高考数学总复习 二项式定理教案
高考数学总复习 二项式定理教案
河北省二十冶综合学校高中分校高考数学总复习 二项式定理教案教学目标：掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，能解决二项展开式有关的简单问题教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用教学过程：一、复习引入：⑴22202122222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++；⑵33223031222333333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++ ⑶4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++= 。
二、讲解新课：⑴()n a b +的展开式的各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项： n a ，n a b ，…，n r r a b -，…，n b ，⑵展开式各项的系数：每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，n a 的系数是0n C ；恰有1个取b 的情况有1n C 种，n a b 的系数是1n C ，……，恰有r 个取b 的情况有r n C 种，n r r ab -的系数是r n C ，……， 有n 都取b 的情况有n n C 种，n b 的系数是n n C ，∴二项式定理： 。
这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()n a b +的 ，⑶它有 项，各项的系数(0,1,)r n C r n =叫 ，⑷ 叫二项展开式的通项，用 表示，即通项 ．⑸二项式定理中，设1,a b x ==，则 。
三、讲解范例：例1．展开41(1)x +．例2．求12()x a +的展开式中的倒数第4项例3．（1）求9(3x 的展开式常数项；展示一，展开6展示二．课本37页4题（1）（2）展示三，课本37页4题（3）（4）展示四．（1）求7(12)x +的展开式的第4项的系数；（2）求91()x x -的展开式中3x 的系数及二项式系数展示五，课本37页5题（1）展示六，课本37页5题（2） 中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
二项式定理复习教案
二项式定理复习教案三维目标一、知识与技能1．二项式定理：(a+b)n =0n C a n +1n C a n-1b+…+k n C a n-k b k +…+nn C b n (n ∈N*) 2．通项公式：1+k T ＝k n C an-k b k(k ＝0，1，2,…，n) 二、过程与方法 1．理解并掌握二项式定理，从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式．2．能运用展开式中的通项公式求展开式中的特定项．三、情感、态度、价值观1．提高学生的归纳推理能力．2．进一步树立由特殊到一般的归纳意识．教学重点、难点重点：1．二项式定理及结构特征，2．展开式的通项公式难点：通项公式的灵活应用。
教学过程例1 .(1)求7)21(x +的展开式的倒数第4项，第4项二项式的系数及第四项系数；(2)7)1(x x -的展开式中x 3的系数． 此类问题一般由通项公式入手分析，要注意项的系数和二项式系数的概念区别．例2.若n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为( ) A.-540 B.-162 C.162 D.540考查展开式各项系数与二项式系数的不同以及通项公式的应用.例3.设8878710(2)x a x a x a x a -=++++，则8710a a a a ++++= ，86420a a a a a ++++=考查赋值法的应用练习1. 41()n x 的展开式中,第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44,则展开式中不含x 的项是（ ）A 第3项B 。
第4项C 。
第7项 D.第8项2.若5(12)x -的展开式中，第2项小于第1 项且不小于第3项，则x 的取值范围是（ ）A ．110x <-B 。
1010x -<≤C 。
11410x -≤<-D 。
104x -≤≤ 3.在56(1)(1)x x +-+展开式中，含3x 的项的系数是（ ）A ．-5 B.5 C.-10 D.104.在10()x a -的展开式中，7x 的系数是15.则实数a 的值为 。
高中数学《二项式定理》教学设计
高中数学《二项式定理》教学设计教学目标：1.理解二项式定理的概念和公式；2.掌握二项式定理的应用方法，能够将其用于多项式展开和计算；3.培养学生的逻辑思维能力和数学推理能力。
教学重点：1.二项式定理的概念和公式；2.二项式定理的应用方法。
教学难点：1.二项式定理的应用方法；2.数学推理能力的培养。
教学准备：1.教材《高中数学》；2.黑板、彩色粉笔；3.教学投影仪。
教学过程：Step 1 引入（5分钟）1. 在黑板上写出“(a+b)² = a² + 2ab + b²”这个式子，让学生观察这个式子有什么特点。
2.引导学生思考，当我们展开一个形如“(a+b)ⁿ”的式子时，会得到怎样的结果。
Step 2 概念讲解（10分钟）1.分析上面提到的式子，得出一个结论：“当一个多项式的指数为2时，展开后的结果是一个三项式”。
2.引入二项式的概念：“若为任意正整数n，a和b为任意常数，则(a+b)ⁿ展开后得到的多项式称为二项式。
”3.引入二项式定理的公式：“对任意正整数n，有(a+b)ⁿ=C(n,0)aⁿ·b⁰+C(n,1)aⁿ⁻¹·b¹+C(n,2)aⁿ⁻²·b²+...+C(n,n-1)a¹·bⁿ⁻¹+C(n,n)a⁰·bⁿ。
”4.解释公式中的C(n,k)为组合数，表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
Step 3 示例讲解（15分钟）1.通过一个具体的示例，将二项式定理的应用方法展示给学生。
2.示范展开一个二项式“(a+b)³”。
3.计算C(3,0)、C(3,1)、C(3,2)、C(3,3)的值。
4.将计算结果代入公式，展开“(a+b)³”。
Step 4 练习（20分钟）1.让学生尝试展开不同次数的二项式，并听取他们的答案。
2.提示学生根据二项式定理的公式，计算组合数的值，并将其应用于展开计算中。
二项式定理复习小结公开课教案教学设计课件资料
二项式定理复习小结公开课教案教学设计课件资料一、教学目标1. 回顾和巩固二项式定理的概念、公式及应用。
2. 提高学生对二项式定理的理解和运用能力。
3. 培养学生的逻辑思维和团队合作能力。
二、教学内容1. 二项式定理的定义及公式。
2. 二项式定理的展开式。
3. 二项式定理的应用。
4. 复习重点知识点和常见题型。
5. 课堂练习和讨论。
三、教学方法1. 采用多媒体课件辅助教学，直观展示二项式定理的推导和应用。
2. 采用案例分析法，引导学生通过具体例子理解和掌握二项式定理。
3. 采用小组讨论法，鼓励学生相互交流、合作解决问题。
4. 采用问答法，教师提问，学生回答，及时检查学生的学习效果。
四、教学步骤1. 导入新课：通过复习导入，回顾二项式定理的概念和公式。
2. 讲解与演示：讲解二项式定理的推导过程，并通过多媒体课件展示。
3. 案例分析：分析典型例题，引导学生运用二项式定理解决问题。
4. 小组讨论：学生分组讨论，分享解题心得和经验。
5. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
6. 总结与反思：教师引导学生总结二项式定理的重点知识点和常见题型。
五、教学评价1. 课堂练习：评价学生在课堂练习中的表现，检查掌握程度。
2. 小组讨论：评价学生在团队合作中的表现，培养团队合作能力。
3. 问答环节：评价学生的回答准确性，提高学生的逻辑思维能力。
4. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识，提高学生的自主学习能力。
六、教学资源1. 多媒体课件：包含二项式定理的定义、公式、展开式及应用案例。
2. 练习题：涵盖不同难度的题目，用于巩固知识和检查掌握程度。
3. 小组讨论材料：提供相关案例和问题，促进学生交流和合作。
4. 教学指导书：提供详细的教学步骤和指导，帮助教师顺利进行教学。
七、教学安排1. 课时：预计2课时（90分钟）。
2. 教学顺序：先回顾二项式定理的基本概念和公式，通过案例分析和小组讨论，让学生运用二项式定理解决问题。
二项式定理复习课的教学设计
二项式定理复习课的教学设计1、教学内容：高中数学理科选修2-3：《二项式定理复习课》2、教学对象分析：学生高二学习了《二项式定理》的全部内容，对这部分内容有了初步的了解，但遗忘率比较大，对二项式定理的题型已经生疏，因此让学生在老师的指导下，对《二项式定理》进行复习应用，巩固和加深。
在复习的过程中，渗透了《排列组合》等其它的内容，加强了知识点之间的联系，培养学生综合运用知识的能力。
3、教学内容分析:本节内容包括以下几部分：（1）二项式展开式的特点。
（2）二项式展开式项的系数和二项式式系数。
（3）二项式定理的四个应用。
教学目标：（1）知识目标：复习二项式定理，正确理解和区分二项式系数、通项、二项式项的系数等概念，会利用通项公式及二项式系数的性质解决有关计算问题.（2）能力目标：通过讲练结合使学生掌握二项式定理习题的一般解题方法，提高分析和解决问题的能力。
（3）情感目标：通过学生的主体活动，营造一种愉悦的情境，使学生自始至终处于积极思考的氛围中，不断获得成功的体验，从而对自己的数学学习充满信心。
教学重点： 二项式定理的应用教学难点 ： 二项式定理及二项式系数性质的灵活应用教学方法：讲练结合 教学过程：1、知识回顾：(1)二项式定理：=+n b a )( （*N n ∈）.二项式展开式的通项公式为=+1r T .(2)二项式系数：①n b a )(+展开式的二项式系数之和为 ，即=++++++n n k n n n n C C C C ......C 210②奇数项的系数之和等于 的系数之和，即=++...C 20n n C =2、热身练习：（1）（2x+1）4的展开式中3x 的系数是（ ）A ．6B ．32C ．8D ．48（2）、若n x x )1(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 ．（3）若9922109...)1(x a x a x a a x ++++=-，则129a a a +++= （ ）A 、1-B 、0C 、1D 、2（4）1110除以9的余数是 （ ）A.1B.2C.4D.8小结：题型一：求项的系数题型二：求特定项题型三：求展开式系数和题型四：整除问题3、综合例题： 例．已知二项式n x)121(4+（*N n ∈）展开式中，末三项的系数依次成等差数列，求此展开式中所有的有理项。
二项式定理教案(绝对经典)
第3讲二项式定理基础梳理1．二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式．其中的C r n(r＝0,1，…，n)叫二项式系数．数）（注意区别于该项的系式中的C r n a n－r b r叫二项展开式的通项，用T r＋1表示，即通项T r＋1＝C r n a n－r b r.2．二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到C n－1n，C n n.3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即C r n＝C n－rn.(2)增减性与最大值：二项式系数C k n，当k＜n＋12时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n是偶数时，中间一项C n2n取得最大值；当n是奇数时，中间两项C n－12n，Cn＋12n取得最大值．(3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C r n＋…＋C n n＝2n；C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.双基自测1．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于()．A．80 B．40 C．20 D．102．若(1＋2)5＝a＋b2(a，b为有理数)，则a＋b＝()．A．45 B．55 C．70 D．803.若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为()．A ．9B ．8C ．7D ．64．(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝( )．A ．6B ．7C ．8D ．95．设(x －1)21＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 21x 21，则a 10＋a 11＝________.考向一 二项展开式中的特定项或特定项的系数【例1】►6的展开式中常数项是 ；含x 2的项的系数是【训练1】 1、 已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．2、若⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．考向二 二项式的和与积【例2】► 1、在()61x x +的展开式中，含3x 项的系数是2、(1＋2x )3(1－x )4展开式中x 项的系数为________．【训练2】1、()5223++x x 的展开式中3x 的系数是_______.2、25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为_______.考向二 二项式定理中的赋值【例3】►二项式(2x －3y )9的展开式中，求：(1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和．【训练3】 已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.【例4】► 若多项式x 3＋x 10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10，则a 9＝( )．A ．9B ．10C ．－9D ．－10【训练4】1、=-+⋅⋅⋅+-+-+=46622106,1113-2a x a x a x a a x 则）（）（）（）（ 2、=【例5】►2727327227127C C C C ++++ 除以9的余数为 。
高三数学教案《二项式定理》四篇
高三数学教案《二项式定理》四篇教学过程篇一1.情景设置问题1：若今天是星期二，再过30天后的那一天是星期几？怎么算？预期回答：星期四，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少？问题2：若今天是星期二，再过810天后的那一天是星期几？问题3：若今天是星期二，再过天后是星期几？怎么算？预期回答：将问题转化为求“被7除后算余数”是多少？在初中，我们已经学过了(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=(a+b)2(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3（提问）：对于(a+b)4，(a+b)5如何展开？（利用多项式乘法）（再提问）：（a+b)100又怎么办？(a+b)n(n?N+）呢？我们知道，事物之间或多或少存在着规律。
也就是研究（a+b)n(n?N+）的展开式是什么？这就是本节课要学的内容。
这节课，我们就来研究(a+b)n的二项展开式的规律性。
学完本课后，此题就不难求解了。
（设计意图：使学生明确学习目的，用悬念来激发他们的学习动机。
奥苏贝尔认为动机是学习的先决条件，而认知驱力，即学生渴望认知、理解和掌握知识，并能正确陈述问题、顺利解决问题的倾向是学生学习的重要动力。
）2.新授第一步：让学生展开；问题1：以的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。
预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂、另一字母升幂排列，且两个字母幂指数的和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1;③展开式中第二项的系数等于乘方指数。
第二步：继续设疑如何展开以及呢？（设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷的方法的欲望。
）继续新授师：为了寻找规律，我们以中为例问题1：以项为例，有几种情况相乘均可得到项？这里的字母各来自哪个括号？问题2：既然以上的字母分别来自4个不同的括号，项的系数你能用组合数来表示吗？问题3：你能将问题2所述的意思改编成一个排列组合的命题吗？（预期答案：有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是、一个是。
【2019年整理】高中数学选修2-3《二项式定理》复习课教案
二项式定理复习课新课标教材数学（选修2－3·北师大版）第一章§5.1《二项式定理》考纲要求及高考动向：2010年考试大纲（广东卷）对本节知识的要求是：1.理解二项式定理；2.会用二项式 定理解决与二项式定理有关的简单问题。
高考主要考查通项和二项展开式的应用，即求特定项以及展开式中的系数和等问题。
一、教学目标1、知识目标：掌握二项式定理及有关概念，通项公式，二项式系数的性质；2、思想方法目标：使学生领悟并掌握方程的思想方法，赋值法，构造法，并通过引申 变式提高学生的应变能力，创造能力及逻辑思维能力。
3、情感目标：通过学生的主体活动，营造一种愉悦的情境，使学生自始至终处于积极 思考的氛围中，不断获得成功的体验，从而对自己的数学学习充满信心。
二、教学重点与难点1、重点：二项式定理及有关概念2、难点：二项式定理的应用三、教学资源课本、复习资料、电脑、多媒体平台四、教法与学法1、教法：本节课的教法贯穿引导式教学原则，以“引导思考”为核心，通过例题及其 引申变式引导学生沿着积极的方向思维，逐步达到即定的教学目标，发展学生的逻辑思维能 力。
2、学法：根据学生思维的特点，遵循“教必须以学为主”的教学理念，让每一个学生 自主参与整堂课的知识构建。
在教学的各个环节中引导学生积极参与，进行类比迁移，对照 学习。
学生在教师营造的“自主学习”的环境里，生动活泼地获取知识，掌握规律、主动发 现、主动发展。
五、教学过程（一）教材复习1.二项式定理 01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈（1）展开式中共有n+1项（2）展开式的通项公式：r r n r n r b a C T -+=1,它表示的是展开式的第r+1项（3）二项式系数：2．二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即m n m n n C C -=（2）增减性与最大值： 先增再减；当n 是偶数时，中间一项2nnC 取 得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n C -，12n n C +取得最大值。
高三数学教案《二项式定理》优秀3篇
高三数学教案《二项式定理》优秀3篇1. 介绍本文档将介绍三篇优秀的高三数学教案，主题为《二项式定理》。
这些教案从不同的角度和方法讲解了二项式定理，帮助学生更好地理解和应用该定理，提高数学解题能力。
2. 教案一：《二项式定理初步认识》2.1 教学目标•了解二项式的定义和性质•掌握二项式展开的基本方法•能够灵活应用二项式定理解决实际问题2.2 教学内容1.二项式的定义和性质–介绍二项式的概念和表达形式–讲解二项式的性质，如二项式系数的对称性等2.二项式展开的基本方法–介绍二项式在展开时的基本方法–给出一些例题进行演示和练习3.实际问题的应用–利用二项式定理解决实际问题，如排列组合问题等–给出一些实际问题的例题和练习2.3 教学方法•讲授与演示相结合：通过讲解二项式的定义和性质，并用例题演示二项式展开的基本方法，加深学生对二项式定理的理解•提问与讨论：引导学生参与讨论，思考问题的解决方法，培养学生的分析和解决问题的能力•练习与巩固：给学生一定数量的练习题，巩固所学知识，并能够应用到实际问题中2.4 教学评价与反馈•教学评价：通过课堂上教师的观察、学生的表现及课后作业的完成情况，进行教学评价•教学反馈：及时给予学生反馈，并指导学生改正错误，提高学习效果3. 教案二：《二项式定理的证明与应用》3.1 教学目标•掌握二项式定理的证明方法•理解二项式定理的应用领域•提高数学推理和证明能力3.2 教学内容1.二项式定理的证明方法–讲解二项式定理的组合证明方法，如二项式系数的递推关系等–通过数学推理，证明二项式定理的正确性2.二项式定理的应用–介绍二项式定理在组合数学、概率论等领域的应用–给出一些应用题进行练习，提高学生的应用能力3.数学推理与证明–培养学生的数学推理和证明能力，通过解答证明题加深学生对二项式定理的理解3.3 教学方法•讲授与演示相结合：通过讲解二项式定理的证明方法，并演示具体的证明过程，加强学生对二项式定理的理解•课堂讨论：引导学生进行证明题的讨论和分析，提高学生的数学推理能力•练习与应用：给学生一些练习题，加深学生对二项式定理的应用理解3.4 教学评价与反馈•教学评价：通过课堂上的表现、学生的参与情况以及课后作业的完成情况综合评价学生的学习情况•教学反馈：及时给予学生反馈，并指导学生改进学习方法，提高学习效果4. 教案三：《二项式定理与三角恒等式》4.1 教学目标•掌握二项式定理与三角恒等式的联系和应用•理解二项式定理与三角恒等式在数学中的重要性•提高学生的综合应用能力4.2 教学内容1.二项式定理与三角恒等式的联系和应用–介绍二项式定理与三角恒等式之间的联系和应用–分析二项式展开式的三角形式及其与三角恒等式的关系2.二项式定理与三角恒等式的具体应用–给出一些具体的二项式展开题目，引导学生将其化简成三角恒等式形式–通过练习题，锻炼学生的综合应用能力4.3 教学方法•讲授与实例演示：通过讲解二项式定理与三角恒等式的联系，并给出具体的例题进行演示，加深学生对二项式定理和三角恒等式的理解•练习与应用：给学生一些练习题，锻炼学生将二项式展开式化简成三角恒等式形式的能力•问题探究与讨论：引导学生思考和探索二项式定理与三角恒等式之间的更多联系4.4 教学评价与反馈•教学评价：通过观察学生的课堂表现、参与讨论的情况以及课后作业的完成情况综合评价学生的学习情况•教学反馈：及时给予学生反馈，并指导学生改进问题解决的方法，提高学习效果5. 总结本文档介绍了三篇优秀的高三数学教案，主题为《二项式定理》。
高三数学教案《二项式定理》
高三数学教案《二项式定理》一、教学目标1.了解二项式定理的定义和公式2.掌握应用二项式定理求解数学问题的方法3.培养学生的数学思维和解决实际问题的能力二、教学内容1. 二项式定理的定义二项式定理是指：$$(a+b)^n = \\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}$$其中n为非负整数，a和b为任意实数或复数，$C_{n}^{k} $表示组合数。
2. 二项式定理的公式二项式定理的公式为：$$(a+b)^n = \\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}$$其中n为非负整数，a和b为任意实数或复数，$C_{n}^{k} $表示组合数，计算公式为：$$C_{n}^{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}$$其中n!表示n的阶乘，计算公式为：$$n! = 1 \\times 2 \\times 3 \\times ……\\times n$$3. 应用二项式定理求解数学问题的方法1.直接将a和b代入公式计算2.通过变形将问题转化为求和式3.应用组合恒等式计算三、教学方法1. 讲授法通过讲解定义、公式和应用方法，让学生了解二项式定理的基本概念和计算方法。
2. 例题教学法通过讲解例题，帮助学生理解和掌握二项式定理的应用方法，增强解题的能力。
3. 课堂练习法通过课堂练习，帮助学生巩固所学的知识和技能，提高解题能力。
4. 讨论法通过小组讨论或全班讨论，让学生分享解题思路和经验，增加互动性和合作性。
四、教学过程1. 介绍二项式定理的定义和公式教师向学生介绍二项式定理的定义和公式，让学生了解该定理的基本概念和计算方法。
2. 讲解二项式定理的应用方法教师通过讲解例题，向学生讲解二项式定理的应用方法，帮助学生掌握如何应用二项式定理来解决数学问题。
3. 课堂练习教师在课堂上进行练习，让学生巩固所学的知识和技能，提高解题能力。
4. 学生小组讨论教师安排学生小组讨论，让学生分享解题思路和经验，增加互动性和合作性。
高中高三数学《二项式定理》教案、教学设计
（二）讲授新知，500字
在讲授新知环节，我会按照以下步骤进行：
1.详细讲解二项式定理的基本形式，让学生理解二项式定理的构成要素。
2.通过几何图形和具体实例，引导学生探究二项式定理的推导过程，强调组合数公式的运用。
-例如：请简述二项式定理的推导过程，以及你在学习过程中遇到的问题和解决方法。
-要求：学生认真撰写，培养学生的学习反思能力。
5.课外阅读题：推荐学生阅读与二项式定理相关的数学历史资料，了解数学家们在二项式定理研究过程中的贡献。
-例如：阅读《数学家与二项式定理》的相关文章，了解二项式定理的发现和发展过程。
3.二项式定理在解决实际问题中的应用。
4.二项式定理与其他数学知识的联系。
在整个教学内容与过程中，我注重启发式教学，关注学生的主体地位，充分调动学生的积极性，提高学生的数学素养。
五、作业布置
为了巩固学生对二项式定理的理解和应用，确保学生能够熟练掌握本章节的知识点，我设计了以下几类作业：
1.基础知识巩固题：选取一些典型的题目，要求学生运用二项式定理的基本形式进行计算，巩固二项式系数的计算方法。
-例如：计算(x+y)^5展开式中x^3y^2的系数。
-要求：学生独立完成，注重解题过程的规范性和准确性。
2.应用题：设计一些实际问题，让学生运用二项式定理解决，提高学生分析问题和解决问题的能力。
-例如：一个袋子里有5个红球和5个蓝球，随机取出3个球，求取出2个红球和1个蓝球的概率。
-要求：学生通过小组合作完成，培养学生的团队协作能力。
4.教学策略：
高三数学教案《二项式定理》
高三数学教案《二项式定理》教案标题：二项式定理教案目标：1. 了解二项式定理的定义和基本性质2. 能够应用二项式定理计算特定的二项式表达式3. 了解二项式定理在数学和实际生活中的应用教学重点：1. 二项式定理的定义和基本性质2. 二项式定理的应用教学难点：1. 二项式定理的实际应用教学准备：1. 教材：高中数学教材2. 教具：黑板、粉笔教学过程：Step 1：导入通过一个简单的问题引入二项式定理的概念，如：「已知(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，求(a+b)^3是多少？」，让学生思考并回答问题。
Step 2：理论讲解1. 引导学生回顾二项式展开式的定义：对于任意非负整数n，二项式展开式的形式为(a+b)^n=a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,n-1)ab^(n-1)+b^n。
2. 解释二项式展开式中的C(n,k)代表组合数，即从n个元素中取k个元素的组合数。
3. 引导学生理解二项式定理的基本性质：当n为非负整数时，有(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,n-1)ab^(n-1)+C(n,n)b^n。
Step 3：例题演练1. 通过简单的例子演示如何应用二项式定理，如计算(a+b)^4。
2. 给学生提供一些练习题，让他们独立进行计算，如计算(a+b)^5。
Step 4：拓展应用1. 引导学生思考二项式定理在数学中的应用，如求整系数多项式的平方。
2. 引导学生思考二项式定理在实际生活中的应用，如概率论中的二项分布。
Step 5：小结归纳从理论和应用两个方面对二项式定理进行总结归纳，并帮助学生梳理知识点。
Step 6：课堂练习布置一些课堂练习题，鼓励学生独立完成。
Step 7：课堂总结对本节课的重点内容进行总结，并让学生提问和解答疑惑。
教学延伸：1. 鼓励学生进一步探究二项式定理的推广和应用。
2. 提供更多实际生活中的例子，引导学生思考和应用二项式定理。
二项式定理复习小结公开课教案教学设计课件资料
二项式定理复习小结公开课教案教学设计课件资料一、教学目标：1. 帮助学生回顾和巩固二项式定理的概念、公式及其应用。
2. 提高学生对二项式定理的理解和运用能力，培养学生的逻辑思维和运算能力。
3. 激发学生的学习兴趣，培养学生的合作意识和团队精神。
二、教学内容：1. 二项式定理的定义和公式。
2. 二项式定理的证明。
3. 二项式定理的应用。
4. 复习常见的问题和解题方法。
5. 课堂练习和讨论。
三、教学过程：1. 导入：通过一个实际问题引入二项式定理的概念，激发学生的兴趣。
2. 讲解：回顾二项式定理的定义和公式，引导学生理解其含义和应用。
3. 证明：讲解二项式定理的证明过程，帮助学生理解其内在逻辑。
4. 应用：通过实例展示二项式定理在实际问题中的应用，引导学生学会运用。
6. 练习：布置课堂练习题，让学生动手实践，巩固所学知识。
7. 讨论：组织学生进行小组讨论，分享解题心得和经验。
四、教学资源：1. 课件：制作精美的课件，展示二项式定理的概念、公式和应用。
2. 练习题：准备一些具有代表性的练习题，帮助学生巩固知识。
3. 讨论材料：提供一些相关的研究材料，供学生课后进一步探讨。
五、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 练习题：检查学生课堂练习题的完成情况，评估学生的掌握程度。
3. 小组讨论：评估学生在讨论中的表现，包括观点阐述、沟通交流等。
4. 课后反馈：收集学生的课后反馈意见，了解教学效果。
六、教学策略：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究二项式定理的内涵和外延。
2. 利用多媒体课件辅助教学，提高学生的学习兴趣和效果。
3. 组织小组合作学习，培养学生的团队协作能力和交流沟通能力。
4. 注重个体差异，给予每个学生充分的关注和指导，提高课堂互动性。
七、教学步骤：1. 回顾上节课的内容，检查学生对二项式定理的理解和掌握程度。
2. 讲解二项式定理的证明，引导学生理解其数学原理。
2025年高中数学高考精品备课教案：二项式定理
二项式定理课标要求命题点五年考情命题分析预测能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.展开式中的特定项问题2023天津T11；2022新高考卷ⅠT13；2020全国卷ⅠT8；2020全国卷ⅢT14；2020北京T3；2019全国卷ⅢT4本讲是高考常考内容，主要考查二项展开式的通项，求常数项，求某项系数，求某些项的系数和等，主要以小题的形式出现，难度不大.预计2025年高考命题常规，备考时要掌握各种问题类型及其求解方法.二项式系数与项的系数的问题2022北京T8；2022浙江T12二项式定理的综合应用学生用书P2291.二项式定理二项式定理（a ＋b ）n ＝C 0a n ＋C 1a n －1b 1＋…＋C a n －k b k ＋…＋C b n ，n ∈N *.二项展开式的通项T k ＋1＝①C an －k b k ，即为二项展开式的第k ＋1项.二项式系数C （k ∈{0，1，2，…，n }）.辨析比较二项式系数与项的系数的区别（a ＋bx ）n 的二项展开式中，二项式系数是指C 0，C 1，…，C，其与a ，b 的值无关，如第k ＋1项的二项式系数是C ；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，其与a ，b 的值有关，如第k ＋1项的系数是C an －k b k .2.二项式系数的性质1.[北京高考]在（－2）5的展开式中，x2的系数为（C）A.－5B.5C.－10D.10＝C5（）5－r（－2）r＝解析由二项式定理得（－2）5的展开式的通项T r＋1C5−25－2，令5－2＝2，得r＝1，所以T2＝51（－2）x2＝－10x2，所以x2的系数−10，故选C.2.[教材改编]在（x－y）10的展开式中，系数最小的项是（C）A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项解析展开式共有11项，奇数项系数为正，偶数项系数为负，且第6项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项是第6项.3.已知C0＋2C1＋22C3＋23C3＋…＋2n C＝243，则C1＋C2＋C3＋…＋C＝（A）A.31B.32C.15D.16解析逆用二项式定理得C0＋2C1＋22C2＋23C3＋…＋2n C＝（1＋2）n＝243，即3n＝35，所以n＝5，所以C1＋C2＋C3＋…＋C＝25－1＝31.4.[多选]下列说法正确的是（CD）A.C a n－k b k是（a＋b）n展开式中的第k项B.在二项展开式中，系数最大的项为中间的一项或中间的两项C.在（a＋b）n的展开式中，每一项的二项式系数都与a，b无关D.在（a＋b）n的展开式中，某项的系数与该项的二项式系数不同5.[易错题]已知（2x－1）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n（n∈N*），设（2x－1）n的展开式中所有项的二项式系数和为S n，T n＝a1＋a2＋…＋a n（n∈N*），则S4＝16，T4＝0.解析因为（2x－1）n展开式中所有项的二项式系数和为2n，（易混淆：（2x－1）n展开式的二项式系数和为C0＋C1＋C2＋…＋C＝2n，系数和为a0＋a1＋a2＋…＋a n）所以S n＝2n，S4＝16.令x＝0，则（－1）n＝a0，令x＝1，则1＝a0＋a1＋a2＋…＋a n，所以T n＝1－（－1）n，所以T4＝0.学生用书P230命题点1展开式中的特定项问题角度1形如（a＋b）n（n∈N*）的展开式中的特定项例1（1）[2023南京市中华中学检测]若2－6＝0+11++21+2+…+ 61+6，则a4＝（B）A.270B.135C.－135D.－270解析（2－x）6＝a0＋a1（1＋x）＋a2（1＋x）2＋…＋a6（1＋x）6，以x－1代替x，得（3－x）6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，而（3－x）6的展开式的通项公式为T r＋1＝C636−−=C636－r（－1）r x r，令r＝4，则a4＝C64×36－4×（－1）4＝135，故选B.（2）[2023天津高考]在（2x3－1）6的展开式中，x2的系数是60.解析解法一二项式（2x3－1）6的展开式的通项T k＋1＝C6（2x3）6－k（－1）k=－126－C618−4，令18－4k＝2，解得k＝4，所以x2的系数为（－1）4×22×64＝60.解法二将二项式（2x3－1）6看成6个多项式（2x3－1）相乘，要想出现x2项，则先在6个多项式中选2个多项式取2x3，然后余下的多项式都取－1，相乘，即C62232×C44−1=602，所以x2的系数为60.方法技巧求形如（a＋b）n（n∈N*）的展开式中的特定项问题的步骤角度2形如（a＋b）m（c＋d）n（m，n∈N*）的展开式中的特定项例2（1）[2023沈阳市三检]（2x－3）2（1－1）6的展开式中，含x－2项的系数为（B）A.430B.435C.245D.240解析（1－1）6的展开式的通项T k＋1＝C6（－1）k＝（－1）k C61.（2x－3）2＝4x2－12x+9，当在多项式（4x2－12x＋9）中取4x2时，令k＝4，得4x2·（－1）4C6414；当在多项式（4x2－12x＋9）中取－12x时，令k＝3，得－12x·（－1）3C6313；当在多项式（4x2－12x＋9）中取9时，令k＝2，得9×（－1）2C6212.所以含x－2项的系数为4×（－1）4C64＋（－12）×（－1）3C63＋9×（－1）2C62＝60＋240＋135＝435，故选B.（2）[2022新高考卷Ⅰ]（1－）（x＋y）8的展开式中x2y6的系数为－28.（用数字作答）解析（x＋y）8的展开式的通项T r＋1＝C8x8－r y r，r＝0，1，…，7，8.令r＝6，得T6＋1＝86x2y6，令r＝5，得T5＋1＝85x3y5，所以（1－）（x＋y）8的展开式中x2y6的系数为C86－C85＝－28.方法技巧求形如（a＋b）m（c＋d）n（m，n∈N*）的展开式中特定项问题的步骤角度3形如（a＋b＋c）n（n∈N*）的展开式中的特定项例3（1）（x－y＋2）5的展开式中，x3y的系数为（D）A.80B.40C.－80D.－40解析解法一（x－y＋2）5＝[x－（y－2）]5，其通项T r＋1＝C5x5－r（－1）r·（y－2）r，则展开式中含x3的项为C52x3（y－2）2，又（y－2）2的展开式中含y的项为（－2）C21y，所以（x－y＋2）5的展开式中，x3y的系数为C52·C21·（－2）＝－40，故选D.解法二要在展开式中得到x3y，可在5个“x－y＋2”中选3个“x”，1个“－y”，1个“2”，故x3y的系数为C53·C21（－1）1×2＝－40.（2）（1＋2x－3x2）5的展开式中，x5的系数为92.解析（1＋2x－3x2）5＝（1－x）5（1＋3x）5，所以展开式中x5的系数为C50C5535＋C51（－1）C5434＋C52（－1）2C5333＋C53（－1）3C5232＋C54（－1）4C5131＋C55（－1）5C5030＝92.方法技巧求形如（a＋b＋c）n（n∈N*）的展开式中的特定项问题的方法因式分解法通过分解因式将三项式变成两个二项式的积的形式，然后用二项式定理分别展开.逐层展开法将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含两项的一组展开，从而解决问题.利用组合知识把三项式（a＋b＋c）n（n∈N*）看成n个a＋b＋c的积，然后利用组合知识求解.训练1（1）已知（2x －a ）（x ＋2）6的展开式中x 2的系数为－240，则该展开式中的常数项为（A ）A.－640 B.－320C.640D.320解析（x ＋2）6的展开式的通项为T k ＋1＝C 6x 6－k ·（2）k ＝C 62k x 6－2k .令6－2k ＝2，得k ＝2；令6－2k ＝1，得k ＝52，舍去.（注意：k 取整数）故（2x －a ）（x ＋2）6的展开式中x 2的系数为－a C 62·22＝－240，得a ＝4.令6－2k ＝－1，得k ＝72，不符合题意，舍去；令6－2k ＝0，得k ＝3.故2−4+的展开式中的常数项为－4×C 63×23＝－640.（2）（x 2＋x ＋y ）5的展开式中，x 5y 2的系数为（C ）A.10B.20C.30D.60解析（x 2＋x ＋y ）5表示5个因式（x 2＋x ＋y ）的乘积，要得到含x 5y 2的项，只需从5个因式中选2个因式取x 2，1个因式取x ，其余2个因式取y 即可，故x 5y 2的系数为C 52C 31C 22＝30.命题点2二项式系数与项的系数的问题角度1二项展开式中的系数和问题例4[多选]已知（1－2x ）2023＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2023x 2023，则下列结论正确的是（ACD）A.展开式中所有项的二项式系数的和为22023B.展开式中所有奇次项的系数的和为32023+12C.展开式中所有偶次项的系数的和为32023－12D.12＋222＋323＋…＋202322023＝－1解析对于A ，（1－2x ）2023的展开式中所有项的二项式系数的和为22023，故A 正确；对于B ，令f （x ）＝（1－2x ）2023，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2023＝f （1）＝－1，a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2023＝f （－1）＝32023，所以展开式中所有奇次项的系数的和为（1）－（－1）2＝－32023+12，展开式中所有偶次项的系数的和为（1）＋（－1）2＝32023－12，故B 错误，C 正确；对于D ，a 0＝f （0）＝1，12＋222＋323＋…＋202322023＝f （12）－a 0＝－1，故D 正确.故选ACD.方法技巧应用赋值法求项的系数和问题（1）对形如（ax ＋by ）n （a ，b ∈R ，n ∈N *）的式子求其展开式中的各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可；求系数之差时，只需根据题目要求令x ＝1，y ＝－1或x ＝－1，y ＝1即可.（2）对（a＋bx）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，令f（x）＝（a＋bx）n，则（a＋bx）n的展开式中各项系数之和为f（1），偶次项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝（1）＋（－1）2，奇次项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝（1）－（－1）2.角度2与二项展开式中的系数有关的最值问题例5（1）[全国卷Ⅰ]设m为正整数，（x＋y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x ＋y）2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝（B）A.5B.6C.7D.8解析根据二项式系数的性质，知（x＋y）2m展开式中二项式系数的最大值为C2，而（x ＋y）2m＋1展开式中二项式系数的最大值为C2r1，则C2＝a，C2r1＝b.又13a＝7b，所以13C2＝7C2r1，即13×（2p!！×！＝7×（2r1)!，解得m＝6.（r1)!×！（2）已知（＋n（n≥2）的展开式中，前三项的系数成等差数列，则展开式中系数最大的项是752和774.解析展开式中前三项的系数分别是1，2，18n（n－1），由题意知，2×2＝1＋18n（n－1），解得n＝8或n＝1（舍去）.＝C8·（）8－k·k＝C8·2－k·4－34，所以第k＋1项的系数是于是展开式的通项T kC8·2－k，第k项的系数是C8－1·2－k＋1，第k＋2项的系数是C8r1·2－k－1.若第k＋1项的系数最大，则C8·2－k≥C8－1·2－k＋1且C8·2－k≥8r1·2－k－1，解得2≤k≤3.又k∈Z，因此k＝2或k＝3.故系数最大的项是T3＝C82·2－2·4－34×2＝752和T4＝C83·2－3·4－34×3＝774.方法技巧1.二项式系数最值的求法当n是偶数时，第2＋1项的二项式系数最大，最大值为C2；当n是奇数时，第r12项和第r32项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为C－12或C r12.2.项的系数最值的求法设展开式各项的系数分别为A1，A2，…，A n＋1，且第k项系数最大，解不等式组≥－1，≥r1，求出k即可得结果.8，则下列结论正确的是（AB）训练2（1）[多选]已知二项式（xA.第5项的二项式系数最大B.所有项的系数之和为1C.有且仅有第6项的系数的绝对值最大D.展开式中共有4项有理项解析由题意知，展开式中共有9项，二项式系数最大的项为第5项，A正确；所有项的系数和为（1－2）8＝1，B正确；T r＋1＝C8x8－r·（r＝（－2）r C88－32，r＝0，1，2，…，8，显然r＝0，2，4，6，8时，T r＋1是有理项，所以共有5项有理项，D错误；由2C8≥2r1C8r1，2C8≥2－1C8－1，解得5≤r≤6，所以r＝5或r＝6，故第6项和第7项的系数的绝对值最大，C错误.故选AB.（2）[2022浙江]已知多项式（x＋2）（x－1）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝8，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2.解析由多项式展开式可知，a2＝2C42（－1）2＋C43（－1）3＝12－4＝8.令x＝0可得a0＝2，令x＝1可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2.命题点3二项式定理的综合应用例6（1）利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是（D）A.1.23B.1.24C.1.33D.1.34解析 1.056＝（1＋0.05）6＝C60＋C61×0.05＋C62×0.052＋C63×0.053＋…＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…≈1.34.（2）设a∈N，且0≤a＜26，若512020＋a能被13整除，则a的值为（D）A.0B.11或0C.12D.12或25解析∵512020＋a＝（52－1）2020＋a＝C20200522020（－1）0＋C20201522019（－1）1＋C20202522018（－1）2＋…＋C20202019521·（－1）2019＋C20202020（－1）2020＋a，又52能被13整除，∴需使20202020（－1）2020＋a能被13整除，即1＋a能被13整除，∴1＋a＝13k，k∈Z，又0≤a＜26，∴a＝12或a＝25，故选D.方法技巧二项式定理应用的常见题型及解题策略题型解题策略近似计算先观察精确度，然后选取展开式中若干项求解.证明整除问题或求余数将被除式（数）合理的变形，拆成二项式，使被除式（数）展开后的每一项都含有除式的因式.逆用二项式定理根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，变形使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解.训练3（1）设复数x＝2i1－i（i是虚数单位），则C20241x＋C20242x2＋C20243x3＋…＋C202420242024=（A）A.0B.－2C.－1＋iD.－1－i解析x＝2i1－i＝2i（1+i）＝－1＋i，则C20241x＋C20242x2＋C20243x3＋…＋C20242024x2024＝（1＋（1－i)(1+i）x）2024－1＝i2024－1＝1－1＝0.（2）若（2x＋1）100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，则2（a1＋a3＋a5＋…＋a99）－3除以8的余数为5.解析令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝3100.令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a100＝1，两式相减得2（a1＋a3＋a5＋…＋a99）＝3100－1，则2（a1＋a3＋a5＋…＋a99）－3＝3100－4.3100－4＝950－4＝（8＋1）50－4＝C500×850＋C501×849＋…＋C5049×8＋C5050－4＝C500×850＋C501×849＋…＋C5049×8－3＝C500×850＋C501×849＋…＋C5049×8－8＋5，则C500×850＋C501×849＋…＋C5049×8－8＋5除以8的余数为5，即2（a1＋a3＋a5＋…＋a99）－3除以8的余数为5.1.[命题点1角度1/2022天津高考]（＋32）5的展开式中常数项为15.解析（＋32）5展开式的通项公式为T k＋1＝5（）5－k（32）k＝3k55－52，令5－52＝0，得k＝1，所以常数项为3×51＝15.2.[命题点1角度2/全国卷Ⅲ]（1＋2x2）（1＋x）4的展开式中x3的系数为（A）A.12B.16C.20D.24＝C414－r x r（r＝0，1，2，3，4）.解析（1＋x）4的展开式的通项公式为T r＋1（1＋2x2）（1＋x）4的展开式中含x3的项的系数为1×（C43×11）＋2×（C41×13）＝12.故选A.3.[命题点1角度3/2023湖南长沙第一中学段考]（x－2y＋z）8的展开式中x3y3z2的系数是－4480（用数字作答）.解析（x－2y＋z）8可看成8个（x－2y＋z）相乘，在8个（x－2y＋z）中的3个式子中取x，3个式子中取－2y，剩下的2个式子中取z，则（x－2y＋z）8的展开式中x3y3z2的系数是C83×C53×（－2）3×C22＝－4480.4.[命题点2角度1/2022北京高考]若（2x－1）4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝（B）A.40B.41C.－40D.－41解析依题意，令x＝1，可得1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0，令x＝－1，可得81＝a4－a3＋a2－a1＋a0，以上两式相加可得82＝2（a4＋a2＋a0），所以a0＋a2＋a4＝41，故选B.5.[命题点3]今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过22021天后是（D）A.星期三B.星期四C.星期五D.星期六解析22021＝4×22019＝4×8673＝4×（7＋1）673＝4×（6730×7673＋6731×7672＋…＋673672×7＋673673），由于括号中，除了最后一项外，其余各项都能被7整除，故整个式子除以7的余数为4673673＝4，故经过22021天后是星期六，故选D.6.[命题点3]已知－1001（2－x ）＋1002（2－x ）2－1003（2－x ）3＋…＋100100（2－x ）100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100x 100，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 99的值是－2.解析记f （x ）＝1－C 1001（2－x ）＋C 1002（2－x ）2－C 1003（2－x ）3＋…＋C 100100（2－x ）100－1＝[1－（2－x ）]100－1＝（x －1）100－1＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100x 100.令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝－1.令x ＝0，得a 0＝0，又易知a 100＝1，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 99＝－2.7.[命题点3]0.996的计算结果精确到0.001的近似值是（B）A.0.940B.0.941C.0.942D.0.943解析0.996＝（1－0.01）6＝C 60×1－C 61×0.01＋C 62×0.012－C 63×0.013＋…＋C 66×0.016＝1－0.06＋0.0015－0.00002＋…＋0.016≈0.941.学生用书·练习帮P3841.[2024河北保定部分示范高中统考]（9x5的展开式中含x 2的项的系数为（D ）A.C 52×92×83B.C 54×9×84C.C 51×94×8D.C 52×93×82解析（9x5的二项展开式的通项T r ＋1＝C 5（9x ）5－r ·（8－12）r ＝C 5·95－r ·8r ·5－32，0≤r ≤5，r ∈N ，令5－32r ＝2，得r ＝2，所以展开式中含x 2的项为T 2＋1＝C 52×93×82x 2，其系数为C 52×93×82.故选D.2.[2024湖北武汉第四十九中模拟]（1＋x ＋x 2）（1－x ）10的展开式中x 5的系数为（D）A.120B.135C.－140D.－162解析（1－x ）10展开式的通项为T r ＋1＝C 10（－x ）r ＝（－1）r ·10x r.令r ＝5，则1×（1－x ）10展开式中x 5的系数为（－1）5C 105＝－252；令r ＝4，则x （1－x ）10展开式中x 5的系数为（－1）4C 104＝210；令r ＝3，则x 2（1－x ）10展开式中x 5的系数为（－1）3C 103＝－120.∴（1＋x ＋x 2）（1－x ）10的展开式中x 5的系数为－252＋210－120＝－162.故选D.3.[2024陕西宝鸡金台区统考]若（x －1）n 的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（C）A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项解析由二项式定理可得展开式中第3项与第9项的二项式系数分别为C2和C8，即C2＝C8，解得n＝10.因此展开式中二项式系数最大的项为C105x5（－1）5，是第6项，故选C.4.[2024山东青岛一中统考]若（x＋）（x－1）5的展开式中常数项是10，则m＝（D）A.－2B.－1C.1D.2解析（x＋）（x－1）5＝x（x－1）5＋（x－1）5.（x－1）5的展开式的通项为T r＋1＝C5x5－r（－1）r＝C5·（－1）5－2.令5－2r＝－1，解得r＝3，则x（x－1）5的展开式的常数项为－C53＝－10，令5－2r＝1，解得r＝2，则（x－1）5的展开式的常数项为m C52＝10m.因为（x＋）（x－1）5的展开式中常数项是10，所以10m－10＝10，解得m＝2，故选D.5.[多选/2024青岛市检测]已知（2x－1）n的展开式中各二项式系数的和为256，则（ABD）A.n＝8B.展开式中x－2的系数为－448C.展开式中常数项为16D.展开式中所有项的系数和为1解析因为（2x－1）n的展开式中各二项式系数的和为256，所以2n＝256，解得n＝8，选项A正确；（2x－1）8的展开式的通项公式为T k＋1＝C8（2x）8－k·（－1）k＝（－1）k28－k C8x8－2k，令8－2k＝－2，解得k＝5，所以展开式中x－2的系数为（－1）5×23×C85＝－448，所以选项B 正确；令8－2k＝0，解得k＝4，所以展开式中常数项为（－1）4×24×C84＝1120，所以选项C错误；令x＝1，得（2x－1）8＝1，所以展开式中所有项的系数和为1，所以选项D正确.综上，选ABD.6.[多选/2024江苏连云港统考]已知（1－2x）6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则下列选项正确的是（AC）A.a0＝1B.a2＝120C.｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a6｜＝729D.a1＋a2＋…＋a5＝0解析选项分析过程正误A令x＝0，则1＝a0√B （1－2x）6展开式的通项为T r＋1＝C6（－2x）r＝C6·（－2）r x r，所以令r＝2可得a2＝C62（－2）2＝60✕C 当r＝1，3，5时，可得a1，a3，a5＜0，同理可得a0，a2，a4，a6＞0，所以令x＝－1，得36＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6，所以｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a6｜＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝36＝729√D 令r＝6，可得a6＝66（－2）6＝64，由A知a0＝1.令x＝1，则1＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6，所以a1＋a2＋…＋a5＝1－64－1＝－64✕7.二项式（2x2－14）6的展开式的中间项是－52x3.解析二项式展开式的通项为T k＋1＝C6（22）6－·（－14）k＝（－14）k26－k C6x12－3k，二项式展开式一共有7项，所以第4项为中间项，即k＝3，T4＝（－14）326－3·C63x12－3×3＝－52x3.8.[2024吉林一中、东北师大附中等校联考]（x2－x＋1）5的展开式中，x5的系数为−51.解析（x2－x＋1）5可以看作5个因式（x2－x＋1）相乘，要想得到含x5的项，可分三种情况：①5个因式中选2个因式取x2，1个因式取－x，2个因式取1；②5个因式中选1个因式取x2，3个因式取－x，1个因式取1；③5个因式中都取－x.所以展开式中含x5的项为C52·（x2）2·C31·（－x）·C22·12＋C51·x2·C43·（－x）3·1＋C55·（－x）5＝－51x5，所以x5的系数为－51.9.[2023湖北十堰6月统考]（2x＋11）10的展开式中系数最大的项是第10项.解析（2x＋11）10展开式的通项为T r＋1＝C10·（2x）10－r11r＝C10·210－r·11r·x10－r，由C10·210－·11≥C10－1·211－·11－1，C10·210－·11≥C10r1·29－·11r1，得10813≤r≤12113，因为r∈N，所以r＝9，故系数最大的项是第10项.10.S＝C271＋C272＋…＋C2727除以9的余数为7.解析依题意S＝C271＋C272＋…＋C2727＝227－1＝89－1＝（9－1）9－1＝C90×99－C91×98＋…＋C98×9－C99－1＝9×（C90×98－C91×97＋…＋C98）－2.∵C90×98－C91×97＋…＋C98是正整数，∴S被9除的余数为7.11.[开放题]写出一个正整数n，使得（12＋）n的展开式中存在常数项，则n可以是5（答案不唯一，n＝5k，k∈N*均可）.解析二项式（12＋）n的展开式的通项T r＋1＝C·（12）n－r·（）＝C·5－42，若该展开式中存在常数项，则方程5r－4n＝0有解，故可取n＝5，r＝4.12.若x8＝a0＋a1（x＋1）＋a2（x＋1）2＋…＋a8（x＋1）8，则a3＝－56.解析令x＋1＝t，则x＝t－1，所以x8＝a0＋a1（x＋1）＋a2（x＋1）2＋…＋a8（x＋1）8可转化为（t－1）8＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a8t8，即（1－t）8＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a8t8，所以a3＝－C83＝－56.13.（1＋x）2＋（1＋x）3＋…＋（1＋x）9的展开式中x2的系数是（D）A.60B.80C.84D.120＝x r，所以（1＋x）2＋（1＋x）3＋…＋（1＋解析因为（1＋x）n的展开式的通项T r＋1x）9的展开式中x2的系数是C22＋C32＋C42＋…＋C92＝C33＋C32＋C42＋…＋C92＝C43＋C42＋…＋C92＝C53＋C52＋…＋C92＝…＝C93＋C92＝C103＝10×9×83×2×1＝120（组合数性质C r1＝C＋C－1，n，m∈N*，且m≤n的应用）.14.[多选/2024湖南师范大学附中模拟]已知（a＋12）10（a＞0）的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中（BCD）A.奇数项的二项式系数和为256B.第6项的系数最大C.存在常数项D.有理项共有6项解析令x＝1，得（a＋1）10＝1024，则a＝1或a＝－3（舍去）.∴（＋12）10的展开＝（）10－r·（12）r＝－52.式的通项为T r＋1解析解法一（1－）6的展开式的通项为C6（－）m＝C6（－1）m2，1+4的展开式的通项为4（）n＝42，则（1－）6（1＋）4的展开式的通项为C6（－1）m C42＋2，其中m＝0，1，2，…，6，n＝0，1，2，3，4.令2＋2＝1，得m ＋n ＝2，于是（1－）6（1＋）4的展开式中x 的系数等于C 60·（－1）0·C 42＋C 61·（－1）1·C 41＋C 62·（－1）2·C 40＝－3.解法二（1－）6（1＋）4＝[（1－）（1＋）]4（1－）2＝（1－x ）4（1－2＋x ），于是（1－）6（1＋）4的展开式中x 的系数为C 40·1＋C 41·（－1）1·1＝－3.16.[2023成都模拟]（5－3x ＋2y ）n 展开式中不含y 的项的系数和为64，则展开式中的常数项为15625.解析（5－3x ＋2y ）n 展开式中不含y 的项，即展开式中y 的指数为0，即（5－3x ）n 的展开式，再令x ＝1，得（5－3x ＋2y ）n 展开式中不含y 的项的系数和为（5－3）n ＝64，∴n ＝6，由（5－3x ＋2y ）6＝[5－（3x －2y ）]6，得展开式中的常数项为C 60×56＝15625.17.[数学文化]“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发了一批又一批数学爱好者的探究欲望.如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（D）杨辉三角第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561第7行172135352171第8行18285670562881︙︙A.C 32＋C 42＋C 52＋…＋C 92＝120B.第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等C.记第n 行的第i 个数为a i ，则∑i=1r12i －1a i ＝4nD.第20行中第8个数与第9个数之比为8∶13解析根据题意，由“杨辉三角”可得，第n 行的第r 个数为C－1，由此分析选项.选项分析过程正误AC 32＋C 42＋…＋C 92＝C 33＋C 32＋C 42＋…＋C 92－1=C 103－1＝119✕B第2023行中从左往右第1013个数为C 20231012，第1014个数为C 20231013，两者不相等✕C记第n 行的第i 个数为a i ，则a i ＝C －1，则∑i=1r12i －1×a i ＝∑i=1r12i －1Ci －1×1n －i ＋1＝（1＋2）n＝3n✕D第20行中第8个数为C 207，第9个数为C 208，则两个数的比为C 207∶C 208＝20！7！×13！∶20！8！×12！＝8∶13√18.[综合创新/多选]设k ∈R 且k ≠0，n ≥2，n ∈N *，（1＋kx ）n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则（BC ）A.∑i=0a i ＝2nB.∑i=1a i ＝（1＋k ）n －1C.∑i=1ia i ＝nk （1＋k ）n －1D.∑i=2i 2a i ＝2n （n －1）k 2（1＋k ）n －2解析对于A ，在（1＋kx ）n ＝a0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n中令x ＝1，得∑i=0a i ＝（1＋k ）n ，故A 错误；对于B ，在（1＋kx ）n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n 中令x ＝0得a 0＝1，所以∑i=1a i ＝（1＋k ）n －1，故B 正确；对于C ，（1＋kx ）n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n 两边同时求导，得nk （1＋kx ）n －1＝a 1＋2a 2x＋…＋na n x n－1（*），令x ＝1得∑i=1ia i ＝nk （1＋k ）n －1，故C 正确；对于D ，（*）式两边同时求导得nk 2（n －1）（1＋kx ）n －2＝2a 2＋6a 3x ＋…＋n （n －1）a n x n －2，令x ＝1，得∑i=2i （i －1）a i ＝nk 2（n －1）（1＋k ）n －2，所以∑i=2i 2a i ＝∑i=2i （i －1）a i ＋∑i=2ia i ＝nk 2（n －1）（1＋k ）n －2＋nk （1＋k ）n －1－a 1＝nk （nk ＋1）（1＋k ）n －2－k ，（由对B 的分析得a 1＝k ）故D 不正确.综上所述，故选BC.。
高考数学复习知识点讲解教案第60讲 二项式定理
[解析] 设，则由题意得，解得 .
3.［教材改编］ 已知 的展开式中各二项式系数的和为128，则展开式中 的系数是______.
672
[解析] 由题意得，则 ，则展开式的通项为，令，可得 ，所以展开式中的系数为 .
题组二 常错题
◆ 索引：对二项展开式的特点把握不准;不理解常数项、有理项等需满选B.
[总结反思]求几个多项式和的展开式中的特定项（系数），先分别求出每一个多项式的展开式中的特定项,再合并即可.
变式题 已知 ，则 的值为_____.
[解析] 令，可得，令 ，可得①，令 ，则②，所以① ②可得，所以 ，即 .
角度2 几个多项式积的展开式中的特定项（系数）问题
C
A.4 B. C. D.60
[解析] ，其展开式的通项为，令，可得，其中 的展开式的通项为，令，得 ，所以，故的系数为 .故选C.
（2） [2023·湖南郴州模拟] 若的展开式中 的系数为3，则 _ ___.
[解析] ，其展开式的通项为,,,, ,令，则,或, ，所以，即，因为，所以 .
和
[解析] 由题意知, 的展开式的通项为,,1,2, ,8,令,得 或8,所以,,故有理项是和 .
探究点二 二项式系数与各项的系数问题
角度1 二项式系数
例2（1） 已知 的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中 的系数为( )
B
A. B.84 C. D.560
[解析] 因为的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，所以 ，则的展开式的通项为，令 ，则展开式中的系数为 .故选B.
变式题（1） 已知 ，则 ( )
D
A.30 B. C.17 D.
[解析] 根据二项式定理得，所以 ，，则 ，所以 .故选D.
河北省二十冶综合学校高考数学总复习 二项式定理教案
河北省二十冶综合学校高中分校高考数学总复习 二项式定理教案教学目标：掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，能解决二项展开式有关的简单问题教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用教学过程：一、复习引入：⑴22202122222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++；⑵33223031222333333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++⑶4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++= 。
二、讲解新课：⑴()n a b +的展开式的各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项：n a ，n a b ，…，n r r a b -，…，n b ，⑵展开式各项的系数：每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，n a 的系数是0n C ；恰有1个取b 的情况有1n C 种，n a b 的系数是1n C ，……，恰有r 个取b 的情况有r n C 种，n r r ab -的系数是r n C ，……， 有n 都取b 的情况有n n C 种，n b 的系数是n n C ，∴二项式定理： 。
这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()n a b +的 ，⑶它有 项，各项的系数(0,1,)r n C r n =叫 ，⑷ 叫二项展开式的通项，用 表示，即通项 ．⑸二项式定理中，设1,a b x ==，则 。
三、讲解范例：例1．展开41(1)x +．例2．求12()x a +的展开式中的倒数第4项例3．（1）求9(3x 的展开式常数项；展示一，展开6展示二．课本37页4题（1）（2）展示三，课本37页4题（3）（4）展示四．（1）求7(12)x +的展开式的第4项的系数；（2）求91()x x -的展开式中3x 的系数及二项式系数 展示五，课本37页5题（1）展示六，课本37页5题（2）。
高考高三数学总复习教案：二项式定理
第十一章计数原理、随机变量及分布列第３课时二项式定理（对应学生用书（理）１69～１70页）考情分析考点新知近几年高考二项式定理在理科加试部分考查，以后高考将会考查学生应用基础知识、解决实际问题的能力，难度将不太大．１能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项式定理有关的简单问题.２会用二项展开式以及展开式的通项，特别要注意有关二项式系数与项的系数的区别.１．（选修２３P３２练习５改编）在（x—错误!）１0的展开式中，x6的系数是________．答案：１890解析：T r＋１＝C错误!x１0—r（—错误!）r，令１0—r＝6，r＝４，T５＝9C错误!x6＝１890x6.２．（选修２３P３２练习6改编）错误!１２的展开式的常数项是________．答案：４9５解析：展开式中，T r＋１＝C错误!x１２—r·错误!r＝（—１）r C错误!x１２—３r，当r＝４时，T５＝C错误!＝４9５为常数项．３．（选修２３P３５习题２改编）若C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝３6３，则自然数n＝________．答案：１３解析：C错误!＋C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝３6３＋１，C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝３6４，C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝…＝C错误!＝３6４，n＝１３．４．（选修２３P３6习题１２改编）已知（１—２x）7＝a0＋a１x＋a２x２＋…＋a7x7，那么a１＋a２＋…＋a7＝________．答案：—２解析：设f（x）＝（１—２x）7，令x＝１，得a0＋a１＋a２＋…＋a7＝（１—２）7＝—１，令x＝0，得a0＝１，a１＋a２＋…＋a7＝—１—a0＝—２．５．（选修２３P３５习题１0改编）在（x＋y）n的展开式中，若第七项系数最大，则n的值可能为________．答案：１１，１２，１３解析：分三种情况：１若仅T7系数最大，则共有１３项，n＝１２；２若T7与T6系数相等且最大，则共有１２项，n＝１１；３若T7与T8系数相等且最大，则共有１４项，n＝１３，所以n的值可能等于１１，１２，１３．１．二项式定理（a＋b）n＝C错误!a n＋C错误!a n—１b＋…＋C错误!a n—r b r＋…＋C错误!b n（n∈N）．这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a＋b）n的二项展开式，其中的系数C错误!（r＝0，１，２，…，n）叫做第r＋１项的二项式系数．式中的C错误!a n—r b r叫做二项式展开式的第r＋１项（通项），用T r＋１表示，即展开式的第r＋１项；T r＋１＝C错误!a n—r b r．２．二项展开式形式上的特点（１）项数为n＋１.（２）各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.（３）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减１直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增１直到n.（４）C错误!，C错误!，一直到C错误!，C错误!.３．二项式系数的性质（１）在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等．（２）如果二项式的幂指数是偶数，中间项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．（３）二项式系数的和等于２n，即C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝２n.（４）二项式展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，C错误!＋C错误!＋…＝C错误!＋C错误!＋…＝２n—１．[备课札记]题型１二项式展开式的特定项例１如果错误!错误!的展开式中，第四项和第七项的二项式系数相等，求：（１）展开式的中间项；（２）错误!错误!展开式中所有的有理项．解：（１）错误!错误!展开式中，第四项和第七项的二项式系数分别是C错误!，C错误!，由C错误!＝C错误!，得n＝9，所以错误!错误!展开式的中间项为第５项和第6项，即T５＝（—１）４C错误!（x—３）４（x２）５＝错误!，T6＝（—１）５C错误!（x—３）５（x２）４＝—错误!.（２）通项为T r＋１＝C错误!（错误!）8—r错误!错误!＝错误!错误!C错误!x错误!（r＝0，１，２，…，8），为使T r＋１为有理项，必须r是４的倍数，所以r＝0，４，8，共有三个有理项，分别是T１＝错误!错误! C错误!x４＝x４，T５＝错误!错误!C错误!x＝错误!x，T9＝错误!错误!C错误!x—２＝错误!.错误!（１）若（１＋x）n的展开式中，x３的系数是x的系数的7倍，求n；（２）已知（ax＋１）7（a≠0）的展开式中，x３的系数是x２的系数与x４的系数的等差中项，求a；（３）已知（２x＋x lgx）8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于１１２0，求x.解：（１）C错误!＝7C错误!，错误!＝7n，即n２—３n—４0＝0．由n∈N*，得n＝8．（２）C错误!a２＋C错误!a４＝２C错误!a３，２１a２＋３５a４＝70a３，a≠0，得５a２—１0a＋３＝0a＝１±错误!.（３）C错误!（２x）４（x lgx）４＝１１２0，x４（１＋lgx）＝１，所以x＝１，或lgx＝—１，x＝错误!.题型２二项式系数例２已知（x错误!＋３x２）n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大99２，求：（１）展开式中二项式系数最大的项；（２）展开式中系数最大的项．解：令x＝１，则展开式中各项系数和为（１＋３）n＝２２n.又展开式中二项式系数和为２n，∴２２n—２n＝99２，n＝５．（１）∵ n＝５，展开式共6项，二项式系数最大的项为第３、４两项，∴T３＝C错误!（x错误!）３（３x２）２＝90x6，T４＝C错误!（x错误!）２（３x２）３＝２70x错误!.（２）设展开式中第r＋１项系数最大，则T r＋１＝C错误!（x错误!）５—r（３x２）r＝３r C错误!x错误!，∴错误!错误!≤r≤错误!，∴r＝４，即展开式中第５项系数最大，T５＝C错误!（x错误!）（３x２）４＝４0５x错误!.错误!已知错误!错误!的展开式中前三项的系数成等差数列．设错误!错误!＝a0＋a１x＋a２x２＋…＋a n x n.求：（１）a５的值；（２）a0—a１＋a２—a３＋…＋（—１）n a n的值；（３）a i（i＝0，１，２，…，n）的最大值．解：（１）由题设，得C错误!＋错误!×C错误!＝２×错误!×C错误!，即n２—9n＋8＝0，解得n＝8，n＝１（舍）．T r＋１＝C错误!x8—r错误!错误!，令8—r＝５r＝３，所以a５＝7．（２）在等式的两边取x＝—１，得a0—a１＋a２—a３＋…＋a8＝错误! .（３）设第r＋１的系数最大，则错误!即错误!解得r＝２或r＝３．所以a i系数最大值为7．题型３二项式定理的综合应用例３已知错误!n展开式中的二项式系数的和比（３a＋２b）7展开式的二项式系数的和大１２8，求错误!n展开式中的系数最大的项和系数最小的项．解：２n—２7＝１２8，n＝8，错误!8的通项T r＋１＝C错误!（x２）8—r错误!r＝（—１）r C错误!x１6—３r，当r＝４时，展开式中的系数最大，即T５＝70x４为展开式中的系数最大的项；当r＝３，或５时，展开式中的系数最小，即T４＝—５6x7，T6＝—５6x为展开式中的系数最小的项．错误!已知（２—错误!x）５0＝a0＋a１x＋a２x２＋…＋a５0x５0，其中a0，a１，a２…，a５0是常数，计算（a0＋a２＋a４＋…＋a５0）２—（a１＋a３＋a５＋…＋a４9）２.解：设f（x）＝（２—错误!x）５0，令x＝１，得a0＋a１＋a２＋…＋a５0＝（２—错误!）５0，令x＝—１，得a0—a１＋a２—…＋a５0＝（２＋错误!）５0，（a0＋a２＋a４＋…＋a５0）２—（a１＋a３＋a５＋…＋a４9）２＝（a0＋a１＋a２＋…＋a５0）（a0—a１＋a２—…＋a５0）＝（２—错误!）５0（２＋错误!）５0＝１．１．（２0１３·新课标Ⅱ）已知（１＋ax）（１＋x）５的展开式中x２的系数为５，则a＝________．答案：—１解析：已知（１＋ax）（１＋x）５的展开式中x２的系数为C错误!＋a·C错误!＝５，解得a＝—１．２．（２0１３·天津理）错误!6的二项展开式中的常数项为________．答案：１５解析：展开式的通项公式为T k＋１＝C错误!x6—k·错误!k＝C错误!x6—错误!k（—１）k.由6—错误!k＝0，得k＝４．所以常数项为T４＋１＝C错误!（—１）４＝１５．３．（２0１３·大纲版理）（１＋x）３（１＋y）４的展开式中x２y２的系数是________．答案：１8解析：（x＋１）３的展开式的通项为T r＋１＝C错误!x r，令r＝２得到展开式中x２的系数是C错误!＝３．（１＋y）４的展开式的通项为T r＋１＝C错误!y r，令r＝２得到展开式中y２的系数是C错误!＝6，（１＋x）３（１＋y）４的展开式中x２y２的系数是３×6＝１8．４．（２0１３·辽宁理）使得错误!n（n∈N＋）的展开式中含有的常数项最小的n为________．答案：５解析：展开式的通项公式为T k＋１＝C错误!（３x）n—k·错误!k＝C错误!３n—k xn—错误!.由n—错误!＝0，得n＝错误!，所以当k＝２时，n有最小值５．１．若n是奇数，则7n＋C错误!7n—１＋C错误!7n—２＋…＋C错误!7被9除的余数是________．答案：7解析：原式＝（7＋１）n—１＝（9—１）n—１＝9k—２＝9k′＋7（k和k′均为正整数）．２．0．99１５的近似值是___________．（精确到0．00１）答案：0．9５6解析：0．99１５＝（１—0．009）５＝１—５×0．009＋１0×（0．009）２—…≈１—0．0４５＋0．000 8１≈0．9５6．３．用二次项定理证明３２n＋２—8n—9能被6４整除（n∈N）．证明：３２n＋２—8n—9＝9n＋１—8n—9＝（8＋１）n＋１—8n—9＝C错误!8n＋１＋C错误!8n＋…＋C错误!8２＋C错误!8＋C错误!—8n—9＝6４（C错误!8n—１＋C错误!8n—２＋…＋C错误!）＋8（n＋１）＋１—8n—9＝M×6４（记M＝C错误!8n—１＋C错误!8n—２＋…＋C错误!）．∵M为整数，∴6４M能被6４整除．４．（１）在（１＋x）n的展开式中，若第３项与第6项系数相等，则n等于多少？（２）错误!错误!的展开式奇数项的二项式系数之和为１２8，求展开式中二项式系数最大项．解：（１）由已知得C错误!＝C错误!n＝7．（２）由已知得C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＝１２8，２n—１＝１２8，n＝8，而展开式中二项式系数最大项是T４＋１＝C错误!（x错误!）４错误!错误!＝70x４错误!.一般地，对于多项式g（x）＝（px＋q）n＝a0＋a１x＋a２x２＋…＋a n x n，则有：（１）g（x）的常数项的系数为g（0）；（２）g（x）的各项的系数和为g（１）；（３）g（x）的奇数项的系数和为错误![g（１）＋g（—１）]；（４）g（x）的偶数项的系数和为错误![g（１）—g（—１）]．错误![备课札记]。
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河北省二十冶综合学校高中分校高考数学总复习 二项式定理
教案
教学目标：掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，能解决二项展开式有关的简单问题
教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用
教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用
教学过程：一、复习引入：
⑴22202122
222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++；
⑵33223031222333333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++ ⑶
4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++= 。
二、讲解新课：
⑴()n
a b +的展开式的各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项： n a ，n a b ，…，n r r a b -，…，n b ，
⑵展开式各项的系数：
每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，n a 的系数是0n C ；
恰有1个取b 的情况有1n C 种，n a b 的系数是1
n C ，……，
恰有r 个取b 的情况有r n C 种，n r r a
b -的系数是r n C ，……， 有n 都取b 的情况有n n C 种，n
b 的系数是n n C ，
∴二项式定
理： 。
这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()n a b +的 ，⑶它有 项，各项的系数(0,1,)
r n C r n =叫 ，
⑷ 叫二项展开式的通项，用 表示，即通
项 ．
⑸二项式定理中，设1,a b x ==，
则 。
三、讲解范例：
例1．展开4
1
(1)x +． 例2．求12
()x a +的展开式中的倒数第4项
例3．（1）求9(
3x
+的展开式常数项；
展示一，展开6
展示二．课本37页4题（1）（2）
展示三，课本37页4题（3）（4）
展示四．（1）求7
(12)x +的展开式的第4项的系数； （2）求91
()x x -的展开式中3
x 的系数及二项式系数 展示五，课本37页5题（1）
展示六，课本37页5题（2）。