江苏省2015届高三理科数学二轮专题整合52份
江苏省2015高考理科数学二轮专题整合：规范练5数列问题
规范练(五) 数列问题1．已知n ∈N *，数列{d n }满足d n ＝3＋(－1)n 2，数列{a n }满足a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋……＋d 2n ；数列{b n }为公比大于1的等比数列，且b 2，b 4为方程x 2－20x ＋64＝0的两个不相等的实根．(1)求数列{a n }和数列{b n }的通项公式； (2)将数列{b n }中的第a 1项，第a 2项，第a 3项，……，第a n 项，……删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前2 015项和． 解 (1)∵d n ＝3＋(－1)n 2， ∴a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n ＝3×2n 2＝3n .因为b 2，b 4为方程x 2－20x ＋64＝0的两个不相等的实数根． 所以b 2＋b 4＝20，b 2·b 4＝64，解得：b 2＝4，b 4＝16，所以：b n ＝2n . (2)由题知将数列{b n }中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列{c n }中的奇数项与偶数项仍成等比数列，首项分别是b 1＝2，b 2＝4，公比均是8，T 2 015＝(c 1＋c 3＋c 5＋…＋c 2 015)＋(c 2＋c 4＋c 6＋…＋c 2 014)． ＝2×(1－81 008)1－8＋4×(1－81 007)1－8＝20×81 007－67. 2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n ＋n 2－1，数列{b n }满足3n b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，且b 1＝3.(1)求a n ，b n ；(2)设T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n ，并求满足T n ＜7时n 的最大值． 解 (1)n ≥2时，S n ＝a n ＋n 2－1，S n －1＝a n －1＋(n －1)2－1， 两式相减，得a n ＝a n －a n －1＋2n －1，∴a n －1＝2n －1.∴a n ＝2n ＋1，∴3n ·b n ＋1＝(n ＋1)(2n ＋3)－n (2n ＋1)＝4n ＋3，∴b n ＋1＝4n ＋33n ，∴当n ≥2时，b n ＝4n －13n －1，又b 1＝3适合上式， ∴b n ＝4n －13n －1. (2)由(1)知，b n ＝4n －13n －1， ∴T n ＝31＋73＋1132＋…＋4n －53n －2＋4n －13n －1，① 13T n ＝33＋732＋1133＋…＋4n －53n －1＋4n －13n ，② ①－②，得23T n ＝3＋43＋432＋…＋43n －1－4n －13n＝3＋4·13(1－13n －1)1－13－4n －13n ＝5－4n ＋53n .∴T n ＝152－4n ＋52·3n －1. T n －T n ＋1＝4(n ＋1)＋52·3n －4n ＋52·3n －1＝－(4n ＋3)3n ＜0. ∴T n ＜T n ＋1，即{T n }为递增数列．又T 3＝599＜7，T 4＝649＞7，∴T n ＜7时，n 的最大值为3.3．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)，等差数列{b n }满足b 3＝3，b 5＝9.(1)分别求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝b n ＋2a n ＋2(n ∈N *)，求证：c n ＋1＜c n ≤13.(1)解 由a n ＋1＝2S n ＋1，① 得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，②①－②得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＝2a n ，∴a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n＝3，又当n ＝1时，a 2a 1＝3也符合上式，∴a n ＝3n －1. 由数列{b n }为等差数列，b 3＝3，b 5＝9，设{b n }公差为d ， ∴b 5－b 3＝9－3＝2d ，∴d ＝3，∴b n ＝3n －6.(2)证明 由(1)知：a n ＋2＝3n ＋1，b n ＋2＝3n ，所以c n ＝3n 3n ＋1＝n 3n ，所以c n ＋1－c n ＝1－2n 3n ＋1＜0，∴c n ＋1＜c n ＜…＜c 1＝13，∴c n ＋1＜c n ≤13.4．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 5和a 7的等差中项为11，且a 2·a 5＝a 1·a 14，令b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n .(1)求a n 及T n ； (2)是否存在正整数m ，n (1＜m ＜n )，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)因为{a n }为等差数列，设公差为d ，则由题意得 ⎩⎨⎧ a 5＋a 7＝22，a 2·a 5＝a 1·a 14， 即⎩⎨⎧ 2a 1＋10d ＝22，(a 1＋d )(a 1＋4d )＝a 1(a 1＋13d )，整理得⎩⎨⎧ a 1＋5d ＝11，d ＝2a 1⇒⎩⎨⎧d ＝2，a 1＝1， 所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.由b n ＝1a n ·a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1) 所以T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝n 2n ＋1. (2)假设存在．由(1)知，T n ＝n 2n ＋1， 所以T 1＝13，T m ＝m 2m ＋1，T n ＝n 2n ＋1，若T1，T m，T n成等比数列，则有T2m＝T1·T n⇒(m2m＋1)2＝13·n2n＋1⇒m24m2＋4m＋1＝n6n＋3⇒4m2＋4m＋1m2＝6n＋3n⇒3 n＝4m＋1－2m2m2，……①因为n＞0，所以4m＋1－2m2＞0⇒1－62＜m＜1＋62，因为m∈N*，m＞1，∴m＝2，当m＝2时，带入①式，得n＝12.综上，当m＝2，n＝12时可以使T1，T m，T n成等比数列．。
2015江苏卷数学理科
2015年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅰ一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4，5}，那么集合A ∪B 中元素的个数为________．2. 已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________．3. 若复数z 满足z 2＝3＋4i ，则z 的模为________．4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________．(第4题)5. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．6. 已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．7. 不等式2x2－x<4的解集为________．8. 已知tan α＝－2，tan (α＋β)＝17，那么tan β的值为________．9. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为________．10. 在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为____________．11. 已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，那么数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前10项和为________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．13. 已知函数f(x)＝|ln x|，g(x)＝⎩⎨⎧0，0<x ≤1，|x 2－4|－2，x>1，那么方程|f(x)＋g(x)|＝1实数根的个数为________．14. 若向量a k ＝⎝⎛⎭⎫cosk π6，sin k π6＋cosk π6(k ＝0，1，2，…，12)，则k ＝011(a k ·a k ＋1)的值为________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.(1) 求BC的长；(2) 求sin 2C的值．16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱AB-CA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.若AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.(1) 求证：DE∥平面AA1C1C；(2) 求证：BC1⊥AB1.(第16题)17. (本小题满分14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l.如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5 km 和40 km ，点N 到l 1，l 2的距离分别为20 km 和 2.5 km ，以l 1，l 2所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝a x 2＋b(其中a ，b 为常数)模型．(1) 求a ，b 的值；(2) 设公路l 与曲线C 相切于点P ，点P 的横坐标为t.①请写出公路l 长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．(第17题)18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1) 求椭圆的标准方程；(2) 过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．(第18题)19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋b(a ，b ∈R )．(1) 试讨论f(x)的单调性；(2) 若b ＝c －a(实数c 是与a 无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞，求c 的值．20. (本小题满分16分)设a 1，a 2，a 3，a 4是各项为正数且公差为d(d ≠0)的等差数列． (1) 求证：2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次成等比数列；(2) 是否存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次成等比数列，并说明理由；(3) 是否存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k3，a n ＋3k 4依次成等比数列，并说明理由．数学Ⅱ(附加题)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. 选修41：几何证明选讲如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△ABC 的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D ，求证：△ABD ∽△AEB.(第21－A 题)B. 选修42：矩阵与变换已知x ，y ∈R ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．C. 选修44：坐标系与参数方程已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径．D. 选修45：不等式选讲解不等式x ＋|2x ＋3|≥2.【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在四棱锥P-ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π2，PA ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1.(1) 求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；(2) 若Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长．(第22题)23. (本小题满分10分)已知集合X ＝{1，2，3}，Y n ＝{1，2，3，…，n}(n ∈N *)，设S n＝{(a ，b)|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }，令f(n)表示集合S n 所含元素的个数．(1) 写出f(6)的值；(2) 当n ≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明.2015年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)1. 5 【解析】由题意知A ∪B ＝{1，2，3，4，5}，则集合中有5个元素．2. 6 【解析】平均数为4＋6＋5＋8＋7＋66＝366＝6.3. 5 【解析】方法一：由z 2＝3＋4i ，知|z 2|＝|z|2＝5，所以|z|＝ 5.方法二：设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )代入z 2＝3＋4i ，得解得所以z ＝±(2＋i)，所以|z|＝ 5.4. 7 【解析】由题意知，在循环的过程中，S 与I 的值依次为3，4；5，7；7，10.最后输出的S 的值为7.5. 56 【解析】方法一：从4只球中一次摸出2只，基本事件共有6个，2只颜色相同的事件只有1个，根据对立事件的概率公式知所求的概率为1－16＝56.方法二：基本事件共有6个，其中颜色不同的事件有5个：(白，红)，(白，黄1)，(白，黄2)，(红，黄1)，(红，黄2)，故所求的概率为56.6. －3 【解析】由题意知m(2，1)＋n(1，－2)＝(9，－8)，所以错误!解得错误!所以m －n ＝－3.7. (－1，2) 【解析】由2x 2－x<4，知x 2－x<2，解得－1<x<2，所以原不等式的解集为(－1，2)．8. 3 【解析】方法一：tan β＝tan (α＋β－α)＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝17＋21＋17×（－2）＝3.方法二：由tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，得－2＋tan β1＋2tan β＝17，解得tan β＝3.9. 7 【解析】底面半径为5，高为4的圆锥的体积是1003π；底面半径为2，高为8的圆柱的体积是32π，故总体积是1963π.设重新制作后的圆锥、圆柱的底面半径为r ，则13πr 2·4＋πr 2·8＝1963π，所以r 2＝7，所以r ＝7.10. (x －1)2＋y 2＝2 【解析】方法一：圆半径r ＝|－m －1|m 2＋1，由r 2＝m 2＋2m ＋1m 2＋1＝1＋2m m 2＋1≤2，知r ≤2，所以半径最大的圆为(x －1)2＋y 2＝2.方法二：直线mx －y －2m －1＝0过定点(2，－1)，该点必须不在以(1，0)为圆心的圆(x －1)2＋y 2＝r 2内，所以(2－1)2＋(－1)2≥r 2，从而r 2≤2，即所求半径最大的圆为(x －1)2＋y 2＝2.11.2011【解析】由a n ＋1－a n ＝n ＋1知，当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋2＋1＝n （n ＋1）2.当n ＝1时上式也成立，所以a n ＝n （n ＋1）2，n ∈N *，所以1a n ＝2n （n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前10项和为2(11－12＋12－13＋…＋110－111)＝2⎝⎛⎭⎫1－111＝2011. 12.22【解析】方法一：如图，数形结合，双曲线右支上点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于渐近线y ＝x 到x －y ＋1＝0的距离22，即c 的最大值为22. 方法二：设右支上点P ⎝⎛⎭⎫1cos α，tan α，－π2<α<π2，则点P 到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪1cos α－tan α＋12＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－sin αcos α＋1＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α22cos 2α2－sin 2α2＋1＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2－sin α2cos α2＋sin α2＋1＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos α2cos α2＋sin α2＝2·cosα2cos α2＋sinα2＝2·11＋tanα2>22，即c 的最大值为22.(第12题)13. 4 【解析】若|f(x)＋g(x)|＝1，即f(x)＋g(x)＝±1.令h(x)＝f(x)＋g(x)，分段考虑函数．当x ∈(0，1]时，h(x)＝－lnx ，函数h(x)的值域为[0，＋∞)，且函数单调递减，故存在1个实数根；当x ∈(1，2]时，h(x)＝lnx －x 2＋2，h ′(x)＝1－2x 2x<0，所以函数单调递减，所以函数h(x)的值域为[ln2－2，1)，因为ln2－2<－1，故存在1个实数根；当x ∈(2，＋∞)时，h(x)＝lnx ＋x 2－6，函数单调递增，函数的值域为(ln2－2，＋∞)，故存在2个实数根．综上，一共存在4个实数根．14. 93 【解析】方法一：a 0·a 1＝(1，1)·⎝⎛⎭⎫32，32＋12＝3＋12，a 1·a 2＝334＋1，a 2·a 3＝32＋12，a 3·a 4＝32－12，a 4·a 5＝334－1，a 5·a 6＝3－12，a 6·a 7＝a 0·a 1，a 7·a 8＝a 1·a 2，…，所以(a k ·a k ＋1)＝2×932＝9 3.方法二：a k ·a k ＋1＝⎝⎛⎭⎫cosk π6，sin k π6＋cosk π6·(cos （k ＋1）π6，sin （k ＋1）π6＋cos（k ＋1）π6)＝cos k π6cos （k ＋1）π6＋sin （2k ＋1）π6＋cos π6＝12cos （2k ＋1）π6＋sin （2k ＋1）π6＋334，根据三角函数的周期性，(a k ·a k ＋1)＝12cos（2k ＋1）π6＋sin（2k ＋1）π6＋334＝0＋0＋12×334＝9 3. 15. (1) 由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·AC·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2) 由正弦定理知，AB sin C ＝BCsin A ，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB<BC ，所以C 为锐角， 所以cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277， 所以sin 2C ＝2sin Ccos C ＝2×217×277＝437. 16. (1) 由题意知，E 为B 1C 的中点，又D 为AB 1的中点，所以DE ∥AC. 又因为DE平面AA 1C 1C ，AC平面AA 1C 1C ，所以DE ∥平面AA 1C 1C.(2) 因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC. 因为AC平面ABC ，所以AC ⊥CC 1.又因为AC ⊥BC ，CC 1，BC 平面BCC 1B 1，BC ∩CC 1＝C ，所以AC ⊥平面BCC 1B 1. 又因为BC 1平面BCC 1B 1，所以BC 1⊥AC.因为BC ＝CC 1，所以矩形BCC 1B 1是正方形，所以BC 1⊥B 1C. 因为AC ，B 1C 平面B 1AC ，AC ∩B 1C ＝C ，所以BC 1⊥平面B 1AC.又因为AB 1平面B 1AC ，所以BC 1⊥AB 1.17. (1) 由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)．将其分别代入y ＝ax 2＋b，得(2) ①由(1)知，y ＝1 000x2(5≤x ≤20)，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫t ，1 000t 2. 设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于点A ，B ，y ′＝－2 000x 3，则直线l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t 3(x －t)， 由此得A ⎝⎛⎭⎫3t 2，0，B ⎝⎛⎭⎫0，3 000t 2， 故f(t)＝⎝⎛⎭⎫3t 22＋⎝⎛⎭⎫3 000t 22＝32t 2＋4×106t4，t ∈[5，20]．②设g(t)＝t 2＋4×106t 4，则g′(t)＝2t －16×106t 5.令g′(t)＝0，解得t ＝10 2.当t ∈(5，102)时，g ′(t)<0，g(t)单调递减； 当t ∈(102，20)时，g ′(t)>0，g(t)单调递增．所以，当t ＝102时，函数g(t)有极小值，也是最小值，g(t)min ＝300，此时f(t)min ＝15 3. 答：当t ＝102时，公路l 的长度最短，最短长度为15 3 km. 18. (1) 由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2) 当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k(x －1)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，则x 1，2＝2k 2±2（1＋k 2）1＋2k 2，点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且 AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）（x 2－x 1）2＝22（1＋k 2）1＋2k 2. 若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k 1＋2k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k 21＋2k 2， 则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k （1＋2k 2），所以PC ＝2（3k 2＋1）1＋k 2|k|（1＋2k 2）. 因为PC ＝2AB ，所以2（3k 2＋1）1＋k 2|k|（1＋2k 2）＝42（1＋k 2）1＋2k 2，解得k ＝±1. 此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.19. (1) f′(x)＝3x 2＋2ax ，令f′(x)＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2a 3. 当a ＝0时，因为f′(x)＝3x 2>0(x ≠0)，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a>0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－2a 3∪(0，＋∞)，f ′(x)>0，函数f(x)在⎝⎛⎭⎫－∞，－2a 3，(0，＋∞)上单调递增；x ∈⎝⎛⎭⎫－2a 3，0，f ′(x)<0，函数f(x)在⎝⎛⎭⎫－2a 3，0上单调递减； 当a<0时，x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫－2a 3，＋∞，f ′(x)>0，函数f(x)在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫－2a 3，＋∞上单调递增；x ∈⎝⎛⎭⎫0，－2a 3时，f ′(x)<0，函数f(x)在⎝⎛⎭⎫0，－2a 3上单调递减． (2) 由(1)知，函数f(x)的两个极值为f(0)＝b ，f ⎝⎛⎭⎫－2a 3＝427a 3＋b ， 则函数f(x)有三个零点等价于f(0)·f ⎝⎛⎭⎫－2a 3＝b(427a 3＋b)<0，又因为b ＝c －a ，所以当a>0时，427a 3－a ＋c>0；当a<0时，427a 3－a ＋c<0. 设g(a)＝427a 3－a ＋c ，因为函数f(x)有三个不同的零点时， a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞， 则在(－∞，－3)上，g(a)<0，且在⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞上，g(a)>0均恒成立，从而g(－3)＝c －1≤0，且g ⎝⎛⎭⎫32＝c －1≥0，因此c ＝1.此时，f(x)＝x 3＋ax 2＋1－a ＝(x ＋1)[x 2＋(a －1)x ＋1－a]，因为函数f(x)有三个不同的零点，所以x 2＋(a －1)x ＋1－a ＝0有两个异于－1的不相等的实数根， 所以Δ＝(a －1)2－4(1－a)＝a 2＋2a －3>0，且(－1)2－(a －1)＋1－a ≠0，解得a ∈(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 综上，c 的值为1.20. (1) 因为2a n ＋12a n＝2a n ＋1－a n ＝2d (n ＝1，2，3)是同一个常数， 所以2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列．(2) 令a 1＋d ＝a ，则a 1，a 2，a 3，a 4分别为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d(a>d ，a>－2d ，d ≠0)．假设存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列，则a 4＝(a －d)(a ＋d)3，且(a ＋d)6＝a 2(a ＋2d)4.令t ＝d a，则1＝(1－t)(1＋t)3， 且(1＋t)6＝(1＋2t)4⎝⎛⎭⎫－12<t<1，t ≠0， 化简得t 3＋2t 2－2＝0(*)，且t 2＝t ＋1.将t 2＝t ＋1代入(*)式，t(t ＋1)＋2(t ＋1)－2＝t 2＋3t ＝t ＋1＋3t ＝4t ＋1＝0，则t ＝－14. 显然t ＝－14不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立， 因此不存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列．(3) 假设存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k 3，a n ＋3k 4依次构成等比数列， 则a n 1(a 1＋2d)n ＋2k ＝(a 1＋d)2(n ＋k)，且(a 1＋d)n ＋k (a 1＋3d)n ＋3k ＝(a 1＋2d)2(n ＋2k)． 分别在两个等式的两边同除以a 2（n ＋k ）1及a 2（n ＋2k ）1，并令t ＝d a 1⎝⎛⎭⎫t>－13，t ≠0， 则(1＋2t)n ＋2k ＝(1＋t)2(n ＋k)，且(1＋t)n ＋k (1＋3t)n ＋3k ＝(1＋2t)2(n ＋2k)，将上述两个等式两边取对数，得(n ＋2k)ln(1＋2t)＝2(n ＋k)ln(1＋t)， 且(n ＋k)ln(1＋t)＋(n ＋3k)ln(1＋3t)＝2(n ＋2k)ln(1＋2t)．化简得2k[ln(1＋2t)－ln(1＋t)]＝n[2ln(1＋t)－ln(1＋2t)]，且3k[ln(1＋3t)－ln(1＋t)]＝n[3ln(1＋t)－ln(1＋3t)]．再将这两式相除，化简得ln(1＋3t)ln(1＋2t)＋3ln(1＋2t)ln(1＋t)＝4ln(1＋3t)ln(1＋t)． (**) 令g(t)＝4ln(1＋3t)ln(1＋t)－ln(1＋3t)ln(1＋2t)－3ln(1＋2t)ln(1＋t)， 则g′(t)＝2[（1＋3t ）2ln （1＋3t ）－3（1＋2t ）2ln （1＋2t ）＋3（1＋t ）2ln （1＋t ）]（1＋t ）（1＋2t ）（1＋3t ）. 令φ(t)＝(1＋3t)2ln(1＋3t)－3(1＋2t)2ln(1＋2t)＋3(1＋t)2ln(1＋t)， 则φ′(t)＝6[(1＋3t)ln(1＋3t)－2(1＋2t)ln(1＋2t)＋(1＋t)ln(1＋t)]． 令φ1(t)＝φ′(t)，则φ′1(t)＝6[3ln(1＋3t)－4ln(1＋2t)＋ln(1＋t)]．令φ2(t)＝φ′1(t)，则φ′2(t)＝12（1＋t ）（1＋2t ）（1＋3t ）>0. 由g(0)＝φ(0)＝φ1(0)＝φ2(0)＝0，φ′2(t)>0，知φ2(t)，φ1(t)，φ(t)，g(t)在⎝⎛⎭⎫－13，0和(0，＋∞)上均单调． 故g(t)只有唯一零点t ＝0，即方程(**)只有唯一解t ＝0，故假设不成立．所以不存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k 3，a n ＋3k 4依次构成等比数列． 21. A. 因为AB ＝AC ，所以∠ABD ＝∠C.又因为∠C ＝∠E ，所以∠ABD ＝∠E ，又∠BAE 为公共角，所以△ABD ∽△AEB.B. 由已知，得A α＝－2α，从而矩阵A 的特征多项式f(λ)＝(λ＋2)(λ－1)，所以矩阵A 的另一个特征值为1.C. 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy.由圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ－4＝0， 化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.D. 原不等式可化为解得x ≤－5或x ≥－13. 综上，原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－5或x ≥－13. 22. 以{AB →，AD →，AP →}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ，则各点的坐标为A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．(1) 因为AD ⊥平面PAB ，所以AD →是平面PAB 的一个法向量，AD →＝(0，2，0)．因为PC →＝(1，1，－2)，PD →＝(0，2，－2)，设平面PCD 的法向量m ＝(x ，y ，z)，则m ·PC →＝0，m ·PD →＝0，即错误!令y ＝1，解得z ＝1，x ＝1，所以m ＝(1，1，1)是平面PCD 的一个法向量．从而cos 〈AD →，m 〉＝AD →·m |AD →||m |＝33， 所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为33. (2) 因为BP →＝(－1，0，2)，设BQ →＝λBP →＝(－λ，0，2λ)(0≤λ≤1)， 又CB →＝(0，－1，0)，则CQ →＝CB →＋BQ →＝(－λ，－1，2λ)．又DP →＝(0，－2，2)，从而cos 〈CQ →，DP →〉＝CQ →·DP →|CQ →||DP →|＝1＋2λ10λ2＋2 . 设1＋2λ＝t ，t ∈[1，3]，则cos 2〈CQ →，DP →〉＝2t 25t 2－10t ＋9＝29⎝⎛⎭⎫1t －592＋209≤910. 当且仅当t ＝95，即λ＝25时，|cos 〈CQ →，DP →〉|取得最大值31010. 因为y ＝cos x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是减函数，此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值． 又因为BP ＝12＋22＝5，所以BQ ＝25BP ＝255.(第22题)23. (1) S 6＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，4)，(2，6)，(3，1)，(3，3)，(3，6)}，故f(6)＝13.下面用数学归纳法证明：①当n ＝6时，f(6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立； ②假设n ＝k(k ≥6)时结论成立，那么当n ＝k ＋1时，S k ＋1在S k 的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论：(ⅰ) 若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有f(k ＋1)＝f(k)＋3＝k ＋2＋k －12＋k －23＋3 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋13，结论成立； (ⅱ) 若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有f(k ＋1)＝f(k)＋1＝k ＋2＋k 2＋k 3＋1 ＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋（k ＋1）－13，结论成立； (ⅲ) 若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有f(k ＋1)＝f(k)＋2＝k ＋2＋k －12＋k －13＋2 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋（k ＋1）－23，结论成立； (ⅳ) 若k ＋1＝6t ＋3，则k ＝6t ＋2，此时有f(k ＋1)＝f(k)＋2＝k ＋2＋k 2＋k －23＋2 ＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋k ＋13，结论成立； (ⅴ) 若k ＋1＝6t ＋4，则k ＝6t ＋3，此时有f(k ＋1)＝f(k)＋2＝k ＋2＋k －12＋k 3＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋（k ＋1）－13，结论成立； (ⅵ) 若k ＋1＝6t ＋5，则k ＝6t ＋4，此时有f(k ＋1)＝f(k)＋1＝k ＋2＋k 2＋k －13＋1 ＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋（k ＋1）－23，结论成立． 综上所述，结论对满足n ≥6的自然数n 均成立.。
2015年高考江苏省理科数学真题含答案解析(超完美版)
2015年高考江苏省理科数学真题一、填空题(每题5分，共14题，共70分)1．已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合AB 中元素的个数为_______.2．已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为________. 3．设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______. 4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.5．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.6．已知向量=(2,1)a ，(1,2)b =-，若(9,8)(,)ma nb m n R +=-∈，则m n -的值为______. 7．不等式224x x-<的解集为________.8．已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______.9．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。
若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 。
10．在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。
11．数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为 。
12．在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。
若点P 到直线01=+-y x 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为 。
13．已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 。
2015年普通高中高三第二次联合考试理科数学附答案
BA BC 2 ，则 ABC 的面积为 （
A． 2
2
） C． 2 2 D． 4 2
B．
3 2
（10）已知抛物线 y ＝2px（p＞0）与双曲线 2－ 2＝1（a＞0，b＞0）有相同的焦点 F，点 A 是两曲线的一个交点，且 AF⊥x 轴，则双曲线的离心率为（ ( ) A． 2＋2 B． 5＋1 C． 3＋1
1 x
A. 1 （4）二项式 (2 x
1 2
C. 1 ）
D.
) 6 的展开式中常数项为（
A．160
B． 160
C．60
D． 60
x y 1 y （5）设 x, y 满足约束条件 x 1 0 ，则目标函数 z 的取值范围为 （ x2 x y 1
A． 3,3 B． 2,2 C． 1,1 D．
）
2 2 , 3 3
理科数学答案
（6） 已知 S n 是公差不为 0 的等差数列 an 的前 n 项和， 且 S1 , S 2 , S 4 成等比数列， 则 于（ ） A．10 B．8 C．6 D． 4
4
x2 y 2 a b
）
D． 2＋1
3
（11）若某几何体的三视图(单位： cm )如图所示， 则该几何体的体积等于( A． 10cm
3 3
)
正视图
5 侧视图 3 俯视图
B． 20cm C． 30cm
3 3
D． 40cm
（11 题图）
（12） 已知函数 f ( x )
x 1, log 2 x ,
1
a i 2015 的值为 1 2i
．
（14）设
2015年高考理科数学江苏卷-答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）答案解析数学Ⅰ【解析】{12A B=，，【提示】求出A BU，再明确元素个数集合并集及其运算】6】1(46x=+【提示】直接求解数据的平均数即可．平均数的计算．】（【解析】从中随机一次摸出】(2ma nb m n +=+【提示】直接利用向量的坐标运算，求解即可．【考点】平面向量的坐标运算．】224xx-<【提示】利用指数函数的单调性转化为解不等式．】tan tan(β=31(2)7=-，【提示】直接利用两角和的正切函数，求解即可．两角和与差的正切公式．】221196ππ54+π28=33V 221196ππ8π433r r +=，解得r =等列式求得r ．】圆心到切线】1n n a a +-(1)1232n n n +==++++=1121n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭1111111202121223310111111⎛⎫⎛⎫-+-+-+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【提示】数列{}n a 满足1()n n *+∈Ν，利用“累加求和”可得(1)2n n n a +=．再利用“裂0021x y -+又00)()x y +=00211x y ++的最小值为22c ∴【提示】双曲线2x -】πcos 6k ⎛⎝，π(1)ππ(1)ππ(1)ππ(1)ππ(1)πcos sin sin cos sin sin cos cos cos6666666666k k k k k k k k k +++++++++ π(1)ππ(1)ππ(1)ππ(1)ππ(1)πcos sin sin cos cos cos sin sin cos 666666666k k k k k k k k k +++++⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦π(1)cos 66k +1111100π(1)π)cos cos 66k k k k k k a +==+=+∑∑π(1)πππcos 33sin 6636k k +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭以63=，1)3k k a +∴=【提示】利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出．cos 4AB AC A =+2sin 6021sin 7AB A BC ==317=-=cos 2C C =⨯（Ⅰ）直接利用余弦定理求解即可．2(0)3a f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭34.27a 又b =2(0)3a f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭设22()111(2)()n n k n k a a d a d +++=+，且32(2)111()(3)(2)n k n kn k a d a d a d +++++=+，利用等式以及对数的性质化简整理得到ln(13)ln(12)3ln(12)ln(1)4ln(13)ln(1)t t t t t t +++++=++，多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立．【考点】等比数列的判定，等差数列、等比数列的性质，等差、等比数列的性质．数学Ⅱ(附加题){}AB AD AP ，，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ．，所以AD 是平面的一个法向量，(0,2,0)AD =因为(1,1,PC =，(0,2,PD =0PC =m ，0PD =m ，即20y z -=(1,1,1)=m 是平面PCD 33AD AD AD <>==，mm m ，33． （Ⅱ）因为(1,0,2)BP =-，设(,0,2BQ BP λλ==-，又(0,1,0)CB =-则(,CQ CB BQ λ=+=-，又(0,DP =-110CQ DPCQ DP CQ DP <>==，2,CQ DP <>=,CQ DP <>的最大值为所成角取得最小值，又因为BP =的一个法向量与平面9,10CQ DP <>≤。
江苏省2015高考理科数学二轮专题整合：规范练3解析几何问题
规范练(三) 解析几何问题1．已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，直线l ：y ＝－1，动圆P 与圆M 相外切，且与直线l 相切．设动圆圆心P 的轨迹为E . (1)求E 的方程；(2)若点A ，B 是E 上的两个动点，O 为坐标原点，且OA →·OB →＝－16，求证：直线AB 恒过定点．(1)解 设P (x ，y )，则x 2＋(y －2)2＝(y ＋1)＋1，∴x 2＝8y .∴E 的方程为x 2＝8y . (2)证明 设直线AB ：y ＝kx ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将直线AB 的方程代入x 2＝8y 中得x 2－8kx －8b ＝0，所以x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－8b .OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 21x 2264＝－8b ＋b 2＝－16，∴b ＝4，所以直线AB 恒过定点(0,4)．2．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22.过坐标原点的直线l 1与l 2均不在坐标轴上，l 1与椭圆M 交于A ，C 两点，l 2与椭圆M 交于B ，D 两点． (1)求椭圆M 的方程；(2)若平行四边形ABCD 为菱形，求菱形ABCD 面积的最小值．解(1)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝22a ，1a 2＋12b2＝1，又因为a 2＝b 2＋c 2，所以⎩⎨⎧a 2＝2b 2＝1.故椭圆M的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线AC ：y ＝k 1x ，直线BD ：y ＝k 2x ，A (x A ，y A )，C (x C ，y C )．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1y ＝k 1x，得方程(2k 21＋1)x 2－2＝0，x 2A ＝x 2C ＝22k 21＋1，故OA ＝OC ＝1＋k 21·22k 21＋1. 同理，OB ＝OD ＝1＋k 22·22k 22＋1.又因为AC ⊥BD ，所以OB ＝OD ＝1＋(1k 1)2·22(1k 1)2＋1，其中k 1≠0. 从而菱形ABCD 的面积S＝2OA ·OB＝21＋k 21·22k 21＋1·1＋(1k 1)2·22(1k 1)2＋1， 整理得S ＝412＋1(k 1＋1k 1)2，其中k 1≠0.故当k 1＝1或－1时，菱形ABCD 的面积最小，该最小值为83.3．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝2PB →. (1)求椭圆方程；(2)求m 的取值范围．解 (1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上 ， 设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 由题意知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2， 所以椭圆方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，即⎩⎨⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m ，则(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0，Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)＞0，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk2＋k 2，x 1·x 2＝m 2－42＋k 2.又AP →＝2PB →，即有(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )．∴－x 1＝2x 2，∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22.∴m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2mk 2＋k 22，整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2， 又9m 2－4＝0时不成立，∴k 2＝8－2m 29m 2－4＞0，得49＜m 2＜4，此时Δ＞0.∴m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2. 4．已知△ABC 的两顶点坐标A (－1,0)，B (1,0)，圆E 是△ABC 的内切圆，在边AC ，BC ，AB 上的切点分别为P ，Q ，R ，CP ＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C 的轨迹为曲线M . (1)求曲线M 的方程；(2)设直线BC 与曲线M 的另一交点为D ，当点A 在以线段CD 为直径的圆上时，求直线BC 的方程．解 (1)由题知CA ＋CB ＝CP ＋CQ ＋AP ＋BQ ＝2CP ＋AB ＝4＞AB ， 所以曲线M 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x 轴的交点)，设曲线M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0，y ≠0)，则a 2＝4，b 2＝a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝3，所以曲线M ：x 24＋y 23＝1(y ≠0)为所求．(2)注意到直线BC 的斜率不为0，且过定点B (1,0)，设l BC ：x ＝my ＋1，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 由⎩⎨⎧x ＝my ＋1，3x 2＋4y 2＝12，消x 得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，所以y 1,2＝－3m ±6m 2＋13m 2＋4，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－6m3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，因为AC →＝(my 1＋2，y 1)，AD →＝(my 2＋2，y 2)，所以AC →·AD →＝(my 1＋2)(my 2＋2)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋2m (y 1＋y 2)＋4＝－9(m 2＋1)3m 2＋4－12m 23m 2＋4＋4＝7－9m 23m 2＋4.注意到点A 在以CD 为直径的圆上，所以AC →·AD →＝0，即m ＝±73，所以直线BC 的方程3x ＋7y －3＝0或3x －7y －3＝0为所求．。
江苏省2015高考理科数学二轮专题整合：规范练4实际应用问题
规范练(四) 实际应用问题1．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨． (1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 解 (1)每吨平均成本为yx (万元)． 则y x ＝x 5＋8 000x－48≥2 x 5·8 000x－48＝32，当且仅当x 5＝8 000x ，即x ＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元． (2)设年获得总利润为R (x )万元． 则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680(0≤x ≤210)．∵R (x )在[0,210]上是增函数，∴x ＝210时，R (x )有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．2．某工厂生产某种产品，每日的成本C (单位：万元)与日产量x (单位：吨)满足函数关系式C ＝3＋x ，每日的销售额S (单位：万元)与日产量x 的函数关系式S ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋k x －8＋5(0＜x ＜6)，14 (x ≥6)，已知每日的利润L ＝S －C ，且当x ＝2时，L ＝3.(1)求k 的值；(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．解 (1)由题意可得：L ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋k x －8＋2，0＜x ＜6，11－x ，x ≥6，因为x ＝2时，L ＝3，所以3＝2×2＋k2－8＋2， 解得k ＝18.(2)当0＜x ＜6时，L ＝2x ＋18x －8＋2，所以L ＝2(x －8)＋18x －8＋18＝－[2(8－x )＋188－x]＋18≤－22(8－x )·188－x＋18＝6.当且仅当2(8－x )＝188－x ，即x ＝5时取得等号．当x ≥6时，L ＝11－x ≤5.所以当x ＝5时，L 取得最大值6.所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元．3．某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t 件时，销售所得的收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫0.05t －120 000t 2万元．(1)该公司这种产品的年生产量为x 件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x 的函数为f (x )，求f (x )； (2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？ 解 (1)当0<x ≤500时，f (x )＝0.05x －120 000x 2－ ⎝ ⎛⎭⎪⎫0.25×x 100＋0.5＝－x 220 000＋19400x －12， 当x >500时，f (x )＝0.05×500－120 000×5002－⎝ ⎛⎭⎪⎫0.25×x 100＋0.5＝12－1400x ，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－120 000x 2＋19400x －12，0<x ≤500，12－1400x ，x >500.(2)当0<x ≤500时，f (x )＝－x 220 000＋19400x －12＝ －120 000(x －475)2＋34532， 故当x ＝475时，f (x )max ＝34532.当x >500时，f (x )＝12－1400x <12－54＝34432<34532.故当该公司的年产量为475件时，当年获得的利润最大．4．如图，一块弓形薄铁片EMF ，点M 为的中点，其所在圆O 的半径为4 dm(圆心O 在弓形EMF 内)，∠EOF ＝2π3.将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD (不计损耗)，AD ∥EF ，且点A ，D 在上，设∠AOD ＝2θ.(1)求矩形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式； (2)当裁出的矩形铁片ABCD 面积最大时，求cos θ的值． 解 (1)设矩形铁片的面积为S ，∠AOM ＝θ.当0<θ<π3时(如图1)，AB ＝4cos θ＋2，AD ＝2×4sin θ，S ＝AB ×AD ＝(4cos θ＋2)(2×4sin θ)＝16sin θ(2cos θ＋1)．当π3≤θ<π2时(如图2)，AB ＝2×4cos θ，AD ＝2×4sin θ， 故S ＝AB ×AD ＝64sin θcos θ＝32sin 2θ.综上得，矩形铁片的面积S 关于θ的函数关系式为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧16sin θ(2cos θ＋1)，0<θ<π3，32sin 2θ， π3≤θ<π2.(2)当0<θ<π3时，求导得S ′＝16[cos θ(2cos θ＋1)＋sin θ(－2sin θ)]＝16(4cos 2θ＋cos θ－2)．令S ′＝0，得cos θ＝33－18.记区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3内余弦值等于33－18的角为θ0(唯一存在)．列表：又当π3≤θ<π2时，S ＝32sin 2θ在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，所以当θ＝θ0即cos θ＝33－18时，矩形的面积最大．。
2015年江苏高考数学真题及答案(精校版)
2015年江苏高考数学真题及答案(精校版)2绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I参考公式： 圆柱的体积公式：shV=圆柱，其中s 为圆柱的表面积，h 为高. 圆锥的体积公式：sh V 31=圆锥，其中s 为圆锥的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题 - 第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字3上．． 1. 已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合BA Y 中元素的个数为 ▲ ．2. 已知一组数据4, 6, 5, 8, 7, 6，则这组数据的平均数为 ▲ ．3. 设复数z 满足iz 432+=（i 是虚数单位），则z 的模为 ▲ ．4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．5. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球. 从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ▲ ． 6. 已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若ma +nb =)8,9(-(R n m ∈,), nm -的值为 ▲ ．7. 不等式422<-xx 的解集为 ▲ ．1←S1←IWhile48. 已知2tan -=α，71)tan(=+βα，则βtan 的值为▲ ．9. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个. 若将它们重新制作成总体积和高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 ▲ ． 10. 在平面直角坐标系x O y 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ▲ ． 11. 设数列{}na 满足11=a，且11+=-+n a an n (*N n ∈), 则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧na1前10项的和为 ▲ ．12. 在平面直角坐标系x O y 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点，若点P 到直线51=+-y x 的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 ▲ ． 13. 已知函数x x f ln )(=，⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<=,1,24,10,0)(2x x x x g ，则方程1)()(=+x g x f 实根的个数为 ▲ ．14. 设向量a k=(6cos 6sin ,6cos πππk k k +)，(12,,2,1,0Λ=k )，则∑=+⋅111)(k k ka a的值为▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 在ABC ∆中，已知ο60,3,2===A AC AB .（1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值.616．（本题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知BC AC⊥， 1CC BC =，设1AB 的中点为D ，E BCC B =11I . 求证：（1）C C AA DE 11//平面；（2）11AB BC ⊥.17.（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建 一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，，山区边 界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ，的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ，所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角ABCDEA BC7坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2a y xb =+（其中a ，b 为常数）模型. （1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t .①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域；②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>2，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；8（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于 点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程.19.（本小题满分16分） 已知函数),()(23R b a b ax xx f ∈++=.（1）试讨论)(x f 的单调性；BAO x ylP C9（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞Y Y ，求c 的值.20.（本小题满分16分）设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列（1）证明：31242,2,2,2a a a a 依次成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a aa a 依次成等比10数列，并说明理由；（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得kn k n k n n a a a a 342321,,,+++依次成等比数列，并说明理由.★ 启用前绝密2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学II21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.（选修4—1：几何证明选讲）如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D求证：ABD ∆∽AEB ∆ 注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有A 、B 、C 、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．考试时间30分钟．考试结束后，请将答题卡交回. 2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知R y x ∈,，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量，矩阵A 以及它的另一个特征值.C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知圆C 的极坐标方程为222sin()404πρρθ+--=，求圆C 的半径. AB C ED O （第21D.（选修4—5：不等式选讲）解不等式|23|3x x ++≥【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题．．．．卡．的指定区域内．．．．．．. 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯 形，2ABC BAD π∠=∠=,2,1PA AD AB BC ==== （1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长23．（本小题满分10分） 已知集合{}3,2,1=X ，{})(,,3,2,1*N n n Yn ∈=Λ，{,),(a b b a b a S n 整除或整除= }n Y b X a ∈∈,，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.（1）写出(6)f 的值；（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明.PAB C D Q。
2015年江苏省高考数学试题及答案(理科)【解析版】(DOC)
2015年江苏省高考数学试卷一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分）1．(5分）(2015•江苏)已知集合A=｛1，2，3}，B=｛2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为5．考点: 并集及其运算．专题：集合．分析：求出A∪B，再明确元素个数解答:解:集合A={1，2，3}，B={2，4,5}，则A∪B={1,2，3,4，5｝；所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：5点评：题考查了集合的并集的运算,根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2．(5分）(2015•江苏)已知一组数据4，6，5，8,7,6,那么这组数据的平均数为6．考点：众数、中位数、平均数．专题: 概率与统计．分析:直接求解数据的平均数即可．解答：解：数据4,6，5，8，7，6,那么这组数据的平均数为：=6．故答案为:6．点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．3．（5分）（2015•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位）,则z的模为．考点：复数求模．专题: 数系的扩充和复数．分析:直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．解答：解：复数z满足z2=3+4i，可得|z||z|=|3+4i|==5,∴｜z|=．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．4．（5分)（2015•江苏)根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7．考点：伪代码．专题: 图表型;算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值,当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．解答：解：模拟执行程序，可得S=1,I=1满足条件I＜8,S=3，I=4满足条件I＜8,S=5，I=7满足条件I＜8,S=7，I=10不满足条件I＜8，退出循环,输出S的值为7．故答案为：7．点评:本题主要考查了循环结构的程序,正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．（5分)（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球,从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．考点: 古典概型及其概率计算公式．专题: 概率与统计．分析:根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答:解:根据题意，记白球为A，红球为B,黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种;所以所求的概率是P=．故答案为：．点评:本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题,是基础题目．6．（5分）（2015•江苏）已知向量=（2,1)，=（1，﹣2）,若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R）,则m﹣n的值为﹣3．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的坐标运算，求解即可．解答:解:向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）可得，解得m=2，n=5，∴m﹣n=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．7．（5分）（2015•江苏）不等式2＜4的解集为（﹣1，2）．考点：指、对数不等式的解法．专题: 函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：利用指数函数的单调性转化为x2﹣x＜2，求解即可．解答：解；∵2＜4，∴x2﹣x＜2,即x2﹣x﹣2＜0，解得:﹣1＜x＜2故答案为：（﹣1，2）点评：本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目,难度不大．8．（5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β)=，则tanβ的值为3．考点：两角和与差的正切函数．专题: 三角函数的求值．分析：直接利用两角和的正切函数,求解即可．解答：解：tanα=﹣2，tan（α+β）=,可知tan(α+β）==,即=,解得tanβ=3．故答案为:3．点评:本题考查两角和的正切函数,基本知识的考查．9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题;空间位置关系与距离．分析:由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由前后体积相等列式求得r．解答：解:由题意可知,原来圆锥和圆柱的体积和为：．设新圆锥和圆柱的底面半径为r,则新圆锥和圆柱的体积和为：．∴，解得：．故答案为:．点评：本题考查了圆柱与圆锥的体积公式,是基础的计算题．10．(5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0)为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．考点：圆的标准方程；圆的切线方程．专题：计算题;直线与圆．分析：求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．解答：解：圆心到直线的距离d==≤，∴m=1时，圆的半径最大为,∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1）2+y2=2．点评：本题考查所圆的标准方程,考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．11．(5分)（2015•江苏）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1(n∈N*）,则数列{}的前10项的和为．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：数列{a n}满足a1=1,且a n+1﹣a n=n+1（n∈N＊），利用“累加求和”可得a n=．再利用“裂项求和”即可得出．解答:解:∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1(n∈N＊），∴当n≥2时,a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=+n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴a n=．∴=2．∴数列｛｝的前n项的和S n===．∴数列｛｝的前10项的和为．故答案为：．点评：本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离．解答：解：由题意,双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即．故答案为：．点评:本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）（2015•江苏）已知函数f(x）=|lnx｜，g（x)=，则方程|f （x）+g(x）｜=1实根的个数为4．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x)=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．解答：解：由|f(x）+g（x）｜=1可得g（x)=﹣f(x）±1．g(x）与h(x）=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有两个交点；g(x)与φ（x)=﹣f(x)﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f（x）+g（x)|=1实根的个数为4．故答案为：4．点评:本题考查求方程｜f（x）+g(x）|=1实根的个数,考查数形结合的数学思想,考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．(5分）(2015•江苏)设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则(a k•a k+1）的值为．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用．分析：利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出．解答：解：=+=++++=++=++，∴（a k•a k+1）=+++++++…+++++++…+=+0+0=．故答案为：9．点评:本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题,共计90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(14分）(2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长;（2）求sin2C的值．考点：余弦定理的应用；二倍角的正弦．专题：解三角形．分析:（1）直接利用余弦定理求解即可．（2)利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．解答：解：（1)由余弦定理可得:BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得:，则sinC===，∵AB＜BC，∴C为锐角，则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数,注意角的范围的解题的关键．16．（14分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AC⊥BC，BC=CC1,设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证:（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．考点: 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C;（2)先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1;再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1．解答：证明：（1）根据题意,得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；（2）因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1；又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C,所以AC⊥平面BCC1B1;又因为BC1⊂平面平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥平面B1AC;又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1．点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系,也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题,是基础题目．17．（14分）(2015•江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点,测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2。
2015年3月2015届高三第二次全国大联考(江苏版)数学卷(原卷版)
【学科网学易大联考】2015年第二次全国大联考【江苏版】一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1．已知复数z =201532i i-(i 是虚数单位)，则复数z 所对应的点位于复平面的第 象限． 2．已知全集U=N ，集合{}10A x x =->，则=A C U ．3．若样本321,,a a a 的方差是2，则样本12322015,22015,22015a a a +++的方差是 ．4．已知双曲线22221y x a b-=的一个焦点与圆x 2+y 2－10x =05，则该双曲线的准线方程为 ．5．已知实数x ∈[3，9]，执行如右图所示的流程图，则输出的x 不小于55的概率为 ．6．若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9=－36，S 13=－104，则a 5与a 7的等比中项为 ． 7．定义在R 上的奇函数()f x ，对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=-，当(02)x ∈，时，()4x f x =， 则(2015)f = ．8. 一个三棱柱恰好可放入一个正四棱柱的容体中，底面如图所示，其中三棱柱的底面AEF 是一个直角三角形，∠AEF = 90︒，AE = 2，EF = 1，三棱柱的高与正四棱柱的高均为1，则此正四棱柱的体积为 ．开始 结束Yn ←1输入x 输出xn ←n +1 x ←2x +1n ≤3 N（第8题）FEDCBA9．已知函数y ＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，2π]上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为 ．.10．已知直线y =ax +3与圆22280x y x ++-=相交于A ，B 两点，点00(,)P x y 在直线y =2x 上，且P A =PB ,则0x的取值范围为 ． 11. 已知函数20151()sin 201521xf x x =++在[]2015,2015-上的最大值分别为,M m ，则M m += ．12．在ABC ∆中，2AC BC ⋅=且两中线AD 与BE 互相垂直，求ABC ∆面积的最大值 ． 13．设P (x ，y)为函数22y x =+(3)x >图象上一动点，记353712x y x y m x y +-+-=+--，则当m 最小时，点 P的坐标为 ．14．设椭圆和双曲线有公共焦点12F F ，，两曲线的一个公共点为P ，且123F PF π∠=，记12e e ，分别为椭圆和双曲线的离心率，则1211e e +的最大值为 ． 二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（本小题满分14分）如图，在xoy 平面上，点)0,1(A ，点B 在单位圆上，θ=∠AOB （πθ<<0） (I) 若点)54,53(-B ，求)42tan(πθ+的值；(II)若OC OB OA =+，四边形OACB 的面积用θS 表示，求OC OA S ⋅+θ的取值范围.xO y BAC16．（本小题满分14分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，底面1111A B C D 是正方形，E 是棱1AA 上任意一点，F 是CD 的中点． (I) 证明：BD 1EC ⊥； (II)若AF ∥平面C 1DE ，求1AEA A的值． D 1C 1B 1A 1FEDCBA17．（本小题满分14分）下图是一块平行四边形园地 ABCD ，经测量，AB = 20 m ，BC = 10 m ， ∠ABC = 120 °．拟过线段 AB 上一点 E 设计一条直路 EF （点 F 在四边形 ABCD 的边上，不计路的宽度），将该园地分为面积之比为 3:1 的左、右两部分分别种植不同花卉．设 EB = x ，EF = y （单位：m ）． （Ⅰ）当点 F 与点 C 重合时，试确定点 E 的位置；（Ⅱ）求 y 关于 x 的函数关系式；（Ⅲ）请确定点 E ，F 的位置，使直路 EF 长度最短．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A ，B 是圆 O ：221x y +=与 x 轴的两个交点（点 B 在点 A 右侧），点(2,0)Q -， x 轴上方的动点 P 使直线 PA ，PQ ，PB 的斜率存在且依次成等差数列． (I) 求证：动点 P 的横坐标为定值；（II ）设直线 PA ，PB 与圆 O 的另一个交点分别为 S ，T ，求证：点 Q ，S ，T 三点共线．19．（本小题满分16分）设二次函数2()f x ax bx c =++的导函数为().f x '（Ⅰ）若 a = 1，c = 2 ，且在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y =()f x '恰与抛物线 y = f (x ) 相切，求 b 的值；（II ）若 ,()()x R f x f x '∀∈≥恒成立，（ⅰ）求证： c ≥a > 0 ；（ⅱ）求222b ac +的最大值．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足5459342,S a a a a a =+=+.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若12m m m a a a ++=，求正整数m 的值； (Ⅲ)是否存在正整数m ，使得221mm S S -恰好为数列{}n a 中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由.数学Ⅱ 附加题部分【理】21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【选做题】（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题） A ．【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，在△ABC 中，CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆O 交BC 于点N . 若AB =2AC ， 求证：BN =2AM .B ．【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知曲线C ，在矩阵M 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线1C ，1C 在矩阵N 0110-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线2218C y x =：，求曲线C 的方程．C.【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合．曲线C 的极坐标方程为22312sin ρθ=+，直线l 的参数方程为3,1x t y t ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数，t ∈R )．试在曲线C 上求一点M ，使它到直线l 的距离最大．D ．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分） 求函数：3141y x x =+-最大值．【必做题】（第22题、第23题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 22.（本小题满分10分）学校足球队进行罚点球训练，队员在一轮训练中最多可罚4次，并规定，一旦命中该队员即停止此轮练习，否则一直罚到第4次为止. 已知一选手罚点球的命中率为0.8，求一轮练习中，该选手的实际罚球次数X 的分布列，并求X 的数学期望. 23. （本小题满分10分）已知多项式5431111()52330f n n n n n =++-. (Ⅰ)求(1)f -及(2)f 的值；(Ⅱ)试探求对一切整数n ，()f n 是否一定是整数？并证明你的结论．MC NBO·A。
2015年高考理科数学江苏卷及答案
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式:圆柱的体积公式:V Sh =圆柱,其中S 是圆柱的底面积,h 是高圆锥的体积公式:13V Sh =圆锥,其中S 是圆锥的底面积,h 是高一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.把答案填在题中的横线上.1.已知集合{1,2,3}A =,{2,4,5}B =,则集合AB 中元素的个数为 . 2.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为 . 3.设复数z 满足234i z =+（i 是虚数单位）,则z 的模为 . 4.根据如图所示的伪代码,5.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球, 从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为 .6.已知向量a (2,1)=,b (1,2)=-,若m a +n b (9,8)=-(,)m n ∈R ,则m n -的值为 .7.不等式224xx-<的解集为 .8.已知tan 2α=-,1tan()=7αβ+,则tan β的值为 .9.现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为 .10.在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线210()mx y m m ---=∈R 相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 .11.设数列{}n a 满足11a =,且*11()n n a a n n +-=+∈Ν,则数列1{}na 的前10项的和为 .12.在平面直角坐标系xOy 中,P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点,若点P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立,则实数c 的最大值为 .13.已知函数()|ln |f x x =,20,01,()|4|2,1,x g x x x ⎧=⎨--⎩＜≤＞则方程|()()|1f xg x +=实根的个数为 .14.设向量a k πππ(cos ,sin cos )(0,1,2,,12)666k k k k =+=⋅⋅⋅,则11(k =∑a k a k+1)的值为 .二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）在ABC △中,已知2AB =,3AC =,60A =︒. （Ⅰ）求BC 的长; （Ⅱ）求sin2C 的值.16.（本小题满分14分）如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,已知AC BC ⊥,1BC CC =,设1AB 的中点为D ,11B C BC E =.求证:（Ⅰ）DE平面11AA C C ;（Ⅱ）11BC AB ⊥.17.（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为1l ,2l ,山区边界曲线为C ,计划修建的公路为l ,如图所示,M ,N 为C 的两个端点,测得点M 到1l ,2l 的距离分别为5 千米和40 千米,点N 到1l ,2l 的距离分别为20 千米和2.5 千米,以2l ,1l 所在的直线分别为x ,y 轴,建立平面直角坐标系xOy ,假设曲线C 符合函数2ay x b=+（其中a ,b 为常数）模型. （Ⅰ）求a ,b 的值;（Ⅱ）设公路l 与曲线C 相切于P 点,P 的横坐标为t . （ⅰ）请写出公路l 长度的函数解析式()f t ,并写出其定义域; （ⅱ）当t 为何值时,公路l 的长度最短?求出最短长度.姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------18.（本小题满分16分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>,且右焦点F 到左准线l 的距离为3. （Ⅰ）求椭圆的标准方程;（Ⅱ）过F 的直线与椭圆交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ,C ,若2PC AB =,求直线AB 的方程.19.（本小题满分16分）已知函数32()=(,)f x x ax b a b ++∈R , （Ⅰ）试讨论()f x 的单调性;（Ⅱ）若b c a =-（实数c 是与a 无关的常数）,当函数()f x 有三个不同的零点时,a 的取值范围恰好是33(,3)(1,)(,)22-∞-+∞,求c 的值.20.（本小题满分16分）设1a ,2a ,3a ,4a 是各项为正数且公差为(0)d d ≠的等差数列, （Ⅰ）证明:12a ,22a ,32a ,42a 依次构成等比数列;（Ⅱ）是否存在1a ,d ,使得1a ,22a ,33a ,44a 依次构成等比数列?并说明理由;（Ⅲ）是否存在1a ,d 及正整数n ,k 使得1n a ,2n k a +,23n k a +,54n ka +依次构成等比数列?并说明理由.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】在A ,B ,C ,D 四小题中只能选做两题,每小题10分,共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A .（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲如图,在ABC △中,AB AC =,ABC △的外接圆O 的弦AE 交 BC 于点D .求证:ABD AEB △∽△.B .（本小题满分10分）选修4—2:矩阵与变换已知,R x y ∈,向量a 11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属性特征值2-的一个特征向量,矩阵A 以及它的另一个特征值.C .（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程已知圆C 的极坐标方程为2πsin()404ρθ+--=,求圆C 的半径.D .（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲 解不等式||223x x ++≥.【必做题】第22,23题,每小题10分,共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）如图,在四棱锥P ABCD -中,已知PA ⊥平面ABCD ,且四边形ABCD 为直角梯形,π2ABC BAD ∠=∠=,2PA AD ==,1AB BC ==.（Ⅰ）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值;（Ⅱ）点Q 是线段BP 上的动点,当直线CQ 与DP 所成的角最小时,求线段BQ 的长.23.（本小题满分10分）已知集合{1,2,3}X =,*{1,2,3,,}()n Y n n =⋅⋅⋅∈Ν,设{(,)|n S a b a =整除b 或b 整除a ,a X ∈,}n b Y ∈,令()f n 表示集合n S 所含元素的个数. （Ⅰ）写出(6)f 的值;（Ⅱ）当6n≥时,写出()f n 的表达式,并用数学归纳法证明.2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）答案解析数学ⅠA B中的元素个数为A B，再明确元素个数集合并集及其运算11BC CC C =1ACB C C =，，所以1BC AB ⊥∥平面1AA C(0,)⎫+∞⎪⎭时，，(0,)+∞上单调递增，在2,0),3a ⎛-+∞ ⎝,0)，2,3a ⎛- ⎝333)1,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上()0g a <，且在31,,2⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭30≥因此c =()33),3,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭．综上（Ⅰ）分类讨论，利用导数的正负，即可得出()f x 的单调性；数学Ⅱ(附加题)21A.【答案】见解析【解析】证明：因为AB AC =，所以ABD C ∠=∠．又因为C E ∠=∠，所以ABD E ∠=∠，标为(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ．uuu ruuu r。
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专题一 函数与导数、不等式 ....................................................................................................... 2 专题二 三角函数与平面向量 ....................................................................................................... 26 专题三 数 列................................................................................................................................. 42 专题四 立体几何........................................................................................................................... 53 专题五 解析几何........................................................................................................................... 59 专题六 概率与统计....................................................................................................................... 79 专题七 附加题（选作部分） ....................................................................................................... 83 专题八 数学思想方法................................................................................................................. 109 补偿练 1 集合与简易逻辑 ........................................................................................................ 125 补偿练 2 函数与导数(一) ......................................................................................................... 128 补偿练 3 函数与导数(二) ......................................................................................................... 132 补偿练 4 不等式................................................................................. 135 补偿练 5 三角函数与三角变换 ................................................................................................ 140 补偿练 6 平面向量与解三角形 ................................................................................................ 145 补偿练 7 数 列........................................................................................................................ 150 补偿练 8 立体几何.................................................................................................................... 153 补偿练 9 解析几何.................................................................................................................... 157 补偿练 10 统计与概率.............................................................................................................. 161 补偿练 11 复数、程序框图 ...................................................................................................... 165 规范练(一) 三角问题 ................................................................................................................ 171 规范练(二) 立体几何问题 ........................................................................................................ 174 规范练(三) 解析几何问题 ........................................................................................................ 178 规范练(四) 实际应用问题 ........................................................................................................ 181 规范练(五) 数列问题 ................................................................................................................ 185 规范练(六) 函数与导数问题 .................................................................................................... 189 突破练(一) .................................................................................................................................... 193 突破练(二) .................................................................................................................................... 200 突破练(三) .................................................................................................................................... 206