代数满同态下的模一相对Hochschild(上)同调
什么是同调代数及其应用
同调代数是数学中的一个分支，它研究了代数结构中的同调性质及其应用。
同调代数对于数学、物理学和计算机科学等领域都有重要的应用，下面将详细介绍同调代数的概念、基本原理以及一些应用。
同调代数主要研究代数结构中的同调性质，其中代数结构可以是群、环、域等。
同调代数的研究对象通常是代数结构的模，也可以是多项式环、李代数等。
同调代数通过研究代数结构中的同调性质，可以揭示代数结构的内在结构，从而提供了一种新的方法来研究代数结构。
同调代数的基本原理是同调群的构造。
同调群是一种由代数结构的模构造出的群，它可以通过同调算子和微分算子来进行定义。
同调群可以反映出代数结构的拓扑性质和几何性质，因此在几何学和拓扑学中有着广泛的应用。
同调群不仅可以用于对代数结构进行分类，还可以用于研究代数结构之间的关系和变换。
通过同调群的构造，可以通过代数结构的同调性质，来研究结构的不变性和变化规律。
同调代数在数学、物理学和计算机科学中都有广泛的应用。
在数学中，同调代数被广泛应用于代数几何、拓扑学、代数拓扑等领域。
在几何学中，同调代数可以用于研究拓扑空间的性质、模形式等。
在代数几何中，同调代数可以用于研究概形、黎曼曲面等。
同调代数在物理学中也有重要的应用，特别是在量子场论中。
在量子场论中，同调代数可以用于描述量子场的相互作用关系、凝聚态物理等。
同调代数在计算机科学中也有广泛的应用，特别是在计算机视觉和图像处理中。
同调代数可以用于图像的分割、识别、压缩等方面。
总之，同调代数是数学中的一个重要分支，它研究了代数结构中的同调性质及其应用。
同调代数通过研究代数结构的同调性质，可以揭示代数结构的内在结构，提供了一种新的方法来研究代数结构。
同调代数在数学、物理学和计算机科学等领域都有广泛的应用。
无论是在代数几何、拓扑学、量子场论还是在计算机视觉和图像处理中，同调代数都发挥着重要的作用。
通过研究同调代数，我们可以更好地理解代数结构的性质和变化规律，从而为相关领域的研究提供了理论基础和方法支持。
一类零关系d-koszul代数的Hochschild上同调群
出该 类代 数 的二 阶 Ｈｏ ｈ ｃ ｉ ｃ ｓｈｌ 同调 群维 数 为零 ， ｄ上 即该 类代 数 是 刚 性 的． 们首 先 找 出零关 系代 数 Ａ 我
为 ｄｋ ｓｕ 代数 的充要条 件 ， 而得 出集 合 ｐ的所 有情 形． 次 ， — ｏｚ ｌ 从 其 根据 所得 的集合 ｐ构造 Ａ ｎ ｌ 得 到 Ｐ（ ）１ ， 零关 系代 数 ｄｋ ｓｕ 代数 的极小投 射双模分解 ， 利用平行路 的语 言 ， －ｏｚｌ 再 得到上 同调 复形． 最后 ， 利用 Ｂ ｒｚｌ ａｄｅ ｌ 和 Ｍａｃｓ ｒｏ 的文 献 ［ ８ 的方 法 描 述 出 复形 的边 界 映射 ， 过 计 算 １］ 通 对 应 矩 阵 空 间 的秩 ， 据 公 式 根 ｄｍ ＨＨ”以） ｉ ｋ ｒ￥ 一ｄ ｎｉ ｉｋ （ 一ｄ ｍｋ ｅ ＋ ￣ ｉｋ ｒ ｍ 计算 得到零关 系 ｄｋ ｓｕ 代数 的 Ｈｏｈｈｌ 上 同调群 的维数． ＿ｏｚｌ ｃｓｉ ｄ
第 ３ ３卷 第 ２期 ２ １ 年 ６月 ０１
湖北大学学报（ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＨｕ ｅ Ｕｎｖ ｒｉｙ Ｎａｕ ａ Ｓ ｉｎ ｅ ｏ ｒ ａ ｂ ｉ ｉｅ ｓｔ （ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ） ｏ
Ｖｏ ． ３ Ｎｏ ２ １３ ．
Ｊｎ ｕ ．，２ １ ０ １
文 中通过 对 Ｂ ｒ ｚｌ上 链 复 形 的细 致 分 析 ， 楚 地 计 算 了 零 关 系 代 数 以 为 ｄｋ ｓｕ 代 数 时 的 各 阶 ａｄ ｅｌ 清 —ｏ ｚ ｌ Ｈｏ ｈ ｃ ｉ ｃ ｓｈｌ 同调群 的维 数 ， 我们 对该 类零 关系代 数 的上 同调 性质 有 进 一步 的了解 ． 别 地 ， ｄ上 使 特 我们 得
１ 极 小 投 射 双 模 分 析
广义路代数及其hochschild上同调
广义路代数及其hochschild上同调最近，随着数学研究的深入探索，路代数和Hochschild上同调越来越受到重视。
路代数是一种比较新兴的数学理论，它可以扩展经典代数理论，将代数中的数量和空间概念结合起来。
由于它具有多样化的应用能力，它可以被用来解决各种复杂的数学问题。
Hochschild 上的同调理论是一种功能分析的同调子空间的概念，它的千变万化的应用可以解决重要的数学问题，这种理论的强大之处在于它对对象中发生的结构变化所提供的细节描述，这样就可以更好地理解空间中发生的变化以及更好地解决问题。
本文将重点介绍路代数和Hochschild上同调的理论和应用。
首先，我们将介绍路代数的基本概念，路代数是一种由路构成的多维代数，它由一系列连接点和相关弧构成，由此可以绘制出各种不同形状的图像。
路代数可以用来描述物体的空间结构，可以用来表示空间中的点、边、面等特征，可以将物体的多维结构表示出来。
其次，我们将介绍Hochschild上的同调理论，Hochschild上的同调理论可以用来描述和分析多维空间中发生的同调变化，它可以提供实时的分析及精确的描述，可以帮助实现对多维空间的准确建模，从而可以更好地解决各种复杂的数学问题。
接下来，我们将着重讨论路代数和Hochschild上的同调理论的应用。
路代数的应用非常广泛，其中最常见的就是用来解决空间几何学问题。
它可以用来描述空间中的点、边、面等特征，可以用来表示多维空间的几何结构，也可以用来分析空间中发生的变化。
Hochschild上的同调理论则可以用来发现和调查多维空间中发生的变化，可以用来分析空间中发生的同调变换，这样就可以深入探究空间中发生的变化。
此外，路代数和Hochschild上的同调理论还可以应用于其他领域，如金融、物流、电子商务等，以帮助企业的管理决策。
本文综上所述，路代数和Hochschild上的同调理论是一种重要的数学理论，它可以用来解决复杂的数学问题，这些理论也可以用来解决各种金融、物流、电子商务等实际问题。
系统箭图代数的Hochschild上同调群
０ 引言
微 分 方 程
Ｊ
－ｘ ＋ ， Ｂ㈤
【 （） Ｃ ｖ ＝ ｘ（ ）
给 出 了一 个线 性时不 变 动力 系统 一（ Ｂ， ） 其 中 ｚ（） （） ， ￡ ∈ｋ Ａ， Ｃ ， ￡ ∈是 ， ∈ｋ （） 是 向量 型 变量 ， Ａ， Ｂ， 分别 是 ｎ Ｃ， Ｘｍ， ， × Ｐ×７矩 阵． Ｈａｅ ｉｋ ｌ ／ Ｍ． ｚ ｗ ｎ ｅ Ⅲ首 先注 意到 每一线 性时 不变 动力 系统 Ｚ （ Ｂ， ＝ Ａ， Ｃ） 好对应 于 系统箭 图 Ｑ 的维 数 向量为 （ ７ ｐ 的表示 （ １ ． 恰 ｍ， ， ） ２ 图 ）
调性 质．
Ｈｏ ｈ ｅ ｉ ｃ ｓｈｌ 同调 理论是 由 Ｈｏ ｈ ｃ ｉ Ｅ ｄ上 ｃ ｓｈｌ 于 １ ４ ｄ ９ ５年 引入． Ａ是 域 ｋ上 的 有 限维结 合 代数 ， 是 设 Ｍ
有 限生成 Ａ 双模 ， 一 系统在 Ｍ 中 的 Ｈｏ ｈ ｃ ｉ ｅ ｓｈｌ 同调群 为 （ Ｍ ） ｘ （ Ｍ） 其 中 Ａ ：Ａ ｄ上 Ａ， ：Ｅ ｔ 以， ， ＝ ＝ Ａ，
极 小 投 射 双 模 分 解
假设 ｋ 域 ， 是 Ｑ一（ ， 是 一个箭 图 ， 中 Ｑ Ｑ。Ｑ ） 其 。是顶点 集 ， 是箭 向集． ｐ为 Ｑ 中任一 路 ， ｗ （ Ｑ 设 ￣ ｏ ） Ｊ
与 ￡ｐ 分别 表示 Ｐ的起 点 和终点 ，（ ） （） ｚ户 表示 Ｐ的长 度． Ｑ 中所有 的路 为基 ， 以 以路 的联结 为乘法 做成 的
同调 群是 比较 困难 的 ， 一些 特 殊 的代 数类 ， 有 限维 遗传 代 数 ， 但 如 关联 （ ｃ ｅｃ） 数 ， ｉ ｉ ｎｅ代 ｎｄ 根方 零 代 数 ， 截
关于路余代数及其Hochschild上同调
Ａ（ ）＝ ∑ Ｐ ｐ ， Ｐ ， ｌ
ｐ Ｐ ２ｐｌ
余 单位
ｃ ） ０ ｆ）１ １， （ ≥． Ｃ ｐ ｐ
１８ 年 ， ｏ Ｙ定 义 系数 在左 Ｃ余 模 Ⅳ 中的余 代数 Ｃ的 ／阶 Ｈ ｅｓｈｌ 同调为 ９１ Ｄｉ ． １ ， ｏｈｅｉ ｄ上
／ Ｎ， ）＝ ｘ ．Ｎ， ） Ｆ（ Ｃ Ｅ ｔ （ Ｃ ， ｃ
维普资讯
第２ ２卷第 ２期 ２００７ 年 ６月
洛阳大学学报
Ｊ ＵＲＮＡ ＵＯ Ｏ Ｌ ＯＦ Ｌ ＹＡＮＧ ＵＮＩ ＶＥＲ Ｉ ＳＴＹ
Ｖ １２ ． ｏ ． ２ Ｎｏ ２
Ｊ ｎ ｕ．
２ Ｏ Ｏ７
关 于路 余 代 数 及 其 Ｈ ｃｓｈ ｄ上 同调 术 ｏｈｃｉ ｌ
１ 引 言
本 文 中 ，总假 设 是代 数 闭域 ， 上的 向量 空 间称 为 空 间 ， 空间 上的线性 映射 称 为 映射 ．我 域
们把所有 肘 Ⅳ的右 ｃ余模映射组成的集合记为 Ｃｍ ， ．类似地， ． ｏ ． Ⅳ） （ 把所有 一Ⅳ的左 ｃ余模映射 ．
组成 的集合 记为 ＣｍＤ（ Ｎ） ｏ Ｍ， ．一般 地 ，在不形成 混淆 的情 况下 ， 之为 Ｃ ｍ （ Ｎ） 记 ｏ Ｍ， ．用 表示 右 Ｃ － 余 模 范畴 ， 表示左 Ｃ余模 范 畴． ． １９ ９７年 ， ｈｎ和 Ｍｏｔ ｍ ｒ［对 于给定 的 ｑ ｉ ｒ Ｃｉ ｎｇ ｅｙ４ ｏ １ ｕｖ 和域 ， 过对 偶代 数 的构 造得 到 了路 余代 数．设 ｅ 通 Ｋ Ｑ表示 由 Ｑ 中所有 路生 成 的 Ｋ 空间 ， 一 路余代 数 Ｋ 。 空 间 ｒ Ｑ 是 Ｑ上 的余代 数 ， 余乘 定义 为
郭 占清 姚 海楼 ，
（． Ｉ铁道部 信 息技 术中心，北京 １０ ８ ； ． ０ ０４ ２ 北京工业大学 应 用数理 学院，北京 １０ ２ ） ０ ０ ２
三角几何余代数的Hochschild同调群的计算
三角几何余代数的Hochschild同调群的计算刘海成;李艳凤【期刊名称】《云南师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(032)004【摘要】According to the special features of bi-comodules over triangle-geometry coalgebra and the theory presented by Y. Doi, the relationship between the zero-order Hochschild homology group of triangle-geometry coalgebra and the kernels of operators are studied. For some specific examples, the zero-order Hochschild homology groups of triangle-geometry coalgebra are calculated.%根据三角几何余代数上双余模的具体特点及Y.Doi提出的理论,研究了其零阶Hochschild同调群与某些算子的核的联系,并且对于具体的例子,计算了三角几何余代数的零阶Hochschild同调群.【总页数】6页(P26-31)【作者】刘海成;李艳凤【作者单位】黑龙江八一农垦大学,黑龙江大庆 163319;黑龙江八一农垦大学,黑龙江大庆 163319【正文语种】中文【中图分类】O154【相关文献】1.若干有向图的无穷小余代数的同调群的计算 [J], 李艳凤;刘海成;康文艳;王雪巍2.多项式余代数的零阶Hochschild同调群的计算 [J], 刘海成;李艳凤3.若干余代数的Hochschild上同调群的计算 [J], 李艳凤;刘海成4.三角几何余代数的Hochschild同调群的计算 [J], 刘海成;李艳凤5.关于代数几何中几个同调群的计算 [J], 葛玉凤因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
量子外代数的Z2-Galois覆盖的Hochschild上同调环
群代 数 ， ］外代 数 ，ｔｉｇ代数 ］Ｋｏｚｌ ｓｒｎ ， ｓｕ 代数 ， 方零 代 数＿］及 有 限 表示 型 的 自入射 代 数 ＿ 等． 根 １， １ １等 ２ 而且 Ｇｒｅ ｅｎ和 Ｓ ｌｅｇ在文 献 ［３ 中指 出上 同调 环 ＨＨ （ 的乘 法 结构 通 常 是 平 凡 的． ｉｉ 在 文 献 ｏｂ ｒ １］ Ａ） Ｃｂｌ ｓ ［ １ 中证 明 当 以是 Ｑ 不 含定 向 圈的根 方零 代数 时 ， １］ ＨＨ （ 的乘 法结 构也 是平 凡 的． 而 ， 很 多 自人 Ａ） 然 对
射环 而言 ， ＨＨ （ 中存 在乘 积非 零 的元． 以） Ｋｏ ｚ ｌ ｓｕ 代数 在 表示理 论 的研究 中扮演 着重 要 的角 色 ． 子 外代 数 Ａ （ ＞ （ ｘ ＋ ｑ ｘ， 量 一是 ｚ， ／ ｘ ， ｙ ｙ Ｙ ）
是一类有趣的 Ｋ ｓ ｌ ｏｚ 代数ｌ１ ． ｕ ｌ 引 设 为Ａ 的ｚｚ ａ ｉ覆盖 ， Ｇ ｌｓ — ｏ 韩阳在文献 ［６ 中证 明 Ａ 也是 Ｋ ｓ ｌ １］ ｏｚ ｕ 代数 ． 文 中首 先 计 算 出 了 Ａ 本 。的各 阶 Ｈｏｈ ｃｉ ｃｓｈｌ 同 调 群 的 基 ； 次 ， ｄ上 其 由于 Ｂ ｃｗｅ ｚ等 人 用 ｕｈ ｉ ｔ
反代数 ． 以是 右 Ａ 一 ， 篇路 的合 成 采用从 左 到右 的顺 序． 则 模 通 Ａ第 阶 Ｈｏｈ ｃｉ ｃｓｈｌ 同调群 定义 为 ＿ ｄ上 】 ］
Ｈ Ｈ ” 以 ） Ｅｘ ￣ （ ， ） （ ＝ ｔｅ 以 以 ．
Ｈｏｈ ｃ ｉ ｃ ｓｈｌ 同调是 结合 代数 较精 细 的不变 量 ， Ｍａｉ 等价 不变 量 ， ｉ ｉｇ等 阶不变 量 ， 导 出等价 ｄ上 如 ｒａ ｔ Ｔｌｎ ｔ 及 不 变量 等等 ． 它在 Ａｒｉ 数 的表示 理论 中扮 演着 重要 的角色 ， 如 ， 和代 数 的单 连通 性 ， 分性 质 且 ｔ ｎ代 例 它 可
关于代数几何中几个同调群的计算
关于代数几何中几个同调群的计算代数几何是现代数学的一个重要分支，它研究的对象是代数集和代数变换之间的关系。
在代数几何中，同调群是一种研究代数几何性质的重要工具，可以帮助我们理解代数集的拓扑性质和代数结构。
在本文中，我们将讨论几个常见的同调群计算问题，并详细介绍它们的定义和性质。
一、同调群的定义在代数几何中，同调群是一种用于描述拓扑性质和代数结构的代数工具。
它是拓扑空间的不变量，与拓扑空间的连续映射相关联。
具体来说，设X和Y是两个拓扑空间，f是从X到Y的连续映射，那么同调群可以通过以下方式定义：同调群具有很多重要的性质，例如同调群与拓扑空间的同伦类型相关联，同调群可以通过不同映射的复合来构造等。
二、计算同调群的常见方法计算同调群是代数几何中的一个重要问题，也是非常具有挑战性的。
然而，有一些常见而有效的方法可以用来计算同调群。
1.好坏链复形好坏链复形是计算同调群的一种基本方法。
它可以把一个拓扑空间分解为几个简单的部分，从而将复杂的计算问题转化为计算简单的部分。
具体来说，好坏链复形基于一个有向图，将拓扑空间分解为多个有序的单纯形，并构建链复形。
然后，可以通过链复形和链复形的同态对应来计算同调群。
2.概率复形概率复形是计算同调群的另一种常见方法。
它利用了概率论的方法来计算同调群。
具体来说，概率复形基于代数几何中的代数簇，并利用随机生成的抽样点来计算同调群。
通过抽样点，可以估计代数簇的拓扑性质和同调群。
3.曲线复形曲线复形是计算同调群的另一种重要方法。
它是一种对空间进行连续曲线路径的分解，然后再利用路径的同构性质来计算同调群。
具体来说，曲线复形利用曲线的闭合和连续映射的复合来计算同调群。
三、同调群的应用同调群在代数几何中有广泛的应用。
首先，同调群可以用来描述代数集的拓扑性质。
通过计算同调群，可以判断代数集是否连通、原维数和相容性等。
其次，同调群还可以用来研究代数映射的性质。
特别地，可以通过同调群来判断代数映射是否同构、满射或者单射等。
同调代数基本定理
同调代数基本定理同调代数是数学中的一个重要分支，它研究的是代数结构中的同调与上同调。
同调理论在数学和物理学中有广泛的应用，例如在拓扑学、代数几何、代数拓扑、莱斯提定理、场论等方面。
同调代数的基本定理是同调降纬定理和同调升维定理，它们揭示了同调群之间的关系，为其他代数结构的研究提供了有力的工具和引导。
下面将对同调降纬定理和同调升维定理进行全面而生动的介绍。
同调降纬定理是同调代数中最基本的定理之一。
它指出对于一个拓扑空间X及其子空间A，在一定条件下，我们可以通过降维的方式来计算X和A的同调群之间的关系。
具体来说，同调降纬定理告诉我们如果A是X的收缩，即存在一个连续映射r: X → A使得 r|A = id_A，则对于任意整数q，有同构映射H_q(X) ≅ H_q(A)，其中H_q(X)表示X的第q个同调群。
这个定理表明，通过适当构造收缩，我们可以将原本复杂的拓扑空间的同调群简化为一个更容易计算的子空间的同调群。
同调升维定理则是同调代数中的另一个重要定理。
它指出如果我们知道拓扑空间X的一个闭子空间A的同调群，我们可以通过构造一个另外的新空间来计算X的同调群。
具体而言，同调升维定理告诉我们，对于任意一个拓扑空间X和一个闭子空间A，存在一个拓扑空间Y和一个连续映射f: X → Y，使得对于任意整数q，有同构映射H_q(X)/f_*H_q(A) ≅ H_{q+1}(Y)，其中f_*: H_q(A) → H_q(X)是f诱导的同调映射。
此外，如果A是Y的变缩，即存在连续映射r: Y →A使得 r|A = id_A，则我们还可以得到同构映射H_q(X)/f_*H_q(A) ≅H_q(Y)。
同调升维定理的重要性在于它为我们计算复杂拓扑空间的同调群提供了一种较为简便的方法。
同调降纬定理和同调升维定理是同调代数中的两个基本定理，它们提供了同调群之间的关系和计算方法，为我们研究拓扑空间提供了有力的工具和指导。
通过这两个定理，我们可以将复杂的同调问题转化为计算相对简单的子空间的同调问题，或者通过构造新空间的方式来计算原本空间的同调群。
通俗的解释同调
通俗的解释同调同调（Homomorphism）是数学中一个重要的概念，尤其在代数学和拓扑学中被广泛应用。
在代数学中，同调是指保持代数结构的映射；而在拓扑学中，同调是一种度量拓扑空间之间的相似性的方法。
为了更好地理解同调，本文将以通俗易懂的方式进行解释。
同调最初出现在代数学中，用于研究群、环、域等代数结构之间的关系。
在群论中，同调是一种保持群运算的映射。
简单来说，如果存在两个群G和H，分别具有群运算"*"和"∘"，那么一个从G到H的映射f，如果满足对于任意的g1和g2，都有f(g1 * g2) = f(g1) ∘ f(g2)，那么f就被称为同态映射，而这种映射所定义的同态关系就是同调关系。
同态映射保持了群结构，因此我们可以将同态映射看作是群之间的一种“保持结构的映射”，可以通过同态映射来研究不同群结构之间的对应关系。
在拓扑学中，同调是一种研究拓扑空间之间相似性的方法。
拓扑学研究的是空间的变形、连续性等性质，同调理论通过构建一系列从拓扑空间到其他数学结构之间的映射来比较空间之间的差异。
这些映射被称为同调映射，而同调关系即通过同调映射来度量拓扑空间之间的相似程度。
在拓扑学中，同调理论的核心思想是利用同调映射诱导的函数对空间进行分类。
我们可以通过构建一系列不同维度的同调群来描述拓扑空间的性质。
由于同调群具有一定的代数结构，我们可以通过对同调群的计算和比较来研究拓扑空间的同构、同伦等性质。
同调群所描述的是拓扑空间中“空洞”的数量与形状，通过比较不同拓扑空间的同调群，我们可以得到它们的同调不变量，从而判断它们是否同构或同伦等性质。
同调理论在数学中的应用非常广泛。
从代数学的角度来看，同调在研究代数结构之间的关系上具有重要意义，可以用于解决一些代数问题，例如同态的存在性与性质等。
从拓扑学的角度来看，同调理论能够通过代数方法研究拓扑空间的性质，为拓扑学提供了一种比较直观的工具和语言。
代数拓扑中的同伦和同调群
同调群与同伦群的关系：同调群和同伦群是两个密切相关的概念，它们在研究空间的拓扑性质 时具有重要的作用。
同调群是代数拓扑中的基本概念，用于描述空间在连续变形下的不变量。 同调群具有一些重要的性质，例如同调群的元素可以由空间的几何性质决定。 同调群中的元素可以通过代数运算进行组合，从而形成更大的群。 同调群中的元素可以表示空间的拓扑性质，例如连通性、紧致性等。
同调群在代数数论中的应用：用于研究数论中的一些问题，例如通过同 调群来判断素数分布、整数分解等。
同调群在数学物理中的应用：用于研究物理中的一些问题，例如通过同 调群来判断量子力学中的波函数、经典力学中的哈密顿量等。
同调群在其他数学领域中的应用：例如在微分几何、微分方程、组合数 学等其他数学领域中也有广泛的应用。
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同伦群与同调群的 关系
同伦群和同调群都是 代数拓扑中的基本概 念，用于研究拓扑空 间的性质和结构。
同调群通过代数方法研 究拓扑空间的连通性， 而同伦群则通过分析空 间中点的移动和变换来 研究空间的性质。
同伦群和同调群在某 些情况下可以相互转 化，例如对于足够好 的空间，其同调群可 以转化为同伦群。
代数拓扑中的同伦和 同调群
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代数拓扑的基本概念
同伦群的定义和性质
同调群的定义和性质
同伦群与同调群的关 系
代数拓扑中的同伦和 同调群的应用
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代数拓扑的基本概 念
代数拓扑是研究拓扑空间在同胚映射下的不变性质和不变结构的数学分支。 代数拓扑通过代数的方法来研究拓扑空间的性质，主要关注空间的基本群、同调群等代数不变量。
上同调代数
上同调代数什么是同调代数？同调代数是数学中的一个重要分支，它研究的是拓扑空间的代数结构和其同调不变量之间的关系。
同调代数的研究对象可以是各种各样的代数结构，比如群、环、模等，而拓扑空间则可以是曲面、多维空间等。
同调代数的基本概念1. 同调群同调群是同调代数中的核心概念之一。
对于给定的拓扑空间X，我们可以定义一系列同调群，记作Hn(X)，其中n表示维度。
同调群描述了拓扑空间X中的代数结构，可以通过同调群来研究拓扑空间的性质。
2. 上同调代数上同调代数是同调代数中的一种重要扩展。
与普通的同调代数不同，上同调代数中的同调群是通过一种上同调操作定义的。
上同调操作是一种将代数结构映射到更高维度的操作，它可以将一个n维的代数结构映射到一个n+1维的同调群中。
3. 同调环同调环是同调代数中的另一个重要概念。
同调环是一个满足一定条件的环结构，它描述了拓扑空间中的环结构和同调群之间的关系。
同调环的研究可以帮助我们更好地理解拓扑空间的性质。
上同调代数的应用1. 拓扑学上同调代数在拓扑学中有广泛的应用。
通过研究上同调代数，我们可以得到拓扑空间的同调不变量，这些不变量可以帮助我们刻画拓扑空间的性质。
比如，同调不变量可以用来判断两个拓扑空间是否同胚，或者用来计算拓扑空间的欧拉数等。
2. 代数几何上同调代数在代数几何中也有重要的应用。
代数几何研究的是代数结构和几何结构之间的关系，而上同调代数可以提供一种将代数结构映射到几何结构的方法。
通过研究上同调代数，我们可以得到代数曲线、代数多面体等几何结构的代数不变量，这些不变量可以帮助我们研究几何结构的性质。
3. 数学物理上同调代数在数学物理中也有应用。
数学物理研究的是物理现象和数学结构之间的关系，而上同调代数可以提供一种将物理结构映射到数学结构的方法。
通过研究上同调代数，我们可以得到物理系统的代数不变量，这些不变量可以帮助我们研究物理系统的性质。
总结上同调代数是同调代数中的一种重要扩展，它通过上同调操作将代数结构映射到更高维度的同调群中。
代数拓扑中的上同调群计算方法
代数拓扑中的上同调群计算方法在代数拓扑学中，上同调群是对拓扑空间进行代数化描述的重要工具之一。
它可以帮助我们研究空间的性质以及它们之间的映射和变形。
本文将介绍上同调群的概念和计算方法，并探讨在代数拓扑中的应用。
一、上同调群的概念上同调群是一种用于描述拓扑空间的代数对象。
它是通过将空间中的链与边界联系起来来构建的。
对于给定的拓扑空间X，我们可以构造一系列复形Cx，其中x表示一种维度。
这些复形由一组群和一组边界映射构成。
简单来说，上同调群就是这样一组群的集合：每个维度的群由该维度复形中的闭链模去掉边界链的模得到。
二、上同调群的计算方法计算上同调群的方法主要有两种：直接计算和利用代数结构。
下面将分别介绍这两种方法。
1. 直接计算方法直接计算上同调群的方法是通过构造拓扑空间的上链复形来计算。
对于给定的拓扑空间X，我们可以选择一种合适的上链复形，并通过计算该复形的闭链和边界链来得到上同调群。
这种方法的优点是直观易懂，但对于复杂的空间来说计算量较大。
2. 利用代数结构方法利用代数结构计算上同调群的方法是通过代数工具和性质来计算。
例如，我们可以利用同调群的长正合列、Mayer-Vietoris序列等工具来计算上同调群。
这种方法通常更高效，特别适用于一些含有特殊结构或性质的拓扑空间。
三、代数拓扑中的应用上同调群在代数拓扑学中有广泛的应用。
下面介绍一些常见的应用场景。
1. 同伦不变性在拓扑学中，同伦等价是空间的一个重要性质。
上同调群可以用来刻画同伦等价的空间具有相同的上同调群。
通过比较不同空间的上同调群，我们可以判断它们是否同伦等价。
2. 基本群和覆叠空间上同调群可以和基本群以及覆叠空间进行联系。
通过计算拓扑空间的上同调群，我们可以推导出基本群以及覆叠空间的一些性质。
这对于研究空间的拓扑结构和几何性质非常重要。
3. 对偶性与切向量空间上同调群的对偶性是代数拓扑学中一个重要的性质。
通过定义上同调群的对偶群，我们可以研究拓扑空间的切向量空间以及其它几何性质。
上同调代数
上同调代数上同调代数同调代数是数学中的一个重要分支，它研究的是代数结构之间的映射和同态，特别是群或模的同态关系。
同调代数在几何学、代数学、数论和物理学等领域中都有广泛的应用。
一、同调代数的基本概念1.1群同调群同调是同调代数的最基本概念之一，它描述了群的代数结构与其拓扑性质之间的关系。
给定两个群G和H，它们的群同调是在一定条件下从G到H的同态映射的集合。
群同调可以用来研究群之间的同构、自同态和拓扑性质等。
1.2模同调类似于群同调，模同调研究的是模之间的同态关系。
给定两个模M 和N，它们的模同调是从M到N的同态映射的集合。
模同调的研究对于研究代数结构的性质和模之间的映射具有重要意义。
二、同调代数的基本性质2.1同调函子同调函子是同调代数中的重要工具，它将一个范畴上的对象映射为另一个范畴上的对象，并保持对象之间的映射关系。
同调函子可以用来构造新的代数结构，并研究它们之间的关系。
2.2长正合列在同调代数中，长正合列是一种重要的序列。
对于给定的同态映射，如果它们构成一个准同态序列，且满足一定条件，那么这个序列就是长正合列。
长正合列为研究代数结构和同态映射提供了有力的工具。
2.3上同调和下同调上同调和下同调是同调代数中的两个基本概念。
上同调是在同调函子作用下得到的同态映射的集合，而下同调是在同调函子作用下得到的模的集合。
上同调和下同调可以用来研究群或模之间的同态关系，并提供了计算同调群的方法。
三、同调代数的应用3.1几何学中的同调代数在几何学中，同调代数可以用来研究拓扑空间的性质和结构。
通过构建拓扑空间的上同调或下同调群，可以研究空间的连通性、维度、同伦不变性等问题。
同调代数在代数拓扑学、流形学和代数几何学等领域都有广泛的应用。
3.2代数学中的同调代数在代数学中，同调代数可以用来研究代数结构的同态关系和同构性质。
通过构建模的同调群，可以研究模的结构、模的分解和模的分类等问题。
同调代数在代数编码理论、代数数论和代数几何学等领域中都有重要的应用。
代数拓扑学中的同伦和同调
同伦和同调是代数拓扑学中重要的概念和工具。
它们探究了拓扑空间之间的连续性和变形性质，并通过代数方法对其进行刻画。
同伦论研究的是拓扑空间之间的连续变形关系。
同伦的基本思想是通过连续变形将一个拓扑空间X变形到另一个拓扑空间Y，从而表达这两个空间之间存在的某种“连续等价”关系。
具体而言，同伦关系建立在拓扑空间之间的映射之上，称为同伦映射。
如果从X到Y存在一个连续映射f和一个参数化函数H：[0,1]×X→Y，满足H(0,x)=f(x)和H(1,x)=g(x)，其中g是X到Y的另一个连续映射，那么我们称f和g是同伦的。
同伦关系的传递性表明同伦是一个等价关系。
同伦的本质在于它不关心拓扑空间的具体的形态，而只关心其连续性。
同调论研究的是拓扑空间的“几何固有性质”，即拓扑空间之间的“不变性”。
同调通过代数方法刻画了拓扑空间的一些结构性质，例如空间的连通性、欧拉特征等。
同调理论利用了代数工具，例如群、环等，对拓扑空间进行了代数表示。
同调的基础概念是链复形和同调群。
链复形描述了拓扑空间的边界关系，而同调群则将链复形中的边界关系刻画成了几何和代数相结合的代数结构。
同调群的同构意味着拓扑空间的同构，进而用代数工具研究空间的不变性质。
基本同调群、单纯同调群和人法尔特-威尔逊同调环是同调论中常用的代数结构。
同伦和同调在拓扑学的许多问题中得到了广泛的应用。
比如，在拓扑空间的分类问题中，同伦可以将拓扑空间分为不同的同伦类型，这样可以简化拓扑空间的研究。
同调则可以刻画拓扑空间之间的同构关系，从而通过代数不变量来判断两个拓扑空间是否等价。
这在几何模型的构造和计算中有着重要的应用，例如在计算机图形学中的形状匹配和形态识别等。
另外，同伦和同调还在代数拓扑学的几何拓扑学、拓扑动力学和代数几何等其他领域得到了广泛的应用。
总之，同伦和同调是代数拓扑学中重要的工具，它们通过代数方法刻画了拓扑空间之间的连续性和变形性质，为拓扑学的研究提供了有力的工具和理论基础。
同调 数学概念
同调数学概念同调代数是随着拓扑学，特别是同调论的发展而形成的一种代数方法。
它把代数学中以往作个别研究的一些问题，用统一的观点给予强有力的展开，而形成作为一般体系的领域。
这个方法是建立在范畴与函子的观点之上的，它以不仅处理对象的内部结构，而且处理对象的机能结构为其特征。
简介同调代数就是在第二次世界大战后构成的新分支，它在广为的领域中都获得了应用领域。
发展介绍同调代数(homologicai algebra)就是代数学的一个关键分支，主要研究在代数对象的各种范畴(例如取值环上的模、层等)上的求出函子，第二次世界大战后构成的代莱数学分支，在20世纪40年代发展出来。
创始人为昂里·嘉当、格罗坦迪克、爱伦堡等。
它就是随着拓扑学和上同调论（同调群）的发展而构成的一种代数方法。
它用范畴与函子的统一的观点，把过去在代数学中分别研究的问题，予以统一的处置，构成通常的体系。
其应用领域颇甚广，对整个数学产生了相当大的影响。
最早出现的是群的上同调和同调，这是围绕着解决赫维茨(波兰代数拓扑学家)问题而引出的。
这个问题的解决还导致波兰一美国数学家艾伦伯格和美国数学家麦克莱恩在年引进了群的上同调群。
与此同时，结合代数的上同调群，李代数的上同调理论也都被引进。
这些理论于年为h．嘉当和艾伦伯格用范畴的语言统一起来，形成代数学的一个独立分支。
应用领域同调代数的语言，具有自然、清晰地表达信息的优越性，已被应用于代数拓扑基础的公理化表述。
后来，这种语言已在很多领域里被采用，甚至包括那些尚未使用同调方法的领域。
同调代数的主要课题之一是研究正合函子，着重研究从模范畴到加群范畴的函子，以及函子的导函子，把同调与上同调都归结为导函子的特例。
同调代数的方法已被广泛地应用到数学的各不同分支上，如泛函分析、单复变函数论、微分方程等，代数学的一些分支，如代数k理论、代数几何学和代数数论等，更不可缺少同调代数的方法。
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摘要 关键词
设舻 ： （ Ｂ是代数满 同态 ， 研究 Ｂ和 Ｃ 的丰 莫 ＿ 相 对 Ｈｏ ｃ ｈ ｓ ｃ ｈ ｉ ｌ ｄ 同态 ； 模一 相对 Ｈｏ ｃ ｈ ｓ ｃ ｈ ｉ ｌ ｄ （ 上） 同调 ； 相对 Ｈｏ ｃ ｈ ｓ ｃ ｈ ｉ ｌ ｄ （ 上） 同调
中 图分 类 号
Ｍｏ ｄ ｕ ｌ ｅ － ｒ ｅ ｌ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ － Ｈｏ ｃ ｈ ｓ ｃ ｈ ｉ ｌ ｄ（ ｃ ｏ ） ｈ ｏ ｍｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ｕ ｎ ｄ ｅ ｒ ｅ ｐ ｉ ｍｏ ｒ ｐ ｈ ｉ ｓ ｍｓ ｏ ｆ ａ ｌ ｇ ｅ ｂ ｒ ａ ｓ
ＣＨ ＥＮ Ｙｕａ ｎ （ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ＆ Ｃｏ ｍｐ ｕ ｔ ｅ ｒ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ，Ｈｕ ｂ ｅ ｉ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ，Ｗ ｕ ｈ ａ ｎ ４ ３ ０ ０ ６ ２，Ｃｈ ｉ ｎ ａ ）
设 Ｒ 是交换 环 ， Ａ 和 Ｂ 是 Ｒ一 代数 ， Ａ ＝Ａ＠Ｒ Ａ印 表示 Ａ 的包 络代 数． 给定双模 Ｍ ， 考虑 伴 随函子 ：
Ｂ ： 一Ｍ Ａ 一： Ａ 魄一Ｂ ％ ， ： ＝ ＝ ＝ Ｈｏ ｍＢ （ Ｍ， 一） ： Ｂ ％ 一Ａ ％．
如下 由 一 相对可裂态射构成的类记为 ｅ Ｍ ＝ ＝ ＝ ｛ ∈ ％ｌ Ｈｏ ｎ ｒ 。 （ Ｍ， ＿ 厂 ） 在 ％ 中是可裂满的｝ ． 由文献［ ３ ］ 中定理 １ ． ４ 知， ｅ Ｍ 总 是投射类． 进一步地 ， 若 Ｍ 作为左 Ｂ 一 模是生成子 ， 则ｔ ￣ Ｍ ， Ｂ 是由满态 射构成的投射类（ 参见文献［ １ ， 命题 ３ ． １ ］ ） ． 此时任意的 Ｂ － Ｂ 一 双模都存在 ￣ Ｍ ， Ｂ － 投射分解 ， 且在 同伦意义 下是唯一的． 注意到 ， Ｐ 是￡ Ｍ 投射 的当且仅当 Ｈｏ ｎ （ ｒ Ｐ， 一） 是￣ Ｍ ， Ｂ － 正合 的； 另一个等价条件是存在 某个 Ｘ∈ ‰ 使得 丌 ： Ｔ Ｂ （ Ｘ） 一Ｐ是可裂满 的． 易见 ， 所有的投射 Ｂ － Ｂ 一 双模 以及具有形式 （ Ｘ） （ Ｘ∈
（ ｃ ｏ ） ｈ ｏ ｍｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
０ 引言 及 预 备 知识
２ ０ ０ ８ 年， Ａｒ ｄ ｉ ｚ ｚ ｏ ｎ ｉ 等 人在非 交换 几何 的研究 中发 现并 引人 了模 一 相对 Ｈｏ ｃ ｈ ｓ ｃ ｈ ｉ ｌ ｄ （ 上） 同调ｌ ＿ １ ］ ． 这一
概 念在 非交换 代数 几何 中扮演 着重 要角 色 ， 它 给 出了可分 双模 以及形 式光 滑双模 的一种 刻 划． 在 非 交换 且 相对 的情形 下 ， 可分 双模可 看成 是点丛 ， 即相对上 同调维 数 为 零 的对 象 ； 而形 式 光滑 双 模则 可 看 成是
第３ ５卷第 １ 期
２ ０ １ ３年 ３月
湖北 大学学报 （ 自然科 学版）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｈｕ ｂ ｅ ｉ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
Ｖｏ ｌ ＿ ３ ５ Ｎｏ ． １
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ｅ ｐ ｉ ｍｏ ｒ ｐ ｈ ｉ ｓ ｍ ｏ ｆ ａ ｌ ｇ ｅ ｂ ｒ ａ ｓ ；ｍｏ ｄ ｕ ｌ ｅ ￣ ｒ ｅ ｌ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ － Ｈｏ ｃ ｈ ｓ ｃ ｈ ｉ ｌ ｄ（ ｃ ｏ ） ｈ ｏ ｍｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ；ｒ ｅ ｌ ａ ｔ ｉ ｖ ｅＨｏ ｃ ｈ ｓ ｃ ｈ ｉ ｌ ｄ
Ｍａ ｒ ．，２０１ ３
文章编号 ： １ ０ ０ ０ —２ ３ ７ ５ （ ２ ０ １ ３ ） ０ １ ０ ０ ３ ８ —０ ３
代 数 满 同态 下 的模一 相 对 Ｈｏ ｃ ｈ ｓ ｃ ｈ ｉ ｌ ｄ （ 上） 同 调
陈媛
（ 湖北大学数学与计算机科学学院 ， 湖北 武汉 ４ ３ ０ ０ ６ ２ ）
ｏ ｆ ａ ｌ ｇ ｅ ｂ ｒ ａ ｓ Ｂ ａ ｎ ｄ Ｃ ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｗａ ｓ ａ ｎ ｅ ｐ ｉ ｍｏ ｒ ｐ ｈ ｉ ｓ ｍ ①： Ｃ Ｂ． Ｍ ｏ ｒ ｅ ｏ ｖ ｅ ｒ ，ｉ ｔ ｇ ｏ ｔ ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｈ ｉ ｐ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｉ ｒ ｒ ｅ ｌ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ — Ｈｏ ｃ ｈ ｓ ｃ ｈ ｉ ｌ ｄ（ ｃ ｏ ）ｈ ｏ ｍｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ｒ ｅ ｓ ｐ ｅ ｃ ｔ ｔ ｏ ｈ ｏ ｍｏ ｍｏ ｒ ｐ ｈ ｉ ｓ ｍｓ ｏ ｆ ａ ｌ ｇ ｅ ｂ ｒ ａ ｓ ．
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ Ｉ ｔ ｉ ｎ ｖ ｅ ｓ ｔ ｉ ｇ ａ ｔ ｅ ｄ ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｈ ｉ ｐ ｂ ｅ ｔ ｗｅ ｅ ｎ ｔ ｈ ｅ ｍｏ ｄ ｕ ｌ ｅ — ｒ ｅ ｌ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ — Ｈｏ ｃ ｈ ｓ ｃ ｈ ｉ ｌ ｄ（ Ｃ Ｏ ） ｈ ｏ ｍｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
Ｂ和 Ｃ的卡 莫 ＿ 相 对 Ｈｏ ｃ ｈ ｓ ｃ ｈ ｉ ｌ ｄ （ 上） 同调 之 间的本质 联 系． 首先规 定一 些 记 号． 代数 指 的都是 含 单位 元 的结合 代 数． 用ｅ 魄 ， 和ｎ ％ 分 别 表示 左 Ｂ 一 模范畴 、 右 Ａ ＿ 模 范畴 以及 Ａ— Ｂ 一 双模 范畴 ， ｎ 表示Ｍ 是 Ｂ — Ａ一 双模 ．
曲线丛 ， 即相 对上 同调 维数小 于或 等于 ｌ的对 象． Ｄ ｅ Ｌ ａ Ｐ ｅ ｌ ｆ ａ等Ⅲ ２ ］ 证 明了， 当 ： Ｃ — Ｂ是 代 数 的 同调满
同态时， Ｂ和 ｃ的通常的 Ｈｏ ｃ ｈ ｓ ｃ ｈ ｉ ｌ ｄ 上同调群之间存在一个长正和列． 本文中旨在探讨代数满 同态下 ，
Ｏ１ ５ ３ ． ３ 文献标志码 Ａ Ｄ ＯＩ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ０ — ２ ３ ７ ５ ． ２ ０ １ ３ ． ０ １ ． ０ ０ ９
和 Ｃ 的相 对 Ｈｏ ｃ ｈ ｓ ｃ ｈ ｉ ｌ ｄ （ 上） 同 调 之 间 的关 系 ．