1.2.3 弦切角定理 课件 (人教B版选修4-1)
2.4 弦切角的性质 教学课件(人教A版选修4-1)
知能达标演练
课后习题解答
【考题2】 (2012·辽宁高考)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点， 过A作两圆的切线分别交两圆于 C， D两点，连结 DB并延长交 ⊙O于点E.
证明
(1)AC·BD＝AD·AB； (2)AC＝AE.
课前探究学习
课堂讲练互动
知能达标演练
课后习题解答
证明
(1)由 AC 与圆 O′相切于点 A， 得∠CAB＝∠ADB；
课前探究学习 课堂讲练互动 知能达标演练 课后习题解答
反思感悟
(1)弦切角是很重要的与圆相交的角．其主要功能是协
调与圆相关的各种角，如圆心角、圆周角等，是连接圆与三角形
全等、三角形相似及与圆相关的各种直线位置关系的桥梁．
(2)弦切角定理经常作为工具，进行三角形相似的证明，然后利用 三角形相似进一步确定相应边之间的关系，在圆中证明比例式或 等积式，常常需要借助于三角形相似处理． (3)弦切角定理有时还与圆周角定理等知识综合运用，它们不但在
课前探究学习
课堂讲练互动
知能达标演练
课后习题解答
解
如图所示，连接 BD.
∵AC 为⊙O 的切线，∴∠ADE＝∠ABD. ∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABD， AD BD BD 2 DE 1 ∴ AE ＝DE，即DE＝1，∴BD＝2. DE 1 ∵BE 为⊙O 的直径，∴∠BDE＝90° ，∴tan∠ABD＝BD＝2. ∵∠F＋∠BEF＝90° ，∠ABD＋∠BEF＝90° ， 1 ∴∠ABD＝∠F，∴tan∠F＝tan∠ABD＝ . 2
②一边和圆相切(一边所在直线为圆的切线)；
③一边和圆相交(一边为圆的过切点的弦)． 三者缺一不可，例如图中，∠CAD很像弦切角，但它不是弦切 角，因为 AD 与圆相交， ∠ BAE 也不一定是弦切角，只有已知 AE切圆于点A，才能确定它是弦切角．
2.4 弦切角的性质 课件(人教A选修4-1)(2)
弦切角．
2．弦切角定理 弦切角等于 它所夹的弧所对的圆周角 ．
[小问题·大思维] 1．一边和圆相交，另一边和圆相切的角是弦切角吗？ 提示：不一定．弦切角必须同时具备三点： ①顶点在圆上；②一边和圆相交；③一边和圆相切． 2．弦切角与它所夹的弧所对的圆心角之间有什么关系？
或全等三角形，从而证得线段相等．
[通一类] 2.如图，AB是半圆O的直径，C是圆 周上一点(异于A、B)，过C作圆O 的切线l，过A作直线l的垂线AD， 垂足为D，AD交半圆于点E.求证：
CB＝CE.
证明：法一：连接BE.
因为AB是半圆O的直径，E为圆周上一点， 所以∠AEB＝90°， 即BE⊥AD. 又因为AD⊥l，所以BE∥l. 所以∠DCE＝∠CEB. 因为直线l是圆O的切线，
OB于D.求证：∠DAC＝∠CAB. 分析：本题考查弦切角定理的应用．解答本题需要
根据题意画出图形，然后利用相关定理解决．
证明：法一：如图，延长 AD 交⊙O 于 E，AB 切⊙O 于 A， ∵CD⊥AE，
AC ∴ ＝ CE . 又∵∠DAC 的度数等于 CE 度数的一
半，
AC ∠CAB 的度数等于 度数的一半，
解决此类问题的关键是把握弦切角的三个要素：
(1)顶点在圆上(顶点为圆切线的切点)；
(2)一边和圆相切(一边所在直线为圆的切线)；
(3)一边和圆相交(一边为圆的过切点的弦)．
三者缺一不可，例如上图中，∠CAD很像弦切角， 但它不是弦切角，因为AD与圆相交，∠BAE也不一定是 弦切角，只有已知AE切圆于点A，才能确定它是弦切角．
提示：弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半．
最新人教版高二数学选修4-1(B版)电子课本课件【全册】
0002页 0004页 0006页 0059页 0163页 0201页 0203页 0205页 0239页 0264页 0303页
第一章 相似三角形定理与圆幂定理 1.1 相似三角
1.1.3 平行截割定理
1.2 圆周角与弦切角
1.2.1 圆的切线
最新人教版高二数学选修4－1(B版) 电子课本课件【全册】
1.2.3 弦切角定理
1.3.2 圆内接四边形的性质与判定
阅读与欣赏
欧几里得
第二章 圆柱、圆锥与圆锥曲线 2.1 平行投影与圆
2.2 用内切球探索圆锥曲线的性质
2.2.1 球的
2.2.3 圆锥面及其内切球
本章小结
ห้องสมุดไป่ตู้
附录 部分中英文词汇对照表
第一章 相似三角形定理与圆 幂定理 1.1 相似三角形 1.1.1 相似三角形判定定理
2.4弦切角的性质(选修4-1)公开课用
E
C
D
练一练
3、如图，经过⊙O上的点T的切线 和弦AB的延长线相交于点C。 说明： ∠ATC = ∠TBC D
T
O A B C
证明：∵CT切⊙O于T
∴∠DTA=∠ABT ∵∠ATC+∠DTA=180° ∠TBC + ∠ABT =180° ∴∠ATC=∠TBC
课后小结
1、弦切角的定义 2、弦切角定理及其推论 弦切角定理
观察联想 发现规律
圆内接四边形 的外角等于它的内对角 A A B C D ∠BAD=∠BCE E D C E B
猜一猜
圆内接四边形 的外角等于它的内对角 A A B C D E (C) D
B
E
猜 ∠BAD=∠BCE 想
在右图中∠BAD=∠BCE
还成立吗？
尝试证明
证明：连接OD，延长DO 交圆O与P.连接AP
（重点）
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
推论: (同圆或等圆中)如果两个弦切角所夹的
弧相等,那么这两个弦切角也相等。
作业布置:
1、课本P34习题2.4
1,如图:四边形ABCD为圆内接四边形,AB 是直径，MN切⊙O于C点,∠BCM=38°
那么∠ABC的度数是（ B ）。 A、38°B、52°C、68° D、42°
80º
3
1
A
B
25º
4
A
B
A
B
∠1= 30º ；∠2= 70º ；∠3= 65º ；∠4= 40º 。
巩固知识 初步应用
例题解析
B
例1.已知：如右图， AB是⊙O的直径, AC是弦，直线CE和⊙O切于点C， AD⊥CE，垂足为D.证明：AC平 分 ∠BAD。
高中数学 第一章 相似三角形定理与圆幂定理 1.2.3 弦切角定理学案 新人教B版选修41
1．2.3 弦切角定理[对应学生用书P22][读教材·填要点]1．弦切角顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．2．弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．3．弦切角定理的推论弦切角等于它所夹弧所对的圆周角．[小问题·大思维]一边和圆相交，另一边和圆相切的角是弦切角吗？提示：不一定．弦切角必须同时具备三点：①顶点在圆上；②一边和圆相交；③一边和圆相切．[对应学生用书P23][例1] 如图，AB、CB分别切⊙O于D、E，试写出图中所有的弦切角．[思路点拨] 本题考查弦切角的定义．解答本题需要明确构成弦切角的三个条件，然后依据定义作出判断．[精解详析] 由弦切角的定义可知，∠ADE、∠BDE、∠BED、∠CED都是弦切角．解决此类问题的关键是把握弦切角的三个要素：(1)顶点在圆上(顶点为圆切线的切点)；(2)一边和圆相切(一边所在直线为圆的切线)； (3)一边和圆相交(一边为圆的过切点的弦)．三者缺一不可，例如上图中，∠CAD 很像弦切角，但它不是弦切角，因为AD 与圆相交，∠BAE 也不一定是弦切角，只有已知AE 切圆于点A ，才能确定它是弦切角．1．如图，NA 与⊙O 切于点A ，AB 和AD 是⊙O 的弦，AC 为直径，试指出图中有哪几个弦切角？解：弦切角分三类：如题图： (1)圆心在角的外部； (2)圆心在角的一边上； (3)圆心在角的内部．即∠BAN 、∠CAN 、∠DAN 为弦切角.[例2] 已知：AB 切⊙O 于A ，OB 交⊙O 于C ，AD ⊥OB 于D .求证：∠DAC ＝∠CAB . [思路点拨] 本题考查弦切角定理的应用．解答本题需要根据题意画出图形，然后利用相关定理解决．[精解详析] 法一：如图(1)，延长AD 交⊙O 于E ，AB 切⊙O 于A ，∵CD ⊥AE ， ∴AC ＝CE .又∵∠DAC 的度数＝12CE 的度数．∠CAB 的度数＝12AC 的度数．∴∠DAC ＝∠CAB .法二：如图(2)，延长BO 交⊙O 于E ， 连接AE ，则∠CAE ＝90°.又∵AD ⊥CE ， ∴∠DAC ＝∠E . ∵AB 是⊙O 的切线，∴∠CAB＝∠E.∴∠DAC＝∠CAB.法三：如图(3)，连接OA.∵AB切⊙O于A，∴OA⊥AB.∴∠CAB与∠OAC互余．又∵AD⊥OB，∴∠DAC与∠ACO互余．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO.∴∠DAC＝∠CAB.法四：如图(4)，过C作⊙O的切线交AB于G∵AB是⊙O的切线，∠CAG＝∠ACG，又∵OC⊥CG，AD⊥OB，∴CG∥AD.∴∠ACG＝∠DAC，即∠DAC＝∠CAB.(1)由弦切角定理及其推论可直接得到角相等，在与弦切角有关的几何问题中，往往还需要借助其它几何知识来综合解答，由弦切角得到的角相等只是推理论证中的一个条件．(2)借助弦切角定理及其推论和圆的其他性质(如等弧所对的弦相等)以及三角形有关知识我们可以得到特殊三角形或全等三角形，从而证得线段相等．2．如图，△ABD的边AB为直径，作⊙O交AD于C，过点C的切线CE和BD互相垂直，垂足为E.证明：AB＝BD.证明：如图所示，连接BC，延长EC至F.∵CE是圆的切线，∴∠FCA＝∠CBA.∵∠FCA＝∠DCE，∴∠DCE＝∠CBA.∵AB是直径，∴AD⊥BC，∴∠BAC＝90°－∠CBA.又∵CE⊥BD，∴∠D＝90°－∠DCE，∴∠D ＝∠BAC ，∴AB ＝BD .[对应学生用书P24]一、选择题1．如图，⊙O 内切于△ABC ，切点分别为D ，E ，F .已知∠B ＝50°，∠C ＝60°，连接OE ，OF ，DE ，DF ，那么∠EDF 的值为( )A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°解析：∵∠B ＝50°，∠C ＝60°， ∴∠A ＝70°，∴∠EOF ＝110°， ∴∠EDF ＝55°. 答案：B2．如图，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD ＝2，AB ＝6，则AC 的长为( )A ．2B ．3C ．2 3D ．4解析：连接BC ，构造出弦切角所对的圆周角，由已知有△ADC与△ACB 相似，所以可得AD AC ＝ACAB，代入数值得关于AC 的方程． 答案：C3．在圆O 的直径CB 的延长线上取一点A ，AP 与圆O 切于点P ，且∠APB ＝30°，AP ＝3，则CP ＝( )A. 3 B ．2 3 C ．23－1D ．23＋1解析：如图，连接OP ，则OP ⊥PA ，又∠APB＝30°，∴∠POB＝60°，∴在Rt△OPA中，AP＝3，易知，PB＝OP＝1，在Rt△PCB中，由PB＝1，∠PBC＝60°，得PC＝ 3.答案：A4．如图所示，经过⊙O上的点A的切线和弦BC的延长线相交于点P，若∠CAP＝40°，∠ACP＝100°，则∠BAC所对的弧的度数为( )A．40° B．100°C．120° D．60°解析：∵AP是⊙O的切线，∴∠ABC＝∠CAP＝40°，又∠ACP＝100°，∴∠BAC＝∠ACP－∠ABC＝60°，即∠BAC所对的弧的度数为120°.答案：C二、填空题5．如图，AB为⊙O直径，CD切⊙O于D，AB延长线交CD于点C，若∠CAD＝25°，则∠C等于________．解析：连接BD，∵AB为直径，∴∠BDA＝90°.又∵CD为⊙O切线，切点为D，由弦切角定理知∠BDC＝∠CAD＝25°.∴∠CDA＝90°＋25°＝115°.在△ACD中，∠C＝180°－∠A－∠CDA＝180°－25°－115°＝40°.答案：40°6.如图所示，AC切⊙O于点A，∠BAC＝25°，则∠B的度数为________．解析：∵∠BAC ＝12∠AOB ，∴∠AOB ＝2×25°＝50°， ∴∠B ＝12×(180°－50°)＝65°.答案：65°7.如图，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，C 是AB 上的一点，已知⊙O 的半径为r ，PO ＝2r ，设∠PAC ＋∠PBC ＝α，∠APB ＝β，则α和β的大小关系为________．解析：连接AB 、AO 、OC 、OB ， ∴∠PAC ＝∠ABC ，∠PBC ＝∠BAC . ∴α＝∠PAC ＋∠PBC ＝∠ABC ＋∠BAC＝12(∠AOC ＋∠BOC )＝12(180°－∠APB )． ∵AO ＝r ，PA 切⊙O 于A ，AO ⊥PA 且PO ＝2r ， ∴∠APO ＝30°. ∴∠APB ＝2∠APO ＝60°.∴α＝12(180°－60°)＝60°＝β.答案：α＝β8.如图，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ，B ，且PB ＝7，C 是圆上一点使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，则AB ＝____________.解析：由PA 为⊙O 的切线，BA 为弦，得∠PAB ＝∠BCA ，又∠BAC ＝∠APB ，于是△APB ∽△CAB ，所以PB AB ＝AB BC.而PB ＝7，BC ＝5，故AB 2＝PB ·BC ＝7×5＝35，即AB ＝35. 答案：35 三、解答题9．AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F.求证：EF∥BC.证明：连接DF.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠DAC.∵∠EFD＝∠BAD，∴∠EFD＝∠DAC.∵⊙O切BC于D，∴∠FDC＝∠DAC.∴∠EFD＝∠FDC.∴EF∥BC.10．如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE·CD.证明：(1)因为AC＝BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故BCBE＝CDBC，即BC2＝BE·CD.11．如图所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线PQ切⊙O于点C，BD∥PQ，AC，BD相交于E.(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝6 cm，BC＝4 cm，求AE的长．解：如图所示：(1)证明：因为PQ 是⊙O 的切线，所以∠1＝∠2. 因为BD ∥PQ ，所以∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3.因为∠3＝∠4，所以∠2＝∠4. 因为∠ABD ＝∠ACD ，AB ＝AC ， 所以△ABE ≌△ACD .(2)因为∠3＝∠2，∠ABC ＝∠ACB ， 所以△BCE ∽△ACB ，BC AC ＝CE CB，AC ·CE ＝BC 2. 因为AB ＝AC ＝6 cm ，BC ＝4 cm ， 所以6·(6－AE )＝16.所以AE ＝103 cm.。
2.4 弦切角的性质 课件(人教A选修4-1)(2)
提示：弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半．
[研一题] [例1] 如图，AB、CB分别切⊙O于D、
E，试写出图中所有的弦切角． 分析：本题考查弦切角的定义．解答本 题需要明确构成弦切角的三个条件，然后依
据定义作出判断．
解：由弦切角的定义可知， ∠ADE、∠BDE、∠BED、∠CED都是弦切角．
[悟一法]
∴∠EFB＝90°.
连接BC，则∠ECB＝90°， ∴E、F、B、C四点共圆．
∴AE· AC＝AF· AB.①
同理A、D、E、F四点共圆． ∴BE· BD＝BF· AB.②
将①、②两式相加得
AF· AB＋BF· AB＝AE· AC＋BE· BD＝AB2.
弦切角定理在几何证明中有广泛的应用，高考中 常与三角形相似、圆的切线等问题结合考查.2012年辽 宁高考以解答题的形式将弦切角定理与相似三角形的 判定及应用相结合考查，是高考命题的一个新亮点．
[考题印证] (2012· 辽宁高考)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点， 过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长
交⊙O于点E.证明：
(1)AC· BD＝AD· AB； (2)AC＝AE.
[命题立意]
本题主要考查弦切角定理，考查学生综合
运用所学知识，分析问题并解决问题的能力．
证明：(1)由 AC 与⊙O′相切于 A， 得∠CAB＝∠ADB， 同理∠ACB＝∠DAB， 所以△ACB∽△DAB. AC AB 从而AD＝BD， 即 AC· BD＝AD· AB. (2)由 AD 与⊙O 相切于 A，得∠AED＝∠BAD， 又∠ADE＝∠BDA，得 AE AD △EAD∽△ABD.从而AB＝BD， 即 AE· BD＝AD· AB. 结合(1)的结论，AC＝AE.
2.4 弦切角的性质 课件(人教A选修4-1)(2)
[研一题]
[例3] 如图，梯形ABCD内接于
⊙O，DC∥AB，AB＝AC，过A点作
⊙O的切线与CD的延长线交于E.求证：
AD2＝ED· EC. 分析：本题考查弦切角定理，圆内接四边形、相似三 角形等知识的综合应用，解答本题可转化为证明△EAD∽ △ECA.
证明：AE切⊙O于点A， ∴∠EAC＝∠B(弦切角定理)， ∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B， ∴∠EAC＝∠ACB， ∴AE∥BC，又∵DC∥AB， ∴四边形ABCE是平形四边形，∴∠E＝∠B. ∵梯形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADE＝∠B，∴∠ADE＝∠E， ∴AD＝AE. ∵EA切⊙O于A，∴∠EAD＝∠ACE， 又∵∠E＝∠E，∴△EDA∽△EAC， ∴EA2＝ED· EC， ∴AD2＝ED· EC.
所以∠DCE＝∠CBE.
所以∠CBE＝∠CEB. 所以CE＝CB.
法二：连接AC、BE，在DC延长线上取一点F. 因为AB是半圆O的直径，C为圆周上一点， 所以∠ACB＝90°，即∠BCF＋∠ACD＝90°. 又因为AD⊥l，所以∠DAC＋∠ACD＝90°.
所以∠BCF＝∠DAC.
又因为直线l是圆O的切线，所以∠CEB＝∠BCF. 又∠DAC＝∠CBE，所以∠CBE＝∠CEB. 所以CE＝CB.
或全等三角形，从而证得线段相等．
[通一类] 2.如图，AB是半圆O的直径，C是圆 周上一点(异于A、B)，过C作圆O 的切线l，过A作直线l的垂线AD， 垂足为D，AD交半圆于点E.求证：
CB＝CE.
证明：法一：连接BE.
因为AB是半圆O的直径，E为圆周上一点， 所以∠AEB＝90°， 即BE⊥AD. 又因为AD⊥l，所以BE∥l. 所以∠DCE＝∠CEB. 因为直线l是圆O的切线，
1.2.3弦切角定理 课时作业(答案解析) 高中数学选修4-1 北师大版
学业分层测评(六)2.3 弦切角定理(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.P在⊙O外，PM切⊙O于C，P AB交⊙O于A、B，则()【导学号：96990026】A.∠MCB＝∠BB.∠P AC＝∠PC.∠PCA＝∠BD.∠P AC＝∠BCA【解析】如图所示，由弦切角定理知∠PCA＝∠B.【答案】 C2.如图1-2-64，△ABC内接于⊙O，EC切⊙O于点C.若∠BOC＝76°，则∠BCE等于()图1-2-64A.14°B.38°C.52°D.76°【解析】∵EC为⊙O的切线，∴∠BCE＝∠BAC＝12∠BOC＝38°.【答案】 B3.如图1-2-65，在圆的内接四边形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切⊙O于C点，那么图中与∠DCF相等的角的个数是()图1-2-65A.4B.5C.6D.7【解析】∠DCF＝∠DAC，∠DCF＝∠BAC，∠DCF＝∠BCE，∠DCF＝∠BDC，∠DCF＝∠DBC.【答案】 B4.如图1-2-66所示，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于点B，DC的延长线交AB于点A，∠A＝20°，则∠DBE＝()图1-2-66A.55°B.65°C.75°D.85°【解析】连结OB，则OB⊥AB，∴∠AOB＝90°－∠A＝70°.∠BOD＝180°－∠AOB＝110°.又OB＝OD，∴∠OBD＝12(180°－∠BOD)＝35°，∴∠DBE＝90°－∠OBD＝55°.【答案】 A5.在圆O的直径CB的延长线上取一点A，AP与圆O切于点P，且∠APB ＝30°，AP＝3，则CP＝()A. 3B.2 3C.23－1D.23＋1【解析】如图，连接OP，则OP⊥P A，又∠APB＝30°，∴∠POB＝60°，∴在Rt△OP A中，AP＝3，易知，PB＝OP＝1，在Rt△PCB中，由PB＝1，∠PBC＝60°，得PC＝ 3.【答案】 A二、填空题6.如图1-2-67，已知P A是圆O(O为圆心)的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，AC＝3，∠P AB＝30°，则线段PB的长为________.图1-2-67【解析】如图，连接OA，又P A为⊙O切线，∴∠OAP＝90°，∠C＝∠P AB＝30°，∴∠OBA＝∠OAB＝60°，∴∠P＝∠P AB＝30°，∴PB＝AB.又AC＝3，BC为⊙O直径，∴∠CAB＝90°，∴AB＝1，∴PB＝1.【答案】 17.如图1-2-68，已知：△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上.AD是⊙O 的切线，若∠B＝30°，AC＝2，则OD的长为__________.【导学号：96990027】图1-2-68【解析】连接OA，则∠COA＝2∠CBA＝60°，且由OC＝OA知△COA为正三角形，所以OA＝2.。
高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理1.2.3弦切角定理课件新人教B版选修4_1
答案:B
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
1234 5
2.如图,AB是☉O的弦,CD是经过☉O上的点M的切线.求证: (1)如果AB∥CD,那么AM=MB; (2)如果AM=BM,那么AB∥CD.
证明(1)∵CD切☉O于点M, ∴∠DMB=∠A,∠CMA=∠B. ∵AB∥CD,∴∠CMA=∠A. ∴∠A=∠B.∴AM=MB. (2)∵AM=BM,∴∠A=∠B. ∵CD切☉O于M点, ∴∠DMB=∠A,∠CMA=∠B. ∴∠CMA=∠A.∴AB∥CD.
1.2.3 弦切角定理
-1-
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
1.理解弦切角的概念,会判断弦切角. 2.掌握弦切角定理的内容,并能利用它解决有关问题.
随堂演练
UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三
题型三
易错辨析
易错点:忽视弦切角的一边是切线 【例3】 如图,△ABC内接于☉O,AD⊥AC,∠C=32°,∠B=110°,求 ∠BAD.
错解:∵AD⊥AC, ∴∠BAD是弦切角. ∴∠BAD=∠C. 又∠C=32°,∴∠BAD=32°.
2.4 弦切角的性质 课件(人教A选修4-1)
(1)文字语言叙述： 弦切角等于它 所夹的弧 所对的圆周角． (2)图形语言叙述： 如图，AB与⊙O切于A点，则∠BAC＝ ∠D .
[说明]
弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半，
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，圆心
角的度数等于它所对弧的度数．
[例 1]
AC (2010· 新课标全国卷)如图，已知圆上的弧 ＝
(1)如果AB∥CD，那么AM＝MB；
(2)如果AM＝BM，那么AB∥CD. 证明：(1)∵CD切⊙O于M点， ∴∠DMB＝∠A，∠CMA＝∠B. ∵AB∥CD，∴∠CMA＝∠A.
∴∠A＝∠B，故AM＝MB.
(2)∵AM＝BM，∴∠A＝∠B. ∵CD切⊙O于M点，∠CMA＝∠B， ∴∠CMA＝∠A.∴AB∥CD.
3．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，直线 CD 与⊙O 相切于点 C，AC 平分∠DAB. (1)求证：AD⊥CD； (2)若 AD＝2，AC＝ 5，求 AB 的长．
解：(1)证明：如图，连接 BC. ∵直线 CD 与⊙O 相切于点 C， ∴∠DCA＝∠B. ∵AC 平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB. ∴∠ADC＝∠ACB. ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90° . ∴∠ADC＝90° ，即 AD⊥CD.
BD ，过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点，证明：
(1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BE· CD. [思路点拨] 利用弦切角定理．
[证明]
AC (1)因为 ＝ BD ，
所以∠BCD＝∠ABC. 又因为 EC 与圆相切于点 C， 故∠ACE＝∠ABC， 所以∠ACE＝∠BCD. (2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD， 所以△BDC∽△ECB. BC CD 故BE＝ BC， 即 BC2＝BE· CD.
《1.2.3弦切角定理》课件2-优质公开课-人教B版选修4-1精品
∴AC平分∠DAB.
【反思感悟】 本题方法一是课本证法，是利用切线性质以及
平行线性质，而方法二巧妙地使用弦切角以及直径所对圆周
角为直角达到证题目的，各有千秋．
【探究学习】 对弦切角与所夹弧的关系的探究 【例 4】 如图所示，DE 切⊙O 于 A，AB、AC 是⊙O 的弦，若 ＝ ，那么∠DAB 和∠EAC 是否相等？为什么？
例1：判断下列各图形中的角是不是弦切角，并说明理由：
分析：此题利用弦切角的定义来判断．
解：以上各图中的角都不是弦切角．
图(1)中，缺少“顶点在圆上”的条件；
图(2)中，缺少“一边和圆相交”的条件； 图(3)中，缺少“一边和圆相切”的条件； 图 (4) 中，缺少“顶点在圆上”和“一边和圆相切”两个条 件． 【反思感悟】 弦切角的三要素：(1)顶点在圆周上； (2)一边与圆相交；(3)一边与圆相切．
由弦切角定理可直接得到角相等，在与弦切角有关的几何问
题中，往往还需借助其他几何知识来综合解答，由弦切角得 到的角相等只是推理论证中的一个条件．
(2)证明直线平行
弦切角定理构建了角与角的相等关系，
而直线的平行是以角的关系为基本条件 的，因而在圆中我们可以利用弦切角定 理来推理论证直线的平行．如图所示， 若 CD 切 圆 O 于 点 M ， 弦 AM 与 弦 BM 相 等，则由∠ CMA ＝∠ B ，∠ A ＝∠ B 得到 ∠CMA＝∠A，从而CD∥AB.
1.2.3 弦切角定理
关键词：弦切角定理、弦切角定理的推论
知识点一
弦切角的概念
定义：顶点在圆周上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角 叫做弦切角．
如图所示，∠ACD和∠BCD都是弦切角．
【推敲引申】 弦切角必须具备三个条件： 1． (1)顶点在圆上(顶点为圆切线的切点)；
最新人教版高二数学选修4-1电子课本课件【全册】
三 平面与圆锥面的截线
第一讲 相似三角形的判定及 有关性质 一 平行线等分
线段定理
最新人教版高二数学选修4－1电子 课本课件【全册】
二 平行线分线段成比例定理
最新人教版高二数学选修4－1电子 课本课件【全册】
三 相似三角形的判定及性质 1．相似三角形的判定
最新人教版高二数学选修4－1电 子课本课件【全册】目录
0002页 0034页 0114页 0187页 0238页 0274页 0325页
第一讲 相似三角形的判定及有关性质 一 平行线
三 相似三角形的判定及性质
1．相似三角形的
四 直角三角形的射影定理
二 圆内接四边形的性质与判定定理
四 弦切角的性质
第三讲 圆锥曲线性质的探讨 一 平行射影
最新人教版高二数学选修4－1电子 课本课件【全册】
学习总结报告
最新人教版高二数学选修4－1电子 课本课件【全册】
最新人教版高二数学选修4－1电子 课本课件【全册】
第三讲 圆锥曲线性质的探讨 一 平行射影
最新人教版高二数学选修4－1电子 课本课件【全册】
二 平面与圆柱面的截线
最新人教版高二数学选修4－1电子 课本课件【全册】
三 平面与圆锥面的截线
最新人教版高二数学选修4－1电子 课本课件【全册】
2．相似三角形的性质
最新人教版高二数学选修4－1电子 课本课件【全册】
四 直角三角形的射影定理
最新人教版高二数学选修4－1电子 课本课件【全册】
第二讲 直线与圆的位置关系 一 圆周角定理
最新人教版高二数学选修4－1电子 课本课件【全册】
二 圆内接四边形的性质与判 定定理
最新人教版高二数学选修4－1电子 课本课件【全册】
高中数学第1章相似三角形定理与圆幂定理1.2.3弦切角定理课件新人教B版选修4_1
[质疑· 手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，与“小伙伴们”探讨交流：
疑问 1：
_____________________________________________________
解惑：
_______________________________________________________
3.弦切角定理有时还与圆周角定理等知识综合运用，它们不但在证明方法
上相似，在解题功能上也有相似之处，通常都作为辅助工具出现.
[再练一题] 2.如图 1-2-43 所示，BA 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线，切点为 A，BF、 BD 分别交 AD 于点 F、D，交⊙O 于 E、C，连接 CE.求证：BE·BF＝BC·BD.
∵∠A＝∠A，
∴ ∴ ∴△ A∠ADEAB＝DDEEBD∽ ＝DE，△ 90即A°BBD，DDE.∴＝t21a，n∠2＝DBDE＝12. ∴ ∵DB∠DEF＝＋12∠. BEF＝90°，∠2＋∠BEF＝90°， ∴∠2＝∠F，∴tan∠F＝tan∠2＝12.
[再练一题] 1.如图 1-2-41，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，C 为切点，AC 平分 ∠BAD.求证：AD⊥CD.
解惑：
_______________________________________________________
图 1- 2- 40
【思路探究】 △ADE∽△ABD→tan∠ABD＝DBDE＝12→∠ABD＝∠F→结果
【尝试解答】 如图所示，连接 BD.
∵AC 为⊙O 的切线，
∴ ∵∠ BE1为＝⊙∠O2. 的直径，
【命题意图】 本题主要考查弦切角定理及三角形相似的性质.
2.4 弦切角的性质 课件(人教A选修4-1)(2)
所以∠DCE＝∠CBE.
所以∠CBE＝∠CEB. 所以CE＝CB.
法二：连接AC、BE，在DC延长线上取一点F. 因为AB是半圆O的直径，C为圆周上一点， 所以∠ACB＝90°，即∠BCF＋∠ACD＝90°. 又因为AD⊥l，所以∠DAC＋∠ACD＝90°.
所以∠BCF＝∠DAC.
又因为直线l是圆O的切线，所以∠CEB＝∠BCF. 又∠DAC＝∠CBE，所以∠CBE＝∠CEB. 所以CE＝CB.
OB于D.求证：∠DAC＝∠CAB. 分析：本题考查弦切角定理的应用．解答本题需要
根据题意画出图形，然后利用相关定理解决．
证明：法一：如图，延长 AD 交⊙O 于 E，AB 切⊙O 于 A， ∵CD⊥AE， ∴ ＝ CE . AC
又∵∠DAC 的度数等于 CE 度数的一
半，
AC ∠CAB 的度数等于 度数的一半，
提示：弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半．
[研一题] [例1] 如图，AB、CB分别切⊙O于D、
E，试写出图中所有的弦切角． 分析：本题考查弦切角的定义．解答本 题需要明确构成弦切角的三个条件，然后依
据定义作出判断．
解：由弦切角的定义可知， ∠ADE、∠BDE、∠BED、∠CED都是弦切角．
[悟一法]
[悟一法]
充分利用圆周角定理、圆内接四边形的性质、平行 四边形性质定理、弦切角定理等结论，架设与三角形有 关问题的桥梁，证明三角形相似是解决此类问题的有效
途径．
[通一类] 3．AB是圆O的直径，过A、B作两弦AC和BD相交于E，求 证：AB2＝AE· AC＋BE· BD. 证明：如图，AB是圆的直径． AC与BD相交于E，作EF⊥AB，F为垂足．
点击下图进入“创新演练”
2.4 弦切角的性质 课件(人教A选修4-1)(2)
弦切角．
2．弦切角定理 弦切角等于 它所夹的弧所对的圆周角 ．
[小问题·大思维] 1．一边和圆相交，另一边和圆相切的角是弦切角吗？ 提示：不一定．弦切角必须同时具备三点： ①顶点在圆上；②一边和圆相交；③一边和圆相切． 2．弦切角与它所夹的弧所对的圆心角之间有什么关系？
提示：弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半．
[研一题] [例1] 如图，AB、CB分别切⊙O于D、
E，试写出图中所有的弦切角． 分析：本题考查弦切角的定义．解答本 题需要明确构成弦切角的三个条件，然后依
据定义作出判断．
解：由弦切角的定义可知， ∠ADE、∠BDE、∠BED、∠CED都是弦切角．
[悟一法]
所以∠DCE＝∠CBE.
所以∠CBE＝∠CEB. 所以CE＝CB.
法二：连接AC、BE，在DC延长线上取一点F. 因为AB是半圆O的直径，C为圆周上一点， 所以∠ACB＝90°，即∠BCF＋∠ACD＝90°. 又因为AD⊥l，所以∠DAC＋∠ACD＝90°.
所以∠BCF＝∠DAC.
又因为直线l是圆O的切线，所以∠CEB＝∠BCF. 又∠DAC＝∠CBE，所以∠CBE＝∠CEB. 所以CE＝CB.
或全等三角形，从而证得线段相等．
[通一类] 2.如图，AB是半圆O的直径，C是圆 周上一点(异于A、B)，过C作圆O 的切线l，过A作直线l的垂线AD， 垂足为D，AD交半圆于点E.求证：
CB＝CE.
证明：法一：连接BE.
因为AB是半圆O的直径，E为圆周上一点， 所以∠AEB＝90°， 即BE⊥AD. 又因为AD⊥l，所以BE∥l. 所以∠DCE＝∠CEB. 因为直线l是圆O的切线，
弦切角的性质 课件
1.弦切角
顶点在圆上,一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角.
弦切角可分为三类:(1)圆心在角的外部,如图①;(2)圆心在角的一边上,
如图②;(3)圆心在角的内部,如图③.
思考 1 你对弦切角是怎样理解的?
提示:弦切角的特点:(1)顶点在圆上;(2)一边与圆相交;(3)另一边与圆相
边的长.
思路分析:∠BAE 为弦切角,于是∠BAE=∠C,再由 AE 平分∠CAB 和
△ABC 是直角三角形可求得∠C 的度数,进而解直角三角形即可.
解:∵AD 为☉O 的切线,∴∠BAE=∠ACB.
∵AE 平分∠CAB,∴∠BAC=2∠BAE.
又∵∠ACB+∠BAC=90°,∴∠BAE=∠C=30°.
∴∠EBD=∠BCD.故在△BED 和△CEB 中,
∠EBD=∠ECB,∠BED=∠CEB,∴△BED∽△CEB.
2
∴ = , = ,∴
2
又 BD=CD,∴2
= .
= .
探究三 易错辨析
易错点:忽视弦切角的一边是切线
符号
语言
弦切角∠BAC 所夹的弧上,则∠BAC=∠ADC
图形
语言
作用
证明两个角相等
思考 2 和弦切角有关的结论有哪些?
提示:(1)由弦切角定理及圆周角定理可以得到:
①弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半;
②弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半.
(2)由弦切角定理可以直接得出一个结论:若两弦切角所夹的弧相等,则
这两个弦切角也相等.它给我们提供了证明角相等的又一个重要依据.如
图,DE 切☉O 于点 A,若 = ,则∠BAD=∠CAE.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
弦切角也可以看做圆周角的一边绕其顶点旋转到与圆相切时所 2．
成的角．因此，弦切角与圆周角存在密切关系．
课堂讲练互动
课后智能提升
【例1】 判断下列各图形中的角是不是弦切角，并说明理由：
分析：此题利用弦切角的定义来判断．
课堂讲练互动 课后智能提升
解：以上各图中的角都不是弦切角．
图(1)中，缺少“顶点在圆上”的条件；
课堂讲练互动 课后智能提升
证明：(1)因为
＝
，所以∠BCD＝∠ABC.
又因为 EC 与圆相切于点 C， 故∠ACE＝∠ABC， 所以∠ACE＝∠BCD. (2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD， 所以△BDC∽△ECB， BC CD 故 ＝ ，即 BC2＝BE×CD. BE BC
【反思感悟】 本题主要考查圆内接四边形、圆的切线、圆周 角、弦切角、三角形相似、弧、弦之间的关系，题目难易适
1.2.3 弦切角定理
1．通过对弦切角定理的探究，体会分类思想、特殊化思想和 化归思想在数学思想中的作用．
2．理解弦切角定理，能应用定理证明相关的几何问题．
课堂讲练互动
课后智能提升
关键词：弦切角定理、弦切角定理的推论
知识点一
弦切角的概念
定义：顶点在圆周上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫 做弦切角．
课后智能提升
证明：连 BC. MN∥CD⇒∠MAC＝∠ACD MN切⊙O于A⇒∠MAC＝∠B
⇒∠ACD＝∠B ∠CAE＝∠CAB
AC AE ⇒△ACE∽△ABC⇒ ＝ ⇒AC2＝AB· AE. AB AC
反思感悟：此题主要是利用弦切角的性质去证明两个角相等， 再利用三角形相似证比例中项，这样类型的题较常见．
平行线性质，而方法二巧妙地使用弦切角以及直径所对圆周角
为直角达到证题目的，各有千秋．
课堂讲练互动
课后智能提升
【探究学习】 对弦切角与所夹弧的关系的探究 【例 4】 如图所示，DE 切⊙O 于 A，AB、AC 是⊙O 的弦，若 ＝ ，那么∠DAB 和∠EAC 是否相等？为什么？
课堂讲练互动
课后智能提升
课堂讲练互动
课后智能提升
(3)证明线段相等
借助于弦切角定理和圆的其他性质(如等弧所对的弦相等)
以及三角形有关知识我们可以得到特殊三角形或全等三角形， 从而证得线段相等． (4)证明三角形相似 在圆中有丰富的相等的角，利用这些相等的角我们能找出许多 与圆有关的相似三角形，进而能得到许多线段的数量关系．因 而，充分利用圆的有关性质定理如圆周角定理、圆内接四边形
分析：由于 弧，而 ∠EAC. ＝
与
分别是两个弦切角∠DAB 和∠EAC 所夹的
，连接 BC，易证∠B＝∠C，于是得到∠DAB＝
解：∠DAB＝∠EAC.连接 BC， 因为 ＝ ，所以∠ACB＝∠ABC.
又因为∠BAD＝∠ACB 且∠CAE＝ ∠ABC， 所以∠BAD＝∠CAE.
【反思感悟】 若弦切角所夹的弧相等，则弦切角相等．
由弦切角定理知∠ACD＝∠B.①
又∵AB为直径，C为⊙O上一点， ∴∠ACB＝90°， ∴∠B＋∠CAB＝90°.② 又∵AD⊥CD， ∴∠DAC＋∠ACD＝90°.③ 由①②③知∠DAC＝∠CAB，
∴AC平分∠DAB.
课堂讲练互动
课后智能提升
【反思感悟】 本题方法一是课本证法，是利用切线性质以及
课堂讲练互动 课后智能提升
高考在线
【点击考点】 这部分知识近几年才从初中知识中分离出来，在高考中已有所 涉及，题目难度不大．
【剖析考题】 (2010·课标全国卷)
【例 5】 如图，已知圆上的弧 ＝ ，
过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交 于 E 点，证明： (1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BE×CD.
点的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB.
证明：方法一：如图所示，连接OC. ∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD. 又∵AD⊥CD，∴OC∥AD. 由此得∠ACO＝∠CAD. ∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO， ∴∠CAD＝∠CAO.
故AC平分∠DAB.
课堂讲练互动
课后智能提升
方法二：∵CD为⊙O的切线，连接CB，如图所示，
课堂讲练互动
课后智能
课堂讲练互动
课后智能提升
课堂讲练互动
课后智能提升
【规律方法总结】 弦切角的运用
在运用弦切角时，首先应根据弦切角的概念准确地找出弦切 角，然后运用弦切角进行相关的计算、论证．弦切角的运用主 要体现在以下几个方面： (1)证明角相等
由弦切角定理可直接得到角相等，在与弦切角有关的几何问题
中，往往还需借助其他几何知识来综合解答，由弦切角得到的 角相等只是推理论证中的一个条件．
中，重在考查对平面几何中基本知识的掌握．
课堂讲练互动 课后智能提升
【例6】 如图，已知 MN是⊙ O 的切线， A 为切点， MN 平行于弦 C D，弦AB交CD于E，求证：AC2＝AE·AB.
分析： 欲证 AC2＝AE· AB， 只需证此三条线段所在的△ACE 与△ ABC 相似，连结 BC.
课堂讲练互动
如图所示，∠ACD和∠BCD都是弦切角．
课堂讲练互动
课后智能提升
【推敲引申】 弦切角必须具备三个条件： 1． (1)顶点在圆上(顶点为圆切线的切点)；
(2)一边和圆相切(一边所在直线为圆的切线)；
(3)一边和圆相交(一边为圆的过切点的弦)． 三者缺一不可，例如图中，∠CAD很像弦切角，但它不是弦切 角，因为AD与圆相交，∠BAE也不一定是弦切角，只有已知A E切圆于点A，才能确定它是弦切角．
课堂讲练互动
课后智能提升
2．弦切角定理的证明同圆周角定理的证明极相似，同样是按圆 心与角的位置关系分情况(如图所示)进行证明．
①圆心在弦切角∠BAC 一边上；②圆心在弦切角∠BAC 外部； ③圆心在弦切角∠BAC 内部．
课堂讲练互动
课后智能提升
【例3】如图所示，AB为⊙ O的直径， C为⊙O上一点， AD和过C
解：∠ADE、∠BDE、∠CED、∠BED是弦切角． 【反思感悟】 考查对弦切线的概念的理解．
课堂讲练互动
课后智能提升
知识点二
弦切角定理及其推论
定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半． 推论：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角．
【推敲引申】 1.弦切角所夹的弧就是指构成弦切角的弦所对 的夹在弦切角内部的一条弧．如图所示，弦切 角∠BCD 所夹的弧是 的弧是 . ，弦切角∠ACD 所夹
性质定理、弦切角定理等结论，架设与三角形有关问题的桥
梁，达到解决问题的目的．
课堂讲练互动
课后智能提升
由此可见，弦切角是很重要的与圆相关的角．其主要功能在于
协调与圆相关的各种角(如圆心角、圆周角等)，是架设圆与三
角形全等、三角形相似、与圆相关的各种直线 ( 如弦、割线、 切线)位置关系的桥梁，因而弦切角也是确定重要圆几何定理 的关键环节(如证明切割线定理)．
课堂讲练互动
课后智能提升
(2)证明直线平行
弦切角定理构建了角与角的相等关系，而
直线的平行是以角的关系为基本条件的， 因而在圆中我们可以利用弦切角定理来推 理论证直线的平行．如图所示，若 CD 切 圆 O 于点 M ，弦 AM 与弦 BM 相等，则由∠ CMA ＝∠ B ，∠ A ＝∠ B 得到∠ CMA ＝∠ A，从而CD∥AB.
图(2)中，缺少“一边和圆相交”的条件； 图(3)中，缺少“一边和圆相切”的条件； 图 (4) 中，缺少 “ 顶点在圆上 ” 和 “ 一边和圆相切 ” 两个条 件． 【反思感悟】 弦切角的三要素：(1)顶点在圆周上； (2)一边与圆相交；(3)一边与圆相切．
课堂讲练互动
课后智能提升
如图所示，AB、CB分别切⊙O于D、E，找出图中所 【例2】 有弦切角．