第四章稳定性分析-4

G ( jω ) 的轨迹对 轨迹对(-1,j0)
点的靠近程度， 点的靠近程度，可以用来 度量稳定裕量。 度量稳定裕量。在实际系 统中常用相位裕量和增益 裕量表示。 裕量表示。
K (τ 1 jω + 1)(τ 2 jω + 1) L (τ m jω + 1) G ( jω ) = ( jω )ν (T1 jω + 1)(T2 jω + 1) L (Tn −ν jω + 1)
2 ωn G ( s) = s ( s + 2ξω n )
2 ωn G ( jω ) = jω ( jω + 2ξω n )
设截止频率
ωc
则有
G ( jω c ) =
2 ωn
ω c ω c2 + 4ξ 2ω n
2
=1
ωc
ω c2
+ 4ξ ω n = ω n
Kg = 1 G ( jω g ) H ( jω g )
dB
Gain Margin
ωc
0
ωx
Logω
对于闭环稳定系统， 对于闭环稳定系统，如 果系统开环幅频特性再 增大Kg倍 增大 倍，则系统将变 为临界稳定状态。 为临界稳定状态。
− 90° −180°
− 270°
Logω
若以分贝表示， 若以分贝表示，则有
G平面
Im
4.4 稳定性裕量
−1
0 Re
对于大的K值 系统是不稳定的。 对于大的 值，系统是不稳定的。 当增益减小到一定值时，G ( jω ) 当增益减小到一定值时， K大时 的轨迹通过(-1,j0)点。 的轨迹通过 点 对于小的K值 系统是稳定的。 对于小的 值，系统是稳定的。
×
K小时
G ( jω ) 的极坐标图
= 20 log 10 + 20 log 1 + (0.2 × 10) 2 + 20 log 1 + (0.05 × 10) 2
= 20 + 7 + 1 = 28dB
相位裕度
增益交界频率 ωc 截止频率
根据K=1时的开环传递函数
G ( jω c ) H ( jω c ) = 1
G ( jω c ) = 1 jω c (1 + j 0.2ω c )(1 + j 0.05ω c )
− 90°
dB 0
ωc
Logω
−180° − 270°
Positive Phase Margin
Logω
dB
dB
ωc
0
Logω
Logω
0
ωc
− 90° −180° − 270°
− 90°
Logω
−180° − 270°
Logω
Positive Phase Margin Stable System
Negative Phase Margin Unstable System
2由于是最小相位系统，因而可通过计算相位裕度γ 是否大于零来判断系统的稳定性。由图可知 ω c = 1 在
ϕ (ω c ) = −90° + arctg
ωc
处
1 1 1 − arctg − arctg = −106.4° 0. 1 0.01 5
1 1 = = 0.1 K v 10
则得 γ = 180° + ϕ (ω c ) = 73.6° >>0 系统稳定 3单位斜坡输入时，系统的稳态误差为
)
ω
0.01
)(1对数幅频特性
L(ω )
dB
80
-20dB/dec
60
G ( jω ) =
K (1 + j jω (1 + j
ω
0.1
)
)(1 + j ) 0.01 5
ω
ω
40
-40dB/dec
20
-20dB/dec 5 0.01 0.1 1 -40dB/dec
0
ω
rad/s
-20
对于稳定的最小相位系统，增益裕度指出了系统在不稳定之前， 增益能够增大多少。对于不稳定系统，增益裕度指出了为使系 统稳定，增益应当减少多少。 一阶或二阶系统的增益裕度为多少？
一阶或二阶系统的增益裕度为无穷大，因为这类系统的 极坐标图与负实轴不相交。因此，理论上一阶或二阶系统 不可能是不稳定的。当然，一阶或二阶系统在一定意义上 说只能是近似的，因为在推导系统方程时，忽略了一些小 的时间滞后，因此它们不是真正的一阶或二阶系统。如果 计及这些小的滞后，则所谓的一阶或二阶系统可能是不稳 定的。
K g = −20 log G( jω g ) H ( jω g )
当增益裕度以分贝表示时，如果 当增益裕度以分贝表示时，如果Kg>1, 则Kg(dB)>0,增益裕度为正值 增益裕度为正值 如果Kg<1,Kg(dB)<0,增益裕度为负值。 增益裕度为负值。 如果 增益裕度为负值
正增益裕度(以分贝表示 表示系统是稳定的 负增益裕度(以 正增益裕度 以分贝表示)表示系统是稳定的；负增益裕度 以 以分贝表示 表示系统是稳定的； 分贝表示)表示系统是不稳定的 表示系统是不稳定的。 分贝表示 表示系统是不稳定的。
dB
Positive Gain Margin
dB
Negative Gain Margin
ωc
0
ωx
Logω
ωx
0
Logω
ωc
− 90° −180° − 270°
− 90°
Logω
−180° − 270°
Logω
Positive Phase Margin Stable System
Negative Phase Margin Unstable System
就能同时满足相位裕度和增益裕度的要求。
例5-11 设一单位反馈系统对数幅频特性如图5-50所示(最小 相位系统)。1写出系统的开环传递函数2判别系统的稳定 性3如果系统是稳定的，则求 r (t ) = t 时的稳态误差。 解：1由图得
G ( jω ) = K (1 + j jω (1 + j
ω
0.1
Kg = 10
K
G ( jω x ) = 0.1
= 0.1
2 2 ω x (1 + 0.04ω x )(1 + 0.0025ω x )
K = 0.1 × 10 1 + 4 1 + 0.25 = 2.5
验证是否满足相位裕度的要求。 根据 γ ≥ 40° 的要求，则得：
ϕ (ω c ) = −90° − arctg 0.2ω c − arctg 0.05ω c = −180° + 40° = −140°
e ss =
5.7.3 标准二阶系统中阶跃瞬 态响应与频率响应之间的关系 书上例5-13p203
R(s)
_
ωn2 S(S+2ξωn)
C(s)
图3-8 标准形式的二阶系统方块图
在图3-8所示的标准二阶系统中，单位阶跃响应中 的最大超调量可以精确地与频率响应中的谐振峰值 联系在一起。因此，从本质上看，在频率响应中包 含的系统动态特性信息与在瞬态响应中包含的系统 的动态特性信息是相同的。
n>m
一、相位裕度、相角裕度(Phase Margin)
γ
设系统的增益交界频率(Gain cross-over frequency)为 ω c 设系统的增益交界频率 为 A( jω c ) = G ( jωc ) H ( jωc ) = 1
γ = G( jωc )H ( jωc ) − (−180°) = 180° + G( jωc )H ( jωc )
=
1
ωc
2 2 (1 + 0.04ω c )(1 + 0.0025ω c )
=1
ωc = 1
ϕ (ω c ) = −90° − arctg 0.2ω c − arctg 0.05ω c = −104°
γ = 180° + ϕ (ω c ) = 180° − 104° = 76°
K = 1 K = 2.5
arctg 0.2ω c + arctg 0.05ω c = 50°
ωc = 4
K = 4 × 1.28 × 1.02 = 5.2
0.2ω c + 0.05ω c = 1.2 1 − 0.2ω c × 0.05ω c
K
2 2 ω c (1 + 0.04ω c )(1 + 0.0025ω c )
=1
不难看出，K = 2.5
ϕ
Re
Positive Phase Margin
Negative Gain Margin
Stable System
Unstable System
判断系统稳定 的又一方法
γ >0
K g ( dB ) > 0
γ = 180° +
G ( j ω c ) H ( jω c )
K g = −20 log G ( jω g ) H ( jω g )
-40 -3 10
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
20 lg K + 20 lg 1 + (
K × 10 =1 100 × 1
1 2 1 2 1 ) − 20 lg 1 + ( ) − 20 lg 1 + ( ) 2 = 20 lg1 0.1 0.01 5 10(1 + 10s ) G (s) = s(1 + 100s)(1 + 0.2s ) K = 10