量子力学习题课思考题

思考：
1.p22, 例4中的简并度： 其中
可以看出，各能级能量由三个独立参数,,y z n p p 共同决定，而由于,y z p p 是连续参量，因此任意一个能级都有无限个本征波函数，因此简并度为无穷。

2.p22, 例4中的归一化系数： 简单的算算就可以得到：
1/41/21
()()(2!)2n m c n ωππ-=
具体就是勒让德多项式的归一化系数与二维平面波的归一化系数相乘。

3. p24 量子力学中电磁规范不变性
电磁场的规范不变性是指，对,A φ做下列变换时，
'(,)
1'(,)
A A A f r t f r t c t
φφφ→=+∇∂
→=-∂ 电场强度E 和磁场强度B 都不改变。

在量子力学中，若对波函数做相应的变换：
/'c
iqf e ψψψ→=
则新的波函数满足变换后的Schrodinger 方程：
21ˆ'[(')']'2q
i p
A q t c
ψφψμ∂=-+∂。

简单证明如下：
看时间偏导项和0次项：
'''exp[]()iq i q f i q t c t
ψφψφψ∂∂
-=+∂∂
空间一次导数：
(')'exp[]()q iq q
i A f i A c c c
ψψ-∇-
=-∇- 所以可得空间二次导数：
22(')'exp[]()q iq q
i A f i A c c c
ψψ-∇-
=-∇- 2
020
2
11()1,2,....22y z y np p z p E mE E n p n m B ω=++--= 2()/2,,(,,))y z y z m i p y p z n p p n x y z ce H e
ωξϕ-+=
整理后可回到原来的Schrodinger 方程。

4. p32 证明
cos sin n i n n e i n λσλσλσσ=+=
证明：这里仅提供进入表象的方法：
容易知道n σ有特征值+1，-1，分别有特征向量（1,0），（0,1），所以在n σ表象下有：
cos sin 1cos []sin cos sin cos sin 1n i n i e I i λσλλλλλσλλλ+⎡⎤==+=+⎢⎥--⎣⎦
这里用了在n σ表象下(1,1)n diag σ=- （只有在Pauli 表象或者说z σ表象下才有
(1,1)z diag σ=-）
解：反证法，设存在一组不全为零的系数1234(,,,)c c c c 满足：
12340x y z c I c c c σσσ+++= 1.1
对1.1两边分别用x σ作用一下：
12340x z y c c I c i c i σσσ++-= 1.2
对1.1，1.2两边取迹，由于0(,,)x y z ασα== 所以由1.1有10c = 由1.2有20c =
同理，有340,0c c ==。

所以，(,,,)x y z I σσσ线性无关。

又因为22⨯矩阵空间为四维线性空间，所有(,,,)x y z I σσσ可以作为该空间的一组基。

补充题2：
解：1）设1/2
0123(1)x y x y z A i c I c c c σσσσσ=++=+++
两边平方：
22222
0123012312()x y x y z A i c c c c c c c c σσσσσ=++=++++++
所以有：
322201201020
1
212c c c c c c c c i
=++===
解这个方程组：
1/21
(1)1()2
x y x y i i σσσσ++=++
2）设1
0123(1)
x x y z B c I c c c σσσσ-=+=+++
两边同时乘以(1)x σ+：
0101231()x y z c c c c c c σσσ=+++++
仿照上题列方程组，发现无解，即1(1)x σ-+不存在。

解：以x σ为例，设0123z
z
i i x x y z Q e
e c I c c c λσλσσσσσ-==+++
在Pauli 表象下作用在α=↑：
2z z z z i i i i i i i x x Q e e e e e e e λσλσλσλσλλλασασαββ----==== 3.1a 01230312()()()x y z Q c I c c c c c c ic ασσσααβ=+++=+++ 3.1b
作用在β=↓上：
2z z z z i i i i i i i x x Q e e e e e e a e λσλσλσλσλλλβσβσβα-==== 3.2a 01230312()()()x y z Q c I c c c c c c ic βσσσββα=+++=-+- 3.2b
由于,αβ线性无关，所以系数分别相等：
03212
03.1i c c c ic e λ-+=⎧⎨+=⎩由
03212
03.2i c c c ic e λ-=⎧⎨-=⎩由
所以：
cos2sin2z z i i x x y Q e e λσλσσσλσλ-==-
类似的：
cos2sin2z z i i y x y Q e e λσλσσσλσλ-==+
补充题4.
解：谐振子势：2
(),
0V r r λλ=>，在2(,,)z H l l 共同本征态下有本征波函数：
1
()(,)()(,)lm lm R r Y r Y r
ψθφχθφ==
其中()r χ满足径向方程：
2222
22
[(1)]022d E r l l dr r
χλχμμ+--+= 4.1 Coulomb 势()'/,
'0V r r λλ=<，在2(,,)z H l l 共同本征态下有本征波函数：
1
()(,)()(,)lm lm R r Y u r Y r
ψθφθφ==
其中，()u r 满足径向方程：
222
22
'['(1)]022d u E l l dr r r λχμμ+--+= 4.2
对4.1做变换：
21/4()()r r v ρχρρ-==
与4.2做对比后有：
222
22
''['''('1)]022d v E l l v d λμρρμρ+--+= 4.3
其中：
''/40''/40E E λλ=-<=-<
131
'('1)(1)'41624
l l l l l l +=+-⇒=-
所以4.3与4.2具有相同的解得结构，由此可用Coulomb 势的波函数、能谱表示谐振子势的
本征问题（具体结果与化简略）
补充题5 解：22221212113()()222
H s s s s s s ==--=- t=0时刻，
10000(1)(2))t αβχχ===
+ 对1000,χχ有：
2101013
()1/422H s χχ=
-= 2000013
()3/422H s χχ=-=-
所以：
/43/41000/41
0)
[(1)(2)cos (1)(2)sin ]22
it it it t e e t t i e
χχαββα->=+=-
其中利用了：
1000(1)(2)(1)(2))(1)(2)(1)(2))
χαββαχαββα=
+=-。