福建厦门市2016年高二数学下学期期末试题(有解析)

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福建省厦门市高二数学下学期期末试卷理(含解析)-人教版高二全册数学试题

2015-2016学年某某省某某市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=（1+i）（a+2i）（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．22．双曲线x2﹣=1的一个顶点到一条渐近线的距离是（）A．B．C．D．3．已知随机变量X服从正态分布N（1，4），P（﹣1＜X＜3）=0.6826，则下列结论正确的是（）A．P（X＜﹣1）=0.6587 B．P（X＞3）=0.1587C．P（﹣1＜X＜1）=0.3174 D．P（1＜X＜3）=0.18264．已知函数f（x）的导函数是f′（x），且满足f（x）=2xf′（e）﹣lnx，则f′（e）等于（）A．1 B．﹣1 C．e D．5．由曲线y=，直线y=x及x=3所围成的图形的面积是（）A．4﹣ln3 B．8﹣ln3 C．4+ln3 D．8+ln36．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等边三角形，AA1⊥底面ABC，AB=2，AA1=，则异面直线AC1与B1C所成的角的大小是（）A．30° B．60° C．90° D．120°7．假设有两个分类变量X和Y的2×2列联表为：Yy1y2总计Xx1 a 10 a+10x2 c 50 c+50总计40 60 100对同一样本，以下数据能说明X与Y有关系的可能性最大的一组是（）A．a=10，c=30 B．a=15，c=25 C．a=20，c=20 D．a=30，c=108．甲、乙、丙、丁四个人去旅游，可供选择的景点有3个，每人只能选择一个景点且甲、乙不能同去一个景点，则不同的选择方案的种数是（）A．54 B．36 C．27 D．249．“m＜1”是“函数y=x2+在[1，+∞）单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．甲、乙、丙三人，一人在看书，一人在画画，一人在听音乐．已知：①甲不看书；②若丙不画画，则乙不听音乐；③若乙在看书，则丙不听音乐．则（）A．甲一定在画画 B．甲一定在听音乐C．乙一定不看书 D．丙一定不画画11．函数f（x）=e|x|cosx的图象大致是（）A． B．C．D．12．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别是F1、F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|=8，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则+的取值X围是（）A．（1，+∞）B．（1，4）C．（2，4）D．（4，8）二、填空题：每小题5分，共20分．13．（2x+）n的二项式系数的和是32，则该二项展开式中x3的系数是（用数字填写答案）．14．已知m∈R，p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；q：在复平面内，复数z=1+（m ﹣3）i对应的点在第四象限．若p∧q为真，则m的取值X围是．15．抛物线y2=4x的焦点为F，A为抛物线上在第一象限内的一点，以点F为圆心，1为半径的圆与线段AF的交点为B，点A在y轴上的射影为点N，且|ON|=2，则线段NB的长度是．16．设函数f（x）在R上的导函数是f′（x），对∀x∈R，f′（x）＜x．若f（1﹣a）﹣f （a）≤﹣a，则实数a的取值X围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某工厂为了增加其产品的销售量，调查了该产品投入的广告费用x与销售量y的数据，如表：广告费用x（万元） 2 3 4 5 6销售量y（万件） 5 7 8 9 11由散点图知可以用回归直线=x+来近似刻画它们之间的关系．（Ⅰ）求回归直线方程=x+；（Ⅱ）在（Ⅰ）的回归方程模型中，请用相关指数R2说明，广告费用解释了百分之多少的销售量变化？参考公式： =， =﹣；R2=1﹣．18．函数f（x）=x3+ax2+bx﹣在x=2处的切线方程为x+y﹣2=0．（Ⅰ）某某数a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2，AP=BP=．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．20．某工厂有甲乙两个车间，每个车间各有3台机器．甲车间每台机器每天发生故障的概率均为，乙车间3台机器每天发生故障的概率分别为，，．若一天内同一车间的机器都不发生故障可获利2万元，恰有一台机器发生故障仍可获利1万元，恰有两台机器发生故障的利润为0万元，三台机器发生故障要亏损3万元．（Ⅰ）求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；（Ⅱ）由于节能减排，甲乙两个车间必须停产一个．以工厂获得利润的期望值为决策依据，你认为哪个车间停产比较合理．21．已知圆C1：x2+y2=4与x轴左右交点分别为A1、A2，过点A1的直线l1与过点A2的直线l2相交于点D，且l1与l2斜率的乘积为﹣．（Ⅰ）求点D的轨迹C2方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m不过A1、A2且与轨迹C2仅有一个公共点，且直线l与圆C1交于P、Q 两点．求△POA1与△QOA2的面积之和的最大值．22．已知函数f（x）=lnx﹣cx2（c∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的零点个数；（Ⅱ）当函数f（x）有两个零点x1，x2时，求证：x1•x2＞e．2015-2016学年某某省某某市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=（1+i）（a+2i）（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简复数z，又已知复数z是纯虚数，得到，求解即可得答案．【解答】解：复数z=（1+i）（a+2i）=（a﹣2）+（a+2）i，又∵复数z是纯虚数，∴，解得a=2．故选：D．2．双曲线x2﹣=1的一个顶点到一条渐近线的距离是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的方程求出一个顶点和渐近线，利用点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：由双曲线的方程得a=1，b=，双曲线的渐近线为y=x，设双曲线的一个顶点为A（1，0），渐近线为y=x，即x﹣y=0，则顶点到一条渐近线的距离d==，故选：C．3．已知随机变量X服从正态分布N（1，4），P（﹣1＜X＜3）=0.6826，则下列结论正确的是（）A．P（X＜﹣1）=0.6587 B．P（X＞3）=0.1587C．P（﹣1＜X＜1）=0.3174 D．P（1＜X＜3）=0.1826【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据对称性，由P（﹣1＜X＜3）可求出P（X＞3）．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（1，4），∴曲线关于x=1对称，∵P（﹣1＜X＜3）=0.6826，∴P（X＞3）=0.5﹣0.3413=0.1587．故选：B．4．已知函数f（x）的导函数是f′（x），且满足f（x）=2xf′（e）﹣lnx，则f′（e）等于（）A．1 B．﹣1 C．e D．【考点】导数的运算．【分析】求函数的导数，直接令x=e进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=2xf′（e）﹣lnx，∴函数的导数f′（x）=2f′（e）﹣，令x=e，则f′（e）=2f′（e）﹣，即f′（e）=，故选：D5．由曲线y=，直线y=x及x=3所围成的图形的面积是（）A．4﹣ln3 B．8﹣ln3 C．4+ln3 D．8+ln3【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】作出对应的图象，确定积分的上限和下限，利用积分的应用求面积即可．【解答】解：作出对应的图象，由得x=1，则阴影部分的面积S=∫（x﹣）dx=（x2﹣lnx）|=（﹣ln3）﹣（﹣ln1）=4﹣ln3，故选：A6．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等边三角形，AA1⊥底面ABC，AB=2，AA1=，则异面直线AC1与B1C所成的角的大小是（）A．30° B．60° C．90° D．120°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取中点连接，由异面直线所成角的概念得到异面直线AC1与B1C所成的角，求解直角三角形得到三角形边长，再由余弦定理得答案．【解答】解：如图，分别取AC、B1C1、CC1、BC的中点E、F、G、K，连接EF、EG、FG、EK、FK，EK=，FK=，则EF=，EG=，．在△EFG中，cos∠EGF=．∴异面直线AC1与B1C所成的角的大小是90°．故选：C．7．假设有两个分类变量X和Y的2×2列联表为：Yy1y2总计Xx1 a 10 a+10x2 c 50 c+50总计40 60 100对同一样本，以下数据能说明X与Y有关系的可能性最大的一组是（）A．a=10，c=30 B．a=15，c=25 C．a=20，c=20 D．a=30，c=10【考点】独立性检验的应用．【分析】当ad与bc差距越大，两个变量有关的可能性就越大，检验四个选项中所给的ad与bc的差距，前三个选项都一样，只有第四个选项差距大，得到结果．【解答】解：根据观测值求解的公式可以知道，当ad与bc差距越大，两个变量有关的可能性就越大，选项A，|ad﹣bc|=200，选项B，|ad﹣bc|=500，选项C，|ad﹣bc|=800，选项D，|ad﹣bc|=1400，故选D8．甲、乙、丙、丁四个人去旅游，可供选择的景点有3个，每人只能选择一个景点且甲、乙不能同去一个景点，则不同的选择方案的种数是（）A．54 B．36 C．27 D．24【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】间接法：先求所有可能分派方法，先求所有可能的分派方法，甲、乙、丙、丁四个人去旅游，可供选择的景点有3个，共有34=81种情况，甲、乙同去一个景点有33=27种情况，相减可得结论．【解答】解：间接法：先求所有可能的分派方法，甲、乙、丙、丁四个人去旅游，可供选择的景点有3个，共有34=81种情况，甲、乙同去一个景点有33=27种情况，∴不同的选择方案的种数是81﹣27=54．故选：A9．“m＜1”是“函数y=x2+在[1，+∞）单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件；函数的单调性与导数的关系．【分析】若函数y=x2+在[1，+∞）单调递增，则y′=2x﹣≥0在[1，+∞）上恒成立，求出m的X围，进而根据充要条件的定义，可得答案．【解答】解：∵函数y=x2+在[1，+∞）单调递增，∴y′=2x﹣≥0在[1，+∞）上恒成立，即m≤2，故“m＜1”是“函数y=x2+在[1，+∞）单调递增”的充分不必要条件，故选：A．10．甲、乙、丙三人，一人在看书，一人在画画，一人在听音乐．已知：①甲不看书；②若丙不画画，则乙不听音乐；③若乙在看书，则丙不听音乐．则（）A．甲一定在画画 B．甲一定在听音乐C．乙一定不看书 D．丙一定不画画【考点】进行简单的合情推理．【分析】由①开始，进行逐个判断，采用排除法，即可得到答案．【解答】解：由①可知：甲可能在画画或在听音乐，由③可知，乙在看书，丙在画画，甲只能在听音乐，由②丙可以听音乐或看书，乙只能看书或画画，结合①③可知：甲听音乐，乙画画，丙看书，所以甲一定在听音乐，故选：B．11．函数f（x）=e|x|cosx的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数的奇偶性，排除B；根据函数在（0，）上，为增函数，在（，）上，为减函数，排除A；再根据在（，）上，为增函数，f（）＞f（），排除C，可得结论．【解答】解：由于函数函数f（x）=e|x|cosx为偶函数，它的图象关于y轴对称，故排除B．当x＞0时，f（x）=e x•cosx，f′（x）=e x•cosx﹣e x•sinx=2x（cosx﹣sinx），故函数在（0，）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数；在（，）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，故排除A．在（，）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，且f（）＞f（），故排除C，只有D满足条件，故选：D．12．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别是F1、F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|=8，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则+的取值X围是（）A．（1，+∞）B．（1，4）C．（2，4）D．（4，8）【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用待定系数法设出双曲线和椭圆的方程，根据双曲线和椭圆的定义得到a1=4+c，a2=4﹣c，然后利用离心率的公式进行转化求解即可．【解答】解：设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，．（a1，a2，b1，b2＞0，a1＞b1）∵△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，|PF1|=8，∴8+2c=2a1，8﹣2c=2a2，即有a1=4+c，a2=4﹣c，（c＜4），再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c＞8，可得c＞2，即有2＜c＜4．由离心率公式可得+====，∵2＜c＜4，∴＜＜，则2＜＜4，即2＜+＜4，故+的取值X围是（2，4），故选：C二、填空题：每小题5分，共20分．13．（2x+）n的二项式系数的和是32，则该二项展开式中x3的系数是80 （用数字填写答案）．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意可得：2n=32，解得n．再利用其通项公式即可得出．【解答】解：由题意可得：2n=32，解得n=5．∴的通项公式T r+1=（2x）5﹣r=25﹣r x5﹣2r，令5﹣2r=3，解得r=1．∴该二项展开式中x3的系数=24=80．故答案为：80．14．已知m∈R，p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；q：在复平面内，复数z=1+（m﹣3）i对应的点在第四象限．若p∧q为真，则m的取值X围是（2，3）．【考点】复合命题的真假．【分析】利用椭圆的标准方程、复数的几何意义、复合命题的真假的判定方法即可得出．【解答】解：p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m＞2；q：在复平面内，复数z=1+（m﹣3）i对应的点在第四象限，∴m﹣3＜0，解得m＜3．∵p∧q为真，∴p与q都为真命题．∴2＜m＜3．则m的取值X围是（2，3）．故答案为：（2，3）．15．抛物线y2=4x的焦点为F，A为抛物线上在第一象限内的一点，以点F为圆心，1为半径的圆与线段AF的交点为B，点A在y轴上的射影为点N，且|ON|=2，则线段NB的长度是 3 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出N，B的坐标，利用两点间的距离公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，A（3，2），N（0，2），以点F为圆心，1为半径的圆的方程为（x﹣1）2+y2=1，直线AF的方程为y=（x﹣1）联立直线与圆的方程可得（x﹣1）2=，∴x=或，∴B（，），∴|NB|==3故答案为：3．16．设函数f（x）在R上的导函数是f′（x），对∀x∈R，f′（x）＜x．若f（1﹣a）﹣f （a）≤﹣a，则实数a的取值X围是a≤．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】令g（x）=f（x）﹣x2，求出g（x）的单调性，问题等价于f（1﹣a）﹣（1﹣a）2≤f（a）﹣a2，根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x2，则g′（x）=f′（x）﹣x，而f′（x）＜x，∴g′（x）=f′（x）﹣x＜0，故函数g（x）在R递减，∴f（1﹣a）﹣f（a）≤﹣a等价于f（1﹣a）﹣（1﹣a）2≤f（a）﹣a2，即g（1﹣a）≤g（a），∴1﹣a≥a，解得a≤，故答案为：a≤．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某工厂为了增加其产品的销售量，调查了该产品投入的广告费用x与销售量y的数据，如表：广告费用x（万元） 2 3 4 5 6销售量y（万件） 5 7 8 9 11由散点图知可以用回归直线=x+来近似刻画它们之间的关系．（Ⅰ）求回归直线方程=x+；（Ⅱ）在（Ⅰ）的回归方程模型中，请用相关指数R2说明，广告费用解释了百分之多少的销售量变化？参考公式： =， =﹣；R2=1﹣．【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）由数据求得样本中心点，利用最小二乘法求得系数，由线性回归方程过样本中心点，代入即可求得，即可求得回归直线方程；（Ⅱ）分别求得1， 2…，5，根据相关指数公式求得相关指数R2，即可求得广告费用解释了百分之多少的销售量变化．【解答】解：（Ⅰ） =×（2+3+4+5+6）=5， =×（5+7+8+9+11）=11，==1.4，=﹣=8﹣1.4×4=2.4，∴回归直线方程=1.4x+2.4；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：=1.4×2+2.4=5.2；1=1.4×3+2.4=6.6；2=1.4×4+2.4=8；3=1.4×5+2.4=9.4；4=1.4×6+2.4=10.8；5R2=1﹣=0.98，∴广告费用解释了98%的销售量变化．18．函数f（x）=x3+ax2+bx﹣在x=2处的切线方程为x+y﹣2=0．（Ⅰ）某某数a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求导数得到f′（x）=x2+2ax+b，这样根据函数在切点处导数和切线斜率的关系以及切点在函数图象上便可得出关于a，b的方程组，解出a，b即可；（Ⅱ）上面已求出a，b，从而可以得出导函数f′（x），这样判断导数的符号，从而便可得出函数f（x）的极值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=x2+2ax+b；由题意可得，切点为（2，0），切线斜率为k=﹣1；∴；解得；（Ⅱ）由上面得，f′（x）=x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3）；∴x＜1时，f′（x）＞0，1＜x＜3时，f′（x）＜0，x＞3时，f′（x）＞0；∴x=1时，f（x）取极大值，x=3时，f（x）取极小值．19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2，AP=BP=．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【分析】（I）取AB中点E，连PE、CE，由等腰三角形的性质可得PE⊥AB．再利用勾股定理的逆定理可得PE⊥CE．利用线面垂直的判定定理可得PE⊥平面ABCD．再利用面面垂直的判定定理即可证明．（II）建立如图所示的空间直角坐标系．利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角．【解答】（Ⅰ）证明：如图1所示，取AB中点E，连PE、CE．则PE是等腰△PAB的底边上的中线，∴PE⊥AB．∵PE=1，CE=，PC=2，即PE2+CE2=PC2．由勾股定理的逆定理可得，PE⊥CE．又∵AB⊂平面ABCD，CE⊂平面ABCD，且AB∩CE=E，∴PE⊥平面ABCD．而PE⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD．（Ⅱ）以AB中点E为坐标原点，EC所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EP所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A（0，﹣1，0），C（，0，0），D（，﹣2，0），P（0，0，1），=（，1，0），=（，0，﹣1），=（0，2，0）．设是平面PAC的一个法向量，则，即．取x1=1，可得，．设是平面PCD的一个法向量，则，即．取x2=1，可得，．故，即二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值是．20．某工厂有甲乙两个车间，每个车间各有3台机器．甲车间每台机器每天发生故障的概率均为，乙车间3台机器每天发生故障的概率分别为，，．若一天内同一车间的机器都不发生故障可获利2万元，恰有一台机器发生故障仍可获利1万元，恰有两台机器发生故障的利润为0万元，三台机器发生故障要亏损3万元．（Ⅰ）求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；（Ⅱ）由于节能减排，甲乙两个车间必须停产一个．以工厂获得利润的期望值为决策依据，你认为哪个车间停产比较合理．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）乙车间每天机器发生故障的台数ξ，可以取0，1，2，3，求出相应的概率，即可求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；（Ⅱ）设甲车间每台机器每天发生故障的台数η，获得的利润为X，则η～B（3，），求出甲乙的期望，比较，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）乙车间每天机器发生故障的台数ξ，可以取0，1，2，3，P（ξ=0）=（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）=，P（ξ=1）=C21××（（1﹣）×（1﹣）2+（1﹣）×=，P（ξ=2）=C21××（（1﹣）×+（）2×（1﹣）=，P（ξ=3）=××=，∴乙车间每天机器发生故障的台数ξ的分布列；ξ0 1 2 3P（Ⅱ）设甲车间每台机器每天发生故障的台数η，获得的利润为X，则η～B（3，），P（η=k）=（k=0，1，2，3），∴EX=2P（η=0）+1×P（η=1）+0×P（η=2）﹣3×P（η=3）=，由（Ⅰ）得EY=2P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+0×P（ξ=2）﹣3×P（ξ=3）=，∵EX＜EY，∴甲车间停产比较合理．21．已知圆C1：x2+y2=4与x轴左右交点分别为A1、A2，过点A1的直线l1与过点A2的直线l2相交于点D，且l1与l2斜率的乘积为﹣．（Ⅰ）求点D的轨迹C2方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m不过A1、A2且与轨迹C2仅有一个公共点，且直线l与圆C1交于P、Q 两点．求△POA1与△QOA2的面积之和的最大值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设点D的坐标为（x，y），求出A1、A2的坐标，由题意和斜率公式列出方程化简，可得点D的轨迹C2的方程；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线方程和C2的方程消去y，由条件可得△=0并化简，联立直线l与圆C1的方程消去x，利用韦达定理写出表达式，由图象和三角形的面积公式表示出，化简后利用基本不等式求出△POA1与△QOA2的面积之和的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设点D的坐标为（x，y），∵圆C1：x2+y2=4与x轴左右交点分别为点A1（﹣2，0），A2（2，0），且l1与l2斜率的乘积为﹣，∴，化简得，∴点D的轨迹C2方程是；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立得，（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由题意得，△=64k2+16﹣16m2=0，化简得，m2=4k2+1，联立消去x得，（1+k2）y2﹣2my+1=0，∴△=4m2﹣4（1+k2）=12k2＞0，y1+y2=，＞0，则y1，y2同号，由r=2得，+=+====≤=，当且仅当3=1+4k2，即k=时取等号，∴的最大值是．22．已知函数f（x）=lnx﹣cx2（c∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的零点个数；（Ⅱ）当函数f（x）有两个零点x1，x2时，求证：x1•x2＞e．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）求出函数的定义域，函数的导数，通过a≤0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；a＞0时，求出极值点，然后通过导数的符号，判断函数的单调性，从而求出函数的零点的个数；（Ⅱ）设x1＞x2，求出关于c的表达式，利用分析法证明x1x2＞e，转化为证明ln＞（x1＞x2＞0），令=t，则t＞1，设g（t）=lnt﹣=lnt+﹣1（t＞1），利用函数的导数求解函数的最小值利用单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣2cx=，当c≤0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，x→0时，f（x）→﹣∞，x→+∞时，f（x）→+∞，f（x）有且只有1个零点；当c＞0时，由f'（x）=0，得x=，当0＜x＜时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）最大值=f（）=ln﹣，令ln﹣＞0，解得：c＞，∴c＞时，f（x）有2个零点，c=时，f（x）有1个零点，0＜c＜时，f（x）没有零点，综上：c≤0或c=时，f（x）有1个零点，0＜c＜时，f（x）没有零点，c＞时，f（x）有2个零点．（Ⅱ）证明：设x1＞x2，∵lnx1﹣cx12=0，lnx2﹣cx22=0，∴lnx1+lnx2=cx12+cx22，lnx1﹣lnx2=cx12﹣cx22，则c=，欲证明x1x2＞e，即证lnx1+lnx2＞1，因为lnx1+lnx2=c（x12+x22），∴即证c＞，∴原命题等价于证明＞，即证：ln＞（x1＞x2＞0），令=t，则t＞1，设g（t）=lnt﹣=lnt+﹣1（t＞1），∴g′（t）=≥0，∴g（t）在（1，+∞）单调递增，又因为g（1）=0，∴g（t）＞g（1）=0，∴lnt＞，所以x1x2＞e．。

福建省厦门市高二下学期期末数学试卷(理科)

福建省厦门市高二下学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·大新模拟) 设集合，，则的元素个数为（）A . 6B . 5C . 3D . 22. （2分） (2017高二下·仙桃期末) 复数z满足z（2﹣i）=|1+2i|，则z的虚部为（）A .B .C . 1D . i3. （2分）已知tanα=﹣，且α是第二象限角，则cosα的值为（）A .B .C .D .4. （2分）设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)> 0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是（）A . (－3,0)∪(3，＋∞)B . (－3,0)∪(0,3)C . (－∞，－3)∪(3，＋∞)D . (－∞，－3)∪(0,3)5. （2分） (2015高二下·会宁期中) 某部门为了了解青年人喜欢户外运动是否与性别有关，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2=7.069，则所得到的统计学结论为：有（）把握认为“喜欢户外运动与性别有关”．附：（独立性检验临界值表）P（K2≥k0）0.050.0250.0100.0050.001k0 3.841 5.024 6.6367.87910.828A . 0.1%B . 1%C . 99%D . 99.9%6. （2分） (2016高一下·吉安期末) 下列命题一定正确的是（）A . 在等差数列{an}中，若ap+aq=ar+aδ ，则p+q=r+δB . 已知数列{an}的前n项和为Sn ，若{an}是等比数列，则Sk ， S2k﹣Sk ， S3k﹣S2k也是等比数列C . 在数列{an}中，若ap+aq=2ar ，则ap ， ar ， aq成等差数列D . 在数列{an}中，若ap•aq=a ，则ap ， ar ， aq成等比数列7. （2分）(2017·白山模拟) 若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（mod m），例如10≡4（mod 6）．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的（中国剩余定理），执行该程序框图，则输出的n等于（）A . 17B . 16C . 15D . 138. （2分）等比数列中，a3=6,前三项和，则公比（）A . 1B .C . 1或D . -1或9. （2分） (2017高二下·黄山期末) 设矩形ABCD，以A、B为左右焦点，并且过C、D两点的椭圆和双曲线的离心率之积为（）A .B . 2C . 1D . 条件不够，不能确定10. （2分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P﹣DCE三棱锥的外接球的体积为（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高二下·寿光期中) 把标号为1，2，3，4，5的五个小球全部放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的方法种数是（）A . 36B . 48C . 60D . 8412. （2分） (2015高二上·邯郸期末) 函数y=lnx+x在点（1，1）处的切线方程是（）A . 2x﹣y﹣1=0B . 2x+y﹣1=0C . x﹣2y+1=0D . x+2y﹣1=0二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2016高二下·安徽期中) 设随机变量ξ服从正态分布N（1，s2），则函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点的概率为________．14. （1分）若（1+x+x2）6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12 ，则a2+a4+…+a12=________15. （1分） (2015高三上·唐山期末) 如图，半径为1的圆O上有定点P和两动点A、B，AB= ，则的最大值为________．16. （2分） (2016高一下·宁波期中) 已知钝角△ABC的面积为，AB=1，BC= ，则角B=________，AC=________．三、解答题 (共8题；共80分)17. （10分） (2017高二下·中山月考) 已知，（）．（1）求并由此猜想数列的通项公式的表达式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．18. （15分） PM2.5是衡量空气污染程度的一个指标，为了了解某市空气质量情况，从去年每天的PM2.5值的数据中随机抽取40天的数据，其频率分布直方图如图所示．现将PM2.5的值划分为如下等级PM2.5[0，100）[100，150）[150，200）[200，250]等级一级二级三级四级（1）根据样本空气质量PM2.5的数据的频率分布直方图完成下列分布表；PM2.5[0，50）[50，100）[100，150）[150，200）[200，250]天数________________________________________（2）估计该市在下一年的360天中空气质量为一级天气的天数；（3）在样本中，按照分层抽样的方法从一级天气，三级天气，四级天气的PM2.5值的数据中抽取5天的数据，再从这5个数据中随机抽取2个，求至少一天是一级天气的概率．19. （5分）(2017·焦作模拟) 在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，侧面ABB1A1是边长为2的正方形，点E，F分别在线段AA1、A1B1上，且AE= ，A1F= ，CE⊥EF．（Ⅰ）证明：平面ABB1A1⊥平面ABC；（Ⅱ）若CA⊥CB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值．20. （10分）(2012·湖北) 设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（2）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．21. （10分） (2018高三上·汕头期中) 已知函数，，在处的切线方程为（1）若，证明：；（2）若方程有两个实数根，，且，证明：22. （10分）如图，点P是△ABC外接圆圆O在C处的切线与割线AB的交点．（1）若∠ACB=∠APC，求证：BC是圆O的直径；（2）若D是圆O上一点，∠BPC=∠DAC，AC= ，AB=2 ，PC=4，求CD的长．23. （10分）(2018·广元模拟) 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以为极点，以轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为 .（1）求曲线的极坐标方程；（2）设直线与曲线相交于两点，求的值.24. （10分） (2016高三上·沈阳期中) 已知函数f（x）=|x+1|﹣|x|+a．（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若方程f（x）=x有三个不同的解，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共80分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、24-2、。

厦门市2015～2016学年第二学期高二年级文科数学质量检测试题及答案纯word 可编辑

厦门市2015—2016学年高二（下）质量检测数学（文科）试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答． 1．已知,a b R ∈，i 是虚数单位，若3bi +与a i -互为共轭复数，则a bi +等于（ ▲ ）．A B ．5 C D ．102．用反证法证明命题：“若,,a b c 为不全相等的实数，且0a b c ++=，则,,a b c 中至少有一个负数”，假设原命题不成立的内容是（ ▲ ）．A ．,,a b c 都大于0B ．,,a b c 都是非负数C ．,,a b c 至多两个负数D ．,,a b c 至多一个负数 3．已知命题2:,10p x R x x ∀∈++≤，则（ ▲ ）．A ．p 是真命题，:p ⌝ 0x R ∃∈，使得20010x x ++>；B ．p 是真命题，:p ⌝ 2,10x R x x ∀∈++>；C ．p 是假命题，:p ⌝ 0x R ∃∈，使得20010x x ++>；D ．p 是假命题，:p ⌝ 2,10x R x x ∀∈++>． 4．函数)(x f 的导函数为)(x f '，若x x f sin )(=，则下列正确的是（ ▲ ）． A ．)2()(ππf f '= B ．)()2(ππf f '= C ．)3()(ππf f '= D ．)()3(ππf f '=5参考公式:2()()()()K a b c d a c b d =++++（其中n a b c d =+++））．A ．有错误！未找到引用源。

的把握认为“喜欢足球与性别有关”；B ．有9错误！未找到引用源。

的把握认为“喜欢足球与性别无关”；C ．在犯错误的概率不超过2.错误！未找到引用源。

的前提下，认为“喜欢足球与性别有关”；D ．在犯错误的概率不超过2.错误！未找到引用源。

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厦门市2015—2016学年高二（下）质量检测数学（文科）试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答． 1．已知,a b R ∈，i 是虚数单位，若3bi +与a i -互为共轭复数，则a bi +等于（ ▲ ）．A B ．5 C D ．102．用反证法证明命题：“若,,a b c 为不全相等的实数，且0a b c ++=，则,,a b c 中至少有一个负数”，假设原命题不成立的内容是（ ▲ ）．A ．,,a b c 都大于0B ．,,a b c 都是非负数C ．,,a b c 至多两个负数D ．,,a b c 至多一个负数 3．已知命题2:,10p x R x x ∀∈++≤，则（ ▲ ）．A ．p 是真命题，:p ⌝ 0x R ∃∈，使得20010x x ++>； B ．p 是真命题，:p ⌝ 2,10x R x x ∀∈++>； C ．p 是假命题，:p ⌝ 0x R ∃∈，使得20010x x ++>； D ．p 是假命题，:p ⌝ 2,10x R x x ∀∈++>．4．函数)(x f 的导函数为)(x f '，若x x f sin )(=，则下列正确的是（ ▲ ）． A ．)2()(ππf f '= B ．)()2(ππf f '= C ．)3()(ππf f '= D ．)()3(ππf f '=5参考公式:2()()()()K a b c d a c b d =++++（其中n a b c d =+++））．A ．有错误！未找到引用源。

的把握认为“喜欢足球与性别有关”；B ．有9错误！未找到引用源。

的把握认为“喜欢足球与性别无关”；C ．在犯错误的概率不超过2.错误！未找到引用源。

的前提下，认为“喜欢足球与性别有关”；D ．在犯错误的概率不超过2.错误！未找到引用源。

厦门市2015～2016学年第二学期高二年级文科数学质量检测答案纯word 可编辑

厦门市2015—2016学年度第二学期高二年级质量检测数学（文科）参考答案二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．3455i +； 14．[2,)+∞ ； 15．12； 16．①④．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，或演算步骤）．17．本题主要考查导数的几何意义，导数与极值的关系，考查运算求解能力和数学应用意识，考查化归与转化思想．满分10分. 【解析】函数)(x f 定义域R ，)1)(3(3963)(2+-=--='x x x x x f .............................. 2分（Ⅰ）9)(0-='=x f k ，00=∴x 或20=x ，当00=x ，3)(0-=x f ，3-=∴b当20=x ，25)(0-=x f ，7-=∴b ........................................................................ 5分（Ⅱ）令0)(='x f 得11-=x ，32=x当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：9分 ∴)(x f 极大值为(1)2f -=，)(x f 极小值为(3)30f =- ......................................... 10分 18．本题主要考查线性回归分析方程的求法，2R 的求法及其统计意义．考查数据处理能力和数学应用意识．本题满分12分．【解析】（Ⅰ）∵5x =，15y =，41320i ii x y==∑，421110i i x ==∑， .................................... 1分∴4142214320300ˆ21101004i ii ii x y x ybxx ==--===--∑∑，ˆˆ15255a y bx =-=-⨯= ..................... 5分 ∴所求的回归直线方程是25y x =+． ...................................................................... 6分（Ⅱ）∵421ˆ()=14iii y y=-∑，421()=54i i y y =-∑ ................................................................ 8分∴4221421ˆ()141110.260.7454()iii i i y yR y y ==-=-=-≈-=-∑∑ ........................................... 11分说明销售件数的差异有74%是由关注人数引起的............................................ 12分 19．本题考查椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．考查数形结合思想．本题满分12分．【解析】(Ⅰ)椭圆中心到l 的距离为c a bc c b bc24122⨯==+，即b a 2= .......................... 3分点)23,1(代入椭圆方程得⎩⎨⎧==12b a ，即椭圆方程为1422=+y x . ................... 5分 (Ⅱ) 法一：设11(,)M x y ，22(,)N x y ，00(,)P x y 则12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ .......................... 6分 221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，1212121214y y y y x x x x -+⋅=--+即0121200104y y y x x x --⋅=--- ...................... 10分因为114MN OP k k ⋅=-≠-，所以直线MN 与直线OP 不垂直． .......................... 12分法二：设直线方程y kx b =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，00(,)P x y2214x y y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(14)8440k x kbx b +++-= ................................................... 7分 ∴122814kb x x k -+=+，212122282()221414k b by y k x x b b k k -+=++=+=++ ......... 9分 0120120104OP y y y k x x x k-+===--+ ................................................................................ 10分因为114MN OP k k ⋅=-≠-，所以直线MN 与直线OP 不垂直． .......................... 12分20. 本题主要考查解二次不等式、利用导数求最值，考查学生数学建模能力，信息处理能力和运算求解能力，考查化归转化思想、数形结合思想、函数方程思想和分类讨论思想．本题满分12分．【解析】由题意可知，当x ＝2时，(2)f ＝5.2，所以2190.722 5.242a -⨯+⨯=，解得：4a =-，所以222(2ln 2),02;()194ln ,215.42x x x f x x x x x ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪--+≤≤⎪⎩…………………………………………………3分（Ⅰ）当215x ≤≤时，219()4ln 42f x x x x =--+，24998(1)(8)'()2222x x x x x f x x x x--+----=-+==；当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表................................................................................................................................... 6分当215x ≤≤时，2max 19()(8)4ln 88811.642f x f ==--⨯+⨯=．当02x <<时，2()22(2ln 2)2 5.2f x <⨯-⨯=所以该小微企业投入8万元，净利润最大． ........................................................ 8分（Ⅱ）当02x <<时，22(2ln 2)0x x -<，解得0ln 2x <<，该企业亏本；...... 10分当215x ≤≤时，(2) 5.2f =，219(15)4ln1515150.45042f =--⨯+⨯=>，所以min ()(15)0.450f x f ==>，所以当0ln 2x <<即00.7x <<时，该企业会亏本． .................................... 11分答：（Ⅰ）该小微企业投入8万元，净利润最大；（Ⅱ）当00.7x <<时，该企业会亏本． ........................................................... 12分 21．本题考查抛物线的定义及性质等基础知识，考查化归转化思想、数形结合思想及整体代入等思想．本题满分12分．【解析】(Ⅰ)点8(,4)P p，88222p PF PQ p p =+==⨯所以4=p ，即抛物线x y 82= ............................................................................ 4分（Ⅱ）显然直线斜率存在且不为0，设直线AB 方程为)2(-=x k y ，则直线CD 方程为)2(1--=x ky ，设11(,)A x y ，22(,)B x y法一：⎩⎨⎧-==)2(82x k y x y ，01682=--k y ky 所以⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+1682121y y k y y ， .............................. 6分12218(1)AB y k =-=+同理)1(82k CD += ................................. 9分 128232)1(32)11)(1(32212222=⨯≥+=++=⋅=k k k k CD AB S ............ 11分当k k=1即1±=k 时等号成立当1±=k 时四边形面积有最小值128 .................................................................. 12分法二：⎩⎨⎧-==)2(82x k y x y ，04)84(2222=++-k x k x k 所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+=+484212221x x k k x x .......... 6分21228(1)4k AB x x k+=++=同理)1(82k CD += ........................................... 9分 222221(1)13232()3221282k S AB CD k k k +=⋅==+≥⨯= ....................... 11分当k k=1即1±=k 时等号成立当1±=k 时四边形面积有最小值128 .................................................................. 12分法三：设直线AB 方程为2x my =+，显然0m ≠，则直线CD 方程为12x y m=-+设11(,)A x y ，22(,)B x y282y x x my ⎧=⎨=+⎩，28160y my --=所以1212816y y m y y +=⎧⎨⋅=-⎩ ....................................... 6分 212124()88(1)AB x x m y y m =++=++=+同理218(1)CD m=+ ............ 9分222211132(1)(1)32()3221282S AB CD m m m m =⋅=++=+≥⨯= ......... 11分当1m m=即1m =±时等号成立 , 当1m =±时四边形面积有最小值128 ................................................................. 12分22．本题主要考查导数与单调性，导数与最值的关系，考查运算求解能力，化归与转化思想，数学应用意识．本题满分12分．【解析】（Ⅰ）由题意得，2()[(2)2](2)()x x f x x a x a e x x a e '=-+--=-+-............... 2分当0a >时，由()0f x '≥⇒2x a -≤≤，∴()f x 的单调递增区间是[2,]a -()f x 的单调递减区间是(,2]-∞-和[,)a +∞ ....................................................... 3分当1a ≥时，()f x 在[0,1]上单调递增，∴max ()(1)(21)f x f a e ==-=⇒112a =+<，不符合题意，舍去当01a ≤<时，()f x 在[0,]a 上单调递增，在[,1)a 上单调递减，∴max ()()a f x f a ae ===⇒12a =，符合题意；综上所述，存在12a =，使得当[0,1]x ∈时，函数()f x； ..... 6分（Ⅱ）当(0,1]x ∈时，要证322x x x -->，即证211ln ())222x x x x e x-++<- .................................................................. 8分设211()()22x g x x x e =-++，由（Ⅰ）可得max 1()()22g x g == ................. 9分设ln ())xh x x=-，2ln 1()()x h x x '-= ()h x 在(0,1]上单调递减，min ()(1)h x h == ................................................... 11分∴211ln ())22x x x x e x-++<-即322x x x -->................. 12分。

厦门市高二下数学期末市质检试卷及答案

h^
5 ,
x iy i ^
1 89 ,
x
=
1 429 ,
10
10
其中大表示 ( I ) 中拟合直线对应的估计值
18 ( 本小题满分 12 分 )
已知函数f ( x )
=
3
2
. + ax
6× + b( b
O) 在 x - 2 处取得极值
( I ) 求f ( x ) 的单调区间 ( ) 若只x ) 有两个零点求 f ( x ) 在 x · 1 处的切线方程
7 若 ( 1 x ) 的二项展开式中仅有第 5 项的项式系数最大则展开式中所有项的系数的绝对值之和是
A1
B 256
C 5 12
D 10 24
8 现有红黄蓝三种颜色供选择在如图所示的五个空格里涂上颜色要求相邻空格不同色
则不同涂色方法的种数是
困 1戽 15
120 分钟
第 I 卷 ( 选择题共 60 分 )
选择题本大题共 12 小题每小题 5 分共 6o 分在每小题给出的四个选项中只有项是符合题目要求的
七 1 复数
( i 为虚数单位 ) 在复平面上对应的点位于
A 第象限 2 抛物线 × 2 . 4y 1
A1
B 第二象限
取到的红球数确定奖励金额具体金额设置如表
奖励( 单位田园1 5 1四国回国回
17 ( 本小题满分 10 分 )
教育部考试中心在对高考试卷难度与区分性能分析的研究中在 200 7 至 20 16 十年间对
每年理科数学的高考试卷随机抽取了若干样本统计得到解答题得分率 x 以及整卷得分

2015-2016学年福建省厦门市高二(下)期末数学试卷(文科) 解析版

2015-2016学年福建省厦门市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（每题5分）1．（5分）（2016春•厦门期末）已知a，b∈R，i是虚数单位，若3+bi与a﹣i互为共轭复数，则|a+bi|等于（）A ．B．5 C ． D．102．（5分）（2016春•厦门期末）用反证法证明命题：“若a，b，c为不全相等的实数，且a+b+c=0，则a，b，c至少有一个负数”，假设原命题不成立的内容是（）A．a，b，c都大于0 B．a，b，c都是非负数C．a，b，c至多两个负数D．a，b，c至多一个负数3．（5分）（2016春•厦门期末）已知命题p：∀x∈R，x2+x+1≤0，则（）A．p是真命题，￢p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＞0B．p是真命题，￢p：∀x∈R，使得x2+x+1＞0C．p是假命题，￢p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＞0D．p是假命题，￢p：∀x∈R，使得x2+x+1＞04．（5分）（2016春•厦门期末）函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）=sinx，则下列等式正确的是（）A．f （）=f′（）B．f （）=f′（）C．f （）=f′（）D．f （）=f′（）5．（5分）（2016春•厦门期末）2016法国欧洲杯比赛于6月中旬揭开战幕，随机询问100参考公式k2=，（其中n=a+b+c+d））A．有95%的把握认为“喜欢足球与性别相关”B．有95%的把握认为“喜欢足球与性别无关”C．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“喜欢足球与性别无关”D．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“喜欢足球与性别有关”6．（5分）（2016春•厦门期末）下列选项中，与其他三个选项所蕴含的数学推理不同的是（）A．独脚难行，孤掌难鸣B．前人栽树，后人乘凉C．物以类聚，人以群分D．飘风不终朝，骤雨不终日7．（5分）（2016春•厦门期末）已知过双曲线Г：=1（a＞0，b＞0）的右焦点F2作圆x2+y2=a2的切线，交双曲线Г的左支交于点A，且AF1⊥AF2，则双曲线的渐近线方程是（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x8．（5分）（2016春•厦门期末）定义在R上的函数f（x），其导函数是f′（x），若x•f′（x）+f（x）＜0，则下列结论一定正确的是（）A．3f（2）＜2f（3）B．3f（2）＞2f（3）C．2f（2）＜3f（3）D．2f（2）＞3f（3）9．（5分）（2016春•厦门期末）“a=4或a=﹣3“是”函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10“的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．（5分）（2016春•厦门期末）记半径为1的圆为C1，C1的外切正三角形的外接圆为C2，C2的外切正三角形的外接圆C3，…C n﹣1的外切正三角形的外接圆为C n，则C16的面积是（）A．215•πB．216•πC．230•πD．232•π11．（5分）（2016春•厦门期末）函数f（x）图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）=lnx﹣sinx B．f（x）=lnx+cosx C．f（x）=lnx+sinx D．f（x）=lnx﹣cosx 12．（5分）（2016春•厦门期末）点M在抛物线C：x2=2py（p＞0）上，以M为圆心的圆与x轴相切于点N，过点N作直线与C相切于点P（异于点O），OP的中点为Q，则（）A．点Q在圆M内B．点Q在圆M上C．点Q在圆M外D．以上结论都有可能二、填空题（每题5分）13．（5分）（2016春•厦门期末）若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数=．14．（5分）（2016春•厦门期末）已知命题p：a≥2；命题q：对任意实数x∈[﹣1，1]，关于x的不等式x2﹣a≤0恒成立，若p且q是真命题，则实数a的取值范围是．15．（5分）（2016春•厦门期末）已知点P是椭圆Г：=1（a＞b＞0）上的一点，F1、F2为椭圆的左、右焦点，若∠F1PF2=60°，且△PF1F2的面积为a2，则椭圆的离心率是．16．（5分）（2016春•厦门期末）已知函数f（x）=（m≠0），则下列结论正确的是①函数f（x）是奇函数，且过点（0，0）；②函数f（x）的极值点是x=±；③当m＜0时，函数f（x）是单调递减函数，值域是R；④当m＞0时，函数y=f（x）﹣a的零点个数可以是0个，1个，2个．三、解答题17．（10分）（2016春•厦门期末）已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x﹣3（1）若函数f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=﹣9x+b，求b的值；（2）求函数f（x）的极值．18．（12分）（2016春•厦门期末）网购已成为当今消费者喜欢的购物方式，某机构对A、B、C、D四家同类运动服装网店的关注人数x（千人）与其商品销售件数y（百件）进行统计来近似刻画它们之间的关系（1）求y与x的回归直线方程；（2）在（1）的回归模型中，请用R2说明，销售件数的差异有多大程度是由关注人数引起的？（精确到0.01）参考公式：：；；R2═1﹣参考数据：x i y i=320；x2=110．19．（12分）（2016春•厦门期末）椭圆Г：=1（a＞b＞0）过点（1，），且直线l过椭圆Г的上顶点和左焦点，椭圆中心到直线l的距离等于焦距长的．（1）求椭圆Г的方程；（2）若一条与坐标轴不平行且不过原点的直线交椭圆Г于不同的两点M、N，点P为线段MN的中点，求证：直线MN与直线OP不垂直．20．（12分）（2016春•厦门期末）厦门日报讯，2016年5月1日上午，厦门海洋综合行政执法支队在公务码头启动了2016年休渔监管执法的首日行动，这标志着厦门海域正式步入为期4个半月的休渔期．某小微企业决定囤积一些冰鲜产品，销售所囤积鱼品的净利润y 万元与投入x万元之间近似满足函数关系：f（x）=若投入2万元，可得到净利润为5.2万元．（1）试求该小微企业投入多少万元时，获得的净利润最大；（2）请判断该小微企业是否会亏本，若亏本，求出投入资金的范围；若不亏本，请说明理由（参考数据：ln2=0.7，ln15=2.7）21．（12分）（2016春•厦门期末）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与抛物线和y轴分别交于点P、Q，且|PF|=2|PQ|（1）求抛物线的方程；（2）过点F作互相垂直的两直线分别交抛物线于点A、B、C、D，求四边形ACBD面积的最小值．22．（12分）（2016春•厦门期末）函数f（x）=（﹣x2+ax+a）e x（a＞0，e是自然常数）（1）当x∈[0，1]时，函数f（x）的最大值是，求a的值；（2）当x∈（0，1]时，证明：2x3﹣x2﹣x＞．2015-2016学年福建省厦门市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1．（5分）（2016春•厦门期末）已知a，b∈R，i是虚数单位，若3+bi与a﹣i互为共轭复数，则|a+bi|等于（）A．B．5 C． D．10【分析】由已知求得a，b的值，然后代入复数模的计算公式得答案．【解答】解：∵3+bi与a﹣i互为共轭复数，∴a=3，b=1，则|a+bi|=|3+i|=．故选：C．【点评】本题考查共轭复数的概念，考查了复数相等的条件及复数模的求法，是基础题．2．（5分）（2016春•厦门期末）用反证法证明命题：“若a，b，c为不全相等的实数，且a+b+c=0，则a，b，c至少有一个负数”，假设原命题不成立的内容是（）A．a，b，c都大于0 B．a，b，c都是非负数C．a，b，c至多两个负数D．a，b，c至多一个负数【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设结论的否定成立．【解答】解：“a，b，c中至少有一个负数”的否定为“a，b，c都是非负数”，由用反证法证明数学命题的方法可得，应假设“a，b，c都是非负数”，故选：B．【点评】本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题．3．（5分）（2016春•厦门期末）已知命题p：∀x∈R，x2+x+1≤0，则（）A．p是真命题，￢p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＞0B．p是真命题，￢p：∀x∈R，使得x2+x+1＞0C．p是假命题，￢p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＞0D．p是假命题，￢p：∀x∈R，使得x2+x+1＞0【分析】根据一元二次函数和不等式的关系判断命题的真假，根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】解：命题是全称命题，∵判别式△=1﹣4=﹣3＜0，∴∀x∈R，x2+x+1＞0，故命题p是假命题，∵命题是全称命题则命题的否定是￢p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＞0，故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定以及全称命题的真假判断，比较基础．4．（5分）（2016春•厦门期末）函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）=sinx，则下列等式正确的是（）A．f （）=f′（）B．f （）=f′（）C．f （）=f′（）D．f （）=f′（）【分析】根据基本导数公式求导，再根据各选项可知若f（x）=f′（x），则sinx=cosx，判断即可．【解答】解：∵f（x）=sinx，∴f′（x）=cosx，若f（x）=f′（x），∴sinx=cosx，∴sin =cos，∴f （）=f′（），故选：D．【点评】本题考查了导数的运算法则和三角函数值，属于基础题．5．（5分）（2016春•厦门期末）2016法国欧洲杯比赛于6月中旬揭开战幕，随机询问100参考公式k2=，（其中n=a+b+c+d））A．有95%的把握认为“喜欢足球与性别相关”B．有95%的把握认为“喜欢足球与性别无关”C．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“喜欢足球与性别无关”D．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“喜欢足球与性别有关”【分析】根据条件求出观测值，同所给的临界值进行比较，根据4.17＞3.841，即可得到结论．【解答】解：由题意K2=≈4.17，由于P（x2≥3.841）≈0.05，∴有95%把握认为“喜欢足球与性别相关”．故选：A．【点评】本题考查独立性检验的应用，解题的关键是正确理解观测值对应的概率的意义．6．（5分）（2016春•厦门期末）下列选项中，与其他三个选项所蕴含的数学推理不同的是（）A．独脚难行，孤掌难鸣B．前人栽树，后人乘凉C．物以类聚，人以群分D．飘风不终朝，骤雨不终日【分析】利用归纳推理、演绎推理的定义，即可得出结论．【解答】解：由题意，根据归纳推理是由特殊到一般的推理过程，可得A，C，D是归纳推理，B是演绎推理，故选：B．【点评】判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程．7．（5分）（2016春•厦门期末）已知过双曲线Г：=1（a＞0，b＞0）的右焦点F2作圆x2+y2=a2的切线，交双曲线Г的左支交于点A，且AF1⊥AF2，则双曲线的渐近线方程是（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【分析】设切点为M，连接OM，运用切线的性质，以及中位线定理，可得AF1=2a，由双曲线的定义，可得AF2=2a+AF1=4a，再由勾股定理，可得c2=5a2，结合a，b，c的关系，可得b=2a，进而得到双曲线的渐近线方程．【解答】解：设切点为M，连接OM，可得OM⊥AF2，AF1⊥AF2，可得AF1∥OM，且OM=a，AF1=2a，由双曲线的定义，可得AF2=2a+AF1=4a，在直角三角形AF1F2中，AF12+AF22=F1F22，即为4a2+16a2=4c2，即有c2=5a2，由c2=a2+b2，可得b=2a，可得双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±2x．故选：A．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是渐近线方程的求法，注意运用直线和圆相切的条件和中位线定理、勾股定理，考查运算能力，属于中档题．8．（5分）（2016春•厦门期末）定义在R上的函数f（x），其导函数是f′（x），若x•f′（x）+f（x）＜0，则下列结论一定正确的是（）A．3f（2）＜2f（3）B．3f（2）＞2f（3）C．2f（2）＜3f（3）D．2f（2）＞3f（3）【分析】构造函数g（x）=xf（x）求函数的导数，利用函数的单调性即可求不等式．【解答】解：设g（x）=xf（x），则g′（x）=[xf（x）]′=xf′（x）+f（x）＜0，即函数g（x）=xf（x）单调递减，显然g（2）＞g（3），则2f（2）＞3f（3），故选：D．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，根据条件构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．9．（5分）（2016春•厦门期末）“a=4或a=﹣3“是”函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10“的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】利用导数与极值的关系、简易逻辑的判定方法即可判断出结论．【解答】解：f（x）=x3+ax2+bx+a2，f′（x）=3x2+2ax+b．∵f（x）在x=1处有极值10，∴f′（1）=3+2a+b=0，1+a+b+a2=10，化为a2﹣a﹣12=0，解得a=4或a=﹣3．反之不成立，f（x）在x=1处不一定有极值10．故“a=4或a=﹣3“是”函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10”的必要不充分条件．故选：A．【点评】本题考查了导数与极值的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）（2016春•厦门期末）记半径为1的圆为C1，C1的外切正三角形的外接圆为C2，C2的外切正三角形的外接圆C3，…C n﹣1的外切正三角形的外接圆为C n，则C16的面积是（）A．215•πB．216•πC．230•πD．232•π【分析】由题意，C1的半径为1，C2的半径为2，…C16的半径为215，即可求出C16的面积．【解答】解：由题意，C1的半径为1，C2的半径为2，…C16的半径为215，∴C16的面积是230•π，故选：C．【点评】本题考查归纳推理，考查学生的计算能力，确定C16的半径是关键．11．（5分）（2016春•厦门期末）函数f（x）图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）=lnx﹣sinx B．f（x）=lnx+cosx C．f（x）=lnx+sinx D．f（x）=lnx﹣cosx 【分析】由图象可知，f（1）＞f（）＞0，分别对A，B，C，D计算f（1），f（），再比较即可．【解答】解：由图象可知，f（1）＞f（）＞0，当x=1时，对于A：f（1）=ln1﹣sin1＜0，不符合，对于D，f（1）=ln1﹣cos1＜0，不符合，对于B：∵f（）=ln+cos=ln，f（1）=ln1+cos1=cos1，对于C：∵f（）=ln+sin=ln+1，f（1）=ln1+sin1=sin1，∴f（）＞f（1），不符合故选：B【点评】本题考查了函数图象的识别，最关键是利用排除法和函数值得变化趋势，属于基础题．12．（5分）（2016春•厦门期末）点M在抛物线C：x2=2py（p＞0）上，以M为圆心的圆与x轴相切于点N，过点N作直线与C相切于点P（异于点O），OP的中点为Q，则（）A．点Q在圆M内B．点Q在圆M上C．点Q在圆M外D．以上结论都有可能【分析】设切点的坐标，可得切线方程，进而可得N，M的坐标，即可得出结论．【解答】解：设P（a，b），则∵x2=2py，∴y=x2，∴y′=，∴过P的切线的方程为y﹣b=（x﹣a），即y=x﹣b，令y=0，可得x==，代入抛物线C：x2=2py，可得y==，∴M（，）OP的中点为Q（，），∴|MQ|=，∴点Q在圆M上，故选：B．【点评】本题考查抛物线与圆的方程的综合，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题（每题5分）13．（5分）（2016春•厦门期末）若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数=．【分析】由图得到点Z对应的复数z，代入复数，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，则答案可求．【解答】解：由图可知：z=﹣1+2i．则复数==，故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．14．（5分）（2016春•厦门期末）已知命题p：a≥2；命题q：对任意实数x∈[﹣1，1]，关于x的不等式x2﹣a≤0恒成立，若p且q是真命题，则实数a的取值范围是[2，+∞）．【分析】根据不等式恒成立求出命题q的等价条件，结合p且q是真命题，建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：命题q：对任意实数x∈[﹣1，1]，关于x的不等式x2﹣a≤0恒成立，即a≥x2，恒成立，∵0≤x2≤1，∴a≥1，若p且q是真命题，则p，q同时为真命题，则，即a≥2，故答案为：[2，+∞）【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题的等价条件是解决本题的关键．15．（5分）（2016春•厦门期末）已知点P是椭圆Г：=1（a＞b＞0）上的一点，F1、F2为椭圆的左、右焦点，若∠F1PF2=60°，且△PF1F2的面积为a2，则椭圆的离心率是．【分析】由∠F1PF2=60°，△PF1F2的面积为a2，可得|PF1|•|PF2|．再根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，利用余弦定理得到a，c的关系，即可求出椭圆的离心率．【解答】解：由∠F1PF2=60°，△PF1F2的面积为a2，可得|PF1|•|PF2|•sin∠F1PF2=|PF1|•|PF2|=a2，∴|PF1|•|PF2|=a2．再根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a．再利用余弦定理可得4c2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|•cos60°=（|PF1|+|PF2|）2﹣3PF1•PF2=4a2﹣3a2，求得a=2c，∴e==．故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理，椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．16．（5分）（2016春•厦门期末）已知函数f（x）=（m≠0），则下列结论正确的是①④①函数f（x）是奇函数，且过点（0，0）；②函数f（x）的极值点是x=±；③当m＜0时，函数f（x）是单调递减函数，值域是R；④当m＞0时，函数y=f（x）﹣a的零点个数可以是0个，1个，2个．【分析】利用函数的解析式对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①∵f（﹣x）=﹣=﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数，∵f（0）=0，∴函数f（x）过点（0，0），故正确；②m＞0，函数f（x）的极值点是x=±；，故不正确③当m＜0时，x=0，f（0）=0，x≠0，f（x）=，函数f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）单调递减函数，故不正确；④当m＞0时，x=0，f（0）=0，x≠0，f（x）=，大致图象如图所示所以函数y=f（x）﹣a的零点个数可以是0个，1个，2个．正确．故答案为：①④．【点评】本题考查函数的解析式与性质，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题17．（10分）（2016春•厦门期末）已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x﹣3（1）若函数f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=﹣9x+b，求b的值；（2）求函数f（x）的极值．【分析】（1）求导数，f′（x）=3x2﹣6x﹣9，根据函数在图象上某点导数值和过该点切线斜率的关系即可求出x0的值，从而求出切点的坐标，进而求出b的值；（2）根据二次函数的图象容易判断导数的符号，根据极值的定义便可求出函数f（x）的极大值和极小值．【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣6x﹣9，根据题意，；∴x0=0，或2；∴①当x0=0时，f（x0）=﹣3；∴切线方程为y=﹣9x﹣3；∴b=﹣3；②当x0=2时，f（x0）=﹣25；切线方程为y=﹣9x﹣7；∴b=﹣7；（2）f′（x）=3（x﹣3）（x+1）；∴x＜﹣1时，f′（x）＞0，﹣1＜x＜3时，f′（x）＜0，x＞3时，f′（x）＞0；∴f（x）的极大值为f（﹣1）=2，f（x）的极小值为f（3）=﹣30．【点评】考查函数在函数图象上某点的导数的几何意义，直线的点斜式方程，以及二次函数的图象，极大值和极小值的概念及求法．18．（12分）（2016春•厦门期末）网购已成为当今消费者喜欢的购物方式，某机构对A、B、C、D四家同类运动服装网店的关注人数x（千人）与其商品销售件数y（百件）进行统计来近似刻画它们之间的关系（1）求y与x的回归直线方程；（2）在（1）的回归模型中，请用R2说明，销售件数的差异有多大程度是由关注人数引起的？（精确到0.01）参考公式：：；；R2═1﹣参考数据：x i y i=320；x2=110．【分析】（1）根据所给的数据，做出x，y的平均数，即得到这组数据的样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．（2）相关指数R2的计算公式，求得R2的值，即可求得销售件数的差异有多大程度是由关注人数引起的．【解答】解：（1）由==5，==15，x i y i=320，=110，===2，∴=15﹣2×5=5，∴线性回归方程为=2x+5；（2）（y i﹣）2=54，（y i﹣）2=14，R2═1﹣=1﹣=0.74，说明销售件数的差异有74%程度是由关注人数引起的．【点评】本题考查线性回归方程，考查最小二乘法求线性回归方程的系数及相关指数的计算，考查样本中心点的求法，属于基础题．19．（12分）（2016春•厦门期末）椭圆Г：=1（a＞b＞0）过点（1，），且直线l过椭圆Г的上顶点和左焦点，椭圆中心到直线l的距离等于焦距长的．（1）求椭圆Г的方程；（2）若一条与坐标轴不平行且不过原点的直线交椭圆Г于不同的两点M、N，点P为线段MN的中点，求证：直线MN与直线OP不垂直．【分析】（1）利用点到直线的距离公式整理可知a=2b，将点（1，）代入椭圆方程计算可知a=2、b=1，进而可得结论；（2）通过设点M（x1，y1）、N（x2，y2）、P（x0，y0），结合中点坐标公式，将点M、N代入椭圆方程并做差，计算即得结论．【解答】（1）解：椭圆中心到l的距离为==×2c，即a=2b，点（1，）代入椭圆方程，得：a=2、b=1，∴椭圆Г的方程为：+y2=1；（2）证明：法一：设点M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0），则，，∵•=﹣，即•=﹣，∴k MN•k OP=﹣≠﹣1，即直线MN与直线OP不垂直．法二：设直线方程为y=kx+b，M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0），联立，整理得：（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，∴x1+x2=﹣，y1+y2=k（x1+x2）+2b=，∴k OP===﹣，∵k MN•k OP=﹣≠﹣1，∴直线MN与直线OP不垂直．【点评】本题考查椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（12分）（2016春•厦门期末）厦门日报讯，2016年5月1日上午，厦门海洋综合行政执法支队在公务码头启动了2016年休渔监管执法的首日行动，这标志着厦门海域正式步入为期4个半月的休渔期．某小微企业决定囤积一些冰鲜产品，销售所囤积鱼品的净利润y 万元与投入x万元之间近似满足函数关系：f（x）=若投入2万元，可得到净利润为5.2万元．（1）试求该小微企业投入多少万元时，获得的净利润最大；（2）请判断该小微企业是否会亏本，若亏本，求出投入资金的范围；若不亏本，请说明理由（参考数据：ln2=0.7，ln15=2.7）【分析】（1）由题意可得f（2）=5.2，解得a=﹣4，讨论2≤x≤15时，求得导数和单调区间、极值和最值；由0＜x＜2时，f（x）的单调性可得f（x）的最大值；（2）讨论0＜x＜2时，f（x）＜0的x的范围，由f（x）在[2，15]的端点的函数值，可得f（x）＞0，即可判断企业亏本的x的范围．【解答】解：（1）由题意可知，当x=2时，f（2）=5.2，即有aln2﹣×22+×2=5.2，解得a=﹣4．则f（x）=．当2≤x≤15时，f（x）=﹣4lnx﹣x2+x，f′（x）=﹣﹣x+=﹣，当2＜x＜8时，f′（x）＞0，f（x）递增；当8＜x＜15时，f′（x）＜0，f（x）递减．当2≤x≤15时，f（x）max=f（8）=﹣4ln8﹣16+36=11.6．当0＜x＜2时，f（x）＜2×4﹣（2ln2）×2=5.2．故该小微企业投入8万元时，获得的净利润最大；（2）当0＜x＜2时，2x2﹣（2ln2）x＜0，解得0＜x＜ln2，该企业亏本；当2≤x≤15时，f（2）=5.2，f（15）=﹣4ln15﹣×152+×15=0.45＞0，则f（x）min=f（15）=0.45＞0，综上可得，0＜x＜ln2，即0＜x＜0.7时，该企业亏本．【点评】本题考查导数在实际问题中的运用：求最值，考查化简整理的运算能力，正确求导是解题的关键，属于中档题．21．（12分）（2016春•厦门期末）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与抛物线和y轴分别交于点P、Q，且|PF|=2|PQ|（1）求抛物线的方程；（2）过点F作互相垂直的两直线分别交抛物线于点A、B、C、D，求四边形ACBD面积的最小值．【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，以及P，Q的坐标，运用抛物线的定义和两点的距离公式，解方程可得p=4，进而得到抛物线的方程；（2）设AB：x=my+2，CD：x=﹣y+2（m≠0），联立抛物线方程，消去x，得到y的方程，运用韦达定理和弦长公式可得|AB|，|CD|，由四边形的面积公式可得S=|AB||CD|，运用基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：（1）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x=﹣，由题意可得P（，4），Q（0，4），由|PF|=2|PQ|，结合抛物线的定义可得|PF|=+，即有+=2•（p＞0），解得p=4，则抛物线的方程为y2=8x；（2）由（1）知：F（2，0），设AB：x=my+2，CD：x=﹣y+2（m≠0），联立AB方程与抛物线的方程得：y2﹣8my﹣16=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=8m，y1y2=﹣16，∴|AB|=•=•=8（1+m2），同理：|CD|=8（1+）．∴四边形ACBD的面积：S=|AB||CD|=32（1+m2）（1+）=32（2+m2+）≥128．当且仅当m2=即：m=±1时等号成立．∴四边形ACBD的面积的最小值为128．【点评】本题考查抛物线的标准方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，四边形面积的最值以及基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．22．（12分）（2016春•厦门期末）函数f（x）=（﹣x2+ax+a）e x（a＞0，e是自然常数）（1）当x∈[0，1]时，函数f（x）的最大值是，求a的值；（2）当x∈（0，1]时，证明：2x3﹣x2﹣x＞．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，得到函数的最大值，从而求出a的值即可；（2）问题转化为（﹣x2+x+）e x＜（1﹣），设g（x）=﹣x2+x+）e x，设h（x）=（1﹣），根据函数的单调性分别求出其最大值和最小值，从而证出结论．【解答】解：（1）由题意得：f′（x）=﹣（x+2）（x﹣a）e x，a＞0时，由f′（x）≥0，解得：﹣2≤x≤a，∴f（x）在[﹣2，a]递增，在（﹣∞，﹣2]，[a，+∞）递减，a≥1时，f（x）在[0，1]递增，∴f（x）max=f（1）=（2a﹣1）e=，解得：a=+＜1，不合题意，舍，0≤a＜1时，f（x）在[0，a]递增，在[a，1]递减，∴f（x）max=f（a）=ae a=，解得：a=，符合题意，综上，存在a=，使得x∈[0，1]时，f（x）的最大值是；（2）当x∈（0，1]时，要证：2x3﹣x2﹣x＞，即证（﹣x2+x+）e x＜（1﹣），设g（x）=﹣x2+x+）e x，由（1）可得g（x）max=g（）=，设h（x）=（1﹣），h′（x）=，h（x）在（0，1]递减，h（x）min=h（1）=，∴（﹣x2+x+）e x＜（1﹣），即2x3﹣x2﹣x＞．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．参与本试卷答题和审题的老师有：sxs123；546278733@；maths；whgcn；双曲线；沂蒙松；wkl197822；990524069@；cst；1619495736（排名不分先后）菁优网2016年9月4日。

福建省高二数学下学期期末试题理(含解析)

2016-2017学年福建高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知随机变量ξ服从正态分布N（4，62），P（ξ≤5）=0.89，则P（ξ≤3）=（）A．0.89 B．0.78 C．0.22 D．0.112．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（）A．100 B．200 C．300 D．4003．已知函数f（x）=ax2﹣blnx在点（1，f（1））处的切线为y=1，则a+b的值为（）A．1 B．2 C．3 D．44．一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为，则此射手每次射击命中的概率（）A．B．C．D．5．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．6．若（1+mx）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，且a1+a2+…+a6=63，则实数m的值为（）A．1或3 B．﹣3 C．1 D．1或﹣37．在（）n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为（）A．﹣7 B．7 C．﹣28 D．288．设a∈Z，且0≤a≤13，若512012+a能被13整除，则a=（）A．0 B．1 C．11 D．129．用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（）A．12 B．24 C．30 D．3610．某个部件由三个元件按图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作（其中元件1，2，3正常工作的概率都为），设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（）A．B．C．D．11．甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩12．已知随机变量ξi满足P（ξi=1）=p i，P（ξi=0）=1﹣p i，i=1，2．若0＜p1＜p2＜，则（）A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）二、填空题：本大题有6小题，每个空格5分，共30分，把答案填在答卷的相应位置. 13．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X 表示抽到的二等品件数，则DX= ．14．（1+x）2（x﹣）7的展开式中，含x3的项的系数为．15．为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+．已知=225， =1600， =4．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高．16．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1．若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[45，75）内的产品件数为X，则X数学期望为．17．已知数列{a n}为等差数列，则有a1﹣2a2+a3=0，a1﹣3a2+3a3﹣a4=0，a1﹣4a2+6a3﹣4a4+a5=0写出第四行的结论．18．下列说法中，正确的有．（写出正确的所有序号）①用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3﹣1，在验证n=1时，左边的式子是1+2=22；②用数学归纳法证明++…+＞（n∈N*）的过程中，由n=k推导到n=k+1 时，左边增加的项为+，没有减少的项；③演绎推理的结论一定正确；④（+）18的二项展开式中，共有4个有理项；⑤从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是．三、解答题：本大题有5题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．附：K2=．20．设数列{a n}的前n项和为S n，并且满足2S n=a n2+n，a n＞0（n∈N*）．（Ⅰ）求 a1，a2，a3；（Ⅱ）猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．21．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？22．一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．23．已知函数f（x）=+lnx﹣3有两个零点x1，x2（x1＜x2）（Ⅰ）求证：0＜a＜e2（Ⅱ）求证：x1+x2＞2a．2016-2017学年福建师大附中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知随机变量ξ服从正态分布N（4，62），P（ξ≤5）=0.89，则P（ξ≤3）=（）A．0.89 B．0.78 C．0.22 D．0.11【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量ξ服从正态分布N（4，62），可得这组数据对应的正态曲线的对称轴ξ=4，利用正态曲线的对称性，即可得到结果．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（4，62），∴这组数据对应的正态曲线的对称轴ξ=4∴P（ξ≤3）=P（ξ≥5），∵P（ξ≤5）=0.89∴P（ξ≥5）=1﹣0.89=0.11，∴P（ξ≤3）=0.11故选D．2．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（）A．100 B．200 C．300 D．400【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CN：二项分布与n次独立重复试验的模型．【分析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，即不发芽率为0.1，故没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B．又没发芽的补种2个，故补种的种子数记为X=2ξ，根据二项分布的期望公式即可求出结果．【解答】解：由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B．而每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X故X=2ξ，则EX=2Eξ=2×1000×0.1=200．故选B．3．已知函数f（x）=ax2﹣blnx在点（1，f（1））处的切线为y=1，则a+b的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】推导出，f（1）=a，由f（x）在点（1，f（1））处的切线为y=1，利用导数的几何意义列出方程组，求出a，b，由此能求出a+b的值．【解答】解：∵函数f（x）=ax2﹣blnx，∴，f（1）=a，∵f（x）在点（1，f（1））处的切线为y=1，∴，解得a=1，b=2，∴a+b=3．故选：C．4．一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为，则此射手每次射击命中的概率（）A．B．C．D．【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】设此射手每次射击命中的概率为p，利用对立事件概率计算公式、n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出此射手每次射击命中的概率．【解答】解：设此射手每次射击命中的概率为p，∵一射手对同一目标独立地射击四次，至少命中一次的概率为，∴，解得p=．∴此射手每次射击命中的概率为．故选：C．5．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到P=，故选A．6．若（1+mx）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，且a1+a2+…+a6=63，则实数m的值为（）A．1或3 B．﹣3 C．1 D．1或﹣3【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】根据题意，令x=0，代入（1+mx）6中，可得a0的值；再将x=1代入，可得（1+m）6=a+a1+a2+…+a6，结合题意中，a1+a2+…+a6=63，可得（1+m）6=64，解可得答案．【解答】解：根据题意，令x=0，代入（1+mx）6中，可得：（1）6=a0，即a0=1；将x=1代入（1+mx）6中，可得：（1+m）6=a0+a1+a2+…+a6，又由a1+a2+…+a6=63，则（1+m）6=a0+a1+a2+…+a6=64，解可得，m=1或﹣3；故选D．7．在（）n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为（）A．﹣7 B．7 C．﹣28 D．28【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的中间项的二项式系数最大，列出方程求出n；利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0求出常数项．【解答】解：依题意， +1=5，∴n=8．二项式为（）8，其展开式的通项令解得k=6故常数项为C86（）2（﹣）6=7．故选B8．设a∈Z，且0≤a≤13，若512012+a能被13整除，则a=（）A．0 B．1 C．11 D．12【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】由二项式定理可知512012+a=（52﹣1）2012+a的展开式中的项含有因数52，要使得能512012+a能被13整除，只要a+1能被13整除，结合已知a的范围可求【解答】解：∵512012+a=（52﹣1）2012+a=+…++a由于含有因数52，故能被52整除要使得能512012+a能被13整除，且a∈Z，0≤a≤13则可得a+1=13∴a=12故选D9．用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（）A．12 B．24 C．30 D．36【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】先涂前三个圆，再涂后三个圆．若涂前三个圆用3种颜色，求出不同的涂法种数．若涂前三个圆用2种颜色，再求出涂法种数，把这两类涂法的种数相加，即得所求．【解答】解：先涂前三个圆，再涂后三个圆．因为种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，分两类，第一类，前三个圆用3种颜色，三个圆也用3种颜色，若涂前三个圆用3种颜色，有A33=6种方法；则涂后三个圆也用3种颜色，有C21C21=4种方法，此时，故不同的涂法有6×4=24种．第二类，前三个圆用2种颜色，后三个圆也用2种颜色，若涂前三个圆用2种颜色，则涂后三个圆也用2种颜色，共有C31C21=6种方法．综上可得，所有的涂法共有24+6=30 种．故选：C．10．某个部件由三个元件按图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作（其中元件1，2，3正常工作的概率都为），设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（）A．B．C．D．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】由已知得三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为p=，设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}，C={该部件的使用寿命超过1000小时}，则P（A）=1﹣（1﹣）2=，P（B）=，P（C）=P（AB）=P（A）P（B），由此能求出该部件的使用寿命超过1000小时的概率．【解答】解：∵三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N，∴三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为p=，设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}，C={该部件的使用寿命超过1000小时}，则P（A）=1﹣（1﹣）2=，P（B）=，故该部件的使用寿命超过1000小时的概率P（C）=P（AB）=P（A）P（B）==．故选：D．11．甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，故选：D．12．已知随机变量ξi满足P（ξi=1）=p i，P（ξi=0）=1﹣p i，i=1，2．若0＜p1＜p2＜，则（）A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】由已知得0＜p1＜p2＜，＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，求出E（ξ1）=p1，E（ξ2）=p2，从而求出D（ξ1），D（ξ2），由此能求出结果．【解答】解：∵随机变量ξi满足P（ξi=1）=p i，P（ξi=0）=1﹣p i，i=1，2，…，0＜p1＜p2＜，∴＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，E（ξ1）=1×p1+0×（1﹣p1）=p1，E（ξ2）=1×p2+0×（1﹣p2）=p2，D（ξ1）=（1﹣p1）2p1+（0﹣p1）2（1﹣p1）=，D（ξ2）=（1﹣p2）2p2+（0﹣p2）2（1﹣p2）=，D（ξ1）﹣D（ξ2）=p1﹣p12﹣（）=（p2﹣p1）（p1+p2﹣1）＜0，∴E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）．故选：A．二、填空题：本大题有6小题，每个空格5分，共30分，把答案填在答卷的相应位置. 13．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X 表示抽到的二等品件数，则DX= 1.96 ．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】判断概率满足的类型，然后求解方差即可．【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02，n=100，则DX=npq=np（1﹣p）=100×0.02×0.98=1.96．故答案为：1.96．14．（1+x）2（x﹣）7的展开式中，含x3的项的系数为﹣196 ．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出．【解答】解：（1+x）2（x﹣）7=（1+2x+x2），（x﹣）7的展开式中的通项公式：T r+1=x7﹣r=（﹣2）r x7﹣2r，分别令7﹣2r=3，2，1，可得r=2，无解，3．∴T3=4x3=84x3，T4=﹣8x=﹣280x，∴（1+x）2（x﹣）7的展开式中，含x3的项的系数=﹣280×1+84=﹣196．故答案为：﹣196．15．为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+．已知=225， =1600， =4．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高166 ．【考点】BK：线性回归方程．【分析】首先求出样本中心点，然后结合回归方程过样本中心点求得回归方程，最后利用回归方程的预测作用求解该班某学生的脚长为24的身高即可．【解答】解：由题意可得：，则数据的样本中心点（22.5，160），由回归直线方程样本中心点，则，∴回归直线方程为，当x=24时，，则估计其身高为166，故答案为：166．16．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1．若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[45，75）内的产品件数为X，则X数学期望为 1.8 ．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】求出产品指标落在各区间的产品个数，得出一件产品的质量指标落在区间[45，75）内的概率，利用二项分布的数学期望公式计算．【解答】解：质量指标落在[55，85]的产品件数为100×[1﹣（0.004+0.012+0.019+0.030）×10]=35，∴质量指标落在[55，65），[65，75），[75，85]内的产品件数分别为20，10，5，又质量指标落在[45，55]的产品件数为100×0.030×10=30，∴质量指标值位于区间[45，75）内的产品件数为30+20+10=60，∴从该企业生产的这种产品中随机抽取1件，这件产品质量指标值位于区间[45，75）内的概率为=0.6．∴X～B（3，0.6），∴X的数学期望为3×0.6=1.8．故答案为：1.8．17．已知数列{a n}为等差数列，则有a1﹣2a2+a3=0，a1﹣3a2+3a3﹣a4=0，a1﹣4a2+6a3﹣4a4+a5=0写出第四行的结论a1﹣5a2+10a3﹣10a4+5a5﹣a6=0 ．【考点】DB：二项式系数的性质；8F：等差数列的性质．【分析】观察已知的三个等式，找出规律，写出第四个等式即可．【解答】解：数列{a n}为等差数列，则有a1﹣2a2+a3=0，a1﹣3a2+3a3﹣a4=0，a1﹣4a2+6a3﹣4a4+a5=0，三个式子的项数分别是3，4，5，所以第四个式子有6项．并且奇数项为正，偶数项为负，项的系数满足二项式定理系数的形式．所以第四行的结论：a1﹣5a2+10a3﹣10a4+5a5﹣a6=0．故答案为：a1﹣5a2+10a3﹣10a4+5a5﹣a6=0．18．下列说法中，正确的有④⑤．（写出正确的所有序号）①用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3﹣1，在验证n=1时，左边的式子是1+2=22；②用数学归纳法证明++…+＞（n∈N*）的过程中，由n=k推导到n=k+1 时，左边增加的项为+，没有减少的项；③演绎推理的结论一定正确；④（+）18的二项展开式中，共有4个有理项；⑤从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】对5个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于①，用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3﹣1，在验证n=1时，左边的式子是1+2+22+23，故错．对于②，用数学归纳法证明++…+＞（n∈N*）的过程中，由n=k推导到n=k+1时，左边增加的项为+，减少的项为，故错；对于③，演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定是正确的，故错；对于④，（+）18的二项展开式的通项公式为，当r=0，6，12，18时，为有理项，共有4个有理项，故正确；对于⑤，从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．解：从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有=36种不同情况，且这些情况是等可能发生的，抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的情况有5×4=20种，故抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率P=，故正确．故答案为：④⑤三、解答题：本大题有5题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．附：K2=．【考点】BL：独立性检验；B8：频率分布直方图；BE：用样本的数字特征估计总体的数字特征．【分析】（1）由题意可知：P（A）=P（BC）=P（B）P（C），分布求得发生的频率，即可求得其概率；（2）完成2×2列联表：求得观测值，与参考值比较，即可求得有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据频率分布直方图即可求得其中位数．【解答】解：（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”，由P（A）=P（BC）=P（B）P（C），则旧养殖法的箱产量低于50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62，故P（B）的估计值0.62，新养殖法的箱产量不低于50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）×5=0.66，故P（C）的估计值为，则事件A的概率估计值为P（A）=P（B）P（C）=0.62×0.66=0.4092；∴A发生的概率为0.4092；（2）2×2列联表：则K2=≈15.705，由15.705＞6.635，∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面积：（0.004+0.020+0.044）×5=0.34，箱产量低于55kg的直方图面积为：（0.004+0.020+0.044+0.068）×5=0.68＞0.5，故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+≈52.35（kg），新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）．20．设数列{a n}的前n项和为S n，并且满足2S n=a n2+n，a n＞0（n∈N*）．（Ⅰ）求 a1，a2，a3；（Ⅱ）猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．【考点】RG：数学归纳法；8H：数列递推式．【分析】（1）分别令n=1，2，3，列出方程组，能够求出求a1，a2，a3；（2）猜想：a n=n，由2S n=a n2+n可知，当n≥2时，2S n﹣1=a n﹣12+（n﹣1），所以a n2=2a n+a n﹣12﹣1，再用数学归纳法进行证明．【解答】解：（1）分别令n=1，2，3，得∵a n＞0，∴a1=1，a2=2，a3=3．（2）由（1）的结论：猜想a n=n（ⅰ）当n=1时，a1=1成立；（ⅱ）假设当n=k（k≥2）时，a k=k．那么当n=k+1时，[a k+1﹣（k+1）][a k+1+（k﹣1）]=0，∵a k+1＞0，k≥2，∴a k+1+（k﹣1）＞0，∴a k+1=k+1．这就是说，当n=k+1时也成立，∴a n=n（n≥2）．显然n=1时，也适合．综合（1）（2）可知对于n∈N*，a n=n都成立．21．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题意知X的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（2）当n≤200时，Y=n（6﹣4）=2n≤400，EY≤400；当200＜n≤300时，EY≤1.2×300+160=520；当300＜n≤500时，n=300时，（EY）max=640﹣0.4×300=520；当n≥500时，EY≤1440﹣2×500=440．从而得到当n=300时，EY最大值为520元．【解答】解：（1）由题意知X的可能取值为200，300，500，P（X=200）==0.2，P（X=300）=，P（X=500）==0.4，∴X的分布列为：（2）当n≤200时，Y=n（6﹣4）=2n≤400，EY≤400，当200＜n≤300时，若x=200，则Y=200×（6﹣4）+（n﹣200）×2﹣4）=800﹣2n，若x≥300，则Y=n（6﹣4）=2n，∴EY=p（x=200）×+p（x≥300）×2n=0.2+0.8=1.2n+160，∴EY≤1.2×300+160=520，当300＜n≤500时，若x=200，则Y=800﹣2n，若x=300，则Y=300×（6﹣4）+（n﹣300）×（2﹣4）=1200﹣2n，∴当n=300时，（EY）max=640﹣0.4×300=520，若x=500，则Y=2n，∴EY=0.2×+0.4+0.4×2n=640﹣0.4n，当n≥500时，Y=，EY=0.2+0.4+0.4=1440﹣2n，∴EY≤1440﹣2×500=440．综上，当n=300时，EY最大值为520元．22．一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得；（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值．【解答】解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）==（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）=，P（X=500）=，P（X=400）=1﹣﹣=，故X的分布列如下：故EX=400×+500×+800×=506.2523．已知函数f（x）=+lnx﹣3有两个零点x1，x2（x1＜x2）（Ⅰ）求证：0＜a＜e2（Ⅱ）求证：x1+x2＞2a．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值，求出a的范围即可；（Ⅱ）问题转化为证明f（x2）＞f（2a﹣x1），设函数g（x）=f（x）﹣f（2a﹣x），根据函数的单调性证明即可．【解答】证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=，①a≤0时，f′（x）≥0，∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，不可能有2个零点；②a＞0时，在区间（0，a）上，f′（x）＜0，在区间（a，+∞）上，f′（x）＞0，∴f（x）在区间（0，a）递减，在区间（a，+∞）递增；f（x）的最小值是f（a）=lna﹣2，由题意得：有f（a）＜0，则0＜a＜e2；（Ⅱ）要证x1+x2＞2a，只要证x2＞2a﹣x1，易知x2＞a，2a﹣x1＞a，而f（x）在区间（a，+∞）递增，∴只要证明f（x2）＞f（2a﹣x1），即证f（x2）＞f（2a﹣x1），设函数g（x）=f（x）﹣f（2a﹣x），则g（a）=0，且区间（0，a）上，g′（x）=f′（x）+f′（2a﹣x）=＜0，即g（x）在（0，a）递减，∴g（x1）＞g（a）=0，而g（x1）=f（x1）﹣f（2a﹣x1）＞0，∴f（x2）＞f（2a﹣x1）成立，∴x1+x2＞2a．。

2016-2017学年福建省厦门市高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年福建省厦门市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）抛物线x2＝4y上一点P（a，1）到焦点的距离是（）A．1B．2C．3D．43．（5分）甲、乙、丙、丁4人站成一排，要求甲、乙相邻，则不同的排法数是（）A．6B．12C．18D．244．（5分）在一次投篮训练中，甲、乙两人各投一次，设p：“甲投中”，q：“乙投中”，则“至少一人没有投中”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q5．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，N为BB1的中点，则直线AN与B1C所成角的余弦值是（）A．B．C．D．6．（5分）已知正态分布密度函数φμ，σ（x）＝，x∈（﹣∞，+∞），以下关于正态曲线的说法错误的是（）A．曲线与x轴之间的面积为1B．曲线在x＝μ处达到峰值C．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移D．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”7．（5分）若（1﹣x）n的二项展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中所有项的系数的绝对值之和是（）A．1B．256C．512D．10248．（5分）现有红、黄、蓝三种颜色供选择，在如图所示的五个空格里涂上颜色，要求相邻空格不同色，则不同涂色方法的种数是（）A．24B．36C．48D．1089．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中记录割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2﹣中“…”即代表无限次重复，但原式是个定制x，这可以通过方程2﹣＝x解得x＝1，类比之，＝（）A．B．﹣1或2C．2D．410．（5分）已知函数f（x）＝（x2+ax+b）e x+1的大致图象如图所示，则a、b的值可能是（）A．a＝﹣1，b＝2B．a＝3，b＝﹣2C．a＝4，b＝4D．a＝﹣1，b＝﹣2 11．（5分）抛物线C：y2＝2px（p＞0）与椭圆E：+＝1（a＞b＞0）有相同焦点F，两条曲线在第一象限内的交点为A，若直线OA的斜率为2，则椭圆的离心率为（）A．B．C．﹣1D．12．（5分）已知函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且x≥1时，f（x）＝xlnx，若不等式f（e x+1）≥f（ax+1）对任意x∈[0，3]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣e，e]B．[﹣，]C．[﹣e，]D．（﹣∞，e]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）x2（1+）5展开式中的常数项是．14．（5分）（x+cos x）dx＝．15．（5分）已知p：a≤m，q：函数f（x）＝sin2x﹣ax在[0，]上单调递增，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是．16．（5分）已知双曲线C ：﹣＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F （c ，0），双曲线C上一点N 满足|ON |＝c ，若双曲线的一条渐近线平分∠FON ，则双曲线的两条渐近线方程是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）教育部考试中心在对高考试卷难度与区分性能分析的研究中，在2007至2016十年间对每年理科数学的高考试卷随机抽取了若干样本，统计得到解答题得分率x 以及整卷得分率y 的数据，如下表：（1）利用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；（精确到0.01）（2）若以函数y ＝0.85﹣0.01来拟合y 与x 之间的关系，计算得到相关指数R 2＝0.87，对比（1）中模型，哪一个模型拟合效果更好？参考公式：＝，＝﹣，R 2＝1﹣参考数据：≈3.7，≈5，≈1.89，≈1.429，≈0.006，（y i ﹣）2≈0.036其中表示（1）中拟合直线对应的估计值．18．（12分）已知函数f（x）＝x3+ax2﹣6x+b（b＞0）在x＝2处取得极值．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）有两个零点，求f（x）在x＝1处的切线方程．19．（12分）某商场周年庆，准备提供一笔资金，对消费满一定金额的顾客以参与活动的方式进行奖励，顾客从一个装有大小相同的2个红球和4个黄球的袋中按指定规则取出2个球，根据取到的红球数确定奖励金额，具体金额设置如下表：现有两种取球规则的方案：方案一：一次性随机取出2个球；方案二：依次有放回取出2个球．（1）比较两种方案下，一次抽奖获得50元奖金概率的大小；（2）为使得尽可能多的人参与活动，作为公司负责人，你会选择哪种方案？请说明理由．20．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，将△CBD沿BD翻折到△EBD的位置．（1）求证：直线BD⊥平面ACE；（2）若二面角E﹣BD﹣C的大小为60°，∠DBE＝60°，求直线CE与平面ABE所成角的正弦值．21．（12分）已知圆C：x2+（y﹣）2＝经过椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点F1、F2，点N为圆C与椭圆E的一个交点，且直线F1N过圆心C．（1）求椭圆E的方程；（2）直线l与椭圆E交于A、B两点，点M的坐标为（3，0），若•＝﹣3，求证：直线l过定点．22．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣ax，a∈R．（1）讨论f（x）的极值；（2）若≤ax对任意x∈[0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围（其中e为自然对数的底数）．2016-2017学年福建省厦门市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．【解答】解：∵＝，∴复数在复平面上对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选：A．2．【解答】解：抛物线x2＝4y的焦点坐标（0，1），准线方程为：y＝﹣1，由抛物线的定义可得：抛物线x2＝4y上一点P（a，1）到焦点的距离是：2．故选：B．3．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、将甲乙看成一个整体，考虑两人之间的顺序，有A22＝2种情况，②、将这个整体与丙、丁进行全排列，有A33＝6种顺序，则有2×6＝12种不同的排法；故选：B．4．【解答】解：根据题意，设p：“甲投中”，q：“乙投中”，则￢p表示甲没有投中，￢q表示乙没有投中，“至少一人没有投中”即“甲没有投中”或“乙没有投中”，则“至少一人没有投中”可表示为（￢p）∨（￢q）；故选：A．5．【解答】解：分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，可得D（0，0，0），A（2，0，0），N（2，2，1），B1（2，2，2），C（0，2，0），∴＝（0，2，1），＝（﹣2，0，﹣2），∴∴cos＜，＞＝＝﹣，∴异面直线DE与B1C所成角的余弦值为，故选：D．6．【解答】解：由概率之和为1可知A正确；∵﹣≤0，∴φ（x）≤，当且仅当x＝μ时取等号，故B正确；当σ一定时，曲线的形状是固定的，曲线关于直线x＝μ对称，故C正确；当μ一定时，曲线的对称轴固定，∴σ越小是，曲线的最大值越大，故曲线月高瘦，故D错误．故选：D．7．【解答】解：∵（1﹣x）n的二项展开式中仅有第5项的二项式系数最大，∴n＝8，∴展开式中所有项的系数的绝对值之和是：＝28＝256．故选：B．8．【解答】解：根据题意，先给左边第一个位置涂色，可以涂3种不同的颜色中的任意一种，有3种涂法，再给第二个位置涂色，只能涂剩余的两种中的一种有，有2种涂法，同理：第三、四、五个位置都只有2中涂法，则一共有3×2×2×2×2＝48种涂色方法；故选：C．9．【解答】解：由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子．令＝m（m＞0），则两边平方得，则2+＝m2，即2+m＝m2，解得，m＝2，m＝﹣1舍去．故选：C．10．【解答】解：结合图象，令x＝0，可得f（0）＝b+1＜0，∴b＜﹣1，故排除A、C．令f′（x）＝（2x+a）e x＝0，求得x＝﹣，可得﹣是函数的极小值点，结合图象，﹣＞0，∴a＜0，故排除B，故选：D．11．【解答】解：由题意可得：＝．设A（x0，2x0）．代入y2＝2px．则＝2px0，x0＞0，解得x0＝．把x＝c代入椭圆方程可得：＝1，y＞0．解得y＝．∴p＝．∴＝2，化为：+4﹣4＝0，解得：＝2﹣2．∴e＝＝＝＝﹣1．故选：C．12．【解答】解：函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），∴函数f（x）的图象关于直线x＝1对称．x≥1时，f（x）＝xlnx，∴f′（x）＝lnx+1≥1＞0，因此函数f（x）单调递增；可得x＜1时，函数f（x）单调递减．e x+1＞1．①当ax+1≥1时，由不等式f（e x+1）≥f（ax+1）对任意x∈[0，3]恒成立，∴a≥0，e x+1≥ax+1，即e x≥ax，对任意x∈[0，3]恒成立．x＝0时恒成立．x∈（0，3]时a≤，令g（x）＝，g′（x）＝，可得x＝1时，函数g（x）取得极小值即最小值，g（1）＝e．∴a≤e．∴0≤a≤e．②当ax+1＜1时，ax＜0．由不等式f（e x+1）≥f（ax+1）化为f（1﹣e x）≥f（ax+1）对任意x∈[0，3]恒成立，∴a＜0．∵x＜1时，函数f（x）单调递减．∴1﹣e x≤ax+1，即﹣e x≤ax．x＝0时恒成立．当x∈（0，3]时，a≥﹣，令h（x）＝﹣，h′（x）＝，可得x＝1时，函数h（x）取得极大值即最大值，h（1）＝﹣e．∴﹣e≤a＜0．综上可得：﹣e≤a≤e．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．【解答】解：（1+）5展开式中的通项公式为：T r+1＝•，当r＝2时，•＝；∴x2（1+）5展开式中的常数项是x2•＝40．故答案为：40．14．【解答】解：∵（x2++sin x）′＝x+cos x，∴（x+cos x）dx＝（x2+sin x）＝2．故答案为：2．15．【解答】解：∵函数f（x）＝sin2x﹣ax在[0，]上单调递增，∴f′（x）＝2cos2x﹣a≥0，在[0，]上恒成立，∴a≤2cos2x，∵x∈[0，]，∴2x∈[0，]，∴1≤2cos2x≤2，∴a≤1，∵p是q的充分不必要条件，p：a≤m，∴m＜1，故答案为：（﹣∞，1）16．【解答】解：设双曲线的左焦点为F'，连接NF'，由双曲线的渐近线y＝x垂直平分线段NF'，可得NF'与渐近线平行，即有NF⊥NF'，设|NF'|＝m，由双曲线的定义可得|NF|＝2a+m，由渐近线的斜率可得tan∠NF'F＝＝，解得m＝，在直角三角形NFF'中，可得（2c）2＝m2+（2a+m）2，即有4c2＝（）2+（）2，由c2＝a2+b2，化简可得（b﹣a）2＝a2，即为b＝2a，则双曲线的两条渐近线方程是y＝±x，即为y＝±2x．故答案为：y＝±2x．三、解答题（共6小题，满分70分）17．【解答】解：（1）根据题意，n＝10，＝x i＝0.37，＝y i＝0.5，＝＝≈0.67，＝﹣＝0.5﹣0.67×0.37≈0.25，∴y关于x的线性回归方程＝0.67x+0.25；（2）以函数y＝0.85﹣0.01来拟合y与x之间的关系，计算得到相关指数为R2＝0.87，又（1）中模型，计算相关指数为R2＝1﹣＝1﹣≈0.83，∵0.87＞0.83，∴（2）中拟合效果要好些．18．【解答】解：（1）函数f（x）＝x3+ax2﹣6x+b（b＞0）的导数为f′（x）＝3x2+2ax﹣6，由f（x）在x＝2处取得极值，可得f′（2）＝12+4a﹣6＝0，解得a＝﹣，即有f′（x）＝3x2﹣3x﹣6，由f′（x）＞0，可得x＞2或x＜﹣1；由f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜2．则f（x）的增区间为（﹣∞，﹣1），（2，+∞）；减区间为（﹣1，2）；（2）由f（x）＝x3﹣x2﹣6x+b（b＞0），由f（x）的增区间为（﹣∞，﹣1），（2，+∞）；减区间为（﹣1，2），可得f（﹣1）为极大值b+，f（2）为极小值b﹣10，由f（x）有两个零点，可得b﹣10＝0，即b＝10，f（x）＝x3﹣x2﹣6x+10的导数为f′（x）＝3x2﹣3x﹣6，可得f（x）在x＝1处的切线斜率为﹣6，切点为（1，），则f（x）在x＝1处的切线方程为y﹣＝﹣6（x﹣1），即为12x+2y﹣19＝0．19．【解答】解：（1）记在方案一下一次抽奖获得的奖金为随机变量ξ，在方案二下一次抽奖获得的奖金为随机变量η，方案二中，从6个球中任取一球，恰是红球的概率p＝，则P（ξ＝50）＝＝，P（η＝50）＝（）2＝，∵P（ξ＝50）＜P（η＝50），∴第二种方案一次抽奖获得50元奖金概率更大．（2）方案一：P（ξ＝5）＝＝，P（ξ＝10）＝＝，P（ξ＝50）＝，E（ξ）＝＝，方案二：P（η＝5）＝（1﹣）2＝，P（η＝10）＝＝，P（η＝50）＝（）2＝，E（η）＝，E（ξ）＜E（η），作为公司负责人应选择方案一才能使尽可能多的人参与活动．20．【解答】证明：（1）连结AC、BD，交于点O，连结EO，∵四边形ABCD为菱形，∴EO⊥BD，CO⊥BD，∵EO∩CO＝O，EO，CO⊂平面ACE，∴BD⊥平面ACE．解：（2）以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝2，则C（0，，0），E（0，，），A（0，﹣，0），B（1，0，0），＝（0，﹣，），＝（﹣1，﹣，0），＝（﹣1，，），设平面ABE的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（﹣，1，﹣），设直线CE与平面ABE所成角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线CE与平面ABE所成角的正弦值为．21．【解答】解：（1）由题意可知：圆心为（0，），半径r＝，直线F1N过圆心C，则直线F1N过圆心的直径，则丨F1N丨＝3，O，C分别为F1N及F1F2N中点，则OC为△NDF1F2的中位线，则丨NF2丨＝2丨OC丨＝，则2a＝丨NF2丨+丨NF1丨＝4，即a＝2，将F2（c，0）代入圆方程，解得：c＝，则b＝＝，∴椭圆的标准方程为：；（2）证明：方法一：证明若直线l不平行x轴，这直线l：x＝my+t，则，整理得：（m2+2）y2+2mty+t2﹣12＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则△＝12m2﹣8t2+96＞0，则y1+y2＝﹣，y1y2＝，则•＝（x1﹣3）（x2﹣3）+y1y2＝﹣3，则﹣+（t﹣3）2+3＝0，整理得：3t2﹣12t+12＝0，解得：t＝2，满足△＞0，直线l垂直y轴，设直线y＝n，将y＝n代入椭圆，整理得：x2＝12﹣12n2，则x1x2＝12n2﹣12，x1+x2＝0，则•＝﹣（x1﹣3）（x2﹣3）+y1y2＝3n2﹣3＝﹣3，解得：n＝0，即直线l也过定点P（2，0），则直线l过定点P（2，0）．方法二：证明：由图形的对称轴，直线l所过定点在x轴上，不妨设定点P（t，0）若直线l垂直与x轴，直线l：x＝t，代入椭圆方程，则A（t，），B（t，﹣）或A（t，﹣），B（t，），由•＝﹣3，则（t﹣3）2﹣＝﹣3，整理得：t2﹣4t+4＝0，解得：t＝2，（2）设直线l不垂直与x轴时，设直线l：y＝k（x﹣2），联立方程：，整理得：（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣12＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝，△＝16（4k2+3）＞0由•＝（x1﹣3）（x2﹣3）+y1y2＝（x1﹣3）（x2﹣3）+k2（x1﹣2）（x1﹣2），＝（1+k2）x1x2﹣（3+2k2）（x1+x2）+9+4k2，＝，＝＝﹣3，符合题意，综上可知：直线l恒过定点（2，0）．22．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝ln（x+1）﹣ax，a∈R，∴﹣a，（x＞﹣1），①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，）上单调递增，无极值；②当a＞0时，，当﹣1＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，）上单调递增；当x＞时，f′（x）＜0，f（x）在（，+∞）上单调递减．∴y极大值＝f（）＝﹣lna+a﹣1，无极小值．综上：当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）有极大值﹣lna+a﹣1，无极小值．（2）∵≤ax对任意x∈[0，+∞）恒成立，∴≤ax，∴ln（x+1）﹣axe x≤0，记F（x）＝ln（x+1）﹣axe x（x≥0），只需F（x）max≤0，∴，①当a≤0时，＞0，a（x+1）e x≤0，∴F′（x）＞0，F（x）在[0，+∞）上是单调递增函数，∴当x＞0时，F（x）＞F（0）＝0，不合题意，舍去．②当a＞0时，．（i）当a≥1时，∵x≥0，∴a（x+1）2e x≥1，∴≤0，∴F（x）在[0，+∞）上单调递减，故当x≥0时，F（x）≤F（0）＝0，符合题意．（ii）当0＜a＜1时，记g（x）＝1﹣a（x+1）2e x，（x≥0），∴g′（x）＝﹣a（x+1）（x+3）e x＜0，g（x）在[0，+∞）上单调递减，又g（0）＝1﹣a＞0，g（﹣1）＝1﹣＜0，∴存在唯一x0∈（0，），使得g（x0）＝0，当0＜x＜x0时，g（x）＞g（x0）＝0，从而＞0，即F（x）在（0，x0）上单调递增，∴当0＜x＜x0时，F（x）＞F（0）＝0，不符合要求，舍去．综上，得a≥1．即实数a的取值范围是[1，+∞）．。

福建省厦门市海沧中学2015-2016学年高二下学期期末考试数学(文)试题含答案

绝密★启用前厦门海沧中学2016年高2014级第二学段期末质量评估数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知命题:p x R ∀∈,都有20x≥且220x x -≥，则p ⌝为（）A ．x R ∀∈，都有20x≤或220x x -≤ B ．0xR ∃∈，使得020x ≥或20020x x -≥ C ．0xR ∃∈，使得020x ≤且20020x x -≤ D ． 0xR ∃∈，使得020x ≤或20020x x -≤ 2．函数2(01)xy aa a =+>≠且图象一定过点（）A ．(0,1)B ．(1,0)C ． (0,3)D ．(3,0)3．实数a b c ===的大小关系正确的是A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<4．已知函数f （x ）的导函数为f ′（x)，且满足f (x )＝2xf ′（1）＋ln x ，则f ′（1)＝A ．－1B ．－eC ．1D ．e5．根据表格中的数据,可以断定函数3()ln f x x x=-的零点所在的区间是A ．(1,2)B ．(2,e)C ．6．下列四个命题:①命题“若1,0232==+-x x x则”的逆否命题为“若023,12≠+-≠x x x 则”;②“x>2”是“0232>+-x x ”的充分不必要条件;③若p ∧q 为假命题，则p,q 均为假命题；④对于命题01,:,01,:22≥++∈∀⌝<++∈∃x x R x p x x R x p 均有为则使得其中，错误的命题的个数是( ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．某程序的框图如图所示,运行该程序时，若输入的x=0.1，则运行后输出的y 值是A ．﹣1 B.0。

5 C ．2D ．108．设偶函数)(x f 满足)0(42)(≥-=x x x f ,则0)2(>-x f 的解集为A ．{}|24x x x <->或B ． {}|04x x x <>或C ． {}|06x x x <>或D ．{}|22x x x <->或9。

厦门市下高二期末质检卷理

福建省厦门2016－2017学年度下学期期末考试高二数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数ii+1（i 为复数单位）在复平面上对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．抛物线y x 42=上一点()1,a P 到焦点的距离是（）A ．1B ．2C ．3D ．43．甲乙丙丁四人站成一排，要求甲乙相邻，则不同的排法是（） A ．6 B ．12C ．18D ．244．在一次投篮训练中，甲乙各投一次，设p ：“甲投中”，q ：“乙投中”，则至少一人没有投中可表示为（） A ．q p ⌝∨⌝B ．q p ⌝∨C ．q p ⌝∧⌝D ．q p ∨5．正方体1111D C B A ABCD -中，N 为1BB 中点，则直线AN 与C B 1所成角的余弦值为（）A ．105B ．55 C ．10103 D ．10106．已知正态分布密度函数()()()222,,x x x μσϕ--=∈-∞+∞ ，以下关于正态曲线的说法错误的是（）A ．曲线与x 轴之间的面积为1B ．曲线在u x =处达到峰值σπ21C ．当σ的值一定时，曲线的位置由u 确定，曲线随着u 的变化而沿x 轴平移D ．当u 的值一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越矮胖7．若()nx -1的二项展开式中仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中所有项的系数的绝对值之和是（）A ．1B ．256C ．512D ．10248．现有红、黄、蓝三种颜色供选择，在如图所示的五个空格里涂上颜色，，要求相邻空格不同色，则涂色方法种数是（）A ．24B ．36C ．48D ．1089．我国古代数学明珠《九章算术》中记录割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。

”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在⋯---21212中…即代表无限次重复，但原式是个定值x ，这可以通过方程x x=-12解的1=x ,类比之，⋯+++222=（） A ．2 B ．-1或2C ．2D ．410．已知函数()1)(2+++=xe b ax x xf 的大致图像如图所示，则b a 、的值可能是（） A ．2,1=-=b a B ．2,3-==b aC ．4,4==b aD ．2,1-=-=b a11．抛物线()022>=p px y C ：与椭圆()012222>>=+b a by a x E ：有相同的焦点F ，两条曲线在第一象限的交点为A ，若直线OA 的斜率为2，则椭圆的离心率为（）A ．22B ．226- C ．12-D ．426+12．已知函数)(x f 满足)1()1(x f x f -=+，且1≥x 时，x x x f ln )(=，若不等式)1()1(+≥+ax f e f x对任意的[]3,0∈x 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[]e e ,-B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,322e eC ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,2e eD ．(]e ,∞-二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13．5221⎪⎭⎫⎝⎛+x x 展开式中的常数项是．14．计算()=+⎰-dx x x 22cos ππ ．15．已知p ：m a ≤，q ：函数ax x x f -=2sin )(在⎥⎦⎤⎢⎣⎡60π，上单调递减，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是．16．已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x C ：的右焦点()0,c F ，双曲线C 上一点N 满足c ON =||，若双曲线的一条渐近线平分FON ∠，则双曲线两条渐近线方程是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）教育部考试中心在对高考试卷难度与区分性能分析的研究中，在2007至2016十年间对每年理科数学的高考试卷随机抽取了若干样本，统计得到解答题得分率x 以及整卷得分率y 的数据，如下表：（1）利用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；（精确到0.01）（2）若以函数01.085.0-=x y 来拟合y 与x 之间的关系，计算得到相关指数87.02=R ．对比（1）中模型，哪一个模型拟合效果更好？参考公式：∑∑==∧-⋅-=ni ini ii xn xy x n yx b 1221，.x b y a ∧∧-=∑∑==∧---=n i ini i iy yy yR 12122)()(1，参考数据：,036.0)(,006.0)(,429.1,89.1,5,7.321011011012101101101≈-≈-≈≈≈≈∑∑∑∑∑∑=∧=====y y y y x y x y xi iii ii i i i i i i i i.其中∧i y 表示（1）中拟合直线对应的估计值．18．（本小题满分12分）已知函数)0(6)(23>+-+=b b x ax x x f 在2=x 处取得极值．（1）求)(x f 的单调区间；（2）若)(x f 有两个零点，求)(x f 在1=x 处的切线方程．19．（本小题满分12分）某商场周年庆，准备提供一笔资金，对消费满一定金额的顾客以参与活动的方式进行奖励，顾客从一个装有大小相同的2个红球和4个黄球的袋中按指定规划取出2个球，根据取到的红球数确定奖励金额，具体金额设置如下表：现有两种取球规则的方案：方案一：一次性随机取出2个球；方案二：依次有放回取出2个球．（1）比较两种方案下，一次抽奖获得50元奖金概率的大小；（2）为使得尽可能多的人参与活动，作为公司负责人，你会选择哪种方案？请说明理由．20．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为菱形，将CBD ∆沿BD 翻折到EBD ∆的位置．（1）求证：直线⊥BD 平面ACE ；（2）若二面角C BD E --的大小为︒60，︒=∠60DBE ，求直线CE 与平面ABE 所成角的正弦值．21．（本小题满分12分）已知圆427)23(:22=-+y x C 经过椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的左、右焦点21F F 、，点N 为圆C 与椭圆E 的一个交点，且直线N F 1过圆心C ．（1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 与椭圆E 交于B A 、两点，点M 的坐标为()0,3．若3-=⋅MB MA ，求证：直线l 过定点．22．（本小题满分12分）已知函数R a ax x x f ∈-+=,)1ln()(．（1）讨论)(x f 的极值；EDCBA（2）若ax e axx f x≤+)(对任意[)+∞∈,0x 恒成立，求实数a 的取值范围．（其中e 为自然对数的底数）。

2015-2016学年福建省厦门市海沧中学高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)

2015-2016学年福建省厦门市海沧中学高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知命题p：∀x∈R，都有2x≥0且x2﹣2x≥0，则￢p为（）A．∀x∈R，都有2x≤0或x2﹣2x≤0B．∃x0∈R，使得2x0≥0或x02﹣2x0≥0C．∃x0∈R，使得2x0≤0且x02﹣2x0≤0D．∃x0∈R，使得2x0＜0或x02﹣2x0＜02．（5分）函数y＝a x+2（a＞0且a≠1）图象一定过点（）A．（0，1）B．（0，3）C．（1，0）D．（3，0）3．（5分）实数a＝0.，b＝0.2，c＝的大小关系正确的是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a4．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（1）+lnx，则f′（1）＝（）A．﹣e B．﹣1C．1D．e5．（5分）根据表格中的数据，可以断定函数f（x）＝lnx﹣的零点所在的区间是（）A．（1，2）B．（2，e）C．（e，3）D．（3，5）6．（5分）下列四个命题：①命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件；③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；④对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则¬p为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0．其中，错误的命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（5分）某程序的框图如图所示，运行该程序时，若输入的x＝0.1，则运行后输出的y值是（）A．﹣1B．0.5C．2D．108．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）＝2x﹣4（x≥0），则不等式f（x﹣2）＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜﹣2或x＞2}9．（5分）已知函数f（x）＝ax3+3x2﹣x+2在R上是减函数，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，3）B．（﹣∞，﹣3]C．（﹣3，0）D．[﹣3，0）10．（5分）已知f（x）＝ln（x2+1），g（x）＝（）x﹣m，若∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．（﹣∞，﹣] 11．（5分）函数y＝2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于y＝﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）＝1，则a＝（）A．﹣1B．1C．2D．4二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）函数f（x）＝的定义域为M，g（x）＝ln（1+x）的定义域为N，则M∩N＝．14．（5分）若f（x）是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）＝2x（1﹣x），则f（2015.5）＝．15．（5分）用min{a，b}表示a，b两个数中的较小值．设f（x）＝min{2x﹣1，}（x＞0），则f（x）的最大值为．16．（5分）已知幂函数f（x）的图象经过点（，），P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜x2）是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x1f（x1）＞x2f（x2）；②x1f（x1）＜x2f（x2）；③＞；④＜．其中正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．17．（10分）（Ⅰ）已知命题p：函数f（x）＝（2a﹣5）x是R上的减函数；命题q：在x∈（1，2）时，不等式x2﹣ax+2＜0恒成立，若p∨q是真命题，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设条件p：2x2﹣3x+1≤0，条件q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝log2（2x+1）（Ⅰ）求证：函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增；（Ⅱ）若g（x）＝log2（2x﹣1）（x＞0），且关于x的方程g（x）＝m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范围．19．（12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x万件，需另投入的成本为C（x）（单位：万元），当年产量小于80万件时，C（x）＝x2+10x；当年产量不小于80万件时，C（x）＝51x+﹣1450．假设每万件该产品的售价为50万元，且该厂当年生产的该产品能全部销售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数关系式；（2）年产量为多少万件时，该厂在该产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？20．（12分）设函数f（x）＝x+ax2+blnx，曲线y＝f（x）过P（1，0），且在P点处的切线率为2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）证明：f（x）≤2x﹣2．21．（12分）设f（x）＝e x（ax2+x+1），且曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与x轴平行．（I）求a的值，并讨论f（x）的单调性；（II）若θ∈[0，]，且|f（cosθ）﹣f（sinθ）|≤m恒成立，求m的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝e x+2x2﹣3x（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当x≥1时，若关于x的不等式f（x）≥ax恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证函数f（x）在区间[0，1）上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相应x的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据e≈2.7，≈1.6，e0.3≈1.3）．2015-2016学年福建省厦门市海沧中学高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈R，都有2x≥0且x2﹣2x≥0，则￢p为：∃x0∈R，使得2x0＜0或x02﹣2x0＜0．故选：D．2．【解答】解：由于函数y＝a x（a＞0且a≠1）图象一定过点（0，1），故函数y＝a x+2（a ＞0且a≠1）图象一定过点（0，3），故选：B．3．【解答】解：根据指数函数和对数函数的性质，知0.2＜0，0＜0.＜1，，即0＜a＜1，b＜0，c＞1，∴b＜a＜c．故选：C．4．【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（1）+lnx，（x＞0）∴f′（x）＝2f′（1）+，把x＝1代入f′（x）可得f′（1）＝2f′（1）+1，解得f′（1）＝﹣1，故选：B．5．【解答】解：由所给的表格可得f（e）＝1﹣1.1＝﹣0.1＜0，f（3）＝1.1﹣1＝0.1＞0，∴f（e）f（3）＜0，故函数的零点所在的区间为（e，3），故选：C．6．【解答】解：①命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确；②若x＞2则x2﹣3x+2＞0，充分性成立；反之，若x2﹣3x+2＞0，则x＞2或x＜1，必要性不成立，即“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，②正确；③若p∧q为假命题，则p，q必有一个为假命题，不一定均为假命题，故③错误；④对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则¬p为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，正确．故选：A．7．【解答】解：当x＝0.1时，满足第一个判断框中的条件，执行“是”，也满足第二个判断框中的条件，执行“是”，将x＝0.1代入y＝lgx得y＝﹣1故选：A．8．【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，所以f（﹣x）＝﹣2x﹣4，又函数为偶函数，所以f（x）＝﹣2x﹣4，当x≥0时，由f（x）＝2x﹣4＞0，得x＞2，当x＜0时，由f（x）＝﹣2x﹣4＞0，得x＜﹣2，所以不等式f（x﹣2）＞0的解集为{x|x＜0，或x＞4}．故选：B．9．【解答】解：由f（x）＝ax3+3x2﹣x+2，得到f′（x）＝3ax2+6x﹣1，因为函数在R上是减函数，所以f′（x）＝3ax2+6x﹣1≤0恒成立，所以，由△＝36+12a≤0，解得a≤﹣3，则a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．故选：B．10．【解答】解：因为x1∈[0，3]时，f（x1）∈[0，ln10]；x2∈[1，2]时，g（x2）∈[﹣m，﹣m]．故只需0≥﹣m⇒m≥．故选：A．11．【解答】解：∵f（x）＝y＝2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）＝2（﹣x）2﹣e|﹣x|＝2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x＝±2时，y＝8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）＝y＝2x2﹣e x，∴f′（x）＝4x﹣e x＝0有解，故函数y＝2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．12．【解答】解：∵与y＝2x+a的图象关于y＝x对称的图象是y＝2x+a的反函数，y＝log2x﹣a（x＞0），即g（x）＝log2x﹣a，（x＞0）．∵函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于y＝﹣x对称，∴f（x）＝﹣g（﹣x）＝﹣log2（﹣x）+a，x＜0，∵f（﹣2）+f（﹣4）＝1，∴﹣log22+a﹣log24+a＝1，解得，a＝2，故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．【解答】解：由f（x）＝，得到1﹣x＞0，即x＜1，∴M＝（﹣∞，1），由g（x）＝ln（1+x），得到1+x＞0，即x＞﹣1，∴N＝（﹣1，+∞），则M∩N＝（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1）．14．【解答】解：∵函数f（x）是周期为4的奇函数，∴f（2015.5）＝f（504×4﹣）＝f（﹣）＝﹣f（）．∵当0≤x≤1时，f（x）＝2x（1﹣x），∴＝2××＝．∴f（﹣）＝﹣f（）＝﹣．∴f（2015.5）＝f（﹣）＝﹣f（）＝﹣．故答案为：﹣．15．【解答】解：由题意，∵0＜x≤1时，2x﹣1∈（﹣1，1]；x＞1时，∈（0，1）∴f（x）的最大值为1故答案为：1．16．【解答】解：依题意，设f（x）＝xα，则有（）α＝，即（）α＝（），所以α＝，于是f（x）＝x．由于函数f（x）＝x在定义域[0，+∞）内单调递增，所以当x1＜x2时，必有f（x1）＜f（x2），从而有x1f（x1）＜x2f（x2），故②正确；又因为，分别表示直线OP、OQ的斜率，结合函数图象，容易得出直线OP的斜率大于直线OQ的斜率，故＞，所以③正确．答案②③三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．17．【解答】解：（Ⅰ）在p中，∵函数f（x）＝（2a﹣5）x是R上的减函数，∴0＜2a﹣5＜1，解得＜a＜3；在q中，由x2﹣ax+2＜0得ax＞x2+2，∵1＜x＜2，∴a＞＝x+在x∈（1，2）时恒成立；又当x∈（1，2）时，x+∈[2，3），∴a≥3；∵p∨q是真命题，故p真或q真，∴有＜a＜3或a≥3；∴a的取值范围是a＞；（Ⅱ）命题p为：{x/}，命题q为：{x/a≤x≤a+1}，￢p对应的集合A＝{x/x＞1，或x＜}，￢q对应的集合为B＝{x/x＞a+1，或x＜a}，∵若￢p是￢q的必要不充分条件，∴B⊂A，∴a+1≥1且，∴0≤a≤．18．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝log2（2x+1），任取x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝log2（2x+1+1）﹣log2（+1）＝log2，∵x1＜x2，∴0＜＜1，∴log2＜0，∴f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增；（2）∵g（x）＝m+f（x），∴m＝g（x）﹣f（x）＝log2（2x﹣1）﹣log2（2x+1）＝log2＝log2（1﹣），∵1≤x≤2，∴2≤2x≤4，∴log2≤log2（1﹣）≤log2，故m的取值范围．[log2，log2]．19．【解答】解：（1）①当0＜x＜80时，根据年利润＝销售收入﹣成本，∴＝；②当x≥80时，根据年利润＝销售收入﹣成本，∴＝．综合①②可得，．（2）由（1）可知，，①当0＜x＜80时，＝，∴当x＝60时，L（x）取得最大值L（60）＝950万元；②当x≥80时，＝1200﹣200＝1000，当且仅当，即x＝100时，L（x）取得最大值L（100）＝1000万元．综合①②，由于950＜1000，∴当产量为10万件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．20．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）＝1+2ax+，由已知条件得：，即解之得：a＝﹣1，b＝3（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），由（Ⅰ）知f（x）＝x﹣x2+3lnx，设g（x）＝f（x）﹣（2x﹣2）＝2﹣x﹣x2+3lnx，则＝当时0＜x＜1，g′（x）＞0；当x＞1时，g′（x）＜0所以在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减∴g（x）在x＝1处取得最大值g（1）＝0即当x＞0时，函数g（x）≤0∴f（x）≤2x﹣2在（0，+∞）上恒成立21．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝e x（ax2+x+1+2ax+1）．由条件知，f′（1）＝0，∴a+3+2a＝0，∴a＝﹣1．∴f′（x）＝e x（﹣x2﹣x+2）＝﹣e x（x+2）（x﹣1）．故当x∈（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）时，f′（x）＜0；当x∈（﹣2，1）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）单调减少，在（﹣2，1）单调增加；（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在[0，1]单调增加，故f（x）在[0，1]的最大值为f（1）＝e，最小值为f（0）＝1．从而对任意x1，x2∈[0，1]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1．（10分）而当时，cosθ，sinθ∈[0，1]．从而|f（cosθ）﹣f（sinθ）|≤e﹣1，所以m≥e﹣1…（12分）22．【解答】解：（1）∵f（x）＝e x+2x2﹣3x，∴f′（x）＝e x+4x﹣3，∴f′（1）＝e+1，∵f（1）＝e﹣1，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣e+1＝（e+1）（x﹣1），即（e+1）x ﹣y﹣2＝0；（2）x≥1时，不等式f（x）≥ax，可得a≤，令g（x）＝，∴g′（x）＝，∵x≥1，∴g′（x）＞0，∴g（x）在[1，+∞）上是增函数，∴g（x）min＝g（1）＝e﹣1，∴a≤e﹣1；（3）∵f'（0）＝e0﹣3＝﹣2＜0，f'（1）＝e+1＞0，∴f'（0）•f'（1）＜0令h（x）＝f'（x）＝e x+4x﹣3，则h'（x）＝e x+4＞0，f'（x）在[0，1]上单调递增，∴f'（x）在[0，1]上存在唯一零点，f（x）在[0，1]上存在唯一的极值点．取区间[0，1]作为起始区间，用二分法逐次计算如下由上表可知区间[0.3，0.6]的长度为0.3，所以该区间的中点x2＝0.45，到区间端点的距离小于0.2，因此可作为误差不超过0.2一个极值点的相应x的值∴函数y＝f（x）取得极值时，相应x≈0.45．第12页（共12页）。

2015-2016学年福建省厦门市海沧中学高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016学年福建省厦门市海沧中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）下列求导运算正确的是（）A．（x+）′＝1+B．（log2x）′＝C．（3x）′＝3x log3e D．（x2cos x）′＝﹣2x sin x2．（5分）若曲线y＝x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程x﹣y+1＝0，则（）A．a＝1，b＝1B．a＝﹣1，b＝1C．a＝1，b＝﹣1D．a＝﹣1，b＝﹣1 3．（5分）北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者（编号分别是1，2，…30号），现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（）A．25B．32C．60D．1004．（5分）设复数z满足关系式z+|z|＝2+i，那么z等于（）A．﹣+i B．﹣i C．﹣﹣i D．+i5．（5分）在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是（）A．﹣56B．﹣35C．35D．566．（5分）已知f（x）＝x3+3x2﹣mx+1在[﹣2，2]上为单调增函数，则实数m的取值范围为（）A．m≤﹣3B．m≤0C．m≥﹣24D．m≥﹣17．（5分）将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接等工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（）A．240B．300C．150D．1808．（5分）（﹣x）dx等于（）A．B．C．D．9．（5分）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（）A．∀x∈R，f（x）≤f（x0）B．﹣x0是f（﹣x）的极小值点C．﹣x0是﹣f（x）的极小值点D．﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点10．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（4）＝1．f′（x）为f（x）的导函数，已知函数y＝f′（x）的图象如图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是（）A．B．C．D．（﹣∞，﹣3）11．（5分）已知函数f（x）＝x2+2ax，g（x）＝3a2lnx+b，设两曲线y＝f（x），y＝g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）＝e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）由直线y＝2x及曲线y＝4﹣2x2围成的封闭图形的面积为．14．（5分）设a＝（sin x﹣1+2cos2）dx，则（a﹣）6•（x2+2）的展开式中常数项是．15．（5分）已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）＞xf′（x）恒成立，则不等式x2f（）﹣f（x）＞0的解集为．16．（5分）函数f（x）＝alnx+x，对任意的x∈[，e]时，f（x）≥0恒成立，则a的范围为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知z为复数，z+2i为实数，且（1﹣2i）z为纯虚数，其中i是虚数单位．（1）求复数z；（2）若复数z满足，求|ω|的最小值．18．（12分）六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙按自左至右顺序排队（可以不相邻）；（5）甲、乙站在两端．19．（12分）已知函数f（x）＝x3+x﹣16．（1）求曲线y＝f（x）在点（2，﹣6）处的切线方程；（2）直线l为曲线y＝f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．20．（12分）已知（﹣）n二项展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8：3（1）求n的值；（2）求展开式中x3项的系数（3）计算式子﹣+﹣+…+的值．21．（12分）已知函数f（x）＝x3+ax．（Ⅰ）若f（x）在x＝1处的切线平行于x轴，求a的值和f（x）的极值；（Ⅱ）若过点A（1，0）可作曲线y＝f（x）的三条切线，求a的取值范围．22．（12分）设f（x）＝（x2﹣x+）e mx，其中m≠0．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若g（x）＝f（x）﹣x﹣5恰有两个零点，求m的取值范围．2015-2016学年福建省厦门市海沧中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．【解答】解：选项A，（x+）′＝1﹣，故错误；选项B，（log2x）′＝，故正确；选项C，（3x）′＝3x ln3，故错误；选项D，（x2cos x）′＝2x cos x﹣x2sin x，故错误．故选：B．2．【解答】解：y＝x2+ax+b的导数为y′＝2x+a，可得在点（0，b）处的切线斜率为a，由点（0，b）处的切线方程为x﹣y+1＝0，可得a＝1，b＝1，故选：A．3．【解答】解：根据题意，要“确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅”，则除6、15、24号之外的另外一组三人的编号必须都大于25或都小于6号，则分2种情况讨论选出的情况：①、如果另外三人的编号都大于等于25，则需要在编号为25、26、27、28、29、30的6人中，任取3人即可，有C63＝20种情况，②、如果另外三人的编号都小于6，则需要在编号为1、2、3、4、5的5人中，任取3人即可，有C53＝10种情况，选出剩下3人有20+10＝30种情况，再将选出的2组进行全排列，对应江西厅、广电厅，有A22＝2种情况，则“确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅”的选取种数为30×2＝60种；故选：C．4．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），∵z+|z|＝2+i，∴a+bi+＝2+i，∴，解得，∴z＝+i．故选：D．5．【解答】解：∵在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，∴n＝8，展开式的通项公式为T r+1＝＝•（﹣1）r•x8﹣2r，令8﹣2r＝2，则r＝3，∴展开式中含x2项的系数是﹣＝﹣56．故选：A．6．【解答】解：f（x）＝x3+3x2﹣mx+1在[﹣2，2]上为单调增函数，f′（x）＝3x2+6x﹣m≥0在[﹣2，2]上恒成立，即：m≤3x2+6x在[﹣2，2]上恒成立，即m≤（3x2+6x）min，∵当x＝﹣1时，（3x2+6x）min＝﹣3，故m的取值范围是：m≤﹣3，故选：A．7．【解答】解：将5个人分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有C53•A33种分法，分成2、2、1时，有•A33种分法，所以共有C53•A33+•A33＝150种方案，故选：C．8．【解答】解：dx表示以原点为圆心以1为半径的圆的面积的四分之一，故dx＝，xdx＝＝，∴＝dx﹣xdx＝﹣＝，故选：D．9．【解答】解：对于A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大，故A错误；对于B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点，故B错误；对于C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点，故C错误；对于D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点，故D正确．故选：D．10．【解答】解：由图可知，当x＞0时，导函数f'（x）＞0，原函数单调递增，∵两正数a，b满足f（2a+b）＜1，又由f（4）＝1，即f（2a+b）＜4，即2a+b＜4，又由a＞0．b＞0；点（a，b）的区域为图中阴影部分，不包括边界，的几何意义是区域的点与A（﹣2，﹣2）连线的斜率，直线AB，AC的斜率分别是，3；则；故选：C．11．【解答】解：函数f（x）的导数为f'（x）＝x+2a，函数g（x）的导数为，由于两曲线y＝f（x），y＝g（x）有公共点，设为P（x0，y0），则，由于x0＞0，a＞0则x0＝a，因此构造函数，由h'（t）＝2t（1﹣3lnt），当时，h'（t）＞0即h（t）单调递增；当时，h'（t）＜0即h（t）单调递减，则即为实数b的最大值．故选：D．12．【解答】解：设g（x）＝e x（2x﹣1），y＝ax﹣a，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y＝ax﹣a的下方，∵g′（x）＝e x（2x﹣1）+2e x＝e x（2x+1），∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，当x＞﹣时，g′（x）＞0，∴当x＝﹣时，g（x）取最小值﹣2，当x＝0时，g（0）＝﹣1，当x＝1时，g（1）＝e＞0，直线y＝ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，故﹣a＞g（0）＝﹣1且g（﹣1）＝﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得≤a＜1故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．【解答】解：由，得：或，所以直线y＝2x及曲线y＝4﹣2x2围成的封闭图形的面积为S＝＝（4x﹣）＝9故答案为：9．14．【解答】解：设＝＝（﹣cos x+sin x）＝1+1＝2，则多项式（a﹣）6•（x2+2）＝（2﹣）6•（x2+2）＝[••+++…+]（x2+2），故展开式的常数项为﹣×2×1﹣×2＝﹣12﹣320＝﹣332，故答案为：﹣332．15．【解答】解：令F（x）＝，则F′（x）＝，∵f（x）＞xf′（x），∴F′（x）＜0，∴F（x）＝为定义域上的减函数，由不等式x2f（）﹣f（x）＞0，得：＞，∴＜x，∴x＞1，故答案为：{x|x＞1}．16．【解答】解：∵f（x）＝alnx+x，∴x＞0，＝，要使f（x）≥0恒成立，则只需当x∈[，e]时，求函数f（x）的最小值，让最小值满足大于0，即可．若a≥0，f'（x）＞0，此时函数在[，e]单调递增，最小值为f（）＝aln+＝﹣a，此时由﹣a≥0，解得0≤a≤．若a＜0，由f'（x）＝0，得x＝﹣a，函数f（x）在x＝﹣a处取得极小值．若﹣a＜，在函数在[，e]单调递增，∴最小值为f（）＝aln+＝﹣a，此时﹣a≥0恒成立，此时﹣＜a＜0．若＜﹣a＜e，此时函数在x＝﹣a处取得最小值，此时f（﹣a）＝aln（﹣a）﹣a≥0，解得﹣e≤a．若﹣a≥e，此时函数在[，e]单调递递减，此时最小值为f（e）＝alne+e≥0，解得a≥﹣e．综上：a的范围为[﹣e，]．故答案为：．三、解答题（共6小题，满分70分）17．【解答】解：（1）设z＝a+bi（a，b∈R），则z+2i＝a+（b+2）i，因为z+2i为实数，所以有b+2＝0①…2分（1﹣2i）z（1﹣2i）（a+bi）＝a+2b+（b﹣2a）i，因为（1﹣2i）z为纯虚数，所以a+2b＝0，b﹣2a≠0，②…4分由①②解得a＝4，b＝﹣2．…6分故z＝4﹣2i．…7分（2）因为z＝4﹣2i，则＝4+2i，…8分设ω＝x+yi，（x，y∈R），因为，即（x﹣4）2+（y﹣2）2＝1…10分又|ω|＝，故|ω|最小值即为原点到圆（x﹣4）2+（y﹣2）2＝1上的点距离的最小值，因为原点到点（4，2）的距离为＝，又因为圆的半径r＝1，原点在圆外，所以|ω|的最小值即为2﹣1．…14分．18．【解答】解：（1）方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A41种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有A55种站法，根据分步计数原理，共有站A41A55＝480（种）．方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有A52种站法，然后中间4人有A44种站法，根据分步计数原理，共有站法A52A44＝480（种）．方法三：若对甲没有限制条件共有A66种法，甲在两端共有2A55种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有A66﹣2A55＝480（种）．（2）先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有A55种站法，再把甲、乙进行全排列，有A22种站法，根椐分步计数原理，共有A55A22＝240（种）站法．（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有A44种；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有A52种，故共有站法为A44A52＝480（种）．（4）先将甲、乙以外的4人从6个位置中挑选4个位置进行排列共有A64种，剩下的两个位置，左边的就是甲，右边的就是乙，全部排完，故共有A64＝360种．（5）方法一：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A22种，再让其他4人在中间位置作全排列，有A44种，根据分步计数原理，共有A22A44＝48（种）．方法二：首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有A22种站法，然后考虑中间4个位置，由剩下的4人去站，有A44种站法，由分步计数原理共有A22A44＝48种站法．19．【解答】解：（1）∵f'（x）＝（x3+x﹣16）'＝3x2+1，∴在点（2，﹣6）处的切线的斜率k＝f′（2）＝3×22+1＝13，∴切线的方程为y＝13x﹣32．（2）设切点为（x0，y0），则直线l的斜率为f'（x0）＝3x02+1，∴直线l的方程为y＝（3x02+1）（x﹣x0）+x03+x0﹣16．又∵直线l过点（0，0），∴0＝（3x02+1）（﹣x0）+x03+x0﹣16，整理，得x03＝﹣8，∴x0＝﹣2，∴y0＝（﹣2）3+（﹣2）﹣16＝﹣26，直线l的斜率k＝3×（﹣2）2+1＝13，∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为（﹣2，﹣26）．20．【解答】解：（1）由第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8：3，可得＝，化简可得＝，求得n＝10．（2）由于（﹣）n二项展开式的通项公式为T r+1＝（﹣2）r ••x5﹣r，令5﹣r＝3，求得r＝2，可得展开式中x3项的系数为（﹣2）2•＝180．（III ）由二项式定理可得，所以令x＝1得＝（1﹣2）10＝1．21．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝3x2+a，∵f（x）在x＝1处的切线平行于x轴，∴f′（1）＝3+a＝0，即a＝﹣3．∴f（x）＝x3﹣3x．令f′（x）＝3x2﹣3＝0，得x＝±1．∴f（x）极大值＝f（﹣1）＝2，f（x）极小值＝f（1）＝﹣2；（Ⅱ）设切点为（t，t3+at），则切线斜率为f′（t）＝3t2+a，∴切线方程为y﹣t3﹣at＝（3t2+a）（x﹣t），∵点A（1，0）在切线上，∴﹣t3﹣at＝（3t2+a）（1﹣t），即2t3﹣3t2﹣a＝0．（*）于是，若过点A可作曲线y＝f（x）的三条切线，则方程（*）有三个相异的实根根．记g（t）＝2t3﹣3t2﹣a，则g′（t）＝6t2﹣6t．当t∈（﹣∞，0）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数，当t∈（0，1）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数，当t∈（1，+∞）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数，∴g（t）极大值＝g（0）＝﹣a，g（t）极小值＝g（1）＝﹣1﹣a．要使方程（*）有三个相异实根，则，即﹣1＜a＜0．22．【解答】解：（1）f′（x）＝（2x﹣）e mx+m（x2﹣+）e mx＝e mx（mx2﹣x+）．设h（x）＝mx2﹣x+，则△＝1﹣8＝﹣7＜0，∴当m＞0时，h（x）＞0，当m＜0时，h（x）＜0．∵e mx＞0，∴当m＞0时，f′（x）＞0，当m＜0时，f′（x）＜0．∴当m＞0时，f（x）为增函数，当m＜0时，f（x）为减函数．（2）令g（x）＝0得f（x）＝，设F（x）＝，则F（x）过点（0，5），又f（0）＝，∵g（x）有两个零点，∴f（x）与F（x）的函数图象有两个交点，∴，解得m＞1或m＜﹣1．。

【精选试卷】厦门数学高二下期末测试(含答案解析)

一、选择题1．(0分)[ID ：13896]ABC ∆中，M 是AC 边上的点，2AM MC =，N 是边的中点，设1AB e =，2AC e =，则MN 可以用1e ，2e 表示为（）A ．121126e e - B ．121126e e -+ C ．121126e e + D ．121726e e + 2．(0分)[ID ：13885]O 为平面上的定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，若()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆是（）A ．以AB 为底面的等腰三角形 B ．以BC 为底面的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形 3．(0分)[ID ：13872]若将函数1()cos 22f x x =的图像向左平移6π个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（） A ．(,0)12πB ．(,0)6πC ．(,0)3πD ．(,0)2π4．(0分)[ID ：13869]已知关于x 的方程22cos cos 2sin 02Cx x A B -+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC 一定是( ) A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形5．(0分)[ID ：13848]已知函数()(0,0)y sin x ωθθπω=+<为偶函数，其图象与直线1y =的某两个交点横坐标为1x 、2x ，若21x x -的最小值为π，则（）A ．2,2πωθ==B ．1,22==πωθ C ．1,24==πωθ D ．2,4==πωθ6．(0分)[ID ：13846]设奇函数()()()()sin 3cos 0f x x x ωφωφω=+-+>在[]1,1x ∈-内有9个零点，则ω的取值范围为( ) A ．[)4,5ππB ．[]4,5ππC ．11,54ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,54ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦7．(0分)[ID ：13917]若O 为ABC ∆所在平面内一点，()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆形状是（）．A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．以上答案均错8．(0分)[ID ：13914]若()2sin sinsin777n n S n N πππ︒=+++∈，则在中，正数的个数是（） A ．16B ．72C ．86D ．1009．(0分)[ID ：13907]如图，在ABC ∆中，23AD AC =，13BP BD =，若AP AB AC λμ=+，则=λμ( )A ．3-B ．3C ．2D ．2-10．(0分)[ID ：13902]已知f (x )=A sin(ωx+θ)(ω>0),若两个不等的实数x 1,x 2∈()2A x f x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,且|x 1-x 2|min =π,则f (x )的最小正周期是( ) A ．3πB ．2πC ．πD ．π211．(0分)[ID ：13901]已知向量i 和j 是互相垂直的单位向量，向量n a 满足n i a n ⋅=，21n j a n ⋅=+，其中*n ∈N ，设n θ为i 和n a 的夹角，则（）A ．n θ随着n 的增大而增大B ．n θ随着n 的增大而减小C ．随着n 的增大，n θ先增大后减小D ．随着n 的增大，n θ先减小后增大12．(0分)[ID ：13899]若向量a ，b 满足2a b ==，a 与b 的夹角为60，则a b +等于（） A ．223+B ．23C ．4D ．1213．(0分)[ID ：13898]已知tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,则sin 2α=（） A ．310B ．35 C ．65-D ．125-14．(0分)[ID ：13832]如图，在ABC ∆中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若,AB a AC b ==,则AO =（）A ．1122a b + B ．1124a b + C ．1142a b + D ．1144a b +15．(0分)[ID ：13831]设0002012tan15cos 22,,21tan 15a b c ===+，则有（） A ．c a b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．a c b <<二、填空题16．(0分)[ID ：14004]已知1tan 43πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则2sin sin()cos()απαπα--+的值为__________.17．(0分)[ID ：13993]已知点1,0A ，M ，N 分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0AN MN ⋅=.若点P 满足2MP NP =，则点P 的轨迹方程是______.18．(0分)[ID ：13991]在△ABC 中，120A ∠=︒，2133AM AB AC =+，12AB AC ⋅=-，则线段AM 长的最小值为____________．19．(0分)[ID ：13970]若向量(2,1)m =，(3,2)n λ=-，且(2)//(3)m n m n -+，则实数λ=__________．20．(0分)[ID ：13969]已知1cos()63πα+=，则5sin(2)6πα+=________．21．(0分)[ID ：13968]函数1ππ()sin ()cos ()536f x x x =++-的最大值为___________. 22．(0分)[ID ：13960]已知向量(,)a m n =，向量(,)b p q =，（其中m ，n ，p ，q ∈Z ）．定义：(,)a b mp nq mq np ⊗=-+．若(1,2)a =，(2,1)b =，则a b ⊗=__________；若(5,0)a b ⊗=，则a =__________，b =__________（写出一组满足此条件的a 和b 即可）．23．(0分)[ID ：13955]已知(,)P x y 是椭圆22143x y +=上的一个动点，则x y +的最大值是__________．24．(0分)[ID ：13943]已知已知sin π3()25α+=，α∈π(0,)2，则sin(π＋α)等于__________25．(0分)[ID ：13941]已知向量a b ，均为单位向量，a 与b 夹角为3π，则|2|a b -=__________．三、解答题26．(0分)[ID ：14108]已知函数f (x )32=sin2x +cos 2x . （1）求函数f (x )的最小正周期和最大值；（2）求函数f (x )的单调递增区间. 27．(0分)[ID ：14099]已知23cos(),(,)41024x x πππ-=∈. （1）求sin x 的值；（2）求sin(2)3x π+的值. 28．(0分)[ID ：14074]已知α∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，tanα＝12，求： (1)tan2α的值； (2)sin 23πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 29．(0分)[ID ：14047]已知定义在R 上的函数()()()sin 0,0f x A x x A ωϕ=+>>的图象如图所示（1）求函数()f x 的解析式；（2）写出函数()f x 的单调递增区间（3）设不相等的实数，()12,0,x x π∈，且()()122f x f x ==-，求12x x +的值. 30．(0分)[ID ：14063]已知函数()sin sin cos 66f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1．（1）求常数a 的值；（2）求使()0f x ≥成立的x 的取值集合．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．A2．B3．A4．B5．A6．A7．A8．C9．B10．A11．B12．B13．B14．B15．A二、填空题16．【解析】【分析】先根据已知求出最后化简代入的值得解【详解】由题得由题得=故答案为【点睛】本题主要考查差角的正切和同角的商数关系平方关系意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力17．【解析】【分析】设点MNP三点坐标根据平面向量垂直特性列出方程可得结果【详解】解：设点M坐标（a0）N坐标（0b）点P坐标（xy）则=（-1b）=（-ab）而==代入可得故答案为【点睛】本题考查了平18．【解析】【分析】由可以求出由即可求出答案【详解】由题意知可得则（当且仅当即2时取=）故即线段长的最小值为【点睛】本题考查向量的数量积向量的模向量在几何中的应用及基本不等式求最值属于中档题19．【解析】依题设由∥得解得20．【解析】分析：由题意利用目标角和已知角之间的关系现利用诱导公式在结合二倍角公式即可求解详解：由题意又由所以点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题其中解答中正确构造已知角与求解角之间的关系合理选择21．【解析】分析：利用诱导公式化简函数的解析式通过正弦函数的最值求解即可详解：函数故答案为点睛：本题考查诱导公式的应用三角函数的最值正弦函数的有界性考查计算能力22．【解析】（）令∴（）∵∴①又∵∴∴∴是方程组①的一组解∴故答案为；23．【解析】是椭圆＝1上的一个动点设∴最大值为24．【解析】由题意得25．【解析】【分析】【详解】由已知得到向量的数量积为所以所以故答案为三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试1．A 解析：A 【解析】【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】由题, ()12111111322626MN MC CN AC AB AC AB AC e e =+=+-=-=-.故选：A 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算,属于基础题型.2．B解析：B 【解析】试题分析：根据题意，涉及了向量的加减法运算，以及数量积运算．因此可知2()()OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+OB OC CB -=，所以(2)OB OC OA +-⋅()0OB OC -=可知为故有||AB AC =，因此可知b=c ，说明了是一个以BC 为底边的等腰三角形，故选B. 考点：本试题主要考查了向量的数量积的运用．点评：解决该试题的关键是利用向量的加减法灵活的变形，得到长度b=c ，然后分析得到形状，注意多个变量，向一组基向量的变形技巧，属于中档题．3．A解析：A 【解析】【分析】通过平移得到1cos(2)23y x π=+，即可求得函数的对称中心的坐标，得到答案.向左平移6π个单位长度后得到1cos 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则其对称中心为(),0122k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,或将选项进行逐个验证,选A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数的图象变换，以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.4．B解析：B 【解析】分析：根据题意利用韦达定理列出关系式，利用两角和与差的余弦函数公式化简得到A=B ，即可确定出三角形形状．详解：设已知方程的两根分别为x 1，x 2，根据韦达定理得：x 1+x 2=cosAcosB ，x 1x 2=2sin 22C=1﹣cosC ， ∵x 1+x 2=12x 1x 2， ∴2cosAcosB=1﹣cosC ， ∵A+B+C=π，∴cosC=﹣cos （A+B ）=﹣cosAcosB+sinAsinB ， ∴cosAcosB+sinAsinB=1，即cos （A ﹣B ）=1， ∴A ﹣B=0，即A=B ， ∴△ABC 为等腰三角形．故选B ．点睛：此题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有：根与系数的关系，两角和与差的余弦函数公式，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．5．A解析：A 【解析】分析：首先根据12x x -的最小值是函数的最小正周期，求得ω的值，根据函数是偶函数，求得θ的值，从而求得正确的选项.详解：由已知函数sin()(0)y x ωθθπ=+<<为偶函数，可得2πθ=，因为函数sin()(0)y x ωθθπ=+<<的最大值为1，所以21x x -的最小值为函数的一个周期，所以其周期为T π=，即2=ππω，所以=2ω，故选A.点睛：该题考查的是有关三角函数的有关问题，涉及到的知识点有函数的最小正周期的求法，偶函数的定义，诱导公式的应用，正确使用公式是解题的关键，属于简单题目.6．A解析：A 【解析】f （x ）=sin （ωx+φ（ωx+φ）=2[12sin （ωx+φ（ωx+φ）] =2[cos3πsin （ωx+φ）﹣sin 3πcos （ωx+φ）]=2sin （ωx+φ﹣3π） ∵函数f （x ）为奇函数，∴f （0）=2sin （φ﹣3π）=0，∴φ=3π+kπ，k ∈Z ∴f （x ）=2sin （ωx+kπ），f （x ）=0即sin （ωx+kπ）=0，ωx+kπ=mπ，m ∈Z ，解得，x=()m k πω-，设n=m ﹣k ，则n ∈Z ，∵A ∈[﹣1，1]，∴﹣1≤x≤1,[]1,1n πω∈-，∴n ωωππ-≤≤, ∵A ∈[﹣1，1]中有9个元素,4545.ωπωππ∴≤<⇒≤< 故答案为A.点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e 为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用．7．A解析：A 【解析】【分析】根据向量的减法运算可化简已知等式为()0CB AB AC ⋅+=，从而得到三角形的中线和底边垂直，从而得到三角形形状. 【详解】()()()20OB OC OB OC OA CB AB AC -⋅+-=⋅+= ()CB AB AC ∴⊥+∴三角形的中线和底边垂直 ABC ∆∴是等腰三角形本题正确选项：A 【点睛】本题考查求解三角形形状的问题，关键是能够通过向量的线性运算得到数量积关系，根据数量积为零求得垂直关系.8．C解析：C 【解析】【分析】【详解】令7πα=，则7n n πα=，当1≤n≤14时，画出角序列n α终边如图，其终边两两关于x 轴对称，故有均为正数，而，由周期性可知，当14k-13≤n≤14k 时，Sn>0，而，其中k=1,2,…,7，所以在中有14个为0，其余都是正数，即正数共有100－14＝86个，故选C.9．B解析：B 【解析】 ∵21,33AD AC BP BD =∴=121()393AD AB AC AB -=- ∴2239AP AB BP AB AC =+=+ 又AP AB AC λμ=+，∴22,,339λλμμ=== 故选B.10．A解析：A 【解析】【分析】由题意可得123ππω⨯=，求得ω的值，可得()f x 的最小正周期是2πω的值【详解】由题意可得()1sin 2x ωθ+=的解为两个不等的实数1x ，2x且123ππω⨯=，求得23ω= 故()f x 的最小正周期是23ππω=故选A 【点睛】本题主要考查了的是三角函数的周期性及其图象，解题的关键根据正弦函数的图象求出ω的值，属于基础题11．B解析：B 【解析】【分析】分别以i 和j 所在的直线为x 轴和y 轴,以向量所在方向为正方向,建立平面直角坐标系, 可得()1,0i =,()0,1j =,设(),n n n a x y =,进而可得到tan n θ的表达式,结合函数的单调性可选出答案. 【详解】分别以i 和j 所在的直线为x 轴和y 轴,以向量所在方向为正方向,建立平面直角坐标系, 则()1,0i =,()0,1j =,设(),n n n a x y =,因为n i a n ⋅=，21n j a n ⋅=+,所以,21n n x n y n ==+, 则(),21n a n n =+,n θ为i 和n a 的夹角，211tan 2n n n n y n n x θ+===+,*n ∈N ,tan 0n θ>,则π0,2n θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 显然1tan 2n nθ=+为减函数, 又因为函数tan y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数,所以n θ随着n 的增大而减小. 故选:B. 【点睛】本题考查了向量的数量积的运算,考查了学生的推理能力,利用坐标法是解决本题的一个较好方法,属于中档题.12．B解析：B 【解析】【分析】将a b +平方后再开方去计算模长，注意使用数量积公式. 【详解】因为2222cos 6044412a b a a b b +=+︒+=++=，所以23a b +=，故选：B. 【点睛】本题考查向量的模长计算，难度一般.对于计算xa yb +这种形式的模长，可通过先平方再开方的方法去计算模长.13．B解析：B 【解析】【分析】根据tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭求得tan 3α=，2222sin cos 2tan sin 2sin cos tan 1ααααααα==++即可求解. 【详解】由题：tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， tan 121tan αα+=--，解得tan 3α=，2222sin cos 2tan 63sin 2sin cos tan 1105ααααααα====++.故选：B 【点睛】此题考查三角恒等变换，涉及二倍角公式与同角三角函数的关系，合理构造齐次式可以降低解题难度.14．B解析：B 【解析】【分析】【详解】分析：利用向量的共线定理、平行四边形法则即可得出．详解：∵在ABC ∆中，BE 是AC 边上的中线 ∴12AE AC =∵O 是BE 边的中点 ∴1()2AO AB AE =+ ∴1124AO AB AC =+ ∵,AB a AC b ==∴1124AO a b =+ 故选B.点睛：本题考查了平面向量的基本定理的应用.在解答此类问题时，熟练掌握向量的共线定理、平行四边形法则是解题的关键．15．A解析：A 【解析】【分析】利用两角差的正弦公式化简a ，分子分母同乘以2cos 15结合二倍角的正弦公式化简b ，利用降幂公式化简c ，从而可得结果. 【详解】()sin 302sin28a =︒-︒=︒ ，222sin15cos15sin 30cos 15cos 15b ==+sin28a >= sin25sin28,c a b a c ==︒<︒=∴>>，故选A.【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式，两角差的正弦公式，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.二、填空题16．【解析】【分析】先根据已知求出最后化简代入的值得解【详解】由题得由题得=故答案为【点睛】本题主要考查差角的正切和同角的商数关系平方关系意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力解析：35【解析】【分析】先根据已知求出tan α，最后化简2sin sin()cos()απαπα--+,代入tan α的值得解. 【详解】由题得tan 111,tan 1+tan 32ααα-=-∴=.由题得22222sin +sin cos sin sin()cos()=sin +sin cos =sin +cos ααααπαπαααααα--+=2211tan tan 3421tan 1514ααα++==++.故答案为35【点睛】本题主要考查差角的正切和同角的商数关系平方关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17．【解析】【分析】设点MNP 三点坐标根据平面向量垂直特性列出方程可得结果【详解】解：设点M 坐标（a0）N 坐标（0b ）点P 坐标（xy ）则=（-1b ）=（-ab ）而==代入可得故答案为【点睛】本题考查了平解析：24y x =【解析】【分析】设点M,N,P 三点坐标，根据平面向量垂直特性，列出方程可得结果. 【详解】解：设点M 坐标（a,0），N 坐标（0，b ），点P 坐标（x,y ）,则AN =（-1，b ），MN =（-a,b ），∴AN MN ⋅=20a b +=⇒2a b =-，而MP =(),x a y -,NP =(),x y b -,2MP NP=⇒()22()x x a y b y⎧=-⎨-=⎩⇒2x a y b =-⎧⎨=⎩,代入2a b =-可得24y x =. 故答案为24y x =. 【点睛】本题考查了平面向量垂直的乘积和点的轨迹方程的求法，属于简单题.18．【解析】【分析】由可以求出由即可求出答案【详解】由题意知可得则（当且仅当即2时取=）故即线段长的最小值为【点睛】本题考查向量的数量积向量的模向量在几何中的应用及基本不等式求最值属于中档题解析：3【解析】【分析】由cos120AB AC AB AC ⋅=︒，可以求出1AB AC =，由22222221414414233999999AM AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC⎛⎫=+=++⋅≥⨯+⋅ ⎪⎝⎭，即可求出答案．【详解】由题意知1cos1202AB AC AB AC ⋅=-=︒，可得1AB AC =，则222222214144144442223399999999999AM AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=++⋅≥⨯+⋅=+⋅=-=⎪⎝⎭，（当且仅当224199AB AC =，即2AB AC =时取“=”.）故23AM ≥，即线段AM . 【点睛】本题考查向量的数量积，向量的模，向量在几何中的应用，及基本不等式求最值，属于中档题．19．【解析】依题设由∥得解得解析：34-. 【解析】依题设，2(7,22),3(7,16)m n m n λλ-=-+=-+，由(2)m n -∥(3)m n +得，7(16)7(22)0λλ++-=，解得34λ=-. 20．【解析】分析：由题意利用目标角和已知角之间的关系现利用诱导公式在结合二倍角公式即可求解详解：由题意又由所以点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题其中解答中正确构造已知角与求解角之间的关系合理选择解析：79-【解析】分析：由题意，利用目标角和已知角之间的关系，现利用诱导公式，在结合二倍角公式，即可求解．详解：由题意25sin(2)sin(2)cos(2)cos[2()]2cos ()1623366ππππππααααα+=++=+=+=+-，又由1cos()63πα+=，所以22517sin(2)2cos ()12()16639ππαα+=+-=⨯-=-．点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中正确构造已知角与求解角之间的关系，合理选择三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．21．【解析】分析：利用诱导公式化简函数的解析式通过正弦函数的最值求解即可详解：函数故答案为点睛：本题考查诱导公式的应用三角函数的最值正弦函数的有界性考查计算能力解析：65【解析】分析：利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可．详解：函数()1ππ1πsin cos 353656f x x x sin x cos x π⎛⎫⎛⎫=++-=++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）（） 1ππ6π6533535sin x sin x sin x =+++=+≤（）（）（）．故答案为65．点睛：本题考查诱导公式的应用，三角函数的最值，正弦函数的有界性，考查计算能力．22．【解析】（）令∴（）∵∴①又∵∴∴∴是方程组①的一组解∴故答案为；解析：(0,5) (2,1) (2,1)- 【解析】（1）令1m =，2n =，2p =，1q =，∴0mp nq -=，5mq np +=,(0,5)a b ⊗=．（2）∵(5,0)a b =⊗，∴50mp nq mq np -=⎧⎨+=⎩，①又∵5a <，5b <，∴22222525m n p q ⎧+<⎨+<⎩，∴m ，n ，p ，q ∈Z ，∴2m =，1n =，2p =，1q =-是方程组①的一组解，∴(2,1)a =，(2,1)b =-．故答案为()0,5? ，(2,1)a =；(2,1)b =-.23．【解析】是椭圆＝1上的一个动点设∴最大值为【解析】P x y （，）是椭圆22143x y +=＝1上的一个动点，设 2x cos y ，，θθ== 2x y cos θθθϕ∴+=+=+（），24．【解析】由题意得解析：4-5【解析】由题意得3π44cos ,(0,)sin ,sin(π)sin 5255ααααα=∈∴=+=-=- 25．【解析】【分析】【详解】由已知得到向量的数量积为所以所以故答案为【解析】【分析】【详解】由已知得到向量a ，b 的数量积为1cos 32a b π⋅==，所以222|2|444213a b a a b b -=-⋅+=-+=，所以23a b -=，故答案为.三、解答题 26．（1）T =π，最大值32（2）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】利用降次公式和辅助角公式化简()f x 表达式，（1）根据()f x 表达式求得()f x 的最小正周期和最大值. （2）根据三角函数单调区间的求法，求得()f x 的单调递增区间. 【详解】21cos 2()2cos sin 2222xf x x x x +=+=+1112cos 2sin 22262x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭ （1）所以()f x 的最小正周期22T ππ==，最大值为13122+=. （2）令222262k x k πππππ-+≤+≤+，解得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式、辅助角公式，考查三角函数最小正周期、最值和单调区间的求法，属于基础题.27．(1)45；(2). 【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）先判断4x π-的取值范围，然后应用同角三角函数的基本关系式求出sin()4x π-，将所求进行变形sin sin[()]44x x ππ=-+，最后由两角和的正弦公式进行计算即可；（2）结合（1）的结果与x 的取值范围，确定cos x 的取值，再由正、余弦的二倍角公式计算出sin 2x 、cos2x ，最后应用两角和的正弦公式进行展开计算即可. 试题解析：（1）因为3(,)24x ππ∈，所以(,)442x πππ-∈，于是sin()410x π-==sin sin[()]sin()cos cos()sin4444x x x x ππππππ=-+=-+-41021025=+=（2）因为3(,)24x ππ∈，故3cos 5x ===- 2247sin 22sin cos ,cos 22cos 12525x x x x x ==-=-=-所以中sin(2)sin 2coscos 2sin333x x x πππ+=+= 考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.两角和与差公式；3.倍角公式；4.三角函数的恒等变换.28．（1）43（2 【解析】 (1)因为tanα＝12，所以tan2α＝22413tan tan αα＝－. (2)因为α∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，所以2α∈(0，π)．又tan2α>0，所以sin2α＝45，cos2α＝35.所以sin 23πα⎛⎫+⎪⎝⎭＝sin2αcos3π＋cos2αsin 4133525π⨯＝＋ 29．（1）()=4sin 23f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（3）76π；【解析】【分析】（1）根据函数的最值可得A ，周期可得ω，代入最高点的坐标可得ϕ，从而可得解析式；（2）利用正弦函数的递增区间可解得；（3）利用()2f x =-在(0,)x π∈内的解就是1x 和2x ，即可得到结果. 【详解】（1）由函数()f x 的图象可得4A =，又因为函数的周期72()1212T πππ=-=，所以22πωπ==，因为函数的图象经过点(,4)12P π，即4sin(2)412πϕ⨯+=，所以2,62k k Z ππϕπ+=+∈，即2,3k k Z πϕπ=+∈，所以()4sin(22)4sin(2)33f x x k x πππ=++=+.（2）由222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，可得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，可得函数()f x 的单调递增区间为：5[,],1212k k k Z ππππ-+∈，（3）因为(0,)x π∈，所以72(,)333x πππ+∈，又因为()2f x =-可得1sin(2)32x π+=-，所以7236x ππ+=或11236x ππ+=，解得512x π=或34x π=，、因为12x x ≠且()12,0,x x π∈，12()()2f x f x ==-，所以1253147124126x x ππππ+=+==. 【点睛】本题考查了由图象求解析式，考查了正弦函数的递增区间，考查了由函数值求角，属于中档题.30．（1）1a =-，（2）2|22,3x k x k k πππ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z 【解析】试题分析：（1）()(sin coscos sin )(sin cos cos sin )cos 6666f x x x x x x a ππππ=++-++cos x x a =++2sin()6x a π=++∴max ()21f x a =+=，∴1a =- （2）∵()2sin()16f x x π=+-，∴2sin()106x π+-≥，∴1sin()62x π+≥， ∴522,666k x k k πππππ+≤+≤+∈Z ，解得222,3k x k k πππ≤≤+∈Z ， ∴使()0f x ≥成立的x 的取值集合为2|22,3x k x k k πππ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z 考点：本题考查了三角函数的变换及三角不等式的解法点评：，对三角函数性质和图象的综合考查主要体现为一个题目中考查三角函数的多种性质及图象的变换、作法等.在其具体的解题过程中，一般都需要先将三角函数的解析式转化为只含有一种函数、一个角(ωx ＋Φ)的形式，再根据题目具体的要求进行求解.。

福建省厦门市海沧中学2015-2016学年高二下学期期末考试数学(理)试题含答案

绝密★启用前厦门海沧中学2016年高2014级第二学段期末质量评估数学（理)试题(满分：150分;考试时间：120分钟)一、选择题1．下列求导运算正确的是（）A ．2'31)3(x xx +=+ B ．2ln 1)(log'2x x =C ．e x x 3'log 3)3(= D ．x x x x sin 2)cos ('2-=2．若曲线2y xax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则（)A ．1,1a b ==B ． 1,1a b =-=C ．1,1a b ==-D ．1,1a b =-=-3．厦门海沧中学艺术节招募了30名志愿者（编号分别是1，2,⋅⋅⋅，30号)，现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到十佳歌手组、小品组，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一组的选取种数是（）A ．25B ．32C ．60D ．100 4．设复数z 满足||2+=+z z i ，那么z 等于（ )A ．34-+i B ．34-i C ．34--i D ．34+i5．在二项式1()nxx的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是（）.A ．－56B ．－35C ．35D ．56 6．已知13)(23+-+=mx x x x f 在]2,2[-为单调增函数,则实数m 的取值范围为( ）A ．3-≤mB ．0≤mC ． 24-≥mD ．1-≥m7．将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接等工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（ ) A ．240 B ．300 C ．150 D ．180 8．120(1)d x x x --⎰等于(）A ．14B ．12C ．14π- D ．24π-9．设函数f （x)的定义域为R ，x 0（x 0≠0)是f （x)的极大值点,以下结论一定正确的是（）A ．x R ∀∈，0()()f x f x ≤ B ．0x -是()f x --的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点 D ．0x -是()f x -的极小值点10．定义在R 上的函数()f x 满足()41f ＝，()f x '为()f x 的导函数，已知函数()y f x '＝的图象如图所示．若两正数a b ，满足1(2)f a b <＋，则22b a ++的取值范围是（ )A ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,(3,+)2⎛⎫-∞∞ ⎪⎝⎭C ．(,3)-∞-D ．1,32⎛⎫⎪⎝⎭11．已知函数()()2212,3ln 2f x xax g x a x b =+=+,设两曲线()(),y f x y g x ==有公共点，且在该点处的切线相同，则()0,a ∈+∞时，实数b 的最大值是( ） A ．6136eB ．616eC ．2372eD ．2332e12．设函数()f x =(21)xe x ax a --+，其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0()f x 0，则a 的取值范围是( ）（A ）［-32e ，1）（B ）［—32e ，34）（C)[32e ，1) （D)［32e ，34）二、填空题13．由直线y=2x 及曲线y=4﹣2x 2围成的封闭图形的面积为14．设20sin 12cos 2x a x dxπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰，则()6212a x x x ⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是．15．已知()f x 为定义在（0,+∞)上的可导函数，且()'()f x xf x >恒成立，则不等式0)()1(2>-x f xf x 的解集为．16．函数()ln f x a x x =+,对任意的1[]x e e∈，时，()0f x ≥恒成立,则a 的范围为 .三、解答题17(本题满分10分)已知z 为复数，2z i +为实数,且(12)i z -为纯虚数，其中i 是虚数单位．（1）求复数z ；（2）若复数z 满足1z ω-=，求ω的最小值．18（本小题满分12分,请写出简要过程,直接书写结果没分) 六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法？(1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙按自左至右顺序排队（可以不相邻）； (5）甲、乙站在两端．19．（本小题满分12分）已知函数3()16f x xx =+-．（1）求曲线()y f x =在点(2,6)-处的切线方程；（2）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点,求直线l 的方程及切点坐标．20. （本小题满分12分)已知n二项展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8：3 （1)求n 的值；（2）求展开式中3x 项的系数（3)计算式子01231010101010102481024CC C C C -+-++的值．21．（本小题满分12分）已知函数3()f x x ax =+．（Ⅰ）若()f x 在1x =处的切线平行于x 轴，求a 的值和()f x 的极值；(Ⅱ）若过点(1,0)A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求a 的取值范围．22．（本小题满分12分）.设.0,)53()(22≠+-=m e mx m xx f mx 其中的单调性）讨论（)(1x f 的取值范围恰有两个零点，求）若（m 52)()(2--=x mx f x g数学试卷（理）答案教师版一选择题 1．下列求导运算正确的是( B ) A ．2'31)3(x xx +=+ B ．2ln 1)(log'2x x =C ．e x x 3'log 3)3(= D ．x x x x sin 2)cos ('2-=2．若曲线2y xax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则（A ）A ．1,1a b ==B ． 1,1a b =-=C ．1,1a b ==-D ．1,1a b =-=-3．重庆42中艺术节招募了30名志愿者（编号分别是1,2，⋅⋅⋅，30号）,现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到十佳歌手组、小品组，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一组的选取种数是（ C ）A ．25B ．32C ．60D ．1004．设复数z 满足||2+=+z z i ，那么z 等于( D ）A ．34-+i B ．34-i C ．34--i D ．34+i5．在二项式1()nxx的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是（ A ）。

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福建厦门市2016年高二数学下学期期末试题（有解析）2015-2016学年福建省厦门市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z=（1+i）（a+2i）（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a等于（） A．�2 B．�1 C．0 D．2 2．双曲线x2� =1的一个顶点到一条渐近线的距离是（）A． B． C． D． 3．已知随机变量X服从正态分布N（1，4），P（�1＜X＜3）=0.6826，则下列结论正确的是（） A．P（X＜�1）=0.6587 B．P（X＞3）=0.1587 C．P（�1＜X＜1）=0.3174 D．P（1＜X＜3）=0.1826 4．已知函数f（x）的导函数是f′（x），且满足f（x）=2xf′（e）�lnx，则f′（e）等于（） A．1 B．�1 C．e D． 5．由曲线y= ，直线y=x及x=3所围成的图形的面积是（） A．4�ln3 B．8�ln3 C．4+ln3 D．8+ln3 6．三棱柱ABC�A1B1C1中，△ABC是等边三角形，AA1⊥底面ABC，AB=2，AA1= ，则异面直线AC1与B1C 所成的角的大小是（） A．30° B．60° C．90° D．120° 7．假设有两个分类变量X和Y的2×2列联表为： Y X y1 y2 总计 x1 a 10 a+10 x2 c 50 c+50 总计 40 60 100 对同一样本，以下数据能说明X与Y有关系的可能性最大的一组是（） A．a=10，c=30 B．a=15，c=25 C．a=20，c=20 D．a=30，c=10 8．甲、乙、丙、丁四个人去旅游，可供选择的景点有3个，每人只能选择一个景点且甲、乙不能同去一个景点，则不同的选择方案的种数是（） A．54 B．36 C．27 D．24 9．“m＜1”是“函数y=x2+ 在[1，+∞）单调递增”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．甲、乙、丙三人，一人在看书，一人在画画，一人在听音乐．已知：①甲不看书；②若丙不画画，则乙不听音乐；③若乙在看书，则丙不听音乐．则（） A．甲一定在画画 B．甲一定在听音乐 C．乙一定不看书 D．丙一定不画画 11．函数f（x）=e|x|cosx的图象大致是（） A． B． C． D． 12．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别是F1、F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|=8，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则+ 的取值范围是（） A．（1，+∞） B．（1，4） C．（2，4） D．（4，8）二、填空题：每小题5分，共20分． 13．（2x+ ）n的二项式系数的和是32，则该二项展开式中x3的系数是（用数字填写答案）． 14．已知m∈R，p：方程 + =1表示焦点在y轴上的椭圆；q：在复平面内，复数z=1+（m�3）i对应的点在第四象限．若p∧q为真，则m的取值范围是． 15．抛物线y2=4x的焦点为F，A为抛物线上在第一象限内的一点，以点F为圆心，1为半径的圆与线段AF的交点为B，点A在y轴上的射影为点N，且|ON|=2 ，则线段NB的长度是． 16．设函数f（x）在R上的导函数是f′（x），对∀x∈R，f′（x）＜x．若f（1�a）�f（a）≤ �a，则实数a的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．某工厂为了增加其产品的销售量，调查了该产品投入的广告费用x与销售量y的数据，如表：广告费用x（万元） 2 3 4 5 6 销售量y（万件） 5 7 8 9 11 由散点图知可以用回归直线 = x+ 来近似刻画它们之间的关系．（Ⅰ）求回归直线方程 = x+ ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的回归方程模型中，请用相关指数R2说明，广告费用解释了百分之多少的销售量变化？参考公式： = ， = �；R2=1�． 18．函数f（x）= x3+ax2+bx�在x=2处的切线方程为x+y�2=0．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值． 19．如图，已知四棱锥P�ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2，AP=BP= ．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角A�PC�D的平面角的余弦值． 20．某工厂有甲乙两个车间，每个车间各有3台机器．甲车间每台机器每天发生故障的概率均为，乙车间3台机器每天发生故障的概率分别为，，．若一天内同一车间的机器都不发生故障可获利2万元，恰有一台机器发生故障仍可获利1万元，恰有两台机器发生故障的利润为0万元，三台机器发生故障要亏损3万元．（Ⅰ）求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；（Ⅱ）由于节能减排，甲乙两个车间必须停产一个．以工厂获得利润的期望值为决策依据，你认为哪个车间停产比较合理． 21．已知圆C1：x2+y2=4与x轴左右交点分别为A1、A2，过点A1的直线l1与过点A2的直线l2相交于点D，且l1与l2斜率的乘积为�．（Ⅰ）求点D的轨迹C2方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m不过A1、A2且与轨迹C2仅有一个公共点，且直线l与圆C1交于P、Q两点．求△POA1与△QOA2的面积之和的最大值． 22．已知函数f（x）=lnx�cx2（c∈R）．（Ⅰ）讨论函数f （x）的零点个数；（Ⅱ）当函数f（x）有两个零点x1，x2时，求证：x1•x2＞e．2015-2016学年福建省厦门市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z=（1+i）（a+2i）（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a等于（）A．�2 B．�1 C．0 D．2 【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简复数z，又已知复数z是纯虚数，得到，求解即可得答案．【解答】解：复数z=（1+i）（a+2i）=（a�2）+（a+2）i，又∵复数z是纯虚数，∴ ，解得a=2．故选：D． 2．双曲线x2�=1的一个顶点到一条渐近线的距离是（）A． B． C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的方程求出一个顶点和渐近线，利用点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：由双曲线的方程得a=1，b= ，双曲线的渐近线为y= x，设双曲线的一个顶点为A（1，0），渐近线为y= x，即 x�y=0，则顶点到一条渐近线的距离d= = ，故选：C． 3．已知随机变量X服从正态分布N（1，4），P（�1＜X＜3）=0.6826，则下列结论正确的是（） A．P（X＜�1）=0.6587 B．P（X＞3）=0.1587 C．P （�1＜X＜1）=0.3174 D．P（1＜X＜3）=0.1826 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据对称性，由P（�1＜X＜3）可求出P（X＞3）．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（1，4），∴曲线关于x=1对称，∵P（�1＜X＜3）=0.6826，∴P（X＞3）=0.5�0.3413=0.1587．故选：B． 4．已知函数f （x）的导函数是f′（x），且满足f（x）=2xf′（e）�lnx，则f′（e）等于（） A．1 B．�1 C．e D．【考点】导数的运算．【分析】求函数的导数，直接令x=e进行求解即可．【解答】解：∵f （x）=2xf′（e）�lnx，∴函数的导数f′（x）=2f′（e）�，令x=e，则f′（e）=2f′（e）�，即f′（e）= ，故选：D 5．由曲线y= ，直线y=x及x=3所围成的图形的面积是（） A．4�ln3 B．8�ln3 C．4+ln3 D．8+ln3 【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】作出对应的图象，确定积分的上限和下限，利用积分的应用求面积即可．【解答】解：作出对应的图象，由得x=1，则阴影部分的面积S=∫ （x�）dx=（ x2�lnx）| =（�ln3）�（�ln1）=4�ln3，故选：A 6．三棱柱ABC�A1B1C1中，△ABC是等边三角形，AA1⊥底面ABC，AB=2，AA1= ，则异面直线AC1与B1C所成的角的大小是（） A．30° B．60° C．90° D．120° 【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取中点连接，由异面直线所成角的概念得到异面直线AC1与B1C所成的角，求解直角三角形得到三角形边长，再由余弦定理得答案．【解答】解：如图，分别取AC、B1C1、CC1、BC的中点E、F、G、K，连接EF、EG、FG、EK、FK， EK= ，FK= ，则EF= ，EG= ，．在△EFG中，cos∠EGF= ．∴异面直线AC1与B1C所成的角的大小是90°．故选：C． 7．假设有两个分类变量X和Y的2×2列联表为： Y X y1 y2 总计 x1 a 10 a+10 x2 c 50 c+50 总计 40 60 100 对同一样本，以下数据能说明X与Y有关系的可能性最大的一组是（） A．a=10，c=30 B．a=15，c=25 C．a=20，c=20 D．a=30，c=10 【考点】独立性检验的应用．【分析】当ad与bc差距越大，两个变量有关的可能性就越大，检验四个选项中所给的ad与bc的差距，前三个选项都一样，只有第四个选项差距大，得到结果．【解答】解：根据观测值求解的公式可以知道，当ad与bc差距越大，两个变量有关的可能性就越大，选项A，|ad�bc|=200，选项B，|ad�bc|=500，选项C，|ad�bc|=800，选项D，|ad�bc|=1400，故选D 8．甲、乙、丙、丁四个人去旅游，可供选择的景点有3个，每人只能选择一个景点且甲、乙不能同去一个景点，则不同的选择方案的种数是（） A．54 B．36 C．27 D．24 【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】间接法：先求所有可能分派方法，先求所有可能的分派方法，甲、乙、丙、丁四个人去旅游，可供选择的景点有3个，共有34=81种情况，甲、乙同去一个景点有33=27种情况，相减可得结论．【解答】解：间接法：先求所有可能的分派方法，甲、乙、丙、丁四个人去旅游，可供选择的景点有3个，共有34=81种情况，甲、乙同去一个景点有33=27种情况，∴不同的选择方案的种数是81�27=54．故选：A 9．“m＜1”是“函数y=x2+ 在[1，+∞）单调递增”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件；函数的单调性与导数的关系．【分析】若函数y=x2+ 在[1，+∞）单调递增，则y′=2x�≥0在[1，+∞）上恒成立，求出m的范围，进而根据充要条件的定义，可得答案．【解答】解：∵函数y=x2+ 在[1，+∞）单调递增，∴y′=2x�≥0在[1，+∞）上恒成立，即m≤2，故“m＜1”是“函数y=x2+ 在[1，+∞）单调递增”的充分不必要条件，故选：A． 10．甲、乙、丙三人，一人在看书，一人在画画，一人在听音乐．已知：①甲不看书；②若丙不画画，则乙不听音乐；③若乙在看书，则丙不听音乐．则（）A．甲一定在画画 B．甲一定在听音乐 C．乙一定不看书 D．丙一定不画画【考点】进行简单的合情推理．【分析】由①开始，进行逐个判断，采用排除法，即可得到答案．【解答】解：由①可知：甲可能在画画或在听音乐，由③可知，乙在看书，丙在画画，甲只能在听音乐，由②丙可以听音乐或看书，乙只能看书或画画，结合①③可知：甲听音乐，乙画画，丙看书，所以甲一定在听音乐，故选：B． 11．函数f（x）=e|x|cosx的图象大致是（）A． B． C． D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数的奇偶性，排除B；根据函数在（0，）上，为增函数，在（，）上，为减函数，排除A；再根据在（，）上，为增函数，f（）＞f（），排除C，可得结论．【解答】解：由于函数函数f（x）=e|x|cosx为偶函数，它的图象关于y轴对称，故排除B．当x＞0时，f（x）=ex•cosx，f′（x）=ex•cosx�ex•sinx=2x（cosx�sinx），故函数在（0，）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数；在（，）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，故排除A．在（，）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，且f（）＞f（），故排除C，只有D满足条件，故选：D． 12．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别是F1、F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|=8，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则 + 的取值范围是（） A．（1，+∞） B．（1，4） C．（2，4） D．（4，8）【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用待定系数法设出双曲线和椭圆的方程，根据双曲线和椭圆的定义得到a1=4+c，a2=4�c，然后利用离心率的公式进行转化求解即可．【解答】解：设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，．（a1，a2，b1，b2＞0，a1＞b1）∵△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，|PF1|=8，∴8+2c=2a1，8�2c=2a2，即有a1=4+c，a2=4�c，（c＜4），再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c ＞8，可得c＞2，即有2＜c＜4．由离心率公式可得 + = = = = ，∵2＜c＜4，∴ ＜＜，则2＜＜4，即2＜ + ＜4，故 + 的取值范围是（2，4），故选：C 二、填空题：每小题5分，共20分． 13．（2x+ ）n的二项式系数的和是32，则该二项展开式中x3的系数是80 （用数字填写答案）．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意可得：2n=32，解得n．再利用其通项公式即可得出．【解答】解：由题意可得：2n=32，解得n=5．∴ 的通项公式Tr+1= （2x）5�r =25�r x5�2r，令5�2r=3，解得r=1．∴该二项展开式中x3的系数=24 =80．故答案为：80． 14．已知m∈R，p：方程 + =1表示焦点在y轴上的椭圆；q：在复平面内，复数z=1+（m�3）i 对应的点在第四象限．若p∧q为真，则m的取值范围是（2，3）．【考点】复合命题的真假．【分析】利用椭圆的标准方程、复数的几何意义、复合命题的真假的判定方法即可得出．【解答】解：p：方程 + =1表示焦点在y轴上的椭圆，则m＞2； q：在复平面内，复数z=1+（m�3）i对应的点在第四象限，∴m�3＜0，解得m＜3．∵p∧q为真，∴p与q都为真命题．∴2＜m＜3．则m的取值范围是（2，3）．故答案为：（2，3）． 15．抛物线y2=4x的焦点为F，A为抛物线上在第一象限内的一点，以点F为圆心，1为半径的圆与线段AF的交点为B，点A在y轴上的射影为点N，且|ON|=2 ，则线段NB的长度是 3 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出N，B的坐标，利用两点间的距离公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，A（3，2 ），N（0，2 ），以点F为圆心，1为半径的圆的方程为（x�1）2+y2=1，直线AF的方程为y= （x�1）联立直线与圆的方程可得（x�1）2= ，∴x= 或，∴B（，），∴|NB|= =3 故答案为：3． 16．设函数f（x）在R上的导函数是f′（x），对∀x∈R，f′（x）＜x．若f（1�a）�f（a）≤ �a，则实数a的取值范围是a≤ ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】令g（x）=f（x）� x2，求出g（x）的单调性，问题等价于f （1�a）�（1�a）2≤f（a）�a2，根据函数的单调性得到关于a 的不等式，解出即可．【解答】解：令g（x）=f（x）�x2，则g′（x）=f′（x）�x，而f′（x）＜x，∴g′（x）=f′（x）�x＜0，故函数g（x）在R递减，∴f（1�a）�f（a）≤ �a等价于f （1�a）�（1�a）2≤f（a）�a2，即g（1�a）≤g（a），∴1�a≥a，解得a≤ ，故答案为：a≤ ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．某工厂为了增加其产品的销售量，调查了该产品投入的广告费用x与销售量y的数据，如表：广告费用x（万元） 2 3 4 5 6 销售量y（万件） 5 7 8 9 11 由散点图知可以用回归直线 = x+ 来近似刻画它们之间的关系．（Ⅰ）求回归直线方程 = x+ ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的回归方程模型中，请用相关指数R2说明，广告费用解释了百分之多少的销售量变化？参考公式： = ， = �；R2=1�．【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）由数据求得样本中心点，利用最小二乘法求得系数，由线性回归方程过样本中心点，代入即可求得，即可求得回归直线方程；（Ⅱ）分别求得 1，2…， 5，根据相关指数公式求得相关指数R2，即可求得广告费用解释了百分之多少的销售量变化．【解答】解：（Ⅰ）= ×（2+3+4+5+6）=5，= ×（5+7+8+9+11）=11， = =1.4，= �=8�1.4×4=2.4，∴回归直线方程 =1.4x+2.4；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：1=1.4×2+2.4=5.2；2=1.4×3+2.4=6.6；3=1.4×4+2.4=8；4=1.4×5+2.4=9.4；5=1.4×6+2.4=10.8； R2=1�=0.98，∴广告费用解释了98%的销售量变化． 18．函数f（x）= x3+ax2+bx�在x=2处的切线方程为x+y�2=0．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求导数得到f′（x）=x2+2ax+b，这样根据函数在切点处导数和切线斜率的关系以及切点在函数图象上便可得出关于a，b的方程组，解出a，b即可；（Ⅱ）上面已求出a，b，从而可以得出导函数f′（x），这样判断导数的符号，从而便可得出函数f（x）的极值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=x2+2ax+b；由题意可得，切点为（2，0），切线斜率为k=�1；∴ ；解得；（Ⅱ）由上面得，f′（x）=x2�4x+3=（x�1）（x�3）；∴x ＜1时，f′（x）＞0，1＜x＜3时，f′（x）＜0，x＞3时，f′（x）＞0；∴x=1时，f（x）取极大值，x=3时，f（x）取极小值． 19．如图，已知四棱锥P�ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2，AP=BP= ．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角A�PC�D 的平面角的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【分析】（I）取AB中点E，连PE、CE，由等腰三角形的性质可得PE⊥AB．再利用勾股定理的逆定理可得PE⊥CE．利用线面垂直的判定定理可得PE⊥平面ABCD．再利用面面垂直的判定定理即可证明．（II）建立如图所示的空间直角坐标系．利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角．【解答】（Ⅰ）证明：如图1所示，取AB中点E，连PE、CE．则PE是等腰△PAB的底边上的中线，∴PE⊥AB．∵PE=1，CE= ，PC=2，即PE2+CE2=PC2．由勾股定理的逆定理可得，PE⊥CE．又∵AB⊂平面ABCD，CE⊂平面ABCD，且AB∩CE=E，∴PE⊥平面ABCD．而PE⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD．（Ⅱ）以AB中点E为坐标原点，EC所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A（0，�1，0），C（，0，0），D（，�2，0），P（0，0，1）， =（，1，0）， =（，0，�1）， =（0，2，0）．设是平面PAC的一个法向量，则，即．取x1=1，可得，．设是平面PCD的一个法向量，则，即．取x2=1，可得，．故，即二面角A�PC�D的平面角的余弦值是． 20．某工厂有甲乙两个车间，每个车间各有3台机器．甲车间每台机器每天发生故障的概率均为，乙车间3台机器每天发生故障的概率分别为，，．若一天内同一车间的机器都不发生故障可获利2万元，恰有一台机器发生故障仍可获利1万元，恰有两台机器发生故障的利润为0万元，三台机器发生故障要亏损3万元．（Ⅰ）求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；（Ⅱ）由于节能减排，甲乙两个车间必须停产一个．以工厂获得利润的期望值为决策依据，你认为哪个车间停产比较合理．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）乙车间每天机器发生故障的台数ξ，可以取0，1，2，3，求出相应的概率，即可求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；（Ⅱ）设甲车间每台机器每天发生故障的台数η，获得的利润为X，则η～B（3，），求出甲乙的期望，比较，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）乙车间每天机器发生故障的台数ξ，可以取0，1，2，3， P（ξ=0）=（1�）×（1�）×（1�）= ，P（ξ=1）=C21× ×（（1�）×（1�）2+（1�）× = ， P（ξ=2）=C21× ×（（1�）× +（）2×（1�）= ，P（ξ=3）= × × = ，∴乙车间每天机器发生故障的台数ξ的分布列；ξ 0 1 2 3 P （Ⅱ）设甲车间每台机器每天发生故障的台数η，获得的利润为X，则η～B（3，）， P（η=k）= （k=0，1，2，3），∴EX=2P（η=0）+1×P（η=1）+0×P（η=2）�3×P （η=3）= ，由（Ⅰ）得EY=2P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+0×P（ξ=2）�3×P（ξ=3）= ，∵EX＜EY，∴甲车间停产比较合理． 21．已知圆C1：x2+y2=4与x轴左右交点分别为A1、A2，过点A1的直线l1与过点A2的直线l2相交于点D，且l1与l2斜率的乘积为�．（Ⅰ）求点D的轨迹C2方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m不过A1、A2且与轨迹C2仅有一个公共点，且直线l与圆C1交于P、Q两点．求△POA1与△QOA2的面积之和的最大值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设点D的坐标为（x，y），求出A1、A2的坐标，由题意和斜率公式列出方程化简，可得点D的轨迹C2的方程；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线方程和C2的方程消去y，由条件可得△=0并化简，联立直线l与圆C1的方程消去x，利用韦达定理写出表达式，由图象和三角形的面积公式表示出，化简后利用基本不等式求出△POA1与△QOA2的面积之和的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设点D的坐标为（x，y），∵圆C1：x2+y2=4与x轴左右交点分别为点A1（�2，0），A2（2，0），且l1与l2斜率的乘积为�，∴ ，化简得，∴点D的轨迹C2方程是；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立得，（1+4k2）x2+8kmx+4m2�4=0，由题意得，△=64k2+16�16m2=0，化简得，m2=4k2+1，联立消去x得，（1+k2）y2�2my+1=0，∴△=4m2�4（1+k2）=12k2＞0， y1+y2= ，＞0，则y1，y2同号，由r=2得，+ = + = = = = ≤ = ，当且仅当3=1+4k2，即k= 时取等号，∴ 的最大值是． 22．已知函数f（x）=lnx�cx2（c∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的零点个数；（Ⅱ）当函数f（x）有两个零点x1，x2时，求证：x1•x2＞e．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）求出函数的定义域，函数的导数，通过a≤0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；a＞0时，求出极值点，然后通过导数的符号，判断函数的单调性，从而求出函数的零点的个数；（Ⅱ）设x1＞x2，求出关于c的表达式，利用分析法证明x1x2＞e，转化为证明ln ＞（x1＞x2＞0），令 =t，则t＞1，设g（t）=lnt� =lnt+ �1（t＞1），利用函数的导数求解函数的最小值利用单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）定义域为（0，+∞），f′（x）= �2cx= ，当c≤0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，x→0时，f（x）→�∞，x→+∞时，f（x）→+∞， f（x）有且只有1个零点；当c＞0时，由f'（x）=0，得x= ，当0＜x＜时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）最大值=f（）=ln �，令ln �＞0，解得：c＞，∴c＞时，f（x）有2个零点， c= 时，f（x）有1个零点， 0＜c＜时，f（x）没有零点，综上：c≤0或c= 时，f（x）有1个零点， 0＜c＜时，f （x）没有零点， c＞时，f（x）有2个零点．（Ⅱ）证明：设x1＞x2，∵lnx1�cx12=0，lnx2�cx22=0，∴lnx1+lnx2=cx12+cx22，lnx1�lnx2=cx12�cx22，则c= ，欲证明x1x2＞e，即证lnx1+lnx2＞1，因为lnx1+lnx2=c（x12+x22），∴即证c＞，∴原命题等价于证明＞，即证：ln ＞（x1＞x2＞0），令 =t，则t＞1，设g （t）=lnt� =lnt+ �1（t＞1），∴g′（t）= ≥0，∴g（t）在（1，+∞）单调递增，又因为g（1）=0，∴g（t）＞g（1）=0，∴lnt ＞，所以x1x2＞e．2016年8月10日实用精品文献资料分享。

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