋…＋a 100等于A ．0B ．100C ．－100D ．－1180011．已知a >0且a ≠1, f （x ）＝x 2－a x，当x ∈（－1,1）时，f （x ）<21恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．[)1(0,2,2⎤⋃+∞⎥⎦B ．)4,1(1,41⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡C ．(]2,11,21⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡D ．[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛,441,012．已知a n =（31）n，把数列{a n }的各项排列成如下的三角形状, a 1 a 2 a 3 a 4a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 …………………………记A （m,n ）表示第m 行的第n 个数，则A （10,12）= A ．（31）93B ． （31）92 C ． （31）94 D ． （31）112 第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请把答案填在题中横线上． 13．等差数列｛a n ｝中，a 1＋3a 8＋a 13=120，则2a 9－a 10的值为________．14．若函数f （x ＋2）＝⎩⎨⎧-)lg(tan x x ),0(),0(<≥x x 则f （4π＋2）· f （－98）的值为________．15．若实数x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥,092,0341,y x y x x 则目标函数Z =x ＋y 的最大值是________．16．设函数f （x ）=sin （ωx ＋ϕ）（ω>0，22πϕπ<<-），给出以下四个论断：①它的周期为π；②它的图象关于直线x =12π对称； ③它的图象关于点（3π，0）对称；④在区间（6π-，0）上是增函数．以其中两个论断为条件，另两个论断作结论，写出你认为正确的一个命题：__________________（注：填上你认为正确的一种答案即可）．三、解答题：本大题共6个小题，满分74分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，若a 、b 、c 成等差数列，sin B =54且△ABC 的面积为23，求b ． 18．（本小题满分12分）已知命题p ： x （6－x ）≥－16,命题q ：x 2＋2x ＋1－m 2≤0（m <0），若┓p 是┓q 的必要条件，求实数m 的取值范围． 19．（本小题满分12分）若＝)sin ,cos 3(x x ωω，＝)0,(sin x ω,其中ω>0,记函数f （x ）=（＋）·＋k ． （1）若f （x ）图象中相邻两条对称轴间的距离不小于2π，求ω的取值范围． （2）若f （x ）的最小正周期为π，且当x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,6ππ时，f （x ）的最大值是21，求f （x ）的解析式，并说明如何由y =sin x 的图象变换得到y =f （x ）的图象． 20．（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{a n }前n 项和为S n ，首项为a 1，且21，a n ，S n 成等差数列． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）若a n 2=（21）b n ,设c n ＝nn a b，求数列{c n }的前n 项和T n ． 21．（本小题满分12分）某地区的一种特色水果上市时间能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：①f （x ）=p ·q x ；②f （x ）=log q x ＋p ；③f （x ）=（x －1）（x －q ）2＋p （以上三式中p 、q 均为常数，且q >2）．（1）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？（2）若f （1）＝4, f （3）＝6,（1）求出所选函数f （x ）的解析式（注：函数的定义域是［1,6］．其中x =1表示4月1日，x =2表示5月1日，…，以此类推）；（2）为保证果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该水果在哪几个月内价格下跌． 22．（本小题满分14分）已知函数f （x ）=3x －21x 2＋bx ＋c ． （1）若f （x ）有极值，求b 的取值范围；（2）当f （x ）在x=1处取得极值时，①若当x ∈［－1,2］时，f （x ）<c 2恒成立，求c 的取值范围；②证明：对［－1,2］内的任意两个值x 1，x 2，都有｜f （x 1）－f （x 2）｜<47．数学试题参考答案及评分标准（理科）2018．11一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分．13．24 14．2 15．7 16．①②⇒③④ ①③⇒②④ 三、解答题：本大题共6个小题，满分74分． 17．（本小题满分12分）由a 、b 、c 成等差数列 得a ＋c =2b平方得a 2＋c 2=4b 2－2ac ①………………………………………………………2分 又S △ABC ＝23且sin B =54, ∴S △ABC ＝21ac · sin B =21ac ×54＝52ac =23故ac =415②……………………………………………………………………4分 由①②可得a 2＋c 2=4b 2－215③…………………………………………………5分 又∵sin B =54，且a 、b 、c 成等差数列 ∴cos B =B 2sin 1-=25161-=53………………………………………………8分 由余弦定理得：b 2=a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝a 2＋c 2－2×415×53＝a 2＋c 2－29④……………………10分 由③④可得 b 2=4∴b=2………………………………………………………………………………12分 18．（本小题满分12分）由x （6－x ）≥－16可得－2≤x ≤8,即命题p ：－2≤x ≤8 ………………………………3分 由x 2＋2x ＋1－m 2≤0，可得：（x ＋1－m ）（x ＋1＋m ）≤0, 又m <0，∴m －1<－m －1，∴m －1≤x ≤－m －1即命题q ：m －1≤x ≤－m －1 …………………………………………………………6分由┓p 是┓q 的必要条件，可得p 是q 的充分条件 …………………………8分∴⎪⎩⎪⎨⎧<-≤-≥--02181m m m …………………………………………………………………10分∴⎪⎩⎪⎨⎧<-≤-≤019m m m ∴m≤－9 ………………………………………………………12分 19．（本小题满分12分）解∵a=,sin )x x ωω b ＝)0,(sin x ω ∴＋=)sin ,sin cos 3(x x x ωωω+故f （x ）=（＋）·＋k2sin xcow x x k ωωω++＝k x x k x x ++-=+-+212cos 212sin 2322cos 12sin 23ωωωω ＝21)62sin(++-k x πω …………………………………………………4分 （1）由题意可知222T ππω=≥，∴1ω≤ 又ω>1，∴0≤ω≤1 …………………………………………………………6分 （2）∵T ＝πωπ=，∴ω＝1 ∴f （x ）=sin （2x －6π）＋k ＋21 ∵x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,262,6,6πππππx …………………………………………8分从而当2x －6π＝6π即x=6π时 f max （x ）=f （6π）=sin 6π＋k ＋21=k ＋1=21 ∴k =－21 故f （x ）=sin （2x －6π）…………………………………………………………10分 由y =sin x 的图象向右平移6π个单位得到y =sin （x －6π）的图象，再将得到的图象横坐标变为原来的21倍（纵坐标不变）得到y =sin （2x －6π）的图象． ………………12分20．（本小题满分12分）解（1）由题意知2a n =S n ＋21,a n >0 当n =1时，2a 1＝a 1＋21 ∴a 1=21当n ≥2时，n S =2a n －21,S n －1=2a n －1－21 两式相减得a n =2a n －2a n －1 整理得：1-n na a ＝2 …………………………………………………………………4分 ∴数列{a n }是以21为首项，2为公比的等比数列． a n =a 1·2n －1=21×2n －1=2n －2…………………………………………………………5分 （2）a n 2=2nb -=22n－4∴b n =4－2n ……………………………………………………………………6分 C n =aa ab =2224--n n =n n 2816- T n =+-++32282028…124816822n nn n ---+ ① 21T n =++322028…＋124816822nn n n +--+ ② ①—②得21T n ＝4－81322816)212121(+--+⋯++n n n ………………………9分＝4－8·1122816211211(21+-----n n n＝4－4112816)211(+----n n n ＝n n24 ……………………………………………………………11分 ∴T n =n n28 ………………………………………………………………………12分 21．（本小题满分12分）解（1）因为①f （x ）=p · q x 是单调函数②f （x ）=log q x ＋p 是单调函数③f （x ）=（x －1）（x －q ）2＋p 中f `（x ）=3x 2－（4q ＋2）x ＋q 2＋2q令f `（x ）=0，得x =q , x =32+q ，f （x ）有两个零点，可以出现两个递增区间和一个递减区间，所以应选f （x ）=（x －1）（x －q ）2＋p 为其模拟函数． ………………3分（2）由f （1）＝4, f （3）＝6得⎩⎨⎧=+-∙=6)3(242p q p ……………………5分解之得⎩⎨⎧==,4,4q p （其中q =2舍去）∴f （x ）=（x －1）（x －4）2＋4=x 3－9x 2＋24x －12（1≤x ≤6） ………………8分 （3）由f `（x ）=3x 2－18x ＋24<0解得2<x <4 ………………………………10分∴函数f （x ）＝x 3－9x ＋24x －12在区间（2,4）上单调递减∴这种果品在5、6月份价格下跌． ……………………………………………12分22．（本小题满分14分）（1）∵f （x ）=x 3－21x 2＋bx ＋c ， ∴f `（x ）=3x 2－x ＋b 要使f （x ）有极值，则f `（x ）=3x 2－x ＋b =0有实数解 ………………………2分 从而△＝1－12b ≥0,∴b≤121……………………………………………………3分 当b =121时，函数在R 上严格递增，∴b<121 ………………………………4分 （2）∵f （x ）在x =1处取得极值 ∴f `（1）=3－1＋b =2＋b =0∴b ＝－2 …………………………………………………………………………5分 ①∴f （x ）=3x －21x 2－2x ＋c ∵f `（x ）=3x 2－x －2=（3x ＋2）（x －1） ∴当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--32,1时，f `（x ）>0，函数单调递增当x ∈（－32，1）时，f `（x ）<0，函数单调递减 ∴当x =－32时，f （x ）有极大值2722＋c ………………………………………8分又f （2）=2＋c >2722＋c , f （－1）=21＋c <2722＋c ∴x ∈［－1,2］时，f （x ）最大值为f （2）=2＋c∴c 2>2＋c∴c <－1或c >2 …………………………………………………………………10分②由上可知，当x =1时，f （x ）有极小值－23＋c 又f （2）=2＋c >－23＋c , f （－1）=21＋c >－23＋c …………………………12分 ∴x ∈［－1,2］时，f （x ）的最小值为－23＋c7∴｜f （x1）－f（x2）｜<｜f max（x）－f max（x）｜=，故结论成立．………14分4。
山东省泰安市2017-2018学年高三上学期期末考试数学(理)试题Word版含解析
高三年级考试数学试题（理科）第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集：，「，则集合匚（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知••• 了门工“厂故选D2. 等差数列的前项和为，若：，，贝U =（）A. B. C. D.【答案】B5城4【解析】设公差为，由- •可得;X •-.•.坷■ l*d■ 2，则% ■听十7d ■ 15故选B£2=i 13. 已知，‘ G.,，•，则（）a i 3A. a > b > cB.C.c > a > bD.c》bA 日【答案】Ci i 2- J0= i<a = 2^<2^ = 5/2，b = log3^ < log3l = 0 ,1J~ 3c = log^ = log23 > log2V8 =㊁2-Si ■:故选C4. 下列命题中正确的是（）A. 命题“七7|：「.丨丨，使”的否定为“ '心三丨「，都有”B. 若命题.•为假命题，命题为真命题，则J.：：：—-；-为假命题C. 命题“若与的夹角为锐角，则及它的逆命题均为真命题D. 命题“若才• m则或---I ”的逆否命题为“若且y T，贝y ”【答案】D【解析】选择A:命题“.・：[•丨| ,使十|工口”的否定为“.农：丁「.1| ,都有：，|「”；选项B：,珀为真命题；选项C：“若;I-]' ：1 ,则与的夹角为锐角”原命题为假命题，逆命题为真命题，故选D5. 有两条不同的直线•、I】与两个不同的平面、，下列命题正确的是（）A. ，加；且皿■込，则山'JB. ，::丄.，且，则C. u •，二丄‘••，且-|:,则in itD. i「.，I：•，且「•，则l J【答案】A【解析】对于，由，，且皿I得u ,故正确；对于，由：：：_，：.：：_|「.丄|・得..故错误；对于，由，，且，得.或心门相交或异面，故错误；对于，由，，且得••得关系可以垂直，相交，平行，故错误.故选Af x> 16. 设不等式组表示的平面区域为，若直线上存在内的点，则实数的取（x y < 4值范围是（）A. I " -- IB. - - I I --C.丨…1D. : I ■■■■川【答案】A【解析】满足不等式组的可行域如图所示•••阴影部分满足不等式组的平面区域，联立.二［_门解得'、•••点 '联立解得:•••点..•••直线恒过点2-0 " 1-0•••观察图像可知，当直线在y 一二：T和y - T： T之间时，才会存在内的点•••故选A点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想•需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得•7C 17. 将函数■- 的图象向右平移応，二个单位长度，若所得图象过点辽£ ,贝U的最小值为（）兀兀兀兀A. B. C. D.【答案】C7E 1 2兀 1 2冗兀【解析】移动后■- -II- - - -ir- - 一经过点，则.k；.，解之得3 2 3 2 3 67T、兀 •丁或卞=. ' 412■/ I.- ■■■■.7T•吳最小值为4故选C点睛：本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数性质，属于基础题；图象的伸缩变换 的规律：（1）把函数的图像向左平移八个单位长度，则所得图像对应的解析式为••：..：•、il ■ |，遵循“左加右减”；（2 ）把函数' 「I 》，图像上点的纵坐标保持不变，横坐 标变为原来的6倍（0>0），那么所得图像对应的解析式为8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（三棱锥的高为2,底面为底边长为 4的等腰直角三角形，因此体积为1.1] s，选A.23 235兀::二 I ； ---, 6 9.函数 = A. B.C. D.，:3 兀1 y = K-x).16D. —+ 16 兀【答案】 【解析】 几何体为一个半圆柱与一个三棱锥的组合体，其中半圆柱底面为半径为2的半圆,高为4, 主视图C. _ + ]翫AA.【答案】C【解析】由可得函数为奇函数，图像关于原点对称，可排除7C t•••时，故选C点睛：由解柄式确定函数图象的判断技巧：①由函数的定义域，判断图象左右的位置,由函数的值域，判断图象的上下位直；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的命偶性,判断图象的对称性；④由函数的周期件,判断图象的循环往复•10. 已知函数（其中为自然对数底数）在取得极大值，则的取值范围是（）A. a < 0B. a > 0C. -e < a < 0D. a < -e【答案】D【解析】由题意可知“；•” + [-：”-：：•：： A当时，若，则仏：|；,若，则••• 在处取极小值，不符合题意当?■. < <时，令「:厂:;,得：-•或:：i为使I 在. I处取极大值，贝则旳：「'，即- ■■■■■'--故选D2 2立X Y 7 7 J 勺严11. 已知双曲线：，圆：，若双曲线的一条渐a2 tr 4近线与圆有两个不同的交点，则双曲线的离心率的范围是（）A. B. —■ C. D. 十【答案】A【解析】双曲线的渐近线方程为厂：；：即-乙，圆可化简为鶯：〒：7''' =；：•「，圆心为，半径为T双曲线的一条渐近线与圆有两个不同的交点则■■■■ ，即双曲线的离心率--'a 3•••双曲线的离心率范围为 、工-3 J故选A点睛：解决双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据：E ：的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用双曲线的几何性质、点的坐标的范围等1 1 112.定义在 上的函数 ，满足 ：，且当 时，11■ ■-，若函数 -口舄「X3T在| 上有零点，则实数的取值范围是（）【答案】B因为S ，且当 时,f(x) = Inx ，在坐标系中画出函数 的图象如图: 因为函数；■•：」'；■■■： 与 轴有交点, 所以直线.7 - 与函数的图象有交点, 由图得，直线?与 的图象相交于点 11 ■'即有h ,T — ■: -审It由图象可得，实数的取值范围是： ■. |;|故选：B.ab| 1____ < - ，即A. |B. .T I <C.D.【点睛】本题考查了方程的根的存在性以及根的个数的判断，数形结合思想，分段函数，属于中档题，解决本题的重点是根据函数的性质求出函数的解析式，再利用数形结合x的思想即可得出的范围，解答此题的关键是利用数形结合，使复杂的问题简单化第U卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题卡相应的横线上•13. 若抛物线x2= 4y上的点A到焦点的距离为10,则氏到兀轴的距离是______________________ .【答案】9【解析】根据抛物线方程可求得焦点坐标为，准线方程为•••抛物线厂二灯上的点到焦点的距离为10•••点至I」轴的距离是i-心故答案为9兀 1 兀14. 已知sin(--a)- co跑=；，则cos(2a 卜-)= .D 3 J1【答案】9丸 1 石啤1【解析】/ ，贝y6 2 2 6 37T ?7 7-. - ，故选答案为7.15. 如图所示，在平行四边形血8中，"丄BD，垂足为F，且心=I，则心•心= ______________________________【答案】2如图，延长过作延长线的垂线［三,所以.在.的方向投影为，又-:- ■■-所以，:/ ,\7 ，二二点睛：本题中采用向量数量积的几何意义解题，作出.在的方向投影，由为.中点,可知I '：. 「，所以根据数量积的几何意义可知，■•■—”- .--.I：:16. 观察下列各式：w -- ：_ - ".，：「，：，=..,；「t" ：,；「『了，？：：. = 11 ,…，贝U= ________ .【答案】199【解析】通过观察发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和，因此丨、卜二「: 4 -' ;，' I」.…故答案为199点睛：归纳推理的一般步骤：一、通过观察个别情况发现某些相同的性质•二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）•常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：（1）数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；（2）形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤•-»—6 --•-17. 已知向量.■，：：、••.「.、■, I；：.宀二■■ ■'.■■ ■'< ■,函数= 3（1 ）求的单调递增区间；"ZE（2）在—二中，，，是角，，的对边，若，，，求上/三二面积的最大值.31 5 . 石【答案】（1）单调增区间为丨. F k-T l，—■■■ （2）—兀〈3【解析】试题分析：（1）由三角函数恒等变换应用化简函数解析式可得h ：；. - \-J得，再由余弦定理得出 小的范围，即可求出面积的最大值• 试题解析：(1)由题意得：i! ：^ •,、',— 2 、 27U兀 兀令^, E ,,23 2—―门兀5x整理得：..，I :三,is n7E、•函数 的单调增区间为 ,•(2)由题意得：- ,兀\i'3: , •/ ,27C2-,33 3__ 科 r 7T由余弦定理可得：I: :■I 丽 丽二 ，•••m 面积的最大值为.418.已知数列 满足 ， ，若. ' 为等比数列.(1 )证明数列为递增数列;2 -3(2)求数列.的前项和为.由 L T '：、、—21+W _ 2 <- 兀一3可解得 的单调递增区间;t兀—(2)由，可【答案】⑴见解析⑵2n -3n-l211_1-6n-6【解析】试题分析：(1)设数列：公比为•.，由叫一!, ，可得，从而得到数列的通项公式，再根据当时，：可得数列匕宀先宀「-为递增数列；(2)令a, -I 3 x3 4试题解析：⑴设数列•'公比为，则.、，••• 、.当-时，：”「：：' ■> - ■：>■'" <：," •飞! 一 :',•- ,数列为递增数列.2n_1-3 %+j-a n 1 1(2)由题意得：令a n+ 1 斗冉一1 %+12T, -3n - I2 2,l-3(n- 1) T0"1- 6n-6%'斗+1，根据数列的性质，禾U用裂项相消法即可求出•点睛：本题主要考查等比数列的通项以及裂项相消法求数列的和, 属于中档题•裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向, 突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧:(3) = ：■ -(4)' (2n-))(2n + 1) 2 2n-l 2n + 1 ? v⑵■ i: I:I _ 1n(n+ l)(n + 2) 2吶7) m十加十丹此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误•19.如图，在三棱柱二：”中，四边形二二..-亠是矩形，宀；丄,平面平面.S^bj +b2- ■ b L1=•「I ■ S 1(1)求证：;(2 )若m「•：，求二面角沢汽二三的余弦值•【答案】⑴见解析(2)【解析】试题分析：(1 )由工；壬宀，圧吕二，可推出•心 X,再由四边形芟工二是矩形可得「「丄「山，从而可证平面\ •，设与:;厂相交于点，与相交于点，连接生，可证三F 平面，结合平面平面即可证明J I ；「；( 2)以三为坐标原点，建立空间直角坐标系；--，求得平面的法向量与平面的法向量，利用向量的夹角公式即可得出余弦值•试题解析：(1)在三棱柱■■- ' ■:' I中•「BC/TB L C］，AB 丄B］C］^AB 丄BC又四边形三三二二是矩形「•BC 丄BE］，AB riBE］= BEC I.平面岛二设与相交于点，与相交于点F，连接'"—匸：-了与几【匸人均是平行四边形三刁匚二：，2F 平面弘：』|：•:+：EF 丄2］，EF 丄岛］B'面-EF 1 A T B又平面平面I面八三:「・ABi IA J B（2 ）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系卜由（1）及题设可知，是菱形，|<|<,冲^•AB = AB1= 4■■- E©啦），蛆ZQO）,均（0,-胡®, C（0,2角）•「-=-、• >■ ：-：：■".：：<，: - ■ j设平面的法向量讥叵心=0 即f -2x-W = 0Im AC = 0 ?l-2x + 2屈+ 3 = 0又由（1）可知：止h丄平面■-平面的法向量:匸」… mF 3雨讥COS < 111,11 > =〜_ = ----------|m||n| 14> ；7■-二面角产-「--r的余弦值为——点睛：用向量法解决立体几何问题的注意点：（1）建立空间直角坐标系时要判断是否具备了两两垂直的三条直线，否则要先给出证明；（2 ）求线面角时要借助直线的方向向量和平面的法向量夹角余弦值的绝对值求出线面角的正弦值；求二面角时，要借助两平面法向量夹角的余弦值来求出二面角的余弦值，时要借助于图形来判断二面角为锐角还是钝角. 但在解题解得:（1）求椭圆 的标准方程； （2 ）直线丨\:Til.”, i - U ：与椭圆［.交于不同的两点 、L ,线段」」的垂直平分线交 轴交于点J ,若".「：，求:T.的值.2【答案】⑴（2） Ji I 或--I .4-【解析】试题分析：（1）根据题意可知•，将点「带入椭圆方程后联立方程组即可求得 ，即可得到椭圆得标准方程；⑵ 设■■- - ：■■ | 1，线段讥•中点坐标叮、:m;y = + mx 2 2_ 整理得：飲S 观亦卄钿'-4 = 0,结合韦达定理，线段 AB 的中点亡坐标，由可得点⑴坐标，再由线段J ：止的垂直平分线交 轴交于点⑴及:m E，求得从而求出门的值.试题解析：（1）由题意得.■■：--■：，所以 .， 又点在椭圆上，1 4—+ —=] / b 2 ' b 2 = ?-3整理得：（舍），二=I•••椭圆的标准方程为: (2)设；-:-| 1 " ■ > ，线段中点坐标y =返 K + m才 2 .整理得：9x 2 + 8 J5mx + 4m 2 - 4 = 0 ,了+y 7{{20. 已知椭圆：所以：； 经过点 a 2 tr焦距为• ••二一「！小一 -■ - - ■ ■x21..已知函数：宀 h --. (1) 求过点的 图象的切线方程；m(2)若函数… 存在两个极值点 ，，求门的取值范围;x i + x2_ 4 寸 2m. 11. . .. ... ■ ' . .2 9.•〔；、ii'i ',•••线段.的中点 坐标为m.•.点丨；|坐标为.•n.-亠.I ■2tan^AMC又i... •一.: I ■■、I - tan%AMC解得I ； ' .「:或I -I/. -■ I ■■■- 一.•.在 RtAAMC 中，EAMC =(3 )当I 时，均有i,.,; V ,>■ ■:，■- a 恒成立，求的取值范围•【答案】 ⑴ -I (2) In ：； (3)':二【解析】试题分析：(1)设切点坐标为|■■<： l 'i -/ ,则切线方程为，根据点 坐&标，即可求出，从而得到切线方程；(2)对 求导，令:. nr/- .■-，要使 存在h(0)>0'1齐—> 0两个极值点呵,x 2，则方程tnx^ - x I m = 0有两个不相等的正数根，从而只需满足 2m 即1可；(3) 由 i!.、-： .、- ：〕、U 「在■_ | 上恒 成立可得 1「.】、：>：「在■ ■_ | 上恒 成立，令.；. <! Iny :丫"'%，求出•的单调性，可得出•的最大值，即可求得的取值 范围•试题解析：(1)由题意得，函数 的定义域为V.十〜，X1设切点坐标为，则切线方程为 '■: ln -'u 1把点 代入切线方程，得：，•・吨=1■-过点；I I - 1 :的切线方程为：令I.「、： IIL . - •、 一::要使存在两个极值点，，则方程HI有两个不相等的正数根I又，••h(0)>0 ! 1—> 0故只需满足 2m 即可I好。
度山东泰安市第一学期高三期中考试(理)
2008-2009学年度山东泰安市第一学期高三期中考试理科数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．下列各式中，值为43-的是A ．︒⋅︒15cos 15sin 2B ．︒-︒15sin 15cos 22C ．115sin 22-︒D ．︒-15cos 212 2．非空集合A 、B 满足A B ，下面四个命题：①对A ∈∀x ，都有B ∈x ②A ∉∃x ，使B ∈x ③B ∉∃x ，使A ∈x④对B ∉∀x ，都有A ∉x其中正确的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．43．若2ln 3)12(1+=+⎰adx xx ，且1>a ，则实数a 的值是A ．2B ．3C ．4D ．64．如下图所示的韦恩图中，A 、B 是非空集合，定义集合B A#为阴影部分表示的集合。
若R ∈y x ，，}2|{A 2x x y x -==，}03|{B >==x y y x ，，则B A#为A ．}20|{<<x xB ．}21|{≤<x xC ．}210|{≥≤≤x x x 或D ．}210|{>≤≤x x x 或5．等差数列{n a }各项都是负数，且92832823=++a a a a ，则它的前10项和10S 等于A ．－15B ．－13C ．－11D ．－96．函数b a y x-=)10(≠>a a 且的图像经过第一、三、四象限，则A ．110><<b a ，B ．110<<<b a ，C ．11>>b a ，D ．11<>b a ，7．为了得到函数x y 2sin =的图像，可以将函数)62sin(π-=x y 的图像A ．向右平移6π个单位 B ．向左平移6π个单位C ．向右平移12π个单位 D ．向左平移12π个单位 8．各项都是正数的等比数列{n a }中，13221a a a ，，成等差数列，则4354a a a a ++的值为A ．215-B ．215+C ．251-D ．215-或215+9．下列图像中，有一个是函数1)1(31)(223+-++=x a ax x x f )0R (≠∈a a ，且的导数)(x f '的图像，则)1(-f 等于A ．31B ．31-C ．37D ．31-或35 10．已知在同一平面上的三个单位向量→→→c b a ，，，它们相互之间的夹角均为120°，且1>++→→→c b a k ，则实数k 的取值范围是A ．0<kB ．2>kC ．0<k 或2>kD ．20<<k11．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用，浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t 分钟注水22t 升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止，现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供 A ．3人洗浴B ．4人洗浴C ．5人洗浴D ．6人洗浴12．已知函数x x f a log )(=)10(≠>a a ，且满足)3()2(a f a f >，则1)11(>-xf 的解是 A ．ax 10<< B ．a x -<<110 C ．ax 11<<D ．ax -<<111 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。
山东省泰安市高三数学上学期期中考试试题 理 新人教A
试卷类型 高三年级质量检测 数学试题（理科）2012.11一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.sin585︒的值为B. D.【答案】B【解析】sin 585sin 225sin(18045)sin 452==+=-=-ooooo，选B. 2.全集{}{}{}1,2,3,4,5,6,2,3,4,4,5U M N ===，则()U C M N ⋃等于 A.{}1,3,5B.{}2,4,6C.{}1,5D.{}1,6【答案】D【解析】{2,3,4,5}M N =U ,所以(){1,6}U M N =U ð,选D. 3.命题“所有实数的平方都是正数”的否定为A.所有实数的平方都不是正数B.有的实数的平方是正数C.至少有一个实数的平方是正数D.至少有一个实数的平方不是正数 【答案】D【解析】全称命题的否定式特称命题，所以“所有实数的平方都是正数”的否定为“至少有一个实数的平方不是正数”选D.4.已知a r 、b r 均为单位向量，它们的夹角为3π，那么3a b +r r 等于D.4【答案】C【解析】因为2223323a b a b a b +=++r r r r r r g，所以231923cos 133a b π+=++⨯=r r ，所以3a b +=r rC.5.如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，045,105ACB CAB ∠=∠=o，则A 、B 两点的距离为 A.503mB.502mC.252mD.2522m 【答案】B【解析】因为045,105ACB CAB ∠=∠=o，所以30ABC ∠=o，所以根据正弦定理可知，sin sin AC AB ABC ACB =，即50sin 30sin 45AB=o o，解得502AB m =，选B. 6.已知()sin cos 2,0,αααπ-=∈，则tan α等于A.1-B.22-C.22D.1【答案】A【解析】由sin cos 2αα-=得，所以22sin cos 122αα-=，即sin()14πα-=，所以2,42x k k Z πππ-=+∈，所以32,4x k k Z ππ=+∈，所以33tan tan(2)tan 144k ππαπ=+==-，选A. 7.在等差数列{}n a 中，912162a a =+，则数列{}n a 的前11项和S 11等于A.24B.48C.66D.132【答案】D 【解析】由912162a a =+得912212a a =+，即6121212a a a +=+，所以612a =.又11111611()112a a S a +==，所以11611132S a ==，选D.8.两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：()()()()()()()2122232422log 1,log 2,log ,log 2f x x f x x f x x f x x =+=+==，则“同形”函数是A.()2f x 与()4f xB.()1f x 与()3f xC.()1f x 与()4f xD.()3f x 与()4f x【答案】A【解析】因为422()log (2)1log f x x x ==+,所以22()log (2)f x x =+,沿着x 轴先向右平移两个单位得到2log y x =的图象，然后再沿着y 轴向上平移1个单位可得到422()log (2)1log f x x x ==+，根据“同形”的定义可知选A.9.如图，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6下列向量的数量积中最大的是A.1213PP PP ⋅u u u u r u u u u rB.1214PP PP ⋅u u u u r u u u u rC.1215PP PP ⋅u u u u r u u u u rD.1216PP PP ⋅u u u u r u u u u r【答案】A 【解析】设正六边形的边长为1，则1213121333cos3032PP PP PP PP ===o u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r g ,121412141cos60212PP PP PP PP ==⨯=ou u u u r u u u u r u u u u r u u u u r g ,12151215cos900PP PP PP PP ==o u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r g ,121612161cos1202PP PP PP PP ==-o u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r g ,所以数量积最大的选A.10.若函数()xxf x ka a -=-（a >0且1a ≠）在（,-∞+∞）上既是奇函数又是增函数，则()log ()a g x x k =+的图象是【答案】C【解析】1()xxx x f x ka aka a-=-=-是奇函数，所以(0)0f =，即10k -=，所以1k =，即1()x x f x a a =-，又函数1,xx y a y a==-在定义域上单调性相同，由函数是增函数可知1a >，所以函数()log ()log (1)a a g x x k x =+=+，选C.11.函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图像向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图像A.关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称B.关于直线12x π=对称C.关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称D.关于直线512x π=对称 【答案】D【解析】函数的最小周期是π，所以2T ππω==，所以2ω=，所以函数()sin(2)f x x ϕ=+，向右平移3π得到函数2()sin[2()]sin(2)33f x x x ππϕϕ=-+=+-，此时函数为奇函数，所以有2,3k k Z πϕπ-=∈，所以23k πϕπ=+，因为2πϕ<，所以当1k =-时，233k ππϕπ=+=-，所以()sin(2)3f x x π=-.由2232x k πππ-=+，得对称轴为512x k ππ=+，当0k =时，对称轴为512x π=，选D. 12.已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，且当()()0,0x f x xf x '>+>（其中()f x '是()f x 的导函数），设1122log 4log 4,22,a f b ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1lg 5c ⎛⎫= ⎪⎝⎭115f g ⎛⎫⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是 A.c a b >> B.c b a >>C.a b c >>D.a c b >>【答案】C【解析】令函数()()F x xf x =，则函数()()F x xf x =为偶函数.当0x >时，'()()'()0F x f x xf x =+>，此时函数递增，则122(log 4)(log 4)(2)(2)a F F F F ==-=-=,b F =,1(lg )(lg5)(lg5)5c F F F ==-=，因为0lg 512<<<<，所以a b c >>，选C.二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题纸的相应位置上. 13.2(2)x x e dx -⎰=___.___.【答案】25e - 【解析】222220(2)()415x x x e dx x e e e -=-=-+=-⎰.14.设数列{}n a 的前n 项的和为n s ，且()111,31,2,n n a a S n +===⋅⋅⋅，则24log S 等于__._. 【答案】6【解析】因为113n n n n a S S S ++=-=，所以14n n S S +=，所以数列{}n S 是以111,4S a q ===为公比的等比数列，所以344S =，所以3242log log 46S ==.15.已知函数()11sin 24f x x x x =-的图像在点()00,A x y 处的切线斜率为1，则0tan x =___.___.【答案】【解析】函数的导数11'()cos 24f x x x =-+，由0011'()cos 124f x x x =-+=得001cos 12x x -+=，即0sin()16x π-=，所以02,62x k k Zπππ-=+∈,即022,3x k k Z ππ=+∈.所以022tan tan(2)tan 333x k πππ=+==-. 16.已知实数a ，b 满足等式23ab=，给出下列五个关系式中：①0;b a <<②0;a b <<③0;a b <<④0;b a <<⑤.a b =则所有可能．．成立的关系式的序号为___.___. 【答案】①②⑤【解析】在同一坐标系下做出函数()2,()3xxf xg x ==的图象如图，由图象可知，①，②，⑤正确.三、解答题：本大题共6个小题，满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1,S 22,S 33S 成等差数列，且44027S =求数列{}n a 的通项公式.18.（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，()()3,sin ,cos ,1m A n A =-=u r r，且m n ⊥u r r .（1）求角A 的大小；（II ）若2,a ABC =∆3b ，c.19.（本小题满分12分）已知集合A 为函数()()()lg 1lg 1f x x x =+--的定义域，集合{}22120B x a ax x =---≥.（I ）若112A B xx ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭，求a 的值； （II ）求证2a ≥是A B φ⋂=的充分不必要条件.20.（本小题满分12分）已知函数()()22sin cos 23sin 30f x x x x ωωωω=-+>，直线12,x x x x ==是函数()y f x =的图像的任意两条对称轴，且12x x -的最小值为2π. （I ）求ω的值；（II ）求函数()f x 的单调增区间； （III ）若()23f α=，求5sin 46πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.21.（本小题满分13分）如图，在M 城周边已有两条公路12,l l 在O 点处交汇，现规划在公路12,l l 上分别选择P ，Q 两处为交汇点（异于点O ）直接修建一条公路通过M 城，已知()326,45OM km POM =+∠=︒∠MOQ=30°，设,.OP xkm OQ ykm ==（I ）求y 关于x 的函数关系式并指出它的定义域； （II ）试确定点P 、Q 的位置，使POQ ∆的面积蛤小. 22.（本小题满分13分） 已知函数()()()ln ,10af x x xg x x a x=+=-->. （I ）求函数()()()F x f x g x =+在(]0,e 上的最小值；（II ）对于正实数m ，方程()22mf x x =有唯一实数根，求m 的值.。
山东省泰安市2018届高三上学期期中考试数学(文)试卷(含答案)
高三年级考试数 学 试 题（文科）2017.11一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上)．1.已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，集合{}{}()2451357=U A B C A B ==⋂，，，，，，，则 A ．{}7B. {}35， C ．{}1367，，， D ．{}137，，2．“,,,a b c d 成等差数列”是“a d b c +=+”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列函数在()0,2上是增函数的是A ．()12log 2y x =-B ．12y x =-C ．212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．2y x =- 4．已知()()2,22a b a b a b ==+⋅-=-r r r r r r ，则a b r r 与的夹角为 A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点 F.若,=AC a BD b AF ==u u u r r u u u r r u u u r ，则 A. 1142a b +r r B. 2133a b +r r C. 1124a b +r r D. 1223a b +r r 6.已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，则 A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的图象关于直线3x π=对称C ．函数()f x 图象上的所有点向右平移3π个单位长度后，所得的图象关于原点对称D ．函数()f x 在区间()0,π上单调递增7．函数()()1cos 0f x x x x x x ππ⎛⎫=--≤≤≠ ⎪⎝⎭且的图象可能为8．若函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是A. 1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭9．已知函数()()log ,0,013,40a x x f x a a x x >⎧⎪=>≠⎨+-≤<⎪⎩且．若函数()f x 的图象上有且只有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是A ．(0，1)B ．(1，4)C ．()()0,11,⋃+∞D ．()()0,11,4⋃+10．如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记[]()0,,AOP x x OP π∠∈为所经过的在正方形ABCD 内的区域(阴影部分)的面积()S f x =，那么对于函数()f x 有以下三个结论：①332f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②函数()f x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数； ③任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()()4f x f x π+-=其中不正确．．．的是 A ．① B ．③ C ．②D ．①②③ 11．如图，点A ，B 在函数2log 2y x =+的图象上，点C 在函数2log y x =的图象上，若△ABC 为等边三角形，且直线BC ∥y 轴，则点A 的横坐标为A ．2B ．3CD 12．设函数()f x 在R 上存在导数()(),f x f x x ''<且，若()()484f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围为A ．[]2,2-B ．[)2,+∞C ．[)0,+∞D ．(][),22,-∞-⋃+∞二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上)．13．命题“2000,2cos x R x x ∃∈<”的否定为 ▲ ．14．函数()211xx f x x e -==在处的切线的斜率为 ▲ ． 15．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1362,12a S a ===，则 ▲ ．16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()(]()220,22xf x f x x f x +=-∈=，当时，，则在区间(4，6]上满足()()312f x f =+的实数x 的值为 ▲ ．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)．17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，O 为原点，()221,0,2cos ,sin ,2cos ,22OA OB OC βαα⎛⎫⎛=== ⎪ ⎝⎭⎝u u u r u u u r u u u r )sin ,0ββαπ<<<．(I)若,AB AC BC ⊥u u u r u u u r u u u r 求；(Ⅱ)设()1,1,OD AB AC AD αβ=+=u u u r u u u r u u u r u u u r 若求，的值.18．(本小题满分12分)已知命题p ：函数()()()21,0f x m x =-∈+∞在，上为增函数； 命题q ：函数()22ln g x x e x m =--有零点．(I)若p q ∨为假命题，求实数m 的取值范围；(Ⅱ)若p q ∧为真命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围．19．(本小题满分12分)如图，A 、B 是海面上两个固定观测站，现位于B 点南偏东45°且相距56海里的D 处有一艘轮船发出求救信号．此时在A 处观测到D 位于其北偏东30°处，位于A 北偏西30°且与A 相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里／小时，该救援船到达D 点需要多长时间?20．(本小题满分12分)已知函数()12cos cos 32f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． (I)若α是第二象限角，且()tan 2f αα=-，求的值；(Ⅱ)求函数()[]0f x π在，上的单调递增区间．21．(本小题满分12分)已知数列{}n a 的首项为12a =，且满足122n n S S +=+．(I)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若数列{}n b 满足()()2121log n n b a a a n N n *=⋅⋅⋅∈，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .22．(本小题满分12分)已知函数()()32x f x x e =-.（I ）求()f x 的极小值；（II ）求证：当()()ln 0,12x x f x x∈>+时，.。
山东省泰安市高三上学期期中数学试卷(理科)
山东省泰安市高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (共12题；共24分)1. （2分）(2017·黑龙江模拟) A={x|y=lg（x2+3x﹣4）}，，则A∩B=（）A . （0，2]B . （1，2]C . [2，4）D . （﹣4，0）2. （2分）若复数满足，则对应的点位于复平面的（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分） (2017高二上·邯郸期末) 命题“∃x0∈R，使得”的否定是（）A . ∃x0∈R，使得B . ∀x0∈R，使得C . ∀x0∈R，使得D . ∃x0∈R，使得4. （2分） (2018高二下·温州期中) 已知平面平面 ,且 ,则“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）已知等差数列的前项和为，且,则（）A .B .C .D . 46. （2分） (2017高二上·衡阳期末) 执行如图所示的程序框图，则输出的a值为（）A . ﹣3B .C . ﹣D . 27. （2分）(2018·宁德模拟) 设满足约束条件若目标函数的最小值大于，则的取值范围为（）A .B .C .D .8. （2分）在中，，，则的最小值是（）A .B . 2C .D . 69. （2分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则这个几何体的体积是（）A . 72B . 80C . 120D . 14410. （2分）已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数的值是（）A . 4B .C .D .11. （2分）某四棱锥的三视图如图所示（单位：cm），则该四棱锥的体积是（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高三上·信阳期中) 若函数f（x）=﹣ +mx有三个不同的单调区间，则实数m的取值范围是（）A . [0，+∞）B . （﹣∞，0）C . （0，+∞）D . （﹣∞，0]二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2016高二下·福建期末) 在（1+x+x2）（x﹣）6的展开式中，x2的系数为________（结果用数字表示）．14. （1分）(2017·乌鲁木齐模拟) 过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，已知|AF|=3，|BF|=2，则p等于________．15. （2分） (2019高二上·张家口月考) 将两颗正方体型骰子投掷一次，则向上的点数之和是的概率为________，向上的点数之和不小于的概率为________.16. （1分）已知点P，Q是△ABC所在平面上的两个定点，且满足+=， 2++=，若||=λ||，则正实数λ=________三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2015高二上·济宁期末) 已知锐角△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2csinB=b．（1）求角C的大小；（2）若边c=1，求△ABC面积的最大值．18. （15分）(2017·郴州模拟) 2017年郴州市两会召开前夕，某网站推出两会热点大型调查，调查数据表明，民生问题时百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%，现从参与者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示．（1）求出频率分布直方图中的a值，并求出这200的平均年龄；（2）现在要从年龄较小的第1，2，3组用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人赠送礼品，求抽取的3人中至少有1人的年龄在第3组的概率；（3）若要从所有参与调查的人（人数很多）中随机选出3人，记关注民生问题的人数为X，求X的分布列和数学期望．19. （10分） (2016高二上·重庆期中) 已知四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，AD=1，点M为PC中点，过A、M的平面α与此四棱锥的面相交，交线围成一个四边形，且平面α⊥平面PBC．（1）在图中画出这个四边形（不必说出画法和理由）；（2）求平面α与平面ABM所成锐二面角的余弦值．20. （5分）已知椭圆C： =1的右焦点为F，右顶点为A，离心率为e，点P（m，0）（m＞4）满足条件|FA|=|AP|•e．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设过点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，求证：∠MPF=∠NPF．21. （5分）已知函数f（x）满足对于任意x＞0，都有f（x）+2f（）=logax++（a＞0，a≠1）．（1）求f（x）的极值；（2）设f（x）的导函数为f′（x），试比较f（x）与f′（x）的大小，并说明理由．22. （10分） (2016高三上·宝安模拟) 在平面直角坐标系中，圆C的方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=m（m∈R）．（1）当m=3时，判断直线l与C的位置关系；（2）当C上有且只有一点到直线l的距离等于时，求C上到直线l距离为2 的点的坐标．23. （10分）已知m＞0，n＞0， +mn的最小值为t．（1）求t值（2）解关于x的不等式|x﹣1|＜t+2x．参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (共12题；共24分) 1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19、答案：略20-1、21-1、22、答案：略23-1、23-2、。
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2017-2018学年山东省泰安市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={2，4，5}，B={1，3，5，7}，则（∁U A）∩B=（）A．{7}B．{3，5}C．{1，3，6，7}D．{1，3，7}2．（5分）“a，b，c，d成等差数列”是“a+d=b+c”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）下列函数在（0，2）上是增函数的是（）A．B．C．D．4．（5分）已知||=||=2，（+2）•（﹣）=﹣2，则与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°5．（5分）定积分=（）A．10﹣ln3 B．8﹣ln3 C．D．6．（5分）已知函数的最小正周期为4π，则（）A．函数f（x）的图象关于原点对称B．函数f（x）的图象关于直线对称C．函数f（x）图象上的所有点向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称D．函数f（x）在区间（0，π）上单调递增7．（5分）函数f（x）=（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A．B．C．D．8．（5分）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE 的延长线与CD相交于点F．若AB=2，，∠BAD=45°，则=（）A．B．1 C．﹣ D．19．（5分）已知函数（a＞0且a≠1）．若函数f（x）的图象上有且只有两个点关于y轴对称，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．（1，4） C．（0，1）∪（1，+∞）D．（0，1）∪（1，4）10．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过的在正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论，其中不正确的是（）①f（）=②函数f（x）在（，π）上为减函数③任意x∈[0，]，都有f（x）+f（π﹣x）=4．A．①B．③C．②D．①②③11．（5分）如图，点A，B在函数y=log2x+2的图象上，点C在函数y=log2x的图象上，若△ABC为等边三角形，且直线BC∥y轴，则点A的横坐标为（）A．2 B．3 C．D．12．（5分）设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为（）A．[﹣2，2]B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）．13．（5分）命题“∃x0∈R，2x02＜cosx0”的否定为．14．（5分）函数在x=1处的切线的斜率为．15．（5分）已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为其前n项和，若S8=4S4，则a9=．16．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=﹣2f（x），当x∈（0，2]时，f（x）=2x，则在区间（4，6]上满足f（x）=f（3）+12的实数x的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，sinβ），0＜β＜α＜π．（I）若|；（Ⅱ）设，求α，β的值．18．（12分）已知命题p：函数f（x）=（m2﹣1）上为增函数；命题q：函数g（x）=x2﹣2elnx﹣m有零点．（I）若p∨q为假命题，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．19．（12分）如图，A、B是海面上两个固定观测站，现位于B点南偏东45°且相距海里的D处有一艘轮船发出求救信号．此时在A处观测到D位于其北偏东30°处，位于A北偏西30°且与A相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？20．（12分）已知函数．（I）若α是第二象限角，且的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间．21．（12分）已知数列{a n}的首项为a1=2，且满足a1+a2+…+a n﹣a n+1=﹣2．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，求数列{a n b n}的前n 项和T n．22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣x+m（m∈R）的图象与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2．（I）若函数f（x）的最大值为2，求m的值；（Ⅱ）若恒成立，求实数k的取值范围；（Ⅲ）证明：x1x2＜1．2017-2018学年山东省泰安市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={2，4，5}，B={1，3，5，7}，则（∁U A）∩B=（）A．{7}B．{3，5}C．{1，3，6，7}D．{1，3，7}【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={2，4，5}，B={1，3，5，7}，∴C U A={1，3，6，7}，（∁U A）∩B={1，3，7}．故选：D．2．（5分）“a，b，c，d成等差数列”是“a+d=b+c”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由a，b，c，d成等差数列，可得：a+d=b+c，反之不成立：例如a=0，d=5，b=1，c=4．∴“a，b，c，d成等差数列”是“a+d=b+c”的充分不必要条件．故选：A．3．（5分）下列函数在（0，2）上是增函数的是（）A．B．C．D．【解答】解：函数在（0，2）上是增函数，满足题意；函数在（0，2）上是减函数，不满足题意；函数在（0，2）上是减函数，不满足题意；函数在（0，2）上是减函数，不满足题意；故选：A．4．（5分）已知||=||=2，（+2）•（﹣）=﹣2，则与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°【解答】解：由（+2）•（﹣）=﹣2，得，∴，又||=||=2，∴，即cos=，∵两向量夹角的范围为[0°，180°]，∴与的夹角为60°．故选：C．5．（5分）定积分=（）A．10﹣ln3 B．8﹣ln3 C．D．【解答】解：==8﹣ln3，故选：B．6．（5分）已知函数的最小正周期为4π，则（）A．函数f（x）的图象关于原点对称B．函数f（x）的图象关于直线对称C．函数f（x）图象上的所有点向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称D．函数f（x）在区间（0，π）上单调递增【解答】解：函数的最小正周期为4π，∴，可得ω=．那么f（x）=sin（）．由对称中心横坐标方程：，k∈Z，可得：x=2kπ∴A不对；由对称轴方程：=，k∈Z，可得：x=2k，k∈Z，∴B不对；函数f（x）图象上的所有点向右平移个单位，可得：sin[（x﹣）]=sin2x，图象关于原点对称．∴C对．令≤，k∈Z，可得：≤x≤∴函数f（x）在区间（0，π）上不是单调递增．∴D不对；故选：C．7．（5分）函数f（x）=（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A．B．C．D．【解答】解：f（﹣x）=（﹣x+）cos（﹣x）=﹣（x﹣）cosx=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，∴函数f（x）的图象关于原点对称，故排除A，B，当x=π时，f（π）=（π﹣）cosπ=﹣π＜0，故排除C，故选：D．8．（5分）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE 的延长线与CD相交于点F．若AB=2，，∠BAD=45°，则=（）A．B．1 C．﹣ D．1【解答】解：平行四边形ABCD，AB=2，，∠BAD=45°，DF∥AB，可得△DEF∽△BEA，E是线段OD的中点，可得DF：BA═DE：BE=EF：AE=1：3，==×（+）=（++）=（+）；==（﹣），则=（+）•（﹣）=（2﹣2﹣•）=×（×2﹣×4﹣2×）=﹣．故选：C．9．（5分）已知函数（a＞0且a≠1）．若函数f（x）的图象上有且只有两个点关于y轴对称，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．（1，4） C．（0，1）∪（1，+∞）D．（0，1）∪（1，4）【解答】解：由题意，0＜a＜1时，显然成立；a＞1时，f（x）=log a x关于y轴的对称函数为f（x）=log a（﹣x），则log a4＞1，∴1＜a＜4，综上所述，a的取值范围是（0，1）∪（1，4），故选：D．10．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过的在正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论，其中不正确的是（）①f（）=②函数f（x）在（，π）上为减函数③任意x∈[0，]，都有f（x）+f（π﹣x）=4．A ．①B ．③C ．②D ．①②③【解答】解：当0≤x ≤arctan2时，f （x ）=tanx ； 当arctan2＜x ＜，在△OBE 中，f （x ）=S 矩形OABM ﹣S △OME =2﹣EM•OM=2﹣；当x=时，f （x ）=2；当＜x ≤π﹣arctan2时，同理可得f （x ）=2﹣．当π﹣arctan2＜x ≤π时，f （x ）=4﹣×1×tan （π﹣x ）=4+tanx ．于是可得： ①f （）=tan=，正确；②当＜x ≤π﹣arctan2时，由f （x ）=2﹣，为增函数．当π﹣arctan2＜x≤π时，f （x ）=4+tanx ，为增函数，因此不正确． ③∀x ∈[0，]，由图形及其上面，利用对称性可得：f （x ）+f （π﹣x ）=4，因此正确； 故选：C ．11．（5分）如图，点A ，B 在函数y=log 2x +2的图象上，点C 在函数y=log 2x 的图象上，若△ABC 为等边三角形，且直线BC ∥y 轴，则点A 的横坐标为（ ）A．2 B．3 C．D．【解答】解：根据题意，设B（x0，2+log2x0），A（m，n），C（x0，log2x0），∵线段BC∥y轴，△ABC是等边三角形，∴BC=2，2+log2m=n，∴m=2n﹣2，∴4m=2n；又x0﹣m=，∴m=x0﹣，∴x0=m+；又2+log2x0﹣n=1，∴log2x0=n﹣1，x0=2n﹣1；∴m+=2n﹣1；2m+2=2n=4m，∴m=，故选：D．12．（5分）设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为（）A．[﹣2，2]B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＜0，故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是减函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数，∴f（4﹣m）﹣f（m）=g（4﹣m）+（4﹣m）2﹣g（m）﹣m2=g（4﹣m）﹣g （m）+8﹣4m≥8﹣4m，∴g（4﹣m）≥g（m），∴4﹣m≤m，解得：m≥2，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）．13．（5分）命题“∃x0∈R，2x02＜cosx0”的否定为∀x∈R，2x2≥cosx．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈R，2x02＜cosx0”的否定为：∀x∈R，都有2x2≥cosx．故答案为：∀x∈R，都有2x2≥cosx．14．（5分）函数在x=1处的切线的斜率为．【解答】解：对函数求导：f'（x）=，当x=1时，f'（1）=．故答案为．15．（5分）已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为其前n项和，若S8=4S4，则a9=．【解答】解：∵{a n}是公差为1的等差数列，S8=4S4，∴8a1+×1=4，解得a1=．则a9=+8×1=．故答案为：．16．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=﹣2f（x），当x∈（0，2]时，f（x）=2x，则在区间（4，6]上满足f（x）=f（3）+12的实数x的值为5．【解答】解：根据题意，若f（x）满足f（x+2）=﹣2f（x），则f（x+4）=﹣2f（x+2）=4f（x），f（3）=﹣2f（1）=﹣2×21=﹣4，设4＜x≤6，则0＜x﹣4≤2，f（x）=4f（x﹣4）=4×2x﹣4=2x﹣2，若在区间（4，6]上满足f（x）=f（3）+12，则有2x﹣2=（﹣4）+12，即2x﹣2=8，解可得x=5；故答案为：5．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，sinβ），0＜β＜α＜π．（I）若|；（Ⅱ）设，求α，β的值．【解答】解：（I）==（2cos2﹣1，sinα）=（cosβ，sinα），==（2cos2﹣1，sinβ）=（cosα，sinβ），==（2cos2﹣2cos2，sinβ﹣sinα）=（cosα﹣cosβ，sinβ﹣sinα），∵，∴=cosαcosβ+sinαsinβ=0，∴=（cosα﹣cosβ）2+（sinβ﹣sinα）2=2﹣2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2，∴||=．（II）=（cosα+cosβ，sinα+sinβ），==（0，1），∴，∵0＜β＜α＜π．∴α+β=π，且sinα+sinβ=，∴α=，β=．18．（12分）已知命题p：函数f（x）=（m2﹣1）上为增函数；命题q：函数g（x）=x2﹣2elnx﹣m有零点．（I）若p∨q为假命题，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．【解答】解：若命题p为真命题，即函数f（x）=（m2﹣1）上为增函数，则m2﹣1＞0，解得：m＜﹣1，或m＞1，∵函数g（x）=x2﹣2elnx﹣m∴g′（x）=2x﹣当x∈（0，）时，g′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0，故当x=时，函数g（x）取最小值﹣m，若命题q为真命题：函数g（x）=x2﹣2elnx﹣m有零点．则：﹣m≤0，即m≥0，（I）若p∨q为假命题，则p，q均为假命题，则，解得：﹣1≤m＜0；（Ⅱ）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，若p真q假，则，解得：m＜﹣1若p假q真，则，解得：0≤m≤1，综上可得：0≤m≤1，或m＜﹣1．19．（12分）如图，A、B是海面上两个固定观测站，现位于B点南偏东45°且相距海里的D处有一艘轮船发出求救信号．此时在A处观测到D位于其北偏东30°处，位于A北偏西30°且与A相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【解答】解：由题意，BD=5，AC=20，∠BAD=30°，∠ABD=45°，∠CAD=60°在△DAB中，由正弦定理得，=，∴AD=•sin∠ABD=•sin45°=10，在△ACD中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AC•AD•cos∠CAD=（20）2+（10）2﹣2×20×10×=900，∴CD=30，∵航行速度为30海里/小时，∴该救援船到达D点需要1（小时）．答：救援船到达D点需要1小时20．（12分）已知函数．（I）若α是第二象限角，且的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间．【解答】解：（I）α是第二象限角，且，则：，解得：，α是第二象限角，解得：，，已知函数，=．=，=．（Ⅱ）由题意得：，=，=，=，令，解得：，由于：0≤x≤2π，则：①当k=0时，函数的单调递增区间为：[0，]，②当k=1时，函数的单调递增区间为：[]，③当k=2时，函数的单调递增区间为：[]．故函数的单调递增区间为：：[0，]和[]和[]．21．（12分）已知数列{a n}的首项为a1=2，且满足a1+a2+…+a n﹣a n+1=﹣2．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，求数列{a n b n}的前n 项和T n．【解答】解：（I）∵数列{a n}满足a1+a2+…+a n﹣a n=﹣2．+1﹣a n=﹣2．∴a1+a2+…+a n﹣1相减可得：2a n=a n+1．∴数列{a n}是等比数列，首项为2，公比为．∴a n=2×=．（II）由（I）可得：a1a2…a n===．b n=×=．∴a n b n==（3﹣n）．∴T n=2+1×+0﹣1×﹣…+（3﹣n），=1++0﹣﹣…+（4﹣n）+（3﹣n）．∴T n=2﹣﹣﹣…﹣+（n﹣3）=3﹣+（n﹣3）．可得：T n=2+．22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣x+m（m∈R）的图象与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2．（I）若函数f（x）的最大值为2，求m的值；（Ⅱ）若恒成立，求实数k的取值范围；（Ⅲ）证明：x1x2＜1．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx﹣x+m，∴f′（x）=﹣1=当x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）max=f（1）=ln1﹣1+m=2，解得m=3，（Ⅱ）当x＞1时，f（x）＜k（1﹣）+xf′（x）+m﹣2，（k≤2）恒成立，∴lnx﹣x+m＜k（1﹣）+1﹣x+m﹣2恒成立，∴（lnx+1）＞k（x﹣3），k≤2，（*）∵当x＞1时，（*）恒成立，当x＞1时，（lnx+1）﹣k（x﹣3）＞0恒成立，令g（x）=（lnx+1）﹣k（x﹣3），∴g′（x）=lnx+2﹣k，∵x＞1，k≤2，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）单调递增，∴g（x）＞g（1）=1+2k＞0，∴k＞﹣，即k的取值范围为（﹣，2]；（Ⅲ）函数f（x）=lnx﹣x+m（m∈R）的图象与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2．结合（Ⅰ）可得x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），∴∈（0，1），∵f（x1）=f（x2），∴lnx1﹣x1=lnx2﹣x2，∴f（x1）﹣f（）=lnx1﹣x1+lnx2+=lnx2﹣x2+lnx2+=2lnx2﹣x2+，令h（x）=2lnx﹣x+，x＞1，∴h′（x ）=﹣1﹣=﹣=﹣＜0，∴h （x ）在（1，+∞）上单调递减， ∴h （x ）＜h （1）=0， ∴f （x 1）﹣f （）＜0， ∴f （x 1）＜f （），∵函数f （x ）在（0，1）上单调递增， ∴x 1＜，∴x 1x 2＜1赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mnm na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m n n n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数1(0)x a x >>1(0)x a x <>xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数。