泊松过程-冯海林-2014
第3讲 第三章泊松过程(1)
g N (u ) E e
iuN t
e
t eiu 1
二. 时间间隔的分布与到达时间（等待时间） N(t) T4 一个样本：跃度 T3 为1 的阶梯函数 T2 T1 W1 W2 W3 W4 … t
Wn为第n个事件到达的时间(等待时间). Tn为第n个事件与第n－1个事件出现的时间间隔.
§3.2 泊松过程的性质 一.有限维分布、特征函数、布数字特征 N(t)的有限维分布：
对任意 0<t1 t2 , tn ,
N(t)的有限维分布为：
P X t1 k1 , X t2 k2 , , X t n k n
P X t1 k1 , X t2 X t1 k2 k1 ,, X t n X t n 1 k n k n 1
t1
k1 !
k1
e
t1
k
i i 2
n
t
ti 1
k1 ki 1
1
ki 1 !
e (ti ti 1 )
N(t)的特征函数： N (t ) ~ t
g N (u ) E e
iuN t
e
t eiu 1
0
s
t
显然，计数过程应满足： (1) N( 0)=0; (2) N( t ) 取非负整数值；
(3) 如果s < t，则N( s )≤N( t )；
(4) 对于s < t, N(t) －N(s)表示时间间隔(s, t]内事 件出现的次数.
定义3.2 若计数过程{N(t),t≥0}满足下述条件： (1) N(0)=0；
二.随机过程的分类及其例子
西安电子科技大学 ——数学与统计学院
School of Mathematics and Statistics Xidian University
冯海林
2014/8-2014/12
随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
例2.2.3.泊松过程（连续参数离散状态）
如参数集为T=[0，+∞)，X就是连续参数连续状态随机过程.
西安电子科技大学 ——数学与统计学院
School of Mathematics and Statistics Xidian University
冯海林
2014/8-2014/12
随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
如果X n同服从0-1分布，则称X为伯努利过程.
伯努利过程描述了一系列独立同分布的随机试验.
n
∑ 如果令 Sn = X k ,
S0 = 0
k =1
则称S={Sn , n=0,1,2, … ，}为二项过程.
西安电子科技大学 ——数学与统计学院
School of Mathematics and Statistics Xidian University
提示：f= (ξ ,η) (x, y) =
f(R,Θ) (
x2 + y2 , arctan y ) J x
fR (
x2
+
y2
)×
fΘ (arctan
y)× x
1 x2 + y2
=
1
− x2 + y2
e 2σ 2
2πσ 2
泊松过程公式范文
泊松过程公式范文泊松过程（Poisson process）是概率论中的一种重要的随机过程。
它以数学家西莫恩·庞加莱（Siméon Denis Poisson）的名字命名，他在19世纪早期首次引入了这个概念。
泊松过程是一种离散时间（时间按照一定的间隔划分）连续状态（可以不断地发生事件）的随机过程。
泊松过程的定义是：在一段时间内，事件发生的次数服从泊松分布（Poisson distribution）。
这段时间可以是无穷小的时间间隔，也可以是有限的时间窗口。
泊松过程的关键特征是事件之间的时间间隔都是独立的且呈指数分布。
所谓指数分布是指事件之间的时间间隔满足指数分布的概率密度函数，即事件发生的概率与时间间隔的长度成正比。
泊松过程的数学定义可以表示为：P(N(t)=k)=(e^(-λt)*(λt)^k)/k!其中，N(t)表示在时间t内发生的事件次数，k表示事件的个数，λ表示单位时间内平均发生的事件个数。
根据泊松过程的定义，可以得到一些重要的性质和公式。
首先是事件发生的概率。
在时间t内发生k次事件的概率可以用公式P(N(t)=k)表示，其中λt表示单位时间内平均发生的事件个数。
这个公式是泊松分布的概率质量函数。
其次是事件之间的时间间隔。
由于泊松过程中时间间隔是独立的且呈指数分布，所以事件发生的时间间隔满足无记忆性（memoryless）的特性。
无记忆性意味着事件的发生与之前的事件的发生时间无关，只与发生事件的频率有关。
再次是事件的到达间隔。
事件的到达间隔是指两个连续事件之间的时间间隔。
根据泊松过程的定义，事件的到达间隔呈指数分布。
事件的到达间隔的期望值（也称为平均间隔）为1/λ，即单位事件到达的平均时间间隔。
最后是超过特定事件个数的概率。
假设我们需要计算在一定时间内超过n次事件发生的概率。
可以用公式P(N(t) > n) = 1 - P(N(t) <= n)= 1 - ∑(i=0 to n) (e^(-λt) * (λt)^i) / i!来计算。
第三章泊松过程PPT课件
P1(t)tet
下面用归纳法证明 Pn (t )
et
( t )n
n!
成立。
假设 Pn1(t ) et
(t )n1 ，由前推导知
n1 !
d
dt
e tPn (t)
e tPn1(t)
e te t ( t)n1 (n 1)!
( t)n1
(n 1)!
积分得
et
Pn(t)
(t)n
n2
n!
故定义3.2蕴涵定义3.3。
下面来证明定义3.3蕴涵定义3.2。 令
P n ( t ) P { X ( t ) n } P { X ( t ) X ( 0 ) n } 由定义3.3的(2)和(3)，有
P0(th)P{X(th)0}P{X(th)X(0)0} P{X(t)X(0)0,X(th)X(t)0}
所以
P n (t) P n (t)P n 1 (t)
e t P n ( t)P n ( t)e tP n 1 ( t)
因此
d
dt
etPn(t)
etPn1(t)
当n=1时，
d d tetP 1(t)etP 0(t)ete t
即 P1(t)(tc)et
由于 P1(0) 0 ，代入上式得
泊松过程是计数过程的最重要的类型之一，其定义如下：
定义 3.2 称计数过程{X(t),t 0}为具有参数 ＞0 的
泊松过程，若它满足下列条件
(1) X(0)= 0；
(2) X(t)是独立增量过程；
(3) 在任一长度为t 的区间中，事件A发生的次数
服从参数 ＞0 的泊松分布，即对任意s,t＞0，有
得
P0(t) et
泊松过程课件.ppt
泊松过程的定义和例
稳增量过程,所以只需证明由定义3.2的条件(3)可以推 出定义3.3的条件(3).由式 n ( t ) P{X(t+s)-X(s)=n}=e-λt ,n=0,1,2,…. n! 对充分小的h,有 P{X(t+h)-X(t)=1}=P{X(h)-X(0)=1}(X(h)=X(0+h)) 1 n ( h ) ( h ) =e-λh =λh n0 =λh[1-λh+o(h)] =λh+o(h); P{X(t+h)-X(t)≥2}=P{X(h)-X(0)≥2} n ( h ) h = e n 2 n ! =o(h).
个乘客到达的时刻则飞机a在飞机b之后起飞的概率为pt泊松过程xt到达时间的概率密度函数为2中条件即此时由对称性有设乘客按强度为的泊松过程来到某火车站火车在时刻t起程计算在时间0t内到达的乘客候车时间总和的期望值即求ettdtdt设顾客到某商场的过程是泊松过程已知平均每小时有30人到达求所给事件的概率
泊松过程的定义和例
们对过程了解的情况去验证; 然而条件(3)的验证是非 常困难的. 为了方便应用,以下我们再给出泊松过程的 另一个定义. 定义3.3 称计数过程{X(t),t≥0},为具有参数λ＞0的泊 松过程,如果{X(t),t≥0}满足下列条件: (1) X(0)=0; (2) X(t)是独立、平稳增量过程; (3) X(t)满足下列两式: P{X(t+h)-X(t)=1}=λh+o(h); P{X(t+h)-X(t)≥2}=o(h). • 定义3.3中的条件(3)要求: 在充分小的时间间隔内,最 多有1个事件发生, 而不能有2个或2个以上事件同时发
泊松过程的定义和例
例3.2 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客.如果 记X(t)为在时间(0,t]内到达售票窗口的旅客数, 则计 数过程{X(t),t≥0}满足定义3.3中的各个条件,故是一 个泊松过程. 例3.3 考虑机器在(t,t+h)时间段内发生故障的事件. 若 机器发生故障,立即修理后继续工作,则在(t,t+h)时间 段内机器发生故障而停止工作的事件数,构成一个随机 点过程,该过程可以用泊松过程进行描述. 定理3.1 泊松过程的两种定义,即定义3.2与定义3.3是等 价的. 证明: 首先证明定义3.2蕴涵定义3.3. 比较两条定义,由于定义3.2的条件(3)中蕴涵X(t)为平
3.泊松过程
由条件（2）有：
PX t s X s n PX t X 0 n
PX t n Pn t 即：PX t s X s n t n et ，n 1, 2,
n!
证毕
3.2 泊松过程的基本性质
一、数字特征
1.设X t ,t 0是泊松过程，对任意的
t, s 0, ,且s t,有:
d dt
et
Pn
t
et
Pn1
t
(*)
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
n
1时，d dt
et P1 t
et P0 t et et
et P1 t t C P1 t t Cet
P1 0 PX 0 1 0 C 0
P1 t tet
设n
1时结论成立，即Pn1
t
t
n1
et
n 1!
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
定义3.1 称随机过程N t ,t 0为计数过程，
若N t 表示到时刻 t 为止已发生“事件A”的 总数，且N t 满足下列条件：
(1)N t 0;
(2)N t取正整数值； (3)若s t,则N s N t;
(4)当s t时，N t N s等于区间
为具有参数 0的泊松过程，若它满足下列条件：
（1）X 0 0; (2) X t 是独立增量过程；
（3）在任一长度为t的区间s,t+s中，事件A发生
的次数 X t+s X s服从参数为t 的泊松分布，
即对任意 s,t 0，有
PX t+s X s n et t n , n 0,1, .
n!
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
若将“接待一位顾客”，“到达一次呼唤”，“维 修一台”
泊松过程详细分析与公式
泊松过程详细分析与公式泊松过程（Poisson process）是一种描述时间间隔发生事件的随机过程。
它由法国数学家西蒙·邦努力·泊松（Siméon Denis Poisson）创立，被广泛应用于各个领域，例如物理学、生物学、通信工程、金融学等。
泊松过程的定义如下：在一个时间段内，事件以一定频率随机发生，且事件之间是独立的。
泊松过程具有以下几个特点：1.事件的发生次数是离散的，且在一个固定时间段内可以是0个、1个、2个......无限多个。
2.事件之间的时间间隔是随机的，并且满足指数分布。
3.事件的发生频率是恒定的。
在泊松过程中，事件的发生次数服从泊松分布。
泊松分布的概率质量函数表示了事件在一个特定时间段内发生k次的概率，公式为：P(k)=(λ^k*e^(-λ))/k!其中，λ是事件的发生强度，也称为时间单位内事件发生的平均次数。
k是事件发生的次数。
泊松过程的强度参数λ可以理解为单位时间内事件发生的平均次数。
因此，单位时间内事件发生的概率为λ，单位时间内不发生事件的概率为1-λ。
泊松过程的平均时间间隔为1/λ，也即泊松过程中连续两次事件的时间间隔不超过1/λ的概率为1-e^(-λt)，其中t表示时间间隔。
根据泊松过程的定义，事件之间的时间间隔是独立的，因此事件的发生时间是随机的。
泊松过程在实际应用中具有很大的灵活性。
例如，在通信工程中，泊松过程可以用来模拟数据包到达路由器的时间间隔；在金融学中，泊松过程可以用来模拟股票价格的变动情况；在生物学中，泊松过程可以用来研究神经元放电的规律。
通过对泊松过程的建模分析，可以更好地了解事件的发生规律，从而做出相应的决策。
总结起来，泊松过程是一种描述时间间隔发生事件的随机过程。
它具有离散和独立的特点，事件之间的时间间隔满足指数分布，事件的发生次数服从泊松分布。
泊松过程广泛应用于各个领域，通过对泊松过程的建模和分析，可以更好地理解事件的发生规律并做出相应的决策。
泊松过程
Wn = ∑ Ti
i =1
n
(n ≥ 1)
t
Wn —— 第n次事件 发生的时刻，或称等待时间， 次事件A发生的时刻 次事件 发生的时刻，或称等待时间， 或者到达时间 Tn —— 从第 次事件 发生到第 次事件 发生的 从第n-1次事件 发生到第n次事件 次事件A发生到第 次事件A发生的 时间间隔，或称第n个时间间隔 时间间隔，或称第 个时间间隔
=C
k n
s s 1 − t t
k
n−k
参数为 n 和 s/t 的 二项分布
[例3] 设在 [ 0 , t ] 内事件 已经发生 n 次，求第 次(k < n) 内事件A已经发生 求第k次
事件A发生的时间 的条件概率密度函数。 事件 发生的时间Wk 的条件概率密度函数。 发生的时间
n重贝努利试验中事件 重贝努利试验中事件A发生的 [二项分布] 随机变量 X 为n重贝努利试验中事件A发生的 ] 次数， 次数，则 X ~ B (n, p)
P ( X = k ) = n p k q n−k k
E ( X ) = np , D ( X ) = npq
是常数， [泊松定理] 在二项分布中，设 np=λ 是常数，则有 ] 在二项分布中，
jω X ( t )
]=e
(1) 泊松过程的数字特征
均值函数 方差函数 相关函数 协方差函数
m X (t ) = E[ X (t )] = λt
2 σ X (t ) = D X (t ) = λ t
R X ( s, t ) = E[ X ( s ) X (t )] = λ s (λ t + 1) , ( s < t )
P{ X ( s ) = k X (t ) = n} =
泊松过程
泊松过程泊松过程是指一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。
例如随着时间增长累计某电话交换台收到的呼唤次数，就构成一个泊松过程。
泊松过程是由法国著名数学家泊松（1781—1840）证明的。
1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来Α.Я.辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。
泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。
我们说一个随机过程N(t) 是一个时间齐次的一维泊松过程，如果它满足以下条件：在两个互斥（不重迭）的区间内所发生的事件的数目是互相独立的随机变量。
在区间[t,t + τ]内发生的事件的数目标机率分布为：其中λ是一个正数，是固定的参数，通常称为抵达率（arrival rate）或强度（intensity）。
所以，如果给定在时间区间[t,t + τ]之中事件发生的数目，则随机变量N(t + τ) −N(t)呈现泊松分布，其参数为λτ。
更一般地来说，一个泊松过程是在每个有界的时间区间或在某个空间（例如：一个欧几里得平面或三维的欧几里得空间）中的每一个有界的区域，赋予一个随机的事件数，使得在一个时间区间或空间区域内的事件数，和另一个互斥（不重迭）的时间区间或空间区域内的事件数，这两个随机变量是独立的。
在每一个时间区间或空间区域内的事件数是一个随机变量，遵循泊松分布。
（技术上而言，更精确地来说，每一个具有有限测度的集合，都被赋予一个泊松分布的随机变量。
）考虑一个泊松过程，我们将第一个事件到达的时间记为T1。
此外，对于n>1，以T n记在第n-1个事件与第n个事件之间用去的时间。
序列{T n,n=1,2,...}称为到达间隔时间列。
T n(n=1,2,...)是独立同分布的指数随机变量，具有均值1/λ。
泊松过程用数学语言说，满足下列三条件的随机过程X={X(t),t≥0}叫做泊松过程。
①P(X(0)=0)=1。
②不相交区间上增量相互独立，即对一切0≤t1<t2<…<tn,X(t1),X(t2)-X(t1）,…,X(tn)-X(tn-1）相互独立。
排队论大学课件6-泊松过程
复杂系统建模
02
对于复杂的服务系统，如多服务台、多队列等，基于泊松过程
的排队论模型建模难度较大。
数据获取与处理03在实际应用中，获取准确的顾客到达和服务时间数据较为困难，
对模型的验证和应用带来挑战。
未来发展趋势及研究方向
A
非齐次泊松过程研究
针对事件发生率变化的情况，研究非齐次泊松 过程在排队论中的应用。
均值与方差
指数分布的均值和方差都是1/λ，其中λ是单位时间内事件的平 均到达率。因此，到达时间间隔的期望值（均值）和波动程度 （方差）都与事件到达率成反比。
到达次数分布
泊松分布
在给定时间区间内，事件到达的次数服从泊松分布。泊松分布是一种离散型概率分布，用于描述在固 定时间或空间范围内随机事件发生的次数。
泊松过程应用场景
01 02
电话交换系统
在电话交换系统中，用户呼叫的到达可以看作是一个泊松过程。通过泊 松过程可以预测在给定时间内呼叫到达的次数，从而合理安排交换机的 容量。
交通流
道路上车辆到达的情况也可以看作是一个泊松过程。通过泊松过程可以 分析交通流的特性，如车流量、车速等，为交通规划和管理提供依据。
期望值与方差
对于单个事件的等待时间，其期望值（均值）是1/λ，方差也是1/λ。对于多个事件的等待时间，其期望值（均值） 和方差都与事件数量成正比。因此，等待时间的期望值（均值）和波动程度（方差）都与事件到达率成反比。
泊松过程参数估计与检验
03
参数估计方法
01
矩估计法
利用样本矩来估计总体矩，从而获得泊松过程参数的估 计值。
02
最大似然估计法
根据样本数据，构造似然函数，通过最大化似然函数得 到参数的估计值。
随机过程第三章泊松过程
随机过程第三章泊松过程泊松过程是随机过程中的一类重要过程，在许多领域都有广泛应用，如排队论、可靠性分析、金融工程等。
泊松过程的概念由法国数学家泊松提出，它具有无记忆性、独立增量和平稳增量等重要特征。
在本文中，我们将介绍泊松过程的定义、性质以及一些实际应用。
泊松过程的定义：设N(t)是在区间[0,t]内发生的事件个数，若满足以下三个条件，则称N(t)是具有独立增量和平稳增量的泊松过程：1.N(0)=0，表示在时间0之前没有事件发生；2.对于任意的s<t，N(t)-N(s)的分布只与时间间隔t-s有关，与s时刻之前的事件个数无关，这表明泊松过程具有无记忆性；3.对于任意的s<t，N(t)-N(s)的分布是一个参数为λ(t-s)的泊松分布，其中λ是过程的强度参数。
泊松过程具有很多重要的性质。
首先，泊松过程的均值和方差等于其强度参数λ。
其次，泊松过程的增量独立，即在非重叠区间上的增量相互独立。
此外，泊松过程的时间间隔也是独立同分布的指数分布。
泊松过程具有广泛的应用。
在排队论中，泊松过程可用于描述到达队列的顾客数量。
在可靠性分析领域，泊松过程可用于描述设备的故障次数。
在金融工程中，泊松过程可用于模拟股票价格的变动和交易的发生。
在实际应用中，对于给定的泊松过程，我们通常感兴趣的是估计其强度参数λ。
常用的估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计通过最大化观测到的事件发生次数和估计的事件发生率之间的似然函数，来估计λ的值。
矩估计则是通过将观测到的事件个数的平均值等于λ的估计值，来确定λ的值。
此外，在泊松过程的应用中，我们还可能遇到泊松过程的两个重要扩展：非齐次泊松过程和二维泊松过程。
非齐次泊松过程是指强度参数λ是时间的一个函数，而不是常数。
二维泊松过程是指同时考虑两个独立的泊松过程，其事件发生次数可能影响到对方的发生次数。
综上所述，泊松过程是一种重要的随机过程，具有无记忆性、独立增量和平稳增量等特征。
随机过程的泊松过程探讨
随机过程的泊松过程探讨
一、背景介绍
随机过程是指一系列随机变量的集合，其取值随着时间、空间或其他变量的变化而变化。
泊松过程是一种常见的随机过程，描述了随机事件以固定的平均速率独立地发生的过程。
泊松过程在各个领域都有广泛的应用，如通信系统、排队论、金融领域等。
二、泊松过程的定义
泊松过程是一类特殊的计数过程，其具有以下性质： - 事件在任意时间段内发生的次数服从泊松分布； - 事件之间的时间间隔满足指数分布； - 事件之间是独立的。
三、泊松过程的参数
泊松过程有一个重要的参数λ（lambda），表示单位时间内事件发生的平均速率。
泊松过程的性质受λ 值的影响，λ 越大，事件发生的频率越高。
四、泊松过程的性质
1.泊松过程的计数过程是非负整数序列；
2.泊松过程的时间间隔具有无记忆性，即已经等待的时间不会影响未来
的等待时间；
3.泊松过程的计数过程是独立增量的，不受之前计数事件的影响；
4.泊松过程是齐次的，即事件发生的速率在整个时间段内是不变的。
五、泊松过程的应用
1.通信系统：泊松过程常用于描述消息到达系统的频率，信道使用情
况等。
2.排队论：泊松过程可用于描述顾客到达某个服务台的情况，以及服
务台的繁忙情况。
3.金融领域：泊松过程可以用于模拟股票价格的波动，利率变动等。
六、结论
泊松过程作为一种重要的随机过程，在各个领域都有着广泛的应用。
通过对泊松过程的深入探讨，我们能更好地理解和分析随机事件的发生规律，从而为实际问题的建模和求解提供参考。
希望本文对读者对泊松过程有所启发，激发更多有关随机过程的讨论和研究。
泊松过程
, k 0,1, 2,
tn
, n个增量
Ntn - Ntn-1 ,
, Nt1 - Nt0 是相互独立的随机变量.
其中(2)(3)合称为平稳独立增量性。
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
对泊松过程的进一步理解 一般地，如果Nt表示直到时刻t为止发生的某随机 事件总数, 则称实随机过程{Nt,t≥0}为计数过程. 计数过程的一些例子：
1.若Nt表示直到时刻t为止进入某商店的人数, 则{Nt,t≥0}为计数过程. 2. 若Nt表示某球员在时刻t之前进球的个数，则{Nt,t≥0}为计数过程. 3. 4. 若Nt表示时刻t之前诞生的总人数，则{Nt,t≥0}为计数过程. 。。。。。。
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
泊松过程两个定义的等价性由下面的两个定理验证
定理4.2.2 参数为λ 的泊松过程N={Nt,t≥0}一定满足 以下性质（0-1律）：
1) P{Nt h Nt 0} 1 h (h) 2) P{Nt h Nt 1} h (h)
[ (t s)]n e t n!
由此得到，对t 0, Nt 服从参数为 (t s)的泊松分布.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
对0 u s t , 可证 Nt N s与Nu 独立，
以及增量的独立性.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
定理4.2.1 泊松过程的到达时间间隔 n , n 1, 2, 相互独立同服从参数为λ指数分布．
n
泊松过程ppt课件
一般情况下，泊松过程的协方差函数可表示为
BX(s,t)mis,n t)(
时间间隔Tn的分布
设{X(t),t≥0}是泊松过程，，令X(t)表示t时刻事件 A发生的次数，Tn表示从第（n-1）次事件A发生 到第n次事件A发生的时间间隔。
解：
复合泊松过程
定义3.5：
设{N(t),t≥0}是强度为λ的泊松过程， {Yk,k=1,2,…}是一列独立同分布随机变量， 且与{N(t),t≥0}独立，令
N(t)
X(t) Yk, t 0 k1
则称{X(t),t≥0}为复合泊松过程。
N(t)
在时间段(0,t]内来到商店的顾客数
Yk
第k个顾客在商店所花的钱数
1、两分钟内接到3次呼叫的概率。 2、第二分钟内接到第3次呼叫的概率。
作业 3.1, 3.3, 3.5
例题3.6
设{X1 (t),t ≥0}和{X2 (t),t ≥0}是两个相互独立的
泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件
数分别为λ1和λ2，记 为W k(过1) 程X1(t)的第k次事
件到达时间， 为W1过(2) 程X2(t)的第1次事件到达
时间，求
P{Wk(1) W1(2)}
解：
非齐次泊松过程
0s t 其它
设{X(t),t≥0}是泊松过程，已知在[0,t]内事件A 发生n次，求这n次到达事件W1<W2, …<Wn的 联合概率密度函数。
解：
例题3.4
设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0<s<t，对 于0<k<n，求P{X(s)=k|X(t)=n}
第4讲第三章泊松过程
k 1
n
et EDk E[eWk N (t) n]（Dk 与N(t), Wk相互独立） k 1
n
et ED1 E[eWk N (t) n]
k 1
n
E(D1)et E[ eWk N (t) n]
k 1 n
E(D1)et E[
eUk ]
(根据定理3.4 )
k 1
E(D1)et E[ n eUk ] nE(D1)et E(eU1 ) k 1
注： 复合poisson过程 X(t)是包含泊松过程的一 个复合模型，通常不是泊松过程。
N (t)
定理3.6 设 X (t) 是Y复n ,t合 0泊松过程 n1
其中{N( t ),t≥0}是强度为λ的泊松过程,Yn,n=1, 2, …相互独立且同分布，则
1） {X( t ),t≥0 }是独立平稳、增量过程
P{N(s)=k | N(t)=n}, 0<k<n,0<s<t
证明：
P{N(s)=k | N(t)=n}
PN (s) k, N (t) n
P{N (t) n}
PN (s) k, N (t) N (s) n k
P{N (t) n}
PN (s) k PN (t) N (s) n k
当过程的到达率随时间而变化, 此假设就不合理 了.
若过程的增量平稳条件不满足，到达率随时间改变， 设到达率为时间函数λ( t ),则引入非齐次泊松过程概念：
定义：如果计数过程满足下列条件 1）N(0)=0； 2）{N( t ),t≥0 }是一个独立增量过程；
3) P{N(t t) N(t) 1} (t)t o(t);
N (t)
iu Yk E e k 1
泊松过程3
P(A)= P(A,Ns n) n0
P(Ns n, Nt Ns m k SNt SNs m) n0
P(Ns n, Nt Ns m k Smnk Sn m) n0
P(Ns n, Nt Ns m k ) P(Smnk Sn m) n0
t
(t) m in {s 0 : m (s) t} , t 0
验证： 过程M {N (t) , t 0}是参数为1的齐次泊松过程.
证明：函 数 ( t ) 是 单 调 不 减 ， 右 连 续 的 ， 且 m ( ( t ) ) = t
所以过程M {N (t) , t 0}具有独立增量性.
P(N (t)
-
N (s)
k)
[m( (t)) m( (s))]k
k!
e[m(t )m(s)]
(t s)k e(ts) , k 0,1, 2,L , 0 s t k!
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反之也有 设M {Mt ,t 0}是参数为1的齐次泊松过程，
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给定一个强度函数(t),令(t)= t (t)dt, 0
则N {M (t) , t 0}是强度为(t)的非齐次泊松过程.
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例4.3.3 设随机变量列{k ,k=1,2,L }独立同服从0-1分布， 且 P(k 1) p 0, P(k 0) 1 p,
非齐次泊松过程 定义4.2.1 设计数过程N= {Nt,t≥0} 是一个独立增量 过程，(t)是[0,+) [0,+)的函数，如果
第三章 泊松过程 2
C
n 0
m m n
( t ) t p q e (m n)!
m n m n
( qt ) n ( pt ) m t [ e ] n! m! n 0 e qt ( pt ) m t ( pt ) m pt e e . m! m!
P{N (2) N (1) 5} e 101
n 0
(10 1) , n!
P{N (3) N (2) 0} e
16
10
(10)0 e 10 . 0!
（事故的发生次数和保险公司接到的索赔数）
N(t)表示(0,t]时间内发生事故的次数。 Poisson过程就是{N(t)，t 0 }很好的一种 近似。考虑保险公司每次赔付都是1，每 月平均4次接到索赔要求，一年中他要付 出的平均金额为多少？ n
se
s
e tet
(t s )
s t
在 N(t)＝ 1的条间上是均匀分布的.
36
•定理3 在已知 N(t)＝ n (n 2)的条件下, 事件发生的n 个时刻T1 , T2 , … , Tn 的联合 分布密度为
n! f ( t 1, t 2 , , t n ) n , 0 t 1 t 2 t n . t
34
9
• 泊松过程中事件发生时刻的条件分布
假设到时刻 t 为止, 泊松过程{N(t), t 0} 中的事件A 已经发生了n 次, 现在考察这 n 次事件发生的时刻Ｔ1 ,Ｔ2 , … ,Ｔn 的 联合分布. 事实上，当N(t)=1时，若s < t ，
35
PT1 s, N (t ) 1 PT1 s | N (t ) 1 PN (t ) 1 PN ( s ) 1, N (t ) N ( s ) 0 PN (t ) 1 PN ( s ) 1PN (t ) N ( s ) 0 PN (t ) 1
泊松过程2
解：（1 10
）由题意装置的寿命即为T100
(2) 即为 E[T100 ] 100 / 5 20
(3)两次震动时间间隔为参数为5的指数分布.
（4）E[n ]
t5e 5tdt 0.2
0
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泊松过程中到达时间的条件分布 请思考问题: 设 {Nt,t≥0} 是参数为λ 的泊松过程，已知在[0，t)内仅 有一个随机点到达，T1是其到达时间,则该随机点的 到达时间T1服从怎样的概率分布?
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例4.2.1 设N={Nt,t≥0}是参数为λ的泊松过程. 验证：Nt=1的条件下，第一个随机点的到达时
解题思路: 由过程的平稳独立增量性. 可知相继被记录的时间间隔是独立同分布的.
16te4t ,t 0
1)
fT
(t)
0,
; t0
2) 5e4
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3.设N1 {Nt1 ,t 0}和N 2 {Nt2,t 0}是相互独立且
独立增量性
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则得
q0
(t
h) h
q0
(t)
q0 (t)
(h) , h
令h 0, 两边取极限，得
q0 (t) q0 (t)
解此方程，并注意到q0 (0)=1，得 q0 (t) et
进一步，对 k 1, 2， 计算
qk (t h) P(Nth k)
第四章泊松过程2
hn ) 0)
h1e
h1
h2e
h2
hn e e (t ) n e t / n!
n! n h1h2 hn t
例3：设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0 s t , 对于0 k n, 求P{N ( s) k N (t ) n}.
证明
Ntge E[ ge ] E{exp[( N (t ) N ( s)) ln( 1) (t s)]} Ns
E{exp[( N (t ) N (s))ln( 1)}e (t s )
e
( t s )
( 1)
n 0
n
(t s)
j =2
=qk (t )q0 (h 1)+ 1- qk (t )q - (h)+ qk j (t )q j (h)
j =2
k
=qk (t )(1-h+ (h))+qk -1 (t )(h+ (h))+ (h)
整理上式得
qk (t +h)-qk (t ) (h) =- qk (t )+ qk -1 (t )+ h h
(1) P( N (t h) N (t ) 0) e-h =1 h (h) (2) P( N (t h) N (t ) 1) he-h = h (h)
c c N { N 定理4.2.3 如果一个计数过程 t : t 0} 具有平
n! n ， 0 u1 u2 un t , un ) t 其它 0，
f (u1 , u2 ,
对n个到达时间T1 T2
泊松过程协方差
泊松过程协方差引言泊松过程是一种基本的数学模型，用于描述具有随机性的事件发生的规律。
它是以法国数学家西蒙·丹尼·泊松的名字命名的，泊松过程的概念在诸多领域有着重要的应用，比如金融、通信和物理等。
本文将讨论泊松过程的协方差的计算方法及其应用。
二级标题1：泊松过程的定义和特征三级标题1：泊松过程的定义泊松过程是一个连续时间的随机过程，其随机性体现在事件的发生时间上。
泊松过程的定义包括两个主要参数：事件发生的平均速率λ和时间区间t。
泊松过程的强度函数为λ(t)，表示在时间段[t, t+dt)内发生一个事件的概率。
三级标题2：泊松过程的特征1.独立增量性：在不重叠的时间区间上，事件的发生是相互独立的。
2.平稳性：在任意时间段上，事件的平均速率是不变的。
3.非减性：事件的数量随着时间的增加不会减少。
二级标题2：泊松过程的方差和协方差三级标题3：方差的计算泊松过程的方差是事件数量的度量，其计算方法如下： - 在时间段[t, t+dt)内，事件数量的期望值为λ(t)dt。
- 方差的计算公式为Var(N(t)) = λ(t)dt。
三级标题4：协方差的定义与计算协方差是用来衡量两个随机变量之间关系的统计量，对于泊松过程而言，协方差可以用来描述事件发生速率之间的关系。
1.事件发生速率的定义事件发生速率是在给定时间段内事件发生的数量，记为N(t)。
2.协方差的定义假设有两个泊松过程N1(t)和N2(t)，其对应的事件发生速率分别为λ1(t)和λ2(t)，则协方差的定义为： Cov(N1(t), N2(t)) =E[(N1(t) - E[N1(t)]) * (N2(t) - E[N2(t)])]3.协方差的计算由于泊松过程的增量是独立的，可以得到协方差的计算公式：Cov(N1(t), N2(t)) = λ1(t) * λ2(t) * dt二级标题3：泊松过程协方差的应用三级标题5：金融领域中的应用泊松过程的协方差在金融领域中有着广泛的应用，比如股票价格的模拟和金融衍生品的定价等。
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n=1时，显然。为此假设Tn 1
n 1
k的密度函数为 k
1
n 1
x n2e x , fTn1 ( x) (n 2)! 0,
n 1 k 1
x0 x0
n 1 k 1
则利用Tn1 k 和 n的独立性，可得Tn k + n的密度函数为
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定理4.1.1 如果计数过程N c {Ntc : t 0}的到达时间间隔 序列{ n , n 1, 2, }是独立的、且同服从参数为 0的 指数分布，则该计数过程一定是参数为的泊松分布.
证 明 ： 显 然 计 数 过 程 满 足 泊 松 过 程 定 义 中 (1)， 以 下 验 证 (2)(3)即 可 .
证 明 ： 记 qk (t ) P( Nt k ), k 0,1, ,对充分小的h 0, 可计算
fTn ( x) f n ( x u ) fTn1 (u ) du
0
e
0
x
( x u )
n 1
(n 2)!
u n 2 e u du x0
n
(n 1)!
x n 1e x ,
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随机过程引论——西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林 2014秋季学期
对泊松过程的进一步理解 一般地，如果Nt表示直到时刻t为止发生的某随机 事件总数, 则称实随机过程{Nt,t≥0}为计数过程. 计数过程的一些例子：
1.若Nt表示直到时刻t为止进入某商店的人数, 则{Nt,t≥0}为计数过程. 2. 若Nt表示某球员在时刻t之前进球的个数，则{Nt,t≥0}为计数过程. 3. 4. 若Nt表示时刻t之前诞生的总人数，则{Nt,t≥0}为计数过程. 。。。。。。
定义4.1.1 设{Tn , n 0， 1, 2, }是一列非负随机变量， 满足P( lim Tn =+)=1和0=T0 T1 T2
n
Tn
.令
Ntc =max{n: Tn t}, t 0
则称随机过程N c {Ntc : t 0}是一个计数过程。
称随机序列 T1 T2 Tn 为计数过程的到达时间.
E[( N s N 0 )( N t N s N s )] E[( N s N 0 )( N t N s )] E[ N s ]2
是独立增量
E[N s ]E[N t N s ] D N ( s) ( mN ( s)) 2 s ( t s ) s 2 s 2 2 st s 2 st min( s, t )
1) P{Nt h Nt 0} 1 h (h) 2) P{Nt h Nt 1} h (h)
其中1)、2)称为泊松过程的0-1律
证明: 用泊松过程的定义并结合 eh 的泰勒展式易证上述结论成立.
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(t s)的泊松分布，即
( (t s))k e (t s ) P( Nt - N s k ) , k 0,1, 2, k!
(3)对任意的n 2, 及0 t0 t1 Ntn - Ntn-1 ,
tn , n个增量
, Nt1 - Nt0 是相互独立的.
0-1律的直观解释：在充分小的时间区间内，随机事件要么出现1次， 要么不出现. 其仿真图形如下：
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定理4.2.3 如果计数过程N c {N tc : t 0}具有平稳独立 增量性,且满足0-1律，即 1) P{Nt h Nt 0} 1 h ( h) 2) P{Nt h Nt 1} h (h) 则该计数过程一定是参数为的泊松过程.
本章作业：1，2，3，6，8，9
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泊松过程 (第一讲)
泊松过程定义 称随机过程N={Nt,t≥0}是参数为λ 的泊 松过程，如果它满足：
（ 1） N0 0 (2) 对任意的0 s t , 增量Nt -Nt 服从参数为
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例4.1.1
上随机过程的教室A有两入口B和 C.
B 对时刻t 0,设从B口进入教室的学生人数为N t , C 从C口进入教室的学生人数为N t , 并假设随机过程 B C N B ={N t , t 0}和N C ={N t , t 0}分别参数为B，C
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1) 对t 0,
P (N t k ) P( Nt N0 k )
由定义
(t )k e t ,k 0,1,2, k!
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2）由1）显然有 mN (t ) t , DN (t ) t , t 0. 又对s≥0, t ≥0,不妨设s≤t,则有 R N (s ,t ) E[N s N t ]
可得(T1 ,T2 )的联合密度为 2e t2 t1 t2 0 fT1 ,T2 (t1 , t2 ) , 其它 0
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1 =T1 注意到: , 进一步可得( 1, 2 )的联合密度为 2 =T2 -T1
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计数过程通常 满足： ① t , Nt 0 ② Nt是非负整数
③ 0 s t , Nt . Ns
④ 0 s t , Nt Ns 表示时间间隔 t-s (或(s,t]) 内发生的随机事件数．
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泊松过程的一维分布与数字特征
随机过程N={Nt,t≥0}是参数为λ 的泊松过程，则
1)对t 0,N t 服从参数为t的泊松分布.
2)
mN (t ) t ,
DN (t ) t ,
t 0 s, t 0
RN ( s, t ) 2 st min( s, t ),
n!
0
x ne x dx
[ (t s)]n e t n!
由此得到，对t 0, Nt 服从参数为(t s)的泊松分布.
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对0 u s t , 可证 Nt N s与Nu 独立，
以及增量的独立性.
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定理4.2.1 泊松过程的到达时间间隔 n , n 1,2,
相互独立同服从参数为λ指数分布．
（ t） P{1 t}=P{T1 t} 证明： t 0时，F 1
1 P{T1 t} 1 P{Nt 0} 1 e
第n个随机点 的到达时刻
对0 s<t , t s 0
P( Nt Ns n) P(Tn t s Tn1 )
P(Tn t s) P(Tn1 t s)
Tn
t s
t s
n
(n 1)!
0
x n1e x dx-
t s
n1
t
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对0 t1 t2，以及充分小的 i ,(i 1, 2), 有 P{t1 1 T1 t1 1 , t2 2 T2 t2 2 }
P{Nt1 1 0, Nt1 1 Nt1 1 1, Nt2 2 Nt1 1 0, Nt2 2 Nt2 2 1}
2e (t1 t2 ) t1 , t2 0 f1 , 2 (t1 , t2 ) , 其它 0
则得1、 2的密度分别为
e t1 t1 0 f1 (t1 ) , 0 其它
e t 2 t 2 0 f 2 (t2 ) , 0 其它
因此有
f1 , 2 (t1, t2 ) f1 (t1 ) f 2 (t2 )，即1、 2独立.
类似可以证 1 , 2
n , 独立且同服从参数为的指数分布.
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例1. 两个独立的泊松过程之和仍然是泊松过程.
由Tn
k 知， Tn 服从(n, ),即参数为(n,)的伽玛分布. k
1
n
密度函数为
n x n 1e x , fTn ( x) (n 1)! 0, x0 x0
事实上，可以用数学归纳法给出证明。如下
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的泊松过程，且相互独立。
计算(1)在一个固定的3分钟内无学生进入A教室的概率 (2) 学生到达A教室的时间间隔的均值 （3）已知一个学生进入了A教室，则该生从C口进入 的概率为多大？
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泊松过程 (第二讲) 泊松过程的等价定义 称随机过程N={Nt,t≥0}是参数为λ 的泊松过程，如果 它满足以下条件：
泊松过程是一类特殊的计数过程。