2018高考理科数学备战课件第五十节

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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
题型四
待定系数法[构造新数列]
(1)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求通项公式 an.
【解析】 设递推公式 an＋1＝2an＋3 可以转化为 an＋1－t＝2(an －t)即 an＋1＝2an－t⇒t＝－3.故递推公式为 an＋1＋3＝2(an＋3)，令 bn bn＋1 an＋1＋3 ＝an＋3，则 b1＝a1＋3＝4，且 b ＝ ＝2.所以{bn}是以 b1＝4 an＋3 n 为首项，2 为公比的等比数列，则 bn＝4×2n－1＝2n＋1，所以 an＝2n＋1 －3.
1 方法二：∵an＋1＝an＋ln(1＋ )， n n＋1 ∴an＋1－an＝ln n .又 a1＝2， n ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝ln ＋ n－1 n－1 2 ln ＋…＋ln1＋2＝lnn＋2. n－2 即 an＝lnn＋2. 【答案】 an＝lnn＋2
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(2)在数列{an}中，a1＝－1，an＋1＝2an＋4· 3n 1，求通项公式
－
an.
【解析】 方法一：原递推式可化为 an＋1＋λ·3n＝2(an＋λ·3n－1)．① 比较系数得 λ＝－4，①式即是： an＋1－4· 3n＝2(an－4· 3n－1)． 则数列{an－4· 3n－1}是一个等比数列，其首项 a1－4· 31－1＝－5， 公比是 2. ∴an－4· 3n－1＝－5· 2n－1. 即 an＝4· 3n－1－5· 2n－1.
(3)an＝4· 3n－1－5· 2n－1
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★状元笔记 形如 an＋1＝αan＋β 的递推式可用构造法求通项，构造法的基 本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量，构造 数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差或 等比数列．
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题型二
累乘法[a n ＋1＝a n ·f(n )型]
设数列{an}是首项为 1 的正项数列，且(n＋1)an＋12－nan2 ＋an＋1an＝0(n＝1，2，3，…)，则它的通项公式是 an＝________．
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【解析】 原式可化为[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0. an＋1 n ∵an＋1＋an>0，∴ a ＝ . n ＋ 1 n a2 1 a3 2 a4 3 an n－1 an 则a ＝2，a ＝3，a ＝4，…， ＝ n ，逐项相乘，得a ＝ an－1 1 2 3 1 1 1 ，又 a1＝1，故 an＝ . n n 1 【答案】 n
思考题 2 项公式 an.
2 n 已知数列{an}满足 a1＝3，an＋1＝ a ，求通 n＋2 n
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an＋1 n 【解析】 由已知得 a ＝ ，分别令 n＝1，2，3，…， n＋2 n a2 a3 a4 an (n－1)，代入上式得 n－1 个等式累乘，即 · · ·…· ＝ a1 a2 a3 an－1 n－2 n－1 1 2 3 4 an 2 × × × ×…× × ，所以 ＝ .即 n≥2 时， 3 4 5 6 n a n＋1 n（n＋1） 1 4 an＝ . 3n（n＋1） 2 4 又因为 a1＝ 也满足该式，所以 an＝ . 3 3n（n＋1） 4 【答案】 an＝ 3n（n＋1）
【解析】 方法一：在递推公式 an＋1＝2an＋3×5n 的两边同 时除以 5
n ＋1
an＋1 2 an 3 ，得 n＋1＝5×5n＋5，① 5
an 2 3 2 令 n＝bn，则①式变为 bn＋1＝ bn＋ ，即 bn＋1－1＝ (bn－1)， 5 5 5 5 a1 3 所以数列{bn－1}是等比数列， 其首项为 b1－1＝ 5 －1＝－5， 2 公比为 ， 5
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★状元笔记 利用恒等式 an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)求通项公式的方 法称为累加法． 累加法是求形如 an＋1＝an＋f(n)的递推数列通项公 式的基本方法，其中 f(n)可求前 n 项和．
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思考题 1 (1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则 通项公式 an＝________．
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★状元笔记 a2 a3 an 利用恒等式 an＝a1·a ·a … (an≠0)求通项公式的方法称 an－1 1 2 为累乘法．累乘法是求形如 an＋1＝g(n)an 的递推数列通项公式的 基本方法，其中 g(n)可求前 n 项积．
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思考题 4
＋1
(1)(2017· 山东济宁)已知数列{an}中，a1＝2，an
＝( 2－1)(an＋2)，则数列{an}的通项公式为________．
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【解析】 因为 an＋1＝( 2－1)(an＋2)， 所以 an＋1－ 2＝( 2－ bn＋1 1)(an－ 2)．设 bn＝an－ 2，则 bn＋1＝( 2－1)bn，即 ＝ 2－1， bn b1＝a1－ 2＝2－ 2，因此数列{bn}是以 2－1 为公比，以 2－ 2 为首项的等比数列． 所以 bn＝(2－ 2)×( 2－1)n－1＝ 2×( 2－1)n，所以 an＝ 2 ( 2－1)n＋ 2. 【答案】 an＝ 2( 2－1)n＋ 2
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题型三
换元法[构造新数列]
4 13 已知数列{an}，其中 a1＝3，a2＝ 9 ，且当 n≥3 时，an 1 －an－1＝ (an－1－an－2)，求通项公式 an. 3
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【解析】 设 bn－1＝an－an－1，原递推式可化为 1 bn－1＝3bn－2，{bn}是一个等比数列． 13 4 1 1 b1＝a2－a1＝ － ＝ ，公比为 ，故 9 3 9 3 1 n －2 1 1 n － 2 1 n bn－1＝b1·(3) ＝9(3) ＝(3) . 1n 3 11n 故 an－an－1＝(3) .由逐差法，可得 an＝2－2(3) . 3 11n 【答案】 an＝ － ( ) 2 23
【解析】 由题意知 an>0，将 an＋1＝an2 两边取对数，得 lgan lgan＋1 ＋1＝2lgan，即 lgan ＝2，所以数列{lgan}是以 lga1＝lg3 为首项， 公比为 2 的等比数列． lgan＝lga1·2n－1＝2n－1·lg3，即 an＝32n－1. 【答案】 32n
－1
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3 2 n－1 3 2 n －1 所以 bn－1＝(－5)×(5) ，即 bn＝1－5×(5) ，
n－1 3 × 2 an 3 2 n －1 所以5n＝1－5×(5) ＝1－ 5n ，
故 an＝5n－3×2n 1.
－
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【讲评】 本题的递推公式是 an＋1＝αan＋β 的推广 an＋1＝αan ＋β×γ ，两边同时除以 γ
n n＋1
an＋1 α an β 后得到 n＋1＝ · n＋ ，转化为 bn γ γ γ γ
n＋1 n ∴an＋1－an＝ln ，∴an－an－1＝ln ， n n－1 n－1 2 an－1－an－2＝ln ，…，a2－a1＝ln . 1 n－2 n－1 n 2 ∴an－a1＝ln ＋ln ＋…＋ln1＝lnn. n－1 n－2 又 a1＝2，∴an＝lnn＋2.
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an－1 (2)数列{an}中，a1＝1，且当 n≥2 时，an＝ ，求通项 2an－1＋1 公式 an.
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【解析】
an－1 1 1 将 an＝ 两边取倒数，得a － ＝2，这 2an－1＋1 an－1 n
1 1 1 说明{ }是一个等差数列，首项是 ＝1，公差为 2，所以 ＝1＋ an a1 an 1 (n－1)×2＝2n－1，即 an＝ . 2n－1 1 【答案】 an＝ 2n－1
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★状元笔记 通过换元构造等差或等比数列从而求得通项．
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思考题 3 (1)若数列{an}中，a1＝3 且 an＋1＝an2(n 是正整 数)，则它的通项公式 an＝________．
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方法二： 设 an＋1＋k· 5n 1＝2(an＋k×5n)， 则 an＋1＝2an－3k×5n，
＋
与题中递推公式比较得 k＝－1，即 an＋1－5n＋1＝2(an－5n)，所以 数列{an－5n}是首项为 a1－5＝－3，公比为 2 的等比数列，则 an －5n＝－3×2n－1，故 an＝5n－3×2n－1.故选 D 项． 【答案】 D
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专题研究一 递推数列的通项的求法
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专 题 讲 解
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题型一
累加法[a n ＋1＝a n ＋f(n )型]
1 在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋ ，则通项公 n（n＋1） 式 an＝________．