山西省阳泉市2016年中考数学一轮复习 专题29 与圆的有关的位置
圆与圆的位置关系(解析版)
圆与圆的位置关系(解析版)圆与圆的位置关系（解析版）圆与圆的位置关系是几何学中常见的问题。
在解析几何中，我们可以通过方程和图形的分析来确定两个圆之间的位置关系。
本文将详细介绍圆与圆的位置关系及其解析方法。
I. 两个圆的位置关系当给定两个圆的方程时，我们可以通过以下几种情况来判断它们的位置关系：1. 相离(disjoint)如果两个圆不相交，它们互相分离，也就是说没有公共点。
我们可以通过计算它们的半径之和和两个圆心之间的距离来判断。
如果半径之和小于圆心之间的距离，即 r1 + r2 < d，那么两个圆相离。
2. 外切（tangent exterior）如果两个圆的外部只有一个公共点，我们称它们相切于外部。
这意味着两个圆心之间的距离等于它们的半径之和，并且没有其他公共点。
我们可以通过计算两个圆心之间的距离和两个圆的半径之和来判断。
如果半径之和等于圆心之间的距离，即 r1 + r2 = d，那么两个圆相切于外部。
3. 内切（tangent interior）如果两个圆的内部只有一个公共点，我们称它们相切于内部。
这意味着两个圆的半径之差等于它们的圆心之间的距离，并且没有其他公共点。
我们可以通过计算两个圆的半径之差和两个圆心之间的距离来判断。
如果圆心之间的距离等于半径之差，即 d = |r1 - r2|，那么两个圆相切于内部。
4. 相交（intersect）如果两个圆有两个公共点，我们称它们相交。
这意味着两个圆心之间的距离小于半径之和，并且有两个公共点。
我们可以通过计算两个圆心之间的距离和两个圆的半径之和来判断。
如果半径之和大于圆心之间的距离，即 r1 + r2 > d，那么两个圆相交。
II. 解析方法在解析几何中，我们可以利用两个圆的方程来求解它们的位置关系。
假设第一个圆的方程为(x - h1)^2 + (y - k1)^2 = r1^2，第二个圆的方程为(x - h2)^2 + (y - k2)^2 = r2^2，其中(h1, k1)和(h2, k2)分别代表两个圆的圆心坐标，r1和r2分别代表两个圆的半径。
中考数学考点一遍过 考点18 圆的性质及与圆有关的位置关系
中考数学考点一遍过考点18 圆的性质及与圆有关的位置关系圆的性质及与圆有关的位置关系是中考数学中的一个重要考点。
在这个考点中，我们需要掌握圆的定义、圆弧、圆心角、弧长和扇形面积的计算方法，以及圆与直线的位置关系。
首先，我们来看一下圆的定义。
圆是由平面上距离圆心相等的点构成的集合。
圆是一种特殊的椭圆，其所有点到圆心的距离都相等。
在圆的性质中，圆弧是一个重要的概念。
圆弧是圆上两个点之间的一段弧线。
我们可以使用圆心角来描述圆弧的大小。
圆心角是以圆心为顶点的角，其对应的弧所对的圆心角大小等于弧所对的圆弧长度的一半。
通过圆心角的大小，我们可以判断圆弧的长度。
根据圆的性质，我们可以计算圆的弧长和扇形面积。
弧长是圆弧的长度，可以通过圆心角的大小和半径的关系来计算。
弧长等于圆心角的弧度数乘以半径。
扇形面积是由圆心角和半径所围成的扇形的面积，可以通过圆心角的大小和半径的关系来计算。
扇形面积等于圆心角的弧度数乘以半径的平方再除以2。
除了圆弧、圆心角、弧长和扇形面积的计算方法，我们还需要了解圆与直线的位置关系。
当直线与圆相交时，可以根据相交的情况判断它们的关系。
如果直线与圆相交于两个不同的点，我们可以得到两条相交弧。
如果直线与圆相切于一个点，那么这条直线被称为切线。
同时，切线与半径垂直。
综上所述，圆的性质及与圆有关的位置关系是中考数学中的一个重要考点。
我们需要掌握圆的定义、圆弧、圆心角、弧长和扇形面积的计算方法，以及圆与直线的位置关系。
通过熟练掌握这些知识，我们可以在中考数学考试中轻松应对相关题目。
希望同学们能够通过不断练习和巩固知识，顺利掌握这个考点，取得好成绩。
与圆有关的几种位置关系
圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含。
设两个圆的半径为R和r，圆心距为d。
则有以下五种关系：
1、d>R+r两圆外离；两圆的圆心距离之和大于两圆的半径之和。
2、d=R+r两圆外切；两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之和。
3、d=R-r两圆内切；两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之差。
4、d＜R-r两圆内含；两圆的圆心距离之和小于两圆的半径之差。
5、d＜R+r两园相交；两圆的圆心距离之和小于两圆的半径之和。
扩展资料
圆的性质：
1、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。
垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。
2、有关圆周角和圆心角的性质和定理。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。
中考数学与圆有关的位置关系专题复习
A ． 3B．4C． 2 2 D． 2 2 【答案】 C 4.（2011 浙江丽水， 10，3 分）如图，在平面直角坐标系中，过格点 A，B，C 作一圆弧，点 B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切 的是（）
2
将②代入①，解得 m=3n 或 m=－3n（舍去）． ∴ m=3n（ 2<n<2）． 点拨本题为学科内综合题， 它综合考查了圆， 函数，平面直角坐标系， 解直角三角形以及解方程（组）的相关知识，综合性极强． 例 3（2008，江苏无锡）如图，已知点 A 从（1，0）出发，以 1 个单 位长度 /秒的速度沿 x 轴向正方向运动．以 O，A 为顶点作菱形 OABC ， 使点 B，C 在第一象限内，且∠ AOC=6°0 ，以点 P（0，3）为圆心， PC 为半径作圆，设点 A 运动了 t 秒，求： （1）点 C 的坐标（用含 t 的代数式表示）；
半径，简称 “作半径，证垂直 ”；（2）当直线和圆的公共点没有明确时，
可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称 “作
垂线，证半径． ”
◆识记巩固
1．设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则点在圆内 ______；点
在圆上 _______；点在圆外 _______．
2．直线与圆的位置关系：如果⊙ O 的半径为 r，圆心 O 到直线 L 的
y
A
B
1
C
01
A．点 (0，3)
x
B．点 (2，3)
C．点 (5，1)
中考数学专题复习《与圆有关的位置关系》课件
∴∠DOE=∠OED,∴OD=DE. ∵OD=OE,∴△ODE是等边三角形, ∴∠DOE=60°,∴∠CGE=30°. ∵☉O的半径为5,∴GE=10. ∵GE是☉O的直径,∴∠GCE=90°, ∴在Rt△GCE中,GC=GE•cos∠CGE=10×cos 30°=
(2)DE=2EF. 证法一:如图1. 由(1)知∠COE=∠DOE=60°,
( B) A.50° B.55° C.60° D.65°
考点5 三角形与圆
名称 三角形的外接圆 图形
三角形的内切圆
相关 经过三角形各顶点的 与三角形各边都相切的
概念 圆;外心是三角形三边 圆;内心是三角形三条角
中垂线的交点
平分线的交点
名称 三角形的外接圆
圆心 三角形的外心 名称
(续表)
三角形的内切圆 三角形的内心
考点1 点与圆的位置关系
设r为圆的半径,d为点P到圆心的距离,则:P在圆 外⇔d>r在圆上⇔d=r在圆内⇔d<r.
[典例1]如图,在△ACB中,∠ACB=90°, CD⊥AB于点D,若AB=5,BC=3. (1)以A为圆心,作半径为2的圆,则点 C与☉A的位置关系是 C在圆外 ; (2)以C为圆心,作半径为2.4的圆,则点D 与☉C的位置关系是 D在圆上 .
∴CE=DE. ∵OC=OE,∴△OCE为等边三角形, ∴∠OCE=60°.∵∠OCB=90°,∴∠ECF=30°. 在Rt△CEF中,
即DE=2EF.
证法二:如图1.过点O作OH⊥DF,垂足为H.∴∠OHF=90°. ∵∠OCB=∠DFC=90°, ∴四边形OCFH是矩形,∴CF=OH. ∵△ODE是等边三角形,∴DE=OE. ∵OH⊥DF,∴DH=EH. ∵∠COE=∠DOE, ∴CE=DE,∴CE=OE. ∵CF=OH,∴Rt△CFE≌Rt△OHE, ∴EF=EH,∴EH=DH=EF,∴DE=2EF.
【中考复习方案】中考数学复习权威课：29与圆有关的位置关系
∵∠APC＝∠AQC，∠BPD＝∠BQD, ∠BQD＝∠AQC, ∴
∠APC＝∠BPD.
∴△APC∽△BPD，
∴PPAB＝PPDC＝ 2.
考点聚焦
归类探究
回归教材
第29课时┃归类探究
解析
(2)∵PQ＝2，在 Rt△CPQ 中，CP＝4，
பைடு நூலகம்
∴cos∠CPQ＝PPQC＝12， ∴∠CPQ＝60°.
在 Rt△DPQ 中，PQ＝2，PD＝2 2， ∴QD＝2, ∴∠QPD＝45°，
第29课时┃归类探究
(2)探索：若干个直径为a的圆圈分别按如图29－1②所示的方 案一和如图29－1③所示的方案二的方式排放，探索并求出这 两种方案中n层圆圈的高度hn和h′n(用含n、a的代数式表示)； (3)应用：现有长方体集装箱，其内空长为5米，宽为3.1米， 高为3.1米．用这样的集装箱装运长为5米，底面直径(横截面 的外圆直径)为0.1米的圆柱形钢管，你认为采用(2)中的哪种方 案在该集装箱中装运钢管数最多？并求出一个这样的集装箱 最多能装运多少根钢管？
O1与圆O2没有出现的位置关系是( D )
A．外切 B．相交 C．内切 D．内含
考点聚焦
图29－3
归类探究
回归教材
第29课时┃回归教材
解 析 7 s后两圆刚好内切，所以外切、相交、内切都有，没 有内含，选D.
考点聚焦
归类探究
回归教材
第29课时┃回归教材
2．如图29－4所示，已知⊙O1的半径为1 cm，⊙O2的半径为2
置根数最多．根据题意，第一层排放 31 根，第二层排放 30
根，…，设钢管的放置层数为 n，可得 23(n－1)×0.1＋0.1 ≤3.1，解得 n≤35.6. ∵ n 为正整数，∴n＝35， 钢管放置的最多根数为 31×18＋30×17＝1068(根)．
中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系--知识讲解(基础)
中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系—知识讲解（基础）责编：常春芳【考纲要求】1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性．3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．4．垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三． 注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径．5．圆心角、弧、弦之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等． 6．圆周角圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．考点二、与圆有关的位置关系 1．点和圆的位置关系设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP ＝d ，则有：点P 在圆外⇔d ＞r ； 点P 在圆上⇔d ＝r ； 点P 在圆内⇔d ＜r ． 要点诠释：圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A 、B 的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．2．直线和圆的位置关系（1）切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．3．圆和圆的位置关系(1)基本概念两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．(2)请看下表：要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点． ②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解． ④“R-r ”时，要特别注意，R ＞r ．【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用【高清课堂：圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系 ID:412074 经典例题1】1．已知：如图所示，在⊙O 中，弦AB 的中点为C ，过点C 的半径为OD ．(1)若AB ＝OC ＝1，求CD 的长； (2)若半径OD ＝R ，∠AOB ＝120°，求CD 的长.【思路点拨】如图所示，一般的，若∠AOB ＝2n °，OD ⊥AB 于C ，OA ＝R ，OC ＝h ，则AB ＝2R ·sin n °＝2n ·tan n °＝CD ＝R －h ；AD 的长180n Rπ=． 【答案与解析】解：∵半径OD 经过弦AB 的中点C ， ∴半径OD ⊥AB ．(1)∵AB＝AC＝BC∵OC＝1，由勾股定理得OA＝2．∴CD＝OD－OC＝OA－OC＝1，即CD＝1.(2)∵OD⊥AB，OA＝OB，∴∠AOD＝∠BOD．∴∠AOB＝120°，∴∠AOC＝60°．∵OC＝OA·cos∠AOC＝OA·cos60°＝12 R，∴1122CD OD OC R R R =-=-=．【总结升华】圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题．举一反三：【变式】在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点(如图所示)，此时甲是自己直接射门好还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢?(不考虑其他因素)【答案】解：过M、N、B三点作圆，显然A点在圆外，设MA交圆于C，则∠MAN＜∠MCN．而∠MCN＝∠MBN，∴∠MAN＜∠MBN．因此在B点射门较好．即甲应迅速将球回传给乙，让乙射门．2．（2015•大庆模拟）已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是弧AC的中点．（1）如图1，求证：OP∥BC；（2）如图2，PC交AB于D，当△ODC是等腰三角形时，求∠A的度数．【思路点拨】（1）连结AC，延长PO交AC于H，如图1，由P是弧AC的中点，根据垂径定理得PH⊥AC，再根据圆周角定理，由AB是⊙O的直径得∠ACB=90°，然后根据OP∥BC；（2）如图2，根据圆心角、弧、弦的关系，以及三角形内角和等推论证来求得∠A的度数.【答案与解析】（1）证明：连结AC，延长PO交AC于H，如图1，∵P是弧AB的中点，∴PH⊥AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴OP∥BC；（2）解：如图2，∵P是弧AC的中点，∴PA=PC，∴∠PAC=∠PCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠PAO=∠PCO，当DO=DC，设∠DCO=x，则∠DOC=x，∠PAO=x，∴∠OPC=∠OCP=x，∠PDO=2x，∵∠OPA=∠PAO=x，∴∠POD=2x，在△POD中，x+2x+2x=180°，解得x=36°，即∠PAO=36°，当CO=CD，设∠DCO=x，则∠OPC=x，∠PAO=x，∴∠POD=2x，∴∠ODC=∠POD+∠OPC=3x，∵CD=CO，∴∠DOC=∠ODC=3x，在△POC中，x+x+5x=180°，解得x=（）°，即∠PAO=（）°．综上所述，∠A的度数为36°或（）°．【总结升华】本题考查了圆周角定理及其推论同时考查了等腰三角形的性质、垂径定理和三角形内角和定理．举一反三：【变式】（2015•温州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求BE的长；（2）求△ACD外接圆的半径．【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，且∠ACB为圆O的圆周角（已知），∴AD为圆O的直径（90°的圆周角所对的弦为圆的直径），∴∠AED=90°（直径所对的圆周角为直角），又AD是△ABC的角平分线（已知），∴∠CAD=∠EAD（角平分线定义），∴CD=DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等），在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）；∵△ABC为直角三角形，且AC=5，CB=12，∴根据勾股定理得：AB==13，∴BE=13﹣AC=13﹣5=8；（2）由（1）得到∠AED=90°，则有∠BED=90°，设CD=DE=x，则DB=BC﹣CD=12﹣x，EB=AB﹣AE=AB﹣AC=13﹣5=8，在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD2=BE2+ED2，即（12﹣x）2=x2+82，解得：x=，∴CD=，又AC=5，△ACD为直角三角形，∴根据勾股定理得：AD==，根据AD是△ACD外接圆直径，∴△ACD外接圆的半径为：×=．类型二、圆的切线判定与性质的应用3．如图所示，AB＝AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．【思路点拨】AC与⊙O有无公共点在已知条件中没有说明，因此只能过点O向AC作垂线段OE，长等于⊙O的半径，则垂足E必在⊙O上，从而AC与⊙O相切．【答案与解析】证明：连接OD，作OE⊥AC，垂足为E，连结OA．∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB．∵AB＝AC，OB＝OC，∴∠1＝∠2，∴OE＝OD．∵OD为⊙O半径，∴AC与⊙O相切．【总结升华】如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直；如果已知直线与圆是否有公共点在条件中并没有给出，那么作垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求△ABC的内切圆的半径．【答案】解：设△ABC的内切圆与三边的切点分别为D、E、F，根据切线长定理可得：AE ＝AF ，BF ＝BD ，CD ＝CE ，而AE+CE ＝b ，CD+BD ＝a ，AF+BF ＝c ， 可求2a b cCE +-=． 连接OE 、OD ，易证OE ＝CE ．即直角三角形的内切圆半径2a b cr +-=．4．如图所示，已知：△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，1sin 2B =，∠D ＝30°． (1)求证：AD 是⊙O 的切线； (2)若AC ＝6，求AD 的长．【思路点拨】（1）连接OA ，根据圆周角定理求出∠O 的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OAD ，根据切线的判定推出即可；（2）得出等边三角形AOC ，求出OA ，根据勾股定理求出AD 的长即可． 【答案与解析】(1)证明：连接OA ，∵1sin 2B =，∴∠B ＝30°． ∵∠AOC ＝2∠B ，∴∠AOC ＝60°． ∵∠D ＝30°，∴∠OAD ＝180°－∠D －∠AOD ＝90°． ∴AD 是⊙O 的切线．(2)解：∵OA ＝OC ，∠AOC ＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝6．∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，∴AD＝【总结升华】证明直线是圆的切线的方法：①有半径，证垂直；②有垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，半径OA⊥OB，P是OB延长线上一点，PA交⊙O于D，过D作⊙O的切线交PO于C 点，求证：PC＝CD．【答案】证明：连接OD．∵CE切⊙O于D，∴OD⊥CE．∴∠2+∠3＝90°．∵OA⊥OB，∴∠P+∠A＝90°．∵OD＝OA，∴∠3＝∠A．．∴∠P＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠P＝∠1．∴PC＝CD．类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用5．已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC 的平分线交AC于点D，求∠CDP的度数.【思路点拨】连接OC，根据题意，可知OC⊥PC，∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，可推出∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．【答案与解析】解：连接OC，∵OC=OA，，PD平分∠APC，∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∵∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，∴∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．【总结升华】本题主要考查切线的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、外角的性质，解题的关键在于做好辅助线构建直角三角形，求证∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，即可求出∠CDP=45°．【高清课堂：圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系 ID:412074 经典例题3】6．如图所示，AB是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF于点D，交AB的延长线于点C．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若DE＝4，sinC＝35，求AE的长．【思路点拨】构造半径、半弦、弦心距的直角三角形．【答案与解析】解：(1)证明：连接OE，BF，交于点G，则BF⊥AF，BF∥CD．∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA．∵∠OAE＝∠FAE，∴∠OEA＝∠FAE．∴OE∥AF，∵AF⊥DE，∴OE⊥CD．∴CD为⊙O的切线．(2)解：∵ BF∥DE，OE∥AF，∠D＝90°，∴四边形DEGF为矩形．∴BF＝2GF＝2DE＝8．∵BF∥CD，∴∠C＝∠ABF．可求得OA＝OB＝5，OG＝3．∴DF＝EG＝2，AF＝AB·sinC＝6．∴AD＝8，AE=【总结升华】(1)通过挖掘图形的性质，将分散的条件sinC＝35，DE＝4，集中到一个直角三角形中，使问题最终得到解决；(2)本题第(2)问还可以适当改变后进行变式训练，如改为：若DF＝2，sinC＝35，求AE的长；(3)第(2)问还可以过O作OM⊥AF于M后得OM＝DE＝4，sin∠AOM＝sinC＝35加以解决.。
中考数学复习《与圆有关的位置关系》专题训练含答案
中考复习专题训练与圆有关的位置关系一、选择题1.⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为4cm，圆心距O1O2=3cm，这两圆的位置关系是( )A. 相交B. 内切C. 外切D. 内含2.⊙O的半径为4，线段OP=4，则点P与⊙O的位置关系是（）A. 点P在⊙O外B. 点P在⊙O内C. 点P在⊙O上D. 不能确定3.两圆外离，作它们的两条内公切线，四个切点构成的四边形是（）A. 矩形B. 等腰梯形C. 矩形或等腰梯形D. 菱形4. 已知线段AB=7cm，现以点A为圆心，2cm为半径画⊙A；再以点B为圆心，3cm为半径画⊙B，则⊙A 和⊙B的位置关系（）A. 内含B. 相交C. 外切D. 外离5.下列四个命题中，真命题是( )A. 相等的圆心角所对的两条弦相等；B. 圆既是中心对称图形也是轴对称图形；C. 平分弦的直径一定垂直于这条弦；D. 相切两圆的圆心距等于这两圆的半径之和.6.在△ABC中，cosB=，∠C=45°，AB=8，以点B为圆心4为半径的⊙B与以点C为圆心的⊙C相离，则⊙C的半径不可能为（）A. 15B. 5C. 6D. 77. 如图，已知⊙O的半径为4，点D是直径AB延长线上一点，DC切⊙O于点C，连接AC，若∠CAB=30°，则BD的长为（）A. 4B. 8C. 4D. 28.下列说法正确的是（）A. 任意三点可以确定一个圆B. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分该弦所对的弧C. 同一平面内，点P到⊙O上一点的最小距离为2，最大距离为8，则该圆的半径为5D. 同一平面内，点P到圆心O的距离为5，且圆的半径为10，则过点P且长度为整数的弦共有5条9.如图，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PT切⊙O于T，若PT=6，PB=2，则⊙O的直径为（）A. 8B. 10C. 16D. 1810.如图，在等腰三角形△ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与AB，AC相切，切点分别为D，E．过半圆上一点F作半圆的切线，分别交AB，AC于M，N．那么的值等于（）A. B. C. D. 111.如图，⊙O的半径为2，点O到直线L的距离为3，点O是直线L上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）A. B. C. 3 D. 512.已知如图，PA、PB切⊙O于A、B，MN切⊙O于C，交PB于N；若PA=7.5cm，则△PMN的周长是（）A. 7.5cmB. 10cmC. 15cmD. 12.5cm二、填空题13.已知⊙P在直角坐标平面内，它的半径是5，圆心P（﹣3，4），则坐标原点O与⊙P的位置关系是________14.已知点P在半径为5的⊙O外，如果设OP=x，那么x的取值范围是________．15.如图，已知扇形AOB的半径为6，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F是上一点．将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧恰好与半径OB相切于点G．若OE=4，则O到折痕EF的距离为________．16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC≠BC，点M是边AC上的动点．过点M作MN∥AB交BC于N，现将△MNC沿MN折叠，得到△MNP．若点P在AB上．则以MN为直径的圆与直线AB的位置关系是________．17.如图，在⊙O中，OB为半径，AB是⊙O的切线，OA与⊙O相交于点C，∠A=30°，OA=8，则阴影部分的面积是________．18. 如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，关于下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是∠ACQ的外心，其中正确结论是________ （只需填写序号）．19.如图，AE、AD、BC分别切⊙O于E、D、F，若AD=20，则△ABC的周长为 ________20.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4 ．若动点D在线段AC上（不与点A、C重合），过点D作DE⊥AC交AB边于点E．点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE=________时，⊙C与直线AB相切．21.如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=45°，则图中阴影部分的面积为________．三、解答题22.如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB＝30°．（1）求∠APB的度数；（2）当OA＝3时，求AP的长．23.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB=8，边BC 比AD大6．（1）求边AD、BC的长；（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．24.在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．（Ⅰ）如图①，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=32°，求∠P的大小；（Ⅱ）如图②，D为优弧ADC上一点，且DO的延长线经过AC的中点E，连接DC与AB相交于点P，若∠CAB=16°，求∠DPA的大小．25.解答题（1）如图1，已知⊙O的半径是4，△ABC内接于⊙O，AC=4 ．①求∠ABC的度数；②已知AP是⊙O的切线，且AP=4，连接PC．判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如图2，已知▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O内，延长BC交⊙O于点E，连接DE．求证：DE=DC．参考答案一、选择题B C C D B D C D C B B C二、填空题13.点O在⊙P上14.x＞515.216.相交17.8 ﹣π18.②③19.4020.或21.4﹣π三、解答题22.解：（1）∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°，∴∠AOB=180°-2×30°=120°，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，∴在四边形OAPB中，∠APB=360°-120°-90°-90°=60°．（2）如图，连接OP；∵PA、PB是⊙O的切线，∴PO平分∠APB，即∠APO=∠APB=30°，又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°，∴AP=.23.解：（1）方法1：过D作DF⊥BC于F，在Rt△DFC中，DF=AB=8，FC=BC﹣AD=6，∴DC2=62+82=100，即DC=10．设AD=x，则DE=AD=x，EC=BC=x+6，∴x+（x+6）=10．∴x=2．∴AD=2，BC=2+6=8．方法2：连OD、OE、OC，由切线长定理可知∠DOC=90°，AD=DE，CB=CE，设AD=x，则BC=x+6，由射影定理可得：OE2=DE•EC．即：x（x+6）=16，解得x1=2，x2=﹣8，（舍去）∴AD=2，BC=2+6=8．（2）存在符合条件的P点．设AP=y，则BP=8﹣y，△ADP与△BCP相似，有两种情况：①△ADP∽△BCP时，有即∴y=；②△ADP∽△BPC时，有即∴y=4．故存在符合条件的点P，此时AP=或4．24.解：（Ⅰ）连接OC，如图①，∵PC为切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP=90°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠CAB=32°，∴∠POC=∠OCA+∠CAB=64°，∴∠P=90°﹣∠POC=90°﹣64°=26°；（Ⅱ）如图②，∵点E为AC的中点，∴OD⊥AC，∴∠OEA=90°，∴∠AOD=∠CAB+∠OEA=16°+90°=106°，∴∠C= ∠AOD=53°，∴∠DPA=∠BAC+∠C=16°+53°=69°25.（1）解：①连结OA、OC，如图1，∵OA=OC=4，AC=4 ，∴OA2+OC2=AC2，∴△OCA为等腰直角三角形，∠AOC=90°，∴∠ABC= ∠AOC=45°；②直线PC与⊙O相切．理由如下：∵AP是⊙O的切线，∴∠OAP=90°，而∠AOC=90°，∴AP∥OC，而AP=OC=4，∴四边形APCO为平行四边形，∵∠AOC=90°，∴四边形AOCP为矩形，∴∠PCO=90°，∴PC⊥OC，∴PC为⊙O的切线（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠B+∠A=180°，∠DCE=∠B，∵∠E+∠A=180°，∴∠E=∠B，∴∠DCE=∠E，∴DC=DE．。
中考数学知识点总结圆的位置
中考数学知识点总结圆的位置中考数学知识点总结圆的位置中学数学中的圆是一个基础的几何图形，其位置关系也是需要掌握的数学知识点之一。
在中考中，圆的位置关系常常与其他几何图形相结合，考查学生对几何形状的理解和应用能力。
下面将对中考中关于圆的位置关系进行总结。
1. 圆的内外关系对于两个不同的圆，它们之间有三种可能的位置关系：内含、外切和相离。
（1）内含：若一个圆完全位于另一个圆内部，则称这两个圆是内含关系。
内含关系中，小圆的半径小于大圆的半径。
（2）外切：若两个圆仅有一个切点，则称这两个圆是外切关系。
外切关系中，两个圆的半径相等。
（3）相离：若两个圆没有公共点，则称这两个圆是相离关系。
相离关系中，两个圆的半径大小没有固定关系。
2. 圆与直线的位置关系圆与直线的位置关系主要有内切、外切和相割三种情况。
（1）内切：若直线仅有一个切点与圆相切，则称该直线与圆是内切关系。
内切关系中，切点在圆的外部，直线通过圆心且垂直于半径。
（2）外切：若直线仅有一个切点与圆相切，则称该直线与圆是外切关系。
外切关系中，切点在圆的外部，直线通过圆心但不垂直于半径。
（3）相割：若直线与圆相交，并且不是内切或外切关系，则称该直线与圆是相割关系。
相割关系中，直线与圆有两个交点。
3. 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系主要有内切、外切和相交三种情况。
（1）内切：若两个圆仅有一个切点，则称这两个圆是内切关系。
内切关系中，切点在两个圆的外部，两个圆的半径之差等于切点到两个圆心的距离。
（2）外切：若两个圆仅有一个切点，则称这两个圆是外切关系。
外切关系中，切点在两个圆的外部，两个圆的半径之和等于切点到两个圆心的距离。
（3）相交：若两个圆有两个交点，则称这两个圆是相交关系。
相交关系中，两个圆的半径之和大于切点到两个圆心的距离，但小于两个圆的半径之和。
4. 圆心角与弦的位置关系圆心角与弦的位置关系是圆心角的一种特殊情况。
圆心角的度数与其所对应的弧度相等。
九年级数学圆与圆的位置关系
九年级数学圆与圆的位置关系在我们学习数学的过程中，有些知识总是能让人拍案叫绝，比如说圆与圆之间的位置关系。
你想啊，两个圆就像两个好朋友，有时候紧紧相拥，有时候则是形同陌路。
今天咱们就来聊聊这些圆的“社交”动态，保准让你听了哈哈大笑，边学边乐。
首先呢，咱们得知道圆和圆之间的基本关系。
两个圆如果能够相交，形成两个交点，那就叫做“相交”。
这就好比是两位朋友在某个聚会上聊得火热，结果发现两个人的兴趣爱好还真是有那么一点点相似，嘿嘿，意外的发现吧。
如果这两个圆的距离刚刚好，让它们只轻轻碰了一下，那就叫做“相切”。
就像两个朋友在街上偶遇，点头致意一下，心照不宣，继续各自的旅程，既亲密又有些距离。
哦，对了，记得咱们的圆心距离和半径的关系。
圆心距小于半径之和，那就能相交；等于半径之和，那就相切；大于半径之和，嘿，那就各自飞了。
咱们得聊聊“相离”这种情况。
两圆如果完全不相交，远得像两个恋人各自生活在两个城市，联系得少之又少，那就是“相离”。
你想啊，两个圆心的距离大于半径之和，真是远得像是天涯海角，不同的生活方式，不同的爱好，没啥交集，生活就这么各自精彩。
想象一下，两个圆在画纸上悄悄地待着，互不干扰，彼此就是那种“风马牛不相及”的感觉。
再来看看特殊的情况。
比如，当两个圆的圆心重合，但半径不同，那就有点意思了。
想象一下，有个圆在外面转来转去，另一个圆在它的“肚子”里悄悄待着。
这个时候，内圆完全被外圆包裹住了，像极了朋友间的包容。
总有那么一个人，给你无条件的支持，虽然不总是被看到，但心里永远有那么一个位置。
可惜，这种情况可不是每个人都能理解的。
说到这里，咱们再来琢磨一下这些圆之间的关系的意义。
生活中，朋友之间的关系也好，爱人之间的互动也罢，都是那么复杂又简单。
有人总是希望彼此相交，有人则想要独立。
相交的朋友就像是在一起打游戏，总是能碰撞出各种火花，而相切的朋友则是在适当的时候给予彼此空间，既能相互支持，又能保留个人的独特性。
与圆有关的位置关系复习课教案[5篇范例]
![与圆有关的位置关系复习课教案[5篇范例]](https://img.taocdn.com/s3/m/eb632b030166f5335a8102d276a20029bd6463b9.png)
与圆有关的位置关系复习课教案[5篇范例]第一篇：与圆有关的位置关系复习课教案课题：与圆有关的位置关系复习课教案教学目标：1. 知识与能力：巩固点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系，明确其性质和判定方法。
2. 过程与方法：培养数形结合分析问题的能力，学习归纳和类比。
3. 情感、态度和价值观：树立学数学、用数学的思想意识。
重点和难点：1.巩固相应位置关系的概念和数量关系，理解它们的对应。
2.能够明确图形中的位置和数量关系，利用数形结合的思想方法，解决实际问题。
教学过程：一、导入：1、情境导入：近期，中国航天科技有了重大突破，神八顺利升空，并且和先期升空的天宫一号成功对接，分离之后，神八按照原计划回顾地球。
欣赏以下图片，体会作为中国人的骄傲，明确我们以后的学习目标，观察圆在航天科技的广泛应用。
2、出示学习目标，限时阅读理解，明确学习的方向。
二、讲解：1、回忆、巩固以前学习的知识。
（以表格的形式展示，引导学生通过填空，结合图形，理解、记忆相关位置关系的名称，所对应的数量关系，找出一定的规律。
)2、例题解析：例题一：已知:P是非⊙O上的一点,P点到⊙O的最大距离是d,最小距离是a. 求⊙O的半径r.解析：点P可能的位置有几种？作出正确的图形，通过图形解决这个问题。
（限时4分钟，解决这个问题。
完成后，教师检查，并且展示一个同学的解题过程，指出出现的问题。
）例题二：已知⊙A的直径为6，点A的坐标为（-3，-4），则⊙A 与X轴的位置关系是_____,⊙A与Y轴的位置关系是______。
解析：通过直径，求出半径；作出平面直角坐标系，标出圆心的正确位置，作出正确的图形，问题即可以得到正确的解决。
（限时3分钟）演示解题过程，引导同学们纠正失误。
例题三：两个圆的半径的比为2 : 3 ,内切时圆心距等于 8cm,那么这两圆相交时,圆心距d的取值范围是多少?解析：利用方程的思想，合理设未知数，正确列出方程，先解决半径的问题。
中考数学复习 第七单元 圆 第29课时 与圆有关的位置关
第七单元圆第29课时与圆有关的位置关系教学目标【考试目标】1.了解点与圆、直线与圆的位置关系；2.掌握切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线，了解切线长定理.【教学重点】1.掌握点与圆的位置关系.2.掌握直线与圆的位置关系.3.了解切线的概念与性质，掌握切线长定理.教学过程一、体系图引入，引发思考二、引入真题、归纳考点【例1】（2016年宜昌）在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等），现计划修建一座以为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（）A.E 、F 、GB.F 、G 、HC.G 、H 、ED.H 、E 、F【解析】设小正方形的边长为1.由点在图形中的位置和勾股定理可知，OG=1，OE=OF=2，OA=12+22=5， OH= ，∴OG<OE=OF<OA<OH ，∴需要被移除的树是E 、F 、G.【例2】（2016年江西）如图，AB 是⊙O 的直径，点P 是弦AC 上一 动点（不与点A ，C 重合），过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，射线EP交 于点F ，交过点C 的切线于点D. （1）求证：DC=DP ；（2）若∠CAB=30°，当F 是 的中点时，判断以A ，O ，C ，F 为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由.【解析】(1) 如图1，连接OC,∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD∴∠OCD=90º，∴∠DCA= 90º－∠OCA .又PE ⊥AB ，点D 在EP 的延长线上，∴∠DEA=90º ，∴∠DPC=∠APE=90º－∠OAC.∵OA=OC ，∴∠OCA=∠OAC.∴∠DCA=∠DPC ，∴DC=DP.（2）如图2，四边形AOCF 是菱形.连接CF 、AF ， ∵F 是 的中点，∴ = ，∴ AF=FC .∵∠BAC=30º ，∴ =60°，又AB 是⊙O 的直径， ∴ =120°，∴ = =60°，∴∠ACF=∠FAC =30º . ∵OA=OC ，∴∠OCA=∠B AC=30º，∴△OAC ≌△FAC (ASA) , ∴AF=O A ，∴AF=F C=OC=OA , ∴四边形AOCF 是菱形.2222=22»AC »AC 图1 »CF»BC »AF ¼ACB »AC »AC »CF图2【例3】（2016年长沙）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ，DF.（1）求∠CDE 的度数；（2）求证：DF 是⊙O 的切线；（3）若AC= DE ，求tan ∠ABD 的值.【解析】（1）∵对角线AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC=90°， ∴∠ED C=90°；（2）证明：连接DO ，∵∠EDC=90°，F 是EC ∴DF=FC ， ∴∠FDC=∠F CD ，∵O D=OC ， ∴∠OCD=∠OD C ，∵∠OCF=90°，∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，∴DF 是⊙O 的切线.（3）如图所示：可得∠ABD=∠ACD ，∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，∴∠DCA=∠E ，又∵∠ADC=∠CDE=90°， ∴△CDE ∽△ADC ，∴DC2 =AD•DE ，∵AC= DE ，∴设DE=x ，则AC= x ，则AC2﹣AD2 =AD•DE，即 ， 解得AD=4x 或AD=-5x （舍去）. 故tan ∠ABD=tan ∠ACD= 三、师生互动，总结知识 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业：同步导练 25DC DE AD DC∴=25()2225AD AD x -=⋅4 2.2AD x DC x==25教学反思学生对点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系及圆的切线的相关知识掌握情况很好，望多加复习巩固，做到熟练会用.。
中考数学复习第29课时《与圆有关的位置关系》教学设计
中考数学复习第29课时《与圆有关的位置关系》教学设计一. 教材分析《与圆有关的位置关系》是中考数学复习的第29课时，主要涉及圆的性质和与圆有关的位置关系。
本节课的主要内容有：圆的切线、圆的弦、圆的对称性等。
这些内容是中考数学的重要考点，也是学生理解圆的性质和应用的基础。
教材通过实例和习题，帮助学生掌握圆的性质和与圆有关的位置关系的应用。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的定义、圆的半径、圆心等。
但是对于圆的切线、弦、对称性等概念的理解和应用还不够熟练。
此外，学生对于实际问题的解决能力还需要加强。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实例理解和掌握圆的性质和与圆有关的位置关系，并通过练习题加强应用能力的培养。
三. 教学目标1.理解圆的切线、弦、对称性的概念和性质。
2.学会运用圆的性质和与圆有关的位置关系解决实际问题。
3.提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.圆的切线、弦、对称性的概念和性质的理解。
2.运用圆的性质和与圆有关的位置关系解决实际问题的方法。
五. 教学方法1.实例教学：通过具体的实例，引导学生理解和掌握圆的性质和与圆有关的位置关系。
2.练习教学：通过练习题，加强学生对圆的性质和与圆有关的位置关系的应用能力的培养。
3.小组合作学习：引导学生分组讨论和解决问题，提高学生的合作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示圆的性质和与圆有关的位置关系的实例和习题。
2.练习题：准备一些相关的练习题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际的例子，如自行车轮子的运动，引导学生思考和讨论与圆有关的问题，激发学生的兴趣和思考能力。
2.呈现（15分钟）利用PPT展示圆的切线、弦、对称性的定义和性质，通过图示和实例，帮助学生理解和掌握这些概念。
3.操练（20分钟）学生分组进行练习，解决一些与圆有关的位置关系的问题。
山西省中考数学第4讲与圆有关的位置关系(下)复习讲义(无答案)
与圆有关的位置关系(下)已知：如图，AB是⊙O的弦，∠OAB＝45°，C是优弧AB上一点，BD∥OA交CA延长线于点D，连接BC。
⑴求证：BD是⊙O的切线；⑵若43AC ，∠CAB＝75°，求⊙O的半径。
【例1】已知：如图，P是∠AOB的角平分线OC上一点，PE⊥OA于E。
以P点为圆心，PE 长为半径作⊙P。
求证：⊙P与OB相切。
【例2】如图，已知O是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心、OA长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F。
⑴求证：CD与⊙O相切；⑵若正方形ABCD的边长为1，求⊙O的半径模块三圆与圆的位置关系⑴两圆外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部。
⑵两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部。
⑶两圆相交：两个圆有两个公共点。
⑷两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部。
⑸两圆内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例。
【例3】⑴若两圆的直径分别是2和6，两圆的圆心距是4，则两圆的位置关系是( )A．外离B．外切C．相交D．内切⑵(北大附中初三月考)平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为3，⊙A的圆心A的坐标为(-3，1)，半径为1，那么⊙O与⊙A的位置关系是____________。
⑶(西城区教研)若两个圆相切于A点，它们的半径分别为10cm、4cm，则这两个圆的圆心距为_____。
⑷(山东济宁)已知两圆的半径分别是2和3，圆心距为6，那么这两圆的位置关系是______。
⑸(湖南衡阳)两圆的圆心距为3，两圆的半径分别是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则两圆的位置关系是( )A．相交 B．外离C．内含 D．外切【挑战题】已知：如图，两圆相交于A，B两点，过A点的割线分别交两圆于D，F点，过B点的割线分别交两圆于C，E点。
中考数学(山西地区)总复习(课件)第22讲 与圆有关的位置关系
︵ MN 与 ⊙O 相 切 于 点 P ， P 是 EF 的 中 点 ， 则 木 棒 MN 的 长 度 为 ___(4___2_－__2_) ____m．(导学号 02052396)
CE＝BE＝DE＝3，在 Rt△BFE 中，利用 cos∠F＝BEFF和 tan∠F 可计算出 BF，再利用勾股定理可得 EF，由 CF＝CE＋EF 得 CF，最后在 Rt△OCF 中，利用正切函数可计算出 OC.
(1)证明：如图，连接 CB、OC，∵BD 为⊙O 的切线， ∴DB⊥AB，∴∠ABD＝90°，∵AB 是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCD ＝90°，∵E 为 BD 的中点，∴CE＝BE，∴∠BCE＝∠CBE，而∠OCB ＝∠OBC，∴∠OBC＋∠CBE＝∠OCB＋∠BCE＝90°，∴OC⊥CF，∴ CF 是⊙O 的切线；
中，BC＝ABcos∠B＝(AP＋PB)cos∠B＝(1＋6)×35＝251，在 Rt△BPQ 中，
BQ＝coBs∠P B＝63＝10，∴QC＝BQ－BC＝10－251＝259 5
圆的切线的判定与性质
【例 1】 如图，点 C 是以 AB 为直径的圆 O 上一点，直线 AC 与过 B 点 的切线相交于 D，点 E 是 BD 的中点，直线 CE 交直线 AB 于点 F. (1)求证：CF 是⊙O 的切线；
相切
相离
图形
公共 圆心到直线的距 公共
直线
点个 离 d 与半径 r 的关 点名 名称
数
分夯实基础提分多 第六单元圆 第29课时 与圆有关的位置关系-九年级中考数学复习课件
B. P在圆上
C. P在圆外
D. 无法确定
2. 已知∠AOB＝30°，C为OB上一点，且OC＝6，以点C为圆心，半径为3的圆与 OA的位置关系是__相__切____．
考 2 切线的性质及判定 点
定义 与圆只有一个公共点的直线是圆的切线
垂直 性质定理 圆的切线________于经过切点的半径
垂直
判定定理 经过半径的外端并且______于这条半径的直线是圆的切线
第3题图
考 3 切线长和切线长定理 点
切线长 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长
*切线 长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，
这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．如图， PA、PB分别切⊙O于A、B两点，则PA＝PB， ∠OPA＝∠OPB＝ 1 ∠APB
2
4. 如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切 点，连接BD，AD.若∠ACD＝30°，则∠DBA的大小是_7_5_°_____．
第4题图
考 4 三角形的内切圆 点
定义 与三角形各边都相切的圆
圆心 内心(三角形三条_角__平__分__线___的交点)
性质 三角形的内心到三角形____三__条__边_____的距离相等
【知识拓展】直角三角形内切圆的半径：r＝
1 2
(a＋b－c)(a，b为直角边，c为斜边)
5. 如果正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为( B ) A. 2 B. 2 3 C. 3 D. 3
【对接教材】人教：九上第二十四章P92～P104； 湘教：九下第2章P61～P76； 沪科：九下第24章P22，P33～P46
考 1 与圆有关的位置关系 1点. 点与圆的位置关系
中考数学总复习 第七单元 圆 第29课时 与圆有关的位置关系数学课件
推论
圆的切线①
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必过② 切点
唯一
公共点的直线是圆的切线;
(2)如果圆心到一条直线的距离等于圆的⑤ 半径
(3)经过半径的外端并且⑥
常添辅助线
;
(2)经过切点且垂直于切线的直线必过③ 圆心
(1)和圆有④
切线的判定
于过切点的半径
垂直(chuízhí)
垂直
,那么这条直线是圆的切线;
于这条半径的直线是圆的切线
连接圆心和切点
第四页，共三十一页。
课前双基巩固
考点四 切线(qiēxiàn)长及切线(qiēxiàn)长定理
切线长
切线长定理
经过圆外一点作圆的切线,这点与切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线
平分(píngfēn)
4
思路二:①在 Rt△ PAO 中,已知∠APO=30°,OA=a,可求出 PO=2a,进一步求出 PC=PO-OC=a;
②过 B 作 BE⊥PO,交 PO 的延长线于点 E,在 Rt△ BOE 中已知一边 OB=a,一角∠BOE=60°,可求出
1
BE 的长;③利用三角形面积公式 S△ PBC= PC×BE 求出△ PBC 的面积.
两条
切线的夹角
如图,点 P 是☉O 外一点,PA,PB 分别切☉O 于点 A,B,AB 交 PO 于点 C,则有如下结论:
(1)PA=PB;
基本图形
(2)∠APO=∠BPO=∠OAC=∠OBC,
∠AOP=∠BOP=∠CAP=∠CBP;
(3)AB⊥OP 且 AC=BC
第五页，共三十一页。
课前双基巩固
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
与圆有关的位置关系
题组练习一（问题习题化）
2.若⊙A 的半径为5，圆心A 的坐标是(3，4)，点P 的坐标是(5，8)，点P 与⊙A 的位置关系是_____________________.
1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，CA=3㎝, CB=4cm.设⊙C 的半径为r ，请根据下列r 的值，判断AB 与⊙C 的位置关系，并说明理由.
（1）r=2；（2）r=2.4；（3）r=3；
3.如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心．若∠B =25°，则∠C 的大小等于____________.
4.如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是边BC 上一个中点，一个圆过点A ，交边AB 于点E ，且与边BC 相切于点D ，则该圆的圆心是线段AE 的中垂线与线段（ ）的中垂线的交点.
5.如图，在△ABC 中， AB =AC ，∠B =30°, 以点A 为圆心，以3cm 为半径作⊙A ，当AB = ______cm 时，BC 与⊙A 相切.
B C
C
D1
题组练习二（知识网络化）
6.如图，半径为r的⊙O分别绕面积相等的等边三角形、正方形和圆用相同的速度匀速滚动一周，用时分别为t1、t2、t3，则t1、t2、t3的大小关系为______.
7.如图，线段AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠AOC＝80°，点P是线
段AB延长线上的一动
点，连结PC，则∠APC的
度数是________度（写出一个即可）．
8.如图，在矩形ABCD中，= 12，过A，D两点的⊙O与BC边相切于点E. 则⊙O的半径为 .
9.如图，直线l∶y=－
1
2
x+1与坐标轴交于A，B两点，点M（m，0）是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，m的值为 .
10.将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB
则四边形AB1ED的内切圆半径为 .
11.如图，在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），点P在线段OA上，以AP
为半径的⊙P周长为1，点M从A开始沿⊙P按逆时针方向转动，射线AM交x
于点N(n,0)，设点M转过的路程为m(0<m<1).
当
1
4
m=时，n=________；
(1)
（2）随着点M 的转动，当m 从
13变化到23
时，点N 相应移动的路径长为_____________ 题组练习三（中考考点链接） 11.如图所示，经过B （2，0）、C （6，0）两点的⊙H 与y 轴的负半轴相切于点A ，双曲线y=x k 经过圆心
H ，则k= ．
12.如图，AB 为半圆O 的直径，AD 、BC 分别切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙O 于点E ，连接OD 、OC ，下列结论：①∠DOC ＝90°，②AD ＋BC ＝CD ，③:A O D B O C
S S △△＝22
:AD AO ，④:OD OC ＝:DE EC ，⑤2OD ＝DE CD ⋅，正确的有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
13.如图，CE 是⊙O 的直径，BD 切⊙O 于点D ，DE ∥BO ，CE 的延长线交BD 于点A 。
（1）求证：直线BC 是⊙O 的切线；
（2）若AE =2，tan ∠DEO
=2，求AO 的长。
答案：
1. 点P 在⊙A 外
2.相交，相切，相离；
3. 40°；
4.BC ；
5.6;
6. t 1＞t 2＞t 3；
7.答案不唯一，如30等．
8.
254
;9. 2－
12. ﹣83．13.C
14. 解：（1）如图，连结DO
∵BD 切⊙O 于点D ，∴∠BDO =90°，
∵DE ∥BO ，∴∠BOC =∠DEO ，∠EDO =∠BOD
∵OD =OC ，∴∠DEO =∠EDO ，∴∠BOC =∠BOD ，
在Rt △BDO 和Rt △BCO 中，OD =OC ，∠BOC =∠BOD ，BO =BO ，∴Rt △BDO ≌Rt △BCO ∴∠BCO =∠BDO =90°
∴直线BC 是⊙O 的切线
（2）如图，连结CD ，设⊙O 的半径为r
∵CE 是⊙O 的直径，∴∠CDE =90°
∵DE ∥BO ，∴∠BOC =∠DEO 即tan ∠BOC=tan ∠DEO =2
∵OC =OE =r ，∴BC =2r ，则BO =3r
∵tan ∠DEO =2，∴DC=2DE ，
在Rt △CDE 中，由勾股定理得：222CE DE DC =+即：()22222r DE DE =+ ∴r 33
2DE =
∵DE ∥BO ，∴△ADE ∽△ABO ，∴BO DE AO AE =即r
r r 333222=+解得：r =1 ∴AO=AE+OE=2+1=3
答：AO 的长为3。