区域土地利用与保护政策
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1º 如果A相对B独立, 则事件 A 相对B也独立, 并且
P ( A | B) P ( A), P ( AB ) P ( A) P ( B)
2º 如果A相对B独立且0<P(A)<1, 则A与B相互独立； 3º (相互独立事件的乘法定理) 如果A与B相互独立,
则A 与B, A与B , A 与B 也相互独立 , 并且有乘法公式
1 P ( AB ) P ( BC ) P ( AC ) P ( ABC ) 4
概率统计（ZYH）
1 P ( A) P ( B ) P (C ) 2 1 P ( AB ) P ( BC ) P ( AC ) P ( ABC ) 4
从而有
P ( AB ) P ( A) P ( B ) P ( BC ) P ( B ) P (C ) P ( AC ) P ( A) P (C )
两事件相互独立
概率统计（ZYH）
两事件互斥
例3 设一个系统由2n个元件组成, 每个元件的 可靠性均为 r, 且各元件能否正常工作是相互独立 的, 求下列系统Ⅰ和Ⅱ的可靠性, 并比较其大小.
1 系统Ⅰ
n+1 n+2
2
…
n 2n n 2n
概率统计（ZYH）
即B相对A独立, 从而A与B相互独立 3º 如果A与B相互独立, 则
由定义知 B相 对A 独 立 A 与B相互独立 0 而由 1 知A 相 对B独 立
反复用上述结果可知： A与B , A 与B 也相互独立
再由1º 的最后一个等式可知
P ( AB ) P ( A) P ( B), P ( A B) P ( A ) P ( B) P ( AB ) P ( A) P ( B ), P ( A B ) P ( A ) P ( B )
解 设 A={ 甲击中敌机 } B={ 乙击中敌机 }， C={ 敌机被击中 } ，但 A与B独立, 进而 （ A与B不互斥） 则C A B
A 与 B 独立. 又 P ( A) 0.6, P ( B) 0.5
P (C ) 1 P (C ) 1 P ( A B ) 1 P ( A ) P ( B ) = 0.8
2n 1 n 个式子.
P ( Ai1 Ai2 Aik ) P ( Ai1 ) P ( Ai2 ) P ( Aik )
事实上，在实际应用中，对于事件的独立性，
往往可由实际问题本身的意义判定.
概率统计（ZYH）
例1（伯恩斯坦反例） 一 个 均 匀 的 正 四 面 体 , 其第一面染成红色, 第二面染成白色 , 第三面染成
黑色, 而第四面同时染上红、白、黑三种颜色. 现
以 A, B, C 分别记投一次四面体出现红, 白, 黑颜色 朝下的事件, 问事件 A, B, C是否相互独立? 解 由于在四面体中红, 白, 黑各出现两面, 故
1 P (பைடு நூலகம்A) P ( B ) P (C ) 2
又由于同时出现 2~3种颜色的只有一面，故
概率统计（ZYH）
性质2º 表明：在0<P(A)<1, 0<P(B)<1的条件下
A相对B独立 B相对A独立 A与B相互独立
性质1º 与性质2º 的证明过程也已经证明了 定理1 在0<P(A)<1, 0<P(B)<1的条件下
A与B相互独立 P( AB) P( A) P( B)
正因为此定理的成立，为了 叙述简单，有些教科书也把 此公式作为相互独立的定义
所以三事件 A, B, C 两两独立.
1 1 但 P ( ABC ) P ( A) P ( B ) P (C ) 4 8 因此 A、B、C 不相互独立.
概率统计（ZYH）
例2 甲, 乙两人同时向敌机炮击, 已知甲击中敌 机的概率为0.6, 乙击中敌机的概率为0.5, 求敌机被 击中的概率.
P ( AB ) P ( A) P ( B), P ( A B) P ( A ) P ( B) P ( AB ) P ( A) P ( B ), P ( A B ) P ( A ) P ( B )
概率统计（ZYH）
证 1º 如果A相对B独立, 则 P( A | B) 1 P( A | B) 1 P( A | B ) P( A | B )
2º 由条件概率公式即1º 知
P ( BA ) P ( B) P ( AB ) P ( B) P ( A) P ( B) P( B | A ) P( A ) P( A ) P( A ) P ( A ) P ( B) P ( A) P ( B) P ( AB ) P ( B | A) P( A ) P ( A) P ( A)
概率统计（ZYH）
相对独立与相互独立的概念很容易推广到多个
随机事件的情形，如我们有
· · ,n) 的条件下事件 定理2 在 0<P(Ai)<1(i=1,2, · 组A1 , A2 ,, An相互独立的充要条件是
对于任意k (1≤k≤n) 及 1≤i1< i2<· · · < ik≤n,有
2 3 n 共 Cn Cn Cn 0 1 (1 1)n C n Cn
即A 相对B独立, 再由全概率公式 ,知
P( A) P( B) P( A | B) P( B ) P( A | B ) P ( B ) P ( A | B) P ( B ) P ( A | B) P ( A | B) P ( AB ) P ( B) P ( A | B) P ( B) P ( A) P ( A) P ( B)
1.5 随机事件的独立性
一般情况下, 事件B的发生对事件A的发生是有
影响的. 如果事件B发生与否并不影响A的发生, 即
P ( A B) P ( A B ) 则称事件A相对B独立, 此时A 相对 B也独立. 如果事件A相对B独立,事件B相对A也独立, 则
称它们是相互独立的.
概率统计（ZYH）
性质 设A与B是两随机事件, 那么
P ( A | B) P ( A), P ( AB ) P ( A) P ( B)
2º 如果A相对B独立且0<P(A)<1, 则A与B相互独立； 3º (相互独立事件的乘法定理) 如果A与B相互独立,
则A 与B, A与B , A 与B 也相互独立 , 并且有乘法公式
1 P ( AB ) P ( BC ) P ( AC ) P ( ABC ) 4
概率统计（ZYH）
1 P ( A) P ( B ) P (C ) 2 1 P ( AB ) P ( BC ) P ( AC ) P ( ABC ) 4
从而有
P ( AB ) P ( A) P ( B ) P ( BC ) P ( B ) P (C ) P ( AC ) P ( A) P (C )
两事件相互独立
概率统计（ZYH）
两事件互斥
例3 设一个系统由2n个元件组成, 每个元件的 可靠性均为 r, 且各元件能否正常工作是相互独立 的, 求下列系统Ⅰ和Ⅱ的可靠性, 并比较其大小.
1 系统Ⅰ
n+1 n+2
2
…
n 2n n 2n
概率统计（ZYH）
即B相对A独立, 从而A与B相互独立 3º 如果A与B相互独立, 则
由定义知 B相 对A 独 立 A 与B相互独立 0 而由 1 知A 相 对B独 立
反复用上述结果可知： A与B , A 与B 也相互独立
再由1º 的最后一个等式可知
P ( AB ) P ( A) P ( B), P ( A B) P ( A ) P ( B) P ( AB ) P ( A) P ( B ), P ( A B ) P ( A ) P ( B )
解 设 A={ 甲击中敌机 } B={ 乙击中敌机 }， C={ 敌机被击中 } ，但 A与B独立, 进而 （ A与B不互斥） 则C A B
A 与 B 独立. 又 P ( A) 0.6, P ( B) 0.5
P (C ) 1 P (C ) 1 P ( A B ) 1 P ( A ) P ( B ) = 0.8
2n 1 n 个式子.
P ( Ai1 Ai2 Aik ) P ( Ai1 ) P ( Ai2 ) P ( Aik )
事实上，在实际应用中，对于事件的独立性，
往往可由实际问题本身的意义判定.
概率统计（ZYH）
例1（伯恩斯坦反例） 一 个 均 匀 的 正 四 面 体 , 其第一面染成红色, 第二面染成白色 , 第三面染成
黑色, 而第四面同时染上红、白、黑三种颜色. 现
以 A, B, C 分别记投一次四面体出现红, 白, 黑颜色 朝下的事件, 问事件 A, B, C是否相互独立? 解 由于在四面体中红, 白, 黑各出现两面, 故
1 P (பைடு நூலகம்A) P ( B ) P (C ) 2
又由于同时出现 2~3种颜色的只有一面，故
概率统计（ZYH）
性质2º 表明：在0<P(A)<1, 0<P(B)<1的条件下
A相对B独立 B相对A独立 A与B相互独立
性质1º 与性质2º 的证明过程也已经证明了 定理1 在0<P(A)<1, 0<P(B)<1的条件下
A与B相互独立 P( AB) P( A) P( B)
正因为此定理的成立，为了 叙述简单，有些教科书也把 此公式作为相互独立的定义
所以三事件 A, B, C 两两独立.
1 1 但 P ( ABC ) P ( A) P ( B ) P (C ) 4 8 因此 A、B、C 不相互独立.
概率统计（ZYH）
例2 甲, 乙两人同时向敌机炮击, 已知甲击中敌 机的概率为0.6, 乙击中敌机的概率为0.5, 求敌机被 击中的概率.
P ( AB ) P ( A) P ( B), P ( A B) P ( A ) P ( B) P ( AB ) P ( A) P ( B ), P ( A B ) P ( A ) P ( B )
概率统计（ZYH）
证 1º 如果A相对B独立, 则 P( A | B) 1 P( A | B) 1 P( A | B ) P( A | B )
2º 由条件概率公式即1º 知
P ( BA ) P ( B) P ( AB ) P ( B) P ( A) P ( B) P( B | A ) P( A ) P( A ) P( A ) P ( A ) P ( B) P ( A) P ( B) P ( AB ) P ( B | A) P( A ) P ( A) P ( A)
概率统计（ZYH）
相对独立与相互独立的概念很容易推广到多个
随机事件的情形，如我们有
· · ,n) 的条件下事件 定理2 在 0<P(Ai)<1(i=1,2, · 组A1 , A2 ,, An相互独立的充要条件是
对于任意k (1≤k≤n) 及 1≤i1< i2<· · · < ik≤n,有
2 3 n 共 Cn Cn Cn 0 1 (1 1)n C n Cn
即A 相对B独立, 再由全概率公式 ,知
P( A) P( B) P( A | B) P( B ) P( A | B ) P ( B ) P ( A | B) P ( B ) P ( A | B) P ( A | B) P ( AB ) P ( B) P ( A | B) P ( B) P ( A) P ( A) P ( B)
1.5 随机事件的独立性
一般情况下, 事件B的发生对事件A的发生是有
影响的. 如果事件B发生与否并不影响A的发生, 即
P ( A B) P ( A B ) 则称事件A相对B独立, 此时A 相对 B也独立. 如果事件A相对B独立,事件B相对A也独立, 则
称它们是相互独立的.
概率统计（ZYH）
性质 设A与B是两随机事件, 那么