弦切角定理PPT课件
合集下载
九年级上数学《弦切角定理》课件
B
一边与圆相交，
另一边与圆相切 的角叫做弦切角
A
AmB 是弦切角∠PAB所夹的弧。
m
P
顶点在圆上，一边与圆相交，另一边 与圆相切的角叫做弦切角。 下面五个图中的∠BAC是不是弦切角？
C B A C C A
×
B
×
C
B
A
×
B
B C
×
A
A
√
从数学的角度看，弦切角能分成几大类？ C C C .O .O .O P P P D A B A A B D
BAC为直角， 圆心在AC上。 BAC为锐角， 圆心在角外。
B
BAC为钝角， 圆心在角内。
上图中BAC所夹的弧分别是：半圆、劣弧、优弧。
猜想：弦切角BAC与圆周角APC的关系 现在分别作出他们所对的圆周角APC, 如上图
︵ 已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，AmC 是弦切角∠BAC所 ︵ 夹的弧，∠P是AmC所对的圆周角。 求证：∠BAC＝∠P Q C
课堂练习：
1、已知AB是⊙O的切线A为切点,由图填空：
30º
O
70º
1 3
O
25º
O
2
80º 4 A ； B
A ∠1= 30º ∠4= 40º
B
A
B
；∠2= 70º ；∠3= 65º 。 弦切角等于它所夹的弧对的圆心角的一半.
2、选择： AB为⊙O直径，PC为⊙O的切线，C为切点， 若∠BPC=30°，则∠BCP=（ A ）。 A、 30°B、 60°C、 15°D、22. 5°
如图，DE切⊙O于点A，AB、AC是 ⊙O的弦，若 AB=AC，那么∠DAB 与∠EAC是否相等？为什么？
第3课时弦切角定理
第3课时弦切角定理弦切角定理【知识要点:】1.弦顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
(弦切角就是切线与弦所夹的角)如下图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，?TCB，?TCA，?PCA，?PCB都为弦切角。
2(弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. 3(定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角4(推论:若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等5(圆幂定理:过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B(可重合，即切线)，L2与圆交于C、D(可重合)，则有PA?PB=PC?PD【经典例题:】1例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。
在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE:AE的值。
图1例2.?O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE,6cm，BE,2cm，CD,7cm，那么CE,_________cm。
图2例3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则________。
2例4.如图3，P是?O外一点，PC切?O于点C，PAB是?O的割线，交?O于A、B 两点，如果PA:PB,1:4，PC,12cm，?O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________cm。
图3【课堂练习题:】一、选择题1.已知:PA、PB切?O于点A、B，连结AB，若AB,8，弦AB的弦心距3，则PA,( )A. B. C. 5 D. 82.下列图形一定有内切圆的是( )A.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形3.已知:如图1直线MN与?O相切于C，AB为直径，?CAB,40?，则?MCA的度数( )图1A. 50?B. 40?C. 60?D. 55?4.圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1:4，则另一弦长为( )A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 16cm5.若PA为?O的切线，A为切点，PBC割线交?O于B、C，若BC,20，，则PC的长为_____________。
【人教版】九年级上册数学《弦切角》ppt教学课件
连结OC,由切线性质, 可得OC∥AD,于是 有∠2=∠3,又由于 B ∠1=∠3,可证得 ∠1=∠2
E
·O 1A 32 CD
小结：
1、概念的引入
顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相 切的角叫做弦切角。
2、定理的发现
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
推论：两个弦切角所夹的弧相等，
那么这两个弦切角相等。
的度数是（ B ）。
A、38°B、52° C、68° D、42°
O
A
B
38°
M
C
D N
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。 推论：两个弦切角所夹的弧相等， 那么这两个弦切角相等。
如图，DE切⊙O于点A，AB、AC是 ⊙O的弦，若 AB=AC，那么∠DAB 与∠EAC是否相等？为什么？
∠ DAB＝ ∠EAC
C
B O
E
A
D
例题解析
例1：如图：已知AB是⊙O的直
径，AC是弦，直线CE和⊙O切于
点C，AD⊥CE于D。
B
O
求证：(1)AC平分∠BAD
(2)AC2=2AD·AO
A
你还能用其他方法解答 吗？试试看！
E
C
D
有弦切角，常连结弦切角 所夹弧所对的圆周角。
例题解析(思路2)
例1: 如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直 线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足是D，求证： AC平分∠BAD.
4
A
B
∠1= 30º ；∠2= 70º ；∠3= 65º ； ∠4= 40º 。 弦切角等于它所夹的弧对的圆心角的一半.
2、选择： AB为⊙O直径，PC为⊙O的切线，C为切点，
切线长与弦切角PPT教学课件
A
D P
N C
O
M
L
B
圆的外切四边形的两组对边的和相等 AB＋CD＝AD＋BC
2021/01/21
8
弦切角
2021/01/21
9
弦切角的定义
弦切角：顶点在圆上，
一边和圆相交、另一 D 边和圆相切的角叫做
弦切角。
A
要点：
➢ 顶点在圆上
➢ 一边和圆相交
➢ 一边和圆相切
E O
C
B
2021/01/21
10
三角形的外接圆： 三角形的内切圆：
A
A
O
B
C
B
I C
2021/01/21
1
特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法：
直角三角形外接圆、
B
内切圆半径的求法
R= —c2
r = —a—+b—-c— 2
等边三角形外接圆、
内切圆半径的求法 A
c
O a
I
A
b
C
基本思路：
RO
r
B 2021/01/21D
C
构造三角形BOD，BO为外
2021/01/21
18
如图，⊙O和⊙O′都经过A、B两点，AC是 ⊙O ′的切线，交⊙O于C，AD是⊙O的切线， 交⊙O ′于D，求证：AB2＝BC·BD。
A
B
C
D
2021/01/21
A O
B C
19
O' D
如图：AE、BF分别切⊙O于A、 B，且AE∥BF，EF切⊙O于C。 y 试证：⑴ AB是⊙O的直径；⑵ OE⊥OF；⑶ OC是AE、BF的 A 比例中项
演变1：在△ABC中，过点A和BC切于D的⊙O和
D P
N C
O
M
L
B
圆的外切四边形的两组对边的和相等 AB＋CD＝AD＋BC
2021/01/21
8
弦切角
2021/01/21
9
弦切角的定义
弦切角：顶点在圆上，
一边和圆相交、另一 D 边和圆相切的角叫做
弦切角。
A
要点：
➢ 顶点在圆上
➢ 一边和圆相交
➢ 一边和圆相切
E O
C
B
2021/01/21
10
三角形的外接圆： 三角形的内切圆：
A
A
O
B
C
B
I C
2021/01/21
1
特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法：
直角三角形外接圆、
B
内切圆半径的求法
R= —c2
r = —a—+b—-c— 2
等边三角形外接圆、
内切圆半径的求法 A
c
O a
I
A
b
C
基本思路：
RO
r
B 2021/01/21D
C
构造三角形BOD，BO为外
2021/01/21
18
如图，⊙O和⊙O′都经过A、B两点，AC是 ⊙O ′的切线，交⊙O于C，AD是⊙O的切线， 交⊙O ′于D，求证：AB2＝BC·BD。
A
B
C
D
2021/01/21
A O
B C
19
O' D
如图：AE、BF分别切⊙O于A、 B，且AE∥BF，EF切⊙O于C。 y 试证：⑴ AB是⊙O的直径；⑵ OE⊥OF；⑶ OC是AE、BF的 A 比例中项
演变1：在△ABC中，过点A和BC切于D的⊙O和
弦切角定理及其逆定理PPT教学课件
回味无穷
2020/10/16
7
课后作业
《优等生数学》九年级 P66-67 T1、 T2 、T3、T4 写在作业本上. 预习《优等生数学》九年级的第29、30节
2020/10/16
8
THANKS
FOR WATCHING
演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
谢谢大家！本文档为精心编制而成，您可以在下载后自由修改和打印，希望下载对您有帮助！
2020/10/16
3
巩固练习
练2. 如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的
直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作 CD⊥PA于D. （1）求证：CD为⊙O的切线； （2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长.
2020/10/16
4
提高练习
练3.已知直线l切△ABC外接圆于点C， AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，EG⊥l于点G ，DF⊥l于点F. 求证：EG=DF.
2020/10/16
5
挑战自己 练3. （牛顿定理3）圆的外切四边形的对角线的 交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合 .
牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点 和两条对角线的中点，三点共线. 这条直线叫做这个四边形的牛顿线. 牛202顿0/10定/16理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆6 心，三点共线.
XUSUHUA
第二十七章 圆
27.16 弦切角定理及其逆定理
2020/10/16
经典例题
例. 如图，从圆上一点A作直径BC的垂线AD，
过A作圆的切线MN. 证明：AB、AC分别平分
MN与AD的夹角.
2020/10/16
《1.2.3弦切角定理》课件2-优质公开课-人教B版选修4-1精品
∴AC平分∠DAB.
【反思感悟】 本题方法一是课本证法，是利用切线性质以及
平行线性质，而方法二巧妙地使用弦切角以及直径所对圆周
角为直角达到证题目的，各有千秋．
【探究学习】 对弦切角与所夹弧的关系的探究 【例 4】 如图所示，DE 切⊙O 于 A，AB、AC 是⊙O 的弦，若 ＝ ，那么∠DAB 和∠EAC 是否相等？为什么？
例1：判断下列各图形中的角是不是弦切角，并说明理由：
分析：此题利用弦切角的定义来判断．
解：以上各图中的角都不是弦切角．
图(1)中，缺少“顶点在圆上”的条件；
图(2)中，缺少“一边和圆相交”的条件； 图(3)中，缺少“一边和圆相切”的条件； 图 (4) 中，缺少“顶点在圆上”和“一边和圆相切”两个条 件． 【反思感悟】 弦切角的三要素：(1)顶点在圆周上； (2)一边与圆相交；(3)一边与圆相切．
由弦切角定理可直接得到角相等，在与弦切角有关的几何问
题中，往往还需借助其他几何知识来综合解答，由弦切角得 到的角相等只是推理论证中的一个条件．
(2)证明直线平行
弦切角定理构建了角与角的相等关系，
而直线的平行是以角的关系为基本条件 的，因而在圆中我们可以利用弦切角定 理来推理论证直线的平行．如图所示， 若 CD 切 圆 O 于 点 M ， 弦 AM 与 弦 BM 相 等，则由∠ CMA ＝∠ B ，∠ A ＝∠ B 得到 ∠CMA＝∠A，从而CD∥AB.
1.2.3 弦切角定理
关键词：弦切角定理、弦切角定理的推论
知识点一
弦切角的概念
定义：顶点在圆周上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角 叫做弦切角．
如图所示，∠ACD和∠BCD都是弦切角．
【推敲引申】 弦切角必须具备三个条件： 1． (1)顶点在圆上(顶点为圆切线的切点)；
弦切角定理[下学期]--浙教版公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
![弦切角定理[下学期]--浙教版公开课获奖课件百校联赛一等奖课件](https://img.taocdn.com/s3/m/8132ee3a793e0912a21614791711cc7931b77828.png)
D
旳绳子长度比拉力为水平方向时
绕滑轮旳绳子多多少？
C
E
图
一
初中数学第六册
C
. O
A
B
C C
.O
AB
.O
A
B
顶点在圆上，而且一边和圆相交、另一边
和圆相切旳角叫做弦切角。
已知：如图，AB切⊙O于点A,AC与⊙O 相交， 即： ∠CAB是弦切角。
观察辨析
B
A
DC （切点）
B
C
B
m
A
（切点）
C
A
（切点）
B
A
BA
D
A （切点）
C
m
B
C
概念应用
B AO
C
E
图一
1、 这是一种定滑轮装置示意 图，指出图中有哪几种弦切角。
圆心在弦切角旳一 边上 C
Om
圆心在弦切角 旳内部D
C
m O
AB 甲
AB 乙
圆心在弦切角旳外部 D C m O
AB 丙
证明： ∵ AC是直径，
AB是切线
证明：作直径AD，则
证明：作直径AD， 则
∴ ∠BAC=900 ∠BAC= ∠ BAD
∠BAC= ∠ BAD －
又∵ AmC是半圆， + ∠DAC
∴AmC =1800
=m1/2 AmD +
1/2CD
∠＝mD1A/2CA⌒mD－1/2⌒CD
∴ ∠BACm=1/2 AmC
例1 如图3，AC与△ABD旳外接圆⊙O D
相切于A.
A⌒B(=1)若弦度切,∠角A∠OBBA=C=3度0º,，∠则ABD= 度; (2)若已知⊙O旳半径为3cm，A⌒B长为
《弦切角定理》(课堂)-2022年学习资料
课堂练习：-1、已知AB是⊙0的切线A为切点，由图填空：-30-80°-25°-∠1=30°-;∠2=70 -;∠3=65-∠4=40°-弦切角等于它所夹的弧对的圆心角的一半
2、选择：-AB为⊙0直径，PC为⊙0的切线，C为切点，-若∠BPC=30°，则∠BCP=A。-A、30° 、60°C、15°D、22.5°-8
小结-1、概念的引入-顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相-切的角叫做弦切角。-2、定理的发现-孩切角定 ：孩切角等于它所夹的孤对的圆周角。-推论：两个弦切角所夹的孤相等，-那么这两个孩切角相等。-a是品品品点好
小结-你掌握了吗？-3、定理的证明-4、应用与推论-一般情况下，孩切角、圆周角、圆心角都是-通过它们夫的（ 对的）同一条孤（或等孤联-系起来，因此，当己知有切线时常添线构建孩切-角或添切点处的半径应用切线的性质。是品品品品品a点gg1
例题解析-例1：如图：已知AB是O0的直-径，AC是弦，」-直线CE和O0物于-点C,ADCE于D。-求证 1AC平分∠BAD-2AC2=2AD·A0-你还能用其他方法料答-有弦切角，常连结弦切角-吗？试试看！-所 弧所对的圆周角。-11
例题料析（思路2）-例1：-如图，己知AB是⊙O的直径，AC是弦，直-线CE和⊙O切于点C,AD⊥CE,垂 是D,求证：-AC平分∠BAD.-连结OC,由切线性质，-可得OCIIAD,于是-有∠2=∠3，又由于-∠ =∠3，可证得-∠1=∠2-BACK-NEX灯
作业-P-·1、课课练/P.84-·2、预习“弦切角”-15
孩方-。-16《弦切角定理》(课堂PPT)
弦初角1-B-A《弦切角定理》(课堂PPT)
我们曾经学习过的有关于圆的角∠PAB-点A运动到圆上-OA-A与圆心O重合-使79与圆相切-绕A-∠PAB 圆心角-旋转-∠PAB为圆周角-此时∠PAB是什么角？-答：∠PAB是圆O的-弦切角-2
高中数学 1.2.3弦切角定理课件 北师大版选修41
3.正确使用弦切角定理 剖析:要正确使用弦切角定理,第一步要找到弦切角,弦切角的特点是:(1)顶点在 圆上;(2)一边与圆相交;(3)一边与圆相切,这三个条件缺一不可,第二步要准确找到 弦切角所夹的弧,再看这段弧上的圆周角,然后用弦切角定理解题,如果没有圆周角, 有这段弧所对的圆心角也可以.
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
Байду номын сангаас
A.∠ADB
B.∠AOB
C.∠ABC D.∠BAO
解析:∠ADB 是圆周角,∠AOB 是圆心角,∠ABC 是弦切角,∠BAO 不是
弦切角.
答案:C
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
圆相切”两个条件.
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
2.圆心角、圆周角、弦切角的比较 剖析:如下表所示.
圆心角
圆周角
顶点在圆心的 定义
角
顶点在圆上,两边和 圆相交
知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
12
1.弦切角 顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角称为弦切角.
名师点拨弦切角可分为三类:(1)圆心在角的外部,如图①所示;(2)圆心在 角的一边上,如图②所示;(3)圆心在角的内部,如图③所示.
2020届一轮复习人教A版 弦切角定理 课件(22张)
即 BC2=BE·CD.
1234 5
5.如图,AB是半圆O的直径,C是圆周上一点(异于点A,B),过点C作圆 O的切线l,过点A作直线l的垂线AD,垂足为点D.AD交半圆于点E.求 证:CB=CE.
分析转化为证明∠CBE=∠CEB.
题型一 题型二 题型三
证明连接BD,如图.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=∠CAD.
又∠BCD=∠BAD,∠CBD=∠CAD,
∴∠BCD=∠CBD.∴BD=CD.
又BE为☉O的切线,
∴∠EBD=∠BAD,∠EBD=∠BCD.
故在△BED和△CEB中,
∠EBD=∠ECB,∠BED=∠CEB,
∴△BED∽△CEB.
题型一 题型二 题型三
题型二 线段成比例问题
【例2】 如图,已知△ABC内接于☉O,∠BAC的平分线交☉O于点 D,CD的延长线交过点B的切线于点E.
求证:������������������������22 = ������������������������.
分析直接证明此等式有一定的难度,可以考虑把它分解成两个比 例式的形式,然后借助相似三角形的性质得出结论.
又∠ACB=80°,
∴∠D=∠ACB-∠DAC=80°-35°=45°.
答案:A
对弦切角的理解 剖析弦切角的特点:(1)顶点在圆上;(2)一边与圆相交;(3)另一边与 圆相切.
弦切角定义中的三个条件缺一不可.如图①②③④中的角都不是 弦切角.图①中,缺少“顶点在圆上”的条件;图②中,缺少“一边和圆相 交”的条件;图③中,缺少“一边和圆相切”的条件;图④中,缺少“顶点
在圆上”和“另一边和圆相切”两个条件.
题型一 题型二 题型三
题型一
1234 5
5.如图,AB是半圆O的直径,C是圆周上一点(异于点A,B),过点C作圆 O的切线l,过点A作直线l的垂线AD,垂足为点D.AD交半圆于点E.求 证:CB=CE.
分析转化为证明∠CBE=∠CEB.
题型一 题型二 题型三
证明连接BD,如图.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=∠CAD.
又∠BCD=∠BAD,∠CBD=∠CAD,
∴∠BCD=∠CBD.∴BD=CD.
又BE为☉O的切线,
∴∠EBD=∠BAD,∠EBD=∠BCD.
故在△BED和△CEB中,
∠EBD=∠ECB,∠BED=∠CEB,
∴△BED∽△CEB.
题型一 题型二 题型三
题型二 线段成比例问题
【例2】 如图,已知△ABC内接于☉O,∠BAC的平分线交☉O于点 D,CD的延长线交过点B的切线于点E.
求证:������������������������22 = ������������������������.
分析直接证明此等式有一定的难度,可以考虑把它分解成两个比 例式的形式,然后借助相似三角形的性质得出结论.
又∠ACB=80°,
∴∠D=∠ACB-∠DAC=80°-35°=45°.
答案:A
对弦切角的理解 剖析弦切角的特点:(1)顶点在圆上;(2)一边与圆相交;(3)另一边与 圆相切.
弦切角定义中的三个条件缺一不可.如图①②③④中的角都不是 弦切角.图①中,缺少“顶点在圆上”的条件;图②中,缺少“一边和圆相 交”的条件;图③中,缺少“一边和圆相切”的条件;图④中,缺少“顶点
在圆上”和“另一边和圆相切”两个条件.
题型一 题型二 题型三
题型一
广东省广州市白云区汇侨中学九年级数学《弦切角定理》课件
小结：
你掌握了吗？
3、定理的证明
4、应用与推论
一般情况下，弦切角、圆周角、圆心角都是 通过它们夹的（或对的）同一条弧（或等弧）联 系起来，因此，当已知有切线时常添线构建弦切 角或添切点处的半径应用切线的性质。
作业
• 1、课课练 /P.84 • 2、预习“弦切角”（2）
∵ AB是⊙O的切线，
∴
∠BAC＝90°
︵∵∠BAC＝180°－∠DAC
又∵ AmC 是半圆，
∴ ∠P＝90° ∠P＝180°－∠Q
∴ ∠BAC＝∠P
∠DAC＝∠Q
∴ ∠BAC＝∠P
课堂练习：
1、已知AB是⊙O的切线A为切点,由图填空：
30º
O 70º
2
1
A
B
O
O 80º
4
A
B
∠1= 30º ；∠2= 70º ；∠3= 65º ； ∠4= 40º 。 弦切角等于它所夹的弧对的圆心角的一半.
径，AC是弦，直线CE和⊙O切于
点C，AD⊥CE于D。
B
O
求证：(1)AC平分∠BAD
(2)AC2=2AD·AO
A
你还能用其他方法解答 吗？试试看！
E
C
D
有弦切角，常连结弦切角 所夹弧所对的圆周角。
例题解析(思路2)
例1: 如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直 线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足是D，求证： AC平分∠BAD.
QC
P
O
P
m
A
B
弦切角等于所夹弧对的圆周角。
( 1 ) 圆心O在∠BAC的外部 作⊙O的直径AQ，连结CQ
∵∠BAQ＝∠ACQ＝90°
《弦切角定理》课件
m
的角叫做弦切角
A
P
AmB 是弦切角∠PAB所夹的弧。
顶点在圆上，一边与圆相交，另一边
与圆相切的角叫做弦切角。
下面五个图中的∠BAC是不是弦切角？
C
B
A×
B
× C A
B C
×B
A C
C
×
√
A
A
B
从数学的角度看，弦切角能分成几大类？
C C
C
.O P
P D AB
.O AB
.O
P DA B
BAC为直角， 圆心在 AC上。
C
B O
E
A
D
例题解析
例1：如图：已知AB是⊙O的直
径，AC是弦，直线CE和⊙O切于
点C，AD⊥CE于D。
B
O
求证：(1)AC平分∠BAD
(2)AC2=2AD·AO
A
你还能用其他方法解答 吗？试试看！
E
C
D
有弦切角，常连结弦切角 所夹弧所对的圆周角。
例题解析(思路2)
例1: 如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直 线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足是D，求证： AC平分∠BAD.
Ｃ
１０．９
·
Ｏ
Ｂ Ｄ
故 (10.9-r ) (10.9+r)=6×14
取正数解,得r=5.9(cm)
答: ⊙O的半径为5.9cm
另解
• 利用垂径定理
Ｂ ８ ６Ａ
Ｐ
１０．９
·
Ｏ
法三:
• 利用切割线定理
Ｂ ８ ６Ａ
Ｐ
１０．９
·
Ｏ
T
练习三：如图，圆o1和圆o2都经过点A和 B，点P在BA
弦切角的性质 课件
︵
连接 EF 并延长交⊙O 于点 A，求证：点 A 是BC 的中点．
[思路点拨] (1)由切线的性质定理，知△PCF 是等腰直角 三角形，因此求出 CF 的长，进而求出半径；
(2)中，利用弦切角定理，可以求出两个三角形中，有一组
︵︵
角相等，然后利用相似三角形的判定及性质，可证出AC 与AB
︵
所对的圆周角相等，从而证出点 A 是BC 的中点．
如图所示，因为∠BDE 与∠BED 所夹的弧是同一个弧，所
以∠BDE＝∠BED；
︵
︵
如 果 EM ＝ DM
__∠__C_E_M__＝__∠__A_D__M___.
，也可以得出
利用弦切角解决与角有关的问题
如 图 甲 ， 在 △ABC 中 ， ∠B ＝ 90° ， O 是 AB 上 一 点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点 D，直线ED交BC的延长线于F.若AD∶AE＝2∶1，求tan∠F.
[思路点拨]
[解题过程] 如图乙所示，连接 BD．
∵AC 为⊙O 的切线，∴∠1＝∠2. ∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABD， ∴AADE＝BDDE，即BDDE＝21，∴DBDE＝12. ∵BE 为⊙O 的直径，∴∠BDE＝90°，∴tan∠2＝DBDE＝12. ∵∠F＋∠BEF＝90°，∠2＋∠BEF＝90°， ∴∠2＝∠F，∴tan∠F＝tan∠2＝12.
3．弦切角定理 (1)文字语言叙述 弦切角等于它_所__夹__的__弧___所对的圆周角． (2)图形语言叙述
如图，AB与⊙O切于A点，则∠BAC＝__∠__D___．
4．与弦切角定理有关的结论 (1)弦切角的度数等于它__所__夹__的__弧__的__度__数__的__一__半__． (2)弦切角的度数等于它__所__夹__的__弧__所__对__的__圆__心__角__度__数__的___ _一__半_____． (3) 如 果 两 个 弦 切 角 所 夹 的 __弧__相__等____ ， 那 么 这 两 个 __弦__切__角__也__相__等____．
连接 EF 并延长交⊙O 于点 A，求证：点 A 是BC 的中点．
[思路点拨] (1)由切线的性质定理，知△PCF 是等腰直角 三角形，因此求出 CF 的长，进而求出半径；
(2)中，利用弦切角定理，可以求出两个三角形中，有一组
︵︵
角相等，然后利用相似三角形的判定及性质，可证出AC 与AB
︵
所对的圆周角相等，从而证出点 A 是BC 的中点．
如图所示，因为∠BDE 与∠BED 所夹的弧是同一个弧，所
以∠BDE＝∠BED；
︵
︵
如 果 EM ＝ DM
__∠__C_E_M__＝__∠__A_D__M___.
，也可以得出
利用弦切角解决与角有关的问题
如 图 甲 ， 在 △ABC 中 ， ∠B ＝ 90° ， O 是 AB 上 一 点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点 D，直线ED交BC的延长线于F.若AD∶AE＝2∶1，求tan∠F.
[思路点拨]
[解题过程] 如图乙所示，连接 BD．
∵AC 为⊙O 的切线，∴∠1＝∠2. ∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABD， ∴AADE＝BDDE，即BDDE＝21，∴DBDE＝12. ∵BE 为⊙O 的直径，∴∠BDE＝90°，∴tan∠2＝DBDE＝12. ∵∠F＋∠BEF＝90°，∠2＋∠BEF＝90°， ∴∠2＝∠F，∴tan∠F＝tan∠2＝12.
3．弦切角定理 (1)文字语言叙述 弦切角等于它_所__夹__的__弧___所对的圆周角． (2)图形语言叙述
如图，AB与⊙O切于A点，则∠BAC＝__∠__D___．
4．与弦切角定理有关的结论 (1)弦切角的度数等于它__所__夹__的__弧__的__度__数__的__一__半__． (2)弦切角的度数等于它__所__夹__的__弧__所__对__的__圆__心__角__度__数__的___ _一__半_____． (3) 如 果 两 个 弦 切 角 所 夹 的 __弧__相__等____ ， 那 么 这 两 个 __弦__切__角__也__相__等____．
弦切角定理
弦切角定理弦切角定理是指在圆上，顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角。
如图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB，∠TCA，∠PCA，∠PCB都是弦切角。
弦切角定理指出，弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半。
已知AC是⊙O的弦，AB 是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧。
可以证明弦切角定理分三种情况。
切线长定理是指从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
例如，P 是⊙O外一点，PA、PB是⊙O的两条切线，线段PA、PB就是点P到⊙O的切线长。
切线长定理还有一个推论，即圆的外切四边形的两组对边的和相等。
相交弦定理是指圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
例如，若弦AB、CD交于点P，则PA·PB=PC·PD。
相交弦定理还有一个推论，即如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
割线定理是指从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。
例如，直线ABP和CDP是自点P引的⊙O的两条割线，则PA·PB=PC·PD。
切割线定理是指从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
切割线定理是圆幂定理的一种。
由圆的切线定理可知，对于圆上的一点T，连接该点与圆心O的线段OT与切线PT垂直。
同时，设PBA为圆O的一条割线，则根据切割线定理，有PT²=PA·PB。
进一步推论，对于圆外一点P，连接该点到圆上两个交点的线段，两线段的长度之积等于该点到圆的两条割线与圆的交点的两条线段长度之积。
因此，设PBA和PDC为圆O的两条割线，则有PD·PC=PA·PB，即PT²=PA·PB=PC·PD。
接下来，我们来证明切割线定理。
弦切角 课件
PL
B
圆的外切四边形的两组对边的和相等
AB＋CD＝AD＋BC
观察、探究、总结 圆周角
A
O B C
变、变、变 圆心角
顶点位置 两条边的 位置
A O C D
A O C D
B
B
A
所出现角都是由圆的切线和弦 组成的，并且角的顶点为切点。
O
C
B
D
总结新概念 弦切角的定义 • 弦切角：顶点在圆上（即切 点），一边和圆相交、另一 边和圆相切的角叫做弦切角 。 • 要点： – 顶点在圆上 – 一边和圆相交 – 一边和圆相切
C O E
B
F
最终总结
弦切角定理： 弦切角等于它 所夹的弧所对 的圆周角。
练一练（二） 如图所示：经过⊙O上的点D的切线和弦AB的延长线相交于C. 求证：∠ADC=∠DBC．
E D
O A B C
深入探究 如图，DE切⊙O于A，AB，AC是⊙O的弦，若弧AB＝弧
AC，那么∠DAB和∠EAC是否相等？为什么？
E
O D A
C
B
判断下列各图形中的∠A是不是弦切角，并说明理由！
B O C
C
A
O A
B O
B
C O A B
C
顶点在圆上、 一边和圆相 交、一边和 圆相切
A
练一练（一） 直线EF和⊙O相切于点B，BC和BA为弦，指出图中 D 所有的弦切角.
∠ABD
∠CBD ∠CBE ∠ABE
⌒ AB
A B O C E
弦切角与弦切角定理
（补充内容）
观察、探究 已知：PA、PB为⊙O的两条切 线，连接OA、OB，则图中 的等量关系有哪些？ 从圆外一点引圆 的两条切线，则 切线长相等！
B
圆的外切四边形的两组对边的和相等
AB＋CD＝AD＋BC
观察、探究、总结 圆周角
A
O B C
变、变、变 圆心角
顶点位置 两条边的 位置
A O C D
A O C D
B
B
A
所出现角都是由圆的切线和弦 组成的，并且角的顶点为切点。
O
C
B
D
总结新概念 弦切角的定义 • 弦切角：顶点在圆上（即切 点），一边和圆相交、另一 边和圆相切的角叫做弦切角 。 • 要点： – 顶点在圆上 – 一边和圆相交 – 一边和圆相切
C O E
B
F
最终总结
弦切角定理： 弦切角等于它 所夹的弧所对 的圆周角。
练一练（二） 如图所示：经过⊙O上的点D的切线和弦AB的延长线相交于C. 求证：∠ADC=∠DBC．
E D
O A B C
深入探究 如图，DE切⊙O于A，AB，AC是⊙O的弦，若弧AB＝弧
AC，那么∠DAB和∠EAC是否相等？为什么？
E
O D A
C
B
判断下列各图形中的∠A是不是弦切角，并说明理由！
B O C
C
A
O A
B O
B
C O A B
C
顶点在圆上、 一边和圆相 交、一边和 圆相切
A
练一练（一） 直线EF和⊙O相切于点B，BC和BA为弦，指出图中 D 所有的弦切角.
∠ABD
∠CBD ∠CBE ∠ABE
⌒ AB
A B O C E
弦切角与弦切角定理
（补充内容）
观察、探究 已知：PA、PB为⊙O的两条切 线，连接OA、OB，则图中 的等量关系有哪些？ 从圆外一点引圆 的两条切线，则 切线长相等！