电子科技大学微积分上册1-4
(完整版)电子科技大学微电子器件习题
第二章 PN 结填空题1、若某突变 PN 结的 P 型区的掺杂浓度为 N A =1.5 ×1016cm -3 ，则室温下该区的平衡多子 浓度 p p0与平衡少子浓度 n p0分别为（ ）和（ ）。
2、在 PN 结的空间电荷区中， P 区一侧带（ ）电荷， N 区一侧带（ ）电荷。
内建 电场的方向是从（ ）区指向（ ）区。
3、当采用耗尽近似时， N 型耗尽区中的泊松方程为 （ ）。
由此方程可以看出， 掺杂浓度越高，则内建电场的斜率越（ ）。
4、 PN 结的掺杂浓度越高，则势垒区的长度就越（ ），内建电场的最大值就越（ ）， 内建电势 V bi 就越（ ），反向饱和电流 I 0就越（ ），势垒电容 C T 就越（ ），雪崩击穿电 压就越（ ）。
5、硅突变结内建电势 V bi 可表为（），在室温下的典型值为（ ）伏特。
6、当对 PN 结外加正向电压时， 其势垒区宽度会 （ ），势垒区的势垒高度会 （）。
7、当对 PN 结外加反向电压时， 其势垒区宽度会 （ ），势垒区的势垒高度会 （ ）。
8、在 P 型中性区与耗尽区的边界上，少子浓度 n p 与外加电压 V 之间的关系可表示为（ ）。
若P 型区的掺杂浓度 N A =1.5 ×1017cm -3，外加电压 V= 0.52V ，则 P 型区与耗尽区边界上的少子浓度 n p 为（ ）。
9、当对 PN 结外加正向电压时，中性区与耗尽区边界上的少子浓度比该处的平衡少子 浓度（ ）；当对 PN 结外加反向电压时，中性区与耗尽区边界上的少子浓度比该处的平衡 少子浓度（ ）。
10、 PN 结的正向电流由（ 电流三部分所组成。
11、 PN 结的正向电流很大，是因为正向电流的电荷来源是（）； PN 结的反向电流很小，是因为反向电流的电荷来源是（ ）。
12、当对 PN 结外加正向电压时，由 N 区注入 P 区的非平衡电子一边向前扩散，一边 （ ）。
杭州电子科技大学电路与模拟电子技术基础(第4版)习题解答完整版
第1章直流电路习题解答1.1 求图1.1中各元件的功率，并指出每个元件起电源作用还是负载作用。
图1.1 习题1.1电路图解 W 5.45.131=×=P （吸收）；W 5.15.032=×=P （吸收） W 15353−=×−=P （产生）；W 5154=×=P （吸收）； W 4225=×=P （吸收）;元件1、2、4和5起负载作用，元件3起电源作用。
1.2 求图1.2中的电流I 、电压U 及电压源和电流源的功率。
图1.2 习题1.2电路图解 A 2=I ；V 13335=+−=I I U电流源功率：W 2621−=⋅−=U P （产生），即电流源产生功率6W 2。
电压源功率：W 632−=⋅−=I P （产生），即电压源产生功率W 6。
1.3 求图1.3电路中的电流1I 、2I 及3I 。
图1.3 习题1.3电路图解 A 1231=−=I ;A 1322−=−=I由1R 、2R 和3R 构成的闭合面求得：A 1223=+=I I 1.4 试求图1.4所示电路的ab U 。
图1.4 习题1.4电路图解 V 8.13966518ab −=×+++×−=U 1.5 求图1.5中的I 及S U 。
图1.5 习题1.5电路图解 A 7152)32(232=×+−×+−=IV 221021425)32(22S =+−=×+−×+=I U1.6 试求图1.6中的I 、X I 、U 及X U 。
图1.6 习题1.6电路图解 A 213=−=I ；A 31X −=−−=I I ; V 155X −=⋅=I UV 253245X X −=×−−⋅=I U1.7 电路如图1.7所示：（1）求图(a)中的ab 端等效电阻；（2）求图(b)中电阻R 。
图1.7 习题1.7电路图解 (1) Ω=+=+++×+×+×+=1046418666661866666ab R (2) Ω=−−=712432383R1.8 电路如图1.8所示：（1）求图(a)中的电压S U 和U ；（2）求图(b)中V 2=U 时的电压S U 。
电子科技大学微电子器件 (习题解答)
s Emax
qND
在
x
xi2 处，E3
Emax
q
s
NA xp
,
由此得：xp
s Emax
qNA
(2) 对于无 I 型区的PN结,
xi1 0,
xi2 0,
E1
q
s
ND (x
xn ),
E3
q
s
NA(x
xp )
在
x
0 处，电场达到最大， Emax
q
s
ND xn
q
s
NA xp
E
Emax
E1
E3
x
0
表面上，两种结构的 Emax 的表达式相同，但由于两种结构 的掺杂相同，因而Vbi 相同（即电场曲线与横轴所围面积相同）， 所以两种结构的 xn、xp与 Emax 并不相同。
WB
dWB dVCE
0 NBdx
IC VA
WB
VA 0 NBdx
N
B
(WB
)
dWB dVCE
对均匀基区，VA
WB dWB dVCE
式中，dWB dxdB , VCE VCB VBE
因
VBE
保持不变，所以 dVCE
dVCB ,
于是：VA
WB dxdB dVCB
1
xdB
2s N
2DB n
,
将n
106 s 及 WB 、DB
之值代入，得： 0.9987。
7、
b
WB2 2DB
2
1
1
1.1251011(s)
8、以 NPN 管为例，当基区与发射区都是非均匀掺杂时， 由式（3-33a）和式（3-33b），
5《常微分方程》(电子科技大学 数学科学学院 钟守铭教授)
3p3dp + 2xpdp+ p2dx = 0
3p3dp + xdp2 + p2dx = 0
3 4 3 4 2 d( p ) + d xp = d( p + xp2 ) = 0 4 4
方程的解为 于是有
3 4 p + xp2 = c 4
( )
c 3 2 x= 2 − p p 4
c 3 2 2c 1 3 y = p + 2xp = p + 2 p 2 − p = − p p 4 p 2
第二章
一阶微分方程的初等解法
§2.1 变量分离方程与变量变换 §2.2 线性方程与常数变易法 §2.3 恰当方程与积分因子 §2.4 一阶隐方程与参数表示
§2.4 一阶隐方程与参数表示 前面讨论了几种特殊的一阶微分方程的求解法，本节讨 论如下一般的微分方程：
F(x, y, y′) = 0
（4.1）
2 − p = yt =1+ t 2
求得参数方程为
1+ t 2 y = t p = 1− t 2
由 p = y′，有
dy 1 1+ t 2 dx = = d 2 p 1− t t
2t 2 − (1+ t 2 ) = dt 2 2 (1−t )t
所求方程的解为
1 = − 2 dt t
两边对x求导，有
2
1 2 y = p − xp + x 2
2
1 2 p = y′ = ( p − xp+ x )′ 2 dp = (2 p − x) − p + x dx
即
(2 p − x)(dp − dx) = 0
电子科技大学 随机过程 覃思义 第一章1sjgc1.4
m 1 n 1
若存在实数 I, 使对任意的ε> 0, 存在δ> 0, 只要
λ max {( xi 1 xi ), ( y j 1 y j )} δ
0 i n 1 0 j m 1
（ 时, 对任意分点及 xi *，y j *) 的任意取法, 不等式
a f ( x )d [ g ( x )] a
电子科技大学
b b
3) 设α,β是任意常数，则
f ( x ) d [ g ( x )].
随机变量的数字特征
以上三个等式成立的意义是: 当等号右边存 在时, 左边也存在并相等. 4) 若a < c <b, 则有
a f ( x )dg ( x ) c b a f ( x ) dg ( x ) c f ( x ) dg ( x )
dF ( x ) F ( x ) p ( x ) 0 , dx
若R-S积分存在则
f ( x )dF ( x ) f ( x ) p ( x )dx
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随机变量的数字特征
二、二元R-S积分简介
假定二元函数 F ( x , y ) 满足下述条件: 1) 对于平面上任意矩形 a1 x b1 , a2 y b2 ,有
均成立.
则记
a xb c yd
f ( x , y )dF ( x , y ) lim σ
λ 0
lim f ( x i* , y * ) F ( xi , x i 1 ; y j , y j 1 ) I j
λ 0 j 0 i 0
m 1 n 1
称 积 分 I 为 f ( x, y ) 关 于 F ( x, y ) 在 矩 形 {( x, y ) : a x b, c y d } 上的 R-S 积分.
微积分大一上学期知识点
第一章 函数，极限与连续第一节 函数注：函数是高中的重点知识，以下是高中函数全部重点，篇幅有点长，供查阅。
一、函数的概念与表示1、映射:设A 、B 是两个集合，如果按照某种映射法那么f ，对于集合A 中的任一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应〔包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法那么f 〕叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B 。
注意点:判断一个对应是映射的方法:可多对一，不可一对多，都有象，象唯一.2、函数:如果A,B 都是非空的数集，那么A 到B 的映射f ：A →B 就叫做A 到B 的函数，记作)(x f y =,其中B y A x ∈∈,.原像的集合A 叫做函数)(x f y =的定义域.由所有象f(x)构成的集合叫做)(x f y =的值域，显然值域是集合B 的子集.构成函数概念的三要素: ①定义域(x 的取值范围)②对应法那么〔f 〕③值域〔y 的取值范围〕两个函数是同一个函数的条件：定义域和对应关系完全一致. 二、函数的定义域、解析式与值域 1、求函数定义域的主要依据： 〔1〕整式的定义域是全体实数； 〔2〕分式的分母不为零；〔3〕偶次方根的被开方数大于等于零；〔4〕零取零次方没有意义〔零指数幂的底数不为0〕； 〔5〕对数函数的真数必须大于零；〔6〕指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；〔7〕假设函数)(x f y =是一个多项式，需要求出各单项式的定义域，然后取各局部结果的交集；〔8〕复合函数的定义域：假设)(x f 的定义域],[b a ，求复合函数))((x g f 的定义域，相当于求使],[)(b a x g ∈时x 的取值范围；假设复合函数))((x g f 的定义域，求)(x f 的定义域，相当于求)(x g 的值域. 2求函数值域的方法①直接法：从自变量x 的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合b ax y ±+= ③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y 的取值范围；适合分子或分母为二次且x ∈R 的分式；此种类型不拘泥于判别式法，如ka by +=2的形式可直接用不等式性质；n mx ax bx y ++=2可先化简再用均值不等式；nmx x n x m ax y ++'+'+=22通常用判别式法；nm x n x m x y +'+'+=2 可用判别式法或均值不等式；④别离常数：适合分子分母皆为一次式〔x 有范围限制时要画图〕；⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；⑥图象法：1.二次函数必画草图求其值域；在给定区间上求最值有两类：闭区间[]b a ,上的最值；求区间动〔定〕，对称轴定〔动〕的最值问题；注意“两看〞：一看开口，二看对称轴与给定区间的位置关系.)0,0(>>+=b a x b ax y 型函数的图像在单调性中的应用：增区间为],(ab --∞，),[+∞a b ，减区间为)0,[a b -，],0(ab ；⑦利用对号函数：xx y 1+=〔如右图〕；⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域.主要是含绝对值函数 三．函数的奇偶性1．定义: 设y=f(x)，x ∈A ，如果对于任意x ∈A ，都有()()f x f x -=，那么称y=f(x)为偶函数.如果对于任意x ∈A ，都有()()f x f x -=-，那么称y=f(x)为奇函数.2.性质：①y=f(x)是偶函数⇔y=f(x)的图象关于y 轴对称, y=f(x)是奇函数⇔y=f(x)的图象关于原点对称;②假设函数f(x)的定义域关于原点对称，那么f(0)=0;③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域D 1 ，D 2，D 1∩D 2要关于原点对称] 3．奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称;②看f(x)与f(-x)的关系或观察函数图像的对称关系；4，复合函数的奇偶性：“内偶那么偶，内奇同外〞 四、函数的单调性作用：比拟大小，解不等式，求最值.1、函数单调性的定义：如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有()()()2121)()(x f x f x f x f ><，那么就称函数)(x f 在区间D 上是增函数〔减函数〕，区间D 叫)(x f y =的单调区间. 图像特点：增函数：从左到右上升〔y 随x 的增大而增大或减小而减小〕；减函数：从左到右下降〔y 随x 的增大而减小或减小而增大〕； 2.判断单调性方法：①定义法[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数.②观察法：根据特殊函数图像特点；③掌握规律：对于两个单调函数()f x 和()g x ，假设它们的定义域分别为I 和J ，且I J ⋂≠∅：(i)当()f x 和()g x 具有相同的增减性时，①1()()()F x f x g x =+的增减性与()f x ，()g x 相同， ②2()()()F x f x g x =⋅、3()()()F x f x g x =-、4()()(()0)()f x F xg x g x =≠的增减性不能确定；(ii)当()f x 和()g x 具有相异的增减性时，我们假设()f x 为增函数，()g x 为减函数，那么：①1()()()F x f x g x =+的增减性不能确定； ②3()()()F x f x g x =-、4()()(()0)()f x F x g x g x =≠为增函数；5()()(()0)()g x F x f x f x =≠为减函数. 3.奇偶函数的单调性奇函数在其定义域内的对称区间上的单调性相同，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。
微积分上学期答案
1微积分答案 第一章 函数一、1.Ｂ； 2.Ｄ； 3.Ａ； 4.Ｃ； 5.Ｄ二、１.1cos -x 或22sin2x ；２.100010-<⎧⎪=⎨⎪>⎩x x x 或()f x ； ３.４，-1；４.y =[0,1]；５.1(1)2y x =-. 三、１. (1)[1,2)(2,4)D =⋃； (2)[3,2][3,4]D =--⋃. ２．(1)102,1y u u x ==+ ；(2)1,sin ,u y e u v v x===；(3) 2arctan ,ln ,1y u u v v x===+.3. 211,12,()12400,44ab C C x x x ====++ ()1400124c x C x x x==++.4. （１）90010090(100)0.011001600751600x P x x x <≤⎧⎪=--⋅<<⎨⎪≥⎩；（３）Ｌ＝21000（元）. (2)2300100(60)310.011001600151600x x L P x x xx x x ≤≤⎧⎪=-=-<<⎨⎪≥⎩；四、略.第二章 极限与连续(一)一、1.C ； 2. D ； 3.C ； 4.B ； 5.C 二、1. -2； 2. 不存在； 3. 14； 4. 1； 5.ab e .三、 1、（1）4； （2）25； （3）1； （4）5； （5）2.2、（1）3； （2）0； （3）2； （4）5e -； （5）2e-.3、11,2=-=-αβ 4、利用夹逼定理：11←<<→四、略。
第二章 极限与连续（二）一、1. D ； 2. C ； 3. B ； 4. C ； 5. B 二、１、0； 2、-2； 3、0； 4、2； 5、0,1x x ==-．2三、１、（1）1=x 是可去间断点；2=x 是连续点.（2）=xk π是第二类间断点（无穷间断点）； 2=+x k ππ是可去间断点.（3）0=x 是可去间断点. （4）1x =是跳跃间断点.2、1()011⎧<⎪==⎨⎪->⎩x x f x x x x ，1=±x是跳跃间断点.3、（1）0；（2）cos α；（3）1； （4）0；（5）12．四、略。
1《常微分方程》(电子科技大学 数学科学学院 钟守铭教授)
第一章 绪论
§ 1.1、微分方程： 某些物理过程的数学模型 §1.2 、基本概念
第一章 绪论
§1.1
微分方程：某些物理过程的数学模型
例1 物体冷却过程的数学模型 将某物体放置于空气中，在时刻 t=0 时，测量得 它的温度为 u0 =1500 C ,10分钟后测量得它的温度为
u = 1000C 。我们要求决定此物体的温度u和时间t 1
′ y x=x = y0 , y′ x=x = y0 ,L, y(n−1)
0 0
x=x0
( = y0n−1) .
§1.2 基本概念
第一章 绪论
例如：y′′ + 5y′ + 4 y = 0 的通解是
y = c1e + c2e
满足初始条件 y x=0 = 2, y′ x=0 =1 的特解是
−x
−4x
y = 3e−x − e−4x
第一章 绪论
§1.2 基本概念 1. 常微分方程与偏微分方程 微分方程：含有未知函数的导数的方程，就称为微分方程。 常微分方程：自变量的个数仅有一个的微分方程，就称为 常微分方程。
dy dy + x + 3x2 y = f ( x) dx dx
2
d2x dx + a + bx = f (t) 2 dt dt
第一章 绪论
作业：
2，3，8，9
第一章 绪论 §1.1 微分方程：某些物理过程的数学模型
例4 数学摆 数学摆是系于一根长为l的线上而质量为 m的质点M，在重力作用下，它在垂直于地 面的平面上沿圆周运动，如图所示，试建立 摆的微分方程。 解：切向速度与切向加速度分别为
O
θ
l
[理学]电子科技大学微积分上册复习-OK
![[理学]电子科技大学微积分上册复习-OK](https://img.taocdn.com/s3/m/52cfc234cbaedd3383c4bb4cf7ec4afe04a1b1f1.png)
lim
t 0
m
1 1 tn n 1 1 tm 1 1 tm 1 1 tn
2024/6/27
10
lim
t0
n
mt
m
m
2
1
t
2 mt
o
t2
o
t
m nt
nn
nt
2
ot
1
t
2
o
t2
mn 2
2024/6/27
11
5.求
lim
x
x
x
x
x
lim
x x
lim
n
xn l
0,故 lim n
xn
l
1
2.
2024/6/27
20
定义1
设函数f x 在x0的邻域内有定义,给x在x0
处以增量x, 相应的得到函数
y
f
x0 x
f
x0
.若极限
lim
x0
y
0,
则称f x 在x0处连续.
2024/6/27
21
定义2 设函数f x满足条件:
1 f x在x0的邻域内有定义;
2024/6/27
0 xn1 1 ,
15
(2)
由(1)得
lim
n
xn
0，
1
lim n
xn1 xn
xn2
(1 ) 1
lim n
sin xn xn
xn2
xn x
lim
x0
sin x x
1
x2
1
lim
x0
1
sin
x x
x
4《常微分方程》(电子科技大学 数学科学学院 钟守铭教授)
定理 系统（1）是恰当方程 ⇔
∂M( x, y) ∂N(x, y) = ∂x ∂y
证： ⇒ 系统（1）是恰当方程，存在u(x,y)满足
∂u ∂u du = dx + dy = M(x, y)dx + N(x, y)dy ∂x ∂y
因此有
∂u ∂u M = ,N = ∂x ∂y
注意到M、N具有一阶连续的偏导数，有
其中c为任意常数。
第二章 一阶微分方程的初等解法 §2.3 恰当方程与积分因子
利用公式来计算比较麻烦，我们还可以利用全微分来求解 微分方程。熟记数学分析中如下二元函数的全微分，对求解方 程很有帮助。
(1). ydx + xdy = d(xy)
− ydx + xdy y (3). = d( ) 2 x x
第二章 一阶微分方程的初等解法 §2.3 恰当方程与积分因子
定义 如果存在连续函数μ(x,y)≠0，使得(3.3)是恰当 方程，则称μ(x,y)是系统(3.1)的积分因子。 注： ①一个方程的积分因子不唯一；如方程
ydx − xdy = 0
的积分因子有
1 1 1 1 , 2, , 2 ,⋯ 2 2 x y xy x ± y
∂ u(x, y) = ∫ M(x, y)dx +∫ [N(x, y) − ∫ M(x, y)dx]dy ∂y
第二章 一阶微分方程的初等解法 §2.3 恰当方程与积分因子
例1 求如下微分方程的通解。
(3x2 + 6xy2 )dx + (6x2 y + 4 y3 )dy = 0
解：由于
M = 3x2 + 6xy2 , N = 6x2 y + 4 y3 ∂M ∂N =12xy =12xy ∂y ∂x
电子科技大学微积分试题及答案
电子科技大学期末微积分一、选择题（每题2分)1、设x ƒ()定义域为(1，2），则lg x ƒ()的定义域为（） A 、（0，lg2)B 、(0,lg2]C 、（10，100）D 、（1，2）2、x=—1是函数x ƒ()=()221x x x x --的（） A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、不是间断点3、试求02lim x x→)A 、-14B 、0C 、1D 、∞ 4、若1y xx y+=，求y '等于（） A 、22x y y x -- B 、22y x y x -- C 、22y x x y-- D 、22x yx y +-5、曲线221xy x =-的渐近线条数为(） A 、0 B 、1 C 、2 D 、36、下列函数中，那个不是映射（)A 、2y x = (,)x R y R +-∈∈B 、221y x =-+C 、2y x =D 、ln y x = (0)x > 二、填空题（每题2分） 1、__________2、、2(1))lim ()1x n xf x f x nx →∞-=+设 （，则 的间断点为__________3、21lim51x x bx ax→++=-已知常数 a 、b,，则此函数的最大值为__________ 4、263y x k y x k =-==已知直线 是 的切线，则 __________ 5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ，在点（，）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分）1、221x y x =+函数是有界函数 （ ） 2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ） 3、limββαα=∞若，就说是比低阶的无穷小 ( ） 4、可导函数的极值点未必是它的驻点 （ ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 （ ） 四、计算题（每题6分) 1、1sin xy x=求函数 的导数2、21()arctan ln(12f x x x x dy =-+已知），求3、2326x xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求4、20tan sin limsin x x xx x→-求5、计算 6、21lim (cos )x x x +→计算 五、应用题1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2)100R x x x =-（,总成本函数为2()20050C x x x =++，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8分）2、描绘函数21y x x=+的图形（12分）六、证明题（每题6分）1、用极限的定义证明:设01lim (),lim()x x f x A f A x+→+∞→==则 2、证明方程10,1x xe =在区间（）内有且仅有一个实数一、 选择题1、C2、C3、A4、B5、D6、B 二、填空题1、0x =2、6,7a b ==-3、184、35、20x y +-= 三、判断题1、√2、×3、√4、×5、× 四、计算题 1、1sin1sin1sin ln 1sin ln 22))1111cos ()ln sin 1111(cos ln sin )xxx xx xy x ee x x x x x x x x x x x'='='⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦=-+（（2、22()112(arctan )121arctan dy f x dxxx x dx x xxdx='=+-++= 3、 解：2222)2)222302323(23)(23(22)(26)(23x y xy y y x yy x y y x y x y yy y x y--'+'=-∴'=--'----'∴''=-4、解：2223000tan sin ,1cos 21tan (1cos )12lim lim sin 2x x x xx x x xx x x x xx x →→→--∴==当时，原式=5、解：65232222261)61116116(1)166arctan 6arctanx t dx t tt t t t t tt t C C===+=++-=+=-+=-+=-+⎰⎰⎰⎰令原式（6、 解:2201ln cos 01limln cos 20200012lim 1lim ln cos ln cos lim 1(sin )cos lim 2tan 1lim 22x xx x xx x x x x e exx xx x x xx x e++→++++→→→→→-===-=-==-∴= 原式其中：原式五、应用题1、解：设每件商品征收的货物税为a ，利润为()L x222()()()100(20050)2(50)200()45050()0,,()4(50)41(502)410250225L x R x C x axx x x x ax x a x L x x aaL x x L x a a ax T a T a T a =--=--++-=-+--'=-+--'==-='=-'==''=-<∴=令得此时取得最大值税收T=令得当时，T 取得最大值2、 解：()()2300,01202201D x y x x y x y x y x =-∞⋃+∞='=-'==''=+''==-，间断点为令则令则渐进线:32lim lim 001lim x x x y y y x y y x y x x→∞→→∞=∞∴=∴=+==∞∴无水平渐近线是的铅直渐近线无斜渐近线图象六、证明题1、 证明：lim ()0,0()11101()1lim ()x x f x AM x M f x A x MM M x f A x f A xεεξε→∞→∞=∴∀>∃>>-<><<>∴-<=当时，有取=，则当0时，有即2、 证明：[]()1()0,1(0)10,(1)100,1()0,1()(1)0,(0,1)()0,110,1x x x f x xe f x f f e f e f x x e x f x xe ξξξξ=-=-<=->∈=='=+>∈∴-令在（）上连续由零点定理：至少存在一个（），使得即又则在上单调递增方程在（）内有且仅有一个实根。
电子科技大学微积分上册1-3
lim f x M 0, X 0,当 x X 时,
x
f x >M , 则 lim f x ;
x
●
x
lim f x M 0, X 0,当x X 时,
f x >M , 则 lim f x ;
当 0 x -x0 1时, 有 x .
又由 lim x 0, 对上述 0 , 2 0,当
x x0
0 x - x0 2时,有 x .
取 min 1 , 2 , 则当 0 x -x0 时,有
x
●
x
lim f x M 0, X 0,当x X 时, f x >M , 则 lim f x .
x
●
请思考并写出如下定义:
x
lim f x ; lim f x ; lim f x .
x x0
的图形的铅直渐近线.
三、无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;
恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证 设 lim f ( x ) . x x0 1 0,由 lim f ( x ) , 令M ， 0, x x0 1 当 0 x x0 时,有 f x M , 1 1 即 . lim 0. x x0 f x f x
则称f x 当x 时为无穷大,记为 lim f x .
x
●
x x0
lim f x 若M 0, 0,当
0 x x0 时, 有 f x M ,
电子科技大学数学实验第二次课上微积分实验及答案
2 微积分实验2.1 基础训练1. 已知)cos(mx e y nx=，利用符号运算函数求y ''. 编写函数文件返回求导结果（1个参数）. 解：function d=myfun syms m n xy=exp(n*x)*cos(m*x); d = diff(y,x,2);2. 已知函数22xa ae y x +=，求解该函数在x =5处的一阶导数值.编写本问题的函数文件第一行格式如下（函数名、文件名自己设定）： function r=myfun %变量r 存储导数值 解：function r=myfun syms a xy=a*exp(x)/sqrt(a^2+x^2); f=diff(y,x); r=subs(f,x,5);3. 使用符号工具箱计算函数211xy +=的6阶麦克劳林多项式. 要求编写一个function 文件返回该结果. 解：function f=fun syms xf = taylor(1/(1+x^2),x, 'order',7); f = simplify(f);4. 求不定积分dx x x ⎰2ln 和定积分dx xex ⎰∞-12。
syms xint(log(x)^2*x) f=x*exp(-x^2);int(f,x,1,inf)5. 求解方程组求下列联立方程的解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++-=-++=+-+159326282310262113654d z y x d z y x d z y x d z y x .编程调用solve 函数求解方程组；编写函数返回4个参数：依次为x ，y ，z ，d 所得结果。
编写本问题的函数文件第一行格式如下（函数名、文件名自己设定）： function [x,y,z,d]=myfun % x,y,z,d 为题目所求的解 解：function [x,y,z,d]=myfun % x,y,z,d 为题目所求的解[x,y,z,d]=solve('4*x+5*y-6*z+3*d=11','2*x+6*y+2*z-d=10',... '3*x-2*y+8*z+2*d=6','x+2*y+3*z+9*d=15')2.2 实验任务问题来源全国数学建模竞赛1997年A 题 一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。
电子科大 数值分析课件第一章 引论
2 1 . 4142136
0 . 166666666
1 3!
0 . 16666667
例：近似计算 解： 将
1
1 0
1
e
0
x
2
dx （= 0.747…）
e
x
2
作Taylor展开后再积分
dx (1 x 1 3
2
e
0
x
2
x
4
1
x
6
1 7
x
8
... ) dx 1 4! 1 9 ...
教学要求
了解数值分析研究的主要内容； 掌握数值分析的基本概念和基本原理，进一 步提高抽象思维和逻辑推理的能力； 掌握数值计算的各种方法（或算法）的基本 思想，进一步提高数值计算能力 ； 能够与实际问题相结合，利用所学算法解决 一些实际的数学模型问题 ； 能够利用数学软件编程实现所学算法（可用 MATLAB，MATHEMATICA等）。
如： x*=15±2, y*=1000±5,
x=15, y=1000,
ε (x) =2; ε (y)=5
因此考虑精度时除看误差大小外，还应考虑精确值本 身的大小，故引入相对误差概念。
定义1.2 设x*为某一数据的准确值，x为x*的一个近似 值，称
er ( x ) e( x) x
xx x
高等代数的若干概念和结论： 多项式； 行列式； 初等矩阵； 特殊三角阵。
1.2 数值计算的误差与有效数字
1.2.1 误差来源与分类:
按来源分，分为固有误差和计算误差。
（完整版）电子科技大学微电子器件习题
（完整版）电子科技大学微电子器件习题第二章 PN 结填空题1、若某突变PN 结的P 型区的掺杂浓度为 N A =1.5 M016cm -3，则室温下该区的平衡多子浓度P po与平衡少子浓度 n po 分别为（）和（）°2、在 PN 结的空间电荷区中， P 区一侧带（）电荷， N 区一侧带（）电荷。
内建电场的方向是从（）区指向（）区。
3、当采用耗尽近似时， N 型耗尽区中的泊松方程为（）。
由此方程可以看出，掺杂浓度越高，则内建电场的斜率越（）。
4、 PN 结的掺杂浓度越高，则势垒区的长度就越（），内建电场的最大值就越（），内建电势V bi 就越（），反向饱和电流I o 就越（）,势垒电容C T 就越（），雪崩击穿电压就越（）。
5、硅突变结内建电势 V bi 可表为（），在室温下的典型值为（）伏特。
6、当对 PN 结外加正向电压时，其势垒区宽度会（），势垒区的势垒高度会（）。
7、当对 PN 结外加反向电压时，其势垒区宽度会（），势垒区的势垒高度会（）。
8、在P 型中性区与耗尽区的边界上，少子浓度n p 与外加电压 V 之间的关系可表示为（）°若P 型区的掺杂浓度 N A =1.5 M017cm -3，外加电压V= 0.52V ,则P 型区与耗尽区边界上的少子浓度 n p 为（）°9、当对 PN 结外加正向电压时，中性区与耗尽区边界上的少子浓度比该处的平衡少子浓度（）；当对PN 结外加反向电压时，中性区与耗尽区边界上的少子浓度比该处的平衡少子浓度（）。
1o 、 PN 结的正向电流由（电流三部分所组成。
11、PN 结的正向电流很大，是因为正向电流的电荷来源是（）；PN 结的反向电流很小，是因为反向电流的电荷来源是（）。
12、当对 PN 结外加正向电压时，由 N 区注入 P 区的非平衡电子一边向前扩散，一边（）。
每经过一个扩散长度的距离，非平衡电子浓度降到原来的（）。
13、PN 结扩散电流的表达式为（）。
电子科技大学,微积分,数学,定积分00824-PPT文档资料23页
引力 Fkam2 dyy2,
水平方向的分力元素
amdy
dFx k(a2y2)23 ,
Fx 2l2l k(aa2m yd2)y23
2km l 1 ,
a(4a2 l2)2
由对称性知，引力在铅直方向分力为 Fy 0.
例 6 一半径为R、 中心角为的圆弧形细棒,
§3.9 定积分的物理应用
一、变力作功问题
由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程
中有一个不变的力 F作用在这物体上，且这
力的方向与物体的运动方向一致，那么，在
物体移动了距离
S
时，力F对物体所作的功
为
WF S
如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，
就不能直接使用此公式，而采用“微元法”思想.
m Rd dF k R 2 ,
其中Rd是小圆弧的长，
而 R d 是 它 的 质 量 .
由于引力不但有大小，而且有方向，应当把引力
向两坐标轴作分解。由对称性，整个引力在y轴方向
上的分力为零。该小段圆弧
对质点P的引力在x轴方向上
的分力即引力微元为：
dF xdFcos.
因此，整个引力在x轴方向的分力为：
设将位移的方向取为坐标轴的方向，又力是位移 的连续函数F(x)，其中x 是质点的坐标，在力的
作用下，质点从点a移至点b，求力F(x)所作的功.
F（x）
o
a
x x+dx
b
x
分析：用微元法，在[a,b]上任一个小区间[x, x+dx],
对于小区间[x, x+dx]，可近似地视该 小段上的质点 位移受力不变，都是F(x). 于是功微元为：
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(lim x ) 2 3 lim x lim 5
x2 x2 x2
2 2 3 2 5 3 0,
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x 1 23 1 7 x2 x2 2 lim 2 . x2 x 3 x 5 3 lim( x 3 x 5) 3 x2
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sin x 例6 求 lim . x x
解
1 lim 0. x x
而 sin x是有界函数,sin x 1,
sin x lim 0. x x
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2x 例7 求极限 lim x 0 2 x 1 2 x 1
0 0
lim f x A. x x0
即
im f x lim f u A
u a
注： 1.定理中将
x x0
lim x a 改为 lim x 或 lim x
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1 2 n 例5 求 lim( 2 2 2 ). n n n n 1 2 n 1 2 n 解 lim( 2 2 2 ) lim 2 n n n n n n 1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim (1 ) . 2 n n 2 n n 2
2
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1 x 1 例10 求 lim x 0 x
n
n为正整数 .
解 设 u n 1 x , x un -1, 则 当 x 0时,u 1.
n
故 lim
x 0
1 x 1 u1 lim n u1 u 1 x
1 1 lim n1 . n 2 u1 u u u 1 n
x1 1 . lim x 1 x 3 2
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2x 3x 5 例4 求 lim . 3 2 x 7 x 4 x 1
3 2
3 2 2 x3 3 x2 5 x 解 lim lim 3 2 x 7 x 4 x 1 x 4 7 x
n
n 1
a n f ( x0 ).
P( x) 2. 设 f ( x ) , 且Q( x0 ) 0, 则有 Q( x )
P ( x0 ) lim f ( x ) f ( x0 ). x x0 lim Q( x ) Q( x 0 )
x x0 x x0
lim P ( x )
常数因子可以提到极限记号外面. 推论2
如果lim f ( x )存在, 而 n是正整数,
则 lim[ f ( x )] n [lim f ( x )] n.
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二、求极限方法举例
x3 1 例1 求 lim 2 . x2 x 3 x 5
解 lim( x 2 3 x 5) lim x 2 lim 3 x lim 5
lim n x lim n u n A n N
x x0 uA
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例9 求 lim lnsin x .
x
2
解
令u sin x , x
2
u 1,
lim ln sin x lim ln u ln 1 0
x
u1
若Q( x0 ) 0, 则商的法则不能应用.
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4x 1 . 例2 求 lim 2 x 1 x 2 x 3
解 lim( x 2 2 x 3) 0,
x 1
又 lim(4 x 1) 3 0,
x 1
x2 2x 3 0 lim 0. x 1 4x 1 3
x x0 x
u a u
而 lim f u A改为 lim f u A, 可得类似结论.
2.定理表明：满足定理的条件 :
即
x x0
lim f x lim f u A
u a
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这就是常用的变量代 换法
例 8 设 lim x
5 x3 2 . 1 7 x3
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注:
当a0 0, b0 0, m和n为非负整数时有
a0 b , 当n m , m m 1 0 a 0 x a1 x am lim 0,当n m , n n 1 x b x b x bn 0 1 , 当n m ,
由无穷小与无穷大的关系,
4x 1 得 lim 2 . x 1 x 2 x 3
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x 1 例3 求 lim 2 . x 1 x 2 x 3
2
解
x2 1 ( x 1)( x 1) lim 2 lim x 1 x 2 x 3 x 1 ( x 3)( x 1)
u
lim
1 2
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定理
复合函数运算法则
设函数u x , 且 lim x a , 但在点x0
x x0
的某去心邻域内u x a，又lim f u A，则
ua
复合函数 f x 当x x0时的极限也存在,且
[ f ( x ) g ( x )] A B
AB ( A B )
( A B )
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0. ( 2)成立.
推论1
如果lim f ( x )存在, 而 c 为常数, 则 lim[c f ( x )] c lim f ( x ).
2x 2x 1 2x 1 2x lim 解 lim 2 2 x 0 x 0 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1
lim
x 0
2x 2x 1 2x 1 8 x
2x 1 2x 1 lim x 0 4
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例11 lim
解 : 令u x, 则
x
x
4x 8x 5 2x 1
2
lim
负代换
4 x2 x x 8 5 2 1
2
lim
u
4 u 8 u5 2 u1
12 u 4
4u 2 8u 5 2 u 1 4 12 u lim 3 u 8 5 1 2013-11-2 4 2 2 u u u
x x0
x x0
A 0,
n
证明:
lim
n
x
A
n
n N .
u,
证 令 u x ， f u
x x0
根据假设 lim x A.
则由定理可得 lim f x lim f u uA x x0
§1-4
定理
极限运算法则
一、极限运算法则
设 lim f ( x ) A,lim g( x ) B, 则
(1) lim[ f ( x ) g( x )] A B; (2) lim[ f ( x ) g( x )] A B;
f ( x) A (3) lim , 其中B 0. g( x ) B
3
lim x 3 lim1
注： 1. 设f ( x ) a0 x n a1 x n1 an , 则有
x x0
lim f ( x ) a0 ( lim x ) a1 ( lim x )
n x x0 x x0
n1
an
a0 x0 a1 x0
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证 lim f ( x ) A, lim g( x ) B.
f ( x ) A ,
g( x ) B . 其中 0, 0.
[ f ( x ) g( x )]
A B
0. (1)成立.