六年级数学第二讲
六年级上册数学讲义-小升初培优：第02讲 复杂行程问题(二)火车过桥问题(解析版)全国通用
第二讲复杂行程问题（二）火车过桥问题1、理解火车过桥行程问题的概念，掌握火车过桥问题中的基本数量关系；2、学会解答火车过桥问题以及相关问题的变形，提高学员分析、解决问题的能力；3、通过不同类型的行程问题的学习，培养学员学习数学的兴趣。
火车在行驶中，经常发生过桥、通过隧道、两车对开、错车、快车超越慢车等情况，通常，在行程问题中所涉及的运动物体（人或者车）是不考虑它本身长度的，可是考虑火车的行程问题时，因为一列火车有百米以上的长度，所以在解答问题时，火车本身的长度是不能忽略不计的。
因此，火车过桥是指“全车通过”，即从车头上桥直到车尾离桥才算“全车过桥”。
列车过桥的总路程是桥长加车长，这是解决过桥问题的关键。
过桥问题也要用到一般行程问题的基本数量关系：1、过桥的路程＝桥长＋车长2、车速＝（桥长＋车长）÷过桥时间3、通过桥的时间＝（桥长＋车长）÷车速4、桥长＝车速×过桥时间－车长5、车长＝车速×过桥时间－桥长对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行。
长150米的火车以18米/秒的速度穿越一条300米的隧道。
问：火车穿越隧道（进入隧道直至完全离开）要多长时间？【解析】火车穿越隧道经过的路程为300＋150＝450（米），已知火车的速度，那么火车穿越隧道所需时间为450÷18＝25（秒）。
解答：火车穿过隧道要25秒。
一列火车长180米，每秒行20米；另一列火车长200米，每秒行18米。
两车相向而行，它们从车头相遇到车尾相离要经过多少时间？【解析】两车相向而行，它们从车头相遇到车尾相离走过的距离为两个车的车长，速度为两车的速度之和，它们从车头相遇到车尾相离要经过（200＋180）÷（20＋18）＝10秒。
解答：车相向而行，它们从车头相遇到车尾相离要经过10秒。
甲火车长370米，每秒行15米；乙火车长350米，每秒行21米。
第二讲 正比例反比例(讲义)人教版六年级下册数学
第2讲 正比例反比例思维启航一、训练目标知识传递：学习与比例相关的分数问题，理解相关联的量。
能力强化：分析能力、综合能力、推算能力。
思想方法：假设思想、比较思想、对比思想。
二、知识与方法归纳1.正比例（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两个量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
（2）如果用x 和y 表示两种相关联的量，用k 表示它们的比值（一定），正比例关系用字母表示为： yx =k （一定） 三个要素：第一：两种相关联的量；第二：其中一个量增加，另一个量也增加；一个量减少，另一个量也减少；第三：两个量的比值一定。
2.反比例（1）成反比例的量 ：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种 量中相对应的两个数的积一定， 这两种量就叫做成反比例的量， 它们的关系叫做反比例关系。
用字母表示。
如果用字母 X 和 Y 表示两种相关联的量，用 K 表示它们的乘积（一定），反比例关系的式子可以表示为 X•Y=K（一定）（2）生活中还有哪些成反比例的量？举例①大米的质量一定，每袋质量和袋数成反比例。
②教室地板面积一定，每块地砖的面积和块数成反比例。
③长方形的面积一定，长和宽成反比例。
思维进阶例1.汽车原计划速度以每小时40千米的速度开往目的地，实际汽车的速度为每小时50千米，结果汽车比原计划早到1个小时，原计划所花时间是多少小时？例2.甲、乙两只蚂蚁同时从A点出发，沿长方形的边爬去，结果在距B点2厘米的C点相遇，已知乙蚂蚁的速度是甲的1.2倍，这个长方形的周长是多少厘米？思维训练1.一辆客车从甲城开往乙城需10小时，另一辆货车从乙城开往甲城需15小时，两车同时出发相向而行。
相遇时，货车比客车少行100千米，甲、乙两城间的距离是多少千米？例3.甲乙两车从AB 两地同时出发，保持各自的速度，相向而行，当甲车行了全程的51时，乙车行了全程的41多10千米；当甲车行到全程的53时，乙车超过中点80千米，AB 两地全程是多少千米？例4.一辆汽车从甲地开往乙地，若车速提高20%，可提前25分钟到达；若以原速行驶100千米，再将车速提高25%，可提前10分钟到达。
六年级上册数学讲义小升初培优第02讲取整和二进制解析版全国通用
第二讲取整和二进制1、学会取整数和取小数的表示方法；2、了解二进制的运用；3、培养学员在寻找正确解题方法的同时，不断地开拓解题思路。
掌握取整符号“[ ]”与取小数部分符号“{ }”的定义和基本性质。
一般说来，任何一个二进位制数，就是各位数码与2的幂次方的乘积的和，其中幂指数等于相应数码所在位数（从右往左数）减1。
二进制数改写成十进制数，只需将二进制数改写成各个数位上的数码与计数单位的积的和的形式，然后再计算出来就可以了。
二进制加减法与十进制加减法相似，区别在于十进制“满十进一”“借一当十”，二进制是“满二进一”“借一当二”。
二进制乘法：1乘任何数仍得原数，0乘任何数都得零。
二进制除法也有能整除和不能整除两种情况。
取整数部分和取小数部分计算：2525[27]{27}[3.14]{3.14}2626⨯-⨯+⨯【解析】2525[27]{27}[3.14]{3.14}26262525[25]{25}30.142626252530.142614924325⨯-⨯+⨯=-+⨯=-+⨯=把（173）10转换为二进制数。
【解析】十进制数转化成二进制数，将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可。
173÷2＝86...1；86÷2＝43...0；43÷2＝21...1；21÷2＝10...1；10÷2＝5...0；5÷2＝2...1；2÷2＝1...0；1÷2＝0 (1)故（173）10＝（10101101）2。
讲演者：得分：讲演者：得分：计算（结果用π表示）：（1）{{π}＋π}＋{[π]＋π}＋[{π}＋π]＋[[π]＋π]；（2）[10－2π]＋[π]×{π}。
【解析】由于[π]＝3，{π}＝π－3，将这两个算式代入计算即可。
解答：（1）3π；（2）3π－6。
计算：23123223392340[][]...[][]41414141⨯⨯⨯⨯++++【解析】我们将式子首位配对，231234023123402312340[][]({}{})23122414141414141⨯⨯⨯⨯⨯⨯+=+-+=-=。
数学六年级第2讲-素数与合数
辅导讲义➢知识点回顾：1．一个正整数，如果只有____ _和____ _两个因数，这样的数叫做素数，也叫做____ _；如果___________________________，这样的数叫做合数。
2．___________既不是素数也不是合数。
3．每个合数都可以写成几个____ _相乘的形式，其中每个____ _都是这个合数的____ _，叫做这个合数的____ _。
4．把一个合数用____ _相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。
5．既是奇数又是合数的最小的正整数是________，最小的奇数素数是____ _；既是偶数又是素数的数________；最小的偶合数是____ _；➢案例1：下面有一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1-56号，再将号码中的素数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．➢案例2：关于素数的猜想：由于人们对素数的着迷，所以自古以来提出了各种各样的猜想，其中最著名的是哥德巴赫猜想：1742年6月7日哥德巴赫提出下列猜想：“所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和。
”用如下形式表示：4＝2＋2；6＝3＋3；8＝3＋5；10＝3＋7＝5＋5；12＝5＋7；14＝3＋11＝7＋7；关于这个猜想至今270多年还没有人给出严格的证明！请写成两个素数的和为100的素数对。
知识点1、质数与合数概率质数（素数）：一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做质数，也叫素数。
如：2、3、5、7、11、13、17、19等。
合数：一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
如：4、6、8、9、10等。
注：（1）1不是质数也不是合数，2是最小的质数。
（2）正整数又可以分为1、素数和合数三类。
100以内的素数表：2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 4143 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97【例题1】（1）两个素数的和是39，这两个素数的差是多少？（2）三个互不相同的素数相加，和为40，这三个素数分别是多少？（3）有四个数，一个是最小的奇素数，一个是最小的偶素数，一个是小于30的最大素数，另一个是大于70的最小素数，求他们的和。
第2讲 分数混合运算-六年级上册数学讲义(思维导图+知识梳理+例题精讲+易错专练)北师大版(含答案)
第2讲分数混合运算（思维导图+知识梳理+典型精讲+易错专练）一、思维导图二、知识点梳理知识点一：分数混合运算(一)1.分数混合运算的运算顺序与整数混合运算的运算顺序相同，没有括号的，按从左到右的顺序计算;有括号的，要先算括号里面的，再算括号外面的。
2.“连续求一个数的几分之几是多少”的解题方法:依据分数乘法的意义，用这个数连续乘几分之几。
知识点二：分数混合运算(二)1.“已知一个数比另一个数多(或少)几分之几，求这个数”(1)先根据分数乘法的意义，求出多(或少)的几分之几是多少，再用加(或减)法求这个数;(2)先求出另一个数占单位“1”的几分之几，再根据分数乘法的意义，用乘法计算。
2.“已知总量及一部分量占总量的几分之几，求另一部分量”(1)总量-总量×已知部分量占总量的分率=另一部分量;(2)总量×(1-已知部分量占总量的分率)=另一部分量。
知识点三：分数混合运算(三)1.“已知比一个数多(或少)几分之几的数是多少，求这个数”(1)先求比这个数多(或少)的数占这个数(即单位“1”)的几分之几，再根据分数乘法的意义列方程解答;(2)先求出比这个数(即单位“1”)多(或少)的几分之几是多少，再根据加减关系列方程解答。
2.“已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量”把总量看作单位“1”，可以根据“总量×(1-已知部分量占总量的分率)=另一部分量”列方程解答;也可以根据“总量-总量×已知部分量占总量的分率=另一部分量”列方程解答。
三、典型精讲考点一：分数连乘【典型一】一桶油净重100千克，用去这桶油的以后，又买来这时桶里油的加进桶中，现在桶里还有90千克油．【分析】把油桶内原来油的质量看作单位“1”，用去这桶油的以后，剩下的占原来的（1），再油桶里剩下油的质量看作单位“1”，又买来这时桶里油的加进桶中，根据一个数乘分数的意义，用乘法解答．【解答】解：100×（1）+100×（1）×＝100×+100×＝60+30＝90（千克）答：现在桶里还有90千克油．故答案为：90．【典型二】工程队要修一段400米长的路，第一天修了全长的15，第二天修的是第一天的34，第二天修了多少米？【分析】根据“第一天修了全长的15，第二天修的是第一天的34”可得：第一天修的长度＝全长×1 5，第二天修的长度＝第一天修的长度×34，代入数据计算即可。
人教版小学六年级上册数学精品讲义第2讲 位置和方向(二)(思维导图+知识梳理+例题精讲+易错专练)
第2讲位置和方向（二）（思维导图+知识梳理+典型精讲+易错专练）一、思维导图二、知识点梳理知识点一：用方向和距离确定物体的位置1、确定物体的位置时，要先找观测点，再用方向和距离两个要素来确定，两个要素缺一不可。
2、先确定（中心或观测点），然后确定（方向），再以图例选定的单位长度为基准来确定（距离）；最后在具体位置标出（名称）。
知识点二：描述路线图1、描述路线时的要素：起点在哪，终点在哪，沿着什么方向，移动多少距离。
2、描述路线时，除起点和终点外的点，既是上一段的终点，又是下一段的起点。
三、典型精讲考点一：确定物体的位置【典型一】以学校为观测点，乐乐家在北偏西30°方向，笑笑家在南偏东30°方向，乐乐家、学校、笑笑家的位置在同一条直线上。
√（判断对错）【分析】根据图上确定方向的方法：上北下南、左西右东，分别画出乐乐家和笑笑家的大体位置，判断即可。
【解答】解：如图：以学校为观测点，乐乐家在北偏西30°方向，笑笑家在南偏东30°方向，乐乐家、学校、笑笑家的位置在同一条直线上。
原题说法正确。
故答案为：√。
【典型二】如图是第一小学附近区域的平面图．先量一量，再填一填．（1）图书馆在第一小学偏°方向米处．（2）电影院在第一小学偏°方向米处．【分析】（1）根据平面图上方向的辨别“上北下南，左西右东”，以第一小学的位置为观测点即即可确定图书馆的大致方向，再用量角器量出所偏的度数；用刻度尺量出两地的图上距离，再根据图中所标注的线段比例尺即可求出两地的实际距离．（2）同理，以第一小学的位置为观测点即即可确定电影院的大致方向，再用量角器量出所偏的度数；用刻度尺量出两地的图上距离，再根据图中所标注的线段比例尺即可求出两地的实际距离．【解答】（1）量得图书馆在第一小学东偏北45°方向，两地的图上距离是2.5厘米2.5×500＝1250（米）答：图书馆在第一小学东偏北45°方向1250米处．（2）量得电影院在第一小学西偏南30°方向，两地的图上距离是4厘米500×4＝2000（米）答：电影院在第一小学西偏南30°方向2000米处．故答案为：东，北，45，1250；西，南，30，2000．考点二：描述路线图【典型一】小企鹅迷路了，你能告诉它回家的路吗？它应该向偏的方向走，再向走，就可以到家了．【分析】根据平面图上方向的规定：上北下南，左西右东，以小企鹅现在的位置为观测点，向西偏北的方向走30米，再向正西方向走50米即可以吃到萝卜．【解答】它应该向东偏北10°的方向走500m，再向正北走80m，就可以到家了．故答案为：东，北10°，500m，正北，80m．【典型二】根据路线图信息，请写出小兔去小熊家所走的路线。
人教版六年级数学讲义第二讲：分数乘法(下)
第二讲：分数乘法（下）应用题专讲：在解这类问题时，通常将标准量设为单位1，即 单位1对应的量，分析题中的数量关系，找出“量”与“率”之间的对应关系。
通过找“关键句”，找单位“l ”，画线段图，列出相应的数量关系分析推理，使隐蔽的事件件明朗化，复杂的关系简单化，充分进行思维的发散，不局限于1某一种解题方法。
一、“量”与“率”的混淆校有杉树多少棵？练习1.六年级同学给灾区捐款。
六(1)班捐了500元，六(2)班捐的是六(1)班的54,六(3)班捐的是六(2)班的89，六( 3)班捐款多少元？练习2.学校举行跳绳比赛，李红每分钟跳168下，是陈亮的87。
王伟跳的是陈亮的32。
王伟每分钟跳了多少下？练习3.某家电商城运来1000台冰箱，第一天卖出41，第二天比第一天多卖出了51，两天一共卖出冰箱多少台？四、巧妙的统一单位:“1”【例4-1】.一条路长1200米，第一天修了全长的31：第二天修了第一天的43。
第一天修了多少米？第二天修了全长的几分之几？ 第二天修了多少米？51第二天看了余下的25 ，练习5.甲、乙、丙三辆卡车一起运一批肥料，要求一次运走。
甲车运了全部的31，乙车运了余下的85。
丙车运的占这批肥料的几分之几？五、常考易错题【例5-1】一辆自行车原价380元。
商场搞活动降价51，这辆自行车现价多少元？练习1：一件衣服原价是250元，搞活动便宜了41，这件衣服现价多少元？8151洒练习2.六(4)班有48人，预订《少年报》和《语文报》这两种刊物，每个人都至少订了其中的一种，已知有32的同学订了《少年报》，有43的同学订了《语文报》，两种刊物都订的同学有多少人？过关练习1. 丁丁的体重比豆豆轻83，豆豆的体重是42千克，丁丁的体重是多少千克？2.玉兔号月球车的长是150 cm ，宽是长的32，高是宽的1011。
玉兔号月球车的高是多少厘米？3.一本书共120页，天天第一天看了1，第二天看了总页数的1，第三天从哪一页看起？4. 5.了6.8.有419.某家电商城运来1000台冰箱，第一天卖出41，第二天比第一天多卖出了51，两天一共卖出冰箱多少台？附加题：甲、乙两车从A 、B 两地同时相对开出，经过8小时相遇。
人教版六年级数学上册知识梳理和练习第2讲 位置与方向(二)
第2讲位置与方向（二）位置与方向根据平面示意图，用方向和距离描述某个点的位置。
根据方向和距离的描述，在图上确定某个点的位置。
描述简单的路线图。
知识点一：描述物体的位置1. 确定物体位置的两个条件：方向和距离。
2. 根据方向和距离确定物体位置的方法(1)确定好方向并用量角器测量出被测点方位的角度。
(2)确定好图上距离，结合单位长度计算出实际距离。
(3)根据方向和距离准确判断或描述被测物体的位置。
知识点二：标出物体的位置方法步骤：1.确定方向；2.量出角度；3.选好单位长度；4.确定距离；5.画出物体的位置；6.标出名称。
知识点三：描述路线图描述路线图时，要先按行走路线确定每一个观测点，然后以每一个观测点为参照物，描述到下一个目标所行走的方向和距离，即每一步都要说清起点在哪，沿着什么方向走了多远的路程，终点在哪。
考点一：描述物体的位置【例1】（1）在上面的图中，按照要求表示出各建筑物的位置，少年宫在小明家南偏东60°方向500米处，学校在小明家北偏西45°方向600米处．（2）在图上分别量出青少年活动中心的长和宽（精确到整厘米），并计算出它的实际占地面积．1．根据如图解答．（1）学校在图书馆南偏西60°方向800米的地方，在图中把学校的位置画出来．（2）如果在图书馆有人向你问“医院在哪里？”你的正确回答应该是：医院在图书馆的偏（）°方向米的地方．（测量时按整厘米算）2．小小设计师．体育馆的北面是东东家，体育馆的南面是圆圆家，体育馆的东面是乐乐家，体育馆的西面是灰灰家．在图中填一填．3．看图标位置．根据描述，把各场所的名称填在合适的括号里．学校在车站正北方向．邮局在车站正西方向．商场在车站北偏东45°．少年宫在车站北偏西72°．医院在车站南偏西33°．一中在车站南偏东60°．考点二：标出物体的位置【例2】以小明家为观测点。
六年级数学第二讲讲义
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知识素材1
许多和爱豆周末去采摘樱桃，他们刚回到家。 爱豆瘫在沙发上说：“累死我了！外面的天气真是太热了！许多，你 摘了多少樱桃啊？” 许多数了数说：“我就摘了20颗，比你多了14吧。” 爱豆嘲笑许多说：“哈哈哈！这么算，我摘了15颗，但是我实际上摘 的可不止这些啊。你说错了吧，许多！” 许多无奈地摇了摇头：“爱豆啊，你可得好好学习数学了。”
2 5
，捏一个猪八戒需要多少克面团？
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知识素材2
许多看着桌子上的樱桃，突然坏坏一笑。 他跟爱豆说：“爱豆！你看咱们樱桃大小不一，为了公平，咱们稍微均衡 一下。我给你我樱桃的12，你再给我你樱桃的12，不许挑，怎么样？” 爱豆心想：好像挺合理的，于是就答应了许多。过了一会，客厅里响起了 爱豆的咆哮声。 同学们，你们知道爱豆为什么咆哮吗？
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知识总结
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See you tomorrow~
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爱豆错在了________，他实际上采摘了________颗樱桃。
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例题1
摩托车每小时行驶 50千米，汽车每小时比它多行驶35，汽车每小时行 驶_________千米。
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互动1
王奶奶喜欢捏小面人，捏一个孙悟空要用250 克面团，捏一个猪八
戒需要的面团比捏一个孙悟空多
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例题2
一副围棋 39元，一副中国象棋的价格是围棋的193 ，一副陆战棋的 价格是中国象棋的13 ，一副陆战棋________元钱。
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互动2
一个养鸡场有小鸡3600只，养的母鸡数量是小鸡的89 ，养的公鸡数量 是母鸡的116 ，养鸡场有公鸡________只。
六年级数学第二讲：浓度问题(二)
第八章：浓度问题第二讲：浓度问题（二）【课标导航】【知识梳理】一、浓度问题中的基本量溶质：通常为盐水中的“盐”，糖水中的“糖”，酒精溶液中的“酒精”等溶剂：一般为水，部分题目中也会出现煤油等溶液：溶质和溶液的混合液体。
浓度：溶质质量与溶液质量的比值。
二、几个基本量之间的运算关系1、溶液=溶质+溶剂2、=100%=100%+⨯⨯溶质溶质浓度溶液溶质溶液三、解浓度问题的一般方法1、寻找溶液配比前后的不变量，依靠不变量建立等量关系列方程2、十字交叉法：(甲溶液浓度大于乙溶液浓度)形象表达：A B =甲溶液质量乙溶液质量B A =甲溶液与混合溶液的浓度差混合溶液与乙溶液的浓度差注：十字交叉法在浓度问题中的运用也称之为浓度三角，浓度三角与十字交叉法实质上是相同的．浓度三角的表示方法如下：::乙溶液质量甲溶液质量z-y x-zy %浓度x 混合浓度z%3、列方程解应用题也是解决浓度问题的重要方法．【经典例题】（二）两种溶液混合多次【例1】甲容器中有纯酒精11升，乙容器中有水15升，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合。
第二次将乙容器中的混合液倒入甲容器。
这样甲容器中纯酒精含量为62.5％，乙容器中纯酒精的含量为40％。
那么第二次从乙容器中倒入甲容器的混合液是多少升？【变式1-1】甲杯中有纯酒精12克，乙杯中有水15克，第一次将甲杯中的部分纯酒精倒入乙杯，使酒精与水混合．第二次将乙杯中的部分混合溶液倒入甲杯，这样甲杯中纯酒精含量为50%，乙杯中纯酒精含量为25%．问第二次从乙杯倒入甲杯的混合溶液是多少克？【变式1-2】甲容器中有纯酒精11立方分米，乙容器中有水15立方分米．第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合；第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器．这样甲容器中的纯酒精含量为62.5%，乙容器中的纯酒精含量为25%．那么，第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是多少立方分米？【变式1-3】甲、乙两个同样的杯子，甲杯中有半杯清水，乙杯中盛满了含50%酒精的液体．先将乙杯的一半倒入甲杯，搅匀后，再将甲杯中酒精溶液的一半倒入乙杯．问这时乙杯中酒精溶液的浓度是多少？【例2】(2008年西城实验考题)将含农药30%的药液，加入一定量的水以后，药液含药24%，如果再加入同样多的水，药液含药的百分比是________．【变式2-1】在浓度为40％的酒精溶液中加入5千克水，浓度变为30％，再加入多少千克酒精，浓度变为50％？【例3】甲种酒精纯酒精含量为72%，乙种酒精纯酒精含量为58%，混合后纯酒精含量为62%．如果每种酒精取的数量比原来都多取15升，混合后纯酒精含量为63.25%．第一次混合时，甲、乙两种酒精各取了多少升？【变式3-1】（2008年“我爱数学夏令营”数学竞赛）若干升含盐70%的溶液与若干升含盐58%的溶液混合后得到含盐62%的溶液。
小学六年级数学小升初珍藏版复习资料第2讲 分数与百分数(解析)
2022-2023学年小升初数学精讲精练专题汇编讲义第2讲 分数与百分数知识点一：分数1.分数的意义：①把单位“1"平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫作分数。
②把单位"1"平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫作分数单位。
【提示】描述一个分数时，不要忘记“平均分”。
2.分数与除法的关系：①被除数÷除数=被除数除数→分子分母②因为0不能作除数，所以分数的分母不能为0，③被除数相当于分子，除数相当于分母 【提示】注意数量与分率的区别3.分数的分类：①真分数：分子比分母小的分数叫作真分数，真分数小于1。
②假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫作假分数。
假分数大于或等于1。
③带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫作带分数。
【提示】假分数大于1或等于1，它的倒数小于或等于14.分数的基本性质：①意义：分数的分子和分母都乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
②约分：把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数，叫作约分。
（分子、分母是互为质数的分数，叫作最简分数。
）③通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫作通分。
【提示】把一个分数改写成指定分母的分数后，只是大小不变，而分数单位却发生了变化。
5.分数的大小比较：①分母相同，分子大的分数大；②分子相同，分母小的分数大③分子分母都不同，先通分，在比较或都化成小数再比较大小知识精讲6. 倒数：乘积是1的两个数互为倒数；1的倒数是1，0没有倒数。
【提示】①倒数是相对于两个数来说的，它们互相依存，可以说一个数是另一个数的倒数，不能孤立地说某一个数是倒数②求一个数的倒数的方法：分子、分母交换位置。
求整数的倒数，可以先把整数看成分母是1的分数，再交换分子、分母的位置。
求小数的倒数，可以先把小数化成分数，再交换分子、分母的位置。
7.分数和小数的互化1.把分数化成小数的方法：用分数的分子除以分母。
第2讲 分数乘法【高频考点+典例精析+易错精练】苏教版小学六年级数学上册期末易错高频考点精讲精练
第2讲分数乘法1.分数乘整数的意义分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数的和的简便运算。
2.分整乘整数的计算方法用分数的分子和整数相乘的结果作积的分子，分母不变。
能约分的要先约分，再计算。
【例1】（2020秋•寻乌县月考）一桶薯片重千克。
【分析】一桶薯片重千克，4桶薯片就是求4个千克是多少，依据乘法的意义列乘法算式解答即可。
【解答】解：如下图：【点评】解答本题的关键是娴熟把握乘法的意义，会依据乘法的意义列乘法算式解题。
【例2】依据要求涂一涂．（1）3个的和是多少？（2）5个的和是多少？【分析】依据分数乘整数的意义，分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，都表示求几个相同加数的和的简便运算．据此分别求出各式的结果，然后作图表示即可．【解答】解：（1），（2），故答案为：【点评】此题考查的目的是理解把握分数乘整数的意义，以及分数的意义．3.求一个数的几分之几是多少求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。
4.分数乘分数的意义分数乘分数的意义就是求一个分数的几分之几是多少。
5.分数乘分数分数和分数相乘，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。
能约分的要先约分，再计算。
【例3】（2021秋•新荣区期中）看图写算式。
【分析】观看图可知，把长方形平均分成3份，阴影部分占其中的2份，再把这2份平均分成4份，其中的3份就是的，据此解答即可。
【解答】解：画斜线部分表示的分数算式是×＝＝。
【点评】本题考查了一个数乘分数：求这个数的几分之几是多少；留意结合分数的意义得出数据。
【例4】计算下面各题．×＝×＝×＝×＝×＝×＝【分析】依据分数乘法的计算法则，直接进行口算即可．【解答】解：×＝×＝×＝×＝×＝×＝1．【点评】此题考查的目的是理解把握分数乘法的计算法则，并且能够正确娴熟地进行口算，提高口算力量．6.分数连乘的计算方法，分子和分子相乘的积作分子，分母和分母相乘的积作分母。
六年级上册数学第2课讲解
六年级上册数学第2课讲解摘要：一、课程简介- 课程名称：六年级上册数学第2 课- 课程内容：小数的概念和性质- 教学目标：使学生理解小数的概念，掌握小数的性质，并能够进行简单的四则运算二、小数的概念- 小数的定义：小数是一种表示整数和分数之间的数的符号，分为整数部分和小数部分- 小数的分类：有限小数和无限小数- 小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”不影响小数的大小三、小数的运算- 小数的加减法：遵循整数加减法的规则，小数点对齐，从右向左进行计算- 小数的乘除法：乘法先按照整数乘法计算，再点上小数点；除法先按照整数除法计算，再点上小数点四、小数的应用- 生活中的小数应用：购物、计量、价格等- 小数在科学和工程中的应用：数据分析、建模、计算等正文：本篇文章主要讲解六年级上册数学第2 课的内容，即小数的概念和性质，以及小数的运算和应用。
首先，我们要了解课程的背景和内容。
本课程是六年级上册数学的第2 课，主要讲解小数的概念和性质，以及小数的运算和应用。
通过本课程的学习，学生将理解小数的概念，掌握小数的性质，并能够进行简单的四则运算。
接下来，我们来讲解小数的概念。
小数是一种表示整数和分数之间的数的符号，分为整数部分和小数部分。
小数的分类包括有限小数和无限小数。
有限小数的小数部分有限个数，无限小数的小数部分无限延伸。
此外，小数的性质是指小数的末尾添上“0”或去掉“0”不影响小数的大小。
然后，我们来讲解小数的运算。
小数的加减法遵循整数加减法的规则，小数点对齐，从右向左进行计算。
小数的乘除法则是先按照整数乘除法计算，再点上小数点。
最后，我们来讲解小数的应用。
小数在生活和科学工程中有广泛的应用，如购物、计量、价格、数据分析、建模、计算等。
理解和掌握小数的概念、性质和运算，对于解决实际问题具有重要意义。
总之，通过学习六年级上册数学第2 课，学生将掌握小数的概念和性质，熟练进行小数的运算，并能在实际问题中灵活运用小数知识。
六年级秋季班-第2讲分解素因数
内容分析知识结构模块一：素数、合数与分解素因数知识精讲分解素因数是六年级数学上学期第一章第二节内容，主要包含素数、合数的概念以及分解素因数，公因数与最大公因数，公倍数与最小公倍数这三大块内容，重点是素数与合数的概念以及分解素因数，难点是求 2 个整数或者是 3 个整数的最大公因数或最小公倍数，以及利用最大公因数和最小公倍数的知识解决实际问题，加强学生对数学学习的兴趣．1、素数与合数（1）素数：一个正整数，如果只有 1 和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做质数；（2）合数：一个正整数，如果除了 1 和它本身以外还有别的因数，则叫做合数；（3）1 既不是素数，也不是合数；正整数可分为：1、素数和合数．2、分解素因数每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数．分解素因数例题解析3、 口算法分解素因数例如： 72 = 8⨯ 9 = 2⨯ 2⨯ 2⨯ 3⨯ 3 ．4、 短除法分解素因数形如右图，这种在左侧写除数，下方写商的除法格式叫做“短除法”．用短除法分解素因数的步骤如下：（1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；（2）得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止；（3）然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式．【例1】 在 1、2、9、17、27、49、57、87、97、187、247 中， 是素数，合数有 个． 【例2】 将 84 分解素因数： ，84 的素因数为 ．【例3】 最小的自然数、最小的素数和最小的合数之和是 ．【例4】 将 100 写成两个素数的和：100 = + ，共有 对．【例5】 下列说法中正确的个数有（ ）个（1）两个连续素数的乘积一定是奇数；（2）两个素数的和一定是偶数；（3）相邻的两个正整数的乘积一定是合数；（4）一个合数至少有三个因数；（5）任何一个正整数都可以写成几个素数的积的形式．A ．0B ．1C ．2D ．3【例6】 如果三个连续自然数的乘积是 210，则这三个数分别是 ．【例7】 两个素数的和为 21，那么这两个素数的积是 ．【例8】 已知1176a = b 4 （a 、b 都为正整数），则 a 的最小值为 ．5 35 7【例9】面积是72 平方厘米的长方形，它的长和宽的厘米数都是合数，这个长方形的周长可能是多少厘米？模块二：公因数和最大公因数知识精讲1、公因数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数．2、最大公因数几个数的公因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数．3、两个数互素如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．4、求最大公因数求几个数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．例题解析【例10】36 和54 的公因数有．【例11】126 和630 的最大公因数是．【例12】在下列各组数中，互素的有（）组（1）3 和5；（2）6 和9；（3）4 和9；（4）14 和17；（5）18 和1．A．1 B．2 C．3 D．4【例13】下列说法正确的是（）A．如果两个数互素，那么这两个数不可能都是合数B．两个不同的素数一定互素C．如果1 是两个整数的公因数，则这两个数一定互素D．若5 能被a 整除，又是b 的最小倍数，则a 和b 的最大公因数是5【例14】三个数16、24 和30 的公因数有．【例15】有a、b、c、d 四个正整数，已知a、b 的最大公因数是60，c、d 的最大公因数是48，那么a、b、c、d 这四个数的最大公因数是．【例16】一块矩形地面，长90 米，宽15 米，要在它的四周和四角种树，每两棵树之间的距离相等，则最少要种棵树．【例17】一个长方体，它的上面和正面面积之和是209 平方分米，长、宽、高都是素数，则这个长方体的表面积是．【例18】求42897 与18644 的最大公因数．（拓展：辗转相除法）模块三：公倍数与最小公倍数知识精讲1、公倍数与最小公倍数公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数；最小公倍数：几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数．2、求两个数的最小公倍数求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数；如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数；如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．3、求三个数的最小公倍数求三个数的最小公倍数，应取三个数共有的素因数和每两个数共有的素因数，以及再取各自剩余的素因数，所有这些素因数的积．为了简便，可用短除法计算，除到每两个商都互素为止．例题解析【例19】已知A = 2⨯3⨯3⨯5⨯7 ，B= 2⨯2⨯5⨯5⨯7 ，则A 与B 的最小公倍数是．【例20】已知两个合数互素，且它们的最小公倍数为72，则这两个数为．【例21】下列说法中正确的个数为（）个（1）若三个正整数只有公因数1，则这三个数两两互素；（2）若m ÷n = 3 ，则两个正整数m、n 的最小公倍数是m；（3）互素的两个数没有公因数；（4）能同时被6、8 整除的数一定能被48 整除；（5）若a÷b=c（a、b、c 都是正整数），则a 与b 的最大公因数是c．A．0 B．1 C．2 D．3【例22】两个正整数的最大公因数是12，最小公倍数是144，其中一个数是48，则另一个数是．【例23】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．（1）187 和442；（2）36、84 和39．【例24】某校外出活动，如果9 人一组，则多5 人；如果15 人一组，则少4 人，已知学生人数在130 至140 人，则该年级的学生有人．【例25】能被5、6、9 整除的最大三位数是，最小四位数是．【例26】已知四位数A20B 是24 的倍数，则A+B 的最大值为多少？【例27】动物园的饲养员给三群猴子分花生，如果分给第一群猴子，则每只猴子可得12 粒；如果只分给第二群猴子，则每只猴子可得15 粒；如果只分给第三群猴子，则每只猴子可得18 粒．已知第一群猴子猴四十几只，那么总共有多少粒花生？共有多少只猴子？【例28】一个正整数被4 除余1，被6 除余1，被9 除余1，则这个数最小是多少？随堂检测【例29】 某校有皮球若干个，如果平均分给 10 个班，则余下 9 个；如果平均分给 12个班，则余下 11 个；如果平均分给 15 个班，则余下 14 个，学校至少有几个皮球？【例30】甲每隔 3 天去少年宫一次，乙每隔 5 天去一次，丙每隔 7 天去一次，如果 6 月 1 号，甲乙丙同时去了少年宫，则下次同时去少年宫的日期是哪一天？【习题1】 在 1~100 这 100 个整数中，有 25 个素数，则合数有 个．【习题2】 下列选项中分解素因数正确的是（ ）A ．17 = 1⨯17C ． 336 = 2 ⨯ 2 ⨯ 3⨯ 37 = 29B ．180 = 2⨯ 2⨯ 5⨯ 9 D ． 36 = 2⨯ 2⨯ 3⨯ 3【习题3】 已知 a 和 b 都是小于 10 的合数，两位数ab 是一个素数，这样的两位数是 ．【习题4】 在小于 10 的正整数中，两个互素的合数有 ．【习题5】 三个数 38、66、94 分别除以自然数 n ，所得的余数都是 3，则 n = ．【习题6】 已知甲数比乙数大 6，比丙数小 72，三数之和是 120，求三数的最小公倍数及最大公因数．【习题7】如果16 个梨和19 个苹果平均分给若干个小朋友，则多2 个梨，缺2 个苹果，那么共有个小朋友．【习题8】一个两位数，用它去除391 和40，所得余数相同，用它去除283 和23，所得余数也相同，求这个两位数．【习题9】共青森林公园有一条小路，在小路两旁每隔3 米种一棵树（路的两端都有树），一共种了66 棵，现在要改成每隔4 米一棵，问几棵小树不要移动？新挖树坑多少个？【习题10】甲、乙、丙三个数，甲与乙的最大公因数是12，甲与丙的最大公因数是15，而三个数的最小公倍数是120，求甲、乙、丙三个数．课后作业【作业1】2431 是三个素数的乘积，这三个素数是．【作业2】108 的素因数有．【作业3】两个素数的和是99，则这两个素数的乘积是．【作业4】以下说法正确的有（）个（1）任何一个奇数都是素数；（2）除2 以外的偶数都是合数；（3）两个素数的积一定是合数；（4）任何一个素数加上1 都是偶数；（5）两个连续的偶数一定互素；（6）两个连续正整数一定互素．A．1 B．2 C．3 D．4【作业5】两个数的最小公倍数是180，最大公因数是3，这样的两个数为．【作业6】24 的所有因数中，互素的数共有对．【作业7】已知M a b c（a、b、c 都是素数），那么M 的因数中是合数的有．【作业8】把一块长7.2cm，宽6cm，厚0.36dm 的木料锯成尽可能大，且大小、性质完全相同的正方体木块，锯后不能有剩余，至少能锯成多少块？【作业9】一次会餐提供三种饮料，餐后统计，三种饮料共用78 瓶，平均每2 人饮用1 瓶A 饮料，每3 人饮用1 瓶B 饮料，每4 人饮用1 瓶C 饮料，问参加会餐的人数是多少人？【作业10】已知两个正整数的差是16，它们的最大公因数和最小公倍数之和是88，求：这两个正整数．。
六年级上册数学讲义-小升初培优：第02讲简单数阵图(解析版)全国通用
第二讲简单数阵图1、学习简单的数阵图知识；2、掌握简单数阵图分析与解题的方法；3、使学生充分感受数学的价值，初步培养学生发现和欣赏数学美的意识。
填数阵图应注意的问题：（1）应仔细观察所要填数的图形。
图形中要填的位置很多，但是最关键的位置往往只有一两个。
解题时，我们要抓住关键的位置，如三角形的顶点，长方形、正方形的顶点，图形的中心或交叉的位置等。
（2）要善于把数阵的特点和所填的数联系起来考虑。
通常要计算所填数的总和与所提供的数的总和相差多少，找到差的原因，从而确定关键位置要填什么数。
使用数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9做加法，在每一道小题中，同一个数字不能重复出现。
【解析】（1）中间的一个数字是1，左边填10-1-4=5；右边剩下两个数的和为9，可以填（0，9），（2，7），（3，6）。
（2）中间的一个数字是2，两边上剩下的两个数的和为9-2=7。
0+7=7，1+6=7，3+4=7，所以两边上剩下的两个数可以填（0，7），（1，6），（3，4）。
把1、2、3、4、5、6这六个数分别填入○里（已经填好三个），使每条线上的三个数的和相等。
【解析】已知3个数，2比1大1，3比2大1，还剩下4、5、6，2和3公用的顶点上应该填4，1和2公用的顶点上应该填6，最后一个顶点上填5，验算，符合要求。
讲演者：得分：讲演者：得分：把3、4、5、6、7这五个数分别填入下面的空格里，使横行、竖行的三个数相加都得15。
【解析1】观察发现，4+6=10，3+7=10，10+5=15。
则中间填上5，上下左右分别填4、6和3、7。
【解析2】中间方框里的数比较特殊，它既在横行上、又在竖行上，算和时算了两次，称为“重叠数”。
只要“重叠数”确定了，其它就简单了。
15+15=30，3+4+5+6+7=25，“重叠数”=30-25=5。
把2--8这七个数填在下图的○中，使得两个正方形的四个数之和都为19。
【解析】先考虑，2+3+4+5+6+7+8+“重叠数”=19+19，“重叠数”=3。
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六年级第二讲 分数的乘法
预备题
1.7
2×9表示( )也可以表示( ) 2. 4
3125⨯表示( ),一个分数有两层含义( )、( ) 3.一堆煤运走了43吨, 43表示( )一堆煤运走了43,4
3表示( )
4.甲数是乙数的94,应当把( )看作单位“1”;用去的比剩下的多5
1,应当把( )看作单位“1”.
5.3千克的糖平均分装7袋,每袋糖重( )千克,每袋糖占( )
6.计算
54
9×18 1413×35 42×76 2.75－121
1211559⨯ 17472116⨯ 2181615⨯ 1－7
241⨯
7.一条长8千米的路,修了4
3千米,还剩多少千米?
8.一条长8千米的路,修了4
3,还剩多少千米?
加油站
例1:如果12
385⨯=⨯==c b a ,那么c b a ,,这3个数中,最大一个是( )最小是( ) 例2:简便计算
33288171411⨯⨯ 253107253-⨯ 9
7297797+⨯+⨯
891290⨯ )316141(36-+⨯ 32
1330⨯
例3:一桶汽油重50千克,先用去43,又用去4
3千克,两次共用去多少千克?
例4:一件衣服原价100元,先降价101,又加价10
1,这件衣服是跌了还是涨了?
例5:六年级有138名学生,其中
65订了《少年报》,有3
2的学生订了《语文报》,两种读物都订的至少有多少学生?
例6:甲、乙两地相距480千米,一辆货车从甲地开往乙地,第一小时行了全程的8
1,第2小时行了全程的6
1,两个小时共行了全程的几分之几？行了2小时后,离乙地还有多少千米?
独立提高篇
1. 8
3542365⨯=⨯=⨯=⨯d c b a ,(d c b a ,,,均不为0)请按从小到大的顺序排列d c b a ,,,四个数.
2. 一个三角形底边长a 米,这条底边上的高正好是底边长度的倒数,那么这个三角形的面积是( )平方米
3. 简便计算 328398⨯⨯ 4363434336+⨯+⨯ 2007
20062008⨯
1811218132611⨯⨯⨯ 67)7324(⨯- 99
23692⨯-⨯
116498382381498382-⨯⨯+ 9
59491744371533251⨯+⨯+⨯
4.六年级共有学生180人,其中会打乒乓球的占总数的9
1，会打羽毛球的是会打乒乓球人数的5
6倍,会打羽毛球的有多少人?
5.李大伯家菜地31种白菜,白菜地的5
2相当于萝卜地的面积,萝卜地的一半与与王大伯家菜地面积的6
1相等,两家菜地谁的面积大? 7.一道减法算式中,被减数、减数以及差相加得7
8,被减数是多少? 8.有甲乙两袋糖,甲袋有24颗,拿出8
1放入乙袋,则两袋糖一样多,原来甲袋比乙袋多几颗? 9.一台电视机原来每台售价2500元,后来商家进行了2次调价,第一次降价101,第2次降价25
1,现在每台售价多少元?。