2018届高考数学二轮复习寒假作业二十二小题限时保分练__长沙一模试题节选注意命题点分布文

寒假作业(二十二) 小题限时保分练——长沙一模试题节选(注意命题点分布)(时间：40分钟 满分：80分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －1)}，B ＝{x ||x |<2}，则A ∩B ＝( ) A ．(－2,0) B ．(0,2) C ．(1,2)D ．(－2,2)解析：选C 因为A ＝{x |x >1}，B ＝{x |－2<x <2}，所以A ∩B ＝{x |1<x <2}＝(1,2)． 2．复数2－ii ＝( )A ．－1－2iB ．－1＋2iC ．1－2iD ．1＋2i解析：选A2－ii＝－i(2－i)＝－1－2i. 3．在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝36，则a 6＝( ) A ．8 B ．6 C ．4D ．3解析：选D 法一：设等差数列{a n }的公差为d ， 因为2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝36，所以12a 1＋60d ＝36，即a 1＋5d ＝3，所以a 6＝3.法二：因为a 1＋a 5＝2a 3，a 8＋a 10＝2a 9，所以2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝6a 3＋6a 9＝36，所以a 3＋a 9＝6，所以2a 6＝a 3＋a 9＝6，所以a 6＝3.4．已知向量a ＝(1，cos α)，b ＝(sin α，1)，若a ⊥b ，则sin 2α＝( ) A ．－12B ．－1 C.32D ．1解析：选B 法一：因为a ＝(1，cos α)，b ＝(sin α，1)，且a ⊥b ，所以a ·b ＝sin α＋cos α＝0，所以tan α＝－1，所以α＝－π4＋k π(k ∈Z)，所以sin 2α＝－1.法二：因为a ＝(1，cos α)，b ＝(sin α，1)，且a ⊥b ，所以a ·b ＝sin α＋cos α＝0，两边平方得，sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝0，所以1＋sin 2α＝0，所以sin 2α＝－1.5．函数f (x )＝cos xx的图象大致为()解析：选D 易知函数f (x )＝cos x x为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除A 、B ；当x ＝π6时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cosπ6π6＝33π>0，排除C ，故选D.6．已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝1，直线l ：y ＝kx ，在[－1,1]上随机选取一个数k ，则事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率为( )A.12B.2－22C.3－33 D.2－32解析：选C 法一：若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1相离，则2|k |k 2＋1>1，解得k <－33或k >33，又k ∈[－1,1]，所以－1≤k <－33或33<k ≤1，所以事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率为P ＝2－2332＝3－33.法二：如图，当直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1相切时，直线的倾斜角为π6或5π6，即直线的斜率为33或－33，所以直线l 与圆C 有公共点时，－33≤k ≤33，所以事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率为P ＝1－2332＝3－33.7．执行如图的程序框图，已知输出的s ∈[0,4]．若输入的t ∈[0，m ]，则实数m 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选 D 由程序框图知，该算法的功能是求分段函数s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t <1，4t －t 2，t ≥1的值，作出s 的图象如图所示．由图象得，若输入的t ∈[0，m ]，输出的s ∈[0,4]，则m 的最大值为4，故选D.8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.7π3B ．8＋π3C ．(4＋2)πD ．(5＋2)π解析：选D 由几何体的三视图知，该几何体为组合体，其下部是底面直径为2、高为2的圆柱，上部是底面直径为2，高为1的圆锥．所以该几何体的表面积为4π＋π＋2π＝(5＋2)π，故选D.9．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋3≥0，2x －y ＋2≤0，x ＋2y －4≤0，则z ＝x 2＋y 2的取值范围为( )A ．[1,13]B ．[1,4]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，4解析：选C 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得z ＝x 2＋y 2的最小值为点O 到直线BC ：2x －y ＋2＝0的距离的平方，z min ＝45，最大值为点O 与点A (－2,3)的距离的平方，z max ＝|OA |2＝13.10．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若|AB |＝6，则△AOB 的面积为( )A. 6 B ．2 2 C ．2 3D ．4解析：选A 因为抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)，当直线AB 垂直于x 轴时，|AB |＝4，不满足题意，所以设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，与y 2＝4x 联立，消去x ，得ky 2－4y －4k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝16k 2＋16，因为|AB |＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝6，所以4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2＝6，解得k 2＝2，所以|y 1－y 2|＝ 16k 2＋16＝26，所以△AOB 的面积为12×1×26＝ 6.11．已知函数f (x )＝cos2ωx 2＋32sin ωx －12(ω>0，x ∈R)，若函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，512B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，512∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫56，1112C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，56D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，512∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤56，1112 解析：选D f (x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2ωx 2－1＋32sin ωx ＝12cos ωx ＋32sin ωx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，当x ∈(π，2π)时，ωx ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ＋π6，2ωπ＋π6，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ωπ＋π6≥k π，2ωπ＋π6k ＋π(k ∈Z)，k －16≤ω≤k 2＋512(k ∈Z)．由k 2＋512≥k －16，得k ≤76.由ω>0得k 2＋512>0，所以k >－56，又k ∈Z ，所以k ＝0或1，当k ＝0时，ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，512；当k＝1时，ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤56，1112.所以ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，512∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤56，1112.12．已知函数f (x )＝fee x＋f2x 2－x ，若存在实数m 使得不等式f (m )≤2n 2－n 成立，则实数n 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) B ．(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[0，＋∞) 解析：选A 因为f ′(x )＝fee x＋f (0)x －1，f (0)＝fe，所以f ′(1)＝f ′(1)＋fe－1，所以f ′(1)＝e ，f (0)＝1，所以f (x )＝e x ＋12x 2－x ，f ′(x )＝e x＋x－1.因为f ′(0)＝0，且x >0时，f ′(x )>0，x <0时，f ′(x )<0，所以函数f (x )的最小值为f (0)＝1.因为存在实数m 使得f (m )≤2n 2－n 成立，所以2n 2－n ≥1，解得n ≤－12或n ≥1.二、填空题(本题共4小题，每小题5分)13．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(t,1)，若(a ＋b )∥(a －b )，则实数t ＝________. 解析：法一：因为a ＝(1，－1)，b ＝(t,1)， 所以a ＋b ＝(t ＋1,0)，a －b ＝(1－t ，－2)，因为(a ＋b )∥(a －b )，所以－2(t ＋1)＝0，解得t ＝－1.法二：因为(a ＋b )∥(a －b )，由平面向量的平行四边形法则可知，a ∥b ，所以t ＝－1. 答案：－114．已知双曲线经过点(22，1)，其一条渐近线方程为y ＝12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：法一：因为第一象限的点(22，1)在渐近线y ＝12x 的右下方，所以双曲线的焦点在x 轴上，故设双曲线的标准方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，8a 2－1b 2＝1，解得a ＝2，b ＝1，所以双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法二：因为双曲线的渐近线为y ＝12x ，所以设双曲线的方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，又双曲线过点(22，1)，所以λ＝1，所以双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝115．已知三棱锥A ­BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，BC ＝CD ＝1，AB ＝2，则该三棱锥外接球的体积为________．解析：因为BC ＝1，CD ＝1，BC ⊥CD ，所以BD ＝2，又AB ＝2，且AB ⊥平面BCD ，所以AD ＝2，AB ⊥CD ，所以CD ⊥平面ABC ，所以CD ⊥AC ，所以三棱锥A ­BCD 的外接球的球心为AD 的中点，半径为1，所以三棱锥A ­BCD 的外接球的体积为4π3. 答案：4π316．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋n －1(n ∈N *)，则其前n 项和S n ＝________. 解析：因为a n ＋1＝2a n ＋n －1，所以a n ＋1＋(n ＋1)＝2(a n ＋n )，又a 1＋1＝2，所以数列{a n＋n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以a n ＋n ＝2n，所以a n ＝2n－n ，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝－2n1－2－＋n n 2＝2n ＋1－2－n 2＋n2. 答案：2n ＋1－2－n 2＋n2。