一道几何题的古今解法对照
一道解析几何题多种解法一道解析几何题多种解法论文
一道解析几何题的多种解法一道解析几何题的多种解法【摘要】新课程理念倡导学生自主探究,下面的题目是我的一次作业练习,在批阅之后,出现了意想不到的结果,现整理成文以飨读者。
【关键词】几何题；解法题目已知圆c:（x-1)2+(y+2)2=9,是否存在斜率为1的直线l，使以l被曲线c截得的弦ab为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．一、设而不求解设直线l的方程为y=x+b,直线l与曲线c的交点为a(x1,y1),b(x2,y2)。
由题意知oa⊥ob，则x1x2+y1y2=0。
（*）即x1x2+(x1+b)(x2+b)=0，2x1x2+b(x1+x2)+b2=0。
由y=x+b,(x-1)2+(y+2)2=9，消去y，得2x2+(2b+2)x+b2+4b-4=0。
δ=（2b+2)2-8(b2+4b-4)>0，即b2+6b-90。
所以存在斜率为1的直线l，使以l被曲线c截得的弦ab为直径的圆过原点，它们的方程为y=x+1或y=x-4．二、抓关键点——弦ab的中点直接法:设直线l的方程为y=x+b,ab的中点为d,则cd⊥ab,得kcd=-1,直线cd方程为x+y+1=0,由x+y+1=0,y=x+b，得d-b+12,b-12。
在rt△acd中,ac=3,cd=|3+b|2,ad=do=b+122+b-122。
由勾股定理,ac2=cd2+ad2。
即9=b+322+b+122+b-122,解得b=1或-4。
所以存在斜率为1的直线l，直线l的方程为y=x+1或y=x-4．间接法: 设直线l的方程为y=x+b, ab的中点d(a,b)。
由cd⊥ab,得b+2a-1=-1。
(1)在rt△acd中,ac=3,cd=(b+2)2+(a-1)2,ad=do=a2+b2。
由勾股定理,ac2=cd2+ad2,即9=(b+2)2+(a-1)2+a2+b2。
(2)联立(1)(2)解得a=-1b=0或a=32,b=-52。
一元二次方程的解法——穿越古今的配方
一元二次方程是代数学中的基本概念之一，它在数学理论和实际问题中有着重要的应用。
自古至今，人们就一直在探索一元二次方程的解法，并不断寻找更加简洁、通用的解法。
本文将带您穿越古今，探寻一元二次方程的解法，并比较不同时期的解法特点。
古代1. 印度裂变法在古代印度，《布拉马格普塔数学》一书中提出了利用“裂变法”来解一元二次方程的方法。
该书主要是由印度数学家布拉马格普塔所编写，裂变法主要是通过将一元二次方程的中间项拆分成两个部分，并结合平方完成平方解法。
2. 空间几何法古希腊数学家欧几里得提出了利用空间几何的方法来解一元二次方程，他将方程的解与平面几何图形相通联，从而用几何推导法来求解方程的根。
中世纪1. 求根公式的出现在中世纪，一元二次方程的求解方法逐渐发展，数学家开始尝试总结出通用的求根公式。
其中，卡丹和维吉塔在16世纪提出了一元二次方程的求根公式，即在形如ax^2+bx+c=0的方程中，x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
近代1. 代数解法的完善18世纪，拉格朗日提出了拉格朗日插值法，该方法是通过对一元二次方程进行代数推导，将方程化为特定形式，并通过变换来求解方程的根。
2. 牛顿迭代法17世纪，牛顿提出了一种数值逼近的方法，即牛顿迭代法。
该方法是通过不断迭代逼近方程的根，直至满足精度要求。
现代1. 利用矩阵方法求解20世纪，随着线性代数的发展，人们开始利用矩阵方法来解一元二次方程。
通过将方程转化为矩阵形式，并进行行列式运算，可以求得方程的根。
2. 使用计算机辅助求解随着计算机技术的飞速发展，人们可以通过编程语言和计算软件来求解一元二次方程。
利用计算机的高速运算和精确性，可以快速得到方程的解。
总结穿越古今，可以发现一元二次方程的解法经历了漫长的发展过程。
从古代的裂变法到现代的矩阵方法、计算机辅助求解，人们对一元二次方程的解法进行了不断的探索和完善。
通过不同的方法，我们可以更加全面地理解一元二次方程，并在实际问题中灵活应用。
一道解析几何问题的解法及启示
CD :y = - + m，其中
由；y = -
m与
x2 ~4
+ y2
=
1 得 ％2 - 2/71% + 2tti2 - 2
=
0 ，则 4
= 4/n2
一4(2m2 _2) = 8 _ 4 m2 > 0 , 即 m e ( _ ^ " ，1) U
+ = , (1，V5~)• 设 ，C(x2，y2) ，则 X! x2 2m x1
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1 - Akl22 - Ak,
1 + 4k2 ~ 1 + 4kl 相等，即 - 8"2 Sk] - 2 ~
1 +4k2 1 +4k]
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- "2) _■2(kx - k2)
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+1FBI. 点评 ：第（2 ) 问运用等差数列的定义，把问题等 -->■ -- ► -- ► -- ►
价转化为证明：丨F P 丨 - 丨 丨 = 丨 丨 -I W 3 丨. 思路分析5:(利用椭圆的参数方程）该椭圆参
数方程为 I
广’则 Apcosc^ ， •^"sinc^ ) ，
l-y = y3 sina.
的教学实践给出了几点启示，以期与同行分享.
题 目 如 图 1 ，椭圆 %
yf
l(a > 6 > 0 ) 的右顶点 b2 和上顶点分别为为线
段 的 中 点 ，且 成 . 品 = 图1
一题几何题的多种解法
EDPCBAEDPCBA一题几何题的多种解法易永彪 浙江省苍南县新星学校 325800从不同的角度、不同的思路去探寻题目时，往往会得到多种精妙的解法，精彩纷呈，殊途同归。
这种一题多解的做法能充分调动学生思维的积极性，提高他们综合运用已学知识解答数学问题的技能技巧，锻炼学生思维的灵活性，开阔学生的思路，引导学生灵活地掌握知识的纵横联系，培养和发挥学生的创造性。
现在笔者从一道几何题出发探究解法的多样性，一同体验数学的乐趣。
题目：如图，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB=80°，点P 在AB 上， 且∠BPC=30°，求证：AP=BC 。
1、巧用“三线合一”性质等腰三角形“三线合一”定理，在几何计算和论证过程中有着很重要的作用。
这个定理虽然很普通，但平凡的背后却有奇妙的作用，若能巧妙地利用这个性质解题，将起到事半功倍的效果。
分析：这道题的条件中有∠ABC=∠ACB=80°，可得AB=AC ，就可以利用“三线合一”性质，故联想到过A 作BC 边上的垂线AD 。
根据“三线合一”性质，BD=CD 。
本题要让我们证AP=BC ，所以就要构造出一条边的长度为12AP 。
又知∠BPC=30°，容易想到过A 作CP 延长线的垂线AE 。
利用30°所对边的直角边 为斜边的一半，可得AE=12AP 。
易证△AEC ≌△CDA ，∴AE=CD 。
AP=2AE ，BC=2CD ，∴AP=BC 。
2、巧作等边三角形作等边三角形可以使一些与等腰三角形有关的几何问题 变简单，给人以柳暗花明之感。
分析： AB=AC ，∴可以以AB 为边向外做等边△ABD ， 可多制造一些相等条件，利于证明结论。
AD=AB=AC 。
我们较易想到作辅助圆：以A 为圆心、AB 为半径的⊙A 。
∵ BCBC ，∴∠BDC=12∠BAC=10°，同理∠BCD=12∠BAD=30°， PCBAFEDPCBADPCBA ∴∠DBC=140°。
古代数学难题
07 古代数学难题
古代数学难题有很多，以下是一些著名的古代数学难题：
1.鸡兔同笼问题：最早出现在《孙子算经》中，问题描述是“今有鸡兔同笼，上有三十
五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”
2.韩信点兵问题：也是 孙子算经》中的问题，描述为“韩信点兵，三人同行七十稀，
五人一排九十几，七人同行二十缺，问总人数是多少？”
3.木马牛问题：同样来自《 孙子算经》，描述为“木马牛，术曰：上二十五日为一月，下
三十日为一月，不上不下为一月。
问木马牛几何？”
4.秦王暗点兵：来自《 孙子算经》，描述为“秦王暗点兵，总兵数5000整，10人一排余
9人，11人一排余10人，问军队多少人？”。
一元一次方程应用题_古今中外名趣题欣赏
7. 九章算术·共买鸡
今有共买鸡，人出九，盈十一，人出六，不足 十六，问人数、物价各几何？
8. 九章算术·两鼠穿墙
今有垣厚五尺，两鼠对穿。大鼠日一尺，小鼠 也日一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。问何 日相逢，各穿几尺？
9. 捷克古题·分李子
传说古代捷克的公主柳布莎，决定自己未来的 驸马必须能解决下面的问题：一只篮中有若 干李子，取它的一半又一枚给第一个人，再 取其余的一半又一枚给第二个人，又取最后 所余的一半又一枚给第三个人，那么篮内的 李子就没有剩余，问篮内原有李子多少枚？
12. 普通代数学·牛吃草
三个牧场，分别是10/3公顷，10公顷和24公顷。 这三个牧场种草的条件完全相同，种草的方 法和草的生长状况也相同。在第一个牧场里 有12头牛饲养了4周，草就全部吃完了；第二 个牧场有21头牛饲养了9周，草也全部吃完了。 每头牛的食量都是相同的，那么第三个牧场 18周内能饲养多少头牛？
5. 四元玉鉴·及时梨果
九百九十九文钱，及时梨果买一千， 一十一文梨九个，七枚果子四文钱。 问：梨果多少价几何？
6. 唐阙史·杨损考吏
有人在树林间夕阳小路上散步，无意中听到一 些盗贼在树中讨论怎样分配偷来的布匹。他 们说，如果每人分六匹，就会余下五匹，如 果每人分七匹又短少八匹，问林中有多少盗 贼，多少布匹？
一元一次方程应用题古今中外名趣题欣赏2020623前言在数学史的天空中闪烁着许多有趣的经典问题它们的年代或许不如夜空中的星辰那么久远然而它们的光芒却不逊于星辰的明亮和美丽
一元一次方程应用题
——古今中外名趣题欣赏
2021/3/17
前言
在数学史的天空中，闪烁着许多有趣的经典问 题，它们的年代，或许不如夜空中的星辰那 么久远，然而它们的光芒，却不逊于星辰的 明亮和美丽。今天展示给大家的，只是沧海 之一粟，也没有什么高难度的问题，只是希 望透过这些问题，大家能体会到前人的智慧 和数学的妙趣。
勾股定理古代数学题
勾股定理是中国古代数学的重要成果之一。
以下是一个基于勾股定理的古代数学题目：
题目：一块田地呈长方形，其中一条边长为30步，另一条边长为40步。
现在要从该田地的一个角落修一条直线到对角的另一个角落，问这条直线需要多长？
解法：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
在这个问题中，两直角边的长度分别为30步和40步，所以斜边的长度c可以通过勾股定理得出：
c²= 30²+ 40²
c²= 900 + 1600
c²= 2500
c = √2500
c = 50
因此，修这条直线需要50步长。
这个题目利用了勾股定理解决实际问题，展示了中国古代数学家的智慧和应用能力。
勾股定理不仅在古代数学中有着广泛的应用，而且在现代数学和物理学中仍然被广泛使用。
古今立体几何趣论几则
古今立体几何趣论几则许苏华根据《九章算术》和《古今数学思想》等经典名著，可以粗略认为小学数学主要为夏商周时期的文化遗产，中学数学主要为秦汉至宋元时期的文明产物，那么高等数学主要为明清时期以来同期的欧美发现.大中小学数学教材中所选择的内容是数学教育家或教育数学家认为数学历史长河中非常重要的部分，而许多未能出现在教材中的概念知识与思想方法，只能一直静静地躺在原著中、原地上.阅读原著、探索原地，可以发现许多不为人知的数学历史故事，以及鲜为人知却名垂青史的原理、公式、定理等结论.让我们一起欣赏其中几则吧！一、《九章算术》中的空间几何体立体几何作为高中数学的重要内容之一，它在两千多年前就已大量出现在西汉丞相张苍的《九章算术》一书中，近年全国各地借此书中空间几何体编制新题的情形屡见不鲜，不妨看下面几题：例1 （2018上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设1AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以1AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）A ．4B ．8C ．12D ．16 解析：如图以1AA 为底面矩形一边的四边形有11AAC C 、11AA B B 、11AA D D 、11AA E E 4个，每一个面都对应着4个顶点，所以阳马的个数为16个，故选D ．例2 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，已知鳖臑P ABC 的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A 1A E 1EA A 1D C D 1C 1B 1BA ．41πB ．16πC ．25πD ．64π解析：由三视图还原后得到几何体的直观图如下图所示，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，PA ⊥底面ABC .则BC PC ⊥.扩展为长方体，它的对角线的PB =24(412ππ⋅=.故选A .例3 在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知“堑堵”111ABC A B C -的所有顶点都在球O 的球面上，且1AB AC ==，若这个三棱柱的体积为12，则该球O 的表面积为（ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π 解析：“堑堵”111ABC A B C -的外接球的球心O 如图所示，设Rt ABC ∆外接圆圆心为1O ，1AB AC ==，所以12AO ==.由三棱柱的体积为12，所以111(11)222OO =⨯⨯⨯，所以112OO =.在1Rt AOO ∆中，设该球O 的半径为R ，则有22221134R OA OO AO ==+=，所以2R =，则243S R ππ==球，故选C .上面出现的堑堵、鳖b i ē臑n ào、阳马三个几何体均在《九章算术》一书中出现，分别是非常特殊的三棱柱、三棱锥和四棱锥，在古代实际生活中比较常见的空间图形.除此之外，还有很多空间几何体，比如方堡壔d ǎo和圆堡壔，分别指的是正四棱柱和圆柱；比如方亭和圆亭，分别指的是正四面棱台体和圆台；比如方锥和圆锥，分别指的是正四棱锥和圆锥.可见只有圆锥的名字一直沿用至今. 堡壔指的是土筑小城，亭指的是建筑物，由此可见《九章算术》是一部应用数学著作.除了解决人类居住的建筑物，还解决其它问题，比如羡除和冥谷，分别指的是墓道和墓坑，如图所示：羡除 冥谷羡除的体积计算公式为“并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一”，即； 冥谷的体积计算公式为(++)6V ⨯⨯=羡除上广下广末广深袤.再比如盘池与曲池，分别指的是长方形土池和扇形水池，如图所示：盘池曲池盘池的体积公式与冥谷的体积公式相同，这里的盘池和冥谷都不一定是我们现在所研究的棱台.曲池的体积计算公式为++(+)+(+)26V⎡⎤⨯⨯⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦=曲池上中周上外周下中周下外周上广2下广下广2上广深2.看到这些公式，不禁惊叹近两千年前古人的智慧与能力，而且通过图形分割等方法可以证明这些公式是正确的！如果不好好学习，即使你穿梭时空到两千年前的大汉王朝，也只能算是后进生.二、多面体的欧拉公式除了高中数学教材中出现的棱柱、棱锥、棱台是多面体外，还有很多表面由一些平面多边形构成的立体也是多面体.无“孔（洞）”的多面体称为简单多面体，也有人称之为第零类多面体，假如多面体的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么简单多面体可以会变成一个球面.否则就不是简单多面体，如下图所示.非第零类多面体对于简单多面体，它的顶点数为v，面数为f，棱数为e，那么多面体的三元素个数之间满足关系式2v f e+-=，这个我们称之为欧拉定理，因为数学历(+)+(+)6V⨯⨯⨯⨯⨯⎡⎤⎣⎦=冥谷上广2下广上袤下广2上广下袤深史记载最先由瑞士数学家欧拉发现的.欧拉公式的证明不是特别难，给出两种常见证明方法：证法一：对于任意一个顶点数为v、面数为f、棱数为e的简单多面体，它是用橡胶薄膜做成的，在它里面放一个可变大的球，当这个球适当变大时，简单多面体就贴合在球面上，此时多面体的顶点、棱、面变成了结点、弧、小球面片，数目都是一致的.任取其中一个结点，连接该结点有k条弧，那么与之相邻的小球面片也是k个，如果删掉该结点，与之相邻的k条弧也一同消失，那么k个小球面片变成一个球面片，结点数+小球面片数-弧数=(1)(1)()-+-+--=+-，可以发v f k e k v f e现，删除一个结点后，v f e+-不变.重复这样的操作，球面最终留下一个孤立的结点，弧全部消失，此时球面片变成整个球面，那么1102+-=+-=.v f e证法二：对于任意一个顶点数为v、面数为f、棱数为e的简单多面体，它依然用橡胶薄膜做成的，去掉一个面积最大的面，然后把它剩下的棱和面拉到一个平面内，此时在平面内有v个点、e条线段以及1f-个多边形.此时只需要证明(1)1+--=即可.比如下面两图分别是四面体和正方体去掉一个面变成平v f e面图形的情形：被拉成平面的四面体被拉成平面的正方体删除一条线段，对应就少了一个多边形，(11)(1)(1)+----=+--不v f e v f e变；或者删除一条线段，再删除孤立的顶点，(1)(1)(1)(1)-+---=+--v f e v f e不变；重复这样的操作，可以发现最后平面内只剩下一个孤立的点，即+--=.(1)1v f e这里的v f e+-称之为欧拉示性数，前面的证明过程告诉我们简单多面体的欧拉示性数为2.对于前面所给的一个非第零类多面体，它的欧拉示性数为0.下面是一道以欧拉公式为背景的数学试题：例4 在数学历史中有很多公式都是数学家欧拉（Leonhard Euler ）发现的，它们都叫做欧拉公式，分散在各个数学分支之中.任意一个凸多面体的顶点数V 、棱数E 、面数F 之间，都满足关系式2V E F -+=，这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”.若一个凸二十面体的每个面均为三角形，则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为（ ）A ．10B ．12C ．15D ．20解析：因为一个凸二十面体的每个面均为三角形，所以面数20F =，顶点数V 、棱数E 的关系为32F E =，由任意一个凸多面体的顶点数V 、棱数E 、面数F 之间，都满足关系式2V E F -+=，所以322V F F -+=，得V=12,故选B . 三、简单几何体的辛普森公式棱柱和圆柱统称为柱体，柱体的体积公式是V Sh =柱体，此公式可以看成定义或原理.棱锥和圆锥统称为锥体，锥体的体积公式是13V Sh =锥体，利用三棱柱可以分割成三个体积相等的三棱锥以及祖暅原理得出此公式的.棱台和圆台统称为台体，台体的体积公式是1(')3V S S h =+台体，利用两个位似锥体的体积相减化简可得.台体的体积公式也用于柱体和锥体，当'0S =时，此公式就变成锥体的体积公式；当'S S =，此公式就变成柱体的体积公式. 利用圆柱和圆锥的体积公式以及祖暅原理，可以推出球体体积公式343V R π=球. 上述中的棱柱、棱锥和棱台就是简单多面体，圆柱、圆锥、圆台和球是旋转体，这七个空间图形统称为简单几何体，它们有更一统的体积公式，即辛普森定理： 夹在两平行平面之间的几何体，如果被平行于这两个平面的任何平面所截，截得的截面面积是截面高的（不超过三次的）多项式函数，那么这个几何体的体积，就等于其上底面积'S 、下底面积S 与四倍中截面面积04S 的和乘以高h 的六分之一，即()046h V S S S '=++. 很容易验证此公式不仅适合柱体、锥体，还有球体，下面证明台体也可以用此公式，相当于证明1(')=('4)36hV S S h S S S=++台体，即只需证明0'4S S S+=，设上底、中截面、下底对应线段比为'::r r r，那么对应的面积比22200'::'::S S S r r r=；而且2'r r r=+，那么22224(')'2'r r r r r r r=+=++，那么4'S S S=+，即证.说明这个公式不仅是对的，而且很有用，因此有必要证明它，然后以后你就可以光明正大地在适当的场合使用它，助你一臂之力.类似于人教社普通高中课程标准试验教科书（老教材）中球体体积公式的证法，证明过程如下：证明：将几何体的高h等分成n等分，通过这些分点且平行于上、下底面的平面，将几何体分为n个薄片，每一个薄片可以近似看成柱体，这n个柱体的体积之和近似等于这个几何体的体积，n越大，那么这n个柱体的体积之和就越逼近于这个几何体的体积.对于自下而上第i个薄片的底面积为323210()()()ii i iS a h a h a h an n n=+++，那么第i个薄片的体积为iiS hVn=，整个几何体的体积近似为11'n niiS hV Vn==∑∑，整理得：32321011'[()()()]n nih h i i iV S a h a h a h an n n n n==+++∑∑33223210111[()()()]n n nh h h ha i a i a i nan n n n=+++∑∑∑.又由数列求和公式1(1)2n n ni+=∑、21(1)(21)6n n n ni++=∑和2231(1)4n n ni+=∑可得：22323210(1)(1)(21)(1)'[()()()]462h h n n h n n n h n nV a a a nan n n n++++=+++2323210223(1)(1)(21)(1)[36]62h n n n na h a h a h an n n++++=+++.因此3232103lim'(236)62nhV V a h a h a h a→+∞==+++（此处利用了极限思想和洛必达法则）.下底面积为0S a =，上底面积为323210'S a h a h a h a =+++，中截面面积为3203210()()()222h h h S a a a a =+++，裂项得： 3232032103210(4()4()4()4)6222h h h h V a a h a h a h a a a a a =++++++++ 0('4)6h S S S =++. 证毕.下面是以辛普森公式为背景编制的题目：例5 “辛卜生公式”给出了求几何体体积的一种计算方法：夹在两个平行平面之间的几何体，如果被平行于这两个平面的任何平面所截，截得的截面面积是截面高（不超过三次）的多项式函数，那么这个几何体的体积，就等于其上底面积、下底面积与四倍中截面面积的和乘以高的六分之一，即()046h V S S S '=++，式中h ，S ，S '，0S 依次为几何体的高，下底面积，上底面积，中截面面积.如图，现将曲线()20y x x =≥与直线2y =及y 轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周得到一个几何体.利用辛卜生公式可求得该几何体的体积V =( )A ．2πB ．πC ．2πD ．4π 解析：根据题意可知该几何体是由曲线()20y x x =≥与直线2y =及y 轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周得到.∴ 0S '=，22S ππ==，201S ππ=⋅=，∴ 根据辛卜生公式()220426V πππ=⨯++=，故选C . 四、四面体的定理三角形是边数最少的多边形，因此在初中研究了与三角形有关的内容，比如等腰三角形、等边三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形及其它们的性质、判定等有关结论.四面体是面数最少的多面体，就是三棱锥，是最简单的多面体，正因为它的特殊性，因此它也具有很多结论.1.四面体的定理：给定一个四面体，都可以确定它的外接平行六面体.定理1-1：通过四面体的每一条棱及其对棱重点的平面共有六个，它们通过同一点.定理1-2：连接四面体的每一顶点与其对面重心的线段共有四条，也都通过这一点，而且从各该顶点算起都被这点分为3:1.定理1-3：三双对棱中点的三个连线段也通过这一点，而且都被它平分. 这点称为四面体的重心.四面体的每一个面都可以看成三棱锥的底面，三棱锥的顶点到底面的垂线段称之为四面体的高线，因此它的高线有四条.定理2：四面体中从两顶点发出的高线相交的充要条件是连接这两顶点的棱垂直于其对棱.定理3：设四面体有两双对棱互相垂直，则第三双对棱也互相垂直，此时四面体的四高线通过同一点.2.等腰四面体的定理：如果一个四面体，它的每一对对棱的长相等，就说该四面体为等腰四面体.定理1：等腰四面体的四个面都是全等的三角形. 定理2：一个四面体是等腰的，当且仅当每个顶点处面角之和是180°.定理3：等腰四面体的每个面都是锐角三角形.定理4：如果一个四面体的各个面具有相同的周长，那么它是等腰的.定理5：任意四面体的内切球在各个面上的切点与该面的顶点的连线在切点所形成的三个角，对每个面来说都是相同的.定理6：各面面积相等的四面体是等腰的.定理7：一个四面体是等腰的，当且仅当它的内切球与外接球同心.等腰四面体是一特殊的四面体，那么四面体的所有定理适用于等腰四面体，反之则不一定.这些定理虽然未出现在教材中，但是每一个定理的得出及其证明都是数学历史发展的最简缩影.高考、竞赛经常以此为载体编制试题.例6（2017浙江）如图，已知正四面体D ABC -（所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP PB =，2BQ CR QC RA ==，分别记二面角D PR Q --，D PQ R --，D QR P --的平面角为α，β，γ，则（ ）A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α 解析：设O 为三角形ABC 中心，底面如图2，过O 作OE RP ⊥，OF PQ ⊥，OG RQ ⊥，由题意可知tan DO OE α=，tan OD OF β=，tan OD OGγ=，图1 图2由图2所示，以P 为原点建立直角坐标系，不妨设2AB =，则(1,0)A -，(1,0)B，C，O ，∵AP PB =，2BQ CR QC RA==，∴1(3Q，2(3R -，则直线RP的方程为y =，直线PQ的方程为y =，直线RQ的方程为y x =+根据点到直线的距离公式，知OE =OF =13OG =，RQ P AB C DG FE O DC B AP QR∴OF OG OE <<，tan tan tan αγβ<<，又因为α，β，γ为锐角，所以αγβ<<，故选B ．例7（2017全国Ⅲ卷）如图，四面体ABCD 中，ABC ∆是正三角形，ACD ∆是直角三角形，ABD CBD ∠=∠，AB BD =．(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D AE C --的余弦值．解析：（1）由题设可得，ABD CBD ∆≅∆，从而AD DC =．又ACD ∆是直角三角形，所以=90ACD ∠．取AC 的中点O ，连接DO ，BO ，则DO AC ⊥，DO AO =． 又由于ABC ∆是正三角形，故BO AC ⊥．所以DOB ∠为二面角D AC B --的平面角．在Rt AOB ∆中，222BO AO AB +=．又AB BD =，所以222222BO DO BO AO AB BD +=+==，故90DOB ∠=．所以平面ACD ⊥平面ABC ． （2）由题设及（1）知，OA,OB,OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则ABCDE(1,0,0)A，B ，(1,0,0)C -，(0,0,1)D ．由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，即E 为DB的中点，得1(0,,)22E ．故(1,0,1)AD =-，(2,0,0)AC =-，1()2AE =-．设()=x,y,z n 是平面DAE 的法向量，则AD AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩0，0，n n即x z x y z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩01022，可取=n ． 设m 是平面AEC 的法向量，则0，0，AC AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩m m同理可得(0,=-m ．则cos ,==77n m n m n m ，所以二面角D AE C --例8 如图，在等腰四面体ABCD 中设BC=AD=a .AC=BD=b ，AB=CD=c ，外接球的半径为R ，则R =______.（用a 、b 、c 表示）解析：设长方体的长宽高分别为x ，y ，z ，根据题意得222x y a +=，222y z b +=，222x z c +=，相加得2222222a b c x y z ++++=，R ===． 例9 定义异面棱长相等的四面体为等腰四面体.设等腰四面体DBMN 的外接球半径为R ，BMN ∆的外接圆半径为r .已知DB MN a ==，DM BN b ==，DN BM c ==.则rR 的取值范围是______.解析：由定义，知对棱相等的四面体可补成一个长方体ABCD MKNL -，如图所示.则四面体DBMN 即为对棱相等的四面体，其外接球直径就是长方体的对角线DK .令长方体的高、长、宽分别为AM x =，AB y =，AD z =.则222222222,,x y c y z a z x b ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩R ⇒=.而等腰四面体的四个侧面均相同，由海伦公式得BMN S ∆=r ⇒=r R⇒=.由恒等式()()222222222x y z y z z x x y ++++()()()222222222=y z z x x y x y z ++++，及均值不等式得()()()()()22222222222222281193y z z x x y rR x y z y z z xx y+++≤<⇒≤<++++. 五、正多面体与旋转体图形赏析正多面体只有5种，分别是正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面和正二十面体，可以借助欧拉公式证明有且仅有这五种正多面体.下面借助网络画板画出的3D效果，共大家赏析.正四面体正八面体正十二面体正二十面体腰鼓小蛮腰六、三个有奖问题单墫教授在解题研究丛书序中说“学习数学，就要学习发现问题，解决问题.”我发现了三个问题，大家来解决这三个问题，每个题目后面是红包金额，钱不多，重在解决问题后所获得的快乐与幸福！第一个问题：如何证明有且仅有五个正多面体？（8.8元）第二个问题：如何借助网络画板画一个3D足球？（18.8元）第三个问题：如何用一个平面平分任意六面体的体积？（28.8元）做出者把过程或网络画板链接，还有你的微信号，通过电子邮件shxu@发给我，第一位做对者，通过微信送红包一个.。
蝴蝶定理古今谈
蝴蝶定理古今谈蝴蝶定理古今谈蝴蝶定理(Butterfly theorem)，是古典欧⽒平⾯⼏何中最精彩的结果之⼀，原本是⼀个著名的⼏何难题。
该定理最先是作为⼀个征求证明的问题，刊载于1815年英国的⼀份通俗杂志《男⼠⽇记》第39-40页上；⽽“蝴蝶定理”这个名称第⼀次出现在《美国数学⽉刊》1944年2⽉号。
由于题⽬中的⼏何图形形象奇特，貌似蝴蝶，因此得名。
蝴蝶定理的证法很多，有综合法、三⾓法、⾯积法、不等式法、解析法、复数法，反证法等。
问题登出的当年，英国⼀位⾃学成才的中学数学教师W.G.霍纳给出了第⼀个繁琐的证明；⾄于初等的证法，在国外的有关资料中，⼀般认为是由⼀位中学教师斯特温(Steven)⾸先得到的，它⽤的是⾯积法；另⼀个早期的证明由理查德·泰勒（Richard Taylor）给出；还有⼀种证明出现在M.布兰德（Miles Bland）的《⼏何问题》(1827年)⼀书中；最为简洁的证法来⾃射影⼏何，由英国的J·开世在“A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid”(中译：近世⼏何学初编，李俨译，上海商务印书馆，1956)中给出，只有⼀句话，⽤的是线束的交⽐；1981年，Crux杂志刊登了K.萨蒂亚纳拉亚纳（Kesirajn Satyanarayana）⽤解析⼏何给出的⼀种⽐较简单的证法。
1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录教授以“平⾯⼏何中的名题及其妙解”为题，向国内介绍了蝴蝶定理；1988年，汪江松、黄家礼⼆教授在《⼏何明珠》⼀书的第21章，对“蝴蝶定理”进⾏了全⾯综述，介绍了蝴蝶定理的逆定理及各种引申和推⼴；1991年，张景中院⼠的⼒作“蝴蝶定理的新故事”（载于《中学数学》1991年第1期）以⾯积⽐和线段⽐为⼯具，与斯特温的证法⼀脉相承，别开⽣⾯，给出了蝴蝶定理的推⼴和变异，揭⽰了该定理与著名的Pascal定理的深刻联系，令⼈⽿⽬⼀新；2008年，本版版主叶中豪⽼师在“东⽅论坛”发帖“蝴蝶定理的本质”，与陈殿林⽼师就蝴蝶定理的对合本质展开讨论：从射影⼏何的观点看，蝴蝶定理实质就是迪沙格(G．Desargues，1591—1661)对合定理的推⼴。
初中几何练习题一题多解
初中几何练习题一题多解几何学是数学中的一个重要分支，是初中数学中不可或缺的一部分。
在学习几何的过程中，经常会遇到一道题目有多种解法的情况。
本文将给出几个例子，展示几何题一题多解的现象。
例一：已知三角形ABC，且AB=AC，角B=60°，垂直BI交边AC于点E，连接AE。
求证：BE=BC。
解法1：首先，根据题意可知，角B=60°，所以角C=60°。
又因为AB=AC，所以三角形ABC是等边三角形，故BC=AB=AC。
又由于三角形IBC是等腰三角形，所以角IBC=角ICB。
又角BIC=角CBA=60°，所以三角形BIC是等边三角形，即BI=BC，所以BE=BI-IE=BC-IE=BC。
解法2：连接BC，由角B=角C可知，三角形ABC是等腰三角形，所以AB=AC，又由于AE⊥BC，所以AE=AC。
又由于BE⊥AC，所以BE=BC。
例二：已知⊙O是一个半径为r的圆，点A为⊙O上一点，点P为直线AO上的一动点，线段BP与⊙O交于点C，且AC∥BO。
求证：PC=OA。
首先，连接OA、OC、OB。
由题意可知，AC∥BO，所以角COA=角OAC。
又角OCB=角OAC，所以三角形OCB与三角形OAC相似。
因此，OC/OA=BC/AC，所以OC/OA=BC/BO。
又OC+OB=BC，所以OC/OA=(BC+OB)/BO=(R+OB)/OB，所以OC=(R+OB)/OB*OA。
由于R=OA，所以OC=2OA，所以PC=OC-OA=OA。
解法2：连接OC，由AC∥BO可知，三角形ACO与三角形BPO相似，所以OC/OA=BC/BO，又OC+OB=BC，所以OC=(R+OB)/OB*OA。
由于R=OA，所以OC=2OA，所以PC=OC-OA=OA。
例三：在平面直角坐标系中，设点A(-1, 2)、B(3, -1)、C(2, 2)，点P为平面内任一点。
直线PA、PB、PC交x轴于点D、E、F。
一道上海市初三数学竞赛题的几何解法举例
…
＝
． ‘
…
＝
…
Ｅ
Ｂ ＡＥ
，
３
（ 、
ＣＥ ／ ／ Ｃ １ Ａ ） ＝丁 ｘ ／ ￣百 ａ＋ｂ
所有 Ｐ＝ （ 叶 ６ ） ．
解法６ ：利 用 相 似 三 角 形． 如 图 ４ ， 易 知 ＡＣ ＰＡｏ ． ＡＣ ＢＥ，下 仿 解 法 ５ ，即 得 Ｐ ＝
ａ＋ ｂ
ｓ ｉ ｎ （ Ａ＋３ ０ 。 ） ’
所 以Ｃ 『 Ｐ ＝
Ｃ Ａ ＝
＝ － ５ 兰 觚 Ｐ＝
（ 【 。 ０ ＋６ ＋Ｄ ） ．
ＡＩ Ａ
＝
ｓ ｉ ｎ （ Ａ＋３ ０ 。 １＝ ３ ｓ ｉ ｎ （ Ａ＋３ ０ 。 ）
是 △ １ Ｐ Ａ￣ＡＣＢ Ａ，故 得 Ａ ｌ Ｐ
题及其分析 ． 数学通报， ２ ０ １ ６ （ ６ ） ： ９ － １ １ ．
３ １ 杨一丽 ． 学业考试 中新定义试题 的命制
分析 与反思 ． 数学教学 ， ２ ０ １ ７ （ ６ ） ： ２ ５ － ２ ７ ， ２ ８ ．
２ ０ １ ７ 年第 １ ２ 期
数 学教学
１ ２ 一
则△ １ Ｐ △ｊ Ｅ ｝ Ｐ， 故 Ａ Ａ １ ＝ ＢＣ， 所
ＣＰ＝
＝ （ 。＋６ ） ．
（ ０ ＋６ ） ．
解法７ ： 利 用 相 似 三 角 形． 如 图４ ，易
知 ＡＣＰＢｏ ｏ ＡＣＡＥ，下 仿 解 法 ５ ，即 得 ＣＰ ＝
解法 ３ ： 利 用 相 似 三 角 形． 如 图３ ，作 Ａ ＣＡ Ａ １ ＝３ ０ 。 ， 交 Ｐ于点 １ ， 则
１ ２ — — ４ ２
数 学 教 学
一道立体几何题的不同解法
中。
7擞-7(2008年第8期高中版)试题分析(kl—k2)X2X4k2x4一k1名2‘而五胛=鬲k2x4=_瓦k丽2．茁4礼+1i耳_kE，2k2x4一kj z2；一石4一石2(k2x4+Y o)一(kl茗2+Y o)～=一．石●一鼻2茗4一石2故kN r=k盯，即E、，、^r三点共线．当直线A B、EF 垂直菇轴时显然成立．另外，该结论对于双曲线也同样成立．引申2(试题的逆命题)过点P(0，Y o)作直线A E、B F分别交抛物线石2=2py(p>0)于A、E、B、F四点，过点P点作垂直于)，轴直线M N分别交A日、朋于M、Ⅳ两点，则I PM l=I J PⅣI．证明设M(p，Y o)，Ⅳ(g，Y o)，因为A，肘，曰三点共线，所以型：警，却：笔L生4坠，(1)X3一P托2戈3‘括l茗I—k2X3同理：E，Ⅳ，，三点共线j9=戮(2)又由于生阜生：生阜鱼变形得X1十互2互3十玉4兰!兰!一一兰!兰!kl z l—k2x3kl石2一k2x4’H n(kI—k2)X1戈3(kI—k2)茗2X4即弋i i万2—1i再i’所以P=一q，即l PM I=l PN l．同样地，引申2对于椭圆与双曲线也成立，由于篇幅关系，在此不再赘述．与这道高考试题一脉相传、不谋而合的还有2003年北京市高考数学试题．3相关问题链接如图，已知椭圆的长轴A。
A：与并轴平行，短轴B。
B：在Y轴上，中心M(O，r)(b>r>0)A1-a,(1)写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率；(2)设直线Y=kl茗与椭圆交于C(x。
，Y。
)，O(x：，Y：)(Y：>0)，直线Y=k2x与椭圆交于G(z，，y，)，H(茗。
，儿)(儿>o)：求证：当{睾：鱼鲁兰；*ltX2j3十z4(3)对于(2)中的C，D，G，日，设CH交戈轴于P 点，G D交石轴于Q点，求证：I O PI=I O Q I(证明过程不考虑C H或G D垂直于茁轴的情形)(收稿日期：20080626)一道立体几何题的不同解法063300河北省唐山市丰南区大新庄高中孟会芹寻求合理的解题思路和方法，是完成解答题要把握的重要环节．破除模式化，力求创新，突出理性思维是近几年高考数学试题的显著特点，解答题体现得尤为突出，因此切忌机械地套用模式，而应从各个不同侧面、角度来识别题目的重要条件和结论，认识条件和结论之间的关系，图形的几何特征与数式的数量特征的关系，谨慎地确定解题的思路和方法，做到多角度分析问题，一题多解，开拓创新．例(2008全国I文)已知：四棱锥A—B C D E 中，底面B C D E是矩形，侧面A B C上底面日优堰，曰C= 2，C D=，A B=A C(1)证明：A D上凹(2)设侧面A A B C为等边三角形，求二面角c—A D—E的大小．分析本试题以四棱锥为载体，其中包含了若干线线关系和线面关系，同时内含数量关系，组成一个整体，既考查学生的作图、识图、推理论证能。
“古题”今解例析
例 ３ 读诗词解 题 ：
大江东去浪淘尽 ， 千古风流数人 物 ；
而 立 之 年 督 东 吴 ， 逝 英 年 两位 数 ， 早 十位恰小个位三 ， 个位 平 方 与 寿 符 ；
哪位学子算得快 ， 多少 年华 属周 瑜 ？
析解
本题借用苏轼 诗词 《 念奴娇 ・ 壁怀古》 赤 的
／ ＼ ．
Ｅ Ｊ Ｉ０
１ ０寸 ， 直 径 Ｃ 的 长 ？ 求 Ｄ 要 求 直 径 的 长 ， 先 求 ００ 的 可 半 径 ， 合 已 知 条 件 可 知 ， Ｅ ＝１ 结 Ｃ ，
１
ＡＥ ＝ ＡＢ ： ５ １
，
＼ ／
Ｄ
可 考 虑 设 Ｏ 为 ， Ａ
二
头 两 句 ， 托 出 “ 对 形 胜 的 江 山 ， 忆 古 人 勋 业 ” 意 烘 面 追 的
境， 强调对古 文化 知识 的理解 ， 渗透 了方程 的思想． 解答
时 ， 设 周 瑜 去 世 的年 龄 的个 位 数 字 为 ， 十位 数 字 为 可 则
一
在 Ｒ ＡＡ Ｃ中 ， 勾 股 定 理 得 ：Ｂ 一Ａ ２ Ｃ ， ｔ Ｂ 由 Ａ Ｃ ＝Ｂ
当 ：５时 ， 周瑜 的年龄是 ２ ５岁 ， 非而立之 年 ， 不符
题意 ， 去 ； 舍
二 、 埋 壁 中 圆
例 ２ “ 有 圆 材 ， 在 壁 中 ， 知 大小 ， 锯 锯 之 ， 今 埋 不 以
深一寸 ， 锯道长一尺 ， 问径几 何？ ”
析解
＋ 一◆ 一 ◆ －◆
当 ＝６时 ， 周瑜 的年龄是 ３ ６岁 ， 符合题意． 答： 周瑜去世 时的年龄 为 ３ ６岁．
；
阅读与思考 一次方程组的古今表示及解法
方程章第一题：“今有上禾(指上等稻子)三秉(指捆) 中禾二秉，下禾一秉，实(指谷子)三十九斗；上禾二 秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉， 中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾 实一秉各几何”。
这一题若按现代的记法．设x、y、z依次为上、 中、下禾各一秉的谷子数，则上述问题是求解 三元一次方程组：
回顾与思考
回首古今 立足现在 放眼未来
世界领先 发展进步 一脉相承
同学们你知道从古至今人们都 发明了哪些计算工具吗？
算筹
根据史书的记载和考古材料的发现，古代的算 筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子， 一般长为13--14cm，径粗0．2～0．3cm，多 用竹子制成，也有用木头、兽骨、象牙、金属 等材料制成的，大约二百七十几枚为一束，放 在一个布袋里，系在腰部随身携带。需要记数 和计算的时候，就把它们取出来，放在桌上、 炕上或地上都能摆弄。别看这些都是一根根不 起眼的小棍子，在中国数学史上它们却是立有 大功的。
在算筹计数法中，以纵横两种排列方 式来表示单位数目的。
其中1-5均分别以纵横方式排列相应数 目的算筹来表示，6-9则以上面的算筹 再加下面相应的算筹来表示。
表示多位数时，个位用纵式，十位用 横式，百位用纵式，千位用横式，以 此类推，遇零则置空。
这种计数法遵循十进位制。
请用算筹计数表示下列个数
（1）3 （2）6 （3）24 （4）37 （5）107 （6）30
上禾 中禾 下禾 实
（1） （2） （3）
设计密码图
今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四 足，问鸡兔各几何？ 画出相应的算筹图，仿照古人用算筹解方程 组，并写出相应的方程组。
当堂检测
• 八臂一头号夜叉，三头六臂是哪吒，两处 争抢来斗胜，三十六头齐出动，一百八手 乱相抓旁边看者殷勤问，几个哪吒几夜叉？
数学人教版七年级下册一次方程组的古今表示及解法
2.算筹如何计数 用算筹表示数，有纵式和横式两种方式。在纵式中， 纵摆的每根算筹都代表1，表示6~9时，则上面摆一根 横的代表5。横式中则是横摆的每一根都代表1，其上 面纵摆的一根代表5。而且规定，个位和百位必须用纵 式，十位和千位必须用横式，纵横相间，使各位界限分 明，以免发生混乱。算盘中上面的一个子代表5，下面 的一个子代表1，是从算筹延续下来的。计数的十进位 制是我国古代文明最重要发明之一。我国古代用算筹记 数，表示数的算筹有纵、横两种方式：
历史影响：
注重实际应用是《九章算术》的一个显 著特点。现在中学讲授的线性方程组的解 法和《九章算术》介绍的算筹方法大体相 同。我们祖先掌握算筹的方法，比起欧洲 人来说 ，要早一千多年，这是我国古代数 学 的一个关辉成就。
活动六：课堂检测 《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，把 它改为横排，如图（1）、（2），图中各行从左到右 列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与对应的常 数项，把图（1）所示的算筹图中方程组形式表述出 来，就是
活动二：初探“密码图”
1、认识算筹.
所谓算筹，其实就是一把刻得很整齐的竹棍，直径约两三个毫米， 长度十来个厘米。除竹制的以外，还有木、铁、玉石、骨、象牙 制的算筹。把算筹装在袋子里或笔筒中随身携带，这就是古人说 的“算袋”或“算子筒”。唐代曾经规定，文武官员都必须备有算袋， 以提高决策的科学性。
3.算筹还可以解联立方程组。“九章算术”是东汉编订 的数学经典著作。方程中一次方程组可由算筹布置。如 下图a，图b中各行从左到右列出算筹数分别表示未知数 X,Y的系数与对应的常数项。算筹图可表达为：
4.《九章算术》中典型的方程类问题： 题目：今有上禾（上等黍米）三秉， 中禾二秉，下禾一秉，实(l粮食）三 十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾 一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾 二秉，下禾三秉，，图（2）所示的算筹图可表述为(
人教版初中数学七年级数学下册《8.4阅读与思考一次方程组的古今表示及解法》
古
今
3 2 1 39 2 3 1 34 1 2 3 26
世界领先 发展进步 一脉相承
七、巩固知识 小组竞赛
随机抽组 每组先完成一个《九章算术》方程 一章中利用一次方程组解决实际问题的 原题，再试着完成另一个.比一比！
七、巩固知识 小组竞赛
【题1】7.方程:今有牛五、羊二，直金十两. 牛二、羊五直金八两.问牛羊各直金 几何？
第三站：一次方程组在古代数学中 的发展和繁荣时期
宋元时期，中国数学家创立了“天元 术”，用天元表示未知数进而建立方程，这 种方法的代表作是数学家李治写的《测圆海 镜》（1248）书中所说的“立天元一”相当 于现在的“设未知数x”.
第四站： 一次方程组的中西方融合时期
第四站：一次方程组的中西方融合时期
第一站： 中国古代数学的萌芽时期
第一站：中国古代数学的萌芽时期
1.原始公社末期，用文字符号取代结绳记事； 2.夏禹治水时使用了规、矩、准、绳等作图与测 量工具； 3.商代中期产生了十进制数字和计数法； 4.周代在八卦的基础上发展为六十四卦； 5.公元前一世纪的《周髀算经》举出勾三、股四、 弦五的例子； 6.西周贵族子弟从九岁要受礼、乐、射、驭、书、 数的“六艺”训练，“数”成为了专门的课程； 7.春秋战国时期，筹算已得到普遍的应用.
第二站：中国古代数学体系的形成时期 操作算筹 筹算方程
6.你能用这个方法操作算筹将第三个 方程中中等谷的系数筹算为0吗？试 一试吧！
第二站：中国古代数学体系的形成时期
古今两种一次方程组的表示及解 法，你选择哪一种？为什么？
第二站：中国古代数学体系的形成时期
外国人眼中的《九章算术》
第三站： 一次方程组在古代数学中的 发展和繁荣时期
数学文言文题目带翻译
原文：《九章算术》卷中，勾股术曰：有勾长三尺，股长四尺，求其弦长几何？又股长五尺，勾长十二尺，求其弦长几何？复有股长六尺，勾长八尺，求其弦长几何？又股长七尺，勾长二十四尺，求其弦长几何？凡此四题，皆勾股术也。
翻译：《九章算术》卷中记载了勾股术的问题，曰：有一道题，勾的长度为三尺，股的长度为四尺，求其弦的长度是多少？又有另一题，股的长度为五尺，勾的长度为十二尺，求其弦的长度是多少？还有一题，股的长度为六尺，勾的长度为八尺，求其弦的长度是多少？又有一题，股的长度为七尺，勾的长度为二十四尺，求其弦的长度是多少？这四道题都属于勾股术的范畴。
解题过程：勾股术，亦称勾股定理，是我国古代数学中的重要成就之一。
其原理为：直角三角形的两条直角边（勾、股）的平方和等于斜边（弦）的平方。
设第一题中弦长为x尺，则有：勾² + 股² = 弦²3² + 4² = x²9 + 16 = x²25 = x²x = √25x = 5所以，第一题中弦长为五尺。
设第二题中弦长为y尺，则有：勾² + 股² = 弦²12² + 5² = y²144 + 25 = y²169 = y²y = √169y = 13所以，第二题中弦长为十三尺。
设第三题中弦长为z尺，则有：勾² + 股² = 弦²8² + 6² = z²64 + 36 = z²100 = z²z = √100z = 10所以，第三题中弦长为十尺。
设第四题中弦长为w尺，则有：勾² + 股² = 弦²24² + 7² = w²576 + 49 = w²625 = w²w = √625w = 25所以，第四题中弦长为二十五尺。
以中国古代数学文化为背景的高考题赏析
以中国古代数学文化为背景的高考题赏析
在中国古代数学文化中，研究三角学是非常重要的。
古代中国的数学家们发明了许多有关三角学的有用方法和结论，并将这些知识用于建筑、天文学和航海等领域。
举个例子，高考题可能会涉及到以下内容：
1.比例法：古代中国的数学家们发明了比例法，用于快速求解三角
形中各角的大小。
例如，如果知道两个角的大小，就可以快速求出第三个角的大小。
2.余弦定理：余弦定理是一个有关三角形的重要定理，它可以用来
求解三角形的面积和边长之间的关系。
例如，如果知道三角形的两条边长和夹角的余弦值，就可以用余弦定理求出三角形的面积。
3.正弦定理：正弦定理是另一个有关三角形的重要定理，它可以用
来求解三角形的边长和角度之间的关系。
例如，如果知道三角形的两条边长和夹角的正弦值，就可以用正弦定理求出夹角的大小。
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正ｎ边形的每个内角为（１一三）１Ｔ，则有（１一
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ｅＬ）百≥（１一鲁）叮Ｔ＝孚，当且仅当乃＝３时等号成
ｎ
Ｊ Ｊ
办法就将其解决了．数学上还有许多较困难的问题 可以用初等方法进行解决，希望同学们可以经常思 考问题并提出问题．
立．这样ｍ＜业＝６，即ｍ只可能取３，４，５．正三角
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形，正四边形，正五边形的每个内角分别为詈，詈，
ａ＞ｂ＞ｏ）
ＰＮ２＝ｐＦ２一ＦＮ２ ＝ｅ２・ＮＢ２一Ｆ醑
＝ｅ２・ＮＢ２一ｅ２．ＮＫ２
从例题可以得到结论：平面上到定点的距离与 它到定直线的距离的比为常数（小于１的正常数） 的点的轨迹是椭圆． 其实，古代数学家欧几里得在失传的几何著作 《面轨迹》中就已给出这一命题但未证明： “到定点与定直线的距离之比等于给定的比的 点的轨迹是圆锥曲线．当给定比小于１时，它是椭 圆；当给定比等于ｌ时，它是抛物线；当给定比大于ｌ 时’，它是双曲线．” 后来是亚历山大时期数学家帕普斯（Ｐａｐｐｕｓ， 约公元２９０—３５０）给出了如下证明．（注，当时数学 家还没有提出直角坐标系和坐标及方程的概念） 古代数学家帕普斯对上述命题的证明：（以椭 圆为例） 如图１：设Ｆ为定
图３
分道扬镳，而是结成伴侣，以快速的步伐走向完善． 参考文献
［１］
Ａｐｏｌｌｏｎｉｕｓ
从上面同一题的古今两种方法可以看出：一个 言简意赅，一目了然；一个令人忘而却步，晦涩难懂． 我们可明显地感觉到，古代数学家在没有建立直角 坐标系，建立曲线方程概念的前提下，研究圆锥曲线 之艰难．当时，也只有少数的科学家能看懂这方面的 研究著作． 事实上，在没有发明解析几何之前，数学家对几
ＥＤ于Ｍ，则ＬＭ２＝Ａ・ＥＭ・ＭＤ（Ａ是一常数等于现 在的１一ｅ２） 何图形的研究至阿波罗尼奥斯之后一千多年中几乎 没有什么新的突破，直到十七世纪笛卡尔和费马发 明解析几何，提出坐标的概念之后，才使得人类对几 何图形的性质有更进一步的了解，同时解析几何的 诞生也促进了代数及其他许多学科的发展． 正如美国数学家Ｍ・克莱因所说，代数和几何不再
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１３００２４
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孚．所以若ｍ＝３，ｎ可能取３，４，５；若ｍ＝４，ｎ只可
能取３；若ｍ＝５，凡只可能取３．故只有如下五种可能 的情况：
，ｎ ｎ
类型
３ ３’ ３ ４ ５
３ ４ ５ ３ ３
正四面体 正六面体 正十二面体 正八面体 正二十面体
而且我们可以用几何方法做出这五种正多面 体，且不可能再有其他的情况，故多面体只有五种． 这种方法，我们没有用欧拉公式，只是用初等的
＝ｅ２（ＮＢ＋ＮＫ）・（ＮＢ—ＮＫ）
＝ｅ２・ＢＫ’ＢＫ
①
设Ａ和Ａ’是朋上满足已知条件的点，
即是＝篇＝ｅ测是＝篾＝篇＝篇＝ｅ
所以，丽ＦＡ＋ＦＮ＝ｅ，即淼＝志＝
Ａ’Ｂ—ＮＫ
、’７１
ｅ，所以丽ＡＮ＝瓦ｅ
万ＦＡ＇丽－ＦＮ％即Ｂ意Ｋ‰Ａ 弘所以锱＝
＋’
Ｎ
五ｅ，所以等篇＝禹
②
点，船为定直线的垂
黑：１一。２
由①和②得：
＝ＮＫ（如图２）．于是ＰＦ＝ｅ・ＮＢ，
定直线Ｌ：ｘ＝ａ的距离的比是常数旦（口＞ｃ＞０）， 求点Ｐ的轨迹． 解
由题意得＜垒｛业：旦
ｌ生一龙Ｉ
Ｃ 口
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／／Biblioteka 皿７化简得：（ａ２一ｃ２）石２＋ａ２ｙ２＝口２（口２一ｃ２）
图２ ＦＮ＝ｅ・ＮＫ
令口２一ｃ２＝６２，则化为与＋各＝ｌ
所以Ｐ点轨迹为椭圆．．
中学数学杂志２００８年第９期
舅．。斋缎镌蕊彩段乃院奠钇荔互以２．笼罗
一道几何题的古今解法对照
江苏省盐城市第八中学 江苏版高中数学选修ｌ—ｌ课本第４５页，有这 样一道例题： 已知点ｅ（ｘ，Ｙ）到定点Ｆ（ｃ，０）的距离与它到
２
２２４００１
葛梅芳 作ＰⅣ垂直于ＦＢ，在ＦＢ上取点Ｋ，使得
解
篾＝丽ＰＦ＝ｅ，在胛或其延长线上取点Ｋ７，使得ⅣＫ’
１９８２．Ｃｏｎｉｃｓ（ｔｒａｎｓｌａｔｅｄ
ｂｙ Ｒ． Ｃ．
Ｔａｌｉａｆｅｒｒｏ）．Ｉｎ：Ｒ．Ｍ．Ｈｕｔｃｈｉｎｓ（Ｅｄ．），Ｇｒｅａｔ
ｏｆ ｔｈｅ
Ｂｏｏｋｓ
Ｗｅｓｔｅｒｎ Ｗｏｒｌｄ（１ １）．Ｃｈｉｃａｇｏ：Ｅｎｃｙｃｌｏｐａｅｄｉａ
Ｂｒｉｔａｎｎｉｃａ，Ｉｎｃ：６１８—６１９
［２］Ｈｅａｔｈ，Ｔ．Ｌ．Ａ
６３
ＢＮ即Ｐ到定直线的距离．
万方数据
Ｚ．粥甄４９泌彩夏燃蔓磁陇％曼．髦罗
中学数学杂志２００８年第９期
正多面体种类的另一种证明
东北师范大学数学与统计学院 我们知道，正多面体只有五种，即正四面体，正 六面体，正八面体，正十二面体，正二十面体．我们的 教科书上是利用欧拉公式证明了这个结论． 现在，我们用一种相对基础的方法来进行证明． 设正多面体的每个面为正ｎ边形，每个顶点引 出ｍ条棱，那么由多边形和立体图形的意义可知：ｍ 和Ｉ＂ｔ为大于或等于３的正整数．考虑任何一个顶点 Ａ，由它引出ｍ条棱，故有ｍ个相等的角以Ａ为顶点， 而这ｍ个角的和应小于订．这个我们利用余弦定理 和余弦函数在（０，订）上的单调性可以很容易地证 明．我们的证明就是建立在这个结论上的．
Ｈｉｓｔｏｒｙ
ｏｆ
Ｇｒｅｅｋ
Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ．
Ｌｏｎｄｏｎ：Ｏｘｆｏｒｄ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ，１９２１
万方数据
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ｄ＾，．ｄ’＾，
③
因此，根据古代数学家阿波罗尼奥斯已经在它
线，Ｐ为动点，已知丽ＰＦ＝
ｅ（ｅ为常数，且ｅ＜１）， 求Ｐ的轨迹． 分析
图１
的《圆锥曲线》中的定义，可知最后一个方程表明点 Ｐ的轨迹是椭圆． 阿波罗尼奥斯是古代的研究圆锥曲线最有名的 数学家，按照他的结论： 设￡为椭圆上任意一点，过Ｌ作ＥＯ的垂线交