区域土地利用与保护政策

1.5 随机事件的独立性
一般情况下, 事件B 的发生对事件A 的发生是有影响的. 如果事件B 发生与否并不影响A 的发生, 即
)
()(B A P B A P 如果事件A 相对B 独立,事件B 相对A 也独立, 则称它们是相互独立的.
则称事件A 相对B 独立, 此时A 相对也独立.
B
性质设A 与B 是两随机事件, 那么
1º 如果A 相对B 独立, 则事件相对B 也独立, 并且
),()|(A P B A P =A )
()()(B P A P AB P =2º 如果A 相对B 独立且0<P (A )<1, 则A 与B 相互独立；3º (相互独立事件的乘法定理)如果A 与B 相互独立,并且有乘法公式
也相互独立与与与则,,,B A B A B A )()()(),()()()()()(),()()(B P A P B A P B P A P B A P B P A P B A P B P A P AB P ====
证1º 如果A 相对B 独立, 则
2º 由条件概率公式即1º知
)|()|(1)|(1)|(B A P B A P B A P B A P =-=-=知
再由全概率公式独立相对即,,B A )
|()()|()()(B A P B P B A P B P A P +=)|()|()()|()(B A P B A P B P B A P B P =+=)()()()()|()()(B P A P A P B P B A P B P AB P ===)
()()()()()()()()()|(A P B P A P B P A P AB P B P A P A B P A B P -=-==)|()
()()()()()()()(A B P A P AB P A P B P A P A P B P A P ====
3º如果A 与B 相互独立, 则
⎭
⎬⎫独立相对知而由独立相对由定义知B A A B 01)()()(),()()()()()(),()()(B P A P B A P B P A P B A P B P A P B A P B P A P AB P ====也相互独立与与反复用上述结果可知：B A B A ,再由1º的最后一个等式可知
即B 相对A 独立, 从而A 与B 相互独立
相互独立与B A ⇒
定理1
在0<P(A)<1, 0<P(B)<1的条件下
相互独立
与
独立
相对
独立
相对B
A
A
B
B
A⇔
⇔
性质1º与性质2º的证明过程也已经证明了
性质2º表明：
在0<P(A)<1, 0<P(B)<1的条件下
)
(
)
(
)
(B
P
A
P
AB
P
B
A=
⇔
相互独立
与
正因为此定理的成立，为了
叙述简单，有些教科书也把
此公式作为相互独立的定义
定理2)
()()()(2121k k i i i i i i A P A P A P A A A P =相对独立与相互独立的概念很容易推广到多个随机事件的情形，如我们有
在0<P (A i )<1(i =1,2, ·
··,n ) 的条件下事件相互独立的充要条件是
组n A A A ,,,21 事实上，在实际应用中，对于事件的独立性，往往可由实际问题本身的意义判定.
对于任意k (1≤k ≤n ) 及
.
12)11(1032个式子共n C C C C C n n
n n n n n n --=--+=+++ 1≤i 1< i 2<···< i k ≤n ,有
一个均匀的正四面体,其第一面染成红色,第二面染成白色,第三面染成黑色,而第四面同时染上红、白、黑三种颜色.现以A ,B ,C 分别记投一次四面体出现红,白,黑颜色朝下的事件,问事件A ,B ,C 是否相互独立?
例1（伯恩斯坦反例）解由于在四面体中红, 白, 黑各出现两面, 故
2
1)()()(===C P B P A P 又由于同时出现2~3种颜色的只有一面，故
4
1)()()()(====ABC P AC P BC P AB P
从而有因此A 、B 、C 不相互独立.
⎪⎩
⎪⎨⎧===)()()()
()()()()()(C P A P AC P C P B P BC P B P A P AB P 所以三事件A , B , C 两两独立.但41)(=ABC P )()()(8
1C P B P A P =≠21)()()(===C P B P A P 4
1)()()()(====ABC P AC P BC P AB P
甲,乙两人同时向敌机炮击,已知甲击中敌机的概率为0.6,乙击中敌机的概率为0.5,求敌机被击中的概率.
解设A ={ 甲击中敌机}
B ={ 乙击中敌机}，
C ={ 敌机被击中}
B
A C =则5
.0)(,6.0)(==B P A P 又（A 与B 不互斥）例2，但A 与B 独立, 进而.独立与B A )(1)(C P C P -=∴)(1B A P -== 0.8
)()(1B P A P -=两事件
相互独立
两事件
互斥
设一个系统由2n 个元件组成,每个元件的可靠性均为r ,且各元件能否正常工作是相互独立的,求下列系统Ⅰ和Ⅱ的可靠性,并比较其大小.
例3系统Ⅰ
系统Ⅱ…n +22n
n +1…12n 注：串联通路正常工作
⇔通路上各部分都正常工作并联通路正常工作
⇔至少有一条通路正常工作
…n +2
2n n +112n
},{个元件正常工作第设i A i =r A P i =)(则设B 1={ 系统Ⅰ正常工作}，解B 2={ 系统Ⅱ正常工作},)
()(221211n n n n A A A A A A P B P ++=)
(122121n n n n A A A A A A P ++-=)
(122121n n n n A A A A A A P ++-=)
()(122121n n n n A A A P A A A P ++-=)](1)][(1[122121n n n n A A A P A A A P ++---=2]1[1n r --=则)
2(n
n r r -=
()
)
())(()(222112n n n n A A A A A A P B P ++=()
∏=+-=n i i n i A A P 1)
(1 ∏=+=n i i n i A A P 1)( ()∏=+-=n i i n i A A P 1)(1()∏=+-=n i i n i A P A P 1)()(1()n r 2)
1(1--=()n r r )2(-=n n r r )2(-=)2()2(n
n n
n r r r r ->-由于)2()2(2)2(,12)2(1)2
2(2)()2()()
0(0)1()()2()(2n n n n n n n n n n r r r r r r r r f r f r f x f y x x n n x f n x x f ->-->->+-=>+-=>>-=''≥=-，或即是凹的，从而故曲线，则令,故系统Ⅱ比Ⅰ可靠.
.)2(,)2(,,,.121o 个事件也是相互独立其中任意则相互独立若事件 n k k n A A A n ≤≤≥ ,,,,,)2(,,,.32121o 个事件仍相互独立所得的立事件们的对中任意多个事件换成它则将相互独立个事件若 n A A A n A A A n n n ≥三个结论
它们两两相互独立
则相互独立若事件 ,)2(,,,.221o ≥n A A A n 对于多个事件的独立性我们有。