三轮突破-高考数学复习模拟压轴题集锦

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高考数学压轴题大集合

备战高考数学压轴题集合1．（本小题满分14分）如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点. （1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.解：（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(0121120x x x x x x ≠和， ∴切线AP 的方程为：;02200=--x y x x切线BP 的方程为：;02211=--x y x x解得P 点的坐标为：1010,2x x y x x x P P =+=所以△APB 的重心G 的坐标为 P PG x x x x x =++=310，,343)(3321021010212010pP P G y x x x x x x x x x y y y y -=-+=++=++=所以243G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：).24(31,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即（2）方法1：因为).41,(),41,2(),41,(2111010200-=-+=-=x x FB x x x x FP x x FA 由于P 点在抛物线外，则.0||≠FP∴,||41)41(||)41)(41(2||||cos 10220202010010FP x x x x FP x x x x x x FA FP FA FP AFP +=-+--+⋅+=⋅=∠ 同理有,||41)41(||)41)(41(2||||cos 10221212110110FP x x x x FP x x x x x x FB FP FB FP BFP +=-+--+⋅+=⋅=∠ ∴∠AFP=∠PFB.方法2：①当,0,0,,0000101==≠=y x x x x x 则不妨设由于时所以P 点坐标为)0,2(1x ，则P 点到直线AF 的距离为：,4141:;2||12111x x x y BF x d -=-=的方程而直线即.041)41(1121=+--x y x x x 所以P 点到直线BF 的距离为：2||412||)41()()41(|42)41(|1211212122111212x x x x x x x x x d =++=+-+-=所以d 1=d 2，即得∠AFP=∠PFB.②当001≠x x 时，直线AF 的方程：,041)41(),0(041410020020=+-----=-x y x x x x x x y 即直线BF 的方程：,041)41(),0(041411121121=+-----=-x y x x x x x x y 即所以P 点到直线AF 的距离为：2||41)41)(2|)41(|41)2)(41(|1020201020220012010201x x x x x x x x x x x x x x d -=++-=+-+-+-=，同理可得到P点到直线BF 的距离2||012x x d -=，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP=∠PFB. 2．（本小题满分12分）设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由. （此题不要求在答题卡上画图）本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.（Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入，整理得 .0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ① 设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是方程①的两个不同的根，∴,0])3(3)3([422>--+=∆k k λ ② 且,3)3(2221+-=+k k k x x 由N （1，3）是线段AB 的中点，得.3)3(,12221+=-∴=+k k k x x解得k=－1，代入②得，λλ即,12>的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即解法2：设),,(),,(2211y x B y x A 则有.0))(())((332121212122222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λλ 依题意，.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠∵N （1，3）是AB 的中点， ∴.1,6,22121-==+=+AB k y y x x 从而又由N （1，3）在椭圆内，∴,1231322=+⨯>λ∴λ的取值范围是（12，+∞）. 直线AB 的方程为y －3=－（x －1），即x+y －4=0.（Ⅱ）解法1：∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y －3=x －1，即x －y+2=0，代入椭圆方程，整理得 .04442=-++λx x又设),,(),,(4433y x D y x C CD 的中点为4300,),,(x x y x C 则是方程③的两根， ∴).23,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+M x y x x x x x 即且于是由弦长公式可得 .)3(2||)1(1||432-=-⋅-+=λx x kCD ④将直线AB 的方程x+y －4=0，代入椭圆方程得016842=-+-λx x ⑤同理可得 .)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥∵当12>λ时，||||,)12(2)3(2CD AB <∴->-λλ假设存在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为 .2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.|2|2321229|2|||||22222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ 故当λ>12时，A 、B 、C 、D 四点匀在以M 为圆心，2||CD 为半径的圆上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）A 、B 、C 、D 共圆⇔△ACD 为直角三角形，A 为直角⇔|AN|2=|CN|·|DN|，即 ).2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+= ⑧ 由⑥式知，⑧式左边,212-=λ 由④和⑦知，⑧式右边,2122923)2232)3(2)(2232)3(2(-=--=--+-=λλλλ ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆.解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12,∵CD 垂直平分AB ， ∴直线CD 方程为13-=-x y ，代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③将直线AB 的方程x+y －4=0，代入椭圆方程，整理得.016842=-+-λx x ⑤解③和⑤式可得 .231,21224,32,1-±-=-±=λλx x不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+λλλλλλD C A∴)21233,23123(---+-+-+=λλλλCA)21233,23123(-------+=λλλλDA计算可得0=⋅DA CA ，∴A 在以CD 为直径的圆上. 又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆.（注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ） 3．（本小题满分14分）已知不等式n n n 其中],[log 21131212>+++ 为大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数. 设数列}{n a 的各项为正，且满足,4,3,2,),0(111=+≤>=--n a n na a b b a n n n（Ⅰ）证明 ,5,4,3,][log 222=+<n n b ba n（Ⅱ）猜测数列}{n a 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（Ⅲ）试确定一个正整数N ，使得当N n >时，对任意b>0，都有.51<n a 本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想. （Ⅰ）证法1：∵当,111,0,211111na na a n a a n na a n n n n n n n n +=+≥∴+≤<≥-----时即,1111na a n n ≥-- 于是有.111,,3111,211112312na a a a a a n n ≥-≥-≥-- 所有不等式两边相加可得.13121111na a n +++≥- 由已知不等式知，当n ≥3时有，].[log 211121n a a n >- ∵.][log 22.2][log 2][log 2111,2221n b ba bn b n b a b a n n +<+=+>∴=证法2：设nn f 13121)(+++=，首先利用数学归纳法证不等式 .,5,4,3,)(1 =+≤n bn f ba n（i ）当n=3时，由 .)3(11223313333112223b f ba a a a a a +=++⋅≤+=+≤知不等式成立.（ii ）假设当n=k （k ≥3）时，不等式成立，即,)(1bk f ba k +≤则1)(1)1(11)1(1)1()1(1++⋅++≤+++=+++≤+bb k f k k a k k a k a k a k k k k ,)1(1)11)((1)()1()1()1(bk f bb k k f bbb k f k k bk ++=+++=+++++=即当n=k+1时，不等式也成立. 由（i ）、（ii ）知，.,5,4,3,)(1 =+≤n bn f ba n又由已知不等式得 .,5,4,3,][l o g 22][l o g 21122 =+=+<n n b bb n b a n（Ⅱ）有极限，且.0lim =∞→n n a（Ⅲ）∵,51][log 2,][log 2][log 22222<<+n n n b b 令则有,10242,10][log log 1022=>⇒>≥n n n故取N=1024，可使当n>N 时，都有.51<n a 4．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若点P 为l 上的动点，求∠F 1PF 2最大值．本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分14分.解：(Ⅰ)设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，半焦距为c ，则()2111222222,2242,3,1 1.43a MA a A F a cca a a c c a abc a b c x y =-=-⎧-=-⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩∴===+=由题意,得故椭圆方程为 (Ⅱ)()004,,0P y y -≠设00112212110021122120000121212350,22215tan .115152151515tan 15arctan.15y yPF k PF k F PF PF M F PF y y k k F PF k k y y y y F PF F PF F PF π=-=-<∠<∠<∴∠-∴∠==≤=++=±∠∠∠ 设直线的斜率,直线的斜率为锐角。

高中届高考数学三轮复习冲刺模拟试题18 试题(共8页)

高考数学(shùxué)三轮复习冲刺模拟试题18圆锥曲线的综合问题一、选择题1．椭圆x225＋y216＝1的焦点是F1、F2，假如椭圆上一点P满足PF1⊥PF2，那么下面结论正确的选项是( )A．P点有两个B．P点有四个C．P点不一定存在D．P点一定不存在解析：设椭圆的根本量为a，b，c，那么a＝5，b＝4，cF1F2为直径构造圆，可知圆的半径r＝c＝3<4＝b，即圆与椭圆不可能有交点，所以椭圆上一定不存在点P满足PF1⊥PF2.应选D.答案：D2．在抛物线C：y＝2x2上有一点P，假设它到点A(1，3)的间隔与它到抛物线C的焦点的间隔之和最小，那么点P的坐标是( )A．(－2，1) B．(1，2)C．(2，1) D．(－1，2)解析：由题知点A在抛物线内部，根据抛物线定义，问题等价于求抛物线上一点P，使得该点到点A与到抛物线的准线的间隔之和最小，显然点P是直线x＝1与抛物线的交点，故所求P点的坐标是(1，2)．答案：B3．对于抛物线y2＝4x上任意一点Q，点P(a，0)满足|PQ|≥|a|，那么a的取值范围是( )A．(－∞，0) B．(－∞，2]C．[0，2] D．(0，2)解析(jiě xī)：设点Q 的坐标为(y 204，y 0)，由|PQ |≥|a |，得y 2＋(y 204－a )2≥a 2，整理得y 20(y 20＋16－8a )≥0，∵y 20≥0，∴y 20＋16－8a ≥0，即a ≤2＋y 208恒成立．而2＋y 208的最小值为2，所以a ≤2.选B.答案：B4．P 是双曲线x 29－y 216＝1右支上的一点，M ，N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，那么|PM |－|PN |的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：由题知双曲线的两个焦点分别是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，那么这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P 与M ，F 1三点一共线以及P ，N ，F 2三点一共线时所求的值最大，此时|PM |－|PN |＝(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝9.答案：D5．点P 到图形C 上每一个点的间隔的最小值称为点P 到图形C 的间隔，那么平面内到定圆的间隔与到定点A 的间隔相等的点的轨迹不可能是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．直线解析：如图1，令定点A 为定圆的圆心，动点M 为定圆半径AP 的中点，故|AM |＝|MP |，此时M 的轨迹为一个圆，圆心为A ，半径为AM ，故A 可能．如图2，以F 1为定圆的圆心(yuánxīn)，F 1P 为其半径，在F 1P 上截|MP |＝|MA |，∵|PF 1|＝r ，∴|MF 1|＋|PM |＝|MF 1|＋|MA |＝r >|F 1A |，由椭圆的定义可知，M 的轨迹是以F 1、A 为焦点的椭圆，故B 可能．如图3，以F 1为定圆的圆心，F 1P 为其半径，延长F 1P 到点M ，使得|MP |＝|MA |，那么有|MF 1|－|PM |＝r ，∴|MF 1|－|MA |＝r <|FA |，由双曲线的定义可知，M 的轨迹是以F 1、A 为焦点的双曲线的右支，故C 可能．如图4，定点A 在定圆F 上，那么满足题意的点M 的轨迹是以F 为端点的一条射线，故D 不可能．答案：D 二、填空题6．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为e ＝2，过双曲线上一点M 作直线MA ，MB 交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，假设直线AB 过原点O ，那么k 1·k 2的值是________．解析：设点M (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，那么B (－x 1，－y 1)，k 1＝y 0－y 1x 0－x 1，k 2＝y 0＋y 1x 0＋x 1，即k 1·k 2＝y 20－y 21x 20－x 21.又x 20a 2－y 20b 2＝1，x 21a 2－y 21b 2＝1，所以x 20－x 21a 2－y 20－y 21b 2＝0，即y 20－y 21x 20－x 21＝b 2a 2，所以k 1·k 2＝b 2a2.又离心率为e ＝2，所以k 1·k 2＝c 2－a 2a2＝e 2－1＝3.故填3. 答案(dá àn)：37．椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1、F 2，点P (x 0，y 0)满足x 202＋y 20≤1，那么|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为________．解析：当P 在原点处时，|PF 1|＋|PF 2|获得最小值2；当P 在椭圆上时，|PF 1|＋|PF 2|获得最大值22，故|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为[2，22]．答案：[2，22]8．抛物线y 2＝2px (p ≠0)及定点A (a ，b )，B (－a ，0)，ab ≠0，b 2≠2pa ，M 是抛物线上的点．设直线AM 、BM 与抛物线的另一个交点分别为M 1、M 2，当M 变动时，直线M 1M 2恒过一个定点，此定点坐标为________．解析：设M (y 202p ，y 0)，M 1(y 21，2p ，y 1)，M 2(y 22，2p ，y 2)由点A ，M ，M 1一共线可知y 0－b y 202p －a ＝y 1－y 0y 212p －y 202p，得y 1＝by 0－2pay 0－b ，同理由点B ，M ，M 2一共线得y 2＝2pay 0.设(x ，y )是直线M 1M 2上的点，那么y 2－y 1y 222p －y 212p ＝y 2－yy 222p－x ，即y 1y 2＝y (y 1＋y 2)－2px ，又y 1＝by 0－2pa y 0－b ，y 2＝2pay 0，那么(2px －by )y 20＋2pb (a －x )y 0＋2pa (by －2pa )＝0.当x ＝a ，y ＝2pa b时上式恒成立，即定点为(a ，2pab)．答案(dá àn)：(a ，2pab)三、解答题9．平面内的动点P 到定点F (1，0)和定直线x ＝2的间隔之比为常数22. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与轨迹C 交于M ，N 两点，直线FM 与FN 的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π.证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．解析：(1)设P (x ，y )，那么〔x －1〕2＋y 2|x －2|＝22，化简得x 2＋2y 2＝2，即x 22＋y 2＝1.(2)证明：由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1，且k FM ＝kx 1＋m x 1－1，k FN ＝kx 2＋mx 2－1.由α＋β＝π，可得k FM ＋k FN ＝0，即kx 1＋m x 1－1＋kx 2＋m x 2－1＝0. 化简，得2kx 1x 2＋(m －k )(x 1＋x 2)－2m ＝0，所以2k ·2m 2－22k 2＋1－4km 〔m －k 〕2k 2＋1－2m ＝0，整理，得m ＝－2k ，所以直线l 的方程为y ＝k (x －2)，因此直线l 过定点，该定点的坐标为(2，0)．10．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点．(1)当椭圆的半焦距c ＝1，且a 2、b 2、c 2成等差数列时，求椭圆的方程；(2)在(1)的条件(tiáojiàn)下，求弦AB 的长；(3)当椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点O 时，求椭圆长轴长的取值范围．解析：(1)由得2b 2＝a 2＋c 2＝b 2＋2c 2，又∵c ＝1，∴b 2＝2，a 2＝3， ∴椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0x 23＋y 22＝1得5x 2－6x －3＝0，∴x 1＋x 2＝65，x 1·x 2＝－35.∴|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·〔x 1＋x 2〕2－4x 1·x 2＝835. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0x 2a 2＋y 2b2＝1得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2(1－b 2)＝0，由Δ＝4a 2b 2(a 2＋b 2－1)>0，得a 2＋b 2>1. 此时x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，x 1·x 2＝a 2〔1－b 2〕a 2＋b 2. ∵以线段AB 为直径的圆经过坐标原点O ， ∴OA →·OB →＝0，∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝0， ∴2x 1·x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0，即a 2＋b 2－2a 2b 2＝0，故b 2＝a 22a 2－1，由e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a2，得b 2＝a 2－a 2e 2，∴2a 2＝1＋11－e2. 由33≤e ≤22得54≤a 2≤32，∴5≤2a ≤ 6. 11．直线(zhíxiàn)l ：x ＋y ＋8＝0，圆O ：x 2＋y 2＝36(O 是坐标原点)，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝32，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的长轴长相等． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点(3，0)作直线l ，与椭圆C 交于A ，B 两点，设OS →＝OA →＋OB →(O 是坐标原点)，是否存在这样的直线l ，使四边形OASB 的对角线长相等？假设存在，求出直线l 的方程，假设不存在，说明理由．解析：(1)∵圆心O 到直线l ：x ＋y ＋8＝0的间隔为d ＝82＝42，直线l 被圆O 截得的弦长2a ＝2R 2－d 2＝4， ∴a ＝2，又c a ＝32，a 2－b 2＝c 2，解得b ＝1，c ＝3， ∴椭圆C 的方程为：x 24＋y 2＝1.(2)∵OS →＝OA →＋OB →，∴四边形OASB 是平行四边形．假设存在这样的直线l ，使四边形OASB 的对角线长相等，那么四边形OASB 为矩形，因此有OA →⊥OB →，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么x 1x 2＋y 1y 2＝0.直线l 的斜率显然存在，设过点(3，0)的直线l 的方程为：y ＝k (x －3)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 〔x －3〕x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0，由Δ＝(－24k 2)2－4(1＋4k 2)(36k 2－4)>0，可得－5k 2＋1>0，即k 2<15.x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2(x 1－3)(x 2－3)＝(1＋k 2)x 1x 2－3k 2(x 1＋x 2)＋9k 2＝(1＋k 2)36k 2－41＋4k 2－3k 224k 21＋4k2＋9k 2，由x 1x 2＋y 1y 2＝0得：k 2＝441，∴k ＝±24141，满足(mǎnzú)Δ>0.即直线l 的方程为y ＝±24141(x －3)．。

2023-2024学年高考数学专项复习——压轴题(附答案)

决胜3．已知函数，曲线在处的切线方程为.()2e xf x ax =-()y f x =()()1,1f 1y bx =+(1)求的值：,a b (2)求在上的最值；()f x []0,1(3)证明：当时，.0x >()e 1e ln 0x x x x +--≥4．已知函数，.()()ln 1f x x x a x =-++R a ∈(1)若，求函数的单调区间；1a =()f x (2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；x ()2f x a≤[)2,+∞a (3)若实数满足且，证明.b 21a b <-+1b >()212ln f x b <-5．椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点2222:1(0)x y E a b a b +=>>22()2,1M E 的动直线与椭圆相交于两点.()0,1P l ,A B (1)求椭圆的方程；E (2)求面积的最大值；AOB (3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，xOy P Q QA PAQB PB=求出点的坐标；若不存在，请说明理由.Q 6．已知函数，.()21ln 2f x a x x⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()()()2R g x f x ax a =-∈(1)当时，0a =（i ）求曲线在点处的切线方程；()y f x =()()22f ,（ii ）求的单调区间及在区间上的最值；()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)若对，恒成立，求a 的取值范围.()1,x ∀∈+∞()0g x <(1)求抛物线的表达式和的值；,t k (2)如图1，连接AC ，AP ，PC ，若△APC 是以(3)如图2，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，过点的最大值．12CQ PQ +(1)【基础训练】请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l 的方程；22y x =(2)【技能训练】如图2所示，已知抛物线上一点P 到准线l 的距离为6，求点P 的坐218y x =标；(3)【能力提升】如图3所示，已知过抛物线的焦点F 的直线依次交抛物线及准()20y ax a =>线l 于点，若求a 的值；、、A B C 24BC BF AF ==，(4)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C 将一条线段分为两段和，使得其中较长一段是全线段与另一AB AC CB AC AB 段的比例中项，即满足：，后人把这个数称为“黄金分割”，把CB 512AC BC AB AC -==512-点C 称为线段的黄金分割点.如图4所示，抛物线的焦点，准线l 与y 轴AB 214y x=(0,1)F 交于点，E 为线段的黄金分割点，点M 为y 轴左侧的抛物线上一点.当(0,1)H -HF 时，求出的面积值.2MH MF=HME 10．已知双曲线的一条渐近线方程的倾斜角为，焦距为4．2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>60︒(1)求双曲线的标准方程；C (2)A 为双曲线的右顶点，为双曲线上异于点A 的两点，且．C ,M N C AM AN ⊥①证明：直线过定点；MN ②若在双曲线的同一支上，求的面积的最小值．,M N AMN(1)试用解析几何的方法证明：(2)如果将圆分别变为椭圆、双曲线或抛物线，你能得到类似的结论吗？13．对于数集（为给定的正整数），其中，如果{}121,,,,n X x x x =-2n ≥120n x x x <<<< 对任意，都存在，使得，则称X 具有性质P ．,a b X ∈,c d X ∈0ac bd +=(1)若，且集合具有性质P ，求x 的值；102x <<11,,,12x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭(2)若X 具有性质P ，求证：；且若成立，则；1X ∈1n x >11x =(3)若X 具有性质P ，且，求数列的通项公式．2023n x =12,,,n x x x 14．已知，是的导函数，其中．()2e xf x ax =-()f x '()f x R a ∈(1)讨论函数的单调性；()f x '(2)设，与x 轴负半轴的交点为点P ，在点P()()()2e 11x g x f x x ax =+-+-()y g x =()y g x =处的切线方程为．()y h x =①求证：对于任意的实数x ，都有；()()g x h x ≥②若关于x 的方程有两个实数根，且，证明：()()0g x t t =>12,x x 12x x <．()2112e 11e t x x --≤+-15．在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心xOy 1,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭12x =-的轨迹为曲线K ，P 是曲线K 上一点．(1)求曲线K 的方程；(2)过点A 且斜率为k 的直线l 与曲线K 交于B 、C 两点，若且直线OP 与直线交//l OP 1x =于Q 点．求的值；||||AB ACOP OQ ⋅⋅(3)若点D 、E 在y 轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值．PDE △()2211x y -+=PDE △16．已知椭圆C ：，四点中恰有三()222210x y a b a b +=>>()()1234331,1,0,1,1,,1,22P P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点，若直线与直线的斜率的和为，2P A 2P B 1-证明：l 过定点．18．给定正整数k ，m ，其中，如果有限数列同时满足下列两个条件．则称2m k ≤≤{}n a 为数列．记数列的项数的最小值为．{}n a (,)k m -(,)k m -(,)G k m 条件①：的每一项都属于集合；{}n a {}1,2,,k 条件②：从集合中任取m 个不同的数排成一列，得到的数列都是的子列．{}1,2,,k {}n a 注：从中选取第项、第项、…、第项（）形成的新数列{}n a 1i 2i 5i 125i i i <<<…称为的一个子列．325,,,i i i a a a ⋯{}n a (1)分别判断下面两个数列，是否为数列．并说明理由！(33)-，数列；1:1,2,3,1,2,3,1,2,3A 数列．2:1,2,3,2,1,3,1A (2)求的值；(),2G k (3)求证．234(,)2k k G k k +-≥答案：1．(1)极大值为，无极小值2e (2)证明见解析【分析】（1）求导，根据导函数的符号结合极值的定义即可得解；（2）构造函数，利用导数求出函数的最小值，再()21()()()2ln 12F x f x g x x x x x x =+=+->证明即可或者转换不等式为，通过构造函数可得证.()min0F x >()112ln 012x x x +->>【详解】（1）的定义域为，，()f x (0,)+∞()2(1ln )f x x '=-+当时，，当时，，10e x <<()0f x '>1e x >()0f x '<所以函数在上单调递增，在上单调递减，()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故在处取得极大值，()f x 1e x =12e e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以的极大值为，无极小值；()f x 2e （2）设，()21()()()2ln 12F x f x g x x x x x x =+=+->解法一：则，()2ln 1F x x x '=--令，，()()2ln 11h x x x x =-->22()1x h x x x -'=-=当时，，单调递减，当时，，单调递增，12x <<()0h x '<()h x 2x >()0h x '>()h x 又，，，(2)1ln 40h =-<(1)0h =(4)32ln 40h =->所以存在，使得，即．0(2,4)x ∈0()0h x =002ln 10x x --=当时，，即，单调递减，01x x <<()0h x <()0F x '<()F x 当时，，即，单调递增，0x x >()0h x >()0F x '>()F x 所以当时，在处取得极小值，即为最小值，1x >()F x 0x x =故，22000000(11()()12ln )222F x F x x x x x x ≥=+-=-+设，因为，2000122()p x x x =-+0(2,4)x ∈由二次函数的性质得函数在上单调递减，2000122()p x x x =-+(2,4)故，0()(4)0p x p >=所以当时，，即．1x >()0F x >()()0f x g x +>解法二：要证，即证，()0F x >()1()12ln 012p x x x x =+->>因为，所以当时，，单调递减，()124()122x p x x x x -'=-=>()1,4x ∈()0p x '<()p x 当时，，单调递增，()4,x ∞∈+()0p x '>()p x 所以，所以，即.()()4212ln 434ln 20p x p ≥=+-=->()0F x >()()0f x g x +>方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明()()f xg x >()()f xg x <（或），进而构造辅助函数；()()0f xg x ->()()0f xg x -<()()()h x f x g x =-（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.2．(1)0(2)证明详见解析(3)2a ≤【分析】（1）利用导数求得的最小值.()g x （2）根据（1）的结论得到，利用放缩法以及裂项求和法证得不等式成立.2211ln 1n n ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭（3）由不等式分离参数，利用构造函数法，结合导数求得的取ln (2)10xx x x a x -+--≥a a 值范围.【详解】（1）依题意，，()21ln (,0)2f x x x x t t x =-+∈>R 所以，()()()()ln 1ln 10g x f x x x x x x '==-+=-->，所以在区间上单调递减；()111x g x x x -'=-=()g x ()0,1()()0,g x g x '<在区间上单调递增，()1,+∞()()0,g x g x '>所以当时取得最小值为.1x =()g x ()11ln110g =--=（2）要证明：对任意正整数，都有，(2)n n ≥222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即证明，22221111ln 1111ln e234n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 即证明，222111ln 1ln 1ln 1123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由（1）得，即()()()10f xg x g '=≥=ln 10,ln 1x x x x --≥≤-令，所以， *211,2,N x n n n =+≥∈222111ln 111n n n ⎛⎫+≤+-= ⎪⎝⎭所以222222111111ln 1ln 1ln 12323n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++≤+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，()111111111122312231n n n n <+++=-+-++-⨯⨯-- 111n=-<所以对任意正整数，都有.(2)n n ≥222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （3）若不等式恒成立，此时，ln (2)10xx x x a x -+--≥0x >则恒成立，ln 21x x x x x a x -+-≤令，()ln 21xx x x x h x x -+-=令，()()()e 10,e 10x x u x x x u x '=--≥=-≥所以在区间上单调递增，()u x[)0,∞+所以，当时等号成立，()0e 010,e 10,e 1x x u x x x ≥--=--≥≥+0x =所以，()ln e ln 21ln 1ln 212x x x x x x x x x x h x x x -+-+-+-=≥=当时等号成立，所以.ln 0,1x x x ==2a ≤利用导数求函数的最值的步骤：求导：对函数进行求导，得到它的导函数.导函数()f x ()f x '表示了原函数在不同点处的斜率或变化率.找出导数为零的点：解方程，找到使得导()0f x '=数为零的点,这些点被称为临界点，可能是函数的极值点（包括最大值和最小值），检查每个临界点以及区间的端点，并确认它们是否对应于函数的最值.3．(1)，1a =e 2b =-(2)；()max e 1f x =-()min 1f x =(3)证明见解析【分析】（1）利用切点和斜率列方程组，由此求得.,a b （2）利用多次求导的方法求得在区间上的单调性，由此求得在上的最值.()f x []0,1()f x []0,1（3）先证明时，，再结合（2）转化为，从0x >()()e 21f x x ≥-+()21e ln e x x x x x+--≥+而证得不等式成立.【详解】（1），()e 2x f x ax'=-∴，解得：，；()()1e 21e 1f a b f a b ⎧=-=⎪⎨=-=+'⎪⎩1a =e 2b =-（2）由（1）得：，()2e xf x x =-，令，则，()e 2x f x x '=-()e 2x h x x=-()e 2x h x '=-是增函数，令解得.()h x ()0h x '=ln 2x =∴，也即在上单调递减，()h x ()f x '()0,ln2()()0,h x h x '<在上单调递增，()ln2,+∞()()0,h x h x '>∴，∴在递增，()()ln 2ln222ln20h f ==->'()f x []0,1∴；；()()max 1e 1f x f ==-()()min 01f x f ==（3）∵，由（2）得过，()01f =()f x ()1,e 1-且在处的切线方程是，()y f x =1x =()e 21y x =-+故可猜测且时，的图象恒在切线的上方，0x >1x ≠()f x ()e 21y x =-+下面证明时，，设，，0x >()()e 21f x x ≥-+()()()e 21g x f x x =---()0x >∴，∴令，()()e 2e 2x g x x =---'()()()e 2e 2x x x g m x '--==-，()e 2x m x '=-由（2）得：在递减，在递增，()g x '()0,ln2()ln2,+∞∵，，，∴，()03e 0g '=->()10g '=0ln21<<()ln20g '<∴存在，使得，()00,1x ∈()0g x '=∴时，，时，，()()00,1,x x ∈⋃+∞()0g x '>()0,l x x ∈()0g x '<故在递增，在递减，在递增.()g x ()00,x ()0,1x ()1,+∞又，∴当且仅当时取“”，()()010g g ==()0g x ≥1x ==()()2e e 210x g x x x =----≥故，，由（2）得：，故，()e e 21x x xx+--≥0x >e 1x x ≥+()ln 1x x ≥+∴，当且仅当时取“=”，∴，1ln x x -≥1x =()e e 21ln 1x x x x x+--≥≥+即，∴，()21ln 1e e x x x x+--≥+()21e ln e x x x x x+--≥+即成立，当且仅当时“=”成立.()1ln 10e e x x x x +---≥1x =求解切线的有关的问题，关键点就是把握住切点和斜率.利用导数研究函数的单调性，如果一次求导无法求得函数的单调性时，可以考虑利用多次求导来进行求解.利用导数证明不等式恒成立，如果无法一步到位的证明，可以先证明一个中间不等式，然后再证得原不等式成立.4．(1)单调增区间为，单调减区间为；()0,1()1,+∞(2)(],2ln 2-∞(3)证明见解析【分析】（1）求导，再根据导函数的符号即可得解；（2）分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的最小ln 1x x a x ≤-ln (),21x xg x x x =≥-()g x 值即可得解；（3）由，得，则，要证21a b <-+21a b -<-2112()(e )e e 1a a b f x f a b ---≤=+<-+，即证，即证，构造函数()212ln f x b<-222e112ln bb b --+<-22212ln 0eb b b +-<，证明即可.()()()12ln e x h x x x x =>-()1h x <-【详解】（1）当时，，1a =()ln 1,0f x x x x x =-++>，由，得，由，得，()ln f x x '=-()0f x '>01x <<()0f x '<1x >故的单调增区间为，单调减区间为；()f x ()0,1()1,+∞（2），()ln 2,1x xf x a a x ≤∴≤- 令，ln (),21x x g x x x =≥-则，21ln ()(1)x xg x x --'=-令，则，()ln 1t x x x =-+11()1xt x x x -'=-=由，得，由，得，()0t x '>01x <<()0t x '<1x >故在递增，在递减，，()t x ()0,1()1,+∞max ()(1)0t x t ==，所以，()0t x ∴≤ln 1≤-x x 在上单调递增，，()0,()g x g x '≥∴[)2,+∞()min ()2g x g ∴=，(2)2ln 2a g ∴≤=的取值范围；a ∴(],2ln 2-∞（3），221,1b a b a <-+∴-<- 又，在上递增，11()(e )e a a f x f a --≤=+1e a y a -=+ R a ∈所以，2112()(e )e e 1a a b f x f a b ---≤=+<-+下面证明：，222e 112ln b b b --+<-即证，22212ln 0ebb b +-<令，则，21x b =>12ln 0e x x x +-<即，(2ln )e 1xx x -⋅<-令，则，()()()12ln e xh x x x x =>-()22ln 1e xh x x x x '⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭令，则，()2()2ln 11x x x x x ϕ=-+->()()2221122()101x x x x x x ϕ---=--=<>∴函数在上单调递减，()x ϕ()1,+∞，()(1)0x ϕϕ∴<=在递减，()()0,h x h x '∴<(1,)+∞，()()1e 1h x h ∴<=-<-所以.()212ln f x b <-方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明()()f xg x >()()f xg x <（或），进而构造辅助函数；()()0f xg x ->()()0f xg x -<()()()h x f x g x =-（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.5．(1)22142x y +=(2)2(3)存在，.()0,2Q 【分析】（1）由离心率及过点列方程组求解.()2,1M,a b （2）设直线为与椭圆方程联立，将表达为的函数，由基本不l 1y kx =+1212AOB S x x =⋅- k 等式求最大值即可.（3）先讨论直线水平与竖直情况，求出，设点关于轴的对称点，证得()0,2Q B y B '三点共线得到成立.,,Q A B 'QA PAQB PB=【详解】（1）根据题意，得，解得，椭圆C 的方程为.2222222211c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩222422a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩22142x y +=（2）依题意，设，直线的斜率显然存在，()()1122,,,A x y B x y l 故设直线为，联立，消去，得，l 1y kx =+221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()2212420k x kx ++-=因为直线恒过椭圆内定点，故恒成立，，l ()0,1P 0∆>12122242,1212k x x x x k k +=-=-++故，()2221212221224212111214414222122AOBk S x x x x x x k k k k ⋅+⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯-=⨯-⨯= ⎪ ⎪+⎝-+-⎝++⎭⎭- 令，所以，当且仅当，即时取得214,1t k t =+≥22222211AOB t S t t t=×=×£++1t =0k =等号，综上可知：面积的最大值为.AOB 2（3）当平行于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，l x ,C D Q 则有，即，所以点在轴上，可设的坐标为；||||1||||QC PC QD PD ==QC QD =Q y Q ()00,y 当垂直于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，l x ,M N Q 则有，即，解得或，||||||||QM PM QN PN =00221212y y --=++01y =02y =所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为；P Q Q ()0,2当不平行于轴且不垂直于轴时，设直线方程为，l x x l 1y kx =+由（2）知，12122242,1212k x x x x k k --+==++又因为点关于轴的对称点的坐标为，B y B '()22,x y -又，，11111211QA y kx k k x x x --===-22222211QB y kx k k x x x '--===-+--.方法点睛：直线与椭圆0Ax By C ++=时，取得最大值2222220a A b B C +-=MON S 6．(1)（i ）；（322ln 220x y +--=(2)11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故曲线在点处的切线方程为，()y f x =()()22f ,()()32ln 222y x --+=--即；322ln 220x y +--=（ii ），，()21ln 2f x x x =-+()0,x ∈+∞，()211x f x x x x -'=-+=令，解得，令，解得，()0f x ¢>()0,1x ∈()0f x '<()1,x ∈+∞当时，，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()max 112f x f ==-又，，221111ln 1e 2e e 2e f ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭()2211e e ln e e 122f =-+=-+其中，()222211111e 1e 1e 20e 2e 222ef f ⎛⎫⎛⎫-=----+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故，()()2min 1e e 12f x f ==-+故的单调递增区间为，单调递减区间为；()f x ()0,1()1,+∞在区间上的最大值为，最小值为；()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12-21e 12-+（2），()21ln 22xg x a x x a ⎭-+⎛=⎪-⎫ ⎝对，恒成立，()1,x ∀∈+∞21ln 202a x x ax ⎛⎫-+-< ⎪⎝⎭变形为对恒成立，ln 122x a xa x<--⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,x ∀∈+∞令，则，()(),1,ln x h x x x ∈=+∞()21ln xh x x -'=当时，，单调递增，()1,e x ∈()0h x '>()ln xh x x =当时，，单调递减，()e,+x ∈∞()0h x '<()ln xh x x =其中，，当时，恒成立，()10h =()ln e 1e e e h ==1x >()ln 0x h x x =>故画出的图象如下：()ln x h x x =其中恒过点122y xa a ⎛⎫ ⎪⎝=⎭--(2,1A 又，故在()210111h -'==()ln x h x x =又在上，()2,1A 1y x =-()对于2111644y x x =-+-∴点，即()0,6C -6OC =∵2114,14P m m m ⎛-+- ⎝∴点，3,64N m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴，22111316624444PN m m m m m⎛⎫=-+---=-+ ⎪⎝⎭∵轴，PN x ⊥∴，//PN OC ∴，PNQ OCB ∠=∠∴，Rt Rt PQN BOC ∴，PN NQ PQ BC OC OB ==∵，8,6,10OB OC BC ===∴，34,55QN PN PQ PN==∵轴，NE y ⊥∴轴，//NE x ∴，CNE CBO ∴，5544CN EN m ==∴，2215111316922444216CQ PQ m m m m ⎛⎫+=-+=--+⎪⎝⎭当时，取得最大值.132m =12CQ PQ+16916关键点点睛：熟练的掌握三角形相似的判断及性质是解决本题的关键.8．(1)详见解析；(2)①具有性质；理由见解析；②P 1346【分析】（1）当时，先求得集合，由题中所给新定义直接判断即可；10n =A （2）当时，先求得集合， 1010n =A ①根据，任取，其中，可得，{}2021|T x x S =-∈02021t x T =-∈0x S ∈0120212020x ≤-≤利用性质的定义加以验证，即可说明集合具有性质；P T P ②设集合有个元素，由（1）可知，任给，，则与中必有个S k x S ∈12020x ≤≤x 2021x -1不超过，从而得到集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过，然后利1010S T 1010用性质的定义列不等式，由此求得的最大值．P k【详解】（1）当时，，10n ={}1,2,,19,20A = 不具有性质，{}{}|910,11,12,,19,20B x A x =∈>= P 因为对任意不大于的正整数，10m 都可以找到该集合中的两个元素与，使得成立，110b ＝210b m =+12||b b m -=集合具有性质，{}*|31,N C x A x k k =∈=-∈P 因为可取，对于该集合中任一元素，110m =<，（），都有.112231,31c k c k =-=-*12,N k k ∈121231c c k k -=-≠（2）当时，集合，1010n ={}()*1,2,3,,2019,2020,1010N A m m =≤∈ ①若集合具有性质，那么集合一定具有性质．S P {}2021|T x x S =-∈P 首先因为，任取，其中．{}2021|T x x S =-∈02021t x T =-∈0x S ∈因为，所以．S A ⊆{}01,2,3,,2020x ∈ 从而，即，所以．0120212020x ≤-≤t A ∈T A ⊆由具有性质，可知存在不大于的正整数，S P 1010m 使得对中的任意一对元素，都有．s 12,s s 12s s m -≠对于上述正整数，从集合中任取一对元素，m {}2021|T x x S =-∈112021t x -＝，其中，则有．222021t x =-12,x x S ∈1212t t s s m --≠＝所以，集合具有性质P ；{}2021|T x x S =-∈②设集合有个元素，由（1）可知，若集合具有性质，S k S P 那么集合一定具有性质．{}2021|T x x S =-∈P 任给，，则与中必有一个不超过．x S ∈12020x ≤≤x 2021x -1010所以集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过．S T 1010不妨设中有个元素不超过．S 2k t t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭12,,,t b b b 1010由集合具有性质，可知存在正整数．S P 1010m ≤使得对中任意两个元素，都有．S 12,s s 12s s m -≠所以一定有．12,,,t b m b m b m S +++∉ 又，故．100010002000i b m +≤+=121,,,b m b m b m A +++∈ 即集合中至少有个元素不在子集中，A t S 因此，所以，得．20202k k k t +≤+≤20202k k +≤1346k ≤当时，取，{}1,2,,672,673,,1347,,2019,2020S = 673m =则易知对集合中的任意两个元素，都有，即集合具有性质．S 12,y y 12673y y -≠S P 而此时集合S 中有个元素，因此，集合元素个数的最大值为．1346S 1346解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.9．(1)，10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭18y =-(2)或()42,4()42,4-(3)14a =(4)或51-35-【分析】（1）根据焦点和准线方程的定义求解即可；（2）先求出点P 的纵坐标为4，然后代入到抛物线解析式中求解即可；（3）如图所示，过点B 作轴于D ，过点A 作轴于E ，证明，推BD y ⊥AE y ⊥FDB FHC ∽出，则，点B 的纵坐标为，从而求出，证明16FD a =112OD OF DF a =-=112a 36BD a =，即可求出点A 的坐标为，再把点A 的坐标代入抛物线解析式AEF BDF ∽123,24a ⎛⎫ ⎪⎝+⎭-中求解即可；（4）如图，当E 为靠近点F 的黄金分割点的时候，过点M 作于N ，则，MN l ⊥MN MF=先证明是等腰直角三角形，得到，设点M 的坐标为，则MNH △NH MN=21,4m m ⎛⎫⎪⎝⎭过点B 作轴于D ，过点BD y ⊥由题意得点F 的坐标为F ⎛ ⎝1FH =当E 为靠近点F 的黄金分割点的时候，过点∵在中，Rt MNH △sin MHN ∠∴，∴是等腰直角三角形，45MHN ︒=MNH △双曲线方程联立，利用韦达定理及题目条件可得，后由题意可得AM AN ⋅= ()()222131t t m -+=-所过定点坐标；②结合①及图形可得都在左支上，则可得，后由图象可得,M N 213m <，后通过令，结合单调性229113m S m +=-223113m λλ⎛⎫+=≤< ⎪⎝⎭()423313f x x x x ⎛⎫=-≤< ⎪⎝⎭可得答案.【详解】（1）设双曲线的焦距为，C 2c 由题意有解得．2223,24,,ba c c ab ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩1,3,2a b c ===故双曲线的标准方程为；C 2213y x -=（2）①证明：设直线的方程为，点的坐标分别为，MN my x t =+,M N ()()1122,,,x y x y 由（1）可知点A 的坐标为，()1,0联立方程消去后整理为，2213y x my x t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩x ()222316330m y mty t --+-=可得，2121222633,3131mt t y y y y m m -+==--，()212122262223131m t tx x m y y t t m m +=+-=-=--，()()()()222222222121212122223363313131m t m t m t x x my t my t m y y mt y y t t m m m -+=--=-++=-+=----由，()()11111,,1,AM x y AN x y =-=-有()()()1212121212111AM AN x x y y x x x x y y ⋅=--+=-+++，()()()()22222222222222222132331313131313131t t t t t t m t t t m m m m m m -----++-=--++===------由，可得，有或，AM AN ⊥0AM AN ⋅=1t =-2t =当时，直线的方程为，过点，不合题意，舍去；1t =-MN 1my x =-()1,0当时，直线的方程为，过点，符合题意，2t =MN 2my x =+()2,0-②由①，设所过定点为121224,31x x x x m +==-若在双曲线的同一支上，可知,M N 有12240,31x x x m +=<-关键点睛：求直线所过定点常采取先猜后证或类似于本题处理方式，设出直线方程，通过题一方面：由以上分析可知，设椭圆方程为一方面：同理设双曲线方程为()22221y m x a b +-=，()2222221b x a k x m a b -+=化简并整理得()(2222222112ba k x a mk x a m ---+一方面：同理设抛物线方程为(22x p y =，()212x p k x n =+化简并整理得，由韦达定理可得12220pk x x pn --=2,2x x pk x x pn +=⋅=-（2）构造，故转化为等价于“对任()()()()()13131931x x xx f x k k g x f x +--==+++()()()123g x g x g x +>意，，恒成立”，换元后得到（），分，和1x 2x 3R x ∈()()11k g x q t t -==+3t ≥1k >1k =三种情况，求出实数k 的取值范围.1k <【详解】（1）由条件①知，当时，有，即在R 上单调递增．12x x <()()12f x f x <()f x 再结合条件②，可知存在唯一的，使得，从而有．0R x ∈()013f x =()093x x f x x --=又上式对成立，所以，R x ∀∈()00093x x f x x --=所以，即．0001393x x x --=0009313x x x ++=设，因为，所以单调递增．()93x x x xϕ=++()9ln 93ln 310x x x ϕ'=++>()x ϕ又，所以．()113ϕ=01x =所以；()931x x f x =++（2）构造函数，()()()()()13131931x x xx f x k k g x f x +--==+++由题意“对任意的，，，1x 2x 3R x ∈均存在以，，为三边长的三角形”()()()11113x f x k f x +-()()()22213x f x k f x +-()()()33313x f x k f x +-等价于“对任意，，恒成立”．()()()123g x g x g x +>1x 2x 3R x ∈又，令，()111313x x k g x -=+++1131231333x x x x t ⋅=++≥+=当且仅当时，即时取等号，91x=0x =则（），()()11k g x q t t -==+3t ≥当时，，因为且，1k >()21,3k g x +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()()122423k g x g x +<+≤()3213k g x +<≤所以，解得，223k +≤4k ≤即；14k <≤当时，，满足条件；1k =()()()1231g x g x g x ===当时，，因为且，1k <()2,13k g x +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()()122423k g x g x ++<≤()3213k g x +<≤所以，即．2413k +≤112k -≤<综上，实数k 的取值范围是．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.13．(1)14x =(2)证明过程见解析(3)，()112023k n k x --=1k n≤≤【分析】（1）由题意转化为对于，都存在，使得，其中(),m a b =(),n c d =0m n ⋅= ，选取，，通过分析求出；,,,a b c d X ∈()1,,2m a b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()(),1,n c d d ==- 14x =（2）取，，推理出中有1个为，则另一个为1，即，()()11,,m a b x x == (),n c d =,c d 1-1X ∈再假设，其中，则，推导出矛盾，得到；1k x =1k n <<101n x x <<<11x =（3）由（2）可得，设，，则有，记11x =()11,m s t =()22,n s t =1212s t t s =-，问题转化为X 具有性质P ，当且仅当集合关于原点对称，得到,,s B s X t X s t t ⎧⎫=∈∈>⎨⎬⎩⎭B ，共个数，由对称性可知也有个数，(){}234,0,,,,n B x x x x -∞=---- ()1n -()0,B +∞ ()1n -结合三角形数阵得到，得到数列为首项为1的等比123212321n n n n n n x x x x x x x x x x -----===== 12,,,n x x x 数列，设出公比为，结合求出公比，求出通项公式.q 2023n x =【详解】（1）对任意，都存在，使得，,a b X ∈,c d X ∈0ac bd +=即对于，都存在，使得，其中，(),m a b =(),n c d =0m n ⋅= ,,,a b c d X ∈因为集合具有性质P ，11,,,12x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭选取，，()1,,2m a b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()(),1,n c d d ==-则有，12x d -+=假设，则有，解得，这与矛盾，d x =102x x -+=0x =102x <<假设，则有，解得，这与矛盾，1d =-12x --=12x =-102x <<假设，则有，解得，这与矛盾，1d =12x -+=12x =102x <<假设，则有，解得，满足，12d =14x -+=14x =102x <<故；14x =（2）取，，()()11,,m a b x x == (),n c d =则，()10c d x +=因为，所以，即异号，120n x x x <<<< 0c d +=,c d 显然中有1个为，则另一个为1，即，,c d 1-1X ∈假设，其中，则，1k x =1k n <<101n x x <<<选取，，则有，()()1,,n m a b x x ==(),n s t =10n sx tx +=则异号，从而之中恰有一个为，,s t ,s t 1-若，则，矛盾，1s =-11n x tx t x =>≥若，则，矛盾，1t =-1n n x sx s x =<≤故假设不成立，所以；11x =（3）若X 具有性质P ，且，20231n x =>由（2）可得，11x =设，，则有，()11,m s t =()22,n s t =1212s t t s =-记，则X 具有性质P ，当且仅当集合关于原点对称，,,s B s X t X s t t ⎧⎫=∈∈>⎨⎬⎩⎭B 注意到是集合中唯一的负数，1-X 故，共个数，(){}234,0,,,,n B x x x x -∞=---- ()1n -由对称性可知也有个数，()0,B +∞ ()1n -由于，已经有个数，123421n n n n n nn n n n x x x x x x x x x x x x ----<<<<<< ()1n -对于以下三角形数阵：123421n n n n n n n n n n x x x x x xx x x x x x ----<<<<<< 1111123421n n n n n n n n x x x x xx x x x x --------<<<<< ……3321x x x x <21x x 注意到，123211111n n n x x x x x x x x x x -->>>>> 所以有，123212321n n n n n n x x x x x x x x x x -----===== 从而数列为首项为1的等比数列，设公比为，12,,,n x x x q 由于，故，解得，2023n x =112023n nx q x -==()112023n q -=故数列的通项公式为，.12,,,n x x x ()112023k n k x --=1k n ≤≤集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数或数列相结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.14．(1)答案见解析(2)①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）求出的导数，结合解不等式可得答案；()e 2x f x ax'=-（2）①，利用导数的几何意义求得的表达式，由此构造函数，()y h x =()()()F x g x h x =-利用导数判断其单调性，求其最小值即可证明结论；②设的根为，求得其表达式，()h x t=1x '并利用函数单调性推出，设曲线在点处的切线方程为，设11x x '≤()y g x =()0,0()y t x =的根为，推出，从而，即可证明结论.()t x t=2x '22x x '≥2121x x x x ''-≤-【详解】（1）由题意得，令，则，()e 2x f x ax'=-()e 2x g x ax=-()e 2x g x a'=-当时，，函数在上单调递增；0a ≤()0g x '>()f x 'R 当时，，得，，得，0a >()0g x '>ln 2x a >()0g x '<ln 2x a <所以函数在上单调递减，在上单调递增．()f x '(),ln 2a -∞()ln 2,a +∞（2）①证明：由（1）可知，令，有或，()()()1e 1x g x x =+-()0g x ==1x -0x =故曲线与x 轴负半轴的唯一交点P 为．()y g x =()1,0-曲线在点处的切线方程为，()1,0P -()y h x =则，令，则，()()()11h x g x '=-+()()()F x g x h x =-()()()()11F x g x g x '=--+所以，．()()()()11e 2e x F x g x g x '''=-=+-()10F '-=当时，若，，1x <-(],2x ∈-∞-()0F x '<若，令，则，()2,1x --()1()e 2e x m x x =+-()()e 30xm x x '=+>故在时单调递增，．()F x '()2,1x ∈--()()10F x F ''<-=故，在上单调递减，()0F x '<()F x (),1-∞-当时，由知在时单调递增，1x >-()()e 30x m x x '=+>()F x '()1,x ∈-+∞，在上单调递增，()()10F x F ''>-=()F x ()1,-+∞设曲线在点处的切线方程为()y g x =()0,0令()()()()(1e x T x g x t x x =-=+当时，2x ≤-()()2e x T x x =+-'()()2e xn x x =+-设，∴()()1122,,,B x y C x y 1x 又1211,22AB x AC x =+=+依题意，即，则，0bc <02x >()()220220004482x y c x x b =+---因为，所以，2002y x =0022x b c x -=-所以，()()00000242248122424S b c x x x x x -⋅=-++≥-⋅+=-=-当且仅当，即时上式取等号，00422x x -=-04x =所以面积的最小值为8．PDE △方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．16．(1)2214x y +=(2)证明见解析(3)存在，7,,777⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+∞⎝⎭⎭ 【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到三点在椭圆C 上．把的坐标代入椭圆234,,P P P 23,P P C ，求出，即可求出椭圆C 的方程；22,a b （2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设，与椭圆方程联立，利():1l y kx t t =+≠用判别式、根与系数的关系，结合已知条件得到，能证明直线l 过定点；21t k =--()2,1-（3）利用点差法求出直线PQ 的斜率，从而可得直线PQ 的方程，与抛物线方程联14PQ k t =立，由，及点G 在椭圆内部，可求得的取值范围，设直线TD 的方程为，0∆>2t 1x my =+与抛物线方程联立，由根与系数的关系及，可求得m 的取值范围，进而可求得直线11DA TB k k =的斜率k 的取值范围．2l【详解】（1）根据椭圆的对称性，两点必在椭圆C 上，34331,,1,22P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又的横坐标为1，4P ∴椭圆必不过，()11,1P ∴三点在椭圆C 上．()234330,1,1,,1,22P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭把代入椭圆C ，()3231,20,1,P P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭得，解得，222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2241a b ⎧=⎨=⎩∴椭圆C 的方程为．2214x y +=（2）证明：①当斜率不存在时，设,，:l x m =()(),,,A A A m y B m y -∵直线与直线的斜率的和为，2P A 2P B 1-∴，221121A A P A P B y y k k m m m ----+=+==-解得m ＝2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设,，，:l y kx t =+1t ≠()()1122,,,A x y B x y 联立，消去y 整理得，22440y kx tx y =+⎧⎨+-=⎩()222148440k x ktx t +++-=则，，122814kt x x k -+=+21224414t x x k -=+则()()()()222112************111111P A P B x y x y x kx t x kx t y y k k x x x x x x -+-+-++---+=+==,()()()()()()12121222222448218114141144411142t k k kx x t tk t k t k k t t x t x x x +-+=--⋅+-⋅-++===--+-+又，∴，此时，1t ≠21t k =--()()222222644144464161664k t k t k t k ∆=-+-=-+=-故存在k ，使得成立，0∆>∴直线l 的方程为，即21y kx k =--()12y k x +=-∴l 过定点．()2,1-（3）∵点P ，Q 在椭圆上，所以，，2214P P x y +=2214Q Q x y +=两式相减可得，()()()()04PQ P Q P Q P Q y xy x x x y y +-++-=又是线段PQ 的中点，()1,G t -∴，2,2P Q P Q x x x x t+=-=∴直线PQ 的斜率，()144P Q P QP Q P QPQ x x k ty y x y y x +==-=--+∴直线PQ 的方程为，与抛物线方程联立消去x 可得，()114y x t t =++()22164410y ty t -++=由题可知，∴，()2161210t ∆=->2112t >又G 在椭圆内部，可知，∴，故，2114t +<234t <213124t <<设，，由图可知，，221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223434,,,44y y T y D y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2134,y y y y >>∴，()2121216,441y y t y y t +==+当直线TD 的斜率为0时，此时直线TD 与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，设直线TD 的方程为，与抛物线方程联立，消去x 可得，()10x my m =+≠2440y my --=∴，34344,4y y m y y +==-由，可知，即，11//ATB D 11DA TB k k =3142222234214444y y y y y y y y --=--∴，即，1342y y y y +=+1243y y y y -=-∴，()()221212343444y y y y y y y y +-=+-∵，()()()()()222212124161641161210,128y y y y t t t +-=-+=-∈∴，解得，即，()()223434416160,128y y y y m +-=+∈27m <()7,7m ∈-∴直线TD 即的斜率．2l 771,77,k m ⎛⎫⎛⎫=∈-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+∞⎝⎭⎭ 思路点睛：处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为），k （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，k (),0F x y =k ,x y （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，()00,x y k 此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，k ,x y ()00,x y ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式k ()k ⋅子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.k 17．(1)1y =-(2)2ln23-+【分析】（1）由题意，将代入函数的解析式中，对函数进行求导，得到1m =()f x ()f x 和，代入切线方程中即可求解；()1f '()1f （2）得到函数的解析式，对进行求导，利用根的判别式以及韦达定理对()g x ()g x 进行化简，利用换元法，令，，可得，12122()()y x x b x x =--+12x t x =01t <<2(1)ln 1t y t t -=-+根据，求出的范围，构造函数，对进行求导，利用导数得到322m ≥t 2(1)()ln 1t h t tt -=-+()h t 的单调性和最值，进而即可求解．()h t 【详解】（1）已知(为常数），函数定义域为，()ln f x x mx =-m (0,)+∞当时，函数，1m =()ln f x x x =-可得，此时，又，11()1x f x x x -'=-=()=01f '()11=f -所以曲线在点处的切线方程为，即.()y f x =()()1,1f (1)0(1)y x --=⨯-1y =-（2）因为，函数定义域为，22()2()2ln 2g x f x x x mx x =+=-+(0,)+∞可得，222(1)()22x mx g x m x x x -+=-+='此时的两根，即为方程的两根，()0g x '=1x 2x 210x mx -+=因为，所以，由韦达定理得，，322m ≥240m ∆=->12x x m +=121=x x 又，所以1212lnx x b x x =-121212121212ln 22()()()()xx y x x b x x x x x x x x =--=--++-，11211211222212()ln 2ln 1x x x x x x x x x x x x --=-=⨯-++令，，所以，12x t x =01t <<2(1)ln 1t y t t -=-+因为，整理得，2212()x x m +=22212122x x x x m ++=因为，则，121=x x 2221212122x x x x m x x ++=等式两边同时除以，得，12x x 212212=x x m x x ++可得，因为，212t m t ++=322m ≥所以，，152t t +≥()()2252=2210t t x x -+--≥解得或，则，12t ≤2t ≥102t <≤不妨设，函数定义域为，2(1)()ln 1t h t t t -=-+10,2⎛⎤⎥⎝⎦可得，22(1)()0(1)t h t t t -'=-<+所以函数在定义域上单调递减，()h t 此时，min 12()()ln223h t h ==-+故的最小值为．12122()()y x x b x x =--+2ln23-+利用导数求解在曲线上某点处的切线方程，关键点有两点，第一是切线的斜率，第二是切点。

【高考冲刺押题】高考数学三轮基础技能闯关夺分必备不等式综合(含解析).pdf

不等式综合【考点导读】能利用不等式性质、定理、不等式解法及证明解决有关数学问题和实际问题，如最值问题、恒成立问题、最优化问题等. 【基础练习】 1.若函数，则与的大小关系是 2.函数在区间上恒为正，则的取值范围是0＜a＜2 3.当点在直线上移动时，的最小值是7 4.已知f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)＞0的解集是(a2，b)，g(x)＞0的解集是(，)，则f(x)·g(x)＞0的解集是m≤4的m，不等式x2+mx＞4x+m－3x的取值范围是x＞3或x＜1 【范例导析】例1、已知集合，函数的定义域为Q （1）若，求实数a的取值范围。

（2）若方程在内有解，求实数a的取值范围。

分析：问题（1）可转化为在内有有解；从而和问题（2）是同一类型的问题，既可以直接构造函数角度分析，亦可以采用分离参数. 解：（1）若，在内有有解令当时，所以a>-4,所以a的取值范围是（2）方程在内有解则在内有解当时，所以时，在内有解点拨：本题用的是参数分离的思想例2.已知f(x)是定义在[—1，1]上的奇函数，且f (1)=1，若m、n∈[—1，1]，m+n≠0 （1）判断f (x)在[—1，1]上的单调性，并证明你的结论；（2）解不等式:；（3）若f (x)≤对所有x∈[—1，1]，∈[—1，1]恒成立，求实数t的取值范围．分析：可利用定义法判断单调性，再利用单调性解决问题（2），问题（3）只要f (x)max≤ 解：(1)任取—1≤x1<x2≤1，则 f (x1)—f (x2)=f (x1)+f (－x2)=∵—1≤x1<x2≤1，∴x1+（－x2）≠0，由已知＞0，又x1－x2＜0， ∴f (x1)—f (x2)＜0，即f (x)在[—1，1]上为增函数．（2）∵f (x)在[—1，1]上为增函数，故有（3）由(1)可知：f（x）在[—1，1]上是增函数，且f (1)=1，故对x∈[—l，1]，恒有f（x）≤1．所以要使f（x）≤，对所有x∈[—1，1]， ∈[—1，1]恒成立，即要≥1成立，故≥0成立．记g()=对 ∈[—1，1]，g()≥0恒成立，只需g()在[—1，1]上的最小值大于等于零．故解得：t≤—2或t=0．点拨：一般地，若与若分别存在最大值和最小值，则恒成立等价于. 例3.甲、乙两地相距，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度的平方成正比，且比例系数为；固定部分为元．（1）把全程运输成本元表示为速度的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：需由实际问题构造函数模型，转化为函数问题求解解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为，全程运输成本为．故所求函数为，定义域为．（2）由于都为正数，故有，即．当且仅当，即时上式中等号成立．若时，则时，全程运输成本最小；当，易证，函数单调递减，即时，．综上可知，为使全程运输成本最小，在时，行驶速度应为；在时，行驶速度应为．点拨：本题主要考查建立函数关系式、不等式性质（公式）的应用．也是综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的一道优秀试题．反馈练习： 1.设，函数，则使的的取值范围是 2.一个直角三角形的周长为2P，其斜边长的最小值 3.首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是 4.如果函数的单调递增区间是(-∞，a]，那么实数a的取值范围是____ a<-1____ 5.若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 6.设实数m,n,x,y满足的最大值 7．已知关于x的方程sin2x+2cosx+a=0有解，则a的取值范围是［－2，2］0≤p≤4的所有实数p，使不等式都成立的x的取值范围 9..三个同学对问题“关于的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是 a≤10 10.设曲线在点处的切线斜率为，且,对一切实数，不等式恒成立（） , ，又，即 11.已知二次函数f (x)=,设方程f (x)=x的两个实根为x1和x2．（1）如果x1<2＜x2<4，且函数f (x)的对称轴为x=x0，求证：x0＞—1；（2）如果x10，即 ∴ （2）由g(x)=． ①若0<x12，∴g(2)=4a+2b—1<0，又，代入上式得 ②若-2<x1<0，则x2=－2+x1<-2，∴g（-2）<0，即4a－2b+3<0，同理可求得．故当0<x1<2时，；当-2<x1<0时，． 12.已知A、B两地相距200km，一只船从A地逆水到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为v km/h(80)，则当v=12时，y1=720 得k=5 设全程燃料费为y，依题意有当，即v=16时取等号 8<v 所以当时，v=16时全程燃料费最省当时，令任取则即在上为减函数，当v=v0时，y取最小值综合得：当时，v=16km/h，全程燃料费最省，32000为元，当时，当v=v0时，全程燃料费最省，为元。

江苏高考数学冲刺突破专项训练：数列压轴题(含答案)

专题训练数列一、填空题1、（2018江苏高考）已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将AB的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ▲ ．2、（2017江苏高考）等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项为S n ，已知S 3=47，S 6=463，则a 8= ． 3、（2016江苏高考）已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是 ▲4、（南京市2018高三9月学情调研）记等差数列{a n }前n 项和为S n ．若a m ＝10，S 2m －1＝110，则m 的值为 ▲ ．5、（南京市2018高三第三次（5月）模拟）若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，且a 1=1，S 6=3S 3，则a 7的值为▲________．6、（前黄高级中学、姜堰中学等五校2018高三上第一次学情监测）设数列{}n a 的首项11a =，且满足21212n n a a +-=与2211n n a a -=+，则数列{}n a 的前20项和为 ▲ ．7、（苏锡常镇2018高三3月教学情况调研（一））设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若242a a +=，241S S +=，则10a = ．8、（苏锡常镇2018高三5月调研（二模））已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1054S S =，则14a d =9、（苏州市2018高三上期初调研）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*16152,n n a S n n n n N -=+∈-≥，若对任意*n N ∈，总有n kS S ≤，则k的值是．10、（无锡市2018高三上期中考试）菲波那切数列（Fibonacci,sequence ）,又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契（Leonadoda Fibonacci ）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1,2,3,5,8,13,21，…，则该数列的第10项为 .11、（徐州市2018高三上期中考试）已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且26a =，若137,,a a a 成等比数列，则8S 的值为▲12、（扬州、泰州、淮安、南通、徐州、宿迁、连云港市2018高三第三次调研）已知{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和．若32a =，1264S S =，则9a 的值为 ▲ ．13、（镇江市2018届高三第一次模拟（期末）考试）设等比数列 {a n }的前 n 项和 Sn ，若 a 1 = -2, S 6 = 9S 3 , 则a 5 的值为14、（无锡市2018高三上期中考试）在等差数列{}n a 中，已知13240,2a a a a +=+=-，则数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和是 .15、（扬州、泰州、淮安、南通、徐州、宿迁、连云港市2018高三第三次调研）已知实数a b c ，，成等比数列，621a b c +++，，成等差数列，则b 的最大值为 ▲ ．二、解答题1、（2018江苏高考）设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．（1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；（2）若*110,,(1,2]m a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）．2、（2017江苏高考）对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n﹣1+a n +1+…a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立，则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{a n }是等差数列．3、（2016江苏高考）记{}1,2,100U =…，.对数列{}()*n a n N ∈和U 的子集T ，若T =∅,定义0T S =;若 {}12,,k T t t t =…，，定义12+k T t t t S a a a =++….例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,k T ⊆…，，求证：1T k S a +<；（3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥,求证：2C CDD S S S +≥.。

【精品高考数学】2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破-专题02 立体几何+答案

2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破专题02 立体几何2020年江苏高考核心考点1.线线与线面的平行与垂直：线线与线面的平行与垂直一定要熟练掌握它们的判定定理和性质定理。

利用几何方法证明垂直与平行问题是立体几何的重要内容，也是高考考查的重点，求解的关键是根据线线垂直(平行)、线面垂直(平行)、面面垂直(平行)这三者之间的互化关系，借助辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系，从而将问题解决。

2.平面与平面的平行与垂直：熟练掌握平面与平面的平行与垂直的判定定理和性质定理，注意判定定理和性质定理的条件。

3.多面体的表面积与体积：求多面体的表面积与体积常用方法：1、公式法：可以运用规则的几何体；2、割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，或者把几何体补成熟悉的几何体。

3、等积法：通过转换顶点，换成底面积或者高易求的几何体。

专项突破一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）1.（江苏省南通市2020届四校联盟）在正四棱锥S ﹣ABC D 中，点O 是底面中心，SO ＝2，侧棱SA ＝2√3，则该棱锥的体积为．2.（江苏省丹阳市2020届高三年级下学期3月质量检测卷）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm ，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的体积为 cm 3． 3.（2020届天一中学高三年级第二学期期初调研测试）某种圆柱形的如罐的容积为128π个立方单位，当它的底面半径和高的比值为时，可使得所用材料最省．4.（2019～2020学年度如皋高三年级第二学期期初调研测试）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中12,3AB AA ==，O 为上底面中心．设正四棱柱1111ABCD A B C D -与正四棱锥1111O A B C D -的侧面积分别为12,S S ，则21S S = ． 5.（江苏省张家港市2020届高三阶段性调研测试）在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是边长为3的等边三角形，PA PC ⊥，PB PC ⊥，2PA PB ==，则该三棱锥的体积为_______．6.（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）如图，在体积为V 的圆柱O 1O 2中，以线段O 1O 2上的点O 为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为V 1，V 2，则12V V V+的值是． 7.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）在△AB C 中，AB ＝25AC 5∠BAC ＝90°，则△ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为．8.（2020年南师附中高考模拟数学试卷）设m ，n 为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ②若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β； ③若m ∥α，m ∥n ，则n ∥α； ④若m ⊥α，α∥β，则m ⊥β．其中的正确命题序号是．9.（2019—2020学年度扬州中学第二学期阶段性检测改编）将一个底面半径为4，高为2的圆锥锻造成一个球体，则球体的表面积为．10.（江苏省海安中学高三3月数学模拟考试数学试卷）现有一个橡皮泥制作的圆锥，底面半径为1，高为4．若将它制作成一个总体积不变的球，则该球的表面积为．11.（2019—2020学年度镇江市九校2020届高三年级3月模拟考试）如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为．12.（江苏省常熟市2020届高三3月“线上教育”学习情况调查）四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，2PA =，则四棱锥的侧面积是_________．13.（2020年江苏沭阳高级中学高考模拟试卷高考数学百日冲刺数学试卷（3月份））如图，从一个边长为12的正三角形纸片的三个角上，沿图中虚线剪出三个全等的四边形，余下部分再以虚线为折痕折起，恰好围成一个缺少上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底，则所得正三棱柱的体积为．14．（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））如图在矩形ABC D中，E为边AD 的中点，AB＝1，BC＝2．分别以A，D为圆心，1为半经作圆弧EB，EC，将两圆弧EB，EC及边BC所围成的平面图形（阴影部分）绕直线AD旋转一周，所形成的几何体的体积为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（江苏省南通市2020届四校联盟）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．（1）求证：AC1∥平面PBD；（2）求证：BD⊥A1P．16.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）在如图，三棱锥P—AB C中，点D，E分别为AB，BC的中点，且平面PDE⊥平面AB C．（1）求证：AC ∥平面PDE ；（3）若PD ＝AC ＝2，PE 3PBC ⊥平面AB C ．17.（江苏省如皋中学高三3月数学模拟考试数学试卷）如图，在四棱锥P ABC D 中，底面ABCD 为平行四边形，面PAD ABCD ⊥面，三角形PAD 为正三角形．（1）若,E F 为,PB CD 中点，证明：//EF PAD 面；（2）若90PAB ∠=︒，证明：面PAD PAB ⊥面．18.（2020年江苏沭阳高级中学高考模拟试卷高考数学百日冲刺数学试卷（3月份））如图，在四棱锥P ﹣ABC D 中．（1）若AD ⊥平面PAB ，PB ⊥PD ，求证：平面PBD ⊥平面PAD ；（2）若AD ∥BC ，E 为PA 的中点，当BE ∥平面PCD 时，求BCAD的值．19.（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））如图，在四棱锥P —ABC D 中，四边形ABCD 为平行四边形，BD ⊥DC ，△PCD 为正三角形，平面PCD ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．（1）证明：AP ∥平面EBD ；FEPDCBA（2）证明：BE⊥P C．20.(江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试)如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA＝CB，点P，Q 分别为AB 1，CC1的中点．求证：（1）PQ∥平面ABC；（2）PQ⊥平面ABB1A1．2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破专题02 立体几何2020年江苏高考核心考点1.线线与线面的平行与垂直：线线与线面的平行与垂直一定要熟练掌握它们的判定定理和性质定理。

高考数学历年压轴题集锦

高考数学压轴题集锦1．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22，相应于焦点F (c ,0)（c >0）的准线l 与x 轴相交于点A ，OF =2FA ，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。

（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若OP ⋅OQ =0，求直线PQ 的方程；（3）设AP =λAQ （λ>1），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明FM =-λFQ . (14分)2．已知函数f (x )对任意实数x 都有f (x +1)+f (x )=1，且当x ∈[0,2]时，f (x )=|x -1|。

（1）x ∈[2k ,2k +2](k ∈Z )时，求f (x )的表达式。

（2）证明f (x )是偶函数。

（3）试问方程f (x )+log 43．（本题满分12分）如图，已知点F（0，1），直线L：y=-2，及圆C：x +(y -3)=1。

（1）若动点M 到点F 的距离比它到直线L 的距离小1，求动点M 的轨迹E 的方程；（2）过点F 的直线g 交轨迹E 于G（x 1，y 1）、H（x 2，y 2）两点，求证：x 1x 2为定值；（3）过轨迹E 上一点P 作圆C 的切线，切点为A、B，要使四边形PACB 的面积S 最小，求10点P 的坐标及S 的最小值。

8y64C2Fx -15-10-55OX-2-4-61=0是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有x实数根，请说明理由。

221015x 224.以椭圆2+y ＝1（a ＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试a 判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.5已知，二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 及一次函数g （x ）＝－bx ，其中a、b、c ∈R ，a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0.（Ⅰ）求证：f （x ）及g （x ）两函数图象相交于相异两点；（Ⅱ）设f （x ）、g （x ）两图象交于A 、B 两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时，试求|A 1B 1|的取值范围.6已知过函数f（x）=x +ax +1的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为－3。

高考数学压轴题专练

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作题型突破练——压轴题专练压轴题专练(一)建议用时：40分钟1．[2015·山西质监]已知椭圆E 的两焦点分别为(－1,0)，(1,0)，且经过点⎝⎛⎭⎪⎫1，22.(1)求椭圆E 的方程；(2)过P (－2,0)的直线l 交E 于A ，B 两点，且PB →＝3P A →，设A ，B 两点关于x 轴的对称点分别是C ，D ，求四边形ACDB 的外接圆的方程．解 (1)由题意知c ＝1,2a －22＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222，∴a ＝2，b ＝a 2－c 2＝1，椭圆E 的方程为x22＋y 2＝1.(2)设l ：x ＝my －2，代入椭圆方程得(m 2＋2)y 2－4my ＋2＝0，由Δ＝8m 2－16＞0得m 2＞2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m m 2＋2，①y 1y 2＝2m 2＋2.② 由PB →＝3P A →，得y 2＝3y 1.③ 由①②③解得m 2＝4，符合m 2＞2.不妨取m ＝2，则线段AB 的垂直平分线的方程为y ＝－2x －23，则所求圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0.又B (0,1)，∴圆的半径r ＝103.∴圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋y 2＝109. 2．已知函数f (x )＝(ax 2＋bx ＋c )e x 在[0,1]上单调递减且满足f (0)＝1，f (1)＝0.(1)求实数a 的取值范围；(2)设g (x )＝f (x )－f ′(x )，求g (x )在[0,1]上的最大值和最小值．解 (1)由f (0)＝1，f (1)＝0得c ＝1，a ＋b ＝－1，则f (x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ， f ′(x )＝ [ax 2＋(a －1)x －a ]e x .依题意知，对任意的x ∈[0,1]，有f ′(x )≤0.当a ＞0时，因为二次函数y ＝ax 2＋(a －1)x －a 的图象开口向上，而f ′(0)＝－a ＜0，所以f ′(1)＝(a －1)e ≤0，即0＜a ≤1；当a ＝0时，对任意的x ∈[0,1]，f ′(x )＝－x e x ≤0，符合条件；当a ＜0时，f ′(0)＝－a ＞0，不符合条件．故实数a 的取值范围是[0,1]．(2)因为g (x )＝(－2ax ＋1＋a )e x ，g ′(x )＝(－2ax ＋1－a )e x ， ①当a ＝0时，g ′(x )＝e x ＞0，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1，在x ＝1处取得最大值g (1)＝e.②当a ＝1时，对任意的x ∈[0,1]有g ′(x )＝－2x e x ≤0，g (x )在x ＝0处取得最大值g (0)＝2，在x ＝1处取得最小值g (1)＝0.③当0＜a ＜1时，由g ′(x )＝0得x ＝1－a2a ＞0.a ．当1－a 2a ≥1，即0＜a ≤13时，g (x )在[0,1]上单调递增，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ，在x ＝1处取得最大值g (1)＝(1－a )e.b ．当1－a 2a ＜1，即13＜a ＜1时，g (x )在x ＝1－a 2a 处取得最大值g ⎝⎛⎭⎪⎫1－a 2a＝2a e 1－a2a ，在x ＝0或x ＝1处取得最小值，而g (0)＝1＋a ，g (1)＝(1－a )e ，则当13＜a ≤e －1e ＋1时，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ；当e －1e ＋1＜a ＜1时，g (x )在x ＝1处取得最小值g (1)＝(1－a )e. 3．选做题(1)[选修4－1：几何证明选讲]如图，P 是⊙O 外一点，P A 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B ，C ，PC ＝2P A ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E .证明：①BE ＝EC ； ②AD ·DE ＝2PB 2.(2)[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)，M 为C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，点P 的轨迹为曲线C 2. ①求C 2的参数方程；②在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.(3) [选修4－5：不等式选讲]已知函数f (x )＝|x －m |＋|x ＋6|(m ∈R )．①当m ＝5时，求不等式f (x )≤12的解集；②若不等式f (x )≥7对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围．解 (1)证明：①∵PC ＝2P A ，PD ＝DC ，∴P A ＝PD ，△P AD 为等腰三角形．连接AB ，则∠P AB ＝∠DEB ＝β，∠BCE ＝∠BAE ＝α， ∵∠P AB ＋∠BCE ＝∠P AB ＋∠BAD ＝∠P AD ＝∠PDA ＝∠DEB ＋∠DBE ，∴β＋α＝β＋∠DBE ，即α＝∠DBE ，即∠BCE ＝∠DBE ，所以BE ＝EC .②∵AD ·DE ＝BD ·DC ，P A 2＝PB ·PC ，PD ＝DC ＝P A ， BD ·DC ＝(P A －PB )P A ＝PB ·PC －PB ·P A ＝PB ·(PC －P A )， PB ·P A ＝PB ·2PB ＝2PB 2.(2)①设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos αy 2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos αy ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos αy ＝4＋4sin α(α为参数)． ②曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3. 所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.(3)①当m ＝5时，f (x )≤12即|x －5|＋|x ＋6|≤12，当x ＜－6时，得－2x ≤13，即x ≥－132，所以－132≤x ＜－6；当－6≤x ≤5时，得11≤12成立，所以－6≤x ≤5；当x ＞5时，得2x ≤11，即x ≤112，所以5＜x ≤112.故不等式f (x )≤12的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－132≤x ≤112.②f (x )＝|x －m |＋|x ＋6|≥|(x －m )－(x ＋6)|＝|m ＋6|，由题意得|m ＋6|≥7，则m ＋6≥7或m ＋6≤－7，解得m ≥1或m ≤－13，故m 的取值范围是(－∞，－13]∪[1，＋∞)．压轴题专练(二)建议用时：40分钟1．如图，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为12，点C 在x 轴上，BC ⊥BF ，B ，C ，F 三点确定的圆M 恰好与直线x ＋3y ＋3＝0相切．(1)求椭圆的方程；(2)过F 作一条与两坐标轴都不垂直的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，在x 轴上是否存在点N ，使得NF 恰好为△PNQ 的内角平分线，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．解 (1)由题意可知F (－c,0)，∵e ＝12，∴b ＝3c ，即B (0，3c )，∵k BF ＝3c 0－(－c )＝3，又∵k BC ＝－33，∴C (3c,0)，圆M 的圆心坐标为(c,0)，半径为2c ，由直线x ＋3y ＋3＝0与圆M 相切可得|c ＋3|1＋(3)2＝2c ，∴c ＝1.∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在满足条件的点N (x 0,0)由题意可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2) ∵NF 为△PNQ 的内角平分线， ∴k NP ＝－k NQ ，即y 1x 1－x 0＝－y 2x 2－x 0，∴k (x 1＋1)x 1－x 0＝－k (x 2＋1)x 2－x 0⇒(x 1＋1)(x 2－x 0)＝－(x 2＋1)(x 1－x 0)．∴x 0＝x 1＋x 2＋2x 1x 2x 1＋x 2＋2.又⎩⎨⎧y ＝k (x ＋1)x 24＋y 23＝1，∴3x 2＋4k 2(x ＋1)2＝12.∴(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. ∴x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.∴x 0＝－8k 23＋4k 2＋8k 2－243＋4k 22－8k 23＋4k 2＝－4， ∴存在满足条件的点N ，点N 的坐标为(－4,0)．2．[2015·沈阳质监(一)]已知函数f (x )＝a ln x (a ＞0)，e 为自然对数的底数．(1)若过点A (2，f (2))的切线斜率为2，求实数a 的值； (2)当x ＞0时，求证：f (x )≥a ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x ；(3)在区间(1，e)上f (x )x －1＞1恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝a x ，f ′(2)＝a2＝2，a ＝4. (2)令g (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫ln x －1＋1x ，g ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.令g ′(x )＞0，即a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2＞0，解得x ＞1，所以g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．所以g (x )的最小值为g (1)＝0，所以f (x )≥a ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x .(3)令h (x )＝a ln x ＋1－x ，则h ′(x )＝ax －1，令h ′(x )＞0，解得x ＜a .当a >e 时，h (x )在(1，e)上单调递增，所以h (x )＞h (1)＝0. 当1＜a ≤e 时，h (x )在(1，a )上单调递增，在(a ，e)上单调递减，所以只需h (e)≥0，即a ≥e －1.当a ≤1时，h (x )在(1，e)上单调递减，则需h (e)≥0，而h (e)＝a ＋1－e ＜0，不合题意．综上，a ≥e －1.3. 选做题(1)[选修4－1：几何证明选讲]如图所示，AB 为圆O 的直径，CD 为圆O 的切线，切点为D ，AD ∥OC .①求证：BC 是圆O 的切线； ②若AD ·OC ＝2，试求圆O 的半径． (2)[选修4－4：坐标系与参数方程]以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度．设圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)上的点到直线l ：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2k 的距离为d .①当k ＝3时，求d 的最大值；②若直线l 与圆C 相交，试求k 的取值范围． (3)[选修4－5：不等式选讲] 设f (x )＝|x －3|＋|2x －4|. ①解不等式f (x )≤4；②若对任意实数x ∈ [5,9]，f (x )≤ax －1恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)①证明：如图，连接BD 、OD . ∵CD 是圆O 的切线，∴∠ODC ＝90°. ∵AD ∥OC ，∴∠BOC ＝∠OAD . ∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA . ∴∠BOC ＝∠DOC .又∵OC ＝OC ，OB ＝OD ，∴△BOC ≌△DOC . ∴∠OBC ＝∠ODC ＝90°，即OB ⊥BC . ∴BC 是圆O 的切线．②由①知∠OAD ＝∠DOC ，∴Rt △BAD ∽Rt △COD ， ∴AD AB ＝OD OC .AD ·OC ＝AB ·OD ＝2r ×r ＝2，∴r ＝1.(2)①由l ：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝32，得l ：ρcos θcos π4＋ρsin θsin π4＝32，整理得l ：x ＋y －6＝0.则d ＝|2cos θ＋2sin θ－6|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－62∴d max ＝82＝4 2. ②将圆C 的参数方程化为普通方程得x 2＋y 2＝2，直线l 的极坐标方程化为普通方程得x ＋y －k ＝0.∵直线l 与圆C 相交，∴圆心O 到直线l 的距离d <2，即|－k |2＜2，解得－2＜k ＜2.(3)①当x ＜2时，f (x )＝7－3x ≤4，得1≤x ＜2；当2≤x ≤3时，f (x )＝x －1≤4，得2≤x ≤3；当x ＞3时，f (x )＝3x －7≤4，得3＜x ≤113.综上可得不等式f (x )≤4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1≤x ≤113②∵x ∈[5,9]，∴f (x )≤ax －1即3x －7≤ax －1， ∴a ≥3－6x ，即a ≥3－69＝73.压轴题专练(三)建议用时：40分钟1．[2015·河南洛阳统考]已知椭圆的中心是坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为22，坐标原点O 到过右焦点F 且斜率为1的直线的距离为22.(1)求椭圆的标准方程；(2)设过右焦点F 且与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，在线段OF 上是否存在点M (m,0)，使得|MP |＝|MQ |？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F (c,0)(c ＞0)，由坐标原点O 到直线x －y －c ＝0的距离为22，得|0－0－c |2＝22，解得c ＝1.又e ＝c a ＝22，故a ＝2，b ＝1. ∴所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在点M (m,0)(0＜m ＜1)满足条件，则以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形．∵直线l 与x 轴不垂直，∴设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2y ＝k (x －1)可得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， Δ＞0恒成立，∴x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.设线段PQ 的中点为N (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝2k 21＋2k 2，y 0＝k (x 0－1)＝－k 1＋2k 2.∵|MP |＝|MQ |，∴MN ⊥PQ ，∴k MN ·k PQ ＝－1，即－k1＋2k 22k 21＋2k 2－m ·k ＝－1，∴m ＝k 21＋2k 2＝12＋1k 2.∵k 2＞0，∴0＜m ＜12. 2．[2015·九江一模]设函数f (x )＝12x 2－(a ＋b )x ＋ab ln x (其中e 为自然对数的底数，a ≠e ，b ∈R )，曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝－12e 2.(1)求b ；(2)若对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞，f (x )有且只有两个零点，求a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝x －(a ＋b )＋ab x ＝(x －a )(x －b )x， ∵f ′(e)＝0，a ≠e ，∴b ＝e.(2)由(1)得f (x )＝12x 2－(a ＋e)x ＋a eln x ，f ′(x )＝(x －a )(x －e )x， ①当a ≤1e 时，由f ′(x )＞0得x >e ；由f ′(x )<0得1e ＜x ＜e.此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增．∵f (e)＝12e 2－(a ＋e)e ＋a eln e ＝－12e 2＜0，f (e 2)＝12e 4－(a ＋e)e 2＋2a e ＝12e(e －2)(e 2－2a )≥12e(e －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－2e ＞0，(或当x →＋∞时，f (x )＞0亦可)∴要使得f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞上有且只有两个零点，则只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝12e 2－a ＋e e ＋a eln 1e ＝(1－2e 2)－2e (1＋e 2)a 2e 2≥0，即a ≤1－2e 22e (1＋e 2). ②当1e ＜a ＜e 时，由f ′(x )＞0得1e ＜x ＜a 或x ＞e ；由f ′(x )＜0得a ＜x ＜e.此时f (x )在(a ，e)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，a 和(e ，＋∞)上单调递增．f (a )＝－12a 2－a e ＋a eln a ＜－12a 2－a e ＋a eln e ＝－12a 2＜0，∴此时f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞上至多只有一个零点，不合题意．③当a ＞e 时，由f ′(x )＞0得1e ＜x ＜e 或x ＞a ，由f ′(x )＜0得e＜x ＜a ，此时f (x ) 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 和(a ，＋∞)上单调递增，在(e ，a )上单调递减，且f (e)＝－12e 2＜0，∴f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞上至多只有一个零点，不合题意．综上所述，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1－2e 22e (1＋e 2). 3．选做题(1)[选修4－1：几何证明选讲]如图，四边形ABCD 内接于圆O ，∠BAD ＝60°，∠ABC ＝90°，BC ＝3，CD ＝5.求对角线BD 、AC 的长．(2)[选修4－4：坐标系与参数方程]已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝1＋32t(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与y轴交于点P .①求曲线C 的直角坐标方程；②求1|P A |＋1|PB |的值．(3)[选修4－5：不等式选讲]已知实数m ，n 满足：关于x 的不等式|x 2＋mx ＋n |≤|3x 2－6x －9|的解集为R .①求m ，n 的值；②若a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝m －n ，求证：a ＋b ＋c ≤ 3. 解 (1)如图，延长DC ，AB 交于点E.∵∠BAD ＝60°，∴∠ECB ＝60°，∵∠ABC ＝90°，BC ＝3，CD ＝5，∴∠EBC ＝90°，∴∠E ＝30°，∴EC ＝2BC ＝2×3＝6，∴EB ＝3BC ＝33，∴ED ＝DC ＋EC ＝5＋6＝11，∵EC ×ED ＝EB ×(EB ＋AB )，则6×11＝33×(33＋AB )，解得AB ＝1333，∴AC ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13332＝1433. ∵∠EDB ＝∠EAC ，∠E ＝∠E ，∴△EDB ∽△EAC ，∴BD AC ＝BE CE ，∴BD ＝AC ·BE CE ＝1433×336＝7. (2)①利用极坐标公式，把曲线C 的极坐标方程ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4化为ρ2＝2ρsin θ＋2ρcos θ，∴普通方程是x 2＋y 2＝2y ＋2x ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2.②∵直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与y 轴交于点P ，把直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝1＋32t代入曲线C 的普通方程 (x －1)2＋(y －1)2＝2中，得t 2－t －1＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧t 1·t 2＝－1，t 1＋t 2＝1， ∴1|P A |＋1|PB |＝1|t 1|＋1|t 2| ＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝12－4×(－1)＝ 5.(3)①由于解集为R ，那么x ＝3，x ＝－1都满足不等式，即有⎩⎪⎨⎪⎧ |9＋3m ＋n |≤0|1－m ＋n |≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧9＋3m ＋n ＝01－m ＋n ＝0，解得m ＝－2，n ＝－3，经验证当m ＝－2，n ＝－3时，不等式的解集是R .②证明：a ＋b ＋c ＝1，a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ， ∴(a ＋b ＋c )2＝a ＋b ＋c ＋2ab ＋2bc ＋2ca ≤3(a ＋b ＋c )＝3，故a ＋b ＋c ≤3(当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号)．压轴题专练(四)建议用时：40分钟1．[2015·九江一模]已知椭圆C 的中心在坐标原点，右焦点为F (7，0)，A 、B 分别是椭圆C 的左、右顶点，D 是椭圆C 上异于A 、B 的动点，且△ADB 面积的最大值为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)求证：当点P (x 0，y 0)在椭圆C 上运动时，直线l ：x 0x ＋y 0y ＝2与圆O ：x 2＋y 2＝1恒有两个交点，并求直线l 被圆O 所截得的弦长L 的取值范围．解 (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知可得(S △ADB )max ＝12·2a ·b ＝ab ＝12，①∵F (7，0)为椭圆右焦点，∴a 2＝b 2＋7，②由①②可得a ＝4，b ＝3，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 29＝1.(2)证明：∵P (x 0，y 0)是椭圆上的动点，∴x 2016＋y 209＝1，∴y 20＝9－9x 2016， ∴圆心O 到直线l ：x 0x ＋y 0y ＝2的距离d ＝2x 20＋y 20＝2x 20＋9－916x 20＝2716x 20＋9＜1(0≤x 20≤16)， ∴直线l ：x 0x ＋y 0y ＝2与圆O ：x 2＋y 2＝1恒有两个交点， L ＝2r 2－d 2＝21－4716x 20＋9(r 为圆x 2＋y 2＝1的半径)， ∵0≤x 20≤16，∴9≤716x 20＋9≤16，∴253≤L ≤ 3.2．[2015·唐山统考]已知函数f (x )＝a e x ＋x 2，g (x )＝sin x ＋bx ，直线l 与曲线C 1：y ＝f (x )切于点(0，f (0))，且与曲线C 2：y ＝g (x )切于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2. (1)求a ，b 的值和直线l 的方程；(2)证明：除切点外，曲线C 1，C 2位于直线l 的两侧．解 (1)f ′(x )＝a e x ＋2x ，g ′(x )＝cos x ＋b ，f (0)＝a ，f ′(0)＝a ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1＋π2b ，g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝b ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝ax ＋a ，曲线y ＝g (x )在点⎝⎛⎭⎪⎫π2，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2处的切线方程为y ＝ b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋1＋π2b ，即y ＝bx ＋1. 依题意，有a ＝b ＝1，直线l 的方程为y ＝x ＋1.(2)证明：由(1)知f (x )＝e x ＋x 2，g (x )＝sin x ＋x .设F (x )＝f (x )－(x ＋1)＝e x ＋x 2－x －1，则F ′(x )＝e x ＋2x －1，当x ∈(－∞，0)时，F ′(x )＜F ′(0)＝0；当x ∈(0，＋∞)时，F ′(x )＞F ′(0)＝0.F (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故F (x )≥F (0)＝0.设G (x )＝x ＋1－g (x )＝1－sin x ，则G (x )≥0，当且仅当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时等号成立．综上可知，f (x )≥x ＋1≥g (x )，且两个等号不同时成立，因此f (x )＞g (x )．所以除切点外，曲线C 1，C 2位于直线l 的两侧．3．选做题(1)[选修4－1：几何证明选讲]在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，以AB 为直径作圆O 交AC 于点D .①求线段CD 的长度；②点E 为线段BC 上一点，当点E 在什么位置时，直线ED 与圆O 相切，并说明理由．(2)[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝－5＋22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.①求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；②将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线C 1.求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最小值．(3)[选修4－5：不等式选讲]已知a ＋b ＝1，对∀a ，b ∈(0，＋∞)，1a ＋4b ≥|2x －1|－|x ＋1|恒成立，求x 的取值范围．解 (1)①连接BD ，在直角三角形ABC 中，易知AC ＝5，∠BDC ＝∠ADB ＝90°，所以∠BDC ＝∠ABC ，又因为∠C ＝∠C ，所以Rt △ABC ∽Rt △BDC ，所以CD BC ＝BC AC ，所以CD ＝BC 2AC ＝95.②当点E 是BC 的中点时，ED 与⊙O 相切；证明：连接OD ，∵DE 是Rt △BDC 的中线，∴ED ＝EB ，∴∠EBD ＝∠EDB ，∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB ，∴∠ODE ＝∠ODB ＋∠BDE ＝∠OBD ＋∠EBD ＝∠ABC ＝90°， ∴ED ⊥OD ，∴ED 与⊙O 相切．(2)①曲线C 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝4x ，即：(x －2)2＋y 2＝4，直线l 的普通方程为x －y ＋25＝0.②将曲线C 上的所有点的横坐标缩为原来的12，得(2x －2)2＋y 2＝4，即(x －1)2＋y 24＝1. 再将所得曲线向左平移1个单位，得C 1：x 2＋y 24＝1.又曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，设曲线C 1上任一点P (cos θ，2sin θ)，则d p →l ＝|cos θ－2sin θ＋25|2＝|25－5sin (θ－φ)|2≥102(其中tan φ＝12)，∴点P 到直线l 的距离的最小值为102.(3)∵a ＞0，b ＞0且a ＋b ＝1，∴1a ＋4b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝5＋b a ＋4a b ≥9，故1a ＋4b 的最小值为9，因为对a ，b ∈(0，＋∞)，使1a ＋4b ≥|2x －1|－|x ＋1|恒成立，所以|2x －1|－|x ＋1|≤9，当x ≤－1时，2－x ≤9，∴－7≤x ≤－1，当－1＜x ＜12时，－3x ≤9，∴－1＜x ＜12，当x ≥12时，x －2≤9，∴12≤x ≤11，∴－7≤x ≤11.。

(浙江专用)高考数学三轮冲刺抢分练压轴大题突破练(二)立体几何-人教版高三全册数学试题

(二)立体几何1.如图，四棱锥S－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱SB垂直于底面．(1)求证：平面SBD⊥平面SAC；(2)若SA与平面SCD所成的角为30°，求SB的长．(1)证明连接AC，BD，因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD.又因为SB⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥SB，因为BD∩SB＝B，BD，SB⊂平面SBD，所以AC⊥平面SBD.又因为AC⊂平面SAC，所以平面SAC⊥平面SBD.(2)解将四棱锥补形成正四棱柱ABCD－A′SC′D′，连接A′D，作AE⊥A′D，垂足为点E，连接SE.由SA′∥CD可知，平面SCD即为平面SCDA′.因为CD⊥侧面ADD′A′，AE⊂侧面ADD′A′，所以CD⊥AE，又因为AE⊥A′D，A′D∩CD＝D，A′D，CD⊂平面SCD，所以AE⊥平面SCD，于是∠ASE 即为SA 与平面SCD 所成的角．设SB ＝x ，在Rt△ABS 中，SA ＝1＋x 2，在Rt△DAA ′中，AE ＝x1＋x2.因为∠ASE ＝30°，所以1＋x 2＝2x 1＋x2，解得x ＝1，即SB 的长为1.2.(2019·某某模拟)如图，棱锥P －ABCD 的底面是菱形，AB ＝2，∠DAB ＝π3，侧面PAB 垂直于底面ABCD ，且△PAB 是正三角形．(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值． (1)证明取AB 的中点O ，连接OD ，OP ，由题意知，△ABD 为等边三角形，所以AB ⊥OD ，又△PAB 是等边三角形，所以AB ⊥OP ，又OP ∩OD ＝O ，OP ，OD ⊂平面POD ，所以AB ⊥平面POD ，又PD ⊂平面POD ，所以PD ⊥AB .(2)解方法一如图，由(1)知，PO ⊥AB ，PO ⊂平面PAB ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，平面PAB ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则P (0,0，3)，B (1,0,0)，C (2，3，0)，D (0，3，0)， BD →＝(－1，3，0)，PD →＝(0，3，－3)， PC →＝(2，3，－3)．设平面PBD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋3y ＝0，3y －3z ＝0，取y ＝1，得x ＝3，z ＝1，即n ＝(3，1,1)，设直线PC 与平面PBD 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，PC →〉|＝2310×5＝65，所以直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为65. 方法二设点C 到平面PBD 的距离为h ，直线PC 与平面PBD 所成的角是θ，则sin θ＝h PC.同方法一得，PO ⊥平面ABCD ，PD ＝PO 2＋DO 2＝6，又PB ＝2，BD ＝2，所以cos∠PBD ＝BD 2＋PB 2－PD 22BD ·PB ＝14，所以sin∠PBD ＝154，所以S △PBD ＝12PB ·BD ·sin∠PBD ＝152，由V C －PBD ＝V P －BCD ，即13S △PBD ·h ＝13S △BCD ·PO ，得13·152·h ＝13·3·3，h ＝2155，又PD ⊥AB ，AB ∥CD ，所以PD ⊥CD ，所以PC ＝PD 2＋CD 2＝10，所以sin θ＝h PC ＝65. 所以直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为65. 3．(2019·某某十四中月考)如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1所有的棱长均为2，A 1B ＝6，A 1B ⊥AC .(1)求证：A 1C 1⊥B 1C ；(2)求直线AC和平面ABB1A1所成角的余弦值．(1)证明方法一取AC的中点O，连接A1O，BO，则BO⊥AC，∵A1B⊥AC，A1B∩BO＝B，A1B⊂平面A1BO，BO⊂平面A1BO，∴AC⊥平面A1BO，连接AB1交A1B于点M，连接OM，则B1C∥OM，又OM⊂平面A1BO，∴AC⊥OM，∴AC⊥B1C，∵A1C1∥AC，∴A1C1⊥B1C.方法二连接AB1，BC1，∵四边形A1ABB1是菱形，∴A1B⊥AB1，又∵A1B⊥AC，AB1∩AC＝A，AB1⊂平面AB1C，AC⊂平面AB1C，∴A1B⊥平面AB1C，又B1C⊂平面AB1C，∴A1B⊥B1C，又四边形B1BCC1是菱形，∴BC1⊥B1C，又A1B∩BC1＝B，∴B1C⊥平面A1BC1，∴B1C⊥A1C1.(2)解∵A1B⊥AB1，A1B⊥AC，AB1∩AC＝A，AB1，AC⊂平面AB1C，∴A1B⊥平面AB1C，又A1B⊂平面ABB1A1，∴平面AB1C⊥平面ABB1A1，∵平面AB1C∩平面ABB1A1＝AB1，∴AC在平面ABB1A1内的射影为AB1，∴∠B1AC为直线AC和平面ABB1A1所成的角，由(1)知A1C1⊥B1C，又A1C1∥AC，∴B 1C ⊥AC ，∵AB 1＝2AM ＝2AB 2－BM 2＝10， ∴在Rt△ACB 1中， cos∠B 1AC ＝AC AB 1＝210＝105， ∴直线AC 和平面ABB 1A 1所成角的余弦值为105. 4．(2019·浙南联盟模拟)在三棱台ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 是等边三角形，二面角A －BC －B 1的平面角为60°，BB 1＝CC 1.(1)求证：A 1A ⊥BC ；(2)求直线AB 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值．(1)证明延长AA 1，BB 1，CC 1交于点S ，取棱BC 的中点O ，连接AO ，SO .因为BB 1＝CC 1，B 1C 1∥BC ，故SB ＝SC .又O 是棱BC 的中点，故BC ⊥SO .因为AB ＝AC ，所以BC ⊥AO ，又SO ，AO ⊂平面SAO ，且SO ∩AO ＝O ，因此BC ⊥平面SAO ，又A 1A ⊂平面SAO ，所以A 1A ⊥BC .(2)解方法一由(1)知，∠AOS 为二面角A －BC －B 1的平面角，即∠AOS ＝60°，作AH ⊥SO ，垂足为H ，连接BH .因为BC ⊥平面SAO ，AH ⊂平面SAO ，所以BC ⊥AH ，又SO ∩BC ＝O ，SO ，BC ⊂平面BCC 1B 1，故AH ⊥平面BCC 1B 1，从而∠ABH 为直线AB 与平面BCC 1B 1所成的角．不妨设AB ＝2，则AO ＝3，AH ＝AO sin∠AOS ＝32，所以sin∠ABH ＝AH AB ＝34.方法二如图，以O 为原点，OA ，OB 所在直线为x 轴，y 轴，过点O 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，由(1)，∠AOS 为二面角A －BC －B 1的平面角，则∠AOS ＝60°，设BC ＝2，SO ＝a (a >0)，则点A (3，0,0)，B (0,1,0)，C (0，－1,0)，S ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，32a .所以AB →＝(－3，1,0)，CB →＝(0,2,0)，OS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，32a ，设n ＝(x ，y ，z )为平面BCC 1B 1的一个法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB →＝0，n ·OS →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，a 2x ＋32a ·z ＝0，令x ＝3，则z ＝－1，即n ＝(3，0，－1)．设θ是直线AB 与平面BCC 1B 1所成的角，则sin θ＝|cos 〈AB →，n 〉|＝|AB →·n ||AB →||n |＝34.5.在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC ＝BC ＝BD ＝2AE ，M 是AB 的中点．(1)求证：CM ⊥EM ；(2)求CM 与平面CDE 所成的角．方法一 (1)证明因为AC ＝BC ，M 是AB 的中点，所以CM ⊥AB .又EA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以EA ⊥CM ，因为AB ∩EA ＝A ，AB ，EA ⊂平面ABDE ，所以CM ⊥平面ABDE ，又因为EM ⊂平面ABDE ，所以CM ⊥EM .(2)解过点M 作MH ⊥平面CDE ，垂足为H ，连接CH 并延长交ED 于点F ，连接MF ，MD ，则∠FCM 是直线CM 和平面CDE 所成的角．因为MH ⊥平面CDE ，ED ，MF ⊂平面CDE ，所以MH ⊥ED ，MF ⊥CM ，又因为CM ⊥平面EDM ，ED ⊂平面EDM ，所以CM ⊥ED ，因为MH ∩CM ＝M ，MH ，CM ⊂平面CMF ，所以ED ⊥平面CMF ，因为MF ⊂平面CMF ，所以ED ⊥MF . 设EA ＝a ，则BD ＝BC ＝AC ＝2a ，所以在Rt△ABC 中，AB ＝22a ，M 是AB 的中点，所以在直角梯形ABDE 中，DE ＝3a ，EM ＝3a ，MD ＝6a ，所以EM 2＋MD 2＝ED 2，所以△EMD 是直角三角形，其中∠EMD ＝π2，所以MF ＝EM ·MDDE＝2a .在Rt△CMF 中，tan∠FCM ＝MFMC＝1，又因为∠FCM ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，所以∠FCM ＝π4，故CM 与平面CDE 所成的角是π4.方法二如图，以点C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别作为x 轴和y 轴，过点C 作与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，设EA ＝a ，则A (2a ,0,0)，B (0,2a ,0)，E (2a ,0，a )， D (0,2a ,2a )，M (a ，a ,0)．(1)证明因为EM →＝(－a ，a ，－a )，CM →＝(a ，a ,0)，所以EM →·CM →＝0，故EM ⊥CM .(2)解设向量n ＝(1，y 0，z 0)为平面CDE 的一个法向量，则n ⊥CE →，n ⊥CD →，即n ·CE →＝0，n ·CD →＝0. 因为CE →＝(2a ,0，a )，CD →＝(0,2a ,2a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋az 0＝0，2ay 0＋2az 0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝2，z 0＝－2，即n ＝(1,2，－2)，cos 〈n ，CM →〉＝CM →·n |CM →|·|n |＝22，因为〈n ，CM →〉∈[0，π]，所以〈n ，CM →〉＝π4.直线CM 与平面CDE 所成的角θ是n 与CM →夹角的余角，所以θ＝π4，因此直线CM 与平面CDE所成的角是π4.6．如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝2，AD ＝4，点E ，F 分别在AD ，BC 上，且AE ＝1，BF ＝3，将四边形AEFB 沿EF 折起，使点B 在平面CDEF 上的射影H 在直线DE 上．(1)求证：CD ⊥BE ； (2)求线段BH 的长度；(3)求直线AF 与平面EFCD 所成角的正弦值． (1)证明 ∵BH ⊥平面CDEF ，∴BH ⊥CD ，又CD ⊥DE ，BH ∩DE ＝H ，BH ，DE ⊂平面DBE ， ∴CD ⊥平面DBE ，∴CD ⊥BE . (2)解方法一设BH ＝h ，EH ＝k ，过F 作FG 垂直ED 于点G ，∵线段BE ，BF 在翻折过程中长度不变，根据勾股定理得⎩⎪⎨⎪⎧BE 2＝BH 2＋EH 2，BF 2＝BH 2＋FH 2＝BH 2＋FG 2＋GH 2，即⎩⎪⎨⎪⎧5＝h 2＋k 2，9＝22＋h 2＋(2－k )2，解得⎩⎪⎨⎪⎧h ＝2，k ＝1，∴线段BH 的长度为2.方法二如图，过点E 作ER ∥DC ，过点E 作ES ⊥平面EFCD ，以点E 为坐标原点，分别以ER ，ED ，ES 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设点B (0，y ，z )(y >0，z >0)，由于F (2,2,0)，BE ＝5，BF ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋z 2＝5，4＋(y －2)2＋z 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，z ＝2，于是B (0,1,2)，∴线段BH 的长度为2.(3)解方法一延长BA 交EF 于点M ， ∵MA ∶MB ＝AE ∶BF ＝1∶3，∴点A 到平面EFCD 的距离为点B 到平面EFCD 距离的13，∴点A 到平面EFCD 的距离为23，而AF ＝AB 2＋BF 2＝13，故直线AF 与平面EFCD 所成角的正弦值为21339.方法二由(2)方法二知FB →＝(－2，－1,2)，故EA →＝13FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13，23，FA →＝FE →＋EA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，－73，23，设平面EFCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，直线AF 与平面EFCD 所成角的大小为θ，则sin θ＝|FA →·n ||FA →||n |＝21339.即直线AF 与平面EFCD 所成角的正弦值为21339.。

(浙江专用)高考数学三轮冲刺抢分练压轴大题突破练(四)解析几何

（浙江专用）高考数学三轮冲刺抢分练压轴大题突破练（四）解析几何(四)解析几何1．(2019·杭州外国语学校模拟)抛物线x2＝4y的焦点为F，直线l：y＝－1，若A为抛物线上第一象限的一动点，过F作AF的垂线交直线l于点B，交抛物线于M，N两点．(1)求证：直线AB与抛物线相切；(2)若点A满足AM⊥AN，求此时点A的坐标．(1)证明由题意得焦点F(0,1)，设A(x0，y0)(x0>0，y0>0)，∴直线AF的斜率为y0－1x0，由题意知直线BF斜率存在，则直线BF的方程为y＝x01－y0x＋1，∴点B的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2(y0－1)x0，－1，∴直线AB的斜率为y0＋1x0－2(y0－1)x0＝x0⎝⎛⎭⎪⎫14x20＋1x20－2⎝⎛⎭⎪⎫14x20－1＝x02，根据导数的几何意义得y＝14x2在点A(x0，y0)处的切线斜率为x02，∴直线AB与抛物线相切．(2)解由(1)知A(x0，y0)，直线MN的方程为y＝x01－y0x＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y，y ＝x 01－y 0x ＋1，消去y 整理得x 2－4x 01－y 0x －4＝0，由题意知，Δ>0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4x 01－y 0，x 1x 2＝－4，由题意得直线AM 的斜率为y 1－y 0x 1－x 0＝x 214－x 204x 1－x 0＝x 1＋x 04，同理直线AN 的斜率为x 2＋x 04，∴x 1＋x 04·x 2＋x 04＝－1，整理得y 20－2y 0－3＝0，又因为A (x 0，y 0)在第一象限，解得y 0＝3(舍负)，代入抛物线方程得x 0＝23，所以存在点A (23，3)，使得AM ⊥AN .2.如图，已知直线y ＝－2mx －2m 2＋m 与抛物线C ：x 2＝y 相交于A ，B 两点，定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.(1)证明：线段AB 被直线y ＝－x 平分； (2)求△MAB 面积取得最大值时m 的值． (1)证明设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2mx －2m 2＋m ，y ＝x 2，得x 2＋2mx ＋2m 2－m ＝0，Δ＝4m 2－4(2m 2－m )>0，即0<m <1，∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝2m 2－m ，则x 1＋x 22＝－m ，y 1＋y 22＝x 21＋x 222＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 22＝m ，∴线段AB 的中点坐标为(－m ，m )， ∴线段AB 被直线y ＝－x 平分． (2)解 ∵|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋4m2－4m 2＋4m (0<m <1)，点M 到直线AB 的距离为d ＝|1＋2m 2－2m |1＋4m 2， ∴△MAB 的面积S ＝12|AB |d＝－m 2＋m |1－2(－m 2＋m )|(0<m <1)，令－m 2＋m ＝t ，则0<t ≤12，∴S ＝t |1－2t 2|＝t －2t 3⎝⎛⎭⎪⎫0<t ≤12，令f (t )＝t －2t 3⎝ ⎛⎭⎪⎫0<t ≤12，则f ′(t )＝1－6t 2，则f (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，66上单调递增，在⎝ ⎛⎦⎥⎤66，12上单调递减，故当t ＝66时，f (t )取得最大值，即△MAB 面积取得最大值，此时有－m 2＋m ＝66，解得m ＝3±36. 3．(2019·湖州中学模拟)如图，A 为椭圆x 22＋y 2＝1的下顶点，过A 的直线l 交抛物线x 2＝2py (p >0)于B ，C 两点，C 是AB 的中点．(1)求证：点C 的纵坐标是定值；(2)过点C 作与直线l 倾斜角互补的直线l ′交椭圆于M ，N 两点，求p 的值，使得△BMN 的面积最大．(1)证明易知A (0，－1)，不妨设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 22p ，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，t 2－2p 4p ，把点C 代入抛物线方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22＝2p ·t 2－2p 4p ，得t 2＝4p ， ∴y C ＝4p －2p 4p ＝12为定值．(2)解 ∵点C 是AB 中点，∴S △BMN ＝S △AMN ， ∵直线l 的斜率k ＝12－(－1)t2＝3t，直线l ′的斜率k ′＝－3t，∴直线l ′的方程为y －12＝－3t ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －t 2，即y ＝－3t x ＋2，不妨记m ＝－3t，则l ′：y ＝mx ＋2，代入椭圆方程整理得(2m 2＋1)x 2＋8mx ＋6＝0，Δ＝64m 2－24(2m 2＋1)>0，即m 2>32，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8m 2m 2＋1，x 1x 2＝62m 2＋1，|MN |＝1＋m 2|x 1－x 2| ＝22·1＋m 2·2m 2－32m 2＋1，A 到MN 的距离d ＝3m 2＋1，所以S △BMN ＝S △AMN ＝12·|MN |·d＝32·2m 2－32m 2＋1＝322m 2－3＋42m 2－3≤3224＝324.当且仅当2m 2－3＝42m 2－3，即m 2＝72时，等号成立，此时满足Δ>0，所以t 2＝9m 2＝187，p ＝t 24＝914.4．(2019·余高、缙中、长中模拟)对于椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，有如下性质：若点P (x 0，y 0)是椭圆外一点，PA ，PB 是椭圆的两条切线，则切点A ，B 所在直线的方程是x 0x a 2＋y 0yb 2＝1.利用此结论解答下列问题：已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1和点P (2，t )(t ∈R )，过点P 作椭圆C 的两条切线，切点是A ，B ，记点A ，B 到直线PO (O 是坐标原点)的距离是d 1，d 2. (1)当t ＝0时，求线段AB 的长； (2)求|AB |d 1＋d 2的最大值．解 (1)因为点P (2，t )，直线AB 的方程是2x ＋2ty ＝2，即x ＋ty ＝1，当t ＝0时，直线AB 的方程是x ＝1，此时|AB |＝ 2.(2)由(1)知直线AB 的方程是x ＋ty ＝1，直线PO 的方程是tx －2y ＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋yt ＝1，x 2＋2y 2＝2得(t 2＋2)y 2－2ty －1＝0，Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(tx 1－2y 1)(tx 2－2y 1)<0，所以d 1＋d 2＝|tx 1－2y 1|t 2＋4＋|tx 2－2y 2|t 2＋4＝|(t 2＋2)(y 2－y 1)|t 2＋4，另|AB |＝1＋t 2|y 1－y 2|，所以|AB |d 1＋d 2＝(1＋t 2)(4＋t 2)2＋t 2；设2＋t 2＝x ，则|AB |d 1＋d 2＝(x －1)(x ＋2)x2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1x ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －142＋98，所以，当1x ＝14，即x ＝4，t 2＝2时，|AB |d 1＋d 2有最大值为324. 5．(2019·慈溪中学模拟)如图所示，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 过点(0，3)，T 为直线x ＝4上的动点，过点T 作椭圆C 的切线TA ，TB ，A ，B 为切点．(1)求证：A ，F 2，B 三点共线；(2)过点F 2作一条直线与曲线C 交于P ，Q 两点，过P ，Q 作直线x ＝4的垂线，垂足依次为M ，N .求证：直线PN 与MQ 交于定点．证明 (1)由已知得c a ＝12，b ＝3，又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.设T (4，t )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则切线TA ，TB 的方程分别为x 1x 4＋y 1y3＝1，x 2x 4＋y 2y3＝1，由于切线TA ，TB 过点T (4，t )，所以x 1＋y 1t3＝1，x 2＋y 2t3＝1，即x 1＋t 3y 1＝1，x 2＋t3y 2＝1，所以直线AB 的方程为x ＋t3y ＝1.易知直线AB 过点F 2(1,0)，所以A ，F 2，B 三点共线．(2)当直线PQ 的斜率存在时，设过点F 2的直线为y ＝k (x －1)(k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则Δ＝(－8k 2)2－4(3＋4k 2)(4k 2－12)>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1≠x 2，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，过P ，Q 作直线x ＝4的垂线，垂足依次为M ，N ，则M (4，y 1)，N (4，y 2)，则直线PN ：y －y 2＝y 2－y 14－x 1(x －4)，令y ＝0，则x ＝x 1y 2－4y 1y 2－y 1＝x 1·k (x 2－1)－4k (x 1－1)k (x 2－x 1)＝x 1x 2－5x 1＋4x 2－x 1，直线MQ ：y －y 1＝y 2－y 1x 2－4(x －4)，令y ＝0，得x ＝4y 2－x 2y 1y 2－y 1＝5x 2－4－x 1x 2x 2－x 1，因为2x 1x 2＋8－5(x 1＋x 2)＝2(4k 2－12)3＋4k 2＋8－40k23＋4k 2＝0，所以x 1x 2－5x 1＋4x 2－x 1＝5x 2－4－x 1x 2x 2－x 1.因此直线PN 与MQ 交于定点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0.当PQ ⊥x 轴即直线PQ 的斜率不存在时，可得PN 与MQ 交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0. 故直线PN 与MQ 交于定点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0. 6.如图，过椭圆M ：x 22＋y 2＝1的右焦点F 作直线交椭圆于A ，C 两点．(1)当A ，C 变化时，在x 轴上求定点Q ，使得∠AQF ＝∠CQF ；(2)在(1)的条件下，设直线QA 交椭圆M 的另一个交点为B ，连接BF 并延长交椭圆于点D ，当四边形ABCD 的面积取得最大值时，求直线AC 的方程．解 (1)设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，Q (q ,0)，当A ，C 不在x 轴上时，设直线AC 的方程为x ＝ty ＋1，代入椭圆M 的方程，可得(2＋t 2)y 2＋2ty －1＝0. 由题意知，Δ>0，则y 1＋y 2＝－2t 2＋t 2，y 1y 2＝－12＋t 2，由意题知k AQ ＋k CQ ＝y 1x 1－q ＋y 2x 2－q＝y 1(x 2－q )＋y 2(x 1－q )(x 1－q )(x 2－q )＝y 1(ty 2＋1－q )＋y 2(ty 1＋1－q )(x 1－q )(x 2－q )＝2ty 1y 2＋(1－q )(y 1＋y 2)(x 1－q )(x 2－q )＝0，即2ty 1y 2＋(1－q )(y 1＋y 2)＝0，整理得－2t －2t (1－q )＝0，由题意知无论t 取何值，上式恒成立，则q ＝2，当A ，C 在x 轴上时，定点Q (2,0)依然可使∠AQF ＝∠CQF 成立，所以点Q 的坐标是(2,0)． (2)由(1)知∠AQF ＝∠CQF ，即∠BQF ＝∠CQF .所以BQ ，CQ 关于x 轴对称，所以BD ，CA 关于x 轴对称，所以B ，C 关于x 轴对称，A ，D 关于x 轴对称，所以四边形ABCD 是一个等腰梯形．则四边形ABCD 的面积S (t )＝|x 1－x 2|·|y 1－y 2|＝|t |·|y 1－y 2|2＝8·(t 2＋1)|t |(t 2＋2)2.由对称性不妨设t >0，求导可得S ′(t )＝－8·t 4－3t 2－2(t 2＋2)3，令S ′(t )＝0，可得t 2＝3＋172，由于S (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 3＋172上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫3＋172，＋∞上单调递减，所以当t 2＝3＋172时，四边形ABCD 的面积S 取得最大值．此时，直线AC 的方程是x ＝±3＋172y ＋1.。

2021高考理科数学三轮冲刺压轴大题精选(一)(二)(三)(四)含答案

2021高考理科数学三轮冲刺压轴大题精选（一）1.在平面直角坐标系中，已知点A (1，0)，点B 在直线l ：x ＝－1上运动，过点B 与l 垂直的直线和线段AB 的垂直平分线相交于点M . (1)求动点M 的轨迹E 的方程；(2)过(1)中轨迹E 上的点P (1，2)作两条直线分别与轨迹E 相交于C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)两点.试探究：当直线PC ，PD 的斜率存在且倾斜角互补时，直线CD 的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 解 (1)依题意，得|MA |＝|MB |.∴动点M 的轨迹E 是以A (1，0)为焦点，直线l ：x ＝－1为准线的抛物线， ∴动点M 的轨迹E 的方程为y 2＝4x .(2)∵P (1，2)，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)在抛物线y 2＝4x 上， ∴⎩⎨⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ②由①－②得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)， ∴直线CD 的斜率为k CD ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2. ③设直线PC 的斜率为k ，则PD 的斜率为－k ，则直线PC 方程为y －2＝k (x －1)，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝kx －k ＋2，得ky 2－4y －4k ＋8＝0.由2＋y 1＝4k ，求得y 1＝4k－2，同理可求得y 2＝－4k－2.∴k CD ＝4y 1＋y 2＝44k－2＋－4k－2＝－1，∴直线CD 的斜率为定值－1 .2.如图所示，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上、下顶点分别为A ，B ，已知点B 在直线l ：y ＝－1上，且椭圆的离心率e ＝32.(1)求椭圆的标准方程；(2)设P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，M 为线段PQ 的中点，直线AM 交直线l 于点C ，N 为线段BC 的中点，求证：OM ⊥MN . (1)解依题意，得b ＝1. 因为e ＝c a ＝32，又a 2－c 2＝b 2，所以a 2＝4. 所以椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明设点P 的坐标为(x 0，y 0)，x 0≠0，因为P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，所以x 204＋y 20＝1.因为PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，所以点Q 坐标为(0，y 0). 因为M 为线段PQ 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，y 0.又点A 的坐标为(0，1)，可得直线AM 的方程为y ＝2y 0－1x 0x ＋1. 因为x 0≠0，所以y 0≠1，令y ＝－1，得C ⎝⎛⎭⎪⎫x 01－y 0，－1. 因为点B 的坐标为(0，－1)，点N 为线段BC 的中点，所以N ⎝⎛⎭⎪⎫x 021－y 0，－1.所以向量NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02－x 021－y 0，y 0＋1.又OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，y 0，所以OM →·NM →＝x 02⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 02－x 021－y 0＋y 0(y 0＋1)＝x 204－x 2041－y 0＋y 20＋y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 204＋y 20－x 2041－y 0＋y 0＝1－(1＋y 0)＋y 0＝0. 所以OM ⊥MN .3.椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝22.设动直线l ：y ＝kx＋m 与椭圆E 相切于点P 且交直线x ＝2于点N ，△PF 1F 2的周长为2(2＋1). (1)求椭圆E 的方程；(2)求两焦点F 1、F 2到切线l 的距离之积； (3)求证：以PN 为直径的圆恒过点F 2. (1)解设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，则⎩⎨⎧c a ＝22，2a ＋2c ＝22＋1，解得a ＝2，c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝1，∴椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)解由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m⇒(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－1)＝0.设直线l 与椭圆E 相切于点P (x 0，y 0)，则Δ＝0，化简2k 2＋1＝m 2，焦点F 1，F 2到直线l 的距离d 1，d 2分别为d 1＝|－k ＋m |k 2＋1，d 2＝|k ＋m |k 2＋1，则d 1·d 2＝m 2－k 2k 2＋1＝k 2＋1k 2＋1＝1.(3)证明 ∵x 0＝－2km 1＋2k 2＝－2km， ∴y 0＝kx 0＋m ＝－2k 2m ＋m ＝m 2－2k 2m ＝1m，∴P (－2k m ，1m).又联立y ＝kx ＋m 与x ＝2，得到N (2，2k ＋m )， PF 2→＝(1＋2k m ，－1m )，F 2N →＝(1，2k ＋m ).∴PF 2→·F 2N →＝(1＋2k m ，－1m)·(1，2k ＋m ) ＝1＋2k m －1m(2k ＋m )＝1＋2k m－2km－1＝0.∴PF 2→⊥F 2N →，∴以PN 为直径的圆恒过点F 2.4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为2，离心率为22，过点M (2，0)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点. (1)求椭圆C 的方程； (2)求OA →·OB →的取值范围；(3)若B 点关于x 轴的对称点是N ，证明：直线AN 恒过一定点. (1)解由题意知b ＝1，e ＝ca ＝22，得a 2＝2c 2＝2a 2－2b 2，故a 2＝2. 故所求椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)解设l ：y ＝k (x －2)，与椭圆C 的方程联立，消去y 得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0. 由Δ>0得0≤k 2<12.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2(x 1－2)(x 2－2)＝(1＋k2)x1x2－2k2(x1＋x2)＋4k2＝10k2－21＋2k2＝5－71＋2k2.∵0≤k2<12，∴72<71＋2k2≤7，故所求范围是[－2，32).(3)证明由对称性可知N(x2，－y2)，定点在x轴上，直线AN：y－y1＝y1＋y2x1－x2(x－x1).令y＝0得：x＝x1－y1x1－x2y1＋y2＝x1y2＋x2y1y1＋y2＝2kx1x2－2k x1＋x2k x1＋x2－4＝2x1x2－2x1＋x2x1＋x2－4＝16k2－41＋2k2－16k21＋2k28k21＋2k2－4＝1，故直线AN恒过定点(1，0).2021高考理科数学三轮冲刺压轴大题精选（二）1.如图，设椭圆x2a2＋y2＝1(a＞1).(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；(2)若任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围. 解(1)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AM，由⎩⎨⎧y＝kx＋1，x2a2＋y2＝1，得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0，。

【高考冲刺押题】高考数学三轮基础技能闯关夺分必备数列的应用(含解析).pdf

数列的应用【考点导读】 1．能在具体的问题情景中发现数列的等差、等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。

2．注意基本数学思想方法的运用，构造思想：已知数列构造新数列，转化思想：将非等差、等比数列转化为等差、等比数列。

【基础练习】 1．将正偶数按下表排成5列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 第4行 32 30 28 26 … … … … … 则2008在第 251 行，第 5 列。

2．图1，2，3，4分别包含1，5，13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第个图包含个互不重叠的单位正方形. 3．若数列中，，且对任意的正整数、都有，则 . 4．设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为。

5．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则。

【范例导析】例1．一种计算装置，有一数据入口A和一个运算出口B ，按照某种运算程序：①当从A口输入自然数1时，从B口得到，记为；②当从A口输入自然数时，在B口得到的结果是前一个结果的倍。

（1）当从A口分别输入自然数2 ，3 ，4 时，从B口分别得到什么数？并求的表达式；（2）记为数列的前项的和。

当从B口得到16112195的倒数时，求此时对应的的值. 分析：根据题意可以知道，所以可以采用迭乘法求出的表达式，这样就可以解决题目中的问题。

解：（1）由题意可知： ∵ ∴ ∴ ∴ （2） ∴ 由得： ∴ 点评：本题考查了迭乘法求数列的通项，裂项法求数列的前项和，更主要的是能从题目的描述中把数列分离出来，也就是理解题目的含义。

例2．已知正数组成的两个数列，若是关于的方程的两根（1）求证：为等差数列；（2）已知分别求数列的通项公式；（3）求数。

（1）证明：由的两根得：是等差数列（2）由（1）知 ∴ 又也符合该式，（3） ① ② ①—②得 . 点评：本题考查了等差、等比数列的性质，数列的构造，数列的转化思想，乘公比错项相减法求和等。

【高考冲刺押题】高考数学三轮基础技能闯关夺分必备解三角形(含解析).pdf

解三角形【考点导读】 1.掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形； 2.解三角形的基本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化．【基础练习】 1．在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝ . 2．在中，若，则的大小是______________. 3．在中，若，，，则． 4．在ABC中，，则△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形． 5．在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为． 6．△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边.如果a，b，c成等差数列，∠B=30°，，那么b=_____．【范例解析】在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，已知，，．（1）求的值；（2）求的值．分析：利用转化为边的关系．解：（1）由．（2）由得．由余弦定理得：，解得：或，若，则，得，即矛盾，故．点评：在解三角形时，应注意多解的情况，往往要分类讨论．例2.在三角形ABC中，已知，试判断该三角形的形状．分析一：边化角解法一：由已知得：，化简得，由正弦定理得：，即，又，，．又，或，即该三角形为等腰三角形或直角三角形．分析二：角化边解法二：同解法一得：，由正余弦定理得：，整理得：，即或，即该三角形为等腰三角形或直角三角形．点评：判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化，从而利用角或边判定三角形形状．例3.如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M，N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设(MGA＝(（）．（1）（2）的最大值与最小值．分析：利用正弦定理建立目标函数．解：（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，所以AG＝，(MAG＝，由正弦定理得则S1＝GM(GA(sin(＝，同理可求得S2＝．（2）＝＝72（3＋）因为，所以当(＝或(＝时，y取得最大值ymax＝240；当(＝时，y取得最小值ymin＝216．点评：本题关键是选取变量，建立目标函数，根据目标函数求最值．例4.如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记∠CAD=，∠ABC=. （1）；分析：识别图中角之间的关系，从而建立等量关系. （1）证明：，，，（2）解：AC=DC，. ，，. 点评：本题重点是从图中寻找到角之间的等量关系，从而建立三角函数关系，进而求出的值. 【反馈演练】 1．在中，则BC=_____________． 2．的内角∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且，则_____． 3．已知顶点的直角坐标分别为，，．若是钝角，则的取值范围 ___________ ． 4．已知的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为． 5．在中，若，，则的形状是____等边___三角形． 6．若的内角满足，则=． 7．的三个内角为，则的最大值为． 8．在中，已知，给出以下四个论断： ① ；② ； ③ ； ④ ．其中正确的序号有______②④_____． 9．如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，给出下列结论： ①和都是锐角三角形； ②和都是钝角三角形； ③是钝角三角形，是锐角三角形； ④是锐角三角形，是钝角三角形．其中，正确结论的序号有____④_____． 10．在中，已知，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值． Ⅰ）在中，，由正弦定理，．所以．（Ⅱ）因为，所以角为钝角，从而角为锐角，于是，，．． 11．在中，已知内角，边．设内角，周长为．（1）求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值．解：（1）的内角和，由得．应用正弦定理，知，．因为，所以，（2）因为，所以，当，即时，取得最大值． 12．在中，，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若最大边的边长为，求最小边的边长．解：（Ⅰ），．又，．（Ⅱ），边最大，即．又，角最小，边为最小边．由且，得．由得：．例4 A β α C D B 例3 D G M N C B A。

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三轮突破－高考数学复习模拟压轴题集锦1．已知函数f (x )＝x ·a x －1(a >0，x ∈R) ．⑴当a >1时，求f (x )的单调区间和值域，并证明方程f (x )＝0有唯一根；⑵当0<a ≤1时，讨论方程f (|x |)＝0的实根的个数情况，并说明理由。

2．已知等比数列{}n a 的前n 项之和{}n n n nn a b b R p p S 2log),(,2=∈+=满足数列.求：（1）求p 的值；（2）写出通项a n 的表达式；（3）记,2)1(lim2211nnn n n b a b a b a t ⋅++++=∞→ 求t 的值；（4）求和.)1(2124232221n n nb b b b b T+-++-+-=3．已知数列}{n a 满足：n n a na a211)11(2,2+==+.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设nnC Bn Anb2)(2⋅++=，试推断是否存在常数A ，B ，C ，使对一切*∈N n 都有n n nb b a -=+1成立？说明你的理由；（3）求证：62221-≥++++n n a a a4．设定义在R 上的函数)(x f ，满足当0>x 时，,1)(>x f 且对任意,,R y x ∈有.2)1(),()()(=⋅=+f y f x f y x f（1）求)0(f ；（2）求证：对任意;0)(,>∈x f R x 都有（3）解不等式4)3(2>-x x f ；（4）解方程.1)2()3(21)]([2+=++f x f x f5．若F 1、F 2分别为双曲线 y 2a 2－x 2b2＝1下、上焦点，O 为坐标原点，P在双曲线的下支上，点M在上准线上，且满足：2F O M P=，11111()||||F P F O F M F P F O λ=+(λ>0)。

(1)求此双曲线的离心率；(2)若此双曲线过N(3，2)，求此双曲线的方程(3)若过N(3，2)的双曲线的虚轴端点分别B 1，B 2(B 2在x 轴正半轴上)，点A 、B 在双曲线上，且22B A B B μ=，求11B A B B ⊥时，直线AB 的方程。

6．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n+1=kS n +2，又a 1=2，a 2=1。

(1)求k 的值；（2)求S n ；（3)是否存在正整数m ，n ，使成立?若存在求出这样的正整数；若不存在说明理由．7．已知数集序列{1}, {3, 5}, {7, 9,11}, {13, 15, 17, 19},…,其中第n 个集合有n 个元素，每一个集合都由连续正奇数组成，并且每一个集合中的最大数与后一个集合中的最小数是连续奇数． (Ⅰ)求数集序列第n 个集合中最大数n a 的表达式；（Ⅱ）设数集序列第n 个集合中各数之和为n T ．（i ）求n T 的表达式；21m S mS 1n n <--+（ii ）令()f n=*1()nn ⎛⎫+∈ ⎝N，求证：2≤()3f n < ．8．对于函数)(x f ，若存在R x ∈0 ，使00)(x x f =成立，则称点),(00y x 为函数的不动点。

（1）已知函数)0()(2≠-+=a b bx ax x f 有不动点（1，1）和（-3，-3）求a 与b 的值；（2）若对于任意实数b ，函数)0()(2≠-+=a b bx axx f 总有两个相异的不动点，求a 的取值范围；（3）若定义在实数集R 上的奇函数)(x g 存在（有限的）n 个不动点，求证：n 必为奇数。

9．设点集L={(,)|x y y c d=⋅,其中向量c=(2,1),d=(x,1)},点(,)n n n P a b 在L中,1P 为L 与y 轴的交点,数列{n b }的前n 项和2nSn=.(1) 求数列{n a }、{n b }的通项公式。

(2)若1(2)||nn cn n P P =≥，计算23lim ()n n c c c →∞+++ 。

（3）设函数()(1),n nn f n ab n N*=+-∈，是否存在k N *∈，使f （k+10）=3f （k ），若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由 10．已知两个函数x x x f 287)(2-=，c x x x x g +-+=4042)(23.（Ⅰ）,)()(图像关于原点对称图像与x f x F 解不等式3)()(+-≥x x f x F ；（Ⅱ）若对任意∈x [－3，3]，都有≤)(x f )(x g 成立，求实数c的取值范围．11．（北京丰台）四边形ABCD 是梯形，\s\up7(→(→)AB → ·\s\up7(→(→)AD → ＝0，\s\up7(→(→)AB→ 与\s\up7(→(→)CD → 共线，A ，B 是两个定点，其坐标分别为（－1，0），（1，0），C 、D 是两个动点，且满足BCCD =。

（Ⅰ）求动点C 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）设直线BC 与动点C 的轨迹E 的另一交点为P ，过点B 且垂直于BC 的直线交动点C 的轨迹E 于M ，N 两点，求四边形CMPN 面积的最小值。

12．已知函数)(x f y =对于任意2πθk ≠（Zk ∈），都有式子1cot )tan (-=-θθa f 成立（其中a 为常数）．（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式；（Ⅱ）利用函数)(x f y =构造一个数列，方法如下：对于给定的定义域中的1x ，令)(12x f x =，)(23x f x =，…，)(1-=n n x f x ，…在上述构造过程中，如果i x （i =1，2，3，…）在定义域中，那么构造数列的过程继续下去；如果i x 不在定义域中，那么构造数列的过程就停止.（ⅰ）如果可以用上述方法构造出一个常数列，求a 的取值范围；（ⅱ）是否存在一个实数a ，使得取定义域中的任一值作为1x ，都可用上述方法构造出一个无穷数列}{n x ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（ⅲ）当1=a时，若11-=x ，求数列}{n x 的通项公式．13．在各项均为正数的数列}{n a 中，前n 项和S n 满足*)12(12N n a a S n n n ∈+=+，。

（I ）证明}{n a 是等差数列，并求这个数列的通项公式及前n 项和的公式；（II ）在XOY 平面上，设点列M n （x n ，y n ）满足nnnny n S nx a 2==，，且点列M n 在直线C 上，M n 中最高点为M k ，若称直线C 与x 轴、直线b x a x ==、所围成的图形的面积为直线C 在区间[a ，b]上的面积，试求直线C 在区间[x 3，x k ]上的面积；（III ）是否存在圆心在直线C 上的圆，使得点列M n 中任何一个点都在该圆内部？若存在，求出符合题目条件的半径最小的圆；若不存在，请说明理由。

14．已知函数x11)x (f -=,（ x>0）．（I ）当0<a<b ，且f(a)=f(b)时，求证：ab>1；（II ）是否存在实数a ，b （a<b ），使得函数y=f(x)的定义域、值域都是[a ，b]，若存在，则求出a ，b 的值，若不存在，请说明理由．（III ）若存在实数a ，b （a<b ），使得函数y=f(x)的定义域为 [a ，b]时，值域为 [ma ，mb] (m ≠0),求m 的取值范围．15．已知定义在R 上的单调函数)(x f ，存在实数0x ，使得对于任意实数21,x x 总有)()()()(2102010x f x f x f x x x x f ++=+恒成立.（1）求x 0的值.（2）若1)(0=x f ，且对任意正整数n ，有1)21(,)(1+==nn nf b n f a ，记 1322113221,+++++=+++=n n n n n n b b b b b b T a a a a a a S ，比较nS 34与T n 的大小关系，并给出证明；（3）若不等式]1)19(log)1([log35422121221+--+>+++++x x a a a n n n 对任意不小于2的正整数n 都成立，求x 的取值范围.16．设M 是由满足下列条件的函数)(x f 构成的集合：“①方程)(x f 0=-x 有实数根；②函数)(x f 的导数)(x f '满足1)(0<'<x f .”（I ）判断函数4sin 2)(x x x f +=是否是集合M 中的元素，并说明理由；（II ）集合M 中的元素)(x f 具有下面的性质：若)(x f 的定义域为D ，则对于任意[m ，n]⊆D ，都存在0x ∈[m ，n]，使得等式)()()()(0x f m n m f n f '-=-成立”，试用这一性质证明：方程0)(=-x x f 只有一个实数根；（III ）设1x 是方程0)(=-x x f 的实数根，求证：对于)(x f 定义域中任意的2|)()(|,1||,1||,,23131232<-<-<-x f x f x x x x x x时且当.17．设曲线cxbxax y ++=23213在点x 处的切线斜率为k(x),且k (－1)=0.对一切实数x,不等式x ≤k (x)≤)1(212+x 恒成立(a ≠0).(1) 求k (1)的值;(2) 求函数k (x)的表达式; (3) 求证:)(1)2(1)1(1n k k k +++＞22+n n18．如图所示，曲线段OMB 是函数f (x )=x 2(0<x <6)的图象，BA ⊥x 轴与A ,曲线段OMB 上M （t , f (t )）处的切线PQ 交线段AB 于P ，与x 轴交于Q . （1）试用t 表示切线PQ 的方程;（2）试用t 表示ΔQAP 的面积g (t )在（m,n ）上单调递减，试求出m 的最小值.（3）若横坐标的取值范围，试求出点，P S QAP⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∆64412119．已知点A 1，A 2，…，A n ，…依次在x 轴上，A 1（1，0），A 2（5，0），1n n A A + =121n n A A -(n=2,3，…)；点B 1，B 2，…，B n …依次在射线y=x （x ≥0）上，且B 1（3，3），|nO B（n=2,3，…）.（1）用n 表示A n 与B n 的坐标；（2）设直线A n B n 的斜率为k n ,求lim ;n x k →∞的值 (3)若四边形A n A n+1B n+1B n 的面积为S ，求证：9＜S ≤12. 20．在等差数列{}n a 中，1444-=S a ，1455-=-a S ，其中n S 是数列{}n a 的前n 项之和，曲线n C 的方程是1422=+ya xn，直线l的方程是3+=x y 。